2. Mechanik

2. Mechanik 

Mechanik ist ältester Teil der Physik 

Sachverhalte leicht sichtbar und greifbar, tägliche Erfahrung 

→ leichtes Erlernen der physikalischen Methodik und Denkweise 

Erste Erfahrungen: Pfeil + Bogen, Wurfmaschinen der alten Griechen und Römer 

Erste Beschreibung durch Newton ca. 1700 

2.1 Einführung 

Mechanik: Gleichgewicht und Bewegung von Körpern im Raum unter dem 

2.1.1 Einteilung 

Einfluß von Kräften 

Abgrenzung Beispiel 

Klassische Mechanik "Technik" Auto 

Relativitätstheorie hohe Geschwindigkeiten 

(Lichtgeschwindigkeit) 

Elektron in Braunscher 

Röhre, 

Astronomie 

Quantenmechanik "kleinste Körper" Atome, Moleküle, Kristalle 

Wellenmechanik Wechselwirkung von 

Klassische Mechanik: 

elektromagnetischen Wellen mit 

Atomen, Molekülen, Kristallen 

- Grenzfall der Relativitätstheorie für kleine Geschwindigkeiten 

- Grenzfall der Quanten- und Wellenmechanik für große Körper 

Diese Vorlesung: Klassische Mechanik 

"rote Sonne" beim Auf- und 

Untergang 

Blankenbach / PHYSIK Wärme + Thermodynamik / FH Pf / 25.08.10 1

2.1.2 Klassische Mechanik 

Gebiete Inhalt Beispiel 

Statik Kräfte Balkenwaage 

Kinematik Bewegungsformen Autofahrt, Wurf 

Dynamik Kräfte als Ursache der Bewegung 

Arbeit, Energie, Leistung, Impuls 

Freier Fall, Rakete, 

Schwingungen 

Reale Beschreibung meist schwierig, deshalb vereinfachte Beschreibung durch Modellkörper 

/ siehe auch „Aufbau der Materie – Materialkonstanten“ 

2.1.3 Modellkörper 

Definition Beispiel 

Massepunkt keine Ausdehnung,nur Masse Autofahrt (Kinematik) 

Starrer Körper Ausgedehnt, keine Verformung Balkenwaage (Statik, Dynamik) 

Elastischer Körper * Verformung Feder 

Ideale Flüssigkeit * keine Reibung Wasserströmung im Rohr 

Ideales Gas * kein Eigenvolumen Luftkompression 

(*): Mechanik Deformierbarer Medien 

Bedeutung der Mechanik: Vorhersage von (Bewegungs-) Zuständen, wenn der 

gegenwärtige Zustand (Anfangsbedingungen) bekannt ist. 

Beispiel: Vorhersage der Ankunftszeit eines Autos aus Restentfernung und Geschwindigkeit 

Problem: 

Messung aller Anfangsbedingungen und externer Einflüsse, z.B. Flug eines Luftballons 


Vorgehensweise zur erfolgreichen Lösung von Mechanik - 

Aufgaben 

- Skizze 

- Reibung ? 

- Modellkörper ? 

- Aufstellen der Bewegungsgleichung 

Fall: - Statik (a = v = 0) 

- Kinematik, Dynamik, Schwingungen T , R , T ↔ R 

Falls nicht Statik, Bewegungstyp ? 

Kinematik Dynamik 

Betrachte nur a: 

- a = 0 

- a = const. 

- a ≠ const. 

typisch: v, a, t gegeben 

bzw. gesucht 

- Kraftansatz ΣF = 0 , ΣM = 0 (typisch a gesucht) 

- Energieansatz Eges = const. (meist h oder v gegeben) 

- Impulsansatz Σp = const. (2 Körper stoßen aufeinander) 

(Schwingungen immer mit Kraftansatz) 

- Koordinatensystem festlegen und in Skizze einzeichnen und Variablen anpassen 

- Lösung dann mit Differential s & = v ; &s 

& = v& 

= a bzw. Integral v = ∫ adt 

; s = ∫ v dt = ∫∫a 

dt² 

- Anfangs- (t=0) bzw. Endbedingungen einsetzen 

PS.: Dies ist lediglich eine grobe Übersicht. 


2.2 Statik des Starren Körpers 

Definition: Körper mit genau definierter Form, welche sich nicht (nie) ändert 

Bsp: Stange, Quader 

Grenzfall: z. B. Lineal verbiegen 

Anwendung des Modellkörpers „Starrer Körper“ bei technischen Bau- und Maschinenteilen 

(Stein, Stange, ...) unter Vernachlässigung von Formänderungen (z.B. Biegung) 

Statik umfaßt Systeme, welche sich nicht (mehr) bewegen 

Bsp: Balkenwaage vor Auflegen Gewicht und wieder im eingeschwungenen (statischen) 

Zustand 

weiteres Bsp: Hausbau: Berechnung der Statik aber Dynamik Erdbeben � Einsturz 

Definition Statik 

Ein Starrer Körper befindet sich im Gleichgewicht, wenn die Wirkung aller auf ihn 

angreifenden Kräfte Null ist. 

Kraft kann z.B. durch Drücken (Gewicht, Lineal), Ziehen (Schnur) und Gewicht auflegen 

(Balkenwaage) erzeugt werden. Ein Starrer Körper deformiert sich dabei nicht. 

Versuche: 

- 2 Seile an Körper: Kraft offensichtlich vektoriell 

- Balkenwaage 


2.2.1 Kraft als Vektorielle Größe 

Die Kraftwirkung am Starren Körper hängt vom 

- Angriffspunkt (A, A') 

- Betrag (Größe) 

- Richtung 

des Kraftvektors F r ab. 

Einheit der Kraft: [F] = N = 

kg m 

s² 

JAVA Applett: Zerlegung einer Kraft in zwei Komponenten 

Kräfte auf Starren Körper (ausführlich: Vorlesung MB): 

- gemeinsamer Angriffspunkt : Schachtel mit 2 Schnüren in 1 Öse 

- unterschiedl. " : " " 2 Ösen 

Blankenbach / PHYSIK Wärme + Thermodynamik / FH Pf / 25.08.10 5 

y 

F' 

A ' 

x 

A 

1 N 

F

2.2.2 Kräfteaddition 

2.2.2.1 Kräfte mit gemeinsamem Angriffspunkt 

Mehrere Kräfte z.B. 3 Seile an einer Befestigung 

Kräfteaddition 

A 

F 3 


F 1 

F 2 

zeichnerisch : Konstruktion mit "Krafteck" 

r 

rechnerisch : 

r r r 

= F + F + F + ... 

Fr 1 2 3 

JAVA Applett: Gesamtkraft mehrerer Kräfte (Vektoraddition) 

Summationszeichen: S = ∑ 

i= 

Bsp: S 

= ∑ 

i= 

n 

3 

1 

1 

a 

i 

= 

1 

2 

r 

F 

r 

= 

n 

∑ 

i= 

1 

r 

F 

a + a + ... + a 

i = 1+ 

2 + 3 

= 

6 

i 

n 

Fr 

Krafteck: 

Kraftvektoren parallel 

verschieben 

(MS - 1)

Gleichgewicht zweier Kräfte Fr = 0 

Versuch: - Tauziehen 

F 2 

- Feder mit Gewicht → Federkraft = Gewichtskraft 

r 

Fr r r 

= F1 

+ F2 

= 0 (da Statik !) 

r 

→ F1 

= 

r r r 

− F2 

→ F1 

= F2 

F 1 

Versuch: Gewicht auf Tisch / Lineal durchbiegen 


F 

F 

Platte 

Gewicht 

Im Gleichgewicht ist Kraft gleich Gegenkraft: FP = - FG → FP + FG = 0 = Fr 

Konsequenz: Wenn ein Körper in Ruhe ist, können trotzdem Kräfte auf ihn wirken 

Newtonsches Grundgesetz der Statik 

Ein Kraft erzeugt eine gleich große Gegenkraft : actio = reactio 

besser: actio + reactio = 0 

andere Formulierung: 

gleichförmig 

Ohne äußere Kraftwirkung verharrt ein Körper in Ruhe (oder er bewegt sich 

(→ Kinematik) 

Grundgesetz der Statik 

FR = 0 bzw. Σ Fi = 0 

Bsp: Ball auf einem Tisch rollen lassen (Ist das noch Statik ?) 

(MS - 2)

2.2.2.2 Kräfte mit unterschiedlichem Angriffspunkt 

Beispiel 2 Angriffspunkte : 

Schachtel mit 2 Ösen 

Am Starren Körper kann eine Kraft längs ihrer 

Wirkungslinie verschoben werden 

Balkenwaage : Verfahren versagt bei parallelen Kräften, da Schnittpunkt im ∞ 

Parallele Kräfte 

F 1' 

-F H 

A 1 

F1 

Hebelgesetz 

F r 

D 

l 1 l 2 

A r ' 

F2 

A 2 

F H 

F2' 

Die Abstände der Kräfte von der Resultierenden 

verhalten sich umgekehrt wie die Kräfte 

JAVA Applett: Hebelgesetz 

Bsp: l1 ≈ l2 : Balkenwaage, Kinderwippe 


A 1 

F 1 

Vorgehensweise: 

A r 

F r 

A2 

1. Hilfskraft FH mit ( FH 

− FH 

= 0) 

r r r 

r r 

2. Konstruiere ' und F ' 

F1 2 

F 2 

3. Verschieben auf Wirkungslinie 

r r r 

4. Kräfteparallelogramm ergibt Fr 

= F1 

+ F2 

F 1 

l1 >> l2 : Hebel zum Möbelanheben, Brechstange 

F 1 = 

F 

2 

l1 l 2 

Gleichgew. 

Unterstützung 

l 

l 

2 

1 

F2 

(MS - 3)

Kraft auf Unterlage bei Schiefer Ebene 

α 

Neigungswinkel 

Hangabtriebskraft 

Normalkraft 

(Kraft auf Unterlage, 

F H 

relevant für Gleitreibung) 

JAVA Applett: Schiefe Ebene 

α 

F G 

s 

F N 

tan α = h / s 

FH = FG sin α 

FN = FG cosα 


h 

(MS - 4)

2.2.3 Drehmoment 

Was bewirkt Kraft auf drehbaren Körper ? Drehung 

Bsp: Schraube anziehen mit Gabelschlüssel 

Autoreifen: Drehmomentschlüssel 

Automotor : Drehmoment 

M /Nm 

U / 1/min 

Wirkt auf einen drehbaren Starren Körper eine Kraft, so erzeugt sie ein Drehmoment. 

Drehmoment 

[M] = Nm 

r 

M 

Das Drehmoment steht senkrecht auf r und F, 

da Vektorprodukt. 

r r r r r 

Betrag: M = r F sin α = l F 

D 

α 

A 

α 

r r 

r × F 

= (MS - 5) 

Anschaulich: 

Drehmoment 

- in Drehachsenrichtung 

- erzeugt Drehbewegung 

→ Kinematik der Rotation 


M 

D 

F 

r

Beispiel zum Drehmoment 

z 

M 

r 

x 

y 

F 

Gleichgewichtsbedingung Rotation 

⎛1 

⎜ 

r = 

r 


⎜ 

⎜ 

⎝ 

m⎞ 

⎟ 

0 ⎟ 

0 ⎟ 

⎠ 

⎛ 0 ⎞ 

⎜ ⎟ 

F = ⎜1N⎟ 

⎜ ⎟ 

⎝ 0 ⎠ 

r 

⎛1m⎞ 

⎛ 0 ⎞ ⎛ 0 ⎞ 

r r r ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 

M = r × F = ⎜ 0 ⎟ × ⎜1N⎟ 

= ⎜ 0 ⎟ 

⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 

⎝ 0 ⎠ ⎝ 0 ⎠ ⎝1Nm⎠ 

Ein drehbarer Starrer Körper ist im Gleichgewicht, wenn die Summe der angreifenden 

Drehmomente Null ergibt, d.h. er dreht sich nicht um seinen Drehpunkt. 

Bsp: Balkenwaage 

Grundgesetz der Statik für Rotation 

das ist Schwerpunktsbedingung ; vgl. Σ F = 0 

Hieraus folgt die Bedingung für den Schwerpunkt eines Starren Körpers. Der Schwerpunkt 

ist derjenige Aufhängepunkt, bei dem sich der Starre Körper unter dem Einfluß der 

Schwerkraft (Erdanziehungskraft) nicht dreht. 

n 

∑ 

i = 1 

M r 

i 

= 0 

(MS - 6)

Schwerpunkt 

Bsp: Hantel mit masseloser Stange 

m1 = m2 

Aus Gleichgewichtsbedingung und 

Hebelgesetz folgt: 

F 

F 

2 

a⋅ 

2 

2⋅ 

a 

1 = = 

1 

l1 l2 

m1 m 

S 

F1 F2 

0 a x 

X s 

Herleitung des Schwerpunktes mit Drehmoment und Schwergewichtsbedingung: 

r r 

Gesamtdrehmoment = Summe der Einzeldrehmomente: Σ M = 0 da r ⊥ F genügen 

Beträge 

Nebenbed.: l1 + l2 = a 

→ M1 + M2 - Mswp = 0 

→ m1 g x1 + m2 g x2 - (m1 + m2) g xs = 0 (x ≡ r) 

→ 

x 

s 

m1⋅ 

x1 

+ m2 

⋅ x 

= 

m + m 

Schwerpunkt 

1 

Schwerpunkt (allgemein) 

y und z analog 

2 

x 

2 

m ⋅0 

+ m ⋅a 

1 

2 

s = = a/2 

m1 

+ m2 

x 

s 

= 

∑ m i ⋅ 


∑ 

m 

x 

i 

i 

a 

1 

(MS - 7)

Experimentelle Schwerpunktsbestimmung 

durch Ausbalancieren - Aufhängen 

- Unterlegen einer Stange / Walze 

Schwerpunkt: wichtig bei Flugzeugen, Schiffen, Raketen , ... : "Lastverteilung" 

Antriebsloser Flug 

ideal 

Auftriebskraft 

Hebelwirkung 

Gewichtskraft in Abh. von Schwerpunktlage 

schwanzlastig kopflastig 

Einzelgeräte-Schwerpunkte während Konstruktionsphase über Drehmoment verkoppelt 

ergibt den Gesamtschwerpunkt. 

Anmerkung: 

Der Schwerpunkt kann auch außerhalb des Starren Körpers liegen. Bsp. Ring (Torus) 


2.3 Kinematik 

Beobachtung: Körper bewegen sich: Ball, Auto, Karusell, ... 

Beschreibung dieser Bewegung durch die Kinematik = Bewegungslehre 

Definition: 

Die Kinematik beschreibt die Bewegung von Körpern, ohne die Ursache für die Bewegung zu 

betrachten. 

Bewegung eines Körpers kann beliebig sein, die geradlinige Bewegung d.h. die Translation 

ist der einfachster Fall. Bei krummlinigen Bewegungen können einzelne Abschnitte durch 

Kreisbewegungen d.h. Rotationen und Translationen angefittet werden. 

Beispiel: - Ballwurf eines Kindes: Kreisförmige Bewegung mit translativem Abwurf. 

- Geradeausfahrt auf Autobahn + kreisförmige Ausfahrt 

Allgemein: Krummlinige Bewegung angefittet durch Translation + Rotation 

s(t) 

Translation 

Rotation 

Modellkörper - Translation : Massepunkt 


D 

R 

Massepunkt 

- Rotation : Massepunkt an steifer, gewichtsloser Stange

Versuch drehende Balkenwaage 

Starrer Körper, der um einen Drehpunkt (vgl. Drehmoment) rotiert, führt eine Kreisbewegung 

aus. 

Kreisbewegung in der Technik ebenso wichtig wie Translation, da alle rotierenden 

Gegenstände wie Antriebsachsen, Ritzel, Räder, ... Kreisbewegungen durchführen. 

Arten Translation Rotation 

Bewegung Geradlinig Drehung 

Koordinatensystem Rechtwinklig Polarkoordinaten 

Beschreibung Vektoren Skalare 

Weg s r ϕ 

Drehwinkel (Def. über Bogenmaß) 

Modellkörper Massepunkt Massepunkt an gewichtloser, 

drehbarer Stange 

Bsp: Aufzug Karusell 

Grundlage: Ortsänderung im Bezugssystem 

z 

Orts-Diagramm Weg-Zeit-Diagramm 

r 0 

t = T 0 t = T 1 

y 

s 

r 1 

x T0 T1 wichtig: geeignetes Bezugssystem: kartesische- - Polarkoordinaten ! 


s 

t

Relative Bewegungen 

Windstille ! 

Wie ist dieses Photo „entstanden“ ? 


2.3.1 Geschwindigkeit 

Maß für Wegänderung pro Zeiteinheit : Geschwindigkeit 

Def.: 

Ortsänderung pro Zeiteinheit 

≡ Geschwindigkeit 

[ ] 

v = 

m 

s 

bzw. vektoriell v s&r 

r = 

Geschwindigkeit = Zeitableitung des Weges 

v 

= 

∆ s ds 

= 

{ 

∆ t 

{ 

dt 

Differenz 

Bsp. Ableitung s.u. 

Zusammenhang : Weg - Geschwindigkeit - Zeit 

s v 

t 

Differential 

v = 0 v = const v const 

s 

≡ s& 

ds / dt = v 


t 

(MK - 1)

Beispiel: Ableitung (eindimensional) 

geg. s(t) 

ds 

dv 

v = = s& 

a = = v& 

= &s 

& 

dt 

dt 

1 0 0 

Beschleunigungstyp 

t 1 0 0 

t² 2t 2 const 

t³ * 3t² 6t ≠ const 

sinωt ω cosωt -ω²sinωt = -ω² s Schwingung 

*: t³ z. B. bei Anlauf- bzw. Abbremsprofilen von Motoren 

Größenordnungen Vergleich Physik - Technik 

Geschwindigkeit 

+ - 

10 -3 

1 

3 6 

9 

10 10 10 10 

v / m/s 


S

Weg kann durch zeitliche Integration der Geschwindigkeit berechnet 

werden: 

Aus (MK 1) : ds = v dt 

integrieren = umgekehrte Differentiation, daraus erhält man den Weg 

Herleitung: Weg berechnen, wenn v gegeben 

v = ds / dt | dt 

v dt = ds |∫ 

→ 

r 

s( 

t) 


T1 

r r 

= ∫ v( 

t) 

dt + s 

Anwendung Flugzeug: Staudruck-Messgerät mißt nur die Geschwindigkeit → Integration 

ergibt s ! 

Problem Integration und Variable t 

Herleitung für v = const. : v dt = v ( T − T ) = v ∆T 

⎯⎯ 

⎯ → s = v t 

T0 

s = 

T1 

∫ 

T0 

1 0 

üblich 

Achtung: übliche Definition: t als relative Zeit nach Meßbeginn !! 

r 

Spezialfall: v v( 

t) 

r 

≠ , d.h. v = const: o s t v ) t ( s 

r 

= ⋅ + 

s0 : Integrationskonstante, Weg zu Beginn bei T0 

Beispiel: Auto mit v = 10 m/s = const. ; Zeitdauer 100 s ; so = 0 m 

T 

r 

1 

100s 

100s 

r 

r r 

m 

m 

m 

s( t) 

= ∫ v( 

t) 

dt + s 0 = ∫10 

dt = 10 dt = 10 ⋅100s 

= 1000m 

s 

s ∫ 

s 

T 

0 

0 

r 

0 

0 

(MK - 2)

Weg - Zeit - Diagramm am Beispiel Zugfahrplan mit ‚Problem’ v(t) 

s / km 

160 

140 

120 

100 

80 

60 

40 

20 

0 

v m 

Weg - Zeit - Diagramm 

0 20 40 60 80 100 120 

t / min 


aber: Zugzeiten nur Abfahrt - Ankunft, dort v = 0 , dazwischen max. ca. 200 km/h 

s v 

Def.: Mittlere Geschwindigkeit 

für ∆t → 0 : 

Def.: 

aktuelle Momentangeschwindigkeit 

z.B. die Anzeige durch Tachometer 

ds/dt = v a 

t 

vaktuell 


r 

v a 

r 

v m 

= 

s 

v = s 

mittel t 

t 

r 

∆ s 

= 

∆ t 

r 

ds 

dt 

≡ s&r 

(MK - 3) 

(MK - 4)

2.3.2 Beschleunigung 

Was passiert, wenn sich Geschwindigkeit zeitlich ändert z.B. Auto anfährt ? 

Die Geschwindigkeit ändert sich mit der Zeit, d.h. ist zeitabhängig. 

Def.: Beschleunigung 

= Geschwindigkeitsänderung 

pro Zeiteinheit 

[a] = m/s 

r 

a = 

r 

r 

∆ v dv 

= 

{ 

∆ t 

{ 

dt 

Durchschnittswert 

Technik: a > 0 : Beschleunigung ; a < 0 : Verzögerung 

Zahlenbeispiel siehe obenstehende Tabelle 

akt. 

Momen tanwert 

v &s & r 

≡ &r 

= 

Zusammenhang Weg - Geschwindigkeit - Beschleunigung - Zeit 

s v a 

t 

s 

dv / dt = a 

a = 0 a = const a const 

t 

v 

ds/dt = v 

v = 0 v = const v const v const 

(MK - 5) 


t

Größenordnungen Vergleich Physik - Technik 

Beschleunigung 

1 

3 

10 10 10 

10 6 

Elektrotechnik: Beschleunigung von geladenen Teilchen : 

Strahlung nach Maxwell - Gleichungen : Synchrotonstrahlung 


9 

12 

10 

a / m/s² 

Geschwindigkeit und Weg können aus der Beschleunigung durch zeitliche Integration 

berechnet werden: 

Geschwindigkeit 0 v dt ) t ( a ) t ( v 

+ 

Weg 0 s dt ) t ( v ) t ( s 

+ 

Analog für Rotation, statt Weg s den Winkel ϕ verwenden (s.u.) ! 

r 

r 

=∫ 

=∫ 

r 

r 

r 

r 

(MK - 6) 

(MK - 7)

2.3.3 Translation 

Vereinfachung eindimensionale Betrachtung (1D): s → s 

r 

Def.: Bewegungstyp / -form 

Art Gleichförmig gleichmäßig 

beschleunigt 

(o.B.d.A.) 

ungleichmäßig 

beschleunigt 

a 0 const. ≠ const. 

v Const. Lineare Änderung, v ∼ t ≠ const. 

Bsp. Auto 100 km/h Freier Fall Pendel 

→ es gibt nur 3 Arten der Translation (bzw. Rotation): 

2.3.3.1 Gleichförmige Translation 

Typ: a = 0 

aus (MK - 6): v = vo 

aus (MK - 7): s = ∫vdt = vo t + C 

s v a 

→ s = vo t + so (MK – 8) 

JAVA Applett: Bewegung mit konstanter Beschleunigung 

Beispiel: 

Autofahrt mit konstanter Geschwindigkeit entspricht mittlerer Geschwindigkeit, impliziert ∆s / 

∆t 


vo 

so 

t

2.3.3.2 Gleichmäßig beschleunigte Translation 

Versuch: - Ball fallen lassen 

- Wagen mit Gewicht und Umlenkrolle 

d.i. Freier Fall = gleichmäßig beschleunigte Bewegung 

Typ: a(t) = const 

Bsp.: Freier Fall 

aus (MK – 6): v = const. 

∫ dt = at 

aus (MK - 7): s = ∫vdt = a∫tdt = ½ a t 2 

Formeln aus (MK - 6) und (MK - 7), so = 0 

s v a 

Geg. vo = 0 vo ≠ 0 

a, t 

a, s 

v = at 

s = 1 /2 at² 

v = 

2a 

s 

v = at + vo 

s = 1 /2 at² + vo t 

v = 2a 

s + 


2 

vo 

t 

(MK - 9)

2.3.3.3 Ungleichmäßig beschleunigte Bewegung 

Versuch Pendelschwingungen : 

Umkehrpunkt: Richtungsumkehr von Geschwindigkeit und Beschleunigung 

Typ: a(t) ≠ const. ; a = a(t) 

Beispiel: Mechanische Schwingungen 

→ ungleichmäßig beschleunigte Bewegung 

Beispiel 

a = kt 

Bem: [k] = m/s² 

v = adt 

= k 

1 2 

t dt = kt 

∫ 

∫ 

1 

2 

2 

2 

s v dt = k t dt = 

= ∫ ∫ 

1 

kt 

6 

3 


s 

v 

a 

Anfangsbed. für t = 0 : s(0) = 1 ; v(0) = 0 

geg: a ∼ cosωt 

∫ 

∫∫ 

v = adt 

∼ sinωt 

s= 

adt 

2 

= ∫ v dt ∼ cosωt 

� s ∼ − a , s ∼ − &s& 

typ. für Schwingungen 

t

Beispiele einfacher Translationen: Freier Fall / Schiefer Wurf 

2.3.3.4 Einfache Translationen im Erdfeld 

a = g = 9,81 m/s² ≈ 10 m/s² = const. → gleichförmig beschleunigte Bewegung, 

Modellkörper : Massepunkt 

NB: - Erdoberfläche, s klein, kein Luftwiderstand, keine Erdrotation 

- g verringert sich mit zunehmenden Abstand von der Erdoberfläche (Übungsaufgabe) 

- g sehr exakt mit Pendeln meßbar, so daß Höhe über Meeresspiegel bestimmbar 

Dim Bez. Anfangsgeschwindigkeit * 

1 Freier Fall voz = 0 

Senkrechter Wurf voz > 0 nach oben 

voz < 0 nach unten 

2/3 Waagrechter Wurf vox ≠ 0 voz = 0 

(*) : v r 

0 

Schiefer Wurf vox und voz ≠ 0 

⎛v 

⎜ 

= ⎜v 

⎜ 

⎝v 

0x 

0y 

0z 

⎞ 

⎟ 

⎟ 

⎟ 

⎠ 

y hier als konstant gewählt, ebenso liegt der Abwurfort im Ursprung ! 


z 

V = 0 

oy 

Beides kann durch lineare Koordinatentransformation (und ggf. Drehung) immer erreicht 

werden. 

Bei Wurf mit Seitenwind ist y nicht konstant, also zu berücksichtigen ! 

y 

x

für die beiden Beispiele gilt : - a = g aus (MK - 9): 0 v t g v + = 

r 

r 

- AB: v ( t = 0) 

= 0 , s ( t = 0) 

= 0 

a) Freier Fall 

Kinematik 

1 

2 

2 

s = gt + v0t 

+ 

1D & s &= 

a = g 

s 

für s0 = 0 und v0 = 0 

� 

1 

2 

2 

s= gt v = gt 

v 

t = � 

g 

s= 

0 

1 

g 

2 

v 

g 

2 

2 

2 

v 

= 

2g 

d.h. beide Wege führen zum selben Ziel ! 

1 

2 

Energiesatz (Vorgriff) 

siehe Ekin = Epot 

= mgh 


mv 2 

2 

2 

v 

� v = 2gs 

= 2gh 

� s= 

2g 

2 

s= gt ; gt 

v = ; 

2 

v 

s= 

2g 

(MK – 10) 

wenn aber Zeitabhängigkeit gefragt ist, kommt man nur mit kinematischen Methoden 

weiter

) Wurf 

vektorielle Betrachtung 

Zusammensetzung von 

- gleichförmiger Translation und 

- gleichmäßiger Beschleunigung (Freier Fall) 

Anfangsbedingungen (t = 0) : 

⎛0 

⎞ ⎛ v ox ⎞ ⎛ 0 ⎞ 

r ⎜ ⎟ r ⎜ ⎟ r ⎜ ⎟ 

s0 = ⎜0 

⎟ ; v 0 = ⎜ 0 ⎟ ; a 0 = ⎜ 0 ⎟ 

⎜0 

⎟ ⎜v 

⎟ ⎜ 

oz 

g⎟ 

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ − ⎠ 

Rechengang: v = ∫adt ; s = ∫vdt 

→ 

Probe: s g 

! 

& = − 

r 

√ 

z 

unbeschl. 

Bew. 

gleichm. 

beschl. 

Bew. 

oz 

gleichförmig 


− 

⎛v 

ox ⎞ 

r ⎜ ⎟ 

v = ⎜ 0 ⎟ + 

⎜v 

⎟ 

⎝ ⎠ 

⎛ 0 ⎞ 

⎜ ⎟ 

⎜ 0 ⎟ 

⎜ gt 

⎟ 

⎝ − ⎠ 

gleichm. 

beschl. 

⎛ ⎞ ⎛ 

⎞ 

⎛ ox ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ voxt 

⎟ 

⎜ ⎟ 

= 

⎜ ⎟ 

= 

⎜ 

⎟ 

⎜ ⎟ + 

0 

⎜ ⎟ ⎜ 

⎟ 

⎜ ⎟ 1 2 

1 2 

⎝ oz ⎠ ⎜ − gt 

⎟ ⎜v 

− ⎟ 

ozt 

g t 

⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ 

0 

v t 0 

s 0 

v t 

r 

g 

z 

V 0x 

Achtung: rechtshändiges 

Koordinatensystem ! 

Übung: Vereinfachen Sie obige Formeln für senkrechten Wurf nach oben und unten. 

y 

x 

(MK - 11)

Bsp: Waagrechter Wurf voz = 0 

⎛ v0X 

⎞ 

r ⎜ ⎟ 

v = ⎜ 0 ⎟ 

⎜ ⎟ 

⎝− 

gt 

⎠ 

⎛ 

⎜ 0X 

= 

⎜ 

⎜ 1 

⎜− 

gt 

⎝ 2 

0 

v t 

s r 

2 

⎞ 

⎟ 

⎟ 

⎟ 

⎟ 

⎠ 

2 2 2 

2 

Absolutgeschwindigkeit: v = v = v + v + v ⎯⎯ 

→ v( 

t) 

= v + g² 

t² 

r 

x 

y 

z 


hier 

0x 

Fälle: - t klein : v ≈ vx 

- t groß : v ≈ gt 

bisher: alle Werte zeitabhängig, aber auf welche Bahn fliegt der Massepunkt ? 

(i’) in (ii) 

Bahnkurve 

sx = vox t ≡ U (i) 

sz = - 1/2 gt² ≡ V (ii) 

aus (i) t = U / vox (i’) 

g 2 

g 

V = − U bzw. 

z = − 

2 

2 

2v 

2v 

ox 

das ist eine (Wurf-) Parabel z ~ x² 

Absolutgeschwindigkeit ist tangential zur Bahnkurve 

2 g² 

= v( 

x, 

z) 

= v ox + x² 

(1') in v eingesetzt 

v 

v 2 

ox 

JAVA Applett: Schiefer Wurf 

ox 

x² 

t = 0 

v 

z 

v 0 x 

v 0 x 

v y 

~ x 

v x 

|v| 

x 

x

Wie hoch ‚fliegt’ ein Skispringer ? 

