Algorithmen und Datenstrukturen - Universität Kassel

Algorithmen und Datenstrukturen
Prof. Claudia Leopold
FG Programmiersprachen/-methodik
FB Elektrotechnik/Informatik
Universität Kassel
leopold@uni-kassel.de
Neubau WA, Zi. 0628, Sprechzeit: Di. 8.30 – 9.30 Uhr
Webseite zur Vorlesung:
http://www.se.e-technik.uni-kassel.de/se/index.php?id=528
Inhalt (Entwurf)
1) Einführung Algorithmen
¢Grundbegriffe, Algorithmenanalyse
2) Grundlegende Datenstrukturen
¢Grundbegriffe
¢Listen, Stacks, Bäume
3) Sortieren
¢Mergesort, Quicksort, Heapsort
¢untere Schranke
4) Suchen
¢Suchbäume, Prioritätswarteschlangen, Hashverfahren
5) Graphalgorithmen
¢Breiten- und Tiefensuche, kürzeste Wege
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evtl. geometrische Algorithmen, heuristische Algorithmen (kombinatorische
Optimierung)
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Übungen
14-tägiger Wechsel ’theoretische’ / praktische Übungen
Beginn Woche vom 26.4.: theoretische Übungen in -1607
Übungsaufgaben 14-tägig (meist Programmieraufgaben)
Mo
Di
Mi
Mi
Do
Do
18 – 20
18 – 20
14 – 16
16 – 18
8 – 10
12 – 14
-1607 oder 1201
-1607
-1607 oder 1201
-1607 oder 1201
-1607 oder 1201
-1607
Leopold
Leopold
Knafla
Knafla
Knafla
Knafla
¡Betreuer praktische Übungen: Tobias Gunkel, Norman Thomas,
Alexander Wirz
voraussichtlich 14. September 10 Uhr
¡ Klausur
Literatur
Thomas H. Cormen, Charles E. Leiserson: Introduction to
Algorithms. MIT Press 2001.
Thomas Ottmann, Peter Widmayer: Algorithmen und
Datenstrukturen. Spektrum Akademischer Verlag, 2002.
Heinz-Peter Gumm, Manfred Sommer: Einführung in die
Informatik. Oldenbourg Verlag, 2002, Kapitel 4.
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Uwe Schöning: Algorithmik. Spektrum Akademischer Verlag, 2001.
Robert Sedgewick: Algorithmen in C++. Addison-Wesley Longman,
2002.
oder andere
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1. Algorithmenbegriff
£Algorithmus = präzise formuliertes Verfahren zur
schrittweisen Lösung eines Problems
¡zulässig: Wahlmöglichkeiten, Parallelität
¡Schritte müssen ausführbar sein
¡Ausführung durch Mensch, Computer, mechanische Geräte u.a.
¡Formulierung in natürlicher Sprache, Ablaufdiagramm,
Programmiersprache u.a.
Problem = Abbildung von Eingaben auf Ausgaben
- z.B. Zucker, Mehl, Backpulver etc. -> Kuchen
- Zahlen n, m -> ggT(n,m)
¡Probleminstanz: konkrete Eingabe
Programm = Formulierung eines Algorithmus in einer
Programmiersprache
Eigenschaften von Algorithmen
existieren unabhängig von Formulierung in Programmiersprache
Beschreibung hat endliche Länge
Ein Algorithmus heißt determiniert (deterministisch im Ergebnis) ,
wenn er bei Mehrfachausführung mit gleichen Eingaben stets die
gleiche Ausgabe liefert.
Ein Algorithmus heißt deterministisch (deterministisch im Ablauf) ,
wenn jeweils der nächste Schritt eindeutig bestimmt ist
Ein Algorithmus heißt terminierend, wenn er zu jeder Eingabe
nach endlich vielen Schritten ein Ergebnis liefert (anhält).
Ein Algorithmus heißt sequentiell, wenn er die Schritte
nacheinander ausführt.
