Wurzeln einer Matrix - Fachgruppe Computeralgebra

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Computeralgebra-Rundbrief 

Nr. 48 März 2011 

Inhaltsverzeichnis 

Inhalt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 

Impressum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 

Mitteilungen der Sprecher . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 

Bericht des scheidenden Vorsitzenden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 

Tagungen der Fachgruppe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 

Themen und Anwendungen der Computeralgebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 

Code-Generierung für die numerische Auswertung von mathematischen Ausdrücken mit haggies 

(Thomas Reiter) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 

Verifikation digitaler Systeme mit POLYBORI – Ein Fallbeispiel 

(Michael Brickenstein, Alexander Dreyer) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 

Computeralgebra in der Schule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 

Wurzeln einer Matrix (Jörg Meyer) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 

Computeralgebra in der Lehre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 

Computereinsatz in der Veranstaltung Didaktik der Analytischen Geometrie und Linearen Algebra 

(Hans-Wolfgang Henn, Frauke Link) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 

Publikationen über Computeralgebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 

Besprechungen zu Büchern der Computeralgebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 

Borwein, Devlin: Experimentelle Mathematik: Eine beispielorientierte Einführung (Gehrt Hartjen) . . . . . 23 

Promotionen in der Computeralgebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 

Berichte von Konferenzen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 

Hinweise auf Konferenzen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 

Berufungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 

Fachgruppenleitung Computeralgebra 2011-2014 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

Impressum 

Der Computeralgebra-Rundbrief wird herausgegeben von der Fachgruppe Computeralgebra der GI, DMV und GAMM 

(verantwortliche Redakteure: Dr. Michael Cuntz, cuntz@mathematik.uni-kl.de, Dr. Gohar Kyureghyan, gohar.kyureghyan@ovgu.de) 

Der Computeralgebra-Rundbrief erscheint halbjährlich, Redaktionsschluss 15.02. und 15.09. ISSN 0933-5994. Mitglieder der Fachgruppe Computeralgebra 

erhalten je ein Exemplar dieses Rundbriefs im Rahmen ihrer Mitgliedschaft. Fachgruppe Computeralgebra im Internet: 

http://www.fachgruppe-computeralgebra.de. 

Konferenzankündigungen, Mitteilungen, einzurichtende Links, Manuskripte und Anzeigenwünsche bitte an die verantwortlichen Redakteure. 

Die Geschäftsstellen der drei Trägergesellschaften: 

GI (Gesellschaft für 

Informatik e.V.) 

Wissenschaftszentrum 

Ahrstr. 45 

53175 Bonn 

Telefon 0228-302-145 

Telefax 0228-302-167 

gs@gi-ev.de 

http://www.gi-ev.de 

DMV (Deutsche Mathematiker- 

Vereinigung e.V.) 

Mohrenstraße 39 

10117 Berlin 

Telefon 030-20377-306 

Telefax 030-20377-307 

dmv@wias-berlin.de 

http://www.dmv.mathematik.de 

GAMM (Gesellschaft für Angewandte 

Mathematik und Mechanik e.V.) 

Technische Universität Dresden 

Institut für Statik und Dynamik der 

Tragwerke 

01062 Dresden 

Telefon 0351-463-33448 

Telefax 0351-463-37086 

GAMM@mailbox.tu-dresden.de 

http://www.gamm-ev.de

Mitteilungen der Sprecher 

Liebe Mitglieder der Fachgruppe Computeralgebra, 

am 11. Februar 2011 fand die letzte Sitzung der alten Fachgruppenleitung und im Anschluss daran die 

konstituierende Sitzung der neuen Fachgruppenleitung in Kassel statt. Der Wahlleiter Prof. Dr. Wolfram 

Koepf gab das Ergebnis der Wahl bekannt. Es beteiligten sich 75 Mitglieder an der Wahl und gaben 

insgesamt 500 Stimmen ab (maximal 9 pro Wähler), die sich folgendermaßen verteilten: 

Prof. Dr. Eva Zerz Aachen 53 

Prof. Dr. Florian Heß Oldenburg 50 

Prof. Dr. Gunter Malle Kaiserslautern 45 

Prof. Dr. Martin Kreuzer Passau 43 

Dr. Thomas Hahn München 38 

Prof. Dr. Gregor Kemper München 38 

Prof. Dr. Anne Frühbis-Krüger Hannover 35 

Prof. Dr. Elkedagmar Heinrich Konstanz 34 

Prof. Dr. Jürgen Klüners Paderborn 32 

Prof. Dr. Reinhard Oldenburg Frankfurt 32 

OStR. Jan Hendrik Müller Dortmund 31 

Prof. Dr. Hans-Gert Gräbe Leipzig 28 

Dr. Hans Schönemann Kaiserslautern 24 

Dr. Axel Kohnert Bayreuth 18. 

Damit sind die ersten 8 Kandidaten gewählt. Eine Losentscheidung bei Stimmengleichheit von 32 Stimmen 

fiel zugunsten von Jürgen Klüners aus. Damit sind gewählt: Zerz, Heß, Malle, Kreuzer, Hahn, Kemper, 

Frühbis-Krüger, Heinrich und Klüners. 

Als Vertreter der drei Fachgesellschaften wurden benannt: 

Prof. Dr. Ernst W. Mayr (München) von der GI 

Prof. Dr. Wolfram Koepf (Kassel) von der DMV 

Prof. Dr. Klaus Hackl (Bochum) von der GAMM. 

Die weiteren Kandidaten stehen in der Reihenfolge der Stimmenverteilung auf der Nachrückliste. Gemäß 

unserer Ordnung können bis zu drei weitere Fachexperten benannt werden. Es wurden berufen: 

Prof. Dr. Gilbert Greefrath (Köln/Münster) als Fachexperte Lehre und Didaktik 

Prof. Dr. Michael Hofmeister (Siemens AG) als Fachexperte Industrie 

OStR. Jan Hendrik Müller (Dortmund) als Fachexperte Schule. 

Damit ist die neue Fachgruppenleitung für die Amtszeit 2011–2014 komplett. Wir danken den nicht 

gewählten Kandidaten für ihre Bereitschaft, sich zur Wahl zu stellen und sich auch weiterhin für die 

Belange der Fachgruppe Computeralgebra einzusetzen. Gleicher Dank gilt dem Wahlleiter, Wolfram 

Koepf, und seinem Stellvertreter, Ernst W. Mayr, für die Durchführung der Wahl. 

Nach der Entlastung der Sprecher der alten Fachgruppenleitung, Wolfram Koepf und Elkedagmar 

Heinrich, konstituierte sich auf unserer Sitzung die neue Fachgruppenleitung. Die Sitzungsleitung wurde 

von Herrn Koepf übernommen. Frau Zerz wurde einstimmig (bei einer Enthaltung) zur Sprecherin 

der Fachgruppe gewählt. Ebenfalls einstimmig (bei einer Enthaltung) wurde Herr Heß zum Stellvertreter 

gewählt. Danach wurden die Zuständigkeiten der einzelnen Mitglieder der Fachgruppenleitung 

neu festgelegt, die sowohl die entsprechenden Rubriken des Rundbriefs als auch die Außenbeziehungen 

zu Industrie, Schule und Forschung betreffen. Die Kontaktadressen sowie Aufgabenbereiche können Sie 

der Übersicht am Ende dieses Heftes entnehmen. Zusätzlich waren diesmal auch die Aufgabenbereiche 

” Redakteur Rundbrief“ sowie ” Koordinator Internetauftritt“ neu zu vergeben. Für den Rundbrief 

werden zukünftig Dr. Gohar Kyureghyan (Magdeburg) und Dr. Michael Cuntz (Kaiserslautern) gemein- 

5

sam die Aufgaben des Redakteurs wahrnehmen. Für die Internetpräsenz der Fachgruppe wird weiterhin 

Prof. Dr. Hans-Gert Gräbe koordinierend tätig sein. 

Aus der Fachgruppenleitung ziehen sich Hans-Wolfgang Henn und Jörg Meyer zurück. Herr Henn 

war zwölf Jahre und Herr Meyer drei Jahre in der Fachgruppenleitung aktiv, beide haben im Bereich 

Lehre, Didaktik und Schule wichtige Beiträge geleistet. Markus Wessler zieht sich ebenfalls aus der 

Mitwirkung in der Fachgruppenleitung zurück. Herr Wessler hat als Redakteur des Rundbriefs ganz 

wesentlich zu seiner Entwicklung und der heutigen Form beigetragen. An der aktuellen Ausgabe hat er 

noch mitgewirkt und dadurch einen reibungslosen Übergang zum neuen Redaktionsteam ermöglicht. Wir 

danken Herrn Henn, Herrn Meyer und Herrn Wessler für ihr Engagement und wünschen für die Zukunft 

alles Gute. 

Unser Dank gilt schließlich aber auch Herrn Koepf und Frau Heinrich, die sich von ihren Ämtern als 

Sprecher der Fachgruppe zurückziehen. Herr Koepf hatte diese Funktion die vergangenen neun Jahre 

inne, Frau Heinrich drei Jahre. Beide haben sich unermüdlich eingesetzt und waren so maßgeblich am 

Erfolg und der Sichtbarkeit der Fachgruppe Computeralgebra, die zu den größten ihrer Art weltweit 

zählt, beteiligt. Wir treten damit ein großes Erbe an und sind sehr froh, dass Herr Koepf und Frau 

Heinrich durch ihr weiteres Engagement in der Fachgruppenleitung uns noch unterstützend zur Seite 

stehen. Herr Koepf wendet sich an Sie mit Reflektionen über seine Zeit als Sprecher im Anschluss an 

unsere Mitteilungen. 

Wir begrüßen die neuen Leitungsmitglieder Anne Frühbis-Krüger und Jürgen Klüners, die neuen 

Fachexperten Gilbert Greefrath und Jan Hendrik Müller sowie die neuen Redakteure Michael Cuntz 

und Gohar Kyureghyan sehr herzlich in unserer Mitte und freuen uns auf die Zusammenarbeit in den 

kommenden drei Jahren! 

Das Jahr 2010 war für die Computeralgebra in Deutschland durch den Start des Schwerpunktprogramms 

SPP 1489 ” Algorithmische und experimentelle Methoden in Algebra, Geometrie und Zahlentheorie“ 

ein besonderes Jahr. Vom 21. bis 25. Februar 2011 fand nun die erste Schwerpunkttagung mit 

Vorträgen über die im Programm geförderten Projekte in Aachen statt. 

Im Jahr 2011 wird die Fachgruppe wieder eine Fachtagung zur Computeralgebra durchführen. Anders 

als die Fachtagungen der vergangenen Jahre soll diese Tagung einen stärkeren Bezug zum Einsatz 

von Computeralgebra in industriellen Anwendungen haben. Eine Zielsetzung ist es dabei, den Austausch 

von Vertretern aus Forschung und Industrie zu befördern und so idealerweise neue Anwendungsmöglichkeiten 

oder Forschungsfragen zu eröffnen. Die Tagung ist für den 21. und 22. Juni 2011 in Kaiserslautern 

geplant. Neugierig geworden? Weitere Informationen finden Sie demnächst auf den Webseiten der Fachgruppe. 

Im Rundbrief gibt es ab 2011 eine Rubrik ” Promotionen in der Computeralgebra“, in der mit einer 

kurzen Inhaltsangabe über Dissertationen aus dem deutschsprachigen Raum mit Computeralgebra- 

Bezug berichtet wird. Über die Einsendung von Hinweisen und Informationen zu solchen Promotionen 

sind wir stets dankbar. 

Wir hoffen, Sie mit dem vorliegenden Heft gut zu informieren. 

6 

Eva Zerz Florian Heß

Liebe Mitglieder, 

Bericht des scheidenden Vorsitzenden 

neun Jahre lang durfte ich nun als Sprecher der Fachgruppe Computeralgebra die Geschicke der Fachgruppe 

maßgeblich mitbestimmen, was mir sehr viel Freude bereitet hat. Dennoch habe ich mich entschieden, 

diesmal nicht mehr als Sprecher zu kandidieren. Das Amt des Sprechers ist ein Amt auf Zeit, 

und ein regelmäßiger Wechsel an der Spitze gehört dazu. Es ist zudem auch vernünftig, die vielfältigen 

Tätigkeiten, die sich inzwischen im Sprecheramt akkumuliert haben, nun wieder auf mehrere Schultern 

zu verteilen, und ich bin sehr froh, dass wir mit Eva Zerz als Sprecherin und Florian Heß als Stellvertreter 

ein großartiges Team kompetenter und engagierter Kollegen für die Führung der Fachgruppe gefunden 

haben. Ich wünsche den beiden viel Erfolg! 

Als eine Art Rechenschaftsbericht möchte ich einige wichtige Themen der neun Jahre meiner Amtszeit 

hier in Kürze noch einmal Revue passieren lassen. 

• Vor 2002 war ich als Referent für Lehre und Didaktik zuständig für unsere didaktisch orientierte 

Tagungsreihe in Thurnau (1998 und 2000) und Kloster Schöntal (2002). Diese Tagungsreihe fand 

2004 ihre Fortsetzung in Schönenberg und wurde dann ab 2006 dankenswerterweise von Wolfgang 

Henn weitergeführt (Schönenberg 2006, Soest 2008 und 2010). Inzwischen wird die Tagung 

gemeinsam mit der AKMUI organisiert, s. S. 35. 

• Als neue Aktivität habe ich zu Beginn meiner ersten Amtszeit eine Tagung für Nachwuchswissenschaftler 

vorgeschlagen, die dann 2003, 2005 und 2009 in Kassel und 2007 in Kaiserslautern 

stattfand und sich inzwischen etabliert hat. Auf diesen Tagungen vergeben wir einen Nachwuchspreis, 

der mit 500 e auch finanziell ganz ordentlich ausgestattet ist. 

• Der Rundbrief war in die Jahre gekommen, so dass wir eine Neugestaltung in 

Angriff nahmen, zunächst mit neuem Design (seit Heft 31 von Oktober 2002), 

später mit mehr Farbe und Fotos der Autoren, inzwischen wird der Rundbrief 

komplett in Farbe gedruckt. Wir haben die Rubriken CA in der Schule“ und 

” 

” CA in der Lehre“ voneinander getrennt und in beiden Kategorien viele Beiträge 

veröffentlicht, und seit dem vorliegenden Heft gibt es die neue Rubrik 

” Promotionen in CA“, s. S. 25. Technisch haben wir die Produktion des Rundbriefs 

von LATEX auf pdfLATEX umgestellt. 

Der erste Rundbrief im neuen Layout 

• Seit Ende 2002 hosten wir die Internetseite www.fachgruppe-computeralgebra.de, die 

im Laufe der Zeit in mehreren Schritten weiterentwickelt wurde. Unser erster Webmaster Ulrich 

Schwardmann richtete die Webseite ein. Ulrich Kortenkamp stellte die Seiten dann teilweise auf 

ein Content Management System (CMS) um, und Hans-Gert Gräbe hat nun unseren CMS-Auftritt 

weiterentwickelt. Damit sind prinzipiell alle Mitglieder der Fachgruppenleitung Mitentwickler unseres 

Webauftritts. Als weiteres Werbemittel haben wir einen Flyer entworfen, der nun wieder 

aktualisiert wird. 

• Die Fachgruppe hatte in den 1990er Jahren unter der Leitung von Johannes Grabmeier und Volker 

Weispfenning einen ausführlichen ” Report zur Computeralgebra“ zusammengestellt. Dieser Bericht 

wurde ins Englische übertragen, aktualisiert und im Jahr 2003 von Johannes Grabmeier, Erich 

Kaltofen und Volker Weispfenning als ” Computer Algebra Handbook“ herausgegeben. Ebenfalls 

erschienen zwei deutschsprachige Lehrbücher zum Thema Computeralgebra von Michael Kaplan 

und Wolfram Koepf. 

7

• Ganz sicher eines der Highlights für die Fachgruppe Computeralgebra war 

das Jahr der Mathematik 2008. Unser 80-seitiges Schulsonderheft, für das 

Martin Kreuzer redaktionell verantwortlich war und das wir an alle deutschen 

Gymnasien versandt hatten, wurde sehr gut aufgenommen und ist auch heute 

noch aktuell. Restexemplare des Sonderhefts können sehr gerne bei mir bestellt 

werden. Außerdem fand 2008 unser bundesweiter Schüler-Wettbewerb 

statt. Last but not least war ich zusammen mit Ernst Mayr Herausgeber eines 

Sonderhefts des Informatik-Spektrums, der Mitgliederzeitschrift unserer 

Trägerorganisation GI, in welches einige Artikel aus dem Schulsonderheft 

aufgenommen wurden. 

• Ein weiterer Höhepunkt für die Fachgruppe war die ISSAC 2010 in München. 

Wir mussten uns zwar zweimal bewerben, aber dann wurde es wirklich ernst. 

Ernst Mayr als Local Arrangements Chair, Wolfram Koepf als General Chair, 

Thomas Hahn als Treasurer und Peter Horn als Publicity Chair waren die 

beteiligten Fachgruppenmitglieder, die diese Tagung organisierten. Mit 188 

Teilnehmern war die Tagung sehr gut besucht und auch finanziell war sie recht 

erfolgreich. Einerseits konnten die Tagungsbeiträge vor allem für Nachwuchswissenschaftler 

niedrig gehalten werden, dennoch konnte aufgrund der hohen 

Teilnehmerzahl ein Überschuss erzielt werden. Ein großer Dank gebührt daher 

vor allem Ernst Mayr für die lokale Organisation. 

• So schließt sich der Kreis: Nachdem die Fachgruppe vor allem aufgrund der Aufwendungen im 

Jahr der Mathematik finanziell etwas in die Knie gegangen war, sind die Finanzen nun wieder auf 

dem Stand meines Amtsantritts. 

Die Computeralgebra hat sich als Fachgebiet in Mathematik und Informatik immer stärker etabliert, 

und es ist selbstverständlich geworden, dass Themen der Computeralgebra auf vielen Tagungen eine 

Rolle spielen. Während es vor 20 Jahren noch schwierig war, eine Publikation zu veröffentlichen, in 

welcher Teile der schwierigen Rechnungen von einem CAS durchgeführt wurden, ist dies heute eine 

Selbstverständlichkeit. Ich denke, wir haben viel erreicht, und ich freue mich sehr, dass ich an diesen 

Entwicklungen mitwirken durfte. 

8 

Wolfram Koepf

Tagungen der Fachgruppe 

Industrial Applications and Prospects of Computer 

Algebra, 21.–22. Juni 2011, Kaiserslautern 

http://www.fachgruppe-computeralgebra. 

de/cms/tiki-index.php?page=Tagungen. 

