Tagungsband 2008/2009 - Gesellschaft für Didaktik der Mathematik

proceedings 

Ulrich Kortenkamp und Anselm Lambert 

(Hrsg.) 

Medien Vernetzen 

Zur Zukunft des Analysisunterrichts 

vor dem Hintergrund der 

Verfügbarkeit 

Neuer Medien (und Werkzeuge) 

Lösungen 

vorstellen 

Aufgaben 

stellen 

Zufallszahlen 

Themen 

zusammenfassen 

Themen 

vorstellen 

Mittelwert, 

Median 

Aufgaben / 

Präsentation 

Wirtschaftsmathematik 

Standardabweichung, 

Varianz 

Stochastik 

und Statistik 

DifferentialundIntegralrechnung 

Regression 

Konstruktionen 

Geometrie 

CAS 

Berechnungen 

Funktionen 

geometrische 

Zusammenhänge 

Addition, 

Multiplikation, 

. . . 

Programmiersprache 

LGS, Matrizen, 

. . . 

Graphen 

2D 

Tabellenkalkulation 

3D 

komplexe 

Verfahren 

Algorithmen 

Messreihen 

aufnehmen 

Datensätze 

auswerten 

Datenerhebungen 

Bericht über die 

26. und 27. Arbeitstagung des Arbeitskreises 

„Mathematikunterricht und Informatik“ 

in der Gesellschaft für Didaktik der Mathematik e.V. 

vom 26.–28.9.2008 in Fuldatal und 25.–27.9.2009 in Soest

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Ulrich Kortenkamp; Anselm Lambert (Hrsg.) 

Medien Vernetzen / Zur Zukunft des Analysisunterrichts vor 

dem Hintergrund der Verfügbarkeit Neuer Medien (und Werkzeuge) 

Bericht über die 26. und 27. Arbeitstagung des Arbeitskreises 

„Mathematikunterricht und Informatik“ in der Gesellschaft für Didaktik 

der Mathematik e.V. vom 26.-28.9.2008 in Fuldatal und 

25.-27.9.2009 in Soest 

ISBN 978-3-88120-823-9 

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Verfahren als auch für die Übertragung auf Filme, Bänder, Platten, Transparente, 

Disketten und andere Medien. 

c○ 2012 by Verlag Franzbecker, Hildesheim

Inhaltsverzeichnis 

Vorwort der Herausgeber . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 

I Medien vernetzen 5 

„Medien vernetzen“ – Leitgedanken und -fragen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 

Henrik Kratz, Oberursel: Warum ist der Einsatz Neuer Medien so schwierig? . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 

Horst Hischer, Saarbrücken: Medien und Vernetzungen – eine didaktische Positionsbestimmung . . . . 17 

Andreas Goebel und Reinhard Oldenburg, Frankfurt: Konstruktionsbegriffe für die 

3D-Raumgeometrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 

Rolf Neveling, Wuppertal: Neue Technologien und ihre Vernetzung im Rahmen curricularer 

Überlegungen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 

Sebastian Kuntze und Christine Bescherer, Ludwigsburg: Überzeugungen von Studierenden zum 

Computereinsatz im Mathematikunterricht und deren Weiterentwicklung in einer Lehrveranstaltung. . 31 

II Zur Zukunft des Analysisunterrichts 41 

Zur Zukunft des Analysisunterrichts vor dem Hintergrund der Verfügbarkeit Neuer Medien (und 

Werkzeuge) – Leitgedanken und -fragen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 

Hannes Stoppel, Gladbeck: CAS ist nicht gleich CAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 

Andrea Hoffkamp, Berlin: Funktionales Denken mit dem Computer unterstützen – Empirische 

Untersuchungen im Rahmen des propädeutischen Unterrichts der Analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 

Guido Pinkernell, Darmstadt: Qualitatives Modellieren mit der Funktionenbox und anderen 

schwarzen Kästen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 

Gilbert Greefrath, Köln: Vielfältiger Computereinsatz im Analysisunterricht . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 

Fritz Nestle, Ulm: Kühe, Kinder und Kultusminister(innen) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 

Andreas Fest, Schwäbisch Gmünd & Marc Zimmermann, Ludwigsburg: Werkzeuge für das 

individuelle Lernen in der Mathematik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 

Reinhard Oldenburg, Frankfurt: Die Analysis in den Zeiten der Computerei . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 

Hans-Georg Weigand, Würzburg: Wozu brauche ich ein Computeralgebra System (CAS), wenn ich 

zwei Straßen verbinden soll? – Überlegungen zum (sinnvollen) Einsatz eines CAS im 

Analysisunterricht . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 

1

Lutz Führer, Frankfurt: Verstehen oder berechnen?? Wie passt der Computer zum 

Analysisunterricht des 20. Jahrhunderts? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 

Stefanie Anzenhofer, Würzburg: Musik mit Funktionsgraphen – Wissen kreativ nutzen . . . . . . . . . . 137 

Joachim Engel, Ludwigsburg: Von Daten zur Funktion: Skizzen eines anwendungsorientierten 

Analysisunterricht . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147 

Bodo von Pape, Oldenburg: Analysis in der Schule zwischen Präzision und Approximation – Ein 

Plädoyer für Algorithmik und Animation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153 

Markus Vogel, Heidelberg: Der Computer macht’s möglich — Funktionen als Werkzeug zum 

Modellieren von Daten. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159 

eLearning in mathematischen Vorkursen mit Beispielen zur Analysis: Reinhard Hochmuth und 

Pascal Fischer, Kassel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165 

2

• Vorwort der Herausgeber 

Anselm Lambert, Saarbrücken und Ulrich Kortenkamp, Halle-Wittenberg 

Der Arbeitskreis Mathematikunterricht und Informatik 

wurde 1978 gegründet, so dass die Herbsttagung 

2008 in Fuldatal das 30jährige Jubiläum 

markiert. Die inzwischen regelmäßig durchgeführten 

jährlichen Arbeitstagungen Ende September 

sind das institutionelle Zentrum der umfangreichen 

themengeleiteten und zielorientierten 

Diskussionen. 

Mathematikdidaktik ist für den Arbeitskreis 

dabei eine Wissenschaft mit zahlreichen Bezugsdisziplinen, 

von der Mathematik und der Informatik 

über die pädagogische Psychologie bis zu den 

empirischen und den normativen Bildungswissenschaften. 

Auch der Begriff Informatik selbst wird 

darin vom Arbeitskreis breit ausgelegt – von ihren 

theoretischen Grundlagen im Mathematikunterricht 

bis zur Computernutzung im Mathematikunterricht 

– mit jeweils persönlich geprägten inhaltlichen 

Schwerpunkten. Diese Bandbreite spiegelt 

sich in den Beiträgen zu den Tagungsthemen 

„Medien Vernetzen“ (2008) und „Zur Zukunft 

des Analysisunterrichts vor dem Hintergrund 

der Verfügbarkeit Neuer Medien (und Werkzeuge)“ 

(2009) wider. 

Darüber hinaus ist der Arbeitskreis ein dem 

fruchtbaren Austausch dienender Treffpunkt von 

an Mathematikunterricht und Informatik Interessierten 

aus Schule und Hochschule mit ihren unterschiedlichen 

persönlichen Zugängen zum Gebiet: 

pragmatisch konstruktiven, empirisch deskriptiven, 

theoretisch fundierenden, visionär weisenden, 

alltäglich gestaltenden. Auch diese Bandbreite 

spiegelt sich in den Beiträgen wider – mit 

jeweils eigener (Präsentations- und) Veröffentlichungskultur. 

Wir haben uns als Herausgeber entschlossen, 

diese Vielfalt hier in diesem Tagungsband 

wieder originalgetreu zu dokumentieren. 

Es gibt nicht zu allen Vorträgen der Tagungen 

auch einen Artikel in diesem Tagungsband. 

Gerade daher möchten wir all den hier versammelten 

Autorinnen und Autoren danken, die uns 

helfen, das breite Spektrum der Arbeitstagung für 

den Rest der Kommunität zugänglich und sichtbar 

zu machen. Ohne ihre tatkräftige und geduldige 

Unterstützung bei der Herstellung gäbe es diesen 

Tagungsband nicht. Wir hoffen, mit den Beiträgen 

einen Beitrag zur mathematikdidaktischen 

Diskussion um die Beziehung zwischen Informatik 

und Mathematikunterricht zu liefern und wünschen 

Ihnen, liebe Leserinnen und Leser, viel Anregung 

und Freude bei der Lektüre. 

3

Anselm Lambert, Saarbrücken und Ulrich Kortenkamp, Halle-Wittenberg 

4

Teil I 

Tagung 2008 

Medien vernetzen 

5

• „Medien vernetzen“ – Leitgedanken und -fragen 

Anselm Lambert, Saarbrücken, und Ulrich Kortenkamp, Schwäbisch Gmünd 

Medien vernetzen. Zwei Worte. Eine Aussage. Eine 

Frage? Eine Hoffnung? Eine Forderung? Eine 

Vision? Ein (?) Tagungsthema – unser Tagungsthema! 

Medien vernetzen. 

Medien vernetzen? Wen oder Was vernetzen 

Medien? Inhalte des Mathematikunterrichts, 

Methoden des Mathematikunterrichts, und/oder 

alte/neue Inhalte mit alten/neuen Methoden des 

Mathematikunterrichts? Lern- und Leistungssituationen? 

Vernetzen Medien gar Personen des 

Mathematikunterrichts mit- und untereinander: 

Lehrende und Lernende. Und auch Lernende über 

geeignete Methoden (welche?) mit Inhalten (welchen)? 

Können/sollten Sie dies? Seit wann vernetzen 

Medien? Weshalb vernetzen Medien? Von allein? 

Oder durch Lehrende? Oder durch die Lernenden 

selbst? Da ist auch eine andere Perspektive 

wichtig: Wer vernetzt Medien, macht Medien 

vernetzen – und warum? Können/sollten auch 

Medien Medien vernetzen? 

Genauere Blicke lohnen, dazu differenzieren 

wir Begriffe, um weiter zu fragen. Ein Vorschlag 

– der gerne hinter- und gegengefragt werden darf!: 

Medien und Werkzeuge wirken zwischen Mensch 

und Welt. Medien vermitteln Menschen Welt, speziell 

auch die oder bescheidener eine Welt der Mathematik. 

Werkzeuge lassen umgekehrt Menschen 

Einfluss auf die Welt nehmen. Medien und Werkzeuge 

sind damit zwei Gesichter einer Interaktion 

von Mensch und Welt, unterschieden durch ihre 

Interaktionsrichtung. 

(Nicht nur) Mathematische Gedanken bedürfen 

externer, isomorpher (was kann/soll das heißen 

müssen/dürfen?) Darstellungen zur Kommunikation. 

Mathematik, die nicht singulär in ihrem 

individuellen Entdecker oder je nach Standpunkt 

Erfinder bleiben soll, bedarf externer Darstellungen, 

die Sender und Empfänger verstehen 

(lernen), die diesen ein Wechselspiel symmetrischer 

Kommunikation ermöglichen. Auch zwischen 

Menschen und Computern?!? 

Wir nutzen im Unterricht Darstellungen, die 

helfen (mathematische) Welt(sicht) zu erfahren 

und zu erschließen. Schon immer verwenden 

Menschen dazu Handlungen (mit und ohne Werkzeugen), 

Zeichen und Symbole (die vereinbarten 

Regeln folgen) als Medien und nicht zuletzt gesprochene 

Sprache. Können wir letztere mitvernetzen? 

Zwangsläufig beeinflusst stets der uns zur 

Verfügung stehende Teil des denkbaren Universums 

aller Darstellungen, die Fragen welcher Mathematik 

wir uns zuwenden (können) und welche 

Mathematik wir interessant finden (wollen). 

Das Spektrum gewünschter Darstellungen sollte 

von Gegenstand, Zweck und Ziel abhängig 

sein und ist praktisch von den Möglichkeiten 

der vernetzten und vernetzenden Neuen Medien 

und Werkzeuge abhängig – was können diese 

leisten, was nicht? Welche (neuen?) Darstellungen 

schenken uns Computer und welche enthalten 

Sie uns (prinzipiell?) vor? Darstellungen 

eines mathematischen Sachverhaltes können enaktiv 

oder ikonisch oder symbolisch sein – können/sollten 

Medien dies vernetzen? Darstellungen 

eines mathematischen Sachverhaltes können 

formal-analytisch oder visuell-geometrisch oder 

konzeptuell-begrifflich sein – können/sollten Medien 

dies vernetzen? 

Darstellungen eines mathematischen Sachverhaltes 

können prädikativ oder funktional sein 

– können/sollten Medien dies vernetzen? Kurz: 

können/sollten wir versuchen bestimmten Kategorien 

und/oder Skalen didaktisch unterscheidbarer 

mathematischer Zugänge durch vernetzte 

und vernetzende Neue Medien und Werkzeuge 

gerecht(er?) zu werden. Können/wollen wir dazu 

immer/manchmal/nie Computer als Maschinen 

gewordene Mathematik sinnstiftend, sinntragend, 

sinnvoll nutzen/netzen? 

Wir laden Sie herzlich ein, diese, weitere, engere, 

andere Fragen und denkbare, mögliche, bescheidene 

oder euphorische Antwortversuche gemeinsam 

mit anders oder ähnlich denkenden an 

„Medien vernetzen“ Interessierten auf der diesjährigen 

Herbsttagung des AKMUI in der GDM auszutauschen, 

zu diskutieren, zu unterstützen oder 

zu bestreiten. 

7

Anselm Lambert, Saarbrücken, und Ulrich Kortenkamp, Schwäbisch Gmünd 

Vorträge der Tagung 2008 

8 

Niegemann, Helmut Lernen im Netz der Medien (Hauptvortrag) 

Greefrath, Gilbert Digitale Medien im Mathematikunterricht für unterschiedliche Zugänge 

nutzen – Erfahrungen aus der Lehrerbildung 

Monnerjahn, Rolf Vernetzung des Mathematikunterrichts (durch Mupad) mit Sinnund 

Kulturzusammenhängen 

Nestle, Fritz Mathe und WoW 

Hischer, Horst Was sind und was sollen Medien und Netze? – Eine didaktische Positionsbestimmung 

(Hauptvortrag) 

Kuntze, Sebastian Überzeugungen von Studierenden zum Computereinsatz im Mathematikunterricht 

und deren Weiterentwicklung in einer Lehrveranstaltung 

Vogel, Markus Mathematiklernen im Lehramtsstudium – Medien unterstützen, Medien 

verbinden 

El-Demerdash, Mohamed A Suggested Enrichment Program Using DGS in Developing Geometric 

Creativity 

Labs, Oliver Parameterisierte Kurven als Ortskurven von Geradenkonstruktionen 

in Cinderella 

Kratz, Henrik Warum ist der Einsatz neuer Medien so schwierig? 

Stepancik, Evelyn Medienvielfalt im Mathematikunterricht – Konzepte für eine „ideale“ 

Medien-Kombination im Mathematikunterricht 

Oldenburg, Reinhard Konstruktionsbegriffe für die dynamische Raumgeometrie (mit Andreas 

Göbel) 

Neveling, Rolf Neue Technologien und Aspekte ihrer Vernetzung im Rahmen curricularer 

Überlegungen (Hauptvortrag) 

Lehmann, Eberhard Vernetzen – eine fundamentale Idee für bessere Curricula – der 

Computer macht’s möglich 

Roth, Jürgen Mathematik rund um den Bagger – Medien vernetzen, Modellieren 

erleichtern

• Warum ist der Einsatz Neuer Medien so schwierig? 

Henrik Kratz, Oberursel 

Im hessischen Landesabitur kann zwischen Aufgaben gewählt werden, bei denen verschiedene Technologien 

(TR, GTR, CAS) zugelassen sind. Trotz einer prinzipiellen Aufgeschlossenheit gegenüber 

Neuen Medien setzt bisher nur ein sehr kleiner Teil der Mathematiklehrerinnen und -lehrer GTR 

oder CAS im Unterricht bzw. Abitur ein. Im Vortrag wird hinterfragt, warum das so ist und wie 

Mathematik-Kolleginnen und -kollegen an den Schulen dabei unterstützt werden können, ihre bisherigen 

Unterrichtskonzepte mit der Einführung digitaler Werkzeuge zu vernetzen. 

Abschließend wird diskutiert, welche Folgerungen sich für die Konstruktion von Abituraufgaben 

ergeben. Dabei wird auch die These der AG „Prüfungsaufgaben“ des AKMUI 2007 hinterfragt, dass 

„es in der Prüfungssituation nicht unbedingt der digitalen Werkzeuge“ zur Überprüfung mathematischer 

Kompetenzen bedarf. 

1 Auswertung eines 

Lehrerfragebogens zum Einsatz 

Neuer Medien 

Seit 2007 gibt es in Hessen ein Landesabitur in 

Mathematik, das drei Arten von digitalen Werkzeugen 

1 unterscheidet, die die Schülerinnen und 

Schüler im Abitur durchgängig verwenden dürfen: 

⊲ Taschenrechner (TR) 

⊲ Graphikfähiger Taschenrechner (GTR) 

⊲ Computer-Algebra-Systeme (CAS) 

Um einen Überblick zu bekommen, in welchem 

Umfang und in welcher Weise Neue Medien 

im Mathematikunterricht eingesetzt werden, wurden 

84 Lehrer aus dem Hochtaunus- und Wetteraukreis 

im Winter 06/07 befragt. Alle Befragten 

nutzten bisher mit ihren Klassen und Kursen kein 

handheld-Gerät sondern ausschließlich den Computerraum. 

⊲ Wie oft bin ich mit Klassen/Kursen insgesamt 

im Computerraum, um mit mathematischen 

Programmen zu arbeiten? (Angaben pro 

Halbjahr) 

Antwort Anzahl 

nie 22 

1 - 2 mal 30 

3 - 5 mal 11 

mehr als 5 mal 21 

⊲ Welche Programme setze ich dabei ein? 


Tabellenkalkulation 44 

Dynamische Geometrie 40 

Computeralgebrasysteme 26 

Sonstiges 16 

⊲ Welche Jahrgangsstufen wähle ich für den 

Computereinsatz aus? 


5 und 6 28 

7 und 8 42 

9 und 10 34 

Sek. II 29 

⊲ Ich würde neue Medien im Mathematikunterricht 

gerne öfters einsetzen, als ich es tue. 


ja 53 

nein 15 

vielleicht 16 

Die Antworten zeigen, dass die meisten Mathematiklehrerinnen 

und -lehrer zum Computereinsatz 

im Mathematikunterricht ein ambivalentes 

Verhältnis haben. Einerseits wird der Computer 

nur selten eingesetzt, andererseits wünscht 

sich die Mehrheit einen intensiveren Einsatz. Das 

Potenzial des Computers wird offensichtlich erkannt. 

Ergänzend wurde gefragt, welche Gründe 

aus Sicht der Lehrer gegen den Computereinsatz 

im Mathematikunterricht sprechen? Die folgenden 

Gründe wurden jeweils 5 mal oder öfter genannt: 

⊲ äußere bzw. organisatorische Gründe 

◦ Zu viele Schüler pro Klasse / Kurs 

◦ Fehlende technische Voraussetzungen (zu 

wenig Computer, defekte Geräte) 

◦ Unterschiedliche Voraussetzungen der Schüler 

◦ Probleme der Organisation (Raumbelegung) 

⊲ Inhaltliche Gründe 

◦ Zu großer Zeitbedarf / Lehrplanfülle (18mal) 

◦ Schüler könnten es als Spielerei betrachten 

◦ Rechentechniken und Konstruktionen müssen 

geübt werden 

◦ Kein Erfassen mathematischer Inhalte 

1 Die Begriffe „Neue Medien“ und „digitale Werkzeuge“ werden in diesem Beitrag weitgehend synonym verwendet. 

9


Ein Teil der Gründe bezieht sich auf äußere 

bzw. organisatorische Schwierigkeiten, die den 

Computereinsatz im Unterrichtsalltag behindern. 

Daneben gibt es einen zweiten Typ von Gründen, 

die stärker inhaltliche Vorbehalte der befragten 

Lehrerinnen und Lehrer gegenüber dem Computereinsatz 

zum Ausdruck bringen. Insbesondere 

wird deutlich, dass viele Lehrerinnen und Lehrer 

den Computer eher als zusätzliche Visualisierungsmöglichkeit 

oder Unterstützung für besondere 

Projekte sehen, aber nicht als zentrales Hilfsmittel 

zum Erreichen ihrer Unterrichtsziele. In den 

Augen vieler Kolleginnen und Kollegen trägt der 

Computereinsatz auch nicht zu einer Entlastung 

z.B. von Rechenroutinen bei, sondern führt eher 

zu einem erhöhten Zeitbedarf. Dies ist mit der Befürchtung 

verbunden, dass die entsprechende Zeit 

zum Üben von Rechentechniken oder Konstruktionen 

fehlt. 

Die Verteilung der drei Technologien im hessischen 

Landesabitur der beiden ersten Jahre spiegelt 

die Vorbehalte der Mathematiklehrerinnen 

und -lehrer wider: 

2007 2008 

TR 95,9% 94,7% 

GTR 1,4% 2,5% 

CAS 2,7% 2,8% 

Da der Vorlauf zum ersten Landesabitur- 

Durchgang im Jahr 2007 sehr kurz war, ist davon 

auszugehen, dass die GTR- und CAS-Anteile 

dieses Jahres von Lehrerinnen und Lehrern stammen, 

die bereits vorher in ihrem Unterricht diese 

Werkzeuge eingesetzt haben. Dagegen kann die 

Zunahme im Jahr 2008 als erste Reaktion auf die 

Möglichkeit des Technologieeinsatzes im Abitur 

gesehen werden. Es steht allerdings zu befürchten, 

dass es bei den gegenwärtigen Rahmenbedingungen 

in den nächsten Jahren in Hessen bei einer 

ähnlich geringen Zunahme bleiben wird: Im Rahmen 

von Fortbildungen zum Landesabitur, die der 

Autor betreut hat, bekundeten nur etwa 4 von 50 

Schulen die Absicht, in den nächsten Jahren GTR 

oder CAS einführen zu wollen. 

2 Balance zwischen klassischen und 

digitalen Werkzeugen 

Angesichts der Ergebnisse des Fragebogens stellt 

sich folgende Frage: Warum sind Lehrerinnen und 

Lehrer trotz ihrer prinzipiellen Aufgeschlossenheit 

gegenüber digitalen Medien so zurückhaltend 

in der Einführung von GTR oder CAS? Ein Kernproblem 

sieht der Autor darin, dass das Potenzial 

von GTR bzw. CAS eine grundlegend neue Balance 

zwischen den drei Werkzeugbereichen verlangt, 

mit denen Mathematik betrieben wird: 

10 

1. im Kopf 

2. mit Papier und Bleistift, Zeichengeräten, 

Steckbrettern etc. (klassischer Werkzeugbereich) 

3. mit digitalen Werkzeugen (TR, GTR, CAS, 

Tabellenkalkulation, Dynamische Geometrie 

etc.) 

Im Bereich des Taschenrechnereinsatzes haben 

sich in den letzten Jahrzehnten bereits Vorstellungen 

von einer Balance zwischen diesem Werkzeug 

und Kopf- bzw. Papier- und Bleistiftrechnungen 

herausgebildet, die von der großen Mehrheit 

der Lehrerinnen und Lehrer geteilt werden. Nach 

den Erfahrungen des Autors ist es beispielsweise 

fast allen Mathematiklehrerinnen und -lehrern ein 

Gräuel, wenn Schüler für die Aufgabe „Berechne 

75% von 80 Euro“ zum Taschenrechner greifen, 

da diese Aufgabe viel angemessener durch eine 

Aktivierung von Grundvorstellungen der Prozentrechnung 

gelöst werden kann. Andererseits wünschen 

sie sich, dass ihre Schülerinnen und Schüler 

erkennen, dass die Mehrwertsteuerberechnung eines 

krummen Betrags, etwa „Berechne 19% von 

328,49 Euro“ sinnvoller mit dem Taschenrechner 

durchgeführt werden kann. Um alle Werkzeugbereiche 

gleichermaßen zu trainieren, wechseln erfahrene 

Lehrkräfte deshalb gezielt zwischen Phasen, 

in denen TR verwendet werden dürfen und 

Phasen, in denen TR nicht verwendet werden dürfen, 

das heißt Lehrkräfte führen bewusst eine Regie 

des Ein- und Ausblendens des Mediums TR. 

Dies betrifft auch Prüfungssituationen. Beispielsweise 

werden in einer Klassenarbeit zur Potenzrechnung 

Aufgaben gestellt, bei denen die Schülerinnen 

und Schüler Zwischenschritte notieren sollen. 

Dadurch sollen sie dokumentieren, dass sie 

einen Term mit Hilfe der Potenzgesetze vereinfachen 

können und nicht nur in den TR eingegeben 

haben, etwa: Berechne 2 6 · 5 6 . 

Die zentrale These des Autors lautet nun: 

These 1. Sowohl bei den Lehrkräften als auch 

in der Mathematik-Didaktik herrscht noch keine 

ausreichende Klarheit darüber, wie eine stimmige 

Vernetzung und Balance der Werkzeugbereiche 

im Unterricht und in Prüfungen erreicht werden 

kann, wenn nicht nur der TR sondern stärkere digitale 

Werkzeuge wie GTR oder CAS zur Verfügung 

stehen. 

Im Folgenden soll aufgezeigt werden, wie 

die verschiedenen Werkzeugbereiche im Mathematikunterricht 

ineinander greifen und welche 

Werkzeugverwendung jeweils am Ende eines bestimmten 

Lernprozesses angestrebt wird. Dies soll 

anhand von Standardsituationen geschehen, das 

heißt anhand von Lernprozessen, die auf Basiskompetenzen 

zielen. 

Beispiel 1. Einführung einer neuen Funktions-

klasse (quadratische Funktionen) 

Nachdem anhand eines Anwendungskontexts motiviert 

wurde, warum es interessant ist, die neue 

Funktionsklasse zu untersuchen, sollten folgende 

Schritte durchlaufen werden 2 : 

1. Schülerinnen und Schüler zeichnen die Normalparabel 

per Hand mit Hilfe einer selbst 

erstellten Wertetabelle. Dies ist ein wichtiger 

Schritt, um den Einfluss des Funktionsterms 

auf die Grundform der Funktion zu erfassen. 

Insbesondere wird die Covariation der Funktion 

numerisch begriffen: Wie ändert sich der 

Funktionswert, wenn ich den x-Wert um 1 erhöhe? 

2. Der Einfluss von Parametern auf die Lage der 

Funktion wird durch das Plotten unterschiedlicher 

Funktionen mit GTR, CAS oder DGS experimentell 

untersucht und systematisiert. 

3. Schülerinnen und Schüler formulieren allgemein, 

wie Parameter den Funktionsverlauf beeinflussen. 

4. Schülerinnen und Schüler können Lage und 

Form von Parabeln im Kopf bestimmen. 

Innerhalb des Lernprozesses werden in diesem 

Fall Denkoperationen zunächst medial unterstützt, 

das Ziel des Lernprozesses besteht aber darin, dass 

sich die Schülerinnen und Schüler wieder von den 

Medien, insbesondere vom digitalen Werkzeug lösen. 

Für den Lehrer ergibt sich in Klassenarbeiten, 

in denen GTR oder CAS zugelassen sind, die 

Schwierigkeit, dass die entsprechende Basiskompetenz 

(„Gib an, ob die Parabel y = 0,5(x−3) 2 + 

7 nach oben oder unten geöffnet ist und bestimme 

die Lage des Scheitelpunkts.“) nicht mehr valide 

überprüft werden kann, da die Schülerinnen und 

Schüler die Aufgabe durch Plotten des Graphen 

lösen können. 

Beispiel 2. Lösen linearer Gleichungssysteme mit 

mehreren Unbekannten 

1. Schülerinnen und Schüler lösen LGS in Stufenform 

und einfache 3x3-Systeme durch Gauß- 

Verfahren per Hand. Dadurch wird das Grundprinzip 

des Gauß-Verfahrens erfasst. Gleichzeitig 

wird transparent, warum unterschiedliche 

Lösungsfälle auftreten und wie diese sinnvoll 

notiert werden. 

2. Die Lösung von LGS mit GTR oder CAS wird 

eingeführt. Schülerinnen und Schüler vergleichen 

die Darstellung der Lösungsfälle durch 

das digitale Werkzeug mit der vorherigen Notation. 

3. Schülerinnen und Schüler sind in der Lage a) 

einfache Systeme als solche zu erkennen und 

Warum ist der Einsatz Neuer Medien so schwierig? 

schnell mit Papier und Bleistift zu lösen b) 

komplexere Systeme mit digitalem Werkzeug 

zu lösen. 

In diesem Fall zielt der Lernprozess darauf, dass 

die Schülerinnen und Schüler selbst entscheiden 

können, welches Werkzeug sie zur Lösung eines 

bestimmten LGS sinnvollerweise verwenden. Angestrebt 

wird also ein paralleles Lösen per Hand 

und mit digitalem Werkzeug 3 . 

Beispiel 3. Grenzwerte 

Aufgabe: Bestimme den Grenzwert der Folge: 

an = e −2n · (n 2 + 3n) 

Im Gegensatz zu den beiden obigen Beispielen 

ist es bei der Bestimmung von Grenzwerten nicht 

sinnvoll, eine bestimmte Schrittfolge des Werkzeugeinsatzes 

für die Erarbeitung festzulegen. 

Möglich wäre, dass die Schülerinnen und Schüler 

zunächst die Teilterme der Folge graphisch oder 

numerisch darstellen und dadurch zu einer Vermutung 

gelangen, welchen Grenzwert die Folge 

annimmt. Die Vermutung kann dann mit Hilfe eines 

CAS überprüft werden. Aber auch andere Wege 

sind denkbar, etwa der umgekehrte Weg: Die 

Schülerinnen und Schüler bestimmen den Grenzwert 

zunächst mit Hilfe von CAS und begründen 

anschließend durch eine analytische Betrachtung 

der Bestandteile des Terms, warum die Folge 

diesen Grenzwert annimmt. Insgesamt sollte 

der Lernprozess darauf zielen, dass die Schülerinnen 

und Schüler alle drei Werkzeugbereiche in einem 

flexiblen Zusammenspiel verwenden können. 

Aufgaben in Prüfungssituationen sollten auf dieses 

Zusammenspiel zielen und dürfen sich nicht 

darauf beschränken, dass ein Grenzwert mit Hilfe 

eines CAS bestimmt wird. 

Beispiel 4. Binomialverteilungen 

Nachdem Binomialverteilungen im Unterricht erarbeitet 

wurden, sollten Schülerinnen und Schüler 

diese in weiteren Anwendungen routinemäßig nur 

noch mit GTR oder CAS berechnen. Dies führt 

ungleich schneller und sicherer zum Ergebnis als 

eine Berechung mit TR. Gegenüber der Verwendung 

von fertigen Tabellen besteht der Vorteil, 

dass Ablesefehler vermieden werden und beliebige 

Wahrscheinlichkeiten und Kettenlängen möglich 

sind. Ziel des Unterrichts ist hier also die ausschließliche 

Verwendung des digitalen Werkzeugs. 

Trotzdem kann in einer Klausur eine verstehensorientierte 

Aufgabe darin bestehen, Binomialverteilungen 

in Termform zu notieren und deren Bedeutung 

zu erläutern. 

2Die Schritte sollten nicht im Sinne eines strengen Rezepts verstanden werden, selbstverständlich sind Variationen dieser Abfolge 

denkbar. 

3Ein ähnliches Vorgehen schlägt Eberhard Lehmann im Rahmen seiner Unterscheidung von black-box, grey-box und white-box vor 

Lehmann [2007]. 

11


Graphische 

und numerische 

Darstellung 

der Folge 

Die Beispiele zeigen: Es hängt stark vom jeweiligen 

Kontext ab, welches Ineinandergreifen 

der verschiedenen Werkzeugbereiche sinnvoll ist. 

Dies gilt sowohl für den Erarbeitungsprozess als 

auch für den anschließenden routinemäßigen Einsatz 

einer Basiskompetenz. 

Dementsprechend sollten Konzepte zum Einsatz 

des GTR und CAS im Mathematikunterricht 

⊲ weniger auf den völligen Ersatz der klassischen 

Werkzeugbereiche durch GTR oder CAS zielen, 

sondern 

⊲ stärker auf die stimmige Vernetzung und Balance 

der drei Werkzeugbereiche (Kopf, Papier- 

Bleistift, digitale Werkzeuge) achten 

Inhaltliche Kompetenzen versus 

Bedienungskompetenzen 

In Prüfungssituationen, in denen GTR oder CAS 

als Werkzeuge zugelassen sind, entsteht die 

grundlegende Schwierigkeit, wie inhaltliche mathematische 

Kompetenzen von Bedienungskompetenzen 

abgegrenzt werden können. Die LK- 

Analysis-Aufgabe A1 (GTR) aus dem hessischen 

Landesabitur 2008 lautete: 

Aufgabe. 4. Begründen Sie, dass f1 für x > 0 eine 

Umkehrfunktionen y1 besitzt. 

f1(x) = 1 

2 (ex − e −x − 2) 

Die folgenden Bearbeitungen stammen von 2 

Schülerinnen aus dem Mathematik LK des Autors. 

Die erste Argumentation ist inhaltlich orientiert, 

allerdings enthält die erste Ableitung einen 

Vorzeichenfehler. Dagegen stützt sich die zweite 

Lösung im Wesentlichen auf die Bedienungskompetenz 

der Schülerin, wobei der Einsatz des GTR 

durch Angabe des verwendeten Befehls und eine 

Skizze des Plots korrekt dokumentiert ist. Der 

Vergleich wirft Fragen auf: Ist das Plotten der Umkehrfunktion 

als Begründung für deren Existenz 

12 

Berechnung 

des Grenzwerts 

mit CAS 

Abbildung 3.1: Zusammenspiel aller Werkzeugbereiche 

Analytische 

Betrachtung 

des Terms 

ausreichend? Wie bewertet man die beiden Lösungen 

in Relation zueinander? 

Abbildung 3.2: Schülerlösung 1 

Abbildung 3.3: Schülerlösung 2 

Zusammenfassend soll im Sinn einer These 

festgestellt werden: 

These 2. Ein wesentlicher Grund für die Skepsis 

(hessischer) Lehrer gegenüber der Einführung 

von GTR oder CAS resultiert daraus, dass Abiturprüfungen, 

in denen diese Werkzeuge als durchgängige 

Hilfsmittel zugelassen sind, nicht die im 

Unterricht notwendige Balance zwischen den drei 

Werkzeugbereichen widerspiegeln. 

Für Lehrkräfte, die bisher im Unterricht nur 

den TR eingesetzt haben, entsteht eine hohe psychologische 

Hürde bei der Entscheidung für GTR 

oder CAS, wenn sie Schwerpunktsetzungen ihres 

bisherigen Unterrichts im Abitur nicht angemessen 

wieder finden. Dies wird verstärkt, wenn alle 

Abituraufgaben so konstruiert sind, dass die Lösung 

nur noch mit GTR oder CAS möglich ist.

Vor dem Hintergrund dieser Problematik hat sich 

im Rahmen der AKMUI Tagung des Jahres 2007 

eine AG Prüfungsaufgaben gebildet, die sich mit 

der Frage auseinandersetzte, ob es möglich ist, 

in (Abitur-) Prüfungen auf digitale Werkzeuge zu 

verzichten. Die AG bündelt ihre Überlegungen in 

folgender These: 

These 3. Zur Überprüfung von mathematischen 

Kompetenzen, die im Unterricht mit digitalen 

Werkzeugen erworben wurden, bedarf es in der 

Prüfungssituation nicht unbedingt der digitalen 

Werkzeuge. [Greefrath et al., 2008] 

Im Anschluss stellt die AG Abituraufgaben 

vor, die ohne digitale Werkzeuge bearbeitet werden 

können, aber einen Unterricht mit CAS, 

Tabellenkalkulation und dynamischer Geometrie 

herausfordern. Gleichzeitig weist die AG auf ungünstige 

Konsequenzen hin, die sich aus einer 

Entscheidung gegen digitale Werkzeuge in Prüfungen 

ergeben würden: 

These 4. Werden digitale Medien nur für den Unterricht, 

aber nicht für die Prüfung zugelassen, so 

wird auch ihr systematischer Einsatz im Unterricht 

sowie die dazu notwendige fachliche Diskussion 

in Fachkonferenzen gehemmt. (ebd.) 

Ergänzend sollen hier weitere Argumente angeführt 

werden, die aus Sicht des Autors gegen 

den Verzicht auf digitale Werkzeuge in Abiturprüfungen 

sprechen: 

⊲ Fähigkeiten der Schülerinnen und Schüler werden 

nur unzureichend erfasst, denn deren Kompetenzen 

zeigen sich gerade darin, wie sie Aufgaben 

mit Werkzeugen (Geodreieck, . . . , CAS) 

bewältigen können. 

⊲ Abiturprüfungen werden nicht gerechter, da 

mathematische Kompetenzen und Werkzeugkompetenzen 

miteinander verwoben sind. 

Diese Gegenargumente sollen mit der folgenden 

Aufgabe zur fundamentalen Idee Approximation 

illustriert werden, die ohne digitale Werkzeuge 

zu bearbeiten ist. 

Aufgabe. Gegeben sind 4 Punkte, die durch eine 

quadratische Funktion angenähert werden sollen: 

A(0|0), B(1,2|0,4), C(2,3|1,6), D(3,1|5,4) 

Welche der folgenden quadratischen Funktionen 

(Abb. 3.4) nähert sich am besten an die Punkte 

an, welche am schlechtesten? Begründen Sie Ihre 

Wahl. 

Der Autor hat diese Aufgabe einer 10. Klasse 

vorgelegt, die Regression im Unterricht noch nicht 

kennen gelernt hat. Auf die Frage, welche Annäherung 

am besten ist, wählten von den 28 Schülerinnen 

und Schüler der Klasse 17 mal die erste, 

1 mal die zweite, 6 mal die dritte und 4 mal die 

vierte. 


Schülerinnen und Schüler, die Funktion 1 

wählten, begründeten ihre Entscheidung in der 

Regel damit, dass der Graph drei der vorgegebenen 

Punkte trifft und der vierte Punkt noch verhältnismäßig 

nahe am Graphen liegt - im Gegensatz 

zu Funktion 4. Die 6 Schülerinnen und 

Schüler, die Funktion 3 gewählt hatten, beschrieben 

diese Funktion zum Beispiel als „guten Kompromiss“, 

weil der Graph von keinem Punkt sehr 

weit entfernt ist. Sie verwendeten also Argumente, 

die dem Verfahren der Regression qualitativ nahe 

kommen. 

Auf die Frage, welche Annäherung am 

schlechtesten ist, wählten jeweils 8 die zweite und 

vierte, 12 die dritte und niemand die erste. Die 

Ablehnung von Funktion 3 wurde in erster Linie 

damit begründet, dass der Graph keinen der vorgegebenen 

Punkte enthält und der Scheitelpunkt 

deutlich unterhalb der x-Achse liegt. 

Insgesamt lässt sich festhalten: Primäre Schülervorstellungen 

darüber, wann eine Funktion eine 

gute Annäherung an vorgegebene Punkte darstellt, 

sind stark gestaltpsychologisch orientiert. Durch 

die Behandlung der Regression im Unterricht, etwa 

mit Hilfe einer Tabellenkalkulation oder eines 

CAS, ändern sich diese Vorstellungen dramatisch. 

Es ist zu erwarten, dass die meisten Schülerinnen 

und Schüler sich dann für Funktion 3 als beste Annäherung 

entscheiden, auch wenn sie kein digitales 

Werkzeug zu Verfügung haben, um eine Regression 

tatsächlich durchzuführen. Die Vorstellung, 

dass und wie ein solches Werkzeug verwendet 

werden kann, reicht aus, um die Entscheidung 

zu begründen. 

Fazit: 

⊲ Die Auffassung davon, was eine „gute Approximation“ 

ist, ändert sich in einem Unterricht mit 

digitalen Werkzeugen dramatisch. 

⊲ Auch der nur vorgestellte Werkzeuggebrauch 

verändert die Wahrnehmung von Mathematik 

und damit die Bearbeitung von Aufgaben. 

⊲ Mathematische Kompetenzen sind unlösbar mit 

dem Gebrauch von Werkzeugen und Medien 

verbunden. 

In der Diskussion im Anschluss an den Vortrag 

hat Gilbert Greefrath angemerkt, dass die 

obige Aufgabe das Anliegen der AG Prüfungsaufgaben 

des AKMUI 2007 sogar unterstreicht. 

Sie lässt sich ohne digitale Werkzeuge bearbeiten, 

fordert aber einen Unterricht mit digitalen Werkzeugen 

heraus. Das ist sicherlich richtig. Allerdings 

ist die Aufgabe für Schülerinnen und Schüler, 

die Regression im Unterricht nicht kennen gelernt 

haben, in einer Prüfungssituation praktisch 

nicht mehr zu bewältigen bzw. führt lediglich dazu, 

dass sie ihre intuitiven Vorstellungen formulieren. 

Die mathematische Kompetenz, auf die die 

Aufgabe zielt, kann überhaupt nur in einem Unter- 

13


(1) 

(3) 

1 1 2 

2 

(2) 

1 1 2 

2 

(4) 

3 3 4 

4 

3 3 4 

4 

Abbildung 3.4: Verschiedene quadratische Funktionen in einer Aufgabe zur Approximation 

richt mit digitalen Werkzeugen erworben werden. 

Das bedeutet: Selbst wenn im Abitur keine digitalen 

Werkzeuge zugelassen sind, müsste ein Teil 

der Aufgaben nach der vorher von den Schülerinnen 

und Schülern verwendeten Technologie unterschieden 

werden. 

Abschließende Thesen 

⊲ Der Einsatz digitaler Werkzeuge in zentralen 

(Abitur-) Prüfungen ist unbedingt anzustreben, 

wenn digitale Werkzeuge Teil der Unterrichtskultur 

werden sollen. 

⊲ Um die Balance zwischen den Werkzeugbereichen 

abzubilden, die auch im Unterricht erforderlich 

ist, sollte das Abitur geteilt sein (Sachsener 

Modell) 

◦ erster Teil: ohne digitale Werkzeuge (auch 

ohne TR) 

◦ zweiter Teil: unter Einsatz digitaler Werkzeuge, 

die nach Typen gestuft sind. 

Der Anteil des werkzeugfreien Teils beträgt in 

den Beispielaufgaben 4 für das Sachsener Zentralabitur 

25% . Um der Vielfalt der im Unterricht 

eingesetzten Werkzeuge gerecht zu werden, 

sollte dieser Anteil nach Ansicht des Autors 

sogar 50% betragen. 

Wie können Lehrkräfte bei der Einführung 

digitaler Werkzeuge unterstützt werden? Fortbildungen 

im Bereich digitaler Werkzeuge sollten 

drei Aspekte erfassen: 

1. Wie bedient man das Werkzeug? 

14 

4 http://www.sachsen-macht-schule.de/schule/6247.htm (letzter Zugriff: 13.10.2008) 

2. In welcher Weise unterstützt das Werkzeug den 

Zugang zu mathematischen Inhalten? 

3. In welchem Verhältnis sollen die Verwendung 

des Werkzeugs und Kopfmathematik bzw. das 

Arbeiten mit Papier- und Bleistift zueinander 

stehen? 

Die meisten Fortbildungen konzentrieren sich 

auf den ersten und zweiten Aspekt, der dritte 

Aspekt wird leider oft vernachlässigt. 

Sofern Bundesländer an einem detaillierten inhaltlichen 

Lehrplan festhalten, ist es notwendig, 

neben dem TR-Curriculum, ein GTR- bzw. CAS- 

Curriculum zu entwickeln, das auf bestimmte Kalkülinhalte 

verzichtet (z.B. Polynomdivision, Näherungsformeln 

für die Binomialverteilung etc.) 

und technologieaffine Inhalte verbindlich vorgibt 

(z.B. Verfahren zur Regression / Approximation 

von Funktionen, Simulationen etc.). 

Nach Ansicht des Autors ist für viele Kollegien 

der GTR als Zwischenstufe zurzeit deutlich 

sinnvoller als ein CAS oder ein hochvernetztes 

Werkzeug, das CAS, Tabellenkalkulation und dynamische 

Geometrie verbindet, wie etwa der TI- 

Nspire. Der GTR 

⊲ erlaubt „im Kleinen“ die Entwicklung einer 

neuen Balance der Werkzeugbereiche, der 

große Konflikt Computeralgebra vs. händische 

Algebra wird weitgehend ausgespart. 

⊲ vermeidet Überforderung von Kolleginnen und 

Kollegen, die noch „auf Kriegsfuß“ mit dem

Technologieeinsatz im Mathematikunterricht 

stehen. Dies ist besonders wichtig, da die Fachschaft 

einer Schule in der Regel eine einheitliche 

Entscheidung zum Technologieeinsatz 

treffen muss, damit Schülerinnen und Schüler 

Klassen und Kurse problemlos wiederholen 

oder wechseln können. 

⊲ eröffnet bereist wesentliche neue Unterrichtsmöglichkeiten 

(z.B. den Wechsel der Darstellungsebenen) 

Das hessische Kultusministerium hat im Frühsommer 

2008 überlegt, auf das Angebot von 

GTR-Aufgaben im Landesabitur zu verzichten. 

Diese Überlegung ist sicherlich verständlich, 

wenn man sich vor Augen führt, welche Vielzahl 

verschiedener Abituraufgaben durch die Technologieunterscheidung 

erstellt werden müssen. Vor 

dem Hintergrund der obigen Überlegungen ist davon 

aber abzuraten, wenn der Technologieeinsatz 

so gefördert werden soll, dass die Kollegien Zeit 

zur Entwicklung einer neuen Balance der Werkzeugbereiche 

erhalten sollen. 


Vorschlag für Hessen 

Für Hessen bzw. Bundesländer in einer vergleichbaren 

Situation schlägt der Autor vor: 

⊲ verpflichtende Einführung des GTR ab Klasse 7 

oder 8, Projektschulen können schon CAS wählen 

(wie in Baden-Württemberg) 

⊲ entsprechende Übergangsphase, in denen im 

Abitur zwischen allen drei Technologien (TR, 

GTR, CAS) gewählt werden kann 

◦ danach: Wahl zwischen GTR und CAS im 

Abitur 

◦ erst sehr langfristig: verpflichtender Einsatz 

von CAS oder vernetzten Werkzeugen wie 

dem TI-Nspire 

Literatur 

Greefrath, Gilbert, Timo Leuders & Andreas Pallack (2008): 

Gute Abituraufgaben – (ob) mit oder ohne Neue Medien. 

MNU, 61(2), 80–83. 

Lehmann, Eberhard (2007): Nachhaltige CAS-Konzepte für 

den Unterricht. Leh-Soft. 

15


16

• Medien und Vernetzungen – eine didaktische 

Positionsbestimmung 

Horst Hischer, Saarbrücken 

Über „Medien“ und „Netze“, insbesondere über „Vernetzung“, wird allenthalben in Politik, Presse 

und Wissenschaft diskutiert und geschrieben. „Medien“ spielen in den Bildungswissenschaften – 

und hier vornehmlich in der medienpädagogischen Forschung – eine wichtige Rolle; auch in der Mathematikdidaktik 

werden sie angesprochen, wenn auch meist nicht in der ihnen gebührenden Rolle 

eines Fachbegriffs, sondern dann eher in der eines „selbstredenden“ Alltagsbegriffs. Für den Terminus 

„Vernetzen“ gilt Ähnliches: Er erfreut sich zwar zunehmender Beliebtheit bei der Beschreibung 

von Unterrichtszielen und Bildungskonzepten – auch in der Mathematikdidaktik, jedoch scheint er 

wegen fehlender inhaltlicher Analyse fachlich nicht definitionswürdig zu sein und also (noch?) nicht 

die Rolle eines für diese Disziplin wichtigen fachwissenschaftlichen Begriffs zu spielen. 

In diesem Beitrag wird zunächst der Versuch einer Klärung bzw. Sammlung bereits vorliegender 

pädagogisch bzw. didaktisch orientierter fachwissenschaftlicher Begriffsinterpretationen (insbesondere: 

„Medium“) bzw. auch „alltagsüblicher“ Deutungen, Bedeutungen und Verwendungszusammenhänge 

(vor allem: „Netz“ und „vernetzen“) vorgenommen, um daraus zu für den 

(mathematik-)didaktischen Kontext zweckmäßigen Begriffsbestimmungen zu gelangen und diese 

zur Diskussion zu stellen. 

1 Vorbemerkung 

Dies ist die komprimierte Fassung eines am 

26.09.2008 gehaltenen Vortrags zum vieldeutigen 

Tagungsthema „Medien vernetzen“. Dieses 

Tagungsthema war geradezu eine Aufforderung 

zur Klärung seiner Konstituenten im pädagogischdidaktischen 

Kontext. 

Im Vortrag wurde daher eine Sammlung sowohl 

„alltagsüblicher“ Deutungen, Bedeutungen 

und Verwendungszusammenhänge (vor allem: 

„Netz“, „Vernetzen“ und „Vernetzungen“) als 

auch vielfältiger fachwissenschaftlicher Interpretationen 

(vor allem: „Medium“) vorgestellt. Darauf 

gründeten sich Definitionsvorschläge für „Medium“, 

„Netz“ und „Vernetzung“ im pädagogischdidaktischen 

Kontext mit dem Ziel von Begriffsbestimmungen 

wie z. B. „vernetzender Unterricht“. 

Eine sowohl weitreichendere als auch detailliertere 

Ausarbeitung der Vortragsfassung erschien 

mittlerweile als Buch [Hischer, 2010]. 

2 Medien 

Zum Thema „Medien“ kann für den pädagogischdidaktischen 

Kontext bereits auf eine reichhaltige 

Literatur zurückgegriffen werden, die allerdings 

aus der fachspezifischen Sichtweise und Sozialisation 

der Mathematik und ihrer Didaktik nicht 

für jedermann stets leicht zugängig wirken mag. 

Daher wurde der Versuch einer Synopse mit der 

Konzentration auf Wesentliches und der Strukturierung 

in neuer Sichtweise unternommen, wobei 

sich der mit der Bezeichnung „Medium“ verbundene 

Begriff bereits in diesem Kontext überraschenderweise 

als sehr weit reichend erweist, beschreibbar 

durch folgende Aspekte: Medien begegnen 

uns sowohl in einer „engen Auffassung“ 

(u. a. als sog. technische Medien) als auch in einer 

„weiten Auffassung“ (Medien als Vermittler von 

Kultur, als dargestellte Kultur, als Werkzeuge oder 

Hilfsmittel zur Weltaneignung, als künstliche Sinnesorgane 

und als Umgebungen bei Handlungen). 

Zusammenfassend bedeutet das: In und mit 

Medien setzt der lernende und erkennende 

Mensch seine Welt und sich selbst in Szene. Damit 

kann z. B. die oft nebulös verwendete Bezeichnung 

„Lernumgebung“ sinnvoll als ein Medium 

gedeutet werden. 

3 Netz, Vernetzen? 

Der Terminus „Vernetzen“ erfreut sich großer Beliebtheit 

bei der Beschreibung von Unterrichtszielen 

und Bildungskonzepten (auch in der Mathematikdidaktik), 

spielt aber wegen bisher fehlender 

inhaltlicher Analyse (noch?) nicht die Rolle eines 

für diese Disziplin wichtigen fachwissenschaftlichen 

Terminus, weil er nicht eindeutig und nicht 

einheitlich verwendet wird. Ein Brainstorming liefert 

eine große Fülle des „naiven“ Bedeutungsumfangs 

von „Netz“, die sich z. B. zu folgender Liste 

verdichten lässt: 

Ein Netz – . . . dient dem Fangen und Einfangen, 

aber auch dem Trennen – . . . stellt Zusammengehörigkeit 

her – . . . dient der Verbindung – . . . gibt 

(als Geflecht) Menschen Sicherheit – . . . schützt 

Menschen oder Dinge gegen äußere Angriffe bzw. 

Feinde – . . . hält Menschen oder Dinge zusammen 

im Sinne von „Sammeln“ – . . . verbindet Menschen, 

Dinge oder Begriffe – . . . kann sowohl undurchdringlich 

als auch durchlässig sein – . . . hat 

Maschen und Knoten – . . . ist wegen der Maschen 

(für hinreichend kleine Objekte) nicht dicht – . . . 

ist (im Gegensatz zu einem Gitter) flexibel und 

meist leicht – . . . zeigt einerseits Zusammenhänge 

auf und – . . . dient andererseits über das Verbinden 

dem Herstellen von Zusammenhängen – 

17


. . . vermag „andere“ über seinen „Inhalt“ zu täuschen. 

Dem „Vernetzen“ liegt etymologisch das „Netz“ 

zugrunde. Eine Analyse der o. g. Liste führt 

zu einer Begriffsbestimmung von „Netz im 

pädagogisch-didaktischen Kontext“, die ein Zusammenspiel 

von drei Trägermengen beschreibt, 

nämlich: Bestandteile, Benutzer und Betrachter. 

Das sei kurz erläutert: 

Ein materielles Netz wie beispielsweise ein Fischernetz 

kann als maschenartiges Gebilde aufgefasst 

werden, das aus Kanten und Knoten zu bestehen 

scheint. Betrachten wir z. B. in der Mathematik 

Definitionen, Sätze, Beispiele usw. als Knoten 

und Zusammenhänge bzw. Beziehungen zwischen 

diesen als Kanten, so liegt es nahe, diese in ihrer 

Gesamtheit als Bestandteile eines abstrakten Netzes 

aufzufassen. Allerdings ist ein solches „Netz“ 

für sich genommen im pädagogisch-didaktischen 

Kontext uninteressant, weil es dort nämlich um 

Menschen geht, die damit umgehen, etwa um die 

Schülerinnen und Schüler, die als Benutzer des 

Netzes gewissermaßen dessen Inhalt bilden und 

sich durchaus in den Maschen dieses Netzes „verfangen“ 

können. Dieser Prozess der Netzbenutzung 

wird ferner meist von „außerhalb“ durch 

Betrachter wahrgenommen und ggf. von diesen 

gesteuert, etwa durch die Lehrerinnen und Lehrer. 

Die sich darauf gründende Definition für „Netz 

im pädagogisch-didaktischen Kontext“ basiert auf 

drei nachfolgend angedeuteten Aspektgruppen: 

Ein Netz (im pädagogisch-didaktischen Kontext) 

ist eine strukturierte Zusammenfassung von Bestandteilen, 

Benutzern und Betrachtern, durch die 

Zwecke, Handlungen und Zustände beschrieben 

werden: 

Zweck-Aspekte eines Netzes in Bezug auf 

Bestandteile: Aufzeigen bzw. Herstellen von 

Verbindungen bzw. Zusammenhängen gedachter 

bzw. dinglicher Objekte 

Benutzer: deren Sammeln, Zusammenhalten 

und Gewährung von Schutz bzw. Sicherheit 

durch die Bestandteile 

Betrachter: Beeinflussung von deren Wahrnehmung 

der Benutzer (durch Beschönigen, Täuschen, 

Verführen, . . . ) 

Handlungs-Aspekte eines Netzes für dessen Benutzer 

in Bezug auf 

Vernetzen: gedachte bzw. dingliche Objekte als 

Bestandteile eines Netzes deuten bzw. dazu machen 

vernetztes Denken: vorhandene Netze bei 

Analysen, Planungen und Entwicklungen nutzen 

vernetzendes Denken: Objekte eigenen Denkens 

vernetzen oder als Bestandteile eines Netzes 

deuten 

18 

Zustands-Aspekte eines Netzes in Bezug auf 

Vernetzt-Sein: Bestandteil eines Netzes sein 

Im-Netz-Sein: Benutzer eines Netzes sein 

Aus pädagogischer Sicht ist zu beachten: Wie bei 

einem Spinnennetz oder einem Fischernetz können 

die Benutzer „Opfer“ eines Netzes werden 

oder sein, wenn sie sich z. B. in den „Maschen des 

Netzes“ verfangen, etwa beim Surfen im World- 

WideWeb. So kann ein Netz für seine Benutzer 

(schicksalhaft) zum Gefängnis werden, aus dem 

es sich zu befreien gilt. 

Menschliche Benutzer eines Netzes laufen damit 

Gefahr, zum Bestandteil dieses Netzes zu 

werden – wenn sie etwa bei dessen Benutzung 

nicht hinreichend „emotionale Distanz“ wahren! 

Und weiterhin können menschliche Benutzer eines 

Netzes zu Betrachtern dieses Netzes werden 

und umgekehrt, wobei das Netz diese (und ggf. 

andere) Gruppen (ggf. „durchlässig“) trennt. Die 

begriffliche Unterscheidung zwischen Bestandteilen, 

Benutzern und Betrachtern eines Netzes ist also 

weder scharf noch absolut, sie ist relativ, meint 

eine zweckbezogene Tendenz, und es ist ein Rollenwechsel 

möglich. 

4 Netzgraphen und Netzwerke 

Während ein materielles, „greifbares“ Netz mathematisch 

bei Bedarf oft als Graph beschreibbar 

ist, der aus Kanten und Knoten besteht, scheint 

dies nach dem hier vorliegenden Ansatz für ein 

„Netz“ im pädagogisch-didaktischen Kontext unpassend 

zu sein. Vielmehr liegen zunächst Assoziationen 

mit dem soziologischen „System“ nahe 

(bei dem ebenfalls die „Betrachter“ eine wichtige 

Rolle spielen). Dennoch benötigt man hier den 

Systembegriff nicht: So bieten sich zur strukturellen 

Beschreibung der Bestandteile (den „Knoten“ 

und ihren „Verbindungen“, genannt „Kanten“) 

sog. „einfache“ („mehrfachkantenfreie“) Graphen 

an, die man sich überlagert bzw. kombiniert denken 

kann, um auf diese Weise ggf. vorhandene 

Mehrfachkanten zu erfassen. 

Die (ebenfalls vielfältig denkbaren) Beziehungen 

der Benutzer zu den Knoten der Bestandteile 

(oder zu deren Verbindungen) und der Benutzer 

untereinander lassen sich dann bei Bedarf 

durch weitere Graphen beschreiben. Hinzu kommen 

noch Beziehungen der Betrachter untereinander, 

zu den Benutzern und zu den Bestandteilen, 

so dass etliche Graphen vorliegen können, 

die insgesamt in ihrer Kombination ein Netz 

im pädagogisch-didaktischen Kontext ausmachen. 

Das führt dazu, in einem ersten Schritt spezielle 

einfache Graphen für das graphentheoretisch „Innerste“ 

der Netze (nämlich für ihre Bestandteile) 

axiomatisch zu charakterisieren:

Im idealtypischen Fall ist dies ein Netzgraph als 

endlicher, zusammenhängender Graph, bei dem 

jede Kante „Teil einer Masche“ ist, ergänzt durch 

die sinnvolle Zusatzforderung, dass jeder Knoten 

mindestens den Grad 3 hat. In Netzgraphen gibt 

es damit zwischen je zwei Knoten stets mindestens 

zwei verschiedene Wege. 

Ein endlicher, „maschenhaltiger“ Graph (der 

also mindestens eine Masche enthält) heißt Netzwerk 

und ist eine Bezeichnung für das strukturelle 

Insgesamt der Bestandteile eines Netzes im 

pädagogisch-didaktischen Kontext (s. o.). Damit 

ist jeder Netzgraph ein spezielles Netzwerk. (Die 

Bezeichnung „Netzwerk“ ist auf zusammenhängende 

Graphen beschränkbar, was in einer entsprechenden 

Theorie zu erörtern wäre.) 

Benutzer und Betrachter können jeweils ein 

soziales Netzwerk bilden: Zwei Knoten (z. B. 

zwei Benutzer) sind genau dann durch eine Kante 

verbunden, wenn sie Mitglied derselben „Zugehörigkeitsgruppe“ 

sind (z. B. Freundschafts- oder 

Interessengruppe), wobei jeder Gruppentyp ein eigenes 

soziales Netzwerk generiert. Soziale Netzwerke 

sind (hinsichtlich eines Gruppentyps) mathematisch 

als bipartite Graphen („zweigeteilte 

Graphen“) darstellbar, bei denen also ihre Knotenmengen 

in zwei Teilmengen derart zerlegbar 

sind, dass jede dieser Teilmengen kantenfrei ist 

und Kanten somit nur zwischen den Knoten verschiedener 

Teilmengen existieren. „Soziale Netze“ 

sind keine „sozialen Netzwerke“, sondern 

„Netze“ (s. o.) mit Bestandteilen (Gesetze, Verordnungen, 

Versicherungen, . . . ), Benutzern (Bürger) 

und Betrachtern (Legislative, Exekutive, Jurisprudenz, 

Bürger, . . . ). 

5 Vernetzungsgradmaße und Kleine 

Welten 

Das „Vorliegen eines Netzgraphen“ ist ein qualitatives 

Maß für das Vorliegen einer Vernetzung. 

Aber auch Netzwerke können als „vernetzt“ angesehen 

werden, enthalten sie doch mindestens eine 

Masche. Daher benötigt man auch ein quantitatives 

Maß, genannt „Vernetzungsgrad“, deren 

in der sog. „Netzwerkanalyse“ der letzten beiden 

Jahrzehnte mehrere eingeführt worden sind, 

insbesondere sind zu nennen: mittlerer Knotenabstand, 

Clusterkoeffizient, mittlerer Knotengrad 

und Durchmesser des Graphen [vgl. Hischer, 

2010, Kap. 5]. Diese sog. Netzwerkstatistiken können 

sowohl in ihrer Gesamtheit als auch in ihrer 

Verschiedenartigkeit zur Beurteilung der jeweils 

konkreten „Vernetzungsgüte“ herangezogen werden. 

So bildet ein konkretes Netzwerk z. B. eine 

sog. „Kleine Welt“ (“Small world”), falls der 

mittlere Abstand zwischen zwei beliebigen Knoten 

„klein“ ist und sich auch bei Anwachsen des 

Netzwerks kaum ändert (vgl. das Phänomen “Six 

Medien und Vernetzungen – eine didaktische Positionsbestimmung 

degrees of separation”). Das Entstehen Kleiner 

Welten wird durch Bildung sog. „Naben“ begünstigt, 

also Knoten mit (im Vergleich zu den restlichen 

Knoten) extrem hohem Knotengrad. Das 

ist im Zusammenhang mit der „Stabilität“ eines 

Netzwerks zu sehen: Ein solches Netzwerk ist relativ 

stabil gegenüber der zufälligen Zerstörung 

von Knoten, jedoch extrem anfällig gegenüber 

der gezielten Zerstörung von Naben. Entsprechende 

Netzwerk-Modelle wurden eindrucksvoll empirisch 

bestätigt, z. B. sowohl beim Internet (einem 

ungerichteten Graphen) als auch beim WWW (einem 

gerichteten Graphen). 

6 Verbindung, Verzweigung, 

Vernetzung, „Netz-Dilemma“ 

Verbindung: Zwei Knoten eines Graphen sind genau 

dann verbunden, wenn zwischen ihnen (mindestens) 

ein Weg existiert. Verzweigung: Ein zusammenhängender 

Graph ist genau dann verzweigt, 

wenn je zwei verschiedene Knoten durch 

genau einen Weg verbunden sind. Starke Vernetzung: 

Ein Graph ist genau dann stark vernetzt, 

wenn er ein Netzgraph ist. Schwache Vernetzung: 

Ein zusammenhängender Graph ist genau 

dann schwach vernetzt, wenn er weder verzweigt 

noch stark vernetzt ist. Vernetzung: Ein Graph ist 

genau dann vernetzt, wenn er entweder schwach 

vernetzt oder stark vernetzt ist. — Damit folgt 

u. a.: Genau in zusammenhängenden Graphen sind 

je zwei Knoten verbunden. „Verzweigter Graph“ 

und „Baum“ ist dasselbe, insbesondere gilt: Bäume 

sind nicht vernetzt! 

Kießwetter wies 1993 darauf hin, dass unser 

Handeln grundsätzlich in der Zeit stattfindet 

[vgl. Hischer, 2010, S. 185 ff.] – und damit ist 

dieses Handeln „linear“ und nicht vernetzt. So 

liegt also vermutlich eine fatale Situation vor, die 

„Netz-Dilemma“ genannt sei und die wie folgt 

beschreibbar ist: Man kann zwar ggf. „vernetzend 

denken“, aber nur „monokausal handeln“. 

7 „Vernetzender Unterricht“ und 

„Offenheit“ 

Gemäß dem ersten o. g. Zweckaspekt (bezüglich 

der Bestandteile) ist „Vernetzender Unterricht“ lediglich 

eine prägnante, sprachliche Kurzform für 

einen Unterricht, der durch schüleraktives Zusammenhangsdenken 

gekennzeichnet ist: also die Inszenierung 

eines Unterrichts, in dem Zusammenhänge 

zwischen Gebieten, Themen, Ideen, Begriffen 

etc. als Bestandteile eines Netzes nicht nur 

erkannt und entdeckt, sondern auch eigenständig 

hergestellt werden. Die blumige und oft nichtssagende 

Bezeichnung „Vernetzen“ wäre damit dann 

im Prinzip verzichtbar. 

Die Situation würde sich aber grundlegend 

ändern, wenn man die Benutzer (und damit den 

19


zweiten Zweck-Aspekt) hinzuzieht, was für die 

Lehrerinnen und Lehrer bedeuten würde, über die 

fachlichen Unterrichtsziele eines solchen „vernetzenden 

Unterrichts“ hinaus nicht nur auf die geplanten 

Folgen betreffend Haltungen und Einstellungen 

zu achten, sondern auch die unbeabsichtigten 

Folgen zu berücksichtigen. 

Und schließlich ruft der dritte Zweck-Aspekt 

die Lehrerinnen und Lehrer dazu auf, sich nicht 

bezüglich der geplanten Wirkungen eines vernetzenden 

Unterrichts auf die Schülerinnen und 

Schüler täuschen zu lassen. 

Ein so verstandener „vernetzender Unterricht“ 

hat nicht nur eine die o. g. Bestandteile betreffende 

technische Bedeutung, sondern er erhält erst 

durch die Berücksichtigung der Benutzer (hier: 

Schülerinnen und Schüler) und der Betrachter 

(hier: Lehrerinnen und Lehrer) seine pädagogische 

Dimension. Der Terminus „Vernetzender Unterricht“ 

erhält dann also einen hohen Bildungsanspruch. 

Das fügt sich dann in das Allgemeinbildungskonzept 

von Klafki ein, der Allgemeinbildung 

als „Bildung im Medium des Allgemeinen“ beschreibt 

und dazu die „Bereitschaft und Fähigkeit 

zu vernetzendem Denken“ fordert. Er begründet 

das mit soziologisch-ökonomischen Befunden unserer 

Welt: „alles mit allem“ verknüpfen, vielfältige 

Verflechtungen, Wirkungszusammenhänge. Die 

ersten beiden sind idealtypisch mit einem Netzgraphen 

beschreibbar, und der dritte bedeutet die 

Modellierung durch einen gerichteten Graphen. 

Bei der Erörterung der Schlüsselprobleme betont 

Klafki „unterschiedliche Wege zur Lösung“ und 

„verschiedene Antworten auf die Frage nach Lösungen“ 

im Zusammenhang mit einer Offenheit 

der Vorgehensweise (auch im Unterricht), womit 

klar wird: „Offenheit“ und „Vernetzung“ gehören 

in pädagogischer Sicht zusammen. 

Ein „Vernetzender Unterricht“ führt zu Aufgaben 

für die Betrachter (insbes. Lehrpersonen) 

in Bezug auf die Betreuung der Benutzer (insbes. 

Schülerinnen und Schüler) beim Umgehen 

mit den Bestandteilen eines Netzes. Als Knoten 

sind das vor allem Themen, Ideen, Begriffe, Definitionen, 

Vermutungen, aber auch Beispiele und 

Übungsaufgaben. Als Kanten sind Beziehungen 

zwischen diesen Knoten denkbar: sowohl logische 

im Sinne des Folgerns bzw. des Folgens als auch 

emotionale des Entdeckens, Erlebens, Irrens, Ratlosseins 

usw., die in ihrer Gesamtheit zu einer 

individuellen lernpsychologischen „Verankerung“ 

(der Knoten) beitragen (können). Bereits zur Erfassung 

bzw. Beschreibung der Bestandteile eines 

Netzes im pädagogisch-didaktischen Kontext 

können also unterschiedliche Graphen als „sich 

überlagernde Netzwerke“ auftreten. Hierbei sind 

20 

auch Aspekte der Netzwerkanalyse zu beachten: 

Kleine Welten, Naben und Stabilität. 

8 „Medien vernetzen“? 

Kann das Tagungsthema „Medien vernetzen“ 

sinnvoll gedeutet werden? Zunächst liegt ein unvollständiger 

Satz vor, weil ein abschließendes Interpunktionszeichen 

fehlt. Zur Vervollständigung 

gibt es die Möglichkeiten „Medien vernetzen.“, 

„Medien vernetzen!“ und „Medien vernetzen?“. 

Per saldo muss also zwischen „Medien als Subjekt“ 

und „Medien als Objekt“ unterschieden werden, 

d. h., 

⊲ entweder sollen Medien miteinander vernetzt 

werden (Medien als Objekt) oder 

⊲ andere Objekte sollen durch Medien vernetzt 

werden (Medien als Subjekt). 

Und hierbei geht es nicht nur um „Medien in der 

engen Auffassung“ und schon gar nicht nur um 

„technische Medien“, sondern auch um „Medien 

in der weiten Auffassung“ (s. o.) Dabei scheint der 

erste Fall („Medien als Objekt“) der einfachere 

Fall zu sein, der vor allem technische Medien betrifft, 

während der zweite hingegen („Medien als 

Subjekt“) aus didaktischer Sicht der interessantere 

Fall ist. 

Beispielsweise ist der Infinitesimalkalkül ein 

„Werkzeug zur Weltaneignung“ [vgl. Hischer, 

2010, S. 30 f.] und damit ein Medium, das dann 

der „Vernetzung“ von etwas dienen kann. So enthält 

das Tagungsthema implizit nicht nur die (vordergründige) 

Feststellung oder Aufforderung zur 

didaktisch begründeten Vernetzung beispielsweise 

technischer Medien, sondern das pädagogische 

Fazit, dass „Vernetzung als Medium zur Weltaneignung“ 

erscheine. Denn ein Netz zeigt Zusammenhänge 

auf, bzw. es kann solche vermitteln, 

d. h.: Ein Netz kann damit auch als ein Medium erscheinen, 

und dieses „Medium vernetzt“ zugleich! 

9 Last but not least 

Im Deutschen hat „Netz“ vielfältige Bedeutungen, 

hingegen existieren dafür in anderen Sprachen 

viele Wörter mit unterschiedlichen Bedeutungen 

[vgl. Hischer, 2010, S. 53 f.]. Beispielsweise 

ist es problematisch, wenn etwa das englische 

“to connect” im Deutschen (in diesem Kontext) 

mit „vernetzen“ statt mit „verbinden“ wiedergegeben 

wird (vgl. die englische Zusammenfassung 

zu Beginn dieses Beitrags). Und man sollte Baumstrukturen 

nicht als Beispiele für „Vernetzungen“ 

nennen, denn hier liegen nur „Verbindungen“ vor. 

Literatur 

Hischer, Horst (2010): Was sind und was sollen Medien, Netze 

und Vernetzungen? – Vernetzung als Medium zur Weltaneignung. 

Hildesheim: Franzbecker.

• Konstruktionsbegriffe für die 3D-Raumgeometrie 

Andreas Goebel und Reinhard Oldenburg, Frankfurt 

Die Entwicklung von Programmen für die dynamische Raumgeometrie erfordert einen präzise definierten 

Begriff der geometrischen Konstruktion im Raum. Bei der Wahl eines solchen Konstruktionsbegriffs 

spielen technische, mathematische und didaktische Fragen eine Rolle. Einige Möglichkeiten 

sollen vorgestellt und didaktisch bewertet werden. 

1 Einleitung 

Dynamische Geometriesysteme erlauben dem Benutzer, 

geometrische Konstruktionen zu erstellen 

und die von ihnen bestimmten Figuren in parametrischer 

Abhängigkeit (dynamisch) von der Konfiguration 

der Ausgangsobjekte zu untersuchen. Die 

geometrischen Konstruktionen gewannen dadurch 

wieder an Bedeutung. Allerdings haben nicht alle 

Schüler diese Wendung verinnerlicht und so wurde 

schon kurz nach der Einführung von DGS beobachtet, 

dass Schüler Probleme haben, korrekte 

Konstruktionen aufzustellen. Diese Probleme 

können bei bestimmten Zielen vermieden werden, 

indem fertige Konstruktionen vorgegeben werden, 

aber gerade bei der Arbeit an offenen Problemstellungen 

ist es nach wie vor sinnvoll, wenn die 

Schüler selbst Ideen durch Konstruieren ausprobieren 

können. 

Mit der Entwicklung von dynamischen Geometriessystemen 

für die Raumgeometrie stellt 

sich die Frage nach den Konstruktionen erneut: 

Beobachtungen von Schülern und Lehramtsstudenten 

zeigen, dass keineswegs intuitiv ist, wie 

man eine Konstruktion erstellt. Dies gilt auch 

dann, wenn das zu konstruierende Objekt in allen 

Details bekannt ist. So hat Hattermann Studenten 

Würfel konstruieren lassen, wofür diese recht lange 

brauchten und teilweise nicht zum Erfolg kamen. 

Da in seiner Studie die Studenten keine Einführung 

in Raumgeometrie bekommen haben, gibt 

es viel mehr erklärende Ursachen als nur die Probleme 

mit der Erstellung der Konstruktion. Aber 

auch in eigenen Versuchen zeigte sich, dass das 

Finden von Konstruktionen eine anspruchsvolle 

Tätigkeit ist. Die meisten Konstruktionsaufgaben 

sind für die meisten Probanden Problemlöseaufgaben. 

Die Erfahrung zeigt, dass Schüler und Studenten 

ihre Kompetenzen in diesem Bereich verhältnismäßig 

schnell ausbauen können. Dynamische 

Raumgeometrie kann also in der gegenwärtig 

verfügbaren Form durchaus erfolgreich eingesetzt 

werden und wird dies ja auch schon an vielen Orten. 

Trotzdem bleibt die Beobachtung bestehen, 

dass Schüler und Studenten häufig nicht 

Dinge tun können, die sie tun wollen. 3D- 

Konstruktionsprogramme sind sperriger als mehr 

am Zeichnen orientierte Programme wie Google 

Sketchup. Von der mentalen Vorstellung eines 

Körpers und der Bewusstwerdung seiner definie- 

renden Eigenschaften bis zu einer Konstruktion ist 

es ein weiter Weg. Zwei didaktische Positionen 

dazu: 

Position 1: Die Probleme sind nicht artifiziell, 

sondern sie sind der Konstruktion im Raum immanent. 

Die Schüler sollen diese Probleme lösen 

als wertvollen Teil ihres Lernprozesses 

Position 2: Die Software ist nicht perfekt, man 

kann es den Schülern leichter machen, Körper zu 

konstruieren 

Welche Position ist richtig? Vielleicht beide und in 

diesem Aufsatz soll die Frage aufgeworfen werden, 

ob es möglich ist, den zugrunde gelegten 

Konstruktionsbegriff im Sinne von Position 2 so 

zu modifizieren, dass die Zugänglichkeit erhöht 

wird, ohne (Position 1!) die Erstellung der geometrischen 

Konstruktionen zu trivialisieren. Geometrische 

Konstruktionsaufgaben sind Problemlöseaufgaben 

und diese können nur bildend wirken, 

wenn sie nicht zu einfach sind. Andererseits 

kommt es auf die richtige Balance an zwischen 

der Problemschwierigkeit und dem Motivationseffekt, 

d.h. die Schwierigkeit sollte so eingestellt 

werden, dass das Konstruieren weder demotiviert 

noch so einfach ist, dass kein Problemlöseprozess 

mehr angeregt wird. 

2 Konstruktionen 

Geometrische Konstruktionen sind Algorithmen, 

die die Erzeugung einer Konfiguration geometrischer 

Objekte aus bestimmten Anfangsdaten auf 

elementare Schritte zurückführen. In der Regel 

löst eine Konstruktion ein bestimmtes Problem, 

d.h. die konstruierten Objekte stehen untereinander 

in einer bestimmten Relation. Eine Konstruktion 

bestimmt eine Folge A1,A2,A3,...,An 

von geometrischen Objekten. Dabei sind die ersten 

Objekte als Ausgangsdaten gegeben (Startkonfiguration). 

Die Konstruktion bestimmt die folgenden 

Objekte aus den vorhergehenden jeweils 

durch einen elementaren Konstruktionsschritt, der 

eine funktionale Abhängigkeit darstellt: Ak = 

fk(A1,A2,...,An−1). Was ein elementarer Konstruktionsschritt 

ist, also welche Funktionen hier 

zugelassen sind, hängt einerseits von den zugelassenen 

Konstruktionswerkzeugen ab, ist andererseits 

eine Frage der Bequemlichkeit. Wie auch in 

anderen Bereichen der Algorithmik werden häufig 

gebrauchte Teilalgorithmen in eigene Modulen 

gekapselt (Standardkonstruktionen nach Holland; 

21


Makros in DGS), die dann als ein Konstruktionsschritt 

erscheinen. Auch viele in DGS fest eingebaute 

Konstruktionsschritte könnten auf andere, 

einfachere zurückgeführt werden. Eine Teilmenge 

der elementaren Konstruktionsschritte, die nicht 

weiter verkleinert werden kann, ohne die Konstruktionsmöglichkeiten 

einzuschränken, soll essentiell 

heißen. 

3 Der Konstruktionsbegriff in 

3D-DGS 

Bisher gibt es mit Archimedes Geo 3D und Cabri 

3D zwei etablierte dynamische Raumgeometriesysteme. 

Die jeweiligen Konstruktionsbegriffe 

sind nicht identisch, aber trotzdem soll hier versucht 

erden, eine vereinheitlichende Darstellung 

zu geben. 

Eine geometrische Konstruktion im Sinne der 

dynamischen Raumgeometrie eine Spezialisierung 

des Konstruktionsbegriffs aus dem vorhergehenden 

Abschnitt. Hier folgt eine Auflistung 

von essentiellen elementaren Konstruktionsschritten. 

Dabei beschränken wir uns auf Konstruktionen 

der synthetischen Geometrie und beschränken 

den Objektvorrat auf Punkt, Gerade, Ebene und 

Kugel. 

⊲ Schnittpunkt Ebene-Gerade 

⊲ Schnittpunkt Kugel-Gerade 

⊲ Punkt auf Gerade, Kreis, Ebene 

⊲ Gerade durch zwei Punkte 

⊲ Lot zu Ebene durch Punkt 

⊲ Parallele Gerade zu anderer Gerade durch einen 

bestimmten Punkt 

⊲ Kugel aus Mittel- und Randpunkt 

⊲ u.s.w. 

Das Problem in dieser Aufzählung ist das unscheinbare 

„u.s.w.“: Es würde den hier zur Verfügung 

stehenden Platz sprengen, alle Konstruktionsmöglichkeiten 

im Raum aufzuzählen. Lernende 

müssen sich dieser Vielfalt bewusst lernen, sie 

müssen herausfinden, wie man all diese Operationen 

mit dem jeweiligen Werkzeug ausführt — und 

dann haben sie immer noch nicht das Problem gelöst, 

zu einer Konstruktionssequenz zu kommen. 

4 Schwierigkeiten mit halbfreien 

Elementen in Raumgeometrischen 


In der dynamischen Raumgeometrie gibt es (zumindest 

potentiell — die real existierenden Systeme 

realisieren längt nicht alle Fälle) mehr halbfreie 

Objekte als in der 2D-DG. Dies sind Objekte, 

deren Lage durch die Konstruktion nicht eindeutig 

bestimmt wird. In zweidimensionalen Geometriesystemen 

sind dies vor allem: Punkt auf Gerade 

und Punkt auf Kreis. Im Prinzip könnte es auch 

Orthogonale, Parallele (jeweils ohne die Eindeutigkeit 

herstellende weitere Forderung durch einen 

22 

bestimmten Punkt zu gehen), sowie Gerade durch 

einen Punkt geben. Diese halbfreien geraden wären 

dann noch verschiebbar (in den ersten beiden 

Fällen) bzw drehbar (im letzen Fall). 

In 3D-DGS gibt es potentiell sehr viele halbfreie 

Objekte, eine Auswahl: 

⊲ Punkte auf Geraden und Kreisen, aber auch auf 

Kugel und Ebenen 

⊲ Geraden in Ebenen 

⊲ Kreise auf Kugeln 

⊲ Geraden g, die durch einen Punkt P auf einer 

Geraden h laufen und zu h orthogonal sind (diese 

Geraden können noch um P in der Lotebene 

auf h gedreht werden) 

⊲ Geraden g, die durch einen Punkt P verlaufen 

und zu einer Ebene E parallel sind (diese Geraden 

können noch in der Parallelebenen zu E 

durch P gedreht werden) Noch größer wird die 

Zahl der halbfreien Objekte, wenn man metrische 

Eigenschaften hinzunimmt (z.B. Strecken 

fester Länge). 

Die Implementierung halbfreier Elemente ist 

nicht einfach und es können merkwürdige Effekte 

resultieren (Wird ein Bestimmungsstück ein 

halbfreien Objektes gezogen, definiert die Konstruktion 

nicht eindeutig, wo das halbfreie Objekte 

hingeschoben werden soll. Wenn das DGS 

diese Freiheit stets nach einer bestimmten Strategie 

füllt, resultieren Zugfiguren, die mehr Relationen 

invariant lassen, als aus der Konstruktion 

logisch folgen.). Es ist daher nicht verwunderlich, 

dass die beiden bisher existierenden 3D- 

DGS nicht alle denkbaren halbfreien Objekte implementieren. 

Halbfreie Elemente könnten durch 

hinzufügen einer (oder mehrerer) weiteren Relation 

eindeutig spezifiziert werden. Diese Umwandlung 

ist in 2D-Systemen oft nicht vorgesehen, weil 

sie dort nur wenige Fälle betrifft: Es könnte sinnvoll 

sein, einen Punkt, der an eine Gerade gebunden 

ist, an eine weitere Gerade zu binden, also 

zum Schnittpunkt der beiden Geraden zu machen. 

Jedes sachlogisch mögliche halbfreie Objekt 

entspricht einem durch das Wissen des Lernenden 

unterbestimmten Konstruktionsschritt. Deshalb 

kann man folgende These formulieren: 

These 1. Ein Teil der Probleme von Anfängern 

mit der 3D-DG resultieren daraus, dass zur jeweiligen 

Situation passende halbfreie Objekte nicht 

zur Verfügung stehen oder dass halbfreie Objekte 

nicht weiter spezifiziert werden können. 

Diese These stützt sich sowohl auf die Beobachtung 

von Studierenden als auch auf die Introspektion 

(sic!) der Autoren, sie wurde aber aposteriori 

wegen ihrer erklärenden Kraft aufgestellt 

und nicht durch Interviews abgesichert. Man 

kann sich aber leicht davon überzeugen, dass es 

beim raumgeometrischen Konstruieren häufig zu

Situationen der folgenden Art kommt: Man möchte 

z.B. eine Strecke s konstruieren, kennt schon 

einen Endpunkt A und weiß dass sie senkrecht auf 

einer bereits existierenden Geraden g stehen muss. 

Damit kann die Strecke aber noch nicht eindeutig 

konstruiert werden. Wenn es kein Werkzeug für 

solche halbfreien Objekte gibt, kann der Benutzer 

seine Idee nicht weiter verfolgen, es sei denn, er 

verfügt über folgend Strategie: Man erzeugt die 

Lot-Ebene E zu g durch P. Der Endpunkt der gesuchten 

Strecke S muss in E liegen. Man erzeugt 

also einen halbfreien Punkt Q auf E und eine halbfreie 

Strecke S = PQ. Die Hilfsebene E kann danach 

verborgen werden. Neulinge in der 3D-DG 

verfügen noch nicht über solche Strategien. Zudem 

haben sie folgenden Nachteil: Wenn man sich 

im weiteren Verlauf der Konstruktion klar macht, 

welche Länge die Strecke haben soll, kann dies 

nicht mehr mit s = PQ umgesetzt werden, denn 

dazu müsste Q umdefiniert werden (vom Punkt in 

der Ebene E zum Punkt auf einem Kreis in E um P 

mit dem passenden Radius). Dieses komplexe und 

evtl. mit dem jeweiligen 3D-DGS nicht durchführbare 

Verfahren ist fehleranfällig. Es wäre unnötig, 

wenn halbfreie Objekte durch hinzufügen von Eigenschaften 

leicht ausspezifiziert werden könnten. 

5 Geometrie ohne Konstruktionen? 

Geometriesysteme wie Geometry Expressions 

oder FeliX benötigen keine Konstruktionsbeschreibung: 

Der Benutzer spezifiziert nur, welche 

Objekte es gibt und welche Relationen zwischen 

diesen gelten sollen. Bei FeliX ist die Reihenfolge 

dieser Vorgänge beliebig (bis auf die triviale Bedingung, 

dass eine Relation nur Objekte betreffen 

kann, die bereits existieren). Es gibt keine prinzipiellen 

Probleme bei der Übertragung dieses Ansatzes 

auf die Raumgeometrie. Allerdings arbeitet 

zB FeliX mit Algorithmen, deren Laufzeit exponentiell 

mit der Zahl der Variablen steigt, und 

Raumgeometrieprobleme führen zu noch mehr 

Variablen und verschärfen daher die Performance- 

Problematik. 

Neben diesem technischen Argument sind es 

vor allem didaktische Überlegungen, die diesen 

Weg bei geometrischer (und nicht algebraischer!) 

Zielsetzung als problematisch erweisen: „Konstruktionen“ 

werden mit solchen Systemen trivialisiert 

und damit wird dieses Übungsfeld des Problemlösens 

wertlos. 

Neben dem Aspekt des Problemlösens liegt 

die didaktische Bedeutung des Konstruierens u.E. 

auch wesentlich darin, dass hier Handlungsabläufe 

geplant und organisiert werden. Dieser Aspekt 

des Konstruktionsbegriffs steht Inhalten der Informatik 

nahe. Die exemplarische Bedeutung erstreckt 

sich auf viele Stellen, wo in unserer Gesellschaft 

organisiert und geplant wird. Es kön- 

Konstruktionsbegriffe für die 3D-Raumgeometrie 

nen grundlegende Begriffe wie etwa Abhängigkeit 

und Unabhängigkeit von Teilschritten eingeübt 

werden. 

6 Variante 1: Konstruktion = 

Reihenfolge von Objekten 

Die oben dargestellten Schwierigkeiten mit halbfreien 

Objekten können ausgeräumt werden, wenn 

der Konstruktionsbegriff so geändert wird, dass 

es keine prinzipielle Unterscheidung mehr zwischen 

freien, halbfreien und eindeutig konstruierten 

Objekten gibt. Ein solcher Konstruktionsbegriff 

soll hier dargestellt werden. Dabei wird eine 

Konstruktion verstanden als eine Tabelle der folgenden 

Art: 

Name Art Relationen 

P Punkt — 

Q Punkt Abstand zu Q = 5 

T Punkt Koordinaten=(1,2,3) 

g Gerade Geht durch P und Q 

s Strecke Anfangspunkt P; 

senkrecht zu g 

E Ebene Parallel zu s; parallel zu g 

Der zeilenweise Aufbau gibt die Schritte der Konstruktion 

wider. Jedem Objekt können Relationen 

auferlegt werden, die es erfüllen soll. Vorteil 

dieses Ansatzes ist, dass die Reihenfolge, in der 

die Relationen eingetragen werden, offen ist. Man 

braucht nicht gleich bei der Erzeugung eines Objektes 

alle Eigenschaften kennen, sondern es können 

schrittweise Relationen hinzugefügt werden, 

bis das Objekt so festgelegt ist, wie es der Intention 

des Benutzers entspricht. Entscheidend dafür, 

dass es sich trotz dieser Freiheit um einen effektiv 

ausführbaren Konstruktionsbegriff handelt ist die 

Einhaltung der folgenden Regel: Die Relationen, 

die zu jedem Objekt angegeben werden, dürfen 

das Objekt nur durch Verweis auf andere Objekte 

spezifizieren, die in der Tabelle vorher spezifiziert 

worden sind, also oberhalb stehen. Es wäre also 

verboten, z.B. zu g die Relation „orthogonal zu E“ 

hinzuzufügen. Durch diese Vorschrift bleibt die 

Konstruktion leicht berechenbar. Wird beispielsweise 

mit der Maus Q an eine neue Position gezogen, 

kann folgendermaßen gerechnet werden: Als 

erstes wird versucht, dem Zugziel für Q unter Beachtung 

der Relationen an Q so nahe zu kommen 

wir möglich. Dann werden nacheinander alle folgenden 

Objekte neu berechnet werden. Wenn man 

das Objekt in der i-ten Zeile neu berechnet, sind 

die Objekte in den Zeile 1,...,i−1 bereits aktualisiert, 

ihre neuen Koordinaten liegen also fest. Im iten 

Schritt ist daher nur das verhältnismäßig kleine 

Problem zu lösen, die an das i-te Objekte gestellten 

Relationen zu erfüllen bzw. deren Nichterfüllbarkeit 

nachzuweisen. Beides ist algebraisch 

leicht möglich. 

