WWW und Mathematik — Lehren und Lernen im Internet

proceedings
Peter Bender; Wilfried Herget; Hans-Georg Weigand; Thomas Weth
(Hrsg.)
WWW und Mathematik —
Lehren und Lernen im Internet
diverlag
franzbecker
Bericht über die
21. Arbeitstagung des Arbeitskreises
„Mathematikunterricht und Informatik“ in der
Gesellschaft für Didaktik der Mathematik e. V.
vom 26. bis 28. September 2003 in Dillingen

proceedings
Peter Bender; Wilfried Herget; Hans-Georg Weigand; Thomas Weth
(Hrsg.)
WWW und Mathematik —
Lehren und Lernen im Internet
diverlag
franzbecker
Bericht über die
21. Arbeitstagung des Arbeitskreises
„Mathematikunterricht und Informatik“ in der
Gesellschaft für Didaktik der Mathematik e. V.
vom 26. bis 28. September 2003 in Dillingen

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Peter Bender; Wilfried Herget; Hans-Georg Weigand; Thomas Weth
(Hrsg.)
WWW und Mathematik — Lehren und Lernen im Internet
Bericht über die 21. Arbeitstagung des Arbeitskreises „Mathematikunterricht
und Informatik“ in der Gesellschaft für Didaktik
der Mathematik e.V. vom 26. bis 28. September 2003 in Dillingen
ISBN 3-88120-391-5
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© 2005 by Verlag Franzbecker, Hildesheim, Berlin

Inhalt
Lehren und Lernen im und mit dem Internet — neue Möglichkeiten für den
Unterricht? 5
Peter Bender, Paderborn & Wilfried Herget, Halle a.d. Saale &
Hans-Georg Weigand, Würzburg & Thomas Weth, Nürnberg
� Hauptvorträge
Mathematik Lernen und Lehren mit dem Internet —
zwischen instruktivistischem und konstruktivistischem Paradigma 7
Timo Leuders, Soest
Mädchen, Jungen, Mathematik und Computer 35
Cornelia Niederdrenk-Felgner, Nürtingen
MaDiN — Mathematikdidaktik im Netz 45
Thomas Weth, Nürnberg
� Sektionsvorträge
Mathematiklernen und Organisieren 52
Christine Bescherer & Herbert Löthe, Ludwigsburg
Ein virtuelles Seminar — Konzeption, Durchführung und Auswertung 57
Christine Bescherer, Ludwigsburg & Matthias Ludwig, Weingarten &
Barbara Schmidt-Thieme, Karlsruhe & Hans-Georg Weigand, Würzburg
Der Kosinussatz — wieder entdeckt als Flächensatz 66
Hans-Jürgen Elschenbroich, Korschenbroich
Konstruktiv arbeiten mit dem Internet in Schule und Lehrerausbildung —
Methoden der Content-Erstellung mit Beispielen aus der Praxis 71
Astrid Ernst & Engelbert Niehaus, Münster
Didaktische Aspekte der Einbeziehung von Elementen der 3D-Computergrafik
in das Stoffgebiet Analytische Geometrie 81
Andreas Filler, Berlin
Konstruktion und Kontinuität in der Dynamischen Geometrie 95
Thomas Gawlick, Landau
Ein Java-Applet zur Eingabe und Überprüfung mathematischer Terme 112
Rudolf Großmann, Stein
Echtzeit-Online-Fortbildungen für Lehrkräfte zum Thema:
Mathematik mit grafischen Taschenrechnern und CAS 118
Karl-Heinz Keunecke, Kiel
Experimentieren und Publizieren 120
Ulrich Kortenkamp, Berlin
Dynamische Visualisierung einer Aufgabe (in Variationen) 127
Ingmar Lehmann, Berlin
Von Primzahlen zur Verschlüsselung mit RSA —
Eine Unterrichtseinheit im WWW für eine 11. Klasse 140