Kaiserslautern-2011 

Im Juni dieses Jahres wird die Fachgruppe erstmalig eine 

Konferenz zu industriellen Anwendungen der Computeralgebra 

austragen, bei der es um die bestehenden 

und zukünftigen Erwartungen geht, die mit einem solchen 

Einsatz verbunden sind. Ziel der Tagung ist, den 

Dialog zwischen den verschiedenen Interessengruppen 

im Umfeld industrieller Anwendungen der Computeralgebra 

zu fördern: 

• Universitäten und Hochschulen, die formale Methoden 

im Umfeld von CA erforschen und zur 

Verfügung stellen, 

• Tool-Provider, die diese Methoden zur Marktreife 

führen, sowie 

• Unternehmen und anwendungsorientierte öffentliche 

Forschungseinrichtungen, die diese Metho- 

den durch Verwendung der Tools bei der Entwicklung 

neuer Produkte zum Einsatz bringen. 

Die Konferenz soll als Forum für alle Interessengruppen 

dienen, nicht nur, um Erfahrungen auszutauschen, sondern 

auch, um die Anforderungen an den industriellen 

Einsatz der Computeralgebra im Unterschied zu anderen 

Einsatzbereichen (wie etwa der Schule und Hochschule) 

zu diskutieren. 

Die Durchführung ist als Wechsel von Beiträgen 

der drei Interessengruppen, begleitet von Ausstellungen 

und Postern geplant. Das Fraunhofer-Institut für 

Techno- und Wirtschaftsmathematik bietet mit seinen 

Räumlichkeiten, seinem Ambiente und seiner Ausrichtung 

an der Schnittstelle zwischen mathematischer Forschung 

und ihrem Transfer in die Anwendungen einen 

idealen Rahmen für diese Veranstaltung. 

Organisiert wird die Konferenz von Mitgliedern 

der Fachgruppenleitung: Frau Frühbis-Krüger kümmert 

sich um das akademische Vortragsprogramm, während 

Herr Hofmeister Ansprechpartner für die Tool-Provider 

und die industriellen Beiträge ist. Herr Malle übernimmt 

die lokale Tagungsorganisation. 

Abdruck des Fotos mit freundlicher Genehmigung des Fraunhofer ITWM, Kaiserslautern 

9

Themen und Anwendungen der Computeralgebra 

Code-Generierung für die numerische Auswertung 

von mathematischen Ausdrücken mit haggies 

Thomas Reiter 

(Nikhef, Amsterdam) 

thomasr@nikhef.nl 

Wechselspiel zwischen symbolischen 

und numerischen Methoden 

In den meisten Fällen bieten Computeralgebrasysteme 

(CAS) dem Benutzer neben symbolischen auch ein gewisses 

Maß an numerischen Werkzeugen. Funktionsplotter 

und numerische Integration sind wohl die bekanntesten 

Anwendungsmöglichkeiten dieser fruchtbaren 

Kombination aus Numerik und symbolischen Methoden, 

aber auch vor der Zahlentheorie, beispielsweise, 

macht der Einzug numerischer Methoden nicht Halt 

(s. Beitrag in Heft 45, [1]). 

In komplizierteren Fällen genügen die eingebauten 

numerischen Werkzeuge des verwendeten CAS nicht 

immer der Problemstellung, sei es weil die im Problem 

vorkommenden Funktionen zu einer schlechten 

Konvergenz der Standardmethoden führen oder weil die 

Geschwindigkeit des CAS nicht ausreicht, um die Ergebnisse 

in einem vertretbaren Zeitaufwand zu berechnen. 

Seltener trifft der Benutzer auf Probleme, bei denen 

die Größe der vorkommenden Ausdrücke und somit 

Speicherplatzbeschränkungen der limitierende Faktor 

für den Einsatz eines CAS ist. 1 

Als Ausweg bleibt häufig, ein CAS für die symbolische 

Generierung und Vereinfachung von mathematischen 

Ausdrücken zu verwenden und diese in eine 

schnelle Programmiersprache zu exportieren, um 

sie in einem dezidierten Programm, wie zum Beispiel 

einer Monte-Carlo-Integration oder einer Minimierungsroutine, 

wiederholt numerisch auszuwerten. 

Zwar bieten die meisten CAS Unterstützung 

für die Generierung von Computer-Code, die in vielen 

Fällen problemlos zum gewünschten Ergebnis 

führen, jedoch bereits der Versuch den Ausdruck 

(a + b) · c für Javas Klasse BigDecimal aufzubereiten 

(a.add(b).multiply(c)) macht dem Benutzer 

die Grenzen der mitgelieferten Exportfunktionen 

deutlich. 

Optimierende Code-Generierung 

Das Programm haggies [5] setzt genau hier an und 

versucht dabei, dem Benutzer auch Formatierungsaufgaben 

abzunehmen, die ansonsten häufig textbasiert mit 

Hilfe von zusätzlichen Skripten erledigt werden, wie 

z. B. die Ersetzung von Operatoren oder Funktionsnamen. 

Dabei setzt das Programm weitestgehend auf 

eine Trennung zwischen Inhalt und Format, also der 

Symbole und Operatoren mit der zugehörigen Typen- 

Information auf der einen und der genauen Formatierung 

der erzeugten Programmdatei auf der anderen Seite. 

Da die vom CAS erzeugten Ausdrücke in den seltensten 

Fällen bereits in einem Format vorliegen, das zu 

einer effizienten numerischen Auswertung führt, nimmt 

das Programm in mehreren Schritten Optimierungen 

vor mit dem Ziel, die Anzahl der Multiplikationen und 

Funktionsaufrufe zu minimieren. Erfahrungsgemäß verbessert 

eine solche Optimierung nicht nur die Laufzeit 

des erzeugten Programms, sondern erhöht auch dessen 

numerische Stabilität. 

Zunächst wendet haggies auf die Eingabeausdrücke 

ein multivariates Horner-Schema [2] an, um 

möglichst viele Symbole auszuklammern. Verbleibende 

Potenzen von Symbolen werden durch binäre Potenzierung 

berechnet, die auf der Binärdarstellung des Exponenten 

beruht; so würde beispielsweise x 11 berechnet 

als x 1+2(1+2(0+2·1)) = x · (x · (x 2 ) 2 ) 2 , also mit fünf 

Multiplikationen. Im multivariaten Fall wird die Effizienz 

dieser Methode gesteigert, indem in Ausdrücken 

wie x 3 y 4 z 5 die Faktoren nicht einzeln potenziert werden 

sondern im Ganzen. So erhält man x 3 y 4 z 5 = (xz)(x · 

(yz) 2 ) 2 , was mit nur sechs (anstatt neun) Multiplikationen 

berechnet werden kann. Im letzten Schritt werden 

temporäre Variablen für gemeinsame Teilausdrücke generiert, 

um deren mehrfache Berechnung zu vermeiden. 

Für alle Optimierungsschritte wurden ausschließlich 

Algorithmen gewählt, die linear mit der Anzahl der Ter- 

1 Nichtsdestotrotz war die ursprüngliche Motivation für das Programm haggies die Verarbeitung großer Ausdrücke. 

10

me skalieren, so dass selbst große Ausdrücke in akzeptabler 

Zeit verarbeitet werden können. 

Nach Abschluss der Optimierung werden anhand 

der Typen der Eingabesymbole und geeigneter Inferenzregeln 

alle generierten Variablen mit Typen versehen, 

um für die Ausgabe die nötigen Variablendeklarationen 

bereitstellen zu können. 

Ein Anwendungsbeispiel 

Im folgenden Beispiel versuchen wir die Lösungen der 

sogenannten Broyden banded function fi innerhalb einer 

vorgegebenen Box B ⊂ R n numerisch zu bestimmen. 

Das zu lösende System ist 

fi = xi(2 + 5x 2 i ) + 1 − 

j∈Ji 

xj(xj + 1) = 0 (1) 

für 1 ≤ i ≤ n und Ji = {j : j = i ∧ max(1, i − 

5) ≤ j ≤ min(n, i + 1)}. Als Verfahren wählen wir 

einen branch and prune Algorithmus [3]. Dabei wird 

die ursprüngliche Box sukzessive halbiert und in jedem 

Schritt jede der neuen Boxen verworfen, die keine 

Lösung zulässt. Ob eine Lösung für eine Box möglich 

ist, kann durch den Einsatz von Intervallarithmetik entschieden 

werden. Dabei werden die xi ∈ R durch die 

Intervalle ˆxi ⊂ R ersetzt, die die Box B = ˆx1 × ˆx2 × 

. . . × ˆxn festlegen. Die Funktionen fi werden ebenfalls 

zu Intervallen ˆ fi, und die Lösung fi = 0 wird ersetzt 

durch die Fragestellung, möglichst kleine Boxen zu finden, 

für die 0 ∈ ˆ fi gilt. 

Zunächst erzeugen wir die zu evaluierenden Ausdrücke 

fi mit einem CAS für ein vorgegebenes n; im 

folgenden Beispiel wurde n = 4 gewählt. 

f1=1+x1*(2+5*x1ˆ2)-x2*(x2+1); 

f2=1+x2*(2+5*x2ˆ2)-x1*(x1+1) 

-x3*(x3+1); 

f3=1+x3*(2+5*x3ˆ2)-x1*(x1+1) 

-x2*(x2+1)-x4*(x4+1); 

f4=1+x4*(2+5*x4ˆ2)-x1*(x1+1) 

-x2*(x2+1)-x3*(x3+1)-x4*(x4+1); 

Für die Implementierung in Java wurde das Paket 

ia math [4] verwendet, das mit den Klassen IAMath 

und RealInterval eine einfach zu verwendende Implementierung 

von Intervallarithmetik bereitstellt. 

haggies benötigt neben der Eingabedatei, die die 

zu übersetzenden Ausdrücke enthält, zwei weitere Dateien: 

Eine Konfigurationsdatei definiert die Eingabesymbole 

und die darauf erklärten Operationen, und eine 

Template-Datei liefert haggies eine Schablone, in die 

der Code für die Berechnung der Ausdrücke eingefügt 

wird. 

Im einfachsten Fall könnte die Programmschablone 

wie folgt aussehen: 

boolean constraint( 

RealInterval x1, RealInterval x2, 

RealInterval x3, RealInterval x4) 

{[% 

@for symbols registers="t%d" %] 

[% type.repr %] [% $_ %];[% 

@end @for %] 

RealInterval f1, f2, f3, f4;[% 

@for instructions registers="t%d" %] 

[% $_ %] = [% expression %];[% 

@end @for %] 

return zero_in(f1) && zero_in(f2) 

&& zero_in(f3) && zero_in(f4); 

} 

Ähnlich den spitzen Klammern in HTML markieren 

[% ...%] Anweisungen, die von haggies verarbeitet 

werden. Den ersten Teil des Programms bildet eine 

Schleife über alle temporären Variablen, die während 

der Optimierung angelegt wurden; dabei legt der Parameter 

registers fest, dass in diesem Beispiel die 

Variablen t1, t2, . . . heißen sollen. Die zweite Schleife 

läuft über alle Anweisungen, die für die Berechnung der 

Ausdrücke ˆ fi nötig sind. Die Variable [% $ %] erhält 

ihre Bedeutung je nach umgebender Schleife und steht 

im ersten Fall für das zu definierende Symbol, im zweiten 

Fall für die linke Seite der Zuweisung. Die Funktion 

zero in muss vom Benutzer bereitgestellt werden und 

prüft, ob die Zahl Null im Intervall enthalten ist. 

Die Konfigurationsdatei beginnt mit der Festlegung 

der Ein- und Ausgabe-Syntax. Dies erledigt der Befehl 

@language Form -> C; 

Dabei wurde die Eingabesprache Form gewählt, die der 

Ausgabe der meisten CAS gerecht werden sollte. Daneben 

existiert die Eingabesprache Mathematica, die 

sich in erster Linie durch den unterschiedlichen Gebrauch 

von runden und eckigen Klammern auszeichnet. 

Als Ausgabesprache wurde C gewählt, da sich C und 

Java bezüglich der Syntax von Ausdrücken nur wenig 

unterscheiden. 2 

Danach wird der einzig vorkommende Datentyp des 

reellen Intervalls definiert. 

@type S = "RealInterval", 

"IAMath.add(%s,%s)", 

"IAMath.sub(%s,%s)", 

"IAMath.uminus(%s)"; 

Innerhalb der Konfigurationsdatei wird der Name S für 

den Typ verwendet. Die rechte Seite der Typendefinition 

enthält den Namen, der für [% type.repr %] 

verwendet wird, gefolgt von den Mustern für Addition, 

Subtraktion und Negation. In vielen Fällen kann diese 

Anweisung wesentlich kürzer ausfallen: Für den Datentyp 

double beispielsweise kann die Angabe der drei 

letzten Argumente entfallen, da für diesen Datentyp die 

Standardoperatoren (+, -) definiert sind. 

Ähnlich lässt sich auch die Multiplikation und Division 

auf den neu definierten Typen deklarieren: 

2 Derzeit stehen als Ausgabesprachen Fortran77, Fortran90, C, Python, Lisp, Mathematica, Maple, Ada und bc zur 

Verfügung. 

11

@operator S * S -> S = 

"IAMath.mul(%s,%s)", 

"IAMath.div(%s,%s)"; 

Der erste Teil der Anweisung besagt, dass die Multiplikation 

eines Objekts vom Typ S mit einem Objekt des 

gleichen Typs wiederum vom Typ S ist. Die rechte Seite 

gibt die Operatoren-Muster an, die für diese Form der 

Multiplikation und Division zum Einsatz kommen und 

kann selbstverständlich entfallen, wenn die Standardoperatoren 

(*, /) zum Einsatz kommen sollen. 

Implizite Typenumwandlungen nimmt haggies 

nur vor, wenn diese vom Benutzer angegeben werden. 

Um beispielsweise eine ganzzahlige Konstante automatisch 

in ein RealInterval-Objekt zu verpacken, gibt 

man die folgende Regel an. 

@coerce @int -> S = 

"new RealInterval(%s.0)"; 

Zuletzt müssen natürlich noch alle Eingabesymbole 

definiert und mit einem Typen versehen werden. Dies 

geschieht mittels der @define Anweisung: 

@define x1,x2,x3,x4 : S; 

@polynomial x1,x2,x3,x4; 

Die letzte Zeile weist haggies an, bei der Anwendung 

des Horner-Schemas die angegebenen Symbole auszuklammern. 

Die Symbole f1, f2, . . . bedürfen keiner Definition, 

da sie lediglich auf der linken Seite der Anweisungen 

vorkommen. 

Der folgende Aufruf von haggies über die 

Kommandozeile setzt voraus, dass das Template 

in template.txt, die Konfigurationsdatei 

in config.txt und die Eingabeausdrücke in 

expression.txt stehen. 

java -jar haggies.jar -n \ 

-t template.txt -c config.txt \ 

-o Test.java expression.txt 

Die Ausgabe erfolgt in die Datei Test.java. Die 

Angabe der Option -n sorgt dafür, dass auch numerische 

Konstanten in temporäre Variablen gespeichert und 

nur einmal ausgewertet werden. Ein kurzer Auszug aus 

dem erzeugten Programm verdeutlicht, dass die korrekte 

Übersetzung bereits relativ einfacher Ausdrücke nicht 

ohne weiteres von Hand bewältigt werden kann, wenn 

die Syntax des Zielprogramms stark von der gewohnten 

mathematischen Notation abweicht: 

t1 = new RealInterval(5.0); 

t2 = new RealInterval(2.0); 

t3 = new RealInterval(-1.0); 

t4 = IAMath.mul((IAMath.sub(t3, 

x2)),x2); 

f1 = IAMath.add(IAMath.add( 

new RealInterval(1.0),t4), 

IAMath.mul((IAMath.add(t2, 

IAMath.mul(IAMath.mul(t1,x1), 

x1))),x1)); 

12 

Zusammenfassung 

Der Einsatz von CAS in der Praxis geht in den meisten 

Fällen über die symbolische Manipulation von Ausdrücken 

hinaus, besonders dann, wenn das Ziel der Arbeit 

eine konkrete Zahl oder die graphische Darstellung 

eines Ergebnisses ist. Vor allem in den Ingenieursund 

Naturwissenschaften kommen aufwändige, numerische 

Verfahren zum Einsatz, die oft über Standardfunktionalität 

von Computeralgebrasystemen hinausreichen. 

Die Schnittstelle zwischen CAS und numerischem Programm 

stellt in der Regel ein Code-Generator dar. 

Der Code-Generator haggies entstand im Rahmen 

eines Projektes für Präzisionsrechnungen in der 

Quantenfeldtheorie. In diesem Projekt werden viele 

große Ausdrücke von zum Teil bis zu mehreren tausend 

Termen mittels CAS erzeugt, die anschließend in 

einer Monte-Carlo-Integration numerisch ausgewertet 

werden. Für die Code-Generierung steht hierbei die Erzeugung 

von möglichst kompakten und schnellen Programmen 

im Mittelpunkt, wobei die Eingabe aus einer 

Vielzahl von Objekten verschiedener Datentypen aufgebaut 

wird wie reellen und komplexen Zahlen, Laurent- 

Entwicklungen und Vektoren. 

Das Beispiel aus dem vorigen Kapitel zeigt, dass 

sich der Einsatz von haggies auch in einfacheren 

Fällen lohnen kann, wo der Optimierungsgedanke in den 

Hintergrund rückt, jedoch die Ausgabesyntax stark von 

der sonst üblichen Infixnotation abweicht. 

Wer sich mit dem Programm vertraut machen will, 

kann ausgehend von den mitgelieferten Beispielprogrammen 

rasch die nötigen Konstrukte erlernen, um 

auch komplexere Aufgaben zu bewältigen. 

Literatur 

[1] David H. Bailey and Jonathan M. Borwein. PS- 

LQ: An algorithm to discover integer relations. 

Computeralgebra-Rundbrief, 45:8–11, Oktober 

2010. 

[2] Martine Ceberio and Vladik Kreinovich. Greedy 

algorithms for optimizing multivariate Horner schemes. 

ACM, 38(1):8–15, March 2004. 

[3] Pascal van Hentenryck, David McAllester, and Dipak 

Kapur. Solving polynomial systems using a 

branch and prune approach. SIAM Journal on Numerical 

Analysis, 34(2), 1997. 

[4] T. Hickey, Z. Qiu, and M.H. van Emden. Interval 

constraint plotting for interactive visual exploration 

of implicitly defined relations. Reliable 

Computing, 6(1), 2000. as part of a special 

issue on Reliable Geometric Computations; 

http://interval.sourceforge.net/ 

interval/java/ia_math/README.html. 

[5] Thomas Reiter. Optimising Code Generation with 

haggies. Comput. Phys. Commun., 181:1301– 

1331, 2010. Programm-Download: http:// 

sourceforge.net/projects/haggies/.

Verifikation digitaler Systeme mit 

POLYBORI – Ein Fallbeispiel 

Michael Brickenstein, Alexander Dreyer 1 

(Mathematisches Forschungsinstitut Oberwolfach, 

Fraunhofer Institut für Techno- und Wirtschaftsmathematik 

(ITWM)) 

brickenstein@mfo.de 

alexander.dreyer@itwm.fraunhofer.de 

Einleitung 

Bei der Entwicklung digitaler Systeme ist ein korrekter 

Entwurf unabdingbar, da sich konzeptionelle Fehler 

vom Reißbrett bis ins fertige Produkt durchziehen. Der 

wohl bekannteste Designfehler dürfte der Pentium-Bug 

aus dem Jahr 1994 sein, siehe [H]. 