Olympia-Schanzen Calgary 


2.3.4 Rotation 

Bsp: Pendel, drehbare Balkenwaage 

Modellkörper : Massepunkt an gewichtsloser, steifer Stange 

wichtigste Größe (analog zum Weg s): 

Drehwinkel ϕ = s /r → s = r ϕ (MK 12) 

r = const. ; s(t) : Bogenmaß ; [ϕ] = rad 180° = π 

y 

karthesische 

Koordinaten 

x 

2 Variable: x , y 

Winkelgeschwindigkeit 

[ω] = rad/s 

Winkelbeschleunigung 

[α] = rad/s² 

Alle Definitionen wie Translation 

ϕ , ω , α sind Skalare, keine Vektoren !! 

Polarkoordinaten 


D 

ϕ 

r 

1 Variable ϕ, da r = const. 

s 

∆ϕ 

dϕ 

ω= ≡ = ϕ& 

∆t 

dt 

∆ω 

dω 

α = = = ω& 

= ϕ& 

& 

∆t 

dt 

(MK - 13) 

(MK - 14)

Zusammenführung Translation - Rotation 

Beträge) 

(hier nur Skalare bzw. 

Translation Rotation T �� R 

Weg s ϕ s = r ϕ 

Geschwindigkeit v ω v = r ω 

Beschleunigung a α a = r α 

15) 

Bewegungsformen wie Translation : 

- gleichförmig α = 0 

- gleichmäßig beschleunigt α = const 

- ungleichmäßig beschleunigt α ≠ const. 

Vektorielle Betrachtung 

Beschleunigung = Geschwindigkeitsdifferenz 

ω r zeigt bei Bewegung in Gegenuhrzeigersinn 

‚ins Blatt’ hinein 


(MK - 

r r r 

Tangential zur Bahn v = ω × r 

(MK - 16) 

Zentripetalbeschleunigung 

- zeigt zur Rotationsachse (Mittelpunkt) 

- meist nur Betrag: a = ω² r interessant 

r 

r v 

a = r 

2 

2 r 

= − ω 


r 

v 

a für dt 

Beschleunigung zeigt nach ‘innen’, die Kraftwirkung auf einen Körper, der sich auf einer 

T 2 

(MK 17) 

Kreisbahn bewegt ist dann nach außen: Karussell, Satellit. Bedingung für Schwerelosigkeit :

v²/r = g 


Zentripetalkraft 

Ursache der Zentralbewegung (Beschleunigung in Richtung 

Mittelpunkt) 

JAVA Applett: Karussell (Zentripetalkraft) 

Zentrifugalkraft 

ist Trägheitskraft (Scheinkraft, nicht sichtbar von außen), 

welche der Zentripetalkraft entgegengesetzt ist, also vom 

Drehzentrum weg. Von lateinisch 'fugare' = fliehen 



Coriolis-Kraft 

r 

F 

weitere Kraft in bewegten, rotierenden 

Systemen. Tritt auf, wenn sich ein Körper 

radial nach innen oder außen bewegt 

(Scheinkraft) 

r 

F 

c 

r r 

= − 2m 

ω× 

v 

r 

zp 

2 

mv 

= 

r 

= 

2 

m ω r 

r 

F 

r 

= − F 

zf 

( ≡m 

a) 



anschauliche Erklärung: Bahngeschwindigkeit hängt vom Abstand von der Drehachse ab, 

ein sich nach außen bewegender Körper muß daher Kraft aufwenden, um in Ruhe zu 

bleiben. 


zp 

D 

(MK - 18)

Versuch: Kugel auf rotierender Platte läuft spiralförmig 

nach außen, da sie Corioliskraft nicht aufbringen kann. 

Wirkliche Bahn im ruhenden System (mitbewegter 

Beobachter) ist eine Gerade 

scheinbare Bahn im rotierenden System (Beobachter 

ruhend, außenstehend) ist eine Spirale 

Bsp.: - ESP – Sensor 

ruhender 

Beob. 

- Hochdruck auf Nordhalbkugel bedingt Ostwind in Mitteleuropa 

- Wirbel in der Badewanne 

Bsp: Gleichförmige Kreisbewegung ω = const. ; α = 0 

z.B. gleichmäßig drehender Motor 

Drehwinkel aus konstanter Winkelgeschwindigkeit 

1 Umdrehung d.h. 360° bzw. 2π entspricht 1 Periode 

Drehwinkel (entspr. s = v t ) 

Periodendauer 

Frequenz 

Anzahl der Umdrehungen 

Drehzahl 

ϕ = ωt 

π 

= 

ω 

2 

T 

1 

f = 

T 

v in radialer 

Richtung 

mitbew. Beob. 


= 

ω 

2π 

N = ϕ / 2π 

∆N 

dN dϕ 

ω 

n = = = N& 

= = = f 

∆t 

dt 2πdt 

2π 

Periodendauer wird bei großen Zeiten z.B. Erdumdrehung in 24 h verwendet, 

(MK - 19) 

dagegen Frequenz bzw. Drehzahl bei kleinen Dauern: Motor 6000/min, HF-Technik 100 MHz 

JAVA Applett: Kreisbewegung mit konstanter Winkelgeschwindigkeit

Bsp: Gleichmäßig Beschleunigte Kreisbewegung α = const. 

z.B. anlaufender Motor 

Winkelgeschwindigkeit 

Drehwinkel 

Analog gleichmäßig beschleunigte Translation 

Rotation in karthesischen Koordinaten 

IM y 

D 

a 

ϕ 

v 

cos 

r 

sin 

Imaginäre Schreibweise 

R RE x 

α 

Eulerformel : e = cosα 

+ jsinα 

j 

z = cosx 

+ 

z ′ = jωz 

= v 

j 

jsin 

y = Re 

ϕ 

= Re 

jωt 

= ˆ s 

2 

z′ 

′ = − ω z = a vgl.Schwingung 

z = Re 

jωt 

z 67 

8 

jωt 

z& 

= ˆ v = ˆ jω 

Re 

2 jωt 

2 

& z& 

= ˆ a= 

ˆ − ω Re 

= − ω z 

12 

3 

z 

ω = α t 

ϕ = ω t = 1/2 α t² 

r ⎛ cos 

ϕ ⎞ 

Reell: ϕ= 

ϕ( 

t) 

; r ( ϕ) 

= R ⎜ ⎟ 

⎝ sinϕ 

⎠ 

mit ϕ = ω t 

v r&r 

r ⎛ − sinϕ 

⎞ 

= v = R ⎜ ⎟ 

⎝ cosϕ 

⎠ 

r 

a v &s & r r 

= &r 

= 

(MK - 20) 

v tangential zu r 

r ⎛− 

cosϕ 

⎞ ⎛cos 

ϕ⎞ 

r 

a = R ⎜ ⎟ = − R ⎜ ⎟ = − v&r 

= − r 

⎝ − sinϕ 

⎠ ⎝ sinϕ 

⎠ 

a r zeigt zur Drehachse 

(MK - 21) 

(MK - 22) 


Zusammenfassung Kinematik 

Art gleichförmig Gleichförmig 

beschleunigt 

Ungleichförmig 

beschleunigt 

Beschleunigung 0 konstant nicht konstant 

a = a(t) , α = α (t) nein nein ja 

v , ω const const * t v = ∫ a dt , ω = ∫ α dt 

s , ϕ const * t 1/2 const * t² s = ∫ v dt , ϕ = ∫ ω dt 

alle Anfangswerte hier Null : vo = ωo = so = ϕo = 0 

s = r ϕ ; v = r ω ; a = r α 

1D - ggf. Vektoren verwenden 

Ableitungen, wenn s bzw. ϕ zeitabhängig gegeben: = = & α = ω& 

= ϕ& 

& 

r r 

a v&r 

s ; 

Def. - aktueller Momentanwert aus Differenz z.B. 

- Mittel- bzw.Durchschnittswert aus Differential (∆t → 0) z.B. 


v a = 

ω 

m 

ds 

dt 

∆ ϕ 

= 

∆ t

2.4 Dynamik 

Def.: In der Dynamik wird die Kraft als Ursache der Bewegung betrachtet, hier wird die 

Statik 

mit der Kinematik zusammengeführt. 

Inhalt: Bewegungsgleichungen - Energie - Impuls, .... 

Translation Rotation 

Modellkörper Massepunkt Starrer Körper 

Grundgesetz F = m a M = J α 

Bsp Wagen mit Gewicht Motor 

Ziel: Bewegungsgleichung aufstellen ! 

2.4.1 Translation 

2.4.1.1 Newtonsche Gesetze 

1. Trägheitsgesetz 

Ein Körper bleibt in Ruhe oder er bewegt 

sich gleichförmig, wenn keine äußeren 

Kräfte auf ihn einwirken oder diese in 

Summe Null sind. 

Bsp: Gegenstand hinlegen - aber : Erde 

dreht sich um sich selbst und um Sonne 

anderer Fall: 

Autofahrt geradeaus, nicht angeschnallt gegen Baum: Insassen fliegen unbeschleunigt 

weiter; 

d.h. Auto wird beschleunigt, d.h. es wirken Kräfte 

Wirken Kräfte auf einen Körper, so ändert er seinen Bewegungszustand: 


Kraft und Masse aus Statik werden mit der Beschleunigung aus Kinematik: 

zusammengeführt im 


2. Grundgesetz der Mechanik 

Speziell 

allgemein 

Allgemeine Formulierung 

m = const. (Newton) 

m ≠ const., p: Impuls 

Fälle: - m = m(t) : Rakete 

r r 

F = m a 

r 

d 

dt 

( mv) 


r 

F = 

r 

d( mv) 

r r r 

= m& 

v + mv&r 

= m& 

v + ma 

dt 

p& 

r 

= 

mit m& = Massenänderung pro Zeiteinheit (Massenstrom) 

Vgl: Strom in der ET: Ladung pro Zeiteinheit 

I = ∆Q / ∆t 

- m = m(v) : relativistische Massenzunahme (Einstein) 

vereinfachte Formulierung: 

Um einen Körper zu beschleunigen, ist eine Kraft notwendig, die 

gleich dem Produkt aus Masse und Beschleunigung ist 

(MD - 1) 

Versuch: Wagen mit Fallgewicht an Umlenkrolle: Gewichtskraft beschleunigt Wagen

3. Kraft erzeugt Gegenkraft 

aus der Statik: Summe aller Kräfte ist Null Σ Fi = 0 ; Bsp. Gewicht auf Unterlage 

Erweiterung auf Dynamik: 

Bsp: - Fahrt im Auto/Zug mit konstanter Geschwindigkeit 

bei Fahrt in Kurve merkt man Kräfte bzw. beim Anfahren. 

= Kräfte in beschleunigten Bezugssystemen : sogenannte Trägheitskräfte 

- Anfahrt Zug: Flasche fällt vom Tisch 

- Gasballon in Auto, bremsen - wohin bewegt sich Ballon ? 

nach hinten, da Luft sich nach vorne bewegt (vorne größerer Luftdruck) 

Die Summe aller Kräfte ist auch bei einem bewegten Körper Null 

Dynamisches Gleichgewicht 

auch d’Alembertsches Prinzip 

Σ Fi = 0 

Versuche: - Ball auf Wagen und diesen beschleunigen: Ball fällt runter wegen Trägheit 

- Ball mit Hand unterstützen : Gewichtskraft wird durch Hand kompensiert. 

Hand wegnehmen - Ball fällt. Wo bleibt das Pendant zur 'Handkraft' ? 

- Gewicht an Federwage 

* wird aus der Ruhe die Federwaage schnell nach oben gezogen, 

nimmt das angezeigte Gewicht zu 

* wird aus der Ruhe die Federwaage schnell nach unten bewegt, 

nimmt das angezeigte Gewicht ab 

Bsp. Aufzug: aufwärts fühlt man sich schwerer, abwärts leichter, aber Person fühlt sich 

unbewegt ! 

Deutung offenbar nur mit einer 'dynamisch' wirkenden 'trägen' Masse möglich ! 

(MD - 2) 


Trägheitskraft und Formulierung des d'Alembertsches Prinzipes 

r 

aus ∑ Fi = 0 

(d´Alembert) 

Fb : beschleunigende Kraft, statisch, z.B.Gewichtskraft 

Ft : Trägheitskraft 

mit : m : Gesamtmasse des Systemes 

− F = 0 

r r 

Fb t 

Ft = m a 

a : Beschleunigung des Systemes, für Statik a = 0, siehe NB 

Trägkeitskraft - Scheinkraft in beschleunigten Bezugssystemen (vgl. Zentrifugalkraft) 

- wirkt der Beschleunigenden Kraft entgegen 

r r 

NB: es kann auch mit Ft 

= ma 

= Fb 

gerechnet werden. Dann ist die Dynamik auf der 

linken 

Seite der Gleichung und die Statik auf der rechten Seite. 

Äquivalenzprinzip: Ist die träge Masse gleich der schweren Masse ? 

- träge Masse : Dynamik - Trägheitskraft 

- schwere Masse : Statik - Gewicht in Ruhe 

Die Äquivalenz ist im Rahmen höchster Meßgenauigkeiten als erfüllt nachgewiesen. 

Aufgabe der Dynamik: 

Bewegungsgleichung aus Kraftansatz / Energiesatz erstellen und lösen 

Mit Dynamik kann Beschleunigung berechnet werden, was mit der Kinematik nicht möglich 

ist. 


(MD - 3)

Beispiele zum D'Alembertschen Prinzip 

Freier Fall 

F = m a 

t 

F G 

m (Massepunkt) 

0 

x 

Start 

Kraftansatz 

1) d’Alembert: ΣF = 0 

Fb - Ft = 0 

2) Kräfte bestimmen 

Fb = m g = Fg 

Ft = m a (immer, '-' im Ansatz) 

3) einsetzen 

m g - m a = 0 

→ a = g = & x& 

gleichmäßig beschl. Bewegung 

→ x& = v = g t, x = ½ g t² 

→ x & = v = 2g 

x 

Energieansatz (Vorgriff) 

Eges = const 

Epot = Ekin 

m g x = ½ m v² 

→ x & = v = 2 g x 

x(t);v(t) → schwierig 

Der Kraftansatz berechnet aber das d'Alembertsche Prinzip die Beschleunigung des 

Systems ! 

Energieansatz erscheint 'leichter', ist aber deutlich aufwendiger aufwendiger, 

wenn s(t) und v(t) gesucht ! Das geht am besten mit dem Kraftansatz und Kinematik 

Der Kraftansatz liefert sowohl die Zeitabhängigkeiten als auch den Weg-Geschwindigkeits- 

Zusammenhang. 

Wenn ein Ansatz nicht 'funktioniert', den anderen Ansatz verwenden ! 


Beschleunigung von Wagen und Gewicht über Seilrolle 

Kraftansatz: d’Alembert: ΣF = 0 

1) Fb - Ft = 0 

2) Kräfte bestimmen 

Fb = mG g 

Ft = (mw + mG) a 

3) einsetzen 

mw + mG = Gesamtmasse des Systems 

mG g - (mw + mG)a = 0 

mG 

→ a = ⋅ g 

m + m 

W 

Rest: Kinematik 

G 

t = 0 0 


F t 

m W 

F b 

F G 

JAVA Applett: 2. Gesetz von Newton 

(Fahrbahnversuch) 

Weitere Berechnungen dann wie Kinematik gleichmäßig beschleunigte Translation 

Stimmt das Ergebnis ? 

Schnelle Prüfung von bei der Berechnung von Formeln: 

a) Stimmt die Einheit des Ergebnisses ? 

b) Ergeben die Extremfälle aus Gedankenexperimenten Sinnvolles und Schlüssiges ? 

angewandt auf obiges Beispiel: 

a) Einheit : [a]= m/s² √ 

b) Extremfälle - mw → 0 : a ≈ g √ 

- mw >> mG : a → 0 √ 

- mG = 0 : a = 0 √ 

x 

m G

2.4.1.2 Arbeit 

Die Kraftwirkung wird erst durch Bewegung des Körpers sichtbar, die Wirkung wird mit dem 

Begriff Arbeit erfaßt: 

'umgangssprachlich': Arbeit = Kraft * Weg 

Bsp: Gewicht in Hand und laufen - keine Arbeit wird verrichtet, da Gewicht nur gehalten 

wird 

Sand 

(Kraft ⊥ Weg), Maßkrug-Haltewettbewerb Weg = 0; vergl. Übungsaufgabe Vektoren. 

Kraft F Arbeit [W] = Nm = J 

r 

Konstant 

r 

W = F⋅ 

s 

s1 

r r r 

W = 

Wegabhängig ∫F( s) 

⋅ds 

r 

r 

so 

(MD - 4) 

Wegabhängigkeit kann auch durch Summen mit konstanter Kraft ausgedrückt werden 

Bsp: Leiterwagen in der Ebene mit verschiedenen Reibungswerten wie Eis, Kies, 

Arbeit ist ein Skalar, da vektorielles Skalarprodukt 

Die Arbeit bei konstanter Kraft ist ein Spezialfall der wegabhängigen Arbeit: 

s1 

r r r 

F = const. : F ds 

= F ⋅ s 

r r 

SI-fremd : - kWh = 3,6 MJ (Energiewirtschaft) 

Arten 

∫ 

r 

so 

- eV = 1,6 10 -19 J (Atomphysik) 

Bsp. (Vereinfachung: 1D) 

Hubarbeit Gewichtheben, 

Beschleunigungsarbeit Anfahren Auto 

Flaschenzug: Kraft kleiner - Weg größer : Arbeit = const. 

Reibungsarbeit Luftwiderstand, Quader auf schiefer Ebene 

Verformungsarbeit Feder spannen 


Hubarbeit im Schwerefeld der Erde 

Annahme: g = const 

→ F = const, Weg klein 

W hub = ∫F ds 

mit F = m g und s = h erhält man 

→ 

W hub 

W ~ h 

hub 

Hubarbeit W hub = m g h (MD - 5) 

Versuche: 

- Wagen mit Seil und Fallgewicht über Umlenkrolle 

- Gewicht senkrecht hochheben mit Federwaage: Kraft * Weg = Arbeit 

- dasselbe auf Schiefer Ebene: Kraft kleiner, Weg länger → Arbeit = konst. 

- Flaschenzug: durch Umlenkrollen wird die aufzubringende Kraft kleiner aber der (Zug-) 

Weg 

dafür entsprechend länger → Arbeit gleich groß wie beim Hochheben ohne Seilzug. 

Benefit: Flaschenzug wirkt als 'Getriebe' für Muskeln, sodaß auch schwere Gegenstände 

hochgehoben werden können 

JAVA Applett: Flaschenzug 


h

Beschleunigungsarbeit 

Wenn sich v ändert ist Beschleunigungsarbeit notwendig, sonst W = 0 da a = 0 und ∆v = 0 

Fall: a = const Fall: a ≠ const 

F beschl = m a = const 

→ W beschl = m a s 

gleichmäßig beschleunigte Translation: 

v = 

2a 

s 

nach a auflösen und einsetzen 

W beschl = m s v²/2s 

Achtung: gilt nur, wenn 

W beschl = ∫F ds = m ∫ads 

→ 

∫ dv = m ∫ 


= m 

= m 

∫ 

dv 

dt 

ds 

ds 

dt 

V2 

V1 

v dv 

2 2 

Wbeschl = ½ m v² Wbeschl = ( ) v m 

1 

− 

Anfangsgeschwindigkeit = 0 

Bsp: m = 2 kg 

v 

v 

1 

2 

= 

= 

5m 

6m 

s 

} � ∆ v = 1m 

s 

s 

1 

� Wbeschl = m( 

36− 

25) 

= 11 J 

2 

1 2 = 

nicht = m⋅1 

1 J ! 

2 

2 

Immer verwenden, wenn 

2 1 v 

Anfangsgeschwindigkeit ≠ 0 

W beschl 

W ~ v 2 

beschl 

Bei nichtlinearen, hier quadratischen Gesetzen immer Differenz der Potenzen bilden, 

nicht die beiden Zahlen subtrahieren und dann potenzieren ! 

Nur bei linearen Gesetzen (z.B. Hubarbeit) kann einfach die Differenz gebildet werden. 

v 

(MD - 6)

Spannarbeit (Verformungsarbeit) 

z.B. bei Feder 

s1 

r r r 

Aus W = ∫F( s) 

⋅ds 

mit s = x 

r 

r 

so 

F = F(x) = F F = - D x (Hooke) 

W s 

D : Federkonstante, [D] = N/m 

x2 

1 x1 

2 2 

→ W − D x dx = − D [ x² 

] ( x − x ) 

s 

Spannarbeit 

= ∫ 

x1 

2 

x2 

2 

x2 

F 

x1 

1 

W ~ x 2 

s 

1 

Ws 

= ∫ F dx = ± D 

2 

wobei x1/2 : Auslenkung aus unbeeinflußter Länge 

x = x2 - x1: aktuell gedehneter Weg 

+ aus Sicht von außen 

- aus Sicht der Feder 

2 2 ( x − x ) 

- x1 = 0 bei Auslenkung aus Ruhelage ; vgl. Beschleunigungsarbeit 

Beispiel : Kraft ist wegabhängig ∼ x; Spannarbeit 

1. Bsp: ungespannte Feder um 1mm dehnen W s = ½ D x² = ½ D 

2. Bsp: vorgespannte (1mm) Feder um 1mm dehnen 

2 

Ws = D ∫ x dx = D [ x² 

] 

1 

1 

2 

nicht additiv wie bei Hubarbeit !! 

2 

1 

= 

1 3 

D( 

4 −1) 

= 

2 2 

Energiespeicher gespannte Feder: Mine aus geöffnetem Kugelschreiber springen lassen 


D 

2 

1 

x 

(MD - 7)

Reibungsarbeit 

Versuch : Würfel fallen lassen - dasselbe Schiefe Ebene: v geringer, da Reibung 

Reibung Fr Beispiel 

Festkörper µ F N Gleitreibung, F N : Auflagekraft, schiefe Ebene 

Flüssigkeit ∼ v Strömungswiderstand (laminar) 

Gas ∼ v² Luftwiderstand (turbulent) 

Verformung deform. Medien Feder spannen 

8) 

Reibungsarbeit 

bei wegunabhängiger Reibungskraft 

Reibungsarbeit wird praktisch immer in Wärme umgewandelt. 

Bsp.: - 'glühende' Bremsscheiben Formel 1 

- Schutzschild Raumfähren 

- Mikrowellenherd 

(MD - 

W r = F r s (MD - 9) 

d’Alembertsches Prinzip mit Reibungskraft F b - F r - F t = 0 (MD - 10) 

Reibung wirkt der beschleunigenden Kraft entgegen ; siehe Bsp. Freier Fall mit Reibung 

Reibungsphänomene komplex: - Luftwiderstand Auto im Windkanal optimieren 

- Luftwiderstand Golfball 


Beispiel Auto: 

- Verbrauch 5 l bei konstant 90 km/h : Motor- , Getriebereibung, Luftwiderstand, ... 

- Verbrauch 5 l bei konstant 90 km/h - 7 l bei konstant 120 km/h : Differenz höhere 

Luftreibung 

Höchstgeschwindigkeit hängt nur vom Luftwiderstand ab 

- Luftwiderstand 

(Richtwerte) Geschwindigskeitsbereich Reibung 

2.4.1.3 Energie 

< 50 km/h vernachlässigbar 

50 - 100 km/h 'naja', typ. ~ v 

> 100 km/h typ. ~ v² 

Def: An einem Körper verrichtete Arbeit vergrößert dessen Energie, die wiederum in Arbeit 

umgewandelt werden kann. 

Energiesatz 

[E] = J 

E ges = const. 

E ges (T o) = E ges (T 1) 

(MD - 11) 

Ausnahme: Wärme kann nicht direkt in andere Energien umgewandelt werden: Stein kühlt 

sich von alleine ab und springt hoch ! 

Einheit wie Arbeit 

→ Energie kann nicht verbraucht sondern nur von einer Art in eine andere umgewandelt 

werden! 

→ kein Perpetuum mobile 


Energie - 

Arten 

Kinetisch 

(Translation) 

Rotation 

(2.4.2) 

Potentiell 

(Erde) 

Formel Beispiel Energie- 

E kin = ½ m v² Ekin bei Autounfall 

Speicher 

E rot = ½ J ω² Motor beim Auslaufen Schwungrad 

E pot = m g h Freier Fall Speicher- 

Reibung Siehe Arbeit Luftwiderstand 

kraftwerk 

Wärme E w = c m ∆T Kochen Wasser- 

Elektrisch E el = U I t Leiter = Transport von 

Energie !! 

speicher 

Energie- 

Transport 

Pumpstation 

Fernwärme 

Akku Hochspannungs- 

leitung 

Chemisch Reaktionswärme Benzin Tank 

Strahlung E ∼ ω Photosynthese, 

Solarenergie, 

IR-Thermometer 

‘Sonne’ 


?!? 

em. Wellen

Beispiel Kinetische Energie 

Setzt man die Kinetische Energie eines Autos bei 100 km/h zu 100 %, so verdoppelt sich 

diese bei 140 km/h !! 

Hierzu kommt noch die physiologische Belastbarkeit des Menschen, die angenähert 

ebenfalls quadratisch verlaufen könnte. 

Daraus folgt dann ein doppelt so hohes Risiko, wenn die Geschwindigkeit von 100 auf 120 

km/h gesteigert wird. 

Ekin /% (100%= 100 km/h) 

400 

350 

300 

250 

200 

150 

100 

50 

0 

Kinetische Energie bei Autofahrt / -unfall 

100 120 140 160 180 200 220 

v / km/h 


~ v² 

~ v 

physiologische Belastung ~v²*v²

Translativer Energiesatz 

Bem: 

ohne Reibung 

mit Reibung 

- Ereib ~ Wreib 

- Reibung ggf. bei T 0 und T 1 berücksichtigen 

E kin(T 0) + E pot(T o) = E kin(T 1) + E pot(T 1) 

E kin(T 0) + E pot(T o) + E reib = E ges(T 1) 

- gilt nur in Gravitations- (mgh) und elektrischen (eE) Feldern wegen linearer 

Abhängigkeit ! 

sein. 

- gilt z. B. nicht in Wasserströmung! Ernergie von A nach B kann dort wegabhängig 

Bsp.: Energieumwandlung E pot1 → E kin → E pot2 

Versuch : 

a) Würfel im Freien Fall 

b) Würfel über schiefe Ebene 

E 

pot1 

(MD - 12) 


b) 

E kin 

E pot1 ist in beiden Fällen gleich, aber bei b) ist die erreichte Höhe h ( = E pot2) des 

Gegenstandes G geringer, da ein Teil von E pot2 in Reibungswärme umgewandelt wird. 

Weitere Verlust durch Aufprall. 

Reibungsenergie ist im mechanischen Sinne verloren ! 

Versuch: Ball / Blatt Papier fallen lassen Ball schneller obwohl E pot gleich 

a) 

W 

h 

G 

E pot2

Bsp: Freier Fall ohne/mit Luftwiderstand 

a) Energieansatz: E pot (T o) = E kin (T 1) + E r (T 1) 

mit Er = F s m g h = ½ m v² + k v² h 

→ v² (½ m + k h) = m g h 

→ 

k : Reibungskoeffizient 

v = 

mg 

h 

m 

+ kh 

2 

Extremfälle: 

- keine Reibung (k = 0) : v = 2 gh 

√ 

- große Reibung ( k → ∞ ) : v → 0 √ 

aber : Wie groß ist a, Endgeschwindigkeit, s(t) ??? 

Integration nach Weg kompliziert, da der zurückgelegte Weg hier 

als h in der Formel steckt. Dasselbe gilt für die zeitabhängige 

Beschleunigung. 

b) Kraftansatz ΣF = 0 

→ F b - F r - F t = 0 

→ mg - kv² - m a = 0 (DGL 2. Sem), a = dv/dt 

‘schlecht’ integrierbar, da a und v² gleichzeitig auftreten, aber 

Endgeschwindigkeit : a = v& = 0 

→ 

mg - k v² = 0 

v end = 

m g 

k 

Extremwerte: k → 0 : vend → ∞ √ 

k → ∞ : vend → 0 √ 


v / m/s 

50 

40 

30 

20 

10 

0 

Beispiel: Geschwindigkeit beim Freien Fall 

0 20 40 60 80 100 

Fallweg / m 

mit Luftwiderstand 

v = const / a = 0 

ohne Luftwiderstand 

v durch Luftwiderstand konstant : Beschleunigung a → 0 

weiteres Beispiel Energieansatz: 

Wagen mit Gewicht über Seilrolle (Kraftansatz s.o.) 

E pot = E kin 

m G g h = ½ * (m w + m G) v² 

→ 

v 

2m 

g h 

m + m 

G = v = v(h) ! 

Grenzfälle analog Kraftansatz 

w 

G 


2.4.1.4 Leistung 

weiterer Begriff aus täglichem Leben 

W 

„einfachste Formulierung“, gilt nur für W = F = v = const. : P = = F v 

t 

W F s ds 

aus P = = = F = F v 

t t dt 

[P] = W = J/s (Normierung auf Zeit) 

„früher“: Auto : PS ; 1 PS = 0,73 kW 

Leistung („Arbeit pro Zeit“) 

'genaue' Formulierung 

erweiterte Betrachtung 

P = 

Durchschnittsleistung 

W dW 

t 0 

{ 

t ∆ → 

{ 

dt 

tt 

tan 

= 

∆ 

∆ 

Durchschni 


Momen 

∆ 

= 

P m ∆ 

W 

t 

d W 

aktuelle Momentanleistung Pa = = W& 

dt 

P = 

dW 

dt 

kinetische und potentielle Leistung 

P 

P 

kin 

pot 

d W 

= 

dt 

kin 

d W 

= 

dt 

pot 

d 

= 

= 

1 ( m v( 

t)² 

) 

d 

2 

dt 

(Definitionen analog Kinematik Geschwindigkeit) 

( m g x( 

t) 

) 

dt 

r r 

d( 

F⋅s 

) 

= = 

dt 

= 

m = const 

= 

m = const 

&r r 

F 

{ 

⋅ s 

0 für F = const 

1 

m 

2 

dx 

m g 

dt 

dv² 

dt 

= 

r r 

+ F⋅ 

v 

m v v& 

= 

= F x& 

= 

F v 

m a v 

= 

F v 

(MD - 13)

Wirkungsgrad 

Pnutz : nutzbare, benutzte Leistung 

η = 


P 

P 

nutz < 

gesamt 

1 

P nutz = P gesamt - P verlust 

z.B: Auto Vortrieb : Beschleunigungsarbeit 

Pgesamt : Summe aller Einzelleistungen 

z.B. Auto: Vortrieb + Wärme + Lichtmaschine + Lärm, ... 

d.h. alles was Reibung, Geräusche, … verursacht, mindert η ! 

(MD - 14) 

Bsp.: Wieviel PS sind nötig, um Auto (m = 1,3 t) von 0 auf 100 in 10s zu beschleunigen ? 

