Aufgabenblatt 3: ¨Offentliche Güter

Prof. Dr. Rainald Borck Lösungshinweise zu den Übungen WS 07/08 1
Aufgabenblatt 3:
Öffentliche Güter
Aufgabe 1 (Lindahl-Verfahren)
Die Besteuerung gemäß dem Lindahl-Verfahren beruht auf dem Äquivalenzprinzip:
Die Bestimmung der individuellen Beiträge zur Bereitstellung des
öffentlichen Gutes erfolgt durch Festsetzen individueller Preise pi G . ⇒ Idee:
Staat legt nach der Samuelson-Regel die Menge des Öffentlichen Gutes fest
(vgl. Teilaufgabe b) und c)). Danach werden die Beiträge des Individuums
zum Öffentlichen Gut anhand seiner Zahlungsbereitschaft ermittelt (siehe
Teilaufgabe a)).
a) Lindahl-Preise
Könnte Individuum i selbst über die bereitzustellende Menge G entscheiden,
sähe es sich folgendem Nutzenmaximierungsproblem gegenüber:
ui(xi, G) → max
xi,G !
u.d.Nb. xi ≤ wi − p i GG.
In einem Optimum bindet die Nebenbedingung, so dass sich das Problem
vereinfachen lässt:
ui(wi − p i GG, G) → max
G !.
Die Bedingung erster Ordnung lautet:
dui
dG
∂ui dxi ∂ui
= +
∂xi dG ∂G
⇔ − p i ∂ui
G +
∂xi
∂ui
= 0
∂G
⇔p i G = ∂ui
∂ui
∂G ∂xi
⇔p i G = GRS i G,x.
= 0
Für die hier gegebenen Nutzenfunktionen ergibt sich
∂u1
p 1 G(G) = ∂u1
∂G
p 2 G(G) = ∂u2
∂G
∂x1
∂u2
∂x2
= 10
√ G , (1)
= 6
√ G . (2)

Prof. Dr. Rainald Borck Lösungshinweise zu den Übungen WS 07/08 2
b) Steigende Grenzkosten
Bestimmung der optimalen Menge des Öffentlichen Gutes anhand
der Samuelson Bedingung
GRTG,x = GRS 1 G,x + GRS 2 G,x (3)
⇒ Bestimmung der GRT: Die Gleichung der Transformationskurve (gesamtwirtschaftliche
Budgetrestriktion) ist gegeben durch
H = w1 + w2 − (x1 + x2) −K(G) = 0.
=:x
Total Differenzieren und Beachten von dw = 0 liefert für die Grenzrate der
Transformation
GRTG,x = dx
= −∂K = −2G.
dG
Mit Hilfe der Samuelson-Regel lässt sich nun die effiziente Menge G ∗ berechnen:
∂G
GRTG,x = GRS 1 G,x + GRS 2 G,x
⇔ 2G = 16
√ G
⇔ G ∗ = 4
Durch Einsetzen in die Gleichungen (1) und (2) berechnet man die optimalen
Lindahl-Preise zu p1 G (4) = 5 und p2G (4) = 3. Bei der Bereistellung von 4
Einheiten des öffentlichen Gutes ergeben sich demnach Einnahmen in Höhe
von (5 + 3) · 4 = 32, welche die Bereitstellungskosten in Höhe von 42 = 16
übersteigen. Die pauschale Rückverteilung dieses Überschusses ist in der Regel
problematisch, da die steigenden privaten Konsummöglichkeiten i.a. einen
Einkommenseffekt auslösen, der die individuellen Grenzraten der Substitution
verändert. Die gezahlten Lindahl-Preise entsprechen dann nicht mehr den
individuellen Wertschätzungen. Da die gegebenen Nutzenfunktionen jedoch
quasilinear im privaten Konsum sind, tritt ein solcher Einkommenseffekt hier
nicht auf; die Grenzraten der Substitution hängen nicht vom privaten Konsumniveau
ab.
c) Konstante Grenzkosten
Für die Grenzrate der Transformation gilt nun
GRTG,x = dx
dG
= −∂K
∂G
= −2