Carsten Münchenbach, Emmendingen
3

4
Vom 19. ins 21. Jahrhundert — Ändert das Internet die Chancen für den
Zugang zur Mathematik? 145
Fritz Nestle, Ulm
Das CAS-basierte DGS Feli-X zur Vernetzung von Algebra und Geometrie 150
Reinhard Oldenburg, Göttingen
Mathematik lernen im Internet — eine philosophische Betrachtung
vom Standpunkt moderner Erkenntnistheorie 153
Reinhard Oldenburg, Göttingen
Integration des Internets im Mathematikunterricht — unter Berücksichtigung
von Aspekten der Handlungsorientierung am Beispiel der Behandlung von
Korrelation und Regression in der Jahrgangsstufe 11 159
Andreas Pallack, Soest
"Da schauen Sie mal ins Internet!" — Impressionen des Lehrens und Lernens 170
Karel Tschacher, Erlangen-Nürnberg
Computereinsatz im Mathematikunterricht unter Geschlechterperspektive —
oder Mädchen, Jungen, Mathematik und Computer 173
Rose Vogel, Ludwigsburg
Gestaltungsprinzipien und Erfahrungen zum virtuellen Selbstlernkurs:
Mathematik und Computer 177
Wolfgang Weigel, Würzburg
Der ClassPad 300 von Casio 187
Jens Weitendorf, Norderstedt
Wie lernen Studierende in internetgestützten Lehrveranstaltungen? 192
Gerald Wittmann, Würzburg
Über die didaktische Gestaltung multimedialer Lehrmaterialien 201
Bert Xylander, Halle a.d. Saale
Die Apfelsinenkiste im Hyde-Park — Lernplattformen für den ersten Auftritt 209
Siegfried Zseby, Berlin
� Arbeitsgruppen
Internet-Übungsaufgaben erstellen mit dem Formel-Applet 215
Rudolf Großmann, Stein
Mathematik in Notebook-Klassen der 7. und 8. Jahrgangsstufe 218
Claudia Hagan, Veitshöchheim
DGS und Kommunikation 225
Reinhard Oldenburg, Göttingen
Didaktische Konzepte von e-Learning-Plattformen 227
Christina Völkl, Würzburg
� Anhang
Tagungsprogramm 230
Teilnehmerinnen- und Teilnehmerliste 232
Titelgrafik: Rolf Sommer, Halle a.d. Saale, aus Abbildungen im Tagungsband mit Microsoft Office

� Lehren und Lernen im und mit dem Internet
–– neue Möglichkeiten für den Unterricht?
Peter Bender, Paderborn
Wilfried Herget, Halle a.d. Saale
Hans-Georg Weigand, Würzburg
Thomas Weth, Nürnberg
Die 21. Herbsttagung unseres Arbeitskreises
"Mathematikunterricht und Informatik" in der
Gesellschaft für Didaktik der Mathematik
(GDM) vom 26. bis 28. September 2003
stand unter dem Thema "WWW und Mathematik
–– Lehren und Lernen im Internet".
WWW und Internet –– (fast) jede Schule ist
heute am Netz, fast alle Schülerinnen und
Schüler sind "drin" (und mittlerweile auch die
meisten Lehrerinnen und Lehrer). Virtuelles
Lernen, E-Learning, Teletutoring –– das sind
Schlagworte, die bereits im vergangenen
Jahr unsere Jahrestagung mit prägten: Neben
den vielen "Selbstlernprogrammen" im
"Edutainment-Nachmittagsmarkt" für die
Schülerinnen und Schüler gibt es in jüngster
Zeit zunehmend interaktive WWW-Angebote,
umfangreiche multimediale Datenbanken,
zahllose Austauschforen usw.
Sind wir auf dem Weg zum "virtuellen Klassenzimmer"?
Wird das Schulbuch durch CD-
ROM und Internet abgelöst? Wie wird die
Entwicklung mittel- und langfristig weitergehen?