Während der Weg von einem gegebenen Design bis 

hin zum fertigen Chip weitestgehend automatisiert ist, 

stellt die vorgeschaltete Eigenschaftsprüfung eine Herausforderung 

dar. Hier kann eine Erfüllbarkeitsanalyse 

Unterschiede zwischen Design und vorgegebener Spezifikation 

ausschließen. Dies ist einfach, wenn beide 

Formulierungen strukturell ähnlich sind. Oft gibt es jedoch 

viele Freiheitsgrade bei der internen Verschaltung. 

Moderne ausgeklügelte Schaltungstopologien, wie sie 

aus Kosten- und Performancegründen eingesetzt werden, 

sind daher schwierig zu verifizieren. 

Entwurf 

n(1)*n(2)+n(3), 

n(1)*n(4)+n(5), 

n(1)*n(6)+n(7), n(34)*n(28)+n(48), 

n(1)*n(8)+n(9), n(34)*n(30)+n(49), 

n(1)*n(10)+n(11), n(50)*n(2)+n(51), 

n(1)*n(12)+n(13), n(50)*n(4)+n(52), n(65)*n(24)+n(77), 

n(1)*n(14)+n(15), n(50)*n(6)+n(53), n(65)*n(26)+n(78), 

n(1)*n(16)+n(17), n(50)*n(8)+n(54), n(79)*n(2)+n(80), n(92)*n(22)+n(103), 

n(1)*n(18)+n(19), n(50)*n(10)+n(55), n(79)*n(4)+n(81), n(104)*n(2)+n(105), 

n(1)*n(20)+n(21), n(50)*n(12)+n(56), n(79)*n(6)+n(82), n(104)*n(4)+n(106), 

n(1)*n(22)+n(23), n(50)*n(14)+n(57), n(79)*n(8)+n(83), n(104)*n(6)+n(107), n(125)*n(6)+n(128), 

n(1)*n(24)+n(25), n(50)*n(16)+n(58), n(79)*n(10)+n(84), n(104)*n(8)+n(108), n(125)*n(8)+n(129), 

n(1)*n(26)+n(27), n(50)*n(18)+n(59), n(79)*n(12)+n(85), n(104)*n(10)+n(109), n(125)*n(10)+n(130), n(149)*n(2)+n(150), 















n(34)*n(24)+n(46), n(65)*n(20)+n(75), n(92)*n(18)+n(101), n(125)*n(2)+n(126), n(142)*n(10)+n(147), n(35)+n(5)+n(169), 


Algebraisches Modell 

Produkt 

Abbildung 1: Algebraische Digital-Verifikation 

c○ Fraunhofer ITWM 

In der formalen Verifikation weist man die Korrektheit 

eines Entwurfs für alle zulässigen Eingaben nach, 

was ab einer gewissen Bitbreite nicht mehr vollständig 

simulierbar ist. Die formalen Methoden waren daher 

1 Gefördert durch die Stiftung Innovation Rheinland-Pfalz. 

13 

schon seit jeher symbolisch: Entscheidungsdiagramme 

[Bry] stellen komplexe Boolesche Funktionen indirekt 

dar, und der DPLL-Algorithmus [DP] führt Backtracking 

über eine Menge von symbolischen Klauseln 

durch. 

Da ist es nur natürlich, auch algebraische Verfahren 

einzusetzen. So nutzten [TV] Idealtheorie, [CEI] kombinierten 

Buchbergers Algorithmus mit Backtracking, 

und [CK] verwendet Gröbnerbasen für die Vorverarbeitung 

kleiner Teilsysteme. Wir gehen in unserem Ansatz 

einen etwas anderen Weg, indem wir eine spezielle 

Form von Entscheidungsdiagrammen (ZDDs, [M]) aus 

der formalen Verifikation direkt in den Gröbnerbasen- 

Algorithmus einbringen. 

All diese Ansätze basieren aber auf einer speziellen 

Polynomklasse: Polynomiale Gleichungen über 

Z2, deren Lösungsmenge selbst wieder auf Werte 

in Z2 eingeschränkt wird. Um dies sicherzustellen, 

fügen wir zusätzlich für jede Unbekannte x die 

Körpergleichung x 2 = x hinzu. Ein Verifikationsproblem 

kann vollständig durch diese und die sogenannten 

Booleschen Polynome beschrieben werden. Letztere 

zeichnen sich durch Koeffizienten aus Z2 aus sowie 

eine Gradschranke von eins pro Variable x, was gerade 

der Bedingung x 2 = x geschuldet ist. Hierfür gibt es 

sehr viele direkte Anwendungsbeispiele aus der formalen 

Verifikation und Kryptoanalysis. 

Ein Boolesches Polynom p lässt sich immer in der 

Form p = x · p1 + p0 für eine Variable x schreiben, 

wobei x nicht in p0 und p1 vorkommt. Indem man die 

Multiplikation mit p1 durchgezogenen und die Addition 

von p0 unterbrochenen Kanten binärer Entscheidungsdiagramme 

zuordnet, kann man p rekursiv in ein 

Entscheidungsdiagramm konvertieren, wie Abb. 2 illustriert. 

Pfade von der Wurzel des Graphen bis zur 1 repräsentieren 

Terme. Hierbei zählen nur Variablen, von 

deren Knoten durchgezogene Pfeile ausgehen. Wie man 

auch sieht, handelt es sich nicht um einen Baum, da 

manche Knoten mehrere Vorgänger haben. Auf diese 

Weise können isomorphe Subgraphen eliminiert werden, 

was die Graphen zum Teil extrem kompakter werden 

lässt.

x 

y y 

0 

Abbildung 2: Entscheidungsdiagramm für das 

Polynom x · (y + z) + y · z; grau bzw. dick 

hervorgehoben ist x · z. 

z 

Das POLYBORI-Framework 

Mathematisch gesehen ist PolyBoRi ein Softwarepaket 

zum Rechnen mit Booleschen Polynomen. Um praxisrelevante 

Probleme analysieren zu können, ist es generell 

notwendig, sowohl bei den verwendeten Datenstrukturen, 

als auch bei den Algorithmen sowie der Modellierung 

Optimierungen durchzuführen und miteinander abzustimmen, 

wie Abb. 3 illustriert. 

Schaltungstopologie 

optimierte, vorgefertigte Bauteile 

Variablenordnung 

Modell 

Algorithmus 

Datenstruktur 

1 

Übersetzung in Boolesche Polynome 

Kryptoattacken mit einem oder mehreren 

Klar-/Schlüsseltextpaaren 

Buchberger Skripte 

Polynom 

ZDD 

Matrizen 

geeignete Blockordnung 

Abbildung 3: POLYBORI Framework 

F4 

Python 

Technisch gesehen besteht die Software aus vielen 

Einzelkomponenten, die wir in Python and C++ implementiert 

haben. Dabei bauen wir vor allem auf zwei mathematischen 

Bibliotheken: 

1. CUDD, für ZDDs [S], 

C++ 

2. libM4RI, für asymptotisch schnelle lineare Algebra 

über Z2 [AB]. 

Als Benutzerschnittstelle bieten wir zwei Shells an, 

die auf IPython aufsetzen: unsere eigene Minishell 

(ipbori) und die des Computeralgebrasystems 

Sage [St]. Die Sage-Integration wurde von Burcin Erocal 

und Martin Albrecht implementiert. Zusätzlich wird 

es in der nächsten Version des Computeralgebrasystems 

SINGULAR [DGPS] die Möglichkeit geben, POLYBO- 

RI nachzuladen und vom SINGULAR-Interpreter aus zu 

bedienen. 

Wir zeigen hier beispielhaft die Berechung einer 

lexikographischen Gröbnerbasis in dem standardmäßig 

vordefinierten Booleschen Ring mit den Variablen 

x(i). 

14 

In [1]: groebner_basis([x(1)+x(2),\ 

(x(2)+x(1)+1)*x(3)]) 

Out[1]: [x(1) + x(2), x(3)] 

Hierzu stehen mehrere Varianten zur Verfügung. 

Diese können sowohl über Optionen des Befehls 

groebner basis angesteuert als auch im Baukastenprinzip 

zu neuen Routinen zusammengesetzt werden. 

Neben der lexikographischen Monomordnung beherrscht 

POLYBORI noch einige Grad- und Blockordnungen. 

Im Gegensatz zu herkömmlichen Computeralgebrasystemen 

verändern diese Ordnungen nicht die 

Datenstrukturen, d. h. die zugrundeliegenden Diagramme 

bleiben lexikographisch geordnet. Während dies für 

die Addition und Multiplikation unerheblich ist, sind 

ordnungsabhängige Operationen – wie die Leitmonomberechnung 

– relativ schwierig. 

Digitale Systeme 

In der Digitaltechnik stellen Multiplizierer, also 

Bausteine, die die Multiplikation zweier Worte 

durchführen, eine besondere Herausforderung dar. Als 

unser Projekt startete, gelang der Gröbner-basierte 

Äquivalenzvergleich gerade mal bei Bitbreiten von vier. 

Um dies zu verbessern genügte nicht nur eine schnelle 

Arithmetik. Wir brauchten noch mehr . . . 

Das computeralgebraische Systemmodell sollte 

nicht nur die Eingangs-/Ausgangsrelationen der Komponenten 

beschreiben, sondern auch möglichst viele der 

digitaltechnischen Zusammenhänge beinhalten. Die Signale 

werden als Nullstellen von Polynomen modelliert, 

wie aber kann man mit Algebra einen Signalpfad 

ausdrücken? Wie die Abfolge der Signale? Unsere 

Lösung war es, diese Abhängigkeit der Signale 

in die Variablenreihenfolgen innerhalb der Monomordnung 

einzukodieren. Rein computeralgebraisch braucht 

man nur irgendeine geeignete Ordnung, um zu bestimmen, 

ob ein System von Gleichungen Lösungen enthält. 

Magischerweise vereinfacht sich die Gleichungsstruktur 

durch den digitaltechnischen Sinn. Auf einmal entspricht 

der Leitterm einer Komponentengleichung genau 

der Ausgangsvariablen. Das Gesamtsystem ist dann 

in der Form 

F = {xi + fi(xi+1, . . . , xn) | i ∈ I} ∪ 

{x 2 1 + x1, . . . , x 2 n + xn}. 

für eine geeignete Menge I ⊂ {1, . . . , n} gegeben. Mit 

dem klassischen Produktkriterium und der einfachsten 

Form eines neuen Kriteriums [BD] können wir direkt 

zeigen, dass es sich hier um eine (nicht minimale) lexikographische 

Gröbnerbasis handelt. 

Es verbleibt noch das Polynom, das die zu 

überprüfende Aussage aus der Spezifikation darstellt, 

in unserem Beispiel Äquivalenz zweier Multiplizierer. 

Diese ist erfüllt, wenn sie bezüglich der Schaltungsgleichungen 

zu null reduziert. Wir müssen aber keine 

allgemeine Normalform mehr berechnen, sondern eine 

gegen ein einfaches, relativ kompaktes System mit 

sehr speziellen Eigenschaften. Hierfür können wir sehr

schöne Normalformalgorithmen direkt auf Entscheidungsdiagrammen 

entwickeln. Diese Normalformalgorithmen 

behandeln auch gar nicht mehr individuelle Terme, 

sondern nur noch die Diagrammstruktur, so dass 

auch Zwischen- und Endergebnisse mit extrem vielen 

Termen gut handhabbar sind, solange die Diagramme 

klein bleiben. Das erfordert natürlich, dass die entsprechenden 

Algorithmen nicht auf den einzelnen Termen 

operieren. Doch so einfach hat sich der Multiplizierer 

nicht geschlagen gegeben. Wir haben noch ein paar neue 

Techniken gebraucht, um unsere Beispiele zu knacken. 

In der Tat entfalten zwei unserer Verbesserungen ihr Potential 

erst im Zusammenspiel. 

Die erste war rein technisch: Wir hatten die Normalform 

über einen rekursiven Algorithmus beschrieben, 

bei dem in jedem Rekursionsschritt eine Variable 

entfällt. Unser neuer Algorithmus sollte weniger rekursive 

Aufrufe beinhalten. Die ersten Ergebnisse waren 

nicht vielversprechend. 

Davon unabhängig versuchten wir die Systeme besser 

zu verstehen. Wir wollten Polynome, deren Entscheidungsdiagramm 

schön kompakt ist. 

a2 

b0 

b1 

a1 

a2 

0 

a0 

b0 

b2 

a1 

a2 

(a) alphabetisch 

a2 

b0 

b1 

1 

b0 

b2 

a2 

0 

a1 

b1 

b2 

a0 

b0 

b1 

(b) optimiert 

Abbildung 4: Übertrag eines 3-Bit Addierers bei 

verschiedenen Variablenreihenfolgen 

Im einfacheren Fall von Addierern hatten wir das in 

Handarbeit schon einmal geschafft. Abbildung 4 zeigt 

Diagramme für den Übertrag einer Addition für verschiedene 

Sortierungen der Entscheidungsvariablen. Alle 

Variablen dieses Graphen entsprechen Eingängen, so 

dass das oben beschriebene Verfahren, die Variablen 

nach ihrer Abhängigkeit zu sortieren, deren Reihenfolge 

offen lässt. 

Für Addierer und Übertragsbits fanden wir eine allgemeine 

mathematische Bedingung [Bri]. Übertragen 

auf den Multiplizierer waren die praktischen Ergebnisse 

zunächst desaströs. Für einen 10 × 10 Multiplizierer 

bekamen wir überhaupt kein Ergebnis mehr. In einer ruhigen 

Stunde kombinierten wir die beiden Verbesserungen. 

Heraus kamen die Ergebnisse von Tabelle 1. 

1 

15 

Zeit EinVaria- Eingaben/ 

gängeblen Sekunde 

8 × 8 0.07 16 204 940000 

10 × 10 0.14 20 314 7500000 

16 × 16 23.65 32 768 180000000 

Tabelle 1: Äquivalenzvergleich Multiplizierer 

Wir konnten den 16 × 16 Multiplizierer in 24 Sekunden 

auf einem MacBook Pro 2.5 GHz Core Duo 2 verifizieren. 

In Tabelle 1 haben wir auch die Anzahl möglicher 

Eingaben (2 32 = 4 294 967 296 für einen 16 × 16 Multiplizierer) 

mit der Zeit verglichen. Bei einem Simulator 

ist dieser Quotient konstant, was für ein exponentielles 

Wachstum steht. Bei uns verbessert sich der Quotient 

vom kleinsten zum größten Beispiel auf 200. Empirisch 

wächst die Zeit in den komplexeren Beispielen 

also nicht exponentiell. 

Ausblick 

POLYBORI hat gezeigt, dass es echte Verifikationsprobleme 

lösen kann. Zusammen mit anderen formalen 

Ansätzen betreten wir hier gerade das neue Gebiet der 

industriellen Algebra. 

Literatur 

[AB] M. Albrecht und G. Bard. The M4RI Library 

– Version 20080901. The M4RI Team, 2008. 

http://m4ri.sagemath.org. 

[BD] M. Brickenstein und A. Dreyer. PolyBoRi: A 

framework for Gröbner-basis computations with 

Boolean polynomials. Journal of Symbolic Computation, 

44(9):1326–1345, 2009. ISSN 0747- 

7171. doi: 10.1016/j.jsc.2008.02.017. Effective 

Methods in Algebraic Geometry. 

[Bri] M. Brickenstein. Boolean Gröbner bases – Theory, 

Algorithms and Applications. PhD thesis, University 

of Kaiserslautern, Germany, 2010. 

[Bry] R. E. Bryant. Graph-based algorithms for Boolean 

function manipulation. IEEE Transactions on 

Computers, 35(8):677–691, 1986. 

[CEI] M. Clegg, J. Edmonds und R. Impagliazzo. 

Using the Groebner basis algorithm to find proofs 

of unsatisfiability. Proceedings of the Twentyeighth 

Annual ACM Symposium on the Theory of 

Computing, pages 174–183, 1996. 

[CK] C. Condrat und P. Kalla. A Gröbner basis approach 

to CNF-formulae preprocessing. In Tools 

and Algorithms for the Construction and Analysis 

of Systems, volume 4424 of Lecture Notes in Computer 

Science, pages 618–631. Springer, 2007. doi: 

10.1007/978-3-540-71209-1 48.

[DGPS] W. Decker, G.-M. Greuel, G. Pfister und 

H. Schönemann. SINGULAR 3-1-2 – A computer 

algebra system for polynomial computations. 

2010. http://www.singular.uni-kl. 

de. 

[DP] M. Davis und H. Putnam. A computing procedure 

for quantification theory. J. ACM, 7(3):201–215, 

1960. ISSN 0004-5411. doi: 10.1145/321033. 

321034. 

[H] T. R. Halfhill. An error in a lookup table created 

the infamous bug in Intel’s latest processor. BYTE, 

Mar. 1995. 

[M] S. Minato. Zero-Suppressed BDDs for Set Manipulation 

in Combinatorial Problems. pages 272– 

16 

277, 1993. 

[S] F. Somenzi. CUDD: CU decision diagram 

package. University of Colorado at Boulder, 

2005. http://vlsi.colorado.edu/ 

˜fabio/CUDD/. Release 2.4.1. 

[St] W. Stein et al. Sage Mathematics Software (Version 

3.3). The Sage Development Team, 2009. 

http://www.sagemath.org. 

[TV] Q. Tran und M. Y. Vardi. Groebner bases computation 

in Boolean rings for symbolic model 

checking. In MOAS’07: Proceedings of the 18th 

conference on Proceedings of the 18th IASTED International 

Conference, pages 440–445, Anaheim, 

CA, USA, 2007. ACTA Press.

Wurzeln einer Matrix 

Jörg Meyer 

(Studienseminar Hameln) 

J.M.Meyer@t-online.de 

Computeralgebra in der Schule 

Zusammenfassung 

Mit Hilfe eines CAS werden n-te Wurzeln einer Matrix berechnet. Die Methode wird zwar zweidimensional 

vorgeführt, ist aber auf höhere Dimensionen verallgemeinerbar. 

Einleitung 

Es sei M eine zweireihige Matrix und P ein Punkt des 

R 2 . Die Bahn M n · P für n = 0, 1, 2, . . . besteht aus 

diskreten Punkten. Da diese häufig nicht ” dicht“ liegen, 

kann man vom Verhalten von M gar keinen rechten 

Eindruck gewinnen. Schön wäre es, wenn es Zwi- 

schenpunkte gäbe. Man wird annehmen, dass der Zwi- 

schenpunkt zwischen P und M · P durch M 1 

2 · P beschrieben 

werden kann. Einen noch besseren Eindruck 

des Verhaltens von M bekommt man, wenn man nicht 

nur M 1 

2 ·P , sondern beispielsweise sogar die Punktfolge 

M 1 

21 ·P, M 2 

21 ·P, . . . , M 20 

21 ·P betrachtet. Dies führt zur 

Frage: Wie zieht man Wurzeln aus Matrizen? Zu dieser 

Frage gelangt man auch, wenn man sich überlegt, welche 

Rechenoperationen für Matrizen sinnvoll sind. 