PS ab 

Pm = ∆W kin /∆t = ½ mv²/ 9,2s = 55 kW ≈ 75 PS 

Prospekt VW GOLF FSI 150 PS : ∆t = 9,2s → η ≈ 0.5 

Wirkungsgradverminderung durch : 

- Reibung 

- Schaltzeiten 

- Leistungs - Drehzahl- Charakteristik : Motor gibt nur bei best. Drehzahl 115 

- ...

2.4.1.5 Impuls 

alltägliches Beispiel: Billard : 2 Kugeln aufeinander - Energieerhaltung 

Versuche : Stöße von Stahlkugeln, Tischtennisbällen, Holz-, Styroporkugel 

Einfachste Vorstellung :2 Kugeln prallen aufeinander 

Modellkörper : 2 Massepunkte 

Impuls [p] = kg m/s = Ns 

allgemein: Vektor p r 

JAVA Applett: 

- Elastischer und unelastischer Stoß 

r r 

r 

p = m v , p 

&r 

= F 

142 

43 12 

3 

Näherung m = const. 

- Newtons Wiege (Energie- und Impulserhaltung) 

allgemeiner 

Fall 

(MD - 15) 


Einfachster Fall : 

2 harte Kugeln prallen aufeinander 

eine ist vor dem Stoß in Ruhe 

a) Kraftansatz ΣF = 0 

v = const. außer bei Zusammenprall 

d.h. keine Beschleunigung F t = 0 

→ F 1 + F 2 = 0 ( 1: vor, 2 nach Stoß) 

→ 

p& 

∫ 

d 

1 

( p + p ) 

d 

→ 

+ p& 

1 

dt 

( p + p ) 

1 

p 

1 

2 

dp 

= 

dt 

2 

2 

+ p 

→ + p = c 

p1 2 

2 

= 

= 

1 

0 

∫ 

dp 

+ 

dt 

0 

= const. 

2 

dt 

= 0 

b) Energieansatz E ges = const 

E kin vor = E kin nach + E deformation (E deformation hier 


Null) 

Impulserhaltung pi 

const. 

= ∑ r 

Bsp.: 

Stein vom Surfbrett nach hinten ins Wasser werfen → 

Surfbrett bewegt sich vorwärts ! 

pStein = pSurfbrett Wasserreibung gering, vernachlässigt 

i 

½ m 1v 1² + ½ m 2v 2² = ½ m 1v’ 1² + ½ m 2v’ 2² 

' : nach dem Stoß 

dEges mit = 0 (für m = const) 

dt 

→ m 1 v 1 + m 2 v 2 = m 1 v’ 1 + m 2 v’ 2 

→ + p = p' 

+ p' 

= c 

p1 2 1 2 

p Stein 

p Surfbrett 

(MD - 16)

allgemeine Impulsdefinition 

aus (MD - 15) 

1D, Vektoren ggf. ergänzen 

zeitlich veränderliche Masse: Massenstrom 

dp 

d( 

m v) 

F = = = m& 

v + mv& 

= m& 

{ 

v + m 

{ 

a 

d t dt 

Rakete Newton 

∆m 

dm 

= 

{ 

∆ t 

{ 

dt 

Durchschnitt 

akt. 

Momen tanwert 

= m& 

Anwendungen: - Verfahrenstechnik: 'konstante Zugabemenge pro Zeiteinheit' 

Treibstoffes 

m 

- Rakete : Masse verändert sich durch rasches Verbrennen des 

∆Q 

dQ 

Massenstrom vergleichbar mit elektrischem Strom : I = = = Q& 

∆ t dt 

(MD - 15') 

rein physikalisch gesehen gelten bei Transportvorgängen dieselben Gleichungen (s.o.), d.h. 

es ist 'egal', ob 

- Masse (Mechanik) 

- Ladung (ET) 

- Wärme (Kap. 3) 

- Wellenenergie (Kap. 5) 

transportiert wird. Man spricht in allen Fällen von einem Strom. 


t 

m 

t

Sonderfälle (einfachste Modellvorstellungen): 

Masse Relevante 

bleibt 

konstant 

ändert 

sich 

Größe 

Material- 

eigenschaften 

Vektor- 

eigenschaften 

* : ideale Grenzfälle 

Stoß Merkmal Fall für 

Elastisch* 

Unelastisch* 

Zentral 

Nicht zentral 

m = m(t) 

‘v’ wird 

weitergegeben 

Gemeinsames v 

p 

p r 

Rakete 

m 1 = m 2 

v 2 = 0 

v 1’ = 0 

v 2’ = v 1 

v 1’ = v 2’ 

= v 1/2 

Bsp. 

Stahlkugeln, Billard, 

Reflexion an Wand 

kleben aneinander, Bsp. 

Kugel in Schwamm. 

E kin wird in Verformung 

umgewandelt → Wärme 

Massenpunkte auf 

Gerade, 

p ist hier ein Skalar 

Modellkörper: Starre bzw 

deformierbar Körper 

Billard, seitlicher Stoß, 

p ist hier ein Vektor 

p = dF/dt 

m ändert sich 

→ Rakete gibt Treibstoff 

ab, v nimmt zu 


2.4.1.6 ‘Raketenphysik’ einer Modellrakete 

Kinematik / Kraft- / Energieansatz 

Näherung : - m = const., da wenig Treibstoff im Vergleich zur Gesamtmasse 

2 Antriebsphasen: 

- mit Gasausstoß 

- g = const., da niedrige Flughöhe 

- keine Reibung 

- ohne ‘’ , nach Brennschluß 

3 Flugphasen 

a) beschleunigte Bewegung 

b) Senkrechter Wurf nach oben 

c) Freier Fall nach unten 

b) und c) können zusammengefaßt werden, wenn 

Senkrechter Wurf mit Abwurfhöhe und - 

geschwindigkeit verwendet wird. 

Antrieb -slos 


h 

beschl. 

Bewegung 

a 

senkr. 

Wurf 

b 

freier Fall 

c 

t

a) Start : 

beschleunigt (Brenndauer 5s), a = const.; senkrechter, beschleunigter Wurf : 

F An - F G - F t = 0 mit FAn : Startschub 

FAn – mg – ma = 0 

FAn 

Startbeschleunigung : aS 

= − g 

m 

bei Brennschluß (t = 5 s) 

nach Brennschluß 

Geschwindigkeit : v Bs = a st 

Höhe : h Bs = 1 /2 a st² 

hier F an = 2N , m = 0,1kg → a s = 10 m/s² 

v Bs = 50 m/s, h Bs = 125m 

b) Senkrechter Wurf 

Max. Steighöhe: h max = h bs + h sw 

h 

sw 

2 

vbs 

= (z.B. aus Energiesatz h 

2g 

g 2 v = ) 

= 125m 

h max = 250m 

nach Gipfelpunkt 

c) Freier Fall 

aus Energiesatz bzw. Kinematik : 

tatsächlich geringer, da Reibung 

vauftreff = 2 ghmax 

aber : Masse nicht konstant, also Impulsansatz 

m 

70 

s 


≈

Impulsansatz 

dp 

d( 

m v) 

Grundlage aus (MD - 15’): ⎺F = = = m& 

v + m v& 

= m& 

v + ma 

⎺ (*) 

dt 

dt 

aus (*), falls keine äußere Kräfte F = 0 : 

0 = m& 

v + 

ma 

→ m( 

t) 

v& 

= − m& 

w 

dv dm 

m = − w | ⋅dt 

(DGL 2. Sem.) 

dt dt 

1 

w 

1 

w 

v 

w 

dv 

∫ 

= 

dv 

− 

= 

= 

− 

− 

1 

m 

∫ 

ln ( m) 

dm 

1 

m 

+ C 

dm 

| ⋅ 

∫ 

v = w 

Gas 

Aus Anfangsbedingungen : t = 0 : v = 0 , m = m o (Startmasse) 

→ C = ln(m o) 

⎛ mo 

⎞ 

→ v = w ln⎜ 

⎟ 

⎝ m ⎠ 

bis hierher: parallel zur Erdoberfläche 


m(t) 

mit m = m(t) z.B. m(t) = mo - kt > mBS 

⎛ mo 

⎞ 

bei Start nach oben : v = w ln⎜ 

⎟ − g( 

h) 

t Achtung g = g(h) ! 

⎝ m ⎠ 

max. Höhe: v integrieren, schwierig 

x 

v Rakete

Modellrakete: w = 1000 m/s, m o = 0,1 kg, m BS = 0,08 kg, t = 5 s 

→ v BS = 173 m/s (50 m/s Kinematik) 

aus Formelsammlung : h BS = 550 m (125 m Kinematik) 

d. h. Faktor 2 - 3 ‚mehr’ bei lediglich 20% Differenz der Masse (100 g → 80 g) 

zwischen (falschem) Kinematikansatz im Vergleich zu Impulsansatz ! 

⎛ mo 

⎞ 

Reale Raketen v = w ln⎜ 

⎟ 

⎝ m ⎠ 

w ≈ 3 km/s 

mo 

1-stufig : typisch: ≈ 6 

m 

aber: 

BS 

→ v end ≈ 2w 

→ v BS ≈ 6 km/s also schneller als Treibstoffausstoß !! 

Erreichen einer Erdumlaufbahn erfordert v min = 8 km/s . Dies ist mit 1-stufiger Rakete nicht 

möglich, da das Massenverhältnis aus konstruktiven Gründen und der Treibstoff nicht 

beliebig optimiert werden können. Dies erreicht man aber bei gleichen Parametern 

(Startmasse, Nutzlast, Treibstoff) mit einer dreistufigen Rakete: 

Geschwindigkeit nach Brennschluß der i–ten Stufe: 

⎟ ⎛ M 

⎞ 

01 M02 

M0Z 

v B = we 

ln ⎜ ... . 

⎝MB 

1 MB2 

MBZ 

⎠ 

M 

0 

Das Argument des Logarithmus heißt „totales Massenverhältnis“ : 

M 


B

Im folgenden Rechenbeispiel werde dieselbe Nutzlast bei denselben 

Massen von Rakete und Treibstoff beschleunigt; w = 2,7 km/s. 

Einstufenrakete 

Nutzlast MH = 0,04 t 

Rakete MR = 8,44 t 

Treibstoff Mt = 42,20 t 

Startmasse M0 = 50,68 t 

Brennschlußmasse MB = 8,48 t 

Brennschlußgeschwindigkeit 

v BS 

= 

2, 

7 

vBS = 4,8 km/s 

km ⎛ 50, 

68 

ln⎜ 

s ⎝ 8, 

48 

⎞ 

⎟ 

⎠ 

Dreistufenrakete 

Nutzlast MN = 0,04 t 

3. Stufe MR3 = 0,04 t ; MT3 = 0,20 t 

2. Stufe MR2 = 0,40 t ; MT2 = 2,00 t 

1. Stufe MR1 = 8,00 t ; MT1 = 40,00 t 

ΣMR = 8,44 t ; ΣMT = 42,20 t 

→ Startmasse M0 = 50,68 t 

1. Stufe 

Masse bei Zündung M01 = 50,68 t 

Brennschlußmasse MB1 = 10,68 t 

∆v1 = 4,21 km/s 

2. Stufe 



∆v2 = 3,71 km/s 

3. Stufe 



∆v3 = 3,39 km/s 

Brennschlußgeschwindigkeit der 3. Stufe 

vBS = ∆v1 + ∆v2 + ∆v3 

vBS= 11,31 km/s 

Dies bedeutet: Mit einer einstufigen Rakete kann man keine Kreisbahn um die Erde 

erreichen, da die erste kosmische Geschwindigkeit (für eine Kreisbahn an der luftleer 

gedachten Erdoberfläche) bereits 7,9 km/s beträgt. Für das Verlassen des Erdschwerefeldes 

sind bereits 11,8 km/s nötig, die kosmische Geshwindigkeit der Erde 

(„Fluchtgeschwindigkeit“). 


Raketenstart und Flugstabilisierung 

Schwierigkeit beim Start : v o = 0 : instabil, da keine Ruderwirkung, Triebwerke schwenken ! 

besser bei Sylvesterraketen, da SWP unter Antriebsangriffspunkt 

SWP 

Kraft 

Kraft 

SWP 

SWP oberhalb Unterstützung : labil Stabil, da SWP unterhalb Kraftangriff 

Seilrolle 


Kraft 

SWP 

Kraft 

SWP 

analog Seiltänzer mit Stange bzw. Motorradartist 

Seil : 

'Auflagekraft' 

Weltraumraketen: komplexe Schubvektorsteuerung ( Triebwerk dreht sich – Vektorcharakter 

des Impulses ) erfordert schnelle Winkelmeß und Regelstrecken. 

SWP

2.4.2 Rotation 

Modellkörper: Starrer Körper 

Versuch Fliehkraft 

Versuch: Fliehkraftregler 

Kugeln 

2.4.2.1. Zentripetalkraft 

Bsp: 

Anpressdruck Karusell merkt Ausenstehender nicht , 

daher Typ 'Trägheitskraft, Scheinkraft' 

Fr : ‘rückhaltende’ Kraft , Zentripetalkraft Fzp 

Praxis: meist nur Betrag interessant 

Zentrifugalkraft Fzf ist die Kraft, die ein mitrotierender 

Beobachter spürt (Fliehkraft) 

Zentripetalkraft Fzp 

Zentrifugalkraft Fzf 

Bem.: Fzp ~ ω² 

r 

Erreichen in diesem Versuch unterschiedlich schwere 

bei gleicher Umdrehungsgeschwindigkeit dieselbe Höhe ? 

r r 

F = F 

zp 

r 

= m a = 




r 

m v 

r 

2 

= 

v = r ω 

r 

m ω² 

r = 

D 

r 

− F 

Zf 

r 

(MD - 17)

2.4.2.2 Dynamisches Grundgesetz 

Modellkörper: starrer Körper 

Translation Kraft F → M Drehmoment Rotation : 

Drehmoment 

r 

M 

g 

r r r 

= M i = r i × Fi 

∑ 

∑ 

Herleitung eindimensional 

1D : F = m a | r 

r F = r m a | a = rα (Winkelbeschleunigung) 

→ M = (mr²) α = J α 

J : Massenträgheitsmoment, 

aus Tabellen bzw. experimentelle Bestimmung 

bei zusammengesetzten Körpern : M = ∑ M = ∑J α 

Dynamisches Grundgesetz 

r 

ges 


r 

i 

i 

r 

m1 

r1 

D 

r2 

m2 

D r m 

r 

[J] = kgm² 

r 

M = J α 

(MD - 18) 

r r 

Vergleich Translation : F = m a 

d’Alembertes Prinzip der Rotation Σ M = 0 (MD - 19) 

Vergleich Translation : Σ F = 0

Massenträgheitsmoment 

hier: Schwerpunkt auf Drehachse, sonst Unwucht, z.B. Autoreifen 

Messung des Trägheitsmomentes durch Drehschwingungen → Kapitel Schwingungen 

Stabile Drehung um Hauptträgheitsachsen ∑ ∫ ρ = 

2 

J m r 

ra 

x 

x 

r 

i 

x b 

z 

z 

z 

r 

l 

l 

y 

h 

y 

y 

Kugel 

= i i 

i Vol 

massiv 


r 

x 

y 

r 

z 

2 

J = J = J = 

dünne Schale 

Vollzylinder 

1 

2 

x 

dV 

y 

2 

m 

5 

r 

z 

2 

J = J = J = 

1 

4 

2 

3 

m r 

1 

12 

2 

2 

2 

J x = m r J y = Jz 

= mr 

+ m l 

dünner Stab (l >> r) 

1 

2 

1 

12 

2 

2 

J x = m r J y = Jz 

= m l 

dünner Scheibe (l

Drehpunkt außerhalb Schwerpunkt 

Bsp: Kugel an Seil – Pendel 

Satz von Steiner 

D 

d : Abstand A - SWP 

d 

m 

Starrer Körper 

SWP 


m 

d 

D 

Ja = JSWP + m d² 

Bsp.: MP an gewichtsloser Stange Ja = m d² da JSWP = 0 (s.o.) 

2.4.2.3 Arbeit und Energie bei Rotation 

Versuch: JoJo - Maxwellsches Rad 

- fallen lassen mit abgewickelter Schnur : Fall schnell, bleibt unten 

- fallen lassen mit aufgewickelter Schnur : Fall langsamer, kommt wieder hoch 

Untersuchung : Ekin JoJo < Ekin Kugel (da v geringer) 

Wo steckt Energiedifferenz ? Offenbar in der Rotation ! 

Epot → Ekin + Erot → Energiespeicher Rotation 

Anwendung : Schwungrad Golf ECO (ca. 1985) beim Bremsen (warum gibt’s das nicht 

mehr?) 

Arbeit 

Energieerhaltung 

Rotationsenergie 

Leistung 

(vgl. Translation) 

Wrot = ∫Mdϕ 

E kin + E pot + E rot = const. 

E rot = 1/2 J ω² 

r r 

P = M⋅ω 

(MD - 20) 

(MD - 21)

2.4.2.4 ‘Hookesches’ Gesetz bei Rotation : Torsionsfeder 

Drehmoment 

Arbeit 

M 

R 

F 

Hier nur Beträge, Vektoren ggf. ergänzen 

Kreisförmiger Querschnitt , ϕ klein 

Verdrillung klein Halten bei Antriebsachsen, Schrauben etc. 

Drehmoment M ∼ ϕ (Translation F ∼ x) 

bzw. F ∼ ϕ ( M = r x F) 

bezogen auf Materialstärke : M ∼ ϕ R 4 

R 4 bringt "viel Steifigkeit" : - R = 1 cm → M ∼ 1 4 = 1 

Mtor = ± D ϕ 

Wtor = ∫ Mdϕ = ½ D ϕ² D ≠ D(ϕ) 

Vergleich Translation : FFeder = ± D x ; WFeder = ∫ Fdx = ½ D x² D ≠ D(x) 

2.4.2.5 Impuls bei Rotation : Drehimpuls 

Drehimpuls [L] = kg m² /s 

Drehmoment - Drehimpuls 

Drehimpulserhaltung 

Bsp. Drehimpulserhaltung : 

r r r r 

L = J ω = r × p 

r &r 

M = L = 

v 

∑ L = const. 

- R = 1,2 cm → M ∼ 1,2 4 = 2 

(MD - 22) 


J& 

r 

{ 

ω 

0, 

falls J= 

const. 

r 

+ Jα 

- Einfangen eines rotierenden Satelliten ‚schwierig’, da Impulsübertrag auf Raumschiff 

- Kreiselstabilisierung, Richtung von L ist raumfest, Anwendung: Kreiselkompass 

(MD - 23)

2.4.2.6 Transformation Translation - Rotation und Gegenüberstellung 

hiermit erhält man aus der Translation die Formeln der Rotation durch 

„Buchstabentauschen“: 

s → ϕ v → ω a → α m → J F → M p → L 

(skalar, Vektoren ggf. ergänzen) 

Translation Variable/Formel Rotation Variable/Formel 

Weg s Winkel ϕ = s / r 

Geschwindigkeit v Winkelgeschwindigkeit ω 

Beschleunigung a Winkelbeschleunigung α 

Masse m Massenträgheitsmoment J = Σ mr² 

Kraft F = ma Drehmoment M = Jα 

Kraftansatz ΣF = 0 Drehmomentansatz ΣM = 0 

Impuls p = mv ; p & = F Drehimpuls L = Jω ; L & = M 

Impulserhaltung Σp = const. Drehimpulserhaltung ΣL = const. 

Arbeit W = ∫ Fds Arbeit W = ∫ Mdϕ 

Energie E kin = 1 /2 mv² Energie E kin rot = 1 /2 Jω² 

Leistung P = F v Leistung P = M ω 

entsprechend verhalten sich alle weiteren Definitionen etc. 


3. Schwingungen 

Kinematik + Dynamik : beliebige Bewegungen (Translation, Rotation, krummlinig) 

mechanische Schwingungen: periodische Bewegung 

periodisch = sich wiederholend 

Bsp: Pendel, Feder 

Freier Fall ist keine Schwingung da nicht periodisch. 

Schwingungen treten überall, nicht nur in der Technik auf: 

- Autofederung 

- Schwingungen von Maschinen z.B. Unwucht 

- EM - Schwingungen → Funkwellen 

- Schwingungen bei Regelvorgängen 

- Gezeiten 

- Schwingungen von Gebäuden, Bauwerken, ... 

- . . . 

- Wirtschaft (Zinsen, Aktien, ...) 

Zinssatz / % 

12 

11 

10 

9 

8 

7 

6 

5 

4 

Hypotheken-Zinssatz 

3 

1960 1964 1968 1972 1976 1980 1984 1988 1992 1996 2000 2004 

Fragen: - Warum haben die (Zinssatz-) ‚Schwingungen’ ca. 2000 aufgehört ? 

Jahr 

- Warum ist der Zinssatz 2005 auf historischem Tiefstand ? 


A 

t

3.1 Einführendes Beispiel: Mathematisches Pendel 

Vorkenntnisse : - Kräftezerlegung 

- Bewegung von Massepunkten 

- Newtonsche Gesetz 

- trigonometrische Funktionen 

Ziel : Grundlagen von harmonisch schwingenden Systemen 

Physikalische Beschreibung der beobachteten Schwingungen idealisiert durch Modellkörper: 

Mathematisches Pendel 

Pendel mit punktförmiger Masse und masseloser Stange im Gravitationsfeld 

Fadenpendel (Gewicht an dünnen Faden) als reales Beispiel für Mathematisches Pendel : 

Beobachtung: - periodische Bewegung um Ruhelage 

- Auslenkwinkel ändert sich 

- Ursache der Schwingung ist die Schwerkraft, da 

keine anderen Kräfte von außen wirken 



mit relevanten Kräften und Definitionen 

JAVA Applett: Fadenpendel 

Eigenschaften des Pendels 


γ 

s 

F RK 

l 

γ 

m 

γ 

F = m g 

G 

- oben beweglich aufgehängt - senkrecht nach unten Ruhelage 

- beliebige Auslenkung aber konstante Pendellänge l 

- punktförmige Masse m 

- Winkel γ aus Ruhelage 

- Massepunkt bewegt Kreisbahn mit Radius l 

- Weg aus Ruhelage : s = Bogenlänge 

- auf Massepunkt wirkt als einzige Kraft die Gewichtskraft FG = m g 

Vorgehen zur Bewegungsgleichung 

Kraft FRK 

- Zerlegen der Gewichtskraft in 2 Teile 

- ein Teil in Fadenrichtung, wird von der Stange aufgenommen 

- 2. Teil ist tangential zur Bahn wirkt als rückstellende bzw. beschleunigende 

in Richtung Ruhelage und ist für die Schwingung verantwortlich 

- Winkel der Kraftzerlegung in Dreiecken entsprechen dem Auslenkungswinkel γ 

F t

Kraftansatz d'Alembertsches Prinzip : Σ F = 0 

1) Fb - Ft = 0 

2) beschleunigende = rückstellende Kraft aus Gewichtskraft und Auslenkwinkel 

Rückstellende Kraft 

Trägheitskraft = m&s 

& 

Fb = FRK = m g sin γ 

(Beschleunigung = 2. Zeitableitung des Weges) 

Weg s entspricht Bogenlänge = Pendellänge * Auslenkwinkel 

F t 

s = - l γ → &s & = − l&γ 

& 

Minuszeichen : entgegengesetzten Zählrichtungen von Kraft und Winkel 

l konstant, zeitliche Änderung nur Winkel 

Trägheitskraft 

in Abhängigkeit vom Auslenkwinkel 

3) einsetzen (m fällt heraus) 

Bewegungsgleichung 

= − ml 

&γ 

& 

(SW - 1) 


F t 

l & γ& + g sinγ 

= 0 

(SW - 2) 

(SW - 3) 

gesucht : γ(t) ? , das ist eine Differentialgleichung (Mathe II) für den Auslenkwinkel

Lösung von (SW - 3) wegen gleichzeitigen Auftretens von ϕ und sinϕ kompliziert 

für kleine Schwingungsamplituden entspricht der Sinus γ ungefähr γ (im Bogenmaß) 

0,6 

0,5 

0,4 

0,3 

0,2 

0,1 

0 

y 

Vergleich: y = sin(x) zu y = x 

10° 

y = x 

y = sin(x) 

0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 

x /rad 

bis 10° : Gerade und Sinusfunktion praktisch gleich 

kleine Auslenkung sin γ ≈ γ [γ] = rad 

→ rückstellende Kraft ist proportional zum Auslenkwinkel FRK ∼ γ 

Ersetzen in Differentialgleichung (SW – 3) von sinγ durch γ , ergibt 

Harmonische Schwingungsgleichung 


& γ& 

+ 

g 

l 

γ = 0 

Lösung beschreibt zeitliche Bewegung des mathematischen Pendels bei kleinen 

Auslenkungen 

(SW - 4)

Als Lösung gesucht : 

periodische Funktion, deren 2. Ableitung proportional zu der Funktion ist : f ~ f & 

Idee: Sinus bzw. Cosinus - Funktion 

Experimente 

• Pendel, aus dem Sand auf eine Folie herausrieselt. Bewegt man die Folie, zeigt sich der 

zeitliche Verlauf und der Abstand von der Ruhelage proportional zum Auslenkwinkel → 

Sinusfunktion 

• Messung des Auslenkwinkel mit Winkelsensor (Beschleinigungsmesser) zeigt ebenfalls 

einen sinusförmigen Verlauf 

Betrachtet man den Beginn des Experiments (Loslassen mit einem gewissen Anfangswinkel) 

kann die periodische Funktion nicht ein Sinus (ohne Phase) sein, da sin(0) = 0 ! 

also Cosinus, da cos(0) = 1 


Lösungsansatz 

für zeitabhängige Winkeländerung γ (t) 

mit - γo : Anfangsauslenkung 

γ(t) = γo cos(ωot) 

- ωo : ungedämpfte Kreisfrequenz (ideal, keine Reibung etc.) 

Schwingungsdauer 

T = 

1 2π 

ω0 

= ; f = 

f ω 2π 

Beweis durch Einsetzen in Harmonische Schwingungsgleichung: 

zuerst ableiten 


ändert periodisch 

Beschleunigung 

0 

γ& 

a = & γ& 

= − 

o sin( ωo 

(SW - 5) 


ω 

= − 

o 

ω 

γ 

2 

o 

t) 

γocos( 

ωot) 

= − ω 

142 

43 

γ 

2 

o 

γ 

(SW - 6) 

(SW - 6') 

Mechanische Schwingungen sind ungleichmäßig beschleunigte Bewegungen ! 

2 g 

Einsetzen in (SW - 4) − ωo 

γ + γ = 0 → 

l 

Eigenfrequenz ωo 

der Mathematischen Pendels 

2 g 

0 

l 

= ω 

ω o = 

g 

l 

(SW - 7)

Physikalisch interessanter als Kreisfrequenz bei Pendeln ist die Schwingungsdauer, da 

meßbar 

γ 

ω T = 2 π 

T 

Schwingungen artverwandt mit Rotation : 

- Eine Periode entspricht 2 π, hier ω * T Periodendauer ≡ Schwingungsdauer T 

- Versuch: Fadenpendel schwingen und kreisen lassen - kein Unterschied 

aus SW - 7 folgt damit 


des Mathematischen Pendels bei 

kleinen Auslenkungen 


= 2 π 


T MP 

- proportional zur Wurzel aus Pendellänge 

- unabhängig von Masse und Amplitude 

Achtung: kleine Amplitude war Ansatz zum Finden der Lösung !! 

Versuch : Messung Pendellänge 1m / Wurzel aus 1/10 = 0,3 mal 6 = 2s 

Folgerung: Harmonische Schwingungen können durch eine Cosinusfunktion mit einer 

bestimmten Frequenz beschrieben werden. 

t 

l 

g 

γ 

(SW - 8)

Zusammenfassung 

Mathematisches Pendel mit Anfangsauslenkung (aus Kraftansatz): 

& γ& 

+ 

g 

l 

γ = 0 

2 g 

0 

l 

= 

2π 

ω ; T 

ω 

Merkmale idealer harmonischer Schwingungen 

2 

- Gleichung & x& 

+ ω x = 0 

o 

= Lösung: γ = γ ( ω t) 

- Schwingungsdauer und Frequenz unabhängig von Amplitude 

0 

0 cos o 

- Rückstellende (= beschleunigende ) Kraft proportional Amplitude (Mechanik) FRk ~ x 

- ωo beschreibt die ‚Eigenschaften’ des schwingungsfähigen Systemes 

- ωo ist die ungedämpfte Eigenfrequenz des Systems 

Andere schwingende Systeme (Federpendel, elektrische Schwingkreise, etc.) werden 

ebenfalls mit dieser Gleichung beschrieben (ggf. mit anderen Variablen). Mittels 

Koeffizientenvergleich erhält man sofort Frequenz und Schwingungsdauer 

reale Systeme: Reibung, äußere, nichtlineare, ... Kräfte berücksichtigen (s.u.) 

Energieansatz, komplexer Lösungsansatz, Reibung etc. s.u. 

Hinweis: Lösungsmethoden kein Prüfungsstoff, nur Ergebnisse; 

mathematisches Lösungsverfahren Mathe DGL 2. Sem. 


3.2 Übersicht 

allgemein: periodische Zustandsänderungen (Energieverschiebungen) 

Bsp. Pendel: Epot → Ekin → Epot (trotzdem Kraftansatz verwenden !) 

Gemeinsamkeit: rückstellende Komponente 

Anzahl der Komponenten Form Ausbreitung Bsp 

wenige Schwingung ortsfest Pendel 

1 Körper Eigenschwingung ωo im Körper Stimmgabel 

viele Wellen Fortpflanzung Schallwelle 

Schwingungsart harmonisch Anharmonisch 

Mathematische Beschreibung 1 Sinus bzw. Cosinus beliebig 

Bsp: Pendel, 

LC - Schwingkreis 

Schwingungsart ungedämpft gedämpft 

Rechteck, Ebbe, Flut 

Pulsschlag, EKG 

Annahmen ideal mit Verlusten, z.B. Reibung 

Bsp Math. Pendel Luftwiderstand, Federpendel 

Schwingungsart frei erzwungen 

Merkmal - System bleibt sich selbst überlassen 

- abklingende Amplitude 

- äußere Energiezufuhr 

- Resonanz 

Bez.: Oszillator Resonator 

Schwingungsüberlagerung 

Addition von Schwingungen 1D oder vektoriell 

Frequenz Richtung parallel senkrecht 

Gleich Verstärkung / Auslöschung Lissajous 

Verschieden Schwebung 


3.3 Ungedämpfte Harmonische Schwingungen 

3.3.1 Physikalisches Pendel 

wie 4.1: Kraftansatz, da Rotation mit Drehmomentansatz Σ M = 0 → MRK - MT = 0 


D 

γ 

F RK 

r 

γ 

SWP 

F G 

Physikalisches Pendel 

Def.: Starrer Körper mit Drehpunkt und Schwerpunkt 


D 

γ 

r 

SWP 

Mathematisches Pendel (mit Drehmomentansatz ΣM = 0, da quasi Rotation, s. o. ): 

- Drehmoment = J &γ 

& 

M T 

- = r × F = −r 

mgsin 

γ 

M RK 

- Satz von Steiner: JA = Js + mr² (MD - 16) 

- Aufhängepunkt – Schwerpunkt = r 

Die Formeln gelten ebenso für Starren Körper, da Masse im Schwerpunkt ‘wirkt’

dann analog zu (SW 1-4) : 

J 

A 

&γ 

& + r m g γ = 0 

r m g 

→ &γ 

& + 

Ja 

12 

3 

Eigenfrequenz des Physikalischen Pendels 

bei kleinen Auslenkungen 

2 

ωo 


γ = 

0 

vgl. 