23


Dieser Konstruktionsbegriff ist implementierbar 

(eine proof-of-concept-Implementierung existiert, 

siehe Screenshot) und effektiv ausführbar, 

denn der Zeitbedarf steigt nur linear mit der Zahl 

der Objekte solange die Zahl der Relationen für 

jedes einzelne Objekt beschränkt ist. 

Mit einem 3D-DGS, das auf diesem Konstruktionsbegriff 

aufbaut, kann effektiv gearbeitet werden. 

Allerdings erfordert es durchaus ein planvolles 

Vorgehen: Wenn man etwa zwei Punkte erzeugt 

und s als die Strecke zwischen ihnen definiert, 

dann ist es sinnlos, die Länge von s durch 

eine Relation an s zu spezifizieren, man würde 

dann nichterfüllbare Relationen postulieren, weil 

die Lage von s ja schon durch die Endpunkte eindeutig 

gegeben ist. Stattdessen könnte man eine 

Abstandsbedingung an die beiden Punkte stellen 

oder ganz auf die Eckpunkt verzichten. Allerdings 

zeigt das Beispiel auch eine problematische Eigenschaft: 

Während es naheliegend ist, Streckenlängen 

als Eigenschaften von Strecken zu sehen, 

muss man hier — bei dieser Art der Konstruktion 

— die Streckenlänge als Eigenschaft ihrer 

Endpunkte sehen. Um das zu umgehen, müsste 

man eine freie Strecke konstruieren, deren Länge 

und Anfangspunkt festlegen, und dann den zweiten 

Punkt als ihr Ende definieren. 

Man sieht: Konstruieren in diesem Sinne ist 

durchaus kognitiv anspruchsvoll, denn man muss 

eine passende Reihenfolge der Objekte finden. Da 

dabei dem Benutzer Fehler unterlaufen können 

wäre es wünschenswert, wenn ein solches System 

die Möglichkeit böte, die Reihenfolge umzustellen. 

Dazu müssen Relationen von einem Objekt 

auf ein anderes abgewälzt werden. Das algorithmisch 

umzusetzen ist möglich, aber aufwändig. Es 

wird hier nur an einem Beispiel illustriert: 


P Punkt — 

g Gerade Geht durch P 

s Strecke senkrecht zu g 

Um g an s vorbei nach hinten zu schieben, 

muss die Orthogonalitätsrelation von s auf g „umgebucht“ 

werden. Das Ergebnis ist: 


P Punkt — 

s Strecke — 

g Gerade Geht durch P; 

senkrecht zu s 

Die Relationen, die in diesem Konstruktionsbegriff 

möglich sind, unterliegen gewissen Einschränkungen, 

denn n-stellige Relationen sollten 

bei Vorgabe von n − 1 Argumenten allein 

durch Variation des n-ten Argumentes erfüllt werden 

können. Dies ist beispielsweise bei der 3- 

24 

stelligen Relation Mittelpunkt der Fall, nicht aber 

bei der dreistelligen Relation auf Geraden „paarweise 

orthogonal“. Diese Relation kann also nicht 

(als eine Relation) verwendet werden, sondern 

muss aus zweistelligen Orthogonalitätsrelationen 

zusammen gebaut werden. 

Es ist möglich, den Konstruktionsbegriff von 

Archimedes Geo3D so weiter zu entwickeln, dass 

er sich diesem neuen Konstruktionsbegriff annähert. 

Dazu ist vor allem die Flexibilität des Umdefinierens 

zu erhöhen. In umgekehrter Richtung 

erscheint es denkbar, einen Algorithmus zu finden, 

der eine Konstruktion in diesem neuen Sinne 

in eine Konstruktion im alten Stil überführen 

kann, sofern die verwendeten Relationen mit den 

Werkzeugen des klassischen 3D-DGS konstruierbar 

sind. 

Bei der didaktischen Bewertung dieses Konstruktionsbegriffs 

sollte aber nicht vergessen werden, 

dass die einzelnen „elementaren“ Schritte 

recht komplex werden können. Zwar ist auch die 

Arbeit der Konstruktionswerkzeuge in einem 3D- 

DGS wie Archimedes Geo3D von abstrakter Natur 

(denn anders als die Zirkel der ebenen Geometrie 

lassen sich Kugelzirkel nicht materiell umsetzen), 

aber die Kombination von Relationen ist eine 

logisch-abstrakte Operation und praktisch nur 

algebraisch durchführbar. 

7 Variante 2: Konstruktion = 

Reihenfolge von Relationen 

Die klassischen Konstruktionsbegriffe ebenso wie 

der im letzen Abschnitt diskutierte stellen ganz 

grob gesprochen vor allem eine Konstruktionsreihenfolge 

her, d.h. die Objekte haben eine bestimmte 

Reihenfolge. Dies mag auf den ersten 

Blick für eine Konstruktion geradezu wesensnotwendig 

sein, auch wenn man sich klar machen 

kann, dass es bei den meisten Konstruktionen 

unabhängige Teilschritte gibt, deren Reihenfolge 

umgestellt werden kann. 

Bei Konstruktionen mit Baukästen u.ä. gilt 

diese scheinbar natürliche Regel aber nicht: Die 

Objekte werden nicht der Reihe nach erzeugt, sondern 

sie sind gleich alle da (mehr oder wenig ordentlich 

im Baukasten, der letztlich eine Menge 

von Objekten ist). Beim Konstruktionsprozess 

klickt (im Sinne von Lego, nicht von Mausinteraktion) 

man die Bausteine zusammen und das bedeutet 

beispielsweise, dass man eine Inzidenzrelation 

herstellt. Beim Bauen mit Bausteinen haben 

also nicht die Objekte, sondern die Relationen 

eine Reihenfolge! Mit dem hier vorzustellenden 

Konstruktionsbegriff soll versucht werden, dies zu 

modellieren. 

Eine Konstruktion in diesem Sinne besteht also 

in einer Menge (ungeordnet) von Objekten O 

sowie einer geordneten Liste von Relationen R.

Konstruktionsbegriffe für die 3D-Raumgeometrie 

Abbildung 5.1: Experimentelle Realisierung der Variante 1. Hier ist S2 eine freie Strecke, die auf S1 senkrecht 

steht und die gleiche Länge hat. Sie ist aber noch um S1 drehbar. 

Jedes Objekt a aus O gehört zu einem bestimmten 

Typ (Punkt, Gerade, etc.) und besitzt entsprechend 

eine Menge von Variablen V(a). Bei der ersten Variante 

des Konstruktionsbegriffs wurden in einem 

Schritt alle Variablen eines Objektes bestimmt. 

Das ist jetzt nicht mehr möglich. Typischerweise 

kommen die Variablen eines Objektes in verschiedenen 

Relationen vor und wenn die Konstruktionsberechnung 

Relation-nach-Relation durchgeführt 

wird, braucht man eine Strategie, wann man 

sie ändert. Ein erster Algorithmus zur Berechnung 

einer Konstruktion: U die Menge aller Variablen 

aller Objekte. Durch die Iteration über die Relationen 

hinweg soll U stets die Variablen enthalten, 

deren Werte noch nicht neu berechnet wurden. Für 

jede Relation r ∈ R bildet man dann den Spezialfall 

r ′ , in dem die bereits bestimmten Variablen 

eingesetzt werden, dann bildet man die Variablen 

W = U ∩V(r ′ ), die evtl. aus r ′ bestimmt werden 

könnten. Dann sucht man eine möglichst kleine 

Teilmenge von Variablen aus W, die genügt, r ′ zu 

erfüllen. Diese werden dann neu berechnet, aus U 

entfernt und die nächste Relation wird erfüllt. 

Die einzelnen Schritte dieses Algorithmus 

sind recht aufwändig, aber durchführbar und das 

wurde in einer Testimplementierung bestätigt. Die 

Arbeit mit einem darauf basierenden DGS gestaltet 

sich recht komfortabel, weil die Reihenfolge 

der Relationen beliebig umgestellt werden 

kann. Allerdings macht sich auch in der praktischen 

Arbeit sehr bald folgendes Problem bemerkbar: 

Der Algorithmus schafft es nicht, alle 

Relationen zu erfüllen, obwohl dies möglich wäre. 

Ursache dafür ist in der Regel, dass für einige 

Relationen zu viele Variable benötigt werden. 

Das hängt davon ab, durch welche Variablen 

die Objekte beschrieben werden. Strecken können 

beispielsweise durch die kartesischen Koordinaten 

ihrer beiden Endpunkte beschreiben werden 

oder durch Anfangspunkt, Länge und Richtungswinkel. 

Wenn bereits eine Relation erfüllt wurde, 

die den Anfangspunkt festlegt, erfasst eine Relation, 

die die Länge vorschreibt, in der ersten Beschreibungsform 

alle kartesischen Variablen des 

Endpunktes. Diese werden also (wenn auch teilweise 

willkürlich) neu festgelegt. Für eine spätere 

Relation, die die Strecke als orthogonal zu einer 

anderen bestimmt, bleibt dann keine Freiheit mehr 

über. Bei der zweiten Beschreibung tritt dieses 

Problem nicht auf. Nun kann man vermuten, dass 

die Beschreibung durch intrinsische geometrische 

Größen wie die Länge ohnehin besser ist. Da es 

aber auch Relationen gibt, die sich kartesische einfacher 

ausdrücken lassen, bleibt nur die aufwändige 

Lösung, die Beschreibung den gestellten Relationen 

anzupassen. Eine Lösung, die aber auch 

nicht alle Konfliktfälle entschärfen kann. Eine systematische 

Lösung könnte in der sukzessiven adhoc 

Einführung neuer lokaler Koordinatensysteme 

liegen, aber ein solches Vorhaben ist umfangreich 

und müsste stabil mit ausgearteten Situationen 

umgehen können. 

Nachteilig an diesem Algorithmus ist vor allem 

aber auch, dass sein Verhalten nicht allein 

25


auf geometrischer Ebene verstanden werden kann. 

Es ist daher zu vermuten, dass Lernende das Verhalten 

eines entsprechenden DGS als willkürlich 

empfinden werden. Dies steht im Kontrast zu der 

eingangs gemachten Analogie zum Bauen mit einem 

Baukasten. Es ist offen, ob hier ein Ausgleich 

erfolgen kann. Die eingangs zitierte Metapher des 

Baukastens legt aber nahe, dass eine Lösung der 

technischen Probleme didaktisch reizvoll und lohnend 

sein könnte. 

26 

8 Fazit 

Ob 3D-DGS auf Basis der hier beschriebenen 

Konstruktionsbegriffe geeignet sind, den Schülern 

selbsttätiges raumgeometrisches Tun zu ermöglichen, 

kann derzeit noch nicht beurteilt werden. 

Dazu bräuchte man einerseits eine empirische 

Vergleichsstudie, andererseits klare normative 

Zielvorstellungen für den Unterricht in Raumgeometrie. 

Das Erste ist ohne das Zweite nicht 

sinnvoll, und das Zweite ist gegenwärtig didaktisch 

„out“ und nicht drittmittelfähig.

• Neue Technologien und ihre Vernetzung im Rahmen curricularer 

Überlegungen 

Rolf Neveling, Wuppertal 

In meinem Aufsatz möchte ich nach dem Versuch einer Zustandsbestimmung 

zunächst exemplarisch verdeutlichen, wie 

sich Standardthemen im Unterricht mit neuen Technologien 

und ihrer Vernetzung bereichern lassen. 

Den Schwerpunkt meines Textes sehe ich aber darin, realistisch 

die Rolle einzuschätzen, die neue Technologien unter aktuellen 

Unterrichtsbedingungen überhaupt einnehmen können. Dabei 

denke ich vor allem an zentrale Prüfungen und Verkürzungen 

der Schulzeit. Wesentlich ist mir in diesem Zusammenhang, 

darauf hinweisen, dass eine Didaktik der Computer-Algebra- 

Systeme derzeit fehlt, aber dringend erforderlich wäre. 

1 Versuch einer 

Zustandsbestimmung 

Das erste Computer-Algebra-System, das im 

schulischen Rahmen eine wesentliche Rolle spielte, 

war das Programm Derive. Es erschien in 

der Mitte der Achtzigerjahre. Weitere Programme, 

die speziell für den Mathematikunterricht gedacht 

waren wie etwa dynamische Geometriesoftware, 

folgten. Alle diese fast revolutionären mathematikdidaktischen 

Neuheiten trugen in sich die 

Chance, Unterricht themenreicher, dynamischer 

und erfolgreicher zu machen. 

Wer neue Technologien für Lernprozesse 

dienstbar machte, tat dies mit einem gewissen 

Pioniergeist auf der Basis seiner eigenen Ideen 

und Vorstellungen; er wurde in seinem Unterricht 

und in Prüfungen in vielen Bundesländern kaum 

durch curriculare Zwänge und Regularien eingeengt. 

Auf diese Weise wurden neue, schöne Themen 

für den Mathematikunterricht erschlossen, 

die sowohl im Bereich der theoretischen wie auch 

der angewandten Mathematik lagen. 

In der Zwischenzeit haben sich die Bedingungen 

für Mathematikunterricht wesentlich geändert: 

Kernlehrpläne, zentrale Abiturprüfungen, 

Abschlussprüfungen am Ende der Sekundarstufe 

1, Lernstandserhebungen und insbesondere G8, 

also die Einführung des achtjährigen Gymnasiums, 

engen die Themenbereiche des Mathematikunterrichts 

und damit auch die Weite der möglichen 

Nutzung neuer Technologien erheblich ein; 

dies in nahezu allen Bundesländern. Was vom mathematischen 

Gegenstand her gesehen durchaus 

seine Berechtigung hat, wird so häufig zum Exoten. 

Mathematikunterricht befindet sich also in einer 

Umbruchsituation, die einerseits in der Bereicherung 

liegt, die sich aus den neuen Technologien 

ergibt, und die andererseits durch zentrale Prüfungen 

bestimmt wird. Im folgenden möchte ich 

! 

zunächst auf die großen Vorteile eingehen, die in 

den neuen Programmen und insbesondere in ihrer 

vernetzten Verwendung für den Unterricht liegen, 

um dann des weiteren auf die Problematik einzugehen, 

die sich daraus ergibt, dass natürlich insbesondere 

Computer-Algebra-Systeme in Zukunft 

immer weiter im Unterricht Verwendung finden 

und dass Abschlüsse durch zentrale Prüfungen erworben 

werden. 

2 Beschleunigen oder Vorsprung 

durch Technik 

Neue Technologien setzten sich seit ihrem Aufkommen 

vor ca. fünfundzwanzig Jahren nur sehr 

zögerlich im Mathematikunterricht durch. Ich 

glaube, sagen zu dürfen, dass in der näheren Vergangenheit 

viel Chancen, Unterricht effektiver zu 

machen, verpasst wurden. 

Denn es gibt zahlreiche, mit Sicherheit nicht 

exotische Unterrichtsszenarios, in denen der Einsatz 

neuer Technologien zu erheblichen Lernfortschritten 

führen kann und die in jedem zeitgemäßen 

Oberstufenunterricht bedeutsam sein könnten. 

! 

! 

Abbildung 6.1: Tangentenproblem. Punkt B wandert 

auf der Parabel 

! 

27


Dabei unterscheide ich die beiden Bereiche 

Visualisieren und Werkzeuge einsetzen bzw. Explorieren. 

Bei dem folgenden Tangentenproblem 

gehe ich exemplarisch in die Details, um zu beschreiben, 

was ich meine, und liste dann weitere 

Themenbereiche ohne Vollständigkeit auf. 

Ich betrachte das Tangentenproblem am Anfang 

der Analysis als eines der schwierigsten und 

wichtigsten Probleme des Oberstufenunterrichts. 

Mit DGS etwa lässt es sich hervorragend in seiner 

Dynamik, hinter der sich natürlich der Grenzwert 

verbirgt, visualisieren: Punkt B auf dem Graphen 

wandert und mit ihm die Sekante; dies nicht 

nur für Parabeln, sondern auch für weitere Funktion 

und für unterschiedliche Typen von Graphen. 

Bewegung fördert Verstehen, und Verstehen heißt 

hier, den Zusammenhang zwischen Tangente, Sekante, 

Differenzenquotient und Grenzwert zu sehen. 

Betrachten wir das Tangentenproblem aus 

dem Blickwinkel der linearen lokalen Approximation, 

so ist es naheliegend, für die Tangente 

und eine Sekante mit einem CAS jeweils den Fehler 

zwischen Funktionsterm und Geradenterm zu 

zeichnen, um zu sehen, wie die Approximation 

durch die Tangente qualitativ besser erfolgt als bei 

der Sekante. 

! 

Abbildung 6.2: Approximation mit Tangente und 

Sekante 

! 

Abbildung 6.3: Fehler bei Tangente und Sekante ! 

Sekante 

28 

! 

Man sieht hier, wie die Vernetzung zweier 

Programme zwei Aspekte einer Idee miteinander 

verbindet und dadurch den Kerngedanken verdeutlicht. 

Q 

P 

! 

! 

Abbildung 6.4: Parabelkonstruktion in DynaGeo 

Ich ergänze einen weiteren Aspekt. Eine Parabel 

ist bekanntlich die Ortskurve aller Punkte, 

die von ein einer Geraden, der Leitgeraden und 

einem Punkt, dem Brennpunkt, die gleiche Entfernung 

haben. In der DynaGeo-Konstruktion ist 

F der Brennpunkt und g die Leitgerade. Die Gerade 

durch P und Q steht senkrecht auf g und wandert 

rechtwinklig zu g, wenn P mit der Maus auf g 

bewegt wird. Da das Dreieck FQP gleichschenklig 

ist, zeichnet Q die Parabel. „Offensichtlich“ ist 

die Senkrechte durch Q zu FP die Tangente an die 

Parabel in Q. Man sieht, dass im Spezialfall der 

Parabel auf sehr einfache Weise Tangenten auch 

elementargeometrisch nicht nur für Kreise konstruiert 

werden können. Der Gedanke ist natürlich 

auf Ellipsen und Hyperbeln ausbaufähig. Ändert 

man nun in DynaGeo die Lage von F oder die der 

Leitgeraden, so kann man studieren, wie sich der 

Graph der Parabel verändert. 

Mit CAS öffnet sich zur Exploration von mathematischen 

Sachverhalten ein weites Feld, das 

ich nur in wenigen Punkten andeuten möchte, da 

sich dessen die schulischen Lehrbücher langsam 

annehmen: 

⊲ der weite Bereich der Kurvendiskussion mit Variation 

von Parametern, 

⊲ Krümmung und Krümmungsformel 

⊲ Taylorpolynome 

⊲ logistisches Wachstum und andere Wachstumsprozesse, 

⊲ Lösung komplizierterer Gleichungen, 

⊲ Modellbildung mit Regression 

⊲ Modellbildung mit Matrizenpotenzen 

⊲ die Welt der Tabellenkalkulation 

Bremsen oder das Prinzip Bescheidenheit 

F 

g

Neue Technologien und ihre Vernetzung im Rahmen curricularer Überlegungen 

Generell und unter den oben angesprochenen 

veränderten Bedingungen macht es keinen Sinn, 

die Gegenstandsbereiche des Mathematikunterrichts 

beliebig auszuweiten. Die Diskussion der 

vergangenen beiden Jahrzehnte hat meines Erachtens 

überzeugend gezeigt, dass die sogenannten 

Fundamentalen Ideen und Inhalte sinnvollerweise 

als Richtschnur für relevante Inhalte des Mathematikunterrichts 

anzusehen sind. Dabei handelt es 

sich im wesentlich um die folgenden Ideen, wenn 

auch die fachliche Diskussion nie zu einem abschließenden, 

von allen akzeptierten Kanon geführt 

hat: 

⊲ Zahl und Messen, 

⊲ räumliches Strukturieren, 

⊲ funktionaler Zusammenhang, 

⊲ Wahrscheinlichkeit, 

⊲ Algorithmus, 

⊲ Modellieren. 

In diesem Zusammenhang scheint es mir angesichts 

der in den letzten Jahren aufgekommenen 

– leider nicht genügend reflektierten – Überbetonung 

des Anwendungsaspekts im Mathematikunterricht 

wichtig, dass die Idee des Modellierens 

richtig gesehen wird. Das Kernproblem in einem 

Modellierungsprozess liegt in der Übersetzung 

des realen Sachverhalts in einen mathematischen. 

Das erfordert einerseits eine Abstraktion, 

andererseits kann dieser Vorgang aber auch mit 

dem Ziel der Unterrichtbarkeit im Hinterkopf so 

zu Vereinfachungen führen, dass die Realisierung 

im Unterricht schließlich nicht überzeugt. Kurz, 

einer so aufkommenden Neomathematik sollten 

wir mit Vorsicht begegnen. Wenn dann zudem 

wertvolle andere Unterrichtsinhalte geopfert werden, 

entsteht eine Situation, die nicht weiterführt. 

Der Gedanke, mit Hilfe der neuen Rechner sei 

endlich ein ernstzunehmender Anwendungsbezug 

möglich, ist mit Vorsicht zu sehen. 

Sehr viel sinnvoller als der Einsatz neuer 

Technologien bei bedenklichen Modellierungen 

kann es sein, mit der rechnerischen und graphischen 

Unterstützung von CAS, von dynamischer 

Geometriesoftware und von Tabellenkalkulation 

mathematische Grundideen durch mehr Beispiele, 

andere Funktionen oder größere Datenmengen 

zu konkretisieren. Das kann z. B. geschehen 

⊲ bei Differenzenquotienten, siehe oben, 

⊲ bei der Untersuchung von Funktionen in sinnvollen 

Anwendungen, 

⊲ bei numerischer Integration, etwa dem Integral 

die Glockenkurve, 

⊲ in der Stochastik 

⊲ in Zukunft sicher auch in der Raumgeometrie 

⊲ bei ganz vielen kleinen und großen Übungsaufgaben, 

⊲ in der Sekundarstufe I 

⊲ . . . 

3 Fundamentale Techniken und 

Verfahren 

Zu den fundamentalen Ideen gehört insbesondere 

im Zeitalter von faszinierenden und weitreichend 

verfügbaren CAS-Taschenrechnern die Frage, 

über welche fundamentalen Techniken und 

Verfahren junge Leute heutzutage mit Papier und 

Bleistift verfügen sollen. Oder allgemeiner ausgedrückt: 

Mit dynamischer Geometriesoftware, mit 

Tabellenkalkulation und mit Programmen für spezielle 

Fragestellungen haben wir Hilfsmittel, die 

Mathematikunterricht verändern und bereichern, 

aber keine Kernqualifikationen wie etwa das Lösen 

von Gleichungen überflüssig machen. Mit 

CAS-Rechnern jedoch entsteht eine veränderte Situation, 

die unsere Wertvorstellungen darüber, was 

noch könnens- und lernenswert ist, was demzufolge 

mit welchem Aufwand unterrichtet werden 

soll, in Frage stellt. 

Unsere derzeitigen Vorstellungen basieren neben 

den fundamentalen Ideen vor allem auf der 

Meraner Reform von 1905, und davon brauchten 

wir heutzutage eine weitere. Das ist nach mehr 

als hundert Jahren auch nicht verwunderlich. In 

ihr müsste sich die Community darüber einigen, 

was wir von unseren Schulerinnen und Schülern 

mit dem Werkzeug Papier und Bleistift erwarten 

und was wir der Black Box CAS überlassen. Also 

müsste in der Tat die von Wilfried Herget formulierte 

Frage „Wie viel Termumformung braucht 

der Mensch?“ zunächst beantwortet werden, und 

dann erst könnte man mit Recht CAS in zentralen 

Prüfungen zulassen. 

Die nachfolgende Liste verstehe ich nur 

als Diskussionsbeitrag zur Didaktik von CAS- 

Rechnern. Auf Hergets Frage Antworten zu finden, 

denen viele zustimmen, dürfte nicht leicht 

fallen. Dass Schülerinnen und Schüler der SII 

Computer-Algebra-Rechner verwenden, macht 

aus meiner Sicht nur dann Sinn, wenn sie auch ohne 

CAS über folgende Qualifikationen verfügen: 

⊲ Terme durchschauen und sinnvoll verändern, 

⊲ Gleichungen überblicken, zielorientiert umformen 

und lösen, 

⊲ dabei die Anzahl von Lösungen überblicken, 

⊲ Bezüge zwischen Funktion, Term, Graph und 

Gleichung sehen, 

⊲ Funktionsprototypen kennen und mit einfachen 

Gestalt- und Lageveränderungen der Prototypen 

umgehen können, 

⊲ das Instrument Ableitung sinnvoll anwenden, 

⊲ Integrale berechnen und in geometrischen und 

nicht geometrischen Situationen anwenden, 

⊲ mit Vektoren, Skalarprodukten und Matrizen 

umgehen, 

⊲ Binomial- und evtl. Normalverteilung durchschauen 

und anwenden, 

⊲ . . . 

29


Des weiteren: Zu einem anspruchsvollen Mathematikunterricht 

gehört es auch, junge Leute das 

Gefühl der Tiefe mathematischer Probleme erfahren 

zu lassen; die falsche Alternative wäre clicking 

versus thinking. So dürfte man sich etwa in der Integralrechnung 

bei der Suche nach Stammfunktio- 

nen für 

 

x 

x2 dx und 

+ 4 

 

x 2 

x 2 + 4 dx 

nicht auf clicking beschränken, sondern man 

müsste die Unterschiede zwischen den beiden Integralen 

verdeutlichen, und man müsste, wenn 

man schon Bogenlängen thematisiert, bei ihrer 

Behandlung klarmachen, dass Bogenintegrale 

schnell in die mathematische Tiefe führen. Ich erwähne 

die beiden Beispiele nicht, weil ich meine, 

man müsste sie unbedingt unterrichten; ich will 

nur verdeutlichen, was ich unter Tiefe im Mathematikunterricht 

verstehe. 

4 Und Prüfen 

Eine Prüfung kann ich mir derzeit mit folgenden 

Rechnertypen verstellen: 

(1) Einfacher Taschenrechner ohne Graphik: In 

der schriftlichen Prüfung ist nur ein einfacher 

Taschenrechner zugelassen. Dafür spricht, 

dass neben dem erforderlichen inhaltlichen 

Verständnis alle anfallenden Rechnungen bis 

auf die TR-Anwendung auf dem Papier 

durchgeführt werden müssen. 

(2) Luxus-Taschenrechner ohne Graphik: Es gibt 

mittlerweile TR ohne Graphik, die über viele 

hilfreiche numerische Routinen verfügen und 

wenig Geld kosten. 

(3) GTR: Neben der Graphik verfügen die Geräte 

wie in (2) über beachtliche numerische Algo- 

30 

rithmen. 

(4) CAS-Taschenrechner: Auch wenn der CAS- 

TR immer verfügbar ist, sollte bei der Konstruktion 

von Klausuren bedacht werden: 

Man könnte bei einem Teil der Aufgaben verlangen, 

dass alle Rechenschritte ausschließlich 

auf dem Papier erfolgen. 

(5) CAS im PC: Diese Variante ist in der gegenwärtigen 

schulischen Situation eher die Ausnahme, 

da sie mit erheblichen organisatorischem 

Aufwand verbunden ist. 

Dazu noch drei Anmerkungen: Ein Problem für 

Zentralprüfungen liegt darin, dass bei den Typen 

(1), (2) und (3) Abgrenzungen in Bezug auf die 

numerischen Fähigkeiten der Geräte schwer fallen. 

Die Varianten (2) bis (5) haben gegenüber 

Variante (1) den Charme, dass der Bereich möglicher 

Themen für Unterricht und Prüfung erheblich 

wächst. Die Verwendung von CAS im Unterricht 

– auch das muss man sehen – heißt zudem 

nicht notwendig, dass dann in der Klausur auch 

jeweils ein CAS-Rechner verfügbar sein müsste: 

Man könnte sich darauf beschränken, mögliche 

CAS-Anwendungen beschreiben zu lassen. 

Lediglich auf die konkrete Anwendung oder Exploration 

in der Klausur wäre in diesem Fall zu 

verzichten. 

Zusammengefasst: Der Einsatz neuer Technologien 

und ihre Vernetzung müsste zunehmen, 

weil der unterrichtliche Gewinn außer Zweifel 

steht – also beschleunigen. Neue Technologien 

sollten sinnvollerweise nur sehr begrenzt traditionelle 

Unterrichtsinhalte ausweiten – also bremsen. 

Wir müssen dringend an einer CAS-Didaktik arbeiten, 

um zu realistischen Vorstellungen in bezug 

auf Szenarios für zentrale Prüfungen zu kommen, 

wenn schon zentral geprüft wird.

• Überzeugungen von Studierenden zum Computereinsatz im 

Mathematikunterricht und deren Weiterentwicklung in einer 

Lehrveranstaltung 

Sebastian Kuntze und Christine Bescherer, Ludwigsburg 

Auf den Computereinsatz im Mathematikunterricht bezogene Überzeugungen und Fähigkeitsselbstkonzepte 

von Lehramtsstudierenden kommen als bedeutsame Einflussfaktoren auf die Computernutzung 

im späteren Unterricht der angehenden Lehrkräfte in Betracht. Aus diesem Grunde wurden 

in der vorliegenden Studie Befragungsinstrumente zu solchen Überzeugungen und Fähigkeitsselbstkonzepten 

eingesetzt. Untersucht wurden Zusammenhänge zwischen diesen Überzeugungen und 

Fähigkeitsselbstkonzepten sowie deren Entwicklung während fünf parallelisierter Kurse zum Computereinsatz 

im Mathematikunterricht mit insgesamt über 70 Teilnehmerinnen und Teilnehmern. 

Dabei stand auch die Evaluation des Befragungsinstruments mit im Vordergrund. 

1 Einführung 

Sowohl auf Lerngegenstände bezogene Fähigkeitsselbstkonzepte 

als auch auf diese Lerngegenstände 

gerichtete Überzeugungen können nachfolgende 

Wissensaufbauprozesse beeinflussen. Daher 

sind für die Nutzung von Lernangeboten zu 

Möglichkeiten des Computereinsatzes im Mathematikunterricht, 

wie sie im Rahmen von Lehrer(innen)bildung 

und -fortbildung gemacht werden, 

computernutzungsbezogene Überzeugungen 

und Fähigkeitsselbstkonzepte der Lernenden von 

Bedeutung. 

Aus diesem Grunde werden in dieser Studie 

derartige, auf den Einsatz von Rechnern im 

Unterricht bezogene Überzeugungen und computernutzungsbezogene 

Fähigkeitsselbstkonzepte 

untersucht. Die Ergebnisse geben auch Aufschluss 

über die Zusammenhangstruktur der betrachteten 

Konstrukte und über Entwicklungen computereinsatzbezogener 

Überzeugungen während einer 

Lehrveranstaltung zum Computereinsatz im Mathematikunterricht. 

Im Folgenden wird zunächst in den theoretischen 

Hintergrund der Studie eingeführt. Die 

sich daraus ergebenden Forschungsfragen und das 

Untersuchungsdesign werden anschließend vorgestellt, 

bevor Ergebnisse berichtet und diskutiert 

werden. 

2 Theoretischer Hintergrund 

Bei aller Vorsicht angesichts der Diversität 

von Ansätzen zum Computereinsatz im Mathematikunterricht 

können zentrale Ziele für die 

Lehrer(innen)aus- und -fortbildung in diesem Bereich 

darin gesehen werden, dass die angehenden 

oder praktizierenden Lehrkräfte 

⊲ möglichst gute Kenntnis von Möglichkeiten der 

Schaffung von Lerngelegenheiten mit Softwarenutzung 

im Mathematikunterricht haben und 

⊲ eine kritische, fachdidaktisch orientierte Perspektive 

auf die Gestaltung von computerbasierten 

Lerngelegenheiten und damit zusam- 

menhängenden curricularen Strukturen einnehmen 

können. Dazu ist es zweifellos sinnvoll, 

diesbezügliche fachdidaktische Ansätze zu kennen 

[vgl. z.B. Weigand & Weth, 2002; Heugl 

et al., 1996; Heugl, 2005; Peschek, 1999; Löthe, 

1992]. 

Für den Wissensaufbau in diesem Bereich dürfte 

es eine Reihe auch spezifischer Bedingungsvariablen 

geben. Als mögliche Einflussfaktoren auf den 

Aufbau fachdidaktischen Wissens zum Computereinsatz 

im Mathematikunterricht sind beispielsweise 

eigene Erfahrungen zum Computereinsatz 

im Mathematikunterricht (aus Schüler(innen)oder 

Lehrer(innen)perspektive), eigene Fähigkeiten 

und Erfahrungen im Umgang mit Computern 

sowie Fähigkeitsselbstkonzepte zum Umgang mit 

Computern zu zählen. Letztere dürften ihrerseits 

auch zum Aufbau unterschiedlicher Überzeugungen 

zum Computereinsatz im Mathematikunterricht 

beitragen können. Computereinsatzbezogenes 

Wissen und Überzeugungen können als bereichsspezifische 

Komponenten von pedagogical 

content knowledge bzw. pedagogical content beliefs 

[Shulman, 1986, 1987] eingeordnet werden 

und kommen als Kontextfaktoren für den Kompetenzaufbau 

bei Schülerinnen und Schülern in 

Frage [vgl. Unterrichtsmodell von Pekrun und 

Reiss in Reiss, 2005]. In dem Modell von Pekrun 

und Reiss werden als Kontextvariablen auf 

Seiten der Lehrkraft auch Überzeugungen und 

motivationale und damit selbstkonzeptbezogene 

Konstrukte mit berücksichtigt, zu denen die im 

Folgenden vorgestellten computereinsatzbezogenen 

Überzeugungen und computernutzungsspezifischen 

Fähigkeitsselbstkonzepte zählen. 

2.1 Überzeugungen von Lehrkräften zum 

Computereinsatz im 

Mathematikunterricht 

Ein qualitätvoller Computereinsatz im Mathematikunterricht 

erfordert fachdidaktisches Wissen 

und mit diesem Wissen korrespondierende un- 

31


terrichtsbezogene Überzeugungen. Eine Auswahl 

an Vorstellungen von Mathematiklehrkräften, die 

sich auf fachdidaktische Ansätze zum Computereinsatz 

im Mathematikunterricht beziehen, wurden 

von Kuntze [2011] vorgestellt. An diese Studie 

schließt die vorliegende Untersuchung an. Folgende 

Aspekte erscheinen von Bedeutung [vgl. 

Kuntze, 2011]: 

Zu eher übergreifenden bzw. relativ unspezifischen 

Überzeugungen gehören die folgenden 

Aspekte: 

⊲ Inhaltsunspezifisches Motivationspotential des 

Computereinsatzes: Hierunter wird die Überzeugung 

verstanden, dass Computereinsatz inhaltsunspezifisch 

motivierend auf Lernende 

wirkt. 

⊲ Computereinsatz als beeinträchtigendes zusätzliches 

Hindernis: Diese Überzeugung, nach der 

Computereinsatz mathematikbezogenen Wissensaufbau 

beeinträchtigt und der Umgang mit 

dem Rechner Aufmerksamkeits- und Denkressourcen 

zu Lasten des mathematikbezogenen 

Wissensaufbaus bindet, kann in der „cognitive 

load theory” von Sweller [1994] verankert 

gesehen werden, nach der „extraneous cognitive 

load” möglichst vermieden werden sollte. 

Extraneous cognitive load kann beim Computereinsatz 

darin bestehen, dass die für das zu 

Erlernende in der Regel irrelevante Fähigkeit, 

ein Programm zu bedienen, erst erworben werden 

muss und so kognitive Ressourcen mit beansprucht. 

⊲ Positive Einstellung zum Computereinsatz vor 

dem Hintergrund eigenen Interesses am Experimentieren 

mit Software: Hierunter fällt 

die Überzeugung, Lernenden computergestützte 

Lerngelegenheiten zugänglich machen zu 

wollen, die man selbst als positiv erlebt hat, was 

mit der Befürwortung von Computereinsatz auf 

der Basis von Freude an der eigenen Beschäftigung 

mit Mathematiksoftware korrespondieren 

kann. 

Überzeugungen mit stärkerem fachdidaktischen 

Bezug sind: 

⊲ Verständnisunterstützung durch Visualisierungsmöglichkeiten: 

Dies betrifft die Wahrnehmung 

von Möglichkeiten der verbesserten 

Verständnisunterstützung durch Visualisierung 

[vgl. Weigand & Weth, 2002]. 

⊲ Lernpotential durch explorative Herangehensweisen: 

Hierbei ist die Wahrnehmung von 

Möglichkeiten gemeint, explorative und experimentelle 

Zugänge zu schaffen [vgl. z.B. Black- 

Box/White-Box-Vorgehen Heugl et al., 1996]. 

⊲ Förderung des Lernens durch Navigation, 

Rückmeldungen und Hilfen: Dieser Überzeugungsbereich 

betrifft die Wahrnehmung, dass 

Rückmeldungen, Hilfen und Navigationsmög- 

32 

lichkeiten, wie sie in rechnergestützte Lernangebote 

integriert werden können, lernförderlich 

sind (Hintergrundüberlegungen z.B. bei Jacobs 

[2002]). 

⊲ Vorstellung entsprechend des Auslagerungsprinzips: 

Hier geht es um die Wahrnehmung 

von Vorteilen, entsprechend des Auslagerungsprinzips 

algorithmische Tätigkeiten und Prozeduren 

an Computerwerkzeuge auszulagern 

[vgl. Peschek, 1999]. 

Überzeugungen, die sich auf fachdidaktisch relevante 

Anforderungen an computergestützten Mathematikunterricht 

beziehen, sind beispielsweise: 

⊲ Notwendigkeit curricularer Änderungen: Diese 

Überzeugung spiegelt entsprechende fachdidaktische 

Forderungen zum Computereinsatz 

wider [z.B. Heugl, 2005; Heugl et al., 1996; Löthe, 

1992]. 

⊲ Computereinsatz ohne inhaltliche Neuerungen: 

Dies betrifft die Sichtweise, dass Computereinsatz 

keine wesentlich andersartigen Herangehensweisen 

und Inhalte im Mathematikunterricht 

herbeiführen könne. 

Zu Überzeugungen bezüglich möglicher Auswirkungen 

spezifischer Formen des Computereinsatzes 

im Mathematikunterricht gehören [vgl. Tönnies, 

1999]: 

⊲ Verlernen von Algebra-Wissen durch CAS- 

Einsatz: Dieser Aspekt betrifft die Ablehnung 

regelmäßigen CAS-Einsatzes aufgrund der Befürchtung, 

dass algorithmische Fähigkeiten etwa 

des algebraischen Umformens von Termen 

verlernt werden. 

⊲ Verlernen des Konstruierens von Hand durch 

DGS-Einsatz: Analog zum vorangegangenen 

Aspekt geht es hierbei um die Ablehnung eines 

regelmäßigen DGS-Einsatzes aufgrund der 

Befürchtung, dass Fähigkeiten des Konstruierens 

von Hand bei den Lernenden beeinträchtigt 

werden. 

Nähere Erläuterungen zu den meisten der oben 

vorgestellten Aspekte finden sich in [Kuntze, 

2011]. Eine Erweiterung stellen die beiden letzteren 

Überzeugungsbeeiche dar. 

2.2 Selbstkonzepte zum Umgang mit 

Computern 

Fähigkeitsselbstkonzepte stellen bedeutsame Einflussgrößen 

auf nachfolgendes Lernen dar [Helmke 

& Weinert, 1997], was als Wirkungszusammenhang 

unter anderem mit einer erhöhten 

Frustrationstoleranz beim Lernen erklärt wird. 

Für Persönlichkeitsmerkmale in diesem Bereich 

gibt es verschiedene Begriffsprägungen (Selbstwirksamkeitserwartung, 

akademisches Selbstkonzept, 

Selbstwirksamkeit, Fähigkeitsselbstbilder, 

. . . [Bandura, 1977; Pekrun, 1983; Helmke & 

Weinert, 1997]), die hier im Wesentlichen synonym 

verwendet werden. Fähigkeitsselbstkonzep-

Überzeugungen von Studierenden zum Computereinsatz im Mathematikunterricht 

te können bereichsspezifisch ausgeprägt sein. Gerade 

bereichsspezifische Fähigkeitsselbstkonzepte 

haben sich als besonders prädiktiv für Lernleistungen 

herausgestellt [Helmke & Weinert, 1997]. 

Nicht zuletzt aus diesen Gründen wurden Fähigkeitsselbstkonzepte 

zum Umgang mit Computern 

bereits in vielen Studien untersucht [Cassidy 

& Eachus, 2002; Kohlmann et al., 2005; Barbeite 

& Weiss, 2004; Compeau & Higgins, 1995; Delcourt 

& Kinzie, 1991; Karsten & Roth, 1998; Miura, 

1987; Potosky, 2002; Murphy et al., 1989; 

Loyd & Gressard, 1984; Webster & Martocchio, 

1992; Spannagel & Bescherer, 2009; Bescherer & 

Spannagel, i.V.]. Cassidy & Eachus [2002] rechnen 

bei ihrem Erhebungsinstrument unter anderem 

die folgenden Aspekte zur Selbstwirksamkeitserwartung 

bezüglich des Umgangs mit Computern 

(„CUSE – Computer use self efficacy“), 

die teilweise auch über reine Fähigkeitsselbstkonzepte 

hinauszugehen scheinen (vgl. die Kritik von 

Kohlmann et al. [2005]): 

⊲ Überzeugung von eigenen Fähigkeiten im Umgang 

mit Computern 

⊲ Wahrnehmung der Abwesenheit von Hürden 

dem Umgang mit Computern gegenüber 

⊲ Emotionale Aspekte wie Spaß, Freiheit von 

Angst oder Frust beim Umgang mit Computern 

⊲ Überzeugung, dass Computer Lernprozesse unterstützen 

können 

Das Fragebogeninstrument von Cassidy & Eachus 

[2002] wurde übersetzt und leicht abgeändert 

[Spannagel & Bescherer, 2009; Bescherer & 

Spannagel, i.V., CUSE-D] und stand für diese Studie 

zur Verfügung. 

Ein weiterer Aspekt von Selbstkonzepten im 

Zusammenhang mit der Nutzung von Computern, 

der bereits in einigen Studien untersucht worden 

ist, ist die so genannte Cognitive Playfulness 

[Webster & Martocchio, 1992; Dunn, 2004]. Dieses 

Selbstkonzept betrifft die Sicht des eigenen 

Umgangs mit Computern als spontan, kreativ, verspielt 

oder erfinderisch, d.h. gibt wieder, wie spielerisch 

Lernende ihren eigen Umgang mit dem 

Computer sehen [Bescherer & Spannagel, i.V.]. 

2.3 Eigene Erfahrungen von Studierenden 

zum Computereinsatz im 

Mathematikunterricht aus der 

Schülerperspektive 

Eigene Erfahrungen mit Computereinsatz im 

Mathematikunterricht könnten bei der Entstehung 

von Überzeugungen zum Computereinsatz 

im Mathematikunterricht eine wesentliche Rolle 

spielen. Von Interesse sind daher beispielsweise 

die eigene Wahrnehmung oder Erfahrungen 

mit „gutem“ oder „schlechtem“ Computereinsatz 

in Unterrichtssituationen, die Studierende 

aus der Schülerperspektive oder auch aus der Lehrerperspektive 

erlebt haben. Insbesondere Vorstel- 

lungen zur Qualität solcher Unterrichtssituationen 

könnten eine wesentliche Rolle für die in 

2.1 angesprochenen Überzeugungsbereiche spielen. 

Darüber hinaus können auch Erfahrungen 

mit mathematikunterrichtsrelevanter Software innnerhalb 

oder außerhalb von Unterrichtssituationen 

Überzeugungen zum Computereinsatz mitprägen. 

Derartige Merkmale sollten in entsprechenden 

Untersuchungen mit einbezogen werden, 

wobei sich aufgrund des Forschungsstandes eine 

teilweise explorative Herangehensweise empfiehlt. 

3 Forschungsfragen 

Die folgenden Forschungsfragen stehen vor dem 

Hintergrund der angestellten Überlegungen im 

Mittelpunkt: 

1. Können die untersuchten computerbezogenen 

Überzeugungen und Selbstkonzepte mit dem 

Fragebogeninstrument reliabel erhoben werden? 

2. Welche auf den Computereinsatz im Mathematikunterricht 

bezogenen Überzeugungen haben 

die untersuchten Lehramtsstudierenden? 

3. Welche computerbezogenen Selbstkonzepte 

haben die untersuchten Lehramtsstudierenden? 

4. Gibt es Zusammenhänge zwischen den erhobenen 

computerbezogenen Selbstkonzepten und 

Überzeugungen zum Computereinsatz im Mathematikunterricht? 

5. Von welchen Erfahrungen mit als positiv empfundenen 

Situationen des Computereinsatzes 

in ihrer Schulzeit können die Studierenden berichten? 

6. Können bei den Teilnehmenden einer fachdidaktisch 

orientierten Lehrveranstaltung Entwicklungen 

in den Überzeugungen zum Computereinsatz 

im Mathematikunterricht beobachtet 

werden? 

4 Untersuchungsdesign 

Die Datenbasis dieser Untersuchung bezieht sich 

auf eine Befragung von Lehramtsstudierenden vor 

Beginn und am Ende von fünf inhaltlich parallelisierten 

Seminaren zum Thema „Computereinsatz 

im Mathematikunterricht“ im Sommersemester 

2008. Eines dieser Seminare fand an der LMU 

München und vier an der PH Ludwigsburg statt. 

Befragt wurden insgesamt N = 73 Lehramtsstudierende 

(55 Studentinnen und 18 Studenten), 

davon 58 Realschullehramtsstudierende, 13 

Grund- und Hauptschullehramtsstudierende und 

2 Studierende der Sonderpädagogik. Das mittlere 

Alter der Teilnehmenden betrug 24,25 Jahre 

(SD = 4,59), die mittlere Semesteranzahl 4,78 Semester 

(SD = 1,25). Da bereits in der Vorläuferstudie 

[Kuntze, 2011] eine Vergleichsgruppenuntersuchung 

umgesetzt worden war und im Hinblick 

auf die hier verfolgten Forschungsinteres- 

33


sen, die in erster Linie auf Zusammenhänge zwischen 

Konstrukten fokussieren, wurde auf eine 

Non-Treatment-Kontrollgruppe verzichtet. 

Das Befragungsinstrument bestand in einem 

Paper-and-Pencil-Fragebogen mit offenen und geschlossenen 

Items. Einem Teil der Studierenden 

wurde am Ende der Veranstaltung ein zweiter Fragebogen 

vorgelegt. 36 Studierende beantworteten 

beide Fragebögen. 

Der Fragebogen zu Beginn der Veranstaltung 

enthielt die folgenden Teile: 

⊲ Offene Items zu Situationen mit „gutem“ und 

„schlechtem“ Computereinsatz im Mathematikunterricht 

der eigenen Schulzeit 

⊲ Standardisierte Items zu Überzeugungen hinsichtlich 

des Computereinsatzes im Mathematikunterricht 

[Kuntze, 2011] 

⊲ Standardisierte Items zur computernutzungsbezogenen 

Selbstwirksamkeitserwartung [Spannagel 

& Bescherer, 2009, CUSE-D] 

⊲ Standardisierte Items zur Cognitive Playfulness 

[Bescherer & Spannagel, i.V.] 

⊲ Items zu persönlichen Daten und zu eigenen Erfahrungen 

mit Computern/Software 

Der Fragebogen am Ende der Veranstaltung enthielt 

die folgenden Teile: 

⊲ Standardisierte Items zu Überzeugungen hinsichtlich 


[Kuntze, 2011] 

⊲ Offene Items zu Lernfortschritten und Feedback 

Beispielitems zu den Skalen der Multiple- 

Choice-Fragebogen-Teile finden sich in den Tabellen 

7.1 und 7.2. 

5 Ergebnisse 

Im Folgenden werden Ergebnisse der Studie gegliedert 

nach den Forschungsfragen zusammengefasst. 

5.1 Auswertungen zum 

Fragebogeninstrument 

Entsprechend der ersten Forschungsfrage wurde 

für die standardisierten Fragebogenteile die Reliabilität 

der betrachteten Skalen untersucht. In 

Tab. 7.1 sind die Reliabilitätswerte der Überzeugungsskalen 

für die beiden Befragungszeitpunkte 

dargestellt. Im Vergleich zur Vorgängerstudie 

[Kuntze, 2011] konnten die guten bis ausreichenden 

Reliabilitäten repliziert und teils verbessert 

werden. Ähnlich wie in der Vorläuferstudie gelang 

es nicht, die Skala „keine inhaltlichen Neuerungen 

durch Computereinsatz (CKN)“ zu beiden Befragungszeitpunkten 

reliabel zu operationalisieren. 

Die in Tab. 7.2 wiedergegebenen Reliabilitätswerte 

der CUSE-D-Skala sowie der Cognitive 

Playfulness sind befriedigend. Eine ergänzende 

Faktorenanalyse für die CUSE-D-Items, die 

den in 2.2 genannten Aspekten zugeordnet wer- 

34 

den können, bestätigt die Möglichkeit, Subskalen 

zu betrachten, deren gute Reliabilitätswerte ebenfalls 

in Tab. 7.2 aufgeführt sind. Aus diesem Grunde 

und im Sinne einer differenzierten Betrachtung 

werden zusätzlich zur etablierten CUSE-D-Skala 

die vier in Tab. 7.1 genannten Subskalen ausgewertet. 

5.2 Überzeugungen zum Computereinsatz 

im Mathematikunterricht – deskriptive 

Ergebnisse 

Tab. 7.1 zeigt die Skalenmittelwerte der computereinsatzbezogenen 

Überzeugungen. 

Mit Ausnahme der im Mittel positiven Einschätzungen 

zu den Skalen „explorative Herangehensweisen 

(CEX)“ und „Verständnisunterstützung 

durch Visualisierungsmöglichkeiten (CVI)“ 

zeigen sich durchschnittliche Einschätzungen nahe 

der jeweiligen Skalenmitte. Insbesondere dürften 

die Werte bei den neu hinzugenommenen Skalen 

„Verlernen von Algebra-Wissen durch CAS- 

Einsatz (CVA)“ und „Verlernen des Konstruierens 

von Hand durch DGS-Einsatz (CVG)“ auf vorhandene 

Befürchtungen der Studierenden zum Verlernen 

von Grundfähigkeiten hindeuten. 

5.3 Computernutzungsbezogene 

Selbstkonzepte – deskriptive Ergebnisse 

In Tab. 7.5 sind die Skalenmittelwerte der betrachteten 

Selbstkonzepte inklusive der CUSE- 

D-Subskalen dargestellt. Die Fähigkeitsselbstkonzeptmittelwerte 

fielen eher positiv aus, der Umgang 

mit Computern wurde im Mittel als eher 

nicht verwirrend gesehen. Negative Emotionen 

beim Umgang mit Computern waren im Mittel 

eher gering ausgeprägt. Die mittlere Einschätzung 

zur Subskala „Lernunterstützung durch den Computer“ 

war demgegenüber positiv. 

Die mittlere Einschätzung der eigenen Cognitive 

Playfulness wies einen moderat zustimmenden 

Wert auf, was den Erwartungen entspricht. 

5.4 Zusammenhänge zwischen den 

erhobenen Konstrukten 

Um Zusammenhänge zwischen den betrachteten 

Skalen zu untersuchen wurden Korrelationen berechnet 

(vgl. Tab. 7.5). Bei den auf den Computereinsatz 

bezogenen Überzeugungen konnten 

Ergebnisse zu Zusammenhängen repliziert werden, 

die sich in der Vorläuferstudie gezeigt hatten. 

So hingen bestimmte Skalen stärker mit anderen 

Skalen zusammen, wie etwa „Computereinsatz 

beeinträchtigendes zusätzliches Hindernis 

(CHI)“ oder „Computereinsatz und positive Innovationseinstellung 

(CIN)“. Skalen wie „Auslagerungsprinzip 

(CAU)“ und „Computereinsatz und 

Notwendigkeit curricularer Änderungen (CCU)“ 

zeigten nur relativ wenige signifikante Zusammenhänge 

mit anderen Skalen, was eine stärke-


Skala Beispielitem Anzahl Cronb. α Cronb. α 

Items 1. Befr. 2. Befr. 

CMO Computereinsatz 

inhaltsunspezifisch 

motivierend 

CHI Computereinsatz 

beeinträchtigendes 

zusätzliches Hindernis 

CIN Computereinsatz und 

positive 

Innovationseinstellung 

Unabhängig vom Thema wirkt Computereinsatz auf 

Schüler(innen) im Vergleich zum Normalunterricht 

immer motivierend. 

Das Einarbeiten in eine computergestützte 

Lernumgebung kostet die Schüler(innen) so viel 

Aufmerksamkeit, dass das Mathematik-Lernen 

behindert wird. 

Weil mir die Arbeit mit Computerprogrammen für 

den Mathematikunterricht selbst Spaß macht, 

möchte ich auch meinen Schüler(innen) in 

Mathematik Lernerlebnisse am Computer bieten. 

CAU Auslagerungsprinzip Weil algorithmische Verfahren nicht „zu Fuß“ 

ausgeführt werden müssen, können sich 

Schüler(innen) bei der Nutzung geeigneter 

Programme voll auf die Kerngedanken einer 

Problemlösung einlassen. 

CEX Explorative 

Herangehensweisen 

CVI Verständnisunterstützung 

durch Visualisierungsmöglichkeiten 

CMV Förderung des Lernens 

durch Navigation, 

Rückmeldungen und 

Hilfen 

CCU Computereinsatz und 

Notwendigkeit 

curricularer Änderungen 

CKN keine inhaltlichen 

Neuerungen durch 

Computereinsatz 

CVA Verlernen von 

Algebra-Wissen durch 

CAS-Einsatz 

CVG Verlernen des 

Konstruierens von Hand 

durch DGS-Einsatz 

Am Computereinsatz schätze ich, dass die 

Schüler(innen) selbst mit mathematischen Inhalten 

experimentieren und sich so mathematische 

Lerninhalte erarbeiten können. 

Computereinsatz im Mathematikunterricht bringt 

Visualisierungsmöglichkeiten, die bei den 

Schüler(innen) zu einem verbesserten Verständnis 

der Lerninhalte führen. 

In computergestützten Lernumgebungen helfen 

Rückmeldungen, Navigation und Hilfe-Funktionen 

den Schüler(innen) dabei, besser zu lernen. 

Computereinsatz im Fach Mathematik erfordert 

veränderte Lerninhalte, veränderte Lernziele, 

veränderte Aufgabenstellungen. 

Mathematikunterricht folgt mit oder ohne 

Computereinsatz letztlich dem gleichen 

Gedankenweg. 

Computeralgebrasysteme (CAS) würde ich nicht 

regelmäßig einsetzen, weil die Gefahr besteht, dass 

Schüler(innen) algebraische Umformungen 

verlernen. 

Man sollte Geometrieprogramme lieber nur selten 

einsetzen, damit die Schüler(innen) das Konstruieren 

von Hand nicht verlernen. 

4 0,86 0,79 

4 0,79 0,58 

3 0,89 0,88 

4 0,66 0,66 

5 0,75 0,81 

3 0,77 0,72 

4 0,70 0,70 

2 0,77 0,86 

2 (0,03) 0,60 

2 0,75 0,71 

2 0,82 0,68 

Tabelle 7.1: Überblick über in die Untersuchung einbezogene Skalen und Reliabilitätswerte 

re empirische Unabhängigkeit von den anderen 

Überzeugungskonstrukten impliziert. Signifikante 

erwartungswidrige Korrelationen konnten nicht 

beobachtet werden. 

Die Korrelationen bei den Selbstkonzept- 

Skalen fielen im Großen und Ganzen etwas stärker 

aus als bei den computereinsatzbezogenen Überzeugungen, 

die vergleichsweise moderaten Größenordnungen 

einiger der Zusammenhänge sprechen 

jedoch dafür, die Subskalen voneinander getrennt 

auszuwerten. Die hoch mit dem CUSE- 

D-Wert korrelierende Skala „computerbezogenes 

Fähigkeitsselbstkonzept“ könnte diese Gesamtskala 

in Folgestudien ersetzen. Die Korrelation 

zwischen der CUSE-D-Skala und der Cognitive 

Playfulness betrug r = 0,47 (zweiseitig signifikant 

mit p < 0,001). 

Von besonderem Interesse waren Zusammen- 

hänge zwischen computereinsatzbezogenen Überzeugungen 

einerseits und Selbstkonzept-Skalen 

andererseits. Hier (vgl. Tab. 7.6) zeigen sich deutliche 

Zusammenhänge vor allem der Überzeugungsskalen 

„Computereinsatz inhaltsunspezifisch 

motivierend (CMO)“, „Computereinsatz und 

positive Innovationseinstellung (CIN)“ und „Verständnisunterstützung 

durch Visualisierungsmöglichkeiten 

(CVI)“ mit computerbezogener Selbstwirksamkeitserwartung 

(CUSE-D), „computerbezogenem 

Fähigkeitsselbstkonzept“ und „negativen 

Emotionen zur Computernutzung“. Durchgängige 

signifikante Korrelationen mit allen Überzeugungsskalen 

ergeben sich für „Lernunterstützung 

durch den Computer“. Die Cognitive Playfulness 

korreliert demgegenüber mit keiner der 

Überzeugungsskalen signifikant. 

35


Skala Beispielitem Anzahl Cronb. α 

CUSE-D: computerbezogene Selbstwirksamkeitserwartung 

[Cassidy & Eachus, 2002; 

Bescherer & Spannagel, i.V.] 

⊲ Subskala 

„computerbezogenes Fähigkeitsselbstkonzept“ 

(s.u.: Beispielitems der Subskalen) 30 0,96 

Ich halte mich selbst für einen geschickten Computernutzer 

Ich bin sehr unsicher über meine Fähigkeiten im Umgang 

mit Computern. + 

⊲ Subskala „Computer verwirrend“ Hin und wieder finde ich das Arbeiten mit Computern 

sehr verwirrend. 

Ich finde es schwierig, Computer dazu zu bringen, 

das zu tun, was ich von ihnen will. 

⊲ Subskala 

„negative Emotionen zur Computernutzung“ 

⊲Subskala 

„Lernunterstützung durch den Computer“ 

Cognitive Playfulness im Umgang mit dem Computer 

[Webster & Martocchio, 1992; Bescherer & 

Spannagel, i.V.] 

+ : umzupolendes Item 

Ich finde das Arbeiten mit Computern sehr frustrierend. 

Beim Arbeiten mit Computern habe ich Spaß. + 

Computer sind gute Hilfsmittel beim Lernen. 

Ich finde, dass Computer beim Lernen behindern. + 

[Selbsteinschätzung des Umgangs mit Computern als 

„spontan“, „kreativ“, „verspielt“, „erfinderisch“, etc.] 

8 0,94 

3 0,89 

5 0,90 

4 0,89 

7 0,85 

Tabelle 7.2: Überblick über in die Untersuchung einbezogene Skalen und Reliabilitätswerte (CUSE-D und 

Subskalen; Cognitive Playfulness im Umgang mit dem Computer). 

Betrachtete Überzeugung Mittelwert Standardabweichung 

CMO Inhaltsunspezifisch motivierend 2,68 0,63 

CHI Computereinsatz als zusätzliches Hindernis 2,28 0,69 

CIN Computereinsatz und pos. Innovationseinstellung 2,51 0,82 

CEX Explorative Herangehensweisen 3,14 0,49 

CVI Verständnisunterstützung durch Visualisierungsmöglichkeiten 3,12 0,55 

CMV Förderung des Lernens durch Navigation, Rückmeldungen und Hilfen 2,58 0,51 

CAU Auslagerungsprinzip 2,65 0,48 

CCU Computereinsatz und Notwendigkeit curricularer Änderungen 2,38 0,77 

CVA Verlernen von Algebra-Wissen durch CAS-Einsatz 2,72 0,70 

CVG Verlernen des Konstruierens von Hand durch DGS-Einsatz 2,50 0,85 

Jeweils vierstufige Likert-Skala (4: stimmt genau; 1: stimmt gar nicht) 

Tabelle 7.3: Ausprägungen der betrachteten Überzeugungen zum Computereinsatz (N = 73) 

Selbstkonzept Mittelwert Standardabweichung 

CUSE-D: computerbezogene Selbstwirksamkeitserwartung 4,33 0,90 

Subskala „computerbezogenes Fähigkeitsselbstkonzept“ 4,03 1,21 

Subskala „Computer verwirrend“ 2,48 1,07 

Subskala „negative Emotionen zur Computernutzung“ 2,00 0,99 

Subskala „Lernunterstützung durch den Computer“ 4,36 1,10 

Cognitive Playfulness im Umgang mit dem Computer 0,60 0,19 

CUSE-D und Subskalen: sechsstufige Likert-Skala (6: trifft völlig zu; 1: trifft überhaupt nicht zu) 

Cognitive Playfulness: 1: Hohe (maximale) Ausprägung; 0: geringe (minimale) Ausprägung 

36 

Tabelle 7.4: Ausprägungen der betrachteten Selbstkonzepte (N = 73).


Korr. (Pearson) CHI CIN CVI CMV CEX CAU CCU CVA CVG 

CMO -0,26 ∗ 0,19 0,34 ∗∗ 0,40 ∗∗∗ 0,30 ∗ 0,31 ∗∗ -0,10 0,00 -0,04 

CHI -0,47 ∗∗∗ -0,48 ∗∗∗ -0,51 ∗∗∗ -0,38 ∗∗∗ -0,07 0,54 ∗∗∗ 0,38 ∗∗∗ 0,54 ∗∗∗ 

CIN 0,54 ∗∗∗ 0,47 ∗∗∗ 0,39 ∗∗∗ 0,23 -0,15 -0,22 -0,41 ∗∗∗ 

CVI 0,68 ∗∗∗ 0,50 ∗∗∗ 0,42 ∗∗∗ -0,08 -0,13 -0,48 ∗∗∗ 

CMV 0,53 ∗∗∗ 0,21 -0,28 ∗ -0,01 -0,34 ∗∗ 

CEX 0,19 -0,24 ∗ -0,18 -0,38 ∗∗∗ 

CAU 0,13 -0,06 -0,14 

CCU 0,13 0,22 

CVA 0,38 ∗∗∗ 

∗ Die Korrelation ist auf dem Niveau von 0,05 (2-seitig) signifikant. 

∗∗ Die Korrelation ist auf dem Niveau von 0,01 (2-seitig) signifikant. 

∗∗∗ Die Korrelation ist auf dem Niveau von 0,001 (2-seitig) signifikant. 

Tabelle 7.5: Korrelationen zwischen Überzeugungen zum Computereinsatz 

(listenweiser Fallausschluss, N = 73) 

Korr. (Pearson) CMO CHI CIN CVI CMV CEX CAU CCU CVA CVG 

CUSE-D 0,35 ∗∗ -0,35 ∗∗ 0,63 ∗∗∗ 0,47 ∗∗∗ 0,18 0,43 ∗∗∗ 0,25 ∗ -0,14 -0,11 -0,28 ∗ 

Subskala 

„computer-bez. 

Fähigkeitsselbstkonzept“ 

Subskala 

„Computer 

verwirrend“ 

Subskala 

„negative 

Emotionen zur 

Computernutzung“ 

Subskala 

„Lernunterstützung 

durch 

Computer“ 

Cognitive 

Playfulness 

0,27 ∗ -0,17 0,52 ∗∗∗ 0,41 ∗∗∗ 0,11 0,38 ∗∗∗ 0,23 -0,02 -0,02 -0,13 

-0,19 0,26 ∗ -0,45 ∗∗∗ -0,26 ∗ 0,00 -0,22 -0,13 0,08 0,13 0,18 

-0,38 ∗∗∗ 0,28 ∗ -0,48 ∗∗∗ -0,32 ∗∗ -0,04 -0,31 ∗∗ -0,16 0,12 0,05 0,15 

0,38 ∗∗∗ -0,58 ∗∗∗ 0,60 ∗∗∗ 0,60 ∗∗∗ 0,52 ∗∗∗ 0,51 ∗∗∗ 0,29 -0,30 -0,36 ∗∗ -0,53 ∗∗∗ 

0,21 -0,12 0,21 0,11 -0,09 0,12 0,05 -0,06 0,12 0,00 

Tabelle 7.6: Korrelationen zwischen Überzeugungen zum Computereinsatz und Selbstkonzepten 

5.5 Berichtete eigene positive Erfahrungen 

mit Computereinsatz im 


(Schüler(innen)perspektive) 

Erste Auswertungsergebnisse zu dem offenen 

Item bezüglich eigener positiver Erfahrungen mit 

Situationen des Computereinsatzes während der 

eigenen Schulzeit sind in Tab. 7.7 zusammengefasst. 

Es zeigt sich, dass die übergroße Mehrheit 

der Studierenden von überhaupt keiner Situation 


während der gesamten eigenen Schulzeit zu berichten 

weiß. 

5.6 Entwicklungen bei Überzeugungen zum 

Computereinsatz im 


In Abb. 7.1 ist der Vergleich zwischen den beiden 

Befragungszeitpunkten dargestellt, der sich 

auf die 36 Studierenden bezieht, bei denen Fragebogendaten 

zu beiden Befragungszeitpunkten vorlagen. 

Die Ergebnisse deuten darauf hin, dass Befunde 

der Vorläuferstudie [Kuntze, 2011] repliziert 

werden konnten. Die gleichen Skalen weisen 

signifikant positive Entwicklungen in der Größenordnung 

mittlerer bis starker Effekte auf. Zusätzlich 

sind auch für weitere (insbesonders fachdidaktisch 

relevante) Skalen signifikante Entwicklungen 

zu beobachten. Zu nennen ist hier bei- 

37


spielsweise die Skala „Computereinsatz und Notwendigkeit 

curricularer Änderungen (CCU)“. 

Code Anzahl 

Kein Vorkommen von Computerein- 48 

satz im selbst erlebten Mathematikunterricht 

Keine Antwort 9 

Computereinsatz im weitesten Sin- 9 

ne angesprochen ohne Beschreibung 

der wahrgenommenen Qualität 

Beispiel für „guten“ Computerein- 7 

satz genannt 

Tabelle 7.7: Antworten zur offenen Frage „Schildern 

Sie bitte kurz eine Situation mit ‚gutem‘ 

Computereinsatz im Mathematikunterricht – mit 

Begründung.“ 

6 Diskussion 

Insgesamt konnten die untersuchten Konstrukte 

mit den Fragebogenskalen mit einer Ausnahme 

reliabel operationalisiert werden. Insofern zeigte 

sich im Anschluss an die Ergebnisse der Vorgängerstudie 

[Kuntze, 2011], dass mit dem Fragebogen 

offenbar ein brauchbares Erhebungsinstrument 

vorliegt. 

Im vorangehenden Abschnitt wurden Ergebnisse 

zu den weiteren Forschungsfragen dargestellt. 

In den Bereichen, in denen diese Untersuchung 

Erhebungen der Vorläuferstudie [Kuntze, 

2011] wiederholte, konnten deren Ergebnisse 

im Wesentlichen repliziert werden. Dies ist insbesondere 

insofern von Interesse, als die Befunde 

sich hier auf eine deutlich größere Stichprobe 

beziehen. Außerdem erlaubt diese Erhebung 

aufgrund ihrer universitätsstandortübertreifenden 

Anlage und vor dem Hintergrund des Umstands, 

dass die Lehrveranstaltung nicht mit der der Vorläuferstudie 

identisch war, vorsichtige Generalisierungen. 

Eine Anschlussfrage in diesen Zusammenhang 

ist, welche einzelnen Gestaltungsmerkmale 

von Lehrveranstaltungen für die beobachteten 

Veränderungen in den Überzeugungen der 

Studierenden verantwortlich sind. Außerdem wäre 

es interessant zu untersuchen, ob nicht auch 

andere Überzeugungen, wie etwa Befürchtungen 

des Verlernens von Basiskompetenzen im Falle 

regelmäßigen Computereinsatzes beeinflusst werden 

könnten. 

Ein im Vergleich zur Vorgängeruntersuchung 

neues Element war die Untersuchung von computernutzungsbezogenen 

Selbstkonzepten der Studierenden. 

Hier konnten Zusammenhänge aufgedeckt 

werden, die dafür sprechen, dass Lernende 

mit stärkerem Fähigkeitsselbstbild und insbesondere 

höheren Erwartungen an die Lernunterstüt- 

38 

zung durch Formen der Rechnernutzung im Mittel 

auch positivere Einschätzungen zum Computereinsatz 

im Mathematikunterricht zeigten. Angesichts 

weitgehend fehlender Vorerfahrungen aus 

der eigenen Schulzeit könnte dieser Zusammenhang 

auf eine Generalisierung eigener Erfahrungen 

der Studierenden mit dem Computer auf Unterrichtssituationen 

mit Computereinsatz zurückzuführen 

sein. Förderkonzepte für fachdidaktisches 

Wissen und Überzeugungen zum Computereinsatz 

im Mathematikunterricht könnten also 

mit einem vorangehenden Ermöglichen positiver 

eigener Erfahrungen der Studierenden mit geeigneter 

Software ansetzen, um den nachfolgenden 

Wissensaufbau bzw. die nachfolgende Entwicklung 

entsprechender Überzeugungen zu unterstützen. 

Anschlussfragen zu dieser Studie ergeben sich 

insbesondere auch im Hinblick auf praktizierende 

Mathematiklehrkräfte. Neben Vergleichen mit 

entsprechenden Überzeugungen von Lehramtsstudierenden 

ist auch von Interesse, wie Schülerinnen 

und Schüler der jeweiligen Lehrkräfte Art und 

Umfang des Computereinsatzes im Mathematikunterricht 

wahrnehmen. 

Literatur 

Bandura, Albert (1977): Self-efficacy: Toward a unifying theory 

of behavioral change. Psychological Review, 84, 191–215. 

Barbeite, Francisco G. & Elizabeth M. Weiss (2004): Computer 

self-efficacy and anxiety scales for an Internet sample: 

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of new scales. Computers in Human Behavior, 20, 

1–15. 

Bescherer, Christine & Christian Spannagel (i.V.): Computerbezogene 

Selbstwirksamkeitserwartung und Cognitive Playfulness. 

Notes on Educational Informatics – Section A: Concepts 

and Techniques. 

Cassidy, Simon & Peter Eachus (2002): Developing the computer 

user self-efficacy (CUSE) scale: investigating the relationship 

between computer self-efficacy, gender and experience 

with computers. Journal of Educational Computing Research, 

26(2), 133–153, URL http://baywood.metapress.com/ 

link.asp?id=jgjr0kvlhrf7gcnv. 

Compeau, Deborah R. & Christopher A. Higgins (1995): Computer 

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MIS Quarterly, 19(2), 189–211. 

Delcourt, Marcia A. B. & Mable B. Kinzie (1991): Computer 

technologies in teacher education: the measurement of attitudes 

and self-efficacy. Journal of Research and Development in 

Education, 35–41. 

Dunn, Lemoyne (2004): Cognitive Playfulness and Other Characteristics 

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Cantoni, Lorenzo & Catherine McLoughlin (Hg.): World Conference 

on Educational Multimedia, Hypermedia and Telecommunications 

(EDMEDIA) 2004, Norfolk, VA: AACE, 

3553–3560. 

Helmke, Andreas & Franz Emanuel Weinert (1997): Bedingungsfaktoren 

schulischer Leistungen. In: Weinert, 

Franz Emanuel (Hg.): Enzyklopädie der Psychologie, Band 3, 

Göttingen: Hogrefe, 71–176. 

Heugl, Helmut (2005): CAS und Standards - eine interessante 

Herausforderung. In: Bender, Peter, Wilfried Herget, Hans- 

Georg Weigand & Thomas Weth (Hg.): Neue Medien und Bildungsstandards, 

Hildesheim: Franzbecker, 21–35.

erlebten Mathematikunterricht 

Keine Antwort 9 

Computereinsatz im weitesten Sinne angesprochen 

9 

ohne Beschreibung der wahrgenommenen Qualität 

Beispiel Überzeugungen für „guten“ Computereinsatz von Studierenden genannt zum Computereinsatz 7 im Mathematikunterricht 

Computereinsatz inhaltsunspezifisch motivierend (CMO) 

Computereinsatz beeinträchtigendes zusätzliches Hindernis (CHI) 

Computereinsatz und positive Innovationseinstellung (CIN) 

Verständnisunterstützung durch Visualisierung (CVI) 

Explorative Herangehensweisen (CEX) 

Vorteile f. meth. Gestaltg. v. Lernumg. d. Comp.-einsatz (CM V) 

Auslagerungsprinzip (CAU) 

Computereinsatz u. Notwendigkeit curricularer Änderungen (CCU) 

keine inhaltlichen Neuerungen durch Computereinsatz (CKN) 

Verlernen von Algebra-Wissen durch CAS-Einsatz (CVA) 

Verlernen des Konstruierens von Hand durch DGS-Einsatz (CVG) 

geringe 

Ausprägung 

hohe 

Ausprägung 

1,00 1,50 2,00 2,50 3,00 3,50 4,00 

Erste 

Befragung 

(Mittelw ert) 

Zw eite 

Befragung 

(Mittelw ert) 

** 

** 

T=2,72; df=35; 

p


Tönnies, Dirk (1999): Das Für und Wider der Verwendung 

von Computer-Algebra-Syste-men im Mathematikunterricht 

der Sekundarstufe I am konkreten Beispiel einer 

Einführung des TI-92 in einer 9. Klasse des Gymnasiums. 

Staatsexamensarbeit, URL http://www.dirk-toennies. 

de/Texte/Download/TI-Einsatz.zip. 

40 

Webster, Jane & Joseph J. Martocchio (1992): Microcomputer 

playfulness: development of a measure with workplace implications. 

MIS Quarterly, 16(2), 201–226. 

Weigand, Hans-Georg & Thomas Weth (2002): Computer im 

Mathematikunterricht - Neue Wege zu alten Zielen. Berlin: 

Spektrum Akademischer Verlag.

Teil II 

Tagung 2009 

Zur Zukunft des Analysisunterrichts 

vor dem Hintergrund der Verfügbarkeit 

Neuer Medien (und Werkzeuge) 

41

• Zur Zukunft des Analysisunterrichts vor dem Hintergrund der 

Verfügbarkeit Neuer Medien (und Werkzeuge) – Leitgedanken 

und -fragen 

Anselm Lambert, Saarbrücken, und Ulrich Kortenkamp, Karlsruhe 

Analysis ist in breitem Konsens (fast) aller an Mathematikunterricht 

aktiv Interessierten ein selbstverständliches 

quasi naturgesetzliches Gebiet der 

Mathematik in der Schule. Das muss nicht so 

sein. 1882 wurde den Realgymnasien und 1892 

den Oberrealschulen in Preußen die Erlaubnis zu 

Differential- und Integralrechnung im Mathematikunterricht 

ausdrücklich entzogen. Heute überwiegen 

die guten Gründe für Analysis. Aber welche 

sind das? – traditionell und/oder aktuell bzw. 

in (naher) Zukunft? 

Auf den Tagungen des Arbeitskreises wurden 

immer wieder konkrete Vorschläge für engagierten 

Analysisunterricht von engagierten Lehrpersonen 

gemacht. Die Ambitioniertheit dieser Vorschläge 

korrelierte mit den wachsenden Möglichkeiten 

– schneller, höher, weiter, bunter – der singulär 

oder idealerweise auch in der Breite (theoretisch) 

verfügbaren Neuen Medien (und Werkzeuge). 

Es liegt aber leider auf der Hand, dass dies 

kein repräsentatives Bild des tatsächlichen Analysisunterrichts 

im Land zeichnet, und eine Theoriebildung 

steht noch aus. 

Analysisunterricht orientierte sich immer auch 

an zeitgeistigen Strömungen des Mathematikunterrichts 

allgemein, etwa den graphischen Darstellungen, 

den Visualisierungen zur Zeit der Reformpädagogik, 

die wir heute vermehrt wieder 

finden, oder später dem ver- wenn nicht gar überschärften 

Aufmarsch aller Epsilons zur Zeit des 

Bourbakismus, den wiederum einige heute vermissen. 

Welchen Analysisunterricht verdienen unsere 

jetzige und zukünftige Zeit und unsere jetzigen 

und zukünftigen Schülerinnen und Schüler? 

Neue Medien (und Werkzeuge) haben unstrittig 

die Darstellungsmöglichkeiten und das Methodenrepertoire 

vergrößert. Aber welche inhaltlichen 

Konsequenzen fordern sie? Keine? Können 

wir unsere Analysis heute endlich so unterrichten 

wie wir eigentlichen schon immer wollten? 

– „Neue Wege zu alten Zielen“? Oder müssen 

wir dem Computer Rechnung tragen und diskreten 

Modellen (zu Lasten kontinuierlicher) breiteren 

Raum geben? Oder geht das alles noch nicht 

weit genug? Hat nicht das 20. Jahrhundert in einem 

jahrzehntelangen Feldversuch in zahllosen 

Variationen gezeigt, dass Analysis für „statistisch 

normale“ Menschen prinzipiell zu schwer ist, was 

Adam Riese ja auch der Algebra nachsagte. Aktuelle 

Eingangstests an Studienanfängern in Mathematik 

oder in Fächern, die Mathematik benötigen, 

stützen dies unverändert – ebenso wie die späteren 

Durchfallquoten. Oder gibt es empirische Befunde 

zu einer Besserung der Lage durch die Verfügbarkeit 

(und den tatsächlichen Einsatz!) Neuer 

Medien (und Werkzeuge)? 

43

Anselm Lambert, Saarbrücken, und Ulrich Kortenkamp, Karlsruhe 

Vorträge der Tagung 2009 

Stefanie Anzenhofer Musik mit Funktionsgraphen – Wissen kreativ nutzen 

Christine Bescherer Analysis für Affen? 

Hans-Joachim Brenner Computer im Analysisunterricht der Sek II in Thüringen 

Bernhard Burgeth Höhere Mathematik vernetzend lehren - ein saarländischer Exportschlager? 

(Poster) 

Joachim Engel Von Daten zur Funktion: Skizzen eines technologiegestützten und 

anwendungsorientierten Analysisunterricht 

Andreas Fest Werkzeuge für das individuelle Lernen in Mathematik (mit Marc O. 

Zimmermann) 

Lutz Führer Verstehen oder berechnen? Wie passt der Computer zum Analysisunterricht 

des 20. Jahrhunderts? (Hauptvortrag) 

Gilbert Greefrath Mit dem Computer qualitativ arbeiten? 

Reinhard Hochmuth eLearning in Schule und Hochschule: Beschreibung eines eLearning- 

Experiments zur Entwicklung des Grenzwertbegriffs bei Folgen im 

Rahmen der Kasseler eVorkurse (mit Pascal Rolf Fischer) 

Andrea Hoffkamp Funktionales Denken mit dem Computer unterstützen - Empirische 

Untersuchungen im Rahmen des propädeutischen Unterrichts der 

Analysis 

Stefan-Harald Kaufmann Funktionen mit dem Computer neu entdecken (mit Michael Riess) 

Heiko Knospe Mathematik an der Schnittstelle zwischen Schule und Hochschule - 

Probleme und Perspektiven (Hauptvortrag) 

Ulrich Kortenkamp Mathe 2030 - Zukunft denken (Hauptvortrag) 

Anselm Lambert Finde x (Poster) 

Rolf Monnerjahn Bildkomposition und Zentralperspektive in Dürers MELENCOLIA I 

Fritz Nestle Kühe, Kinder und Kultusminister(innen) 

Reinhard Oldenburg Die Analysis in den Zeiten der Computerei 

Andreas Pallack Differenzialrechnung mit neuen Medien verstehensorientiert unterrichten 

Bodo v. Pape „Geht nicht.“ gibt’s nicht. - Wenn die Schulanalysis in die Bredouille 

kommt 

Guido Pinkernell „Modellierungsfunktionen entwickeln und validieren - anspruchsvolle 

und praxisnahe Aufgabenstellungen mit Technologie“ 

Roland Schröder Pixel zählen zwecks Flächenberechnung (oder: Flächenberechnung 

einmal anders) 

Hannes Stoppel CAS ist nicht gleich CAS 

Markus Vogel Der Computer macht’s möglich - Funktionen als Werkzeug zum Modellieren 

von Daten 

Hans-Georg Weigand Wozu brauche ich ein Computeralgebra System (CAS), wenn ich 

zwei Straßen verbinden soll? – Überlegungen zum (sinnvollen) Einsatz 

eines CAS im Analysisunterricht 

Antonia Zeimetz Als die Differential- und Integralrechnung verboten wurde 

44

• CAS ist nicht gleich CAS 

Hannes Stoppel, Gladbeck 

Der Einsatz von Computer-Algebra-Systemen 

(CAS) im Mathematikunterricht regt in der Didaktik 

seit Jahren zur Diskussion an. Dies wird 

weitgehend allgemein und unabhängig von der 

Art eines CAS betrachtet [vgl. Programm Sinus- 

Transfer, 2007]. Ein CAS bietet eine Reihe von 

Anwendungsmöglichkeiten, wie in Abb. 9.1 angedeutet. 

In Abhängigkeit vom CAS könnten Verbindungen 

zwischen den Ästen gezogen werden. Diese 

unterscheiden sich teilweise von CAS zu CAS 

und sind daher für die Unterrichtsplanung, insbesondere 

bei zentralen Prüfungen, zu berücksichtigen. 

In dem MindMap sind nur übergreifende 

Bereiche notiert, in denen sich CAS verwenden 

lassen. Wie spätestens im Zentralabitur unter Verwendung 

eines CAS auffällt, hängen die Art der 

Lösung oder sogar die Lösbarkeit von Aufgaben 

von der Art des CAS ab [vgl. Greefrath, 2007b; 

Greefrath & Mühlenfeld, 2007, S. 31]. 

Diese Umstände werden anhand von Beispielen 

des Zentralabiturs von NRW und allgemeiner 

Aufgaben zum Einsatz unterschiedlicher CAS 

im Mathematikunterricht betrachtet. Die Beispiele 

werden jeweils für drei bis vier CAS beschrieben; 

es handelt sich um die mobilen CAS Casio 

ClassPad und TI Nspire und die stationären CAS 

Maple und die Computeroberfläche des ClassPad. 

Die Beispiele stammen aus der Analysis und werden 

um ein Beispiel der Kombinatorik ergänzt. 

Beispiel 1. In der Aufgabe LK HT 5 CAS 2007 des 

Zentralabiturs in NRW 1 ist die folgende Summe zu 

berechnen: 

 

8000 

597 

∑ 

i=523 

i 

 

· 0,07 i · 0,93 8000−i ≈ 0,899726 

⊲ Auf dem mobilen ClassPad dauert die Berechnung 

etwa 30 Sekunden. Das Ergebnis wird in 

Form eines komplexen Terms angegeben. Die 

ersten Elemente des Ergebnisses sind (der Term 

ist deutlich länger als hier angegeben): 

(2.154176408E − 840 ∗ 8000!)/(7477!∗523!) 

+ (1.621423103E − 841 ∗ 8000!)/(7476!∗524!) 

+(1.220425991E(−842)∗8000!)/(7475!∗525!)+... 

⊲ Der stationäre ClassPad gibt das Ergebnis deutlich 

schneller als ein mobiler ClassPad aus. Es 

handelt sich hierbei jedoch um das fehlerhafte 

Ergebnis „0“. 

⊲ Der mobile TI-Nspire gibt nach 19 Sekunden 

das Ergebnis „0.899726“ aus. 

⊲ Mit Maple ergibt sich das folgende Ergebnis 

nach weniger als einer Sekunde 

> sum(binomial(8000,x)*(.07)^x 

*(.93)^(8000-x), x=523..597); 

0.8997264106 

Beispiel 2. Im Teil e) der Abitur-Aufgabe LK 

HT1 CAS 2009 des Zentralabiturs in Nordrhein- 

Westfalen ergaben sich bei der Arbeit mit verschiedenen 

CAS Probleme, die teilweise in der Bezeichnung 

von Variablen lagen. Hier wird ein Problem 

am Aufgabenteil e) gezeigt, in dem die Möglichkeiten 

mit unterschiedlichen CAS nicht gleich 

sind und nicht jedes CAS zu einem sinnvollen Ergebnis 

führt. Ein Teil der Aufgabenstellung ist gegeben 

durch: 

Die Höhe eines Strauches wird in den ersten 

zwanzig Jahren nach dem Auspflanzen durch die 

Funktion h1 mit 

h1(t) = 1 

5 e− 1 10 t+ 31 

10 , 0 ≤ t < 20 

. . . 

h2(t) = 2 11 

e 10 − 

25 1 1 

e− 10 t+ 31 

10 , t ≥ 20 

5 

. . . 

a 

l(t) = 

, t ≥ 0 

1 + b · e−ct . . . 

e) Bestimmen Sie anhand dieser Bedingungen 

die Werte der Parameter und im Funktionsterm 

von l gegebenenfalls in Abhängigkeit von c. 

Bei der Lösung der Aufgabe stößt man auf die Berechnung 

der Lösungsmenge des in der Abb. 9.2 

gezeigten LGS. 

Abbildung 9.2: Zu lösendes LGS 

1 http://www.standardsicherung.schulministerium.nrw.de/abitur-gost/faecher_aufgaben.php 

45


Lösungen 

vorstellen 

Aufgaben 

stellen 

Zufallszahlen 

Themen 

zusammenfassen 

Themen 

vorstellen 

Mittelwert, 

Median 

Aufgaben / 

Präsentation 

Wirtschaftsmathematik 

Standardabweichung, 

Varianz 

Stochastik 

und Statistik 

DifferentialundIntegralrechnung 

Regression 


Geometrie 

CAS 

Berechnungen 

Funktionen 

geometrische 

Zusammenhänge 

Addition, 

Multiplikation, 

. . . 

Programmiersprache 

LGS, Matrizen, 

. . . 

Graphen 

Tabellenkalkulation 

komplexe 

Verfahren 

Algorithmen 

Abbildung 9.1: Mindmap zu Anwendungsmöglichkeiten eines CAS 

⊲ In der Lösungsmenge des ClassPad werden drei 

Lösungen ausgegeben. Die Terme der Lösungsmenge 

sind so groß, dass die Lösung (Abb. 9.3) 

unübersichtlich ist. Es kann nur b = 0 sein. Daher 

ist (nach langer Rechnung) nur die Lösung 

a = 2h1(20) und b = 2,71828182845904 20c 

richtig. Hier ist zu erkennen, dass b = e 20c gilt. 

Der ClassPad berechnet hieraus den Grenzwert 

x → ∞ unter der Nebenbedingung c > 0. 

⊲ Mit Maple lässt sich die Lösungsmenge des 

LGS problemlos bestimmen. Die Ausgabe der 

Terme findet sich in Abb. 9.4: 

Abbildung 9.4: Ergebnis von Maple für Beispiel 2 

46 

Da b = 0 ist, kommt die zweite Lösung in Frage. 

Daher kann man definieren und berechnen: 

2D 

3D 

Messreihen 

aufnehmen 

Datensätze 

auswerten 

Datenerhebungen 

> a := 1/5*exp(11/10)*(e^(-c*x) 

+e^(-20*c))/e^(-c*x): 

> b := 1/e^(-c*x): 

> l2 := x -> l(x): 

Auch hier führt die einfache Berechnung des 

Grenzwertes für x → ∞ zu einem für Schülerinnen 

und Schüler unübersichtlichen Ergebnis. 

> limit(l2(x), x=infinity);| 

Abbildung 9.5: Berechnung des Grenzwerts mit 

Maple 

Die Schülerinnen und Schüler müssen den 

Grenzwert daher ohne CAS berechnen.

