Versuch V16: Der Phasenregelkreis als nichtlineares System 2 ...

Technische Universität Dresden
Fakultät Elektrotechnik und Informationstechnik
Institut für Regelungs- und Steuerungstheorie
R S T
Anleitung für das Regelungstechnische Praktikum
Versuch V 16 : Der Phasenregelkreis als nichtlineares System 2. Ordnung
Versuchsziel : Untersuchung der Einschwingvorgänge des nichtlinearen
analogen PLL
1 Einführung
PSfrag replacements
VA 16
In der Praktikumsanleitung [1] ist die Funktionsweise eines Phasenregelkreises dargestellt
und die eingesetzte Gerätetechnik beschrieben.
U(t) VCO 2
r(t)
y(t)
PD
E(t)
Bild 1: Phasenregelkreis
LF
VCO 3
V (t)
Die nichtlineare Differentialgleichung für den analogen PLL (Einsatz eines Multiplizierers
als Phasenvergleicher) lautet nach [1, Gl.(13)]
mit
und den Werten
T ¨ϕe(t) + ˙ϕe(t) + KLF · KP D · S · sin ϕe(t) = (ωr − ωy0) + T ( ˙ωr − ˙ωy0) (1)
KP D = KArAy
2
, S = ωy − ωy0
, Regler LF : GLF(s) =
V
KLF
1 + sT .
KP D = 5 V, S = 800 · π · V rad
Vs , KLF = 1 , T = 0.5 ms .
Die Frequenz des Signals y(t) ist ωy = S · V + ωy0 mit ˙ωy0 = 0. Die Oszillatoren VCO 2
und VCO 3 sind identisch aufgebaut, d. h. ωr = S · U + ωy0.
Ziel des Praktikumsversuches ist die Untersuchung des Einschwingverhaltens dieses nichtlinearen
Systems.

Praktikumsanleitung VA 16 2
1.1 Diskussion der Differentialgleichung (1)
Die Differentialgleichung (1) läßt sich als System von zwei Differentialgleichungen 1. Ordnung
wie folgt beschreiben
˙x1 = f1(x1, x2) = x2
˙x2 = f2(x1, x2, z) = −αx2 − β sin x1 + z, (2)
mit
x1 = ϕe, x2 = ˙ϕe, α = 1
T > 0, β = KLF KP DS
T
> 0, z(t) = ωr − ωy0
T
Das Verhalten des Systems wird für mehrere Arten der Erregung z(t) untersucht:
+ ˙ωr. (3)
1) Erregung z(t)=0; Systemverhalten aus dem gegebenen Anfangszustand:
d. h. U(t) = 0, ωr = ωy0 . x1(0) = ϕe(0) = ϕr(0) − ϕy(0)
x2(0) = ˙ϕe(0) = ˙ϕr(0) − ˙ϕy(0)
Wir suchen nach „Gleichgewichts“-Lösungen von (2), für die ˙x1 = ˙x2 = 0 gilt. Diese
Lösungen nennen wir GG-Punkte (Gleichgewichts-Punkte) in der Zustandsebene. Die
= k π ; k ∈ Z .
GG-Punkte ergeben sich zu x ss
2
= 0 ; xss
1
Das System wird um x ss linearisiert. Für gerade k erhält man das linearisierte Dgls.
˙ξ = Agξ mit der Jacobi-Matrix
Ag =
∂f1
∂x1
∂f2
∂x1
∂f1
∂x2
∂f2
∂x2
(xss 1 ,xss
=
2 )
0 1
−β −α
für ungerade k erhält man ˙ ξ = Auξ mit der Jacobi-Matrix
Au =
∂f1
∂x1
∂f2
∂x1
∂f1
∂x2
∂f2
∂x2
(xss 1 ,xss
=
2 )
Aus den Nullstellen des charakteristischen Polynoms
folgen die Eigenwerte von Ag
0 1
β −α
det(sI − Ag) = s 2 + αs + β = 0
s1/2 = − α
2 ±
α2 − β .
4
Aus den Nullstellen des charakteristischen Polynoms
folgen die Eigenwerte von Au
det(sI − Au) = s 2 + αs − β = 0
s1/2 = − α
2 ±
α2 + β .
4
Für den Charakter der GG-Punkte gilt
- k gerade: Re s1/2 < 0, also stabiler Knoten- oder Strudelpunkt,
- k ungerade: s1 < 0 < s2, also Sattelpunkt .
, (4)
. (5)