–– Fragen, denen sich unser Arbeitskreis
schon in den letzten Jahren verstärkt
widmete. In diesem Jahr ging es unter dem
oben genannten Rahmenthema insbesondere
um folgende Fragen zu den Möglichkeiten,
Grenzen und Risiken von WWW und Internet
im und für den Mathematikunterricht:
• Welche Erfahrungsberichte gibt es über
die Nutzung von WWW und Internet im
Rahmen des allgemein bildenden Mathematikunterrichts?
• Welche Erfahrungsberichte gibt es dabei
insbesondere über die Wirkung im Hinblick
auf das Lehren und Lernen?
• Lassen sich Unterschiede hinsichtlich
Nutzung und Erfolg zwischen Jungen und
Mädchen feststellen?
• Wie können die Inhalte so aufbereitet und
dargestellt werden, dass die neuen Möglichkeiten
auch wirklich genutzt werden?
• Was müssen Schülerinnen und Schüler
(sowie Lehrerinnen und Lehrer) an neuen
Fertigkeiten und Fähigkeiten erwerben,
um die neuen Möglichkeiten gewinnbringend
nutzen zu können?
• Wie ist gerade angesichts der TIMSSund
PISA-Diskussion die Rolle dieser
neuen Möglichkeiten einzuschätzen ––
insbesondere, wenn es weniger um das
Üben schlichter Fertigkeiten geht, sondern
um das nachhaltige Erwerben mathematischen
Grundverständnisses?
• Welche aktuellen Entwicklungen hin zu
"intelligenten" Angeboten und hin zu einer
"intelligenten" Nutzung dieser Angebote
gibt es?
Kurzum: Welche Möglichkeiten und Chancen,
aber auch Probleme und Schwierigkeiten
für das Lehren und Lernen von Mathematik
bringen WWW und Internet mit sich?
Es ging also einerseits um einen Überblick
über Erfahrungen und aktuelle Entwicklungen
in diesem Bereich. Zum anderen wurde
herausgestellt, dass die Lehrenden an den
Schulen und Universitäten als Didaktik-
Expertinnen und -Experten gefordert sind,
kritisch und konstruktiv zu diesen Entwicklungen
Stellung zu beziehen, Wünsche und
Anforderungen zu formulieren und didaktisch-methodische
Konzepte zu entwickeln.
Hauptvorträge
Die Tagungsstruktur folgte dem bewährten
Vorbild des Vorjahres: Die Hauptvorträge
standen nicht alle am Anfang der Tagung,
sondern waren über die drei Tage verteilt.
Wie zu erwarten beleuchteten sie das Thema
aus durchaus unterschiedlichen Blickwinkeln:
Den Beginn machte Timo Leuders vom nordrhein-westfälischen
Landesinstitut in Soest.
Er zeigte auf, dass und wie sich die technische
Entwicklung des Mediums Internet zur-
5

Peter Bender, Wilfried Herget, Hans-Georg Weigand & Thomas Weth
zeit vor allem auszeichnet durch eine zunehmende
Integration von Einzelmedien,
durch eine Flexibilisierung von Nutzungssituationen
und einer weiter anhaltende Expansion.
Der Vortrag widmete sich dem Lernen
und Lehren von Mathematik mit dem Internet
–– zwischen instruktivistischem und
konstruktivistischem Paradigma: In wie weit
werden die Möglichkeiten des Mediums Internet
im didaktischen Kontext des Mathematikunterrichts
heute schon genutzt? Welche
Ansätze gibt es, bei denen sich für das Mathematiklehren
und -lernen ein echter Mehrwert
abzeichnet? Und wo drohen Abgründe
einer trivialisierenden Nutzung?
Für den zweiten Hauptvortrag konnte Cornelia
Niederdrenk-Felgner gewonnen werden,
Professorin an der Fachhochschule Nürtingen,
erfahrene Mathematikdidaktikerin, ausgewiesen
nicht zuletzt sowohl in den Bereichen
Computer und Mathematikunterricht als
auch bezüglich des wichtigen Spannungsfeldes
Mädchen und Jungen im Mathematikunterricht.
