Wiener Maß - Institut für Mathematik - TUHH

Wiener Maß
Seminar über Mathematik
Institut für Numerische Simulation
Technische Universität Hamburg-Harburg
Khaled Alshurafa

Agenda
1. Rückblick und Einführung
2. Konstruktion
3. Wärmegleichung mit Potenzial
4. Physikalische Notation für das Wiener Maß

Brownsche Bewegung
Die Brownsche Bewegung ist ein stochastischer Prozess w(ω,t),
ω∈Ω, 0

Wiener Maß
Ein Wahrscheinlichkeitsmaß im Raum der stetigen
Funktionen ist so zu erzeugen, dass die Funktionen
der Brownschen Bewegung die Wahrscheinlichkeit
1 ergeben.
Also ein Maß in einem Raum
von Funktionen, so dass nur
die Funktionen der Brownschen
Bewegung gelten.

1. Rückblick und Einführung
2. Konstruktion
3. Wärmegleichung mit Potenzial
4. Physikalische Notation für das Wiener Maß

Ergebnisraum Ω
Betrachten wir den Raum von stetigen Funktione
u(t) , deren u(0) = 0.
Diese Sammlung ist jetzt unser Ergebnisraum Ω.
t
Unser Experiment: Eine stetige
Funktion mit u(0) = 0 in Ω zu
schaffen.

σ-Algebra
Definieren wir eine σ-Algebra.
Eine Familie (Menge) Σ 0 von Teilmengen aus S, heisst eine σ-Algebra
auf S, wenn
1. Ø , S ∈ Σ0 2. Falls A ∈ Σ , dann A 0 c ∈ Σ auch 0
3. Wenn A 1 , A 2 , ..
∈ Σ 0 → {A 1 ,A 2 ,…….,A n
,…..} ist endlich und
abzählbar in Σ 0 , dann ist jede Vereinigung von den Elementen von A
auch in Σ 0 .

Zylindermengen
Wählen wir einen Augenblick, z.B. t 1 und assoziieren ihn
mit einem Intervall [a 1 , b 1 ].
a 1
b 1
t 1
t

Zylindermengen
Alle stetigen Funktionen, die dieses Intervall durchlaufen,
bilden die Teilmenge C 1 , genannt Zylindermenge.
a 1
b 1
t 1
C 1
t

Zylindermengen
C i ist die Teilmenge aller stetigen Funktionen, die
das Intervall [a i , b i ] im Moment t i durchlaufen.
a i
b i
t i
C i
t

Betrachten wir C 1 und C 2
a 2
b 2
a 1
b 1
t 1
Zylindermengen
C 1
t 2
C 2
t

Zylindermengen
Dann ist die Menge C 1 C 2 von Funktionen, die beide
Intervalle durchlaufen.
Die Menge C 1 C 2 von Funktionen, die entweder durch
C 1 oder C 2 durchlaufen.

a 2
b 2
a 1
b 1
t 1
Zylindermengen
Dann ist die Menge C 1 C 2 von Funktionen, die beide
Intervalle durchlaufen.
Die Menge C 1 C 2 von Funktionen, die entweder durch
C 1 oder C 2 durchlaufen.
C 1 C 2
C 1
t 2
C 2
t

a 2
b 2
a 1
b 1
t 1
Zylindermengen
Dann ist die Menge C 1 C 2 von Funktionen, die beide
Intervalle durchlaufen.
Die Menge C 1 C 2 von Funktionen, die entweder durch
C 1 oder C 2 durchlaufen.
C 1
C 1 C 2
t 2
C 2
t

P(C ) 1
Die Zylindermengen bilden eine σ-Algebra im Raum
der stetigen Funktionen in [0,1], bei denen u(0) = 0 gilt .
Wir wollen nun ein Maß definieren!
Wir betrachten die Zylindermenge C 1.
Falls die Funktionen, die der Zylindermenge C 1 gehören,
Brownscher Bewegungen sind, dann:

P(C C ) 1 2
Wir betrachten die Durchschnittsmenge
C 1 C 2 von den Zylindermengen C 1 und C 2 ,
wobei t 2 > t 1 .
Gemäß den Axiomen der Brownschen Bewegung sind nichtüberlappende
Zuwächse unabhängige, zufällige Variablen
mit Gaußverteilungen.
Die P, dir wir an C 1 C 2 zuordnen sollen, ist