Prof. Dr. Rainald Borck Lösungshinweise zu den Übungen WS 07/08 4
• Falls Individuum 1 seine wahre Zahlungsbereitschaft angibt und
damit ˆp 1 G (G) = p1G (G), ergibt sich die gleiche Allokation wie im
Aufgabenteil ci). Folglich erreicht Individuum 1 ein Nutzenniveau
in Höhe von
u1(20, 64) = 20 + 20 · √ 64 = 180.
• Falls Individuum 1 lügt und statt seiner wahren Zahlungsbereitschaft,
die (niedrigere!) Zahlungsbereitschaft von Individuum 2
angibt ˆp 1 G (G) = p2 G (G), so stellt der Planer auf Basis der beobachteten
Reports gemäß der Samuelson-Regel die Menge ˆ G an
öffentlichem Gut zur Verfügung:
GRTG,x = ˆp 1 G(G) + ˆp 2 G(G)
⇔ 2 = 2 · p 2 G(G) = 12
√ G
⇔ ˆ G = 36.
Durch Einsetzen in Gleichung (2) berechnet man den Lindahl-
Preis für Individuum 1 zu ˆp 1 G (36) = p2G (36) = 1. Damit ergeben
sich für Individuum 1 private Konsummöglichkeiten in Höhe von
x1 = 100 − 36 = 64, woraus ihm ein Nutzen in Höhe von
entsteht.
u1(64, 36) = 64 + 20 · √ 36 = 184
Individuum 1 hat also in der Tat einen Anreiz, seine wahre Zahlungsbereitschaft
in der beschriebenen Weise zu untertreiben. Insofern ist der
Lindahl-Mechanismus i.A. nicht geeignet, das Informationsproblem des
Planers zu lösen.
Aufgabe 2 (Clarke-Steuer)
Clarke-Groves-Mechanismus / Clarke-Steuer eröffnet die (theoretische)
Möglichkeit, das Informationsproblem des Planers zu lösen (wenn dieser
die Zahlungsbereitschaft der Individuuen für das ÖG nicht kennt) und
die Finanzierung der effizienten Menge des öffentlichen Gutes sicher zu stellen.
Da jedoch ein Budgetüberschuss entsteht, der nicht anreizverträglich
zurückverteilt werden kann, ist das Verfahren im Allgemeinen nicht ex-post
effizient.
Dreistufiges Spiel mit folgender Struktur:

Prof. Dr. Rainald Borck Lösungshinweise zu den Übungen WS 07/08 5
Stufe 1 Der Soziale Planer legt die Formel/ den Mechanismus für die Bestimmung
der individuellen Beiträge Ti(G) fest.
Stufe 2 Die Individuen signalisieren ihre Präferenzen Zi(G).
Stufe 3 Der Planer wählt die gemäß den Reports Zi(G) optimale Menge an
öffentlichem Gut G ∗ (nach der Samuelson-Bedingung) und und sammelt
von den Individuen die entsprechenden Beiträge Ti(G ∗ ) ein.
a)
Annahme: Der soziale Planer entscheidet auf der 1. Stufe, dass er die individuellen
Beiträge nach dem sogenannten ’Groves’-Zahlungsschema erhebt
Ti(G) = kG − Zj(G). (4)
i) Es ist zu zeigen, dass es für das Individuum i auf der 2. Stufe optimal
ist, unabhängig von dem Report Zj des anderen Individuums
seine Präferenzen für das öffentliche Gut zu enthüllen, d.h. den Report
Zi(G) = Ui(G) zu tätigen. Beachte: Das Individuum wird bei
seiner Entscheidung beachten, dass der soziale Planer auf der 3. Stufe
(also zeitlich nach dem Individuum), das öffentliche Gut gemäß der
Samuelson-Regel auf Basis der angegebenen Zahlungsbereitschaften bereitstellt.
Individuum i wird versuchen, den Planer durch seinen Report Zi so
zu beeinflussen, dass dieser die aus Sicht von i optimale Menge an
öffentlichem Gut bereitstellt. Dabei beachtet Individuum i, dass es sich
dem Beitrag Ti(G) und damit der Budgetrestriktion
xi = wi − Ti(G) (5)
gegenübersieht, und berücksichtigt, dass der Planer die gemäß den Reports
Zi(G), Zj(G) optimale Menge an öffentlichem Gut mit Hilfe der
Samuelson-Regel
Z ′ i(G) + Z ′ j(G) = k (6)
bereitstellt. Unter Beachtung der Gleichungen (4) und (5) ergibt sich
somit folgendes Optimierungsproblem:
ui(xi, G) = xi + Ui(G)
= wi − Ti(G) + Ui(G)
= wi − kG + Zj(G) + Ui(G) → max
G !