&γ 

& + ω 

2 

o 

2 

o 

γ 

= 

r mg 

= = 

J 

Kontrolle für Mathematisches Pendel und Vergleich mit (SW – 7): 

Massepunkt: Js = 0 → 

g 

ω o = √ 

r 

ω 

A 

0 

r mg 

J + mr² 

Technische Bedeutung: Experimentelle Bestimmung von Trägheitsmomenten 

s 

(SW - 9)

3.3.2 Beschreibung des Mathematischen Pendels mit 

Energieansatz 

Ekin + Epot = const ; aus Anfangsbed. v oder h 

→ 1/2 mv² + mgh = const. 

mit - h = l( 

1−cos 

γ) 

Vorteile: 

→ 

- γ klein: cosγ ≈ 1 – 1/2 γ² → h ≈ l γ² / 2 

- s = l γ und v = l γ& 

- Vorzeichen von v „uninteressant“, da v 2 

- Ansatz einfacher 

Schwingungsgleichung 

des Mathematischen Pendels bei kleinen 

Auslenkungen aus Energiesatz 

Einsetzen der Lösung aus Kraftansatz: s = so cos(wot) 

ωo² so² sin²(ωot) + g/l so² cos²(ωot) = const 

mit ωo² = g/l 

nur E pot 

v = 0 

g 

s & ² + s² 

= const 

l 

g/l so²[sin²(ωot) + cos²(ωot)] = g/l so² = const., da sin² + cos² = 1 √ 

g 

Vgl. Kraftansatz: & x & + x = 0 mit (SW-10) 

l 

aus (SW – 10) → 


γ 

v = vmax 

nur Ekin 

g 

d 

g 

g 

s & ² + s² 

= const → 2 s& 

&s 

& + 2 ss& 

= 0 → & s & + s = 0 

l 

dt 

l 

l 

Energieansatz - auch möglich, aber komplizierter in Lösung etc. 

- nicht üblich 

- inkompatibel mit LC-Schwingkreis 

l 

h 

E kin+ E pot 

(SW - 10)

3.3.3 Korrekte Lösung der Harmonischen Schwingungsgleichung 

Problem bei Anfangsbedingungen (t = 0) 

- Auslenkung (Lageenergie) oder Geschwindigkeit (kin. Energie) 

- Auslenkung (Lageenergie) + Geschwindigkeit (kin. Energie) 

Allgemeine Harmonische 


Lösungsansatz : x(t) = c1 cos(ωot+ϕ) + c2 sin(ωot+ϕ) 

2 

x o x 0 = ω + & 

c1, c2 Konstanten aus den Anfangsbedingungen 

Allgemeine Lösung der Allgemeinen Harmonische Schwingungsgleichung 

Bew.) 

v 

( t) 

= xo 

cos o 

t 

ω 

o 

( ω t + ϕ) 

+ sin( 

ω + ϕ) 

x o 

o 

Mit - xo : Anfangsamplitude 

- vo : Anfangsgeschwindigkeit 

- ωo : Eigenfrequenz 

- ϕ : Phase 

- Geschwindigkeit v ~ x& 

2 

- Beschleunigung a~ 

v& 

~ &x 

& = − ω x (ungleichm. beschleunigte 

In (SW - 12) setzt man die Anfangsbedingungen ein : 

- nur Anfangsauslenkung : vo = 0 

- nur Anfangsgeschwindigkeit : xo = 0 

- gemischt : vo und xo ≠ 0 

(SW - 11) 

(SW - 12) 


o

3.3.4 Komplexe Lösung der Harmonischen 


eleganterer Lösungsansatz im Hinblick auf gedämpfte und erzwungene Schwingungen: 

2 

Harmonische Schwingungsgleichung x x 0 ω + & 

komplexer Lösungsansatz 

o = 

x = x 

jω o t 

jω 

o t 

Ableitungen = ( e ) = jω 

e = jω 

x 

- so geht’s am schnellsten und einfachsten ! 

& 

d 

dt 


o 

e 

jωo 

t 

x o 

o 

jωo t 2 jωo 

t 2 

( e ) = − ω e = − ω x 

d² 

& x& 

= 

o 

o √ 

dt² 

jω o t 

- es werden alle Fälle aus (SW - 12) erfaßt, da = cos( 

ω t) 

+ jsin( 

ω t) 

e o 

o

3.3.5 Beispiele Harmonischer Schwingungen 

3.3.5.1 Federpendel 

Feder anfänglich gedehnt 

Kraftansatz: Σ F = 0 

1) Fb - Ft = 0 → FRK - Ft = 0 

2) Hooke: FRK = - D x = FF da in -x - Richtung 

3) 

F t 

= m&x 

& 

D 

& x& 

+ x= 

0 

{ m 

ω 

2 

o 

Feder anfänglich gestaucht 

2) Hooke: FRK = + D x = FF da negatives x 

F t 

= − m&x 

& , da in -x - Richtung 

Rest identisch 

Probe: - m → ∞ : a → 0 √ 

- D → 0 : a → 0 √ 

JAVA Applett: Federpendel 

gilt auch für senkrechte Pendel 

F = F 

FF RK 

Ruhelage 


F t 

Ruhelage 

0 

0 

F t 

x 

F = F 

FF RK 

x

3.3.5.2 Torsionspendel 

hier gilt nicht v = ω r ,da & γ& nicht konstant 

Hier: ωo = γ& 

Herleitung siehe Übungsaufgabe 

mit : MRK = - D γ und MT = J & γ& folgt : 

D 

& γ& 

+ γ = 0 

{ J 

ω 

2 

0 

3.3.5.3 LC – Schwingkreis 

siehe E- Technik 

& 1 

I& 

+ I = 0 

{ LC 

ω 

2 

0 

UC ebenfalls periodisch ! 

JAVA Applett: Elektromagnetischer Schwingkreis 

3.3.5.4 Flüssigkeit in U-Rohr 

siehe Übungsaufgabe 

d' Alembert: FRK = - mbeschl g = Fb ( '-', da nach unten) 

FT = mges & z& 

Flüssigkeit: mFL = ρ A h 

mges = ρ A l , l : Gesamtlänge 

mbesch = 2 ρ A z (2, da über- & unterhalb z = 0) 

g 

→ & z& 

+ 2 z = 0 Vgl. Mathematisches Pendel 

{ l 

ω 

2 

o 

2 

o = ω 

U C 


g 

l 

J 

m beschl 

D 

γ 

Ruhelage 

C 

I 

m ges 

F t 

F RK 

L 

z 

0

3.3.6 Zusammenfassung Mechanik harmonische Schwingungen 

(nur Beträge) Translation Rotation 

Ansatz 

Variable 

Rücktreibende Komponente 

Trägheitskomponente 

Eigenfrequenz 

Σ F = 0 

Weg x 

FRK = cT x 

FT = m & x& 

2 

o = ω 

Σ M = 0 

Winkel γ 

MRK = cR γ 

MT = J & γ& 


cT m 

Bem.: - Rücktreibende Komponente ∼ Auslenkung 

- Frequenz unabhängig von Amplitude 

3.4 Gedämpfte Harmonische Schwingungen 

2 

o = ω 

Einfluß von Reibung oder anderen Verlusten: Verringerung der Amplitude mit der Zeit 

Reibungsphänomene siehe Dynamik 

Reibungsarten FR FR proportional Amplitude 

Gleitreibung Normalkraft lineare Abnahme, nicht geschlossen lösbar 

viskos v = &x = γ& 

typ. exponentielle Abnahme (*) 

Newton 

2 

v Abnahme, DGL schwer lösbar 

(*): viskose Reibung entspricht einem Ohmschen Widerstand in ET ! 

cR J

Bsp: Viskose Reibung 

z.B. Luftdämpfung eines Pendels bzw. R in LC-Schwingkreis, d.h. ~ x& 

= ˆ v 

d'Alembertscher Ansatz 

ΣF = 0 

Reibungskraft, siehe Tabelle 

Mechanisches System : 

b 

& x& 

+ x& 

+ ω 

{ m 

2δ 

2 

0 

x = 0 

mit - b : Reibungskonstante 

- m : Masse 

Vereinfachung der Lösung mit Abklingkoeffizient : 

2 

→ & x& 

+ 2δ 

x& 

+ ω x = 0 

Lösung der DGL (Mathe II, hier nur zur Info) 

Ansatz: x(t) = xo e λt 

0 

Ft + FR + FRK = 0 

b 

δ = 

2m 

einsetzen: λ² + 2 δ λ + ωo² = 0 "charakteristisches Polynom" 

Lösung der Quadratischen Gleichung: λ² + 2 δ λ + ωo² = 0 

2 

λ 1/ 

2 = δ ± j ωo 

− δ² 

(*) 

4243 

1 

ωD 

< ωo 


F R 

(SW - 13) 

Folge: Frequenz einer gedämpften Schwingung ist kleiner als die der Ungedämpften ! 

Kontrolle: keine Dämpfung b = 0 ; λ = j ωo √ (siehe Ansatz)

3 Fälle aus (*) Bed: Schwingung Bem. 

Schwingfall ωo > δ ja Wurzel positiv 

Kriechfall ωo < δ nein Wurzel komplex 

Aperiodischer Grenzfall ωo = δ nein Wurzel Null 

Amplitude 

Schwingung mit Reibung: Dämpfung 

Schwache Dämpfung 

Kriechfall 

Aperiodischer Grenzfall 

Einhüllende bei schwacher Dämpfung (Abklingen) 

Schwingfall - gedämpfte Schwingfrequenz kleiner als Eigenfrequenz 

(nur Dämpfungsanteil) 

−δt 

jωDt 

- exp. Abnahme (Einhüllende) der Amplitude : x( 

t) 

= xo⋅ 

e{ 

⋅ e{ 


ω 

D 

= 

exp. 

Abnahme 

t 

- Wann ist Schwingung (Amplitudenverlauf ~ e 

δ − 

) abgeklungen ? 

zur Vereinfachung : t = 0 : e 0 = 1 

für t > 0 : e -5 ≈ 0,007 d.h. δt = 5 ist Restamplitude kleiner 1% 

→ 

Abklingdauer 

Versuche : - LC-Schwingkreis 

- Pohlsches Drehpendel 

= 

δ 

5 

Tabkling ω 

2 

0 

t 

− δ 

2 

Schwingung 

(SW - 14)

3.5 Anharmonische Schwingungen 

Bsp: nichtlineare Feder mit Kraft - Weg-Zusammenhang : F = -D x + n x 2 + ... 

siehe auch Statik 

analog: nichtlineare Transistor-Kennlinie (Ergebnis: Klirrfaktor bei Verstärkern) 


Lösung 

Ergebnis : Frequenzvervielfachung 

& x& + ωo²x + c x 2 = 0 

x(t) = x1 cosωot + x2 cos2ωot 

harmonisch + anharmonisch 

Einfluß eines Nichtlinearen Terms (b) in Abhängigkeit von der Signalamplitude 

Ampltitude 

8 

6 

4 

2 

-4 

-6 

Klein 

0 

0 2 4 6 8 10 

-2 

x (Eingang) 

y=ax + bx² (Ausgang) 

Signalverzerrung am Ausgang deutlich 

'erkennbar' ! 

x / t 

Ampltitude 

Groß 

0 

0 

-5 

2 4 6 8 10 

x / t 

-10 

x (Eingang) 

(SW - 15) 

(SW - 16) 


30 

25 

20 

15 

10 

5 


doppelte Frequenz am Ausgang deutlich 

'erkennbar' ! 

Anwendung: Frequenzverdopplung bei Mikrowellengeneratoren und Lasern

3.6 Erzwungene Schwingungen 

Prinzip: Äußere Kraft bzw. Energie wirkt auf schwingungsfähiges System 

Versuch: Drehpendel 

aus Kraftansatz 


für erzwungene Schwingungen 

Fext : - Äußere Kraft , Fälle siehe s.u. 

- Fext = 0 : Freie, gedämpfte Schwingung (s.o.) 

& x& + 2 δ x& + ωo 2 x = Fext 

- Fext = 2δ x& 

: Kompensation der Reibung durch Äußere Kraftzufuhr 

z.B. schaukelndes Kind bei konstanter Amplitude 

anwachsende Amplitude : Resonanz s.u. 

Fext Zeitverhalten Bsp. Pendel 

Kurzzeitig, einmalig 

(‚Schlag’) 

Permanent 

Periodisch 

bzw. „beliebig“ 

F ext 

F ext 

F ext 

(SW - 17) 


t 

t 

t 

„Anschub“- Anfangsbed. 

Danach gedämpfte 

Schwingungen 

z.B. Stimmgabel, Börsencrash 

Dauernde Auslenkung 

Schwingungsdauer T = ∞ 

z.B. Festklemmen 

Wichtigster Fall 

Anregung mit Eigenfrequenz 

das ist Resonanz 

Praxis: Mit einem ‚Schlag’ und Messung von Schwingfrequenz und Amplitude erhält man 

alles Systeminformationen wie ωo und δ

3.6.1 Viskos gedämpfte Schwingungen mit Sinusanregung 

Versuch : Drehpendel, LC-Schwingkreis 

JAVA Applett: Erzwungene Schwingungen (Resonanz) 

Schingungsgleichung mit 

Dämpfung und Äußerer Anregung 

Komplexer Lösungsansatz : 

II) 

x 

& x& 

+ 2δ 

x& 

+ ω 

2 

2 ext 

einsetzen: x0 

( − ωext 

+ j2 

δ ωext 

+ ω0) 

= 

m 

→ Maximalamplitude : 

x 

0 


2 

0 

Fext 

x = 

m 

e 

jω 

ext 

t 

(SW - 18) 

jωext 

t 

= x0 

e (Rechnung hier rein 'informativ , siehe Mathe 

= 

m 

Resonanz ω 0 = ωext 

Re(x0): 

'Resonanzkatastrophe' 

ext 

2 2 ( ω − ω + j2 

δ ω ) 

0 

x 

0 

F 

ext 

Fext 

= 

2δm 

ω 

Dämfung → 0 bedeutet Amplitude → ∞ , dies nennt man 

Schwingungs- 

Amplitude 

Erzwungene Schwingungen 

ext 

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 

ext 

F 

Resonanzkatastrophe 

Eigenfrequenz hier 10 Hz 

Schwache Dämpfung 

Mittlere Dämpfung 

Starke Dämpfung 

Erregerfrequenz /Hz


Resonanzen - vermeiden, da Materialzerstörung (s.u.) 

Beispiel Schiffsantrieb: 

Video Tacoma - Bridge 

- erwünscht z.B. Funkempfänger (LC-Schwingkreis) 

Meßtechnik : Bestimmung der Resonanzfrequenz 


Anwendung: Moleküle 

Berechnung von Bindungsgrößen durch Anregung 

mit em-Wellen geeigneter Frequenz (meist IR) und 

Messung der Absorption 

→ Bestimmung der Resonanzfrequenz und Berechnung der Bindungs- (= Feder-) 

Konstanten 

aus 

D 

& 

+ x = F 

{ m 

x ext 

ω 

2 

o 

( ω) 

’beliebige’ Anregung mathematisch schwierig! 

„Dasselbe gibt es in der E-Technik als (R) LC – Schwingkreis“ 

… praktische Anwendung: 


4. Wärmelehre 

Das menschliches Temperaturempfinden ‚warm – kalt‘ 

ist im Vergleich zum Sehen nur ungenau 

→ physikalische Beschreibung der Temperatur notwendig 

4.1 Temperatur (Temperature) 

Temperatur ist eine der 7 Basisgrößen [T] = K 

Vergleich Kelvin - °C K °C 

absoluter Nullpunkt 0 -273 

Siedepunkt N 2 77 -196 

Schmelzpunkt H2O 273 0 

Siedepunkt H2O 373 100 

Schmelzpunkt Eisen 1.800 K 

Sonne innen 10 7 K 

Sonne außen 6 * 10 3 K (siehe Kap. Wärmestrahlung) 

Der „Erfinder“ & „Konkurrenten“ Celsius und Fahrenheit 

^ 


Temperaturangaben in technischen Spezifikationen (Specification) 

• Betriebstemperatur (Operating Temperature) 

Temperaturbereich, bei dem das Gerät ohne Schaden zu nehmen betrieben werden kann 

• Lagertemperatur (Storage Temperature) 

Temperaturbereich, bei dem das Gerät ohne Schaden zu nehmen gelagert werden kann, 

es ist hierbei nicht eingeschaltet und muß vor dem Einschalten in den 

Betriebstemperaturbereich gebracht werden. 

Unter Temperatur versteht man hier typischerweise die Temperatur der Umgebungsluft, die 

Temperatur im Inneren liegt höher. 

Beispiel aus der PC-Welt : Betrieb +10°C ... +35°C , Lagerung -40°C ... +65°C 

Typische Betriebstemperaturen : 

Bezeichnung Bereich /°C 

Commercial +5 ... + 50 

Industrial (indoor) 0 ... +70 

Industrial (outdoor) 25 ... +75 

Automotive -35 ... +85 

Military -55 ... + 125 


Messung durch temperaturabhängige Zustandsgrößen: 

Zustandsgröße Anwendung (Beispiel) Ausführung (Beispiel) 

Volumen Flüssigkeits-, Gasthermometer 

Längenaus- 

dehnung 

ungleiche 

Metalle 

Bimetall-Thermostat 

(Kaffeemaschine) 

Thermoelement 

(Verfahrenstechnik) 

Widerstand Pt100 – Meßtechnik (Industrie) 

'Farbe' des 

emittierten 

Lichtes 

physikalisch – 

chemisch 

Pyrometer (rotglühender Stahl), 

siehe Diagramm 

Temperaturstreifen 

- Flüssigkristalle reversibel 

- chemisch irreversibel 

(max. Temperatur) 


4.2 Kalorimetrie (Calorimetry) 

Wärmemenge (Heat Quantity) 

[Q] = J ('Energie') 

mit m : Masse, [m] = kg 

{ T m c Q = ∆ 

c : spezifische Wärmekapazität [c] = J / kg K , Werte s.u. 

C : Wärmekapazität eines bestimmten Körpers (= c m) 

∆T : Temperaturdifferenz, [T] = K 

Anmerkungen - eigentlich müßte die Formel ∆Q lauten 

- Q nicht proportional ∆T falls Phasenübergänge ! 

Energieformen können ineinander umgewandelt werden. 

Ausnahme: selbstständiges Abkühlen unter die Umgebungstemperatur 

Mischungstemperatur 

Bsp: Stein kühlt sich ab und hüpft mit der gewonnenen Energie hoch 

(2. Hauptsatz Thermodynamik) 


C 

(WL - 1) 

Bringt man verschiedene Stoffe mit unterschiedlicher Temperatur, spez. Wärmemenge etc. 

miteinander in Kontakt, so stellt sich die sogenannte Mischungstemperatur aufgrund der 

Energieerhaltung ein: 

mit m : Masse 

c : spez.Wärmekapazität 

T : Temperatur vor Mischen 

T 

Misch 

c1m1 

T1 

+ c2 

m2 

T2 

+ ... 

= 

c m + c m + ... 

Beispiel heißes (80°C) und kaltes (20°C) Wasser (je 1 kg) zusammengießen: 

T Misch 

= 

kJ 

kJ 

4, 

2 ⋅1 

kg ⋅353K 

+ 4, 

2 ⋅1 

kg ⋅293K 

kgK 

kgK 

646K 

= 

kJ 

kJ 

2 

4, 

2 ⋅1 

kg + 4, 

2 ⋅1 

kg 

kgK 

kgK 

1 

1 

2 

2 

= 

323K 

(WL - 1') 

≡ 50° 

C 

Übungsaufgabe: Welche Temperatur messen Sie, wenn Sie in 1l 80°C warme Luft einem 

10g schweren Eisen-Temperaturfühler mit der Temperatur von 20°C bringen? 

‚Unberechenbar’ : Ort und Temperatur der einzelnen Wassermoleküle zu jedem Zeitpunkt

Bsp.: Elektrische Energie (Arbeit, Work) → Wärme (Heat) 

z.B. Herd oder elektrische Geräte mit der Leistung Pel = U I : Wel = U I t = Q 

zu erwarten ist eine lineare Zunahme der Temperatur mit der Zeit: 

U I t = c m ∆T → ∆T ~ t 

Dies wird experimentell nicht beobachtet (s.u.) ! 

Gründe: 

- Wärmeabgabe durch Wärmedurchgang durch Gehäusewand, Lüfter, Abstrahlung, ... 

- mögliche Phasenübergänge 

Die Meßkurve läßt sich sehr gut mit einer e-Funktion anfitten, d.h. vgl. Ladekurve RC-Glied 

T /°C 

50 

45 

40 

35 

30 

25 

Aufheizen einer LCD-Anzeigetafel 

lineare Zunahme 

exp - Fit 

Messung 

Gleichgewichtstemperatur 

0 10 20 30 40 50 60 

T nach Einschalten /min 


Bsp.: Kinetische Energie in Wärme 

Auto bremst von 108 km/h auf 0 km/h mit ABS (nicht blockierend) 

Ekin → Q 

1 2 

→ mv 

= Q 

2 

Folge: Bremsscheibe wird heiß, aber wie ändert sich hier T ? 

aus (WL - 1) Q= cm 

∆T 

→ 

→ 

Q 

∆ T = 

cm 

Werte: mauto = 1000 kg 

∆ T = 

m 

2c 

m 

→ ∆T ≈ 450 K 

Auto 

mBremsscheibe = 2 kg 

v = 30 m/s → 0 m/s (Achtung, siehe Wkin) 

ceisen = 500 J/kgK 

v 

2 

Bremsscheibe 

Einheiten: ⎟ 2 2 

2 

kg m K ⎛ kgm 

⎞ 

= K ⎜ 

⎜J 

= 

2 

2 

s J kg ⎝ s ⎠ 

Achtung: Dieser Effekt tritt auch bei langen Passabfahrten ohne Motorbremse auf, bzw. 

bei Autorennen mit vielen Kurven ! 


4.2.1 Spezifische Wärmekapazität (Specific Heat Capacity) 

es gilt: - cp (p = const) 

- cV (V = const) 

- c = c(T) 

- c(0K) = 0 

für Festkörper und Flüssigkeiten cp ≈ cV ≈ c 

für Gase cp > cV 

Material c / 

Eisen 500 

Holz 2.000 

Wasser 4.200 

Luft cp 

J 

@ T ≈ 300 K 

kg K 

1.000 

cV 720 

Bestimmung (Messung) der spezifischen Wärmekapazität z.B. durch Mischungsexperimente 

(siehe Formel WL-1’ mit Dewar-Gefäß) 

Wärmekapazität eines Systemes, z.B. Gehäuse, Dewargefäß 

C = c m 

∆ Q 

mit C = C1 + C2 + ... = 

∆ T 

Anwendung bei Verbundgefäßen, z.B. Thermoskanne, dort wird C experimentell 

bestimmt. Messung durch Mischversuch: Tgemessen < Tmisch errechnet 


Weitere Wärmekapazitäten 

Wärmekapazität eines Systemes, z.B. Gehäuse, Dewargefäß 

C = c m 

∆ Q 

mit C = C1 + C2 + ... = 

∆ T 

Anwendung bei Verbundgefäßen, z.B. Thermoskanne, dort wird C experimentell 

bestimmt. Messung durch Mischversuch: Tgemessen < Tmisch errechnet 

C 

molare Wärmekapazität cmol = bzw. C = cmol n 

n 

n : Stoffmenge [n] = mol . Dies ist eine der 7 Basisgrößen ! 

Allgemeine Gaskonstante : R = cpmol - cvmol 

Dulong-Petitsche Regel für fast alle Festkörper bei 20 °C : 

J 

cmol = 3 NA kB ≈ 25 

Kmol 

mit Avogadro-Konstante NA = 6 . 23 1 

10 

mol 

Boltzmann Konstante kB = 1,4 . -23 J 

10 

K 

d.h. bei Raumtemperatur sind sich die Festkörper relativ ähnlich ! 

Beispiele : Eisen Fe : 0,056 kg/mol → 1 kg ≡ 18 mol 

→ c . 1kg = cmol . 18 mol → 

J 

25 ⋅ 18mol 

Kmol 

kJ 

c = = 0, 

45 vgl. Tabelle ! 

1kg 

Kkg 

kJ 

analog Aluminium (Al) 0,027 kg/mol → c = 

0, 

9 

Kkg 


Materialien besitzen spezifische Eigenschaften, die bei Temperaturänderungen oder 

anderen Wärmeeffekten zum Tragen kommen, siehe nachfolgende Tabelle. 

Wärmeeigenschaften ausgewählter Materialien 

Hier nur ungefähre Werte aufgeführt ! 

kJ 

Spez. Wärmekapazität (300K) / 

kgK 

kJ 

Luft : 1 

kgK 

Schmelztemperatur /°C 

kJ 

spez. Schmelzwärme q / 

kg 

Wärmemenge, um 1 kg von 

Zimmertemperatur zu schmelzen /kJ 

Siedetemperatur /°C 

kJ 

spez. Verdampfungswärme r / 

kg 

10 

linearer Ausdehnungskoeffizient α / 

K 

6 − 

Volumenausdehnungskoeffizient 

Festkörper 

Flüssigkeiten 

Gase 

Aluminium 

Eisen 

Gold 


0,90 

650 

400 

967 

2.500 

11.000 

23 

1 

γ / 

K 

10 -5 

10 -4 

10 -3 

0,45 

1.500 

280 

946 


6.300 

12 

0,13 

1.060 

70 

205 


1.700 

14 

H20 

4,2 

0 

330 

100 

2.250

Bsp.: Geräteerwärmung 

Wie lange braucht ein elektrisches Gerät zum Aufheizen auf eine maximal erlaubte 

Temperatur ? 

Leistung am Transistor (TO-3, Metall): ∆U = 3V , I = 1A 

Kunststoffgehäuse 1l Luft , ρ = 1,2 g/l 

To = 25°C, Tmax = 75°C -> ∆T = 50K 

Welektrisch = QWärme 

→ 

→ 

U I t = c m ∆T 

∆ T = 

t = 

c 

Q 

c m 

Luft 

m 

UI 

Luft 

∆T 

1000⋅ 

0, 

0012 ⋅ 50 

t = s = 20 s �� 

3 ⋅ 1 

stimmt das ??? 

J kg K 1 W s 

- Einheit: [ t] 

= = = s ☺ 

kgK 

1 1 VA 

W 

Bem: - t gemäß Erfahrung größer: Aufheizen von Transistor (Metall) und Gehäuse 

(Kunststoff) sowie Wärmeabstrahlung und Wärmeleitung des Gehäuses 

vernachlässigt, es wurde nur Erwärmung der Luft im Gehäuse berechnet ! 

(siehe oben, Aufheizen LCD-Tafel) 

- Rechnung mit Metall (10 g) und Kunststoff (100 g): 

t = 

≈ 

( c m + c m + c m ) ∆T 

( 450⋅0, 

01 + 1000⋅0, 

1 + 1000⋅0, 

0012) 

M 

M 

1800s 

= 

K 

K 

U⋅I 

30min. 

L 

L 

⋅ 50 

s 


= 

(Ausklammern von ∆T erlaubt, da ‚Alles’ dieselbe Temperatur hat) 

- Wärmeleitungsverluste (Thermisches Gleichgewicht) berücksichtigen 

3

4.3.1 Phasen 

fest flüssig gasförmig 

Form definiert Beliebig bel. 

Volumen def def. bel. 

Bsp Metall Wasser Luft 

Weitere Phasen : flüssigkristalline (s.u.) und Plasma - Phase (s.u.) 

Flüssigkristalle 

R X R' 

Director n 

Chemie und mechanisches anisotrope Eigenschaften 

Äquivalent - Dielektrizitätskonstante 

Die flüssigkristalline Phase vereint das 

Orientierungsvermögen der festen Phase mit 

der Beweglichkeit der flüssigen Phase. 

Typische Werte : 

Tmelting ### - 100 °C 

Tclearing ### + 100 °C 


ε 

n 

- Brechungsindex 

- Viskosität 

ε 

- elastische Konstanten 

Degree of order 

High 

Low 

n 

Solid Liquid crystal Liquid 

(crystal) phase 

(isotropic) 

Melting Clearing 

T

Technische Anwendung: 

LCD 

Aufbau eines Displays : 

U 


Light 

Polarizer 

Glass 1 mm 

ITO 50 nm 

LC 10 µm 

Alignment layer 50 nm 

Spacer 

Analyzer 

Funktionsweise am Beispiel einer 90°-TN-Zelle (Twisted Nematic, Drillwinkel 90°) 

Außen befinden sich Polari- 

sationsfilter, die nur eine 

Schwingungsrichtung des 

Lichtes durchlassen (Leucht- 

dichteverlust !). Sie sind auf 

Glasplatten befestigt, die zur 

mechanischen Stabilisierung 

und als Trägermaterial für die 

übrigen Schichten des Dis- 

plays dienen. Eine dünne, 

durchsichtige Halbleiter- 

schicht (ITO) steuert die 

Anzeige. An der Orientie- 

rungsschicht 

Light 

Orientation 

of polarizer 

Polarizer 

Glass 

ITO 

Alignment 

layer 

Alignment 

direction 

richten sich die stäbchenförmigen Flüssigkristalle aus. Die Polfilter sind parallel zueinander 

angeordnet, die Orientierungsschichten jedoch um 90° gegeneinander verdreht; dies wird 

durch Linien symbolisiert. Die Lichttransmission wird von der nur 10 µm dicken Flüssig- 

kristallschicht gesteuert. Im spannungslosen Fall (links) wird die Polarisationsrichtung des 

Lichtes durch die Helixstruktur der Flüssigkristalle so gedreht, daß der untere Polfilter den 

Lichtdurchlaß verhindert. Das entsprechende Pixel erscheint dunkel. Legt man an beide ITO- 

Schichten ein Spannung an, die größer ist als die Schwellspannung im Bereich von 2 V, so 

richten sich die Flüssigkristalle parallel zum elektrischen Feld aus (links). Schon ca. 0,5 V 

oberhalb der Schwellenspannung ist die maximale Ausrichtung erreicht. Die Polarisations- 

richtung des Lichtes wird dann nicht mehr gedreht und es kann den unteren Polfilter 

passieren: Das Pixel erscheint hell. 