Ihr Vortragstitel "Jungen, Mädchen,
Mathe und Computer" spiegelte eben dieses
vielschichtige Forschungs- und Entwicklungsthema
wider. Sie gab einerseits einen
kurzen Überblick über den gegenwärtigen
Stand der Genderforschung im Hinblick auf
den Mathematikunterricht und den Einsatz
des Computers. Die Zusammenstellung von
Ergebnissen aus unterschiedlichen Studien
zum Thema wurde ergänzt durch konkrete
Vorschläge für den Unterricht, die zur Diskussion
anregen sollen.
"Mathematikunterricht und Neue Medien" ––
das war das recht umfassend formulierte
Thema des dritten Hauptvortrags. Thomas
Weth von der Universität Erlangen-Nürnberg
gab einen sehr detaillierten Ein- und Überblick
zu dem Projekt "Dezentrale internetgestützte
Lehr-Lern-Umgebung für das Lehramtsstudium
Mathematik". Dieses aufwändige,
vom Bundesministerium für Bildung und
Forschung über drei Jahre geförderte Projekt
stand zum Zeitpunkt der Tagung kurz vor
seinem Abschluss. Im Vortrag wurden die
von den Lehrstühlen für Didaktik der Mathematik
der Universitäten Braunschweig, Nürnberg-Erlangen,
Münster und Würzburg gemeinschaftlich
realisierten Konzepte erläutert,
Einsatzmöglichkeiten dargestellt und
über erste Erfahrungen und Evaluationen
beim Einsatz im Vorlesungs- und Übungsbetrieb
berichtet.
6
Sektionsvorträge
und Arbeitsgruppen
Diese Auseinandersetzung mit dem aspektreichen
Tagungsthema wurde in den diesmal
insgesamt 22 Sektionsvorträgen und fünf Arbeitsgruppen
–– wie aus den Vorjahren vertraut
–– lebhaft und kritisch-konstruktiv vertieft.
Die Vorträge und Berichte finden sich,
durchweg in der Zwischenzeit noch aktualisiert
und ergänzt, alle in dem vorliegenden
Tagungsband.
Mädchen und Computer
Parallel zur Tagung unseres Arbeitskreises
"Mathematikunterricht und Informatik" fand in
Kooperation die Arbeitstagung des GDM-Arbeitskreises
"Frauen und Mathematik" mit
der Generalüberschrift "Mädchen und Computer"
statt. Diese Zusammenarbeit, angesichts
der Themen der beiden Tagungen naheliegend,
hat sich bewährt –– viele der Teilnehmenden
begrüßten die besondere Gelegenheit,
auch einmal Angebote der jeweils
anderen Tagung nutzen zu können.
Dank
Tagungsort war wie zwei Jahre zuvor die
bayerische Akademie für Lehrerfortbildung
und Personalführung in Dillingen a.d. Donau
(http://afl.dillingen.de/), die als ehemaliges
Kloster immer noch einen Hauch des klerikalen
Feudalismus ausstrahlt und die in Wohn-,
Essens- und Tagungskomfort –– für unsere
Zwecke –– wohl alle Wünsche erfüllte.
Unser Dank gilt schließlich wieder Herrn Dr.
Rolf Sommer, Universität Halle-Wittenberg,
für die Gestaltung der Titelseite.
Dezember 2004 Peter Bender
Wilfried Herget
Hans-Georg Weigand
Thomas Weth

� Mathematik Lernen und Lehren mit dem Internet —
zwischen instruktivistischem und konstruktivistischem
Paradigma
Timo Leuders, Soest
Die Entwicklung des Mediums Internet ist zurzeit bestimmt durch eine fortschreitende
Expansion der verfügbaren Inhalte, durch die zunehmende Integration von Einzelmedien
(Hypermedia) und durch wachsende Möglichkeiten der Interaktivität und Kommunikation.