Vom Wahrscheinlichkeitsmaß
zum Wiener Maß
Um dieses definierte Maß als ein
Wahrscheinlichkeitsmaß zu beweisen, brauchen
wir zu zeigen, dass die Axiome der
Wahrscheinlichkeit erfüllt sind.
Wahrscheinlichkeitsmaß P(A) ist so eine Abbildung, die
jedem Ereignis eine reelle Zahl zuordnet, dass folgendes
gilt:
1. P(Ω) = 1
2. 0 ≤ P ≤ 1
3. Ist A n eine Folge von Ereignissen, die einander
paarweise ausschließen, so gilt

Vom Wahrscheinlichkeitsmaß
zum Wiener Maß
Um dieses definierte Maß als ein
Wahrscheinlichkeitsmaß zu beweisen, brauchen
wir zu zeigen, dass die Axiome der
Wahrscheinlichkeit erfüllt sind.
Brownsche Bewegung P(Ω) = 1
De Morgansche Gesetz
Dieses Maß ist das Wiener Maß.

Funktional
Eine Zahl F einer stetigen Funktion zuordnen.
Annahme: u(s) ist eine stetige Funktion,
u(0) = 0 und 0 ≤ s ≤ 1, dann:
F = 0∫ 1 u 2 (s)ds.
Alle Abbildungen, die eine Zahl
einer Funktion zuordnen,
heißen funktional.
Funktionales Auswirken auf eine Funktion u(.) wird
als F [u(.)] bezeichnet.
F ist eine Funktion auf Ω, der Raum der stetigen Funtionen,
die vom Ursprung anfangen.
Integrale in Bezug auf das Wiener
Maß werden ∫dW bezeichnet

wenn X c die
dann ∫X c dW = P(C)
Funktional
Eine Zahl einer BB zuordnen
charakteristische
Funktion von der
Menge C ist
X c = 1, wenn ω ∈ C;
X c = 0, sonst
Falls wir zu jeder BB w die Zahl F[u(.)] zuordnen,
dann ist das Integral ∫F[w(.)]dW der Erwartungswert von F,
solange w die ganzen möglichen Brownschen Bewegungen
durchläuft.

Beispiel
Nehmen wir an, dass F[u(.)] = w 2 (1) ist
w(1) ist eine zufällige, gaußverteilte Variable mit
E[w] = 0 und σ 2 = 1:

1. Rückblick und Einführung
2. Konstruktion
3. Wärmegleichung mit Potenzial
4. Physikalische Notation für das Wiener Maß

Wärmegleichung mit Potenzial
v t = ½ v xx + U(x)v
mit den Anfangswerten v(x,0) = Φ(x)

Wärmegleichung mit Potenzial
v t = ½ v xx + U(x)v
Approximation der Gleichung *
Legende
k: Abstand zw. den horizontalen Linien
h: Abstand zw. den vertikalen Linien
n V = V(ih, nk) ist die Gatterfunktion
i
U i = U(ih)
* Mit Hilfe von Finite-Differenzen-Methode

Wärmegleichung mit Potenzial
v t = ½ v xx + U(x)v
Approximation der Gleichung
Konsistenz überprüfen

Wärmegleichung mit Potenzial
v t = ½ v xx + U(x)v
Approximation der Gleichung
Konsistenz überprüfen
Abschneidefehler: τn i = O(k) + O(h2 ),
τn → 0,
wenn h → 0 und k → 0
i
Der Abschneidefehler ist von
Ordnung O(k) + O(h 2 ) und daher
klein.

Wärmegleichung mit Potenzial
v t = ½ v xx + U(x)v
Approximation der Gleichung
Konsistenz überprüfen
Vergleich der approx. Lösung mit der exakten Lösung
Mit λ = k/2h 2 *
* Mit Hilfe von „Recurrence Formula“. Mehr dazu auf S. 47 von [1]
Ziel: Zu zeigen, dass die approx.
Lösung gegen die exakte Lösung
konvergiert, wenn h → 0 und k →
0
Exakte Lösung
Approx. Lösung

Wärmegleichung mit Potenzial
v t = ½ v xx + U(x)v
Approximation der Gleichung
Konsistenz überprüfen
Vergleich der approx. Lösung mit der exakten Lösung
n+1 ei n n n
Fehler: e = vi - Vi
i

Wärmegleichung mit Potenzial
v t = ½ v xx + U(x)v
Approximation der Gleichung
Konsistenz überprüfen
Vergleich der approx. Lösung mit der exakten Lösung
n+1 ei Betrag von beiden Seiten, mit λ ≤ 1/2

Wärmegleichung mit Potenzial
v t = ½ v xx + U(x)v
Approximation der Gleichung
Konsistenz überprüfen
Vergleich der approx. Lösung mit der exakten Lösung
n+1 ei n+1 Ei |U(x)|≤ M, Mit den Definitionen von En (3.7) und
τn (3.8)*:
und dann:
* Mehr dazu auf S. 48 in [1]