U on 

E

Plasma 

Unter 'Plasma' versteht man ein gasförmiges Gemisch von freien Elektronen, Ionen und 

elektrisch neutralen Teilchen - Atomen, Molekülen und freien Radikalen. Alle Bestandteile 

des Plasmas besitzen eine große kinetische Energie, sie sind miteinander jedoch nicht 

unbedingt in thermischem Gleichgewicht. Die elektromagnetische Wechselwirkung zwischen 

den einzelnen Teilchen trägt wesentlich zu den Eigenschaften des Systemes bei. 

Ein Großteil der im Universum sichtbaren Masse befindet sich im Plasmazustand, z.B. die 

Sonne. 

Eigenschaften des Plasmas: 

- gasähnlich 

- Quasineutralität, d.h. im räumlichen und zeitlichen Mittel ist ein Plasma elektrisch neutral 

- kinetische Energie >> potentielle Energie durch lokale Ladungsunterschiede 

- elektrische ~ und Wärmeleitfähigkeit vorhanden 

- Emission von Strahlung 

Erzeugung von Plasmen durch äußere Energiezufuhr durch 

- Aufheizen 

- Zufuhr von Strahlung oder elektrischem Strom 

Anwendung Fusionsreaktor 

2 2 3 1 

bei der Verschmelzung z.B. D + D → He + n werden 3,3 MeV = 5,3 10 -13 J frei. 

1 

1 

2 

Probleme hierbei sind die Plasmaerzeugung (Culomb-Abstoßung der Reaktionspartner 

überwinden) und das freiwerdende Neutron. 


0

Anwendung: Plasmadisplay 

Die derzeit (2000) einzige kommerziell verfügbare Flachbildtechnologie mit großer 

Bilddiagonale (42’’, Auflösung 16:9 VGA) basiert auf dem Plasmaprinzip. Ihre 

Funktionsweise verbindet die Lichterzeugung durch den Plasmaeffekt, wie er von 

Neonröhren her bekannt ist, mit der Farberzeugung durch Phosphore. Die Effizienz der 

Plasmadisplays liegt aber um etwa 2 Größenordnungen unter der von Leuchtstoffröhren. 

Das in Plasmadisplays benutzte Xenon besitzt ein Ionisierungspotential von ca. 10 - 20 eV. 

Bei einem Druck von etwa 50 kPa erzeugt das Xenon-Plasma eine ultraviolette 

Vakuumstrahlung mit Peaks bei Wellenlängen von 148 nm und 172 nm. Die UV-Strahlung 

dringt ca. 1 µm tief in die Phosphorschicht ein - im Gegensatz zu ca. 5 µm für Elektronen in 

der CRT. Im Phosphor regt die UV-Strahlung geeignete Aktivatoratome im Kristallgitter an. 

Diese geben daraufhin sichtbares Licht ab, wobei die typische Abklingzeiten zwischen 1 und 

10 ms liegen. Durch passende Materialwahl lassen sich somit RGB-Farben erzeugen. 

Anders als bei der CRT muß das Licht der Plasmaanzeige die Phosphorschicht nicht 

durchdringen, da es auf der Betrachterseite erzeugt wird. Die einzelnen Pixelspalten sind 

durch Trennwände abgeteilt, um ein Übersprechen zu vermeiden. 

Verglichen mit LCD besitzen Plasmabildschirme einen größeren Blickwinkel. Zudem sind sie 

videotauglich, da sie eine höhere Schaltgeschwindigkeit haben. Nachteilig bei 

Plasmadisplays sind ihr großes Gewicht und ihr hoher Stromverbrauch sowie eine RGB- 

Pixelgröße, die mit Abmessungen von etwa 1 mm rund dreimal so groß ist wie bei der LCD 

und CRT. Für Anwendungen mit großen Betrachtungsabstand und geringer Pixelzahl, wie 

etwa beim Fernseher, spielt dies nur eine untergeordnete Rolle. Für hochauflösende CAD- 

Anwendungen sind Plasmadisplays indes ungeeignet. 


Phosphor 

Spaltenleitung 

Licht 

Zeilen- Halteleitung 

(ITO) 

Ne:Xe 

Gas 

~ 0,3 mm 

Glas 

Isolator 

MgO 

'Barrier Rib' 

Pixel eines Plasma-Displays: Zur Anteuerung von Großdisplays wird eine Wechselspannung 

von etwa 500 V und 50 kHz verwendet. Zwischen Zeilen- und Halteleitung liegt ständig eine 

subkritische Spannung, welche als Oberflächenladung wirksam wird. Um das Plasma zu 

zünden, steuert man zusätzlich die Spaltenleitung an (Matrixprinzip). Ohne Haltespannung 

würde das Plasma innerhalb von Mikrosekunden zusammenbrechen. Die UV-Strahlung des 

Plasmas bringt die Phosphorschicht im sichtbaren Bereich zum Leuchten. Um das Pixel 

wieder auszuschalten, wird ein entgegengerichteter Spannungspuls angelegt, der das 

Plasma zusammenbrechen läßt. 


4.3.2 Phasenübergänge (Phase Change, ~ Transition) 

Phasenübergang T steigend T fallend 

Fest (solid)- flüssig Schmelzen (melting) Erstarren (solodify) 

Flüssig (fluid) - gasförmig Sieden (boil) Kondensieren (condense) 

fest – gasförmig (gaseous) Sublimation (z.B. Schwefel) Desublimation 

Sublimationswärme = Schmelz- + Verdampfungswärme 

Energetische Betrachtung der Phasenübergänge 

konstante Wärmemenge pro 

Zeiteinheit wird ständig 

zugeführt 

Versuche: Eiswasser, Wasser 

kochen, T bleibt eine zeitlang 

konstant ! 

T 

Verdampfungs T 

Schmelz T 

Phasenübergang T steigend Wärmemenge aufwenden 

Schmelz-, Erstarrungswärme 

Siede-, Kondensationswärme 

T fallend Wärmemenge wird frei 

Schmelzwärme Verdampfungswärme 

Qsm = q m 

Qsd = r m 

(WL - 3) 

Q bzw. t 

q : spez. Schmelzwärme [q] = J/kg Werte siehe Tabelle Wärmeeigenschaften (s.o.) 

r : " Verdampfungswärme 

m : Masse 

Anwendung : Wärmepumpe 

- ext. Wärmeaufnahme: niedrigverdampfende Flüssigkeit 

- int. Wärmeabgabe : Kondensation an Heizflüssigkeit Kondensationswärme wird frei ! 


Druck - Temperatur - Abhängigkeit 

Bsp: H2O p /Pa 

Anmerkungen: 

10 6 

" 1 at " 

10 2 

1 

Sublimationsdruckkurve 

Schmelzdruckkurve 

Dampfdruckkurve 

Tripelpunkt 

kritischer Punkt 


Eis 

Wasser 

Tripelpunkt 



Wasserdampf 

-100 0 100 300 

Eis ↔ Wasserdampf; Beispiel Trockeneis 

nahezu druckunabhängig, Bsp Eislaufen 

kritischer 

Punkt 

T /°C 

T-abhängig: Wasser kocht im Gebirge bei niedrigerer T als am 

Meer, Kavitation bei Schiffsschraube 

alle 3 Phasen existieren 

H20 : T = 273,16 K (T-Def.); p = 610,6 Pa 

nur unterhalb der kritischen Temperatur lassen sich Gase durch 

Druck verflüssigen 


Schmelzen kann lange dauern bei guter Wärmeisolation: 


4.4 Zustandsgleichungen (Constitutive Equitation) 

4.4.1 Ideales Gas 

Gilt nur für hohe Temperaturen, 

da T → 0 V = 0 bedingt 

Mit - R = 8,3 J/Kmol Allgemeine Gaskonstante 

- n : Stoffmenge, [n] = mol 

- T : Temperatur in K 

Messverfahren siehe rechts, im Schlauch 

befindet sich eine Flüssigkeit 

JAVA Applett: Zustandsänderungen eines idealen Gases 

4.4.2 Flüssigkeiten und Festkörper 

allgemein : V = V(T,p) 

p V = n R T 

d.h. Fkt mehrerer Veränderlicher: Linearisierung als Näherung 

(WL - 4) 

Volumenveränderung V(T,p) = V o ( 1 + γ ∆T - κ ∆p) (WL - 5) 

mit : 

V o , T o , p o : Ausgangszustand laut DIN bei 20°C (293 K) 

V, T, p : aktueller Zustand 

∆T = T - T o 

∆p = p - p o 

Achtung: ∆ = Aktueller Wert - Ausgangswert 

γ : Volumenausdehnungskoeffizient [γ] = 1/K, hier isotrop d.h. γ ≠ γ(x) angenommen ! 

κ : Kompressibilität [κ] = 1/Pa 


Koeffizienten aus Volumenzuwachs: (Nomenklatur wie partielle Ableitung) 

V ( p , T) 

totales Differential 

( in Differenzschreibweise) 

: 

→ 

→ 

V 

V 

= 

= 

V 

o 

V 

o 

+ ∆V 

⎛ V Vp 

⎞ 

T 

= Vo 

⎜ 

⎜1 

+ ∆T 

+ ∆p 

Vo 

V ⎟ 

⎝ 

o ⎠ 

( 1 + γ ∆T 

+ κ ∆p) 

Volumenausdehnungskoeffizient 

Kompressibilität 

γ ( T) 

= 

κ ( T) 

= 

∆V 

= 


1 

V 

o 

V 

T 

T 

∂ V 

∂ 

1 

V 

o 

∆T 

+ V ∆p 

= 

p po 

∂ V 

∂ p 

- Prinzipiell können diese Parameter richtungsabhängig sein, wie z.B. bei Verbundstoffen ! 

- γ und κ sind Temperatur-abhängig ! 

− 

= 

T To 

Typische Werte γ /1/K κ /1/MPa 

Festkörper 10 -5 1 

Flüssigkeiten 10 -4 100 

Gase 10 -3 10.000 

∆T und ∆p verursachen ∆V 

Maschinenbau: Gehäuse: V = const: ∆T → ∆p → Kraft F : Spannungen 

E-Technik: T-abhängige Parameter z.B. Widerstand 

→ in 'einem Gerät / Schaltung' nur Materialien mit gleicher T-Abhängigkeit verwenden! 

p

Näherungen: 

Volumenveränderung V(T) = V o ( 1 + γ ∆T) ≈ V o ( 1 + 3α ∆T) (WL – 5’) 

bei konstantem Druck, α : Längenausdehnungskoeffizient 

Geometrie 

Bei langgestreckten Gegenständen, 

z.B. Stäben kann man vereinfachend 

nur mit der Längenausdehung 

rechnen oder falls nur eine Richtung 

für die Aufgabenstellung relevant ist. 

Längenausdehnungskoeffizient L(T) = L o (1 + α ∆T) (WL - 6) 

(Thermal Coefficient of Expansion, TCE) 

[α] : / 1/K , üblich für T von 0 ... 100°C 

Bem.: 

- Concorde bei Mach 2,2: 

∆L ≈ 30 cm 

bei ca. 50m Länge 

- Blackbird-Triebwerk (re.) 

- α ist temperaturabhängig, z.B. Platin (siehe unten) → α = α(T) 

Tabellen meist für 20°C, da WL - 6 lineare Näherung ! 

- Materialwerte siehe Tabelle 


- (WL - 6) ist eine lineare Näherung (Polynomentwicklung) ! 

- Längenausdehnung L(T) = L o (1 + α ∆T) 

- Hookesches Gesetz F(x) = (0 + Dx) 

- E-Technik R(T) = R 25 (1 + α ∆T) 

Polynome werden zum Anfitten an experimentelle Werte verwendet. Diese linearen 

Gleichungen gelten nur für einen bestimmten und engen Bereich. 

Will mans genauer wissen: höheres Polynom, z.B. αPlatin : 6. Grad ! 

für ∆T und α klein: Flächenausdehnung: A = A o (1 + 2α ∆T) 

Volumenausdehnung: V = V o (1 + 3α ∆T) → γ = 3α 

aus: V = L xo L yo L zo ( 1 + α ∆T)³ ≈ V o ( 1 + 3α ∆T) (wer Lust hat, bitte 

nachrechnen) 


Unterschiedliche Ausdehunungskoeffizienten führen zum Bruch bzw. Materialermüdung: 

Thermische Ausdehnung bei IC 

10mm 

Vergußmasse 

Polyimid 

Silizium 

Kleber 

Träger 

(-65°C ... +150°C) 

α -6 

/ 10 K l / µm 


20 

40 

3,5 

40 

17 

43 

86 

7,5 

86 

37

4.5 Wärmetransport (Heat Transport) 

Art Charaktristik Bsp 

Wärmestrahlung 

(thermal radiation) 

Wärmeströmung 

(thermal flow) 

(Konvektion) 

Wärmeleitung 

(thermal conduction) 

em-Strahlung (meist IR) Sonne, Mikrowelle, Lagerfeuer 

Materialtransport Konvektionsheizung (z.B. Luft), PC- 

Lüfter, Meer: kaltes Wasser unten, oben 

warm 

Energieübertragung erwünscht : Kühlkörper 

Statt ‚thermal ...‘ wird im Englischen auch oft ‚heat ...‘ benutzt. 

4.5.1 Wärmestrom (Thermal Flow) 

Wärmestrom auch Wärmeabgabe 

mit Q = c m ∆T 

vgl. mit Strom und Ladung 

J 

s 

[ Φ ] = = W ≡ Leistung 

zeitliche Abhängigkeit analog Kinematik ! 

unerwünscht : Thermoskanne 

∆Q 

dQ 

= = Q& 

∆t 

dt 


Φ = 

Φ = cm& ∆T 

+ cm 

∆T& 

+ c& 

m ∆T 

| | | 

Bsp. Lüfter Statisches z.B. Gase, c(T) 

Abkühlen oder Phasenübergang 

Bsp: - abkühlender Körper ( m & = 0, 

c& 

= 0) 

: ∆Q = 90 J in ∆t = 15 s → Φ = 6 W 

- Gehäuselüfter mit permanentem Massenstrom 5 l/min, ∆T = 20 K ( T & = 0 ) 

dm m l 

m & 

∆ 

= ≈ = 5 , Wärmekapazität konstant : c & = 0 

dt ∆t 

min 

J 

kg 

Φ = c m& 

∆T 

= 1000 ⋅0, 

0012⋅5 

⋅ 20K 

= 

kgK 

60s 

Φ 

Solarkonstante (Äquator, senkrechter Einfall): qsolar = = 1,35 kW/m² (Deutschland 0,7 

A 

kW/m²) 

2W 

(WL - 8)

Analogie Wärmelehre - E-Technik 

Transport von 'Wärmeteilchen' im Vergleich zu geladenen Teilchen 

Die treibende Kraft für den Transport ist eine Potential- bzw. Temperaturdifferenz ! 

Wärmelehre E-Technik (Gleichstrom) 

T-Differenz ∆T U Potentialdifferenz 

Wärmestrom Φ I Strom 

Wärmewiderstand Rth R Widerstand 

Wärmeleitwert 

∆ 

= 

Φ 

T 

Rth 1 

λ = 

Rth 

U 

R = Ohmsches Gesetz 

I 

1 

G = Leitwert 

R 

Mehrere Schichten Rth ges = ΣRth Rges = ΣR Serienschaltung 

'Vergrößerung 

eines Kühlkörpers' 

1 

R 

thges 

1 1 

1 1 1 

= + + ... = + + ... Parallelschaltung 

R R 

R R R 

th1 

th2 

Wärmekapazität C C Kondensatorkapazität 

P el 

Gehäuse 

Isolierscheibe 

Kühlkörper 

Luft 


ges 

Betrachtung nur in diese Richtung 

THL TGeh. TIso TKk. 

C : Wärmekapazität, R : Wärmewiderstand 

1 

2 

(Serien- und 

Parallelschaltung 

entsprechend) 

TLuft 

R 

Last 

= Abgabe an 

Umgebungsluft 

Vergleiche mit Aufheizkurve (S. 104) mit der Ladekurve U(t) der Kondensatorspannung eines 

RC-Schaltkreises.

2 Fälle des Wärmestroms : 

• permanente Wärmeentwicklung 

‚leicht‘ zu berechnen, d.h. (Wärme-) Kapazitäten werden vernachlässigt, nur Widerstände 

berücksichtigen. 

Annahme, dass der Aufwärmvorgang abgeschlossen ist. 

Typische Aufgabe: - Berechnung der Gleichgewichts-Temperatur 

• Einschalt- und Abschaltvorgänge 

- Berechnung eines Kühlkörpers 

‚komplexer‘, meist nur interessant bei kurzen Betriebsdauern (‚Ladezeit‘, danach Fall 

‚permanent‘), z.B. HF-Teil Handy, da typischerweise 5 min. in Betrieb. Vgl. RC-Verhalten 

bzw. Einschalten LCD-Tafel 


4.5.2 Wärmestrahlung (Thermal Radiation) 

auf der Erde in Luft und Wasser für kleinere Körper meist vernachlässigbar 

im All: Wärmeabgabe nur über Strahlung möglich 

Bsp: Astronauten müssen mit Flüssigkeit gekühlt werden, da der Körper mehr Wärme 

erzeugt als durch Strahlung abgeführt werden kann, also ‘Wärmetod’ nicht ‘Kältetod’ ! 

Plancksches Strahlungsgesetz 

gilt genau genommen nur im All 

mit 

σ = 5,7 10 -8 W 

(Stefan-Boltzmann - Konstante) 

2 4 

m K 

Φ = σ ε A 

ε = Emissionsvermögen : schwarzer Kühlkörper ε ≈ 0,9 ... 0,95 , weiße Fläche ε ≈ 0,5 

A : Fläche des Schwarzen Körpers /m² 

[T] = K 

Achtung: Näherung, gilt nicht, wenn Wände etc. in der Nähe sind! 


Wärmestrom /W 

50000 

40000 

30000 

20000 

10000 


4 

T 

Schwarzer Körper mit A = 1m², Emissionsvermögen = 1 

0 

0 200 400 600 800 1000 

T /K 

(WL - 9)

Spektrum der Planckschen Strahlung (Black Body Radiation) 

Schwarzer Körper 

Glühbirnen emittieren ihre Strahlung nur zu einem kleinen Teil (10 %) im sichtbaren Bereich 


Spektrum von Schwarzen Körper bei Zimmertemperatur und Sonnenlicht 

Das Spektrum der Sonne (s.o.) ergibt eine Oberflächentemperatur von etwa 6000 K. 

Die 'Farbe' eines heißen Körpers ist für das menschliche Auge sichtbar, wie obige Spektren 

verdeutlichen ! 

Einen Zusammenhang zwischen Spektrum und menschlichem Farbeindruck liefert die 

CIE 1931-Norm: 

Die hufeisenförmige Kurve repräsentiert auf ihrem Rand scharfe Spektrallinien, wie z.B. 

eines Lasers (s.o.) Im Inneren finden sich ausgedehnte Spektren. Die eingezeichnete Kurve 

gibt den Äquivalenzwert der Temperatur eines Schwarzen Strahlers wieder. 

Bei der Stahlerzeugung ist deutlich die 

Abhängigkeit der Farbe mit zunehmender 

Temperatur zu erkennen: Rot (600°C) - Gelb 

(1100°C) - Weißglut (1300°C) 


Das menschliche Sehen ‚passt‘ sich an die Farbe des Umgebungslichtes an, elektronische 

Sensoren (CCD, Videokamera, Digitalkamera, ...) benötigen hier einen Weißabgleich, da 

unterschiedliche Beleuchtungsquellen ! 


Wärmestrom durch Wärmestrahlung kleiner Körper in Gegenwart großer Wände 

Vorraussetzungen: 

AKörper

4.5.3 Wärmeströmung (Thermal Flow) 

- Transport von Materie, d.h. Wärmetransport durch Teilchentransport ! 

- meist aktiv, z.B. mit Lüfter oder Pumpe betrieben. 

- Konvektion: Strömung durch Dichteunterschiede, z.B. warme Luft steigt auf 

Wärmeströmung 

m& : Massenstrom (vgl. Impuls) 

∆T : T-Differenz ausströmende - angesaugt Luft 

bzw. Flüssigkeit oder Gas 

∆Q 

Φ = = 

∆ t 

= Q& 

= c m& 

∆T 


dQ 

dt 

(WL - 10) 

Man kann mittels der transportierten Stoffmenge (z.B. Luft bei Lüfter, Angabe in m³/min) den 

Wärmestrom berechenen: 

Bsp: Wieviel Verlustleistung kann ein Lüfter aus einem elektrischen Gerät transportieren ? 

m 

Lüfter mit 0,1 

min 

3 

Luft : ∆T = 30 K 

(ausgeblasene - 

eingesaugte 

Temperatur) 

Dichte : 1,2 kg/m³ 

→ Φ = c m& ∆T 

J 0, 

12 kg 

= 1000 

30K 

K kg 60 s 

= 60 W 

Beispiel Lüfter-Spec Bestellbezeichnung: 0410N-12 

Abmessungen: 

a x b (mm) 

40 x 40 

Bautiefe:c(mm) 25 

d (mm) 32 

e (mm) 4,5 

Nennspannung 

VDC 

Volumenstrom m³/h 

24 

165 

Luftdruck mm H2O 7,2 

Stromaufnahme mA 340 

Geräuschpegel dBA 44 

Lagerungsart Kugellager 

Temperaturbereich -10 ... + 70 

°C 

Lebensdauer 

in h bei 25°C 

Lebensdauer in h 

bei 70°C 

51.000 

40.000 

Zulassung UL/CSA/TÜV

Anwendungen: 

In Schaltschränken ist die Temperatur ‚oben‘ am höchsten (Bauteile-Belastung !). Deshalb 

sollten oben (Abluft) und unten (Zuluft) Lüftungsschlitze angebracht sein. Zu beachten ist 

aber eine ‚Verschmutzung (Staub) des Gerätes und eine erhöhte Wasserempfindlichkeit. 

Achtung : Bei erhöhten Umweltanforderungen (z.B. wasserdicht) kommt eine Wärmeabfuhr 

durch Lüftung (Massestrom) nicht in Betracht. Die Wärmeleitung und die maximal erlaubte 

Bauteiltemperatur bestimmt dann maßgeblich die maximal erlaubte elektrische 

Verbrauchsleistung ! 

IP Schutznormen - Systeme in schwierigen Umweltbedingungen* 

Industriell genutzte Systeme sind anderen Belastungen ausgesetzt, als Desktop PC in einer Büroumgebung. 

Staub, Dreck und Wasser sind Umwelteinflüße auf die ein Standard PC recht empfindlich reagiert, die ein 

industriell eingesetztes PC Systeme jedoch typischerweise problemlos aushalten muss. (Nicht zuletzt erklärt das 

den i.d.R. höheren Preis für Industrie PC gegenüber Standard PC.) 

Für den Einsatz in einer Industrieumgebung sind Schutzklassen und Normen definiert, die angeben, welchen 

Umweltbelastungen hinsichtlich Berührung, Fremdkörper- und Feuchtigkeitsschutz ein System ausgesetzt 

werden kann, ohne Schaden zu nehmen. Definiert werden die Schutzklassen in der IP Norm, DIN EN 60529: 

Schutzarten durch Gehäuse (IP Code). 

Der IP Code besteht typischerweise aus einer zweistelligen Ziffernkombination, die den jeweiligen Schutzgrad 

angibt, z.B. IPxy (oder IP54). Die erste Ziffer x spezifiziert die Schutzklasse für Berührungs- und 

Fremdkörperschutz, die zweite Ziffer y den Wasser- und Feuchtigkeitsschutz, 

Nachstehende Tabellen (ohne Gewähr) erläutern die Bedeutung der IP Codes: 

Tabelle 1: Berührungs- und Fremdkörperschutz 

1. Kennziffer Benennung - Erklärung 

0 Nicht geschützt 

1 Geschützt gegen feste Fremdkörper 50mm Durchmesser und größer: 

Die Objektsonde (Kugel 50mm) darf nicht voll eindringen 

2 Geschützt gegen feste Fremdkörper 12.5mm Durchmesser und größer: 

Die Objektsonde (Kugel 12.5mm) darf nicht voll eindringen 

Hinweis: Typischerweise die Lüftungsschlitze in einem PC Netzteilgehäuse... 

3 Geschützt gegen feste Fremdkörper 2.5mm Durchmesser: 

Die Objektsonde (Kugel 2.5mm) darf überhaupt nicht eindringen 

4 Geschützt gegen feste Fremdkörper 1mm und größer: 

Die Objektsonde (Kugel 1mm) darf überhaupt nicht eindringen 

5 Staubgeschützt: 

Eindringen von Staub ist nicht vollständig verhindert, aber Staub darf nicht in einer solchen 

Menge eindringen, daß das Arbeiten des Gerätes oder die Sicherheit beeinträchtigt wird 

6 Staubdicht: 

Kein Eindringen von Staub bei einem Unterdruck von 20mbar im Gehäuse 

*: aus Internet 


Tabelle 2: Wasserschutz 

2. Kennziffer 

Benennung - Erklärung 

0 Kein Schutz 

1 Geschützt gegen Tropfwasser: 

Senkrecht fallende Tropfen dürfen keine schädlichen Wirkungen haben 

2 Geschützt gegen Tropfwasser wenn das Gehäuse bis zu 15° geneigt ist: 

Senkrecht fallende Tropfen dürfen keine schädlichen Wirkungen haben, wenn das Gehäuse um einen 

Winkel bis zu 15° beiderseits der Senkrechten geneigt ist 

3 Geschützt gegen Sprühwasser : Wasser, das in einem Winkel bis zu 60° beiderseits der Senkrechten 

gesprüht wird, darf keine schädlichen Wirkungen haben 

4 Geschützt gegen Spritzwasser: Wasser, das aus jeder Richtung gegen das Gehäuse spritzt, darf 

keine schädlichen Wirkungen haben 

5 Geschützt gegen Strahlwasser: Wasser, das aus jeder Richtung als Strahl gegen das Gehäuse 

gerichtet ist, darf keine schädlichen Wirkungen haben. Hinweis: Entspricht ca. 12.5 Liter/Minute 

(Gartenschlauch). Testzeitraum ca. 5 Minuten. (Angabe ohne Gewähr.) 

6 Geschützt gegen starkes Strahlwasser: Wasser, das aus jeder Richtung als starker Strahl gegen das 

Gehäuse gerichtet ist, darf keine schädlichen Wirkungen haben 

7 Geschützt gegen die Wirkungen beim zeitweiligen Untertauchen in Wasser: 

Wasser darf nicht in einer Menge eintreten, die schädliche Wirkungen verursacht, wenn das Gehäuse 

unter genormten Druck- und Zeitbedingungen zeitweilig im Wasser untergetaucht ist 

8 Geschützt gegen die Wirkungen beim dauernden Untertauchen in Wasser: 

Wasser darf nicht in einer Menge eintreten, die schädliche Wirkungen verursacht, wenn das Gehäuse 

dauernd unter Wasser getaucht ist unter Bedingungen, die zwischen Hersteller und Anwender 

vereinbart werden. Die Bedingungen müssen jedoch schwieriger sein als für Kennziffer 7 

Übliche Schutzklassen in der Praxis und einige Hinweise: 

Für "normale" Industriesysteme in geschlossenen Werkhallen wird üblicherweise der Schutz nach IP54 

angeboten = Staubgeschützt + Geschützt gegen Spritzwasser. Für Systeme im Außeneinsatz (Fahrzeuge etc) 

wird ein Schutz nach IP65 empfohlen (=Staubdicht + Geschützt gegen Strahlwasser). Schutzklassen

Bei den Phänomenen der Wärmelehre werden oft (auch unwissentlich) Fehler gemacht : 

Was stimmt hier nicht ? 

(aus Prospekt der Fa. 

BAUHAUS,) 

Der Ausdruck 

‚Wärmewiedergewinnung‘ 

ist physikalisch falsch. 

Saison Lüfter Aussage Bewertung 

Winter Aus oben wärmer als unten �� 

Winter Ein oben und unten etwa gleich warm �� 

Sommer Aus oben und unten etwa gleich warm Na ja 

Sommer Ein Luft wird um etwa 4°C abgekühlt F A L S C H 

Sommer Ein Heizkostenersparnis Na ja 

Wie kann die ‚falsche‘ Aussagen physikalisch erklären ? 

- Der Lüfter bewegt die Luft, kann sie aber nicht kühlen 

- Die Temperatur erniedrigt sich ‚scheinbar‘ um 4°C 

- Geringerer Wärmeverbrauch 

Faßt man die Aussagen zusammen, erklärt sich die Beobachtung : Die an einem (menschli- 

chen) Beobachter vorbeiströmende Luft ändert den thermischen Widerstand (der Haut) als 

Folge der Wärmeleitung (s.u.). Dieser wird bei einem Übergang Festkörper (Haut) - Fluid 

(Luft) mit dem von der Luftgeschwindigkeit abhängenden Wärmeübergangskoeffizient α 

ausgedrückt. Erhöht sich die Luftgeschwindigkeit so wird mehr Wärme abgeführt, was ‚man‘ 

als ‚kühler‘ empfindet. Ein zusätzlicher Effekt ist die beschleunigte Verdunstung (Verdun- 

stungswärme wird vom Körper 'abgezogen‘). Die Heizkostenersparnis ist relativ gering, da 

sich an den thermischen Eigenschaften der Wände nichts ändert, lediglich die vertikale 

Temperaturverteilung ist in einem kleineren Bereich ausgeglichener. 


4.5.4 Wärmeleitung (Thermal Conduction) 

Metall fühlt sich ‚kälter‘ als Holz in einem 20°C warmen Raum an obwohl beide Gegenstände 

gleich warm sind. Grund: Metalle haben eine höhere Wärmeleitfähigkeit und transportieren 

so die ‚Wärme‘ der Finger schneller ab, die (wärmeren) Finger kühlen sich also ab. 

Hauptfälle : - Wärmeleitung durch eine Wand sowie von Festkörper auf Fluid 

- Wärmedurchgang durch eine Wand 

- Wärmeabgabe eines Körpers durch Abkühlen bzw. bei 'ständiger' Heizung 

4.5.4.1 Wärmeleitung durch Wand 

Welcher Wärmestrom fließt durch eine Wand bzw. 

welche Leistung wird durch eine Wand in 

Abhängigkeit vom Temperaturgefälle transportiert ? 

Achtung : Das folgende beschreibt nur einen 

Teilaspekt der Wärmeübertragung durch eine 

Wand, vollständig s.u. ! 