Welche Ansätze gibt es, bei denen sich für das Mathematiklehren und -lernen ein echter
Mehrwert abzeichnet, und wo drohen Abgründe einer trivialisierenden Nutzung? Was
versteht man unter einer (internetgestützten) Lernumgebung, und auf welche Qualitätskriterien
kann man sich bei der Konstruktion und Analyse von Lernumgebungen stützen?
Technische Entwicklungstendenzen
— didaktische Konsequenzen?
Vorweg seien einige Erwägungen
zu den technischen
Rahmenbedingungen der
schulischen Arbeit mit dem
Internet formuliert. Auch
wenn die konkreten Zahlen
in diesem Bereich die Tendenz
haben, schnell zu
veralten, so werden die hier
dargestellten generellen Betrachtungen
sicherlich das
nächste Jahrzehnt überdauern.
Im Rahmen des volkswirtschaftlichen
Vier-Sektor-
Modells (Landwirtschafts-,
Produktions-, Dienstleistungs-
und Informationssektor) wird unserer
Gesellschaft eine weitgehende Transformation
zur Informationsgesellschaft prognostiziert:
Bis 2010, so die typischen Prognosen,
wird 60% der gesamten Erwerbstätigkeit im
"Informationssektor" lokalisiert sein. Eine
präzise, dauerhafte Abgrenzung eines solchen
Informationssektors etwa vom Dienstleistungssektor
ist allerdings problematisch
(Kubicek 1988, Kap. 22) und damit auch jegliche
Trendaussage, die sich eines solchen
fluktuierenden Begriffes bedient. Als ein Indikator
und zugleich Träger der Entwicklungen
im "Informationssektor" wird oft das unvermindert
expandierende Internet herangezogen.
In Deutschland hat bereits ca. 40% der
Bevölkerung einen Onlinezugang (in den
Haushalten der zur Zeit Schulpflichtigen ist
mit einem höheren Prozentsatz zu rechnen),
in anderen europäischen Flächenländern wie
Skandinavien oder den Niederlanden beträgt
dieser Anteil bereits 60% und mehr (NUA
2003).
Abb. 1a: Bevölkerungsanteil der Onlinenutzer
Schweden September 2002 67.8
Dänemark Juli 2002 62.7
Niederlande September 2002 60.8
Norwegen Juli 2002 59.2
Großbritannien September 2002 57.2
Schweiz Juni 2002 52.7
Finnland Mai 2002 51.9
Portugal Juni 2002 43.6
Deutschland August 2002 38.9
Italien August 2001 33.4
Frankreich Mai 2002 28.4
Spanien Mai 2002 19.7
Abb. 1b: Onlinenutzer im europäischen Vergleich;
Zugang in den letzten 3 Monaten (NUA 2003)
7

Timo Leuders
Die technischen Voraussetzungen des Online-Zugangs
haben sich offensichtlich so
weit entwickelt, dass wir den notwendigen
Rahmenbedingungen einer breiten schulischen
Nutzung des Mediums Internet ein
wesentliches Stück näher gerückt sind. Um
aber nicht einer bildungspolitischen Philosophie,
die sich am technisch Machbaren orientiert,
zu erliegen, sind aber ebenso die hinreichenden
Bedingungen zu prüfen, also die
bildungstheoretischen, mediendidaktischen
und fachbezogenen Argumente (vgl. z.B. von
Hentig 2002, Stoll 2001, Döring 1997, Schumann
2003).
De facto ist die Förderung der Internetnutzung
in der Schule bereits zu einem bedeutenden
bildungspolitischen Topos geworden.