Prof. Dr. Rainald Borck Lösungshinweise zu den Übungen WS 07/08 6
Durch Ableiten nach G ergibt sich unter Berücksichtigung von Gleichung
(6) folgende Bedingung für ein Nutzenmaximum:
−k + Z ′ j(G) + U ′ i(G) = 0
⇔ k − Z ′ j(G) = U ′ i(G)
⇔ Z ′ i(G) = U ′ i(G)
Für Zi(G) = Ui(G) ist diese Bedingung erfüllt, d.h. es ist für Individuum
i in der Tat optimal, seine Präferenzen zu enthüllen. Mit anderen
Worten: Das Groves-Zahlungsschema löst das Informationsproblem.
ii) Die Spezifikation der Nutzenfunktionen u1, u2 und Bereitstellungskosten
k stimmt mit der aus Aufgabe 1c) überein; somit beträgt die sozial
optimale Menge an öffentlichem Gut G ∗ = 64. Im Gleichgewicht
gilt gemäß Aufgabenteil 2ai) überdies Zi = Ui; somit ergeben sich nach
dem Groves-Schema folgende individuellen Beiträge:
T1(64) = 2 · 64 − 12 · √ 64 = 32,
T2(64) = 2 · 64 − 20 · √ 64 = −32.
Folglich ergibt sich ein Budgetdefizit
b) Clarke-Steuer
T1(64) + T2(64) = 0 < 128 = 2 · 64 = K(64),
Um neben dem Informationsproblem auch das Finanzierungsproblem zu lösen,
erhebt der Planer zusätzlich zu den Groves-Beiträgen eine sog. Clarke-Steuer:
Ti(G) = kG − Zj(G)
Groves-Beitrag
= k
G +
2
⎡
⎢
⎣
+ Zj(Gj) − k
2 Gj
Clarke-Steuer
k
(G − Gj)
2
zusätzl. Kosten des j
(7)
⎥
− (Zj(G) − Zj(Gj)) ⎥
⎦ , (8)
zusätzl. Nutzen des j
wobei Gj durch die Gleichung Z ′ j(Gj) = k definiert ist, also die Menge an
2
öffentlichem Gut beschreibt, die aus Sicht von Individuum j gemäß seinem
Report Zj optimal ist, wenn es seinen hälftigen Anteil der Bereitstellungskosten
trägt. 1 Gemäß Gleichung (8) lässt sich das Clarke-Groves-
Zahlungsschema wie folgt interpretieren: Die Bereitstellungskosten werden
1 Man beachte, dass Individuum i die Menge Gj und die Clarke-Steuer an seinem gesamten
Beitrag Ti durch seinen eigenen Report Zi nicht beeinflussen kann; insofern stellt
die Clarke-Steuer aus Sicht von Individuum i eine Pauschalsteuer dar.
⎤