Wärmestrom analog Ohmschen Gesetz : 

Hieraus folgt 

Wärmewiderstand [Rth] = K 

W 

s : Wanddicke, A : Fläche 

λ : Wärmeleitzahl, [λ] = W (Materialeigenschaft) 

Km 

k : Wärmedurchgangszahl, 

Wärmeleitung 

k 

λ 

s 

Erhöhte Wärmeabgabe durch Ver- 

größerung der Oberfläche (Kühl- 

körper, Rippen bei Elektromotoren) 


T 

T A 

T B 

U ∆ T 

= I ≡ Φ = 

R 

Rth 

U 

R th 

= ; Anwendung z.B: Baubranche 

∆ T 

Φ = = 

R 

th 

k A( 

T 

A 

= 

T A 

s 

λ A 

= 

s 

s 

A 

T B 

R Analogie 

1 

k A 

λ 

− TB 

) = k A ∆T 

= A ∆T 

s 

x 

(WL - 11) 

(WL - 12)

Wärmedurchgangszahl „Normierung“ auf Dicke 

W 

[k] = 2 

Km 

Material 

Werte für 300 K ! 

Wärmeleitzahl λ / 

Km 

Eis 2,33 

Wasser 0,6 

Luft 0,025 

Stahl 14 

PVC 0,16 

Kork 0,05 

λ 

k = 

s 

W Wärmedurchgangszahl k / W 

K 

Ziegel 1 1,5 (30 cm Hohlziegel) 

Glas 0,8 5,6 (1 cm) (Doppelglas) 

Beispiel: Wie stark muß die Heizung einer Studentenbude sein ? 

W/Km² 

Werte : Länge Außenwand 10 m (Ecke), 2,5 m hoch, 2 Außenwände, k = 1 

Innenwände, Boden, Decke vernachlässigt, da Hochhaus 

Temperatur 0°C außen, 20°C innen gewünscht 

Φ = k A ∆T = 1 W/Km² 25 m² 20 K = 500 W 

Bei einer Wand aus mehreren Schichten wird einfach die 

'Serienschaltung' (vgl. ET) angewendet: 

Rthges = Rth1 + Rth2 + ... 

1 1 1 

'Parallelschaltung' : = + + ... (Vergrößerung der ‚Durchgangsfläche’) 

R R R 

th ges 

Wärmeleitzahl von Metallen 

e: Elementarladung 

th 1 

th 2 

Wärmeleitfähigkeit λ ∼ elektrischer Leitfähigkeit κ *T 

(WL - 13) 


2 

m 

Φ 

Wiedemann-Franzsches Gesetz 

λ 

Metall 

π² 

⎛ k B ⎞ 

= κ T 

3 

⎜ 

e 

⎟ 

⎝ ⎠ 

2

4.5.4.2 Wärmeleitung von Festkörper auf Fluid (Flüssigkeit, Gas) 

Welche Wärmeleistung wird von einem 

Festkörper auf ein Fluid abgegeben ? 

hier geht nur der Wärmeübergangskoeffizient 

des Fluids ein ! 

∆T = TFK - Tfluid 

Wärmestrom durch Übergang FK - Fluid 

α: Wärmeübergangskoeffizient, [α] = W / m² K 

α = α(vfließ, Medium) 

Wärmeübergangswiderstand FK - Fluid 

vgl. Wärmedurchgangswiderstand 

R th 

= 

s 

λ A 

Metall - Medium α / W/m²K 

Luft : ruhend 3 - 30 

langsam 30 - 60 

schnell 60 - 300 

Wasser 500 - 5000 

Wärmeübergangskoeffizient 

für strömende Luft längs einer ebener Wand 

= 

FK A Fluid 


1 

k A 

α = 

⎧ 

⎨ 

⎩ 

T 

T FK 

T Fluid 

6+ 

4⋅v 

7 ⋅ 

( v) 

0, 

78 

∆T 

Φ = α A ∆T 

R th 

multiplizieren 

= 

1 

α A 

für v ≤ 5 m s 

für v > 5 m s 

mit Einheiten 

x 

(WL - 14) 

(WL - 15) 

Bsp: - Motor: Wodurch unterscheiden sich Luft – Wasserkühlung ? Vorteile - Nachteile, ... 

- PC mit Wasserkühlung 

Hier vernachlässigt: Wärmeübergang FK auf FK

4.5.4.3 Wärmedurchgang durch Wand 

Wärmeübertragung von Fluid durch Wand (hier Verbundwand) an Fluid 

Wärmeübergangskoeffizient von Wand 1 auf Wand 2 wird vernachlässigt. 

T 

T A 

λ 1 

s 1 

λ 2 

s 2 

A 

T B 

innen außen 

Φ 

I 

x 

Innenwand 1 : Wärmeübergangskoeff. α1 

Wärmeleitung durch Wand 1 : Wärmeleitzahl λ1 

Wärmeübergang Wand1 - Wand 2 vernachlässigt 

Wärmeleitung durch Wand 2 : Wärmeleitzahl λ2 

Außenwand 2 : Wärmeübergangskoeff. α2 

Elektrisches Ersatzschaltbild mit Strom I ≡ Φ 

Wärmewiderstand als Serienschaltung : Rth ges = Rth überA + Rth durch1 + Rth durch2 + Rth überB 

Einzelwiderstände aus (WL - 15) 

Wärmestrom innen → außen : 

Φ = 

∆T 

R 

thges 

Näherung : ∆T des Gesamtsystems (ist aber üblich) 

∆T 

= 

1 s1 

s2 

1 

+ + + 

α A λ A λ A α A 

1 

A ∆T 

= 

⎛ 1 1 1 1 ⎞ 

⎜ + + + ⎟ 

⎝ α1 

k1 

k2 

α2 

⎠ 

Bsp: Zimmerwand (1 m² mit α = 6 W/m²K ) mit 30 cm dicken Ziegeln, (k = λ/s = 1 W/m²K) 

und 1 cm Gips (k = λ/s = 2 W/m²K) innen. Temperaturdifferenz von außen nach innen 20 °C 

(20K). 

Gesucht : Wärmestrom und Verlustwärme pro m² bzw. s ? 

Wärmedurchgangswiderstand : 

R 

thges 

⎛ 1 

= ⎜ + 

⎝ α1 

1 

k 

1 

+ 

1 

k 

2 

1 

+ 

α 

2 

⎞ 

⎟ ⋅ 

⎠ 

1 

A 

⎛ 1 1 1 1 ⎞ m² 

K K 

= ⎜ + + + ⎟ ⋅1 

= 1, 

83 

⎝ 6 1 2 6 ⎠ W m² 

W 

→ Wärmestrom pro m² : Φ = ∆T / Rth = 20 W / 1,83 = 11 W 

→ Verlustwärme pro m² und sec : Q = Φ t = 11 J 

Bei 45 m² anrechenbarer Fläche und 2000 h p.a. Heizung einer Wohnung ergibt sich : 

Φ = 500 W, Q = 1000 kWh, Heizkosten bei 0,4 €/kW : 400 € pro Jahr 


1 

2 

2

Beispiel Studibude (S. 123): 25 m² bei Φ = 11 W entspricht ca. 275 W, nur ‚Wand’ ergibt 

500 W 


4.5.4.4 Wärmeabgabe 

Statisches Abkühlen 

- es wird keine Wärme nachgeliefert 

- T ≠ const, gesucht: T = T(t) ? 

Bsp: Eisenwürfel (Fe) 

- Anfangsbedingung : T(t = 0) = 70°C = 343 K 

30 cm 

70°C 

Fe 

Luft ruhend 

20°C 

isoliert aufgeklebt 

Fläche des Würfels zur Luft hin: 

A = 5 * (0,3 m)² = 0,45 m² 

Näherung: 

- TEisen im Würfel räumlich konstant 

- Umgebungsluft erwärmt sich nicht 

- keine Volumenschrumpfung 

- keine Wärmestrahlung 

- Materialparameter seien T-unabhängig 

- cFK >> cFluid 

4 

4 

Abschätzung der Wärmestrahlung: = k ε A ( T − T ) 

Φ ≈ 150 W 

B 

Umgebung 

Wärmeverlust durch Strahlung (TKörper = const.) in der 1. Minute : Q = Φ * t ≈ 9 kJ 

Die Wärmestrahlung wird im weiteren vernachlässigt, da sonst die Mathematik deutlich 


Körper 

schwerer wird - bei kleinen ET-Körpern ist dies 'erlaubt'. 

Def.: Temperaturdifferenz : Tdiff = TEisen - TLuft

einerseits: Φ = dQ / dt differentielle Schreibweise 

∆T 

= 

R 

Φ (Rth ist hier der Wärmeübergangswiderstand FK - Fluid) 

th 

→ dQ = α A Tdiff dt (Wärmeleitung) (i) 

dQ : differentielle Änderung der Wärmemenge 

Wärmeverlust in der 1. Minute für TKörper = const. 

(vgl. mit Wärmestrahlung ! ) 

W 

Q = 5 ⋅0, 

45m² 

⋅50K 

⋅60s 

≈7kJ 

m² 

K 

andererseits: dQ = c m dTdiff (im Eisenwürfel gespeicherte Wärmemenge) (ii) 

mit c = 0,55 J/gK 

m = ρV 

Energieerhaltung : - Wärme kann nicht verschwinden 

- Wärmeaufnahme der Luft = Wärmeverlust (-abgabe) des Eisenwürfels 

→ Summe aller Änderungen der Wärmemenge muß Null sein 

ΣdQ = 0 → dQauf + dQab = 0 

mit (i) und (ii) folgt : - dQEisen = dQLuft 


Berechnung der Differenztemperatur: 

− m dT = α A T dt 

vernachlässigt : - TLuft = TLuft (t) 

c diff 

diff 

dT α A 

dt cm 

diff 

→ = − Tdiff 

DGL 1. Ordnung 

∫ 

dT 

T 

diff 

diff 

α A 

= − ∫ dt 

cm 

α A 

→ lnTdiff = − t + C | e 

cm 

→ 

T 

diff 

= k e 

α A 

− t 

c m 

k aus Anfangsbedingung : Tdiff (t = 0) = TEisen(0) - TLuft (hier 50 K bzw. 50°C) 

→ k = TEisen(0) - TLuft 

→ 

T 

diff 

= ( T 

Eisen( 

0) 

−T 

Luft 

) e 

t → ∞ : T diff = 0 → TEisen 

= TLuft 

α A 

− t 

c m 

dann herrscht thermisches 

Gleichgewicht 


T diff 

T Eisen(0) 

T Luft 

Anwendung : - Bestimmung von α (ggf. ln - Darstellung) 

- Hitzdrahtinstrument z B. als Luftmassenmesser in Vergasern 

Vergleich mit Entladekurve RC-Glied 

R : Abflußwiderstand (Rth) ≡ 1/αA 

Strom um T zu halten ~ zur Geschwindigkeit (Eichung notwendig) 

C : Speicherelement (CEisen) ≡ c m 

UC ≡ Tdiff 

U 

C 

Benefit: 

= U ⋅e 

0 

1 

− ⋅ t 

RC 

TEisen 

C 

Eisen 

R 

th 

TLuft 

R 

Luft 

(klein, 

Kurzschluß) 

Aufgaben aus der Wärmelehre können mit Schaltungssimulations-Software gelöst werden ! 

t


Praktisches Beispiel: 

In welchem Fall ist heißer Kaffee, welcher frisch in einen Styroporbecher gegossen wird 

nach 10 min. kälter ? Wenn die Milch sofort oder erst nach 10 min dazugegeben wird ? 

Werte für t = 0: Kaffee : TK = 70°C , mK = 100 g 

Milch : TM = 10°C , mM = 10 g 

TLuft = 20°C , cKaffee = cMilch = c 

Wärmekapazität und -leitung der Styroportasse vernachlässigt 

bzw. in TK enthalten (beim Eingießen war der Kaffee heißer) 

a) Milch sofort hinein Berechne TMisch c mK ∆T = c mM ∆T , dann Abkühlen 

cK mK (TK - TMisch) = cM mM (TMisch - TM) Kaffee wird kälter, Milch wärmer, 

cK mK TK + cM mM TM = (cM mM + cK mK)TMisch 

Mischtemperatur zweier Stoffe : 

T 

K K K M M M 

Misch = (WL - 1') 

cK 

mK 

cM 

mM 

0, 

1kg 

⋅343K 

+ 0, 

01kg 

⋅283K 

→ TMisch = 

= 337, 

5 K = 65, 

5° 

C 

0, 

11kg 

→ 

mit 

T 

diff 

= 

J 

c = 4200 

kgK 

α A 

const = 

cm 

; m 

0, 

11 

≈ 6 ⋅ 10 

kg 

1 

s 


c 

m 

W 

α = 10 ; A = 0, 

003m² 

( Wasseroberfläche, 

da Kaffeetasse 

Styroporbecher 

demzufolg 

e vernachlässigt) 

m² 

K 

45, 

5K 

⋅ e 

= 

− const. 

⋅t 

−5 

−0, 

04 

→ T = 45, 

5K 

⋅ e ≈ 44 K 

diff 

→ TKaffee nach 10 min ≈ 64°C 

b) Milch erst nach 10 min hinein Erst Abkühlen, dann Mischen berechnen 

− 0, 

04 

→ T = 50K 

⋅ e ≈ 48K 

diff 

T 

+ 

+ 

c 

m 

→ TK nach 10 min = 341 K = 68° C 

Hier ist das Abkühlen während 10 min. schneller, da die Temperaturdifferenz größer ist ! 

TMisch nach10min 

= 

0, 

1kg 

⋅341K 

+ 0, 

01kg 

⋅283K 

0, 

11kg 

T 

≈ 336 K = 63° 

C 

Kaffee ist kälter, wenn man die Milch erst 'zum Schluß' dazugibt !

Dynamische Wärmeabgabe = permanente Wärmeentwicklung und –abgabe (Bsp. Kochen) 

Bsp: Kühlkörper mit Transistor und ständiger Verlustleistung 

Gleichgewicht : TKühlkörper = const. 

(erreicht bei Abschluß des Aufheizprozesses, vgl. LCD-Tafel, s.o.) 

Nebenbedingung : - großes Reservoir der umgebenden Luft, d.h. TLuft = const. 

- kein Lüfter 

Ziel: Berechnung des thermischen Widerstandes Rth des Kühlkörpers 

in Abhängigkeit von der (erlaubten) Bauteile- und der Umgebungstemperatur 

(andere Aufgabenstellung : Berechnung der Gleichgewichtstemperatur eines elektrischen 

Gerätes bei gegebenem thermischen Widerstand und elektrischer Verlustleistung) 

Einerseits: Q = U I t → dQ = ∆U I dt → 

andererseits: 

mit ∆U : Spannungsabfall am Bauteil 

th 

Φ = Q = ∆U⋅I 

& (*) 

{ 

Verlustleistung 

P 

dQ ∆T 

Φ = = Q& 

= 

(**) 

dt R 

mit ∆T = (erlaubte maximale bzw. gewünschte) Bauteiletemperatur - Lufttemperatur 

→ (*) Φ = Φ (**) : 

∆T 

∆ U⋅I 

= 

R 

th 

; 

R 

th 

∆T 

= 

P 

→ Thermischer Widerstand des Kühlkörpers in Abhängigkeit von Leistung und Temperatur 

T 

− T 

T 

− T 

Bauelement Luft Bauelement Luft 

R th = 

= 

; Rth 

= Rth 

Bauteil + Rth 

Isolierung, 

Wärmeleitpaste 

+ 

∆U⋅I 

Pelektrische 

Verlustleistung 


Zufuhr 

Bemerkung: - der Übergangswiderstand Kühlkörper - Luft 'steckt' in Rth 

- Rth wird üblicherweise im Datenblatt angegeben (s.u.) 

- Übergang Bauteil – Kühlkörper kann vernachlässigt werden, falls 

(die dringend empfohlene) Wärmeleitpaste eingesetzt wird. 

- TLuft stellt die maximal erlaubte Umgebungslufttemperatur dar, 

danach ist der Kühlkörper auszulegen ! 

R 

th Kühlkörper

Bsp: TBE = 60°C (commercial 0 ... 70°C), TLuft = 40°C , ∆U = 1V , I = 1 A 

Praxis: 

→ 

R 

th 

= 

T 

Bauelement 

∆U⋅I 

− T 

Luft 

= 

20K 

1 W 

Rth (Kühlkörper) muß kleiner sein als Rth 

(berechnet) wegen Kontaktwiderstand 

(Rthcontact Reduktion durch Wärmeleitpaste) 

etc. 

hier: minimal 30 cm² Alu 2 mm dick 

Rthcontact und PVerlust minimieren 

Warum ist für 1 mm dickes Alu der 

thermische Widerstand bei gleicher Fläche 

größer ? 

Wegen der dünneren Materialstärke kann 

die Wärme von einer punktförmigen Quelle 

(z.b. Transistor) in der Mitte nicht 'so gut' in 

Richtung Rand abgeleitet werden. 

= 

20 


K 

W 

R th 

/ K/W 

30 

10 

5 

1 

punktförmige 

Wärmequelle 

2 mm Alu 

1 mm Alu 

10 30 100 

A /cm² 

Kühlkörperfläche 

Temperaturgefälle 

Die Temperaturverteilung der Fläche ist 

inhomogen

Einfaches Kühlkörperdatenblatt 

nichtlinearer Zusammenhang : 

- doppelte Kühlkörpergröße ≠ halber thermischer Widerstand 

Rth (50 mm) = 2,8 K/W aber Rth (100 mm) nicht Rth (50 mm)/2 

- 'gilt auch für Preis' 

Grund: - Wärmeausbreitung von Punktquelle aus 

- Luftströmungsverhalten des Kühlkörpers 

(Einbauort und -lage beachten !) 


Maximal erlaubte Verlustleistung eines kleinen IC-SMD-Gehäuses in Abhängigkeit von der 

- a) Umgebungstemperatur 

- b) Luftgeschwindigkeit und Platinenkühlfläche 

a) linearer Zusammenhang zwischen maximaler Verlustleistung und 

Umgebungslufttemperatur mit Gehäusetyp als Parameter 

b) nichtlinearer Zusammenhang zwischen maximaler Verlustleistung und Kühlfläche 

mit Parameter Strömungsgeschwindigkeit für 25 °C (wenig praxisrelevant, da T meist 

höher) 


Berechnungen und Simulationen zur Temperaturverteilung sind wegen der Vielzahl von 

Parametern (Bauteile, Platine, Kühlkörper, Einbaulage, ...) und der dreidimensionalen 

Verteilung (mechanischer Aufbau, ...) sehr aufwändig. Die Ergebnisse sind mit Vorsicht zu 

genießen und sollten mit Messungen (z.B. IR bzw. Temperaturfühler oder –streifen) 

untermauert werden. 

Beispiel : Simulation einer DC/DC-Wandlerschaltung (http://power.national.com) 

Die Schaltung ‚reduziert‘ 

eine Eingangsspannung 

von 12 V auf 3,3 V und 

liefert ca. 2,5 A 

Ohne Kühlkörper 


Mit Kühlköper 

Die heißesten Teile sind die Diode und der IC. Durch den Kühlkörper sinkt die Temperatur 

‚nur‘ um 3 – 6 °C. Die lateralen Abmessungen der Platine erhöhen sich um jeweils ca. 

12 mm ! Der Aufwand scheint hoch, es gilt aber zu beachten, daß bei einer 

Umgebungstemperatur von ‚nur‘ 30°C bereits Bauteile-Temperaturen von 60°C erreicht 

werden. 

Temperaturen /°C Diode IC 

Kühlkörper Ohne Mit Ohne Mit 

Umgebungs- 30 62 56 61 57 

Temperatur 50 82 78 78 73 

Zu beachten ist, daß die Simulation mit der Stromversogrung als einziges Bauteil 

durchgeführt wurde – in einem abgeschlossenen Gehäuse mit Verbrauchern erhöht sich die 

Temperatur, so daß hier mit einer ‚inneren‘ Umgebungstemperatur im Bereich 50°C zu 

rechnen ist. Kommerzielle Bauteile (0 ... +70°C) kommen dann bereits nicht mehr in Frage ! 


Kleine Formelsammlung zur Elektronikkühlung (aus : www.flomerics.de) 

Luftaustrittstemperatur aus einem zwangsbelüfteten Gehäuse 

P 

TAustritt = TE 

intritt 

+ 3, 

1 

V& 

T : Lufttemperatur /°C 

P : Elektrische Verlustleistung /W 

V & : Volumenstrom des Lüfters /m³/h 

Mittlere Lufttemperatur in einem geschlossenen Gehäuse 

T = T + 

Innen 

Außen 

P 

k A 

T : Lufttemperatur /°C 


k 

k : Wärmedurchgangszahl, typisch k = 5,5 W/m²K 

Ak : Wärmeübertragende Gehäusefläche (DIN 57660) 

Homogen bestückte Leiterplatte in freier Konvektion 

Mit Strahlung : 

Ohne Strahlung : 

0, 

86 

⎛ P ⎞ 

TPlatte = TUmgebung 

+ 0, 

1⎜ 

⎟ 

⎝ A ⎠ 

0, 

80 

⎛ P ⎞ 

TPlatte = TUmgebung 

+ 0, 

3 ⎜ ⎟ 

⎝ A ⎠ 

TPlatte : Durchschnittstemperatur der Platine /°C 

TUmgebung : Lufttemperatur /°C 


A : Fläche der Platine /m² 

Temperaturänderung bei Wärmedurchgang 

TWarm − TKalt 

= 

d 

λ A 

T.. : Temperatur /°C 

d : Schichtdicke /m 

P 

λ : Wärmeleitfähigkeit des Schichtmaterials /W/mK 

P : Wärmestrom durch Fläche A /W 

A : Fläche des Wärmedurchganges /m² 

T Eintritt 

T außen 

T Umgebung 

T innen 

T Austritt 

T Platte 


P 

T warm 

T kalt 

d

4.6 Thermodynamik (Einführung) 

(Thermodynamics) 

Aufgabe : Beschreibung makroskopischer (c, α, λ, k, ...) Materieeigenschaften durch 

physikalische Größen aus Kristallgitter, Atom- und Moleküleigenschaften. 

Beispiele : spezifische Wäremleitfähigkeit, molare Wärmekapazität, … 

Grundlage Statistik, da sonst pro Mol ca. 10 25 Gleichungen zu lösen wären ! 

1 Bsp: Wärmekapazität c Gase pro Freiheitsgrad T → c = c(T) 

k 2 B 


k 2 B 

3 

c1atomig = T : 3 x Translation, z.B. He 

k 2 B 

4.6.1 System-Definitionen 

5 

c2atomig = T : 3 x Translation + 2 x Rotation, z.B. H2 

Thermodynamische Systeme sind Materieansammlung, deren Eigenschaften durch 

Zustandsvariablen (z.B. V, E, T, p, z.B. p V = N R T Ideales Gas) beschrieben werden 

können. 

System Definition Formel Beispiel 

Ab- 

geschlossenes 

System 

Geschlossenes 

System 

Offenes 

System 

keine Wechselwirkung (Ww) 

oder Materieaustausch 

(Teilchenzahl konstant) mit 

der Umgebung; 

Gesamtenergie (mechanisch, 

elektrisch, ...) konstant 

Energieaustausch mit der 

Umgebung zugelassen, 

jedoch kein Materieaustausch 

Energieaustausch und 

Materieaustausch mit der 

Umgebung zugelassen 

- Eges = W = const 

- n = const. 

- Eges = W ≠ const. 

- n = const 

- Eges = W ≠ const 

- n ≠ const 

Technisch 

angenähert durch 

Dewar-Gefäß 

(Thermoskanne) 

kein Wärmetransport 

durch Strahlung oder 

Wärmeleitung 

Wärmebad, 

Kühlkörper 

Gehäuse mit Lüfter 

wie geschlossenes 

System mit 

Materialtransport

4.6.2 Zustands-Definitionen 

• Gleichgewichtszustand 

- Zustand, welcher sich von selbst einstellt 

- 'Hineinlaufen' in den Gleichgewichtszustand meist ‘komplex’ (s.u. *) 

Bsp: Thermisches Gleichgewicht: 

• Stationärer Zustand 

Zusammenbringen zweier Teilsysteme im energetischem Kontakt 

(kein Materieaustausch), bis keine Energie mehr fließt 

(Nullter Hauptsatz der Thermodynamik), 

z.B. taktile Temperaturmessung (s.u. **) 

wie Gleichgewichtszustand aber mit Energiefluß 

Bsp: - Warmhalteplatte T = const, aber elektrische Energiezufuhr 

- Aufheizen Elektronikgehäuse (s.o.) 

Beispiel : Gleichgewichtszustand (Steady State, Equilibrum) und das Hineinlaufen (*) 

In eine Wanne werden aus einem Bottich 50 l mit 20 °C kaltem Wasser hineingegossen. Es 

werden dann mit einem anderen Bottich 50 l mit 40 °C dazugegeben. In der Badwanne 

befinden sich nach Durchmischen 100 l Wasser mit einer Temperatur von 30 °C. 

Der Anfangs- (2* 50 l, 20 bzw. 40°C) und Endzustand (100 l mit 30°C) ist leicht berechenbar. 

Unberechenbar ist hingegen das Hineinlaufen in den Gleichgewichtszustand, d.h. die 

zeitliche und räumliche Verteilung der Temperatur. Die Wasserströme können 

beispielsweise mit gefärbten Wasser sichtbar gemacht werden (weiteres Beispiel: Milch in 

Kaffee gießen ohne Umzurühren ergibt minutenlanges Strömen der Milch vor 

Gleichgewichtsverteilung). 

Ferner ist es nicht möglich, den ursprünglichen Zustand (2 Bottiche mit je 50 l und 20 bzw. 

40 °C) aus dem Gemisch zu extrahieren. Das Zusammengießen stellt also einen 

irreversiblen Prozeß (s.u.) dar. 


Beispiel : Thermisches Gleichgewicht (**) (Thermal Equilibrum, - Balance) 

Die Temperaturmessung mit einem Thermometer geschieht dadurch, daß das zu messende 

Objekt in Kontakt mit dem Temperaturfühler gebracht wird. Nach einer gewissen Zeit stehen 

Objekt und Fühler im thermischen Gleichgewicht, d.h. sie besitzen dieselbe Temperatur. 

Dieser Prozeß, der einem Mischen entspricht, verfälscht das Meßergebnis : 

Konkretes Beispiel : Die Temperatur von 1 l Luft mit 330 K (z.B. per Infrarot-Messung 

bestimmt) soll mit einem Temperaturfühler aus Metall, der eine Temperatur von 300 K 

aufweist, gemessen werden. Wie groß ist die gemessene Temperatur in diesem Extremfall: 

aus (WL - 1') 

T 

Misch 

= 

c 

L 

m 

c 

L 

L 

TL 

m 

+ cF 

mF 

TF 

+ c m 

hier : - Luft mL = 1,2 g ; cL = 1 J/gK 

- Fühler mF = 10 g ; cF = 0,5 J/gK 

1, 

2⋅330 

+ 5⋅300 

→ TMisch = K = 306 K 

1, 

2 + 5 

L 

F 

F 

Damit der Fehler also klein bleibt, darf muß 'Beitrag' des Fühlers genügend klein sein ! 

Rein rechnerisch (theoretisch) könnte die wahre Lufttemperatur errechnet werden: nach TL 

auflösen, Tmisch wurde gemessen, ‚Rest’ bekannt. Nachteile: Luft wird abgekühlt, 

Messgenaiugkeit relativ gering. 


4.6.3 Hauptsätze der Thermodynamik 

• Nullter Hauptsatz der Thermodynamik 

Alle Systeme, die mit einem System im thermischen Gleichgewicht stehen, sind auch 

untereinander im thermischen Gleichgewicht. 

Zur Erlangung des thermischen Gleichgewichtes findet solange ein Wärmetausch 

(-transport) statt, bis die Temperaturen der betroffenen Systeme gleich sind. 

Das ist der Fall bei taktilen (berührenden) Temperaturmessungen ! 

Dies gilt auch für 

mehrere Körper 

(Systeme). 

Achtung : Die 

‚Umwelt’ ist hier 

nicht betrachtet ! 

Thermisches 

Gleichgewicht 

Alle untereinander im thermischen Gleichgewicht 

• Erster Hauptsatz (law) der Thermodynamik 

Zur Verdeutlichung als Ring → 

Die Änderung der Inneren Energie U eines Systemes bei einer beliebigen 

Zustandsänderung ist die Summe der mit der Umgebung ausgetauschten Arbeit W und 

der Wärme Q : 

U = W + Q . Üblich ist die differentielle Formulierung : 

Innere Energie 

= 'Mechanische Arbeit + Wärmemenge' 

dW < 0 : Arbeit, welche vom System geleistet wird 

dU = dW + dQ 

dW > 0 : Arbeit, welche am System geleistet wird, z.B. Luftpumpe wird warm 

Folgerung: Es gibt kein Perpetuum mobile erster Art! 

(WL - 16) 

(Maschine, welche dauernd Arbeit leistet, ohne die Umgebung zu verändern) 

Innere Energie gibt’s auch in der Elektrotechnik : Entladen Akku (reversibel), 

Batterie (irreversibel) 


• Zweiter Hauptsatz der Thermodynamik 

Wärme kann nur dann in Arbeit umgewandelt werden, wenn ein Teil der Wärme von 

einem wärmeren auf einen kälteres System übergeht (Wärmekraftmaschine). 

Wärme kann von einem kälteren auf ein wärmeres System nur mittels mechanischer 

Arbeit übertragen werden (Kältemaschine). 

Folgerung: Es gibt kein Perpetuum mobile 2. Art 

Durch Abkühlung kann Wärme nicht zu 100% in Arbeit umgewandelt werden 

('Ein Körper kann nicht durch selbsttätige Abkühlung in die Luft springen') 

physikalische Formulierung über Entropie S (Maß für Ordnung) 

Entropie (Entropy) 

J 

[ S ] = 

K 

d S = 

Je größer die Entropie S, desto größer die 'Unordnung' 


dQ 

T 

Fälle: dS = 0 reversibler Prozeß, kann in beide Richtungen ablaufen 

dS > 0 irreversibel, Prozeß läuft nur in eine Richtung ab, Unordnung nimmt zu 

(WL - 17) 

dS < 0 nur möglich, wenn von außen Energie zugeführt wird. Ordnung kann also nur 

durch Energieaufwand erzeugt werden ! 

Abgeschlossene Systeme streben einen Gleichgewichtszustand an, der durch ein Maximum 

der Entropie gekennzeichnet ist. 

Mechanische und elektrische Systeme streben ein Minimum an potentielle Energie an (Stein 

fällt zur Erde / Ladungsdifferenzen gleichen sich aus) 

Alle Naturvorgänge verlaufen so, daß die gesamte Entropie aller beteiligten Systeme 

zunimmt.

Beispiele : 

- Durch Expansion des Weltalls wird dessen Ordnung kleiner, S nimmt also zu 

- Zusammenmischen zweier Wassereimer erhöht die Unordnung, da zuvor zumindest 

der Ort der Moleküle (Eimer 1 oder 2) festgelegt war, danach kann dies nicht mehr 

'gesagt' werden (s.o.) 