Die Realität in der Schule vermittelt dabei
zurzeit etwa das folgende Bild: Auch wenn in
Deutschland ca. 95% aller Schulen am Netz
sind und 80% aller Schüler prinzipiell schulischen
Netzzugang haben, stehen an den
Sekundarschulen im Schnitt nur ca. 16 Computer
mit Internetzugang zur Verfügung
(BMBF 2002). Mit einem Zugangsverhältnis
von 40 Schülern pro Internetcomputer liegen
deutsche Schulen im europäischen Vergleich
weit hinten (in Skandinavien beträgt die Quote
5:1 bis 10:1) (Kommission der Europäischen
Gemeinschaften 2001). Das bedeutet
rein rechnerisch, dass selbst bei einer fiktiven
Zahl von 40 Schulstunden pro Woche
(einschließlich Nachmittagszugang) jeder
Schüler nur höchstens eine Stunde am schulischen
Internet-PC zur Verfügung hat.
Aus Lehrersicht ergibt sich folgendes Bild:
"Weniger als vier von zehn Lehrern in Europa
nutzen das Internet im Unterricht. Als Hauptgrund
hierfür wird die unzureichende Ausstattung
angeführt. Nur jeder fünfte Lehrer
hält das Internet für den Unterricht für irrelevant,
und weniger als jeder zehnte führt
mangelnde Vertrautheit als Grund an. [...]
neun von zehn Lehrern [sind] davon überzeugt,
dass sich die Art ihres Unterrichts
durch das Internet bereits geändert hat oder
dass dies früher oder später geschehen wird.
Dies deutet darauf hin, dass die große Mehrheit
der europäischen Lehrer neuen Technologien
und den damit einhergehenden Veränderungen
offen gegenübersteht." (ebd.)
Die Verfügbarkeitsbedingungen des Internets
an Schulen sind wesentlich auf bildungs- und
finanzpolitische Einflussfaktoren zurückzuführen.
Das Medium wird noch wesentlich als
Ergänzung zum traditionellen Medienkanon
gesehen. Zukünftig ist aber durchaus zu erwarten,
dass das Internet als Instrument von
(Finanz-) Reformen im Bildungsbereich
8
wahrgenommen wird. Das betrifft u.a. die
Produktion von Schulbüchern und anderen
Lehrmaterialien, aber auch die Kosten für
pädagogisches Personal. Das Argument der
Kostenreduktion erscheint hier aber sowohl
ökonomisch kurzsichtig als auch mit dem Erziehungsauftrag
von Schule unvereinbar:
Hochwertige Lehrmittel und gute Lehrer lassen
sich auch langfristig nicht wegrationalisieren.
Gute Gründe für dieses Postulat lassen
sich aus einer bildungs- und lehr/lerntheoretischen
Perspektive gewinnen. Sie finden
sich im folgenden Abschnitt.
Weitere schulbezogene, technische Entwicklungstendenzen
des Internets können hier
nur angerissen werden:
• Die didaktifizierten und nicht-didaktifizierten
fachbezogenen Angebote nehmen in
ihrer Vielfalt weiterhin zu. Dabei kommen
auch immer wieder qualitativ hochwertige
Angebote hinzu. Insbesondere wächst
das Angebot unterrichtlich bedeutsamer
und praktisch nutzbarer Real-World-
Probleme und Daten (z.B. Statistisches
Bundesamt: www.destatis.de, Weltbevölkerungsuhr:
www.dsw-online.de).
• Der Aspekt der Nutzerfreundlichkeit (z.B.
multimediale Aufbereitung, intuitive Bedienung,
Autorentools für das World Wide
Publishing) wird zu einem immer wichtigeren
Qualitätskriterium bei neuen Angeboten.
• Die Grenzen zwischen online- und offline-
Software verwischen. Systeme werden
serverseitig angeboten (z.B. Server-CAS)
oder laufen clientseitig innerhalb des Internetbrowers
(z.B. java-basierte DGS).
Dadurch werden sie insbesondere plattformunabhängig.
Ein Indikator hierfür ist,
dass sich die didaktische Softwareprüfung,
die sich bislang mit Produkten auf
CD beschäftigte, auch auf das Internet
ausweitet.