¦möglich: deterministisch und nicht determiniert (Schritt = Würfeln)
¦möglich: nicht-deterministisch und determiniert (zwei Wege zu gleichem Ziel)
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Beispiel: Euklidischer Algorithmus
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers (ggT):
Eingabe: a, b ¤
Ausgabe: ggT(a, b)
¥
Algorithmus:
Falls b=0, gib a aus
Sonst wende Algorithmus auf (b, a mod b) an
Programm (in C++):
int ggT(int a, int b) {
if (b==0) return a;
else return ggT(b, a % b);
}
Bausteine von Algorithmen
Grundoperationen, z.B. Zuweisung, Addition, Aufruf bekannter
Teilalgorithmen
Kontrollstrukturen:
- sequentielle Ausführung (Reihenfolge kausal bedingt oder willkürlich)
- parallele Ausführung
- bedingte Ausführung
- wiederholte Ausführung
- alternative Ausführung (willkürliche Auswahl)
Eingaben, Ausgaben und Zwischenergebnisse werden in
Datenstrukturen abgelegt
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Korrektheit
Test kann nur Anwesenheit, aber nicht Abwesenheit von Fehlern
nachweisen
Korrektheitsnachweis auf Programmebene: Verifikation über Vor-/
Nachbedingungen
Korrektheitsbeweis auf Algorithmenebene am Beispiel ggT:
Behauptung: ggT(a, b) = ggT(b, a mod b)
Beweis: Zeigen { t | t teilt a und b } = { s | s teilt b und (a mod b) }:
§) Sei a=xt und b=yt. Dann gibt es für r=(a mod b) ein z mit a=zb+r mit
r

O-Notation
Obere Schranke:
O(g(n)) = { f(n) | c>0 n 0 >0 nn 0 : 0
f(n) c
3n
c f(n)
(g(n))
f(n) c
Bsp. 3n 4 + 5n 3 + 7 log n = O(n 4 )
denn: 3n 4 + 5n 3 + 7 log n
Bedingung
g(n) }
4 + 5n 4 + 7n 4 = 15n 4 für n1
gilt mit c = 15 und n 0 = 1
Untere Schranke:
(g(n)) = { f(n) | c>0 n0>0 nn0: 0
Genaue Schranke:
(g(n)) = O(g(n))
Ergänzung:
(g(n)) = { f(n) | c>0 n0>0 nn0: 0
g(n)
}
g(n) }
2. Datenstrukturen – Begriff ADT
Daten: Wahrheitswerte, Zahlen, Zeichenreihen, Bilder etc.
- unterschiedlicher Speicherbedarf
- unterschiedliche Operationen
Typ
unterschiedlicher
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Abstrakter Datentyp (ADT): ein oder mehrere Mengen von Objekten
und darauf definierte Operationen, z.B.:
- natürliche Zahlen mit Addition, Subtraktion, Modulo
- Menge aller Polynome mit Addition, Multiplikation
- Mengen aller Knoten bzw. Kanten eines Graphen mit Einfügen/Löschen
von Knoten/Kanten, Bestimmen kürzester Weg zwischen Knoten
Algorithmen operieren über abstrakten Datentypen und nutzen deren
Grundoperationen
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Beispiel Euklidischer Algorithmus
Betrachten Aufruffolge
(a 0 , b 0 )
1 , b 1 )
(a(a mit a i+1 = b i und b i+1 = a i mod b i
Beh.: b i > 2 b i+2
k-1 , b k-1 ) (a k , b k ) = ggT(a 0 , b 0 )
Beweis: Es gilt a i+1 = zb i+1 + b i+2 für ein z1. Außerdem gilt b i+2 2b . i i+1 i+2 i+2
b > 2 b > 4 b > 8 b > >
0 2 4 6
Für a, b < 2
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n läßt sich zeigen: T(n) = O(n2 ) (Bitkomplexität)
Für k ungerade (k gerade analog) folgt
Es ergibt sich log b 0 > (k-1)/2, also k < 2 log b 0 + 1. Da der Aufwand pro
Rekursionsstufe konstant ist, folgt T(a, b) = O(log b).
Meist Angabe Komplexität in Abhängigkeit von Eingabegröße:
b i b k-1
Begriff Datenstruktur
Umsetzung ADT in Programmiersprache durch
- elementaren Datentyp (boolean, int, float etc.) oder
- Datenstruktur = Schema zur Abspeicherung der Daten eines
ADT, das mit Mitteln einer
Programmiersprache beschrieben wird
für Operationen des ADT müssen Algorithmen angegeben werden
Wahl der Datenstruktur richtet sich nach Art und Häufigkeit der
auszuführenden Operationen
wichtige Datenstrukturen: Arrays, Listen, Stacks, Bäume etc.
- Beschränkung auf grundlegende Operationen für breiten Einsatz
- häufig bereits in Programmiersprache oder Bibliotheken implementiert
daneben existieren problemspezifische Datenstrukturen
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