CAS ist nicht gleich CAS 

{{a = 0.1 · 2.71828182845904 −c·x−20·c · (2.71828182845904 c·x+20·c+1.1 + 2.71828182845904 2·c·x+1.1 

−(2.71828182845904 4·c·x+2.2 + 2 · 2.71828182845904 3·c·x+20·c+2.2 + 2.71828182845904 2·c·x+40·c+2.2 ) 0.5 ), 

b = 0.5 · 2.71828182845904 c·x − 0.5 · 2.71828182845904 −c·x−1.1 · (2.71828182845904 4·c·x+2.2 

+2 · 2.71828182845904 3·c·x+20·c+2.2 + 2.71828182845904 2·c·x+40·c+2.2 ) 0.5 − 0.5 · 2.71828182845904 20·c }, 

{a = 0.600833204789286,b = 0}, 

{a = 0.1 · 2.71828182845904 −c·x−20·c · (2.71828182845904 c·x+20·c+1.1 + 2.71828182845904 2·c·x+1.1 + 

(2.71828182845904 4·c·x+2.2 + 2 · 2.71828182845904 3·c·x+20·c+2.2 + 2.71828182845904 2·c·x+40·c+2.2 ) 0.5 ), 

b = 0.5 · 2.71828182845904 c·x + 0.5 · 2.71828182845904 −c·x−1.1 · (2.71828182845904 4·c·x+2.2 

+2 · 2.71828182845904 3·c·x+20·c+2.2 + 2.71828182845904 2·c·x+40·c+2.2 ) 0 .5 − 0.5 · 2.71828182845904 20·c }} 

⊲ Die Lösung des Gleichungssystems lässt sich 

mithilfe des Nspire bestimmen. Auch hier ist 

die Lösung unübersichtlich: 

b=e^(c*x) and a=0 or b=e^(piecewise( 

(10*ln(5*a-e^(11/10))+200*c-11)/ 

(10*c),(5*a-e^(11/10))*e^(20*c)>0)*c) and 

x=piecewise((10*ln(5*a-e^(11/10))+ 

200*c-11)/(10*c),(5*a-e^(11/10))* 

e^(20*c)>0) and e^(piecewise((10* 

ln(5*a-e^(11/10))+200*c-11)/(10*c), 

(5*a-e^(11/10))*e^(20*c)>0)*c)+e^(20*c) =0 

or b=c1 and e^(c*x)+c1=0 and a=0 and 

e^(20*c)+c1=0 or b=0 and a=0 or b=0 and 

a=e^(11/10)/5 

Hieraus ergibt sich die Lösung analog zur Lösung 

mit dem ClassPad. Jetzt lässt sich die 

Funktion l2 definieren. Hierbei ergibt sich mit 

keinem der CAS eine Fehlermeldung. Der Limes 

lim 

x→∞ l2(x), c > 0 

von 2 11 

5e 10 lässt sich, anders als mit dem Class- 

Pad oder Maple, mit der Option c > 0 bilden. 

In diesem Beispiel ist erkennbar, dass bei der Lösung 

von Aufgaben mit unterschiedlichen CAS 

vereinzelt Probleme – teilweise jedoch in Abhängigkeit 

von dem CAS – auftreten. 

Beispiel 3. Im Aufgabenteil b) der Aufgabe LK 

HT 4 CAS 2007 des Zentralabiturs in NRW ist die 

Lösungsmenge für das folgende LGS in Verbindung 

zu der Funktion B und ihrer ersten Ableitung 

B ′ mit B(x) = k·evt−wt2 zu bestimmen: B(0) = 375, 

B(7) = 705 und B ′ (45) = 0. 

⊲ Die Bestimmung der Lösungsmenge des LGS 

mit dem mobilen ClassPad dauert 1 min 16 

sek. Hier werden vorteilhaft keine numerischen 

Näherungen sondern exakte Werte ausgegeben. 

Auch dies ist jedoch möglich, wie die letzte 

Zeile in Abb. 9.6 zeigt 

Abbildung 9.3: Ergebnis des ClassPad für Beispiel 2 

Abbildung 9.6: Berechnung auf dem mobilen 

ClassPad 

⊲ Mit dem TI-Nspire kann die Berechnung wie in 

Abb. 9.7 sichtbar durchgeführt werden. Die Berechnung 

dauert etwa 1 Sekunde. Das Ergebnis 

wird in Form eines Terms angegeben. 

Abbildung 9.7: Berechnung auf dem TI-Nspire 

⊲ Mit Maple taucht ein Problem bei der Lösung 

des LGS auf. Man erhält eine Fehlermeldung 

bei der Verwendung der Ableitung: 

47


> B := t -> k*exp(v*t-w*t^2): 

> B1 := t -> diff(B(t),t): 

> solve({B(0)=375, B(7)=705, 

B1(45)=0}, {k, v, w}); 

ergibt 

Error, (in B1) invalid input: 

diff received 45, which is 

not valid for its 2nd argument 

Bei den Berechnungen mithilfe des zuvor eingegebenen 

Funktionsterms (nicht der Ableitungsfunktion) 

gibt Maple die Lösung unmittelbar 

nach der Eingabe aus (Abb. 9.8). 

> B1 := t -> k*(v-2*w*t)* 

exp(v*t-w*t^2): 

> solve({B(0)=375, B(7)=705, 

B1(45)=0}, {k, v, w}); 

Abbildung 9.8: Korrekte Lösung mit Maple 

Beispiel 4. Bei Berechnungen an verketteten 

Funktionen können bei unterschiedlichen CAS 

auch unterschiedliche Ergebnisse auftreten. Dies 

wird der Berechnung der √ ersten Ableitung der 

(x2−3) Funktion f mit f (x) = e geschildert. 

⊲ Der ClassPad und Maple geben korrekte Ergeb- 

nisse x·e 

√ 

x2−3 √ aus. 

x2−3 ⊲ Der Nspire führte zweimal zu unterschiedlichen 

Ergebnissen, wie in den folgenden Abbildungen 

zu sehen ist. Hier ist nicht erkennbar, 

warum ein Fehler aufgetreten ist. 

48 

Abbildung 9.9: Kein reelles Ergebnis mit y 

2 http://www.kmk.org/presse-und-aktuelles/pm2009.html 

Fazit 

Abbildung 9.10: Korrekte Lösung mit x 

Seit einiger Zeit wird über den Einsatz von CAS 

im Mathematikunterricht diskutiert. Dabei gab es 

zahlreiche unterschiedliche Ideen, die dem Mathematikunterricht 

neue Fenster öffnen, und es ist erkennbar, 

dass der Einsatz eines CAS im Mathematikunterricht 

sinnvoll sein kann; für Beispiele vgl. 

Heinrich [2007]. 

Die Art der Umsetzung verschiedener Ideen 

des Einbaus von CAS in den Mathematikunterricht 

ist z. Teil von der Wahl des CAS abhängig. 

Die Lösungswege können sich von CAS zu CAS 

unterscheiden und mit unterschiedlichem Zeitaufwand 

verbunden sein. Einige Aufgaben sind nur 

mit bestimmten CAS möglich. Hier müssen sich 

allgemeine Konzepte finden und Aufgaben stellen 

lassen, die den CAS-Einsatz fördern (nicht nur 

fordern), deren Lösungen mit unterschiedlichen 

CAS vom gleichen Schwierigkeitsgrad sind [vgl. 

Heinrich, 2007; Greefrath, 2007a]. 

Sollte der Einsatz von CAS auf den Mathematikunterricht 

ohne zugehörige zentrale Abschlussprüfrungen 

beschränkt werden? Hier stellt sich jedoch 

die Frage, ob unter diesen Bedingungen der 

Medieneinsatz im Unterricht überhaupt stattfindet. 

Nach der KMK 2 ist der Medieneinsatz im Mathematikunterricht 

durchzuführen. Über den Umfang 

und die Art des Einsatzes gibt es hier keine 

exakte Aussage. Bei der Formulierung von Vorschriften 

bzgl. des Einsatzes von Computeralgebrasystemen 

sollte man sich der Tatsache „CAS 

= CAS“ stellen. 

Literatur 

Greefrath, Gilbert (2007a): Computeralgebrasysteme und Prüfungen. 

In: Beiträge zum Mathematikunterricht 2007. Vorträge 

auf der 41. Tagung für Didaktik der Mathematik, Franzbecker, 

55–58. 

Greefrath, Gilbert (2007b): Einsatz unterschiedlicher CAS in 

zentralen Prüfungen. In: Fothe, Michael & Gilbert Greefrath 

(Hg.): Mathematikunterricht mit digitalen Medien und Werkzeugen. 

Unterricht, Prüfungen und Evaluation: Bericht von der

CASIO-Veranstaltung „Round Table“ vom 13. bis 14. April in 

Hamburg, Münster: Monsenstein und Vannerdat. 

Greefrath, Gilbert & Udo Mühlenfeld (2007): Realitätsbezogene 

Aufgaben für die Sekundarstufe II. Bildungsverlag EINS. 

Heinrich, Rainer (2007): Grafikfähige Taschencomputer in 

zentralen Prüfungen – Chancen und Risiken. In: Beiträge zum 

Mathematikunterricht 2007. Vorträge auf der 41. Tagung für 

Didaktik der Mathematik, Hildesheim: Franzbecker, 86–89. 

CAS ist nicht gleich CAS 

Pallack, Andreas (2007): Die gute CAS-Aufgabe für die Prüfung. 

In: Beiträge zum Mathematikunterricht 2007. Vorträge 

auf der 41. Tagung für Didaktik der Mathematik, Hildesheim: 

Franzbecker, 90–93. 

Programm Sinus-Transfer (2007): Impulse für den Mathematikunterricht 

in der Oberstufe. Konzepte und Materialien aus 

dem Modellversuch. Stuttgart: Klett. 

49


50

• Funktionales Denken mit dem Computer unterstützen – 

Empirische Untersuchungen im Rahmen des propädeutischen 

Unterrichts der Analysis 

Andrea Hoffkamp, Berlin 

„Funktionales Denken beginnt bei intuitiven Vorstellungen über funktionale Zusammenhänge wie 

‚Wenn man die eine Größe ändert, dann ändert sich die andere‘ oder ‚Je mehr. . . , desto mehr‘, und 

es ist voll entwickelt bei Denkweisen der Analysis“ [Vollrath, 1989] 

Die Realität ist aber ein kalkülorientierter Analysisunterricht mit wenig inhaltlichen Vorstellungen. 

Deswegen plädieren viele Didaktiker für einen qualitativen Zugang zur Differential- und Integralrechnung 

– eine Forderung die schon seit 100 Jahren besteht [Krüger, 2000]. Interaktivexperimentelle 

Computernutzung ermöglicht durch visuelle Dynamisierung mathematischer Objekte 

die Akzentuierung der dynamischen Komponente funktionalen Denkens. Basierend auf Gestaltungsprinzipien, 

die auf die dynamische Komponente und die Objektsicht funktionaler Abhängigkeiten 

zielen, wurden drei interaktive Lernumgebungen entwickelt und in Klasse 10 im Hinblick auf 

einen qualitativen Einstieg in die Schulanalysis im Rahmen einer qualitativen Studie eingesetzt. Eine 

der Lernumgebungen, die zugrunde liegenden Ideen, sowie erste Ergebnisse der Studie werden im 

Folgenden dargestellt. 

1 Funktionales Denken und 

Analysispropädeutik 

In der Meraner Reform (1905) wurde die ‚Erziehung 

zum funktionalen Denken‘ als Sonderaufgabe 

herausgestellt. Gefordert wurde, das Denken 

in Variationen und funktionalen Abhängigkeiten 

gebietsübergreifend einzuüben und zu flexibilisieren. 

Dabei ging es insbesondere um den Blick auf 

Bewegung und Veränderlichkeit. Die Differentialund 

Integralrechnung, die im Zuge der Meraner 

Reform Einzug in die Lehrpläne gefunden hat, 

sollte nicht aufgesetzter Zusatzstoff, sondern Höhepunkt 

in einem organisch aufgebauten Mathematikunterricht 

sein. In diesem Sinne kann die 

‚Erziehung zum funktionalen Denken‘ als Propädeutik 

zur Differential- und Integralrechnung gesehen 

werden, in der es darum geht Funktionen 

als Ganzes im Zusammenhang zu sehen und Änderungsverhalten 

mit Mitteln der Analysis zu untersuchen 

[Krüger, 2000]. 

Vollrath [1989] unterscheidet drei Aspekte 

funktionaler Abhängigkeiten: Zuordnungsaspekt 

(statische oder punktweise Sicht), Aspekt der 

Änderung (dynamische Sicht) und Objektaspekt 

(Sicht auf Funktion als Ganzes). Änderungsaspekt 

und Objektaspekt kommen dabei dem Meraner 

Begriff am nächsten. Diese Aspekte lassen sich 

aber nur theoretisch trennen. Tatsächlich hängen 

sie eng zusammen. Will man beispielsweise eine 

globale Objekteigenschaft wie ‚Monotonie‘ beschreiben, 

so benutzt man die ‚Sprache des Änderungsaspektes‘: 

Ist x ≤ y, so auch f (x) ≤ f (y) für 

alle x,y. Die Beschreibung von Änderungsverhalten 

geht damit einher, dass man die Funktion lokal 

als Objekt betrachtet. 

Gerade die beiden letztgenannten Aspekte bereiten 

Schülerinnen und Schülern Schwierigkei- 

ten. Das äußert sich beispielsweise darin, dass 

Funktionsgraphen als fotographische Bilder von 

Realsituationen gesehen werden (Graph-als-Bild- 

Fehler). 

Abbildung 10.1 zeigt ein Beispiel aus einem 

Test zu Funktionen/funktionalem Denken mit Anfängerstudentinnen 

und -studenten der Mathematik 

an der TU Berlin, aus dem die Ideen für die 

in Abschnitt 2 beschriebene Lernumgebung entstanden 

sind. Die Studentin hat zunächst den Graphen 

ganz rechts angekreuzt, was als typischer 

Graph-als-Bild Fehler gewertet werden könnte. 

Dann kreuzt sie den Graphen ganz links an und 

verwendet für ihre Lösung Konzepte der Analysis 

(Integration), indem sie das Dreieck als stückweise 

lineare Funktion interpretiert und argumentiert, 

dass der Flächeninhaltsgraph quadratisch 

sein muss, weswegen der Graph ganz rechts ausgeschlossen 

ist. Hätte sie eine dynamische Sicht 

auf den funktionalen Zusammenhang, so hätte sie 

wenigstens die Monotonie erkannt. Mathematisch 

steckt hier der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung 

dahinter. Das Dreieck – als stückweise 

lineare Funktion interpretiert – ist gerade 

die Ableitung der Flächeninhaltsfunktion. Wird 

der Punkt C überschritten, so ändert sich die Qualität 

des Wachstums – es liegt eine Wendestelle 

vor. 

Ein oft beschriebenes Problem der Schulanalysis 

ist deren Kalkülorientierung, die oft losgelöst 

ist von inhaltlichen Vorstellungen. Viele Didaktiker 

plädieren deswegen für eine stärkere Gewichtung 

der qualitativen Anfänge der Analysis [Hahn 

& Prediger, 2008; Stellmacher, 1986, u.v.a.]. 

Für den Ansatz dieser Arbeit wird funktionales 

Denken – angelehnt an den Begriff aus der Meraner 

Reform – als Propädeutik zur Differentialund 

Integralrechnung gesehen. Die interaktiven 

51


Abbildung 10.1: Lösung einer Mathematikstudentin zur Aufgabe: ‚Die gestrichelte Linie wird vom Punkte 

A um die Entfernung x nach rechts gezogen. Der Wert F(x) gibt die Größe der grau unterlegten Fläche an. 

Welcher Graph passt? ‘ 

Lernumgebungen sind als Ansatz zu verstehen, 

der zu einem qualitativen Einstieg in die Analysis 

beiträgt, bevor das Kalkül entwickelt wird. 

2 Computernutzung – Grundideen 

und Gestaltungsleitlinien 

Basierend auf der DGS Cinderella [Richter- 

Gebert & Kortenkamp, 2006] wurden im Zusammenhang 

mit Analysispropädeutik drei interaktive 

Lernumgebungen entwickelt, die zusammen 

mit Lehrmaterial unter Hoffkamp [2009c] 

frei zugänglich sind. Zur Nutzung der Lernumgebungen 

genügt ein Standardinternetbrowser. Spezielles 

Wissen zur Funktionsweise der Software 

ist nicht nötig (geringer technischer Overhead). 

Anhand einer der Lernumgebungen werden die 

Grundideen und Gestaltungsleitlinien im Folgenden 

dargestellt. 

Grundidee ist eine interaktiv-experimentelle 

Computernutzung mit dem Ziel die dynamische 

Komponente funktionalen Denkens hervorzuheben 

und inhaltliche Vorstellungen im Hinblick 

auf Propädeutik zur Differential- und Integralrechnung 

zu entwickeln. Abbildung 10.2 zeigt die 

Lernumgebung „Dreiecksfläche“. Hier sollen die 

Schülerinnen und Schüler den funktionalen Zusammenhang 

zwischen dem Abstand A − D und 

dem Flächeninhalt des dunkelblauen Flächenanteils 

dynamisch erkunden. Das Änderungsverhalten 

soll charakterisiert werden. Die Wendestelle 

soll als Stelle, an der sich die Qualität des Wachstums 

verändert, wahrgenommen werden. Wie in 

Abschnitt 1 beschrieben handelt es sich hierbei 

um eine dynamische Visualisierung des Hauptsatzes 

der Differential- und Integralrechnung. Inter- 

52 

pretiert man das Dreieck als stückweise lineare 

Funktion, so wird der Zusammenhang zwischen 

Bestandsgraph und Änderungsgraph dargestellt. 

Die Wendestelle ist insbesondere als Maximum 

der Ableitung sichtbar. Da die Ableitung im Maximum 

nicht differenzierbar ist, kann die Wendestelle 

nicht mit dem Kalkül gefunden werden. 

Folgende Gestaltungsleitlinien liegen allen 

drei Lernumgebungen zugrunde [siehe auch Hoffkamp, 

2009a,b]: 

Verknüpfung Situation – Graph: 

Anknüpfend an inhaltlichen Vorstellungen ist der 

Ausgangspunkt ein funktionaler Zusammenhang 

innerhalb einer Situation und deren dynamische 

Verknüpfung mit der Darstellungsform Graph. 

Die graphische Darstellung wurde gewählt, weil 

sie sich besonders auf die dynamische Komponente 

funktionalen Denkens bezieht und die gesamte 

Information, wie lokale und globale Funktionseigenschaften 

„auf einen Blick“ enthält. 

Zwei Variationsstufen: 

Die Bewegung des Punktes D erlaubt Variation innerhalb 

der Situation. Der Änderungsaspekt wird 

dadurch simultan in den Darstellungsformen Situation 

und Graph visualisiert. Monotonie der Flächeninhaltsfunktion 

äußert sich darin, dass ‚immer 

mehr blau dazukommt ‘. 

Die Charakteristik der Wendestelle lässt sich 

inhaltlich beispielsweise beschreiben durch: ‚Vor 

dieser Stelle wächst der hinzuzuaddierende Flächeninhalt 

und danach sinkt er‘. 

Die zweite Variationsstufe – genannt Metavariation 

– erlaubt nun durch Bewegung der Punk-

Funktionales Denken mit dem Computer unterstützen 

Abbildung 10.2: Screenshot der interaktiven Lernumgebung „Dreiecksfläche“. Beweglich sind die Punkte 

B,C,D. 

te B und C das Ändern der Situation und somit 

das Ändern der Funktion als Ganzes (Abbildung 

10.3). 

Somit bezieht sich Metavariation insbesondere 

auf den Objektaspekt, indem sie das Argument 

des Integraloperators, also der Metafunktion, 

die der Situation den Flächeninhaltsgraphen 

zuordnet, variiert. Metavariation erzwingt eine 

Loslösung von konkreten Werten und damit eine 

Hinwendung zu qualitativen Betrachtungsweisen. 

Insbesondere werden auffällige Charakteristika 

der Flächeninhaltsfunktion hervorgehoben: 

Monotonie ist invariant unter Metavariation, die 

Existenz der Wendestelle ist ‚beinahe invariant‘. 

Auch Begriffe wie ‚konvex‘ und ‚konkav‘ und deren 

inhaltlich-qualitative Unterscheidung tauchen 

auf. 

Abbildung 10.3: Metavariation 

Sprache als Vermittler: Die Schülerinnen und 

Schüler sind stets aufgefordert ihre Beobach- 

tungen zu verbalisieren und auf einem dazugehörigen 

Arbeitsbogen zu notieren. Schon Janvier 

[1978] wies auf die Rolle der Sprache als 

Vermittler zwischen den Darstellungen und den 

Vorstellungen der Schülerinnen und Schüler hin. 

Sprache hat hier sowohl kognitive als auch kooperative 

Funktion. 

Kontiguität: Dies meint räumliche und zeitliche 

Nähe von sich aufeinander beziehenden Darstellungsformen. 

Insbesondere ist die Tatsache, 

dass Bewegung genau dort geschieht, wo mit der 

Maus agiert wird, hervorzuheben. Dadurch wurde 

eine besonders integrative visuelle Darstellung 

erreicht. 

Praktikabilität: Die Lernumgebungen sind im 

Hinblick auf Nutzbarkeit im Unterricht entworfen. 

Sie eignen sich jeweils für eine Doppelstunde 

und können wegen des geringen technischen 

Overheads ohne Einarbeitungszeit genutzt werden. 

3 Forschungsfragen und 

Studiendesign 

Folgenden Forschungsfragen wurde im Rahmen 

einer qualitativen Studie nachgegangen: 

⊲ Welche Vorstellungen und Begriffe im Hinblick 

auf eine dynamische Sicht funktionaler 

Abhängigkeiten werden bei der Arbeit mit 

den Lernumgebungen entwickelt, wenn es um 

die qualitative Beschreibung lokaler und globa- 

53


ler Funktionseigenschaften (wie Extrema, Wendestellen, 

Monotonie, Steigung, nicht-lineares 

Wachstum) geht? 

⊲ Wie sehen die Interaktionsprozesse 

(Mensch–Mensch, Mensch–Computer) aus und 

welche Rolle spielen dabei die Möglichkeiten 

der Applikationen (Variation, Metavariation)? 

⊲ Welche epistemologischen Denkhürden sind erkennbar? 

Lerntheoretisch werden diese Fragen unter 

dem Conceptual-Change-Ansatz [Vosniadou & 

Vamvakoussi, 2006; Hahn & Prediger, 2008] betrachtet. 

Im Lichte dieses Ansatzes bedeutet ein 

Graph-als-Bild-Fehler (siehe Abschnitt 1) eine 

Aktivierung einer nicht-situationsadäquaten Vorstellung. 

Im Sinne eines Conceptual-Change geht 

es um den Aufbau geeigneter Vorstellungen mit 

dem Ziel, dass die Kontexte, in denen gewisse 

Vorstellungen aktiviert werden, verschoben werden. 

Epistemologische Hürden, also Denkhürden, 

die in einem konstruktivistischen Lernprozess 

überwunden werden müssen, sind wichtige Momente 

beim Lernen. In der Auseinandersetzung 

mit diesen Hürden liegt oft der Schlüssel für eine 

Erweiterung der Sicht auf mathematische Konzepte. 

In Sierpinska [1992] werden einige typische 

Hürden im Zusammenhang mit dem Funktionsbegriff 

identifiziert und beschrieben. 

Studiendesign 

Insgesamt wurden drei Lernumgebungen [Hoffkamp, 

2009c] in zwei zehnten Klassen an verschiedenen 

Berliner Gymnasien eingesetzt. Der 

zeitliche Rahmen bestand jeweils aus drei Doppelstunden 

plus einer Einzelstunde. Die Schülerinnen 

und Schüler arbeiteten in Zweiergruppen 

zunächst eigenständig mit der Lernumgebung. Die 

dabei formulierten Beobachtungen wurden in einem 

nachfolgendem Unterrichtsgespräch diskutiert. 

Pro Lernumgebung wurden vier Schülerpaare 

(zwei Paare pro Klasse) videographiert, und 

deren Gespräche und Bildschirmaktionen aufgezeichnet. 

Die Unterrichtsgespräche wurden ebenfalls 

auf Video festgehalten. 

Weiteres Auswertungsmaterial liegt in Form 

der bearbeiteten Arbeitsbögen, eines kurzen Tests 

und eines Fragebogens vor. 

4 Auswertung und ausgewählte 

Ergebnisse 

4.1 Auswertungsverfahren 

Hauptauswertungsmaterial sind die Videos der 

Schülerpaare am Computer. Zunächst wurde von 

jedem Video ein Rohdokument angefertigt. Die 

Rohdokumente sind Tabellen mit folgenden Spalten: 

Zeit, Paraphrase, Computeraktion, Rohtran- 

54 

skript, erste Deutungen. 

Auf Grundlage der Rohdokumente wurden 

Episoden zur Transkription ausgewählt. Der 

Schwerpunkt liegt auf Episoden, in denen es um 

die Bearbeitung der Fragen Warum hat der Graph 

diese Gestalt? und Was geschieht oder ändert sich 

am schwarzen Punkt über C? geht. 

Zur Deutung und Analyse wurden auch die 

Formulierungen auf den Arbeitsbögen herangezogen. 

Die Auswertung orientiert sich an den Grundsätzen 

der interpretativen Unterrichtsforschung 

[Maier & Voigt, 1991]. Lehren und Lernen von 

Mathematik werden als Momente eines sozialen 

Prozesses gesehen, in dem mathematische Bedeutung 

aktiv konstruiert wird. Ziel ist die Re- 

Konstruktion der Bedeutung aus Texten (hier: 

Transkripte, Arbeitsbögen). Theoretisch ist dies 

gebunden an den Conceptual-Change-Ansatz. 

4.2 Ausgewählte Ergebnisse 

Eine Hauptschwierigkeit ist die inhaltliche und 

begriffliche Trennung zwischen Bestand und Änderung. 

Die Änderung des Flächeninhalts abhängig 

vom Abstand A − D muss dabei sowohl in 

der Sprache der Situation (Zuwachs an Flächeninhalt) 

als auch in der Sprache des Funktionsgraphen 

(Steigung in einem Punkt) gefasst werden. 

Darüber hinaus müssen die beiden Repräsentationen 

Situation–Graph verbunden werden. 

Die Diskussionen der Schülerinnen und Schüler 

sind geprägt von einem häufigen Wechsel 

zwischen Bestands- und Änderungssicht und 

dem gleichzeitigen begrifflichen und gedanklichen 

Ringen um Bestand und Änderung. Das hat 

damit zu tun, dass der Ableitungsgraph (Dreieck 

als stückweise lineare Funktion) ja tatsächlich 

sichtbar ist. Die Änderung (z.B. das Abnehmen 

der Steigung nach Überschreiten der Wendestelle) 

ist als Bestand im Ableitungsgraphen zu sehen, 

der ab der Wendestelle monoton sinkt. Mit 

anderen Worten: Der Bestand der Ableitungsfunktion 

spiegelt gerade die Änderung der Bestandsfunktion 

wider. In der Lernumgebung sind genau 

diese Ebenen dynamisch visualisiert und verbunden. 

Hahn & Prediger [2008, S. 177] beschreiben 

dies als Ebenen- und Aspektwechsel: Der Aspekt 

der Änderung auf Ebene der Funktion f entspricht 

dem Zuordnungsaspekt auf Ebene der Ableitungsfunktion 

f ′ . 

Abbildung 10.4 zeigt in diesem Zusammenhang 

einen kleinen Ausschnitt eines Transkriptes 

einer längeren Diskussion zweier Schülerinnen. 

Der Diskussion geht voraus, dass S1 der Ansicht 

ist, dass der Flächeninhaltsgraph nach Überschreiten 

der Wendestelle sinkt, aber S2 damit nicht einverstanden 

ist. Schließlich schaltet sich ein Mitschüler 

(J) aus der vorderen Bankreihe ein (82) 

und sagt ‚Wie wär’s, wenn ihr sagt ‚die Steigung

Funktionales Denken mit dem Computer unterstützen 

Abbildung 10.4: Transkriptauszug eines Schülerpaares zur Frage Warum hat der Graph diese Gestalt? 

nimmt ab‘. Damit war auf der Seite der graphischen 

Darstellung ein Begriff (Steigung) für das 

Änderungsverhalten gefunden worden. Auf der 

Seite der Situation gelang es den Schülerinnen jedoch 

nicht, das Änderungsverhalten geeignet zu 

beschreiben. Das Transkript zeigt, dass sie von einem 

Verhältnis sprechen, das abnimmt (72, 75). 

Ihr Antwortsatz auf dem Arbeitsbogen zur Beantwortung 

der Frage Warum hat der Graph diese 

Gestalt? lautet: 

Da der Flächeninhalt in Abhängigkeit zu AD 

anfangs steigt, dann nimmt die Steigung leicht ab, 

da die Strecke AD im Verhältnis zum Flächeninhalt 

abnimmt, der Graph muss immer steigen, da 

der Flächeninhalt auch immer größer wird. 

Auf Situationsseite sprechen sie davon, dass 

das Verhältnis Länge AD zu Flächeninhalt nach 

Überschreiten der Wendestelle abnimmt, was in 

diesem Fall nicht korrekt ist. Statt Änderungsraten 

und abschnittweiser Sicht, wird hier jeweils nur 

der Abschnitt vom Ursprung ausgehend gesehen. 

Die Monotonie erfassen sie sowohl auf graphischer 

als auch situativer Seite (‚der Graph muss 

immer steigen, da der Flächeninhalt auch immer 

größer wird‘). 

Abbildung 10.5 zeigt einen Transkriptauszug, 

der die Epistemologische Hürde ‚Steigung in einem 

Punkt‘ deutlich macht. Wieder geht es um 

Frage, warum der Graph diese Gestalt hat und insbesondere, 

was sich bei Überschreiten des Punktes 

C ändert. S2 ist der Ansicht, die Funktion hätte 

keinen Anstieg (36,37), weil der Begriff Anstieg 

für Geraden reserviert ist. In (39, 40) verschiebt 

sie Punkt C horizontal (Metavariation) und sagt: 

‚da gibt es keinen Anstieg, weil der Anstieg ist 

überall unterschiedlich‘. 

Gerade das horizontale Verschieben von C 

scheint zu verdeutlichen, dass sich der Anstieg in 

jedem Punkt ändert. Die Beobachtung von S2 ist 

somit ein Moment, der im Lernprozess produk- 

tiv aufgegriffen werden kann, um das Konzept von 

Steigung zu erweitern. Die Notwendigkeit dieser 

Konzepterweiterung hat S2 im Prinzip selbst formuliert. 

Metavariation verdeutlicht Grapheneigenschaften 

und hat dadurch einen auffordernden 

Charakter, wenn es um Erklärungssuche geht. Metavariation 

wurde von den Schülerinnen und Schülern 

häufig genutzt, um Vermutungen zu überprüfen 

und Grapheneigenschaften zu erkunden. 

Metavariation verdeckt aber auch oft die Variation 

erster Stufe, da visuell bei Bewegung 

von Punkt D (Variation erster Stufe) weniger geschieht, 

als bei Bewegung der anderen Punkte. 

Deswegen war es oft wichtig, die Schülerinnen 

und Schüler nochmals über die Art der Zuordnung 

(also auf eine punktweise Sicht) aufmerksam zu 

machen. 

Zusammenfassung 

Die Diskussionen der Schülerinnen und Schüler 

sind geprägt von einem begrifflichen und gedanklichen 

Ringen um Bestand und Änderung. Insbesondere 

fällt es schwer, das Änderungsverhalten 

auf situativer Seite geeignet zu beschreiben. Auf 

graphischer Seite werden hierfür meist die Begriffe 

Steigung oder Anstieg benutzt. Dabei ist es eine 

epistemologische Hürde, den Begriff der Steigung 

auf einzelne Punkte anzuwenden. Dies kann im 

Lernprozess produktiv genutzt werden, wenn es 

um die Erweiterung des Konzeptes Steigung geht. 

Metavariation verdeutlicht Grapheneigenschaften 

z.B. dadurch, dass gewisse Eigenschaften 

invariant unter Metavariation sind. Das führt 

zu Erklärungszwängen. Sie wird oft zur Überprüfung 

von Vermutungen über den funktionalen 

Zusammenhang genutzt, aber sie verdeckt auch 

die Variation erster Stufe durch den stärkeren visuellen 

Eindruck. 

55


Abbildung 10.5: Transkriptauszug eines Schülerpaares zur epistemologischen Hürde Steigung in einem 

Punkt 

Literatur 

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– Ein Beitrag zur Didaktischen Rekonstruktion der Analysis. 

JMD, 29(3/4), 163–198. 

Hoffkamp, Andrea (2009a): Enhancing functional thinking 

using the computer for representational transfer. In: Proceedings 

of the Sixth Conference of European Research in Mathematical 

Education, Lyon. 

Hoffkamp, Andrea (2009b): Funktionales Denken und Analysispropädeutik 

– Ein Beitrag zu einem qualitativen Einstieg in 

die Schulanalysis durch Computereinsatz. Computeralgebra– 

Rundbrief, 45, 27–29. 

Hoffkamp, Andrea (2009c): Homepage Andrea Hoffkamp. 

URL http://www.math.tu-berlin.de/~hoffkamp. 

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graphs representing situations. Dissertation, University of 

Nottingham, Shell Centre for Mathematical Education, Nottingham. 

Krüger, Katja (2000): Kinematisch-funktionales Denken als 

Ziel des höheren Mathematikunterrichts – das Scheitern der 

Meraner Reform. Mathematische Semesterberichte, 47, 221– 

241. 

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Aulis Verlag. 

Richter-Gebert, Jürgen & Ulrich Kortenkamp (2006): The Interactive 

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http://www.cinderella.de. 

Sierpinska, Anna (1992): On understanding the notion of function. 

In: Harel, Guershon & Ed Dubinsky (Hg.): The concept 

of function – Aspects of epistemology and pedagogy, Mathematical 

Association of America, 25–58. 

Stellmacher, Hubertus (1986): Die nichtquantitative Beschreibung 

von Funktionen durch Graphen beim Einführungsunterricht. 

In: Harten, Gerd, Hans N. Jahnke, Thomas Mormann 

et al. (Hg.): Funktionsbegriff und funktionales Denken, Aulis 

Verlag, 21–34. 

Vollrath, Hans-Joachim (1989): Funktionales Denken. Journal 

für Mathematikdidaktik, 10(1), 3–37. 

Vosniadou, Stella & Xenia Vamvakoussi (2006): Examining 

Mathematics Learning from a Conceptual Point of View. In: 

Verschaffel, Lieven et al. (Hg.): Instructional Psychology: Past, 

present, and future trends – Sixteen essays in honour of Eric De 

Conte. Advances in Learning and Instruction Series, Elsevier.

• Qualitatives Modellieren mit der Funktionenbox und anderen 

schwarzen Kästen 

Guido Pinkernell, Darmstadt 

Der Begriff „Qualitatives Modellieren“ nimmt solche Teiltätigkeiten eines Modellierungsprozesses 

in den Blick, in denen ein rechnerischer Umgang mit quantitativen Daten nur eine untergeordnete 

Rolle spielt. Solche Teiltätigkeiten können zum Beispiel die begründete Auswahl eines mathematischen 

Modells oder die Validierung einer gefundenen Lösung sein, also solche Phasen, die bei einem 

kalküllastigen Unterricht häufig vernachlässigt werden. Der Einsatz von mathematischer Software 

kann so als Chance begriffen werden, gerade die qualitativen Aspekte des Modellierens zu unterstützen, 

was durch zahlreiche Aufgabenbeispiele aus dem Unterricht illustriert wird. 

Eine gekürzte Version dieses Beitrags wurde im Rundbrief der Fachgruppe Computeralgebra, Heft 

46 (2010), S. 13–17, veröffentlicht. 

1 Was soll „Qualitatives 

Modellieren“? 

Der Rechnereinsatz im Unterricht wirkt wie 

ein Katalysator. “Wenn der Rechner alles übernimmt“, 

so die häufige Klage, „was müssen dann 

Schüler noch können?“ Ja was? Was bleibt denn 

übrig, wenn „alles“ von einer Maschine übernommen 

wird? 

Wenn das Bild von der Mathematik durch Rechenfertigkeiten 

bestimmt wird, dann bleibt tatsächlich 

nicht mehr viel übrig. Dass da aber noch 

eine ganze Menge mehr ist als bloßes Rechnen 

können, hat ja die Diskussion über Kompetenzen 

und Leitideen in den letzten Jahren gezeigt. 

Besonders deutlich muss das beim Modellieren 

werden, wo reines Rechnen nur einen kleinen 

Teil der Aktivitäten ausmachen. Jeder bekannte 

Modellierungskreislauf zeigt das zur Genüge. 

Insbesondere fehlt im Begriff des „Mathematischen 

Modellierens“ von Blum [2007] mit seinen 

Teilkompetenzen „Vereinfachen, Mathematisieren, 

Interpretieren und Validieren“ gerade das 

„Auswählen, Schaffen und Anwenden mathematischer 

Werkzeuge.“ Wenn also der Rechner insbesondere 

das Anwenden mathematischer Werkzeuge 

übernimmt, was bleibt dann noch übrig an 

Modellierungskompetenzen? Sehr viel! 

Es lohnt sich, ausgehend vom fortschreitenden 

Rechnereinsatz in den Schulen, diese nichtkalküllastigen 

Teilkompetenzen des Modellierens 

gezielt in den Blick zu nehmen. Und zwar unter 

einem gemeinsamen Oberbegriff, der als komplementär 

zu verstehen ist zu den vielerorts zuerst 

wahrgenommenen rechnerischen Fertigkeiten. Insofern 

soll hier das „Qualitative Modellieren“ verstanden 

werden als die Tätigkeiten der Modellentwicklung 

und -begründung, bei denen deutlich auf 

nicht quantifizierte Eigenschaften der Sachsituation 

Bezug genommen wird. 

Als Zwischenbemerkung sei der Hinweis eingefügt, 

dass der Begriff des „Qualitativen Modellierens“ 

auch in der Mathematikdidaktik nicht unbekannt 

ist. Ossimitz [1991] beschreibt hierun- 

ter spezielle Formen des Modellbildungsprozesses 

dynamischer Systeme. Seine Differenzierung 

zwischen qualitativen und quantitativen Aspekten 

des Modellierens deckt sich nicht in jedem Detail, 

aber weitgehend mit den hier geschilderten 

Ausführungen, wird dort aber an anderen Inhalten 

konkretisiert. 

Drei Thesen des Qualitativen Modellierens 

sollen im Folgenden jeweils anhand schulnaher 

Aufgaben herausgearbeitet werden: 

⊲ Geeignete Modellfunktionen können qualitativ 

begründet werden bevor die Termanpassung 

vorgenommen wird. 

⊲ Quantitativ ermittelte Modelle müssen auch aus 

qualitativer Perspektive bestehen. 

⊲ Modellbildung ist auch ganz ohne quantifizierte 

Daten möglich. 

Dass hier verschiedene bekannte Teilkompetenzen 

des Modellierens wie „Validieren“ usw. 

mit angesprochen sind bleibt unbestritten. Eine 

differenzierte Diskussion dieser Teilkompetenzen 

nach dem Vorbild bekannter feinstrukturierter 

Prozessmodelle soll aber im Sinne der eingangs 

begründeten Schwerpunktsetzung unterbleiben. 

2 Was ist Qualitatives Modellieren? 

2.1 Funktionen termfrei – qualitatives vor 

quantitativem Modellieren 

Abbildung 11.1: aus Pinkernell [2009] 

Abb. 11.1 zeigt eine Aufgabe, die aus dem 

57


Bereich der Parametervariation stammen könnte. 

Sie ist insofern ungewöhnlich, als hier die Variation 

unabhängig von dem Term des gegebenen 

Funktionstyps erfolgt. Man beobachtet zwar weiterhin 

Veränderungen hinsichtlich der Gestalt und 

Position des Funktionsgraphen, wenn die Werte 

von a, b, c, usw. verändert werden. Aber diese 

Veränderungen sind bei allen Funktionen, die 

als „ f (x)“ im Rechner abgelegt werden, die gleichen. 

Zum Beispiel ist die Wirkung des Parameters 

b in f (x) + b eine Verschiebung parallel zur 

y-Achse. Eine solche allgemeine Aussage dürfte 

für einen Schüler schwerer nachvollziehbar sein, 

wenn das „b“ in den Termen der verschiedenen 

Funktionstypen an unterschiedlichen Stellen auftaucht. 

Man vergleiche nur f (x) = ax + b und 

f (x) = asin(bx + c) + d [Pinkernell, 2009]. 

Abbildung 11.2: aus Pinkernell [2009] 

Das hat zunächst nicht viel mit Modellieren 

zu tun. Entscheidend ist angesichts der beiden 

Screenshots aber die Tatsache, dass die Auswahl 

eines Funktionstyps und die Quantifizierung 

der Parameter voneinander getrennt ist. Und zwar 

chonologisch. Zuerst muss die Funktion gewählt 

werden, bevor die einzelnen Größen in den Blick 

genommen werden können. Wie dies für das Modellieren 

bedeutsam werden kann, zeigt die folgende 

Aufgabe (Abb. 11.2). Bevor die vielerorts 

übliche Funktionsanpassung vorgenommen werden 

kann, muss überhaupt eine mögliche Funktion 

ausgewählt und begründet werden. In dieser Reihenfolge 

muss die Auswahl im Wesentlichen aus 

qualitativen Gründen erfolgen, z. B. unter Hinweis 

auf die zu erwartende Periodizität der Sonnenscheindauer 

über mehrere Jahre hinweg. Konkrete 

Datenwerte müssen nicht bemüht werden. Es 

reichen grundsätzliche Kenntnisse über den Unterschied 

von Winter und Sommer, die durch den 

„nicht quantifizierenden“ Blick auf das Säulendiagramm 

ergänzt wird. Konkrete Daten – wenn 

überhaupt vorhanden – sind bei der Auswahl des 

Modells nur ein Teil der Begründung. 

Auch beim Erstellen von Regressionen ist diese 

Abfolge von Auswahl und Anpassung sichtbar 

(Abb. 11.3). Zuerst wird der Regressionstyp 

gewählt. Dann erst erfolgt vermittels der Bestä- 

58 

tigungstaste die automatisierte Anpassung. Dabei 

ist auch aus der „qualitativen Perspektive“ auf den 

Modellierungsprozess diese chronologische Reihung 

nicht entscheidet. Sie weist hier nur darauf 

hin, dass eine Differenzierung zwischen qualitativen 

und quantitativen Phasen möglich und sinnvoll 

ist. 

Abbildung 11.3: Die Auswahl der Regression ist 

ein separater Schritt vor der quantitativen Anpassung 

durch Betätigung der „Enter“-Taste. 

2.2 Regressionsfunktionen – quantitativ 

ermittelte Modelle werden qualitativ 

überprüft 

Regressionen werden bei der Bestimmung von 

Modellfunktionen häufig missbraucht. Häufig 

wird nach dem Muster verfahren „mal gucken was 

so passt“, wobei das Passgüte allein mittels der 

Korrelation beurteilt wird. Demnach wäre diejenige 

Regression die beste, unter der die Datensätze 

eine Korrelation möglichst nahe bei 1 aufweisen. 

Das ist insofern problematisch, als diese rein 

quantitativ motivierte Begründung u. U. zu verfälschenden 

Aussagen über den Sachkontext veranlassen. 

Das Aufgabenbeispiel aus Abb. 11.4 entstammt 

der Einheit „Lineare Zusammenhänge“ 

aus dem Schulprojekt CAliMERO [Bruder & 

Weiskirch, 2008]. Die hierfür relevanten niedersächsischen 

Richtlinien schreiben für dieses Themengebiet 

auch die Behandlung von Ausgleichsgeraden 

vor. Bemerkenswert aus qualitiativer Perspektive 

ist an dieser Aufgabe, dass keine Ausgleichsgeraden 

zu berechnen sind, sondern zwei 

gegebene Modelle hinsichtlich ihrer Eignung zu 

beurteilen sind. Dabei lassen sich für beide Geraden 

gute Argumente finden. Im Sinne von „offenen 

Modellierungsaufgaben“ [Greefrath, 2007] 

gibt es hier keine „richtige Lösung“, eine wichtige 

Erkenntnis, die auch bei Siebtklässlern thematisiert 

werden kann. Studenten dagegen, denen diese 

Aufgabe vorgelegt wurde, zückten ihren Rechner 

und verwarfen beide Modelle unter Hinweis 

auf die vom Automaten berechnete Regressiongerade. 

Sie stimmte nämlich mit keiner der beiden

Qualitatives Modellieren mit der Funktionenbox und anderen schwarzen Kästen 

Abbildung 11.4: aus Bruder & Weiskirch [2008]: „Lineare Zusammenhänge“ 

gegebenen überein. Qualitative Argumente wurden 

– ganz im Gegensatz zur Aufgabenintention 

– gar nicht erst bemüht. 

Dass die erste Auswahl eines Regressionsmodell 

nicht die endgültige sein muss, dürfte klar 

sein. Die erste Wahl zu verwerfen kann natürlich 

auch unter Hinweis auf eine schlechte Datenanpassung 

erfolgen. Eine solche Entscheidung wirkt 

aber überzeugender, wenn das neue Modell auch 

durch qualitative Eigenschaften des Sachkontextes 

begründet werden kann – oder aufgrund des 

neuen Modells mögliche Eigenschaften des Kontextes 

deutlich werden lässt, die vielleicht vorher 

nicht übersehen oder gar ganz unbekannt waren. 

Von einem eindrucksvollen Beispiel berichtete 

Joachim Engel in seinem Vortrag auf der Soester 

Tagung des AK MUI [vgl. auch Engel, 2009, 

106ff.]: In einem Experiment wurden verschiedene 

Volumenmengen Wasser in einer Mikrowelle 

für 30 Sekunden erhitzt und die Temperaturdifferenz 

gemessen. Einen zuerst vermuteten antiproportionalen 

Zusammenhang von Temperaturzuwachs 

∆T in Abhängigkeit der Volumenmenge 

V ließen die Daten nicht zu. Weitaus besser als 

die vermutete Potenzfunktion mit Exponenten −1 

passte ein Exponent nahe bei −0,65. Wie kann 

das sein? – eine Frage, die sich nahezu aufdrängt, 

ihre Antwort aber in der Sachsituation sucht. Engel 

selbst gibt eine mögliche Erklärung: Aufgenommen 

wird die Wärmeenergie über die Oberfläche 

(auch bei Mikrowellen ist die Eindringtiefe 

begrenzt). Das Dimensionenverhältnis von Oberfläche 

zum Volumen ist aber 2/3 ≈ 0,66. Wenn 

man nun zusätzlich annimmt, dass die Tempera- 

turdifferenz in einem antiproportionalen Zusammenhang 

zur Oberfläche der Wassermenge steht, 

ließe sich eine Funktion von der Form ∆T = k · 

V −2/3 in der Sache plausibel machen. 

Daten allein erklären die Wirkungszusammenhänge 

nicht. Sie können aber Hinweise geben, wie 

sie zu verstehen sind. Und zwar, indem das passende 

Modell in seiner Bedeutung für die Sache 

analysiert wird. 1 

Abb. 11.5 zeigt schematisch diese wechselseitige 

Beziehung zwischen unserer Interpretation 

des Sachkontextes und dem gewählten Modell. 

Zum einen soll das Modell den Zweck erfüllen, 

die zur Problemlösung relevanten Aspekte des 

Sachkontextes abzubilden. Umgekehrt ist es möglich, 

dass Eigenschaften des Modells Rückschlüsse 

auf Eigenschaften des Sachkontextes ermöglichen, 

die zuvor unbekannt waren. Dass die Neuinterpretation 

von Wirklichkeit aufgrund von Modellen 

in den Naturwissenschaften gängige Praxis 

ist, macht dieses Schema nicht zu einem trivialen. 

Es ist vielmehr ein weiterer Grund dafür, die qualitative 

Perspektive auf die Modellbildung neben 

die quantitative zu stellen. 

Abbildung 11.6: aus Körner [2003] 

1 Man nennt ein solches Modell auch explikativ, da es den Zweck hat, die zugehörigen Sachkontext zu erklären. Eine Abgrenzung 

zum Begriff des deskriptiven Modells erscheint schwierig. Und wenn man bedenkt, dass explikative bzw. deskriptive Modelle die 

Komplexität einer Sachsituation auf vereinfachende Weise interpretieren, wirken sie auch immer normativ. Trotzdem: schlagwortartige 

Terminologien sind nützlich, wenn sie helfen, den selben Gegenstand aus grundsätzlich unterscheidbaren Perspektiven in den Blick 

zu nehmen. Das ist ja mit dem „Qualitativen vs. Quantitativen Modellieren“ auch nicht anders. 

59


Abbildung 11.5: Unsere Interpretation des Sachkontextes beeinflusst die Wahl des Modells - und umgekehrt 

Eine Aufgabe, das diesen wechselseitigen Einfluss 

auf unterhaltsame Weise verdeutlicht, ist die 

Aufgabe aus Abb. 11.6. Hier sind zwei Modelle 

möglich, die beide qualitative wie quantitative Eigenschaften 

der Situation berücksichtigen. Dabei 

ist entscheidend, dass es sich hier um ein Zufallsexperment 

handelt. Die eine Funktion modelliert 

die ideale Situation, die zweite nimmt Bezug auf 

die „erwürfelten“ Daten. Dass beide annehmen, 

dass es sich hier um einen exponentiellen Prozess 

handelt, ist – qualitativ – leicht zu begründen. In 

Körner [2003] ist zu dieser Aufgabe eine Ergebnistabelle 

zu finden, auf deren Grundlage Studenten 

eine passende Modellfunktion ermitteln sollten. 

Sie lieferten deren zwei (siehe Abb. 11.7) und 

begannen, lebhaft über die „Richtigkeit“ der einen 

oder der anderen zu diskutieren. 

Abbildung 11.7: Zwei Exponentialfunktionen modellieren 

das m&m-Experiment 

Für das Regressionsmodell spricht, dass es zu 

den gegebenen Daten besser passte als die andere 

Funktion. Diese andere wiederum berücksichtigt 

zuvorderst den Kontext, indem die beim 

Wurf einer Schokolinse angenommene Erfolgswahrscheinlichkeit 

von 50% in die Formulierung 

des Funktionsterms übernommen wird. Dass die 

Daten hiervon abweichen kann durch den Zu- 

60 

fall erklärt werden. Eine größere Versuchsreihe 

würde wohl eine bessere Anpassung der Daten 

an das ideale Modell erwarten lassen, so meinte 

man. Ich berichtete sodann von der Druchführung 

eines ähnlichen Schokolinsenexperiments in 

einem Leistungskurs, das die exponentielle Abnahme 

einführen sollte: Alle Linsen einer Tüte 

werden geworfen, und die Linsen mit oben liegendem 

Aufdruck durften gegessen werden, der 

Rest sollte nochmal geworfen werden usw. Die 

Schülergruppen wurden in der großzügig bemessenen 

Zeit nicht fertig, denn überall blieb eine 

kleine Anzahl von m&ms übrig, die partout nicht 

ihrem Aufdruck zeigen wollten. Eine genauere 

Untersuchung zeigte Unerwartetes: Diese Schokolinsen 

hatten gar keinen Aufdruck! Aufmerken 

auch in der Studentengruppe: Müssen wir nun die 

Bewertung unserer Modelle revidieren? Kann es 

womöglich sein, dass die Regressionsfunktion mit 

52% die „wahre“ Erfolgswahrscheinlichkeit angibt? 

Modelle machen Aussagen über Wirklichkeit. 

Ein Modell kann gar Eigenschaften der Sachsituation 

aufdecken, die vorher nicht wahrgenommen 

wurden. Die quantitative und die qualitative Perspektive 

müssen sich ergänzen, wenn das Modell 

überzeugend begründet werden soll. 

2.3 Differenzialgleichungen – Modellbilden 

ohne quantifizierte Daten 

Ebenfalls in Körner [2003] findet sich eine Aufgabe, 

mittels derer man den wechselseitigen Einfluss 

von Modellbildung und unserer Interpretation 

der Sachsituation thematisieren kann. Den 

Schülern wird eine Tabelle (Abb. 11.8 links) vorgelegt 

mit der Aufforderung, eine Prognose für 

x = 2 zu erstellen. Offensichtlich bietet sich ein lineares 

Modell an, das allerdings nach Bekanntgabe 

weiterer Daten (Abb. 11.8 mitte) revidiert werden 

muss. Das hier sich anbietende exponentiale 

Modell wiederum erscheint nicht das einzig mögliche 

Modell, wenn man die dritte Tabelle in den


Blick nimmt. Die Datenpunkte gehen zum Schluss 

nahezu senkrecht nach oben. Man ist versucht, 

hinter x=2 eine Polgerade zu vermuten. Mit der 

Konsequenz, dass eine Hyperbel durch die Punkte 

zu legen wäre. 

Der Sachkontext wird in der originalen Version 

der Aufgabe erst am Schluss genannt. Es handelt 

sich um das Wachstum der Weltbevölkerung 

mit x: Jahreszahl in 1000 und y: Anzahl der Menschen 

in Mrd. Das letzte Modell wirkt in diesem 

Sachkontext alarmierend. Ist demnächst eine globale 

Katastrophe zu erwarten? – Oder darf man 

überhaupt ein hyperbolisches Wachstum annehmen? 

Hierzu ist es sinnvoll, auf Grundlage der ermittelten 

Modelle den Sachkontext erneut zu analysieren. 

Jedes Modell macht hierzu Aussagen 

zum Zusammenhang zwischen Bestand und Bestandsänderung. 

Im linearen Modell wird die Änderung 

zu jedem Zeitpunkt als konstant angenommen. 

Beim exponentiellen Modell wächst die Änderung 

mit dem Bestand, genauer ist dieser Zusammenhang 

proportional. Die Daten veranlassen 

dazu, das exponentielle Modell anzuwenden, 

aber: Welche Gründe sind im Sachkontext sprechen 

hierfür? Sie dürften mit der sich ausbreitenden 

Industrialisierung im 19. Jahrhunderts zusammen 

hängen. Das hyperbolische Modell geht 

noch weiter. Es nimmt einen überproportionalen 

Zusammenhang zwischen Bestand und Änderung 

an. Es passt sehr gut zu den Daten, aber inwieweit 

spricht der Kontext dafür? Hierzu müsste man 

Gründe dafür finden, wie in der Vergangenheit 

eine größer werdende Weltbevölkerung ständig 

die Lebensbedingungen soweit verbessern konnte, 

dass auch die Reproduktionsrate weiter wächst. 

Aber was die Zukunft betrifft: Kann die Reproduktionsrate 

denn tatsächlich immer weiter wachsen? 

Wo Zusammenhänge zwischen Bestand und 

Bestandsänderung untersucht werden sind Differenzialgleichungen 

nicht weit. Für jedes der 

drei genannten Modelle ist dieser Zusammenhang 

auch in Form einer Gleichung schnell formuliert. 

Eine konstante Bestandsänderung im linearen 

Fall führt zur Gleichung B ′ (t) = c mit einer 

reellen Konstante c. Beim exponentiellen Modell 

sind Änderung und Bestand proportional, die zugehörige 

Differenzialgleichung lautet also B ′ (t) = 

pB(t), wobei der Proportionalitätsfaktor p ebenfalls 

reell ist. Der Zusammenhang beim hyperbolischen 

Modell ist überproportional. „Überproportional“ 

heißt hier „quadratisch“: B ′ (t) = cB 2 (t). 

Differenzialgleichungen in dieser allgemeinen 

Form formulieren qualitative Zusammenhänge 

zwischen Wirkungsgrößen in der Sachsituation 

2 . Man kann die enthaltenen Parameter ggf. 

quantifizieren. Im Schulunterricht sind darüber 

hinaus die gewohnten expliziten Funktionsgleichungen 

zu ermitteln. Der Rechner erledigt das 

schnell; auch in diesem Fall sollte die Blackbox 

nicht geöffnet werden, wenn als Schwerpunkt der 

Unterrichtsreihe das Modellieren verstanden wird 

und nicht die Behandlung analytischer Methoden 

und Begriffe. Bemerkenswerterweise findet man 

genau diese Schwerpunktsetzung im kommenden 

Kerncurriculum für die Oberstufe an niedersächsischen 

Gymnasien wieder, wo die Arbeit mit zumindest 

graphikfähigen Taschenrechnern seit der 

Jahrgangsstufe 7 Pflicht ist. Dort wird als Lernziel 

formuliert: „[Die Schülerinnen und Schüler] 

erkennen den Zusammenhang zwischen Funktion 

und Ableitungsfunktion und deuten die resultierende 

Differentialgleichung im Sachkontext 

der Wachstumsmodelle.“ Insbesondere sind „Differentialgleichungen 

ohne Lösungsverfahren“ 3 zu 

behandeln [Niedersächsisches Kultusministerium, 

2009]. 

Wo der Rechner als Blackbox im Einsatz ist 

wird schnell deutlich, dass die intellektuelle Tätigkeit 

sich auf andere Bereiche als dem Rechnen 

verlagern muss. Beim Modellieren bietet sich 

die Analyse qualitativer Eigenschaften der gegebenen 

Sachsituation an. Differentialgleichungen 

sind hierfür hervorragend geeignet. Die zwei folgenden 

Aufgaben – stellvertretend für weitere andere 

aus einer unveröffentlichten Unterrichtsreihe 

für Leistungskurse – sollen zeigen, wie das aussehen 

kann. 

Die erste Aufgabe (Abb. 11.9–11.11) wurde 

eingesetzt, nachdem die Schüler schon einige Erfahrung 

mit der Modellierung mit Differenzialgleichungen 

gemacht hatten. Insbesondere hatten 

sie entsprechende Kenntnisse über Modelle von linearen, 

exponentiellen und beschränkten Wachstumsprozessen. 

Jedesmal wurde Wert darauf gelegt, 

dass unterschiedliche Aspekte des jeweiligen 

Begriffs deutlich werden, in anderen Aufgaben 

auch Richtungsfelder, die hier fehlen. Dieser 

aspektreiche Zugang wurde auch methodisch unterstützt, 

so auch in dieser Aufgabe in Form eines 

Gruppenpuzzles. Jede der drei Gruppen A, B und 

C hatte seinen eigenen Zugang zum neuen Wachstumsmodell, 

das in dieser Aufgabe das logistische 

ist. Die Arbeitsaufträge überlappten sich, was die 

abschließende Austauschrunde vereinfachte. Man 

2 Ossimitz [1991] versteht Wortbeschreibungen von Wirkungsgrößen und deren Zusammenhänge qualitativ. Ihre Übersetzungen in 

formalmathematische Ausdrücke, darunter auch Differentialgleichungen, werden dagegen quantitative Modelle genannt, auch dann, 

wenn den enthaltenen Parametern keine konkreten Werte zugewiesen werden. 

3 Mir ist keine andere Stelle in einem Lehrplan bekannt, an der herausgestellt wird, was nicht zu unterrichten ist. Offensichtlich ist 

die Sorge groß, dass mit der Nennung von „Differenzialgleichungen“ wieder kalküllastige Assoziationen freigesetzt und die intendierten 

qualitativen Ansätze gar nicht erst wahrgenommen werden. 

61


Abbildung 11.8: „Erstelle eine Prognose für x = 2“ – Eine sich verändernde Datenlage ändert unseren Blick 

auf die Situation 

62 

Abbildung 11.9: Einführung in das logistische Wachstumsmodell in arbeitsteiliger Gruppenarbeit (A) 

Abbildung 11.10: Einführung in das logistische Wachstumsmodell in arbeitsteiliger Gruppenarbeit (B)


Abbildung 11.11: Einführung in das logistische Wachstumsmodell in arbeitsteiliger Gruppenarbeit (C) 

beachte aber: Im gesamten Aufgabenmaterial findet 

sich keine Zahl. Die Modellentwicklung findet 

also auf einer rein qualitativen Ebene statt. 

Die zweite Aufgabe in Abb. 11.12 zeigt Auszüge 

aus einer Abiturklausur. Hier ist eine Datentabelle 

enthalten, um beide Aspekte – den qualitativen 

wie quantitativen – zu berücksichtigen. 

Die Originalaufgabe verlangte auch die Bearbeitung 

quantitativer Fragestellungen, hier sind nur 

die Teilaufgaben gezeigt, die die qualitative Perspektive 

betonen. Zwar sollte Bezug genommen 

werden auf die Tabellendaten, indem auf fallende 

Zuwachsraten hingewiesen wird. Letzteres könn- 

Abbildung 11.12: Eine Abituraufgabe 

te darauf hinweisen, dass die Populationsentwicklung 

schon vor Aufzeichnung in die Sättigungsphase 

eingetreten ist. Daneben steht aber auch die 

Angabe, dass eine wachsende Menge an Bakterien 

entfernt wird. Vielleicht ist dieser Eingriff für 

die fallenden Zuwachsraten verantwortlich? Ohne 

diesen Eingriff hätte man mit dem Bakterienwachstum 

in einem beschränkten Lebensumfeld 

ja ein klassisches Beispiel für einen logistischen 

Wachstumsprozess. Gegen das logistische Wachstumsmodell 

spricht darüber hinaus, dass die zuge- 

63


hörige Differentialgleichung 

y ′ (x) = k · y(x) · (G − y(x)) 

die regelmäßig wachsende Entnahme von Bakterien 

nicht berücksichtigt. Die in der zweiten Teilaufgabe 

gegebene Gleichung tut dies mit dem 

Teilterm −b · x, setzt aber mit dem ersten Teilterm 

y ′ (x) = 0,2 · y(x) grundsätzlich exponentielles 

Wachstumsverhalten voraus. Wie wäre das zu 

begründen? Oder sollte man stattdessen die Differentialgleichung 

des logistischen Wachstums modifizieren? 

Wie? Der Rechner liefert ggf. explizite 

Funktionsterme, anhand dann auch anhand der 

Daten überprüft werden könnten. 

3 Zusammenfassung 

Qualitatives Modellieren benennt eine bestimmte 

Perspektive auf den Modellbildungsprozess. Es 

werden mit diesem Begriff die Tätigkeiten in den 

Blick genommen, in denen der Kalkül keine wesentliche 

Rolle spielt. In diesem Sinne wirkt der 

Begriff vereinfachend. Er ist aber dennoch sinnvoll, 

wenn angesichts wachsendem Rechnereinsatz 

im Schulunterricht gerade den kalküllastigen 

Phasen weniger Gewicht beigemessen werden 

kann. Anders gesagt: Auf die Frage „Was bleibt 

denn bei Rechnereinsatz noch an Mathematik übrig?“ 

heißt die Antwort: Es sind gerade die qualitativen 

Aspekte des Modellbildens, denen im Unterricht 

mehr Raum gegeben werden kann. 

An mehreren Aufgabenbeispielen (von denen 

die meisten auch so im Unterricht verwendet wurden) 

ist das Qualitative Modellieren konkretisiert 

worden, und zwar wurden hierzu drei Thesen 

formuliert, die das Qualitative Modellieren wenn 

nicht umfassend, aber im Wesentlichen charakterisieren: 

⊲ Geeignete Modellfunktionen können qualitativ 

begründet werden bevor die Termanpassung 

vorgenommen wird. 

Eine (auch mit quantitativen Daten) gegebene 

Sachsituation soll mithilfe bekannter Funktionstypen 

modelliert werden. Bevor die Anpassung 

des Termes an die Daten erfolgt muss 

zuerst ein passender Funktionstyp ausgewählt 

werden. Davon gibt es womöglich mehrere. 

Welche grundsätzlich geeignet sind, und welchen 

man schlußendlich auswählt muss begründet 

werden. Das ist möglich, noch bevor 

die rechnerische Termanpassung vorgenommen 

wird. 

⊲ Quantitativ ermittelte Modelle müssen auch aus 

qualitativer Perspektive bestehen. 

Regressionsfunktionen sind in der Regel datenbezogen 

berechnet und damit quantitativ begründet. 

Dabei muss das Höchstmaß an „Datenanpassung“ 

nicht unbedingt das beste Mo- 

64 

dell liefern. Vielleicht beschreibt ein durch Regression 

ermitteltes Modell die gegebenen Daten 

hervorragend, aber liefert unsinnige Prognosen? 

Vielleicht passen auch die in einem 

solchermaßen berechneten Modell indirekt 

beschriebenen Wirkungszusammenhänge überhaupt 

nicht zur gegebenen Situation? Hier muss 

die qualitative Perspektive ggf. korrigieren. 

⊲ Modellbildung ist auch ganz ohne quantifizierte 

Daten möglich. 

Differentialgleichungen beschreiben Wirkungszusammenhänge, 

z. B. zwischen Änderung 

und Bestand in einem Wachstumsprozess. 

Auch ohne gegebene quantifizierte Daten lassen 

sich sinnvolle Differentialgleichungen formulieren, 

an denen allein anspruchvolles Modellieren 

möglich ist. 

Die Aufgaben sind nicht neu, und auch die 

hier beschriebenen Modellierungs-aktivitäten sind 

nicht neu. Wichtig erscheint es aber, sie unter dem 

aussagekräftigen Begriff des „Qualitativen Modellierens“ 

zu bündeln und so der immer noch 

weit verbreiteten kalkülbehafteten Sicht auf das 

Modellieren an die Seite zu stellen. Damit stellt 

sich die qualitative Perspektive auf das Modellieren 

nicht gegen solche Konzepte, die eine verstärkte 

Berücksichtigung von realistischen Daten 

und authentischem Aufgabenmaterial in den 

Mathematikunterricht fordern [vgl. z. B. Engel, 

2009]. Auch hier spielt die qualitative Sicht auf 

den Sachkontext – wie die Mikrowellenaufgabe 

oben deutlich zeigt – eine wesentliche Rolle im 

Modellierungsprozess. 

Literatur 

Blum, Werner (2007): Mathematisches Modellieren - zu 

schwer für Schüler und Lehrer? Beiträge zum Mathematikunterricht, 

3–12. 

Bruder, Regina & Wilhelm Weiskirch (Hg.) (2008): CALiME- 

RO – Computeralgebra im Mathematikunterricht, Band 3. T3 

Deutschland. 

Engel, Joachim (2009): Anwendungsorientierte Mathematik: 

Von Daten zur Funktion. Eine Einführung in die mathematische 

Modellbildung für Lehramtsstudierende. Heidelberg, 

Berlin: Springer Verlag. 

Greefrath, Gilbert (2007): Modellieren lernen mit offenen realitätsnahen 

Aufgaben. Aulis Verlag. 

Körner, Henning (2003): Modellbildung mit Exponentialfunktionen. 

In: Henn, Hans-Wolfgang & Katja Maaß (Hg.): Materialien 

für einen realitätsbezogenen Mathematikunterricht, 

ISTRON, Band 8, Hildesheim: Franzbecker, 155–177. 

Niedersächsisches Kultusministerium (2009): Kerncurriculum 

für das Gymnasium — gymnasiale Oberstufe. Anhörfassung. 

URL http://www.cuvo.nibis.de. 

Ossimitz, Günther (1991): Qualitatives und quantitatives systemdynamisches 

Modellieren. Technischer Bericht, Institut für 

Didaktik der Mathematik, Bielefeld, URL http://wwwu. 

uni-klu.ac.at/gossimit/pap/qualqua.htm. 

Pinkernell, Guido (2009): „Wir müssen das anders machen“ - 

mit CAS funktionales Denken entwickeln. Der Mathematikunterricht, 

4, 37–44.

• Vielfältiger Computereinsatz im Analysisunterricht 

Gilbert Greefrath, Köln 

Funktionen kann man auf dem Computer unterschiedlich darstellen. Neben der exakten Darstellung 

algebraischer Funktionen kann ein Computer Funktionen auch numerisch repräsentieren, sei 

es in grafischer Darstellung oder in tabellarischer Darstellung. Diese Darstellungen können für unterschiedlichste 

Einsatzmöglichkeiten im Unterricht genutzt werden. Im ersten Teil des Beitrags 

werden unterschiedliche Funktionen des Computers zum vielfältigen Einsatz im Analysisunterricht 

beschrieben. Anschließend wird an zwei Beispielen aufgezeigt, wie Computer unterstützend auch 

für das qualitative und diskrete Verständnis von Funktionen im Analysisunterricht eingesetzt werden 

können. 

1 Einführung 

Der Analysisunterricht hat sich in den letzten Jahren 

stark verändert, nicht zuletzt durch die Verfügbarkeit 

von Computern mit entsprechenden digitalen 

Werkzeugen. Eine Kurvendiskussion mit 

dem Ziel, die grafische Darstellung von Funktionen 

möglichst exakt zu erstellen, ist im Zeitalter 

von grafikfähigen Taschenrechnern und Funktionenplottern 

kein zentrales Ziel des Mathematikunterrichts 

der Oberstufe mehr. Der Schwerpunkt 

der Arbeit mit Funktionen im Mathematikunterricht 

hat sich daher einerseits in Richtung von anwendungsbezogenen 

Aufgaben und andererseits 

zu einem stärker anschauungsorientierten Arbeiten 

mit Funktionen verschoben. 

In allen Bereichen des Analysisunterrichts, die 

im Diagramm (vgl. Abb. 12.1) dargestellt sind, 

können der Computer oder ein entsprechend ausgestatteter 

grafikfähiger Taschenrechner ein sinnvolles 

Werkzeug zur Unterstützung von Lehrenden 

und Lernenden sein. So werden Computer bei 

anwendungsbezogenen Aufgaben im Analysisunterricht 

häufig eingesetzt, um z. B. mit komplexen 

Funktionstermen zu arbeiten oder den Rechenaufwand 

zu vermindern. Für den qualitativen 

und diskreten Zugang auf der anschauungsorientierten 

Seite des Diagramms scheint man auf 

den ersten Blick gut ohne Computer arbeiten zu 

können. Aber auch hier kann der Computer eine 

sinnvolle Unterstützung sein. Für die qualitative 

Arbeit mit Funktionen kann der Computer 

beispielsweise Graphen liefern, deren Verhalten 

dann untersucht wird, oder den Wechsel der Darstellungsformen 

als Term, Graph und Tabelle unterstützen. 

Für die diskrete Arbeit mit Funktionen 

ist die Berechnung von komplexen Summen 

von zentraler Bedeutung. Hier kann der Computer 

die Rechenarbeit übernehmen und Zeit für Begründungen 

und Verallgemeinerungen schaffen. 

Auch bei der diskreten Arbeit kann der Darstellungswechsel, 

etwa zwischen Tabelle und Graph, 

sehr vorteilhaft eingesetzt werden. Durch die Verschiebung 

von Schwerpunkten wird der Analysisunterricht 

nicht nur vielfältiger, sondern auch 

anspruchsvoller für Lehrende und Lernende. Ein 

diskreter ebenso wie ein qualitativer Zugang zur 

Analysis versucht, einen Beitrag zu leisten und 

die häufig vernachlässigte anschauungsorientierte 

Seite stärker zu betonen. Im Folgenden soll zunächst 

ein Überblick über unterschiedliche Einsatzmöglichkeiten 

von Computern im Analysisunterricht 

zu Funktionen gegeben werden. Anschließend 

wird mit Hilfe von zwei Beispielen gezeigt, 

wie der Computer als Werkzeug auch zum qualitativen 

und diskreten Verständnis von Analysis 

einen sinnvollen Beitrag leisten kann. 

2 Funktionen des Rechners im 

Analysisunterricht 

Computer können im Analysisunterricht unterschiedlichste 

Aufgaben übernehmen [Barzel et al., 

2005, S. 42 ff.;Hischer, 2002, S. 116 ff.]. Eine dieser 

Aufgaben ist das Experimentieren mit Funktionen. 

Die folgende Aufgabe regt beispielsweise 

dazu an, den Computer als Experimentierwerkzeug 

zu verwenden [vgl. Henn, 2004]: 

f sei eine ganzrationale Funktion 3. 

Grades mit den Nullstellen 2, 4 und 

5. Zeichne den Graphen von f und 

die Tangente an den Graphen von f im 

Punkt (3| f (3)). Welche Besonderheiten 

haben Graph und Tangente? Gilt 

dies für jede Tangente? 

Abbildung 12.2: Experimentieren mit dem Computer 

Die Schülerinnen und Schüler, die diese Aufgabe 

bearbeiten, zeichnen zunächst den Graphen für 

65


Abbildung 12.1: Verlagerung von Schwerpunkten im Analysisunterricht 

das gegebene Beispiel, indem sie die Funktionsgleichung 

f (x) = (x − 2)(x − 4)(x − 5) 

und die Geradengleichung der Tangente im Punkt 

(3|2) berechnen. Sie stellen anschließend die Vermutung 

auf, dass die so gewählte Tangente stets 

durch die dritte Nullstelle führt. 

Diese Vermutung kann dann an anderen ganzrationalen 

Funktionen dritten Grades verifiziert 

werden. Hier ist es auch interessant, Sonderfälle 

zu betrachten, wenn also beispielsweise zwei 

Nullstellen zusammenfallen. Diese Experimente 

können schließlich zu einer Behauptung führen, 

die allgemein für ganzrationale Funktionen dritten 

Grades gilt (und sogar geeignet auf Funktionen 

höheren Grades entsprechend übertragen werden 

kann). Hier ist die Experimentierphase zu Ende. 

Nun sind mathematische Begründungen für 

dieses Verhalten erforderlich. Auch dazu ist ein 

Computeralgebrasystem ein geeignetes Werkzeug 

Henn [2004]. So kann beispielsweise das Problem 

vereinfacht werden, indem die dritte Nullstelle in 

den Ursprung des Koordinatensystems gelegt wird 

und nur der Abstand der beiden anderen Nullstellen 

betrachtet wird (Abb. 12.3). Die Untersuchung 

der Funktionsgleichung 

f (x) = (x + a)x(x − a) 

und einer Geraden durch den Ursprung, die den 

Graph der Funktion f dort berührt, lässt dann die 

mathematischen Zusammenhänge deutlicher werden. 

Computer können auch die Aufgabe des Visualisierens 

im Unterricht übernehmen [Weigand 

& Weth, 2002, S. 36 f.]. Im Analysisunterricht 

ist die Darstellung von Funktionsgraphen ein zentraler 

Punkt. So kann etwa bei der Untersuchung 

66 

von Exponentialfunktionen der Einfluss der unterschiedlichen 

Parameter auf das Wachstumsverhalten 

grafisch dargestellt werden. Gerade bei Funktionen 

mit Parametern ist ein Funktionenplotter 

ein wichtiges Werkzeug zur Visualisierung, da 

diese Funktionen ohne Computer nur mit erheblichem 

Aufwand sichtbar gemacht werden können 

(Abb. 12.4). 

Abbildung 12.4: Visualisierung von Exponentialfunktionen 

Eine verbreitete Verwendung von Computeralgebrasystemen 

ist die Berechnung von numerischen 

oder algebraischen Ergebnissen, die Schülerinnen 

und Schüler ohne Computer nicht oder 

nicht in angemessener Zeit bestimmen können. 

Ein Beispiel ist die Berechnung zur Optimierung 

von komplexen Verpackungsproblemen, wie etwa 

einer Milchverpackung [Böer, 1993]. Wird dieses 

Problem mit Hilfe von Funktionsgleichungen und 

Differenzialrechnung bearbeitet, so kommt man

Vielfältiger Computereinsatz im Analysisunterricht 

Abbildung 12.3: Begründungen suchen mit dem Computer 

leicht auf gebrochen-rationale Funktionen, bei denen 

die Nullstellen der ersten Ableitung mit Methoden 

der Schulmathematik nicht mehr zu bestimmen 

sind (Abb. 12.5). 

Abbildung 12.5: Rechnen mit komplexen Termen 

Zum Berechnen gehört auch das Erstellen von 

Termen und Gleichungen aus gegebenen Informationen. 

Wenn beispielsweise eine Funktionsgleichung 

aus vorhandenen Informationen, wie 

realen Daten über Wachstumsprozesse, ermittelt 

wird, dient der Computer ebenfalls als Rechenwerkzeug. 

Dieses so genannte Algebraisieren ist 

dadurch charakterisiert, dass reale Daten in den 

Computer eingegeben werden und der Rechner eine 

algebraische Darstellung liefert. Bakterien in 

einer Bakterienkultur beispielsweise wachsen in 

unterschiedlichen Phasen. In einer dieser Phasen 

vermehren sich die Bakterien sehr schnell, bis 

schließlich die Nährstoffe erschöpft sind und sich 

Stoffwechselprodukte im Nährmedium angesammelt 

haben. Stellt man solche Daten in einem Diagramm 

dar, so kann man erkennen, dass sich das 

Bakterienwachstum gut durch eine Exponentialfunktion 

beschreiben lässt. Mit Hilfe des Computers 

lässt sich auch direkt eine passende Funktionsgleichung 

erstellen. Aus den realen Daten wird 

also eine algebraische Darstellung hergestellt. Das 

verwendete funktionale Modell kann allerdings 

nicht allein durch die Passung der Daten gerechtfertigt 

werden, sondern muss auch im verwendeten 

Kontext hinterfragt werden. 

Im Kontrollieren findet der Computer ebenfalls 

eine sinnvolle Verwendung. So können Computer 

etwa bei der Bestimmung von Funktionen 

zu gegebenen Eigenschaften auf unterschiedliche 

Weise Kontrollprozesse unterstützen. Wird beispielsweise 

im Rahmen einer typischen Schulbuchaufgabe 

(s. u.) eine Funktionsgleichung mit 

bestimmten Bedingungen gesucht, so kann das 

entsprechende Ergebnis - unabhängig davon ob 

es mit oder ohne Computer bestimmt worden ist 

- sowohl durch algebraisches Nachvollziehen der 

Rechnungen mit Hilfe des Computers (Abb. 12.6), 

als auch durch numerische oder grafische Verfahren 

kontrolliert (Abb. 12.7 u. 12.8). 

67


Beispiel für eine Schulbuchaufgabe [Brüstle et al., 

1999]: 

Bei einem Flug mit einem Ballon liegt 

der Start in der Höhe 0, die Landung 

erfolgt 2 Stunden später auf einer Anhöhe, 

die 40 m höher als der Start 

liegt. 40 min befindet sich der Ballon 

im Steigflug, danach sinkt er etwas, 

um nach 1,5 Stunden die maximale 

Höhe 2000 m zu erreichen. Bestimme 

eine Funktion, die die Flughöhe in 

Abhängigkeit von der Flugdauer beschreibt. 

Abbildung 12.7: Numerische Kontrolle des Funktionsterms 

Für den kalkülorientierten innermathematischen 

Fall könnte man noch die Kontrolle einer 

Funktionsuntersuchung als Beispiel angeben. 

Die oben genannten Beispiele für Funktionen von 

Computern im Analysisunterricht können etwa 

wie folgt in Bezug auf mögliche Schwerpunktsetzungen 

des Unterrichts in das Schema eingeordnet 

werden (Abb. 12.9). 

Es zeigt sich, dass der Computer in allen Bereichen 

des Analysisunterrichts eingesetzt werden 

kann. Die Vielfalt des Computereinsatzes und 

ein vielfältiger Analysisunterricht können sich also 

gegenseitig unterstützen. Im Folgenden werden 

zwei Beispiele beschreiben, die die qualitative und 

diskrete Sicht auf Funktionen mit Computerunterstützung 

zeigen sollen. 

3 Beispiele 

3.1 Vermutungen äußern 

Das Ziel des Computereinsatzes ist stark abhängig 

von der Stelle im Lernprozess, an der der 

Computer eingesetzt wird. Im Folgenden wird ein 

Beispiel dargelegt, das im Analysisunterricht der 

Oberstufe nach Kenntnis der Ableitung eingesetzt 

werden kann. Dabei geht es um die Erkundung 

68 

von hinreichenden und notwendigen Bedingungen 

für lokale Extrema sowie Zusammenhänge zwischen 

Monotonieverhalten und dem Verlauf der 

ersten Ableitung. Das Ziel dieser Unterrichtssequenz 

ist das Entdecken der entsprechenden Zusammenhänge 

mit Hilfe von Funktionsgraphen. 

Dazu wird in Partnerarbeit am Computer gearbeitet. 

Der Arbeitsauftrag lautet, mit Hilfe eines 

Computeralgebrasystems und eines Funktionenplotters 

die Ableitung einer Funktion zu berechnen 

und anschließend beide Graphen von Funktion 

und Ableitung in ein Koordinatensystem zu 

plotten. 

Berechnet die Ableitungen der folgenden 

Funktionen und zeichnet jeweils 

die Graphen von Funktion und 

Ableitung in ein Koordinatensystem. 

Stellt Vermutungen auf über Zusammenhänge 

von Funktion und Ableitung 

und überprüft diese an selbstgewählten 

Beispielen. 

⊲ f (x) = 3x 3 − 21x 2 + 36x 

⊲ g(x) = 10x 5 − 20x 4 + 10x 3 

Abbildung 12.10: Graphen zum ersten Beispiel 

Abb. 12.10 zeigt die Graphen zum ersten 

Beispiel. Die Schülerinnen und Schüler können 

erkennen, dass der Funktionsgraph überall dort 

steigt, wo die Ableitung positiv ist, und dort fällt, 

wo die Ableitung negativ ist. An den Nullstellen 

der ersten Ableitung hat der Graph der Funktion 

waagerechte Tangenten. Um diese Zusammenhänge 

tatsächlich entdecken zu können, sind viele 

Beispiele nötig, die aber mit Hilfe des Computers 

schnell erzeugt werden können. Die zweite 

angegebene Funktionsgleichung hat eine doppelte 

Nullstelle und einen Sattelpunkt, damit auch 

diese Fälle betrachtet werden. Um einen Startpunkt 

mit geeigneten Beispielen zu bieten, wer-

den diese beiden Beispiele vorgegeben, gegebenenfalls 

kann auch darauf verzichtet werden und 

direkt mit selbstgewählten Beispielen gearbeitet 

werden. Der Computer ermöglicht dann das Finden 

und Bearbeiten von eigenen Beispielen in angemessener 

Zeit. Ein Ziel dieser Aufgabe ist, der 

Fehlvorstellung entgegenzuwirken, dass alle Nullstellen 

der ersten Ableitung auch Extremstellen 

der Funktion sind. Das Beispiel dient dem Aufbau 

von qualitativen Vorstellungen und der Vorbereitung 

des grafischen Differenzierens, das dann ohne 

Computer durchgeführt werden soll. Der Computer 

wird in diesem Beispiel sowohl experimentell 

als auch zur Visualisierung eingesetzt. 

3.2 Verfahren entwickeln 

In einem zweiten Beispiel soll der Computer zur 

Unterstützung einer diskreten Sicht genutzt werden. 

Mathematisch interessant ist die Berechnung 

von Kurvenlängen. Diese soll hier ausgehend von 

der Idee bestimmt werden, dass die Kurve diskret 

betrachtet und die Länge der Kurve annähernd die 

Summe der Teilstrecken durch diskrete Punkte der 

Kurve ist. Wir verwenden dazu einen Viertelkreis, 

da dessen Länge auch auf andere Weise berechnet 

werden kann. So besteht zusätzlich die Möglichkeit, 

die Qualität des Ergebnisses zu beurteilen. 

Die Schülerinnen und Schüler bekommen den 

Graphen des Viertelkreises auf dem einige Punkte 

ausgewählt wurden mit der Aufgabe, ein Verfahren 

zu Entwickeln, die Länge eines Funktionsgraphen 

zu bestimmen. 

Entwickelt ein Verfahren, die Länge 

eines Graphen näherungsweise zu 

bestimmen. Verwendet dazu die Abbildung 

(Abb. 12.11). 


Abbildung 12.6: Kontrolle mit Hilfe des Graphen 

Abbildung 12.11: „Diskretisierter“ Graph 

Das Ziel ist hier zunächst nicht, den Grenzwertprozess 

durchzuführen, sondern die Idee zu 

entwickeln, die Länge einer Kurve durch Zerlegung 

in Strecken zu messen. Dazu muss die Kurve 

durch die „diskrete Brille“ angesehen und nur ausgewählte 

Punkte dieser Kurve betrachtet werden. 

Mit dem Computer können dann die entsprechenden 

Streckenlängen bestimmt und addiert werden 

(Abb. 12.12). 

Abbildung 12.12: Mögliche Berechnung der Länge 

69


Abbildung 12.8: Algebraische Kontrolle mit einem Computeralgebrasystem 

Das Ziel ist hier nicht, den Grenzwertprozess 

zu motivieren. Dies kann zu einem späteren Zeitpunkt 

geschehen; dazu können allerdings die hier 

erzielten Ergebnisse wieder aufgegriffen werden. 

Hier soll zunächst das Konzept der Längenmessung 

von Kurven durch Strecken der „diskretisierten 

Kurve“ entdeckt werden. Die Notwendigkeit 

einer genaueren Berechnung ergibt sich hier nicht 

automatisch, da der Fehler bei 10 Punkten bereits 

unter einem Prozent liegt. Das Beispiel zeigt, dass 

auch die diskrete Arbeit mit Funktionen schon in 

vielen Fällen eine ausreichende Genauigkeit liefert 

und Konzepte besser deutlich machen kann. 

Der Computer wird in diesem Beispiel sowohl 

zur Visualisierung als auch zur Berechnung eingesetzt. 

4 Grenzen des Computers 

Die beiden Beispiele zeigen, dass Computer, zusätzlich 

zu den bekannten und vielfältigen Einsatzmöglichkeiten 

im Zusammenhang mit Funktionen, 

auch zur Unterstützung einer qualitativen 

und diskreten Sicht gewinnbringend eingesetzt 

werden können. Computer können also im Ma- 

70 

thematikunterricht wichtige und vielfältige Aufgaben 

übernehmen. Allerdings ersetzen sie nicht 

das inhaltliche Durchdringen der mathematischen 

Ideen. Dazu gehört als ein zentrales Konzept der 

Analysis der Grenzwertprozess. Der Grenzwertprozess 

ist einerseits bei der Einführung der Ableitung 

und andererseits bei der Einführung des 

Integrals eine zentrale Idee. Denkt man an die 

Einführung der Ableitung am Beispiel der Steigung 

einer Tangente in einem Punkt eines Funktionsgraphen, 

so können Computer zwar numerisch 

in nahezu beliebiger Genauigkeit die entsprechenden 

Werte von Sekanten in der Nähe dieses 

Punktes berechnen und auf der anderen Seite 

algebraisch auch Grenzwerte und Ableitungen 

ermitteln. Grenzwertberechnungen mit dem Computer 

sollten aber nicht unverstanden ausgeführt, 

sondern als Hilfe für das Verständnis des Grenzwertbegriffs 

genutzt werden. Das Verständnis selber 

kann aber nicht durch den Computer allein erlangt 

werden. Die Idee des Grenzwertes selbst beispielsweise 

muss von den Schülerinnen und Schülern 

- auch ohne Computer - zunächst erarbeitet 

werden.


Abbildung 12.9: Einige Einsatzmöglichkeiten des Rechners im Analysisunterricht 

Mit Computern kann allerdings dieses Verständnis 

unterstützt werden, eben etwa durch Experimentieren, 

Visualisieren, Berechnen und Algebraisieren. 

Hier ist sicherlich eine Erkundungsphase 

mit dem Computer eine wichtige Hilfe 

für ein tiefgreifendes Verständnis dieses zentralen 

Konzepts. Dennoch bedarf es eines gedanklichen 

- quasi computerfreien - Schritts von einer Sekante 

mit sehr nahe beieinanderliegenden Punkten zu 

einer Tangente. Dieser gedankliche Schritt kann 

aber durch den Einsatz von Computern erleichtert 

und besonders durch den experimentellen und 

visualisierenden Einsatz verkleinert werden. Der 

Computer kann also die Arbeit an zentralen Konzepten 

flankieren und sowohl zur Hinführung als 

auch zur weiterführenden Arbeit dienen. Er kann 

hier als Werkzeug zum Verstehen von Mathematik 

und nicht nur zur Ausführung von Mathematik 

begriffen werden. 

Um einen vielfältigen Analysisunterricht zu 

gewährleisten, sollten sowohl innermathematische 

und anwendungsbezogene als auch kalkülorientierte 

und anschauungsorientierte Aspekte 

einbezogen werden. Gerade der vielfältige Computereinsatz 

mit seinen unterschiedlichen Funk- 

tionen im Unterricht kann hier in allen Bereichen 

des Analysisunterrichts Unterstützung bieten und 

auf diese Weise zur breiteren und tieferen Sicht 

auf die Analysis beitragen. 

Literatur 

Barzel, Bärbel, Stephan Hußmann & Timo Leuders (2005): 

Computer, Internet & Co. im Mathematikunterricht. Berlin: 

Cornelson Scriptor. 

Böer, Heinz (1993): Extremwertproblem Milchtüte. Eine tatsächliche 

Problemstellung aktueller industrieller Massenproduktion. 

In: Blum, Werner (Hg.): Anwendungen und Modellbildung 

im Mathematikunterricht. Beiträge aus dem ISTRON- 

Wettbewerb, Hildesheim: Franzbecker, 1–16. 

Brüstle, Gerhard, Heidi Buck, Rolf Dürr, Hans Freudigmann, 

Rolf Reimer, Günther Reinelt, Maximilian Selinka, Jörg Stark, 

Manfred Zinser, Ingo Weidig & Peter Zimmermann (Hg.) 

(1999): Lambacher-Schweizer Analysis Grundkurs. Stuttgart: 

Ernst Klett Schulbuchverlag. 