Alternative Formulierung 2. Hauptsatzes 

• Dritter Hauptsatz der Thermodynamik 

dS ≥ 0 

Die Entropie am absoluten Nullpunkt ist Null: S(0K) = 0 J/K 

Folgerungen: 

- die spezifische Wärmekapazität im Nullpunkt ist Null c (T=0) = 0 

- der absolute Nullpunkt ist experimentell nicht erreichbar, 'Rekord' ≈ 10 -6 K 

4.6.4 Zustandsänderungen 

• reversibel 

(WL - 18) 

Durch Umkehr der Ablaufrichtung wird der Ausgangszustand wieder erreicht, ohne daß 

Energiezufuhr notwendig ist. 

Beispiele: Mechanisches Pendel, Entladen Akku 

• irreversibel 

Eine Umkehr des Ablaufes ist von alleine nicht möglich. Dies betrifft alle Übergänge vom 

Nichtgleichgewicht ins Gleichgewicht. 

Beispiele: - Temperaturausgleich zweier Systeme 

2 Eimer werden zusammengeschüttet. Ein Trennen in den Ausgangszustand 

ist nicht mehr möglich (s.o.) ! 

- Ein Akku lädt sich nicht von ‚alleine‘ auf. Durch elektrische Energiezufuhr 

kann aber der ‚Ausgangszustand‘ wiederhergestellt werden 

- Entladen Batterie 


4.6.5 Thermodynamik Idealer Gase 

reversible Arbeit beim 1. Hauptsatz 

für p V = n R T 


W 

rev 

= 

V2 

∫ 

V1 

p dV 

Zustandsänderung Gleichung p - V - Diagramm 

Isochor 

Isobar 

Isotherm 

Adiabatisch 

hier 

κ 

= 

c 

c 

einatomiges Gas: 

p 

v 

κ = 

5 

3 

p 

= const. 

T 

V 

= const. 

T 

p V = const. 

Boyle Mariotte 

p V κ = const 

p 

p 

p 

p 

isotherm 

Hyperbel p ~ 1/V 

adiabatisch 

V 

V 

V 

V 

(WL - 19)

Zustandsänderung Isochor isobar isotherm adiabatisch polytrop 

Bedingung 

Beispiel für Ideales Gas: 

Wärmeenergie 

Arbeit W rev = ∫p 

dV 

1. Hauptsatz 

V2 

V1 

V = const 

Temperaturänderung in 

einem Behälter 

Q = cv m ∆T 

W = 0 

(keine mechanische 

Arbeit, da V = const)) 

dU = dQ 

p = const 

'Luftpumpe' 

(frei) bei äußerer 

T-Erhöhung 

Q = cp m ∆T 

W = p ∆V 

dU = dW + dQ 

κ: Adiabaten- bzw. Polytropenkoeffizient κ = 0 isobare Prozesse 

κ = 1 isotherme " 

κ → ∞ isochore " 

sonst adiabatisch 

T = const 

Wärmebad 

S = const 

dQ = 0 

Dewar-Gefäß 

pV κ = const 

schnelle Prozesse 

in nichtisolierten 

Systemen 

Blankenbach / Wärme + Thermodynamik / 25.08.2010 15:49:00 160 / 219 

Q = W 

W = p ∆V 

dQ = dW 

Q = 0 

W = - c v m ∆T 

dU = - dW 

dU = dW + dQ

4.6.6 Carnotscher Kreisprozeß (Carnot Cycle) 

periodisch arbeitende Maschine mit Idealem Gas als Arbeitsmedium in einem Kreisprozeß als 

Idealisierung realer Kreisprozesse z.B. Motor 

p 

d 

adiabatische 

Kompression 

isotherme Expansion 

c 

a 

isotherme Kompression 

T hoch 

b 

adiabatische 

Expansion 

T niedrig 

Blankenbach / HS Pf / Physik Mechanik, Wärme, Schwingungen / Stand WS 2010 161 

V 

Isotherm: T = const, 

1 

p ∼ (Hyperbel) 

V 

adiabatisch: pV κ = const, 

T ≠ const 

Ziel: mechanische Energieerzeugung durch periodischen Wechsel zwischen warm und kalt ! 

Teilzyklen: 

Beschreibung Formel 

a Innere Energie konstant 

Wärme wird zugeführt 

(Isothermal heat supply) 

b durch Expansion geleistete Arbeit wird aus U 

entnommen, T sinkt 

(isentropic expansion) 

c wie a, nur Wärme wird abgegeben 

(Isothermal heat rejection) 

d wie b, nur T steigt (isentropic compression) 

∆U = 0 

→ ⎟ ⎛ V ⎞ 2 

∆Q 

= Nk 

⎜ B T ln 

⎝ V1 

⎠ 

∆W = ∆U = cv m ∆T 

dQ 

nach einem Umlauf muß die Summe aller Parameter Null sein → ∆S = ∫ 

= 0 

T

dQ 

dQ 

Definition : Entropie d S = ; ∆ S = 

T ∫ 

Energiebilanz 

b 

a T 

Entropie ist die bei der Temperatur T ausgetauschte Wärmemenge 

im Prozeß erzeugt Wärme = umgesetzte Wärmemenge ∆W = - ∆Q 

Wärme(energie) wird in Arbeit umgewandelt 

Wirkungsgrad 

[T] = K 

Wirkungsgrad ist hoch für große T- Differenzen 

reale Maschinen : ηreal < ηcarnot 

T 

η = 1 − 

T 

niedrig < 


hoch 

1 

(WL - 20) 

Der Carnotscher Kreisprozeß ermöglicht die Erzeugung von Arbeit durch Wärmetausch zwischen 

kalten und heißen Medien. 

Anwendung: Wärmepumpe, Kältemaschine, Motor 

Beispiel für Solarzellen bei Sonnentemperatur von 6.000 K : 

Tniedrig 

300 K 

- Solarzelle bei Raumtemperatur : η = 1 − = 1 − = 95 % 

T 6. 

000 K 

400 K 

- Durch Sonnestrahlung erwärmte Solarzelle : η = 1 − = 93 % 

6. 

000 K 

Der theoretische Höchst-Wirkungsgrad verringert sich aufgrund der geringeren 

hoch 

Temperaturdifferenz – Hochleistungs-Solarzellen werden deshalb mit einer Wärmeabfuhr 

versehen. Praktisch werden 10 – 20% erreicht.

Anwendung des Carnotschen Kreisprozesses : Otto – Motor 

Beim Viertaktmotor werden vier Arbeitsgänge 

Ansaugen - Verdichten - Arbeiten - Ausstoßen 

in vier Bewegungen eines jeden Kolbens verrichtet. Bei allen Verbrennungsmotoren mit 

Ausnahme des Wankelmotors treiben die aufwärts – und abwärtsgleitenden Kolben über Pleuel 

eine Kurbelwelle an. Die Antriebskraft wird über die Kupplung, das Wechselgetriebe, die 

Kardanwelle, das Ausgleichsgetriebe und die Antriebswellen auf die Räder übertragen. 

Blankenbach / HS Pf / Physik Mechanik, Wärme, Schwingungen / Stand WS 2010 163

Der Kreisprozeß im Otto – Motor soll durch folgenden Idealisierten Kreisprozeß angenähert 

werden: 

II 

III 

IV 

I Adiabatische Kompression des idealen Arbeitsgases vom Volumen V1, der 

Temperatur T1 und dem Druck p1 zum Volumen V2 

isochore Druckerhöhung, wobei das Gas mit einem Wärmebad der konstanten 

Temperatur T3 in Berührung gebracht und Temperaturausgleich abgewartet wird 

adiabatische Expansion bis zum Anfangsvolumen V1 

isochore Druckerniedrigung bis zum Anfangsdruck p1, wobei das Gas mit einem 

zweiten Wärmebad der konstanten Temperatur T1 in Berührung gebracht und 

Temperaturausgleich abgewartet wird 

p - V – Diagramm des Kreisprozesses 

Die Ziffern 1 – 4 bezeichnen die 

Anfangszustände der vier Teilprozesse 

p 


II 

2 

3 

V 2 

∆W 

III 

I 

4 

IV 

1 

V 1 V

Druck, Volumen und Temperatur für die Anfangspunkte der vier Teilprozesse 

'Motorwerte' - Volumen aller Zylinder V1 = 1,5 dm³ 

V1 

- Kompressionsverhältnis ε = = 8 

V 

- Umgebungstemperatur der angesaugten Luft T1 = 303 K 

- Umgebungsdruck der angesaugten Luft p1 = 1 bar 

- Höchsttemperatur des gezündeten Gemisches T3 = 1973 K , κ = 1,4 

- cV konstant angenommen 

Anfangszustand 1 2 3 4 

V /dm³ 

p /bar 

T /K 

1,5 

1,0 

303 

0,1875 

18,38 

696,1 

Prozeß Berechnung obiger Tabellendaten 

I 

II 

III 

IV 

p 

V 

p 

κ 

2 

T 

2 

p 

3 

⎛ V ⎞ 1 = T1 

⎜ 

V 

⎟ 

⎝ 2 ⎠ 

= p 

2 

κ = 1 1 V 2 

T 

T 

0,1875 

52,10 

1973 

κ 

1, 

4 

; p = p ⋅ ε = 1 bar ⋅ 8 = 18, 

38 bar 

3 

2 

2 

κ−1 

= 

⎛ V ⎞ 3 p3 

⎜ 

V 

⎟ 

⎝ 4 ⎠ 

1 

= T ε 

1 

18, 

38 

κ 

p 

ε 

κ−1 

= 303 K ⋅8 

696, 

1 


0, 

4 

1973, 

0 K 

bar⋅ 

= 

696, 

1K 

52, 

10 bar 

= 1, 

8 

3 

p4 = = = κ 

4 

p4 

T4 

= 

T1 

= 

p 

1 

303K 

⋅ 

2, 

84 bar 

1bar 

= 

= 

52, 

1 

2, 

84 

858, 

9 

bar 

K 

bar 

K 

2 

1,5 

2,84 

858,9

Gewonnene Arbeit pro Umlauf im p V – Diagramm 

∆ W = ∆ + ∆ 

Arbeit Q23 

Q41 

Aufgenommene Wärmemenge mc 

( T T ) 0 

Q23 v 3 2 

Abgegebene Wärmemenge ∆ = mc 

( T − T ) < 0 

Wärmekapazität des Arbeitsgases C v = mc 

v 

Mit : 

p V 

R T 

1 1 m = ; 

s 

1 

5 

10 1, 

510 

= 

303 

C 

v 

Nm 

Cv 2 

3 

1 

s 

1 


∆ 

p 

= 

− 

Q41 v 1 4 

p1 

V1 

cv 

p1 

V1 

cv 

p1 

V1 

1 

= ⋅ = ⋅ = ⋅ 

T R T c −c 

T κ −1 

3 

= 1, 

238 

( 1, 

4 −1) 

K m K 

∆ 

J 

Nm 

⋅ 

K 

Wärmemengen : 1, 

238 ( 1973 696, 

1) 

K 1580, 

3 J 

∆ 

Q 23 

Q 23 

= 

= 

1, 

238 

Nm 

⋅ 

K 

→ ∆ W = 1580, 

3J 

− 688 J = 892, 

3 J 

− 

v 

1 

= 

> 

( 303− 

858, 

9) 

K = 688 J 

Leistung des Viertakt – Motores bei einer Drehfrequenz 

f 

4500 

P = ∆W 

⋅ = 892, 

3J 

= 

2 60 ⋅2 

s 

33, 

5 

kW 

f = 4500 min 

denn ∆ W wird während zweier Umdrehungen des Motors erzeugt ! 

−1

Wirkungsgrad η rev einer Carnot–Maschine, die mit den beiden Wärmebädern arbeitet : 

Thermodynamischer Wirkungsgrad T3 

− T1 

( 1973 − 303) 

Effektiver Wirkungsgrad des 'realen' Motors : 

1973K 

Effektiver Wirkungsgrad ∆W 

∆Q41 

T1 

− T4 

892, 

3 J 

η = = 1 + = 1 + = = 56, 

5% 

∆Q 

∆Q 

T − T 1580, 

3 J 

aus den Formeln für die betreffenden Prozesse: 

I 

III 

⎛ V ⎞ 2 T1 

= T2 

⎜ 

V 

⎟ 

⎝ 1 ⎠ 

T 

4 

⎛ V2 

⎞ 

= T3 

⎜ 

V ⎟ 

⎝ 1 ⎠ 

T − T ⎛ V ⎞ 

= 

T2 

− T3 

⎝ V1 

⎠ 

κ −1 

κ −1 

κ −1 

folgt I – III 1 4 2 ⎜ ⎟ = 1− 

= 1 − = 56, 

5% 

23 

1 

κ − 

ε 

Der Wirkungsgrad η hängt nur vom Kompressionsverhältnis ε ab ! 

1 


η 

rev 

1 

0, 

8 

4 

= 

23 

T 

3 

= 

3 

2 

K 

= 

84, 

6 

%

Entropieerzeugung pro Umlauf im p - V – Diagramm 

geg.: Abgeschlossenes System aus Arbeitsgas und Wärmebehältern 

Die Entropie des Gases ändert sich bei einem Umlauf im p – V – Diagramm nicht, 

weil S eine Zustandsgröße ist. 

Für die Wärmebehälter / - speicher gilt : 

Abgabe bei T3 = konst.: 

Aufnahme bei T1 = konst.: 

∆Q 

= − 

T 

1580, 

3 J 

= − = − 

1973 K 

0, 

801 


∆ S 

3 

∆ S 

1 

3 

23 

∆Q 

= − 

T 

1 

41 

688 J 

= 

303 K 

Resultierende Entropie – Erzeugung: ∆ = ∆S 

+ ∆S 

= ( 2, 

27 −0, 

80) 

S 1 3 

→ ∆S > 0 , weil die Prozesse II und IV irreversibel sind. 

J 

K 

= 

2, 

271 

= 

1, 

47 

J 

K 

J 

K 

J 

K

Entropieänderungen des Arbeitsgases bei den einzelnen Zustandsänderungen I – IV 

Adiabatische Prozesse I und III ∆S = 0 

Isochore Prozesse ⎟ ⎛ T ⎞ 3 

∆S 

= ⎜ 

II Cv 

ln 

⎝ T2 

⎠ 

mit Division von 

siehe Wirkungsgrad 

erhält man 

→ 

∆ 

S II 

T 

⎛ V ⎞ 

⎜ ⎟ 

⎝ ⎠ 

κ −1 

2 

1 = T2 

⎜ 

V 

⎟ durch 

1 

J ⎛1973K 

⎞ 

= 1, 

238 ⋅ ln⎜ 

⎟ 

K ⎝ 696, 

1K 

⎠ 

Entropie S(T) – Temperatur - 

Diagramm 

Der Wert von S(T1) braucht nicht bekannt 

zu sein. Die Kurven II und IV laufen 

proportional zu ln(T) 

= 

1, 

29 

⎛ T ⎞ 

⎜ ⎟ 

⎝ ⎠ 

1 

SIV = Cv 

ln⎜ 

= − ∆ 

T ⎟ 

4 


∆ 

4 

T 

T 1 = 

T 

J 

K 

S 

4 

T 

T 

⎛ V2 

⎞ 

= T3 

⎜ 

V ⎟ 

⎝ 1 ⎠ 

2 

3 

IV 

I 

κ −1 

S 

II 

II 

III 

T 1 T 2 T4 T 3 

T

5. Mechanik Deformierbarer Medien 

Deformierbare Medien: Körper, welche sich unter dem Einfluß außerer Kräfte verformen (können). 

5.1 Einteilung 

Phase Statik Dynamik Modellkörper 

fest Deformation 

(Lineal) 

flüssig Hydro- 

(Auftrieb Ball in Wasser) 

gas Aero- 

(*) reibungsfrei 

(Heißluftballon) 

Schwingungen 

(Lineal an Tischkante) 

Hydro- 

(Wasser in Rohr) 

Aero- 

(Flugzeug) 

Zusammenhang zwischen Modellkörper - Form und Volumen 

Bsp: Stab, Wasser in Glas, Ballon drücken 

deformierbarer Festkörper 

Ideale Flüssigkeit (*) 

Ideales Gas (*) 

Modellkörper Verschiebbarkeit der Teilchen (Moleküle, Atome) 

Festkörper keine 

Deformierbarer FK ‘schwer’ 

Ideale Fl. + Gas reibungsfrei 

Modellkörper Form Volumen Beispiel 

Def. Festkörper definiert def. Lineal 

Ideale Flüssigkeit beliebig def. Wasser in Glas 

Ideales Gas bel. bel. Luftballon 

Festkörper : Moleküle haben "feste" Positionen zueinander 

Fl. + Gase : Moleküle beliebig verschiebbar 


5.2 Druck 

Ein Gewicht der Masse m und der 

Auflagefläche F übt über die Gewichtskraft F 

'Druck' auf die Unterlage aus 

Druck 

[p] = N/m² = Pa (Pascal) 

Bsp: Wer übt größeren Druck aus ? Elefant Nadel 


p = 

F 

A 

m 

F G 

Masse m 5 to 1 g 

Auflagefläche A 1 m² 0,1 mm² 

Druck p 50 kPa 100 kPa 

A 

(DM - 1)

5.3 Feder 

als wichtigstes Beispiel für Deformierbare Medien und zur Erläuterung nichtlinearer Effekte 

hier nur linearer Bereich, Weg x klein: 

Beispiel: Feder 

Hookesches Gesetz 

D : Federkonstante ; [D] = N / m = kg / s² 

F = 0 

F 

F F 

0 

Spannung – Dehnung 

F = 0 

a 

F > 0 

l : Anfangslänge, ∆l : Längenänderung 

∆l 

: relativeLängenänderung 

l 

p : Druck [p] = N/m² = Pa 

a 

X 


F 

F F = - D x 

Aus ΣF = 0: 

F ~ x 

Fa : äußere Kraft, entgegengesetzt F F 

Fa + FF = 0 

FF = - D x 

→ Fa = D x 

p = 

F 

A 

∆l 

= E 

l 

σ = E ε 

x 

(DM - 2) 

(DM - 3) 

E : Elastizitätsmodul (Youngscher Modul); [E] = Pa ; E-Modul Metalle: ca. 200 GPa 

σ : Spannung (Druck) 

ε : Dehnung 

A : Fläche im Normalzustand (da Verkleinerung) 

Hookesches Gesetz gilt nur für kleine Dehnungen 

Beispiel mit Metallen: σ = 200 GPa 0,1 m/ 100 m → p = σ = 0,2 GPa = 200 MPa 

Vergleich: normaler Luftdruck : 100 kPa = 1.000 hPa

Spannungs - Dehnungs - Diagramm / Messmaschine 


5.4 Grenzflächeneffekte 

Kräfte 

Kohäsion 

Adhäsion 

Tropfen auf Oberfläche 

'Wasser auf Autolack' 

Kapillarwirkung 

Beispiel 

Kraftwirkung 

in Flüssigkeit 

Flüssigkeit - Festkörper 

Benetzung keine Benetzung 

Adhäsion >> Kohäsion 

Wasser 

Adhäsion

5.5 Beispiele Deformierbarer Festkörper 

Ausführlicher in VL ‚Werkstoffkunde’ 

Deformationsart Formänderung Volumenänderung Bsp. 

Dehnung, Biegung ja ja Feder (+), Stütze (-),Balken 

Kompression nein ja allseitig, unter Wasser 

Scherung, Torsion 

(Drillung) 

5.5.1 Dehnung 

A 

l l 

ja nein Nieten, Achsen, 

F 

Torsionsfederung 


F 

elastisch plastisch 

linear (Hook) nichtlinear 

Bereich Deformation Bsp : Kugelschreiberfeder 

elasitsch reversibel leicht dehnen 

plastisch bleibend stark dehnen 

A 

Bruch 

l 

l

Linearer Bereich: Hookesches Gesetz 

F ∆l 

= E 

(DM 2’) 

A l 

σ = E ε 

E : Elastizitätsmodul / Youngscher Modul [E] = Pa 

σ : Spannung / Druck 

ε : Dehnung 

A : Fläche im Normalzustand (da Verkleinerung) 

l : Länge, ∆l : Längenänderung 

E-Modul Metalle: 200 GPa 

Biegung 

Druck 

Zug 

neutrale 

Faser 

F = FG + F eigen 


s 

G 

0 

einseitige Einspannung, 

Last am Ende des Balkens : 

'ideal' : s ∼ FG 

klein

Querdehnung 

d/2 

bei Längs- und Querdehnung kann sich das Volumen ändern. 

Kompression 

Scherung 

z 

Isotrop: Gx = Gy = Gz 

y 

p 

x 

Anisotrop: Gx ≠ Gy ≠ Gz Bsp: Bleistift 

A 

∆V 

∆p 

= − 

V K 


F 

(DM - 4) 

Kompressionsmodul [K] = Pa 

F 

statt Strecke Winkel 

F 

A 

= τ = G γ 

G : Schubmodul [G] = Pa 

(DM - 5) 

γ : Winkel (klein : tanγ = γ)

Torsion 

M 

F 

Sonderfall der Scherung 

Verdrillung, klein Halten bei Antriebsachsen, Schrauben etc. 

Kreisförmiger Querschnitt: α klein 

M ∼ α R 4 (DM - 6) 

M = - D α Hooke, Spiralfeder für Schwingungen 

M Drehmoment, R 4 bringt "viel Steifigkeit" 


5.6 Beispiele für Flüssigkeiten und Gase 

Modellkörper: Ideale Flüssigkeit / Ideales Gas 

Eigenschaften : 

- Ideale Flüssigkeit : Form unbestimmt, Volumen bestimmt, Moleküle reibungsfrei verschiebbar 

- Gas: füllt jedes Volumen aus, Moleküle reibungsfrei verschiebbar 

Effekte: statische und dynamische Eigenschaften 

5.6.1 Statik 

Druck: p = F / A wie Festkörper, nicht vektoriell, wirkt in alle Richtungen 

F in Druckgleichung nimmt wegen Eigengewicht zu ==> Auftrieb 

Schweredruck Flüssigkeit 

h 

V = A h 

p = m g / A = ρ V g / A 

= ρ g h (DM - 7) 

JAVA Applett: Schweredruck in Flüssigkeiten 

Folgerungen: 

- Flüssigkeitsspiegel horizontal wegen Schwerkraft 

- Hydrostatisches Paradoxon: 

Schweredruck unabhängig von Gefäßform 

(h = const.) 


h 

p = const

- Kommunizierende Gefäße 

h = const. 

Falls unterschiedlich: Druckdifferenz bis 

Druck ausgeglichen, dann aber h = const. 

"nichts" fließt mehr 

- Staumauer 

p = F/A = ρ g h 

→ F ∼ h 

Uhren und Wassertiefe – Definitionen sind oft verwirrend ! 

h 

Tank Meßrohr 

h=const 


h 

F 

p = const ==>

Kompressibilität 

aus Festkörper: Druck bewirkt Volumenabnahme 

∆V 

V 

= 

− χ ∆p 

Kompressibilität χ = 1/K [χ] = 1/Pa 

(DM - 8) 

Phase χ / 1/Pa Modell 

fest 

10 -11 

Starrer Körper 

(inkompressibel) 

flüssig 10 -9 inkompressibel 

gas 10 -4 kompressibel 


Konsequenz aus Kompressibilität 

Kolbendruck 

F1 F2 

A1 

A2 

p = const 

F1 / A1 = F2 / A2 

Modell Technik 

Flüssigkeit inkompressibel Hydraulik 

Gas kompressibel Pneumatik Preßluft 

Anwendung: Kraftübertragung auch ‚um die Ecke’ wie bei elektr. Strom 

beliebig krumme Leitungen, Vorteil gegenüber mechanischem Gestänge 

Leitungsdichtigkeit: Hydraulik: kritisch, da Verschmutzung 

Preßluft: unkritisch, nur Druckverlust 


Schweredruck Gas 

Schweredruck Gas komplizierter als Flüssigkeit wegen Kompressibilität 

Säule komrimiert darunterliegendes Gas 

kompressibel, T = const: 

Barometrische Höhenformel: p = po e -Ch (DM - 9) 

po ≈ 100 kPa Druck am Boden 

C = 126 1/m Konstante 

real: T ≠ const : Internationale Höhenformel 

Wie ist dieses Bild entstanden ? 


Auftrieb 

entgegengesetzt Erdanziehungskraft 

Fl 

Fo 

h 

Fu 

, V 

Fr = - Fl 

oben: kleinere Säule wie unten 

rechts-links: hebt sich auf 

Fu > Fo 

FA = Fu - Fo 

FG : FA Körper Beispiel 

= mverdr g Newton, Masse verdrängtes Vol 

= ρ A h g ρ Dichte, Durchschnittswert 

= ρ g V (DM - 10) 

> ↓ sinkt Stein 

= ⎯ schwebt Mostwaage 

< ↑ steigt Gas- , Heißluftballon 

JAVA Applett: Auftriebskraft in Flüssigkeiten 

Ein U-Boot vom Boden kann nicht auftauchen da Fu fehlt ! 

Theoretisch, da in Praxis runder Rumpf 


Fo 

Fu = 0

Ideales Gasgesetz 

p V = n R T (DM - 11) 

p V = N k T 

n : Anzahl Mol, 1 Mol = 22,4 l z.B. 28g N2 

R : Gaskonstante 8,3 J/Mol K 

N : Anzahl Teilchen 

k : Boltzmann Konstante 1,4 10 -23 J/K 

[T] = K absoluter Nullpunkt : 0 K 

Ideales Gas nur Modell für höhere Temepraturen, da für T = 0 das Volumen Null wäre! 


5.6.2 Dynamik 

allgemein: 

Strömungsfeld 

komplex da vektoriell 

A1 

Transport von Materie durch Druckdifferenz 

analog: Ladung (Strom), Wärme 

Hydrodynamik 

Massefluß m 

Geschw. v 

Vorr: inkompressible Materie, gilt auch für Gase bis ca. 1/3 Schallgeschwindigkeit 

Materiestrom 

Volumen V = A v t aus s = v t 

Volumenstrom I = ∆V / ∆t = dV / dt = A v 

Massefluß m = ρ V 

Massestrom m' = ρ A v aus ∆m / ∆t 

Fluß durch Flächenelement: m' = ∫A ρ v dA 

analog anwendbar auf: - Ladungen (Strom) 

- Wärmetransport 

- Diffusion 


A2

Durchfluß durch Röhren 

- technisch wichtigster Fall 

- Massen- und Volumenerhaltung: m = const. 

- da inkompressibel V = const. 

A1 

v1 

Bernoulli - Gleichung für horizontale Rohre 

parallel zur Erdoberfläche 

z 

p1 

A1, v1 

A2 

A2, v2 

p2 

v2 

x 

Kontinuitätsgleichung 

A v = const (DM - 12) 

A1 v1 = A2 v2 A groß - v klein und umgekehrt 

rechts: langsamer als links wegen 

Kontinuitätsgleichung 

Bernoulli-Gleichung 

p + ½ ρ v 2 = po = const (DM - 13) 

Epot + Ekin 

Die Bernoulli-Gleichung ist ein Erhaltungsgesetz, welches aus dem Energiesatz folgt. 

Druckmessung 

stat. Druck 

dynam. Druck 

Gesamtdruck 

Rechts: Anwendung Staudruckmesser bei 

Flugzeugen 


Anwendungen der Bernoulli - Gleichung 

1. Auslaufen aus Gefäß 

h 

p 

1 

v1 

2 

v2 

p 

großes Volumen, 

kleiner Ausfluß 

h = const. 

Druck Ort 1 2 

Betriebs = Luftdruck p p 

Schweredruck ρgh 0 

Dynamischer Druck 1/2 ρ v1² 1/2 ρ v2² 

v1 aus Kontinuitätsgleichung: A1 v1 = A2 v2 

→ 1/2 ρ v2²( A2/A1) 2 + ρ g h = 1/2 ρ v2² 

A2

Dynamischer Auftrieb 

Beispiel : Flügel 

Bernoulli: 

po 

pu 

dyn. FA 

po + ½ ρ vo 2 = pu + ½ ρ vu 2 

→ ∆p = ½ ρ (vo 2 - vu 2 ) > 0 

Weg länger 

v größer --> p kleiner 

Fa dyn = cA ρ/2 A v 2 (DM - 14) 

Folge aus Bernoulli 

cA = Auftriebsbeiwert (vgl cW : Widerstandsbeiwert) 

dyn. Auftrieb aus p = F/A 

Strecke länger, damit kein Vakuum hinter 

Flügel entsteht müssen beide Teile 

gleichzeitig ‘ankommen’ : Kinematik s = v t 

Frage zu obiger Skizze: Warum bzw. wie kann ein Flugzeug auf dem Rücken fliegen ? 


Reale Strömungen 

mit Reibung zwischen Molekülen 

Fälle: 

laminar turbulent 

v nimmt zu 

rechenbar ‘komplex’ 

Laminare Strömung in Rohren 

R 

r 

Folgerung: 

v 

Hagen-Poiseuillsches Gesetz 

Flüssigkeitsstrom I = ∆V / ∆t 

I ∼ p/l R 4 (DM - 15) 

l : Länge des Rohres 

p : Druckabfall entlang l 

- Durchflussvolumen besser durch R- als durch p-Erhöhung steigern, da R 4 

- Druckabfall in Rohren 

Ursache: Reibungsverluste 


Anhang 

Koordinatensysteme 

Kartesische Koordinaten 

Beispiele eindimensional Zweidimensional dreidimensional 

Mechanik gerader, ebener Weg ebene Kurve Steilkurve 

E-Technik Leitung Flächenleiter Funkwellen 

Maschinenbau Stab gebogener Stab Kasten 

Mathematik Skalar Vektor Vektor 

Physik Skalar (1D) Vektor (2-3D) 

Beschreibung Zahlenwert * Einheit Zahlenwert * Einheit * Richtung 

Beispiel Zeit Geschwindigkeit, Kraft 

Spezielle, problemangepaßte Koordinaten 

Reduktion der Dimensionen ==> Vereinfachung der Rechnung 

Bsp: Weg zur Wasserstelle in der Wüste mit Karte und Kompass 

W 

N 

y 

S 

O 

x 

α 

r 

y 

x 

vorbei ! 