Bei zweireihigen Matrizen gibt es drei Fälle: Beide 

Eigenwerte sind reell und verschieden; beide Eigenwerte 

sind gleich groß; beide Eigenwerte sind konjugiert 

komplex. 

Beide Eigenwerte sind reell und 

verschieden 

Die beiden Eigenwerte seien λ1, λ2, und V1, V2 seien 

zugehörige Eigenvektoren. 

Bildet man die aus den Eigenvektoren bestehende 

Matrix T = (V1 | V2) sowie die Diagonalmatrix 

D = diag(λ1, λ2), so gilt einerseits 

und andererseits 

M · T = M · (V1 | V2) 

= (M · V1 | M · V2) 

= (λ1 · V1 | λ2 · V2) 

T · D = (V1 | V2) · D = (λ1 · V1 | λ2 · V2), 

17 

zusammen also 

M = T · D · T −1 . 

Mit Hilfe dieser Formel kann man erstens zu vorgegebenen 

Eigenwerten und Eigenvektoren die zugehörige 

Matrix bestimmen, zweitens aber vermöge 

M 1 

 

n = T · diag 

λ 1 

n 

1 

 

1 

n , λ2 · T −1 

aus M die n-te Wurzel ziehen. Im vorliegenden Kontext 

ist es sinnvoll, sich auf reelle Wurzeln zu beschränken; 

gegebenenfalls muss also n ungerade sein. 

0,4 0,3 

Beispiel: M = 

hat die Eigen- 

−0,3 −0,6 

werte λ1 = 0,3 und λ2 = −0,5; zugehörige Eigenvek- 

toren sind 

V1 = 

−3 

1 

 

und V2 = 

1 

−3 

 

−3 

Dann ist T = 

1 

1 

−3 

übernimmt ein CAS; man erhält 

M 1 

 

21 ≈ 

1,183 

−0,717 

0,717 

−1,207 

 

. 

 

. Die Berechnung von M 1 

21 

 

. 

Abb. 1 zeigt die Bahn von M 1 

21 

mit dem An- 

−1 

fangspunkt P = ; die Bahnen von M sind 

−0,2 

durch dickere Punkte kenntlich gemacht. Die beiden Ursprungsgeraden 

sind die beiden Eigenräume. Die Reihenfolge, 

mit der 21√ M · P die Punkte durchläuft, ist 

mit kleinen Zahlen gekennzeichnet.

Abbildung 1 

Beide Eigenwerte sind gleich groß 

Der doppelte Eigenwert heiße λ. Es gibt zwei Fälle: Der 

Eigenraum zum doppelten Eigenwert kann die Dimension 

2 haben; dann kann man vorgehen wie im letzten 

Abschnitt. 

Der Eigenraum kann aber auch die Dimension 1 haben; 

er werde von V aufgespannt. Dann bekommt man 

einen weiteren Richtungsvektor U aus der Gleichung 

M · U = V + λ · U. (U ist Hauptvektor zu λ, aber 

kein Eigenvektor.) 

Bildet man aus V und U die Matrix T = (V | U), 

so bekommt man mit T −1 · M · T keine Diagonalmatrix 

mit Eigenwerten, sondern eine Jordan-Matrix 

T −1 · M · T = 

λ 1 

0 λ 

 

. 

Mit w := n√ λ ist dann die n-te Wurzel von M gegeben 

durch 

M 1 

 

w 

n = T · 

0 

 

w 

n·λ · T 

w 

−1 ; 

ggf. muss n ungerade sein. 

0,8 −0,4 

Beispiel: M = 

hat den doppelten 

0,1 0,4 

 

2 

Eigenwert λ = 0,6, und V = ist ein zugehöriger 

1 

Eigenvektor. 

Die Gleichung M · U = V + λ · U wird von 

U = 

gelöst. Mit T = 

10 

0 

2 10 

1 0 

 

+ t · V (t beliebig) 

M 1 

 

0,9915 −0,031 

21 ≈ 

0,0077 0,9605 

 

und CAS-Hilfe erhält man 

 

. 

Abb. 2 zeigt die Bahnen von M 1 

21 

mit den Anfangs- 

−0,3 

0,3 

punkten 

und . Die Ursprungsge- 

1 −0,8 

rade ist der einzige Eigenraum. 

18 

Abbildung 2 

Beide Eigenwerte sind konjugiert 

komplex 

Nun habe M die beiden konjugiert komplexen Eigenwerte 

λ1;2 = c±s·i mit den (komplexen) Eigenvektoren 

V + und V − . 

Bezeichnet man die komplexe Konjugation mit einem 

Überstrich, so folgt aus 

die Beziehung 

M · V + = (c + s · i) · V + 

M · V + = M · V + = (c + s · i) · V + = (c − s · i) · V + ; 

die von den Eigenvektoren V + und V − aufgespannten 

Eigenräume sind also zueinander konjugiert komplex. 

Dann sind U1 = V + +V − 

2 und U2 = V + −V − 

2·i reelle 

Vektoren, und es ist 

M · U1 = 1 

2 · (M · V + + M · V − ) 

= 1 

2 · ((c + s · i) · V + + (c − s · i) · V − ) 

= c · U1 − s · U2, 

M · U2 = 1 

2 · i · (M · V + − M · V − ) 

= 

1 

2 · i · ((c + s · i) · V + + (c − s · i) · V − ) 

= c · U2 + s · U1. 

Damit lässt sich M mit der (U1, U2)-Basis durch die 

Matrix 

c s 

−s c 

 

= c2 + s2 

cos ϕ sin ϕ 

· 

− sin ϕ cos ϕ 

beschreiben. Bildet man die Matrix T = (U1 | U2), so 

gilt 

T −1 

c 

· M · T = 

−s 

 

s 

. 

c

√c 1 

n 

Mit w := 2 + s2 M 1 

n = T · 

ist daher 

w · cos ϕ 

n 

ϕ 

w · sin n 

−w · sin ϕ 

ϕ · T 

n w · cos n 

−1 . 

 

0,9 0,65 

Beispiel: M = 

hat die Eigenwerte 

−0,4 0,7 

λ + = 0,8 + 0,5 · i mit Eigenvektor 

V + 

 

13 

= 

−2 + 10 · i 

sowie λ− = 0,8 − 0,5 · i mit Eigenvektor 

V − 

 

13 

= 

. 

−2 − 10 · i 

 

13 

0 

Dann sind U1 = und U2 = . 

−2 

10 

 

13 0 

Mit T = 

ist 

−2 10 

T −1 

0,8 0,5 

· M · T = 

−0,5 0,8 

= 

cos ϕ sin ϕ 

0,89 

− sin ϕ sin ϕ 

mit ϕ ≈ 0,5586. Mit CAS-Hilfe erhält man 

M 1 

21 ≈ 

1,0022 0,0345 

−0,0212 0,99157 

 

 

. 

 

Es handelt sich um eine Affindrehung (Abb. 3). 

Abbildung 3 

Verallgemeinerung 

Dass sich die beschriebene Vorgehensweise auf dreioder 

höherreihige Matrizen verallgemeinern lassen, ist 

evident. Aber so weit wird man in der Schule nicht gehen 

können. 

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e ∂x 

x−µ 

2 

( ) 

σ 

1 

2 

x2 − 

1 

σ 2π 

x1 

∫

Computeralgebra in der Lehre 

Computereinsatz in der Veranstaltung 

Didaktik der Analytischen Geometrie 

und Linearen Algebra 

Hans-Wolfgang Henn, Frauke Link 

(Technische Universität Dortmund) 

wolfgang.henn@tu-dortmund.de 

frauke.link@tu-dortmund.de 

Computer sind aus der Welt, in der wir leben, nicht mehr 

wegzudenken. Nicht nur Mathematiker, auch der ” Rest 

der Welt“ setzt Computer ein: Physiker simulieren Experimente, 

Ingenieure konstruieren Brücken, Ärzte nutzen 

Computer als Datenbank, Designer nutzen Bezierkurven 

zur Gestaltung von Formen. 

Wofür nutzen Mathematiker in ihrer Disziplin den 

Computer? Mit einem schnellen Rechner lassen sich 

beispielsweise im Rahmen der Zahlentheorie große 

Mengen von Beispielen produzieren, aus denen möglicherweise 

Vermutungen abgeleitet werden können. Numeriker 

interessieren sich für die Struktur von Algorithmen 

und ihre Effizienz. 

Studierende der Mathematik müssen also über den 

Alltagsgebrauch hinaus Erfahrungen mit dem Computer 

sammeln. So hat sich in Dortmund und in vielen anderen 

Universitäten durchgesetzt, dass alle angehenden 

Mathematikerinnen und Mathematiker zu Beginn des 

Studiums einen Programmierkurs absolvieren müssen. 

Oft bleibt es für die Studierenden jedoch dabei, dass 

sie etwa im Rahmen eines zweiwöchigen Blockkurses 

die Grundkenntnisse zum Programmieren von einfachen 

Algorithmen erwerben. 

Unser Interesse betrifft die Lehramtsstudierenden, 

genauer die zukünftigen Gymnasiallehrerinnen und 

-lehrer. Sie werden im Laufe ihres Studiums vielleicht 

einmal Numerik als Fach belegen und sollten daher programmieren 

können. Aber sie sollen ja vor allem für das 

Leben nach der Universität lernen, und das ist für sie das 

Unterrichten in der Schule. 

Anders als der zukünftige Versicherungsmathematiker 

oder die Promovendin der Numerik müssen die 

Lehramtstudierenden das technische Hilfsmittel Computer 

später einem breiteren Publikum, ihren Schülern, 

als Hilfsmittel vertraut machen; Schüler, die vielleicht 

in einigen wenigen Fällen Mathematiker, eher aber Physiker, 

Ärzte, Designer, Ingenieure oder sonst etwas werden 

wollen. Dies stellt besondere Anforderungen für das 

Lehren und Lernen an der Universität, um die neuen 

Möglichkeiten für das Lehren und Lernen an der Schule 

sinnvoll zu nutzen. Diese Möglichkeiten sollten nicht 

überschätzt, aber auch nicht unterschätzt werden. 

Computer leisten im Mathematikunterricht der 

Schule im Wesentlichen zwei Dinge: Sie haben – meistens 

in Form von Taschenrechnern – Werkzeugcharakter, 

entlasten also von Kalkülen und dienen dem 

Ausführen von Algorithmen. Dabei sind diese Ta- 

” 

schenrechner“ in der Schule schon oft kleine CAS, die 

Lösungen für Gleichungen mühelos algebraisch oder 

numerisch bestimmen sowie ableiten und integrieren 

können. Ein gewissenhafter Lehrer wird nicht nur das 

” Knöpfchen-Drücken“ lehren, sondern auch über die 

zugrunde liegenden Algorithmen sprechen. Zweitens 

ermöglichen Computer Visualisierungen, die ohne sie 

nicht möglich wären, und unterstützen damit u. A. den 

Aufbau adäquater Grundvorstellungen zu mathematischen 

Begriffen und Inhalten. So lassen sich mühelos 

Graphen von Funktionen zweier Variablen darstellen, 

was an einer Schultafel kaum möglich wäre (Abb. 1). 

20 

Abbildung 1: Visualisierung einer Funktion mit Maple 

Mit dynamischer Geometriesoftware lassen sich geometrische 

Objekte nach dem Zeichnen bewegen, so dass 

eine neue Dimension der Exploration geometrischer

Zusammenhänge und Sätze möglich wird. Ein einziger 

Zug mit der Maus gibt eine bessere Vorstellung 

von ” allen“ möglichen Dreiecken im Thaleskreis – und 

stellt auch neue Anforderungen an die ” Beweis-Kultur“ 

(Abb. 2). 

Abbildung 2: Thaleskreis mit DynaGeo 

Wir als Mathematikdidaktiker interessieren uns für die 

noch weithin offenen Fragen, ob und wie viel Computereinsatz 

in der Schule sinnvoll ist, inwiefern und welche 

neue Software für das Lehren und Lernen von Mathematik 

in der Schule geeignet scheint, und insbesondere 

dafür, was Studierende des Lehramts Mathematik 

an Software im Studium kennen lernen müssen, damit 

sie diese später im eigenen Unterricht sinnvoll einsetzen 

können. 

Dass diese Fragen eng miteinander verknüpft und 

mitnichten trivial sind, möchten wir am Beispiel unserer 

Veranstaltung Didaktik der Analytischen Geometrie 

und Linearen Algebra andeuten. 

Seit der ” Neuen Mathematik“ dominiert im Schulcurriculum 

in Deutschland die sogenannte ” Lineare 

Algebra“. Es werden Gleichungssysteme (nach vorgeschriebenen 

Verfahren) gelöst, ohne Anschauung 

Schnittpunkte von Ebenen und Geraden oder Winkel 

zwischen fiktiven, sich schneidenden Geraden berechnet. 

Diese Verarmung der Analytischen Geometrie 

wird auch in der Expertise zum Mathematikunterricht 

in der gymnasialen Oberstufe (Borneleit et al., 

2001) angeprangert. Die CAS ” stören“ den Unterricht, 

da sie die handwerkliche Tätigkeit des Rechnens abnehmen 

und dabei viele traditionelle Aufgaben sinnlos 

machen. Nichtsdestotrotz wurde der prominente 

Lambacher-Schweizer 2007 auch als Version für CAS 

herausgegeben, die sich von der Originalversion nur 

darin unterscheidet, dass bei allen Aufgaben angegeben 

Erhältlich unter www.raumgeometrie.de 

Erhältlich unter www.flugsicherung.dfs.de 

21 

wurde, wie die Rechnungen in den Rechner eingegeben 

werden. Die Aufgaben selbst wurden nicht geändert! 

Die geometrischen Vorstellungen, die der Linearen 

Algebra zugrunde liegen, gehen aber ohne explizite 

Behandlung in der Schule unter. Zu diesen zählen 

beispielsweise ” global“ das räumliche Vorstellungsvermögen 

und ” lokal“ die Vorstellung eines Pfeils als 

Repräsentant eines Vektors. Solche fehlenden Vernetzungen 

sind Schülerinnen und Schülern später im Studium 

der Mathematik (was nicht nur Mathematikstudierende 

betrifft!) hinderlich (vgl. Fischer, 2007). 

In unserer Veranstaltung (für Gymnasial- 

Studierende im Hauptstudium bzw. im Master) versuchten 

wir, ein CAS (wir verwendeten das TI-Nspire Handheld 

CAS) sinnvoll einzusetzen und den geometrischen 

Aspekt durch die CAS-bedingt freiwerdenden Zeitressourcen 

zu stärken. Als gute Ergänzung zum CAS erwiesen 

sich ein DGS (wir verwendeten DynaGeo) und 

vor allem das 2003 erschienene Programm Archimedes 

Geo3D von Andreas Göbel (Abb. 3). 

Abbildung 3: Archimedes Geo3D 

Hierbei handelt es sich um eine dreidimensionale DGS, 

bei der Ebenen z. B. durch die Vorgabe dreier Punkte im 

Raum (durch Anklicken) oder durch eine Gleichung definiert 

werden können. Die Lösung eines 3×3-LGS lässt 

sich somit auch grafisch visualisieren. Was die Addition 

zweier Gleichungen und die Multiplikation einer Gleichung 

mit einem Skalar geometrisch bedeuten, lässt sich 

einfach simulieren und ist unseren Studierenden meistens 

unbekannt. Mit Archimedes lassen sich auch Affine 

Abbildungen, Kegelschnitte und vieles andere darstellen. 

Ein Beispiel, das in den Mathematikbüchern für die 

Oberstufe im Rahmen der Linearen Algebra immer wieder 

genannt wird, ist die sogenannte ” Flugsicherung“; 

Abb. 4 zeigt mit einem Screenshot eines Films die Realität 

der Flugsicherung.

Abbildung 4: Flugsicherung 

Dies ist ein im Grunde sehr schönes, anschauliches Beispiel 

für Geraden im R 3 , auf denen sich Flugzeuge bewegen. 

Eine sorgfältige Modellierung der Situation gibt 

Anhaltspunkte darüber, wie Flugzeuge gelotst werden 

können, so dass sie sich trotz unterschiedlich gerichteter 

räumlicher Bewegung nicht treffen. Dieser Kontext 

wird allerdings von den Schulbüchern häufig in seiner 

Komplexität nicht ernst genommen (vgl. auch Hußmann, 

2003). Das ” CAS ernst nehmen“ heißt hier, reale 

Daten sammeln (zum Beispiel im Internet nach ” Flugsicherung“ 

suchen) und auswerten, den Zusammenhang 

zu realistischen Einheiten (km, km/h, min) herstellen 

und verstehen sowie mit Fehlern und Rundungen in den 

Rechnungen umgehen, anstatt fiktive Geraden vorzugeben, 

die ein ” schönes“ Ergebnis liefern. Den raumgeometrischen 

Aspekt ernst nehmen bedeutet hier, die modellierten 

Daten, die z. B. zu einer Geradengleichung 

führen, raumgeometrisch zu visualisieren, um Ergebnisse 

zu überprüfen. Die dynamische Raumgeometriesoftware 

erlaubt hier zusätzlich, dass eine offensichtlich 

fehlerhafte Geradengleichung durch den Zugmodus modifiziert 

werden kann und sich hiermit auch die Gleichung 

ändert. Dies gibt zunächst den Studierenden (und 

später den Schülern) die Möglichkeit, von einer noch 

nicht so angemessenen Lösung ausgehend noch einmal 

auf die Fehlersuche innerhalb der Rechnung zu gehen. 

Darüber hinaus wird intuitiv klar, dass die Daten in der 

Gleichung dynamisch von der Lage des räumlichen Objekts 

abhängen. 

Um die Eigentätigkeit der Studierenden und ihre 

Kompetenz beim Einsatz der von uns verwendeten Software 

zu stärken, bekamen sie die Aufgabe, Beispiele zu 

finden, bei denen sowohl CAS als auch 3D-DGS sinnvoll 

genutzt werden können. Damit sollte die Sinnhaftigkeit 

des Einsatzes der verschiedenen Software durch 

geeignete, selbst konstruierte Lernumgebungen für die 

Oberstufe deutlich gemacht werden. Die Bearbeitungszeit 

für die Aufgabe war vier Wochen. Die Studierenden 

arbeiteten in Viererteams und stellten abschließend 

Das amerikanische System zur Satellitennavigation stützt sich auf 24 

Satelliten, die die Erde in einer Höhe von 20 200 km auf nahezu 

kreisförmigen Bahnen innerhalb von 12 Stunden einmal umlaufen. Jeweils 

ihre vier Bearbeitung Satelliten befinden densich anderen auf einer der vor. Umlaufbahnen, Es wurden von denen folgende es 

Themen sechs verschiedene behandelt: gibt. Flugsicherung, Die Ebenen, welche die GPS, Umlaufbahnen Kegelschnitte, 

enthalten, 

Ortslinien. sind alle um 55° gegenüber der Äquatorebene geneigt, gehen durch den 

Erdmittelpunkt und sind gleichmäßig rings um die Erdachse angeordnet. 