Henn, Hans-Wolfgang (2004): Computer-Algebra-Systeme – 

Junger Wein oder neue Schläche? Journal für Mathematikdidaktik, 

25(4), 198–220. 

Hischer, Horst (2002): Mathematikunterricht und Neue Medien. 

Hintergründe und Begründungen in fachdidaktischer und 

fachübergreifender Sicht. Hildesheim: Franzbecker. 

Weigand, Hans-Georg & Thomas Weth (2002): Computer im 

Mathematikunterricht - Neue Wege zu alten Zielen. Berlin: 

Spektrum Akademischer Verlag. 

71


72

• Kühe, Kinder und Kultusminister(innen) 

Fritz Nestle, Ulm 

Im Beitrag werden biographische Elemente mit Argumentation zum Thema sowie zum Hintergrundthema 

Analysis eingebunden. 

1946 

Nachdem der Bombenkrieg und die Pläne des 

Herrn Morgenthau dem Autor zusammen bereits 

ein Unterrichtsjahr erspart hatten, beschloss er, 

die 12. Klasse zu überspringen und im Schuljahr 

1947/48 gleich die Abschlussklasse, die Klasse 

13, zu besuchen. Nach einigem Widerstand wurde 

dieser Übergang von der Lehrerkonferenz erlaubt. 

Es bleibt noch anzumerken, dass er in diesem 

Jahr als Beitrag zur Ernährung der Familie zunächst 

eine, später drei Ziegen gehalten, das heißt 

mit Futter versorgt und gemolken hatte. Als Futtergrundlage 

konnte er einen Wallgraben der Bundesfestung 

Ulm pachten und nutzen, nachdem er 

dort die Kriegsfolgen mit beträchtlicher körperlicher 

Arbeit beseitigt hatte. 

Die Bundesfestung selbst hatte nie in den 150 

Jahren ihres Bestehens die geplanten Funktionen 

für die Sicherheit Deutschlands erfüllt, weil sich 

die Zeiten durch technische Erfindungen geändert 

hatten. 

Dass analog Veränderungen der Organisation 

des Lernens, speziell auch der Analysis überfällig 

sind, zeigt unter anderem, dass Computerspiele 

bei vielen Jugendlichen den Kampf um die Aufmerksamkeit 

gegenüber schulischem Lernen gewonnen 

haben. 

Analysis 1 

Die Einschätzung der Effektivität der damaligen 

schulischen Lernorganisation durch den Autor 

führte dazu, dass er glaubte, nur den damals in 

der 12. Klasse zu behandelnden Teil der Analysis 

nachlernen zu müssen. Er sah dafür – bei schönem 

Wetter im Donaubad – 2 Wochen mit täglich 

zwei Stunden Arbeit im Heft eines seiner neuen 

Mitschüler vor. Schulbücher waren damals noch 

verboten. 

Mit dieser Vorbereitung war er zwar in allen 

Fächern außer Englisch, Musik und Sport an der 

Spitze der neuen Klasse; er erzielte jedoch in der 

ersten Mathematikklassenarbeit nur die Note 1,5. 

(Beste Arbeit in der Klasse). Trotzdem sah er sich 

in seinen Vorstellungen von selbstorganisiertem 

Lernen mit primitivsten Lernmedien bestätigt. 

Kuhhaltung in Vergangenheit und 

Zukunft 

Die Organisation der Milchwirtschaft ist weitgehend 

noch genauso an der Vergangenheit zurückliegender 

Jahrhunderte orientiert wie die Lernorganisation 

in den allgemeinbildenden Schulen der 

Bundesrepublik: 

Häufig stehen die Kühe noch an kurzen Ketten 

eng nebeneinander in dumpfen Ställen. Der Tagesablauf 

wird extern festgelegt. Für viele Milchbauern 

ist der Schwemmstall der Gipfel moderner 

Milchwirtschaft. Die Kühe erhalten zum Teil 

keine Strohschüttung mehr, sondern liegen angekettet 

auf einem Spaltenboden. Durch die Spalten 

können Kot und flüssige Absonderungen über 

einen Sammelkanal abfließen. Alle paar Monate 

wird die gesammelte Masse großflächig über 

die landwirtschaftlichen Nutzflächen verteilt. Kilometerweit 

kann man die entstehende Duftwolke 

erschnüffeln. Der Autor erspart sich und, falls 

vorhanden, seinen Lesern in diesem Teilaspekt die 

Analogie zur Lernorganisation in den Schulen. 

Die großen Neuerungen in der Milchwirtschaft 

sind Melkroboter und Laufstall: 

Viele vorher vom Bauern ohne Mitsprache der 

Betroffenen gefällte Entscheidungen werden an 

die Kühe selbst und deren Intelligenz delegiert. 

Die aktive Einbeziehung der Kühe in die Milchproduktion 

erleichtert die Arbeit des Bauern und 

verbessert das Ergebnis, den Milchertrag, nach 

Menge und Qualität: 

Im Laufstall sind die Ketten gefallen; die Kühe 

entscheiden selbst, wann sie fressen oder gemolken 

werden wollen, 24 Stunden am Tag. Der 

Melkroboter weist Belohnungen zu, bei entsprechenden 

Anlässen informiert er den Bauern telefonisch 

über Unregelmäßigkeiten. 

Analysis 2 

Wir schreiben das Jahr 1968. Der Autor versucht 

sich in zwei 12., beziehungsweise ein Jahr später 

zwei 13. Klassen an einem Vorgriff auf eine 

modernere Lernorganisation, bei der die Intelligenz 

der Lernenden nicht weitgehend ausgeschaltet, 

sondern zur Organisation des eigenen Lernens 

im Fach Mathematik, speziell wieder der Analysis, 

eingesetzt wird. Das heißt, bis auf einen auf 

den Klassenarbeitsrhythmus und den Lehrplan abgestimmten 

Stoffverteilungsplan organisieren die 

Schüler ihren Lernprozess selbst – fast so frei wie 

die Kühe ihren Tag im Laufstall. 

Das eingeführte Schulbuch diente als Lernmedium. 

Die wichtigste Neuerung war für die Schüler 

der Zugriff auf das Lösungsheft zum Schulbuch 

(damals fast ein Sakrileg, weil dadurch die 

fachliche Überlegenheit der Lehrkräfte vermindert 

werden kann) – gelegentlich wurde der Lehrer 

in die Diskussion der Lösungen eingeschal- 

73


tet. Unter http://www.bildungsoptionen. 

de/allgemein/aula.htm kann man das Wichtigste 

über den Verlauf des Versuchs nachlesen. 

Noch ein Hinweis: Der Erfolg des Versuchs wurde 

an einem externen Kriterium, nämlich dem Zentralabitur 

in Baden-Württemberg, gemessen. Das 

Ergebnis ist vergleichbar mit dem der Befreiung 

der Kühe. 

Computerspiele und die Motivation 

von Kindern 

Heute fliehen viele Jugendliche vor den Misserfolgen 

in der Schule und vor der als monoton empfundenen, 

obrigkeitsstaatlichen Lernorganisation 

der Schule in Computerspiele. Sie investieren 20 

bis 50 Stunden intensiver „Arbeit“ pro Woche in 

das Spielen. Dort fühlen sie sich akzeptiert und 

ernst genommen – und sie haben sichtbaren Erfolg 

in den Computerspielen. Kein Wunder; wurden 

diese doch zum Teil von früheren Lehrern entwickelt, 

die mit dem Versuch, auf analoge Weise 

mehr Rückmeldungen zum Lernen der Jugendlichen 

in die Arbeit der Schule zu integrieren, an der 

Starre der Schulorganisation gescheitert waren. 

Aufschlussreich ist der Kommentar von Freak78. 

Er stammt aus einem Blog des Deutschen 

Bundestags (Google findet ihn unter ’Abgetaucht 

in die virtuelle Welt’), 

freak78 am 11.11.08: „Was mich an 

den Spielen begeistert ist das relativ 

einfache Erreichen von Anerkennung. 

Und so geht es sicher vielen 

Spielern. Es ist aber nicht das tolle 

Gefühl ‚weil ich jemanden (etwas) erschossen 

habe‘, sondern weil ich besser 

war als jemand anderer.“ 

Die vereinigte Bremskraft der Kultusverwaltungen 

und der Fachdidaktiken hat bisher ausgereicht, 

die Lernorganisation in den Schulen und 

die Ausbildung der Lehrkräfte auf dem für 1880 

vorzüglichen Stand des 19. Jahrhunderts zu halten. 

Insbesondere hüten sich beide davor, das für 

selbständiges Lernen nötige kognitiv unerlässliche, 

mechanische Grundwissen so zu definieren, 

dass jeder Lernende jederzeit selbst seinen Lernstand 

mit sofortiger Rückmeldung prüfen kann. 

Es ist für jeden einsichtig, dass niemand Auto 

fahren kann, der nachdenken muss, wo das Gaspedal 

liegt und welche Wirkung seine Betätigung 

hat. Dass man zum Beispiel die siebte Klasse eines 

Gymnasiums erreichen kann, ohne das kleine 

Einmaleins zu beherrschen, scheint indessen 

die wenigsten Lehrkräfte zu stören. Sind sie doch 

nicht verantwortlich für Schwächen der Arbeit in 

früheren Klassen 

Seit das Internet ubiquitär verfügbar ist, wäre 

es ein Leichtes, grundlegende Wissenselemente so 

74 

im Internet zugänglich zu machen, dass der jeweilige 

Lernstand vom Lernenden selbst mit sofortiger 

Rückmeldung überprüft werden kann. 

Analysis 3 – gehört das Folgende zu 

diesem Thema Analysis? 

"bei Battlefield 2 gibt es jungs, die dürfen 

noch nicht mal mofa fahren....können 

einen aber aus 800m entfernung (scharfschütze) 

aus einem fliegenden hubschrauber 

rausschießen und kalkulieren dabei 

mal gerade eben flugzeit des geschosses 

in relation zur bewegung des 

ziels + geschossflugbahn resultierend aus 

rückstoß (aufwärtsbogen) und geschwindigkeitsverlust 

(abwärtsbogen)....und ich 

glaub würde es im spiel wind geben (seitwärtskurve) 

würden sie den auch noch 

mit einkalkulieren ..... können einem aber 

nicht sagen was eine winkelfunktion ist!" 

(Daecraban im Bundestagforum ‚Abgetaucht 

in die virtuelle Welt‘) 

Gibt es intuitive Vorstellungen von den Begriffen 

der Analysis? Computerspiele als Lehrplanthema 

wie in Schottland? 

Die KMK und die Motivation von 

Kindern 

Von der Südwestpresse Ulm wurde im Frühsommer 

2009 die Frage gestellt, ob sich jemand im 

KM dafür interessiert, warum sich auch Hauptschüler 

bei Computerspielen 20 bis 50 Stunden 

pro Woche hervorragend konzentrieren können, 

aber in Schulstunden die 45 Minuten nicht durchhalten. 

Am 11.5.2009 antwortet das Kultusministerium 

Baden-Württemberg in der Zeitung, es sei 

alarmierend, wenn Jugendliche so lang am Computer 

sitzen könnten. Der Bezug zur Lernorganisation 

in der Schule wurde ignoriert oder nicht erkannt. 

Ist es nicht noch viel alarmierender, wie wenig 

im Kultusministerium Baden-Württemberg 

die Fehlallokation der Zeit Jugendlicher und Wege 

zur Abhilfe analysiert werden? 

Wenn auch nur ein Teil der von Jugendlichen 

in Computerspiele investierten Zeit auf schulische 

Lerninhalte umgelenkt werden könnte, würde sich 

die Schule in ein echtes „Haus des Lernens“ ändern. 

Wie wenig die KMK die richtigen Steuerungsvariablen 

für selbständiges Lernens setzt, ist noch 

weitaus alarmierender als die natürliche Handlungsweise 

Jugendlicher, sich vorrangig mit Tätigkeiten 

zu beschäftigen, bei denen sie positive 

Rückmeldungen erhalten: Die KMK 

⊲ dekretiert Mindestlernzeiten (statt Höchstlernzeiten; 

314. KMK-Sitzung), das heißt, schnelle 

Lerner sind nicht erwünscht (Max Planck (Ab-

itur mit 16) hätte sich anders orientieren müssen), 

⊲ bietet keine objektiv überprüfbaren Bildungsziele, 

das heißt, der Willkür bei Stoffauswahl 

und Notengebung sind Tür und Tor geöffnet, 

⊲ erkennt selbstorganisierte Lernleistungen in 

der Regel nicht an, das heißt, Eigeninitiative 

wird erstickt, 

⊲ verschwendet Steuergelder, das heißt, verantwortet 

vermeidbare Parallelarbeit von mehr als 

500000 Lehrkräften. 

Solche Bedingungen töten die Motivation für 

selbstorganisiertes Lernen. 

Analysis 4 

Gefragt sind von der Didaktik Antworten auf die 

folgenden Fragen: 

Kühe, Kinder und Kultusminister(innen) 

⊲ Welche Vorstellungen sollten die Jugendlichen 

mit „Analysis“ verbinden? 

⊲ Über welche Begriffe aus der Analysis sollten 

die Jugendlichen zuverlässig verfügen? 

⊲ Welche Routinen sollten die Jugendlichen ohne 

Hilfsmittel beherrschen? 

⊲ Wo findet man Lernkontrollen mit sofortiger 

Rückmeldungen dazu im Netz? 

⊲ Welche Hilfsmittel (Programme) sollten die Jugendlichen 

anwenden können? 

⊲ Welche Anwendungsbereiche sollen mit Mitteln 

der Analysis behandelt werden? 

Weiterführende Beiträge zum Thema findet 

man, von Zeit zu Zeit aktualisiert, in der Netzversion 

dieses Beitrags unter http://(www. 

bildungsstandards.de/09/kuhmi.html/ 

quellen 

75


76

• Werkzeuge für das individuelle Lernen in der Mathematik 

Andreas Fest, Schwäbisch Gmünd & Marc Zimmermann, Ludwigsburg 

Mathematik spielt in vielen Studiengängen – auch jenseits der Diplom- und Lehramtsstudiengänge 

in diesem Fach – eine wesentliche Rolle. Im Gegensatz zur aktuellen Lehre, bei der häufig die 

Vermittlung von Arbeitstechniken im Vordergrund steht, betonen neuere didaktische Ansätze vor 

allem auch die Entwicklung mathematischer Kompetenzen oder Prozesse wie Problemlösen, Argumentieren, 

Kommunizieren usw. Entsprechend sollten auch verstärkt die Prozesse der Studierenden 

bewertet werden und nicht allein deren Produkte. 

Das Projekt SAiL-M beschreibt aktivierende Umgebungen zum Mathematiklernen in der Hochschule 

in Form von didaktischen Design Patterns. Diese Lernumgebungen werden in der Praxis eingesetzt 

und unter Berücksichtigung von Erkenntnissen aus der Lernpsychologie und Mathematikdidaktik 

evaluiert. 

Als Bestandteil dieser Lernumgebungen werden prototypische Werkzeuge für die automatische Dokumentation 

und Analyse von mathematischen Prozessen entwickelt. Diese orientieren sich inhaltlich 

an den Einführungslehrveranstaltungen im Mathematikstudium für Lehramtsstudenten. Sie sollen 

den Lernenden während ihrer Arbeit mit dem Computer individuelle und (semi-)automatische 

Rückmeldungen und Hilfen für ihren aktuellen Lernprozess geben. Alle Werkzeuge folgen den Prinzipien 

der HINT, HELP, TECHNOLOGY und FEEDBACK ON DEMAND Pattern. Zwei solcher 

Werkzeuge werden in diesem Beitrag exemplarisch vorgestellt: ein Lernlabor zum Thema Kongruenzabbildungen 

und Achsensenspiegelungen sowie ein Programm zum Führen einfacher geometrischer 

Beweise . 

1 Einleitung 

Seit dem Beschluss der Kultusministerkonferenz 

(KMK) über die Bildungsstandards 2004 spielen 

die mathematischen Prozesse eine immer wichtigere 

Rolle beim Mathematiklernen. Schülerinnen 

und Schüler sollen „in aktiver Auseinandersetzung“ 

[KMK, 2004, S. 6], mathematische Kenntnisse 

erwerben, zum Beispiel in dem sie „Probleme, 

Aufgaben und Projekte“ (ebd., S. 6) bearbeiten 

oder über mathematische Inhalte kommunizieren. 

Diese reichhaltigen Lernkontexte lassen sich 

in der Hochschullehre und damit in der Lehramtsausbildung 

nur schwer finden. Es herrschen immer 

noch „traditionelle“ Lehr-Lernkonzeptionen 

zum Mathematiklernen vor, insbesondere in Veranstaltungen 

mit hohen Teilnehmerzahlen [vgl. 

Holton, 2001]. Häufig werden in diesen Veranstaltungen 

wöchentlich Übungsblätter von den Studierenden 

bearbeitet, die zu einem bestimmten 

Zeitpunkt abgeben werden müssen. Tutoren oder 

Assistenten korrigieren und bewerten die abgegebenen 

Lösungen. Anschließend werden diese in 

den wöchentlichen Präsenzübungen vorgerechnet. 

Individuelle Lernprozesse werden dadurch kaum 

gefördert und unterstützt. 

Das Projekt SAiL-M 1 (Semi-automatische 

Analyse individueller Lernprozesse in der Mathematik) 

entwickelt und beschriebt aktivierende 

Lernumgebungen zum Mathematiklernen an 

der Hochschule, auch in Veranstaltungen mit hohen 

Teilnehmerzahlen. Das Veranstaltungskonzept 

fordert eine hohe Eigenaktivität von den Stu- 

dierenden ein, zum Beispiel werden in den Übungen 

keine Lösungen von den Tutoren vorgerechnet 

sondern in Kleingruppen die Aufgaben bearbeitet. 

In der Veranstaltung werden dann Fragen 

und Probleme aus den Übungen aufgegriffen und 

diskutiert. Lernprozesse sollen durch diese Konzeption 

besser unterstützt und begleitet werden. 

Zur Unterstützung studentischer Lernprozesse 

werden darüber hinaus prototypisch für ausgewählte 

mathematische Aufgabenstellungen computerbasierte 

Tools entworfen und implementiert. 

Diese Tools sollen bei der Dokumentation 

und Auswertung der studentischen Lernprozesse 

durch den Dozenten helfen und gezieltes Feedback 

an die Studierenden geben. Dabei wird der 

Ansatz des semi-automatischen Assessments verfolgt. 

2 Semi-automatisches Assessment 

Die Idee des semi-automatischen Assessments ergibt 

sich aus der Tatsache, dass die Lehrenden, 

d.h. die Dozentin bzw. der Dozent und die Tutorinnen 

und Tutoren, nicht den gesamten Lernprozess 

jedes einzelnen Studierenden vollständig 

begleiten und analysieren können, um die zur optimalen 

Förderung des Lernprozesses notwendige 

Rückmeldung zu geben. 

Eine solche Rückmeldung sollte jedoch immer 

dann – möglichst ohne zeitliche Verzögerung – erfolgen, 

wenn der Lernende diese erwartet [Feedback 

on Demand, vgl. Bescherer & Spannagel, 

2009], und den gesamten Lösungs- und Lernpro- 

1 Gefördert durch das Bundesministerium für Bildung und Forschung (BMBF), ein Gemeinschaftsprojekt der Pädagogischen Hochschulen 

Ludwigsburg, Schwäbisch Gmünd und Weingarten sowie der RWTH Aachen, www.sail-m.de. 

77


zess analysieren. Ein automatisches Assessment, 

wie in Bescherer et al. [2010] beschrieben, ist dabei 

oftmals nicht realisierbar, da gerade in der Mathematik 

die Mengen der möglichen Lösungswege 

und dabei auftretenden Fehlerquellen nahezu 

unbegrenzt sind und nicht bei jeder Problemstellung 

vollständig automatisch erkannt werden können. 

Allerdings ist dies in unserer Situation auch 

gar nicht notwendig. Die Erfahrung zeigt, dass die 

meisten Lernenden einen Lösungsweg aus einer 

kleinen Auswahl von Standardlösungen verfolgen. 

Auch die dabei auftretenden Denk-, Rechenoder 

Schreibfehler gehören oftmals zu einer kleinen 

Menge von Standardfehlern. Die Idee des 

semi-automatischen Assessments basiert nun darauf, 

diese Standardlösungen und -fehler automatisch 

zu erkennen und zu ihnen direktes Feedback 

zu geben. Unübliche Lösungswege und Fehler, 

die von der Software nicht automatisch analysiert 

werden können, werden identifiziert und bei Bedarf 

an den Lehrenden gemeldet. Dieser kann diese 

Lösung dann selbst analysieren und dem Studierenden 

ein persönliches Feedback geben. Darüber 

hinaus kann der Lehrende eine statistische 

Auswertung über das Auftreten von Standardlösungen 

und -fehlern erhalten. 

Die Analyse gesamter Lern- und Lösungsprozesse 

setzt deren vollständige Aufzeichnung voraus. 

Insbesondere für die persönlichen Analyse 

durch den Lehrenden ist dies unumgänglich. Diese 

Aufzeichnung kann entweder durch das Lerntool 

selbst oder mittels einer speziellen Capture- 

&-Replay-Software vollzogen werden [vgl. Spannagel 

& Kortenkamp, 2009]. Die Speicherung der 

aufgezeichneten Lernprozesse kann dabei entweder 

lokal oder auf einem Server über eine Internetverbindung 

erfolgen. Diese Aufzeichnung kann 

dem Dozenten zur Analyse bereitgestellt werden, 

wenn vom Benutzer persönliches Feedback erfragt 

wird. Herding et al. [2010] beschreiben ein 

Framework, dass ein solches persönliches Feedback 

on Demand per E-Mail umsetzt. 

3 Entwickelte Tools 

Die Ideen des semi-automatischen Assessments 

werden in den im Rahmen des Projekts SAiL-M 

entwickelten Lern-Tools umgesetzt. Erste prototypische 

Software wurde bisher für die Arithmetikund 

Geometrie-Vorlesungen der beteiligten Pädagogischen 

Hochschulen implementiert. Zwei 

dieser Tools, die geometrische Inhalte behandeln, 

werden im Folgenden vorgestellt. Weitere in der 

Entwicklung befindliche Programme behandeln 

Themen wie Mengenlehre [Zimmermann & Herding, 

2010], Zuordnungen und Funktionen [Hiob- 

Viertler & Fest, 2010], Gruppentafeln sowie vollständige 

Induktion. 

78 

Die Programme setzen zur Unterstützung des 

Lernprozesses die Design-Pattern FEEDBACK- 

ON-DEMAND, HINT-ON-DEMAND und 

HELP-ON-DEMAND [Bescherer & Spannagel, 

2009] um. 

3.1 MoveIt!-M 

Die Lernsoftware MoveIt!-M soll das Verständnis 

von ebenen Kongruenzabbildungen und ihrer 

Komposition fördern. Der zentrale Aspekt dieser 

laborbasierten Lernumgebung ist der Reduktionssatz, 

nach dem jede Kongruenzabbildung als 

Komposition von maximal drei Achsenspiegelungen 

dargestellt werden kann [Dreispiegelungssatz, 

Krauter, 2005]. 

Das Programm besteht aus bisher 6 Lernlaboren, 

die je nach Lernstand und Lernziel einzeln 

oder in Folge bearbeitet werden können. Jedes Labor 

enthält eine Auswahl vordefinierter Beispiele, 

die durch den Benutzer abgewandelt werden 

können. Zusätzlich können eigene Beispiele konstruiert 

werden, indem eine Folge von Spiegelachsen 

ausgewählt wird. Durch die Verknüpfungen 

der entsprechenden Achsenspiegelungen wird 

eine neue Kongruenzabbildung definiert, die dann 

untersucht werden kann. Der Abbildungstyp und 

die charakterisierenden Eigenschaften der so definierten 

Abbildung wird von der Software automatisch 

erkannt. 

Die Lernlabore bestehen jeweils aus einem 

Steuer-Panel und einer interaktiven Zeichenfläche, 

in der die Kongruenzabbildung graphisch 

durch Urbild und Bild einer Figur sowie definierender 

Elemente (z.B. Spiegelachsen) dargestellt 

wird (vgl. Abbildung 14.1). Je nach Aufgabe 

kann die Urbildfigur in der Zeichenfläche frei bewegt 

(verschoben, gedreht bzw. umgeklappt) werden 

und die Änderungen auf die Urbildfigur beobachtet 

werden. Weiterhin werden Kongruenzabbildungen 

entwerder als textliche Beschreibung 

oder symbolisch als Verknüpfung von Spiegelachsen 

dargestellt. 

Labor 1 Zum Kennenlernen der verschiedenen 

Typen von Kongruenzabbildungen werden diese 

dargestellt. Der Lernende erforscht die Effekte 

der Abbildung auf eine geometrische Figur und 

entwickelt dabei ein Gefühl für die verschiedenen 

Abbildungen. 

Labor 2 Hier ist die verbale Beschreibung einer 

Kongruenzabbildung gegeben. Der Benutzer soll 

nun die Lage des Bildes einer Figur unter dieser 

Abbildung schätzen und eine weitere Figur 

an die entsprechende Position bewegen. Mit diesem 

Labor soll das Gefühl für Kongruenzabbildungen 

vertieft werden. 

Labor 3 In diesem Labor soll zu einer gegebenen 

Bild-Figur unter einer Kongruenzabbildung 

die Position des Urbildes bestimmt werden. 

Hierbei sind die Effekte der Kongruenzab-

Werkzeuge für das individuelle Lernen in der Mathematik 

Abbildung 14.1: MoveIt!-M – Kongruenzabbildungen und Achsenspiegelungen 

bildung umzukehren. Dieses Labor dient somit 

als Einführung des Begriffs der inversen Abbildung. 

Labor 4 Zu zwei gegebenen Figuren soll die 

Kongruenzabbildung bestimmt werden, die die 

erste Figur auf die zweite abbildet. Dazu müssen 

passende Spiegelachsen konstruiert und die korrekte 

Verknüpfung der Achsenspiegelungen definiert 

werden. 

Labor 5 Bei dieser Übung soll wiederum zu gegebener 

Urbild- und Bild-Figur der Typ und 

die definierenden Parameter der entsprechenden 

Kongruenzabbildung erkannt und eingegeben 

werden. 

Labor 6 Eine gegebene Verknüpfung von Achsenspiegelungen 

soll entsprechend dem Reduktionssatz 

für Kongruenzabbildungen vereinfacht 

werden. Dazu können verschiedene geometrische 

und algebraische Operationen ausgeführt 

werden (z.B. simultanes Drehen zweier Spiegelachsen 

um ihren Schnittpunkt, Weglassen von 

Achsenspiegelungen im Term). 

Alle Labore enthalten angepasste Feedback- 

Mechanismen. Entsprechend der verschiedenen 

Aufgaben sind unterschiedliche Feedback-Typen 

implementiert. Aufgrund des Aufbaus der ersten 

drei Labore sowie des fünften Labors sind 

entweder keine automatischen Analysen erforderlich, 

oder diese können die Korrektheit ein- 

zelner Lösungen sogar vollautomatisch überprüfen. 

Demgegenüber eröffnen die Labore 4 und 

6 eine große Bandbreite möglicher Lösungswege, 

die durch semi-automatisches Feedback analysiert 

werden können. Allen Laboren gemein ist, 

dass der Einzelaufgaben-übergreifende Lösungsprozess 

durch semi-automatische Rückmeldungen 

begleitet wird. 

Es ist offensichtlich, dass sich in geometrischen 

Lernumgebungen die Implementation eines 

visuellen Feedbacks anbietet. Dementsprechend 

wurde in den Laboren ein animiertes visuelles 

Feedback immer dann verwirklicht, wenn dies 

ausreichend Informationen liefert. So wird zum 

Beispiel im zweiten und dritten Labor die Korrektheit 

der Lösung durch einen kurzzeitigen Farbwechsel 

der Lösungsfigur signalisiert. Bei richtiger 

Lage wird die Figur grün gefärbt, bei falscher 

Position entsprechend rot. In einer Umgebung der 

richtigen Lage wird eine abgestufte Mischfarbe 

verwendet. Darüber hinaus kann der Lernende 

sich die richtige Position der Bild-Figur auf Verlangen 

anzeigen lassen. Schließlich können auch 

die Zwischenschritte angezeigt werden, die entstehen, 

wenn auf die Urbild-Figur nacheinander die 

einzelnen Achsenspiegelungen der definierenden 

Komposition angewandt werden. 

In Fällen, in denen ein visuelles Feedback 

nicht realisierbar ist, wird auf ein elaborierendes, 

79


textuelles Feedback zurückgegriffen. Dies ist insbesondere 

dann der Fall, wenn vertiefende Informationen 

geliefert werden sollen, z.B. warum eine 

Lösung noch nicht korrekt ist. Zu diesem Zweck 

soll das Modul Feedback-M [Herding et al., 2010] 

verwendet werden. Entsprechende Implementationen 

sind zur Zeit in der Entwicklung. 

Für das letzte Labor, das die komplexeste 

Aufgabenstellung in dieser Sammlung beinhaltet, 

wurden verschiedene algebraische und numerische 

Analyse-Algorithmen implementiert, um ein 

möglichst informatives Feedback liefern zu können. 

Die algebraischen Analyse-Algorithmen erlauben 

sowohl die Korrektheitsprüfung als auch 

die Erkennung des Typs einer Termumformung 

und sind somit die Grundlage für die automatische 

Analyse des Lösungsprozesses. Es können 

jedoch nicht sämtliche möglichen Umformungsschritte 

mit diesen algebraischen Heuristiken 

analysiert und bewertet werden. In diesem 

Fall wird ein rein numerischer Korrektheits-Test 

ausgeführt, der jedoch nicht zwischen verschiedenen 

Typen von Umformungsschritten unterscheiden 

kann. Der numerische Analyse-Algorithmus 

ist somit der Startpunkt für eine manuelle Analyse 

des Lösungsprozesses durch die Lehrenden. 

3.2 ColProof-M 

Mit der Anwendung ColProof-M können Studierende 

das Führen direkter elementargeometrischer 

Beweise lernen und üben. Dabei wird das Schema 

des Zwei-Spalten-Beweises [vgl. Holland, 1988; 

Herbst, 1999] verfolgt. Jede Zeile des Beweises 

beinhaltet in der linken Spalte die Aussagen eines 

einzelnen Beweisschrittes, wie zum Beispiel „Das 

Dreieck ABC ist gleichschenklig“ (Abb. 14.2). 

In der rechten Spalte stehen die Begründungen 

der jeweiligen Aussage auf der linken Seite. Die 

Begründungen setzen sich aus Definitionen oder 

mathematischen Sätzen aus dem virtuellen Buch 

(vgl. Abbildung 14.2) oder zuvor im Beweis verwendeten 

Aussagen zusammen. Indem für jeden 

Beweisschritt auf bereits bewiesene Sätze oder 

Definitionen zurückgegriffen werden muss, wird 

das Prinzip des deduktiven Schließens bei Beweisen 

[Fischer & Malle, 1985] betont. Das Begründen 

der einzelnen Beweisschritte ist nur ein kleiner 

Aspekt des Beweisens. Im Gegensatz zu vielen 

Studiengängen, die Mathematik beinhalten, ist 

das Begründen insbesondere für Lehramtsstudierende 

wichtig [vgl. Reiss, 2002]. 

Zu Beginn stehen alle verfügbaren Aussagen, 

darunter auch für den Beweis irrelevante (sog. 

Distraktoren), in einer Gedankenwolke zur Auswahl. 

Der Lernende muss geeignete Aussagen 

durch Verschieben der Aussagen per Drag & Drop 

an die jeweils passende Stelle den Beweis zusammenstellen. 

Diese Papierschnipselmethode wurde 

von Silver [2009] zur Führung von Beweisen an- 

80 

geregt. 

Durch eine interaktive Abbildung, die mit Hilfe 

der Geometrie-Software Cinderella [Richter- 

Gebert & Kortenkamp, 2006] realisiert wird, kann 

jede Aussage veranschaulicht werden. Wählt man 

eine Aussage des Beweises aus, werden in der Abbildung 

entsprechende Elemente der Aussage hervorgehoben 

[vgl. hierzu auch Hartmann, 2007]. 

Der Benutzer kann jederzeit Hilfe und Rückmeldung 

zu seinem aktuellen Beweis über das 

integrierte „Feedback-M“-Modul einholen. Wird 

Feedback angefordert, wird eine Reihe von Testverfahren 

gestartet, welche den Beweis auf unterschiedlichen 

Fehlertypen überprüft. Fehler, zum 

Beispiel Zirkelschlüsse oder fehlende Begründungen 

in der Beweisführung, werden anhand des zugrunde 

liegenden Beweisgraphen [Holland, 1988] 

oder der Musterlösung erkannt und dem Anwender 

in einem Dialogfenster zurückgemeldet. 

Ebenso werden auch positive Aspekte der Lösung 

dem Benutzer angezeigt, zum Beispiel, dass der 

Beweis soweit korrekt ist, jedoch noch Begründungen 

für Aussagen fehlen. Der Lernende kann 

aufgrund des Hinweises versuchen, das Problem 

selbständig zu beheben, oder den Beweis fortsetzen. 

Ist die Rückmeldung nicht detailliert genug 

oder kommt der Anwender im Beweis nicht weiter, 

kann er sich einen Tipp geben lassen. Um 

einen Missbrauch der Tippfunktion vorzubeugen, 

kann die Anzahl verfügbarer Tipps begrenzt werden. 

Ein weiteres Feature ermöglicht es dem Benutzer, 

eine E-Mail mit einer Frage und dem aktuellen 

Beweisstand an den jeweiligen Tutor zu schicken 

und von ihm eine Rückmeldung einzuholen. 

4 Fazit & Ausblick 

Die vorgestellten Tools wurden im Sommersemester 

2009 an den Pädagogischen Hochschulen 

Ludwigsburg und Schwäbisch Gmünd in der 

Modulveranstaltung Geometrie eingesetzt. Dabei 

wurde die konzeptionelle Entwicklung und die 

technische Realisierung der Software in einer Vorstudie 

qualitativ durch Beobachtung der Verwendung 

durch die Studierenden und einen abschließenden 

Fragebogen evaluiert. 

Insbesondere wurde der Schwerpunkt der Untersuchung 

auf die Akzeptanz und Verwendung 

des automatischen Feedbacks gelegt. So wurde 

in dem abschließenden Fragebogen gefragt: „Was 

gefällt Ihnen beim Lernen am Computer besonders 

gut?“ In vielen Antworten wurde das Angebot 

eines automatischen Feedbacks als besonders 

hilfreich betont: „Schnelle Rückmeldung, ob 

’mein’ Ergebnis richtig ist.“ Insbesondere wird 

ein graphisches, visuelles Feedback, wie es zum 

Teil in MoveIt!-M implementiert ist, geschätzt: 

„Ideen können schnell graphisch ausgeführt werden 

→ auf Richtigkeit kann untersucht werden. “

Fragt man tiefer nach, „Wie hat Ihnen das automatische 

Feedback geholfen?“, so erfährt man, 

wie das Feedback verwendet wird. Ein häufiger 

Vorbehalt gegen ein weitreichendes Feedback, 

das auch Lösungsschritte oder sogar vollständige 

Lösungen vorgeben kann, ist, dass der Lernende 

dann nicht mehr selbst mitdenkt, sondern sich 

stattdessen nur noch bis zur Lösung „durchklickt“. 

Es stellt sich jedoch heraus, dass das Feedback in 

unserem Kontext von den meisten Studierenden 

viel differenzierter eingesetzt wird. Dabei ist entscheidend, 

dass Feedback in abgestufter Ausführlichkeit 

präsentiert wird: „Dadurch, dass es verschiedene 

’Richtigkeitsstufen’ gibt, wird das Lösen 

der Aufgabe leichter.“ So kann den Lernenden 

über kleinere Schwierigkeiten, die beim Bearbeiten 

auftreten können, hinweggeholfen werden: 

„Wenn man nicht mehr weiter kommt, ist es nützlich, 

wenn der Computer den nächsten Schritt angibt.“ 

Aber auch das Vorgeben einer Lösung kann 

den Lernprozess unterstützen, sofern der Lernende 

über die gegebene Lösung reflektiert: „Wenn 

falsch, konnte ich es mir nach Lsg erklären“. 

Semi-automatisches Assessment kann somit 

Werkzeuge für das individuelle Lernen in der Mathematik 

Abbildung 14.2: ColProof-M – Zwei-Spalten-Beweise 

helfen den Lernenden und den Lehrenden helfen. 

Unterstützt es auf der einen Seite den Lernprozess 

der Studierenden, entlastet es auf der anderen 

Seite den Lehrenden bei der Kontrolle von Standardlösungen 

und gibt ihm somit mehr Zeit, interessante 

und unübliche Lösungen und Probleme zu 

identifizieren und zu analysieren. 

Die bisherigen Analysemechanismen untersuchen 

einzelne Schritte im studentischen Lernprozess. 

Unser Ziel ist es jedoch, die Lernprozesse 

im Ganzen zu analysieren. Dazu gehört z.B. 

Fragen wie „Welche Beispiele und Spezialfälle 

werden vom Lernenden untersucht?“ oder „Welche 

Wege verfolgt er im Lösungsprozess, bevor er 

einen zum Ziel führenden Lösungsweg beschreitet?“. 

Auf Grundlage solcher Beobachtungen können 

gezielt Denkanregungen gegeben werden, die 

den Lernprozess weiter fördern können. 

Für die Umsetzung einer solchen prozessorientierten 

Analyse sind jedoch noch weitere Untersuchungen 

der Lernprozesse notwendig. Darüber 

hinaus ist der Mehrwert unserer Lernumgebungen 

und Lernwerkzeuge für den Lernprozess 

sowie ihr Einfluss auf die mathematische Selbst- 

81


wirksamkeit der Studierenden zu erforschen. 

Eine aktuelle Version der Software kann von 

der Projekt-Homepage www.sail-m.de heruntergeladen 

werden. 

Literatur 

Bescherer, Christine & Christian Spannagel (2009): Design 

Patterns for the Use of Technology in Introductory Mathematics 

Tutorials. In: Proceedings of the 9th IFIP World Conference 

on Computers in Education (WCCE 2009), Brazil. 

Bescherer, Christine, Christian Spannagel, Ulrich Kortenkamp 

& Wolfgang Müller (2010): Research in the field of intelligent 

computer-aided assessment. In: McDougall, Anne, John 

Murnane, Anthony Jones & Nick Reynolds (Hg.): Researching 

IT in Education: Theory, Practice and Future Directions, Routledge. 

Fischer, Roland & Günther Malle (1985): Mensch und Mathematik. 

Mannheim: Bibliographisches Institut. 

Hartmann, Mutfried (2007): Das Pop-up-Ikonogramm - Entwicklung 

und Evaluation einer multicodalen Instruktionsform 

für mathematische Lerninhalte. Dissertation, Friedrich- 

Alexander-Universität Erlangen-Nürnberg. 

Herbst, Patricio (1999): On proof, the logic of practice of geometry 

teaching and the two-column proof format. International 

Newsletter on the Teaching and Learning of Mathematical 

Proof. 

Herding, Daniel, Marc Zimmermann, Christine Bescherer & 

Ulrik Schroeder (2010): Entwicklung eines Frameworks für 

semi-automatisches Feedback zur Unterstützung bei Lernprozessen. 

In: DELFI 2010: Tagungsband der 8. e-Learning Fachtagung 

Informatik, Gesellschaft für Informatik, 145–156. 

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• Die Analysis in den Zeiten der Computerei 

Reinhard Oldenburg, Frankfurt 

In diesem Beitrag werden Defizite des aktuellen Computereinsatzes im Analysisunterricht beleuchtet 

und ein curricularer Vorschlag unterbreitet, der eine Alternative aufzeigen soll. 

1 Defizite des aktuellen 

Mathematikunterrichts 

Es ist Allgemeingut, dass es im gegenwärtigen 

Analysisunterricht zu viel um das Beherrschen 

von Kalkülen und zu wenig um Verständnis und 

um Kompetenz geht. Es ist sicher auch richtig, 

dass zu viel Wert auf das Abarbeiten und zu wenig 

Wert auf das Entwickeln und Bewerten von Verfahren 

gelegt wird. Darüber hinaus will ich einige 

weitere Defizite benennen: 

Defizit 1: Es gibt fast keine Modellbildung in der 

Analysis! 

Dieser Befund mag überraschen, denn es gibt 

durchaus Aufgaben, die auf den ersten Blick wie 

Modellbildungsaufgaben wirken. Das Beispiel in 

Abb. 15.1 zeigt ein typisches Muster: Die Aufgabe 

besteht aus zwei Schritten, wobei im ersten 

Schritt modelliert wird (hier: Das Ufer wird 

durch ein Polynom modelliert) und erst im zweiten 

innermathematischen Schritt (hier: Bestimmung 

der Fläche unter dem Graphen der Polynomfunktion 

durch Integration) Analysis verwendet 

wird. Es wäre aber wünschenswert zu 

zeigen, dass in der Tat Analysis ein hervorragendes 

Modellbildungswerkzeug ist. Freudenthal 

[1973] hat in seinem Klassiker „Mathematik 

als pädagogische Aufgabe” eine ganze Reihe 

von Beispielen zusammen gestellt, in denen mit 

Analysis modelliert wird. 

Defizit 2: Funktionsgraph-bezogene Vorstellungen 

dominieren 

Ob dies überhaupt ein Defizit darstellt, kann kontrovers 

diskutiert werden. Es scheint mir aber 

sicher, dass die „ganzheitliche” Sicht, die der 

Graph bietet, neben Vorteilen auch Nachteile hat, 

weil dabei der dynamische Aspekt der Änderung 

zweier Größen statisch repräsentiert wird. 

Defizit 3: Konzeptentwicklung kommt zu kurz 

[vgl. auch Danckwerts & Vogel, 2006] 

Dieser Diagnose dürften sich die meisten Didaktiker 

anschließen. Ein wesentlicher Punkt zur 

Abhilfe liegt m. E. darin, konsequent auf Konzeptreduktion 

zu setzen: Wenn etwa die Konzepte 

des Grenzwerts und der Summation bekannt 

sind, kann das Riemannintegral darauf reduziert 

werden. Dies wird durch Computeralgebrasysteme 

(CAS) unterstützt. 

Die Rolle von CAS ist aber ambivalent. Einige 

Reformhoffnungen stützen sich auf Computernutzung, 

allerdings gibt es auch kritische Stimmen. 

Exemplarisch sei als CASsandra ein Kollege zitiert: 

„Das mit den CAS-Rechnern ist die totale 

Katastrophe. Die Lehrer machen genau den gleichen 

Unterricht wie vorher, mit dem Erfolg, dass 

die Kinder gar nichts mehr lernen.” 

Das Zitat benennt zwei Probleme: Zum einen 

sind alte Ziele und neue Wege nicht automatisch 

kompatibel. Darüber hinaus gibt es einen erheblichen 

Unterschied zwischen dem, was Standardlehrer 

erreichen, und dem, was „Exzellenz- 

Lehrer” in wohlüberlegten Schulversuchen bewältigen. 

Angesichts dieser unübersichtlichen Lage 

tun die beiden folgenden Thesen u.U. bestimmten 

Lehrern und ihrem Unterricht Unrecht: 

These 1. Der Mathematikunterricht ignoriert 

Computer fast vollständig. 

These 2. Das gilt auch bei Einsatz von GTR, 

DGS, TK, CAS. 

Begründung für These 2: Der Computer wird 

fast nur benutzt zur Visualisierung von Graphen. 

Allerdings sind Graphen ein statisches Medium 

aus der Vor-Computerzeit. Immerhin kann man 

durch dynamische Funktionsgraphen einen gewissen 

Mehrwert erzeugen, aber man versucht auch 

dabei, den Computer als reines Werkzeug zu benutzen. 

Insgesamt kann man festhalten, dass Computer 

bisher vor allem die Unterrichtsmethodik 

beeinflusst haben, nicht aber Inhalte oder Operationsmodi. 

Dabei könnten Computer gerade auch 

in den Kompetenzbereichen nützlich sein, die von 

der KMK nicht mit einer K-Nummer geadelt wurden, 

etwa „Planen” und „Beurteilen”. 

Computer sollten genutzt werden als 

⊲ Problemlösewerkzeug 

⊲ Problemaufwerfer 

⊲ Kognitives Werkzeug [Jonassen et al., 1998] 

2 Empirik 

Die Kombination von Computern und Mathematik 

transformiert fast alle wissenschaftlichen Disziplinen 

und noch weitere Bereiche unseres Lebens. 

Um herauszufinden, ob Schüler zumindest 

eine grobe Vorstellung vom Nutzen der Computer 

für die Mathematik haben, wurden von Markus 

Vogel und mir Studierende des Lehramts zu Beginn 

der Veranstaltung „Computer im Mathematikunterricht” 

mittels eines Fragebogens befragt. 

86% dieser Studierenden haben im eigenen 

Schulunterricht Computereinsatz im Mathematikunterricht 

erlebt, vor allem Tabellenkalkulation 

(81%) und Computeralgebra (27%). Fast alle waren 

überzeugt, dass der Computer im MU eingesetzt 

werden sollte. Aber bei der Frage nach „Bei- 

83


spielen, wo Computer nützlich sind für die Mathematik 

allgemein und ihre Anwendungen.” gaben 

16% keine Antwort, 19% nannten schnelles 

Rechnen (ohne weitere Erläuterung, auf mündliche 

Nachfrage wurde gesagt, das sei nötig, damit 

man an der Supermarktkasse nicht lange auf 

die Rechnung warten müsse – ein groteske Fehleinschätzung 

der Geschwindigkeit von Computern), 

11% nannten komplizierte Formeln zu berechnen, 

ohne aber Beispiele für Gebiete nennen 

zu können, in denen diese Formeln auftreten, 

und schließlich sagten sehr viele, Computer seien 

nützlich zur Veranschaulichung. Bei der Frage 

„Haben Sie schon einmal mit Gewinn Mathe 

mit dem Computer gemacht? Geben Sie ggf. Beispiele.” 

zeigte sich in den Antworten ein ähnliches 

Bild: 65% antworteten mit „Nein“, 8%: nannten 

„DGS in Geometrievorlesung”, 8% nannten den 

„Numerikschein”. 

3 Das Curriculum 

Dieser Beitrag ist motiviert vom Wunsch, die beschriebene 

Situation zu ändern. Dazu soll ein curricularer 

Vorschlag unterbreitet werden, der durch 

folgende Charakteristika ausgezeichnet ist: 

⊲ Die Leitidee „Änderung” steht am Anfang 

und wird durchgängig verwendet [vgl. Körner, 

2005]. 

⊲ Vom Rechnen wird zu den Konzepten fortgeschritten 

– Probleme lösen; authentische Fragen 

beantworten; Modellbildungen, in denen 

die Analysis eine Rolle spielt 

⊲ Grundvorstellungen betonen [Malle] 

⊲ Diff’rechnung und Integration „integrieren” 

84 

Abbildung 15.1: Die Kanu-Aufgabe aus Sinus-NRW 

(auch als eine Antwort auf den Dauerbrenner 

„I-Rechnung vor D-Rechnung?”, siehe Blum & 

Toerner [1983]) 

⊲ Neben Graphen weitere Repräsentationsformen 

für Funktionen verwenden 

⊲ Computereinsatz – aber nicht immer und überall 

Wenn Änderung als Leitidee das gesamte Curriculum 

durchziehen soll, dann hat das gewichtige 

Auswirkungen: Funktionales Denken erscheint 

(nur) als ein wichtiger Spezialfall. Denken in Änderungen 

ist für Schüler keine leichte Übung. Es 

zeigt sich, dass etwa die Aufgabe „Angenommen, 

es gilt immer a = 2b+3. Was passiert mit b, wenn 

a um 2 größer wird?” nur von 31% gymnasialer 

Elftklässler gelöst wird (n > 200). Schon in 

der Sekundarstufe I können Änderung und Akkumulation 

Computer-orientiert behandelt werden, 

etwa mit der Turtle-Grafik bei der Unterscheidung 

von forward und moveTo (relative vs. absolute 

Positionierung). Abb. 15.2 zeigt ein kleines 

Scratchprogramm, das die waagrechte Position einer 

Figur durch die aktuelle Lautstärke bestimmt. 

Wenn stattdessen die Lautstärke die Schrittweite 

des nächsten Schrittes bestimmt, erhält man eine 

Figur, die in ihrer Position die Lautstärke akkumuliert. 

Viele Dinge bleiben in seinem solchen Curriculum 

unverändert, u.a. 

⊲ Ableitung, Ableitungsregeln 

⊲ Integral, Hauptsatz 

⊲ Bogenlänge 

Es gibt auch neue Bestandteile: 

⊲ Differentialgleichungen

Die Analysis in den Zeiten der Computerei 

Abbildung 15.2: Änderung und Akkumulation von Lautstärke mit Scratch 

⊲ Numerische Optimierung 

⊲ Multivariate Analysis 

Zum Ausgleich kann auch auf einige traditionelle 

Inhalte verzichtet werden: 

⊲ Stammfunktionskalkül (Produktregel, Substitutionsregel 

. . . ) 

⊲ Rotationskörper 

⊲ Taylorreihen 

All das wäre zu begründen, aber dazu bräuchte 

es einer längeren Arbeit als der vorliegenden. 

Damit ein Curriculum wie das hier vorgestellte 

erfolgreich durchlaufen werden kann, sollten 

die Schüler über folgende Idealvoraussetzungen 

aus der Sekundarstufe I verfügen: 

⊲ Approximationsidee bei Reellen Zahlen 

⊲ Einfache Algorithmen 

◦ Heron 

◦ Archimedes’sche Kreisapproximation 

⊲ Funktionen in mehreren Variablen 

◦ Bei PC-Einsatz ist dies ohnehin sinnvoll, da 

z. B. TK, CAS solche verwenden. 

◦ Funktionen als Bausteine im Sinne von Lehmann 

⊲ Vertrautheit mit einer Programmiersprache 

oder sogar mit CAS 

3.1 Folgen und Funktionen 

In der Sekundarstufe II kann auch ein innovativer 

Lehrgang ganz klassisch beginnen, nämlich mit 

Folgen. Diese sind als Selbstzweck interessant, 

nicht als Mittel zur Exaktifizierung des Grenzwerts. 

Eigenständig interessant sind z. B. Wachstumsprozesse, 

auch beschränktes Wachstum und 

evtl. logistisches Wachstum [siehe Körner, 2005; 

Danckwerts & Vogel, 2006]. Dabei ist der zentrale 

Begriff der der Änderung: 

∆N = f (t + ∆t) − f (t) 

Auch numerische Verfahren können als Quelle 

von Folgen fungieren. Schließlich treten Folgen 

bei zeitlichen Prozessen auf (Weigand), etwa als 

Messwerte von zeitlichen Prozessen (Abkühlung 

einer Kaffeetasse, etc.). 

Bei der Behandlung solcher Prozesse sollte 

durchweg viel numerisch gearbeitet werden, u.a. 

um Vorstellungen von Größenordnungen zu entwickeln, 

was letztlich wichtig ist um zentrale Ideen 

der Analysis zu verstehen. Bei diesen numerischen 

Erkundungen kann man schon eine Reihe 

von Konzepten kennen lernen: 

⊲ Konzepte: Intervallschachtelung, monotone 

Folge, beschränkte Folge 

⊲ Grenzwert einer Folge (etwa am Beispiel eines 

beschränkten Wachstums) 

◦ Kreisfläche nach Archimedes damit betrachten 

In Untersuchung mit CAS kann der limit-Befehl 

als Anreger und Unterstützer von Grenzwertüberlegungen 

dienen, die sich an inhaltlichen 

Wachstumsüberlegungen festmachen. Ein einfaches 

Beispiel für solche Überlegungen kodiert im 

CAS Maxima ist limit(1/(1+1/n),n,inf). 

An dieser Stelle reicht eine informelle Grenzwertdefinition 

aus: Für ausreichend späte Werte der 

Folge werden die Abstände zum Grenzwert beliebig 

klein. Damit werden viele Wachstumsprozesse 

– im Rahmen des Modells – langfristig prognostizierbar 

(Symbolik macht Asymptotik beherrschbar). 

Als Initialproblem dafür kann die Abkühlung 

einer Tasse als Folge von Temperaturwerten 

gemessen und als Folge oder Funktion mo- 

85


delliert werden. Das Beispiel zeigt gleichzeitig, 

dass ähnliche Fragestellungen auch bei Funktionen 

relevant sind. Konzepte und Techniken zu Folgen 

wie Änderungsverhalten und Monotonie können 

dann am Graphen gedeutet werden und die 

Grenzwertüberlegungen mit CAS unterstützt werden, 

etwa limit((3*x^2+5)/(4*x^2-x), x, 

inf). Als methodisches Ziel wird hiermit eine 

Vertrautheit mit dem Limit-Befehl für spätere Anwendungen 

angestrebt. 

Funktionen sollten in verschiedenen Darstellungsformen 

(Graph, Dynagraph) untersucht werden 

und in jeder Form sollten die grundlegenden 

Änderungseigenschaften interpretiert werden. 

Eine weitere Form von Funktionen, bei der der 

Aspekt der Änderung schön thematisiert werden 

kann, ist der Bildstrom, den eine WebCam liefert. 

Er kann als Funktion B(t) des Bildes von der 

Zeit aufgefasst werden. In Abb. 15.3 ist ein Beispiel 

zu sehen, wo dieser Bildstrom live ins Negativ 

konvertiert wird und um 2 Sekunden verzögert 

wird. Änderungen im Bildstrom findet man durch 

Differenzen wie B(t) − B(t − 0.2), was man zur 

Verstärkung noch vergrößern sollte, z. B. indem 

man durch 0.2 teilt. Das Programm zeigt dann bei 

statischen Urbildern nur ein schwarzes Bild, sobald 

aber Bewegung ins Urbild kommt, werden 

die Konturen deutlich erkennbar: Der Differenzenquotient 

detektiert Änderungen. 

3.2 Flächen 

Flächeninhalte sind durch die vielfältigen Erfahrungen 

aus der Sekundarstufe I ein sehr greifbarer 

Inhalt. In der Sekundarstufe II macht man 

sich auf den Weg zur Integralrechnung, und wie 

das Sinus-Beispiel aus dem ersten Abschnitt zeigt, 

werden gelegentlich (Pseudo-)Anwendungen der 

Integralrechnung zur Flächenbestimmungen verwendet. 

Im Gegensatz dazu sollte ein Lehrgang, 

der Computer als Werkzeuge ernst nimmt, die Flächenberechnung 

von Polygonen an den Anfang 

stellen. Eine Möglichkeit ist ein Miniprojekt zur 

Berechnung von Flächeninhalten aus Landkarten 

oder aus Google-Earth-Daten. Die Problemformulierung 

führt über Abstraktion zur Frage der Fläche 

eines Polygons. Über eine schrittweise Entwicklung 

(Dreieck; Stern-Zerlegung; . . . ) mit etwas 

Programmierung gelangt man zu einer Lösung 

(dies ist die Endform!) wie in den Abb. 4 und 

5 dargestellt. Flächeninhalte unter Funktionsgraphen 

spielen dabei nur die Rolle eines Sonderfalls. 

Mehr „Integralrechnung” ist an dieser Stelle noch 

gar nicht nötig und auch nicht sinnvoll. Beachtung 

verdient aber, wie mathematische Konzepte (Summation 

und Grenzwert) im CAS umgesetzt werden 

können. 

86 

3.3 Optimierung 

Das übliche Curriculum behandelt Optimierungsprobleme 

als Anwendung der Differentialrechnung, 

man kann die Reihenfolge aber auch umkehren 

und Extremwertprobleme vor Ableitungen 

thematisieren! Es gibt viele sinnvolle Fragestellungen, 

von der „alten Schachtel” bis zur 

Milchtüte [Boer] in denen sich eine Sachsituation 

auf die Frage verdichten lässt, das Minimum 

oder Maximum einer Funktion zu bestimmen. Allerdings 

verschenkt man etwas, wenn man die 

Funktion gleich als Graph zeichnen lässt. Besser 

scheint mir, mit Zahlenwerten zu starten. Als 

konkretes Beispiel sei die Frage gestellt, bei welchem 

Durchmesser ein Zylinder des Volumens 

850 minimale Oberfläche hat. Man startet mit einem 

konkreten Zahlenwert für den Durchmesser 

(z. B. den einer tatsächlich vorhandenen Dose; 

dies liefert den Startwert) und berechnet die 

zugehörige Oberfläche. In einem Koordinatensystem 

würde das einen einzigen Punkt liefern. Der 

Wunsch nach Optimierung lässt sich jetzt so konzeptualisieren: 

Kann man den Durchmesser so ändern, 

dass die Oberfläche abnimmt? Ein probeweises 

Vergrößern des Durchmessers um einen kleinen 

Schritt liefert einen zweiten Punkt und anhand 

der Änderung der Oberfläche lässt sich sofort 

sagen, ob man in diese Richtung gehen sollte 

oder lieber in die andere. Damit ist ein iteratives 

Verfahren zur Berechnung vorbereitet. Ziel für 

die Schülerinnen und Schüler sollte eine bequeme 

und schnelle maschinelle Suche sein. Das leistet 

im analogen Problem einer Maximierung z. B. der 

folgende Algorithmus: 

def f(x): return 1.0/(x*x+3*x+10) 

x0=0 

delta=0.00001 

while True: 

if f(x0-delta)>f(x0): x0+= -delta 

else: 

if f(x0+delta)>f(x0): x0+= delta 

else: break 

print "Maximum bei:", x0 

Numerische Algorithmen sind durch die begrenzte 

Sicht des Computers auf die Funktion gekennzeichnet, 

der eben den Graphen nicht ganzheitlich 

wahrnehmen kann. Die Umsetzung in ein 

Programm ist – bei Kenntnis einiger Konzepte einer 

Programmiersprache, wie sie in etwa 15 Unterrichtsstunden 

erworben werden können – sehr 

einfach. 

Damit erschließt man sich sehr viele Anwendungen, 

insbesondere können praktisch alle 

schulüblichen Optimierungsprobleme behandelt 

werden. Denkbare Varianten zum Algorithmus 

gibt es viele, so lässt sich z. B. mit Einschachtelungsalgorithmen 

(siehe Istron-Band 9) die Genauigkeit 

noch wesentlich erhöhen.

Der Algorithmus kann auch zum Gegenstand 

einer Problematisierung gemacht werden: Wenn 

eine Funktion mehrere Maxima/Minima besitzt, 

welches wird gefunden? Wodurch wird die Genauigkeit 

bestimmt? 

Da alle schulüblichen Probleme (und viele 

mehr) lösbar sind, stellt sich die Frage, wozu 

die Theorie überhaupt noch notwendig ist. Antwort: 

Theorie ist nötig, um theoretisch fundiertes 

Wissen zu gewinnen. Aber Schüler kennen jetzt 

die Theorie noch nicht! Können sich theoretische 

Konzepte aus der numerischen Anwendungssituation 

entwickeln lassen? Dazu eignen sich Prinzipfragen, 

zum Beispiel: Hat f (x) = 1.0/(x · x + 

3 · x + 10) nur ein Maximum? Eine Antwort kann 

über Ungleichungen gegeben werden, aber das 

hat ein hohes algebraisches Anforderungsniveau. 

Man kann aber auch den Algorithmus neu betrachten: 

(x0;y0) ist das einzige Maximum, wenn 

rechts davon der Algorithmus immer nach links 

und links davon immer nach rechts läuft, und das 

ist für f (x + ∆) > f (x) bzw. f (x + ∆) < f (x) der 

Fall. 

Das Wachstumsverhalten entscheidet sich also 

an f (x + ∆) − f (x) > 0 oder < 0. Monoton 

steigend bzw. fallend können so algebraisch definiert 

werden, wobei aber sofort die Frage nach 

der geeigneten Größe für ∆ aufkommt. Bei zu 

großem Wert könnte man beim „Bergsteigen” 

einen Schritt über ein Minimum hinweg machen. 

Also ergibt sich die Zielformulierung „delta möglichst 

klein zu wählen”. 

Damit ist die Bühne für den Differenzenquotienten 

vorbereitet. Es bietet sich an, jetzt auf 

die Experimente zum Ableitungsbegriff [Oldenburg, 

2007] zu wechseln, um die zentralen Grundvorstellungen 

möglichst früh und koordiniert zu 

entwickeln. Ergebnisse davon sind: Differenzenquotient; 

Grundvorstellungen zu Tangente, Än- 

Abbildung 15.3: Ein Web-Cam-Funktions-Programm 

Die Analysis in den Zeiten der Computerei 

derungsrate, linearer Approximierbarkeit; „Differentialquotient 

bestimmt Änderungen”. 

Insbesondere die Grundvorstellung zur „Linearen 

Approximation” f (x+∆x) = f (x)+ f ′ (x)· 

∆x+Fehler, die durch das Experiment mit der Kugelbahn 

und durch das Funktionsmikroskop entwickelt 

werden kann, ist für numerische Anwendungen 

wichtig. Man fasst sie z. B. in Änderungssprache 

als: Die Ableitung ist eine Näherung des 

Verstärkungsfaktor der Änderungen: 

∆ f (x) ≈ f ′ (x) · ∆x 

Diese Sichtweise ist nützlich bei der Berechnung 

von Getriebemaschinen und kann anschaulich 

bei Dynagraph-Anwendungen erfahren werden 

(mit Felix1D ist auch gleich die Umkehrfunktion 

erfassbar). Dabei wird auch die Grundvorstellung 

„Ableitung detektiert Änderung” entwickelt 

(das WebCam-Programm kann hier aufgegriffen 

werden). 

Das Kugelbahn-Experiment [siehe Oldenburg, 

2007] illustriert die lineare Prognose, die man zu 

folgender allgemeiner Definition ausbauen kann: 

Zu einer Funktion y = f (x) sind an einem Punkt 

(x0;y0) die Differentiale dx, dy die bestmögliche 

lineare Prognose für die Änderungen von x und 

y um diesen Punkt. Demnach sind ∆x = dx willkürlich 

(nicht infinitesimal) und die Ableitung ist 

der Proportionalitätsfaktor der linearisierten Änderungen. 

Das Funktionsmikroskop zeigt die lokale 

Linearität: ∆y ≈ dy nahe bei (x0;y0). 

Man beachte, dass die Formulierung Anleihen 

beim Wahrscheinlichkeitsbegriff nimmt. Eine 

weitere berücksichtigte Erkenntnis ist, dass Änderungsraten 

schwieriger als Änderung sind (0/0- 

Problem). Historisch gesehen gibt es viele Lehrbücher, 

die ganz unbefangen mit Differentialen 

arbeiten, z.B. indem sie „Leibniz”-Differentiale 

(Definition dy = f ′ (x)dx) einführen. Infinitesima- 

87


le im Sinne der Nichtstandardanalysis sind nicht 

nötig, aber eine interessante Option [Wunderling, 

2007; Artigue, 2002]. Differentiale sind nützliche 

Beschreibungswerkzeuge in Theorie (z. B. totales 

Differential bei algebraischen Kurven) und Modellbildung 

(Klassiker bei Freudenthal; Roboterbewegung). 

3.4 Differentialgleichungen 

Differentialgleichungen werden im heutigen Analysisunterricht 

nur selten behandelt. Trotzdem 

spielen sie eine Rolle, wenn auch implizit. Unter 

dem Gesichtspunkt „Rekonstruktion des Bestandes 

aus der Änderungsrate” werden etwa Aufgaben 

gestellt wie die Folgende: 

Aufgabe. En Becken ist anfangs leer, der Zufluss 

ist z(t) = 10+10·t (in Liter pro Sekunde) Gefragt 

ist der Bestand (Füllvolumen) V zur Zeit t = 20? 

Diese Informationen können ohne eine Differentialgleichung 

(DGL) nicht angemessen formalisiert 

werden: Die Schüler und Schülerinnen 

sollen also unvermittelt ein Integral hinschreiben. 

Die direkte Übertragung der Information der Aufgabenstellung 

in mathematische Formalismus lie- 

88 

Abbildung 15.4: Polygonberechnung in MuPAD I 

fert dagegen eine Differentialgleichung: 

V (0) = 0 

V ′ (t) = 10 + 10 ·t 

Gesucht: V (20) 

Die traditionelle Lösung mit dem Hauptsatz führt 

dann auf das Integral. 

Eine technologielastige, numerische Lösung 

dagegen entsteht sehr einfach aus der Differentialgleichung, 

die man mit Differentialen zunächst als 

dV = (10 + 10 · t) · dt schreibt und dann in lokaler 

lineare Näherung die Differentiale durch Änderungen 

ersetzt. In der Programmiersprache Python 

sieht die Lösung dann so aus: 

V=0 

t=0 

dt=0.5 

def z(t): return 10+10*t 

while t

t= 1.0 V(t)= 12.5 

t= 1.5 V(t)= 22.5 

t= 2.0 V(t)= 35.0 

... 

t= 20.0 V(t)= 2150.0 

Das gleiche geht natürlich auch in anderen 

Sprachen und insbesondere in CAS. Dort hat man 

eine weitere, bisher viel zu selten genutzte Option: 

Durch gezieltes Löschen numerische Information 

erhält man eine (halb)-symbolische Lösung: 

Die folgenden Maxima-Befehle liefern das 

gleiche Ergebnis wie obiges Python Programm: 

V:0; t:0; dt:0.5; 

z(t):=10+10*t; 

while t


# Einige Informationen aus dem Lexikon... 

mond = sphere(pos=(370000000,0,0), radius 

=1700000*blowup, 

color=color.red) 

mond.v = vector 

(0,0,370000000*6.28/(28*24*3600)) 

mond.m= 7.3e22 

dt = 1800 # Zeitschritt 30 

Minuten 

def kraft(A,B): # Kraft, die B auf A üausbt 

gamma=6.6e-11 

r=mag(B.pos-A.pos) # äLnge des Vektors = 

Abstand 

return (B.pos-A.pos)*A.m*B.m*gamma/(r*r*r) 

while True: 

rate(48) # 1s in Simulation entspricht 48* 

dt=24h 

mond.v+= kraft(mond,erde)/mond.m *dt 

erde.v+= kraft(erde,mond)/erde.m *dt 

mond.pos+= mond.v *dt 

erde.pos+= erde.v *dt 

Mit drei weiteren Code-Zeilen lässt sich die 

Position des Mondes mit der Maus verschieben. 

3.5 Kalkül 

Die Idee der Konzeptreduktion ist nicht neu, aber 

immer noch relevant: Wenn die Schüler die Konzepte 

der Summation und des Grenzwertes verstanden 

haben (z. B. in Form der Funktionen limit 

und sum eines CAS), dann können sie versuchen 

ihre intuitiven Konzepte z. B. zum Integral 

oder zur Ableitung auf diese Basiskonzepte 

zu reduzieren. Bei der Behandlung der Ableitung 

ist es durch CAS-Nutzung möglich, verschiedene 

Ableitungsbegriffe zu untersuchen. In Oldenburg 

[2007] wurde berichtet, dass Schüler anhand 

der dort beschriebenen Experimente ganz unterschiedliche 

Differenzenquotienten gebildet haben, 

so gab es rechts-, links- und beidseitige Varianten. 

Abbildung 15.6: Ableitungen aus verschiedenen 

Differenzenquotienten I 

Um die Herleitung von Kalkülregeln zu üben, ist 

es ein großer Vorteil, verschiedene Fassungen zu 

haben, weil damit (leichtere) Analogieaufgaben 

90 

gestellt werden können. In diesem Sinne bietet es 

sich auch an, die q-Ableitung [Oldenburg, 2005] 

einzubeziehen. Die Arbeit damit sollte aus einer 

Mischung von händischen und CAS-basierten 

Phasen bestehen, um jeweils klar zu machen, ob 

tiefe Fähigkeiten der Blackbox verwendet werden 

oder nicht. Die folgenden Abbildungen zeigen einige 

Impressionen von Rechnungen im CAS Maxima. 

Abbildung 15.7: Ableitungen aus verschiedenen 

Differenzenquotienten II 

3.6 Integral 

Abbildung 15.8: q-Ableitung 

Eine Zusammenschau der bisher schon behandelten 

Fragestellungen Flächeninhaltsberechnungen 

und Rekonstruktion von Beständen aus Änderungen 

ergeben als Gemeinsamkeit, dass Grenzwerte 

von Summen bestimmt werden. Damit ist auch 

gleich ein Verfahren zur approximativen Berechnung 

von Integralen verfügbar und Eigenschaften 

wie die Linearität und die Additivität über Integrationsintervallen 

lassen sich direkt ablesen. Mittels 

Konzeptreduktion lassen sich Integrale dann 

im CAS auch definieren und der Hauptsatz kann 

mehr oder weniger klassisch behandelt werden. 

Damit ist das Integralkonzept erarbeitet, reduziert 

auf andere Konzepte und mit dem Lösen von 

DGL vernetzt. Eine weitergehende Behandlung 

z. B. des Stammfunktionenkalküls erscheint dagegen 

überflüssig, weil sie wenig neue Sachverhalte 

erschließt und vor allem Rechentechniken bringt. 

3.7 Multivariate Analysis 

Die durch Ausdünnung der Integralrechnung gewonnene 

Zeit kann in eine Behandlung von multi-

variaten Fragestellungen behandelt werden. Funktionen 

in mehreren Variablen und die Frage nach 

ihren Extremstellen lassen sich leicht aus Anwendungen 

gewinnen (Physik, Fermatpunkt, etc.). Die 

numerische Behandlung ist nicht viel schwieriger 

als im eindimensionalen Fall. Es erschließen sich 

u. a. viele Anwendungen im Bereich der Modellierung 

von Daten [Engel, 2009; Oldenburg, 2009]. 

Auf der AKMUI-Tagung 2009 hat Joachim Engel 

gezeigt, wie eine Potenzfunktion benutzt werden 

kann, um Messwerte eines Mikrowellenexperimentes 

zu fitten (siehe Engel [2012], auf S. 149 

in diesem Band). Engel benutzte dazu mit dem 

Programm R eine mächtige Blackbox. In Erweiterung 

des obigen Optimierungsbeispiels kann man 

die Dinge aber auch algorithmisch elementar angehen: 

daten=[[2,19], 

[3,15], 

[4,13], 

[5,12], 

[8,10]] 

def S(a,b): # quadratische Fehlersumme des 

Modells a*x^b 

global daten 

S=0 

for [x,y] in daten: S+=(y-a*x**b)**2 

return S 

def optimiereInXRichtung(ab,delta): 

[a,b]=ab 

if S(a+delta,b)>S(a,b): delta=-delta 

while S(a+delta,b)S(a,b): delta=-delta 

while S(a,b+delta)


Oldenburg, Reinhard (2007): Experimentell zum Ableitungsbegriff. 

mathematik lehren, (141), 52–56. 

Oldenburg, Reinhard (2009): Ein Bild zerfließt. mathematik 

92 

lehren, (157), 56–59. 

Wunderling, Helmut (Hg.) (2007): Analysis als Infinitesimalrechnung. 

Berlin: Duden Paetec.

• Wozu brauche ich ein Computeralgebra System (CAS), wenn ich 

zwei Straßen verbinden soll? – Überlegungen zum (sinnvollen) 

Einsatz eines CAS im Analysisunterricht 

Hans-Georg Weigand, Würzburg 

Der bayerische Modellversuch „Medienintegration im Mathematikunterricht - M 3 ” untersucht den 

Einsatz von Taschencomputern in den Jahrgangsstufen 10 – 13. In den Schuljahren 2007/08 und 

2008/09 wurde der Versuch in der 11. Jahrgangsstufe mit jeweils 10 Gymnasien durchgeführt. Als 

elektronisches Werkzeug dienten der Voyage 200 und der TI-Nspire. In zwei Klassen wurde dabei 

im Rahmen einer Unterrichtsreihe das – bekannte – Beispiel des Verbindens zweier Straßenendstücke 

durch eine „gefällige” Kurvenführung behandelt. Videoaufnahmen von diesen Stunden und 

Beobachtungen von Schülerarbeiten mit Hilfe des TI-Navigators geben einen guten Einblick in das 

weitgehend selbstständige Arbeiten der Schüler sowie die vielfältigen Lösungsmöglichkeiten dieses 

Problems. Die Arbeitsweisen der Schülerinnen und Schüler lassen sich gut im Rahmen eines 

Kompetenzmodells beschreiben, dass die Beziehung des Verständnisses des Funktionsbegriffs zum 

rechnergestützten Arbeiten aufzeigt. 

1 Der bayerische Modellversuch M 3 

Der Modellversuch „Medienintegration im Mathematikunterricht” 

(kurz: M 3 ) beschäftigt sich 

mit dem langfristigen Einsatz eines Taschencomputers 

im Mathematikunterricht des Gymnasiums. 

Der Modellversuch wurde vom Bayerischen Kultusministerium 

initiiert und von Texas Instruments 

finanziell unterstützt. Ewald Bichler (Hans- 

Leinberger-Gymnasium Landshut) ist der Leiter 

und Koordinator des Projekts, der Lehrstuhl für 

Didaktik der Mathematik der Universität Würzburg 

ist für die Evaluation des Versuchs zuständig. 

In den Modellklassen wurde in den ersten Jahren 

mit dem Taschencomputer (TC) „TI Voyage 

200”, später dann mit dem „TI-Nspire” gearbeitet. 

Der Modellversuch begann zunächst in der 10. 

Jahrgangsstufe [Weigand, 2006, 2008] und wurde 

dann auf die 11. Klassen ausgedehnt [Weigand & 

Bichler, 2010]. 

Im Folgenden soll nur ein Aspekt im Rahmen 

dieses Versuchs herausgestellt werden. Es 

wird die Entwicklung eines Kompetenzmodells 

erläutert, dann wird gezeigt, wie sich für das Problemlösen 

erforderliche Kompetenzen durch dieses 

Kompetenzmodell ausdrücken lassen. 

2 Ein dreidimensionales 

Kompetenzmodell 

2.1 Kompetenzmodelle 

PISA-Studien [Organisation for Economic Cooperation 

and Development, 1999] und KMK- 

Standards [KMK, 2004] verwenden ein dreidimensionales 

Kompetenzmodell mit den „Dimensionen” 

Allgemeine mathematische oder prozessbezogene 

Kompetenzen, Inhaltsbezogene mathematische 

Kompetenzen und einem dreifach unterteilen 

Anforderungsbereich. 

Allgemeine mathematische Kompetenzen sind dabei: 

⊲ mathematisch argumentieren 

⊲ Probleme mathematisch lösen 

⊲ mathematisch modellieren 

⊲ mathematische Darstellungen verwenden 

⊲ mit symbolischen formalen und technischen 

Elementen der Mathematik umgehen 

⊲ kommunizieren 

Die Inhaltsbezogenen mathematischen Kompetenzen 

oder Mathematische Leitideen sind: 

⊲ Zahlen 

⊲ Messen 

⊲ Raum und Form 

⊲ Funktionaler Zusammenhang 

⊲ Daten und Zufall 

Der Anforderungsbereich untergliedert sich in 

⊲ Reproduzieren 

⊲ Zusammenhänge herstellen 

⊲ Verallgemeinern und reflektieren 

Im Folgenden wird ein Kompetenzmodell für 

das rechnergestützte Arbeiten mit Funktionen entwickelt. 

Die Hauptintention für die Konstruktion 

dieses Modell ist die Einordnung und Diagnose 

des Wissens, der Fähigkeiten und Fertigkeiten 

von Schülerinnen und Schülern beim Arbeiten 

mit Funktionen. Der Funktionsbegriff wurde 

ausgewählt, da er ein zentraler Begriff der gesamten 

Schulmathematik ist und im Rahmen des 

M 3 -Projekts eine entscheidende Rolle spielt. Das 

Kompetenzmodell soll eine Diagnose der Kompetenzen 

von Schülerinnen und Schülern ermöglichen. 

Diese Diagnose ist allerdings nur der erste 

Schritt, der nächste Schritt ist das Entwerfen von 

Fördermöglichkeiten. Wie können Schülerinnen 

und Schüler dabei unterstützt werden, ihre Kompetenzen 

in einem bestimmten Bereich zu entwickeln? 

2.2 Verständnis des Funktionsbegriffs (VF) 

Neben dem Zahlbegriff ist der Funktionsbegriff 

der wohl wichtigste Begriff in der Mathematik. 

93


Beim Arbeiten mit einem Computer nimmt die 

Bedeutung des Funktionsbegriffs noch zu, da viele 

Operationen im Sinne eines „Input-Output- 

Verhaltens” interpretiert werden können, das sich 

mit dem Funktionsbegriff ausdrücken lässt. Bzgl. 

des Verständnisses des Funktionsbegriffs beziehen 

wir uns auf ein 4-Stufen-Modell von Vollrath 

[Vollrath & Weigand, 2006, S. 160ff]. Jede Stufe 

(oder jedes Niveau) ist dabei durch Kenntnisse 

und Fähigkeiten bestimmt, die von Schülerinnen 

und Schülern erworben werden sollen. 

Stufe 1: Intuitives Begriffsverständnis 

Stufe 2: Inhaltliches Begriffsverständnis 

Stufe 3: Integriertes Begriffsverständnis 

Stufe 4: Strukturelles Begriffsverständnis 

2.3 Werkzeugkompetenz (WK) 

Die Fähigkeit (oder Kompetenz) den Taschencomputer 

problemadäquat einsetzen zu können erfordert 

Wissen über die Bedienung des Gerätes, 

aber vor allem erfordert es Wissen über den – 

im Hinblick auf die mathematische Problemstellung 

– sinnvollen Einsatz oder die problemadäquate 

Benutzung des Rechners. Im Folgenden 

unterscheiden wir beim TC-Einsatz hinsichtlich 

der verwendeten Komponenten des Rechners drei 

verschiedene Gebiete oder Niveaus. 

Stufe 1: Einsatz des TC als Funktionenplotter 

oder Graphik-Rechner. (StaticMode). 

Stufe 2: Einsatz des TC als ein Werkzeug zur Erzeugung 

dynamischer Darstellungen. (DynaMode). 

Stufe 3: Einsatz des TC auf der symbolischen 

Ebene. (SymbMode). 

2.4 Die VF-WK-Beziehung 

Wenn wir das 4-Stufen-Modell des Verständnisses 

des Funktionsbegriffs (VF) mit dem 3-Stufen- 

Modell der Werkzeugkompetenz (WK) kombinieren, 

erhalten wir eine 4 × 3-Matrix. Tabelle 16.1 

zeigt die Beziehung zwischen diesen beiden „Dimensionen”. 

Diese Beziehung wird durch Problemstellungen 

verdeutlicht, die den Zellen der 

Matrix zuzuordnen sind. 

Beispiele für die einzelnen Kompetenzen finden 

sich in Weigand [2009] und Weigand & Bichler 

[2010]. 

2.5 Anforderungsbereiche (AB) 

Problemstellungen der einzelnen „Zellen” lassen 

sich in unterschiedlichen Schwierigkeitsgraden 

stellen und verschiedenen Anforderungsniveaus 

zuordnen. Bereits in der Curriculum Diskussion in 

den 1960er und 1970er Jahren wurde in Deutschland 

ein Dreistufenmodell benutzt, das zwischen 

„Reproduktion”, „Reorganisation” und „Transfer” 

unterschied. In den PISA-Untersuchungen [Organisation 

for Economic Co-operation and Development, 

1999] und den KMK-Bildungsstandards 

94 

[KMK, 2004] werden ebenfalls drei Anforderungsbereiche 

unterschieden, die mit „Reproduzieren”, 

„Zusammenhänge herstellen” und „Verallgemeinern 

und Reflektieren” bezeichnet werden, 

die inhaltlich dem Dreistufenmodell entsprechen. 

Diese Bereiche sind normativ festgelegt, 

Aufgaben werden von Experten im Hinblick auf 

eine Zielgruppe entwickelt. Im Folgenden werden 

ebenfalls drei Anforderungsbereiche unterschieden, 

die sich mit 

Stufe 1: Grundwissen und Grundfähigkeiten 

Stufe 2: Fortgeschrittenes Wissen bzw. fortgeschrittene 

Fähigkeiten 

Stufe 3: Komplexes Wissen 

beschreiben lassen. 

Die Beziehungen zwischen den zwölf Zellen 

der zwei Dimensionen VF und WK und den 

drei Stufen der Anforderungsbereiche lassen sich 

in einem dreidimensionalen Koordinatensystem 

darstellen. Das Kompetenzmodell besteht aus 36 

„Zellen”, wobei es durchaus sein kann, dass einige 

Zellen nicht besetzt sind. 

Mit Hilfe dieses Modells soll die Kompetenz 

von Schülerinnen und Schülern beim TC-Einsatz 

beim Arbeiten mit Funktionen beschrieben und 

bewertet werden. Dabei sind die zentralen Fragen, 

die im Zusammenhang mit dem Kompetenzmodell 

beantwortet werden müssen: 

1. Kann dieses theoretische Modell empirisch bestätigt 

werden? Ist es möglich, das Wissen und 

die Fähigkeit von Schülern einzelnen Zellen 

zuzuordnen? 

2. Kann dieses Modell zu einem quantitativen 

Kompetenzstufenmodell erweitert werden, 

Hierzu müsste die Dimension „Anforderungsbereich” 

zu einer numerischen 

Ordinalskala, etwa wie bei dem PISA- 

Kompetenzstufenmodell erweitert werden. 

3. Wie können Schülerinnen und Schüler dahingehend 

gefördert werden, dass sie ihre Kompetenzen 

in den Bereichen VF und WK verbessern. 

Im Folgenden wird ein – bekanntes – Beispiel 

betrachtet, bei dem Arbeitsweisen und Problemlösestrategien 

von Studierenden analysiert und im 

Rahmen dieses Kompetenzmodells beschrieben 

werden. 

3 Ein Beispiel: Straßen verbinden 

3.1 Hintergrund und Untersuchungsfragen 

In einer Unterrichtssequenz am Ende einer 11. 

Klasse haben Schülerinnen und Schüler weitgehend 

eigenständig das folgende Problem behandelt: 

Aufgabe. Zwei gerade Straßenstücke enden in 

den Punkten A und B. Wie können die beiden Enden 

verbunden werden?

Wozu brauche ich ein Computeralgebra System (CAS), wenn ich zwei Straßen verbinden soll? 

SymbMode Umformen von 

(einfachen) Termen 

– Kontrolle von 

Handberechnungen 

DynaMode Sukzessives, schrittweises(dynamisches) 

Erzeugen von 

Diagrammen 

StaticMode Diagramme aus gegebenen 

Daten erzeugen 

Dynamisches Darstellen 

von Funktionsscharen 

Funktionen graphisch 

und numerisch 

darstellen 

Beziehungen zwischen 

Eigenschaften 

von Funktionen 

in verschiedenen 

Darstellungsformen 

erkennen 

Funktionsscharen in 

verschiedenen Darstellungen 

erkennen 

Beziehung zwischen 

Funktionen, ihren Eigenschaften 

in verschiedenenDarstellungen 

erkennen 

Umformen von komplexen 

Termen – die 

evtl. – von SuS nicht 

per Handrechnung 

umgeformt werden 

können. 

Verketten von Funktionen 

– dynamische 

Erläuterung 

Gleichungslösen unter 

funktionalen Gesichtspunkten 

WK – VF Intuitives BV Inhaltliches BV Integriertes BV Strukturelles BV 

Aufgrund der begrenzten Zeit von zwei Unterrichtseinheiten 

und unserer Forschungsintention 

wurde das Problem bereits in Form einem mathematischen 

Modells vorgestellt. Die Modellierung 

des Problems wurde erst am Ende der Einheit 

thematisiert. 

Eine ausführlichere Darstellung und eine kritische 

Auseinandersetzung mit dieser Aufgabe findet 

sich in [Lambert & Peters, 2005] und [Steinberg, 

1995]. 

Tabelle 16.1: Beziehung zwischen VF und WK 

Abbildung 16.1: Das Kompetenzmodell mit 36 Zellen 

Abbildung 16.2: Die Problemstellung: Zwei Straßen 

verbinden 

Wir waren vor allem an den Arbeits- und 

Denkweisen der Schülerinnen und Schüler interessiert, 

während sie an dem Problem arbeiteten. 

Dabei wollten wir insbesondere eine Einordnung 

95


oder Zuordnung dieser Arbeitsweisen zu den 36 

Zellen des Kompetenzmodells vornehmen. Die 

Einheit wurde in zwei verschiedenen Klassen behandelt. 

In der ersten Klasse wurde die Einheit auf 

Video aufgezeichnet, in der zweiten Klasse wurde 

das TI-Navigator-System verwendet, um Daten 

direkt vom TC der Schülerinnen und Schüler zu 

erhalten. Bei dieser Technologie werden die Daten 

direkt vom TC auf den Lehrer-Computer übertragen 

und lassen sich als Video-Film abspeichern. 

3.2 Lösungen des 

Straßenverbindungsproblems 

Im Folgenden werden verschiedene Lösungsstrategien 

beschrieben, die einzelne Schüler gewählt 

haben, die aber auch durch Partner- und Gruppenarbeit 

entstanden sind. 

Startphase 

Unmittelbar nach der Problemstellung fragten einzelne 

Schüler nach gegebenen Werten, wie etwa 

dem Abstand der Straßen. Sofort kam auch 

der Vorschlag, dass es sicherlich hilfreich sei – 

manche sprachen von „notwendig”– ein Koordinatensystem 

einzuführen. Im Folgenden beziehen 

wir uns auf ein Koordinatensystem, das von einem 

Schüler in einer Klasse vorgeschlagen wurde 

und das als „verbindlich” für die ganze Klasse erklärt 

wurde. In der zweiten Klasse wurde die Wahl 

des Koordinatensystems einzelnen Schülern bzw. 

Gruppen überlassen. 

Wir beziehen uns auf ein Koordinatensystem, 

in dem die Endpunkte der beiden „Straßen” 

mit A(-3;5) und B(2;-2) festgelegt sind. Von den 

Schülern wurde auch vorgeschlagen, die Funktion 

als Darstellung für die beiden parallelen Straßen 

zu nehmen. Keine der Gruppen verwendete 

ein Koordinatensystem bei dem die beiden Straßen 

punktsymmetrisch zum Ursprung waren. 

Erste Lösung – Lineare Verbindung 

Für die Konstruktion einer „linearen” Verbindung 

der beiden Endpunkte traten drei verschiedene 

Strategien auf. Die geradlinige Verbindung wurde 

durch 

1. die Bestimmung der Steigung des „Steigungsdreiecks” 

und des y-Abschnitts 

2. das Zeichnen einer Strecke zwischen den beiden 

Endpunkten im Geometriefenster 

3. das Lösen eines Gleichungssystems 

erhalten. 

96 

Abbildung 16.3: Geradlinige Verbindung, erhalten 

durch den Zugmodus der Geraden 

Wenn wir diese drei Strategien im Rahmen 

unseres Kompetenzmodells beurteilen, dann erhält 

man die folgende Zuordnung. Das „intuitive 

Begriffsverständnis” tritt bei dieser – doch etwas 

komplexeren Problemstellung – nicht auf, deshalb 

haben wir es in der Tabelle nicht berücksichtigt. 

Stufe des VF Stufe der WK 

1. Inhaltl. Stat. 

2. Inhaltl. Dyna. 

3. Inhaltl. Symb. 

Nach einer kurzen Diskussion in der Klasse 

wurde diese Lösung verworfen. Dabei trat erstmals 

der Aspekt einer „ruckartigen Lenkbewegung” 

bzw. eines „plötzlichen Richtungswechsels” 

auf. Im Hinblick auf die Verkehrssituation 

kann das keine optimale Lösung sein. 

Zweite Lösung – Ein experimenteller Zugang 

mit trigonometrischen Funktionen 

Diese Lösung verwendet den Graph der Sinusfunktion 

oder der Kosinusfunktion, der dann – mit 

der Maus – so „verzogen” wird, bis eine optische 

Übereinstimmung der Verbindungsstraße mit den 

Geradenstücken vorhanden ist. Dieser experimentelle 

Zugang nutzt also die dynamischen Möglichkeiten 

des TC. Die Gleichung des Graphen wird 

dabei automatisch angezeigt. Die folgenden Abbildungen 

zeigen den Start mit dem Graphen einer 

Sinusfunktion. Das letzte Bild zeigt dann den 

Graph, der nur noch „zwischen” den beiden Straßenenden 

definiert ist. 

Abbildung 16.4: Start mit der Sinusfunktion


Abbildung 16.5: Verziehen des Graphen bis er optisch 

„passt” 

Abbildung 16.6: Einschränken des Definitionsbereichs 


Inhaltl. Dyna. 