ag replacements
Praktikumsanleitung VA 16 3
Bild 2 zeigt den nichtlinearen Fluß für einen Ausschnitt der Zustandsebene (Simulation
mit MATLAB):
x2 = ˙ϕe
2π [Hz]
3000
2000
1000
0
−1000
−2000
−3000
−3 −2 −1 0 1 2 3
x1 = ϕe
π
Bild 2: Trajektorienverläufe für z(t) = 0,
2) Konstante Erregung z(t) = const. = γ
a) Es soll gelten: γ
β
< 1, d. h. U < 5 V
γ
β
= 0, d. h. U = 0 V
Es gibt Gleichgewichtslösungen von (2) für die ˙x1 = ˙x2 = 0 gilt. Die GG-Punkte sind
x ss1 = (x ss1
1 ; x ss1
2 ) = arcsin γ
+ 2kπ; 0
β
x ss2 = (x ss2
1 ; x ss2
2 ) = arcsin γ
+ (2k + 1)π; 0
β
wobei k ∈ Z .
Das um x ss linearisierte System lautet ˙ ξ = Aξ mit der Jacobi-Matrix
A =
∂f1
∂x1
∂f2
∂x1
∂f1
∂x2
∂f2
∂x2
(xss 1 ,xss
=
2 )
0 1
−β cos xss 1 −α
.

Praktikumsanleitung VA 16 4
Wegen
gilt für x ss1
Wegen
gilt für x ss2
cos arcsin γ
β
A1 =
+ 2kπ = 1 −
0 1
− β 2 − γ 2 −α
cos arcsin γ
+ (2k + 1)π = − 1 −
β
A2 =
0 1
β 2 − γ 2 −α
Aus den Nullstellen des charakteristischen Polynoms
folgen die Eigenwerte von A1
bzw. aus den Nullstellen von
die Eigenwerte von A2
2 γ
; k ∈ Z
β
.
2 γ
; k ∈ Z
β
.
det(sI − A1) = s 2 + αs + β 2 − γ 2 = 0
s1/2 = − α
2 ±
α 2
4 − β 2 − γ 2 ,
det(sI − A2) = s 2 + αs − β 2 − γ 2 = 0
s1/2 = − α
2 ±
α2 4 + β2 − γ2 .
Für den Charakter der GG-Punkte gilt
- k gerade: Re s1/2 < 0, also stabiler Knoten- oder Strudelpunkt,
- k ungerade: s1 < 0 < s2, also Sattelpunkt . Bild 1 zeigt den nichtlinearen Fluß für einen
Ausschnitt der Zustandsebene (Simulation mit MATLAB). Die Strudel- bzw. Sattelpunkte
sind um den Betrag ∆ = arcsin U gegenüber den GG-Punkten für z = 0 (s. Bild 2)
5 V
verschoben.
b) Es soll gelten: γ
β
= 1, d. h. U = 5 V
Die GG-Punkte aus a) verschmelzen miteinander (Strudelpunkt mit Sattelpunkt). Bild 4
zeigt den nichtlinearen Fluß für einen Ausschnitt aus der Zustandsebene.

frag replacements
frag replacements
Praktikumsanleitung VA 16 5
x2 = ˙ϕe
2π [Hz]
x2 = ˙ϕe
2π [Hz]
3000
2000
1000
0
−1000
−2000
−3000
3000
2000
1000
−1000
−2000
−3000
−3 −2 −1 0 1 2 3
x1 = ϕe
π
Bild 3: Trajektorienverläufe für z(t) = 0,
0
γ
β
= 0.5, d. h. U = 2.5 V
−3 −2 −1 0 1 2 3
x1 = ϕe
π
Bild 4: Trajektorienverläufe für z(t) = 0, = 1, d. h. U = 5 V
γ
β