Prof. Dr. Rainald Borck Lösungshinweise zu den Übungen WS 07/08 7
hälftig aufgeteilt; zusätzlich entschädigt Individuum i Individuum j für den
externen Effekt, den i auf j dadurch ausübt, dass statt der von j präferierten
Menge Gj die Menge G bereitgestellt wird. Dieser externe Effekt setzt sich
zusammen aus den zusätzlichen Kosten, die j durch die zusätzlich bereitgestellete
Menge G − Gj entstehen, abzüglich des zusätzlichen (signalisierten)
Nutzens Zj(G) − Zj(Gj) für Individuum j.
⇒ Bezug zum Skript:
• Der Parameter α aus dem Skript ist hier 1/2.
• Grenzkosten für die Bereitstellung des ÖG sind hier k (k entspricht
dem Parameter c aus dem Skript)
• Die (Brutto-)Zahlungsbereitschaft ist hier Zi, im Skript vi
i) Dass es für Individuum i weiterhin optimal ist, unabhängig von dem Report
Zj des anderen Individuums seine Präferenzen für das öffentliche
Gut zu enthüllen, d.h. den Report Zi(G) = Ui(G) zu tätigen, zeigt man
formal ganz analog zu Aufgabenteil ai). Intuitiv erklärt sich dies jedoch
schon allein aus der Feststellung, dass die zusätzliche Clarke-Steuer aus
Sicht von Individuum i eine Pauschalsteuer darstellt und damit seine
(optimale) Entscheidung nicht verzerrt.
ii) Die Spezifikation der Nutzenfunktionen u1, u2 und Bereitstellungskosten
k stimmt mit der aus Aufgabe 1c) überein; somit beträgt die sozial
optimale Menge an öffentlichem Gut G ∗ = 64. Im Gleichgewicht gilt
gemäß Aufgabenteil 2bi) überdies Zi = Ui; somit ergeben sich für G2
bzw. G1 folgende Werte
U ′ 2(G2) = k
2
U ′ 1(G1) = k
2
6
⇔ √
G2
10
⇔ √
G1
= 1 ⇔ G2 = 36
= 1 ⇔ G1 = 100
und damit nach dem Clarke-Groves-Schema folgende individuellen Beiträge:
T1(64) = 2 · 64 − 12 · √ 64 + 12 · √ 36 − 36 = 32 + 36 = 68,
T2(64) = 2 · 64 − 20 · √ 64 + 20 · √ 100 − 100 = −32 + 100 = 68.
Folglich ergibt sich ein Budgetüberschuss,
T1(64) + T2(64) = 136 > 128 = 2 · 64 = K(64),

Prof. Dr. Rainald Borck Lösungshinweise zu den Übungen WS 07/08 8
d.h. die Finanzierung der optimalen Menge an öffentlichem Gut ist gesichert.
Die Allokation der (privaten) Güter ist jedoch nicht (ex-post)
effizient: Der Planer kann den Budgetüberschuss nicht in anreizverträglicher
Art und Weise an die Individuen zurückverteilen. 2
2 Verwendet man als Gleichgewichtskonzept Implementierung in dominanten Strategien,
so lässt sich im Allgemeinen kein Mechanismus finden, der das Informationsproblem löst
(anreizverträglich ist) und gleichzeitig für ein ausgeglichenes Budget sorgt (ex-post effizient
ist); vgl. hierzu Green and Laffont (1979), Incentives in Public Decision Making. Verwendet
man hingegen das schwächere Gleichgewichtskonzept Implementierung als Bayesianisches
Nash-Gleichgewicht, so steht mit dem sog. Expected Externality Mechanism ein Verfahren
zur Verfügung, das auf einer ähnlichen Idee wie der Clarke-Groves-Mechanismus beruht
und sowohl anreizverträglich als auch ex-post effizient ist; vgl. hierzu d’Aspremont and
Gerard-Varet (1979), Incentives and Incomplete Information, Journal of Public Economics
11: 25–45.