Dritte Lösung – Ein experimenteller Zugang 

mit trigonometrischen Funktionen II 

Diese Lösung stellt die Beziehung zwischen der 

Veränderung der Graphen der Sinus- bzw. Kosinusfunktion 

und der Veränderung der Parameter 

der Funktionsgleichung auf der symbolischen 

Ebene her. Diese Strategie erfordert die Kenntnis 

der Bedeutung der Parameter der Funktionsgleichung 

für die entsprechenden Graphen. 

Abbildung 16.7: Trigonometrische Verbindung – 

Verwendung von Schiebereglern 


Integr. Dyna. 

Vierte Lösung – Experimenteller Zugang mit 

quadratischen Funktionen I 

Anstelle der trigonometrischen Funktionen (wie 

bei der 2. und 3. Lösung) können für einen experimentellen 

Zugang auch quadratische Funktionen 

gewählt werden. Auch hier gibt es verschiedene 

Strategien. Man kann die Parabeln zeichnen und – 

mit der Maus – so lange „verziehen”, bis sie optisch 

passend sind. 

Abbildung 16.8: Quadratische Verbindung Ia 

Abbildung 16.9: Quadratische Verbindung Ib 


Integr. Dyna. 

Fünfte Lösung – Experimenteller Zugang mit 

quadratischen Funktionen II 

Man kann auch von der Funktionsgleichung 

f (x) = a(x − b)2 + c 

ausgehen und die Parameter passend verändern. 

Bei der hier dargestellten Lösung wurden zwei 

Parabeln mit gleichem Öffnungsfaktor und den 

Scheitelpunkten in den beiden Endpunkten der 

„Straßen” gewählt. Die Parameter wurden dann 

so gewählt, dass sich die Parabeln in einem Punkt 

schneiden. 

97


Abbildung 16.10: Quadratische Verbindung II (a) 

Abbildung 16.11: Quadratische Verbindung II (b) 


Integr. Symb. 

Sechste Lösung – Kreise 

Bei der Verwendung von Kreisen oder Kreisteilen 

für die Verbindungsstraße gab es verschiedene 

Strategien für das Auffinden der Mittelpunkte 

und Radien der Kreise. Die Mittelpunkte wurden 

dabei stets auf eine Senkrechte zu den gegebenen 

Straßen durch die Endpunkte gelegt. 

Abbildung 16.12: Diese Strategie verwendet Kreise 

und eine Strecke 

Abbildung 16.13: Eine Strategie die zunächst versucht, 

die Radien der Kreise zu bestimmen 

98 


Inhaltl. Integr. Dyna. 

Wir beobachteten auch einen Schüler, der nach 

anfänglichen Versuchen mit dem TC zu Zirkel und 

Lineal (als reale Gegenstände) griff, um die Lösung 

zunächst auf der enaktiven Ebene zu finden. 

Siebte Lösung – Polynome I 

Es lassen sich auch Polynomfunktionen als Verbindungsstücke 

wählen. 

Abbildung 16.14: Eine interessante (!) Strategie: 

Es werden drei Punkte auf jeder „Straße” genommen 

und. . . 

Abbildung 16.15: . . . mit dem solve-Befehl. . . 

Abbildung 16.16: . . . erhält man eine erstaunliche 

Lösung: f (x) = −0.0086...x 5 + 0.0217...x 4 + 

0.1956...x 3 + 0.3152...x 2 − 2.2589...x 1 + 

0.3172... 

Achte Lösung – Polynome II 

Diese Lösung setzt „optisch passende Punkte” für 

eine mögliche Verbindung und findet die Lösung 

– eine Polynomfunktion 4. Grades – dann durch 

das Lösen eines Gleichungssystems.


Abbildung 16.17: 

Abbildung 16.18: Verbindung mit Polynomen II 


Inhaltl. Stat. Symb. 

Neunte Lösung – Ableitungen I 

Diese Lösung verwendet den Graph einer Polynomfunktion 

mit einem differenzierbaren Übergang 

zu den „linearen Straßenstücken” in den 

Endpunkten A und B. Hier wird ein Polynom 3. 

Grades verwendet: 

f (x) = ax 3 + bx 2 + cx + d 

und die Bedingungen: f (−3) = 5, f ′ (−3) = 0, 

f (2) = −2, f ′ (2) = 0. 

Das Gleichungssystem kann auf der symbolischen 

Ebene gelöst werden. Als Graph erhält man 

das Ergebnis: 

Abbildung 16.19: Verbindung mit Hilfe von Ableitungen 

I 

Zehnte Lösung – Ableitungen II 

Das ist dieselbe Strategie wie bei der 9. Lösung, 

allerdings mit einem Polynom 4. Grades: 

f (x) = ax 4 + bx 3 + cx 2 + dx + e 

Es traten zwei verschiedene Strategien auf. 

Abbildung 16.20: Verbindung mit Ableitungen – 

Erste Strategie: f (−3) = 5, f ′ (−3) = 0, f (0) = 0, 

f (2) = −2, f ′ (2) = 0 

Abbildung 16.21: Verbindung mit Ableitungen – 

Zweite Strategie: f (−3) = 5, f ′ (−3) = 0, f (2) = 

−2, f ′ (2) = 0, f ′′ (2) = 0 


Integr. Stat. Symb. 

3.3 Funktionen als Objekte – Der 

Modellkreislauf 

Strukturelles Begriffsverständnis bedeutet Arbeiten 

mit Funktionen als Objekten. Dieses Begriffsverständnis 

entwickelt sich bei Schülern allerdings 

nicht oder kaum selbstständig aus intuitiven 

oder auch inhaltlichen Überlegungen, sondern es 

bedarf der Unterstützung und Hilfen des Lehrers. 

Eine Polynomlösung vom Grad 3 

Bezugnehmend auf die Lösung 3.2.10 lässt sich 

eine Funktion so definieren, dass deren Graph die 

gesamte Straßenverbindung darstellt, die beiden 

Geradenstücke und die Verbindung. Man erhält 

die Funktion: 

99


Abbildung 16.22: Eine Lösung mit einem Polynom 

3. Grades 

Der Vorteil einer derartigen Definition ist es, 

dass die erste und zweite Ableitung der Funktion 

durch den Befehl „Ableitung” „auf Knopfdruck” 

erhalten werden kann. 

Abbildung 16.23: Bestimmung der Ableitungen 

mit dem TC 

Damit erhält man die Graphen dieser Funktionen 

unmittelbar „auf Knopfdruck”. 

Abbildung 16.24: Der Graph der Straßenfunktion 

und die 1. Ableitung 

100 

Abbildung 16.25: Der Graph der Straßenfunktion 

und die 2. Ableitung 


Integr. Strukt. Stat. Symb. 

Die Graphen zeigen die Unstetigkeit der 2. 

Ableitung der Funktion „Straße” in den Punkten 

A und B. 

Interpretation des mathematischen Modells 

Die 2. Ableitung einer Funktion ist ein Maß für die 

Krümmung der Kurve. Für positive Werte ist der 

Graph links-, für negative Werte rechtsgekrümmt. 

Was bedeutet das für die reale Situation des Fahrens 

entlang der „Straße”? Wenn man mit einem 

Fahrzeug entlang einer Straße fährt, so treten – bei 

einer gekrümmten Kurve – Zentrifugalkräfte auf. 

Fährt man entlang der Geradenstücke auf Punkt A 

zu, so gibt es keine Zentrifugalkraft, sobald aber 

Punkt A passiert wird, treten plötzlich Zentrifugalkräfte 

auf. Es erfolgt ein „Ruck” auf das Fahrzeug. 

Eine „gute” Lösung des Problems sollte in 

den Punkten A und B „ruckfrei” verlaufen und 

einen allmählichen Anstieg der Zentrifugalkräfte 

ergeben. 

Eine erste „gute” Lösung des Problems 

Bei der folgenden Lösung ist das Verbindungsstück 

der Punkte A und B der Graph eines Polynoms 

5. Grades: 

f (x) = ax 5 + bx 4 + cx 3 + dx 2 + ex + g 

Eine in A und B „ruckfreie” Lösung sollte 

den folgenden Bedingungen genügen: f (−3) = 5, 

f ′ (−3) = 0, f ′′ (−3) = 0, f (2) = −2, f ′ (2) = 0, 

f ′′ (2) = 0.


Abbildung 16.26: Eine Lösung mit einem Polynom 

5. Grades 

Abbildung 16.27: Das Polynom und seine Ableitungen 

Hier ist insbesondere die 2. Ableitung der 

Funktion „Straße” in den Punkten A und B stetig. 

Bei der entsprechenden realen Situation liegt ein 

„ruckfreier” Übergang an diesen Punkten vor. 


Integr. Strukt. Stat. Symb. 

Straßenverbindungen in der Realität 

Das Verbinden zweier Straßenstücke ist ein häufig 

auftretendes Problem auf Autobahnen oder bei 

Sraßenkreuzungen. Es ist ein sehr komplexes Problem, 

das etwa in der Ausbildung von Ingenieuren 

des Straßenbauwesens sehr ausführlich behandelt 

wird (vgl. Lambert & Peters 2005). Es gibt dabei 

viele Aspekte zu berücksichtigen: Die Breite der 

Straßen, die Entfernung der Endpunkte, die Geschwindigkeit, 

mit der die Autos durch die Kurve 

fahren (sollen), eine evtl. Straßenneigung und ob 

die Endpunkte auf einer Höhe liegen oder nicht. 

Um die auftretenden Zentrifugalkräfte berechnen 

zu können, muss die Krümmung κ der Kurve in 

einzelnen Punkten bekannt sein. Diese wird durch 

1 http://de.wikipedia.org/wiki/Klothoide 

den Krümmungskreis in diesen Punkten der Kurve 

angegeben. Ein Kreis mit dem Radius r hat die 

Krümmung 1 r (in jedem Kreispunkt). Der Graph 

einer Funktion f hat die Krümmung κ: 

κ = 

f ′′ 

(1 + ( f ′ ) 2 ) 3 

Für eine möglichst ruckfreie Fahrt durch die Kurve 

sollte sich die Krümmung nicht sprunghaft 

und darüber hinaus möglichst gleichmäßig ändern. 

Unter diesem Gesichtspunkt ist es seine „gute” 

Lösung, wenn sich die Krümmung einer Kurve 

proportional zur Bogenlänge der Kurve ändert. 

Das erfordert dann eine gleichmäßige Veränderung 

der Lenkung. Eine Kurve, die dieser Bedingung 

genügt ist die „Klothoide” 1 . Für eine professionelle 

Konstruktion der Verbindung zweier Straßen 

werden Geraden-, Kreisstücke verwendet, die 

durch Klothoidenstücke verbunden werden [vgl. 

Gläser, 1972; Osterloh, 1991]. 

4 Folgerungen 

Das hier entwickelte Kompetenzmodell (Abschnitt 

2) ist ein theoretisches oder normatives 

Modell. Es zeigt die Beziehung zwischen verschiedenen 

Stufen des Verständnisses des Funktionsbegriffs 

(VF) und der Werkzeugkompetenz 

(WK). Diese Beziehung lässt sich durch 12 = 3 × 

4 Felder ausdrücken. Dabei lassen sich für jedes 

Feld Probleme konstruieren, die verschiedene kognitive 

Anforderungen stellen. Wir sind dabei von 

drei verschiedenen Anforderungsbereichen (AB) 

ausgegangen: Grundwissen und Grundfähigkeiten, 

Fortgeschrittenes Wissen bzw. Fortgeschrittene 

Fähigkeiten sowie Komplexes Wissen. Damit 

besteht das Kompetenzmodell aus 36 = 12×3 

„Zellen” in einem dreidimensionalen Kompetenzmodell, 

von denen sich jede Zelle durch ein Tripel 

(VF, WK, AB) charakterisieren lässt. Die nächsten 

Schritte bezgl. der Evaluation dieses Modells 

sind: 

Für jede Zelle werden Problemstelllungen entwickelt, 

von denen erwartet wird, dass sie eine 

Schülerin oder ein Schüler löst, wenn sie oder er 

die entsprechende Kompetenz besitzt. Es ist gegenwärtig 

eine offene Frage, ob es tatsächlich für 

jede Zelle eine solche Problemstellung gibt. Die 

Hypothese ist, dass höhere Stufen der Kompetenz 

VF und WK mit höheren Stufen von AB einhergehen. 

Das Modell kann zu einem empirischen Kompetenzstufenmodell 

weiterentwickelt werden. Die 

PISA–Studien verwenden eine numerische Kompetenzskala 

(für die Achse der Anforderungsbereiche), 

die auf der relativen Häufigkeit beruht, 

mit der Probanden entsprechende Testaufgaben 

lösen. Die erfolgreich gelösten Aufgaben stellen 

101


ein Maß für die Schwierigkeit der Problemstellung 

dar. Die Skala wird mit einem Mittelwert von 

500 und einer Standardabweichung von 100 normiert. 

Der Hauptgrund für die Konstruktion des 

Kompetenzmodells ist der Wunsch, Leistungen, 

Wissen, Fähigkeiten und Arbeitsweisen von Schülerinnen 

und Schüler beim Arbeiten mit dem TC 

im Rahmen des Funktionsbegriffs einstufen oder 

bewerten zu können. Das Kompetenzmodell soll 

der Diagnose von Schülerleistungen dienen. Die 

Diagnose ist jedoch nur der erste Schritt, wenn 

wir die Kompetenz von Schülerinnen und Schüler 

verbessern wollen. Der zweite Schritt ist das 

Entwickeln von Förderprogrammen. Es stellt sich 

also die Frage, wie und welche Fördermaßnahmen 

ergriffen werden können. 

Das M 3 -Projekt wird in den nächsten Jahren 

mit einer größeren Anzahl an Modellklassen fortgesetzt 

werden. Diese Klassen werden ihre Abschlussprüfung 

mit dem TC ablegen, erstmals im 

Jahr 2012. Ab 2011 ist es allen bayerischen Gymnasien 

erlaubt zu wählen, ob sie den TC einsetzen 

oder nicht. Die Klassen mit TC werden dann in der 

10. Klasse mit dem TC-Einsatz beginnen und ihr 

Abitur im Jahr 2013 ablegen. Das Kompetenzmodell 

wird im Rahmen dieses fortgeführten Projekts 

evaluiert werden. 

Literatur 

Gläser, Hans (1972): Trassierung von Straßen und Gewässern. 

Berlin: VEB Verlag für Verkehrswesen. 

KMK, Kultusministerkonferenz (2004): Bildungsstan- 

102 

dards im Fach Mathematik für den Mittleren Schulabschluss. 

URL http://www.kmk.org/fileadmin/ 

veroeffentlichungen_beschluesse/2003/2003_12_ 

04-Bildungsstandards-Mathe-Mittleren-SA.pdf. 

Lambert, Anselm & Uwe Peters (2005): Straßen sind keine 

Splines. Technischer Bericht 139, Universität das Saarlandesr, 

URL http://www.math.uni-sb.de/PREPRINTS/ 

preprint139.pdf. 

Organisation for Economic Co-operation and Development 

(Hg.) (1999): Programme for International Student Assessment. 

The PISA Assessment Framework. OECD. 

Osterloh, Horst (1991): Straßenplanung mit Klothoiden und 

Schleppkurven. Einrechnung mit Trasse und Gradiente. 5. 

Auflage, Wiesbaden, Berlin: Bauverlag. 

Steinberg, Günter (1995): Sanft krümmt sich, was ein Gleis 

werden will. mathematik lehren, 69, 61–64. 

Vollrath, Hans-Joachim & Hans-Georg Weigand (2006): Algebra 

in der Sekundarstufe. Spektrum. 

Weigand, Hans-Georg (2006): Der Einsatz eines Taschencomputers 

in der 10. Jahrgangsstufe - Evaluation eines einjährigen 

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in Mathematics Education - The Case of Functions. 

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17(1). 

und Wilhelm Weiskirch, Heiko Knechtel (2001): Abituraufgaben 

mit Graphikrechnern und Taschencomputern. Schroedel.

• Verstehen oder berechnen?? Wie passt der Computer zum 

Analysisunterricht des 20. Jahrhunderts? 

Lutz Führer, Frankfurt 

Wie die Überschrift andeutet, werden im Folgenden drei recht globale Behauptungen zur Analysisdidaktik 

aufgestellt und – notgedrungen teilweise eklektisch – untermauert: 

1. Der übliche Analysisunterricht an heutigen Sekundarstufen II und seine didaktischen Motive folgen 

bis heute anhaltenden Zeitgeistströmungen des frühen 20. Jahrhunderts. 

2. Es gibt angeborene und seitdem erworbene Missverhältnisse zwischen schulischen Rollen der 

Analysis und ihren vorgeblichen Aus-/Bildungsfunktionen. 

3. Eine konsensfähige inhaltliche Begründung für allgemein verpflichtenden Analysisunterricht ist 

heute nicht mehr gegeben. Damit wird die propädeutische Funktion der Mittelstufenalgebra zumindest 

fragwürdig. Dieses Doppelproblem könnte durch „Berechnen, um zu verstehen“ gelöst 

werden, konkreter: mittels Computermodellierungen bedeutsamer Realdaten. 

Alle drei Behauptungen sind spekulativ, und ich erwarte nicht, Kollegen zu bekehren, die sie nicht 

zumindest bedenkenswert finden. Wer zu ähnlichen Einschätzungen der Lage neigt, wird einige plakative 

Resümees den Exegesen vorziehen, um angeregt Kraft zu schöpfen und sich der dringenderen 

Aufgabe gemäß Punkt 3 zu widmen. Diese Aufgabe herauszuarbeiten ist das leitende Ziel der folgenden 

Untersuchung. Mehr als einige Zwischen-Überblicke und Anstöße kann sie freilich nicht 

bieten – schon um sich nicht im Enzyklopädischen zu verlieren. 

1 Analysisunterricht des 20. 

Jahrhunderts? 

„Das neue Jahrhundert wird beherrscht 

durch die Wissenschaft, inbegriffen die Technik, 

und nicht wie das vorige durch die Philosophie. 

Dem müssen wir entsprechen.“ 

Wilhelm II., Görlitz 29. November 1902 

[zit. n. Ullrich, 1999, S. 341] 

Gewöhnlich wird die flächendeckende Einführung 

pflichtmäßigen Analysisunterrichts an Höheren 

Schulen auf zwei Ereignisse zurückgeführt: seine 

Einforderung auf der gewichtigen Naturforscherversammlung 

in Meran 1905 und seine (endgültige?) 

Festschreibung im Richertschen Lehrplan für 

Preußen 1925. Oft gibt man sich mit der – insbesondere 

bei Fachmathematikern beliebten – Auskunft 

zufrieden, beides sei dem didaktischen Impetus 

und der Verhandlungskunst Felix Kleins entsprungen. 

Etwas genaueres Hinsehen bringt aber 

noch einen aktuelleren Aspekt zutage: Weil nämlich 

alle entscheidenden Ideen, Argumente und 

Forderungen, die fachlichen sowieso, aber auch 

die didaktischen und bildungspolitischen, deutlich 

älter als die Meraner Bewegung („Breslauer Unterrichtskommission“ 

der GDNÄ 1904) sind, stellt 

sich die spannende Frage, warum den einschlägig 

engagierten Persönlichkeiten um Felix Klein die 

bis heute wirksame Durchsetzung gerade zu Beginn 

des 20. Jahrhunderts gelang. Um diese Frage 

– natürlich spekulativ – zu beantworten, genügen 

einige bequem erreichbare Informationen zur 

1.1 Vorgeschichte 

Die Rede vom „heutigen Analysisunterricht“ ist 

gewiss nur deshalb einigermaßen sinnvoll, weil 

dieser Unterricht in erheblichem Umfang von Behördenvorschriften, 

Schulbuch- und Ausbildungstraditionen 

vorbestimmt und konserviert wird. 

Das war nicht immer so; insbesondere nicht im 19. 

Jahrhundert. Obwohl damals die rasante Entwicklung 

des Höheren Schulwesens lange von der Perspektive 

auf ein Berufsleben als Staatsdiener geprägt 

war 1 , können heutige Oberschulen von der 

damaligen Autonomie der Lehre nur träumen. 2 

1 siehe zum Beispiel [Böttcher et al., 1994, S. 89f] 

2 Die weitgehende Lehrfreiheit des Oberlehrers war bei Wilhelm von Humboldt Programm, wurde aber im weiteren 19. Jahrhundert 

auch unabhängig vom Neuhumanismus vom Primat der „Formalbildung“, d. h. der individualisierenden, aber staatsbezogenen 

Persönlichkeitsbildung, gestützt. (Mit Lehrfreiheit ist natürlich nicht Freiheit von politischen und Standeszwängen oder großmaschigen 

Rahmenplänen und Zielvorgaben gemeint [vgl. etwa Kraul, 1984, Kap. 2].) Hinzu kamen Personalprobleme: Erst 1810 wurde in 

Preußen mit der Einführung des Referendarexamens Philosophie zum Fach ersten Ranges, von dem sich allmählich Einzelfächer wie 

Mathematik abspalteten. Der zunehmenden Mathematisierung des Unterrichts an Höheren Schulen standen so bis in die 60er Jahre des 

19. Jahrhunderts nur wenige Oberlehrer mit einem Examen in Mathematik/Naturwissenschaften gegenüber. In dieser Lage konnten 

die staatlichen Lehrpläne natürlich nur Wünsche äußern, Umrisse zeichnen und im Detail unverbindlich bleiben [vgl. Lorey, 1916, 

S. 22] – Eine halbwegs sinngemäße neudeutsche Übersetzung von „Formalbildung“ wäre vielleicht „mentale Formung“. Das hätte 

immerhin den Charme, die Erziehungsabsichten (oder -wirkungen) unseres Oberschulwesens offen zu legen und infrage zu stellen. – 

Handfestere Belege für meine Autonomiebehauptung bieten Einblicke in die Lehrplangeschichte und in die des Vorschriftenwesens 

im 19. Jahrhundert. Die Literatur dazu ist Legion. Ich nenne hier nur [Hermann, 1977; Jeismann, 1996; Schubring, 1983, 1986; Kraul, 

1984; Mandel, 1989; Röhrs, 1969; Lundgreen, 1980/1981], sowie die bei [Steiner, 1978] angegebene Literatur. 

3 [Klein, 1904, S. 3] 

103


Wenn also Kleins „alter Studienfreund“ 3 Max 

Simon den Meraner Reformern auf dem Mathematikerkongress 

in Rom 1908 entgegen hielt: 

„Das Gute ist nicht neu, und das Neue ist 

nicht gut!“ 4 

konnte er einerseits mit vollem Recht darauf verweisen, 

dass es während des ganzen 19. Jahrhunderts 

schon Analysisunterricht an Höheren Schulen 

gegeben hat, und auch Forderungen nach 

genetischem Unterricht; Anwendungs-, Technikund 

Naturwissenschaftsorientierung; Betonung 

des Funktionsbegriffs u. v. a. m. 5 

Andererseits unterschätzte Simon gewiss die 

jedes Mal notwendige Einschränkung „. . . – hier 

oder dort.“ So haben die Meraner Reformer mit 

ebenso viel Recht betont: „Das Vielerlei der mathematischen 

Gebiete, die auf der Schule zu Wort 

kommen, musste unter eine einheitliche Grundidee 

gebracht werden. [. . . ] wenn die Schulmathematik 

nicht als ein Konglomerat verschiedener 

Dinge auseinanderfallen sollte.“ 6 Aus heutiger 

Sicht lässt sich auch die naheliegende Frage 

einleuchtender beantworten, warum die Reformer 

das Auseinanderfallen der Unterrichtsinhalte 

unbedingt bekämpfen wollten, obwohl es doch 

bei mittleren Köpfen im Dreiviertelstundentakt – 

trotz des schon damals gern beschworenen psychogenetischen 

Prinzips (heute: „Schülerorientierung“) 

– kaum vermeidbar ist: Ziel der Meraner 

Reformvorschläge war die flächendeckende Umformung 

des analytisch-algebraischen Mathematikunterrichts 

in eine Vorschule der Analytischen 

Geometrie und Analysis. 7 Dieses Ziel konnte im 

aufblühenden staatlichen Reglementierungswesen 

des 20. Jahrhunderts nur erreicht werden, wenn es 

sich den Entscheidungsträgern als plakatives Gesamtkonzept 

mundgerecht präsentieren ließ. Je- 

denfalls hatten die verstreuten Beispiele für Analysisunterricht 

im 19. Jahrhunderts kaum überregionalen 

Nachhall gefunden. Und die öffentlichen 

Bemühungen eines du Bois-Reymond, Gallenkamp 

oder Reuleaux hatten lediglich die zugkräftigen 

Formulierungen für „fortschrittliche“, aber 

randständige Kreise des Bildungsbürgertums entwickelt, 

mit denen sie dem aufstrebenden Wirtschaftsbürgertum 

staatliche Unterstützung für die 

Zweite Industrielle Revolution andienen konnten. 

Wir begnügen uns hier mit einer personalisierten 

Skizze der damaligen Aufbruchstimmung: 

Karl Wilhelm Gallenkamp, seit 1861 Direktor 

der Friedrichs-Werderschen Oberrealschule 

in Berlin, die dem einflussreichen hugenottischen 

Großbürgertum nahe stand 8 , vertrat im 

Herbst 1873 auf einer Konferenz des Königlich 

Preußischen Unterrichtsministeriums über verschiedene 

Fragen des Höheren Schulwesens die 

(Minderheits-) Auffassung, „dass die Bildungsaufgabe 

des Gymnasiums die Aufnahme der Elemente 

der analytischen Geometrie und der Differentialrechnung 

fordere; nur dadurch könne der 

Gymnasial-Abiturient eine Vorstellung von der 

großen Cultur-Arbeit auf dem Gebiete der Naturwissenschaft 

erhalten; nur so könne die Erweiterung 

einer immer bedenklicher werdenden Kluft 

zwischen den Gebildeten in der Nation vermieden 

werden; auch sei das wissenschaftliche Studium 

der Medizin ohne die Kenntnis dieser mathematischen 

Disziplinen nicht möglich.“ Von mehreren 

Seiten wurde das mit Überbürdungsbefürchtungen 

(heute: Überbeanspruchung, Schulstress) 

zurückgewiesen. „Dagegen stimmte Herr Bonitz 

Direktor Gallenkamp soweit bei, dass er die Erreichung 

der von diesem aufgestellten Ziele für 

sehr wünschenswert hielt, aber auch er hatte Zweifel 

an der Durchführbarkeit . . . “ 9 Dr. Hermann 

4 Vgl. [Krüger, 2000, S. 163] 

5 Schülke [1905] berichtet von Unterricht in Infinitesimalrechung an Herbarts Pädagogium (um 1810 und 1824). Im berühmten 

Süvernschen Lehrplan, dessen mathematischer Teil von Bernhardi stammt, war für die Höheren Schulen Infinitesimalrechnung vorgesehen 

(1816; veröff. 1819; Schubring [1988]). Ebenfalls bei Schubring [1988] findet man Angaben über Schellbachs einschlägige 

Praxis als Gymnasialfachleiter in Berlin 1855-1892. [Lietzmann, 1919/1916, S. 386 f.] verweist auf Traugott Müller 1845. [Führer, 

1981a, S. 63 f.] gibt die vier Abituraufgaben wieder, die Gallenkamp 1889 gestellt hat, und belegt damit das hohe Niveau, das Gallenkamps 

Analysisunterricht seit etwa 1870 gehabt haben muss. [Schumann, 1999] nennt Extremwertbestimmungen bei Schaffer (1816), 

Martus (1861), Schrader (1862), Förster (1866). Klein [1904, S. 11f.] schreibt: „Mehr beiläufig will ich anführen, dass es eine Reihe 

Anstalten gibt, welche seit Jahren einen regelmäßigen Unterricht in Differential- und Integralrechnung erteilen. Es sind dies vor allen 

Dingen die Württembergischen Oberrealschulen, aber auch manche einzelne Schulen sonst.“ (Gleich anschließend geht Klein auf 

die Umgehung des zeitweiligen Unterrichtsverbots für dieses Gebiet mittels der „Schellbachschen Methode“ als Tarnung ein, die im 

Wesentlichen schon in Fermats Abhandlung von 1629 über Maxima und Minima steht: Ausdividieren nach x − x ′ und anschließendes 

Nullsetzen. . . [de Fermat, 1934]) – Zum genetischen Unterricht s. [Schubring, 1978]. 

6 [Lietzmann, 1919/1916, S. 236]; ähnlich [Simon, 1885] sowie Hauck und Klein auf der Berliner Schulkonferenz 1900 sowie 

eindrucksvoller Götting [1902, S. 50 f], der an das Prinzip der Denkökonomie appelliert. 

7 Lietzmann [1919/1916, S. 233] beklagt im Geiste aller Reformer den Meraner Kompromiss, nach dem es nur hieß, die Schule solle 

„an die Schwelle der Infinitesimalrechnung heranführen“. – Das seinerzeit gebräuchliche Wort „Infinitesimalrechnung“ umfasste noch 

alle Varianten einer Einführung in die Analysis. Heute bezeichnet es eher eine spezifisch mit Konvergenzfragen durchwobene Sichtweise, 

während der klassische Calculus des 17. Jahrhunderts den unendlichen Reihenkalkül betonte, der spätere amerikanische Calculus 

endlich-algebraische Plausibilitätsbetrachtungen und Anwendungstechniken, die Hochschulanalysis einen systematisch-formalen 

Begründungszusammenhang einschließlich Differential- und Integralgleichungen auch im Mehrdimensionalen. Klein sprach vorzugsweise 

(nur) von Differential- und Integralrechnung. Im heutigen schulischen Gebrauch ist „Analysis“ so ambivalent wie zu Meraner 

Zeiten „Infinitesimalrechnung“. 

8 Vgl. etwa http://de.wikipedia.org/wiki/Hugenotten_in_Berlin 

9 Diskussions-Protokoll vom Oktober 1873, zit. n. [Gallenkamp, 1877, S. 2] 

104

Verstehen oder berechnen?? Wie passt der Computer zum Analysisunterricht des 20. JH? 

Bonitz war nicht irgendwer: 1873 noch Gymnasialdirektor 

und Mitglied der Akademie der Wissenschaften, 

war er seit 1875 schon Vortragender 

Rat im Unterrichtsministerium mit starkem Einfluss 

auf die neu zu entwickelnden Lehrpläne, als 

Gallenkamp seinen Standpunkt in der Zeitschrift 

für das Gymnasial-Wesen öffentlich machte und 

ausführlicher begründete, u. a. auch mit dem Hinweis 

auf fortschrittlichere Zustände in Frankreich 

und vor allem auf Reuleaux’ böse Briefe von der 

Weltausstellung in Philadelphia 1876, wo Preußen 

sich – ausgerechnet während der Gründerkrise – 

als grobschlächtig und technisch rückständig präsentiert 

hatte. 10 

Der damals sehr angesehene Berliner Physiologe 

und Medizintheoretiker Emil du Bois- 

Reymond hat dann gleichfalls 1877 in einer reichsweit 

beachteten Kölner Rede in dieselbe Kerbe geschlagen 

und für „moderne“ Analytische statt traditionell 

Synthetischer Geometrie auf den Höheren 

Schulen plädiert. Seine Argumente sind später 

oft für pflichtmäßigen Unterricht in Analytischer 

Geometrie und Analysis ins Feld geführt worden. 

Erst Analytische Geometrie, so du Bois-Reymond 

in jener Rede, erschließe „die mathematische Bildung“. 

Sie müsse in den Höheren Schulen zur allgemeinen 

Studierbefähigung gelehrt werden, weil 

sie so dienlich für Verwaltungsbeamte, Nationalökonomen, 

Physiker, Meteorologen und Mediziner 

sei. „Die Darstellung von Functionen in Curven 

oder Flächen aber eröffnet eine neue Welt 

von Vorstellungen und lehrt den Gebrauch einer 

der fruchtbringendsten Methoden, durch welche 

der Geist seine eigene Leistungsfähigkeit erhöhte. 

. . . ein für das Leben epochemachender 

Lichtblick. Diese Methode wurzelt in den letzten 

Tiefen menschlicher Erkenntnis und hat dadurch 

an sich ganz andere Bedeutung, als der sinnreichste, 

einem besonderen Falle dienende analytische 

Kunstgriff.“ Die Rede endet mit der früher 

oft zitierten Forderung: „Kegelschnitte, kein 

griechisches Skriptum mehr!“ Unterwegs machte 

du Bois-Reymond geltend, Geometrie und Algebra 

gewöhnten ans scharfe Denken, und die Infinitesimalrechnung 

sei wegen der nichtlinearen Gesetzmäßigkeiten 

unbedingt einzuschließen: „Dass 

analytische Geometrie durch Differential- und In- 

tegralrechnung den Weg zu den letzten und höchsten 

Zielen der Mathematik, also auch zu deren 

schwierigsten Teilen bahnt, kann doch nur einen 

Grund mehr abgeben, schon auf dem Gymnasium 

damit anzufangen.“ 11 

Obwohl schon Gallenkamps erweiterte Argumentation 

so ziemlich alle Argumente vorweggenommen 

hatte, die bis heute zur Begründung des 

schulischen Analysisunterricht ins Feld geführt 

werden, versandete sein und du Bois-Reymonds 

Vorstoß mitsamt Bonitz’ Einfluss in den Reputationskämpfen 

der 1880er- und 90er-Jahre. 12 

Erst auf der Schulkonferenz, die im Jahr 1900 

der formellen Gleichstellung der Höheren Schultypen 

vorausging, nahmen die mathematischen 

Hochschulvertreter Klein, Hauck, Lexis und Slaby 

den Faden mit besonderem Hinweis auf den 

Mangel an Technikernachwuchs wieder auf, wobei 

Gallenkamps Strategie, provozierend auf den 

Vorsprung – ausgerechnet – der Franzosen hinzuweisen, 

jetzt mit Schulbüchern von E. Borel und 

den Brüdern Tannéry untermauert werden konnte. 

13 Hauck warf den Realschulen ein „Herumnippen 

an allerlei auf gleichbleibendem Niveau vor“ 

und Felix Klein erklärte: „Jeder Sachverständige 

wird bestätigen, dass man selbst die Grundlinien 

der wissenschaftlichen Naturerklärung nur verstehen 

kann, wenn man wenigstens die Anfangsgründe 

der Differential- und Integralrechnung, sowie 

der analytischen Geometrie – also den sogenannten 

niederen Teil der höheren Mathematik – 

kennt.“ 14 Unmittelbarer Nutzen sei die Entlastung 

vor allem der Studiengänge, die wenig Mathematik 

bräuchten: Architektur, Chemie, beschreibende 

Naturwissenschaften, Medizin (Physiologie), 

Maschinen- und Bauingenieurwesen und sogar 

Jura (Versicherungswesen). 15 „Eine Hauptsache 

ist doch auch, die Überzeugung entstehen zu 

lassen, dass richtiges Nachdenken auf Grund richtiger 

Prämissen die Außenwelt beherrschen lässt. 

Dann aber muss von Beginn an der Blick auf 

die Außenwelt gerichtet werden.“ 16 „Ich wünsche 

(für die Oberklassen der Realanstalten) eine praktische 

Differential- und Integralrechnung, welche 

sich auf die einfachsten Beziehungen beschränkt 

und diese an der Hand der dem Schüler bereits 

geläufigen Naturvorgänge fortgesetzt veranschau- 

10 [Reuleaux, 1877] 

11 [du Bois-Reymond, 1974, S. 151] 

12 Vgl. [Sander, 1903; Pahl, 1913] sowie [Führer, 1981b, S. 85] 

13 Bei Gallenkamp hieß es noch: „. . . es existiert meines Wissens kein Lehrbuch, welches Wegweiser sein könnte, und es dürfte 

schwer sein, ein solches mit irgend einem Anspruche auf Allgemeingültigkeit abzufassen.“ [Gallenkamp, 1877, S. 19]. Klein war sich 

dieses großen Hindernisses für eine schulpolitische Durchsetzung zweifellos sehr bewusst [vgl. Klein, 1904, S. 11f]. Nachdem er auf 

einschlägige Erfahrungen und Ausarbeitungen der Göttinger Gymnasiallehrer Behrendsen und Götting verweisen konnte [Lietzmann, 

1919/1916, S. 233], fand er die französischen Lehrbücher von Borel und den Tannérys nur noch bemerkenswert in ihrer „Gesamtdisposition“, 

nicht mehr unmittelbar auf deutsche Verhältnisse übertragbar [Klein, 1904, S. 5]. 

14 [Klein, 1900, S. 36] 

15 [Klein, 1900, S. 36 f] bzw. [Klein, 1904, S. 17f]. 

16 [Klein, 1900, S. 35] 

17 [Klein, 1900, S. 43] 

105


licht.“ 17 „Eine gewisse Kenntnis der Differentialund 

Integralrechnung ist unerlässlich, wenn man 

auch nur die einfachsten Gesetzmäßigkeiten der 

uns umgebenden Natur verstehen will.“ 18 Natürlich 

soll hier den Philologen und Verwaltungsbeamten 

suggeriert werden, dass Leitungsfunktionen 

für die aufstrebende Technik und Industrie 

künftig solche Kenntnisse voraussetzen würden. 

Klein meidet aber dieses Glatteis, auf dem 

die angestrebte Aufwertung der mathematischnaturwissenschaftlichen 

Bildung zu leicht ins Abseits 

der rein materialen Berufsvorbereitung abgleiten 

könnte, und betont stattdessen lieber den 

kompensatorischen Bildungsanteil vor allem für 

spätere Nichtmathematiker: „Im mathematischen 

Unterricht kommt wesentlich das deduktive Denken 

zu seinem Recht; der naturwissenschaftliche 

Unterricht hat ergänzend das induktive Denken 

und die Gewöhnung an vorurteilsfreie Beobachtung 

zu üben. Beide zusammen sollen zu einem 

Verständnis der uns umgebenden Natur anleiten, 

von der wir selbst ein Teil sind.“ 19 Dieser Satz 

könnte wörtlich von Herbart stammen und spielt 

gewiss auch nicht unabsichtlich auf Kants Erkenntniskritik 

an. Wenig später nimmt Klein dann 

diesem Frontalangriff die Schärfe: Es sei „keinerlei 

Verkümmerung der sprachlichen und sonstigen 

grundlegenden Fächer“ beabsichtigt. „Denn 

niemand wird einer ausschließlich mathematischnaturwissenschaftlichen 

Vorbildung das Wort reden 

wollen.“ 20 

1.2 „Funktionales Denken“ 

Die Konjunktureuphorie zu Beginn des 20. Jahrhundert 

hat zweifellos ein sehr viel günstigeres 

Umfeld für diese Argumente abgegeben als 

die Gründerkrise der späteren 70er-Jahre des 19. 

Jahrhunderts. Hinzu kam ein sehr wirkungsvoller 

Schachzug, um dem zuvor so erfolgreichen 

Überbürdungsvorwurf der konservativen Philologen 

Paroli bieten zu können: 

Mit einem fadenscheinigen Kompliment an 

den preußischen Lehrpläne von 1901, die zwar 

nicht die gewünschte Infinitesimalrechnung enthielten, 

aber immerhin für die oberen Klassen „ein 

eingehendes Verständnis des Funktionsbegriffs“ 

vorschrieben, missversteht Klein ganz gezielt die 

Pflege des Funktionsbegriffs als die gewünschte 

Erneuerung: „Mein Ziel ist, überzeugend darzulegen, 

dass die hiermit gegebenen Gesichtspunkte, 

von Untersekunda [Klassenstufe 10] beginnend, 

in richtiger methodischer Steigerung den ganzen 

mathematischen Unterricht entscheidend beeinflussen 

sollen, dass der Funktionsbegriff in geometrischer 

Fassung den übrigen Lehrstoff wie ein 

Ferment durchdringen soll. Hierin ist eine gewisse 

Berücksichtigung der analytischen Geometrie, andererseits 

aber auch der Anfänge der Differentialund 

Integralrechnung von selbst mit eingeschlossen. 

Letzteres erscheint [!] also sozusagen als Korollar 

einer allgemeineren Thesis.“ 21 Elf Seiten 

später skizziert Klein dann auch gleich, wie er sich 

ab Untersekunda „die Sache durchgeführt denke“, 

nämlich so, wie es dann – bald über beide Sekundarstufen 

ausgestreckt – während des ganzen 

20. Jahrhunderts Standard wurde: Ausgehend von 

Geraden, Parabeln und Hyperbeln in graphischer 

Darstellung über etwas Theorie der algebraischen 

Gleichungen sowie Trigonometrie hin zu komplizierteren 

Funktionen und Kurven, auch empirisch 

gewonnenen und in der Physik auftretenden (Fallgesetze, 

Pendelbewegung, Wellen). „In der Prima 

möge man dann aus den bereits zur Gewohnheit 

gewordenen Auffassungen die allgemeinen 

Gedanken der Differential- und Integralrechnung 

herausschälen. [. . . ] Aber der Formalismus darf 

nicht überwuchern; die Hauptsache ist eine klare 

Erfassung der Grundbegriffe und ihrer anschauungsmäßigen 

Bedeutung.“ 22 

Bei Timerding steht – nicht ohne diplomatische 

Verrenkungen – über die umgekehrte, sachlich 

wohl richtigere, aber politisch nicht unbedingt 

nützlichere Abhängigkeit zwischen Funktionsbegriff 

und Infinitesimalrechnung zu lesen: „Wenn 

auf die Begriffe der Infinitesimalrechnung eingegangen 

wird, dann müssen sie den ganzen mathematischen 

Unterricht von Anfang an beeinflussen; 

nicht so, dass etwa schon in der Tertia mit 

Differentialen herumgeworfen werden soll, sondern 

nur so, dass die Gewöhnung an den Funktionsbegriff, 

der ja die Grundlage der Infinitesimalrechnung 

ist und der [den?] sie geradezu zu 

seiner [ihrer?] vollen Ausbildung notwendig erfordert, 

schon frühzeitig eintritt. – So erst kann 

überhaupt der Schüler lernen, das Wesen der mathematischen 

Größen richtig zu verstehen, und so 

18 [Klein, 1900, S. 45] 

19 [Klein, 1900, S. 47]. Eine Einordnung als reine Berufsvorbereitung hätte den Besitzstandswahrern unter den in Schule und Schulverwaltung 

führenden Philologen in die Hände gespielt. In [Klein, 1904, S. 6] heißt es: „Ich bin tief durchdrungen von der Aufgabe 

der Schule, eine große Zahl nicht sonderlich begabter und dabei dem mathematischen Denken zunächst abgeneigter Schüler zu einem 

bestimmten Niveau wissenschaftlichen Verständnisses hinzuführen . . . Die späteren Mathematiker sind mir bei den folgenden Darlegungen 

ganz gleichgültig: mit ihnen kommen wir an der Universität zurecht, wie immer die besondere Art ihrer Vorbildung beschaffen 

sein mag. Vielmehr sind es gerade die anderen, um die ich mich sorge und auf die ich im folgenden exemplifizieren werde: die Mediziner, 

die Chemiker, die Juristen!“ Die Oberlehrer, denen dieser Vortrag galt und die ja den Löwenanteil der Mathematikstudierenden 

stellten, wurden hier klugerweise nicht erwähnt. 

20 Ebenda 

21 [Klein, 1904, S. 4]. 

22 [Klein, 1904, S. 16]. 

106


allein kann er begreifen, was der mathematischen 

Größenlehre ihre reale Bedeutung gibt. Die Notwendigkeit 

des Funktionsbegriffes für den mathematischen 

Unterricht gerade in diesem Sinne der 

Verkettung mit den Anwendungen und der Schulung 

des Denkens überhaupt erkannt zu haben, ist 

das große Verdienst von Herbart . . . “ 23 

„Wesentliche Grundgedanken der Kleinschen Unterrichtsreform wurden in die amtlichen Lehrpläne 

von 1925 übernommen. Diese stellten als allgemeines Lehrziel folgende Forderungen 

auf: 

1. Schulung im logischen Schließen und Beweisen. 

2. Übung im funktionalen Denken. 

3. Entwicklung des räumlichen Anschauungsvermögens. 

4. Verständnis für den philosophischen Gehalt der mathematischen Verfahren und die geistesgeschichtliche 

Bedeutung der Mathematik. 

Die Forderung nach Schulung des logischen Denkens bot nichts Neues gegenüber der traditionellen 

Gestalt des Unterrichts. Zur Durchführung der Forderung nach Übung im funktionalen 

Denken wurde die Differential- und Integralrechnung in den Lehrstoff der Prima aller höheren 

Schulen, auch des Gymnasiums, aufgenommen. Der Unterricht sollte dabei einen Mittelweg suchen 

zwischen berechtigten Anforderungen an wissenschaftliche Strenge und der Rücksicht auf 

die praktischen Bedürfnisse und ausgiebig das Hilfsmittel geometrischer Veranschaulichung 

benutzen. Am Gymnasium sollte der Unterricht sich auf die Ableitung rationaler und trigonometrischer 

Funktionen, besonders zur Bestimmung von Extremwerten, und die Berechnung 

von Flächen- und Rauminhalten mit Hilfe der Integralrechnung beschränken und in der Prima 

beginnen. Am Realgymnasium traten hinzu: Die Untersuchung transzendenter Funktionen, 

Reihenentwicklungen und Näherungsmethoden zur Lösung von Gleichungen. Auf der Oberrealschule 

wurde der Beginn der Differential- und Integralrechnung nach der Obersekunda [11. 

Klassenstufe] vorverlegt und so die Bedingung für eine vertiefte Behandlung dieses grundlegenden 

Gebietes geschaffen.“ 

[Rüping, 1954, S. 37]; vgl. [Siemon, 1980] sowie ausführlicher [Lietzmann, 1926, Kap. 5] 

Das 4. Lehrziel der Richertschen Reformlehrpläne 

erinnert noch an das eifrige Bemühen 

der Vorkämpfer von du Bois-Reymond bis 

Klein, den modernisierten Mathematikunterricht 

nicht als Berufspropädeutik, sondern als notwendige 

Ergänzung zeitgemäßer Geistesbildung auszugeben. 

In der Schulpraxis dürfte das damals 

wie heute – schon aufgrund der Vor- und Ausbildung 

normaler Gymnasiallehrer – keine wesentliche 

Rolle gespielt haben. 

Lietzmann hat später immer wieder betont, 

der Funktionsbegriff sei als den ganzen Schulstoff 

in Mathematik wie ein Ferment durchdringendes 

„didaktisches Prinzip“ (heute etwa „Leitidee“) das 

eigentlich Neue am Meraner Aufbruch gewesen 

– und als Konzentrationsprinzip, dem vieles andere 

aus dem traditionellen Schulstoff großmütig 

geopfert werden konnte, das eigentlich schulpolitisch 

Schlagkräftige gegen den Überbürdungsvorwurf. 

24 In dieser stoffdidaktischen und scheinbar 

rein innerschulischen Sichtweise konnte die flächendeckende 

Durchsetzung des Analysisunter- 

richts 1925 als eindeutiger Sieg der Meraner Reformstrategen 

um Felix Klein ausgegeben werden, 

obwohl das Konzentrationsprinzip nicht „nur“ Inhalte 

und Sichtweisen 25 , sondern auch Stundenanteile 

gekostet hatte. 

Folgt man der bei Timerding anklingenden 

Auffassung Herbarts, dass mit der frühzeitigen 

„Gewöhnung an funktionales Denken“ 

Differential- und Integralrechnung leichter erlernbar 

würden, dann ist noch keineswegs ausgemacht, 

dass diese Gebiete in die allgemeinbildende 

Schule gehörten. So hatte Max Simon 1884 im 

Vorwort seines Lehrbuchs [Simon, 1885] durchaus 

wie später Lietzmann formuliert: „Was dem 

Unterricht in der Arithmetik heutzutage viel mehr 

fehlt als die Strenge im Einzelnen, ist nach meiner 

Überzeugung, welche ich bereits im Jahre 

1877 auszusprechen Gelegenheit hatte, ein festes 

Ziel. . . Dieses Ziel finde ich in der Vorbereitung 

auf die Functionentheorie“ – allerdings ohne diese 

Propädeutik der „Functionentheorie“ als Leitidee 

durchsetzen zu können oder gar Analysis für alle 

23 [Timerding, 1911, S. 132 f.] – In der anschließenden Fußnote werden aus Herbarts ABC der Anschauung von 1802 zwei Stellen 

zitiert. Die zweite lautet: „Gewöhnt den Jüngling, die Dinge dieser Welt als Größen und ihre Veränderungen als Funktionen der bewegenden 

Kräfte, d. h. als notwendige, bei aller scheinbaren Unregelmäßigkeit doch höchst gesetzmäßige und in jedem ihrer Fortschritte 

genau bestimmte Erfolge der wirkenden Ursachen, zu betrachten!“ 

24 Lietzmann hat das sehr oft betont, so z. B. in [Lietzmann, 1919/1916, S. 236]. Vgl. in diesem Sinne auch [Schmidt, 1906]. – Eine 

umfassende Darstellung der Reformeinflüsse und -strategien findet sich in [Krüger, 2000]. 

25 Vgl. [Timerding, 1911; Toeplitz, 1927, 1929]. 

107


Höheren Schulen zu fordern. Warum war Kleins 

Umkehrstrategie nach 1905 erfolgreich? 

Die umfangreiche Untersuchung von Krüger 

[2000] bescheinigt dem Kaiserreich um 1905 ein 

– nicht ungeteiltes und auch bald vorüber gehendes 

– optimistisches Gesellschafts- und Kulturklima 

mit besonderer Affinität zu „funktionalen“ 

Beziehungen und Veränderungen, genauer: 

eine von Wirtschaftsboom, Technikbegeisterung, 

Mobilitätszuwachs und Kinematographie gestützte 

Aufbruchstimmung. Über die vorsichtigeren 

Schlussfolgerungen Krügers hinaus, vermute ich, 

dass das Schlagwort „funktional“ um 1905 in 

seiner Ambivalenz zwischen Metamorphose, gezielter 

Variation, Naturgesetzlichkeit und Funktionieren 

besonders gut zum offiziösen Common 

Sense des Wirtschaftsbürger- und Soldatentums 

passte, wie er in Preußen etwa vom „Kartell der 

schaffenden Hände“ zwischen Ruhrindustriellen 

und ostelbischen Landjunkern repräsentiert wurde. 

26 Mit dieser Vermutung ließe sich die merkwürdige, 

schon vor 1910 nachweisbare Reduktion 

des „funktionalen Denkens“ auf Naturgesetzlichkeit 

und (Input–BlackBox–Output-) Funktionieren 

plausibler aus dem historischen Umfeld erklären 

als durch den seit Lietzmann gebräuchlichen 

Verweis auf die Widrigkeit der schulpraktischen 

Verhältnisse. 

Es ist ja auch heute verblüffend: Obwohl 

wir, ein Jahrhundert nach der Meraner Versammlung, 

mit dem Zugmodus von DGS ein viel bequemeres 

Anschauungs- und Experimentierwerkzeug 

für funktionale Variationen als die damaligen 

Veranschaulichungsapparate und Daumenkinos 

besitzen 27 , wird von „funktionalem Denken“ 

zwar heute wieder sehr viel geredet, aber doch 

in aller Regel nicht im eigentlich Meraner Sinne 

von Metamorphosen und gezielten Variationsbezügen, 

sondern gegenstandslastig und statischkatalogisierend 

reduziert auf „eine Denkweise, die 

typisch für den Umgang mit Funktionen ist“. 28 

Funktionen und Input-Output-Variationen als 

Gedankenformen bzw. Denkwerkzeuge, d. h. als 

Erkenntnismittel, die die wissenschaftliche Wahrnehmung 

und Beherrschung unserer natürlichen 

oder technischen Umwelt leiten sollten 29 , hatten 

den Bildungspolitikern etwas ganz anderes 

und Bedeutenderes versprochen als Wissensver- 

mittlung über Standardelemente mehr oder minder 

enger Funktionenräume, die man abiturgerecht 

aus irgendwelchen Anwendungsverkleidungen 

herauslesen und dann nach den üblichen Abund 

Aufleitungsregeln malträtieren lehrt. War die 

Einführung des Analysisunterrichts von vornherein 

eine Mogelpackung? Wenn ja, in wessen Interesse, 

auf wessen Kosten, um welchen Preis? 

Abbildung 17.1: Zugmodus 1896. Quelle: 

http://www.ansichtskarten-pankow.de/ 

pankowfilm.htm. Abdruck mit freundlicher 

Genehmigung von Frau Karin Manns. 

Ich möchte diesen Fragen hier nicht weiter 

nachgehen. Für unser Thema reicht der Beleg, 

dass die Durchsetzung und „klassische“ Ausgestaltung 

des allgemeinverbindlichen Analysisunterrichts 

nicht einfach die Frucht guter Argumente 

oder wissenschaftlicher Fortschritte war, dass die 

Durchsetzung vielmehr gelang, weil Analysis bewusst 

als harmonisierende Universalbefriedigung 

für ein ganzes Konglomerat konfligierender Interessen 

ausgegeben und mit dem ebenso vageunverbindlichen 

wie politisch konformen Schlagwort 

„Erziehung zur Gewohnheit [!] des funktionalen 

Denkens“ marktgerecht plakatiert werden 

konnte. Nach Lietzmann war es das einigende 

Konzentrationsprinzip, das den Analysisunterricht 

schließlich flächendeckend durchsetzte. Vielleicht 

lohnt es sich hinzuzufügen: . . . Gewohnheit des 

funktionalen Denkens und der Zeitgeist um 1905, 

der noch Glanz im Funktionieren sah. Die anschließende 

Kanonisierung des Analysiscurriculums 

zur elementaren Funktionsarithmetik mit op- 

26Zur psychologischen Charakteristik des älteren funktionalen Denkens s. [Struntz, 1949]; zur Geschichte z. B. [Ullrich, 1999, 

Kap. III] und [Krüger, 2000, Kap. 2] sowie die dort angegebene Literatur. Auch bei [Inhetveen, 1976] finden sich zahlreiche Details 

zum Zeitgeist der Wilhelminischen Ära. Inhetveens anregende Perspektive, funktionales Denken und Infinitesimalrechnung überwiegend 

als Zwangsfolge ökonomischer Entwicklungen sehen zu wollen, erscheint mir als zu eng, weil sie Eigendynamiken der beteiligten 

Staatssysteme ausblendet (Schule, Universität, Bürokratie, „System Althoff“, Militär, „Kartell der schaffenden Hände“ usw.). 

27Vgl. z. B. [Roth, 2005, S. 71ff.] sowie neuere Arbeiten desselben Autors. Roth zieht das unverfänglichere, aber auch vagere 

Begriffsfeld „Bewegliches Denken“ vor – und handelt sich damit andere Konnotationen ein. 

28 [Vollrath, 1989, S. 6]. Selbst der Aspekt Naturgesetzlichkeit ist inzwischen weitgehend der liberalisierten Mathematiklehrerausbildung 

zum Opfer gefallen. 

29Der heute für die Mathematik- und Naturwissenschaftsdidaktik sowie für alle sciences fundamentale Modellbegriff wurde zwischen 

1891 und 1894 von Heinrich Hertz eingeführt und von P. Lennard mit einem erläuternden Vorwort von H. von Helmholtz 1894 

posthum veröffentlicht [Hertz, 1996]. 

108


tional vor- und nachgeschalteten Grenzwertbetrachtungen 

in Trivialfällen (Folgen; Arbeitsintegral, 

Rotationskörper) gab dem sehr rasch jene bürokratische 

Form, die das Maschinen- und Dienstleistungsjahrhundert 

schadlos überdauern sollte. 

Der Schulpraktiker Philipp Weinmeister ahnte es 

schon 1907: 

„Wohl kaum hat eine Frage die mathematische 

Lehrerwelt Deutschlands so in Erregung versetzt 

als die zur Zeit schwebende über die Einführung 

der Infinitesimalrechnung in die höheren Lehranstalten. 

Viel ist dafür und dagegen gesprochen 

worden; Berufene und Unberufene sind zum Wort 

gekommen; fast jeder hat energisch im Grundton 

der Überzeugung geredet, so dass man an einem 

friedlichen Übereinkommen zweifeln sollte. . . 

Bekanntlich enthält die Unendlichkeitsrechnung 

sehr viel Formeln, die dem Schüler in 

Fleisch und Blut übergehen müssen, soll der Unterricht 

seinen Zweck erfüllen. Da liegt denn die 

Gefahr nahe, dass der Schüler glaubt, das Wesen 

des Unterrichts liege in diesen Formeln, und es genüge 

deren Kenntnis und ihre Anwendung zu seiner 

mathematischen Ausbildung.“ 30 

1.3 Der schulische Analysiskanon 

Es ist hier nicht der Ort, auf alle Verästelungen 

der Schulbuch-Lehrgänge 31 und fachmethodischen 

Besserungsvorschläge seit dem Meraner 

Aufbruch einzugehen. Ganz typisch für die vom 

Kreis um Klein propagierte Neugestaltung ist jedoch 

die erhebliche Abkürzung des algebraischen 

Vorspanns zugunsten graphischer Einstiege und 

die Verlagerung der anspruchsvolleren Teile der 

Reihenlehre hinter die Differentialrechnung. Kubische 

und goniometrische Gleichungen entfie- 

len, ebenso mancherlei geometrische Konstruktionskunststücke. 

Arithmetische und geometrische 

Reihen blieben zwar, aber statt der Binomischen 

Reihe sollten, Kleins Vorbild entsprechend, am 

Lehrgangsende Taylorreihen induktiv eingeführt 

werden. Bei Behrendsen & Götting [1912] heißt 

es zu Beginn des Oberstufenbandes: „Viel ersichtlicher 

dürfte die Oberstufe erkennen lassen, wie 

vieles Belastende aus dem früheren Pensum verschwunden 

ist. So vor allem das Kapitel der Kombinationslehre, 

der Wahrscheinlichkeitslehre, die 

langen schwierigen Ableitungen des binomischen 

Lehrsatzes für beliebige Exponenten sowie für die 

übrigen unendlichen Reihen, die nunmehr mühelos 

aus dem Taylorschen Lehrsatze herausfließen,. 

. . “ 32 

Bei Behrendsen & Götting findet sich denn 

auch schon 1912 – wenn zunächst auch noch 

Differential- und Integralrechnung verflochten 

sind 33 – all das, was noch heute den fachlichen 

Gegenstand des üblichen Analysisunterrichts ausmacht, 

soweit er aus Schulbüchern und Lehrplänen 

ersichtlich ist 34 , siehe Abb. 17.2 

Insofern unser Thema nicht „Schulbücher“ 

oder „Lehrpläne“ heißt, sondern „Analysisunterricht 

des 20. Jahrhunderts“, geben fachliche Inhaltsangaben 

und Reihenfolgen natürlich nur ein 

vages Bild des tatsächlichen Geschehens. Ich 

bin allerdings überzeugt, dass auch empirische 

Mikro- und Makrostudien, die uns heute so lieb 

und teuer sind, nicht das zeigen, ja zeigen könnten 

35 , was uns für eine sinnvolle Zukunftsplanung 

interessieren muss: bei aller spezifischen Ausprägung 

jedes realen Unterrichts im Einzelnen, den 

Geist oder die Geister, die intentionalen pädagogischen 

Bezüge und die mitwirkenden Alltagsbe- 

30 [Weinmeister, 1907, S. 1 und 13]. 

31Krüger [2009] unterscheidet 3 Lehrbuchgruppen bis in die Weimarer Zeit: „1. zaghafte Neubearbeitungen mit allmähliche Aufnahme 

des neuen Stoffes in die alten Lehrbücher (z. B. Kambly-Languth, Heilermann-Diekmann, H. Müller, Pietzker). 2. Entwicklung 

‚moderner’ Lehrbücher für die Oberstufe (z. B. Schwab-Lesser, [Behrendsen & Götting, 1912]). 3. Lehrbücher zum neuen preußischen 

Lehrplan, den ‚Richertschen Richtlinien’ von 1925 (z.B. Reidt-Wolf-Kerst, Schülke-Dreetz, Malsch-Maey-Schwerdt)“. Als charakteristisch 

für die erste Gruppe nennt sie die gründliche Abhandlung der Themen kubische Gleichungen, Kombinatorik, Arithmetische 

und geometrische Reihen (incl. Rentenrechnung), Binomischer Lehrsatz und Unendliche Reihen vor Einstieg in die Differentialrechnung. 

Demgegenüber betonten die neuen Werke der 2. Gruppe den frühen Einstieg mit Graphische Darstellungen von Funktionen, 

kämen dann möglichst rasch zum Differentialquotienten mit Anwendung in der Extremwertbestimmung und stießen schließlich bis 

zur Taylorschen Reihe vor. 

32 [Behrendsen & Götting, 1912, zit. n. Krüger, 2009] – Kleins Einführung der Taylorreihe [Klein, 1904, S. 11] – Wahrscheinlichkeitsrechnung 

im Lehrplan von 1901 siehe [Inhetveen, 1976, S. 206 f] 

33jedenfalls in der 1. Auflage. In späteren wurden die beiden Aspekte – wie heute üblich – getrennt. (So in der mir vorliegenden 

dritten Aufl. von 1921.) 

34Das heutige Minimalprogramm ist leider von der KMK noch nicht definiert, immerhin geben die noch gültigen EPAs einen – 

reichlich enttäuschenden – Eindruck. Ich werde das noch im nächsten Abschnitt belegen [KMK, 2010] 

35Das erkenntniskritische Dilemma des naiven Empirismus heißt „Sein-Sollen-Fehlschluss“ (Hume) oder auch „Naturalistischer 

Trugschluss“ (Moore). In [Führer, 2009] wird das mit Blick auf den modischen Boom der empirischen Unterrichtsforschung ausführlich 

erläutert. Im Grunde hat Kants Analyse der menschlichen Brain-Hardware die wichtigste Grenze des Empirismus herausgearbeitet: 

„Nichts ist im Verstand, was nicht zuvor in den Sinnen war! – Außer der Verstand selbst.“ Heute wohl zu ergänzen mit: „... Außer 

der Verstand selbst, und die angeeigneten Deutungsmuster des jeweils bewohnten soziokulturellen Milieus.“ In der Physik entspricht 

dem seit fast einhundert Jahren die Heisenbergsche Unschärferelation, in den Humanwissenschaften der „Hermeneutische Zirkel“ und 

in den Medienwissenschaften Brechts Theorie der „Verfremdung“. 

Die Empirische Sozialforschung ignoriert das heute leider oft und gern – freilich mit exzellentem Markterfolg, sowohl finanziell 

und personell als auch forschungsideologisch und reputativ. Ob dabei der einzelne Unterrichtsforscher bewusst theoriegeleitet arbeitet 

oder nicht, ist für unser Thema nicht entscheidend, denn auf den Unterricht wirkt regelmäßig über Presse, Bildungs-, Hochschul- und 

Schulpolitik nur die politisch nützliche, empirisch oft ganz ungedeckte Interpretation der „Befunde“ über die sog. „Politikberatung“. 

109


dingungen, aus denen heraus Unterricht verwirklicht 

wird und auf Schülerseite geistig und mental 

formend nachwirkt 36 . In diesem Sinne möchte 

ich einige Leitfragen und Zielsetzungen in Erinnerung 

bringen, die die didaktische Diskussion 

um den Analysisunterricht des 20. Jahrhunderts 

schon früh und doch anhaltend charakteristisch 

beherrscht haben. 37 

Um ein typisches konservatives Beispiel der 

Übergangszeit nach 1905 zu geben, wähle ich 

die Heis’sche Aufgabensammlung in ihrer 113., 

von J. Druxes „zeitgemäß“ überarbeiteten Auflage 

aus dem Jahre 1908. 38 Im Vorwort werden fünf 

Aspekte, offenbar schon damals konsensfähige didaktische 

Überzeugungen, hervorgehoben, die ich 

Abbildung 17.2: Aus [Behrendsen & Götting, 1912] 

für spätere Bezugnahmen mit A1 bis A5 nummeriere 

und mit heutigen Überschriften und Anmerkungen 

versehe: 

A1. Motivation durch Lebensweltbezug 

„An Stelle der ausgeschiedenen Aufgaben sind 

durchweg solche getreten, die dem modernen Leben 

Rechnung tragen und das Interesse der Jugend 

zu fesseln geeignet sind.“ (Hervorhebungen 

jeweils im Original.) Die säkularisierte Formulierung 

„modernes Leben“ statt der politisch üblicheren 

„(Gesamt-) Kultur der Gegenwart“ lässt den 

bescheideneren Schulpraktiker ebenso erkennen, 

wie die vorsichtig schülerorientierte Motivationshoffnung. 

(Es war ja zugleich die Jungfernzeit der 

36 Es ist diese mehr oder minder gelungene Nachwirkung, der „Geist“ der Funktionalisierung und approximativen, aber kontrollierten 

lokalen Linearisierung, auf die die nachfolgenden Akzentsetzungen des jeweils ganzen Analysisdurchgangs zielen. Natürlich ist 

jeder Unterricht anders, möglicherweise auch auf eine mehr für den Lehrer als für die jeweilige Lerngruppe charakteristische Weise. 

Ich glaube aber (nach einigen hundert Unterrichtsbesuchen), dass sich realer Unterricht recht gut in einem „qualitativen Koordinatensystem“ 

aus den noch folgenden Punkten A1-A10 verorten lässt. 

37 Ich stütze mich dabei auf Leitgedanken älterer Schulbücher, weil die schon im Verkaufsinteresse gewöhnlich von Praktikern mit 

Blick für das Machbare im Wünschenswerten verfasst wurden. 

38 [Heis, 1914] 

110


damals noch gesellschaftskritischen bürgerlichen 

Reformpädagogik, die inzwischen zum medien-, 

schul- und gesellschaftspolitischen Allheilmittel 

umstilisiert wurde.) 

A2. Funktionspropädeutik für die Anfangs 

gründe der Infinitesimalrechnung 

„Der Funktionsbegriff, der schon in der Unterstufe 

vorbereitet ist, durchdringt in ausgiebiger Weise 

den Lehrstoff, so dass es nicht schwierig sein 

dürfte, die Schüler mit den Anfangsgründen der 

Infinitesimalrechnung vertraut zu machen. . . “ 39 

A3. Anschaulichkeit ja, aber Gründlichkeit 

wichtiger als Vollständigkeit 

„. . . Dabei sollen – in anschaulichster Form – nur 

die einfachsten Funktionen behandelt werden, so 

dass die formal mathematische Ausbildung der 

Schüler auch in ihrer Gründlichkeit keinen Schaden 

erleidet.“ Das Anschauungsprinzip, das die 

Meraner mit graphischen Zugängen und psychogenetischen 

Rücksichtnahmen stark betont hatten, 

kollidierte im Schulbetrieb natürlich sofort mit 

dem universitär veredelten Fach- und Standesbewusstsein 

der meisten Oberlehrer, und mit deren 

Hochschätzung einer ebenso fachlichen wie preußischen 

Tugend „Gründlichkeit“. 40 

A4. Anwendungsbezug bringt Vertiefung und 

Motivation 

„Dass der Unterricht durch geeignete Behandlung 

der einfachen Funktionen an Vertiefung gewinnt 

und durch die Anwendbarkeit auf viele Gebiete 

der Wissenschaft und Praxis bedeutend das Interesse 

zu fördern vermag, erscheint dem Herausgeber 

gesichert. Benutzt werden die Anfangsgründe 

der Differential- und Integralrechnung bei der 

Behandlung der Gleichungen höheren Grades, ferner 

zu Aufgaben aus der analytischen Geometrie, 

der Physik, zu Berechnungen von Flächen- und 

Körperinhalten sowie zur Berechnung von Trägheitsmomenten 

und zu Untersuchungen über den 

Verlauf von Funktionen. . . Die Berücksichtigung 

des ‚Wechselstromes’ bei den zahlreichen Aufgaben 

aus der Elektrizitätslehre erfolgte im Interesse 

solcher Anstalten, bei denen Wechselstrom 

zur Verfügung steht.“ Mit den arithmetischen und 

geometrischen Reihen werden die Paradebeispiele 

Zinseszinsrechnung und Versicherungsmathe- 

matik hervorgehoben: „Die Darstellungen dieses 

Abschnittes sollen lediglich die Möglichkeit bieten, 

den Schülern einen Einblick in die interessanten 

Grundlagen der Versicherungsmathematik zu 

gewähren und zugleich ihr Verständnis für die 

große Bedeutung des Versicherungswesens in der 

Volkswirtschaft rechtzeitig zu wecken. . . Durch 

passende Aufgaben wurde auch die Anwendung 

der Wahrscheinlichkeitsrechnung auf dem Gebiete 

der Versicherungstechnik klargelegt.“ 41 

Bei den erklärten Anhängern der Meraner 

Vorschläge reichten die Forderungen nach Anwendungsbezug 

– nicht nur für Oberrealschulen 

– noch deutlich weiter. Götting verlangte schon 

1902: Geschwindigkeiten, Analytische Geometrie 

und Infinitesimalrechnung parallel, Funktionen 

von zwei Veränderlichen und Darstellung ihrer 

Flächen, Approximationen und Interpolationen 

u. v. a. m. „Auch hier sind wie überall zahlreiche 

Beispiele aus der Mathematik, Physik, Chemie, 

den Naturwissenschaften, der Geographie, 

Statistik usw. heranzuziehen.“ 42 In der Tat stellten 

die Lehrbücher im neueren Stil, angefangen 

bei Behrendsen & Götting, bis in die sechziger 

Jahre dem Gymnasiallehrer außerordentlich 

vielseitige Anwendungsbeispiele bereit. – Echte 

Anwendungsorientierung, bei der die mathematischen 

Inhalte aus realitätsnahen Problemen 

gewonnen und in ihrer Bedeutsamkeit hypothetisch 

gewichtet werden, verfochten bis zur Weimarer 

Zeit freilich wenige, so z. B. A. Rohrberg, 

Witting und einige Anhänger der Projektmethode. 

Im Dritten Reich galt dagegen bald Anwendungsorientierung 

als Staatsdoktrin – und als G8- 

Konzentrationsmittel. Zunächst als kompensatorische 

Gegenbewegung zur übertrieben wissenschaftsorientierten 

„Strukturwelle“ wiederbelebt, 

rückte sie seit den 80er Jahren wieder in die vorderste 

Reihe des didaktischen Prinzipienkatalogs 

auf. 

A5. Geschichtliche Bedeutungszuweisung 

„Schließlich sind wichtige geschichtliche Notizen, 

die einen Einblick in die Entwicklung der mathematischen 

Wissenschaft gewähren, im Anhange 

zusammengestellt. . . “ 

Diese Bemerkung liest sich eher wie eine lästige 

Pflichtübung. Dabei ist freilich zu bedenken, 

39 Bei [Götting, 1902, S. 50 f] findet sich ein längerer Versuch, dem herkömmlichen Unterricht nachzuweisen, dass er durch Explizierung 

des Funktionsbegriffs nur ehrlicher und klarer würde. Die ursprüngliche Bindung an die „Algebraische Analysis“ wird 

freilich unterschlagen. (Vgl. dazu Timerdings Überblick über diverse erkenntnistheoretische Auffassungen der Infinitesimalrechnung 

[Timerding, 1911], insbesondere S. 128 f.) 

40 Vgl. dazu die sehr deutlichen Stichworte zum „Typus des Gymnasiallehrers“ in [Ullrich, 1999, S. 346f.] 

41 Mit der älteren Voran- und Herausstellung der allgemeinen binomischen Reihe, die Klein – aus Gründen der Strenge – unbedingt 

zum Korollar des Taylorschen Satzes degradieren wollte, waren allmählich Kombinatorik und Wahrscheinlichkeitsrechnung um die 

Binomialverteilung herum Standardstoff geworden. Das fiel dann auch prompt bis in die siebziger Jahre dem Meraner Konzentrationsprinzip 

„Funktion“ zum Opfer. 

42 zit. n. dem Abdruck des Vortrags von 1902 in [Götting, 1902, S. 58]. In einem Zusatz erklärte Götting am Ende des Abdrucks 

ausdrücklich, dass sein Programm nach Erfahrungen am Göttinger Gymnasium „nicht bloß bei den Realanstalten, sondern ebensogut 

auch im Gymnasialunterricht ausführbar ist.“ [Ebenda, S. 60] 

111


dass es sich beim zitierten Werk von Heis und 

Druxes um eine Aufgabensammlung handelt. In 

den fünfzigjährigen Bemühungen um pflichtmäßigen 

Analysisunterricht, nicht nur für Realschulen 

mit Oberstufe, sondern für die bildungspolitisch 

tonangebenden (altsprachlichen) Gymnasien, 

spielten natürlich historische Zugänge und 

Einordnungen eine wichtige, im Bildungssystem 

selbst vielleicht die wichtigste, weil angesehenste 

und damit identitätsstiftende Rolle. Dass die Infinitesimalaspekte 

in bildungstheoretischen Erklärungen 

für junge und alte Nichtmathematiker und 

-physiker stets eher historisch als erkenntnistheoretisch 

untermauert wurden, spricht für sich. Das 

dürfte auch heute noch der einfachste Weg sein, 

Mathematikabstinenzlern und Antimathematikern 

die gesellschaftliche Relevanz analytischer Denkweisen 

und Methoden nahezubringen – auch und 

besonders den oft kreativen und klugen Oberstufenschülern, 

die in Mathe keine Eins haben (wollen) 

und vielleicht später zu Entscheidungsträgern 

der Gesellschaft werden. Aber die erkenntnistheoretischen, 

begriffsbildenden und sogar anwendungsträchtigen 

Vorzüge des Infinitesimalen 

an der „Infinitesimalrechnung“ konnten sich bekanntlich 

trotz vehementer Fürsprache erstklassiger 

Fachwissenschaftler mit Herz für die Schule 

nicht durchsetzen. 43 

Um 1925 war eine erste Konsolidierung der 

Meinungen zum deutschen Analysisunterricht erreicht, 

einschließlich der Offenlassung einiger bis 

heute hartnäckiger Geschmacksfragen. Ich möchte 

das (in fortgesetzter Nummerierung der zusätzlichen 

Aspekte) am Tenor des ca. 1925 von Wolff 

und Kerst neu bearbeiteten Analysisbandes der 

Reidtschen „Elemente der Mathematik“ erläutern, 

die sich bis heute in vielen Auflagen und mancherlei 

– teilweise auch weniger glücklichen – Neubearbeitungen 

als anscheinend unsterbliche Bestseller 

erwiesen haben. 44 : 

A6. Lebendiger Unterricht: Anwendungen – 

Anschauung – Experiment 

„Für die Bearbeitung der Algebra-Oberstufe waren 

zunächst die Leitgedanken maßgebend, die 

auch der Unterstufe [Sek. I] zugrunde gelegt wurden: 

der Unterricht soll lebensvoll durchdrungen 

werden von den Anwendungen der Mathematik 

auf die Umwelt; Anschauung und Experiment sollen 

den Weg zum Stoff erleichtern.“ 

A7. Zum Grenzwert hin! 

„Besonderer Wert wurde, wie bereits in der Unterstufe, 

darauf gelegt, den Grenzbegriff allmählich 

herauszuarbeiten, so bei den unendlichen geometrischen 

Reihen und beim Aufbau von Zahl und 

Funktion, damit er dem Schüler bei der Besprechung 

der Differential- und Integralrechnung hinreichend 

geläufig ist.“ 

A8. Stoffbeschränkung 

„Differential- und Integralrechnung kann gegenwärtig 

auf der Schule wohl nur dann mit Erfolg 

behandelt werden, wenn sie sich auf eine möglichst 

geringe Stoffmenge einschränkt und dieser 

eine recht ausführliche Behandlung widmet. Deshalb 

ist die vorliegende Darstellung durchaus anschaulich 

gehalten. . . “ Die Infinitesimalrechnung 

exemplarisch statt systematisch aufzubauen, hatte 

im 20. Jahrhundert wohl in Deutschland nur Toeplitz 

genügend wissenschaftliches Ansehen und 

pädagogisches Engagement. 

A9. Anschaulichkeit oder Strenge? 

„. . . . Sie beabsichtigt nicht, den Schüler zu irgendeiner 

‚Fertigkeit’ im Differenzieren und Integrieren 

zu erziehen; [. . . ; s. nächster Punkt] Dabei 

wird dem Schüler recht oft deutlich und offen ausgesprochen, 

dass eine strenge Beweisführung Sache 

der Hochschule ist. Der ehrliche Grundsatz: 

‚Besser gar kein Beweis als ein Scheinbeweis’ hat 

sich nach vielfältigen Erfahrungen immer wieder 

bewährt; der rechte Glaube [!] an die Strenge der 

Mathematik wird auf diesem Wege keineswegs erschüttert.“ 

Dieses freimütige Bekenntnis zu unstrengem, 

aber schülerorientiertem Vorgehen entsprach 

zweifellos den üblichen Alltagsbeschränkungen, 

stieß aber natürlich auch bei vielen – standesbewussteren 

oder nur strenger als Reine Mathematiker 

ausgebildeten Kollegen – auf Widerspruch. 

So hieß es in [Schülke & Dreetz, 1927]: 

„Mit Recht verlangen die [Richertschen] Richtlinien 

von unserem Unterricht die Führung zu geistiger 

Selbstständigkeit in der Behandlung mathematischer 

Fragen. Dazu ist die von der Wissenschaft 

namentlich für die Infinitesimalrechnung 

geforderte größere Strenge im Schulbetrieb unentbehrlich.“ 

Warum sich geistige Selbstständigkeit 

und größere Strenge so friedlich verbinden sollten, 

wird hier nicht erklärt. 

Vielleicht wurde das im Buch der Katalyse 

durch Abbildungsgeometrie im Geiste des Erlanger 

Programms zugetraut, eine didaktische Auf- 

43 Jenseits der taktischen Erklärungen vieler Meraner Reformer verweise ich auf infinitesimal-begriffliche Betrachtungen bei [Timerding, 

1911; Toeplitz, 1927, 1929, 1972] und – aus neuerer Zeit – auf [Freudenthal, 1973a,b; Hischer & Scheid, 1982; Laugwitz 

& Schnitzspan, 1983]. – Von den eigentlichen Infinitesimalbedeutungen geblieben sind heute allenfalls noch Anleihen beim naiven 

Grenzwert„begriff“ zur Definition der Momentangeschwindigkeit bzw. Sekantensteigungs-Tangente. Der heute beliebte Terminus 

„lokale Änderungsrate“ verdeckt mehr, als er erklärt. Und das erkenntnistheoretisch brisante Impetus-Rätsel ist verschwunden. Man 

denke nur an die elaboriert-naive Entsorgung der übrigen Zenonschen Paradoxa durch geometrische Reihen. (Zur Impetusidee s. z. B. 

[Wolff, 1978]; zu Infinitesimalien findet sich viel in Büchern über mathematische Paradoxien, z. B. [Konforowitsch, 1990].) 

44 Ich zitiere aus dem Vorwort der 1. Auflage, das – leider undatiert – in [Reidt, 1928] wiedergegeben ist. 

112


fassung geometrisch-funktionalen Denkens, die 

erst in der Weimarer Zeit aufkam 45 . Für die 

Geometrie wird dort jedenfalls dasselbe Begründungsmuster 

vorgetragen, das uns schon aus dem 

Kampf für die Analysis geläufig ist: „In der Geometrie 

war es unsere Hauptaufgabe, den Stoff unter 

einheitliche, größere Gesichtspunkte zu stellen. 

Wir folgen dem Weg, den F. Klein in seinem 

berühmten und bahnbrechenden Erlanger Programm 

der geometrischen Forschung [!] gewiesen 

hat. Auch die Schule darf sich diesem Fortschritt 

der Methode [!], den Kleins Programm darstellt, 

auf die Dauer nicht entziehen. Bei aller liebevoller 

Pflege der Einzelheiten muss der Blick immer auf 

die großen Zusammenhänge, auf das Ganze gerichtet 

sein. Durch die Hervorkehrung der Transformationsgruppen 

(Schiebung, Drehung, Spiegelung, 

Affinität, Perspektive) werden die scheinbar 

so auseinanderstrebenden verschiedenen geometrischen 

Methoden geeint. Anschauung, Zeichnung, 

Synthese und Analyse vereinigen sich zu einem 

einheitlichen Ganzen [1926!], die natürlichen 

Zusammenhänge treten in den Vordergrund und 

verhelfen zu vertiefter Einsicht. Die so erreichte 

erhöhte Einheitlichkeit und Übersichtlichkeit 

führt zu vereinfachter Darstellung und befähigt 

den Schüler dadurch besser zur erstrebten selbsttätigen 

Erarbeitung des Lehrstoffes. Den Gedankeninhalt 

zu entwickeln, nicht nur Formeln herzuleiten, 

ist der Hauptgrundsatz des Buches.“ 46 Zwischen 

hochschulorientierter Strenge und Selbsttätigkeit 

auf Schülerseite klaffe demnach gar keine 

Lücke, weil moderne Begriffe (heute vielleicht: 

Computerwerkzeuge?) die „Gedankeninhalte“ zugleich 

repräsentierten und übersichtlich strukturierten. 

Jeder ältere Praktiker, der die wisssenschaftliche 

Läuterung der Schule durch Abbildungsgeometrie 

und -gruppen erlebt hat, weiß 

dass das so nicht wahr ist. 47 

Nach dem zweiten Weltkrieg knüpften viele 

an diese formelle und standesbewusste Sicht „der“ 

(wahren und ewigen) Mathematik an, und diese 

Auffassung flammte dann noch einmal in den wissenschaftsorientiertenModernisierungsbestrebungen 

der 68er- und frühen 70er-Jahre kurz auf. Einige 

MU-Hefte waren in dieser Zeit dem Thema 

„Anschaulichkeit und Strenge in der Analysis“ gewidmet 

48 , bis im vierten dieser Hefte 1979 ein damals 

mutiger Artikel von W. Blum und A. Kirsch 

den – von älteren Lehrern ohnehin anhaltend praktizierten 

– liberaleren Standpunkt der Klein, Lietzmann 

und Reidt-Wolff auch didaktisch wieder salonfähig 

machte [Blum & Kirsch, 1979]. 49 

A10. Verständnis vor Fertigkeiten! 

Der eben nur teilweise zitierte Satz lautet vollständig: 

„Sie beabsichtigt nicht, den Schüler zu irgendeiner 

‚Fertigkeit’ im Differenzieren und Integrieren 

zu erziehen; vielmehr will sie ihn nur bekanntmachen 

mit den wichtigsten Tatsachen und 

ihrem Zusammenhange.“ 

Die hier zusammengestellten zehn Aspekte oder 

methodischen Dimensionen, in denen sich wirklicher 

Unterricht artikuliert und um bildende Erziehung 

bemüht, sollen im nun folgenden Kapitel auf 

ihre didaktischen Quellen, Gewichtsetzungen und 

deren aktuelle Bedeutungsverschiebungen untersucht 

werden. 

2 Angeborene und erworbene 

Missverhältnisse 

Mit der Rede vom „Analysisunterricht des 20. 

Jahrhunderts“ ist suggestiv die Unterstellung verbunden, 

Geist und Gehalt dieses Unterrichts seien 

im Wesentlichen über das vorige Jahrhundert gültig 

geblieben. Ganz falsch ist das gewiss nicht, wie 

Abb. 17.3 zeigt. 50 

Meine bisherigen Ausführungen wollten diese 

Unterstellung des Kanonischen auch durchaus 

belegen – so weit als eben möglich. 

Ganz treffen kann so ein konstant gültiges Bild 

des Analysisunterrichts natürlich nie, denn es enthält 

von vornherein Risse, und sein Gehalt wird 

natürlich immer vom Ambiente, in das es gehängt 

wird, mitbestimmt, nicht zuletzt auch von 

der Deutung der jeweiligen Betrachter und ihrem 

Zeitgeist. Es kann uns ja nicht daran gelegen sein, 

den naturalistischen Fehlschluss auf literarischer 

Ebene zu wiederholen. Kurz: Ein noch so treffendes 

Bild wandelt mit der Zeit seine Bedeutung(en). 

45Vgl. [Bender, 1982] 

46 [Schülke & Dreetz, 1927, Vorwort S. III f.] – Toeplitz hat sich in Vorträgen 1926 und 1928 sehr gründlich mit der Frage nach 

dem jeweils rechten Weg in die Infinitesimalrechnung auf der Hochschule und auf der Schule auseinandergesetzt und kam zu dem 

Ergebnis, mindestens für die Schule sei allein ein „genetischer“ (an der Geschichte orientierter, aber nicht historiographischer) Zugang 

angemessen. Insbesondere für Lehramtsstudierende arbeitete er an einer genetischen Einführung in die Infinitesimalrechung, 

von der leider nur der erste Band 1949 posthum erscheinen konnte [Nachdruck: Toeplitz, 1972]. – Wittmann [1973] vertritt einen 

psychologisch-genetischen Zugang zur Analysis. 

47Man vgl. dazu die bissigen Bemerkungen von Wittenberg [1963]. 

48Die Hefte 1957, 1968 und 1969 diskutierten vorwiegend Fragen der optimalen „fachlichen Sorgfalt“ (Strenge) im Unterricht. 

49Auch die „Elemente der Mathematik“ kehrten durch Mitarbeit dieser Autoren wieder zur älteren bodenständigen Auffassung 

zurück. 

50Die Tabelle ist den aktuellen „EPAs“ KMK 1989/2002 entnommen [KMK, 2010], weil die schon länger angekündigten KMK- 

Standards für die Oberstufe immer noch nicht veröffentlicht sind und die daran anschließenden „kompetenzorientierten Bildungspläne“ 

der Bundesländer teils noch fehlen, teils nur vorläufig gelten. Von den neuen Lehr- oder „Bildungsplänen“ sind freilich keine 

Überraschungen zu erwarten, weil sie dem real-existierenden Unterricht, Ausbildungs- und Schulsystem Rechnung tragen müssen. 

113


! 

„Zum Ziele der Erziehungskunst, das uns 

vorher klar und groß vorstehen muss, ehe 

wir die bestimmten Wege dazu messen, gehört 

die Erhebung über den Zeitgeist. Nicht 

für die Gegenwart ist das Kind zu erziehen – 

denn diese tut es ohnehin unaufhörlich und 

gewaltsam – sondern für die Zukunft, ja oft 

noch wider die nächste. Man muss aber den 

Geist kennen, den man fliehen will. . . “ 

Abbildung 17.3: „EPAs“ der KMK 1989/2002 

Jean Paul 1807, § 30 51 

So zeigt die EPA-Tabelle in Stoff und Gehalt 

eine deutliche Rücknahme der Ansprüche 

für den Analysisbereich 52 , zumindest gegenüber 

der Schulbuch-Literatur zwischen Behrendsen & 

Götting 1912 und etwa dem Auslaufen der sog. 

„Strukturwelle“ um 1980. Abgesehen vom bildungspolitischen 

Ehrgeiz, die Abiturientenquote 

51 [Paul, 1909, S. 53] 

52 je nach Ausdeutung evtl. abgesehen von EPA 1.2.3. 

114 

Deutschlands ohne größere Umstrukturierungen, 

Aus-/Bildungsziele und Investitionen auf „europäisches 

Niveau“ zu heben, gibt es zwei offensichtliche 

Gründe für die Anspruchsreduktion: 

⊲ die fast unüberschaubare Heterogenität der 

Lehramtsausbildung (Lehrfreiheit der Universitäten, 

Steckenpferde der Forscher, Traditionen 

in Hochschule und Schule, Beliebigkeit der Fächerkombinationen, 

Seiteneinsteiger) und 

⊲ die Streuung der Zuständigkeiten für Lehrplanvorgaben 

(Bildungsföderalismus, Stärkung der 

sog. „Schulautonomie“, „Schulprofil“, Privatschulwesen). 

Durch die bundesweite Hinwendung zu Zentralabitur 

und externer Testindustrie werden anspruchsvollere 

Unterrichtsinhalte nicht mehr von 

den Anforderungen des Schulabschlusses gedeckt 

und als „Zusatzangebote“ optional. Zwar bieten


die einschlägigen Schulbücher und Lehrerzeitschriften 

(noch) ganze Füllhörner von Themen 

und Aufgaben auf unterschiedlichsten Niveaus an, 

in bescheidenerem Umfang tun das inzwischen 

auch Lehrpläne, aber jede Behandlung von „Zusatzthemen“ 

– sei es auch auf Beschluss der örtlichen 

Fachgruppe – kostet Zeit, die der Abiturvorbereitung 

und damit den Chancen auf einen gehobenen 

Numerus clausus oder auf erfolgreiche 

Bewerbungen um einen „Brotberuf“ fehlt, und der 

sanfte pädagogische Nachdruck, der von entsprechenden 

Klausuren ausgeht, stößt nicht überall auf 

Verständnis der jungen Erwachsenen und ihrer Eltern. 

Angesichts der bescheidenen Lehrplanvorgaben 

und der heterogenen Vorbildung der Lehrer 

können Schulbücher ihre „Zusatzangebote“ nicht 

zu fortschreitenden Vertiefungen nutzen und nur 

noch postmodern diversifizieren, als gelte für eine 

Einführung in die Analysis das Motto „Anything 

goes – somehow“. 