Praktikumsanleitung VA 16 6
Genau eine Trajektorie führt in den GG-Punkt (s. Bild 5).
PSfrag replacements
PSfrag replacements
x2 = ˙ϕe
2π [Hz]
200
150
100
50
0
−50
−100
−150
−200
0.3 0.35 0.4 0.45 0.5 0.55 0.6 0.65 0.7
x1 = ϕe
π
Bild 5: Ausschnitt aus Bild 4 mit
γ
β
= 1, d. h. U = 5 V
Zur Veranschaulichung des Übergangs ist weiterhin in den Bildern 6 bzw. 7 der nichtlineare
γ
= 0.99, d. h. U = 4.97 V bzw. γ
= 1, d. h. U = 5 V dargestellt.
Fluß um x1 = π
2 für
x2 = ˙ϕe
2π [Hz]
1000
800
600
400
200
0
−200
−400
−600
−800
−1000
β
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
x1 = ϕe
π
γ
β = 0.99, d. h. U = 4.97 V
Bild 6: Trajektorienverläufe für z(t) = 0,
c) Es soll gelten: γ
β
> 1, d. h. U > 5 V
Das Gleichungssystem (2) hat keine endlichen Lösungen für ˙x1 = 0 , ˙x2 = 0 und folglich
auch keine GG-Punkte in einem endlichen Ausschnitt der Zustandsebene. Bild 8 zeigt den
nichtlinearen Fluß für γ
β
= 1.5, d. h. U = 7.5 V
β

PSfrag replacements
g replacements
Praktikumsanleitung VA 16 7
x2 = ˙ϕe
2π [Hz]
3000
2000
1000
x2 = ˙ϕe
2π [Hz]
0
−1000
−2000
−3000
1000
800
600
400
200
0
−200
−400
−600
−800
−1000
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
x1 = ϕe
π
Bild 7: Trajektorienverläufe für z(t) = 0,
γ
β
= 1, d. h. U = 5 V
−3 −2 −1 0 1 2 3
x1 = ϕe
π
Bild 8: Trajektorienverläufe für z(t) = 0, = 1.5, d. h. U = 7.5 V
γ
β

Praktikumsanleitung VA 16 8
Aufschlußreich ist hier die Diskussion der Isoklinen. Für die Isokline mit dem Anstieg c
kann man notieren
c = ˙x2
˙x1
= d x2
d x1
= −αx2 − β sin x1 + γ
x2
x2 = γ β
−
α + c α + c sin x1 .
Für fest gewählte Werte von c stellt (6) eine verschobene Sinusfunktion dar. Der Graph
der Funktion (6) liegt vollständig in der oberen Halbebene (c > 0).
1.2 Experimentelle Untersuchung der Trajektorienverläufe
Mit dem PLL nach Bild 1 kann man zwei Arten von Experimenten durchführen:
a) sprungförmige Änderung der Phase ∆ϕr von r(t) zum Zeitpunkt t = t0
bei U = const. < 5 V mit z(t) = ωr − ωy0
+ ˙ωr =
T
S
U = const. .
T
Der Startpunkt der dazugehörigen Trajektorie liegt bei
x2 = ˙ϕe = 0 und x1 = ϕe = x ss
1 + ∆ϕr .
Dieses Experiment ist mit der zur Verfügung stehendem Gerätetechnik nicht möglich.
b) sprungförmige Änderung der Frequenz von r(t) durch einen Spannungssprung
∆U(t) = U0 · 1(t − t0) .
Wir betrachten den Fall t0 = 0 ; U(−0) = 0 , U(+0) = U0 .
Damit gilt
z(t) = S
T U0 · 1(t) + S · U0 · δ(t) .
Startwert für x1:
Die Phase von r(t) springt nicht, deshalb gilt x1(+0) = x1(−0) = ϕe(0) = 0, da der
GG-Punkt xss 1 für z = 0, (d. h. U = 0 V) bei 2kπ, k ∈ Z liegt.
Startwert für x2:
Die δ-Funktion für ˙ωr bewirkt einen Startwert x2(+0) = ˙ϕe(+0) > 0 . Zur Berechnung
des Startwertes x2(+0) der Trajektorie wird die Dgl. vgl. (2)
˙x2 = −αx2 − β sin x1 + z
in den Grenzen von t = −0 bis t = +0 integriert. Da x2, x1, α und β endlich sind,
erhält man wegen x2(−0) = 0 und
+0
+0
x2(+0) − x2(−0) = ˙x2(τ)dτ = z(τ)dτ = S · U0
als Startwert
−0
−0
x2(+0) = S · U0 .
Der Startwert der Trajektorie ist also x(t = +0) = x1(+0); x2(+0) =
0; S · U0 .
Bild 9 zeigt einen Ausschnitt der Zustandsebene mit den Trajektorien (fett gezeichnet)
für einen Phasensprung von ∆ϕr = − π bei U(t) = 3 V sowie einen Frequenzsprung ∆ωr
4
mit U0 = 3 V .
(6)