Karthesisch: 3 Werte notwendig 

- x-Richtung, 

- Weg in x-Richtung 

- y-Richtung 

mit Fehler (übertrieben) 

polar : 1 Wert ‘Richtung α 

Koordinaten Polar - Kugel - Zylinder - 

Beispiel Drehbewegung Funkwellen Gewinde 


Vektoren 

Schreibweise: a r 

definiert durch Betrag ( |a r | ) und Richtung mit beliebigem Anfangspunkt d.h. verschiebbar 

Komponentenschreibweise: 

⎛ax 

⎞ 

⎜ ⎟ 

a= ⎜ay 

⎟ 

⎜ ⎟ 

⎝az 

⎠ 

r 

r 

a = a + a + a 

2 

x 

2 

y 

Richtung (2-dim): 

Addition 

Eindimensional 

Zweidimensional 

(3-dim. analog) 

2 

z 

tan α = 

Komponentenschreibweise: 

Beispiel 

a 

a 

y 

x 

y 

x 

a 

c 


z 

az 

a 

b 

⎛c 

x ⎞ ⎛ax 

+ bx 

⎞ 

⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 

c = ⎜c 

y ⎟ = ⎜ay 

+ by 

⎟ 

⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 

⎝c 

z ⎠ ⎝az 

+ bz 

⎠ 

r 

r ⎛2⎞ 

r ⎛0 

⎞ 

a = ⎜ ⎟ ; b = ⎜ ⎟ 

⎝0 

⎠ ⎝1⎠ 

ay 

Achtung: Addition gilt nur bei linearen Zusammenhängen 

ax 

z.B. Hookesches Gesetz (Feder) für kleine Wege 

b 

c 

a 

verschoben 

x 

y 

c = a + b 

r r r r 

∑ u = 0 : a + b − c = 0 

r r r 

c = a + b 

Anwendung: 

2 Kräfte an einem Angriffspunkt 

⎛2 

+ 0⎞ 

⎛2 

⎞ 

c = ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ 

⎝ 0 + 1⎠ 

⎝1⎠ 

r

Subtraktion analog 

Kräftezerlegung 

(umgekehrte Addition) 

Anwendung: Hangabtriebskraft 

Multiplikation 

mit Skalar 

a 

Skalarprodukt b 

k=3 

c 


y 

b 

x 

r r 

c = k a 

Ergebnis: Vektor c = 3 a 

Anwendung: Einheitsvektor 

a 

a 

c 

r r r r 

a⋅ 

b = a b cosα 

Ergebnis: Skalar (Zahl) 

r r 

o 

a⋅ 

b = 4 ⋅ 3cos30 

= 10, 

4 

r r 

Anwendung: Arbeit W = 

F⋅ 

s

Vektorprodukt 

(Kreuzprodukt) 

c 

(Mittelfinger) 

b 

(Zeigefinger) 

c 

a 

Merkregel: Rechte Hand 

Ergebnis: Vektor 

(Daumen) 

Anwendung: - Mechanik : Drehmoment 

- ET: Lorentzkraft 

r r r 

c = a × b 

r r r 

c = a b sinα 

c r = Flächeninhalt 

r 

o 

c = 3 ⋅4 

sin30 

= 6 

r r r 

M = r × F 

r r r 

= Q v× 

B 

⎛ax 

⎞ ⎛bx 

⎞ ⎛ayb 

z − azby 

⎞ 

r 

r r ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 

⎟ 

Komponentenschreibweise: c = a × b = ⎜ay 

⎟ × ⎜by 

⎟ = ⎜a 

zbx 

− axbz 

⎟ 

⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 

⎟ 

⎝az 

⎠ ⎝bz 

⎠ ⎝a 

xby 

− aybx 

⎠ 


F L

Kräftepaar 

2 gleich große, entgegengesetzte Kräfte mit verschiedenem 

Angriffspunkt 

Bsp: - Gabelschlüssel 

- Schraubendreher 

Drehmoment: M = a/2 F + a/2 F = a F 

r r r 

Betrag des Drehmomentes: M = a F 

Beispiel: 

Kräftepaar beim Gabelschlüssel 


a/2 

F 

D 

F 

a/2

Physikalische Modellbildung mit der Feder 

Das Feder - Masse - System ist einer der wichtigsten Modelle in der Atom-, Molekül- und 

Kristallphysik. 

Es kann z.B. die Wärmeausdehnung von Stoffen (siehe Wärmelehre) ausgehend von atomaren 

Eigenschaften berechnet werden. 

Grundlage: 

- Hookesches Gesetz 

- Feder - Masse – System 

– Schwingungen 

Anwendung: Berechnung von Bindungsgrößen 

Moleküle Kristalle 


G

Übertragungseinflüsse nichtlinearer Kennlinien 

Amplitude 

(Nl klein) 

Nichtlinearer 

Anteil (b) 

(Amplitude mittel) 

Konsequenz: 

Ampltitude 

Ampltitude 

1,5 

1 

0,5 

-1 

-1,5 

Klein groß 

0 

0 

-0,5 

5 10 

8 

6 

4 

2 

-4 

-6 

x (Eingang) 

x / t 


0 

0 

-2 

5 10 

x (Eingang) 

x / t 


0 

-5 0 5 10 


Ampltitude 

Ampltitude 

25 

20 

15 

10 

5 

-10 

-15 

30 

25 

20 

15 

10 

5 

-10 

x (Eingang) 

x / t 


0 

-5 0 5 10 

x (Eingang) 

x / t 


Hier ist die doppelte Frequenz 

deutlich 'sichtbar' 

Bei großen Amplituden bzw. Intensitäten 'verläßt' man den linearen Bereich. Die dann 

auftretenden Nichtlinearitäten verursachen eine Frequenzvervielfachung 

Technische Anwendung 

gewünscht : Lasermaterialbearbeitung, Laserfusion (Anpassung der Laserwellenlänge an 

Material) 

unerwünscht : Klirrfaktor bei Verstärkern (Maß für Oberwellenanteil)

Ortsfestes - mitbewegtes Bezugssystem 

Koordinatensystem 

von außen 

s 

s 

s 

s 


ICE 

t 

t 

t 

s 

t

Beispiel Messung und Optimierung Luftwiderstand Auto 


Laminare und turbulente Strömung am Seitenfenster 

Verringerung der Kosten durch erste Messungen im Wasser 


Beispiel Luftwiderstand Golfball 

Beispiel Berechnung Auftrieb und Luftwiderstand Flugzeug 


Potentielle Energie am Beispiel Landkarte 

400 

250 

Wh Epot z /m 

Einfacher Weg 

0 300 

s /m 

Weg bergauf = Hubarbeit 

F 

0 300 

s /m 

Hubarbeit ↔ Potentielle Energie 

Geschlossener Weg 


430 

z /m 

400 

0 600 1200 

s /m 

Weg mit Rückkehr an Ausgangspunkt: 

Gesamtarbeit = 0 

d.h. aufgewendete (bergauf) und gewonnene 

(bergab) Arbeit addieren sich zu Null 

Wh Epot 0 

0 600 1200 

s /m 

geschlossener Weg : Whub ges = E pot ges = 0

Kraft als Ableitung der Energie : 

- Umkehrfall zu Integration MD - 4 (siehe Mathe 2) 

- 1D F = grad E 

- Erde 

dE 

F = 

dx 

pot 

= 

d 

( mg 

x) 

dx 

vgl. ET : E = - grad U 

= 

mg 

- gilt nur für 'Konservative' Felder wie Erdschwerefeld und Elektrisches Feld 


Bsp: Silvesterrakete 

Rakete (m = 0,1 kg = const. (Näherung) ) soll senkrecht nach oben starten (v Gas = w = 5 km/s). 

Bewegungsgleichung aus Kraft-Impuls-Zusammenhang : 

mo g = F = dp/dt = dm/dt w - mo a ( Betragsmäßig ; '-' ,da entgegengesetzt zu vgas ) 

Welcher Gasausstoß dm/dt ist erforderlich, damit die Rakete über dem Startplatz schwebt ? 

keine Beschleunigung 

: 

→ 

→ 

m 

0 

dm 

dt 

g = 

= 

dm 

dt 

m 

0 

w 

g 

w 

0, 

1⋅10 

= 

5000 

a = 0 

kgm 

s 

ms 

2 

= 

1 

5000 

Wie groß ist die Beschleunigung bei 3* so großem Gasausstoß wie beim Schweben ? 

dm 

. m0 g = w − m0 

a 

dt 

Schweben 

a = 2 g 

dm 0 

dt 

g = 3 g− 

a 

m g 

= (s.o.) 

w 

m0 

g 

m0 g = 3 w − m0 

a 

w 

→ 

→ 

kg 

s 

Nach Brennschluß fliegt die Rakete (m nunmehr 0,08 kg) mit 20 m/s und explodiert in 2 Teile. 

Teil 1 wiegt 0,03 kg und fliegt mit 40 m/s und Teil 2 mit 30 m/s. Welchen Winkel schließen die 

(gerade) Flugbahnen der beiden Bruchstücke ein ? 

Impulserhaltung 

vor Explosion: p o = mv = 0,08 20 kgm/s = 1,6 kgm/s 

nach p 1 = 0,03 40 kgm/s = 1,2 kgm/s 

p 2 = 0,05 30 kgm/s = 1,5 kgm/s 


is hierher nur Beträge, entscheidend aber 

Richtungen : 

r 

p 

o 

r 

= p 

1 

r 

+ p 

α1 und α2 gesucht 

2 

zeichnerische Lösung : 46° + 61° = 107° 


α1 

p1 

p0 

Kreise um Endpunkte 

p2 

α 

2

Weitere Wärmekapazitäten 

C 

molare Wärmekapazität cmol = bzw. C = cmol n 

n 

n : Stoffmenge [n] = mol . Dies ist eine der 7 Basisgrößen ! 

Allgemeine Gaskonstante : R = cpmol - cvmol 

Dulong-Petitsche Regel für fast alle Festkörper bei 20 °C : 

J 

cmol = 3 NA kB ≈ 25 

Kmol 

mit Avogadro-Konstante NA = 6 . 23 1 

10 

mol 

Boltzmann Konstante kB = 1,4 . -23 J 

10 

K 

d.h. bei Raumtemperatur sind sich die Festkörper relativ ähnlich ! 

Beispiele : Eisen Fe : 0,056 kg/mol → 1 kg ≡ 18 mol 

→ c . 1kg = cmol . 18 mol → 

J 

25 ⋅ 18mol 

Kmol 

kJ 

c = = 0, 

45 vgl. Tabelle ! 

1kg 

Kkg 

kJ 

analog Aluminium (Al) 0,027 kg/mol → c = 

0, 

9 

Kkg 


Druck - Temperatur - Abhängigkeit 

Bsp: H2O p /Pa 

Anmerkungen: 

10 6 

" 1 at " 

10 2 

1 




Tripelpunkt 

kritischer Punkt 


Eis 

Wasser 

Tripelpunkt 



Wasserdampf 

-100 0 100 300 

Eis ↔ Wasserdampf; Beispiel Trockeneis 

nahezu druckunabhängig, Bsp Eislaufen 

kritischer 

Punkt 

T /°C 

T-abhängig: Wasser kocht im Gebirge bei niedrigerer T als am 

Meer, Kavitation bei Schiffsschraube 

alle 3 Phasen existieren 

H20 : T = 273,16 K (T-Def.); p = 610,6 Pa 

nur unterhalb der kritischen Temperatur lassen sich Gase durch 

Druck verflüssigen 



Wärmestrom /W 

50000 

40000 

30000 

20000 

10000 

Schwarzer Körper mit A = 1m², Emissionsvermögen = 1 

0 

0 200 400 600 800 1000 


T /K

Spektrum der Planckschen Strahlung (Black Body Radiation) 

Schwarzer Körper 

Glühbirnen emittieren ihre Strahlung nur zu einem kleinen Teil (10 %) im sichtbaren Bereich 

Spektrum von Schwarzen Körper bei Zimmertemperatur und Sonnenlicht 

Das Spektrum der Sonne (s.o.) ergibt eine Oberflächentemperatur von etwa 6000 K. 

Die 'Farbe' eines heißen Körpers ist für das menschliche Auge sichtbar, wie obige Spektren 

verdeutlichen ! 


Einen Zusammenhang zwischen Spektrum und menschlichem Farbeindruck liefert die CIE 1931- 

Norm: 

Die hufeisenförmige Kurve repräsentiert auf ihrem Rand scharfe Spektrallinien, wie z.B. eines 

Lasers (s.o.) Im Inneren finden sich ausgedehnte Spektren. Die eingezeichnete Kurve gibt den 

Äquivalenzwert der Temperatur eines Schwarzen Strahlers wieder. 

Bei der Stahlerzeugung ist deutlich die 

Abhängigkeit der Farbe mit zunehmender 

Temperatur zu erkennen: Rot (600°C) - Gelb 

(1100°C) - Weißglut (1300°C) 

Das menschliche Sehen ‚passt‘ sich an die Farbe des Umgebungslichtes an, elektronische 

Sensoren (CCD, Videokamera, Digitalkamera, ...) benötigen hier einen Weißabgleich, da 

unterschiedliche Beleuchtungsquellen ! 


Übungsblatt Statik, Kräfte, Vektoren 

1. Geben Sie Betrag und Richtung der Vektoren an: 

⎛2 

⎞ ⎛1⎞ 

r ⎛2 

⎞ r ⎜ ⎟ r ⎜ ⎟ 

v1 = ⎜ ⎟ ; v2 

= ⎜0 

⎟ ; v3 

= ⎜2⎟ 

⎝0 

⎠ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 

⎝1⎠ 

⎝3 

⎠ 

2. Addieren Sie die Kräfte bzw. Vektoren und geben Sie Betrag und Richtung an. a) und b) auch 

graphisch. 

r ⎛1⎞ 

r ⎛ 1 ⎞ 

a) a = ⎜ ⎟ ; b = ⎜ ⎟ 

⎝1⎠ 

⎝− 

1⎠ 

r ⎛2 

⎞ r ⎛ − 1⎞ 

r ⎛3 

⎞ 

b) a = ⎜ ⎟; 

b = ⎜ ⎟ ; c = ⎜ ⎟ 

⎝1⎠ 

⎝− 

2⎠ 

⎝4 

⎠ 


c) 

⎛3 

⎞ ⎛ 1 ⎞ 

r ⎜ ⎟ r ⎜ ⎟ 

a = ⎜4 

⎟; 

b = ⎜− 

2⎟ 

⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 

⎝5 

⎠ ⎝ 3 ⎠ 

⎛4 

⎞ 

3. Zerlegen Sie die Kraft in 2 orthogonale Kraftvektoren (Rechnung und Zeichnung) F = ⎜ ⎟ 

⎝2 

⎠ 

r 

4. Auf einen Starren Körper, welcher den Weg r s zurücklegt wirkt die Kraft r F. Wie groß ist die 

Arbeit? ([s] = m ; [F] = N) 

r ⎛2⎞ 

r ⎛3 

⎞ 

a) s = ⎜ ⎟ ; F = ⎜ ⎟ 

⎝1⎠ 

⎝2⎠ 

r ⎛0 

⎞ r ⎛1000⎞ 

b) s = ⎜ ⎟; 

F = ⎜ ⎟ 

⎝1⎠ 

⎝ 0 ⎠ 

r ⎛1⎞ 

r ⎛5 

⎞ 

5. Berechnen Sie das Drehmoment und vergleichen Sie 4) und 5) . r = ⎜ ⎟ ; F = ⎜ ⎟ 

⎝2⎠ 

⎝6 

⎠ 

6. Berechnen Sie die Hangabtriebskraft für einen Winkel von 30° und einen runden Körper der 

Masse 1 kg . 

7. Berechnen Sie den Schwerpunkt: 3 gleiche Massen im gleichseitigen Dreieck und masselose 

Stangen 

8. Bei welchem Flüssigkeitsstand ist die Standfestigkeit einer Getränkedose am größten, d.h. der 

Schwerpunkt am tiefsten? Idealisierung: Dünnwandige Zylinderdose, welche am Anfang ganz 

voll ist. Masse Dose < Masse Getränk (voll).

Übungsblatt Statik, Kräfte, Vektoren - Lösungen 

1. 

v1 v2 v3 

Betrag 2 5 14 

Richtung 0° (xy) xy : 0° 

xz : 26,6° 

⎛2⎞ 

2. a) c = ⎜ ⎟ 

⎝0 

⎠ 

r 

⎛4 

⎞ 

; b) c = ⎜ ⎟ 

⎝3 

⎠ 

r 

⎛4 

⎞ 

⎜ ⎟ 

; c) c = ⎜2 

⎟ 

⎜ ⎟ 

⎝8 

⎠ 

r 

r ⎛4 

⎞ r ⎛0⎞ 

3. Fx = ⎜ ⎟ ; Fy = ⎜ ⎟ 

⎝0 

⎠ ⎝2⎠ 

4. a) W = 8 Nm 

5. 

b) W = 0 Nm 

xy (Azimut): 63,4° 

xy auf z (Elevation) 53,3° 

(Elevation : Vektor ( 5 /3) ) 

⎛ 0 ⎞ 

⎜ ⎟ 

M = ⎜ 0 ⎟ 

⎜ ⎟ 

⎝− 

4⎠ 

r 

r 

M = 

r r 

r F sinϕ 

= 5 

r 

o 

61 sin13, 

5 = 4= 

M 

M und W haben dieselbe Einheit aber Vektor und Skalar! 

6. FH = 5 N 

7. für normale Gewichtsverhältnisse : xs = L/2 ; ys ≈ 0,3 L 


Übungsblatt Kinematik 1 

1. 2 Autos fahren mit konstanter Geschwindigkeit von v1 = 80km/h und v2 = 100km/h auf der 

rechten bzw. linken Spur einer freien Autobahn. Zum Zeitpunkt t=0 ist das 1. Auto 250m vor 

dem 2. Auto. Nach welcher Zeit und Strecke hat das 2. Auto das 1. um 50m überholt? 

Lsg.: t=54s, s = 1500m 

2. Der ICE erreicht eine Geschwindigkeit von 250 km/h innerhalb 600s. Zum Abbremsen benötigt 

er 140s, bei einer Notbremsung nur 60s. Wie groß sind die durchschnittlichen 

Beschleunigungen? 

Lsg.: a /m/s² : 0,116 / -0,5 / -1,16 

3. Sie lassen einen Stein in einen sehr tiefen Brunnen fallen. Nach t Sekunden hören Sie den 

Aufschlag. Wie tief ist der Brunnen? Bis zu welcher Tiefe können Sie die Tiefe vereinfacht 

berechnen? 

Lsg.: Annahme t = 3,14s ==> h = 45m ; für 55m Fehler ohne Schallgeschwindigkeit 5% 

4. Sie schießen eine Billardkugel über einen Tisch der Höhe 1m. Der Auftreffpunkt auf dem 

Boden ist horizontal 1m von der Kante entfernt. Wie groß war die Geschwindigkeit der Kugel an 

der Tischkante? 

Lsg.: v = 2,24m/s 

5. Skispringen Obersdorf: Die (waagrechte) Absprunggeschwindigkeit beträgt 72km/h, die 

Landepiste hat ein Gefälle von 45°. Bei Vernachlässigung des Luftwiderstandes ist die Flugzeit 

und die Sprungweite (ohne Schanzentisch) gesucht. 

Lsg.: a = 113m ; t = 4s 


Übungsblatt Kinematik 2 

1. Berechnen Sie die Bahngeschwindigkeit und die Umlaufdauer eines erdnahen Satelliten 

(g=const.). Erklären Sie die Schwerelosigkeit. 

Lsg.: T = 84min ; v = 8km/s 

2. Sie sind im Projektteam für einen neuen Weltraumfilm. Um realistische Aufnahmen zeigen zu 

können, benötigen Sie natürlich Szenen in Schwerelosigkeit. Aus Budgetgründen können Sie 

natürlich keinen Raumflug (auch nicht mit einem Space Shuttle) chartern. Welche Möglichkeit 

bleibt Ihnen? Versuchen Sie dies ausgehend von Ihrer Erfahrung als Autofahrer bei Fahrten 

über eine Kuppe und dem schiefen Wurf (Fitten Parabel - Kreis) anzudenken. 

Lsg.: Kreisbahn ar = g mit v = 300m/s ; Viertelkreis 47s Filmzeit 

3. Sie lassen eine Kugel (ohne Luftwiderstand) aus einem Ballon fallen, der sich in 30km Höhe 

befindet. Die Erdbeschleunigung ist höhenabhängig nach der Formel b = g(R/r)² mit g = 10m/s², 

Erdradius R = 6387km und r der Entfernung von Erdmittelpunkt. Wann und mit welcher 

Geschwindigkeit kommt die Kugel auf der Erdoberfläche auf. Vergleichen Sie dies mit der 

Rechnung mit konstanter Erdbeschleunigung 10m/s². Ansatz: g(R/r)² + a = 0. 

mit g=const: g = 10 m/s: t = 77,46s ; v = 774,6m/s, Zerlegen Sie die Fallhöhe in Intervall mit 

adaptierter Fallbeschleunigung. 

4. Ein Motor erreicht nach 60s eine Drehzahl von 7200/min bei gleichmäßiger Beschleunigung. 

Ein an ihm befestigte Scheibe hat den Durchmesser 1,2m. Berechnen Sie die 

Winkelbeschleunigung, die Umfangsgeschwindigkeit nach 30s und die Anzahl der 

Umdrehungen nach 10s. 

Lsg.: α = 12,6 1/s² ; v = 226m/s ; N = 100 

5. Ein Motor hat 15s nach dem Anlaufen 500 Umdrehungen durchgeführt. Das Anlaufen ist 

während der ersten 5 Sekunden gleichmäßig beschleunigt und danach gleichförmig. Wie ist 

hoch ist die Drehzahl des Motors? Lsg.: N = 40 1/s 


Übungsblatt Dynamik 

1. Stellen Sie die Bewegungsgleichung eines Elektrons in einer Braunschen Röhre im 

Elektrischen und Magnetischen Feld auf. Tip: Zuerst Skizze, dann Kraft- oder Energieansatz. 

r 

Formeln: 

r 

= − eE 

; E 

r 

= − eU 

; F 

r r 

= − e v × B 

Fel pot 

mag 

a) Bewegung in einem Elektrischen Feld mit einer Spannung von 30 kV (Elektron ruht zu 

Beginn). v = 10 5 km/s 

b) Ablenkung in einem Elektrischen Querfeld (Elektron bewegt sich senkrecht zum Feld der 

Länge d. Berechnen Sie die Geschwindigkeit und die Bewegungsform. Parabel 

c) Welche Bewegung beschreibt das Elektron in einem magnetischen Querfeld, in das es mit 

einer Geschwindigkeit v einfliegt. Wie sieht es hier mit der Arbeit aus? Kreis, Arbeit = 0 

2. An einer Rolle sind mittels einer idealen Schnur 2 Gewichte der Massen m 1 und m 2 befestigt. 

Berechnen Sie die Beschleunigung 

a) bei masseloser Rolle m1 

− m2 

a = ⋅g 

b) bei massebehafteter Rolle mit Radius r 

m + m 


1 

m − m2 

a = 

J 

m1 

+ m2 

+ 2 

r 

2 

1 ⋅ 

3. Sie setzen mit Ihrem Auto zum Überholen an. Ihre Geschwindigkeit steigert sich hierbei 

innerhalb von 15s von 50 auf 90km/h; m = 1t. Berechnen Sie die Beschleunigungsarbeit (ideal) 

g 

216 kJ 

4. Ihr Auto rollt in San Francisco mit 6m/s an Ihnen vorbei. Da Sie aber vorsichtshalber wegen des 

Gefälles von 4° die Handbremse angezogen haben, schätzen Sie den Reibungskoeffizienten µ 

mit 0,1 ab. Wie weit müssen Sie laufen? 61,2 m 

5. Sie fahren an der Ampel mit Ihrem Auto (1000kg) mit einer Kraft von 4000N für 3s an und 

fahren 1s mit konstanter Geschwindigkeit weiter. Danach bremsen Sie mit 3000N. Zeichnen Sie 

den zeitlichen Verlauf der Momentanleistung, wann stehen Sie wieder? 

8 s

Übungsblatt Schwingungen 

1. Simulieren Sie Schwingungsphänomene mit dem Computer (z.B. EXCEL): 

Dämpfung - Erzwungene und anharmonische Schwingungen - Überlagerung 

2. Weisen Sie nach, daß beim Mathematischen Pendel die Lösung des Kraftansatzes 

(vereinfacht s = so sin(wot) ) auch die Lösung des Energieansatzes (s'² + ωo ² s² = const) ist. 

3. Stellen Sie die Harmonische Schwingungsgleichung für ein Torsionspendel (siehe Vorlesung) 

auf und geben Sie die Eigenfrequenz an. Welche meßtechnische Bedeutung hat ein 

Torsionspendel? 

4. Stellen Sie die Harmonische Schwingungsgleichung für eine Flüssigkeit in einem U-Rohr 

(siehe Vorlesung) auf, Eigenfrequenz ? 

5. Sie bohren ein Loch durch die Erde (senkrecht, durch den Erdmittelpunkt). Wenn Sie einen 

Gegenstand hineinbringen und loslassen, wird er durch die Erdanziehungskraft hineingezogen 

( r 

a = g mit R = 6400km, g = 10m/s², Abstand r vom Erdmittelpunkt, ohne Reibung etc.). 

R 

a) Stellen Sie die Bewegungsgleichung auf und lösen Sie sie 

(Bewegungsform, relevante Parameter) 

b) Vergleichen Sie die Zeit, die der Gegenstand zu Durchqueren der Erde und zurück braucht 

mit der Umlaufzeit eines niedrigfliegenden Erdsatelliten (Übungsblatt Kinematik) 

"etwa gleich groß" 

6. Wie groß ist die Schwingungsdauer einer langen Stange (Dicke vernachlässigen), die an 

einem Ende aufgehängt ist (harmonisch, ohne Reibung)? Vergleichen Sie dies mit einem 

Mathematischen Pendel. Lsg: 2 /√3 eines gleichlangen M. P. 


7. Ein Seil der Länge l und der Masse m liegt so auf einem Tisch, daß der längere Teil 

hinunterhängt. Nach dem Loslassen soll das Seil reibungsfrei über die Tischkante gleiten. 

Stellen Sie die Bewegungsgleichung und und vergleichen Sie diese "einmalige" Bewegung mit 

einer Harmonischen Schwingung. 

8. Ein Teilchen der Ladung q und der Masse m befindet sich im homogenen Feld eines senkrecht 

zur Erde stehenden genügend großen Plattenkondensators (Abstand d). An diesem liegt eine 

Wechselspannung an, so daß eine Kraft F = qUmax/d cosωt horizontal und die 

Erdanziehungskraft vertikal wirkt. Stellen Sie die Bewegungsgleichung auf und integrieren 

diese. 

9. Ein waagrecht liegender Harmonischer Federoszillator der Masse 1kg (Masse incl. Feder, 

Ansatz: waagrechtes Federpendel) und D = 100N/m befindet sich in seiner Ruhelage. Er wird 

von einer Kugel (10g) durchschlagen, die mit 500m/s auftrifft und mit 250m/s austritt. 

Berechnen Sie die Schwingungsamplitude nach dem Durchschlag des Geschosses 

(reibungsfrei). 25 cm 

10. Ein unten mit Blei gefülltes Reagenzglas (Gesamtgewicht m) schwimmt senkrecht im Wasser. 

Zeigen Sie, daß das Reagenzglas harmonische Schwingungen (ohne Reibung) durchführt, 

wenn es etwas ins Wasser gedrückt und dann losgelassen wird. 

11. Ein Federpendel besitzt zur Zeit t=0 eine Auslenkung von 5cm, die Geschwindigkeit 10cm/s 

und die Beschleunigung -20cm/s². Wie groß ist die Amplitude und die Kreisfrequenz der 

Schwingung? 7,07 cm 2 1/s 

Ein 2-atomiges Molekül kann durch ein Feder-Masse-Modell beschrieben werden. 2 harte Kugeln 

der Einzelmassen 1,67 10 -27 kg sind mit einer Feder (D = 510 N/m) verbunden. 

Achten Sie auf die Bewegung des Schwerpunktes, hier tritt sonst ein Faktor 2 auf ! 

a) Eigenfrequenz des Moleküls 1,24 10 14 Hz 

b) In welchem Wellenlängenbereich liegt diese? 

c) Welche meßtechnische Bedeutung hat dies? 


Übungsblatt Wärmelehre 

1. Zeigen Sie: V = L xo L yo L zo ( 1 + α ∆T)³ ≈ Vo ( 1 + 3α ∆T) 

2. Eine Brücke hat eine Länge von 35,0 m bei - 30°C. Wie groß ist die von den Fugen 

‘aufzufangende’ Längenänderung bei +50°C 

(α = 10 10 -6 1/K) ? 28 mm 

3. Ein Schwimmbad hat eine unveränderliche angenommene Grundfläche von 20m * 50m . Es 

wurde mit 10°C kaltes Wasser auf genau 10,0 m gefüllt. Um wieviel höher steht das Wasser 

nach dem Aufwärmen auf 30°C (γ = 0,18 10 -3 1/K) ? 

36 mm 

4. Das Wasser in einer Badewanne (V = 600l = 600kg) wird von 20°C auf 50°C mit einem 

Tauchsieder erwärmt. 

a) Welche Energie muß dem Wasser zugeführt werden ? 75 MJ 

b) Wieviel Kilowattstunden elektrischer Energie sind das ? 21 kWh 

Thermisches Gleichgewicht als Ergänzung zu den Beispielen: 

a) Wie groß ist der Fehler, wenn der Fühler auf 325 K vorgewärmt wurde ? 

b) Wieviel Liter Luft muß mindestens vorhanden sein, damit der Meßfehler bei Bedingungen wie 

im Skript (Fühler 10 g ; 300 K) kleiner als 0,5 K wird. 


Übungsblatt Deformierbare Medien 

1. Eine auf einer Platte senkrecht stehende Feder mit der Feder-konstanten D = 100 N/m ist 5 cm 

gespannt. Auf Ihr liegt ein Gewicht (50g). Die Feder wird freigegeben, das Gewicht bewegt sich 

senkrecht nach oben. 

a) Welche Idealisierungen verwenden Sie? 

b) Welche Bewegungsformen treten auf? 

c) Welche Höhe oberhalb des Ruhezustandes der Feder erreicht das 

Gewicht? 25 cm 

d) Welche Maximalgeschwindigkeit erreicht das Gewicht, wo? 

2. Ein Flugzeug hat ein Startgewicht von 100t. Wie groß muß die Flü-gelfläche minimal sein, damit 

das Flugzeug überhaupt abheben kann? 

a) statisch 10 m² 

b) dynamisch (vstart = 300 km/h , cA = 0,01) 22000 m² 

3. Wie hoch ist die maximale Förderhöhe einer Saugpumpe (vgl. Saugen mit Spritze). Warum 

können Bäume höher wachsen? 10 m 

4. Eine Feder der Länge L und der Federkonstanten D wird in der Mitte durchtrennt. Die beiden 

Hälften werden an ihren losen Enden ideal miteinander verbunden. Wie groß ist die 

Federkonstante D|| dieser 'Parallelschaltung', wenn vorher und nachher um dieselbe Strecke x 

gedehnt werden soll? D|| = 4D 

5. Wie lange kann ein Stahldrahtseil, welches an einem Ende aufge-hängt ist, maximal sein, 

bevor es unter seinem Eigengewicht zer-reißt (Zugfestigkeit/Bruchspannung 0,7 kN/mm² , ρ= 7 

kg/dm³)? 

10 km 

6. Vergleichen Sie einen Vollstab mit einem Rohr bzgl. ihres Verhaltens bei Torsion (R = 2 cm). 

Bsp. Ri = 1,5cm: 30% weniger Steifigkeit, 56% weniger Gewicht

2. Mechanik

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