Aufgabe 1 

Modelliere mit Hilfe von Archimedes die Erde mit den sie umgebenden 

Satellitenumlaufbahnen! 

Die Erde mit den sechs Satellitenumlaufbahnen: 

Blick "von der Seite" (auf den Äquator) 

Blick "von oben" (auf den Nordpol) 

Abbildung 5: Lernumgebung zum Thema GPS 

Abb. 5 zeigt die von den Studierenden konstruierte Einstiegsaufgabe 

zum Thema GPS. Im weiteren Aufgabenverlauf 

wurde von den Studierenden vorgesehen, dass 

Schülerinnen und Schüler aus vorgegebenen realen Werten 

eines GPS den beschriebenen Standort mittels CAS 

selbst ermitteln sollen. 

Erfreulicherweise bringen die Studierenden zunehmend 

Erfahrungen im Umgang mit CAS aus der eigenen 

Schulzeit mit. Im normalen Mathematikstudium wird jedoch 

nur wenig Gebrauch von CAS oder anderer schulgeeigneter 

Software gemacht, der Werkzeugcharakter 

des Rechners zur Unterstützung des Inhaltsverständnisses 

geht verloren. Wir halten es deshalb für wichtig, dass 

alle Studierenden (nicht nur die Lehramtskandidaten) 

schon in den Anfängervorlesungen mit CAS und DGS 

arbeiten müssen. Zumindest für Lehramtskandidaten erscheint 

uns dies wichtiger als ein Programmierkurs. 

Literatur 

[1] Borneleit, P., Dankwerts, R., Henn, H.-W. & 

Weigand, H.-G. Expertise zum Mathematikunterricht 

in der gymnasialen Oberstufe. H.-E. Tenorth 

(Hrsg.): Kerncurriculum Oberstufe. – Weinheim: 

Beltz (2001), S. 26 – 53. 

[2] Fischer, A. Gegenseitige Beeinflussungen von Darstellungen 

und Vorstellungen zum Vektorraumbegriff. 

Journal für Mathematikdidaktik 28(3/4) (2007), 

S. 311 – 330. 

[3] Hußmann, S. Mathematik entdecken und erforschen 

– Theorie und Praxis des Selbstlernens in der Sekundarstufe 

II. Berlin: Cornelsen (2003). 

Eine genauere Beschreibung der Lernumgebungen wird im 2010-Tagungsband des GDM-Arbeitskreises Mathematikunterricht und 

Informatik veröffentlicht werden. 

22

Publikationen über Computeralgebra 

• Borwein, J., Devlin, K., Experimentelle Mathematik: 

Eine beispielorientierte Einführung, Spektrum Akademischer 

Verlag, Heidelberg 2011, 158 Seiten, ISBN 

978-3-8274-2661-1, e 17,90. 

• Kemper, G., A Course in Commutative Algebra, Graduate 

Texts in Mathematics, Vol. 256, Springer-Verlag, 

Berlin, Heidelberg, New York 2011, 246 Seiten, ISBN 

978-3-642-03544-9, e 53,45. 

Weitere Bücher können auf der Seite http://www.fachgruppe-computeralgebra.de/Buecher oder 

direkt bei Anne Frühbis-Krüger (fruehbis-krueger@math.uni-hannover.de) zur Besprechung angefordert 

werden. 

Besprechungen zu Büchern der Computeralgebra 

Jonathan Borwein, Keith Devlin 

Experimentelle Mathematik: Eine beispielorientierte Einführung 

Spektrum Akademischer Verlag, Heidelberg 2011, 158 Seiten, ISBN 978-3-8274-2661-1, e 17,90 

Dieses nach einer Idee des Verlegers Klaus Peters 

entstandene Büchlein von Jonathan Borwein und Keith 

Devlin liegt nun, zwei Jahre nach Erscheinen der Originalausgabe 

( ” The computer as crucible“), auch in deutscher 

Übersetzung vor. Durch das Zusammenspiel der 

beiden Autoren – Borwein ist einer der bekanntesten 

und profiliertesten Vertreter der experimentellen Mathematik 

sowie Autor diverser Bücher zu diesem Thema, 

Devlin hat sich neben der Beschäftigung mit mathematischer 

Kognitionswissenschaft als Wissenschaftsjournalist 

einen Namen gemacht – wird die Sichtweise von innen 

sowie von außen auf dieses relativ neue Teilgebiet 

der Mathematik auf fruchtbare Weise kombiniert. 

Die Autoren haben sich hierbei zum Ziel gesetzt, 

anhand zahlreicher Beispiele einen Einblick in einige 

Möglichkeiten zu geben, wie ein leistungsfähiger 

Computer mit Computeralgebrasystemen (CAS), numerischen 

Werkzeugen sowie geeigneten Datenbanken die 

Mathematikerin bzw. den Mathematiker beim Beweisen 

von Sätzen und Erkennen von Zusammenhängen 

unterstützen und neue Möglichkeiten eröffnen kann. 

Das Buch präsentiert, angereichert und aufgelockert 

durch Anekdoten, historische Bemerkungen und diverse 

amüsante und pointierte Zeichnungen, verschiedene 

interessante und teils erstaunliche Beispiele und Spielweisen 

des experimentellen Zugangs. 

Zwar stellt die Experimentelle Mathematik seit jeher 

(allerdings ohne Computereinsatz, sondern in Form 

langer Rechnungen auf Papier) einen wichtigen Bestandteil 

der Arbeit aller bedeutenden Mathematikerinnen 

und Mathematiker auf dem intuitiv experimentierenden, 

suchenden und probierenden Weg zu letztendlich 

analytisch beweisbaren Hypothesen dar. Jedoch 

führen die Autoren vor, wie die Mathematik durch fortgeschrittenen 

Computereinsatz methodisch in die Nähe 

der klassischen Naturwissenschaften rückt, wobei das 

Experiment seinen Platz als selbständiger Teil der Mathematik 

findet, ohne jedoch die Grenzen dieses Zugangs 

und die Bedeutung des analytischen Beweises außer 

Acht zu lassen. 

Im Anschluss an diese Einführung bestehen die weiteren 

Kapitel des Buches aus einer Reihe von Beispielen, 

hauptsächlich aus dem Bereich der reellen Analysis 

und analytischen Zahlentheorie, die eindrucksvoll 

die Vorzüge des experimentellen Zugangs in der Praxis 

vorführen. Jedes Kapitel wird unter der Überschrift 

” Untersuchungen“ durch eine Reihe Vorschläge und 

Denkanstöße zu eigenen Experimenten und Betrachtungen 

abgerundet, durch die die Leserin bzw. der Leser 

praktische Erfahrungen mit den vorgestellten Werkzeugen 

und Methoden sammeln kann und zu weiteren Untersuchungen 

und Versuchen ermutigt wird. Der Anhang 

liefert hierzu Lösungsvorschläge sowie weitere Denkanstöße 

und Ausblicke. 

23 

Das zweite Kapitel widmet sich dem Problem, eine 

beliebige Nachkommastelle einer irrationalen Zahl wie 

π in Binärdarstellung zu bestimmen. Das folgende Kapitel 

befasst sich mit der (Wieder-)Erkennung von Zahlen 

oder Folgen aus numerischen Approximationen als 

Ergebnis einer experimentellen Berechnung, wobei einschlägige 

Internet-Datenbanken zur Unterstützung der 

Suche geschlossener Ausdrücke vorgestellt werden. Im 

Anschluss rücken die Autoren die Riemannsche Zeta- 

Funktion in den Blickpunkt und beleuchten einige Einsichten, 

die sich aus experimenteller Perspektive aus ihr 

gewinnen lassen. Das fünfte Kapitel betrachtet die nu-

merische Auswertung von Integralen und führt vor, wie 

diese mit den zuvor beschriebenen Methoden zum Auffinden 

einer analytischen Lösung beitragen können. Das 

folgende Kapitel widmet sich den Glückstreffern und 

unverhofften Entdeckungen und stellt einige nützliche 

Übungen und Tricks vor, das mathematische Glück“ zu 

” 

fördern und unterstützen. Im siebten Kapitel kommen 

die Autoren auf die Zahl π zurück, diesmal zur Basis 

10, und diskutieren einige effiziente und schnell konvergierende 

Verfahren zur Berechnung möglichst vieler 

Dezimalstellen. Unter dem etwas provokanten Titel 

” Der Computer kennt mehr Mathematik als Sie“ stellen 

die Autoren, ausgehend von einer Aufgabe, die Donald 

Knuth den Leserinnen und Lesern des American Mathematical 

Monthly stellte und die sich mit experimentellen 

Mitteln elegant lösen ließ, unter anderem die Lambertsche 

W-Funktion vor und präsentieren ein weiteres Problem, 

dessen mit Hilfe von Maple gefundene Lösung 

nicht nur in der Mathematik, sondern auch in Quantenfeldtheorie 

und statistischer Mechanik von Interesse 

ist. Das neunte Kapitel führt einige Grenzwertberechnungen 

von Folgen und Reihen mit Hilfe von CAS vor 

und veranschaulicht den Nutzen des experimentellen 

Zugangs in diesem Bereich. Im folgenden Kapitel weisen 

die Autoren auf die Grenzen, Risiken und möglichen 

Nebenwirkungen des experimentellen Zugangs hin und 

präsentieren einige Beispiele für scheinbar nahe liegende 

und verführerische Fehlschlüsse bei allzu großem 

Vertrauen in die Macht der CAS, stellen allerdings auch 

Vermeidungsstrategien vor. 

Das letzte Kapitel liefert schließlich einige Schlaglichter 

und Beispiele zu Erfolgen des experimentellen 

Zugangs aus anderen Bereichen der Mathematik, so etwa 

zu einem topologischen Problem, das sich mit Hilfe 

von Visualisierungen von (Minimal-)Flächen lösen ließ, 

einen Ausflug in die Knotentheorie sowie zum Paradebeispiel 

des Computerbeweises, dem Vierfarbensatz, 

und schließlich zum Ende des Rundgangs Beispiele aus 

der komplexen Iteration und sogar formaler Logik und 

dynamischen Systemen, um einem möglichst breiten 

24 

Überblick über die Möglichkeiten und Chancen der Experimentellen 

Mathematik vorzustellen. 

Das Buch ist durchgehend gut lesbar geschrieben 

und stellt eine wohldosierte Gratwanderung zwischen 

einem Überblick über ein vielfältiges Gebiet und der 

konkreten Präsentation nachvollziehbarer Beispiele dar, 

wobei stets die Faszination und Freude der Autoren an 

diesem sowohl ursprünglichen als auch innovativen Zugang 

durchscheint. 

Obwohl sich das Werk in erster Linie an forschende 

Mathematikerinnen und Mathematiker richtet, um ihnen 

das Computerexperiment als heuristisches Werkzeug 

schmackhaft zu machen, kann es gerade auch Studierenden 

der Anfangssemester empfohlen werden, die 

mit seiner Hilfe (und einem CAS) einen spielerischen 

und praktischen Zugang zur mathematischen Arbeitsweise 

gewinnen und so in das ” Mathematik machen“ 

eintauchen können. So mag das Buch auch als reichhaltige 

Quelle an Übungen und Ideen beim Erlernen 

des Umgangs mit z. B. Maple oder Mathematica dienen 

und durch Inspiration zu eigenen, weiteren Experimenten 

zum Aufbau einer mathematischen Intuition beitragen. 

Nicht zuletzt kann das Büchlein aber auch Lehrkräften 

und Schülerinnen sowie Schülern der Oberstufe, 

die ein Mathematikstudium erwägen, ans Herz gelegt 

werden, da es, abgesehen von etwas Vertrautheit (oder 

Mut und Unverdrossenheit) im Umgang mit Reihen und 

Integralen kaum Vorkenntnisse voraussetzt und ihnen 

einen wertvollen Blick hinter die Kulissen ermöglicht, 

wie ” Mathematik wirklich gemacht wird“ und wie ein 

Großteil Arbeit im Vorfeld von Sätzen mit eleganten Beweisen 

wirklich aussieht. Das Buch leistet einen guten 

Beitrag, um dem wichtigen Prozess der Suche und dem 

Experiment, die in der (Außen-)Darstellung von Mathematik 

oftmals nicht mehr wahrgenommen werden, ihren 

legitimen, eigenen Platz zu verschaffen, und dadurch 

den (praktischen) Zugang für viele Interessierte zu erleichtern. 

Gehrt Hartjen (RWTH Aachen)

Michael Brickenstein: Boolean Gröbner Bases – Theory, 

Algorithms and Applications 

Betreuer: Gert-Martin Greuel (Kaiserslautern) 

Zweitgutachter: Armin Biere (Linz) 

Februar 2010 

http://www.mfo.de/organisation/institute/ 

brickenstein 

Zusammenfassung: There exist very few concepts in computational 

algebra which are as central to theory and applications 

as Gröbner bases. This thesis describes theory, algorithms 

and applications for the special case of Boolean polynomials. 

These parts form the mathematical foundations of 

the PolyBoRi framework (developed by the author together 

with Alexander Dreyer). The PolyBoRi framework has applications 

spread over a large number of domains ranging from 

formal verification, computational biology to cryptanalysis 

and many more. It is emerged to a worldwide audience by 

the Sage computational algebra system. 

Christian Greve: Galoisgruppen von Eisensteinpolynomen 

über p–adischen Körpern 

Betreuer: Jürgen Klüners (Paderborn) 

Zweitgutachter: Peter Müller (Würzburg) 

Dezember 2010 

http://ubdok.uni-paderborn.de/servlets/ 

DocumentServlet?id=12637 

Zusammenfassung: In dieser Arbeit werden Algorithmen 

zur Berechnung von Galoisgruppen von Eisensteinpolynomen 

f(x) über einem p–adischen Körper entwickelt. Wichtigstes 

Werkzeug zur Untersuchung der Polynome ist das sogenannte 

Verzweigungspolynom von f(x). Es ist gleich dem 

Newton–Polygon von f(αx+α)/α n x, wobei α eine Nullstelle 

und n den Grad von f(x) bezeichnet. Es wird ein schneller 

Algorithmus für Polynome mit einsegmentigem Verzweigungspolygon 

und ein aufwändigeres Verfahren für Polynome 

mit zwei Segmenten vorgestellt. 

Im einsegmentigem Fall wird ausschließlich in endlichen 

Körpern gerechnet und die erwartete Laufzeit ist polynomiell 

in n und log(q), wobei q die Anzahl der Elemente des gegebenen 

Restklassenkörpers bezeichnet. Auch in der Praxis 

funktionieren diese Algorithmen sehr schnell, beispielsweise 

deutlich weniger als eine Sekunde für diverse Grad 81– 

Beispiele. 

Im mehrsegmentigen Fall kann mit Hilfe eines deterministischen 

Polynomzeitalgorithmus ein Körper T ≤ 

N bestimmt werden, so dass die Galoisgruppe des 

Zerfällungskörpers N von f(x) über T eine p–Gruppe ist. 

Im Fall von zwei Segmenten wird ein Algorithmus angegeben, 

welcher lokale Klassenkörpertheorie sowie Kohomologieberechnungen 

benutzt. 

Alle Algorithmen sind im Computeralgebrasystem Magma 

implementiert und im letzten Kapitel werden diverse Beispiele 

mit Laufzeiten angegeben. 

Peter Horn: Faktorisierung in Schief-Polynomringen 

Betreuer: Wolfram Koepf (Kassel) 

Zweitgutachter: Volker Strehl (Erlangen) 

April 2008 

http://www.mathematik.uni-kassel.de/ 

˜hornp 

Zusammenfassung: In der Arbeit geht es um Lösungen bzw. 

Faktorisierung von Shift- und q-Shift Operatoren. 

Promotionen in der Computeralgebra 

25 

Sei K ein Körper der Charakteristik 0, und q und x Unbestimmte 

über K. Wir betrachten die rationalen Funktionenkörper 

F = K(x) bzw. Fq = K(q)(x). 

Die Automorphismen 

τ : x ↦→ x + 1 bzw. ɛ : x ↦→ q · x 

heißen Shift bzw. q-Shift. 

Identifizieren wir x mit der Abbildung a ↦→ x · a, so 

sind F [τ] bzw. Fq[ɛ] nichtkommutative Operatoralgebren mit 

Kommutatorregeln 

τ · x = (x + 1) · τ bzw. ɛ · x = q x ɛ. 

Diese nichtkommutativen Polynome heißen Schiefpolynome. 

Ähnlich wie im Polynomfall hängen die Fragen nach 

Lösung und Faktorisierung auch hier eng zusammen, wobei 

bei jeder Verallgemeinerung zusätzliche Probleme auftreten, 

so kann ein Schiefpolynom etwa mehrere verschiedene Faktorisierungen 

haben. 

Ein wichtiges Werkzeug für die Faktorisierungsalgorithmen 

ist das Newtonpolygon. Die Definition der (im Shift- 

Fall wohlbekannten) ” charakteristischen Gleichung“ wurde 

für den q-Fall angepasst, und der für diese Arbeit zentrale 

Satz konnte vollkommen elementar bewiesen werden. 

Der ” Petkovˇsek“-Algorithmus aus den Arbeiten von Petkovˇsek, 

Salvy, Abramovic und Paule (1992, 93, 98) findet 

Rechtsfaktoren erster Ordnung im Shift- bzw. q-Shift-Fall, 

ist aber leider exponentiell. Thomas Cluzeau und Mark van 

Hoeij stellten 2006 einen effizienten Algorithmus vor, der von 

den Ideen aus dem Differential-Fall inspiriert ist. Der dort 

präsentierte Algorithmus wird in der vorliegenden Arbeit vereinfacht 

und explizit auf den q-Fall übertragen. 

Bei der gemeinsamen Betrachtung des van Hoeij- und 

des Petkovˇsek-Algorithmus entstand eine Idee, die den Petkovˇsek-Algorithmus 

dramatisch beschleunigt und – zumindest 

im q-Fall – durchaus kompetitiv macht. Auch die Formulierung 

des Algorithmus weicht von der Original-Darstellung 

ab und ist deutlich einfacher. 

In den bisherigen Arbeiten wurde im Wesentlichen nur 

auf die Berechnung von Rechtsfaktoren erster Ordnung eingegangen. 

In Kapitel 5 wird explizit gezeigt, wie mit Hilfe 

des adjungierten Operators auch Linksfaktoren erster Ordnung 

berechnet werden können. Mit Hilfe der bekannten Methode 

der zyklischen Vektoren werden dann auch Faktoren 

beliebiger Ordnung berechnet. 