2.1 Angeborene Missverhältnisse 

Es gab und gibt durchaus eine Reihe von Gesichtspunkten, 

die von vornherein ausgeblendet 

oder zu unterrichtsmethodischen Akzentuierungsfragen 

verharmlost wurden, bis 1925 gewiss überwiegend 

aus Gründen der schul- und hochschulpolitischen 

Durchsetzungsstrategie verständlich. 

Im Laufe des 20. Jahrhunderts hat sich dann jedoch 

immer wieder gezeigt, dass die zunächst 

strategischen Marginalisierungen den Analysisunterricht 

mit nichttrivialen pädagogischen und didaktischen 

Problemen belastet haben, indem sie 

in den Kanon einflossen und mit ihm perpetuiert 

wurden. Dazu möchte ich eine kleine Reihe von 

Thesen vortragen. 

„Cultur-Arbeit“ als Bildungsaufgabe des 

Gymnasiums? 

Die Wegbereiter flächendeckenden Analysisunterrichts 

für Höhere Schulen bemühten in den gut 

fünfzig Jahren bis zu den Richertschen Lehrplänen 

einen bildungsbürgerlichen Konsens, nach 

dem – wie es Gallenkamp 1873 ausdrückte – „die 

Bildungsaufgabe des Gymnasiums die Aufnahme 

der Elemente der analytischen Geometrie und der 

Differentialrechnung fordere; nur dadurch könne 

der Gymnasial-Abiturient eine Vorstellung von 

der großen Cultur-Arbeit auf dem Gebiete der Naturwissenschaften 

erhalten; nur so könne die Erweiterung 

einer immer bedenklicher werdenden 

Kluft zwischen den Gebildeten der Nation vermieden 

werden; . . . .“ 53 Es fällt auf, dass hier stillschweigend 

mehrere Voraussetzungen wie selbstverständlich 

gemacht werden: 

⊲ Pflichtmäßiger Analysisunterricht war nur 

durchsetzbar, wenn die noch lange bildungspolitisch 

tonangebenden Philologen der (altsprachlichen) 

Gymnasien und Schulbehörden 

überzeugt oder zumindest neutralisiert werden 

konnten. Die Meraner Vorschläge legten dann 

auch folgerichtig erst einmal einen Musterlehrplan 

für das Gymnasium vor und verlangten nur 

sehr behutsam, „an die Schwelle“ der Infinitesimalrechnung 

zu führen. Bei Richert wird denn 

auch noch ausdrücklich Verständnis für den 

philosophischen Gehalt der mathematischen 

Verfahren und die geistesgeschichtliche Bedeutung 

der Mathematik gefordert, und das jetzt 

für alle Typen Höherer Schulen. 

⊲ Um bildungspolitisch erfolgreich sein zu können, 

musste man sich der pathetisch klassizistischen 

Ausdrucksweise bedienen, in der universelle 

Bildung des ganzen Menschen, genauer: 

Bürgers, zum zweifelsfreien Corpsgeist gehörte. 

⊲ Ob die Naturwissenschaften zur Gesamtkultur 

zu rechnen seien, und damit zum potentiellen 

Bildungskanon, oder „nur“ zur brotberuflichen 

Zivilisation, war und ist bis heute eine heikle 

Frage 54 , der man geschickt aus dem Wege 

ging, indem man lieber von „Kulturarbeit“ 

statt von „Kultur“ redete. Dass viele angesehene 

Naturwissenschaftler wie du Bois-Reymond 

oder von Helmholtz und (vor allem?) Mediziner 

wie Virchow tatsächlich Kulturarbeit leisteten, 

wagten auch die konservativsten Bildungsbürger 

nicht mehr anzuzweifeln. 

⊲ Mehr als ein Gebiet der Gesamtkultur sollte die 

mathematisierte Naturwissenschaft nicht repräsentieren. 

Usurpation war nie beabsichtigt. 

⊲ Es gebe ohnehin schon eine wachsende „Kluft 

zwischen den Gebildeten der Nation“, und dieser 

wäre entgegenzuarbeiten, und zwar am 

Gymnasium. Der Realschulmann Gallenkamp 

und auch viele der später führenden Köpfe der 

mathematischen Reformbewegung bis in die 

Weimarer Zeit tolerierten zumindest die vordergründige 

Illusion, die altsprachlich Gebildeten 

seien die eigentlichen Denker und Lenker der 

Gesellschaft. 

⊲ Unter dieser Voraussetzung war natürlich die 

53Protokoll von Bonitz über Gallenkamps Ausführungen im Preußischen Unterrichtsministerium 1873 [zit. n. Gallenkamp, 1877, 

S. 2]. 

54Ich verweise nur auf die öffentlichen, ebenso geistreichen wie folgenlosen Auseinandersetzungen mit C. P. Snows These von den 

zwei Kulturen und mit der Unterstellung von Schwanitz’ Bestseller, mathematisch-naturwissenschaftliche Bildung sei auch heute noch 

gesellschaftlich marginal und gehöre nicht zum salonfähigen „Guten Ton“. (Vgl. [Kreuzer, 1987] bzw. [Schwanitz, 1999] versus [Fischer, 

2001].) Die Reihenfolge der Unterrichtsfächer auf Schulzeugnissen und in den „Aufgabenfeldern“ der Oberstufe spricht Bände, 

und unsere Spitzenpolitiker lassen sich alleweil lieber bei den Wagner-Festspielen als auf wissenschaftlichen Symposien ablichten. 

Von der physikalischen Kompetenz unserer Kanzlerin oder Oskar Lafontaines hat man in deren öffentlichem Auftreten noch wenig 

gespürt. 

115


unterstellte Pflicht des Gymnasiums zur Ausbildung 

allgemeiner Urteilsfähigkeit erstrangig, 

selbstverständlich nicht ohne gezielt formend 

„an Klarheit und Bestimmtheit [!] der Begriffe 

und an Consequenz im Denken zu gewöhnen“. 

55 

⊲ Dass „die [?] Elemente [!] der analytischen 

Geometrie und der Differentialrechnung“, 

bei du Bois-Reymond dann auch schon 

zusätzlich der Integralrechnung, überhaupt geeignet 

seien, die damalige mathematischnaturwissenschaftliche 

Kulturarbeit unverzerrt 

zu repräsentieren, wurde nicht infrage gestellt. 

Und so ist es bis heute geblieben, trotz der 

Wissenschaftsverherrlichung der sechziger und 

siebziger Jahre. 

Toeplitz entlarvt denn auch die Fadenscheinigkeit 

des Versprechens, Urteilsvermögen zur gegenwärtige 

Kulturarbeit vermitteln zu wollen 56 : „Im Rahmen 

der wirklichen Mathematik ist die Rolle der 

Infinitesimalrechnung doch etwas anders. Sie und 

insbesondere die Exhaustion in jedweder Form ist 

schließlich doch nur ein Handwerkszeug, das erst 

in den höheren Teilen der Mathematik seine Auswirkung 

findet. Welchen methodischen Wert hat 

dieses Handwerkszeug, wenn es Menschen dargeboten 

wird, deren größter Teil nie zu seinem 

Gebrauch im tieferen Sinn gelangt? Dann wird 

aus dem Handwerkszeug ein Spielzeug. Lassen 

Sie die Begeisterung vergehen, mit der heute diese 

Dinge, als etwas Neues, in der Schule probiert 

werden. Lassen Sie sie so abgetragen und schäbig 

aussehen, wie die Dreiecksaufgaben aussahen, 

nachdem man sie mehrere Jahrzehnte traktiert hatte. 

Dann wird der Drill dieser Dinge eine viel unerträglichere 

Last für das Gros der Schüler darstellen, 

als jetzt diejenigen Gegenstände, die zur Zeit 

verstaubt aussehen, aber didaktisch immerhin gesünder 

veranlagt waren.“ Schon am Anfang des 

GDNÄ-Vortrags hieß es zum Ausbildungssystem: 

„Die Mehrzahl der Hochschulprofessoren denkt 

gar nicht an die Schule und an die späteren Lehraufgaben 

ihrer Hörer, von denen doch – was die 

Universitäten betrifft – etwa 95% später in den 

Schuldienst treten. . . Die Schulbehörden zeigen 

im allgemeinen keine besondere Vorliebe dafür, 

wenn ihre Studienräte und Referendare sich noch 

wissenschaftlich betätigen. . . Die Lehrer in ihrer 

heute bestehenden außerordentlichen Überlastung 

verlieren zu einem großen Teil den Blick auf das 

Urbild des Faches, in dem sie unterrichten.“ Man 

mag heute andere Prozentzahlen bevorzugen, die 

allgemeinbildungsabstinente Ausbildung ist weitgehend 

erhalten geblieben. Kurz gesagt: 

These 1. Der Analysisunterricht des zwanzigsten 

Jahrhunderts konnte und wollte sein Versprechen, 

den mathematisch-naturwissenschaflichen 

Teil der Gesamtkultur oder gar der aktuellen Kulturarbeit 

zu repräsentierten, nicht einlösen – jedenfalls 

deutlich weniger als der Naturwissenschaftsunterricht. 

57 

Gibt es eine mathematisch-naturwissenschaftlich 

geprägte allgemeine Bildungsauffassung? 

1904 erklärt Klein ärgerlich: „Bei der Schulreform 

1900 war als Parole ausgegeben, dass hinfort jede 

Schulart im Hinblick auf die allgemeine an ihr 

zu gewinnende Bildung ihr besonderes Lehrziel 

spezifisch ausgestalten sollte . . . Inzwischen habe 

ich den Eindruck gewonnen, dass jene Parole 

von 1900 viel zu fein ist, um in allgemeineren 

Kreisen verstanden zu werden. Nur die Altphilologen 

scheinen aus derselben wirklichen Nutzen 

zu ziehen. Die Mathematiker und Naturwissenschaftler 

sind merkwürdig stumm geworden. Anstatt 

mit Bestimmtheit und gleichzeitig mit Maß 

die besondere Bedeutung zu vertreten, welche ihre 

Fächer im Kreise der übrigen für eine zeitgemäße 

allgemeine Bildung besitzen, weichen sie 

vor dem Geschrei der Unwissenden zurück, die 

eine bescheidene Steigerung der mathematischnaturwissenschaftlichen 

Ausbildung [!] sofort als 

Fachbildung stigmatisieren!“ 58 Tatsächlich sind 

Klein selbst und auch die übrigen Reformanhänger 

– trotz aller gutwilligen Bemühungen, beispielsweise 

Lietzmanns – eine Klärung schuldig 

geblieben, was denn „die besondere Bedeutung 

für eine zeitgemäße allgemeine Bildung“ unter 

schulischen Bedingungen und über utilitäre Vorzüge 

hinaus bedeuten könnte. Kurz: 

These 2. Ein ausgeprägtes mathematischnaturwissenschaftliches 

Bildungsideal kam nicht 

zustande. 

Allgemeine Studierfähigkeit 

Der pragmatische Zielkonsens für die Höheren 

Schulen hieß und heißt noch: Allgemeine Hochschulreife. 

Bei Gallenkamp las es sich so: „Das 

Gymnasium hält den Anspruch aufrecht, die angemessene 

Vorbildung für alle Facultätsstudien 

auf der Universität und für die wissenschaftlichen 

Studien auf den technischen Hochschulen 

zu geben.“ 59 Klein verwahrt sich zwar gegen 

55 [Gallenkamp, 1877, S. 9], als beifälliges Zitat einer Ministerialverfügung vom September 1834. 

56 [Toeplitz, 1929, S. 14 bzw. 1. f.] Der antike Begriff „Exhaustion“ meint hier etwa beliebig gute Approximation. 

57 Ausführliche Belege zu heutigen repräsentativen Bildungsabsichten im Mathematik- und Naturwissenschaftsunterricht habe ich 

in [Führer, 2009] gegeben. 

58 [Klein, 1904, S. 7]. 

59 [Gallenkamp, 1877, S. 6 f] 

60 [Klein, 1904, S. 6]. 

116


reinen Fachpatriotismus mit einer Sympathieerklärung 

an künftige Wissenschaftler anderer Fächer 

60 , aber er argumentiert zugleich und auch 

später stets so, als wären diese Schüler die einzigen, 

um die es dem Gymnasium oder auch den 

Höheren Realschulen zu gehen habe. Dass überhaupt 

nur ein Teil der Mittelstufenschüler der 

Gymnasien und Höheren Realschulen das Abitur 

oder gar ein Studium anstrebten, zeitweilig sogar 

nur ein kleiner Teil, je nach Erlasslage für 

das „Einjährige“ oder in Ermangelung „besserer“ 

lokaler Schulalternativen, wurde (und wird) in 

der gymnasialen Mathematikdidaktik höchst selten 

berücksichtigt. 61 Die Gründer und späteren 

Ausgestalter des Analysisunterrichts fühlten sich 

nicht gehindert, dieses Spezialgebiet immer mehr 

zum exklusiv bestimmenden Ziel allen Mathematikunterrichts 

an Höheren Schulen umzufunktionieren. 

Angesichts der zunehmenden Verkümmerung 

der Synthetischen Geometrie und der lange 

währenden Verdrängung der Wahrscheinlichkeitsrechnung 

und ihrer versicherungswirtschaftlichen 

Anwendungen kann sogar behauptet werden: 

These 3. Die allgemeine Studierfähigkeit erwies 

sich als schärfste Waffe im Kampf um den allgemein 

pflichtmäßigen Analysisunterricht auf den 

Oberstufen. Auf dieses Ziel wurde an den Höheren 

Schulen immer mehr – und ohne wirkliche 

Rücksicht auf die zeitweilig vielen späteren 

Nichtstudierenden – der vorangehende Mathematikunterricht 

ausgerichtet und kanalisiert. 

Damit wurde zugleich der Repräsentativitätsanspruch 

für kompensatorische mathematische Allgemeinbildung 

aufgeweicht. 

Primat der Fertigkeitsschulung 

(Kalkülzentrierung) 

„Eines kann nicht verschwiegen werden: Die Tendenz 

. . . auf das Methodische ist die unbequemere; 

die Bequemlichkeit wird stets auf die stoffliche 

Seite hindrängen“, erklärte Toeplitz am Ende 

seines GDNÄ-Vortrags von 1928, und am Anfang 

des schulbezogenen Teils hieß es (S. 13 f.): 

„Soweit ich mir einen Überblick über die sehr 

bunte, schwer zu übersehende Praxis des jetzigen 

Augenblicks habe beschaffen können, überwiegt 

in der Infinitesimalrechnung der Schulen die 

formale Seite der Sache, die Rechentechnik des 

Differenzierens und Integrierens, um ein kurzes 

Wort zu gebrauchen: der Kalkül. Dieser Kalkül 

ist ein ungemein bequemer Unterrichtsgegenstand 

für die Schule . . . “ Und Toeplitz nennt gleich auch 

den tieferen Grund, fast eine Aporie: „Der didaktische 

Wert einer Materie [nichtrivialen Wissens 

und Denkens; L. Fü.] für die Schule ist weitgehend 

dadurch bestimmt, inwieweit sie sich in Serien 

von Aufgaben ansteigender Schwierigkeit aufspalten 

und umbrechen lässt. Das gilt von einer 

exakten Behandlung der Infinitesimalrechnung in 

besonders geringem Maße.“ Kein Zweifel, die 

Aufsplitterung wenn nicht in Aufgabensequenzen 

dann jedenfalls in ein paar Dreiviertelstunden 

je Woche, ist schulorganisatorisch unvermeidlich, 

jedenfalls in normalen Schulen. Und die potentiell 

allgemeinbildenden bzw. erkenntnisleitenden 

Gehalte sind kaum „operationalisierbar“. So 

verstehe ich auch Pietzkers Befürchtungen von 

1904, die die Meraner Reformer an der Schwelle 

zur Infinitesimalrechnung zögern ließen: „. . . 

eine Aufnahme der Systematik der Infinitesimalrechnung 

in den Unterricht [wird] im allgemeinen 

nur darauf hinauslaufen, den Schülern eine formelle 

Technik mehr beizubringen, ohne dass sie 

dadurch befähigt werden, nun mit dieser Technik 

gegebenenfalls viel anzufangen; statt der Erhöhung 

der geistigen Durchbildung, die man ihnen 

dadurch verschaffen möchte, wird eine gewisse 

äußerliche Fertigkeit erzielt werden, die bei allen, 

die nachher keine Veranlassung zur Beschäftigung 

mit den exakten Wissenschaften haben, bald genug 

vergessen werden wird.“ 62 Gewiss würde sich 

Pietzker aufs Großartigste bestätigt fühlen, wenn 

er heute die Rubriken 1.2.1, 1.2.2 und 1.2.4 der 

EPAs lesen könnte. Der Aspekt A10, „Verständnis 

vor Fertigkeiten“, ist inzwischen klaglos auf 

„Verständnis von Fertigkeiten“ reduziert. 

These 4. Die hundertjährigen Predigten gegen 

„einseitige“ Kalkülzentrierung des Analysisunterrichts 

mussten auf taube Ohren stoßen, denn 

der Kalkülprimat folgt aus dem Aufgaben- und 

Zerlegungszwang im qualifizierenden und also 

prüfenden Schulsystem (heute „Outputorientierung“). 

63 

61 Bei [Timerding, 1911, S. 112] ahnt man es nur: „Das wenige, was ich an Erfahrung gesammelt habe, hat mich doch das eine 

gelehrt, wie ungeheuer vorsichtig man mit wissenschaftlichen Forderungen pädagogischen Aufgaben gegenüber sein muss. Jedes 

Individuum verträgt nur ein bestimmtes wissenschaftliches Niveau.“ Toeplitz findet dann auf der GDNÄ-Hauptversammlung 1928 

sehr klare Worte [Toeplitz, 1929]: „Die Erfahrung zeigt, dass ein erheblicher Teil der Abiturienten der höheren Schulen gar nicht zur 

Hochschule übergeht, sondern sich dem Handel, der Industrie oder mittleren Beamtenlaufbahnen zuwendet. Die höhere Schule ist also 

keinesfalls ausschließlich Vorbereitungsanstalt für die Hochschule.“ [Ähnlich Lony, 1929, S. 18] Daraus zieht dann Toeplitz wie zuvor 

schon Timerding [1911] die (inzwischen recht einsame, von der Lehrerausbildung her auch gar nicht mehr ermöglichte) Forderung, 

spezifisch mathematische Erkenntnisweisen an historischen Vorlagen exemplarisch aufzuarbeiten und allgemeinbildend zu vertiefen. 

Man vergleiche Timerdings und Toeplitz’ historisch-genetische Ansätze mit dem belangslosen, aber noch heute imponierenden Event- 

Data-Dropping gemäß A5. 

62 [Pietzker, 1904], zit. n. [Krüger, 2000]. 

63 Will man den Predigern nicht einfach Realitätsblindheit unterstellen, dann fragt sich natürlich, ob mit den Predigten mehr als 

politische oder medienwirksame Geschäftsinteressen verfolgt wurden/werden. Wir brauchen darauf hier glücklicherweise nicht einzugehen. 

117


Anschaulichkeit und 

Plausibilitätsbetrachtungen versus Strenge 

Auch Toeplitz’ Bezugnahme auf „exakte Behandlung“ 

bietet keinen bequemen Ausweg, denn auf 

eine – wie auch immer geartete – „unexakte“ 

oder informelle, aber nicht sinnwidrige Behandlung 

der Analysis ist der heutige Lehrer durch 

seine Hochschulausbildung ebenso unvorbereitet 

wie sein Kollege in der Weimarer Zeit. Damals 

wie heute verdanken sich überdies dem Anspruch, 

„eigentlich“ exakt behandeln zu wollen und es 

auch zu können, wenn nur die „schwachen“ Schüler 

nicht wären, nicht unwesentliche Teile des 

Standesbewusstseins des Mathematiklehrers, seiner 

öffentlichen Reputation und der disziplinierenden 

Wirkung seines Auftretens. Reine Mathematiker, 

die heute noch vorzugsweise die fachwissenschaftliche 

Lehramtsausbildung bestreiten, 

haben damit gewöhnlich keine Probleme. PISA- 

Klagen hin, Schülerzentierung her, es ist auch im 

begonnenen 21. Jahrhundert nicht ungewöhnlich, 

dass sogar Haupt- und Realschullehrer am Studienbeginn 

mit Cauchy-Folgen und absoluter Reihenkonvergenz 

gesalbt werden. Im 20. Jahrhundert 

hat es trotzdem nicht an Bemühungen gefehlt, 

den Schülern nicht mit einer „wissenschaftlich 

aufgeputzten Systematik ins Gesicht zu springen“ 

Klein [1908], die „wissenschaftlichen Ansprüche“ 

erst einmal zurückzustellen, die zentralen Grundgedanken 

illustriert darzubieten und in informeller 

Sprache auf echte Probleme anzuwenden. Dazu 

gehörten schon sehr früh beispielsweise qualitative 

Kurvenbeschreibungen, grafische Differentiation 

und Integration, später dann auch Ausschnittsvergrößerungen, 

um Differentiale und die Linearisierung 

zu veranschaulichen 64 . 

Abbildung 17.4: aus [Seeley, 1968, S. 75] 

Es gibt freilich Veranschaulichungen und Veranschaulichungen 

– solche, die den Kern eines 

gedanklichen Zusammenhangs zeigen, und solche, 

die es nicht tun. Das Funktionenmikroskop ist 

zweifellos von der ersteren Natur, weil es zugleich 

die lokale Linearität als Kern des Ableitungsbegriffs 

„Trend“ (oder neudeutsch: „lokale Änderungsrate“) 

zeigt und in der Handlung des Ver- 

! 

größerns das Kontrollbedürfnis bzgl. der Qualitätseinschätzung 

für die Linearisierung stimuliert. 

(Das tun Overhead-Folien immer noch besser als 

die Zoom-Taste, weil sie langsamer sind und unterwegs 

Denken provozieren.) Die analoge Unterscheidung 

empfiehlt sich auch für Plausibilitätsbetrachtungen, 

die Wesentliches bis hin zur Methodensuggestion 

vermitteln können, oder es verdecken. 

In der DMV-Denkschrift von 1976, die 

sich gegen szientistische Übertreibungen der sogenannten 

„Strukturwelle“ wandte, werden dafür 

substanzielle Beispiele genannt: 

„Die Sehnensteigung der Exponentialfunktion 

x ↦→ 2 x ist im Intervall [x,x + h] bei festem h proportional 

zu 2 x , nämlich 

2 x+h − 2 x 

h 

= 2 x · 2h − 1 

. 

h 

Daher ist plausibel, dass auch die Tangentensteigung 

bei x proportional zu 2 x ist. 

Oder zur Kettenregel: Verkettung der affinen 

Funktionen 

li(x) = ai + mi · x (i = 1,2) 

zeigt, dass die affine Funktion 

l1 ◦ l2(x) = m1(a2 + m2 · x) + a1 

= (m1a2 + a1) + m1m2 · x 

die Steigung m1 · m2 hat. Berücksichtigt man, wie 

gut Tangenten approximieren, so ist es plausibel, 

dass sich beim Verketten differenzierbarer Funktionen 

die Steigungen (genommen an den richtigen 

Stellen) multiplizieren . . . “ 65 

Wendet man dieselbe Plausibilitätsbetrachtung 

auf das Produkt l1 · l2 an, so stößt man auf 

die wichtigste Grundidee der Analysis, nämlich 

die der kontrollierten Approximation: 

l1 · l2(x) = (a1 + m1 · x) · (a2 + m2 · x) 

= a1a2 + (a1m2 + a2m1) · x 

+m1m2 · x 2 

zeigt, was vernachlässigt wird, wenn man den 

letzten Summanden „vergisst“, um die Produktregel 

der Differentialrechnung zu bekommen. Und 

es deutet an, wie entsprechende Verluste beim 

Multiplizieren krümmerer Funktionen sich lokal 

an Null anschmiegen. 

Mit der Kalkülbetonung standen Infinitesimalgesichtspunkte 

wie Konvergenz-, Definitionsoder 

Beweisfragen schon früh zur Disposition. 

64 Kirsch [1979] stiftete den suggestiven Namen „Funktionenmikroskop“, und der Schroedel-Verlag beanspruchte für seine Folienbilder 

Copyright [Kirsch, 1980]. Heute gehört die „Zoom-Taste“ zu jedem Funktionenplotter. 

65 [Deutsche Mathematiker-Vereinigung e. V., 1976, S. 434]. Der mittlere Term in der Formelzeile für l1 ◦l2 wurde zum bequemeren 

Lesen ergänzt. 

118


Dabei verstellte die Sozialisation der Lehrer als 

überwiegend Reine Mathematiker den Blick: Die 

Infinitesimalgesichtspunkte wurden nicht, wie es 

Timerding und Toeplitz vergeblich forderten, als 

ursprüngliche Quellen und Zugänge zum Analysistreiben 

gesehen, zum „Methodischen“ wie es 

Toeplitz ausdrückte, sondern als triumphale Begriffsschöpfungen 

der jeweils modernsten mathematischen 

Wissenschaft zur Klärung von Grundlagenproblemen 

– bzw. zu deren Abschiebung in 

andere Wissenschaften, wie z. B. bei Zenos Paradoxa 

oder der Rota Aristotelis. Das ist heute 

insofern problematisch, weil damit Zugänge zum 

Entwurf außer- und innermathematischer Modellbildungen 

und natürlich auch zu echten innermathematischen 

Beweisbedürfnissen versperrt wurden. 

Man denke nur an den anwendertypischen 

heuristischen Ansatz von Differentialgleichungen, 

an Extremwertbestimmungen nach „Schema Effzwei-Strich“ 

oder an die absurden Versuche, in 

die Flächen-Integralrechnung ausgerechnet über 

so offensichtlich schlechte Treppenfunktionsnäherungen 

mit äquidistanten Stützstellen einzuführen, 

statt über angepasste Trapez- oder Parabelbogennäherungen 

66 , die bekanntlich auch dann noch 

etwas taugen (und weit verallgemeinert werden 

können), wenn Aufleitungen nicht bekannt oder 

möglich sind. 

Das folgende Zitat aus [Hauck, 1905] spricht 

zwar über die Angewandte Mathematik, um die es 

noch im nächsten Absatz gehen soll, bis auf den 

letzten Satz lässt sich aber alles fast wörtlich auf 

die Frage nach etwaigem Verrat der „angemessenen 

Strenge“ durch Anschaulichkeit übertragen. 

„Von den mannigfachen Urteilen über das 

Wesen der reinen und der angewandten Mathematik, 

die mir zu Ohren gekommen sind, 

greife ich die zwei extremsten heraus. Das 

eine Urteil lautet: Die angewandte Mathematik 

opfert die wissenschaftliche Strenge 

für das Linsengericht der praktischen Anwendung. 

. . . Das andere Urteil lautet: . . . 

Die reine Mathematik opfert die Übereinstimmung 

mit der Wirklichkeit für das Linsengericht 

der formalen Methode. . . . Fassen 

wir nicht die Verschiedenheiten, sondern 

das beiden Gemeinsame ins Auge, so ist vor 

allem hervorzuheben, dass die Art und Weise 

des Operierens in der angewandten Mathematik 

genau nach den gleichen Grundsätzen 

erfolgt wie in der reinen Mathematik. Es 

gibt keine zwei verschiedenen Arten mathe- 

matischen Denkens. – Was der angewandten 

Mathematik eigentümlich ist, ist lediglich 

das, dass zu der eigentlichen Handlung, in 

der sich die Operationen abspielen, noch ein 

Vorspiel und noch ein Nachspiel hinzukommen.“ 

[Hauck, 1905, Vorwort] 

Der letzte Satz, der die Modellbildung wunderbar 

schlicht charakterisiert, wäre hinsichtlich 

der/einer seriösen Anschaulichen Mathematik 

vielleicht so abzuändern: „Was der ernsthafteren 

anschaulichen Mathematik eigentümlich ist, 

ist lediglich das, dass sie den eigentlich abiturrelevanten 

Kompetenzen, mit denen die Operationen 

abgewickelt werden, noch deren Absichten, Ideen 

und Intuitionen beifügt.“ 

These 5. Anschaulichkeit ist im Analysisunterricht 

kein Wert an sich, und Plausibilitätsbetrachtungen 

sind keine Sakrilege. Im besten Fall zeigen 

sie Wesentliches treffender, im schlechtesten entstellen 

sie den Sinn der Sache. (Vgl. A3.) 

Vom schlechtesten Fall gibt der Anfang von 

Teil 1.2.2 der EPAs ein geradezu extremes Beispiel, 

zumal die in A7 aufgestellte psychogenetische 

Forderung, zum Grenzwertbegriff hin und 

nicht von ihm ausgehend zu arbeiten, innerhalb 

der heutigen materialen Outputorientierung ganz 

unrealistisch geworden ist. 

2.2 Erworbene Missverhältnisse 

Anwendungsorientierung? 

Götting schrieb dazu 1902: „Noch mehr als in der 

reinen Mathematik verwendet man die Grundbegriffe 

der höheren Analysis in den Anwendungen. 

Im Physikunterricht kommt man ohne sie garnicht 

aus; ich nenne nur Geschwindigkeit, Beschleunigung, 

Richtung des Linienelements und Bahntangente, 

Krümmung der Bahn eines Punktes, Potentialgefälle, 

elektromotorische Kraft der Induktion 

etc., überall braucht man Differentialquotienten. 

Wie einfach würden die schwerfälligen Bestimmungen 

von Weglängen, Schwerpunkten und 

Trägheitsmomenten bei Anwendung der Integralrechnung.“ 

67 

Verstünde man Anwendungsbezug so wie im 

Hauck-Zitat, dann gäbe es für allgemeinbildende 

Schulen keine Alternative zu (immer noch diversen) 

Formen des Analysisunterrichts im Geiste 

der Angewandten Mathematik 68 , und die seit A1 

und A4 vielbeschworenen Motivationsschübe auf 

Schülerseite wären, so sie denn wirklich einträten, 

66 Fermat konnte alle ganzrationalen Funktionen integrieren, indem er die Integrationsbereiche geometrisch und nicht arithmetisch 

unterteilte – ohne formelle Einführung irgendeines Integralbegriffs. 

67 [Götting, 1902, S. 51] 

68 Vgl. etwa [Blum & Toerner, 1983, S. 196]. – In [Führer, 1997, Abschnitt 7.2] habe ich das als „Formale Anwendungsorientierung“ 

bezeichnet und näher erläutert. – Nicht zu vernachlässigen auch die universitäre Hierarchie bis ins späte 20. Jahrhundert: Im 

Hrsg.-Vorwort von [von Sanden, 1914] schreibt Timerding auf S. VIII: „Ich will nur an Kummer erinnern, der einmal gesagt hat, es 

müsse eigentlich nicht reine und angewandte Mathematik, sondern reine und schmutzige Mathematik heißen“. 

119


willkommen – wenn auch nicht Bedingung. Dabei 

wäre natürlich noch reichlich unentschieden, welche 

Anwendungen und welche Anwendermethoden 

warum behandelt werden sollten. Hier freilich 

rächt sich die föderale Diversifizierung der Lehrerausbildung 

und die erziehungswissenschaftliche 

Ächtung der Bildungstheorie während des 20. 

Jahrhunderts. 

Die erkenntnisleitenden Rollen, die im 17. 

und 18. Jahrhundert traditionsreiche geometrische 

Probleme und die aufblühende dynamische Mechanik 

und Astronomie spielten, waren schon 

am Beginn des 20. Jahrhunderts überstrahlt, einerseits 

von der Algebraisierung und Formalisierung 

der wissenschaftlichen Mathematik, anderseits 

von Elektrodynamik, Energieerhaltungssatz 

und aufkommender Mikro- und Makrophysik. 

Hinzu kommt: „Die Wirklichkeit der mathematischen 

Forschung ist ein Wechselspiel zwischen 

Stoff und Methode.“ 69 Und Methode zu erwerben, 

kostet in jedem Gebiet Zeit, Kraft und 

Durchhaltewillen. Es war von vornherein eine 

Überforderung gerade der jüngeren Lehrer, sich 

statt den modernen Hauptfragen hinreichend elementaren, 

aber exemplarischen Problemen und 

methodischen Ansätzen zu widmen, die einstmals 

zur Definition der Ableitung oder gar des Integrals 

geführt und dann Bedeutung durch Leistungsfähigkeit 

bei „einstmals spannenden“ (Toeplitz) Fragen 

gezeigt hatten. 70 

Es sollte auch nicht mehr lange dauern, bis die 

Naturwissenschaften sich soweit ausdifferenzierten, 

dass eine allgemeine Lehrbefähigung in Mathematik 

und Naturwissenschaften sinnlos wurde. 

Hinzu kam dann, allmählich noch zunehmend, die 

Liberalisierung der zulässigen Fächerkombinationen, 

so dass heute kein Schulbuch und kein Lehrplan 

davon ausgehen kann, dass „der Oberstufen- 

Mathematiker“ etwas Sinnvolles über bestimmte 

ursprüngliche oder auch nur außermathematische 

Erkenntnisinteressen weiß und lehren kann. Damit 

ist die öffentliche Wertschätzung der Analysis, 

die sie ihren unübersehbaren Erfolgen in der 

Mechanik/Astronomie des 18. und 19. Jahrhunderts 

verdankte 71 und – mit vagem Technikbezug 

– noch verdankt, heutigen Schülern nur noch ausnahmsweise 

zugänglich. Ein eklektisches Anwendungspotpourri 

aus abstrakteren Physikgebieten, 

Sportmechanik, Chemie, Biologie oder Medizin 

kann das nicht ersetzen, und typische qualitative 

Modellbildungsansätze, etwa aus den Wirtschaftswissenschaften, 

aus der Stochastik oder aus dem 

Steuerrecht, rechtfertigen jedenfalls die schulorganisatorisch 

zwingend bevorzugten Rechentechniken 

nicht. (Vgl. die EPA-Tabelle oben.) 

These 6. Konstitutiver Anwendungsbezug schulischer 

Einführung in die Analysis stand von 

vornherein im Widerspruch zu Anschaulichkeitsund 

psychogenetischen Postulaten. Anwendungsorientierung 

als Charakteristikum des Analysisunterricht 

hätte Schüler und Lehrer überfordert, 

und würde sie heute oft noch mehr überfordern. 

Wo charakteristische Anwendungsmotive der unterrichtbaren 

Ideen und Modellierungsmethoden 

fehlen, ist die wichtigste Stütze der gesamtkulturellen, 

allgemeinbildenden Begründung des Analysisunterrichts 

zerbrochen. 

Es gibt zudem eine lang anhaltende Grundsatzdiskussion 

über die Realitätsnähe, die dem 

Schulunterricht mit erträglichem Zusatzaufwand 

überhaupt erreichbar ist. Diese teilweise recht 

skeptisch geführte Debatte nachzuzeichnen, würde 

hier auf allzu ausgedehnte Nebengeleise führen. 

Ich verweise auf die bekannten ISTRON- 

Bände sowie auf [Blum & Toerner, 1983] und 

[Tietze et al., 1997]. Die These 6 dürfte auch 

schon aus dem Vorstehenden einleuchten. 

Funktionales Denken 

Im Abschnitt 1.2 habe ich schon dargelegt, dass 

und warum sich (möglicherweise) die Konnotationen 

des Schlagworts „funktionales Denken“ 

rasch nach 1905 und dann mehr noch ab 1925 

auf Funktionen als Objekte des Kalküls verengten. 

Im [Klein, 1907] lässt sich diese Verengung 

schon beobachten – 1907, als der Mohr seine politische 

Schuldigkeit getan hatte und sich nun in 

allerlei Schulalltagen bewähren sollte. 72 Das Methodische 

verschwand, was blieb und sich bis heute 

zunehmend auswirkte, war die Konzentration 

des gesamten gymnasialen Mathematikunterrichts 

auf den Funktionsbegriff zwecks allmählicher Anfreundung 

mit Analysis und Analytischer Geometrie. 

Diese Wendung des Konzentrationsgedankens 

auf das Materiale, den Vermittlungsstoff, hat der 

Schulpraktiker Götting schon 1902/1904 für den 

bestehenden Unterricht an Höheren Schulen als 

besonders nahe liegend beschrieben: „Charakteristisch 

für die Elementarmathematik ist ja die 

69 [Toeplitz, 1929, S. 4] 

70 Die weittragende methodische Lehre aus dem aus dem Kepler-Beispiel von Toeplitz (s. Abb. 17.5) dürften heute zu wenige Lehrer 

auf Anhieb erkennen. Zu viele empfehlen immer noch die blinde Methode Eff-zwei-Strich zur „exakten“ Extremwertbestimmung als 

Standard. Vermutlich missriete spätestens morgen Toeplitz’ Musterbeispiel ohnehin dank einiger Schulbuch- oder Lehrplanschreiber 

rasch zur belanglosen Kompetenz-Trainingsaufgabe. 

71 „Ich fasse also kurz zusammen: eine gründliche und fruchtbare Behandlung des Funktionsbegriffs sowie der Grundbegriffe der 

Mechanik involviert ganz naturgemäß die Hereinnahme der elementaren Infinitesimalrechnung in den Unterricht der höheren Schulen.“ 

[Klein, 1907, S. 113]. 

72 Genaueres in [Krüger, 2000]. 

120


Abbildung 17.5: Problem- und anwendungsorientierte Nachentdeckung der Stationarität nahe Extrema. Aus 

[Toeplitz, ! 1972, S. 78 f] 

Starrheit und Unveränderlichkeit ihrer Gebilde. 

Für den Anfangsunterricht ist das wertvoll. Aber 

niemand behält sie im weiteren Unterricht bei. 

Man führt geometrische Beweise durch Bewegung, 

und wenn man aus der stetigen Veränderung 

der Figuren neue geometrische Sätze und tieferen 

Einblick in ihren Zusammenhang gewinnt, so erkennt 

man darin den Einfluss der neueren Geometrie. 

73 Veränderliche Größen und ‚Funktionen’ 

werden oder sollten wenigstens schon früh in der 

Arithmetik wie in der Geometrie benutzt werden, 

die Trigonometrie nötigt zu ihrer Verwendung im 

Unterricht. . . Grenzwerte bildet man auch in der 

Stereometrie, bei den Reihen und in der Lehre 

vom Maximum und Minimum. Dass man hier Differentialquotienten 

von Funktionen bildet, ebenso 

wie man bei der Berechnung der Volumina, 

Schwerpunkte [Mittelwerte; L. Fü.] und Trägheitsmomente 

[Varianzen] durch Reihensummierung 

Integrationen ausführt, vermeidet man zu sagen. 

Man führt alle die Grenzübergänge und Reihensummierungen 

bei jedem Beispiel von neuem 

durch und scheut sich, die allgemeine Methode 

herauszuarbeiten. Durch Umgehung des Funktionsbegriffs 

erschwert man sich die Arbeit noch. 

So bleibt alles für den Schüler schwer verständlich 

und noch schwerer anzuwenden. Das ganze 

Verfahren aber ist unmathematisch, eben weil es 

beim Speziellen verweilt und sich von der allgemeinen 

Methode abwendet; es widerspricht dem 

Grundprinzip der Mathematik wie jeder Wissenschaft, 

dem Prinzip von der Ökonomie des Denkens.“ 

74 

Die EPAs (und vermutlich auch die kommenden 

Bildungspläne) sprechen im längsten und deshalb 

wohl gewichtigsten Kasten 1.2.1 nicht mehr 

schillernd von „funktionalem Denken“, sondern 

ganz bescheiden von einer „Leitidee funktionaler 

Zusammenhang“. Abgesehen vom Appendix „Zufallsgrößen“ 

75 , wird dort nur ein materialer Stoffplan 

aufgelistet, bei dem das Begriffliche auf das 

aufgabendidaktisch Notwendige abgespeckt ist, 

d. h. auf (Dirichlets) Funktions„begriff“, Änderungsrate/Steigung 

und Aufleitung/Flächeninhalt. 

Methodische Reflexionen sind nicht verlangt, also 

wohl auch nicht vorgesehen – es sei denn, man 

unterschiebt sie den ausnahmsweise konstruktiven 

Modellierungen des dritten Punktes 1.2.3. 

These 7. Die heutige Rede von einer „Leitidee 

funktionaler Zusammenhang“ wird aus schulsystemischen 

Gründen (Lehrervorbildung, Zeitnot, 

Kompetenzorientierung) dann und nur dann mehr 

bieten als abprüfbare Kenntnisse und Fertigkeiten 

(z. B. Kurvenkonstruktion, eigenständiges Denken, 

Begriffs- und Methodenbewusstsein, außermathematische 

Vernetzung), wenn echte Modell- 

73 Mit „neuere Geometrie“ war bis in die Weimarer Zeit Geometrie der projektiven Verwandtschaften im Geiste Jakob Steiners gemeint 

[vgl. etwa Gallenkamp, 1877, S. 16], nicht Kleins Erlanger Programm, nicht Dinglers operatives Programm und auch nicht die 

spätere synthetische Abbildungsgeometrie Bachmanns. 

74 [Götting, 1902, S. 50 f]; vgl. auch [Klein, 1907, S. 34 ff] oder auch noch viel später: [Blum & Toerner, 1983], die für die „Ziele des 

Analysisunterrichts“ gerade noch 4 Seiten übrig haben. (S. 196-199. – Bei der verfänglichen Wortschöpfung „infinitesimales Denken“ 

zeigte sich deutlich eine damals zeitgemäße Abneigung rein stoffdidaktisch-material orientierter Autoren gegen Rechtfertigungen von 

Bildungsfunktionen.) 

75 über deren epistemologischen Status als „funktionale Zusammenhänge“ man wohl streiten sollte . . . 

76 In dieser Stoßrichtung stimme ich vielen einschlägigen Äußerungen von [Fischer & Malle, 1985] zu. 

121


bildungszyklen zum Mittelpunkt des Analysisunterrichts 

werden. 76 

Vom Schüler aus? 

In der Pädagogik wird das 20. Jahrhundert immer 

noch als „das Jahrhundert des Kindes“ hochgehalten, 

als das Jahrhundert, in dem das Rousseausche 

Entdeckenlassen „endlich“ schulpolitisch ernst 

genommen wurde: Schülerorientierung, nicht einfach 

kinderfreundlich und ihrer Zukunft wohlwollend, 

sondern als Denken „vom Kinde aus“ 77 . 

Als um die Meraner Reformzeit, in der Sturmund-Drang-Phase 

der bürgerlichen Reformpädagogik 

vor dem Ersten Weltkrieg, die meisten 

der unterrichts- und fachmethodischen Ansätze 

aufkamen, die heute noch, wenn auch mit viel 

eindrucksvolleren Bezeichnungen, in trauter Gemeinsamkeit 

von Schulwissenschaft, -forschung, 

-aufsicht und -presse als methodische Heilmittel 

gegen alle vermeintlichen Schwächen des Schulsystems 

verordnet werden, waren sie Teil des 

gemeinsamen Protestes einer temperamentvollen 

Minderheit innerhalb des Schulsystems, die sich 

– bei allen Meinungsverschiedenheiten über den 

rechten Weg – gegen die Vereinnahmung der 

Schulpraxis durch Obrigkeitsdenken, Militärgeist 

und Zulieferung für die Ökonomie wandte. Wie 

weit hat diese Strömung den Analysisunterricht 

des 20. Jahrhunderts mitgeprägt? 

Ich habe mir bei der Beschreibung des Analysiskanons 

im Abschnitt 1.3 Mühe gegeben, 

ihm alle jene pädagogischen Rücksichten zuzuschreiben, 

wenigstens als didaktische Stachel 

im Fleisch der Schulmathematik, die ihn dauerhaft 

geprägt haben, und zwar von vornherein. 

Es waren und sind noch: A1 (Lebensweltbezug), 

A3 und A9 (Anschaulichkeit), A4 (Anwendungsbezug), 

A6 (Lebendigkeit: Anwendungsbezug – 

Anschaulichkeit – Experimente), A7 (Behutsamkeit 

bzgl. der Grenzwerte: Zum Grenzwert hin!), 

A8 (Stoffbeschränkung gegen Überbürdungsgefahren). 

Bei jeder dieser pädagogischen Rücksichtnahmen 

fehlte es aber auch nie an expliziten 

Grenzziehungen: Lebensweltbezug, Anschaulichkeit, 

Lebendigkeit und Stoffbeschränkung ja, 

aber nicht „auf Kosten der Strenge“, immer in 

spezifischer Art „gründlich“ und nie ohne aus- 

drückliche Hinweise auf konzidierte Ungenauigkeiten 

oder Lücken. . . Der Analysisunterricht 

wurde eben nicht vom Kinde her oder im Interesse 

der Schülerzukunft gedacht, propagiert und 

durchgesetzt, sondern vom Gelehrtenstand, dem 

es mit viel Überzeugungsarbeit gelang, die eigenen 

Interessen mit denen der Staatsbürokratie und 

des aufstrebenden Wirtschaftsbürgertums zu vereinen. 

Dass es sich um elitäre Interessen handelte, 

habe ich schon ausführlich begründet, und auch 

die Statistik in Abb. 17.6 belegt es. 78 

! 

Abbildung 17.6: Relativer Schulbesuch der Schuljahrgänge 

11 bis 13 auf höheren Schulen im Deutschen 

Reich und in der Bundesrepublik 

Insofern der Analysisunterricht von vornherein 

auf universell-universitäre Bildungsbereitschaft 

und Urteilsfähigkeit für Lenkungsaufgaben 

einer künftigen Staats-, Wirtschafts- und Wissenschaftselite 

zielte, war die inhärente Schwierigkeit 

der Materie Infinitesimalrechnung nicht nur 

Hindernis in den Durchsetzungskämpfen, sondern 

auch standesbewusster Modernitätsausweis. Die 

Schwierigkeit der Materie „höhere“ Analysis 79 , 

die in ihrer absichtlichen Universalität, begrifflichen 

und logischen Raffinesse, Komplexität und 

abstrahierender Allgemeinheit lag und liegt, belastet 

den Unterricht von vornherein mit erheblichen 

Motivations-, Konzentrations- und Verständigungsanforderungen, 

die im Unterricht wiederum 

zu Vermittlungszwängen und Zeitproblemen 

führen – noch verstärkt, wie Toeplitz dargelegt 

hatte, von der schulmethodisch unvermeidlichen 

77 „Obgleich die Formel „vom Kinde aus“ schon 1902 in Rilkes begeisterter Besprechung von Ellen Keys berühmt gewordenem 

Buch ‚Das Jahrhundert des Kindes’ Verwendung findet, gelangt sie erst im Umkreis der reformpädagogisch aufgeschlossenen Hamburger 

Lehrerbewegung zu Bekanntheit. Wie Edgar Weiss im ‚Archiv für Reformpädagogik’ 1998 berichtet, entsteht die Wendung 

1908, also vor genau einhundert Jahren, in einem Omnibus während der Fahrt zur Gründung des Bundes für Schulreform, ehe sie von 

Heinrich Wolgast als Sammelbezeichnung für die Forderungen der Bewegung benutzt wird.“ [Wehner, 2009, S. 2] – Dabei ist vielleicht 

hinsichtlich der gesellschaftlichen Rolle der deutschen Reformpädagogik bemerkenswert, dass Ellen Key und Rilke wie später 

Geheeb und seine Odenwaldschule über Eva Solmitz/Cassirer bzw. Edith Cassirer zum Freundes- und Gönnerkreis der Bankiersfamilie 

Cassirer gehörten. 

78 Aus [Lundgreen, 1980/1981, S. 119]. [Inhetveen, 1976, S. 153] gibt eine noch eindrucksvollere, aber nur unsicher interpretierbare 

Tabelle aus dem amtlichen Statistischen Jahrbuch von 1915 wieder. 

79 Das Adjektiv wurde vor hundert Jahren gebraucht, um die Infinitesimalrechnung – je nach Kontext – von der Algebraischen 

Analysis im Umfeld der Binomischen Reihe oder von der Analysis bei den Konstruktionsaufgaben abzuheben. Ganz unabhängig sind 

diese Namensvettern natürlich nicht: Bei Winter [1989, Abschnitt 6.1] findet sich eine, sehr im Gegensatz zur Originalquelle, leicht 

fassliche Darstellung der Beziehungen zwischen der letzteren und Vietas systematischem Ausbau der Buchstabenrechnung. 

122


Zersplitterung und Sequenzierung aller komplexeren 

Inhalte. Dies zwang und zwingt offenbar 

zu fachkundiger Vermittlung im gelenkten Unterrichtsgespäch 

oder Lehrervortrag. Die notorischen 

Zeit-, Sprach- und Orientierungsprobleme 

bei „weicheren“, schülerzentrierten Unterrichtsformen 

scheinen für den Analysisunterricht im 

Wesentlichen nur die unterrichtsmethodische Abfederung 

durch Beispiele, Aufgaben und Routineprobleme 

zu erlauben, ausnahmsweise vielleicht 

auch durch Projekte oder wenigstens projektorientierten 

Unterricht. Also das, was Lenné 

in seiner scharfen Analyse vermeintlich endgültig 

als „Aufgabendidaktik der Traditionellen Mathematik“ 

disqualifiziert hat. 80 Weder Gaudig, noch 

sein Mathematikus Scheibner, noch Kerschensteiner, 

noch die Wettbewerbssieger von 1930 81 , noch 

Wagenscheins Sokratik, Winters und Wittmanns 

Entdeckungslernen oder die heutigen Bestsellerautoren 

mathematischer Unterrichtsmethodiken 82 

haben dem aufgabenzentrierten Vermittlungsunterricht 

der Schulanalysis etwas anhaben können. 

Die traditionelle Konzession des gymnasialen Mathematikunterrichts 

an die Reformpädagogik war 

in der Zeit vor und nach dem Dritten Reich lediglich 

marktgerechte Verpackung, man sprach modebewusst 

von „Arbeitsunterricht“ und begriff sie 

in höchst eklektischer Anlehnung an Kerschensteiners 

Arbeitstugenden. Sachlich und in der didaktischen 

Intention blieb es bei der Lennéschen 

Aufgabendidaktik im Rahmen frontaler Belehrung. 

Die heutige „Sicherstellung des Kompetenzoutputs“ 

ist dafür nur ein sprachverhunzender, 

aber politisch korrekter Euphemismus. 

„Es bleibt mir ein Rätsel – und ist mir noch nie 

durch langfristige stabile Lernerfolge belegt untergekommen 

–, wie ‚gewöhnliche’ Lernende ohne 

massive Intervention durch Lehrende (sowohl 

direkt persönlich, als auch indirekt durch Bücher, 

Internet o.ä.) ein solches Gebiet wie die Gaußschen 

Flächenformeln oder gar die Integralrechnung 

in sogenannten konstruktivistischen Lernumgebungen 

sich selbstständig erarbeiten können 

sollen.“ 83 

These 8. Analysisunterricht ist aus schulsystemischen 

und lernpsychologischen Gründen weitgehend 

an Aufgabendidaktik im Ordnungsrahmen 

von Frontalunterricht gekettet. Das mag heute 

mit mancherlei Gründen bedauert werden 84 , 

aber Analysisunterricht kann nicht beliebig kinderfreundlich 

„radikal konstruktiviert“ werden, 

weil er seine Legitimation und seinen gesellschaftlichen 

Sinn vorgefundener Wissenschaftsbedeutung 

und ständischer Hochschulbildung verdankt, 

und eben nicht naiv zugänglichen Reflexionen auf 

Naturphänomene, sei es auch im geistreichsten 

Stile Wagenscheins. 

Für welche Schüler? 

Die aus wirtschaftlichen, technischen und demokratischen 

Motiven gewünschte Verbreiterung der 

Bildungsbeteiligung im Laufe des 20. Jahrhunderts 

hat die elitären Begründungen für Analysisunterricht 

weitgehend in die Feiertagsdidaktik abschieben 

müssen (Abb. 17.7). 

Da keine substanziell neuen Begründungen 

gefunden wurden, hätte das eigentlich zur Revision 

der Bildungsziele für die Höheren Schulen 

führen müssen. In den Jahren des Wiederaufbaus 

nach dem Zweiten Weltkrieg gab es 

aber dringendere Probleme. Als die Neubesinnung 

dann in der wirtschaftlichen Hochkonjunktur 

der 60er Jahre einsetzte, entstanden in rascher 

Folge ebenso tiefgreifende wie wissenschaftseuphorische 

Schulreformen, die vorübergehend zur 

bewussten Anpassung der Oberstufenanalysis an 

universitäre Anfängervorlesungen führte. 86 Dieser 

Gesichtspunkt ist heute nur noch Geschich- 

80 [Lenné, 1969] – Anders als seine heute fortschrittlichsten Bewunderer hatte Hugo Gaudig, Prophet des methodenzentrierten Arbeitsunterrichts, 

gar kein Problem mit der mathematischen Aufgabendidaktik. Zum Beispiel eines 2-2-Gleichungssystems schrieb er: 

„Die Mathematik, die ‚beneidenswerte’ Disziplin der Aufgaben, zeigt uns an ihrem Verfahren, was es heißt, wenn das Denken Willensakt 

ist... In der neuen Aufgabe wird dem Schüler ein scharf bestimmtes Ziel seines Wollens gesteckt. Das Ziel erregt seine geistige 

Energie. Es folgt die Prüfung der Lösungswege und die Wahl der Subtraktionsmethode. In schneller Rechenarbeit wird das Ergebnis 

... gewonnen. Ein Blick zeigt die Richtigkeit der Arbeit. – Diese Tätigkeit wird begleitet von einem lebendigen Spiel der Gefühle: ...“ 

[Gaudig, 1922, S. 5] 

81 [Lietzmann, 1931]. Der Sieger-Aufsatz von Gurski ist in [Siemon, 1980] wiederabgedruckt. – Scheibners Abgrenzung des „freitätigen 

Arbeitsunterrichts“ [Scheibner, 1980], Auszug aus [Scheibner, 1928], schließt ihn praktisch für den Analysisunterricht aus. 

82 Durchweg traditionelle Aufgabenbeispiele mit Bezug zum Analysisunterricht fand ich auf den Seiten 74, 93, 117, 132, 137, 161, 

171, 185, 213 und 235 von [Barzel et al., 2007]. Diese Beispiele für Unterrichtsmethoden richten sich – natürlich – nicht gegen 

die aufgabendidaktische Parzellierung der Inhalte. Inwiefern am Ende die ebenso löblichen wie optionalen Absichten in den Kästen 

von S. 246-253 wirklich zu „Schülertätigkeiten“ werden könnten, steht sehr dahin. In der Schulpraxis dürfte es sich um nützlichen 

Vokabelvorrat für Lehrprobenüberbauten handeln. 

83 [Bender, 2010, S. 55]. Natürlich können geschickte Lehrer viel direktive Belehrung in Aufgaben, Experimentieraufträge oder 

auch „Lernumgebungen“ wie Freiarbeit, Wochenplan u.ä. verpacken. Ob das mündig werdende Oberstufenschüler nicht durchschauen 

(sollten)? [Vgl. Führer, 1997, Kap. 4] 

84 Das Standardwerk [Tietze et al., 1997, Abschnitt 236-240] bringt zum Thema „Schüler im Analysisunterricht“ kaum mehr als 

Lernschwierigkeiten und Fehleranalyse. Tiefer geht Andelfinger [1991]. Seine Einschätzung der Schülerperspektiven deckt auch meine 

noch folgenden Thesen 9-10. 

85 Tabelle nach [Geißler, 2006, S. 38]. Die neueren PISA- oder auch die Studentenwerk-Daten (s. z. B. 2. Deutscher Bildungsbericht) 

sind tendenziell nicht anders, aber deutlich gröber klassifiziert. – Honi soit qui mal y pense! 

86 Details zu dieser Entwicklung in [Führer, 1997, Abschnitt 6.1.] 

123


! 

Abbildung 17.7: Relativer Schulbesuch der 13- bzw. 14jährigen nach Schularten 1952–1991 – BRD bzw. 

alte Bundesländer. Datenquelle: Statistisches Bundesamt, Statistisches Jahrbuch 1991 sowie Fachserie 11, 

Reihe 1, Allgemeinbildende Schulen 1991 und frühere Jahre. Zit. nach [Arbeitsgruppe Bildungsbericht am 

Max-Planck-Institut für Bildungsforschung, 1997, S. 201]. 

Schicht der Bezugsperson Sonderschule Hauptschule Realschule IGS Gymnasium 

Obere Dienstklasse (1,6) 13 29 4 52 

Untere Dienstklasse (0,3) 14 32 9 45 

Selbstständige (bis 9 Mitarbeiter) (0,8) 29 35 8 28 

Routinedienstleistungen (4) 28 32 12 24 

Facharbeiter (3) 34 37 10 16 

Un-/angelernte Arbeiter (7) 41 30 12 11 

( ) kleine Fallzahlen 

Obere Dienstklasse: führende Angestellte, höhere Beamte, freie akademische Berufe, Selbstständige ab 10 Mitarbeiter 

Untere Dienstklasse: mittlere und gehobene Angestellte und Beamte 

Abbildung 17.8: Schulbesuch von 15-jährigen im Jahr 2000 (in Prozent) 85 

te und braucht uns hier nicht mehr zu interessieren. 

Im Zuge dieser Reformstimmung spielte 

jedoch die Parole „Ausschöpfung der Bildungsreserven“ 

eine in der „Westlichen Welt“ der Industriestaaten 

zugleich konjunkturell erwünschte 

und sozial-emanzipatorische Hauptrolle. In den 

Schulreformen schlug sie sich im beinahe unabdingbaren 

Gebot der „horizontalen Durchlässigkeit“ 

nieder. Damit entstand ein starker Druck (zusätzlich 

zu standespolitischen Wünschen der Pädagogischen 

Hochschulen), die Volksschuldidaktik 

abzuschaffen und durch schultypspezifisch verdünnte, 

nun aber „wissenschaftliche“ (:= univer- 

sitäre) Gymnasialdidaktik zu ersetzen. 87 In den 

KMK-Empfehlungen von 1968 (Abb. 17.9) wurde 

horizontale Durchlässigkeit implizit zum Programm, 

und abgesehen von den damals modischen 

strukturmathematischen Themen schlug es 

seitdem auf alle Lehrpläne durch, auch – natürlich 

weiter ausgedünnt – auf den Mathematikunterricht 

der Hauptschulen bis herunter zum Bürgerlichen 

Rechnen. 

Damerow [1977] hat sich ausführlich mit den 

„Empfehlungen und Richtlinien der KMK zur 

Modernisierung des Mathematikunterrichts“ von 

1968 auseinander gesetzt. Die Integration der 

87 Das Realschulwesen war ohnehin bei seiner erfolgreichen Traditionslinie geblieben, die handwerklich-technisch-kaufmännische 

Fertigkeitsorientierung eklektisch aus Real(ien)zielen der Höheren Schulen zusammenzustellen. (Vgl. etwa [Arbeitsgruppe Bildungsbericht 

am Max-Planck-Institut für Bildungsforschung, 1997, Kap. 10], sowie [Damerow, 1977, Kap. 2.6]) 

124


Schullehrpläne für Mathematik habe damals als 

relativ unproblematisch gegolten: Bei den Stoffplänen 

bis Klasse 6 hätten zwischen den Schultypen 

ohnehin kaum Unterschiede bestanden, für 

Realschulen und Gymnasien sogar bis einschließlich 

Klasse 10. „Mit dem Aufbau der Hauptschule 

[anstelle der alten Volksschule] wurde eine 

Entwicklung eingeleitet, durch die – zumindest 

in dem oberen Leistungskurs – der Stoffplan 

des Mathematikunterrichts der Hauptschule den 

Plänen von Realschule und Gymnasium weitgehend 

angeglichen wurde.“ 88 Das Ziel der „wissenschaftsorientierten 

Modernisierung des Mathematikunterrichts“ 

(einschließlich der gehobenen akademischen 

Lehrerausbildung) habe aus Sicht der 

KMK ohnehin als „Reformziel für alle Schularten“ 

gegolten. Es war ja – wir erinnern uns – vom 

ökonomischen Ziel der „Ausschöpfung aller Bildungsreserven“ 

getragen. Zudem gab es heftige 

Kämpfe um die Einführung von Gesamtschulen, 

um die „horizontale Durchlässigkeit des Schulsystems“ 

aus sozialen Gründen zu erleichtern. Anhänger 

und Gegner des dreigliedrigen Schulsystems 

konnten sich so im Schlagwort von der anstehenden 

„Modernisierung durch Wissenschaftsorientierung“ 

einigen. Für Mathematikunterricht 

und Mathematikdidaktik erzeugte das geradezu 

kampflos ein bis heute gültiges Moratorium: „Auf 

Abbildung 17.9: Aus: KMK [1968] 

dieser Grundlage stellte sich die Integration der 

Lehrpläne für die KMK vor allem als die Frage, 

welche Unterrichtsstoffe des Gymnasiums für die 

Realschule und für die Hauptschule nicht verbindlich 

sein sollten.“ 

Dass die Parole von der horizontalen Durchlässigkeit 

unseres Schulsystems die Ausrichtung 

der Mittelstufenmathematik auf späteren Analysisunterricht 

in der Sekundarstufe II nicht ernsthaft 

rechtfertigt, zeigt die Grafik in Abb. 17.10. 

Sie überschätzt dabei die Übergangsquoten aus 

Haupt-, Real-, Gesamt- und Privatschulen in 

Gymnasien bzw. Gymnasialzweige, weil alle 

„Aufsteiger“ berücksichtigt sind. 

These 9. Funktionale Propädeutik des Analysisunterrichts 

wurde ausgerechnet in der Zeit, in der 

er das elitäre Bildungsziel und damit seine nichtutilitären 

Begründungen verloren hatte, für den abstraktesten 

und damit unterrichtsmethodisch heikelsten 

Algebra-Teil des Mittelstufenprogramms 

aller Schultypen bestimmend. Dass manche Inhalte 

dieses Unterrichts fachlich nur als Analysispropädeutik 

gerechtfertigt sind, muss angesichts der 

geringen Aufsteigerquoten in die gymnasiale Sek. 

II ungerecht, demotivierend und als notenrelevantes 

Wissenschaftsgehabe sozial destruktiv wirken. 

88 Dieses und das nächste Zitat aus [Damerow, 1977, S. 236 bzw. S. 238]. – Zum Begründungsverlust beim „Auskämmen“ der Gymnasialpläne 

für die Lehrpläne der anderen Schultypen vgl. auch [Damerow, 1977, S. 324], [Schupp, 1972] und [Buckschat, 1975]. 

! 

125


Tab. 15 

15-Jährige, die innerhalb der Sekundarstufe I 

die Schulform gewechselt haben in % (2000) 

Kein 

Anteil der 

Aufstiege an 

allen 

Wechsel Aufstieg Abstieg Wechseln 

Baden-Württemberg 90,2 2,9 6,9 29,6 

Hessen 79,6 5,2 15,3 25,4 

Niedersachsen 89,2 1,1 9,8 10,1 

Nordrhein-Westfalen 86,2 1,6 12,1 11,7 

Rheinland-Pfalz 86,8 2,2 11,0 16,7 

Saarland 82,6 3,9 13,5 22,4 

Schleswig-Holstein 81,0 1,3 17,7 6,8 

Brandenburg 83,1 10,1 6,8 59,8 

Mecklenburg-Vorpommern 80,7 3,9 15,4 20,2 

Sachsen 85,6 5,2 9,2 36,1 

Sachsen-Anhalt 83,0 3,8 13,2 22,4 

Thüringen 81,4 5,1 13,6 27,3 

Deutschland 85,6 3,2 11,2 22,2 

Deutschland ohne Bayern, Berlin und Hamburg 

Baumert/Trautwein/Artelt 2003, S. 310 und eig. Berechnungen 

Abbildung 17.10: Aus [Bellenberg et al., 2004, 

S. 81] 

Von großem Interesse ist die Relation zwischen Aufstiegs- und 

Abstiegswahrscheinlichkeit. Sie gibt Auskunft darüber, wie viele Aufsteiger auf einen 

Absteiger kommen. Allerdings ist die Aussagekraft der Aufstiegs-Abstiegs-Relation 

Warum noch Analysisunterricht des 20. 

Jahrhunderts? 

begrenzt bzw. von anderen Faktoren abhängig. Die Basiswahrscheinlichkeiten des 

Schulerfolgs sind vom jeweiligen relativen Schulbesuch abhängig; ein Beispiel: Wenn 

ohnehin nur wenige, tendenziell besonders leistungsstarke Schüler zum Gymnasium 

zugelassen werden, könnte die Rückläuferquote geringer sein als wenn viele, 

durchschnittlich nicht ganz so leistungsstarke Schüler diese Chance erhalten. 

Dadurch ist sowohl der Vergleich zwischen den Bundesländern als auch die 

Entwicklung innerhalb der Bundesländer in Verbindung mit dem relativen 

Schulbesuch zu beurteilen. 

Die innerdeutsche PISA-Studie unterscheidet die Rückläuferquoten auch nach 

 

den Schulformen Gymnasium, Realschule und Gesamtschule hin zu Realschulen, 

Gesamtschulen und Hauptschulen erfasst. Wechsel zur Sonderschule sind nicht 

berücksichtigt. Berücksichtigt sind Schülerinnen und Schüler, die im Laufe ihres 

Sekundarschulbesuchs auf die Realschule, Gesamtschule bzw. die Hauptschule 

! 

81 

Abbildung 17.11: Bildungsbarrieren: Fünf 

Schwellen der Bildungsbeteiligung 2008 89 

These 10. Die wirksamste Funktion des heutigen 

Analysisunterrichts ist die einer etablierten 

Pflichthürde im ständisch gewachsenen Prüfungs-, 

Berechtigungs- und (Dis-) Qualifizierungswesens 

des Höheren Schulwesens. Soweit 

die übrigen Begründungen für Analysispflicht im 

Oberstufenunterricht während des 20. Jahrhunderts 

verblasst sind, gilt: Analysisunterricht ist 

und bleibt Pflicht, weil es ihn gibt. 

3 Ein realistischer Ausweg für die 

Informationsgesellschaft? 

„Würde der Mathematikunterricht der höheren 

Schulen sich auf die Elementarmathematik 

in dem eingangs erwähnten Sinne beschränken, 

dann ginge dieser Unterricht gerade 

an denjenigen Schöpfungen, Denkmitteln 

und Arbeitsmethoden vorüber, die für 

die Neuzeit besonders charakteristisch und 

ihr ureigenstes Produkt sind, und ohne die z. 

89 [Bundesministerium für Forschung und Wissenschaft, 2010, S. 88] 

126 

B. das heutige astronomische Weltbild in seiner 

feineren Ausgestaltung und die geistige 

und technische Naturbeherrschung von heute 

überhaupt nicht denkbar wären. Soll also 

der Mathematikunterricht an unseren höheren 

Schulen nicht nur eine Art geistiger 

Gymnastik sein, sondern soll er auch den 

Schülern einen klaren Einblick in das Wesen 

der heutigen Kulturbedeutung der Mathematik 

vermitteln, so kann er die wichtigste 

mathematische Schöpfung der Neuzeit, 

die Differential- und Integralrechnung nicht 

gänzlich beiseite lassen, sondern muss den 

Schüler wenigstens in ihre Anfangsgründe 

einführen. 

Noch ein zweiter Gesichtspunkt nötigt zu derselben 

Folgerung. Die Erfahrung lehrt, dass 

die große Mehrzahl der Schüler auch in reiferem 

Alter abstrakt logischen Betrachtungen 

nur schwer zugänglich ist. Wohl aber nehmen 

sie mit stärkstem Interesse alle Stoffe auf, 

bei denen sie von vornherein wissen, dass 

sie von hoher praktischer Bedeutung sind, 

dass man damit etwas anfangen kann, insbesondere 

dann, wenn sie wissen, dass sie in 

den Stoff so weit eingeführt werden können, 

dass sie selbst etwas damit anfangen können. 

Deshalb ist zum mindesten der sicherste, bei 

vielen Schülern zweifellos sogar der einzige 

Weg, ihnen die Mathematik mit Erfolg nahe 

zu bringen, der, dass sie ihnen von der Seite 

der Anwendungen her dargeboten wird.“ 

G. Lony [1929, S. 18f.] 

(Hervorhebungen vom Autor) 

„Einzelne Regeln ohne den Geist der Erziehung 

sind ein Wörterbuch ohne Sprachlehre 

. . . 

Wie viel besser wäre hier ein Lückenmacher 

als ein Lückenbüßer.“ 

J. Paul, Vorwort von 1806 

[zit. n. Paul, 1909, S. 25 u. 27] 

3.1 Randbedingungen des heutigen 

Begründungsproblems 

Im vorigen Kapitel habe ich zum traditionellen 

Analysisunterricht je zehn methodische Akzente 

(A) und allgemeindidaktische Problembereiche 

mit gewissen Thesen (P&T) erörtert. In 

Abb. 17.12 gebe ich noch einmal eine Übersicht 

mit Stichworten in der Reihenfolge ihrer Abhandlung 

(dabei dienen die Nummern nur dem bequemen 

Rückbezug). 

Bei den Aspekten A1, A4, A6, P&T2, P&T6 

und P&T9 zum Thema „Anwendungsbezug“


A: didaktisch-methodische Akzente P&T: Problembereiche und Thesen 

1. Lebensweltbezug als Motivation Kulturarbeit als elitäre Bildungsaufgabe 

2. langfristige Funktionspropädeutik mathematisch-naturwissenschaftlich 

geprägte Allgemeinbildung? 

3. Anschaulichkeit und Gründlichkeit, 

notfalls auf Kosten der Vollständigkeit 

allgemeine Studierfähigkeit 

4. Anwendungsbezug als Vertiefung und 

Motivation 

Fertigkeitsprimat – Kalküldominanz 

5. Geschichtliche Bedeutung „strenge“ Funktionen von Anschaulichkeit und 

Plausibilitätsbetrachtungen 

6. lebendiger Unterricht durch 

Anwendungsorientierung? 

Anwendung – Anschauung – Experiment 

7. Zum Grenzwert hin! Funktionen als Konzentrationsprinzip und Stoff 

8. Stoffbeschränkung Schülerorientierung? 

9. Anschaulichkeit versus Strenge Zielgruppen des Funktions- und 

Analysisunterrichts 

10. Verständnis vor Fertigkeiten! systemische Funktion des Analysisunterrichts 

Abbildung 17.12: Methodische Akzente und allgemeindidaktische Problembereiche mit Thesen 

schwingt natürlich immer auch die pädagogische, 

schulpraktische und schulpolitische Einsicht 

P&T8 mit, schwächeren Schülern den Zugang zur 

Analysis und Lehrern das Unterrichten erleichtern 

zu müssen. Gleiches gilt für die Aspekte A3, A6, 

A9, P&T5 und P&T9 insofern sie das Bemühen 

um „Anschaulichkeit“ betreffen. Und dieses Bemühen 

stützt sich ja auch gern auf Anwendungsbezüge. 

Kein Zweifel, dass diese beiden Gesichtspunkte 

für den heutigen und für jeden künftigen 

Analysisunterricht unverzichtbare Verbündete 

sind. 

Es gibt jedoch mindestens drei Vorbehalte: 

⊲ Zum einen ist Anwendungsbezug belanglos, 

wenn er nicht mit paradigmatischen Beispielen 

und Begriffsbildungen „orientierend“ wirkt. 

⊲ Zum zweiten wäre „Anschauungsorientierung“ 

gewiss kein guter Ratgeber. So etwas ist auch 

meines Wissens nie für die Sekundarstufenmathematik 

vorgeschlagen worden. 

⊲ Zum dritten würde einer Einführung in die 

Analysis, die mit virtuoser Unterrichtsmethodik 

und viel Anschaulichkeit im Inhaltlichen nur 

auf Anwendungsorientierung zielte, etwas sehr 

Wesentliches entgehen, nämlich der vielleicht 

einzige heute noch tragfähige Rechtfertigungsgrund 

für allgemeine Pflichtbindung: Analysis 

generalisiert und strukturiert Modelle. Das 

ist ihr fachübergreifend kommunikativer Charakter 

und macht ihre pragmatische Leistungsfähigkeit 

aus, ihre überfachliche Wirksamkeit, 

Reichweite und Bedeutung. Überlässt man das 

der Hochschule, dann reduziert sich die schulische 

Funktion des Analysisunterrichts auf ein 

„Teaching to the Test“, dessen Sinn und Nutzen 

bestenfalls ein Viertel der Betroffenen je erleben 

werden. 

Ob Analysisunterricht mehr bedeutet als Fertigkeitstraining 

für „kompetenzorientierte“ Hürdenläufe 

vor dem höheren Arbeitsmarkt hängt im Wesentlichen 

davon ab, wie viel dieser Unterricht 

an Bedeutung und an Standardmethodik zu deren 

Gewinnung über die Fachgrenzen hinaus lehren 

kann – oder wenigstens lehren will. Diese Frage 

nach zeitgemäßem Sinn des Analysisunterrichts 

jenseits seines Funktionierens im (dis-) qualifizierenden 

Bildungssystem 90 kann schon deswegen 

nicht ausgesessen werden, weil inzwischen die 

Mittelstufen aller Schultypen von (Rudimenten) 

der Funktionenlehre „wie mit einem Ferment“ 

durchdrungen sind, hauptsächlich um einen Analysisunterricht 

vorzubereiten, den von drei Schülern 

nur einer je zu sehen bekommt und den von 

drei „Sehenden“ nur einer später brauchen wird 

(A2). 91 Lehrer und Schüler leiden unter Sinnentleerung, 

und das schadet am Ende der ganzen 

90 Um nur zwei Beispiele zu nennen: proportionale Funktionen statt Dreisatz und quadratische Algebra statt robuster Näherungsmethoden. 

– Der Kollege K. P. Wolff schlug kürzlich für die Mathematikdidaktik der heutigen Hauptschulen die drastische Bezeichnung 

„Soda-Didaktik“ vor – in Anlehnung an die sog. „Soda-Brücken“, die als Denkmäler aufgegebener Autobahnbauten vielerorts herumstehen 

und „einfach so da sind“. (Vgl. http://de.wikipedia.org/wiki/Soda-Brücke) Die motivatorisch-disziplinarischen 

Schäden sind erheblich. 

91 Die vermeintlichen künftigen Denker und Lenker in den Oberstufen der Höheren Schulen, um deren modernere Aus-/Bildung 

die Meraner Reformer sich sorgten, machten damals etwa 2%, höchstens 5% der entsprechenden Altersjährgänge aus (s. Abb. 17.6). 

Heute geht es – regional sehr unterschiedlich – um 30% bis über 50%, von denen weniger als die Hälfte überhaupt studieren, während 

etwa ein Drittel der Studierenden „harte Mathematik“ incl. Analysis braucht, ein weiteres Drittel „weiche Mathematik“ wie 

Spezialmethoden und handwerkliche Statistik (s. Abb. 17.7). 

127


Gesellschaft. Das Sinnproblem für den heutigen 

und künftigen Analysisunterricht muss dringend 

gelöst werden, weil dieser Unterricht erhebliche, 

prüfungstechnisch sogar dominante Teile des gesamten 

Mathematikunterrichts der Sekundarstufen 

direkt oder indirekt trägt. 

Dass es keine einfache und plötzlich wirksame 

Lösung geben dürfte, stand zu erwarten. 

Aber es mag helfen, einige der notwendig zu beachtenden 

Randbedingungen zu klären. So habe 

ich begründet, warum Kalküleuphorie (P&T4) 

zur Natur unseres Schulsystems gehört, vermutlich 

auch viel Aufgabendidaktik und sachkompetent 

flankierender Frontalunterricht zur sinngerechten 

Begegnung mit Analysis. Und ich habe 

erklärt, warum ich glaube, dass fachwissenschaftliche 

Strenge (A3, A9), Vertiefung der Analysis 

aus Anwendungsbezügen (A4, P&T6), geschichtliche 

Bedeutungsklärungen (A5) und ernsthafte 

Infinitesimalprobleme (A7) heute nicht mehr 

weit tragen können. Erst recht verfehlen hochgesteckte 

Bildungsziele wie Aufklärung über aktuelle 

Kulturarbeit (P&T1) oder mathematischnaturwissenschaftlich 

akzentuierte Allgemeinbildung 

(P&T2) die heutige Schulsituation und Bildungspolitik, 

weil sie nur für einen kleinen Teil 

der Jugend gedacht und im Rahmen von bildungsbürgerlicher 

Elitebildung gerechtfertigt waren. – 

Bei aller Anerkennung der Schwierigkeit, allgemeinbildenden 

Analysisunterricht mit seinen unvermeidlichen 

Rückwirkungen auf alle Mittelstufen 

neu zu entwickeln und zu rechtfertigen, ist 

noch keinesfalls zugestanden, das Erkenntnismethodische 

im Sinne Toeplitz’ oder Freudenthals 

zugunsten affirmativer Unterrichtsmethodik und 

(Dis-) Qualifikationsverwaltung zu marginalisieren, 

und werde das auch noch so schülerfreundlich 

kaschiert und verbal aufgehübscht. 92 

Was ist im Rahmen des heutigen Schulsystems 

an Erneuerung möglich, ohne wieder fünfzig 

Jahre auf eine Richertsche Reform und noch 

einmal fünfzig Jahre auf die Säkularisierung eines 

ökonomisch-demokratischen Aufbruchs zu warten? 

3.2 Skizze einer Lösung durch 

Schwerpunkteverlagerung 

Der überkommene Analysisunterricht steckt in einer 

Sinnkrise. Folgerichtig sind die Pflichtbindungen 

an diesen Unterricht in der Oberstufe 

und an diesbzgl. Propädeutik in allen Mittelstufen 

schwach legitimiert. Will oder kann man den Ana- 

lysisunterricht nicht zur unverbindlichen Wahlveranstaltung 

schrumpfen lassen, dann muss er einen 

anderen Sinn bekommen als vor hundert Jahren. 

Hier mein Vorschlag: 

1. Im Schulrahmen soll Analysis von Kurvenkonstruktionen 

ausgehen und zum Studium von 

Datendynamik führen. 

2. In den Mittelstufen werden Funktionen vorwiegend 

unter Erkenntnisinteressen der Beschreibenden 

Statistik für bedeutungshaltige 

Daten aus der Realwelt, die sich vorwiegend 

außerhalb der Schule abspielt, entwickelt, kritisch 

gewürdigt und in ihrer Bedeutung gewichtet. 

93 

3. In der Oberstufe wird das mit wissenschaftsorientiertem 

Anspruch fortgesetzt. Beim Studium 

echter statistischer, auch experimentell gewonnener 

Realdaten werden zunehmend Funktionsmodelle 

mit hypothetischen Modellannahmen 

dynamisiert, als Wirkungen gedeutet und 

auf ihre Erklärungsqualität hin diskutiert (Einund 

Abschätzung „unerklärter Residuen“). 

Dies könnte, so bin ich überzeugt, dem künftigen 

Analysisunterricht – über die heutige Propädeutik 

für einen Teil der Hochschulfächer hinaus 

– einen schuleigenen Gesamtsinn geben, d. 

h. eine für alle Schüler durchgängig verbindliche 

Leitidee, die aus guten Gründen den gesamten 

Algebra- und Stochastik-Unterricht beider Sekundarstufen 

„wie ein Ferment durchdringen“ und 

als Konzentrationsprinzip Beiläufiges verdrängen 

dürfte. Das Leitmotiv, bessere Modelle zur Beschreibung 

wichtiger Datenzusammenhänge entwickeln 

zu wollen, ist – natürlich mit angemessenen 

Rücksichtnahmen – für alle Schultypen vertretbar: 

Daten sind überall, und Dateninterpretationen, 

die unser persönliches Leben mitbestimmen, 

steuern oder steuern sollen, haben längst 

die Hauptrolle bei der Begründung von eigenen 

und fremden Entscheidungen mit größeren Folgen 

übernommen. 94 

Mehr als eine Skizze, wie ich mir eine Realisierung 

im bestehenden Schulsystem und in endlicher 

Zeit vorstelle, kann und will ich nicht geben. 

Ich kann es nicht, weil es passend zu dieser 

Programmskizze schon viele gute alte und neue 

Ideen gibt – so auch in diesem Tagungsbericht 

–, die ich hier nicht angemessen würdigen und 

zugleich curricular einbinden könnte. All das bedürfte 

gemeinsamer Anstrengungen vieler, um das 

Vorhandene – zieloptimiert und repräsentativ – zu 

fusionieren, polititikgerecht zu ver„dichten“ und 

92 Um die Gefahr an einem derzeit besonders prominenten Fall zu erläutern: Die meisten der Analysis-Beispiele aus der aktuellen 

Methoden-Bibel [Barzel et al., 2007], s. Fußnote 80, taugen als Beleg für die Verselbstständigung motivierender Showeffekte 

„für“ Schüler und bildungspolitisch opportuner Performanzkünste „für“ Lehrer, beides um rezeptives Einüben isolierter, wenn auch 

vielleicht prüfungsrelevanter Belanglosigkeiten zu kaschieren. 

93 In der Sek. I wird es sich vorwiegend um bivariate Daten handeln müssen. Aber auch sachlich gehaltvolle dreidimensionale 

Datenwolken lassen sich mit ebenen Zusammenhangsgraphen „perspektivisch“ deuten. 

94 Vgl. etwa [Ullmann, 2008]. 

128


in Wechselwirkung für den Alltag methodisch zu 

sequenzieren. Ich möchte auch keineswegs den 

Eindruck erwecken, ich glaubte an eine Patentlösung 

aller zuvor dargestellten Probleme, denen 

sich heute Unterricht in Schul- und Hochschulbetrieb, 

Traditionsgerangel, Besitzstandswahrung, 

Finanz-, Sozial-, Bildungspolitik u.v.a.m. zu unterwerfen 

hat. Ich bin allerdings überzeugt, dass 

uns die heutige Informations- und Datenverarbeitungstechnik 

erstmals und endlich in die Lage 

versetzt, Schulanalysis als Erkenntnis- und Denkwerkzeug 

eigenen Rechts zu reanimieren. 

Warum „Kurvenkonstruktion“ als Einstieg? 

Die Antwort liegt nahe: Im Gegensatz zur Kurvendiskussion 

und ihrem heimlichen Vorspann 

in der Funktionenlehre der Mittelstufen sollten 

Funktionen – an Allgemeinbildenden Schulen, 

wie im Folgenden immer einschränkend vorausgesetzt 

sei – nicht als „irgendwie“ vorgefundene 

Erkenntnis- oder Umgangsobjekte hingestellt 

werden, sondern als Instrumente für „funktionale“ 

Modellkonstruktionen. Stichworte dazu: 

Daten„gestalten“ (Beschreibung, Entwürfe, 

stückweise Konstruktion), Bestandsentwicklungen, 

Zusammenhangsgraphen, Faustregeln, Glättungen 

(z. B. durch gleitende Mittelwerte), Ausgleichskurven, 

Natur„gesetze“, Approximationen, 

Regressionskurven, Interpolationen . . . 95 Es geht 

um Gedankenmodelle, entwickelt in ernsthaften 

Kontexten, um Datenmaterial zu Verständnis-, 

Beurteilungs- oder Prognosezwecken zu ordnen. 

Gedankenmodelle sind nicht falsch oder richtig 

wie Kurvendiskussionen, sondern besser oder 

schlechter als andere Modelle. Ihre Funktionalität 

misst sich an Zwecken, nicht an Vorgaben 

– „der“ Wissenschaft, „der“ Kultur, des Kaisers 

oder der Testindustrie. Zwecke sind nicht wertfrei, 

sondern begründ-, diskutier- und kritisierbar. 

Das könnte sogar eine moderne Sichtweise 

„funktionaler“ Erziehung hergeben, „Gewohnheit 

funktionalen Denkens“ im vielleicht ursprünglichsten 

Sinne – jetzt aber: an Stelle der ständischen 

Erziehung von vor hundert Jahren, die unterschwellig 

zum Funktionieren und zum Bewundern 

von„Natur“-Gesetzen erziehen wollte. Generell 

bieten sich deshalb auch im stärker psychogenetisch 

experimentell-konstruktiv angelegten Zugang 

zur Analysis und „zum Grenzwert hin“ eher 

sinnvolle Gelegenheiten zu schülerzentrierten Unterrichtsformen 

als im klassischen Analysisprogramm. 

Sie sind hier sogar erforderlich, weil für 

die Fachmethodik der Modellkreisläufe sinnstiftend. 

Warum die Funktionenlehre von vornherein 

auf Erkenntnisinteressen der Beschreibenden Sta- 

tistik stützen? Einiges habe ich oben schon gesagt. 

Eine Überlegung Freudenthals soll das noch einmal 

unterstreichen und vertiefen: 96 

„Noch weniger als andere Gebiete soll die 

Analysis als eine Struktur behandelt werden, die 

ehrfürchtiges Staunen erweckt, und noch mehr als 

andere als ein Werkzeug, das die, die es zu hantieren 

lernen, dringend nötig haben und hantieren 

können, wenn sie es müssen. Dazu ist dann etwas 

anderes erforderlich, als dass man wohlgebildete 

sprachliche Ausdrücke kennt, die definieren was 

eine offene Menge, ein Limes, ein Differentialquotient 

und ein Integral ist; man muss vielmehr 

solche Begriffe geometrisch und numerisch erlebt 

haben, auch wenn man sie gerade nicht in eine 

über jeden Einwand erhabene Definition fassen 

kann . . . Ich hörte einmal einen mit viel Begeisterung 

den Satz verteidigen, man müsse den Differentialquotienten 

als Geschwindigkeit einführen; 

er war stolz auf die Wirklichkeitsnähe dieses Ansatzes. 

Doch war er viel weniger wirklichkeitsnahe, 

als er glaubte; er sah die Wirklichkeit nur 

durch einen schmalen Spalt, und unter den Spalten 

ist der eine kaum breiter als der andere. Es 

hilft auch nichts, wenn man den Lernenden durch 

viele Spalte schauen lässt; er wird ja so nur erzogen, 

durch Spalte zu sehen. Warum soll man den 

Angriff in breiter Front, der sich im Rechnen als 

erfolgreich erwiesen hat, nicht auch hier vollziehen, 

wo man sich wieder so nahe an der Realität 

befindet? Was Differentialquotient und Integral einer 

Funktion bedeuten, hängt ganz davon ab, was 

die Funktion selber bedeutet, und das kann sehr 

vieles sein.“ 

Daran schließt Freudenthal sofort einen Abschnitt 

mit der Überschrift „Der numerische Anlauf“ 

an und beginnt ihn mit den Worten: „Die 

Funktion kann erst einmal numerisch, etwa als Tabelle 

gegeben sein. Man kann zu ihr die Differenzen 

bilden, ein etwa bei Interpolationen sinnvoller 

Prozess . . . “ Und dann schlägt er vor, die 

Maschenweite zu thematisieren, um sich – vorerst 

– schließlich durch Grenzübergang [zu Trends] 

von ihr zu befreien. Die Ausgangstabelle könne 

dann selbst aus der oder irgendeiner abgeleiteten 

[mittels gesammelter Trendeffekte] rekonstruiert 

werden. „Um diese Prozeduren zu demonstrieren, 

wähle man geeignete Tabellen, Logarithmen, 

Quadrate, Sinus, um interessante Gesetzmäßigkeiten 

zu entdecken, aber auch Funktionen, 

wie sie gerade einem konkreten Problem 

entspringen, eignen sich, wenn das Problem die 

Differentialquotient- oder Integralbildung erfordert. 

Es versteht sich, dass Aufgaben dieser Art 

wirklich und nicht nur fingiert numerisch durch- 

95 Eine ausführliche Darstellung des Modellbildens von Daten her gibt (für die Lehrerausbildung) [Engel, 2009]. Seine zahlreichen 

Beispiele stammen vorzugsweise aus den Naturwissenschaften. 

96 [Freudenthal, 1973b, S. 470 f.] 

129


geführt werden sollen. Mindestens eine Handrechenmaschine 

ist dazu erforderlich, aber ausführlichere 

Tabellen-Konstruktionen sollten lieber mit 

Rechenanlagen ausgeführt werden . . . “ 

Freudenthals Ausführungen sind ausdrücklich 

dem Analysisunterricht gewidmet und stehen weit 

hinten in seinem fachmethodischen Klassiker. Er 

würde es mir gewiss nicht verübeln, dass ich 

dem temperamentvollen und überzeugenden Einstieg 

in die Welt der Wertetabellen mit zwei ernsten 

Vorbehalten begegne: Freudenthal setzt stillschweigend 

voraus, und das passt ja durchaus 

auch zum eigentlichen Thema in seinem Buch, 

dass wir auf der Oberstufe einsteigen und dass 

es dort nur um Mathematik zu gehen habe. Aber 

so ist es ja im realen Mathematikunterricht nicht 

gleich und sofort, und auch nicht überwiegend. 