PSfrag replacements
Praktikumsanleitung VA 16 9
x2 = ˙ϕe
2π [Hz]
1500
1000
500
0
−500
−1000
−1500
−0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9
x1 = ϕe
π
Bild 9: Trajektorien für Phasensprung ∆ϕr bei U(t) = 3 V und Frequenzsprung ∆ωr mit
U0 = 3 V
PSfrag replacements
Wenn der Frequenzsprung ∆ωr zu groß wird, rastet der PLL aus. Bild 10 zeigt zwei
Trajektorienverläufe im Grenzbereich U0 ≈ 3.12 V.
x2 = ˙ϕe
2π [Hz]
1500
1000
500
0
−500
−1000
−1500
−0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9
x1 = ϕe
π
Bild 10: Trajektorien für Frequenzsprünge ∆ωr mit U0 = 3.1 V (bleibt eingerastet) und
U0 = 3.15 V (rastet aus)

Sfrag replacements
Praktikumsanleitung VA 16 10
Bei der Ableitung der Gleichungen (1) und (2) wurde davon ausgegangen, daß der Regler
LF die hohen Frequenzen ωH = ωr + ωy vollständig unterdrückt. Tatsächlich bleibt eine
Restwelligkeit erhalten, so daß die am Versuchsstand zu messenden Trajektorienverläufe
mit einer „Wellenbewegung“ überlagert sind (s. Bild 11, Simulation mit MATLAB).
x2 = ˙ϕe
2π [Hz]
1500
1000
500
0
−500
−1000
−1500
−0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9
x1 = ϕe
π
Bild 11: Trajektorie des realen Systems (fett) für Frequenzsprung ∆ωr mit U0 = 3 V
Literatur
[1] Praktikumsanleitung VA 7: Phasenregelkreis (phase locked loop: PLL). TU Dresden,
Institut für Regelungs- und Steuerungstheorie 2007.
[2] Reinschke, K.: Skript zur Vorlesung „ NichtlineareRegelungssysteme “. TU Dresden,
Institut für Regelungs- und Steuerungstheorie 2002.
2 Versuchsaufbau
Für die Durchführung des Praktikumsversuches steht ein gerätetechnischer Aufbau nach
Bild 12 zur Verfügung, der auf einem Modellregelkreis MRK 931 realisiert wird. Die einzelnen
Übertragungsglieder bedeuten:
- VCO 1 Generator für U(t)
- VCO 2 VCO zur Erzeugung von r(t)
- M Analogmultiplizierer zur Erzeugung von E(t)
- LF Regler im PLL, GLF (s) = KLF
1+sT
- VCO 3 VCO zur Erzeugung von y(t)
- PD digitaler Phasendetektor (Prinzip s. [1]) erweiterter Messbereich |emax| = 4 · 2π
- TP Tiefpass höherer Ordnung
- GD(s) Differenzierglied GD(s) = K sTV
1+sTV
Zur Unterdrückung der höherfrequenten Signalanteile (s. z. B. Bild 11) stehen weitere
Tiefpässe TP zur Verfügung.