Ziel der Arbeit war, effiziente Algorithmen zur Faktorisierung 

von Shift- und q-Shiftoperatoren zu finden. Dies gelingt 

erst durch das Auffinden problemangepasster und wesentlich 

verbesserter Algorithmen der linearen Algebra, denn 

viele der vorgestellten Algorithmen werden letztendlich auf 

das Lösen von homogenen linearen Gleichungssystemen über 

dem Körper der rationalen Funktionen zurückgeführt. Die 

Einträge der Matrizen sind hier dicht besetzt, so dass bei der 

Arithmetik riesige Ausdrücke entstehen, die sich kaum noch 

effizient behandeln lassen. In Kapitel 6 werden Algorithmen 

hergeleitet, die hier Abhilfe schaffen, und viele Systeme behandelt, 

die vorher deutlich außer Reichweite waren. Die hergeleiteten 

Algorithmen basieren auf Evaluation und Interpolation. 

Die entwickelten Algorithmen wurden in MuPAD und 

prototypisch teilweise auch in Maple und/oder Mathematica 

implementiert.

Etienne Le Grand Nana Chiadjeu: Algorithmic Computation 

of Formal Fourier Series 


Zweitgutachter: Werner Seiler (Kassel) 

Februar 2010 


˜nana 

Zusammenfassung: Fourier series play an important role in 

the technical sciences and applications. The real and complex 

Fourier series of an integrable function f : [a, b] → R are the 

expressions 

F(f)(t) := a0 

2 + 

= 

∞ 

n=−∞ 

∞ 

∞ 

an cos(n ω t) + bn sin(n ω t) 

n=1 

cn e inωt , 

n=1 

where ω = 2π 

b−a is the circular frequency and the corresponding 

real Fourier coefficients are given by 

an = 

bn = 

2 

b − a 

2 

b − a 

b 

f(t) cos(nωt)dt ∈ R , 

a 

b 

f(t) sin(nωt)dt ∈ R , 

a 

whereas the complex Fourier coefficients are defined as 

cn = 1 

b − a 

b 

f(t)e −inωt dt ∈ C . 

a 

The method used until now to compute the Fourier coefficients 

via computer algebra systems (CAS) is essentially based 

on the same principle as in Fourier’s time, i.e. using the 

definition. Unfortunately this technique is not successful for 

many functions. Although numeric values of the Fourier coefficients 

might be available, symbolic values are often not 

accessible. 

Modern CAS like Maple or Mathematica can compute 

such integrals in many cases for a given n ∈ Z. However 

if one is interested in the Fourier coefficients for all n ∈ Z, 

then n is considered as a given symbolic variable and such 

integrals can be computed only in few cases. 

In this PhD thesis, an algorithmic approach for the computation 

of the Fourier coefficients in symbolic form of a 

rich family of functions, namely the trigonometric holonomic 

functions, is given. 

For this purpose, the family of trigonometric holonomic 

functions, which can be taken as input in our algorithm, is 

defined and characterized. For a given trigonometric holonomic 

function f first its trigonometric holonomic differential 

equation is determined, and then this differential equation is 

converted into a holonomic recurrence equation for the complex 

Fourier coefficients of f. Finally this recurrence equation 

can be solved using the Petkovˇsek-van Hoeij-algorithm to get 

a solution in closed form if applicable. A Maple implementation 

of the given algorithms is part of the thesis, and many 

examples are given. 

26 

Torsten Sprenger: Algorithmen für q-holonome Funktionen 

und q-hypergeometrische Reihen 


Zweitgutachter: Tom Koornwinder (Amsterdam) 

Juni 2009 


˜sprenger 

Zusammenfassung: Die q-Analysis ist eine spezielle Diskretisierung 

der Analysis auf einem Gitter, welches eine geometrische 

Folge darstellt, und findet insbesondere in der Quantenphysik 

eine breite Anwendung, ist aber auch in der Theorie 

der q-orthogonalen Polynome und speziellen Funktionen 

von großer Bedeutung. Die betrachteten mathematischen Objekte 

aus der q-Welt weisen meist eine recht komplizierte 

Struktur auf, und es liegt daher nahe, sie mit Computeralgebrasystemen 

zu behandeln. In der vorliegenden Dissertation 

werden Algorithmen für q-holonome Funktionen und qhypergeometrische 

Reihen vorgestellt. Alle Algorithmen sind 

in dem Maple-Package qFPS, welches integraler Bestandteil 

der Arbeit ist, implementiert. Nachdem in den ersten beiden 

Kapiteln Grundlagen geschaffen werden, werden im dritten 

Kapitel Algorithmen präsentiert, mit denen man zu einer 

q-holonomen Funktion q-holonome Rekursionsgleichungen 

durch Kenntnis derer q-Shifts aufstellen kann. Operationen 

mit q-holonomen Rekursionen werden ebenfalls behandelt. 

Im vierten Kapitel werden effiziente Methoden zur Bestimmung 

polynomialer, rationaler und q-hypergeometrischer 

Lösungen von q-holonomen Rekursionen beschrieben. Das 

fünfte Kapitel beschäftigt sich mit q-hypergeometrischen Potenzreihen 

bzgl. spezieller Polynombasen. Wir formulieren 

einen neuen Algorithmus, der zu einer q-holonomen Rekursionsgleichung 

einer q-hypergeometrischen Reihe mit nichttrivialem 

Entwicklungspunkt die entsprechende q-holonome 

Rekursionsgleichung für die Koeffizienten ermittelt. Ferner 

können wir einen neuen Algorithmus angeben, der umgekehrt 

zu einer q-holonomen Rekursionsgleichung für die Koeffizienten 

eine q-holonome Rekursionsgleichung der Reihe 

bestimmt und der nützlich ist, um q-holonome Rekursionen 

für bestimmte verallgemeinerte q-hypergeometrische Funktionen 

aufzustellen. Mit Formulierung des q-Taylorsatzes haben 

wir schließlich alle Zutaten zusammen, um das Hauptergebnis 

dieser Arbeit, das q-Analogon des FPS-Algorithmus 

zu erhalten. Wolfram Koepfs FPS-Algorithmus aus dem Jahre 

1992 bestimmt zu einer gegebenen holonomen Funktion 

die entsprechende hypergeometrische Reihe. Wir erweitern 

den Algorithmus dahingehend, dass Linearkombinationen qhypergeometrischer 

Potenzreihen bestimmt werden können. 

Flavia Stan: Algorithms for Special Functions: Computer 

Algebra and Analytical Aspects 

Betreuer: Peter Paule (Research Institute for Symbolic 

Computation (RISC), Johannes Kepler Universität Linz, 

Österreich) 

Zweitgutachter: Victor Moll (Tulane University) 

Juli 2010 

http://www.risc.jku.at/home/fstan 

Zusammenfassung: In this thesis we present our contributions 

to symbolic summation, extending Wilf-Zeilberger methods 

to handle definite hypergeometric sums with nonstandard 

boundary conditions and to compute recurrences for 

multiple Mellin-Barnes integrals over hypergeometric terms. 

We also include concrete applications of these methods to 

Feynman integral calculus, as well as for proving identities 

involving definite integrals and special functions.

Osmanbey Uzunkol: Über die Konstruktion algebraischer 

Kurven mittels komplexer Multiplikation 

Betreuer: Michael Pohst (Berlin) 

Zweitgutachter: Franck Leprévost (Luxemburg) 

Juni 2010 

http://www.staff.uni-oldenburg.de/ 

osmanbey.uzunkol 

Zusammenfassung: Die Theorie der komplexen Multiplikation 

beschäftigt sich unter anderem mit der Aufgabe, die 

gewissen abelschen Erweiterungen eines vorgegebenen CM- 

Körpers mittels der Werte bestimmter analytischen Funktionen 

zu erzeugen. 

In dieser Arbeit haben wir gezeigt, dass im Falle imaginär-quadratischer 

Zahlkörper die singulären Werte des 

Quotienten gewisser Thetafunktionen den Ringklassenkörper 

Ωt modulo t über k erzeugen. Dieses ermöglicht eine 

schnellere Konstruktion der Klassenpolynome der Ringklassenkörper 

als die Konstruktion mittels der klassischen Quotienten 

der Dedekindschen η−Funktion. Ferner beweisen wir, 

dass die verallgemeinerten η−Quotienten mittels der Quotienten 

der Thetanullwerte darstellbar sind. Diese Darstellungen 

lassen sich auch zur schnelleren Konstruktion der Klassenpolynome 

verwenden. Falls Dt gewissen Kongruenzbedingungen 

genügt, beweisen wir, dass diese singulären Werte 

Einheiten in den entsprechenden Ringklassenkörpern sind. 

Diese Eigenschaft wird benutzt, um die Einheitengruppen 

27 

solcher Ringklassenkörper mittels der in der Konstruktion des 

Klassenpolynoms explizit bestimmten Nullstellen zu berechnen. 

Es sei (A, E) eine einfache hauptpolarisierte abelsche 

Fläche vom primitiven CM-Typ (K, Φ) mit [K : Q] = 4. 

Wir erweitern die CM-Konstruktion hyperelliptischer Kurven 

vom Geschlecht zwei über endlichen Körpern mittels einer 

Bedingung an die Steinitzklasse auf alle primitiven CM- 

Körper. Außerdem verallgemeinern wir mit Hilfe des zweidimensionalen 

Reziprozitätsgesetzes von Shimura, der Theorie 

der komplexen Multiplikation abelscher Varietäten und einer 

Arithmetik der Siegelschen Modulfunktionen g der Stufe 

(2N, 4N), ggT(2, N) = 1 das Verfahren, welches im Falle 

der elliptischen Kurven überprüft, ob ein singulärer Wert 

einer arithmetischen Modulfunktion g(τ) ein Erzeuger des 

Ringklassenkörpers Ωt ist. Damit erhalten wir ein Verfahren, 

welches überprüft, ob ein System der Werte der Siegelschen 

Modulfunktionen g1(τ), g2(τ) und g3(τ) der Stufe 

(2N, 4N) mit τ ∈ H2 den über dem Reflexivkörper K r von 

K unverzweigten Klassenkörper nach dem ersten Hauptsatz 

der Theorie der komplexen Multiplikation erzeugt. 

Den Abschluss bilden einige Beispiele der Klassenpolynome 

nebst den Untergruppen der Einheitengruppen entsprechender 

Ringklassenkörper, die wir mittels der singulären 

Werte der Quotienten der Thetanullwerte berechnen.

1. Jo60: A Modern Computer Algebraist 

Celebrating the research and influence of 

Joachim von zur Gathen at 60 

Bonn, 27 – 29.05.2010 

http://cosec.bit.uni-bonn.de/students/ 

events/jo60 

The research of Joachim von zur Gathen has spanned many 

areas of mathematics and computer science, including computational 

complexity, cryptography, finite fields, and computer 

algebra. His influence and contributions to these fields 

has been felt through his many papers and seminal book 

(Modern Computer Algebra, with J. Gerhard), and his students, 

collaborators, colleagues and friends. Many joined in 

celebrating the rich and ongoing career of our friend, colleague 

and teacher at the b-it from May 27-29, 2010. The 

meeting celebrated the jubilee with a variety of scientific and 

personal talks on areas connected to Joachim s research: 

Excursion to the Arithmeum: The jubilee teaching... 

• Eric Bach (University of Wisconsin, USA) 

Problem reductions in algorithmic number theory 

• Allan Borodin (University of Toronto, Canada) 

Greedy algorithms and why simple algorithms can be 

complex 

• Peter Bürgisser (Universität Paderborn, Germany) 

Smoothed analysis of condition numbers 

• Jürgen Gerhard (Maplesoft, Canada) 

How modern is computer algebra? 

• Mark Giesbrecht (University of Waterloo, Canada) 

Decomposing for 24 years and counting the collisions 

• Oded Goldreich (Weizmann Institute of Science, Israel) 

General cryptographic protocols: a brief survey 

• Gaston Gonnet (ETH Zürich, Switzerland) 

29.5 years of Maple: how many of the design principles 

of the system paid dividends 

• Erich Kaltofen (North Carolina State University, 

USA) The indomitable Berlekamp - Massey algorithm 

• Preda Mihăilescu (University Göttingen, Germany) 

Galois theory in algebras over finite fields – applications 

to the Berlekamp algebra 

• Michael Nöcker (Düsseldorf, Germany) 

Aspects of a mathematicians work in the business 

world 

Berichte von Konferenzen 

28 

• Daniel Panario (Carleton University, Canada) 

Counting polynomials over finite fields: random properties 

and algorithms 

• Claus-Peter Schnorr (Johann Wolfgang Goethe- 

Universität Frankfurt, Germany) 

Average time fast SVP and CVP algorithms for low 

density lattices and the factorization of integers 

• Éric Schost (University of Western Ontario, Canada) 

Evaluation, interpolation and multivariate multiplications 

• Amin Shokrollahi (EPFL, Lausanne, Switzerland) 

Computer algebra and practical decoding 

• Igor Shparlinski (Macquarie University, Australia) 

Polynomial iterations: algebraic properties and applications 

• Arne Storjohann (University of Waterloo, Canada) 

Inverting integer and polynomial matrices 

• Volker Strassen (Universität Konstanz, ret., Germany) 

Probability, algorithms and complexity. 

Jo60 participants 

Many in this powerful and diverse list of speakers expounded 

upon the direct and indirect influence of Joachim on these topics 

and on their research and personal lives. The talks were 

exciting and entertaining, and many were of exceptional 

depth and current scientific interest. Many other researchers 

and friends sent their greetings from afar. 

As befits such an occasion, the atmosphere of Jo60 was both 

scientific and festive. The science was, of course, celebrated 

by the fine talks and ensuing interactions that one might expect 

from such a group. All talks and festivities took place 

at the beautiful Bonn-Aachen International Center for Information 

Technology (b-it), overlooking the Rhine river. Our 

entertainment ranged from a boat trip and walk along the 

Rhine and gathering at the fine Dreesen Beer Garden, to a 

special tour of the Arithmeum museum of mathematics and 

science, with its many fine calculating and cryptographic devices, 

guided by Joachim himself. Jo60 concluded with a 

spectacular party at the b-it, featuring a sumptuous meal, a 

rock band, and a most unique and personalized rendition of 

Marmor, Stein und Eisen bricht by Dorothea von zur Gathen. 

We invite you to browse a record of the festivities online 

at http://cosec.bit.uni-bonn.de/students/ 

events/jo60. 

Michael Nüsken (Bonn)

2. Summer School in Algorithmic Mathematics 

Berlin, 16.8. – 20.8.2010 

http://severian.mit.edu/s2am 

Die einwöchige Sommerschule (S 2 AM 2010) des Schwerpunktprogramms 

1489 fand vom 16. bis 20. August am 

Konrad-Zuse-Institut auf dem Campus der Freien Universität 

Berlin statt. Neben jungen Mitgliedern des SPP 

zählten auch zahlreiche internationale Doktoranden und 

Postdoktoranden zu den etwa 35 Teilnehmern der Veranstaltung, 

deren Grundgerüst drei vierstündige Vorlesungsreihen 

zu folgenden Schwerpunkten bildeten: Deformationstheorie 

(Jan Christophersen/Oslo), computergestützte Berechnung 

von Gruppenkohomologie (Graham Ellis/Galway), Modulformen 

und Galoisdarstellungen (Gerhard Frey/Duisburg- 

Essen). Ergänzt wurden diese Hauptbeiträge durch halbstündige 

Vorträge junger Teilnehmer, die so die Möglichkeit 

erhielten, eigene Forschungsergebnisse zu präsentieren. Eine 

Postersitzung, in der die Teilnehmer stichpunktartig ihre 

eigenen Forschungsinteressen vorstellen konnten, ein gemeinsames 

Abendessen sowie ein kultureller Ausflug vervollständigten 

das Programm der Schule. 

Lars Petersen (Berlin) 

3. Workshop Resolution of Singularities and 

Semi-Stable Reduction 

Hannover, 31.8. – 3.9.2010 

http://www.math-conf.uni-hannover.de/ 

rsssr2010 

The workshop on ‘Resolution of Singularities and Semi- 

Stable Reduction’ was designed to introduce PhD students 

and young PostDocs originating both from Algebraic Geometry 

and from Algebraic Number Theory to a field of interaction 

between these topics, namely to desingularization 

techniques, regular and canonical models and semi-stable reduction. 

There were three well-designed courses of 3x 90 

minutes given by leading experts on the fields (H. Hauser, 

Q. Liu, W. Lütkebohmert); each course focused on a different 

aspect and was taught in different style so that their combination 

provided a solid basis for younger people entering 

the area. These courses were supplemented by 3 contributed 

talks by advanced PhD students, an introduction to the 

computer algebra system SINGULAR, a poster session and 

a problem session. The talks and sessions were well attended 

and received good feedback by the nearly 40 participants of 

the workshop. 

4. ICMS 2010 

Kobe, 13.9. – 17.9.2010 

Anne Frühbis-Krüger (Hannover) 

http://www.math.kobe-u.ac.jp/icms2010/ 

Nach 2002 (Peking, China) und 2006 (Castro Urdiales, Spanien) 

fand der dritte International Congress of Mathematical 

Software (ICMS) vom 13. bis 17. September 2010 in Kobe, 

Japan, statt. 

Thematisch ist diese Konferenz bewusst sehr weit gefasst; 

sie soll eine Plattform bieten für alle Gebiete des mathematischen 

Softwareeinsatzes. Highlights waren die Plenarvorträge 

von Masakazu Kojima, Thomas Hales und Kurt Mehlhorn. 

Die Computeralgebra war ebenfalls stark vertreten. Mit den 

Sektionen ” Computational Group Theory“, ” Computer Algebra“, 

” Groebner Bases and Applications“ und ” Number 

29 

Theoretical Software“ wurde ein Querschnitt aktueller Entwicklungen 

gezeigt. Den zehn eingeladenen Hauptvortragenden 

in diesen Sektionen gelang es dabei, dem breit 

gefächerten Publikum Einblicke in aktuelle Forschung auf 

zugängliche Weise zu bieten. Zehn weitere Vorträge mit speziellerer 

Thematik rundeten diese Sektionen ab. Darüberhinaus 

boten benachbarte Sektionen wie z. B. zu symbolischnumerischen 

oder zu polyedrischen Berechnungen weitere 

Anknüpfungspunkte. 

Die Proceedings der Konferenz, die ausschließlich aus rezensierten 

Artikeln bestehen, erschienen unter dem Titel 

” Mathematical Software – ICMS 2010“ als LNCS 6327 im 

Springer-Verlag. 

Anne Frühbis-Krüger (Hannover) 

5. DART IV – Differential Algebra and Related 

Topics 

Peking, China, 27. – 30.10.2010 

http://mmrc.iss.ac.cn/˜dart4 

Die Tagungsserie DART – Differential Algebra and Related 

Topics fand seit 2000 bisher dreimal an der Rutgers University 

in Newark, NJ (USA) statt. Sie deckt ein breites Themenspektrum 

der Differentialalgebra ab: Aus dem klassischen 

Studium von Differentialgleichungen mit algebraischen Methoden 

haben sich Verknüpfungen mit verschiedenen Gebieten 

entwickelt, von der algebraischen Geometrie, Kombinatorik 

und Logik bis hin zu differential-algebraischen Gleichungen 

auf differentiellen Mannigfaltigkeiten, arithmetischen 

Differentialgleichungen und Differenzengleichungen. 