Lange vor jeder Annäherung an Differentialquotienten 

und Interpolationen 97 werden häppchenweise 

Proportionalitäten eingeführt, und quadratische 

Funktionen, und Wurzelfunktionen, trigonometrische 

Funktionen, vielleicht auch schon „Potenzfunktionen“ 

und exponentielles oder gar logarithmisches 

Wachstum. Und jedes Mal fällt es schwerer, 

„den“ Schülern, wenigstens den wohlwollenden 

„guten“, das Gefühl zu vermitteln, dass es sie 

mehr anginge als die nächste Klassenarbeit. 

Dass die Funktionspropädeutik die späteren 

Nichtabiturienten und von den späteren Abiturienten 

die späteren Nichtstudierenden und die akademischen 

Mathematikabstinenzler etwas angeht, 

muss schon mit den ersten Annäherungen glaubhaft 

werden. Dass proportionale Funktionen das 

rechte Mittel seien, mit Dreisatz- oder Prozentaufgaben 

im Alltag klarzukommen, glauben weder 

aufgeweckte Schüler noch erfahrenere Lehrer 

98 , und Optiker, Landvermesser, Tontechniker 

oder Ozeanographen wollen immer nur wenige 

werden. Daten mit Belang, vielleicht gar von aktuellem 

Interesse, fallen überall an, unabhängig vom 

Alter und vom Sozialstatus der Zeitungsleser oder 

Surfer. Da braucht Überblick, wer gewaltfrei einschätzen, 

mitreden, planen, beeinflussen, wählen, 

. . . will oder muss. Wohlfeile Ansichten liefern 

zwar die Medien pausenlos ins Haus, aber da sprechen 

nicht die Daten selbst, und auch nicht unbedingt 

die berechtigten Interessen der Rezipienten 

. . . 99 

Funktionen beschreiben Zusammenhänge; 

punktweise Zuordnungen sind Mittel dafür, nicht 

Zweck. Schüler sollen das vielfältig „nacherfinden, 

unter mehr oder minder deutlicher Führung“, 

wie es Freudenthal ausgedrückt hat. 100 Aber sie 

müssen lernen, dass es ernste Arbeit ist, und keine 

Spielerei, auch wenn es Spaß machen sollte. 

Deshalb braucht es gewichtige Einstiege und fortwährende 

Betonung von Modellkreisläufen an 

offensichtlich relevanten Realdaten, sei es aus der 

Armutsstatistik, aus der Bildungsbeteiligung, aus 

der Ökologie, aus dem Versicherungswesen, aus 

öffentlichen Haushalten, aus der Kreditwirtschaft, 

aus der Marktforschung und auch aus den Laboren 

der Techniker, Naturwissenschaftler, Psychologen, 

Ökonomen, Großstatistiker. 101 Nur für Routinetraining, 

Detailillustrationen oder Zusatzaspekte 

sind Fertigkeitsübungen an Rechenaufgaben 

oder „weichen“ Meinungsumfragen recht, denn 

sie dürfen keinesfalls die ernsthafteren Bildungsund 

Erziehungszwecke verharmlosen, marginalisieren 

oder gar konterkarieren. Diese Zwecke, 

hypothetische Übersichten, differenzierte Urteile 

und vorsichtige Prognosen aus Beobachtetem zu 

gewinnen, müssen hinter dem alltäglichen Unterricht 

als Legitimatoren sichtbar bleiben, weil datenorientierter 

Unterricht den Schülern relevanten 

Sachbezug ihrer Urteile zumutet, sie im Beobachten, 

Beschreiben und Argumentieren schult, und 

weil er die Kopplung von Variablen als Hineinlesen 

von Kausalbeziehungen darstellt, ohne das 

Streuen von Realdaten zu kaschieren. 

Dabei wird es auf den Mittelstufen überwiegend 

sein Bewenden mit ad-hoc-Prognosen 

und „empirischen Gesetzen“ aus Technik und 

Sciences haben müssen. In der Oberstufe erlauben 

jedoch Auf- und Ableitungen theoretische 

Unterbauten für Funktionsmodelle. In Verbindung 

mit Vor- und Parallelarbeiten anderer 

Schulfächer werden sich allmählich und schon 

überwiegend auf der Sekundarstufe II dynamische 

Deutungen einiger Funktionsmodelle anbieten. 

Das bedeutet: über die „möglichst guten“ 

(:= gut approximierenden) Beschreibungen 

vermeintlicher Datenzusammenhänge hinaus, auf 

denkbare Ursachen für nichttriviale Kurvenver- 

97 Die Logarithmentafeln und Rechenschieber sind ja längst entsorgt. 

98 Vgl. etwa die einschlägigen Befunde von Andelfinger [1981] und Meißner [1982]. 

99 Ein drastisches Beispiel findet sich in [Ullmann, 2010]. – Zur didaktischen Forderung nach Betonung der Deskriptiven Statistik 

in der Sekundarstufe I verweise ich gerne auf das Thesenpapier des Arbeitskreis Stochastik in der GDM [2002], auch wenn dort 

noch zu diplomatisch bescheiden formuliert werden musste. Meines Erachtens gibt es in der heutigen Informationsgesellschaft kein 

wichtigeres Gebiet der Schulmathematik, wenn sie allen Bürgern zu Aufklärung und demokratischer Mündigkeit im Kantschen Geiste 

helfen soll. Allerdings kann man auch diesen Ansatz sehr leicht schul- und bildungbürokratisch sterilisieren. Darauf komme ich am 

Ende dieses Aufsatzes zurück. 

100 [Freudenthal, 1973a, Kap. 5/6 sowie S. 151.] 

101 Sehr viele Anregungen bringen [Eichler & Vogel, 2009] und [Engel, 2009]. – Für den Unterricht wäre es hilfreich, über einen 

Pool Links zu laufend aktualisierten schulrelevanten Datensammlungen zu verfügen, insbesondere aus der Sozialstatistik und am besten 

auch mit Diskussionsvorschlägen für den Unterricht. Die öffentlichen Datenbanken wie destatis.de, de.statista.com, Deutsches 

Studentenwerk, Angebote von Ministerien, Presse, Verbänden und Parteien usw. erfordern immer noch viel Auswahlarbeit und Spezialistenwissen. 

130


läufe mithilfe von „Trend“beeinflussungen und 

Gesamteffekten zu sprechen kommen (Beschleunigung, 

Grenzkosten, Steuerprogression, Wachstum/Verfall, 

Schwingungsdämpfung/Modulation, 

Wirtschaftszyklen usw.). Von hypothetischen, 

vielleicht zunächst eher globalen „Gestaltungskräften“ 

für Beschreibungsmodelle (dynamische 

Theoriemodelle) würden sich dabei gewiss ganz 

zwanglos verfeinerte Betrachtungen der lokalen 

Bedeutung von Trends (benachbarte Ableitungen) 

aufdrängen, die schließlich – zum Grenzwert hin! 

– in deren (infinitesimaler!) Grenzbedeutung erfasst 

werden könnten. 

Freudenthal schildert denn auch nach dem 

numerischen Anlauf in bunter Folge graphische 

Zugänge, Geschwindigkeiten, Dichten, Gradienten, 

Kapazitäten, Fachwerke und Getriebe, Kraftfelder, 

Größenordnungen, Differentiale [Trends] 

. . . 102 Unsere computergraphischen Möglichkeiten 

bieten inzwischen schmerzlosere Übergänge 

mit Splines, grafischen Ab- und Aufleitungen und 

vielleicht sogar mit funktionalen Strukturlinien in 

Richtungsfeldern (vgl. Abb. 17.14). 

Differential- und Integralrechnung wären 

technisch, wissenschaftlich und epistemologisch 

belanglos, wenn sie nur lokal linearisierten oder 

global aufsummierten. Dass sie es ernsthaft und 

machtvoll tun, liegt daran, dass sie immer auch die 

bewusst riskierten Fehler im Auge behalten und 

notfalls streng abschätzen (Restglied, Einschließung 

des Funktionsgraphen in Parallelstreifen 103 , 

Konvergenzgeschwindigkeit, Robustheit des Verfahrens 

usw.). Analysis ist keine Erfindung von 

Anfängern. Das muss man Schülern gewiss nicht 

in den Weg stellen, aber man sollte sie auch darüber 

nicht täuschen. Und es ist inzwischen dank 

der Neuen Medien auch auf den Mittelstufen unnötig. 

Der zitierte Freudenthal-Text war 1973 erschienen, 

bevor noch Taschenrechner verbreitet 

waren, erst recht PCs. „Wirkliche und nicht nur 

numerisch fingierte Durchführungen“ waren noch 

für die Schule unerreichbar, so auch ernsthafte 

Streuungsberechnungen und Residuenanalysen. 

Das ist heute ganz anders: Wir können fingierte 

und sogar reale Datenmassen problemlos im Klassenzimmer 

erzeugen oder abrufen, wir können 

sogar mäßige Mittelstufenschüler ein paar Stunden 

lang motivieren, eine Datenwolke algebraisch 

nach Lust und Laune von einem kostenlosen 

TKP oder CAS misshandeln zu lassen. Wir können, 

sollten und dürfen ihnen aber auch mit guten 

Gründen mehr zumuten: eine zeitgemäße Erziehung 

zur Datenbeschreibung und Residuen- bzw. 

Fehleranalyse. 

Das alles bleibt freilich solange zusammenhanglos 

und eklektisch wie kein leitender Gesichtspunkt 

die einzelnen Untersuchungen motiviert 

und legitimiert. Mit Respekt vor den Erkenntnisinteressen 

der Gründerväter im 17. und 

18. Jahrhundert und vor der anschließenden sowohl 

wissenschaftlichen als auch kulturellen Erfolgsgeschichte 

schlage ich vor, das Trägheitsprinzip 

in informell säkularisierter Form zum leitenden 

Gesichtspunkt theoretischer „Dynamisierung“ 

von Datenmodellen zu machen: 

Wo keine Kräfte wirken 

geht alles im gleichen Trott weiter. 

Abbildung 17.15: Grafik von http://www.faz. 

net/ (Strizz vom 24.01.2009) mit freundlicher 

Genehmigung des Künstlers Volker Reiche. 

Die zentrale Botschaft hinter dem eigentlichen 

Analysisunterricht wäre demgemäß – frei 

nach Newton, aber über alle quantitativ arbeitenden 

Fächer und Gebiete hinweg: Was wir über 

Datenpunkte hinaus sicher beobachten oder messen 

können, sind in aller Regel „nur“ Trends. Deren 

Veränderung(en) können wir modellhaft als 

Wirkungen gedachter Maßnahmen oder „Kräfte“ 

deuten, um aus „dynamisierten Modellen“ Handlungsempfehlungen 

oder Prognosen zu gewinnen. 

Funktionen sind mit ihren Auf- oder Ableitungen 

dafür geeignete Werkzeuge. Der wissenschaftliche 

Wert der Analysis für die Sciences steckt in 

genau diesem Gedanken. Auf der Hochschule mögen 

daraus dann allgemeine Techniken werden, 

für Funktionalgleichungen, Differential- und Integralgleichungen 

u.v.A.m. Für die Schule ist etwas 

anderes wichtiger: Funktionen sind Bausteine von 

Modellen, die zu Klärungen der wirklichen Welt 

helfen sollen. 

102 Viele Anregungen bekommt man aus [Engel, 2009] und aus einer Tabelle von Blum & Toerner [1983, S. 92], zu verschiedenen 

Bedeutungen der Änderungsraten in Anwenderkontexten besonders wenn man sie von rechts nach links interpretiert, also von den 

Ableitungen oder (Funktions-) Werten her. 

103 Cauchy-Integral! (Approximation mit stückweisen Näherungsfunktionen unter gleichmäßiger Konvergenz.) 

131 

!


Abbildung 17.13: Summierungen und Trendänderungen – (fast) infinitesimal 

Abbildung 17.14: Graphische Integration einer konkreten Differentialgleichung [von Sanden, 1914, S. 162] 

3.3 Schüler-, Daten- und 

Gesellschaftsorientierung 

Nur zu gern zitieren moderne Handbücher für 

werdende Lehrer eine schrecklich bürokratisch 

anmutende Tabelle von Heinrich Winter aus dem 

Jahre 1975 (Abb. 17.16 auf der nächsten Seite). 

Ja, diese Tabelle fand sich am Ende von Winters 

nachdenklichem Aufsatz. Unglücklicherweise, 

wie sich heute zeigt, weil in dieser Tabelle das 

Wichtigste fehlte: was lebendiger Unterricht tun 

kann, ohne sich um Bildungsschablonen zu scheren. 

Genau dafür enthielt aber Winters Text vorher 

ausführliche Überlegungen in vier Kapiteln, 

die eben nicht „von oben“ katalogisierten und festschrieben, 

sondern zu denken und zu handeln geben 

wollten. Und ganz am Ende gab er noch eine 

passende Warnung dazu, eine inzwischen leider 

ganz unmodische. Beides sollten wir erinnern – 

und die vermeintliche Ablasstafel für flachdidaktische 

Sünden einfach vergessen: 

Winters vier Kapitel und seine Warnung am 

Ende 

„L1 Der Unterricht soll dem Schüler Möglichkeiten 

geben, schöpferisch tätig zu sein. 

L2 Der Unterricht soll dem Schüler Möglichkei- 

132 

ten geben, rationale Argumentation zu üben. 

L3 Der Unterricht soll dem Schüler Möglichkeiten 

geben, die praktische Nutzbarkeit der Mathematik 

zu erfahren. 

L4 Der Mathematikunterricht soll dem Schüler 

Möglichkeiten geben, formale Fertigkeiten zu erwerben. 

[. . . ] Es sei noch einmal betont: Allgemeine Lernziele 

lassen sich nicht so abtesten wie operationalisierte 

Feinlernziele; sie beziehen sich auf die 

ganze Schulzeit, und der Grad ihrer Verwirklichung 

lässt sich eher in einer gewissen Haltung 

erkennen, in der ein Schüler an mathematische 

Fragen herangeht.“ 

H. Winter [1975] 

. . . oder ein Erwachsener an richtig ernste . . . 

Mit zunehmender Computerausrüstung der 

Schulen wird schüleraktive Modellbildung im 

Rahmen datenorientierter Stochastik immer leichter 

zugänglich. Ich trete dafür ein, diesen Unterricht 

durch engere Verflechtung von Algebra, 

Funktionenlehre und Mittelstufenstochastik erheblich 

zu verstärken. Zugleich möchte ich aber 

im Sinne Winters vor zwei Gefahren warnen, denen 

Stochastik im all- und sonntäglichen Schul- 

!


betrieb nur zu gern erliegt. Arthur Engel hat sie 

1982 so formuliert 104 , wobei wir getrost DS (:= 

Deskriptive Statistik) statt WT lesen dürfen: 

1. „Die Wahrscheinlichkeitstheorie (WT) fand 

Eingang in die Schule unter dem Vorwand, 

dass sie für die Statistik unentbehrlich ist.“ 

und 

2. „Statistik handelt von Daten, und sie zerfällt in 

drei Teile: Sammlung, Beschreibung und Deutung 

von Daten.“ 

Es wäre für eine Reanimation der Funktionenlehre 

in den Mittelstufen und der Analysis in den 

Oberstufen wenig gewonnen, wenn künftig lediglich 

Aufgaben zu Funktionstypen und kombinatorischen 

Wahrscheinlichkeiten durch behavioristische 

Rechen- und Zeichenkompetenznachweise 

anhand irgendwelcher Excel-Tabellen ersetzt würden. 

Realdatenorientierung und schüleraktive Modellbildung 

sind nicht als Alibi für Fertigkeitsdressuren 

in Beschreibender Statistik gedacht! 

Hier wäre einigen aktuellen fachwissenschaftlichen 

und auch didaktischen Lehrbüchern zur 

Schulstochastik bzw. Beschreibenden Statistik 

mehr Entschiedenheit zu wünschen. Zu oft steht 

die Vermittlung irgendwelcher „Basiskompetenzen 

der [!] Statistik/Stochastik“ im Vordergrund 

– sehr wohl mit Rücksicht auf Lernende gestuft 

nach technischen Schwierigkeitsgraden, aber in 

betont fachwissenschaftlich-systematischer Gliederung, 

Diktion und Kontextuierung. Zwischen 

eigentlich ernste lebens- oder gesellschaftsrelevante 

Beispiele drängen sich dort immer wieder 

schulkinderfreundlich verharmlosende Belanglosigkeiten, 

denen – in Dreiviertelstunden, Hausaufgaben 

und Klassenarbeiten zerhackt – scheinbar 

genau so viel Bedeutung zukommt wie sie 

104 [Engel, 1982, S. 3 und S. 58] 

105 s. z. B. [Freudenthal, 1973a, S. 100 f] 

Abbildung 17.16: Aus [Winter, 1975] 

innerfachliche Begriffe oder Techniken illustrieren. 

Das mag hochschuldidaktisch sinnvoll halten 

wer will; nach einem Ausdruck von Freudenthal 

ist es für die Schule als „a[nti]didaktische Inversion“ 

schädlich 105 , weil Unterrichtskonstruktion 

vom systematisch verallgemeinerten und ohnehin 

unerreichbaren Ende her als dosierte Verlautbarung 

das Gegenteil von wohlwollend einfühlender 

Schülerorientierung ist. In notorisch 

knapper Unterrichtszeit suggeriert es zudem eine 

falsche Botschaft, weil „grundlegende“ (im 

Fachjargon: „triviale“) mathematische Techniken 

über Wirklichkeitssinn und -wert zu bestimmen 

scheinen. Es hieße den Teufel Funktionsformalismus 

mit Beelzebub im Gewand statistischer Methodenleere 

austreiben und statt Verantwortlichkeitserziehung 

politische Enthaltsamkeit mit datengepanzerten 

„Alternativlosigkeiten“ (A. Merkel) 

begünstigen. Daten, Funktionen und dynamische 

Modelle sind unersetzliche Entscheidungshilfen, 

aber die dürfen keine eigene Wertsetzungsund 

erst recht keine Alleinentscheidungsbefugnis 

bekommen. 

Im Soester Vortrag Ende September 2009 habe 

ich mir erlaubt, meinen bildungstheoretischen 

Ansatz einschließlich der nötigen Befürchtungen 

als Variation des Wilhelminischen Eingangszitats 

unserer Kanzlerin in den Mund zu legen: 

„Das neue Jahrhundert wird beherrscht 

durch das Geld der anderen, inbegriffen die 

Informationsindustrie, und nicht wie das vorige 

durch die Wissenschaft. Dem werden wir 

weiter entsprechen.“ 

133


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2009/2010 konnte daher nicht mehr berücksichtigt werden.

• Musik mit Funktionsgraphen – Wissen kreativ nutzen 

Stefanie Anzenhofer, Würzburg 

Im Mathematikunterricht nimmt das Arbeiten mit Funktionsgraphen eine zentrale Rolle ein. Auch im 

Musikunterricht bilden graphische Darstellungen als Überlieferungsform von Musik die Basis vieler 

Tätigkeiten. Dennoch ist bekannt, dass Schülerinnen und Schüler in beiden Bereichen gleichermaßen 

Schwierigkeiten beim Interpretieren, Analysieren und Erstellen dieser Darstellungen aufweisen. 

In einer empirischen Untersuchung wurde getestet, inwiefern das Wissen als auch das Nutzen dieses 

Wissens im Zusammenhang mit Funktionsgraphen und funktionsgraphähnlichen Notationsweisen 

(Musik) erweitert werden kann. Dabei sollten in einem fächerübergreifenden Unterricht Graphen 

hörend erkannt, funktionsgraphähnliche Notationsweisen musizierend sowie Graphen kompositorisch 

umgesetzt werden. 

Es soll gezeigt werden, dass Schülerinnen und Schüler durch diese auditive Darbietung von Funktionsgraphen 

zum einen ihre Wahrnehmung verstärkt auf Eigenschaften und Änderungsverhalten 

der verschiedenen Funktionstypen lenken sowie die verschiedenen Funktionstypen vergleichend in 

Beziehung setzen; zum anderen soll das Wissen über verschiedene Funktionstypen genutzt werden, 

um funktionsgraphähnliche Notationsformen musikalisch umzusetzen. Erweitert wird dies durch die 

Notwendigkeit des Begründens und präzisen Formulierens aufgrund der auditiven Wahrnehmung, 

welche eine ausschließlich subjektive und zudem nicht eindeutige Identifizierung erlaubt. Indem der 

Klang von Graphen als Mittel beim Komponieren verwendet wird, eröffnet sich auch im Mathematikunterricht 

der Bereich des expressiv kreativen Arbeitens. 

1 Motivation 

Das Arbeiten mit Funktionsgraphen nimmt eine 

zentrale Rolle im Mathematikunterricht ein. Einen 

wichtigen Teil bildet dabei das Erstellen, Interpretieren 

und Analysieren von Funktionsgraphen. 

Ebenso stellen graphische Darstellungen als Überlieferungsform 

von Musik die Basis vieler Tätigkeiten 

im Musikunterricht dar. Nach den Ergebnissen 

einiger Studien weisen Schülerinnen und 

Schüler dennoch in beiden Bereichen gleichermaßen 

Schwierigkeiten beim Interpretieren, Analysieren 

und Erstellen dieser Darstellungen auf 

[vgl. Kalwies, 2001; Hadjidemetriou & Williams, 

2002; Kösters, 1996; Malle, 2000]. 

Ausgehend von dieser gemeinsamen Problematik 

wurde ein fächerübergreifender Ansatz entwickelt, 

in dem sowohl Funktionsgraphen als 

auch graphische Notationen des 20. Jahrhunderts 

im Mittelpunkt stehen. Bei diesen musikalischen 

Notationsformen wird Tonhöhe und Dauer nicht 

mehr zwingend durch Standardnotationselemente 

wie beispielsweise Notenköpfe oder -linien übermittelt. 

Stattdessen kann der Komponist jegliche 

graphische Elemente und Darstellungsformen 

wählen, welche er für dieses Stück zur Übermittlung 

der gewünschten Klangwirkung und -form 

als passend empfindet (siehe Abb. 18.1). Demzufolge 

ist aber diese Notation bei jedem Stück nach 

den Regeln des jeweiligen Komponisten zu interpretieren. 

In diesem Zusammenhang werden Funktionsgraphen 

als Zeit-Frequenz- bzw. Zeit-Tonhöhen- 

Diagramme interpretiert, so dass jedem x-Wert 

als Zeitpunkt ein bestimmter y-Wert als Tonhöhe 

bzw. Frequenz zugeordnet wird. Indem nun diese 

Interpretation von Funktionsgraphen mit mu- 

sikalischen Kompetenzen wie Musik hören, Musik 

lesen und schreiben, Musik analysieren und 

interpretieren sowie musizieren und komponieren 

[Gallus, 2005] kombiniert werden, entstehen musikalische 

Graphen mit den Themenfeldern Graphen 

hören, Graphen lesen und schreiben, mit 

Graphen analysieren und interpretieren sowie mit 

Graphen musizieren und komponieren. 

Abbildung 18.1: Aus „Süßer Tod“ von K. Stahmer 

[Frey et al., 1983] 

2 Musikalische Graphen 

Im Folgenden soll an einem Unterrichtskonzept, 

welches für eine empirische Studie für die zehnte 

Jahrgangsstufe des Gymnasiums (G8) entwickelt 

wurde, exemplarisch aufgezeigt werden, inwiefern 

das Arbeiten mit musikalischen Graphen 

mit Schülerinnen und Schülern möglich ist. Allerdings 

wird hierbei ausschließlich auf die Themenfelder 

Graphen hören, Graphen lesen und schreiben, 

sowie mit Graphen komponieren eingegangen. 

Ein Schwerpunkt wird auf den Bereich mit 

Graphen komponieren gelegt, da den Schülerinnen 

und Schülern hier die Möglichkeit für expressiv 

kreatives Arbeiten gegeben wird, worauf im 

Anschluss genauer eingegangen werden soll. 

137


2.1 Graphen hören 

In den ersten Stunden mit Schwerpunkt Mathematik 

sollten Funktionsgraphen mittels Cinderella 1 

hörend erkannt werden. Schülerinnen und Schüler 

überlegten in diesem Zusammenhang, inwiefern 

die Lage des Graphen im Koordinatensystem ausschließlich 

durch Hören bestimmt werden kann. 

Außerdem analysierten sie eigenständig, welche 

Bedeutung den Eigenschaften und dem Änderungsverhalten 

eines Graphen beim Identifizieren 

des Funktionstyps zukommt. Im Zuge dessen 

wurden die verschiedenen ihnen bekannten Eigenschaften 

zudem dahingehend untersucht, welche 

Charakteristika von Funktionsgraphen generell 

auditiv wahrgenommen werden können. Dabei 

zeigte sich beispielsweise in der Diskussion, 

dass ein punktsymmetrisches Verhalten sehr wohl 

visuell kaum aber auditiv wahrgenommen werden 

kann. 

2.2 Graphen lesen und schreiben 

Im Mittelpunkt der anschließenden Stunden mit 

Schwerpunkt Musik stand das Chorstück „Der 

Phlegmatiker” von Heinz Kratochwil [Kratochwil, 

1972]. Dieses Stück ist notiert mit einer 

graphischen Notationsform, in der Tonhöhe und 

Dauer mittels eines funktionalen Zusammenhangs 

übermittelt werden (siehe Abb. 18.2). Für die Unterrichtskonzeption 

fiel die Wahl auf dieses Stück, 

da einzelne Stimmverläufe zum einen eine gewisse 

Ähnlichkeit zu Ausschnitten aus Standard- 

138 

Abbildung 18.2: Ausschnitt aus [Kratochwil, 1972] 

funktionsgraphen aufweisen (siehe beispielsweise 

Bass in Abb. 18.2), zum anderen ähnliche Stimmverläufe 

in verschiedenen Stimmen innerhalb dieses 

Stückes auftreten (vgl. Sopran, Alt, Tenor mit 

Bezug zum Bass in Abb. 18.2). Schülerinnen und 

Schüler übernahmen in Gruppen eigenständig die 

praktische Umsetzung eines längeren Auszuges. 

Dabei waren die einzelnen Gruppenmitglieder sowohl 

für die musikalische Interpretation dieser bis 

dahin für sie unbekannten Notationsform als auch 

für die Koordination ihres Ensembles verantwortlich. 

Nachdem jede Gruppe ihr Ergebnis in der 

Klasse vorgestellt hatte, analysierten, interpretierten 

und deuteten Schülerinnen und Schüler das 

Stück im anschließenden Klassengespräch anhand 

der Klangwirkung, des Titels und des Notentextes. 

Dabei erkannten sie, dass der Titel des Stücks 

mithilfe klanglicher Mittel musikalisch umgesetzt 

wurde. 

2.3 Mit Graphen komponieren 

In Anlehnung an Der Phlegmatiker, bei dem Emotionen 

und Bewegungsverhalten eines Charaktertyps 

mittels Klang an den Hörer übermittelt wird, 

stellte die Entwicklung einer Klangcollage zum 

Thema „gefühlte Zeit“ die zentrale Aufgabe in einer 

abschließenden Einheit dar. Dabei wird „gefühlte 

Zeit“ als funktionaler Zusammenhang zwischen 

realer Zeit und Änderungsrate der subjektiv 

wahrgenommenen Zeit aufgefasst. Schülerinnen 

und Schüler leiteten diese Interpretationsmöglichkeit 

im Klassengespräch anhand eines Film- 

1 Alle zum Unterrichtskonzept gehörenden Cinderella-Dateien sind auf http://www.stefanie-reiter.de verfügbar

ausschnittes ab, in dem auf den Betrachter eine 

verschiedene Zeitwahrnehmung mithilfe unterschiedlicher 

Stilmittel übertragen wird. Dabei 

stellten sie fest, dass bei einem bestimmten y- 

Wert die „gefühlte Zeit“ gleich schnell vergeht 

wie die reale Zeit, bei den Werten oberhalb dieses 

y-Wertes schneller, darunter langsamer. Im Anschluss 

daran erhielten Schülerinnen und Schüler 

die Aufgabe ein persönliches Erlebnis mit unterschiedlich 

vergehenden Zeitabschnitten zu wählen 

und dazu einen Funktionsgraphen zu zeichnen. 

Nachdem in diesem Unterrichtskonzept vor allem 

Funktionsgraphen jedoch weniger Funktionsgleichungen 

und -terme thematisiert werden sollten, 

wurde ein Kompositionstool (siehe Abb. 18.3) 

zur Verfügung gestellt, mithilfe dessen über Buttons 

die bekannten Standardfunktionen (Nr. 1) gewählt 

und über Punkte entsprechend der persönlichen 

Vorstellung mittels Zugmodus angepasst 

werden konnten. Dieser Graph sollte als ein Zeit- 

Frequenz-Diagramm interpretiert die Grundlage 

für die Klangcollage bilden, weswegen ein Export 

des Graphenklangs als Wave-Datei möglich 

ist (Nr. 2). Desweiteren kann verschiedenen Graphenabschnitten 

eine unterschiedliche Klangfarbe 

zugewiesen werden (Nr. 3), um beispielsweise 

in Abhängigkeit von der Situation subjektive 

Empfindungen dem Hörer übermitteln zu können. 

Der Klang des Graphen wurde in einem Wave- 

Editor mit weiteren klanglichen Mitteln wie Musik, 

Geräuschen, gesprochenen Texten, Klängen 

usw. kombiniert, so dass dem Hörer sowohl Situation 

als auch Emotionen des persönlichen Erlebnisses 

weitergegeben werden sollten. Der Klang 

des Graphen bietet eine Orientierungsmöglichkeit 

für die zeitliche Anordnung der Klangereignisse 

innerhalb der Klangcollage, nachdem er der Träger 

und Übermittler des funktionalen Zusammenhangs 

in Abhängigkeit von der Zeit ist. In diesem 

Sinne stellt er eine hörbare Partitur dar. Im gleichen 

Zug ist er selbst ein Klangereignis, das musikalisch 

zum Beispiel im Hinblick auf Lautstärke, 

Klangfarbe oder Klangeffekte weiterverarbeitet 

werden kann. Dabei darf aber nicht übersehen 

werden, dass die Parameter der Tonhöhe und Dauer 

nicht abschnittsweise verändert werden dürfen, 

da sie den funktionalen Zusammenhang übermitteln. 

Eine Streckung und Stauchung als Ganzes 

wird natürlich nicht ausgeschlossen. Demzufolge 

stellt der Klang des Graphen sowohl eine hörbare 

Partitur dar als auch ein musikalisches Klangereignis. 

3 Kreatives Arbeiten mit 

Musikalischen Graphen 

In der Mathematikdidaktik wurden verschiedene 

Arten des kreativen Arbeitens entwickelt und diskutiert 

[vgl. Neuhaus, 2001]. In der Form des 

Musik mit Funktionsgraphen – Wissen kreativ nutzen 

Problemlösens oder Beweisens stellen diese bereits 

ein Standardelement des heutigen Mathematikunterrichts 

dar. Jedoch erörterten beispielsweise 

Vollrath [1987] und Weth [1999] eine weitere 

Möglichkeit für kreative Prozesse im Bereich der 

Begriffsbildung. Nach Leuders [2005] können die 

kreativen Prozesse des Mathematikunterrichts in 

folgende drei Modi geteilt werden: 

1. Explorative Kreativität beinhaltet sinnvolle 

Probleme zu finden, mögliche Zusammenhänge 

aufzudecken und fruchtbare Begriffe zu 

konstruieren. 

2. Heuristische Kreativität beinhaltet Probleme 

zu lösen und Behauptungen zu beweisen. 

3. Expressive Kreativität beinhaltet das Produzieren 

schöpferischer Darstellung und Transformationen 

mit persönlichem Ausdruck und individuellem 

Sinn. 

In der Musik nehmen Ausdruck und persönlicher 

Sinn eine elementare Rolle im Schaffen ein. 

Wenn nun im Konzept der musikalischen Graphen 

Schülerinnen und Schülern sowohl im Bereich der 

Mathematik als auch der Musik die Möglichkeit 

zu kreativem Arbeiten geboten werden soll, eröffnet 

sich nun die Frage, welche Voraussetzungen 

in der Musikdidaktik ein kreativer Lernprozess zu 

erfüllen hat. Hierfür führt Meyer-Denkmann an: 

„Im Mittelpunkt eines kreativen Lernprozesses 

steht die Verlagerung von funktionalen 

Bindungen im Wahrnehmen, Denken 

und Handeln auf mobile Methoden, die zur 

Selbsttätigkeit und Selbstentdeckung führen. 

Diese implizieren ein produktives Denken 

und Handeln, das nicht auf Resultate eingestellt 

ist, sondern auf operative Prozesse“. 

[Meyer-Denkmann, 1972, S. 21] 

Dies kann dahingehend gedeutet werden, dass 

jegliche Produktion einer Aufgabenlösung, welche 

mit einem Transfer verbunden ist, eine kreative 

Handlungsform darstellt. Auf diese Weise unterscheidet 

sich ein musikalisch-kreativer Prozess 

in den Anforderungen nicht von einem mathematischen 

[vgl. Meyer-Denkmann, 1972, S. 21 f]. 

Unter Berücksichtigung dieser Erkenntnisse 

wurde eine Auslegung für eine kreative Tätigkeit 

für den Mathematik und Musikunterricht gleichermaßen 

formuliert: 

Expressiv kreatives Arbeiten stellt eine kreative 

Tätigkeit dar, die jemanden schöpferisch etwas 

zum Ausdruck bringen lässt. 

Als Grundlage soll dabei stets die Begriffsdefinition 

von Drevdahl dienen, wonach Kreativität 

„die Fähigkeit des Menschen [ist], Denkergebnisse 

beliebiger Art hervorzubringen, 

die im wesentlichen neu sind und demjenigen, 

der sie hervorgebracht hat, vorher un- 

139


Abbildung 18.3: Kompositionstool zur Erstellung eines Graphs mit Soundexport in wav-Format 

bekannt waren. Es kann sich dabei um Imagination 

oder um eine Gedankensynthese, die 

mehr als eine bloße Zusammenfassung ist, 

handeln. Kreativität kann die Bildung neuer 

Systeme und neuer Kombinationen aus 

bekannten Informationen involvieren sowie 

die Übertragung bekannter Beziehungen auf 

neue Situationen und die Bildung neuer Korrelate.“ 

[Drevdahl, 1956, S. 22] 2 

Diese Definition bietet sich als Ausgangspunkt 

für kreatives Arbeiten im Unterricht an, 

da herausgestellt wird, dass es ausschließlich für 

den Hervorbringenden also für Schülerinnen und 

Schüler etwas Unbekanntes, Neues oder Neuartiges 

sein muss. Es besteht kein Bezug zu der Definition 

für expressive creativity nach Taylor, der 

darunter die erste Ebene bei der Ausbildung eines 

kreativen Prozesses versteht, und diese die 

qualitativ niedrigste Stufe kreativen Verhaltens 

im Vergleich zu productive, inventive, innovative 

und emergentive creativity einnimmt [vgl. Taylor, 

1959]. Der Begriff expressiv bezieht sich in dieser 

Auslegung ausschließlich auf den Inhalt des hervorgebrachten 

Produkts, wodurch keine Niveaubildung 

im Hinblick auf die verschiedenen Modi 

stattfindet. Der Begriff schöpferisch soll dabei 

einen produktiv-schaffenden Vorgang beschreiben, 

welcher eigentätig von der hervorbringenden 

Person gesteuert ist. 

Durch diese Art des kreativen Prozesses soll 

Schülerinnen und Schülern auch im Mathematikunterricht 

die Chance geboten werden, sich als 

Individuum zum Ausdruck zu bringen und persönliche 

Einstellungen zu vermitteln. Zum einen 

140 

kann dadurch ein persönlicher Bezug zum Fach 

Mathematik aufgebaut werden, indem mathematische 

Sachverhalte mit subjektiver Bedeutung erfüllt 

werden. Zum anderen können Begriffe und 

Begriffsnetze durch eine andersartige Zugangsweise 

oder in einem breiteren Kontext betrachtet 

werden. Mit diesem geöffneten Blickwinkel einhergehend 

kann eine Umdeutung der Begriffe und 

Begriffsnetze stattfinden, wodurch das Verständnis 

erweitert werden kann. Hierdurch kann der zumeist 

logisch-kognitive Mathematikunterricht eine 

Erweiterung durch eine subjektiv-emotionale 

Komponente erfahren. 

Im Musikunterricht eröffnet diese Form des 

kreativen Arbeitens Schülerinnen und Schülern 

mittels der Interpretation eines Funktionsgraphen 

als Zeit-Tonhöhen-Diagramm eine weitere Möglichkeit 

der Klanggenerierung. Diese Klangerzeugung 

bietet den Vorteil, dass sie zudem von jeglicher 

Schülerin und jeglichem Schüler bewusst und 

zielgerichtet eingesetzt werden kann und es keine 

Unterschiede aufgrund von Instrumentalspielkenntnissen 

und -fähigkeiten gibt. 

Im Folgenden soll nun dargelegt werden, inwiefern 

musikalische Graphen expressiv kreatives 

Arbeiten auch im Bereich der Algebra unterstützen. 

Durch die Zusammenführung von musikalischen 

Klangereignissen und mathematischen Elementen 

wie Funktionen ist bereits im Konzept mit 

Graphen komponieren die Basis gelegt, um Schülerinnen 

und Schülern die Chance zu geben, ihre 

Kreativität zu zeigen, indem sie sich mit einer für 

sie neuartigen Form der Kombination von Inhalten 

beschäftigen. Sie müssen nun eigenständig und 

2 In diesem Artikel wird auf eine Übersetzung ins Deutsche von Ulmann [1968, S. 68] zurückgegriffen.

nach individuellen Maßstäben diese beiden Bereiche 

verbinden und das jeweilige Wissen aufeinander 

übertragen. So sollte der Graphenklang am 

Ende nicht ausschließlich ohne Verbindung neben 

den musikalischen Klangereignissen stehen, sondern 

miteinander verwoben eine Einheit bilden. 

Dies beinhaltet die Aufgabe, dass der Graphenklang 

nicht nur als hörbare Partitur die Basis der 

Klangcollage bildet, sondern klanglich weiterverarbeitet 

wird, so dass der Klang des Graphen neben 

der Übermittelung des funktionalen Zusammenhangs 

auch Träger weiterer Informationen ist. 

Dies kann beispielsweise dadurch geschehen, dass 

eine Eigenschaft des Graphen metaphorisch umgedeutet 

wird, unterschiedliche Klangfarben eingesetzt 

werden, verschiedene Abschnitte des Graphen 

dynamisch andersartig gestaltet werden oder 

Teile des Graphen mit klanglichen Effekten verarbeitet 

werden, um dem Hörer zudem Emotionen 

oder situative Gegebenheiten klanglich zu übermitteln. 

So kann Funktionen sowie deren Eigenschaften 

eine über die Mathematik hinausweisende 

Bedeutung zukommen. Werden diese Ansprüche 

jedoch nicht erfüllt, bietet mit Graphen komponieren 

zwar aus musikdidaktischer Sicht über 

die Gestaltung von Klangcollagen den Freiraum 

auch für Schülerinnen und Schüler Kreativität zu 

zeigen [Hansen, 1975; Meyer-Denkmann, 1972], 

nicht aber nach den vorausgehenden Ausführungen 

zu expressiv kreativem Arbeiten im Mathematikunterricht. 

Nun stellt sich als weitere für den Unterricht 

relevante Frage, welche Kriterien kreative Tätigkeiten 

demzufolge zu erfüllen haben. Auch dies 

führt Drevdahl weiter aus: 

„Eine kreative Tätigkeit muss absichtlich und 

zielgerichtet sein, nicht nutzlos und phantastisch 

– obwohl das Produkt nicht unmittelbar 

praktisch anwendbar, nicht perfekt oder 

gänzlich vollendet sein muss. Es kann eine 

künstlerische, literarische oder wissenschaftliche 

Form annehmen oder durchführungstechnischer 

oder methodologischer Art sein.“ 

[Drevdahl, 1956, S. 22] 

Gerade der Zusatz des nicht zwingenden Anspruchs 

des Perfekten oder gänzlich Vollendeten 

ist im Hinblick auf das Arbeiten im Unterricht 

elementar. Nachdem Schülerinnen und Schülern 

beispielsweise die Fähigkeit oder Kenntnisse 

für eine vollkommene Umsetzung fehlen können, 

darf der Tätigkeit selbst auf diese Weise der Anspruch 

der Kreativität nicht abgesprochen werden. 

So kann im Hinblick auf mit Graphen komponieren 

der Plan oder Wunsch, den Schülerinnen und 

Schüler für die Ausführungen gefasst haben, an 

den technischen Möglichkeiten im Computerraum 

oder an den technischen Kenntnissen im Umgang 


mit der Software beim Erstellen einer Klangcollage 

scheitern; die Aktivitäten der Schülerinnen 

und Schüler erfüllen trotzdem den Anspruch einer 

kreativen Tätigkeit. Ausschlaggebend bleibt 

desweiteren die Absichtlichkeit und Zielgerichtetheit. 

Mit Bezug auf mit Graphen komponieren 

muss der Einsatz jedes Klangereignisses oder 

die Wahl eines Funktionstyps demzufolge ein bestimmtes 

Ziel verfolgen bei der Erzeugung und 

Übermittlung eines Höreindrucks. Es wird folglich 

ein bestimmter Klang – Lautstärke, Klangfarbe, 

Klangeffekt – angestrebt. Aber nicht nur 

das Ziel muss angegeben werden können, sondern 

auch der Zweck, um die Absicht darzulegen. 

Mit dem angestrebten Klang soll eine Klangwirkung 

beim Hörer absichtlich hervorgerufen werden. 

Folglich darf die Klangcollage kein zufälliges 

Ergebnis sein, sondern muss von den Schülerinnen 

und Schülern begründet und erläutert werden 

können. In diesem Sinne wird auch nach Hansen 

die Bedingung für kreatives Arbeiten im Musikunterricht 

erfüllt: 

„Kreatives Verhalten setzt ein, wenn . . . 

[Schülerinnen und Schüler] die gewonnenen 

Eindrücke und Informationen innerhalb eines 

spezifischen Materials nach selbständigen 

Konstellationen und neuen Strukturen zu 

ordnen beginnen.“ [Hansen, 1975, S. 20] 

Der Begriff des Zufälligen muss allerdings 

im Hinblick auf das Experimentieren und kreative 

Spielen eingeschränkt werden. Diese beiden 

Tätigkeiten stellen durchaus eine Grundlage des 

kreativen Arbeitens dar [vgl. Weth, 1999; Hansen, 

1975; Meyer-Denkmann, 1972; Paynter & Aston, 

1972], doch muss der Einsatz der auf diese Weise 

entdeckten Klangformen wiederum absichtlich 

und zielgerichtet erfolgen. Demzufolge kann eine 

Klangform mit entsprechender Klangwirkung 

zufällig beim Experimentieren und Spielen mit 

Klängen beim Testen der Software entdeckt werden, 

doch der tatsächliche anschließende Einsatz 

dieses Klangeffektes muss überlegt an einer ausgewählten 

Stelle mit einem bezweckten Höreindruck 

geschehen. 

Kreativität wird in der traditionellen amerikanischen 

Kreativitätsforschung zumeist in die Teile 

kreative Person, kreativer Prozess, kreatives Produkt 

und kreative Umwelt geteilt [vgl. Neuhaus, 

2001]. In den Ausführungen wurde bisher auf den 

Prozess im Hinblick auf Aufgabenstellung und Eigenschaften 

der Tätigkeit eingegangen. Die Struktur 

und Gliederung dieses Prozesses wurde außer 

Acht gelassen, da ausschließlich der Frage nachgegangen 

werden soll, inwiefern expressiv kreatives 

Arbeiten mit musikalischen Graphen generell 

möglich ist, nicht aber in welcher Form dieser 

Prozess vollzogen wird. Aus diesem Grund 

141


rückt auch die kreative Umwelt aus dem Blickfeld, 

da der Inhalt des Unterrichtskonzeptes näher 

untersucht werden soll, nicht aber die Voraussetzungen 

und Gegebenheiten in der Umwelt. 

Aus musikdidaktischer Sicht wurde bei diesem 

Konzept angestrebt, dass jede einzelne Schülerin 

und jeder einzelne Schüler expressiv kreativ arbeiten 

können soll. Daher wird an dieser Stelle 

auch nicht näher auf die individuellen Eigenschaften 

einer kreativen Person eingegangen, nachdem 

Schülerinnen und Schüler im Allgemeinen als 

Handelnde mit heterogenen Eigenschaften in den 

Blick rücken, denen allen eine Grundfähigkeit zu 

kreativem Handeln eigen ist. Nachdem das Unterrichtskonzept 

mit Schülerinnen und Schülern 

durchgeführt wurde, soll an die kreativen Produkte 

nicht der Anspruch wie Originalität, Einzigartigkeit 

oder Genialität gestellt werden. Stattdessen 

wird auch hier auf die Definition nach Drevdahl 

zurückgegriffen, wonach das Produkt eben nicht 

perfekt oder vollkommen sein soll, jedoch beabsichtigt 

und zielgerichtet. Den Anspruch des neuartigen 

Ergebnisses wird aufgrund der für Schülerinnen 

und Schüler neuartigen Kombination von 

Musik und Funktionsgraphen erfüllt. Wenn nun 

also der Frage nachgegangen wird, inwiefern das 

Konzept der musikalischen Graphen ein expressiv 

kreatives Arbeiten ermöglicht, werden ausschließlich 

die Kriterien der Zielgerichtetheit, Absichtlichkeit, 

Neuartigkeit und die Bildung neuer Beziehungen 

für den Ausschluß einer bloßen Zusammenfassung 

herangezogen. Im Folgenden soll dies 

exemplarisch an einigen Ergebnissen der empirischen 

Studie näher ausgeführt werden. 

4 Design der Studie 

Das siebenstündige Unterrichtskonzept wurde in 

einer Hauptstudie mit zwei zehnten Klassen an einem 

Gymnasium (G8) durchgeführt, der eine Vorstudie 

mit ebenfalls zwei zehnten Klassen vorausging 

und eine Nachstudie mit einer elften Klasse 

(G9) einer Freien Waldorfschule mit sechs Unterrichtsstunden 

folgte. Den Themenbereichen Graphen 

hören und Graphen lesen und schreiben wurde 

ein Zeitfenster von jeweils einer Doppelstunde 

eingeräumt, die von der Lehrkraft mit dem entsprechenden 

Schwerpunktfach unterrichtet wurde. 

Daran schloss sich eine dreistündige Unterrichtseinheit 

zu mit Graphen komponieren an, bei 

der beide Lehrer zur Verfügung standen. Nach 

jeder Themeneinheit wurden jeweils pro Klasse 

vier qualitative Schülerinterviews nach der Methode 

des Experteninterviews nach Gläser & Laudel 

[2006] durchgeführt. Dabei wurde den folgenden 

Fragen nachgegangen: 

⊲ Inwiefern wird das Wissen über Funktionen genutzt, 

um Gegebenes 3 „adäquat“ beschreiben 

142 

bzw. darstellen zu können? 

⊲ Inwiefern ist ein Zugang zu graphischen Notationen 

und damit zu Neuer Musik durch den Bezug 

zu Funktionen möglich? 

Um sicherzustellen, dass die Interviewfragen 

aufgrund des Unterrichtsverlaufs beantwortet 

werden können, wurden die Schülerinterviews 

durch Unterrichtsbeobachtung trianguliert. Auf 

diese Weise sollte zudem eine Vergleichbarkeit 

der einzelnen Interviews trotz der Unterschiede 

beim Unterrichtsverlauf aufgrund der verschiedenen 

Lehrpersonen gewährleistet werden. 

Die 24 Schülerinterviews der Hauptstudie 

wurden mittels qualitativer Inhaltsanalyse nach 

Mayring [2008] ausgewertet. Aufgrund der derzeitigen 

Forschungslage in diesem Themenfeld 

ist Ziel dieser Studie die Hypothesengenerierung. 

Die Kategorien wurden dabei induktiv anhand des 

Textes im Hinblick auf Schülertätigkeiten definiert, 

wobei bei der anschließenden Bündelung 

der Kategorien versucht wurde, dass ein Bezug 

zu den drei Aspekten des funktionalen Denkens 

[Vollrath, 1989] oder zu musikalischen Kompetenzfeldern 

[Gallus, 2005] hergestellt wird. Im 

Hinblick auf expressiv kreatives Arbeiten sollten 

die Richtlinien für eine expressiv kreative Tätigkeit 

(siehe Kreatives Arbeiten mit Musikalischen 

Graphen) aufgegriffen werden. 

5 Ergebnisse 

Die Ergebnisse können anhand der Schwerpunktlegung 

der Fächer Musik und Mathematik bei der 

Konzeption des Unterrichts in drei Bereiche gegliedert 

werden. Zum einen wurde beobachtet, inwiefern 

die drei Aspekte des funktionalen Denkens 

durch den auditiven Einsatz angesprochen 

werden. Zum anderen wurden die Schülertätigkeiten 

dahingehend untersucht, in welchem Maß die 

Kriterien für expressiv kreatives Arbeiten erfüllt 

werden. Zusätzlich rückten musikalische Ziele in 

den Blickpunkt, bei denen auch nach dem Nutzen 

und dem Aufgreifen von Wissen zu Funktionen 

geachtet wurde. 

5.1 Mit Graphen komponieren 

3 Gegebenes wird dabei einerseits als Gehörtes andererseits als „gefühlte Zeit“ interpretiert. 

Bei mit Graphen komponieren begründeten alle 

interviewten Schülerinnen und Schüler die Wahl 

und Zusammensetzung ihres Funktionsgraphen. 

Dabei thematisierten alle Interviewten das Kategorienbündel 

„Das Änderungsverhalten eines 

Funktionstyps wird als Grund für die Wahl verwendet.“. 

Hierbei wurden die folgenden Kategorien 

unterschieden: 

⊲ Das grobe Änderungsverhalten eines Funktionstyps 

wird als Grund für die Wahl verwendet. 

⊲ Das differenzierte Änderungsverhalten eines 

Funktionstyps wird als Grund verwendet,. . .

◦ . . . diesen zu wählen 

◦ . . . diesen auszuschließen 

Bei der Angabe des groben Änderungsverhaltens 

wurde ausschließlich zwischen Fallen und 

Steigen unterschieden. Die Begründung durch ein 

differenziertes Änderungsverhalten für die Wahl 

oder den Ausschluss eines Funktionstyps zeigte 

sich, indem Schülerinnen und Schüler den Grad 

des Steigens bzw. Fallens als ausschlaggebend 

auswiesen. Nachdem fast alle (7 von 8) Interviewten 

der Kategorie des differenzierten Änderungsverhaltens 

zugeordnet werden konnten, wird folgende 

Hypothese generiert: 

⊲ Durch die gezielte Betrachtung des Änderungsverhaltens 

kann eine Grundvorstellung für den 

Ableitungsbegriff entwickelt werden. 

Dabei muss allerdings einschränkend hinzugefügt 

werden, dass nicht geklärt werden kann, 

inwiefern diese Hypothese auch auf die Themenwahl 

der Klangcollage zurückgeführt werden 

muss. Eine Voraussetzung kann folglich ein Thema 

mit funktionalem Zusammenhang zum Antragen 

eines Änderungsverhaltens darstellen. 

Um die Wahl eines Funktionstyps zu begründen, 

führten mehr als die Hälfte (5 von 7) der interviewten 

Schülerinnen und Schüler zudem als 

Ausschluss- oder Auswahlkriterium eine Eigenschaft 

des Funktionstyps an. 

Diese beiden Kriterien Änderungsverhalten 

und Eigenschaften einer Funktion rückten zudem 

bei dem Kategorienbündel „Tätigkeitsformen expressiv 

kreativen Arbeitens werden gezeigt.“ in 

den Blickpunkt. Die Interviews wurden dahingehend 

untersucht, inwiefern diese beiden Kriterien 

mit musikalischen Kategorien oder Elementen in 

Beziehung gesetzt wurden. Dabei zeigten sich folgende 

Kategorien: 

⊲ Klangfarbe wird in Abhängigkeit vom Änderungsverhalten 

des Graphen verwendet. 

⊲ Stücke des Graphen werden wiederholt eingesetzt, 

um ähnliche Verläufe zu charakterisieren. 

⊲ Der Graph wird als klangliches Mittel gezielt in 

die Klangcollage integriert. 

⊲ Eine charakteristische Eigenschaft eines Funktionstyps 

wird abstrahiert metaphorisch umgedeutet. 

⊲ Dynamische Mittel werden berücksichtigt. 

Anhand dieser Kategorien kann aufgezeigt 

werden, dass der Klang des Funktionsgraphen 

nicht unverarbeitet neben die musikalischen Klangereignisse 

gesetzt wird, sondern mit diesen gezielt 

in Beziehung gesetzt werden. Dieses Kategorienbündel 

thematisierten sechs von acht Schülerinnen 

und Schüler im Interview. Allerdings muss 

angemerkt werden, dass die Zeit für eigenständiges 

Arbeiten an der Klangcollage anfangs zu gering 

bemessen wurde. Schülerinnen und Schüler 

benötigten mehr Zeit als erwartet, um sich in die 


zumeist für sie neue Software einzuarbeiten. Daher 

wurde in einer Klasse die Stundenzahl beim 

Themenfeld mit Graphen komponieren spontan 

aufgestockt. Die Interviewten dieser Klasse erfüllten 

alle das Kategorienbündel mittels irgendeines 

der oben angeführten Kategorien. 

Im Hinblick auf kreatives Arbeiten muss nun 

der Einsatz der klanglichen Mittel aus musikalischer 

Sicht näher betrachtet werden. Hansen stellte 

wie oben angemerkt die Bedingung an kreatives 

Verhalten beim Verwenden des Materials ein 

gewisses Ordnungsprinzip zu verfolgen. Die Interviews 

wurden nun dahingehend untersucht, inwiefern 

die Möglichkeiten zur Wahl und Variation 

von Klangereignissen in Betracht gezogen wurde 

und ob ein absichtlicher und zielgerichteter Einsatz 

der ausgewählten Elemente stattfand. 

Unter Berücksichtigung eines erhöhten Zeitkontingents 

wird folgende Hypothese generiert: 

⊲ Das Komponieren mit Graphen eröffnet die 

Möglichkeit für expressiv kreatives Arbeiten im 

Hinblick auf eine absichtliche und zielgerichtete 

Verbindung von Funktionsgraphen und Musik. 

Komponieren wird dabei als eine Weise des 

Musik Machens nach Elliot aufgefasst, welche 

sich vom Ausführen, Arrangieren, Improvisieren 

sowie Einstudieren und Leiten unterscheidet [Vgl. 

Elliott, 1995]. 

Im Folgenden soll nun an zwei konkreten 

Beispielen Anna und Moritz die Vorgehensweise 

beim Themenfeld mit Graphen komponieren ausschnittsweise 

rekonstruiert werden. 

Anna 

Die Schülerin Anna wählt für ihre Klangcollage 

das Thema Urlaub mit Hin- und Rückflug 

(Abb. 18.4). Bei der Auswahl der Funktionstypen 

für die Erstellung ihres Funktionsgraphen zum 

Thema „gefühlte Zeit“ entscheidet sie sich zusammen 

mit ihrer Partnerin für Ausschnitte einer 

Exponential- und Sinusfunktion sowie einer 

linearen Funktion. Dies begründet sie durch die 

Betrachtung des differenzierten Änderungsverhaltens, 

wie an diesem Auszug deutlich wird: 

„wir haben uns eben überlegt, die Exponentialfunktion 

ging etwa bis zu dieser Linie 

hier, . . . es muss aber noch weiter nach oben 

gehen. Da die Exponentialfunktion aber irgendwann 

zu steil wird, weil sie ja dann fast 

im 90 ◦ -Winkel zu dieser Linie hier steht, haben 

wir uns überlegt, wir wollen schon ne 

Schräge haben und haben deswegen den Sinus 

genommen, weil das eben nicht ganz gerade 

ist, sondern eben noch ne Steigung hat, 

die eben hier passt.“ 

143


Abbildung 18.4: Funktionsgraph zum Thema Urlaub von Anna 

Den Klang des Graphen fügte sie mit Flugzeuggeräuschen 

und afrikanischer Musik als typische 

Klangereignisse für die jeweilige Situation in 

der Klangcollage zusammen. Diese starke Reduktion 

der Mittel fußte in der Erkenntnis von Anna 

und ihrer Partnerin, dass diese Ereignisse die einzig 

ausschlaggebenden Bedingungen für die Veränderung 

der Zeitwahrnehmung sind. 

„Das war für uns nicht wichtig, weil wir ja 

nur verdeutlichen wollten, dass zuerst beim 

Hinflug, wir hatten ja auch den Graphen im 

Hintergrund, wir wollten einfach nur verdeutlichen, 

dass die Tonhöhe praktisch beim 

Hinflug niedriger ist, dann ansteigt und hier 

konstant ist. Und es war einfach, es war 

nichts Anderes dabei wichtig. Es ist richtig 

dass man im Urlaub oder im Flugzeug noch 

andere Geräusche hört, aber für uns stand 

der Flug, dass es da die Zeit langsamer vergeht 

beziehungsweise schneller für uns, das 

stand da im Vordergrund.“ 

Die afrikanische Musik diente zudem dazu die 

entspannte und ruhige Atmosphäre im Urlaub zu 

vermitteln. Demzufolge wird ein Ordnungsprinzip 

bei der Wahl der Klangereignisse gewählt. In 

Anbetracht des hohen Maßes an Reduktion kann 

dies bereits als ein Stilmittel gedeutet werden. 

Die Voraussetzung für expressiv kreatives Arbeiten 

im Mathematikunterricht wird allerdings nur 

ansatzweise erfüllt. Der Klang des Graphen wird 

ausschließlich neben die Klangereignisse gesetzt. 

Allerdings wird es dynamisch bearbeitet, wie im 

vorausgehenden Zitat durch die Hierarchiebildung 

angedeutet wird. 

Durch die zielgerichtete und absichtliche 

Wahl der eingesetzten Elemente und einer über die 

Fachgrenzen hinausgehenden Arbeitsweise kann 

Anna noch als ein Beispiel für expressiv kreatives 

Arbeiten gewertet werden. Einschränkend muss 

allerdings angeführt werden, dass nicht eindeu- 

144 

tig geklärt werden kann, ob tatsächlich alle klanglichen 

Mittel beim Entwerfen der Klangcollage 

in Betracht gezogen wurden, und dass die Einarbeitung 

des Graphen an ein Nebeneinanderstellen 

grenzt. 

Moritz 

Das Thema, welches von Moritz behandelt wurde, 

ist Schule. Bei der Erstellung seines Funktionsgraphen 

(Abb. 18.5) wählt er die Funktionstypen 

Logarithmus- und Exponentialfunktion, wobei 

er das differenzierte Änderungsverhalten als 

Grund anführt. Ferner folgert Moritz die Lage der 

Extrempunkte aus dem Wechsel zwischen Unterrichtstunden 

und Pausen. Als Verbesserungsvorschläge 

führt er eine Erweiterung des Graphen 

um eine weitere Logarithmusfunktion zu Beginn 

an, um auch das Aufstehen in die Klangcollage 

zu integrieren. Auch die Gerade die er für den 

Schluss gewählt hatte, würde er teilweise durch 

eine Sinus- oder Kosinusfunktion ersetzen: 

„Ich würde es dann vermutlich mit ner Sinusoder 

Kosinusfunktion machen. . . [. . . ] Hier, 

Schwankung hat, die zwar dann eigentlich 

nicht natürlich ist, aber darstellt, dass man 

danach dann auch noch Schwankungen hat. 

Dass das nicht völlig aufhört, dass man dann 

gleich happy, und die Zeit vergeht völlig 

schnell, sondern das Ganze auch noch seine 

Höhen und Tiefen hat.“ 

Demzufolge dient das Charakteristikum der 

Periodizität als metaphorisches Stilmittel. Die Eigenschaft 

eines Funktionstyps wird somit in einem 

erweiterten Kontext gesehen. Ähnlich verhält 

es sich auch bei dem letzten großen Anstieg zum 

Maximum vor der Sinus-/Kosinusfunktion: 

„gegen Ende hin, hat das Ganze dann bei der 

Umsetzung dann irgendwie doch eher den 

Effekt bekommen, dass das Ganze das Aufwachsignal 

dann doch wieder ist, nach dem


Abbildung 18.5: Funktionsgraph von Moritz zum Thema Schule 

Ende der Schulzeit und das geht dann nach 

nem kurzen Durchhänger, eben dem Vorspiel 

diesem letzten dann doch in die richtige Freizeit 

über.“ 

Dieser Anstieg übermittelt folglich in der 

Klangcollage nicht nur den funktionalen Zusammenhang, 

sondern wird durch Spielen mit Klängen 

zu einem zielgerichtet eingesetzten und absichtlichen 

Klangmittel. Daneben verwendet Moritz 

in seiner Klangcollage absichtlich ausschließlich 

Musik und verschiedene Klangeffekte zur Bearbeitung 

des Graphenklangs und der unterlegten 

Musik sowie dynamische Veränderungen. In Moritz‘ 

Klangcollage 

„zeigt des [der Funktionsgraph] eben die 

Schwankungen in der Schule, während die 

Hintergrundmusik, die Schule als Ganzes 

letztendlich zeigt.“ 

Insgesamt beinhaltet Moritz‘ Arbeitsweise ein 

hohes Maß an expressiv kreativen Tätigkeiten. 

5.2 Graphen hören sowie Graphen lesen und 

schreiben 

Bei der Themeneinheit Graphen hören zeigte sich, 

dass die interviewten Schülerinnen und Schüler 

den Verlauf des Gehörten zumeist (22 von 24 

Versuche) richtig aufzeichneten und den Funktionstyp 

daraufhin bestimmten. Nachdem die angefertigten 

Skizzen und die anschließende Wahl 

aufgrund der individuell verschiedenen Höreindrücke 

begründet werden mussten, wurde das Änderungsverhalten 

des Tonhöhenverlaufs durch jeden 

Interviewten thematisiert. Das Kategorienbündel 

„Anhand des Tonhöhenverlaufes wird ein 

Bezug zum Änderungsverhalten des Graphen hergestellt.“ 

konnte in folgende Kategorien unterteilt 

werden: 

⊲ Tonhöhenverlauf wird nur durch ein grobes Änderungsverhalten 

beschrieben. 

⊲ Tonhöhenverlauf wird durch ein differenziertes 

Änderungsverhalten beschrieben. 

Nachdem die Krümmungen graphisch stets 

wiedergegeben oder mit anderen Begriffen wie 

Welle, Bogen o.ä. umschrieben wurden, darf davon 

ausgegangen werden, dass das differenzierte 

Änderungsverhalten durchaus von jeder Schülerin 

und jedem Schüler wahrgenommen wird, doch 

die Formulierungen nicht bei allen gleichermaßen 

präzise sind. Daraus wurden folgende Hypothesen 

abgeleitet: 

⊲ Durch die gezielte Betrachtung des Änderungsverhaltens 

kann eine Grundvorstellung für den 

Ableitungsbegriff entwickelt werden. 

⊲ Zur Präzisierung der Übermittlung des subjektiven 

Höreindrucks kann bei der Beschreibung 

des Gehörten die mathematische Fachsprache 

gefördert werden. 

Für das Themenfeld Graphen lesen und schreiben 

wurde auf entsprechende Art diese Hypothese 

generiert: 

⊲ Das Wiedererkennen von Funktionsgraphen 

und damit einhergehend das Übertragen des 

dazugehörenden Wissens auf graphische Notationsformen 

kann beim Musizieren und bei der 

musikalischen Analyse von Tonhöhenverläufen 

helfen. 

145


5.3 Resümee 

Demzufolge wird das Wissen über verschiedene 

Funktionstypen mit den dazugehörenden Eigenschaften 

und Änderungsverhalten in allen drei 

Themenfeldern auf verschiedene Weise genützt, 

angewendet und übertragen. Außerdem bietet das 

Konzept die Möglichkeit zu expressiv kreativem 

Arbeiten, wodurch Schülerinnen und Schüler 

auch im Mathematikunterricht eine emotionalsubjektive 

Komponente erfahren dürfen. 

Literatur 

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Journal of Clinical Psychology, 12(1), 21–26. 

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Music Education. New York: Oxford. 

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Chor aktuell. Chorbuch für Gymnasien. Regensburg: Bosse. 

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In: Jank, Werner (Hg.): Musik-Didaktik: Praxishandbuch 

für die Sekundarstufe I und II, Berlin: Cornelsen Scriptor, 101– 

113. 

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und qualitative Inhaltsanalyse als Instrumente rekonstruierender 

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Graphical Conceptions. Research in Mathematics Education, 

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ein Beitrag zur historisch-systematischen Musikdidaktik. 

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146 

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vor? mathematik lehren, 75, 9–13. 

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Temperamente – Komödiantische Szenen für gemischten 

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Doblinger. 

Leuders, Timo (2005): Kreativitätsfördernder Mathematikunterricht. 

In: Leuders, Timo (Hg.): Mathematik-Didaktik, Berlin: 

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und Kovariation. mathematik lehren, 103, 8–11. 

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Neuhaus, Kornelia (2001): Die Rolle des Kreativitätsproblems 

in der Mathematikdidaktik. Berlin: Köster. 

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einer schöpferischen Schulmusikpraxis. Nummer 51 in 

Rote Reihe, Wien: Universal Edition. 

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York: Hastings House. 

Ulmann, Gisela (1968): Kreativität. Neue amerikanische Ansätze 

zur Erweiterung des Intelligenzkonzeptes. Weinheim: 

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Vollrath, Hans-Joachim (1987): Begriffsbildung als schöpferisches 

Tun im Mathematikunterricht. Zentralblatt für Didaktik 

der Mathematik, 19(3), 123–127. 



Weth, Thomas (1999): Kreativität im Mathematikunterricht. 

Hildesheim: Franzbecker.

• Von Daten zur Funktion: Skizzen eines anwendungsorientierten 

Analysisunterricht 

Joachim Engel, Ludwigsburg 

Der Aufsatz umreisst Perspektiven eines technologiegestützten Analysisunterrichts, von der Propädeutik 

einer elementaren Funktionenlehre in der Sekundarstufe I bis hin zur Hochschulausbildung 

in angewandter Analysis. Didaktische Intention ist die Entwicklung von Kompetenzen, funktionale 

Zusammenhänge aus der uns umgebenden Erfahrungswelt mit mathematischen Methoden zu modellieren. 

Kennzeichen des vorgestellten Ansatzes sind reale Daten als Grundlage für authentische 

und glaubwürdige Modellierungen, der Einsatz von Technologie als Werkzeug zum Problemlösen 

und zur Illustrierung von Konzepten und Zusammenhängen sowie die Vernetzung von Analysis mit 

(Schul-) Algebra, Stochastik und Numerik. 

1 Analysisunterricht in der 

Diskussion 

Analysis zählt seit über 100 Jahren zum Curriculum 

an allgemeinbildenden Gymnasien [Führer, 

1981, 2012] und gehört zu den Grundpfeilern 

des Mathematikunterrichts in der Sekundarstufe 

II, denen eine unverändert zentrale Bedeutung 

zukommt [Kultusministerkonferenz, 2002]. 

Allerdings äußert sich gerade am Analysisunterricht 

seit vielen Jahren eine massive Kritik (siehe 

z.B. Henn, 2000): Er sei zu stark verfahrensorientiert 

und zu wenig vorstellungsorientiert; formales 

Vorgehen dominiere gegenüber inhaltlichen Überlegungen; 

zudem sei der Unterricht nur wenig vernetzend, 

sowohl was Wiederholungen und Fortsetzungen 

als auch was Bezüge zu Alltag, Umwelt 

und anderen Fächern anbetrifft. Gerade für 

den real existierenden Analysisunterricht gelte die 

allseits beklagte übermäßige Kalkülorientierung, 

die mangelnde Vernetzung und der unzureichende 

Sinnbezug. Damit stellt sich die Frage, was 

angesichts leicht verfügbarer elektronischer Hilfsmittel 

„allgemeinbildender“ Lehrstoff in Analysis 

sein soll und was nicht. Gewiss gibt es zahlreiche 

innovative Vorschläge und Konzepte, den Analysisunterricht 

sowohl in seiner Zielsetzung wie 

auch methodischen Ausrichtung neu zu gestalten. 

Im Folgenden umreißen wir Skizzen eines technologiegestützten 

anwendungsorientierten Analysisunterrichts. 

Die Eckpfeiler dieses Unterrichts lassen 

sich mit den drei Begriffen Technologie, Daten 

und Vernetzungen beschreiben. 

1.1 Technologie 

Die meisten Anwendungen von Mathematik sind 

im 21. Jahrhundert nicht mehr ohne Computertechnologie 

denkbar. Dabei findet eine weitgehende 

Arbeitsteilung statt: Während sich die Maschine 

hervorragend dazu eignet, aufwändige Berechnungen 

durchführen, wendet sich der Mensch gerade 

den Fragen zu, die der Computer nicht entscheiden 

kann. Technologie erlaubt uns nicht nur 

lästige – aber im Prinzip verstandene – Routineaufgaben 

an den ”Rechenknecht” zu delegieren, 

sondern didaktisch konzipierte Software dient vor 

allem auch als multimediales Mittel zur Veranschaulichung 

und Illustration, um konzeptionelles 

Verstehen zu fördern. Es ermöglicht lernerzentrierte 

Unterrichtskonzepte und erlaubt einen experimentellen 

und entdeckenden Arbeitsstil. Zentrale 

Ideen der angewandten Mathematik können 

so illustriert und multimedial dargestellt werden, 

was den Erwerb eines verständnisvollen Umgangs 

mit diesen Konzepten entscheidend unterstützen 

kann. Schließlich erlaubt uns die modere Kommunikationstechnologie 

wichtige Information zu 

beschaffen, die in einem problemorientierten Unterricht 

nutzbar gemacht werden kann. 

1.2 Daten 

Umwelterschließung und Anwendungsorientierung 

sind im Mathematikunterricht streng genommen 

selten ohne reale Daten denkbar. Daten bilden 

die wissenschaftlich akzeptierte Grundlage 

des Erkenntnisgewinnes und sind beim Aufbau 

evidenzbasiertem neuen Wissens unverzichtbar, 

denn sie sind weitaus glaubwürdiger als Anekdoten 

oder bloße Meinungen. Anwendungsbezogener 

Mathematikunterricht, der diesen Namen verdient, 

sollte sich weitgehend auf reale Daten beziehen, 

nicht auf erfundenes Zahlenmaterial. 

Leider sind Daten aus dem Leben oft krumm, 

und ihre arithmetische Verarbeitung endet selten 

in einem numerisch einfachen Ergebnis. Traditionelle 

Schulbücher umgehen diese Problematik 

einfach mit erfundenen Anwendungsbeispielen. 

Zu einer mehr oder weniger belanglosen Story 

werden bequeme Daten fingiert, um eine bestimmte 

(meist auf den vorangegangenen Seiten 

gerade eingeführte) Technik zu benutzen – ganz 

in der Tradition der eingekleideten Textaufgaben. 

Die auftretenden Zahlen sind leicht handhabbar, 

rund und das Ergebnis selten mehr als dreistellig. 

Das davon erzeugte Bild von mathematischen Anwendungen 

ist verzerrt, weil es – heimlich oder offen 

– das Werkzeug über die Sache stellt und reale 

Kontexte verharmlost. 

Intellektuell redlicher anwendungsorientierter 

Mathematikunterricht verlangt wirkliche Fragestellungen 

und die Arbeit mit realen (nicht nur 

147


realistischen) Daten. Allerdings haben reale Daten 

oft Probleme: Messwerte fehlen oder sind inkorrekt. 

Berechnungen mit der Hand sind ermüdend 

und führen selten zu ,runden’ Ergebnissen. Manche 

Daten sind auch verfälscht aufgrund fehlerhafter 

Erhebungen, unehrlicher Antworten der Befragten 

oder missverständlicher Notationen. Die 

zur Analyse anzuwendenden Methoden sind selten 

eindeutig erkennbar oder bestimmt. Oft müssen 

noch verschiedene weitere Annahme formuliert 

werden, bevor eine Analyse beginnen kann. 

Hier werden PCs und leistungsfähige Taschenrechner 

zum wichtigen Werkzeug, das von lästiger 

Rechenroutine entlastet und hilft, sich auf 

die wesentlichen Elemente des Anwendens von 

Mathematik zu konzentrieren. Gewiss ist es instruktiv, 

aber auch zeitaufwändig, im Unterricht 

Daten zu erheben. Moderne Technologie erlaubt 

uns nicht nur, erhobene Daten effektiv zu verwalten 

und darzustellen, sondern ermöglicht Daten zu 

fast jedem interessierenden Themengebiet zu beschaffen 

[Engel, 2007]. 

1.3 Vernetzungen 

Mathematik ist eine höchst kumulative Wissenschaft, 

deren Erkenntnisse stark auf Querbezügen 

und Kausalbezügen aufbauen, die sich bei jeder 

Mathematisierung aus den notwendigen Abstraktionen 

einstellen. Mathematisches Denken ist 

Denken in abstrahierten Zusammenhängen. Das 

Herstellen von Querbezügen zu schon Gelerntem 

hilft dabei, neues mathematisches Wissen aufzubauen. 

Guter Mathematikunterricht hebt Verbindungen 

zu anderen Lehrstoffen hervor, und fördert 

so mathematisches Verstehen und das Verständnis 

dafür wie mathematische Ideen aufeinander aufbauen 

und ein zusammenhängendes Ganzes bilden. 

Daher wird anwendungsbezogener Analysisunterricht 

seine Inhalte mit anderen Gebieten 

vernetzen, z. B. mit elementarer Funktionenlehre, 

(Linearer) Algebra, Stochastik, Anwendergeometrie, 

Numerik, . . . 

2 Beispiele 

Im Folgenden umreißen wir einige Beispiele, die 

angefangen in der elementaren Funktionenlehre 

der Sekundarstufe I bis hin zu numerisch anspruchsvollen 

Methoden für die Oberstufe und die 

Hochschulausbildung ein Ziel verfolgen: Schüler 

dazu befähigen, funktionale Zusammenhänge 

zu modellieren. Viele weitere Beispiele und vor 

allem eine Darlegung geeigneter mathematischer 

Methoden finden sich in einem kürzlich erschienen 

Lehrbuch [Engel, 2009]. 

2.1 Schriftgröße und Textlänge 

Wenn man einen festen Textabschnitt in einem 

Textverarbeitungssystem schreibt, dann kann man 

148 

1 http://es.wikisource.org/wiki/El_ingenioso_Hidalgo_Don_Quijote_de_la_Mancha 

die Länge des Textes beeinflussen, indem man unterschiedliche 

Schriftgrößen verwendet. Aber um 

wie viel ändert sich die Textlänge bei Vergrößerung 

der Schriftgröße? Wir haben einen Text 

genommen (den ersten Abschnitt aus Don Quijote 

von Cervantes auf Spanisch 1 ) und haben 

die Schriftgröße (pt) variiert. Die Variablen sind 

Schriftgröße und Textlänge. Abb. 19.1 zeigt ein 

Streudiagramm der Daten, in das nach Augenmaß 

sowohl eine Gerade 

y = 1,43x − 7,2 

wie auch eine quadratische Funktion 

y = 0,0572x 2 

eingepasst wurde. Man sieht sofort, dass die Gerade 

kein angemessenes Modell liefert und dass die 

Parabel ein sehr gutes Modell darstellt. 

Offensichtlich wächst mit ansteigender 

Schriftgröße nicht nur die Breite, sondern auch 

die Höhe der Buchstaben. Dies liefert eine plausible 

Begründung für die Eignung des quadratischen 

Modells. Wird die Schriftgröße um das 

1,5-fache erhöht, vergrößert sich die Textlänge 

etwa um das 1,5 2 = 2,25-fache. Wird die Schriftgröße 

verdoppelt, so wird sich die Textlänge in 

etwa vervierfachen. 

Abbildung 19.1: Schriftgröße und Textlänge eines 

vorgegebenen Textes mit eingepasster Gerade und 

Parabel. Im unteren Teil: Residuendiagramm für 

die eingepasste Parabel. 

Dennoch kommt es zu Abweichungen zwischen 

Daten und Modell, wie dem Residuendiagramm 

im unteren Teil von Abb. 19.1 zu entnehmen 

ist. Diese Abweichungen sind kein Anzeichen 

dafür, dass das Parabelmodell ungeeignet 

ist. Modell und „Realität“ stimmen bei realen 

mathematischen Anwendungen nie überein. 

Diese vielleicht wichtigste Lektion des Novizen 

beim Erlernen der Kunst des mathematischen Modellierens 

ist im vorliegenden Fall sehr plausibel:

Von Daten zur Funktion: Skizzen eines anwendungsorientierten Analysisunterricht 

Das Textverarbeitungssystem ändert bei verschiedenen 

Schriftgrößen den Zeilenumbruch. Und ein 

Wort, das einmal gerade noch in die Zeile passt, 

kommt bei veränderter Schriftgröße in eine neue 

Zeile, während der Text der alten Zeile gestreckt 

wird. Es lohnt sich durchaus, eine entsprechende 

Datenerhebung mit einem Text eigener Wahl 

durchzuführen und dabei die Abweichungen der 

Messdaten vom Parabelmodell zu beachten. 

2.2 Verteilung von Anfangsziffern 

Sind bestimmte Ziffern im Alltag bevorzugt, oder 

kommen alle zehn Ziffern ungefähr gleich oft vor? 

Zur Untersuchung dieser Frage haben wir willkürlich 

irgendeine zweistellige Zahl genommen, z.B. 

17, und dann mittels Suchmaschine im Internet die 

Anzahl der Seiten ermittelt, auf denen jeweils die 

Ziffern 117, 217, 317 bis 917 auftreten. Kommen 

die Anfangsziffern von 1 bis 9 etwa gleich häufig 

vor, oder werden bestimmte Zahlen bevorzugt? 

Abbildung 19.2: Google-Suche mit Angabe der 

Anzahl der Seiten, auf denen die Ziffer 117 vorkommt 

Von den im Internet ermittelten Werten wurden 

die relativen Häufigkeiten berechnet und in 

ein Streudiagramm eingetragen (Abb. 19.3). Dabei 

lässt sich zunächst feststellen, dass die Ziffern 

keineswegs gleichverteilt sind. In den meisten Fällen 

liefert eine Funktion der Form 

 

y = log 1 + 1 

 

x 

eine hervorragende Anpassung. Dahinter steckt 

ein Gesetz, das nach Frank Benford (1883-1948) 

benannt ist. 

Abbildung 19.3: Streudiagramm der relativen 

Häufigkeiten dreistelliger Zahlen mit Endziffern 

17 inkl. Benford-Funktion 

! 

! 

Bei unserer Internet-Recherche konnte man 

jedoch auch auf markante Ausreißer – wen überrascht 

es bei statistischen Zahlen – stoßen: Geht 

man z.B. von der Ziffer 65 aus, so fällt eine besondere 

Häufigkeit der Zahl 365 auf (warum wohl?), 

die gar nicht dem Benford-Gesetz entsprechen 

mag, siehe Abb. 19.4. Eine elementare Erklärung 

dieses Gesetzes findet sich z.B. bei [Humenberger, 

2008]. 

Abbildung 19.4: Streudiagramm der relativen 

Häufigkeiten dreistelliger Zahlen mit Endziffern 

65 inkl. Benford-Funktion 

Abbildung 19.5: Temperaturzuwachs von unterschiedlichen 

Volumina Wasser nach 30 Sekunden 

in der Mikrowelle mitsamt per Augenmaß angepasster 

antiproportionaler Funktion und Residuendiagramm 

(unterer Teil) 

2.3 Wasser in Mikrowelle erhitzen 

Verschiedene Mengen Wasser wurden jeweils für 

30 Sekunden in der Mikrowelle erhitzt. Wie hängt 

der Temperaturzuwachs in diesem Experiment 

von der Wassermenge ab? Die Daten bestehen 

aus zehn Messwerten der jeweiligen Temperatur 

! 

! 

149


in Grad Celsius vor und nach dem Erhitzen in 

der Mikrowelle sowie der jeweiligen Wassermenge 

(in ml). 

Hierbei wird schnell ersichtlich, dass eine einfache 

Antiproportionalität der Form y = a x den 

Daten nicht gerecht wird, da im Residuendiagramm 

systematische Abweichungen zwischen 

Daten und Modell erkennbar sind. Die Daten sind 

zwar offensichtlich gekrümmt, aber eine Antiproportionalität 

scheint nicht geeignet, diese Krümmung 

angemessen zu erfassen. 

Bevor wir weitere Parameter einführen und 

dann per Schieberregler probieren, bis eine halbwegs 

zufrieden stellende Anpassung erzielt ist, 

schlagen wir einen anderen Weg ein: Durch Logarithmierung 

beider Variablen erhalten wir ein 

Streudiagramm mit einem annähernd linearen 

Trend (siehe Abb. 19.6). In dieses Streudiagramm 

wird nach der kleinsten-Quadrate-Methode eine 

Gerade eingepasst, was von vielen Softwarepaketen 

problemlos vollzogen werden kann: 

logTZuwachs = a · logVol + b, 

wobei logTZuwachs = log(TZuwachs) und 

logVol = log(Volumen) bezeichnet. 

Aus Steigung und Achsenabschnitt dieser eingepassten 

Geraden lässt sich jetzt per Rücktransformation 

ein geeignetes Modell für die Ursprungsdaten 

ermitteln: 

TZuwachs = b · Volumen b . 

Abbildung 19.6: Streudiagramm der logarithmierten 

Daten mitsamt eingepasster kleinster- 

Quadrate-Geraden. 

150 

Im vorliegenden Fall ergibt sich hieraus 

y = 270,43 

, 

x0,607 ! 

dargestellt in Abb.19.7. Auch hier beobachten 

wir im Residuendiagramm Abweichungen zwischen 

Daten und Modell. Diese weisen jedoch 

keine systematische Struktur auf, sondern mögen 

durch weitere Störgrößen wie z.B. unterschiedliche 

Anfangstemperaturen des zu erhitzenden 

Wasser bzw. durch Messungenauigkeiten entstanden 

sein. 

Abbildung 19.7: Eingepasste Potenzfunktion, erhalten 

nach Rücktransformation der in die logarithmierten 

Daten eingepassten Geraden 

Als Alternative kann man auch versuchen, direkt 

ein kleinste Quadrate-Kriterium zu minimieren. 

Basierend auf der Modellannahme y = a 

xb sucht man nach Werten für die Parameter a und 

b, so dass 

F(a,b) = 

n 

∑ 

i=1 

 

yi − a 

x b i 

2 

minimal wird. 

Nichtlineare Regression läuft auf die Anwendung 

numerisch sehr anspruchsvoller Verfahren 

wie z.B. den iterativen Gauß-Newton Algorithmus 

hinaus, einer mehrdimensionalen Verallgemeinerung 

des auch in der Schule bekannten Newton- 

Verfahrens zur approximativen Bestimmung einer 

Nullstelle. Einige Softwarepakete führen curve 

fitting für eine kleine im Programm vorgegebene 

Menge nichtlinearer Funktionen aus. Eine flexible 

Anwendung des Gauß-Newton-Algorithmus 

verlangt jedoch den Einsatz professioneller Software. 

wie z.B. die statistische Analysesoftware 

!

Von Daten zur Funktion: Skizzen eines anwendungsorientierten Analysisunterricht 

R, die sich im akademischen Bereich in der Stochastik 

durchgesetzt hat und als open source unter 

http://cran.r-project.org frei erhältlich 

ist. 

Zur Bestimmung der Parameter a und b müssen 

Nullstellen der partiellen Ableitungen der 

Funktion F zweier Veränderlicher ermittelt werden. 

Mit den Anfangsschätzern a = 250, b = 

0,5 endet der in R implementierte Gauß-Newton- 

Algorithmus nach 6 Iterationen mit den Werten 

a = 270,88 und b = 0,609. 

Man beachte, dass wir beim direkten Minimieren 

eines kleinste-Quadrate-Kriteriums ein (hier 

geringfügig) anderes Resultat erhalten haben als 

beim Einpassen einer Gerade in die per Logarithmieren 

linearisierten Daten mit folgender Rücktransformation. 

Mag die Konstante a maßgeblich von der Beschaffenheit 

und Leistungsfähigkeit der Mikrowellenherdes 

bestimmt sein, so fällt eine Interpretation 

des Exponenten b recht schwer. Wir wagen 

folgende spekulative Erklärung: der ermittelte 

Wert von b = 0,609 bzw. 0,607 liegt nicht weit 

vom Wert 2 3 , ein Wert also, der das Verhältnis der 

Dimensionen von Wärme speicherndem Volumen 

und Wärme abgebender Oberfläche des Wasserbehälters 

wiedergibt. 

2.4 Bevölkerung von Sao Paulo 

Sao Paulo gehört mit ca. 11 Millionen Einwohnern 

zu den bevölkerungsstärksten Metropolen 

der Welt. Die hohe Bevölkerungszahl ist auf einen 

rasanten Zuwachs im 20. Jahrhundert zurück zu 

führen (Abb. 19.8). 

Abbildung 19.8: Entwicklung der Bevölkerung 

von Sao Paulo 

Im Streudiagramm nehmen wir eine sehr hohe 

Zuwachsrate der Bevölkerung zwischen 1920 und 

1970 war, die dann etwas abgemildert wird und 

sich (möglicherweise) einer oberen Grenze annähert. 

Eine Klasse von Funktionen, die zu dieser 

Beschreibung passt, ist die Menge der logistischen 

Funktionen 

y = 

y0S 

y0 + (S − y0)exp(−kSx) 

! 

(1) 

mit den drei Parametern y0 als Anfangswert, dem 

Wachstumsfaktor k sowie der Sättigungsgrenze S. 

Im Folgenden stellen wir eine elementare Methode 

vor, wie man diese drei Parameter aus den Daten 

schätzen kann. Zunächst linearisieren wir die 

Daten, indem wir (1) umformen zu 

 

1 1 

S − y0 

ln − = ln − kSx, (2) 

y S 

Sy0 

woraus geschlossen werden kann, dass – falls das 

logistische Modell gilt – das Streudiagramm der 

logarithmierten Daten (xi,y∗ i ) mit 

y ∗ 

1 

i = ln − 1 

 

(3) 

S 

eine lineare Struktur hat. Mit Hilfe einer Geradenanpassung 

im Streudiagramm (x1,y∗ 1 , . . . , 

(xn,y∗ n) 

yi 

y ∗ = mt + b (4) 

lassen sich dann die fehlenden Parameter y0 und 

k aus dem Achsenabschnitt und der Steigung der 

eingepassten (kleinsten-Quadrate-) Gerade schätzen. 

Per Rücktransformation folgt für die Parameter 

k und y0 im ursprünglichen logistischen Modell 

dann 

k = − m 

y0 = 

S 

S 

1 + Sexp(b) 

(5) 

Die dargestellte Vorgehensweise hat jedoch 

leider noch einen entscheidenden Mangel: Wir haben 

so getan, als würden wir die Obergrenze S 

kennen. In den allermeisten Anwendungen des logistischen 

Wachstumsmodells ist aber gerade die 

Frage nach der Obergrenze die inhaltlich am meisten 

interessierende Frage, die keineswegs a priori 

bekannt ist („Wie viele Leute werden von der Epidemie 

betroffen?“). 

Bei folgender Modellierung kommen wir, 

dank Einsatz von Technologie, ohne Vorgabe der 

Obergrenze S aus [Engel, 2010]. Wir definieren 

einen Schieberegler, dem wir den Wert von S zuweisen 

und führen – basierend auf diesem S – die 

Transformation (3) aus. Die transformierten Daten 

(x1,y ∗ 1 ), . . . , (xn,y ∗ n) werden in einem Streudiagramm 

dargestellt. Jetzt wird der Schieberegler 

S so lange variiert, bis die Daten eine möglichst 

gute lineare Struktur haben, z.B. bis die Summe 

der Abweichungsquadrate so klein wie möglich 

ist. Da hier nur eine Stellgröße verändert wird, 

führt dieser Schritt zu einem robusten Ergebnis. 

Mit diesem Wert von S werden die Daten so gut es 

nur irgend geht (im Sinne des kleinste-Quadrate- 

Kriteriums) in eine lineare Struktur überführt. Den 

so erzielten Wert für S nehmen wir als Schätzwert 

für die Populationsobergrenze. Die Schätzung von 

151


k und y0 erfolgt dann wie oben unter (4) beschrieben. 

Angewandt auf die vorliegenden Bevölkerungsdaten 

aus Sao Paulo, ergibt sich für einen 

Wert von S = 12202093 eine eingepasste Gerade 

von 

y ∗ = −0,06177x + 105,4 , 

woraus nach Einsetzen in (5) schließlich y0 = 

45480 und k = 5,105 × 10−9 resultiert (siehe 

Abb. 19.9 und 19.10). 