g replacements
Praktikumsanleitung VA 16 11
VCO 1
U(t) VCO 2 r(t)
M
y(t)
3 Versuchsvorbereitung
E(t)
LF
PD TP
VCO 3
Bild 12: Experimentieraufbau Phasenregelkreis
V (t)
e(t) GD(s)
3.1 Veranschaulichen Sie sich die Wirkungsweise des Experimentieraufbaus Phasenregelkreis.
Weshalb wird der Tiefpass TP unbedingt benötigt?
3.2 Bild 13 zeigt die Trajektorie bei einem Frequenzsprung ωr für U(t) = 2 V·1(t) . Wenn
U(t) von -2 V auf +2 V springen würde, d. h. U(t) = −2 V+4 V·1(t) gilt, bliebe dann
der PLL im eingerasteten Zustand? Zeichnen Sie qualitativ die zugehörige Trajektorie
in Bild 13 ein.
x2 = ˙ϕe
2π [Hz]
3000
2000
1000
0
−1000
−2000
−3000
−0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
x1 = ϕe
π
Bild 13: Trajektorien für U0 = 2 V
˙e(t)

Praktikumsanleitung VA 16 12
4 Versuchsdurchführung
Realisieren Sie mit den zur Verfügung stehenden Baugruppen einen geschlossenen Phasenregelkreis
nach Bild 12 (KLF = 1, T = 0, 5 ms). Da die VCO 2 und VCO 3 nicht exakt
gleiche Eigenschaften haben, ist es sinnvoll zum Ausgleich auf das Signal U(t) eine kleine
Gleichspannung (einige mV) zu addieren ) ∗ .
Stellen Sie die Signale U(t) und V (t) sowie e(t) und ˙e(t) auf dem Oszilloskop sowie mit
dem Rechner dar. Vergleichen Sie die Messergebnisse bei Verwendung von e(t) oder e(t)
e(t) berechnet aus U(t) und V (t) . Betrachten Sie die Messkurven sowohl im x,t-Diagramm
als auch im xy-Diagramm.
4.1 Variieren Sie das Signal r(t) in der Frequenz (VCO 1 verwenden, U(t) als Rechteckund
Dreieckschwingung). Betrachten Sie U(t) und V (t). Symmetrieren Sie das Ausrastverhalten
siehe ) ∗ . Variieren Sie dabei die Frequenz von VCO 1.
4.2 Stellen Sie U(t) als rechteckförmige Signalform ein (d. h. für das Experiment gilt
z(t) = const.). Betrachten Sie U(t) und V (t) sowie e(t) und ˙e(t).
4.3 Stellen Sie U(t) als dreieckförmige Signalform ein. Variieren Sie die Amplitude von
U(t) so, dass der Haltebereich nicht verlassen wird bzw. sich ein periodisches Ein- und
Ausrasten der PLL ergibt. Diskutieren Sie die Oszillogramme wie bei Aufgabe 4.2.
5 Versuchsauswertung
Diskutieren Sie die Oszillogramme vergleichend mit den Bildern 2 bis 11.
Kennzeichnen Sie in den Messungen nach 4.2 und 4.3 gleiche Zeitabschnitte in den Diagrammen
von U(t) bzw. V (t) (x,t-Diagramm) und ˙e(t) = f e(t) (xy-Diagramm).
PC-Programm zur Messwerterfassung:
Das Programm ist in der Programmiersprache LabVIEW geschrieben und wie das Programm
für V 7 aufgebaut. Es gestattet die Messung von sechs Signalen, entweder
das Eingangssignal des VCO 2 U(t) und das Eingangssignal des VCO 3 V (t) bzw.
das Ausgangssignal des VCO 2 r(t) und das Ausgangssignal des VCO 3 y(t) oder
die gemessene Phasendifferenz e(t) und deren Ableitung ˙e(t)
mit einer Abtastrate von 100 kHz.
Zusätzlich kann die Phasendifferenz e(t) und deren Ableitung ˙e(t) aus den Signalen U(t)
und V (t) berechnet werden. Es gilt für r(t) mit ϕ = 2π fdt = 2π f0 + S · U(t) dt
( f0 → Mittenfrequenz für U = 0)
U(t)
e(t) = 2πS − V (t) dt
Diese Signale lassen sich als Zeitfunktionen (x,t-Diagramm) oder im xy-Diagramm
V = f(U) bzw. y = f(r) oder ˙e = f(e) bzw, ˙ e = f(e) darstellen.
Die Auswahl der Signale erfolgt über den Software-Schalter „Messregime“.
Die gemessenen Signale können in zwei Diagrammen gespeichert und zusammen mit einem
Kommentar ausgedruckt werden.
August 2007 (Dr. Badelt)