Neue differential-algebraische Methoden wurden in viele 

Computeralgebrasysteme eingebunden. 

DART IV – Differential Algebra and Related Topics 

Für die DART IV wurde der Standort diesmal nach Peking 

verlegt, wo die Tagung vom 27. bis 30. Oktober 2010 stattfand. 

Mit zehn Hauptvorträgen und vielen kürzeren Vorträgen 

von Wissenschaftlern internationaler Zusammensetzung 

setzte DART IV die Tradition der DART-Tagungen erfolgreich 

fort. Dabei war auch diesmal positiv zu vermerken, 

dass viele Vortragende sich gut auf das recht inhomogene 

Publikum eingestellt hatten. Mehrere Poster-Sessions 

und daran anknüpfende Diskussionen ergänzten das wissenschaftliche 

Programm. 

Die Academy of Mathematics and System Sciences (Chinese 

Academy of Sciences) bot eine ansprechende Umgebung für 

die Durchführung der Tagung und die Organisatoren vor Ort 

leisteten hervorragende Arbeit. (Besonders gelobt wurde der 

während der Vorträge servierte Tee.) Wahrhaft unvergesslich 

wird allen Teilnehmern das Abendessen im neuen Sommerpalast 

mit Tanz- und Theatereinlagen bleiben. 

Julia Hartmann (RWTH Aachen)

6. XII. Berliner Mathematica-Tag 

Berlin, 26.11.2010 

http://www.ordinate.de/mathematicaTag. 

htm 

Zum 12. Mal traf man sich am 26.11.2010 auf Einladung 

von WIAS (http://www.wias-berlin.de) und 

mathemas ordinate, Carsten Herrmann (http://www. 

ordinate.de) in Berlin-Mitte. Aufgelockert durch den 

traditionell von mathemas ordinate spendierten Imbiss gab 

es eine Reihe interessanter Vorträge. Interessierte können 

Skripte der Vorträge erhalten (bitte eine E-Mail senden an 

carsten@ordinate.de) 

Carsten Herrmann begrüßte die ca. 40 Teilnehmer mit einem 

kleinen Überblick über den Tagesablauf. 

Im ersten Vortrag von Dr. Oliver Rübenkönig von Wolfram 

Research wurden die in der gerade erschienenen Version 8 

von Mathematica neuen Eigenschaften demonstriert, u. A. 

die Einbindung von Wolfram alpha ( ” computational Knowledge“) 

, umfassender Bildbearbeitung, Neuigkeiten bei den 

Möglichkeiten zur Lösung von Gleichungen, numerischer 

Integration, zu Texturen auf Objekten, Kompilierung in C- 

Code, Einbinden von DLLs, paralleles Rechnen auf Grafikprozessoren 

mit CUDA/Open CL, Integration der bislang separaten 

Packages Wavelet und Control Systems. 

Prof. Dr. Aleksy Bartnik (Univ. of Warsaw and PAS) berichtete 

über den Einsatz von Mathematica bei der EEG- 

Signalanalyse bis zur statistischen Analyse von molekulardynamischen 

(MD) Simulationsdaten. Die Ermittlung von 

Kausalzusammenhängen zwischen Ereignissen, die in MD- 

Simulationen biomolekularer Systeme und von Nanosystemen 

beobachtet werden, sind sehr wichtig für die Beschreibung 

molekularer Mechanismen und für das Verständnis der 

Abläufe. CausalMD basiert auf Mathematica 7 und führt eine 

Zeitreihenananlyse der MD-Simulationsdaten durch. Die 

betrachteten Daten sind die Atompositionen und -momente 

oder lineare Kombinationen davon. Konkret wurde gezeigt, 

wie mit CausalMD die HIV-1 Protease Dynamik analysiert 

wurde. 

Carsten Herrmann aus Kiel bot einen kleinen Einstieg in die 

vielfältigen Möglichkeiten, die Mathematica 8 durch die Implementierung 

von Funktionen zu Wahrscheinlichkeit und 

Statistik wie Probability, Expectation etc. jetzt bietet. Mathematica 

8 bietet nunmehr auch eine umfangreiche Sammlung 

der verwendeten Verteilungsgesetze. Man kann entsprechende 

Stichproben ziehen und auch Verteilungen mit Experimentaldaten 

definieren. So lassen sich sehr schön und 

kommod stochastische Simulationen durchführen, geeignet 

für Unterricht, Forschung und Praxis. 

Dr. Hang Si vom WIAS Berlin (http://www.wiasberlin.de/people/si/) 

erläuterte die umfangreichen 

Möglichkeiten von TetGen, seinem Delaunay Tetrahedral 

Mesh Generator. Dieses Tool wurde in Mathematica 8 integriert, 

dabei wurde die neue DLL-Einbindungsmöglichkeit 

verwendet. TetGen eignet sich zur Visualisierung auch stark 

strukturierter 3D-Körper (Standardbeispiel ein Motorblock), 

für CAD, Geowissenschaft, biomedizinische und mathematische 

Modellierung. TetGen wird auch automatisch von Mathematica 

8 eingesetzt, z. B. zur Interpolation in dreidimensionalen 

konvexen Bereichen. Man kann es jedoch auch direkt 

für eigene Zwecke einsetzen. 

30 

XII. Berliner Mathematica-Tag 

Vielen sind sicher die Bilder von Herrn Escher bekannt. 

Ausgehend vom ” Print Gallery“ wurde die Droste- 

Transformation entwickelt (siehe http://www.inf. 

tu-dresden.de/content/institutes/.../ 

proseminar.pdf und http://www.josleys. 

com/article_show.php?id=82). Patrick Scheibe 

erläuterte uns seine Mathematica-Implementierung der 

Droste-Transformation. Dabei gab es nicht nur sehr schöne 

und interessante Bilder zu sehen, sondern es wurde auch 

an diesem Beispiel die in Mathematica 8 neue Funktionalität 

zum Kompilieren, Laden und Verwenden von DLLs 

und die Verwendung des neuen Texture(-Mapping) Befehls 

demonstriert. 


Stefan Braun von Smart CAE berichtete über die neue Version 

von SmartCAE-FAB (Framework for Application Building). 

Die FAB ist eine Sammlung von Werkzeugen und Bibliotheken, 

die dem Mathematica-Anwender die zeitintensiven 

Teile der Arbeit auf dem Weg von einem Mathematica- 

Notebook zur einer einfach bedienbaren Anwendung abnehmen. 

Diese derart erstellten Schnittstellen erlauben die Verwendung 

von Mathematica in realistischen hochparametrisierten 

Anwendungsumgebungen.

Herr Prof. Ziegenbalg stellte die Neuauflage seines 

Buches vor: Algorithmen von Hammurapi bis Gödel 

(siehe http://www.harri-deutsch.de/verlag/ 

titel/ziegenba/s_1864.htm). Das Buch enthält 

viele Mathematica-Beispiele. Das Konzept des Algorithmus 

zählt zu den fundamentalen Begriffen von Mathematik und 

Informatik. Herr Ziegenbalg betrachtet vor allem die historische 

Entwicklung (subjektive Anmerkung: die Geschichte 

des ” Homo Fabers“). 

Herr Dr. Gille aus Halle untersuchte Identitäten, die zyklometrische 

Funktionen enthalten, und zeigte: Mit Hilfe 

von Mathematica-Funktionen lassen sich nicht-triviale Identitäten 

untersuchen. Herr Gille betrachtete die vielfältigen 

Möglichkeiten von Simplify bzw. FullSimplify; diese 

Mathematica-Funktionen eignen sich zur Überprüfung, zur 

Vereinfachung und zum maschinellen Beweisen von symbolischen 

Formeln. 

Mit der üblichen nachmittäglichen Kaffeerunde klang der 

Mathematica-Tag aus. Der ” Tag“ endete gegen 17 Uhr, und 

für das nächste Jahr ist ein weiterer geplant. 

Carsten Herrmann (Kiel) 

31 


Interdisziplinäres Kolloquium zur Anwendung von Mathematica in den Naturwissenschaften 

In[1]:= 

Weierstraß-Institut für 

Angewandte Analysis und Stochastik 

Mohrenstr. 39 

10117 Berlin 

In[1]:= ExpectedValuex^4, PoissonDistributionΜ, x 

Out[1]= Μ 7 Μ 2 6 Μ 3 Μ 4 

In[1]:= Assuming[x>=0&&y0]],Refine[Sqrt[x^2y^2]],0]] 

Out[1]= -x y 

26. November 2010 

NEU in Mathematica 8 : Umgangssprachliche Eingabe dank Wolfram|Alpha 

Probability & Statistics, Control System, Compilation, GPU-Nutzung, Image Processing, 

Wavelet Analysis, Graph Theory& Networks ....http://www.ordinate.de/wolfram/mathem.htm 

ListLinePlot 

Re, Im & LinearRecurrenceExpI Pi Sqrt2, I 1.1, 1, 1, 100, 

PlotRange All, AspectRatio Automatic 

Out[1]= 10 5 5 10 

10 

5 

5 

10 

Informationen und Anmeldung unter http:www.ordinate.de/mathematicaTag.html 

mathemas ordinate CERTIFIED 

RESELLER 

2010 

Poster XII. Berliner Mathematica-Tag

1. ECCAD 2011 – The East Coast Computer 

Algebra Day 

Waterloo, Kanada, 09.04.2011 

http://cs.uwaterloo.ca/conferences/ 

eccad2011 

East Coast Computer Algebra Day (ECCAD) is a one-day 

meeting for those active or interested in computer algebra. It 

provides opportunities to learn and to share new results and 

current work in progress. The schedule includes prominent 

invited speakers and a panel discussion, along with contributed 

posters and software demonstrations. Plenty of time is 

allowed for unstructured interaction among the participants. 

Researchers, teachers, students, and users of computer algebra 

are all welcome! There is no registration fee, but preregistration 

is strongly encouraged. Proposals are invited for 

poster presentations and software demonstrations on any topic 

related to computer algebra. 

2. PCA 2011 – The 4th Annual International 

Conference Polynomial Computer Algebra’2011 

St. Petersburg, Russland, 17. – 22.04.2011 

http://www.pdmi.ras.ru/EIMI/2011/pca/ 

index.html 

The Euler International Mathematical Institute and St. Petersburg 

Department of Steklov Institute of Mathematics 

RAS are organizing the 4th Annual International Conference 

Polynomial Computer Algebra’2011 to be held April 17 – 

22, 2011 in Saint Petersburg, Russia. 

The main subjects of the conference are: Groebner bases, 

combinatorics of monomial orderings, differential bases, 

involutive algorithms, computational algebraic geometry, 

D-modules, polynomial differential operators, parallelization 

of algorithms, algorithms of tropical mathematics, 

quantum computing, cryptography, matrix algorithms, complexity 

of algorithms. 

3. 82. Jahrestagung der GAMM 

Graz, Österreich, 18. – 21.04.2011 

http://www.gamm2011.tugraz.at/ 

The GAMM cordially invites you to its 82nd Annual Scientific 

Conference in Graz, Austria. The GAMM was founded 

in 1922 by Ludwig Prandtl and Richard von Mises. The society 

promotes scientific development in all areas of applied 

mathematics and mechanics. 

On behalf of the DGLR and the GAMM we also invite you 

to the 54th Ludwig Prandtl Memorial Lecture, which opens 

the conference program on Monday, April 18, 2011. Within 

the conference we invite all GAMM members to the regular 

General Assembly of GAMM on Wednesday, April 20, 

2011. 

Hinweise auf Konferenzen 

32 

4. WWCA 2011, W80 – Waterloo Workshop on 

Computer Algebra 2011, W80 

Waterloo, Kanada, 26. – 30.05.2011 

http://www.cargo.wlu.ca/W80 

WWCA 2011, W80 is devoted to celebrating the achievements 

and influence of Herbert S. Wilf on the occasion of 

his 80th birthday. The invited speakers are 

• Herbert Wilf, University of Pennsylvania, USA 

• Gert Almkvist, University of Lund, Sweden 

• George E. Andrews, Pennsylvania State University, 

USA 

• Miklos Bona, University of Florida, USA 

• David Bressoud, Macalester College, USA 

• Rod Canfield, University of Georgia, USA 

• Sylvie Corteel, Universite Paris 7, France 

• Aviezri Fraenkel, Weizmann Institute of Science, 

Israel 

• Ira Gessel, Brandeis University, USA 

• Ian Goulden, University of Waterloo, Canada 

• Ronald Graham, UCSD, USA 

• Andrew Granville, Universite de Montreal, Canada 

• Curtis Greene, Haverford College, USA 

• Joan Hutchinson, Macalester College, USA 

• David Jackson, University of Waterloo, Canada 

• Christian Krattenthaler, University of Vienna, Austria 

• Victor H. Moll, Tulane University, USA 

• Andrew Odlyzko, University of Minnesota, USA 

• Peter Paule, RISC-Linz, Austria 

• Robin Pemantle, University of Pennsylvania, USA 

• Marko Petkovsek, University of Ljubljana, Slovenia 

• Bruce Sagan, Michigan State University, USA 

• Carla D. Savage, NCSU, USA 

• Jeffrey Shallit, University of Waterloo, Canada 

• Richard Stanley, MIT, USA 

• John Stembridge, University of Michigan, USA 

• Volker Strehl, Universität Erlangen, Germany 

• Michelle Wachs, University of Miami, USA 

• Doron Zeilberger, Rutgers University, USA 

5. MEGA 2011 – Effective Methods in Algebraic 

Geometry 

Stockholm, Schweden, 30.05. – 03.06.2011 

http://www.math.kth.se/mega2011/ 

The eleventh conference MEGA will be held at Stockholm 

University from Monday, 30 May to Friday, 3 June 2011. 

MEGA is the acronym for Effective Methods in Algebraic 

Geometry (and its equivalent in Italian, French, Spanish, 

German, Russian, etc.), a series of roughly biennial conferences 

on computational and application aspects of Algebraic 

Geometry and related topics with very high standards.

Previous meetings were held in 1990 (Castiglioncello, Italy), 

1992 (Nice, France), 1994 (Santander, Spain), 1996 (Eindhoven, 

Nederlands), 1998 (St. Malo, France) 2000 (Bath, United 

Kingdom), 2003 (Kaiserslautern, Germany), 2005 (Porto 

Conte, Italy), 2007 (Strobl, Austria), and 2009 (Barcelona, 

Spain). 

Proceedings containing a selection of the papers and invited 

talks presented at previous MEGA conferences have been 

published by Birkhäuser in the series Progress in Mathematics 

(volumes no. 94, 109 and 143), by the Journal of Pure 

and Applied Algebra (volumes no. 117 and 118, 139 and 

164) and by the Journal of Symbolic Computation (volumes 

no. 39 3-4 and 42 1-2). 

6. CoCoA 2011 – International School on 

Computer Algebra 

Passau, 06. – 10.06.2011 

http://cocoa.dima.unige.it/conference/ 

cocoa2011/ 

Die CoCoA-Schule richtet sich an Diplomanden und Doktoranden 

aus der ganzen Welt, die an Themen aus der kommutativen 

Algebra oder algebraischen Geometrie arbeiten 

und das Computeralgebrasystem CoCoA einsetzen wollen. 

Es wird zwei Kurse mit zugehörigen Tutorien geben: Involutive 

Bases (Werner Seiler, Tutorien: Eduardo Saenz de Cabezon) 

sowie einen Kurs von Giuseppe Valla (Tutorien: Anna 

Bigatti). 

Die CoCoA-Schule findet bereits zum siebten Mal statt, jedoch 

erstmals in Deutschland. Neben den Kursen und Tutorien 

wird auch eine Poster-Session angeboten, in der die 

Teilnehmer ihre eigenen Arbeiten präsentieren können. Details 

zur Anmeldung und Durchführung sind auf der angegebenen 

Webseite abrufbar. 

7. ISSAC 2011 – International Symposium on 

Symbolic and Algebraic Computation 

San Jose, Kalifornien, USA, 08. – 11.06.2011 

http://www.issac-conference.org/2011 

The International Symposium on Symbolic and Algebraic 

Computation (ISSAC) is the premier conference for research 

in symbolic computation and computer algebra. ISSAC 2011 

is the 36th meeting in the series, started in 1966 and held 

annually since 1981, in North America, Europe and Asia. 

The conference presents a range of invited speakers, tutorials, 

poster sessions, software demonstrations and vendor exhibits 

with a centerpiece of contributed research papers. All 

areas of computer algebra and symbolic computation are of 

interest. 

8. ICCSA 2011 – International Conference on 

Computational Science and Its Applications 

Santander, Spanien, 20. – 23.06.2011 

http://www.iccsa.org 

The 2011 International Conference on Computational 

Science and Applications (ICCSA 2010) will be held on June 

20-23, 2011, at the University of Cantabria, Santander, 

Spain. 

ICCSA 2011 will be the next event in a series of highly 

successful International Conferences on Computational 

Science and Its Applications (ICCSA), previously held in 

Fukuoka, Japan (2010), Suwon, Korea (2009), Perugia, Italy 

(2008), Kuala Lumpur, Malaysia (2007), Glasgow, UK 

33 

(2006), Singapore (2005), Assisi, Italy (2004), Montreal, Canada 

(2003), and (as ICCS) Amsterdam, The Netherlands 

(2002) and San Francisco, USA (2001). 

Computational Science is a main pillar of most of the present 

research, industrial and commercial activities and plays 

a unique role in exploiting Information and Communication 

Technologies as innovative technologies. 

The ICCSA Conference offers a real opportunity to discuss 

new issues, tackle complex problems and find advanced 

enabling solutions able to shape new trends in Computational 

Science. 

9. Industrial Applications and Prospects of 

Computer Algebra 

Kaiserslautern, 21. – 22.06.2011 

http://www.fachgruppe-computeralgebra. 

de/cms/tiki-index.php?page=Tagungen. 

Kaiserslautern-2011 

Am 21. und 22. Juni 2011 veranstaltet die Fachgruppe 

Computeralgebra in den Räumen des Fraunhofer ITWM 

in Kaiserslautern einen Workshop zu Industrieanwendungen 

von Computeralgebra. Hauptaugenmerk liegt dabei 

auf der Schnittstelle zwischen mathematischen und praktischen 

Aspekten des Computeralgebraeinsatzes sowie auf 

Computeralgebra-Tools. Weitere Details finden Sie auf Seite 

9. 

10. CAI 2011 – 4th International Conference on 

Algebraic Informatics 

Linz, Österreich, 21. – 24.06.2011 

http://www.risc.jku.at/conferences/ 

cai2011 

CAI 2011 continues the tradition established by CAI 2005, 

CAI 2007, and CAI 2009: to bring together researchers from 

theoretical computer science and algebra. This should enhance 

the understanding of syntactic and semantic problems 

by algebraic models; and it should also propagate the application 

of modern techniques from informatics in algebraic 

computation. 