Wärmegleichung mit Potenzial
v t = ½ v xx + U(x)v
Approximation der Gleichung
Konsistenz überprüfen
Vergleich der approx. Lösung mit der exakten Lösung
n+1 ei n+1 Ei

Wärmegleichung mit Potenzial
v t = ½ v xx + U(x)v
Approximation der Gleichung
Konsistenz überprüfen
Vergleich der approx. Lösung mit der exakten Lösung
n+1 ei n+1 Ei n Ei Die approximierte Lösung mit v(x,0) = Φ(x), E0 =0.
Zur Zeit t = nk wird En begrenzt durch
En → 0 wenn k
→ 0 und h
→ 0 mit λ ≤ ½
Die Approximation konvergiert

v t = ½ v xx + U(x)v
Approximation der Gleichung
Konsistenz überprüfen
Vergleich der approx. Lösung mit der exakten Lösung
n+1 ei n+1 Ei n Ei Wärmegleichung mit Potenzial
n+1 Vi Mit λ=½, die approx. Lösung:

Wärmegleichung mit Potenzial
Die approx. Lösung kann so ausgedruckt werden:
Summe
über alle
möglichen
Pfade
Anders als im Fall U = 0 , bringt jede Bewegung nach
rechts oder nach links nicht nur einen Faktor ½, sondern
den Faktor ½ · (1+ kU(x)).

Wärmegleichung mit Potenzial
Für die Wärmegleichung mit Potential, Ci ist gleich
jn
½ mal den Faktor(1+kU(hi )) für jeden Schritt von
m
jedem Pfad {i = i 0 , i 1 , i 2 , ..., i n = j} from (i,n) to (j,0):
Für einen
Pfad

Da (1 + kU i ) = e kU i + O(k 2 ) und jedes Produkt die Faktoren
n = O(k -1 ) hat, wir können das Produkt umschreiben:
Das produkt
von einem
Pfad
Wärmegleichung mit Potenzial
Alle Pfade zusammen addieren, die zur Summe bei j
beitragen:

Wärmegleichung mit Potenzial
Wenn k → 0, h → 0, ähneln diese Pfade („Walks“) zu
BB:
Mit w(.) als Pfad der BB
BB, die bei x anfängt

Wärmegleichung mit Potenzial
Die Lösung der Differentialgleichung:
Das ist die Formel: Feynman-Kac
Dieser Ausdruck ist nützlich in der
Quantenmechanik und in anderen Bereichen

1. Rückblick und Einführung
2. Konstruktion
3. Wärmegleichung mit Potenzial
4. Physikalische Notation für das Wiener Maß

Keine neuen Ideen, nur die neue Notation
Wir bezeichnen einige Ergebnisse bereits als erwiesen:
Wählen wir ein Ereignis C=C i , wo C i mit dem Intervall
[a i ,b i ] und t i = ih assoziert ist

Physikalische Notation
Wählen wir ein Ereignis C=C i , wo C i mit dem Intervall
[a i ,b i ] und t i = ih assoziert ist
Die Intervalle haben kleine Breiten (d.h b i – a i =du i ).Dann:

Physikalische Notation
Wählen wir ein Ereignis C=C i , wo C i mit dem Intervall
[a i ,b i ] und t i = ih assoziert ist
Die Intervalle haben kleine Breiten (d.h b i – a i =du i ).Dann:
Mit sehr schmalen Intervallen lassen sich die Integrale
wie folgt approximieren:
mit ui* ∈ [a ,b ]
i i

Physikalische Notation
Also P kann approximiert zu:
Mit [du] = du 1 du 2 ...du n und Z ist eine unveränderliche
Normalisierungskonstante:

Physikalische Notation
Wir haben gezeigt, dass die Wärmegleichung mit
Potenzial v t = ½ v xx + U(x)v mit den Anfangswerten
v(x,0) = Φ(x) diese Lösung hat:
Mit der neuen Notation haben wir:
heißt „eine Summe über Pfade“. Der formelle Ausdruck
[du] häufig als „dpath“ beschrieben.

Wiener Maß, Seminar über Mathematik
Institut für Numerische Simulation, TUHH
Danke
Khaled Alshurafa

Referenzen:
[1] A. J. Chorin und O. H. Hald, Stochastic Tools in
Mathematics and Science, Springer Verlag, 2006
[2] I. Karatzas und S.E. Shreve, Brownian Motion
and Stochastic Calculus, Springer Verlag, 1988
[3] http://de.wikipedia.org