Man kann sich auch hier direkt an einem 

kleinste-Quadrate Kriterium orientieren und versuchen 

die Funktion 

n 

2 y0S 

F(y0,k,S) = ∑ yi − 

y0 + (S − y0)exp(−kSxi) 

i=1 

zu minimieren. 

Mit der Software R erhält man, wenn man 

mit den Anfangsschätzern y0 = 45480, k = 0,06 

und S = 12000000 startet, nach 7 Iterationen für 

die Parameter die folgenden Werte: y0 = 12202, 

k = 6,7718 × 10 −9 und S = 11443770. 

Abbildung 19.9: Linearisierte Daten zur Bevölkerungsentwicklung 

von Sao Paulo mit einergepasster 

kleinste-Quadrate-Gerade 

Abbildung 19.10: Sich ergebende Anpassung einer 

logistischen Funktion 

152 

! 

3 Zusammenfassung 

Die vorgestellten Beispiele sollten illustrieren, 

was technologiegestützter datenbezogener Unterricht 

in Analysis meint. Dabei geht es nicht nur 

darum, per curve fitting passende Werte für bestimmte 

Parameter zu ermitteln oder eine Kurvenanpassung 

zu finden, bei der möglichst keine 

Abweichungen zwischen Daten und Modell 

auftreten, denn jede mathematische Modellierung 

steht im Spannungsfeld zwischen mathematischem 

Modell und Kontext. Bei datenbezogenem 

Modellieren funktionaler Zusammenhänge 

geht es einerseits um die Auswahl geeigneter und 

zugleich interpretierbarer Funktionstypen und andererseits 

um verständige Bestimmung von Parametern. 

Dabei spielen Standardfunktionen (linear, 

Polynom, Exponential, etc.) die Rolle von wichtigen 

Bausteinen. Ebenso bedeutend wie die instrumentelle 

Tätigkeit des Kurvenanpassens sind jedoch 

Fragen der Sinngebung und Interpretation: 

Was bedeutet der ausgewählte Funktionstyp für 

das Ausgangsproblem? Welche Rolle und Bedeutung 

nehmen die ermittelten Parameter ein? Ein 

noch so gut passendes mathematisches Modell, 

das für den Kontext keinerlei Plausibilität besitzt, 

mag genauso wertlos sein wie eine noch so überzeugend 

erscheinende Theorie, die aber einer empirischen 

Prüfung nicht standhält. 

Literatur 

Engel, Joachim (2007): Daten im Mathematikunterricht: Wozu? 

Welche? Woher? MU, 51(3), 12–22. 





Engel, Joachim (2010): Parameterschätzen in logistischen 

Wachstumsmodellen. Stochastik in der Schule, 30(1), 13–18. 

Führer, Lutz (1981): Zur Entstehung und Begründung des 

Analysis-Unterrichts an allgemeinbildenden Schulen. MU, 

27(5), 81–122. 

Führer, Lutz (2012): Verstehen oder berechnen?? Wie passt der 

Computer zum Analysisunterricht des 20. Jahrhunderts? In: 

Kortenkamp, Ulrich & Anselm Lambert (Hg.): Medien Vernetzen 

/ Zur Zukunft des Analysisunterrichts vor dem Hintergrund 

der Verfügbarkeit Neuer Medien (und Werkzeuge), Hildesheim: 

Franzbecker, 103–146. 

Humenberger, Hans (2008): Eine elementarmathematische Begründung 

des Benford-Gesetzes. MU, 54(1), 24–34. 

Kultusministerkonferenz (2002): Einheitliche Prüfungsanforderungen 

in der Abiturprüfung Mathematik (Beschluss 

der Kultusministerkonferenz vom 01.12.1989 i.d.F. vom 

24.05.2002). München: Luchterhand.

• Analysis in der Schule zwischen Präzision und Approximation – 

Ein Plädoyer für Algorithmik und Animation 

Bodo von Pape, Oldenburg 

„In dem gesamten Lehrstoff waltet in sehr auffallender Weise das Interesse an der formalen Gleichungstheorie 

vor. . . . künstliche höhere Gleichungen, die so gemacht sind, dass sie sich durch gewisse 

Kniffe auf quadratische zurückführen lassen. Die höheren Gleichungen, meine Herren, die 

man in der Physik oder sonst irgendwo gebraucht, werden diese wunderbare Eigenschaft meistens 

nicht haben. Von der angenäherten Auflösung numerischer Gleichungen aber, die praktisch allein 

Bedeutung hat und zudem viel Anregung gibt, ist nicht die Rede.“ 

„Die Approximationsmathematik ist derjenige Teil unserer Wissenschaft, den man in den Anwendungen 

hat.“ 

„Der Fehler, an welchem der heutige Betrieb der Wissenschaft krankt, ist der, dass sich die Theoretiker 

zu einseitig mit der Präzisionsmathematik beschäftigen, während die Praktiker die Approximationsmathematik 

gebrauchen, ohne mit der Präzisionsmathematik Fühlung zu haben. 

Überhaupt aber bleibt fraglich, ob das Wesen einer richtigen Naturerklärung auf präziser mathematischer 

Basis zu suchen ist, ob man je über eine geschickte Verwendung der Approximationsmathematik 

hinausgelangen kann.“ 

Felix Klein in seinem Eintreten für die Analysis an den Schulen 1901/07 

1 Kurvendiskussion 

Beispiel 1. 

f (x) = 2 x 4 − x 

+ 2 · cos(2x) 

2 

Für die Nullstellensuche bietet sich ein Algorithmus 

an, bei dem man sich die Nullstelle erwandert 

mit einer kleinen Schrittweite ∆x = s: 

Begib dich an den Startpunkt. 

Tu Folgendes: 

Geh auf der Kurve voran um s. 

Falls dabei ein VZW vorliegt, dann 

kehre um mit Schrittweite s/2. 

Das tu so lange, bis s hinreichend klein ist. 

Mit diesem Algorithmus kann man sich die 

VZW-Stellen einer Funktion in x-Richtung auflisten 

lassen. Konkret umsetzen lässt sich das mit einer 

benutzerdefinierten VBA-Funktion in Excel. 

Pendelsuche DERIVE-Werte 

-1,8678063 -1,867806293 

-1,1741375 -1,174137519 

0,9641237 0,9641236782 

2,2689503 2,268950298 

3,9297233 3,929723330 

5,5373673 5,537367293 

7,0352000 7,035199974 

8,6044803 8,604480256 

10,4392643 10,43926425 

11,3634196 11,36341958 

Algebraisch kommt natürlich auch ein CAS- 

System wie DERIVE nicht zum Ziel. Dessen Numerik 

kann man allerdings ohne weiteres Nachdenken 

100 geltende Ziffern abgewinnen. Der 

Vergleich zeigt jedoch, dass die Werte, die die 

selbst erklärte Excel-Funktion liefert, für jeden 

praktischen Zweck in ihrer Genauigkeit ausreichen. 

(Ein theoretischer Zweck, für den mehr Stellen 

wichtig wären, ist auch nicht leicht auszumachen.) 

Für die Extremstellen der Funktion – wie 

auch die der zugehörigen Steigungsfunktion 

(herkömmlich: „Wendestellen“ der Funktion) – 

kommt man mit einer leichten Abwandlung der 

VZW-Funktion zum Ziel: 

Function ftop(start) 

schritt = 0.01 

stelle = start 

Do 

topli = f(stelle) >= f(stelle - schritt) 

topre = f(stelle) >= f(stelle + schritt) 

top = topli And topre 

stelle = stelle + schritt 

If top Then schritt = -(schritt / 5) 

fertig = Abs(schritt)1E-3 

Loop Until fertig 

If Abs(stelle) > 1E3 Then stelle = start 

TopP = stelle 

End Function 

Was sich hinter „f(x)“ verbirgt ist dabei unerheblich. 

Vielleicht handelt es sich um die Steigungsfunktion 

oder die Krümmungsfunktion unserer 

Beispielsfunktion f : 

Const h = 1E-8 

Function fstei(x)) 

fstei = (f(x+h) - f(x)) / h 

End Function 

Function fkr (x) 

dy = f(x + h) - f(x) 

dl = (h^2 + dy^2)^0.5 

m1 = fstei(x+h) 

m2 = fstei(x) 

dwin = Atn(m1) - Atn(m2) 

fkr = dwin / dl 

End Function 

153


Der klassische Weg zu den Stellen maximaler 

Krümmung führt über das Nullsetzen der Ableitung 

der Krümmungsfunktion 

k(x) = 

f ′′ (x) 

1 + f (x) 2 . 

DERIVE liefert hier einen beeindruckenden 

Term – einen Quotienten, der sich über 3 Zeilen 

hinzieht. 

Beim Nullsetzen dieses Terms und der Eingabe 

eines geeigneten Intervalls liefert DERIVE 

genauere Werte - allerdings auch „nur“ numerische 

Näherungen. Die Tabelle vermittelt einen 

Eindruck von der Verlässlichkeit der selbst definierten 

Funktion krmax: 

krmax DERIVE 

1,604 1,604 

4,725 4,726 

7,832 7,833 

10,915 10,916 

13,955 13,956 

Für schulische und sonstige unspezifische 

Zwecke dürfte auch diese Genauigkeit noch ausreichen. 

In jedem Fall wird deutlich, dass ein algebraisches 

Vorgehen nicht zielführend und damit 

bereits im Ansatz verfehlt ist. 

2 Optimierung und Anpassung 

Als Universaltool für derartige Problemstellungen 

bietet Excel den Solver. Er ist aber - insbesondere 

mit seinen Optionen - sehr undurchsichtig und 

zudem nicht sehr verlässlich. Ein Makro, das für 

die Reichweite der Schulmathematik in der Leistungsstärke 

gleichwertig ist, ist – auf der Basis des 

Wander-Algorithmus – leicht erstellt: Zielwertsuche 

zur Anpassung 

Sub finde() 

schritt = 0.1 

[stelle] = 0 

Min = 100 

Do 

[stelle] = [stelle] + schritt 

krit = Abs([wert] - [ziel]) 

umkehr = krit > Min 

If umkehr Then schritt = -schritt / 5 

Min = krit 

Loop Until Abs(schritt) < 1E-8 

End Sub 

Voraussetzung für den Einsatz dieses Makro 

ist die Benennung von 3 Zellen: „stelle“, „wert“ 

und “ziel“ (Über „ziel = 0“ kann man Minimierungsprobleme 

lösen.) Basis für das Vorgehen ist 

in der Regel eine Schaufigur. Sie impliziert durch 

Durchrechnen eines Beispiels. 

Beispiel 2: Leiterproblem 

2 Leitern verschiedener Länge lehnen an gegenüberliegende 

Wände. Sie überschneiden sich in ei- 

154 

ner gegebenen Höhe h = 40. Wie groß ist der Abstand 

der Wände? 

Martin Gardner schreibt dazu: „Der Charme 

dieser Aufgabe liegt in der scheinbaren Einfachheit 

der Lösung, die schnell in einen algebraischen 

Dschungel führt.“ 

! 

Abbildung 20.1: Das Leiterproblem 

Die analytische Lösung führt – je nach Ansatz 

– auf eine Gleichung vom Grad 4 oder 3. Einfacher 

kommt man mit dem Finde-Makro zum Ziel: 

Für „stelle“ nimmt man den Abstand der Leitern 

und für „wert“ die Höhe des Schnittpunkts. Dann 

geht es darum, durch Heranschieben von rechts 

die Höhe auf den „ziel“-Wert 40 zu justieren. 

Ein algebraischer Einstieg in die Lösung – bis 

hin zu einer Gleichung, die einem nicht etwa zu 

einem Lösungsterm verhilft, sondern auch nur zu 

einem Zahlwert – bedarf hier wohl einer besonderen 

Rechtfertigung. 

Beispiel 3: Minimierung der Fläche unter 

einer Kurve 

Gegeben ist ein Funktionsgraph, der oberhalb der 

x-Achse verläuft. Gesucht ist der linke Rand eines 

Streifens der Breite 3, für den die Fläche unterhalb 

der Kurve minimal wird. 

Für die Funktion 

f (x) = x 2 

+ 

8 8 

erhält man etwa mit DERIVE oder MAPLE über 

Nullsetzen der Ableitung der Zielfunktion für die 

Startstelle des x-Intervalls den Ausdruck 

3 √ 73 

16 

− 2 · ln 

 

41 − 3 √ 73 

32 

Durch Hin- und Herschieben der Fläche zur 

Minimierung des numerischen Wertes für den

Flächeninhalt liefert das Finde-Makro den Wert 

3,068899118. 

Nur wer bei der letzten Stelle anstelle der 8 

eine 9 haben möchte kann den Wert der algebraischen 

Lösung würdigen. Ansonsten wird man nur 

mit Interesse registrieren, dass ein nichttriviales 

Beispiel gefunden ist, bei dem man algebraisch 

tatsächlich zum Ziel kommt: Die Probleme ab der 

10. Stelle wird man gern in Kauf nehmen, wenn 

man über einen Algorithmus verfügt, der mit einer 

kurzen Animation der Schaufigur zum Ziel führt – 

ganz unabhängig vom Funktionstyp. 

Abbildung 20.2: Minimierung der Fläche unter 

einer Kurve 

Beispiel 4: Abstand eines Punktes von einer 

Kurve 

Im einfachsten Fall geht es um den Abstand eines 

Punktes von einer Parabel. Der klassische Weg 

führt – über das Nullsetzen der Ableitung des 

Terms für den Abstand – auf eine Gleichung 3. 

Grades. Eine Alternative führt über die Orthogonalität 

von Verbindungsstrecke und Tangente an 

die gleiche Hürde. 

Das Problem lässt sich erweitern zu der Frage 

nach den Fußpunkten der Lote eines Punktes P auf 

eine Kurve. Hier ist man gut beraten, sich das Herleiten 

einer komplexeren Gleichung (durch Ableiten) 

zu ersparen: Besser arbeitet man von vornherein 

numerisch und minimiert die Distanz von P zu 

dem Kurvenpunkt A(x, f (x)). Wie der Term zu f 

aussieht, das ist auch hier ganz egal. 

Abbildung 20.3: Abstand eines Punktes zu einer 

Kurve 

Analysis in der Schule zwischen Präzision und Approximation 

Beispiel 5: Logistisches Wachstum 

445 Teilnehmer waren beim 12. City-Lauf am 

Start. Im Vorjahr hatte die Teilnehmerzahl noch 

bei 315 gelegen, davor bei 210. 

⊲ Wieviele Teilnehmer haben den Lauf beim ersten 

Start begründet? 

⊲ Wird die Teilnehmerzahl noch die 1000er- 

Grenze erreichen? 

Um die Hochrechnung einer logistischen Entwicklung 

macht die Oberstufen-Analysis einen 

großen Bogen. Dabei könnte sich doch gerade hier 

die Leistungskraft der Mathematik unter Beweis 

stellen! Selbst falsche Unterstellungen müssen als 

Ausrede herhalten: „Die Sättigungsgrenze S muss 

sich aus der Problemstellung direkt ergeben oder 

es sind weitere Vorgaben bzw. Annahmen nötig.“ 

(Zitat aus einem Schulbuch) 

Eine Strategie mit dem Finde-Makro führt 

leicht zum Ziel: Die beiden ersten Punkte und ein 

fiktiver Sättigungswert legen eine Kurve fest. Der 

Sättigungswert wird so eingestellt, dass die Kurve 

durch den dritten Punkt geht. (NB: Mit Excels 

Solver bekommt man hier große Probleme.) 

Abbildung 20.4: Logistisches Wachstum 

Tatsächlich führt auch ein System von Formeln 

zum Ziel. Der genaue Wert ergibt sich damit 

als 1059,54545. 

155


3 Funktionen in 2 Variablen 

Beispiel 6: Abstand Kreis-Ellipse 

Abbildung 20.5: Abstand Kreis-Ellipse 

Mit unterschiedlichen Ansätzen kommt man 

auf eine Gleichung 4. Grades. Da führt dann nur 

noch Numerik weiter. 

Direkter und weiterführend ist die Strategie, 

den Abstand zweier Punkte als Funktion der Abszissenwerte 

xK = a und xE = b zu schreiben: 

 

d = (xE − xK) 2 + (yE − yK) 2 

oder mit dem Werten aus dem Beispiel: 

 

(a − b) 2 

4−a2 + 4 − 

 

2 − 1 − (b − 2) 2 

2 . 

Diese Funktion stellt eine mathematische 

Landschaft dar. Deren Talsohle erwandert man 

sich leicht – mit Hilfe einer Tabelle oder besser 

noch mit einer Funktion: 

Function minist(a, b, stelle) 

inc = 1 

hmin = 100 

Do 

For na = -1 To 1 

For nb = -1 To 1 

hstep = h(a + na*inc, b + nb*inc) 

If hstep bis 

fMittel = summe / anzahl 

End Function 

Wichtigeres – Grundsätzliches – zum Thema 

„Integration“ gibt es an dem folgenden Beispiel 

zu lernen: 

4.1 Beispiel 8: Martin und Maria 

„Maria lebt 2 km von der Schule entfernt, Martin 

5 km. Wie weit leben Maria und Martin voneinander 

entfernt?“ 

Der Aha-Effekt, den diese Geschichte auslöst, 

sollte – laut „Der Spiegel“ 14/2001 – „unter deutschen 

Pädagogen . . . irgendwann einmal als die

kopernikanische Wende im deutschen Bildungswesen“ 

erkannt werden. 

Mangels genauerer Angaben kann man zunächst 

nur Unter- und Obergrenze festlegen. Als 

nächstes stellt sich dann die Frage nach dem Erwartungswert. 

Auch die Berechnung von Quartilswerten 

drängt sich auf. 

Eine fachgerechte Lösung führt über eine Integration 

über den Bereich der möglichen Abstände. 

Dazu muss man sich algebraisch zu einer 

Verteilungsdichte voranarbeiten. Dann stellt man 

fest, dass man nur numerisch weiterkommt. So bekommt 

man heraus: 

⊲ Die zu erwartende Entfernung beträgt 5 km und 

202 m. 

⊲ Das oberste Quartil beginnt bei 6 km und 568 

m. 

Abbildung 20.7: Martin und Maria 

Gegenüber der Lösung mit einer Simulation 

– Zufallspunkte auf den Kreisen von Martin und 

Maria (jeweils 500), Mittelwert der Abstände – 

hat man einen Vorteil in der Genauigkeit von 3 m. 

Auch der ist aber hinfällig, wenn man auf Marias 

Kreis einen Punkt beliebig wählt und auf Martins 

Kreis 80 Punkte gleichmäßig verteilt. Für die Entfernung 

liefert das wieder genau 5 km und 202 m. 

Was eine „kopernikanische Wende“ im Bereich 

der Schulmathematik angeht, so zeichnet 

sich die Einsicht ab: Sofern es um konkrete Problemstellungen 

geht, sollte man vor dem Einsatz 

diffiziler Integrationsregeln und komplexer 

Termumformungen erst einmal über eine Gitterpunktzählung 

nachdenken. Dieser Ansatz bewährt 

sich insbesondere auch bei Integrationen im 

Raum. 

Die Monte-Carlo-Methode sei zusätzlich als 

Kontrolle ans Herz gelegt. 

5 Bogenlänge / Krümmung 

Das Thema „Bogenlänge“ drängt sich bei der 

Behandlung von Kurven – dazu gehören auch 

Funktionsgraphen! – als erstes auf. Bekanntlich 

führt aber bereits die Berechnung eines Parabel- 

Analysis in der Schule zwischen Präzision und Approximation 

abschnitts auf Terme, die man niemandem mehr 

zumuten kann. Bei der Sinuslinie kommt man ohnehin 

nur noch numerisch zum Ziel. In der Schule 

ist dies Thema deshalb tabu. Nur mit Eichstrichen 

auf Weizenbiergläsern kann die Analysis in diesem 

Rahmen noch punkten. (Warum wohl?) 

An sich liegt ein Längenvergleich zweier Wege 

aber viel näher! 

Beispiel 9: Wegmarken 

! Abbildung 20.8: Längenvergleich zweier Wege 

Anders steht es um das Thema “Krümmung“: 

In den letzten Jahren ist es in das Blickfeld gerückt, 

allerdings exklusiv im Kontext von Trassierungsaufgaben, 

bei denen der Einsatz von CAS- 

Routinen sich bezahlt macht. (Stichwort: „krümmungsruckfrei“) 

Das Konzept der Krümmung als Änderungsrate 

(Änderungsrate der Richtung mit der Bogenlänge) 

kommt dabei – trotz eines verstärkten Interesses 

für Änderungsraten! – zu kurz. 

Die Aufgabe, die sich in diesem Rahmen als 

erste aufdrängt, wäre – in Analogie zum Grundanliegen 

der Integralrechnung – die der (Re- 

)Konstruktion einer Kurve aus der Startkonfiguration 

und dem Krümmungsverlauf. 

Hier muss man bereits bei der ersten nichttrivialen 

Frage – der nach einer Kurve, deren Krümmung 

linear anwächst – passen: Die Parameterdarstellung 

der Klothoide enthält Integrale, die 

„nicht durch elementare Funktionen ausgedrückt 

werden“ können. 

Neue Aufgabenstellungen bieten sich an: 

Beispiel 10: Modellierung zu Ornament 

Abbildung 20.9: Krümmungsfunktion vom Grad 3 

157


5.1 Beispiel 11: Kurven zu gegebener 

Krümmung 

! 

Abbildung 20.10: Krümmungsverlauf linear 

Abbildung 20.11: Krümmungsverlauf sinusförmig 

158 

5.2 Beispiel 12: Krümmungsverhalten 

Abbildung 20.12: Skizziere den Krümmungsverlauf 

„Gebt der Numerik in der 

Schule eine Chance!“ 

Literatur 

Diese und zahlreiche weitere Beispiele sind im Inter- 

net abrufbar unter http://excelecke.wordpress.com/ 

category/analysis/.

• Der Computer macht’s möglich — Funktionen als Werkzeug zum 

Modellieren von Daten 

Markus Vogel, Heidelberg 

Phänomene aus Natur und Technik lassen sich über Daten abbilden. Kern der Datenanalyse ist, 

im Rauschen der Daten Gesetzmäßigkeiten ausfindig zu machen. Solche Gesetzmäßigkeiten lassen 

sich oftmals durch elementare Funktionen modellieren. Mit dem Einsatz von Software werden diese 

Modellierungsaktivitäten sehr gut unterstützt. Die dynamische Verknüpfung von Streudiagramm, 

Funktionsgraph und Residuenplot hilft dabei, Funktionsparameter bestmöglich zu spezifizieren. Der 

Datenkontext erlaubt, die verwendeten Parameter inhaltlich zu deuten. Dies kann dazu beitragen, 

dass der Funktionsbegriff weiter erschlossen und vertieft wird. 

1 Datenanalyse zu Phänomenen aus 

Natur und Technik 

Im mathematisch-naturwissenschaftlichen Unterricht 

lernen die Schülerinnen und Schüler über 

mehrere Klassenstufen hinweg verschiedene naturwissenschaftliche 

Gesetzmäßigkeiten, die in 

Formeln eingefasst sind kennen. Beispiele sind 

das Gesetz des freien Falls 

s = 1 

· g ·t2 

2 

(ohne Berücksichtigung des Luftwiderstandes) 

oder die Grundgleichung der Mechanik F = 

m · a. Solche Formeln und die darin verwendeten 

parametrischen Funktionen beschreiben das 

„deterministische Konzentrat“ einer vorausgegangen 

mathematisch-naturwissenschaftlichen Modellierung. 

Das Nach-Entdecken der zugrunde 

liegenden Gesetzmäßigkeit ist ein wesentlicher 

Aspekt mathematisch-naturwissenschaftlicher Didaktik. 

Dies schließt das Erheben und Auswerten 

von Daten mit ein. Daten sind Kontextzahlen, 

über die Beobachtungen quantifiziert werden. 

Die Datenmenge der Beobachtungspunkte bildet 

ein Realmodell des zugrunde liegenden Phänomens 

[vgl. Vogel, 2006a; Eichler & Vogel, 2009]. 

Die Daten stehen zwischen Phänomen und Gesetzmäßigkeit 

und vermitteln zwischen beiden. 

In der inhaltlichen Auseinandersetzung mit Daten, 

die einem naturwissenschaftlichen Zusammenhang 

zugrunde liegen, ergeben sich Strukturen 

bzw. Strukturvermutungen aus dem eigenen 

Suchvorgang. Eine funktionale Beschreibung 

erwächst aus dem Bemühen, sich im Rauschen 

der Daten zurechtzufinden. Dabei wird akzeptiert, 

dass geeignete Funktionen die Daten nicht exakt 

abbilden, sondern lediglich einen Trend wiedergeben. 

Abweichungen werden bewusst in Kauf 

genommen. Aus dem, was Borovcnik [2005] als 

Strukturgleichung bezeichnet, lässt sich folgende 

Modellierungsgleichung ableiten [Vogel, 2006a]: 

Daten = Funktion + Residuen 

Mit der Betrachtung der Residuen steht ein Maß 

für die Güte der funktionalen Anpassung zur Verfügung. 

Sind die Residuen klein und zufällig (im 

Sinne von trendfrei) und gleichen sie sich insgesamt 

nach oben und unten aus, lässt dies auf eine 

angemessene funktionalen Anpassung schließen 

[vgl. Biehler & Schweynoch, 1999]. 

2 Modellieren mit elementaren 

Funktionen 

Die Beobachtung und Bewertung naturwissenschaftlicher 

Phänomene erfolgen beim Nach- 

Entdecken nicht voraussetzungsfrei. Kontextuelles 

Vorwissen zum phänomenologischen Hintergrund 

einerseits und strukturelles Wissen zu elementaren 

Standardfunktionen werden in den Mathematisierungsprozess 

miteinbezogen. Durch die 

strukturelle Entkleidung des Phänomens wird die 

Vermutung über die funktionale Beziehung zwischen 

den Daten herausgearbeitet. 

Parametrische Standardmodelle von Funktionen 

sind wesentlich für die Anpassung funktionaler 

Zusammenhänge an Daten, da sie in vielen 

Situationen adäquate Modelle liefern. Der Ansatz 

des Kurvenanpassens basiert auf der Annahme, 

dass die unbekannte Funktion f (x) = f (x,θ) 

zu einer im voraus spezifizierten oder bekannten 

Klasse von Funktionen gehört, die durch einen 

endlich-dimensionalen Parameter θ charakterisiert 

ist (z.B. Klasse der linearen, exponentiellen, 

logistischen etc. Funktion). Dann besteht das 

Ziel darin, den Wert des unbekannten Parameters 

θ zu bestimmen, so dass sich die Modellfunktion 

möglichst gut den Daten anpasst. Dieses Vorgehen 

führt beispielsweise im linearen Fall unter 

dem Ziel der Minimierung der Summe der Abweichungsquadrate 

zur linearen Regression. 

Werden Daten durch elementare Funktionen 

angenähert, besteht der Mathematisierungsvorgang 

in einem Zweischritt: 

⊲ Zunächst muss eine (oder müssen mehrere) geeignete 

Funktionsklasse(n) ausgewählt werden. 

Für die Auswahl sind kontextuelles und mathematisches 

Wissen bedeutsam. Dabei können 

elementare Funktionen durch Verknüpfungen 

zu neuen Funktionen zusammengesetzt werden. 

⊲ Nach der Bestimmung einer funktionalen Modellierung 

werden die verwendeten Parameter 

159


! ! 

Abbildung 21.1: Funktionale Modellierungen zum Zusammenhang von Körpergröße und Gewicht 

so spezifiziert, dass der Datentrend funktional 

möglichst gut erfasst wird. Die Güte der funktionalen 

Anpassung ergibt sich aus den Residuen 

(s.o.). 

Neben der möglichst guten Datenanpassung ist 

auf die Handhabbarkeit der funktionalen Anpassung 

zu achten. Je mehr Parameter miteinbezogen 

werden, umso schwieriger wird die Handhabung 

des mathematischen Modells, insbesondere 

bei Wechselwirkungen von Funktionsparametern. 

Für den Mathematisierungsschritt gilt es, 

zwei wesentlichen Merkmale eines mathematischen 

Modells im Blick zu behalten: das Abbildungsmerkmal 

(ein Modell steht für das Original 

und bildet es aus einer bestimmten Perspektive ab) 

wie das Verkürzungsmerkmal (bei der Abbildung 

verzichtet das Modell auf all diejenigen Aspekte 

des Originals, die für den konkreten Zweck (vorderrangig) 

nicht von Belang sind, vgl. [Stachowiak, 

1973]). Bei einer parametrischen Überfrachtung 

leidet das Verkürzungsmerkmal. Ist dagegen 

ein Funktionenmodell leicht handhabbar, aber 

wenig stimmig mit den Daten, findet das Abbildungsmerkmal 

nicht genügend Berücksichtigung. 

Insofern sollten in die Mathematisierung nur solche 

Funktionsparameter eingebaut werden, für die 

mathematische und kontextuelle Gründe sprechen 

– so legitimiert sich das Modell. [Erickson, 2005, 

S. 65] gibt als Faustregel aus: „Make your models 

with as many parameters as you need – but no more.“ 

Wird diese Regel nicht beachtet, hieße das 

im Extremfall, dass die bestmögliche funktionale 

Datenmodellierung immer darin besteht, dass 

alle Abweichungen zwischen Modell und Daten 

– die Residuen – verschwinden und der 

Funktionsgraph genau durch alle n Datenpunkte 

(x1,y1),...,(xn,yn) verläuft. Über die Interpolation 

durch ein Polynom der Form p(x) = a0 +a1x+ 

a2x 2 + ... + akx k wäre mit k = n − 1 eine solche 

160 

Funktion p(x) für n Datenpunkte prinzipiell immer 

zu finden, im Datenkontext betrachtet ist ein 

solches Modell jedoch mitunter kaum sinnvoll zu 

interpretieren. Das Beispiel in Abb. 21.1 kann dies 

verdeutlichen. 

Durch die vollständige Datenerfassung verliert 

das funktionale Modell im linken Beispiel der 

Abb. 21.1 die Möglichkeit, einen sachlich sinnvoll 

begründbaren Zusammenhang zwischen Körpergröße 

und Gewicht trendgemäß abzubilden. Dadurch 

büßt es sein Abbildungsmerkmal ein. Dagegen 

erweckt die rechts dargestellte Regressionsgerade, 

welche auf der Basis der Minimierung der 

quadratischen Abweichungen durch den Computer 

ermittelt wurde, hinsichtlich einer Trendabbildung 

eine größere Glaubwürdigkeit deshalb, weil 

sie nichtvorhandene Messwerte in ihrer Größenordnung 

besser abschätzen lässt. Kontextuell betrachtet 

kommt hier die einfache Annahme zum 

Ausdruck, dass größere Menschen auch schwerer 

sind. Wird dieser Gedanke weiter spezifiziert, 

nämlich darin, dass das Gewicht (in proportionalem 

Zusammenhang mit dem Volumen gedacht) 

in Abhängigkeit von der Größe kubisch wächst, 

könnte der Zusammenhang in einem noch detaillierteren 

Modell, einer entsprechenden Polynomfunktion 

dritten Grades, beschrieben werden. 

Auch dieses Modell ist auf seine Grenzen hin zu 

reflektieren. 

Es ist ein wichtiges Ziel, dass die Schülerinnen 

und Schüler lernen zwischen der kontextfreien 

Punkte-Erfassung und der funktionalen Anpassung 

zu unterscheiden, welche die kontextuelle 

Bedeutung der Datenwolke im Blick hat. Werden 

zur funktionalen Modellierung parametrische 

Standardmodelle verwendet, liefern die Funktionsparameter 

Informationen über die erfasste Gesetzmäßigkeit. 

Umgekehrt trägt der naturwissenschaftliche 

Datenkontext dazu bei, die funktionale 

Anpassung verstehen und beurteilen zu können.

Der Computer macht’s möglich — Funktionen als Werkzeug zum Modellieren von Daten 

Abbildung 21.2: Daten greifen und ablegen 

Abbildung 21.3: Residuenplot und Abweichungsquadrate 

Die funktionale Modellierung naturwissenschaftlicher 

Daten dient so zur Erschließung von Umwelt 

und mathematischer Begrifflichkeit. 

3 Computergestützte 

Repräsentationen 

Eine explorative Vorgehensweise erfordert Werkzeuge, 

die erlauben im Datenkontext forschend 

tätig zu werden. Statistiksoftware wie z. B. FA- 

THOM leistet hier sehr gute Dienste, da über 

einfachste Handhabung Streudiagramme, Funktionsgraphen 

und Residuenplots dargestellt werden 

können. Die intuitive Bedienbarkeit ist von besonderer 

Bedeutung: Werden keine nennenswerten 

kognitiven Ressourcen für die Programmbedienung 

benötigt, verbleibt mehr an Potenzial für 

die inhaltliche Arbeit. Zentrales Bedienelement ist 

der Greif– und Zugmodus, mit dem beispielsweise 

Punkte bewegt, Schieberegler erstellt und bedient 

oder Achsen umskaliert werden können. In FA- 

THOM ist nahezu die gesamte Programmbedienung 

über den Greif- und Zugmodus realisierbar, 

so lassen sich auch z. B. Daten greifen und in einem 

Diagramm so ablegen, dass sie sofort visualisiert 

werden (vgl. Abb. 21.2). Eine vergleichswei- 

se aufwändige Diagrammerstellung, bei der mitunter 

aufgrund der langen Dauer das inhaltliche 

Ziel aus den Augen verloren wird, entfällt dadurch. 

Dies ist insbesondere hinsichtlich der vergleichsweise 

knappen Zeitressourcen in einer Unterrichtsstunde 

von unmittelbarer schulpraktischer 

Bedeutung. 

3.1 Einzelaspekte 

⊲ Im Residuenplot werden die „Reste“ der funktionalen 

Modellierung, i. e. die Differenz zwischen 

den Datenwerten yi und den modellierten 

Werten f (xi), vergrößert fokussiert. Dadurch 

sind Informationen über die Modellgüte erhältlich: 

je zufälliger die Residuen im Sinne von 

trendfrei und je kleiner, umso besser die Datenanpassung 

(s.o.). Durch die dynamische Verknüpfung 

von Streudiagramm und Residuenplot 

wird die rechnergestützte Datenanpassung 

dadurch erleichtert, dass bei der Spezifizierung 

der Parameter der gewählten Funktion sofort 

die Güte der Anpassung im Residuenplot sichtbar 

wird (vgl. Abb. 21.3). 

⊲ Werden die Abweichungsquadrate sichtbar gemacht, 

kann dies den Modellierungsprozess in 

! 

! 

161


zweifacher Hinsicht unterstützen: Hinsichtlich 

der Datenanpassung geben die Abweichungsquadrate 

wie auch der Residuenplot ein Maß 

für die Modellierungsgüte. Je kleiner die Fläche, 

welche die Abweichungsquadrate einnehmen, 

umso besser der Fit der Daten (vgl. 

Abb. 21.3). Überdies kann die Darstellung der 

Abweichungsquadrate Schülerinnen und Schüler 

eine anschauliche Vorstellung davon vermitteln, 

was bei einem rechnergestützten Verfahren, 

wie dem der linearen Regression, „vor sich 

geht“: es geht um die Suche nach der Geraden, 

die so in der Datenwolke zu liegen kommt, dass 

eben die Abweichungsquadrate in ihrer Summe 

möglichst klein werden. 

⊲ Beim „Daten-Zooming“ kann ein Datensatz in 

verschieden großen Bildausschnitten betrachtet 

werden (vgl. Abb. 21.4). Das ist bei der explorativen 

Datenanalyse dann von Belang, wenn 

Informationen der funktionalen Anpassung erst 

ablesbar werden, wenn sie aus einer größeren 

Distanz betrachtet werden. Dies ist beispielsweise 

bei Fragen der Gültigkeit von Modellgrenzen 

von Belang: Wie weit kann die modellierende 

Funktion hinsichtlich ihrer Eigenschaften 

im Verhältnis zum Datenkontext sinn- 

162 

Abbildung 21.4: Daten-Zooming 

Abbildung 21.5: Beispiel einer Datentransformation 

voll interpretiert werden? In gleicher Weise wie 

das Aus-Zoomen, kann das Ein-Zoomen weitere 

Informationen bringen: Wie sehen Modellabweichungen 

im Detail aus, weisen die Daten 

in Teilbereichen bei fokussierter Betrachtung 

noch unerkannte Muster auf? 

⊲ Wenn die Achsen eines Streudiagramms interaktiv 

umskaliert werden können, lässt sich die 

Datenwolke aus unterschiedlich großer Distanz 

betrachten (s.o.). In Erweiterung dazu liegt ein 

Perspektivenwechsel auf die Daten dann vor, 

wenn die Datenpunkte logarithmiert betrachtet 

werden können (vgl. Abb. 21.5). Dies ist 

insbesondere für Modellierungstechniken interessant, 

bei denen eine nichtlineare Datenstruktur 

durch eine angemessene Transformation linearisiert 

werden soll, um auf die transformierten 

Daten Techniken der Geradenanpassung anzuwenden 

und schließlich das erhaltene Resultat 

wieder zurück zu transformieren. Mit 

der Möglichkeit der logarithmierten Datenbetrachtung 

können die Erfolgsaussichten für das 

rechnerische Verfahren im Modellierungsprozess 

vorab abschätzbar werden. 

Der Computer ermöglicht explorative Vorgehensweisen 

bei der Datenanalyse, die den Mathe- 

! 

!

Der Computer macht’s möglich — Funktionen als Werkzeug zum Modellieren von Daten 

matikunterricht in seiner paradigmatischen Ausrichtung 

grundsätzlich bereichern kann. Es geht 

weniger um das Anwenden fertiger statistischer 

Verfahren auf Daten und die Überprüfung, was bei 

solchen standardisierten Verfahren aus den Daten 

herauszuholen ist. Die explorative Datenanalyse 

beginnt möglichst vorurteilsfrei bei den Daten 

[Tukey, 1977] und versucht, die Daten in unterschiedlichen 

Darstellungen, Abständen und Perspektiven 

zu betrachten, um tatsächlich vorhandene 

Strukturen im Nebel der Datenwolke aufzuspüren, 

also nicht durch fertige Verfahren Strukturen 

von außen hineinzutragen. Die vorgenannten Elemente 

der multimedialen Unterstützung sind hierbei 

von wesentlicher Bedeutung, sie machen den 

Computer zu einem Werkzeug der Datenexploration. 

Literatur 

Biehler, Rolf & Stefan Schweynoch (1999): Trends und Abweichungen 

von Trends. Mathematik lehren, 97, 17–22. 

Borovcnik, Manfred (2005): Probabilistic and statistical 

thinking. URL http://cerme4.crm.es/Papers% 

20definitius/5/Borovcnik.pdf. 

Eichler, Andreas & Markus Vogel (2009): Leitidee Daten und 

Zufall. Wiesbaden: Vieweg & Teubner. 

Erickson, Tim (2005): The model shop. Using data to learn 

about elementary functions. Oakland: eeps media, third fieldtest 

draft. 

Stachowiak, Herbert (1973): Allgemeine Modelltheorie. Berlin: 

Springer-Verlag. 

Tukey, John W. (1977): Exploratory data analysis. Massachusetts: 

Addison-Wesley. 

Vogel, Markus (2006a): Mathematisieren funktionaler Zusammenhänge 

mit multimediabasierter Supplantation. Hildesheim: 

Franzbecker. 

163


164

• Reinhard Hochmuth und Pascal Fischer, Kassel 

eLearning in mathematischen Vorkursen mit Beispielen zur Analysis 

Mathematische Vorkurse sehen sich als Brücke zwischen Schule und Universität mit einer Reihe 

von Problemen konfrontiert, denen in Kassel durch ein neu entwickeltes eVorkurskonzept seit Jahren 

erfolgreich begegnet wird. Im Vortrag werden die zentralen Bestandteile des Kurskonzeptes, das 

Präsenz- und Selbstlernphasen durch den Einsatz einer Lernplattform innovativ kombiniert, vorgestellt. 

An Beispielen aus der Analysis werden Elemente der Vorkursmaterialien illustriert. Basierend 

auf Ergebnissen einer angelagerten Studie zur Evaluation der Kurse sowie zur Analyse der Teilnehmer 

und ihrer Leistungen wird diskutiert, unter welchen Bedingungen und in welchen Kontexten das 

Kurskonzept sinnvoll in der Hochschule eingesetzt werden kann. 

1 Einleitung 

Ausgangspunkt ist das Projekt „Multimediavorkurs 

MathematiK“/„VEMA“ das in Kooperation 

der Universitäten Kassel und Paderborn sowie 

der Technischen Universität Darmstadt seit 2004 

durchgeführt wird und multimedial angereichertes 

Material zur Unterstützung der Mathematikvorkurse 

entwickelt und beforscht [vgl. Biehler & 

Fischer, 2006]. Das auf CD und zur Einbettung 

in Lernplattformen auch im SCORM-Fomat vorliegende 

Material wurde im Projektverlauf fortlaufend 

überarbeitet und erweitert. Es umfasst 

in der im Oktober 2009 veröffentlichten Version 

[vgl. Biehler & Fischer, 2006] sechs Kapitel zu 

den Themengebieten „Rechengesetze“, „Potenzen“, 

„Funktionen“, „Höhere Funktionen“, „Analysis“ 

und „Vektorrechnung“. Die Inhalte konzentrieren 

sich dabei bewusst im Wesentlichen auf 

den Schulstoff der Klassen 5-13 und liegen derzeit 

in Form von 50 Modulen als in sich abgeschlossenen 

Inhaltspaketen vor. Jedes dieser Module weist 

eine identische Struktur von Unterbereichen auf, 

die dem Lerner einen entdeckenden, deduktiven 

oder selektiven Zugang zum Lernmaterial ermöglicht 

[vgl. Biehler & Fischer, 2006]. Das Material 

wurde zur Nutzung als Selbstlernmaterial und 

zum gezielten Nachschlagen konzipiert, so dass 

nicht nur ein Einsatz im Rahmen von Vorkursen, 

sondern auch eine Semester begleitende Nutzung 

möglich ist. 

Vorkurse weisen üblicherweise ein hohes Maß 

an Heterogenität innerhalb der Lerngruppe auf. 

Dies ergibt sich u. a. durch das unterschiedliche 

Alter der Teilnehmer, durch verschiedenartige 

Hochschulzugangsberechtigungen, aus unterschiedlichen 

Bedürfnissen je nach angestrebtem 

Studiengang und nicht zuletzt auch durch verschiedene 

individuelle Defizite aufgrund persönlicher 

schulischer „Leidenswege“. Zudem ist am 

Standort Kassel seit Jahren ein Anstieg der Teilnehmerzahlen 

zu verzeichnen: Waren es z.B. in 

2007 noch 600 Teilnehmer, so haben in 2009 bereits 

1020 Studienanfänger die Vorkurse besucht. 

Zudem ist in Hessen für das Jahr 2013 mit einem 

Doppeljahrgang und damit mit überproportional 

höheren Zuwächsen zu rechnen. 

Betrachtet man die Ergebnisse aus den jährlichen 

Evaluationen der Vorkurse so stehen der 

wachsenden Zahl an Vorkursteilnehmern der 

Wunsch und das Bedürfnis der Studierenden nach 

einer möglichst individuellen Betreuung gegenüber 

[vgl. Fischer, 2007]. Vor diesem Hintergrund 

wurde im Rahmen des Dissertationsprojekts von 

Herrn Fischer unter Betreuung von Herrn Prof. Dr. 

Rolf Biehler die Idee eines neuartigen Vorkurskonzeptes 

entwickelt und beforscht [vgl. Fischer, 

2009; Fischer & Biehler, 2010]. Dieses Kurskonzept 

wird seit 2007 eingesetzt und fortlaufend optimiert. 

Dieser Artikel diskutiert einige Aspekte des 

interaktiven Lernens im Allgemeinen und illustriert 

einige Aspekte an Beispielen aus der Analysis 

im Speziellen. Er versucht aufzuzeigen, wie 

zum einen das Material selbst aber auch spezifische 

Kurszenarien in anderen Lehrveranstaltungen 

an der Hochschule einsetzbar bzw. für diese 

übertragbar sind und inwieweit auch ein Einsatz 

in schulischen Kontexten denkbar ist. 

Der Artikel beginnt mit einem kurzen Überblick 

über das multimediale Lernmaterial und illustriert 

einige Elemente an Beispielen aus der 

Analysis (Kapitel 2). Im dritten Kapitel werden 

verschiedene Einsatzszenarien im Rahmen der 

Kasseler Brückenkurse beschrieben. In diesem 

Kontext werden auch ausgewählte zentrale Ergebnisse 

der angelagerten Studie präsentiert. Im abschließenden 

vierten Kapitel wird zusammenfassend 

diskutiert, inwieweit die Konzepte und die 

bisherigen Evaluationsergebnisse auf den schulischen 

wie auch auf den universitären Bereich 

übertragbar sind, ehe abschließend der Artikel mit 

der Benennung von Forschungs- und Projektperspektiven 

endet. 

2 Das Kapitel Analysis 

Das Kapitel Analysis besteht aus den Unterkapiteln 

„Folgen und Grenzwerte“, „Grenzwerte 

von Funktionen und Stetigkeit“, „Differentialrechnung“ 

und „Integralrechnung“, wobei die ersten 

drei Unterkapitel von Frau Isabelle Kuhnke- 

Lerch von der TU Darmstadt unter Betreuung von 

Prof. Dr. Hochmuth verfasst wurden, während das 

165


Unterkapitel zur Integralrechnung von dem Kasseler 

Mitarbeiter Stefan Podworny unter Betreuung 

der dortigen Vorkursgruppe erstellt wurde. 

Insgesamt liegen elf Module zur Analysis vor. 

Den Inhalt eines solchen Moduls beschreiben 

wir nachfolgend exemplarisch an Hand des Moduls 

„Differenzierbarkeit von Funktionen“ [vgl. 

Biehler et al., 2009, 2010]: In der genetischen 

Hinführung sollen die Lernenden zunächst an die 

für das Thema zentralen Fragestellungen herangeführt 

werden. Dabei wird dem Lerner zuerst ein 

kurzer Überblick über die Themen des Moduls gegeben. 

Danach wird ihm ein Dialog zwischen drei 

Studierenden, die über die Geschwindigkeit einer 

Achterbahn am Ende ihres „First Drops“ diskutieren, 

präsentiert. In der anschließenden Mathematisierung 

dieses Beispiels wird der Lerner an 

die Vorstellung des Differentialquotienten als lokaler 

Änderungsrate herangeführt. Am Ende der 

Hinführung soll der Lerner in einer Aufgabe die 

konkrete Geschwindigkeit der Bahn zu einem vorgegebenen 

Zeitpunkt berechnen. 

Im darauf folgenden Bereich „Info“ findet 

sich eine Sammlung aller im Modul formulierten 

Definitionen und Sätze, wie z.B. eine Definition 

des Differentialquotienten, der Differenzierbarkeit 

einer Funktion sowie die Differentiationsregeln. 

Diese werden als „Infos“ mit einem 

entsprechenden Symbol markiert, sowie optisch 

durch einen roten Kasten hervorgehoben. Diese 

Darstellungsweise dient der besseren Übersichtlichkeit 

und soll die Orientierung des Lerners erleichtern. 

Der „Info“-Bereich kann später auch 

zum gezielten Nachschlagen einzelner Sätze verwendet 

werden. 

Im anschließenden Bereich „Begründung/ Interpretation/ 

Herleitung“ werden alle Sätze durch 

Beweise, Beispiele und Interaktionen begründet, 

erläutert bzw. illustriert. Im Bereich Anwendungen 

werden inner- und außermathematische Anwendungsbeispiele 

des eben Gelernten gezeigt. 

So findet sich hier u. a. auch ein Beispiel zur linearen 

Approximation. Speziell dieses Beispiel soll 

dazu beitragen, die Vielfalt an grundlegenden Vorstellungen 

zum Differentiationsbegriff zu erweitern 

und adäquat zu vernetzen. 

Im nächsten Bereich „Typische Fehler“ findet 

sich eine Sammlung fehlerhafter Aufgabenlösungen 

und Aussagen, die der Lerner korrigieren und 

„didaktisch“ analysieren soll. Auf diesem Wege 

soll er Standardfehler nicht nur im Vorfeld vermeiden, 

sondern auch einen ersten Einblick in didaktische 

Hintergründe erhalten. Der das Modul abschließende 

Bereich Aufgaben ist zum Üben der 

neu gelernten Konzepte gedacht und enthält Aufgaben 

sowie deren Musterlösungen, die vom Lerner 

optional angezeigt werden können. Zusätzlich 

finden sich im Bereich „Visualisierungen“ alle in- 

166 

teraktiven Elemente und Animationen des Moduls 

noch einmal zusammengetragen. 

Schließlich hat der Lerner die Möglichkeit, 

sich im Bereich „Ergänzungen“ über das in diesem 

Modul erwartete Wissen hinaus zu informieren. 

In dem von uns beschriebenen Modul werden 

hier u. a. Funktionsklassen thematisiert. 

Im Folgenden wollen wir uns etwas näher mit 

einigen ausgewählten Interaktionsbeispielen aus 

dem Kapitel Analysis beschäftigen. Dabei wird 

insbesondere auf die fachliche Einbettung der jeweiligen 

Interaktion, den anschaulichen bzw. formalen 

Charakter der „erwarteten“ Antworten und 

auf deren Anschlussfähigkeit im Kontext aktiventdeckenden 

Lernens in heterogenen Lerngruppen 

eingegangen. So werden gegenstandsbezogene 

Möglichkeiten des Lernens für verschiedene 

Einsatzszenarien aufgezeigt. Welche davon in spezifischen 

Situationen von Lernenden „typischerweise“ 

realisiert werden, ist eine empirische Frage, 

die andernorts beantwortet werden wird. 

2.1 Beispiele zur Differentialrechnung 

In der Interaktion „Differenzierbarkeit einer stetigen 

Funktion“ (Abb. 22.1) geht es um eine Beispielfunktion, 

die zwar überall stetig aber an einem 

Punkt nicht differenzierbar ist. Darüber hinaus 

wird in dieser Interaktion thematisiert, dass es 

sich bei der Differenzierbarkeit um eine lokale Eigenschaft 

handelt. Der Satz, der besagt, dass jede 

differenzierbare Funktion stetig ist, ist Gegenstand 

einer „Info“. 

Auf anschauliche Weise soll sich der Lernende 

insbesondere mit dem folgenden (hier nur skizzierten) 

mathematischen Zusammenhang auseinandersetzen: 

Stimmen an einer Stelle links- und 

rechtsseitige Sekantensteigungsgrenzwerte, also 

die links- und rechtseitigen Tangentensteigungen, 

überein, so existiert „der Sekantensteigungsgrenzwert“, 

in anderen Worten, ist die Funktion an 

dieser Stelle differenzierbar. Analytisch lässt sich 

dies „leicht“ zeigen. Im Kontext der Interaktion 

wird allerdings kein formaler Beweis verlangt. Es 

ist vielmehr ausreichend, wenn der Lernende anschaulich 

argumentiert. Selbst wenn es dem Lernenden 

hier nicht gelänge die „Warum“-Frage anschaulich 

(oder eben formal-analytisch) zu beantworten, 

wird er sich im Zuge des einfachen „Machens“ 

dessen, was in der Interaktion von ihm verlangt 

wird, mit dem Phänomen vertraut machen 

können, dass es so etwas wie links- und rechtsseitige 

Tangenten gibt, und dass es Stellen geben 

kann, an denen diese übereinstimmen, und solche, 

bei denen dies nicht der Fall ist. 

Es sei darauf hingewiesen, dass die Funktion 

hier lediglich in Gestalt eines Graphen und nicht 

als Term „für alle reellen x“ aus einem Intervall 

oder auf R gegeben ist. So legt schon die Repräsentation 

der Funktion anschauliche Argumenta-

Reinhard Hochmuth und Pascal Fischer, Kassel 

Abbildung 22.1: Differenzierbarkeit und stetige Funktionen 

tionen nahe und rahmt gewissermaßen das fachlich 

vom Lernenden hier Erwartete. Typischerweise 

kennen Schüler und Studierende als Beispiel 

für eine stetige aber nicht differenzierbare Funktion 

lediglich die sog. Betragsfunktion. Lernenden, 

denen grundsätzlich die eben beschriebenen Zusammenhänge 

bekannt sind, bietet diese Interaktion 

also zumindest die Möglichkeit zur Vorstellungserweiterung. 

Schließlich könnten Lernende, angeregt durch 

die Interaktion, auch auf die Frage stoßen, ob etwa 

Folgendes richtig ist: Gilt an einer Stelle x0 

lim f 

x↑x0 

′ (x) = lim f 

x↓x0 

′ (x), 

so existiert f ′ (x0) und stimmt mit dem gemeinsamen 

Grenzwert überein. Analytisch lässt sich dies 

beispielsweise mit dem Mittelwertsatz beweisen. 

Der genannte Zusammenhang lässt sich auch anschaulich 

begründen, was aber wohl nur wenigen 

Studienanfängern gelingen dürfte. 

Zusammenfassend bietet diese Interaktion 

Lernenden die Möglichkeiten des Erkenntnisgewinns 

auf sehr unterschiedlichem Niveau. Damit 

ist zumindest eine gegenstandsbezogene Voraussetzung 

für individualisiertes Lernen in heterogenen 

Gruppen erfüllt. 

Die Interaktion in Abb. 22.2 besitzt einen 

schlichteren mathematischen Hintergrund: Wie 

eben bemerkt, handelt es sich bei der Differen- 

zierbarkeit um eine lokale Eigenschaft. Die Ableitung 

einer (reellwertigen. . . ) Funktion an einer 

Stelle ist eine reelle Zahl. Die Zuordnung von der 

Stelle und der Ableitung an dieser Stelle liefert 

für eine etwa auf einem Intervall differenzierbare 

Funktion selbst wieder eine Funktion, die sog. Ableitungsfunktion. 

Bedeutender als dieser Zusammenhang 

ist es, sich eine qualitative Vorstellung 

von der Ableitungsfunktion in Abhängigkeit von 

der Ursprungsfunktion machen zu können. Hierbei 

ist das „Einzeichnen“ der Tangente, an der 

die Steigung in gewissen Sinne einfach abgelesen 

werden kann, hilfreich. Dies erleichtert auch 

zu erkennen, dass Stellen der Ursprungsfunktion, 

in denen diese einen lokalen Extremwert besitzt, 

Nullstellen der Ableitungsfunktion bilden. 

Des Weiteren soll erkannt werden, dass Stellen, in 

denen sich die Krümmung der Ursprungsfunktion 

ändert, Extremwertstellen der Ableitungsfunktion 

bilden. Diese Zusammenhänge lassen sich auch 

auf der Grundlage umgangssprachlicher Beschreibungen 

des Graphenverlaufs, wie sie etwa in der 

Sekundarstufe I thematisch worden sein könnten, 

formulieren. Es kann erwartet werden, dass bei 

hinreichender Beschäftigung mit der Interaktion, 

das Verfolgen der jeweils eingezeichneten Tangente 

nicht mehr notwendig ist, und zunehmend 

direkt vom Verlauf des Graphen der Ursprungsfunktion 

auf den Graphen der Ableitungsfunktion 

geschlossen werden kann. 

167


Auch in dieser Interaktion stehen weniger formale 

als qualitativ-anschauliche Aspekte im Vordergrund. 

Und auch hier ist der Lernende in den 

Prozess des Entstehens des „Phänomens“ durch 

sein „Machen“ involviert: So entsteht hier der 

Graph einer Funktion, ohne dass der Lernende explizit 

über das, was er da „mathematisch“ tut, reflektieren 

muss. Selbstverständlich sollte der Lernende 

dies spätestens im Studium noch leisten. 

Als Brücke zwischen „Gar nichts wissen“ und 

einem tieferen Verständnis des hier behandelten 

Phänomens kann diese Interaktion durch sein Bekanntmachen 

mit der Ableitungsfunktion und ein 

(potentielles) Anknüpfen an Inhalte der Sekundarstufe 

I aber allemal dienen. 

Beim Newton-Verfahren handelt es sich um 

ein numerisches Verfahren zur Bestimmung von 

Nullstellen nichtlinearer Funktionen. Es lässt sich 

auf kanonische Weise auf die Situation unendlich 

dimensionaler Räume verallgemeinern und ist in 

der Gestalt des Heron-Verfahrens, das Näherungswerte 

für die Quadratwurzel einer positiven reeller 

Zahl bestimmt, gelegentlich Gegenstand des 

Mathematikunterrichts der Sekundarstufe I. Es 

besitzt eine Vielzahl nichttrivialer Erweiterungen 

etwa zur Pfadbestimmung nichtlinearer parameterabhängiger 

Differentialgleichungssysteme und 

lässt sich mit topologischen Argumenten „kombinieren“. 

Darüber hinaus kann die Grundidee des 

Newton-Verfahrens auch auf bestimmte Probleme 

übertragen werden, bei denen die zugrunde liegende 

Funktion nicht differenzierbar ist. All dies 

168 

Abbildung 22.2: Ableitungsfunktion 

weist darauf hin, dass das Newton-Verfahren und 

seine Grundidee von großer Bedeutung für die 

Mathematik und ihre Anwendungen ist – viele 

Probleme der Anwendung führen letztlich auf das 

Problem, die Nullstellen nichtlinearer Gleichungen 

näherungsweise zu berechnen. 

Die Grundidee des Newton-Verfahrens lässt 

sich bekanntermaßen anschaulich einfach darstellen 

und der sich ergebende Algorithmus lässt sich 

mit Hilfe heutiger Taschenrechner leicht „programmieren“. 

Darüber hinaus lassen sich einige 

zentrale Probleme des Newton-Verfahrens bereits 

auf Schulniveau behandeln. So liegt der Anwendung 

des Newton-Verfahrens schon im eindimensionalen 

Fall in der Regel „lediglich“ ein Existenzsatz 

zu Grunde. Dieser besagt im Wesentlichen, 

dass Startwerte hinreichend nah an der 

Nullstelle so gewählt werden können, dass das 

Newton-Verfahren Iterationswerte erzeugt, welche 

die wahre Lösung beliebig genau approximieren. 

Was „hinreichend nah“ heißt, ist nur in besonderen 

Situationen a priori zu klären. Eine ungünstige 

Wahl des Startwerts führt jedenfalls zu Iterationswerten, 

die das Verfahren zum Abbruch führen, 

eine „ungewünschte“ Nullstelle approximieren 

oder gar nicht konvergieren. Die Interaktion in 

Abb. 22.3 erlaubt, einige dieser Möglichkeiten zu 

„entdecken“. Eine erfolgreiche Aufgabenbearbeitung 

verlangt nicht die Elaboration aller denkbaren 

Möglichkeiten. Wieder reicht es durchaus aus, 

in dieser Situation und im Kontext der zugrunde 

liegenden Mathematik mittels der Interaktion Phä-

nomene (oder das Phänomen) zu entdecken und 

die dabei auftretenden geometrischen Situationen 

„sinnvoll“ zu interpretieren. 

Auch diese Interaktion bietet die Möglichkeit 

zu nichttrivialen Anschlussüberlegungen. So können 

für den Fall der Konvergenz der Iterationswerte 

gegen die Nullstelle Beobachtungen über 

die Konvergenzgeschwindigkeit angestellt werden. 

Des Weiteren könnte in diesem Kontext Einiges 

über a priori und a posteriori Fehlerabschätzungen 

und deren grundlegenden Unterschied erfahren 

werden. 

Neben dem Erfahrbarmachen des Newton- 

Verfahrens erlaubt die Interaktion in Abb. 22.3, 

über eine grundlegende häufig in der Mathematik 

auftretende Situation, die Bedeutung und Grenze 

von Existenzaussagen, zu reflektieren. Auch für 

dieses Interaktionsbeispiel ist seine „Brücken“- 

Funktion quasi „greifbar“. 

2.2 Beispiele zur Integralrechnung 

Die Iteration in Abb. 22.4 erlaubt es, ein durchaus 

relevantes Näherungsverfahren zur Berechnung 

bestimmter Integrale kennen zu lernen. Es lässt 

sich anschaulich begründen und rekurriert darauf, 

dass man aus der Sekundarstufe I noch weiß, wie 

Abbildung 22.3: Das Newton-Verfahren 


man den Flächeninhalt eines Trapezes berechnet. 

Außerdem muss man endliche Summen berechnen. 

Mit heutigen Taschenrechnern lässt sich auch 

dieses Verfahren „leicht“ programmieren. Diese 

würde unter anderem die Bedeutung der Summenschreibweise 

verdeutlichen. 

In der vorliegenden Interaktion lassen sich 

darüber hinaus gewisse Phänomene beobachten, 

die durch die ergänzenden Bemerkungen quasi 

in Frage gestellt werden. So führt beispielsweise 

die Frage, warum bei der vorliegenden Funktion 

die Näherungswerte immer größer als der wahre 

Wert sind, zu der Frage, wie denn der Graph einer 

Funktion (und damit die Funktion) aussehen mögen, 

bei der dies nicht der Fall ist. Die Redewendung 

„in der Regel“ könnte darüber hinaus zu der 

Überlegung Anlass geben, ob es denn Fälle gibt, 

bei denen zwar mehr Trapeze zur Berechnung eines 

Näherungswertes herangezogen werden, der 

Näherungswert aber „schlechter“ wird. Weitergehend 

könnte etwa die Frage aufgeworfen werden, 

ob solche Fälle etwa bei der Wahl von Zweierpotenzen 

nicht auftreten können. Auch hier stehen 

anschauliche Überlegungen im Vordergrund. 

Die Herleitung des Begriffs des Riemannschen 

Integrals ist an sich ja eine eher techni- 

169


Abbildung 22.4: Beispiel der näherungsweisen Berechnung mit Trapezen 

sche Angelegenheit. Die Interaktion in Abb. 22.5 

erlaubt es, die Berechnung von Ober- und Untersummen 

und deren Differenz an einem Beispiel 

konkret durchzuführen. Außerdem kann das 

Phänomen zur Kenntnis genommen werden, dass 

es etwa für stetige Funktionen letztlich (also im 

Grenzwert) egal ist, ob man Obersummen, Untersummen, 

Linkssummen oder Rechtssummen zur 

Grenzwertbildung verwendet. Auch hier erlauben 

die Fragen anschaulich argumentierende Antworten. 

Wiederum können aber auch weitergehende 

Fragen aufgeworfen werden. So kann gefragt werden, 

ob es denn wirklich notwendig ist, dass die 

zu integrierende Funktion stetig ist. Zumindest 

die Entdeckung, dass es für bestimme stückweise 

konstante Funktionen „gut geht“, könnte im Kontext 

dieser Interaktion angeregt werden. 

170 

3 Einsatzszenarien der Kasseler 

Brückenkurse 

3.1 Kurszenarien 

Im Rahmen der Kasseler Mathematikbrückenkurse 

können die Studienanfänger zwischen zwei alternativen 

Kursvarianten, einer P- und einer E- 

Kursvariante, wählen. Die Kurse in beide Varianten 

erstrecken sich über einen Zeitraum von 4 

Wochen, unterscheiden sich jedoch bzgl. einzelner 

Aspekte des Lernens, auf die wir im Folgenden 

kurz vergleichend eingehen wollen. 

P-Kurse 

Die P-Kurse gliedern sich in 12 Präsenz- und 8 

Selbstlerntage, wobei sich jeweils drei Präsenztage 

pro Woche mit 2 Selbstlerntagen abwechseln, 

wie es in der nachfolgenden Tabelle zu sehen ist. 

Mo Di Mi Do Fr Sa & So 

VL&Ü S VL&Ü S VL&Ü S 

VL&Ü S VL&Ü S VL&Ü S 

VL&Ü S VL&Ü S VL&Ü S

Die Teilnehmer werden dabei nach Studiengängen 

sortiert in vier Teilkurse aufgeteilt und 

von je einem Dozenten sowie mindestens zwei 

Übungsgruppenleitern je Teilkurs betreut. Die Dozenten 

sind in ihren Kursen im klassischen Sinne 

für die Auswahl der Inhalte sowie für die Taktung 

und das Tempo des Kurses verantwortlich. Sie orientieren 

sich dabei an den Bedürfnissen der jeweiligen 

Studiengänge, versuchen aber auch den Kurs 

soweit wie möglich an den spezifischen Bedürfnissen 

und Defiziten der Lerngruppe auszurichten. 

Eine Orientierung an den individuellen Bedürfnissen 

der einzelnen Teilnehmer ist jedoch schon 

aus rein praktischen Gründen nicht möglich: Jeder 

der vier Dozenten ist für 70 bis 300 Studienanfänger 

verantwortlich, so dass eine Individualdiagnose 

als Ausgangspunkt für eine individuelle 

Betreuung praktisch ausgeschlossen ist. 

Die Präsenztage umfassen in den P-Kursen 3 

Stunden vormittäglicher Vorlesungen und 2 Stunden 

Übungen am Nachmittag. Für die Selbstlerntage 

werden vom Dozenten Hausaufgaben ausgewählt, 

die zum einen zur Nachbereitung des vergangenen, 

zum anderen aber auch der inhaltlichen 

Vorbereitung auf den nächsten Kurstag dienen. 

So können bestimmte Inhalte aus den Vorlesungen 

auf Phasen selbstständigen Lernens „verlagert“ 

werden. Dies führt einerseits zu einem ef- 

Abbildung 22.5: Interaktion Riemannsches Integral 


fizienterem Einsatz der vorhandenen personellen 

und räumlichen Ressourcen, darüber hinaus aber 

auch durch die selbstständigere Auseinandersetzung 

des Lernenden mit dem Stoff zu einem potentiell 

aktiveren und damit effektiveren Lernprozess. 

Die Hausaufgaben werden in den Übungen 

des nächsten Präsenztages zusammen mit dem 

Tutor besprochen. Darüber hinaus werden dort 

Übungsaufgaben gemeinsam bearbeitet und/oder 

Teilnehmer präsentieren gegenseitig ihre Lösungen. 

E-Kurse 

Auch die E-Kurse werden nach Studiengängen 

sortiert und in vier Gruppen aufgeteilt. Allerdings 

bilden diese vier Gruppen als Teilgruppen einen 

gemeinsamen Kurs, der lediglich durch einen Dozenten, 

einen Übungsgruppenleiter sowie einen 

Online-Tutor betreut wird. Dieser noch effizientere 

Einsatz von Lehrpersonal und auch von Räumen 

wird erreicht durch eine Reduzierung der 

Präsenztage auf zwei gemeinsamen Einführungstage 

sowie einen kursgruppenspezifischen Präsenztermin 

pro Woche. So können die vier Teilgruppen 

an unterschiedlichen Tagen betreut werden. 

Die nachfolgende Tabelle illustriert den Stundenplan 

für eine der vier Teilgruppen. 

171


Mo Di Mi Do Fr Sa & So 

VL&Ü VL&Ü S S VL&Ü S 

S S S S VL&Ü S 



Die Einführungstage dienen dabei sowohl dem 

Kennlernen der Studierenden untereinander, sowie 

einer Einführung in die Uni, in den Ablauf 

von Vorlesungen und vor allem einer Einführung 

in das Lernen im E-Kurs. An den kursgruppenspezifischen, 

wöchentlichen Präsenzterminen findet 

stets zunächst eine einleitende Fragestunde 

statt, in der die Studierenden alle organisatorischen 

Fragen, Fragen zum Studium und auch gezielte 

inhaltliche Fragen stellen können. Anschließend 

wird eine Vorlesung gehalten, deren Themen 

im Vorfeld vom Dozent und den Studierenden gemeinsam 

festgelegt wurde. Auf diese Weise wird 

sichergestellt, dass unterstützt durch den Dozenten 

genau die Themen besprochen werden, die für 

die jeweiligen Studiengänge maßgeblich sind, zudem 

jedoch auch die individuellen Wünsche der 

Lerner bei der Gestaltung mit einbezogen werden 

können. In den nachmittäglichen Übungen werden 

dann wie bei den P-Kursen zusammen mit dem 

Tutor Aufgaben gerechnet und Lösungen vorgestellt. 

Auch an den Selbstlerntagen können die 

Studierenden ihr individuelles Lernen sowohl an 

den Bedürfnissen des Studiengangs als auch an 

ihren eigenen Wünschen und Defiziten ausrichten: 

Einerseits erhalten alle Kursteilnehmer studiengangsspezifische 

Empfehlungen zur Auswahl 

der Inhalte und zur Taktung des Kurses, anderseits 

werden ihnen elektronische selbstdiagnostische 

Tests in der Lernplattform Moodle bereitgestellt, 

mit denen sie sich eigenständig Testen können. 

Insgesamt sind im E-Kurs die Studierenden 

frei in der Gestaltung ihres Lernens. Es werden 

keine verpflichtenden Hausaufgaben festgelegt 

und auch die Nutzung der diagnostischen 

Tests ist freigestellt. Als zentraler Lernort steht 

den Teilnehmern die Lernplattform Moodle zur 

Verfügung (Abb. 22.6). Hier sind nicht nur die 

interaktiven Materialen der CD noch einmal als 

SCORM-Module verlinkt, auch die diagnostischen 

Tests sowie zusätzliches Informationsmaterial 

stehen hier bereit, wie es das nachfolgende 

Bild illustriert. Darüber hinaus werden Kommunikationstools 

wie Chat, Mitteilungen und Foren 

intensiv zur gegenseitigen Kommunikation und 

zum Austausch mit Dozent, Übungsgruppenleiter 

und dem Online-Tutor genutzt. Letzterer steht wochentags 

von 9-17 Uhr in der Lernplattform zur 

Verfügung und ist damit Ansprechpartner für alle 

Fragen. Alle Teilgruppen werden bei den E- 

Kursen in einem gemeinsamen Kursbereich in 

Moodle betreut. 

172 

3.2 Diagnostische Tests 

Das interaktive Vorkursmaterial des Projekts VE- 

MA ist durch seine modularisierte Inhaltsstruktur 

an sich sehr gut zum selbstständigen Lernen in 

E-Learning Szenarien geeignet. Allerdings bietet 

das Material Feedback lediglich in Form von Musterlösungen 

zu Aufgaben. Diese ermöglichen dem 

Lernenden zwar einen Vergleich mit der eigenen 

Lösung, eine gezielte Diagnose der individuellen 

Defizite oder gar das „Aussprechen“ persönlicher 

Empfehlungen zum Nacharbeiten sind allerdings 

nicht möglich. Da eine individuelle Diagnose von 

Defiziten (und Stärken) jedoch eine wichtige Voraussetzung 

für eine am individuellen Bedarf ausgerichtete 

Festlegung des Curriculums ist, wurden 

für die E-Kurse selbstdiagnostische Tests entwickelt. 

Diese wurden für die Lernplattform Moodle 

als automatisch auswertbare Tests realisiert. Dadurch 

wurde es möglich, dass jeder Teilnehmer 

sich selbst testet und so individuelles Feedback 

sowie persönliche Bearbeitungsempfehlungen erhält. 

Insgesamt wurden 50 Tests mit rund 250 Aufgaben 

entwickelt, die als Vor- und Nachtests zu 

den VEMA-Modulen dienen. Jeder dieser Tests 

orientiert sich inhaltlich am jeweiligen Modul, für 

das er entwickelt wurde und umfasst mindestens 

je eine Aufgabe zu technischen Aspekten des Moduls, 

zum Verständnis, zur Anwendung des Stoffes 

und zur Fehlerdiagnose. Entsprechend der individuellen 

Ergebnisse gibt das System dem Lerner 

nicht nur allgemeine Empfehlungen zur Auswahl 

eines Moduls, sondern darüber hinaus gezielte 

Bearbeitungsempfehlungen für das Lernen 

in dessen Unterbereichen. 

Um auch Modellierungs- und Beweisaufgaben 

adäquat in die Tests aufnehmen zu können, wurde 

bei einzelnen Aufgaben ein offenes Eingabeformat 

verwendet, das eine Bewertung durch den 

Online-Tutor erforderte. Andere Aufgaben wurden 

so gestaltet, dass der Studierende sich unter 

Zuhilfenahme eines Bewertungsschemas selbst 

bewerten musste, die Punkte in das System eintrug 

und erst dann ein Feedback mit Empfehlungen erhielt. 

Bei allen Aufgaben wurde stets eine Musterlösung 

in das automatische Feedback integriert. 

So erhielt der Lernende nicht nur ein Feedback 

hinsichtlich der Ergebnisse seines Tests, sondern 

konnte auch mögliche Fehler in seinem Lösungsweg 

durch den Vergleich mit der Musterlösung 

identifizieren (Abb. 22.7). 

Die so konstruierten Selbsttests konnten von 

den Studierenden genutzt werden, um sich vor und 

nach der Bearbeitung eines Moduls eigenständig 

zu diagnostizieren und individuelle Beareitungsempfehlungen 

zu erhalten. Auf diesem Weg war 

es trotz Einsparung von Personal möglich, den

Studienanfängern ein Maß an Individualdiagnose 

zu ermöglichen, welches in einem klassischen 

Präsenzkurs nicht realisierbar wäre. 

3.3 Zentrale Ergebnisse der angelagerten 

Dissertationsstudie 

An dieser Stelle möchten wir nur einige für diesen 

Artikel zentrale Ergebnisse der angelagerten 

Dissertationsstudie thematisieren und verweisen 

für weitere Ergebnisse und Details auf [Fischer, 

2009] sowie auf [Fischer & Biehler, 2010]. 

Abbildung 22.6: Einbindung des E-Kurses in Moodle 

Abbildung 22.7: Testaufgabe inklusive Feedback 


Die Kursteilnehmer beider Varianten wurden 

zu den Gründen ihrer Kurswahl befragt. Die Auswertung 

der Ergebnisse zeigt dabei für den E- 

Kurs, dass äußere Rahmenbedingen wie Urlaub, 

berufliche Gründe, eine (noch) fehlende Wohnung 

am Studienort oder sonstige äußere Gründe 

laut eigener Angaben eher nicht für die Entscheidung 

gegen die P-Variante (mit erhöhtem Präsenzanteil) 

bestimmend sind. So wurden vor allem 

die freie Zeiteinteilung, und die Möglichkeit 

173


zu selbstständigerem Lernen sowie das Interesse 

an der „Lernmethode eLearning“ selbst von den 

E-Kursteilnehmern als Gründe angegeben. Wie zu 

erwarten, spielte insbesondere die reduzierte Anzahl 

der Präsenztage jedoch auch eine große Rolle. 

Die P-Kursteilnehmer gaben ebenfalls an, dass 

externe Gründe wie die Nicht-Verfügbarkeit von 

Internet, Flatrate oder PC eher nicht als Gründe 

für ihre Kursentscheidung maßgeblich waren. 

Stattdessen gaben die Teilnehmer vor allem an, 

dass der persönliche Kontakt und Austausch mit 

Studierenden und Dozent sowie das Kennen lernen 

von „Vorlesungen“ im Vordergrund ihrer Entscheidung 

gegen den E-Kurs standen. 

Darüber hinaus zeigten die Daten, dass entgegen 

der Erwartungen die E- und die P- 

Kursteilnehmer bzgl. der schulischen Erfahrungen 

im Lernen am PC, der Erfahrungen mit der Methode 

eLearning und auch hinsichtlich ihres Interesses 

am Arbeiten mit dem Computer sehr ähnliche 

Angaben machten. Offensichtlich scheinen 

diese impliziten Aspekte bei der Entscheidung für 

eine der Kursvarianten keine große Rolle zu spielen. 

Zudem zeigte die Befragung der Teilnehmer 

vergleichbar positive Ergebnisse in der Bewertung 

des Kurses: Jeder scheint mit der von ihm gewählten 

Kursvariante zufrieden zu sein. 

Das im Rahmen der Studie ebenfalls durchgeführte 

Testing zeigte für beide Kursvarianten 

vergleichbare Ergebnisse im Einganstest bei einer 

leicht höheren Streuung der Ergebnisse in den E- 

Kursen. Auch die Ausgangstestergebnisse sind für 

beide Varianten vergleichbar bei einem im Mittel 

leicht besseren Ergebnis in den E-Kursen. Auffällig 

ist jedoch, dass die Streuung (und damit auch 

ein Maß der Heterogenität der Leistung im Kurs) 

bei den E-Kursen im Ausgangstest höher war als 

zuvor [vgl. Fischer, 2009]. 

4 Gesamtfazit und Diskussion 

4.1 Fazit zu den E- und P-Vorkursen 

Die E-Kurse sind als Alternative zu den P-Kursen 

einsetzbar und sowohl aus pädagogischen wie 

auch aus organisatorischen Gründen sinnvoll: Beide 

Kurse liefern vergleichbare Ergebnisse in der 

Kursbewertung durch die Teilnehmer, beim Testing 

sind die Ergebnisse ebenfalls vergleichbar. 

Die Kursteilnehmer beider Varianten zeigen sich 

im Wesentlichen mit der von Ihnen gewählten 

Kursvariante sehr zufrieden. Dies spricht dafür, 

beide Kurse durchaus auch alternativ anzubieten. 

Gleichzeitig können durch die effizientere Betreuung 

der Teilnehmer unter Einsatz elektronischer 

Unterstützung auch Raum- und Personalprobleme 

gelindert werden. 

Unter den Gründen für die Entscheidung für 

174 

die P-Variante ist mit dem Wunsch nach „persönlichem 

Kontakt“ ein Aspekt angesprochen, 

der durch die Gestaltung der Präsenztage in den 

E-Kursen sowie durch die zusätzliche Online- 

Betreuung und die Peer-Kommunikation in den 

Foren hier prinzipiell auch gegeben ist. Dennoch 

darf nicht unterschätzt werden, dass selbstständiges 

Lernen, insbesondere bei Studienanfängern, 

an eine Reihe von personalen und situativen Bedingungen 

geknüpft ist, deren Erfülltsein nicht 

einfach vorausgesetzt werden können. Das Angebot 

einer stärker durch einen Dozenten geleiteten 

P-Kursvariante als Alternative zum E-Kurs erscheint 

deshalb ebenso wichtig und trägt den von 

den Teilnehmern geäußerten Wünschen nach unterschiedlichen 

Betreuungsformen Rechnung. 

4.2 Zur Übertragbarkeit auf schulischen 

Kontext 

Einige Schulverlage bieten bereits Begleitmaterial 

zu ihren Schulbüchern an, die auf CDs bereitgestellt 

werden. Diese Materialien umfassen zusätzliches 

interaktives Lernmaterial und elektronische 

Übungsaufgaben [vgl. u. a. Klett Verlag, 2007; 

Schroedel Verlag, 2006]. Inwieweit dieses ergänzende 

Material in Schulen bereits eingesetzt wird, 

ob es wie bei dem oben vorgestellten Brückenkursen 

in ein passendes Kurskonzept integriert oder 

den Schülern lediglich zum Lernen für zu hause 

an die Hand gegeben wird, ist bislang unklar. Für 

die Schule müssen gegebenenfalls erst noch adäquate 

Einsatzszenarien entwickelt und beforscht 

werden. 

Auch das interaktive Vorkursmaterial inklusive 

der diagnostischen Tests ist bislang nicht an 

Schulen getestet worden, so dass empirisch belegbare 

Aussagen über dessen Verwendbarkeit bislang 

nicht getroffen werden können. In der vorliegenden 

Form erscheint jedenfalls nur ein Einsatz 

in der Oberstufe denkbar, z.B. zum gezielten 

individuellen Nacharbeiten von Defiziten bezüglich 

Themen aus der Sekundarstufe I oder bezüglich 

bereits behandelter Inhalte der Sekundarstufe 

II. In diesem Sinne könnte das interaktive Lernund 

Testmaterial als Alternative zum oder zumindest 

als ein Element von Nachhilfeunterricht genutzt 

werden. Ein Einsatz des Lernmaterials in der 

Oberstufe hätte zudem möglicherweise den Effekt, 

dass die Schüler auf das mehr selbstständigkeitsorientiertere 

Lernen an der Hochschule vorbereitet 

werden. Einzelne Bestandteile des Materials 

können sicherlich auch für den Unterricht der 

Mittelstufe genutzt werden. 

Auch eine (Weiter-)Entwicklung der diagnostischen 

Selbsttests für die Schule wäre denkbar: 

Bei Einsatz einer entsprechenden Lernplattform 

könnte so schnell und effizient eine inhalts- und 

kompetenzbezogene Diagnose über das Wissen 

der Schüler erstellt werden, die dem Lehrer bei

der zielgerichteten Gestaltung seines Unterrichts 

unterstützen könnte. Sicherlich haben die diagnostischen 

Tests nicht den Charakter und auch nicht 

den Anspruch einer umfassenden und vollständigen 

Diagnose der Fähigkeiten und Kenntnisse eines 

Schülers. Sie geben aber einen groben Überblick 

über mögliche Defizite und klären dementsprechenden 

Handlungsbedarf. Auf diesem Weg 

könnten Teile des Unterrichts in PC-Räumen stattfinden 

oder es könnte, ähnlich wie in den P- 

Kursen, das Bearbeiten von Inhalten etwa zur individuellen 

Vorbereitung von Unterrichtsstunden 

zur Hausaufgabe erklärt werden. Dabei muss allerdings 

beachtet werden, dass diese und auch andere 

Studien zwar eine hohe Verbreitung von Internet 

und PCs unter den Schülern belegen, generell 

vorausgesetzt werden kann dies bei Schülern 

allerdings (noch) nicht. 

Dass Moodle bereits an vielen Schulen angeboten 

wird [vgl. Waßner, 2009] und als OpenSource 

Plattform kostenlos zur Verfügung steht, zeigt 

das Potential, das hier allen Schulen zur individuelleren 

Gestaltung des Lernens zur Verfügung 

steht und sicherlich noch nicht ausgeschöpft ist. 

4.3 Zur Übertragbarkeit auf andere 

Hochschullehrkontexte 

Brückenkurse sind geeignete Kontexte für den 

Einsatz von eLearning, da die Lerner in der Regel 

motiviert sind, spezifische Inhalte nachzuarbeiten. 

Zudem kann darauf „vertraut“ werden, dass die 

Lerner aus Eigeninteresse bei den Tests nicht betrügen. 

Auch im Hochschulkontext können sowohl 

das Material als auch die Tests parallel zu 

den Vorlesungen etwa zum individuellen Nacharbeiten 

von Defiziten sowie zum Üben eingesetzt 

werden. 

Um das oben vorgestellte E-Kurskonzept auf 

andere Lehrveranstaltungen übertragen zu können, 

ist jedoch in der Regel eine Neuentwicklung 

von interaktivem Material und diagnostischen 

Tests notwendig. Dies erfordert mittelfristig 

zwar einen hohen Arbeits- und Kostenaufwand, 

sorgt langfristig jedoch sowohl personell wie auch 

materiell für eine effizientere Nutzung der Ressourcen. 

Attraktiv ist dies vor allem für Lehrveranstaltungen 

mit einer hohen Teilnehmerzahl sowie 

einem relativ konstant bleibenden Inhaltsrepertoire. 

Bei einer Diskussion der Übertragbarkeit auf 

andere Bereiche der Hochschullehre müssen insbesondere 

die folgenden Fragestellungen berücksichtig 

werden: 

1. Wie verhält sich ein solches Konzept bezogen 

auf die Bildungsziele der Hochschule? 

2. Wie sollte ein E-Learning Kurs gestaltet wer- 

1 http://lima-pb-ks.de 

2 http://www.math-bridge.org 


den, wenn es sich um eine „normale“ Pflichtlehrveranstaltung 

handelt? 

3. Sind die positiven Evaluierungsergebnisse bezüglich 

der Vorkurse auch bezüglich Hochschullehrveranstaltungen 

reproduzierbar? 

4. Wie müssten diagnostische Tests für Hochschullehrveranstaltungen 

aussehen? 

4.4 Forschungs- und Projektperspektive 

Im Hinblick auf die Weiterentwicklung des interaktiven 

Materials sowie weiterer hochschuldidaktischer 

Forschungen kann im Kooperationsverbund 

der Universitäten Kassel und Paderborn 

auf Erfahrungen aus einer Reihe von Projekten zurückgriffen 

werden. 

So sei hier einerseits das Projekt „LIMA“ genannt, 

in dem eine Studie zur Lehrinnovation der 

mathematischen Anfangsausbildung für das Studium 

von Haupt- und Realschullehramt durchführt 

wird. 1 Dabei findet ein studienbegleitender 

Einsatz von eLearning statt, auch unter Rückgriff 

auf Erfahrungen, Erkenntnissen und zum Teil 

auch auf Material aus dem Vorkursprojekt. 

Im Kontext des EU-Projekts Math-Bridge 2 

wird unter Beteiligung der Universitäten Kassel 

und Paderborn das vom DFKI initiierte Projekt 

ActiveMath weitergeführt und internationalisiert. 

Hier gehen nicht nur das interaktive VEMA- 

Material sowie die Tests ein, insbesondere wird 

auch das wissenschaftliche und speziell das pädagogische 

Know-how im Projekt eingebracht und 

auf internationaler Ebene vertieft. Ziel des Projekts 

ist die Entwicklung und Beforschung eines 

interaktiven Brückenkurses für Studienanfänger 

insbesondere im Bereich Ingenieurwesen, aber 

auch für andere mathematikhaltige Studiengänge. 

Des Weiteren haben die beiden Autoren dieses 

Artikels geplant, im Rahmen einer kleinen Studie 

ein interaktives Lernobjekt zum Grenzwertbegriff 

bei Folgen für den universitären Einsatz zu entwickeln 

und zu beforschen. Die Studie soll im Kontext 

der Veranstaltung „Grundzüge II“ im Sommersemester 

2011 durchgeführt werden. 

Die interaktiven Kursmaterialien werden im 

Projekt VEMA kontinuierlich weiterentwickelt 

und im Rahmen der jährlichen Vorkurse beforscht. 

In Kassel wird derzeit das Kapitel zur Vektorrechnung 

ausgebaut und die TU Darmstadt arbeitet 

an einem Ausbau des Kapitels zur Analysis. Die 

Universität Paderborn plant die Entwicklung eines 

Kapitels zur Stochastik. 

Auf Basis der im Vorkurs 2008 gesammelten 

Daten werden zudem differenziertere Auswertungen 

im Rahmen der Dissertationsstudie erfolgen. 

175


Literatur 

Biehler, Rolf, Bernd Billhardt, Regina Bruder, Reinhard Hochmuth, 

Wolfram Koepf & Walter Strampp (2009): CD Multimediavorkurs 

Mathematik. Version 3.1. 

Biehler, Rolf, Bernd Billhardt, Regina Bruder, Reinhard Hochmuth, 

Wolfram Koepf, Walter Strampp, Isabell Bausch, Pascal 

Rolf Fischer & Thomas Wassong (2010): CD Multimediavorkurs 

Mathematik. Version 3.2. 

Biehler, Rolf & Pascal Rolf Fischer (2006): VEMA – Virtuelles 

Eingangstutorium Mathematik. In: Beiträge zum Mathematikunterricht 

2006. Vorträge auf der 40. Tagung für Didaktik 

der Mathematik vom 6. 3. bis 10. 3. 2006 in Osnabrück, Hildesheim: 

Franzbecker. 

Fischer, Pascal Rolf (2007): E-Learning als effizienteres Mittel 

für den Brückenschlag zwischen Schule und Universität? 

In: Beiträge zum Mathematikunterricht 2007. Vorträge auf der 

41. Tagung für Didaktik der Mathematik, Hildesheim: Franzbecker. 

Fischer, Pascal Rolf (2009): E-Learning zwischen Schule und 

Universität? Ergebnisse einer empirischen Studie zum Einsatz 

176 

einer E-Variante mathematischer Brückenkurse. In: Beiträge 

zum Mathematikunterricht 2009. Vorträge auf der 40. Tagung 

für Didaktik der Mathematik in Oldenburg, Münster: WTM. 

Fischer, Pascal Rolf & Rolf Biehler (2010): Ein individualisierter 

eVorkurs für 400 Studierende und mehr. Ein Lösungsansatz 

für mathematische Brückenkurse mit hohen Teilnehmerzahlen. 

In: Beiträge zum Mathematikunterricht 2010. Vorträge auf der 

44. Tagung für Didaktik der Mathematik in München, Münster: 

WTM. 

Klett Verlag (2007): Lambacher-Schweizer 6. Neubearbeitung 

Ausgabe Hessen. Arbeitsheft plus Lösungsheft und Lernsoftware. 

Ernst Klett Schulbuchverlag. 

Schroedel Verlag (2006): Lernsoftware MatheBits. Dreisatz, 

Prozente, Zinsen. CD-ROM. 

Waßner, Christoph (2009): E-Learning in der Unterrichtspraxis. 

In: Beiträge zum Mathematikunterricht 2009. Vorträge auf 

der 40. Tagung für Didaktik der Mathematik in Oldenburg, 

Münster: WTM.

Tagungsband 2008/2009 - Gesellschaft für Didaktik der Mathematik

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