11. IMACS-ACA 2011 – 17th International Conferences 

on Applications of Computer Algebra 

Houston, Texas, USA, 27. – 30.06.2011 

http://buchberger.cs.lamar.edu/ACA2011/ 

In the past several years there has been a dramatic increase 

in the use of algebraic and symbolic computation in engineering, 

science and education. The ACA series of annual conferences 

is devoted to stimulating and enhancing this important 

progress through international meetings that emphasizes 

theoretical research and algorithm designs for software development 

and the applications of algebraic and symbolic computation 

in engineering, physical and medical sciences, pure 

and applied mathematics, education, communication and 

computer science. 

The conference consists of sessions organized by prominent 

researchers who will focus on their own application areas 

including Groebner basis algorithms, quantifier-elimination 

algorithms, algebraic and algorithmic aspects of differential 

and integral operators, high-performance computer algebra, 

multicore high-performance computer algebra algorithms, 

algebraic methods in statistics and system biology,

and algebraic methods in biological networks and algebraic 

computation in Boolean rings. 

12. CASC 2011 – 13th International Workshop on 

Computer Algebra in Scientific Computing 

Kassel, 05. – 09.09.2011 

http://www14.in.tum.de/CASC2011/ 

The methods of Scientific Computing play an important role 

in the natural sciences and engineering. Significance and 

impact of computer algebra methods and computer algebra 

systems for scientific computing has increased considerably 

over the last decade. The topics addressed in the CASC 

workshops cover all the basic areas of scientific computing 

as they benefit from the application of computer algebra 

methods and software. Examples are symbolic-numeric 

methods for differential, differential-algebraic and difference 

equations, exact and approximate computation, numerical simulation 

using computer algebra systems, algebraic methods 

in geometric modeling, algorithms and complexity in computer 

algebra, the application of computer algebra to the natural 

sciences and to engineering, and many more. The locations 

for CASC more or less alternate between former CIS 

countries and Germany. 

The 13th International Workshop on Computer Algebra in 

Scientific Computing, CASC 2011, will be held in Kassel. 

Local Arrangements Chair is Werner M. Seiler, and the program 

committee is headed by Wolfram Koepf and Evgenii 

V. Vorozhtsov. Submissions are due by April 1, 2011, and 

proceedings are scheduled to appear in the LNCS series. 

13. ACAT 2011 – 14th International Workshop 

on Advanced Computing and Analysis Techniques 

in Physics Research 

London, Großbritannien, 05. – 09.09.2011 

34 

http://acat.in2p3.fr/cgi-bin/twiki. 

source/bin/view/ACAT/WebHome 

The ACAT workshop series, created back in 1990 as AI- 

HENP (Artificial Intelligence in High Energy and Nuclear 

Research) has been covering the tremendous evolution 

of computing in its most advanced topics, trying to setup 

bridges between computer science, experimental and theoretical 

physics. 

The gap between the need for adapting applications to exploit 

the new hardware possibilities and the push toward virtualisation 

of resources is widening, creating more challenges 

as technical and intellectual progress continues. 

One of the conference topics is Computer Algebra Techniques 

and Applications. 

14. ECC 2011 – The 15th Workshop on Elliptic 

Curve Cryptography 

LORIA, Nancy, Frankreich, 19. – 21.09.2011 

http://ecc2011.loria.fr/ 

ECC 2011 is the 15th in a series of annual workshops dedicated 

to the study of elliptic curve cryptography and related 

areas. Over the past years the ECC conference series has 

broadened its scope beyond elliptic curve cryptography and 

now covers a wide range of areas within modern cryptography. 

For instance, past ECC conferences included presentations 

on hyperelliptic curve cryptography, pairing-based 

cryptography, side-channel attacks, voting protocols, quantum 

key distribution, AES, hash functions, and implementation 

issues. 

At the same time ECC continues to be the premier conference 

on elliptic curve cryptography. It is hoped that ECC 

2011 will further our mission of encouraging and stimulating 

research on the security and implementation of elliptic 

curve cryptosystems and related areas, and encouraging collaboration 

between mathematicians, computer scientists and 

engineers in the academic, industry and government sectors. 

As with past ECC conferences, there will be about 15 invited 

lectures (and no contributed talks) delivered by internationally 

leading experts. There will be both state-of-the-art survey 

lectures as well as lectures on latest research developments. 

There will be a summer school on Elliptic and Hyperelliptic 

Curve Cryptography the week before ECC in Nancy. The 

course is intended for graduate students in cryptography and 

mathematics, and will take place September 12-16. Introductory 

topics on elliptic curves and cryptographic applications 

will be covered, with an emphasis on providing a strong 

background in support of the research talks at ECC. 

15. Jahrestagung der DMV 

Köln, 19. – 22.09.2011 

http://www.mi.uni-koeln.de/algebra/ 

dates/dmv2011/ 

Die Jahrestagung der DMV 2011 findet vom 19. bis 22. September 

an der Universität zu Köln statt. In diesem Zeitraum 

findet auch die Mitgliederversammlung der DMV statt.

Zu den Hauptvortragenden gehören Holger Dette (Bochum), 

Irene Fonseca (Pittsburgh), Bernhard Keller (Paris), Matthi- 

as Kreck (Bonn), Shrawan Kumar (Chapel Hill), Ladislav 

Kvasz (Prag), Christian Lubich (Tübingen), Ken Ono (Madi- 

son), Francisco Santos Leal (Cantabria) und Simone Warzel 

(München). 

Jahrestagung 19.-22.9.11 Köln 

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6 

Hauptvortragende: Holger Dette (Bochum) 

Irene Fonseca (Pittsburgh) Bernhard Keller (Paris) 

Matthias Kreck (Bonn) Shrawan Kumar (Chapel Hill) 

Ladislav Kvasz (Prag) Christian Lubich (Tübingen) 

Ken Ono (Atlanta) Francisco Santos (Santander) 

Marcus du Sautoy (Oxford) Simone Warzel (München) 

Podiumsdiskussion: Martin Grötschel (Berlin), Matthias Kreck (Bonn) 

Studierendenkonferenz Mathematik 

Organisation: Mathematisches Institut der Universität zu Köln 

Infos: www.mi.uni-koeln.de/dmv2011 

D 

201 1c○ G. Sweers 

Der Farbton jedes Quadrats in dem Bild wird bestimmt durch die entsprechende Ziffer aus der Dezimaldarstellung von π; die Intensität wird bestimmt durch ein Bild des Kölner Doms. 

16. AKMUI 2011 – Jahrestagung des Arbeitskrei- 

ses Mathematikunterricht und Informatik 

Soest, 23. – 25.09.2011 

http://didaktik-der-mathematik.de/ak/ 

mui 

Vom 23.-25.9.2011 findet in Soest die Jahrestagung des Ar- 

beitskreises Mathematikunterricht und Informatik statt, zu 

der auch die an Mitglieder der Fachgruppe Computeralgebra 

herzlich eingeladen sind. Das Tagungsthema lautet in diesem 

Jahr ” Verfügbare digitale Werkzeuge im Mathematikunter- 

richt richtig nutzen“. Dabei soll auf die Schulrealität – in der 

Handys, Whiteboards und Computerlabore existieren – ein- 

gegangen werden und Wege gezeigt werden, wie mit diesen 

Medien effektiver (und vielleicht auch besserer) Mathema- 

tikunterricht umgesetzt werden kann. Weitere Informationen 

und die ausführliche Einladung zur Tagung finden sich in 

Kürze auf der Webseite des Arbeitskreises. 

17. SYNASC 2011 – The 13th International Sym- 

posium on Symbolic and Numeric Algorithms 

for Scientific Computing 

Timisoara, Rumänien, 26. – 29.09.2011 

http://synasc11.info.uvt.ro/ 

SYNASC aims to stimulate the interaction between the two 

scientific communities of symbolic and numeric computing 

and to exhibit interesting applications of the areas both in 

theory and in practice. The choice of the topic is motiva- 

ted by the belief of the organizers that the dialogue between 

the two communities is very necessary for accelerating the 

progress in making the computer a truly intelligent aid for 

mathematicians and engineers. 

The research papers accepted for the conference will be col- 

lected as post-proceedings published by IEEE Computer So- 

ciety Press (ISI Proceedings). 

Honorary Chairs of SYNASC 2011 are Bruno Buchberger 

(Johannes Kepler University, Austria) and Stefan Maruster 

(West University of Timisoara, Romania). 

18. INFORMATIK 2011 – Jahrestagung der GI 

TU Berlin, 04. – 07.10.2011 

http://www.informatik2011.de 

Unter dem Motto ” Informatik schafft Communities“ findet 

vom 4.-7.10.2011 die Jahrestagung ” Informatik 2011“ der 

Gesellschaft für Informatik in Berlin statt. Dazu sind zeit- 

gleich eine Reihe von Workshops und Tutorials zu aktuellen 

Themen der Informatik geplant. 

35

Berufungen 

Prof. Dr. Werner Bley (Kassel) hat einen Ruf auf eine W2-Professur für Mathematik am Lehrstuhl für Algebraische 

Geometrie an der Ludwig-Maximilians-Universität München angenommen. 

(http://www.mathematik.uni-muenchen.de/) 

Dr. Michael Dettweiler (Heidelberg) hat einen Ruf auf eine Professur an der Universität Bayreuth angenommen. 

(http://www.zahlentheorie.uni-bayreuth.de) 

Prof. Dr. Gilbert Greefrath hat zum 01.03.11 eine W2-Professur für Didaktik der Mathematik an der Westfälischen 

Wilhelms-Universität Münster angetreten. Seine Forschungsschwerpunkte sind der Einsatz von digitalen 

Werkzeugen und Realitätsbezüge im Mathematikunterricht. 

(http://www.greefrath.de) 

36

Aufnahmeantrag für Mitgliedschaft in der Fachgruppe Computeralgebra 

(Im folgenden jeweils Zutreffendes bitte im entsprechenden Feld [ ] ankreuzen bzw. ausfüllen.) 

Titel/Name: Vorname: 

Privatadresse 

Straße/Postfach: 

PLZ/Ort: Telefon: 

E-mail: Telefax: 

Dienstanschrift 

Firma/Institution: 

Straße/Postfach: 

PLZ/Ort: Telefon: 

E-mail: Telefax: 

Gewünschte Postanschrift: [ ] Privatadresse [ ] Dienstanschrift 

1. Hiermit beantrage ich zum 1. Januar 201 die Aufnahme als Mitglied in die Fachgruppe 

Computeralgebra (CA) (bei der GI: 0.2.1). 

2. Der Jahresbeitrag beträgt e 7,50 bzw. e 9,00. Ich ordne mich folgender Beitragsklasse zu: 

[ ] e 7,50 für Mitglieder einer der drei Trägergesellschaften 

[ ] GI Mitgliedsnummer: 

[ ] DMV Mitgliedsnummer: 

[ ] GAMM Mitgliedsnummer: 

Der Beitrag zur Fachgruppe Computeralgebra wird mit der Beitragsrechnung der Trägergesellschaft in Rechnung 

gestellt. (Bei Mitgliedschaft bei mehreren Trägergesellschaften wird dies von derjenigen durchgeführt, zu 

der Sie diesen Antrag schicken.) [ ] Ich habe dafür bereits eine Einzugsvollmacht erteilt. Diese wird hiermit 

für den Beitrag für die Fachgruppe Computeralgebra erweitert. 

[ ] e 7,50. Ich bin aber noch nicht Mitglied einer der drei Trägergesellschaften. Deshalb beantrage ich gleichzeitig 

die Mitgliedschaft in der 

[ ] GI [ ] DMV [ ] GAMM. 

und bitte um Übersendung der entsprechenden Unterlagen. 

[ ] e 9,00 für Nichtmitglieder der drei Trägergesellschaften. [ ] Gleichzeitig bitte ich um Zusendung von Informationen 

über die Mitgliedschaft in folgenden Gesellschaften: 

[ ] GI [ ] DMV [ ] GAMM. 

3. Die in dieses Formular eingetragenen Angaben werden elektronisch gespeichert. Ich bin damit einverstanden, dass 

meine Postanschrift durch die Trägergesellschaften oder durch Dritte nach Weitergabe durch eine Trägergesellschaft 

wie folgt genutzt werden kann (ist nichts angekreuzt, so wird c. angenommen). 

[ ] a. Zusendungen aller Art mit Bezug zur Informatik, Mathematik bzw. Mechanik. 

[ ] b. Zusendungen durch wiss. Institutionen mit Bezug zur Informatik, Mathematik bzw. Mechanik. 

[ ] c. Nur Zusendungen interner Art von GI, DMV bzw. GAMM. 

Ort, Datum: Unterschrift: 

Bitte senden Sie dieses Formular an: 

Fachgruppe Computeralgebra 

Prof. Dr. Wolfram Koepf 

Institut für Mathematik 

Universität Kassel 

Heinrich-Plett-Str. 40 

34132 Kassel 

0561-804-4207, -4646 (Fax) 

koepf@mathematik.uni-kassel.de

Fachgruppenleitung Computeralgebra 2011-2014 

Sprecherin: 

Prof. Dr. Eva Zerz 

Lehrstuhl D für Mathematik 

RWTH Aachen 

Templergraben 64, 52062 Aachen 

0241-80-94544, -92108 (Fax) 

eva.zerz@math.rwth-aachen.de 

http://www.math.rwth-aachen.de/˜Eva.Zerz/ 

Fachreferentin Publikationen und Promotionen: 

Prof. Dr. Anne Frühbis-Krüger 

Institut für Algebraische Geometrie 

Welfengarten 1, 30167 Hannover 

0511-762-3592 

fruehbis-krueger@math.uni-hannover.de 

http://www.mathematik.uni-kl.de/˜anne 

Fachreferent Computational Engineering, 

Vertreter der GAMM: 

Prof. Dr. Klaus Hackl 

Lehrstuhl für Allgemeine Mechanik 

Ruhr-Universität Bochum 

Universitätsstr. 150, 44780 Bochum 

0234-32-26025, -14154 (Fax) 

klaus.hackl@rub.de 

http://www.rub.de/lam 

Fachreferentin Fachhochschulen: 

Prof. Dr. Elkedagmar Heinrich 

Fachbereich Informatik, Hochschule für Technik, 

Wirtschaft und Gestaltung Konstanz 

Brauneggerstr. 55, 78462 Konstanz 

07531-206-343, -559 (Fax) 

heinrich@htwg-konstanz.de 

http://www.in.fh-konstanz.de/inhalte/de/KONTAKT/ 

persseiten_nbc/heinrich.html 

Fachreferent CA-Systeme und -Bibliotheken: 

Prof. Dr. Gregor Kemper 

Zentrum Mathematik – M11 

Technische Universität München 

Boltzmannstr. 3, 85748 Garching 

089-289-17454, -17457 (Fax) 

kemper@ma.tum.de 

http://www-m11.ma.tum.de/˜kemper 

Vertreter der DMV: 

Prof. Dr. Wolfram Koepf 

Institut für Mathematik 

Universität Kassel 

Heinrich-Plett-Str. 40, 34132 Kassel 

0561-804-4207, -4646 (Fax) 

koepf@mathematik.uni-kassel.de 

http://www.mathematik.uni-kassel.de/˜koepf 

Fachreferent CA an der Hochschule: 

Prof. Dr. Gunter Malle 

Fachbereich Mathematik 

Technische Universität Kaiserslautern 

Gottlieb-Daimler-Straße, 67663 Kaiserslautern 

0631-205-2264, -3989 (Fax) 

malle@mathematik.uni-kl.de 

http://www.mathematik.uni-kl.de/˜malle 

Fachexperte Schule: 

OStR Jan Hendrik Müller 

Rivius-Gymnasium der Stadt Attendorn 

Westwall 48, 57439 Attendorn 

02722-5953 (Sekretariat) 

jan.mueller@math.uni-dortmund.de 

www.mathebeimueller.de 

Redakteur Rundbrief: 

Dr. Michael Cuntz 

Fachbereich Mathematik 

Technische Universität Kaiserslautern 

Postfach 3049, 67653 Kaiserslautern 

0631-205-2515 

cuntz@mathematik.uni-kl.de 

http://www.mathematik.uni-kl.de/˜cuntz 

Stellvertretender Sprecher: 

Prof. Dr. Florian Heß 

Carl-von Ossietzky Universität Oldenburg 

Institut für Mathematik, 26111 Oldenburg 

0441-798-2906, -3004 (Fax) 

florian.hess@uni-oldenburg.de 

http://www.staff.uni-oldenburg.de/florian.hess 

Fachexperte Lehre und Didaktik: 

Prof. Dr. Gilbert Greefrath 

Universität zu Köln 

Seminar für Mathematik und ihre Didaktik 

Gronewaldstraße 2, 50931 Köln 

0221-470-4755 

g.greefrath@uni-koeln.de 

http://www.greefrath.de 

Fachreferent Physik: 

Dr. Thomas Hahn 

Max-Planck-Institut für Physik 

Föhringer Ring 6, 80805 München 

089-32354-300, -304 (Fax) 

hahn@feynarts.de 

http://wwwth.mppmu.mpg.de/members/hahn 

Fachexperte Industrie: 

Prof. Dr. Michael Hofmeister 

Siemens AG 

Corporate Technology 

Modeling, Simulation, Optimization 

Otto-Hahn-Ring 6, 81739 München 

089-636-49476, -42284 (Fax) 

michael.hofmeister@siemens.com 

http://www.siemens.com 

Fachreferent Schwerpunktprogramm 1489: 

Prof. Dr. Jürgen Klüners 

Mathematisches Institut der Universität Paderborn 

Warburger Str. 100, 33098 Paderborn 

05251-60-2646, -3516 (Fax) 

klueners@math.uni-paderborn.de 

http://www2.math.uni-paderborn.de/people/ 

juergen-klueners.html 

Fachreferent Themen und Anwendungen: 

Prof. Dr. Martin Kreuzer 

Fakultät für Informatik und Mathematik 

Universität Passau 

Innstr. 33, 94030 Passau 

0851-509-3120, -3122 (Fax) 

martin.kreuzer@uni-passau.de 

http://www.fim.uni-passau.de/˜kreuzer 

Vertreter der GI: 

Prof. Dr. Ernst W. Mayr 

Lehrstuhl für Effiziente Algorithmen 

Fakultät für Informatik 

Technische Universität München 

Boltzmannstraße 3, 85748 Garching 

089-289-17706, -17707 (Fax) 

mayr@in.tum.de 

http://www.in.tum.de/˜mayr/ 

Koordinator Internetauftritt: 

Prof. Dr. Hans-Gert Gräbe 

Institut für Informatik 

Universität Leipzig 

Postfach 10 09 20, 04009 Leipzig 

0341-97-32248 

graebe@informatik.uni-leipzig.de 

http://www.informatik.uni-leipzig.de/˜graebe 

Redakteurin Rundbrief: 

Dr. Gohar Kyureghyan 

Otto-von-Guericke Universität Magdeburg 

Institut für Algebra und Geometrie 

Universitätsplatz 2, 39106 Magdeburg 

0391-67-11650, -11213 (Fax) 

gohar.kyureghyan@ovgu.de 

http://fma2.math.uni-magdeburg.de/˜gkyureg

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Wurzeln einer Matrix - Fachgruppe Computeralgebra

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