• Die Möglichkeiten der Interaktionen eines
Nutzers mit einer Software oder von Nutzern
untereinander via Software werden
stetig vielfältiger. Die Zeiten der Beschränkung
des WWW auf das Abrufen
von Hypertextdokumenten sind lange vorbei.
Vielfältige Instrumente der Kooperation
und Kommunikation zwischen Nutzern
(CSCW = Computer Supported Cooperative
Work) sind bereits in der beruflichen
Praxis mancher Bereiche Standard. Sie
führen traditionelle Internetdienste wie E-
Mail, Newsgroups und Foren weiter.
Bei der Nutzung der hier angeschnittenen
Technologien im schulischen Kontext macht

Mathematik Lernen und Lehren mit dem Internet — zwischen "instruktivistisch" und "konstruktivistisch"
sich allerdings eine problematische Grundtendenz
bemerkbar: Technologische Fortschritte
gehen ihrer Nutzung im Bildungssektor
zeitlich um einige Monate bis Jahre voraus.
So ist es im schulbezogenen Anwendungskontext
eher die Regel, dass neue
Systeme das Ergebnis einer Anpassung existierender
Technologien auf ein pädagogisches
Anwendungsfeld sind und nicht etwa
genuin aus didaktischen Überlegungen dieses
Feldes heraus entwickelt wurden. Auch
stammen die Protagonisten solcher neuer
Technologien aus einem technologischen
oder ökonomischen Umfeld. Deshalb findet
man unter Neuentwicklungen computergestützten
Lernens manches Mal die Aufbereitung
traditioneller Materialien und Rückgriffe
auf überholte instruktionalistische Konzepte,
die der Frühzeit der Lehr-Lernsysteme entstammen.
Daher fordern viele Experten für
die Entwicklung von Systemen des computerunterstützten
Lernens eine explizite Reflexion
der zu Grunde liegenden lerntheoretischen
Annahmen (Mandl, Prenzel & Reinmann-Rothmeier
1995, Klimsa 2002, Schulmeister
2002, 2003). Dieser Text möchte zu
dieser Diskussion einen Beitrag aus der Perspektive
des Mathematikunterrichts leisten.
Mathematik Lernen in internetbasiertenLernumgebungen
— Kriterien und Beispiele
Was ist überhaupt eine "Lernumgebung"?
Wie sollte eine solche Lernumgebung aussehen,
sofern sie computergestützt (bzw. internetbasiert)
realisiert wird? Welche Rolle
kann die Orientierung an einem so genannten
konstruktivistischen Paradigma spie-
Abb. 2: Lernumgebung: real und virtuell
len? Diese Fragen sollen in diesem Abschnitt
aufgegriffen und im Detail beleuchtet werden.
Zum Begriff der "Lernumgebung" sei ein relativierender
Kommentar vorweggeschickt:
Über den Umfang und Gehalt dieses Begriffes
besteht in der vielgestaltigen Literatur, die
sich auf ihn beruft, kaum ein Konsens. Man
vergleiche einmal die vielen Bedeutungsebenen,
die der Begriff bei den verschiedenen
Autoren in (Klimsa & Issing 2002) durchläuft.
Diese Beobachtung verwundert nicht: Lernen
findet immer in einer Lernumgebung statt.
Auch ein Arrangement aus Tisch, Stuhl,
Buch, Stift und Papier und ggf. Mitlernenden
ist eine Lernumgebung und kann je nach methodischer
Gestaltung des Lernprozesses
mehr oder weniger konstruktivistisch sein.
Oft wird der Begriff der Lernumgebung heutzutage
im Zusammenhang mit der Verwendung
elektronischer Medien verwendet. Dadurch
wird die Lernumgebung zu einer "computerbasierten",
"computergestützten" oder
gar zur "virtuellen" Lernumgebung.
In seiner weiten Bedeutung meint der Begriff
"Lernumgebung" also etwa dasselbe wie
"Lernarrangement" oder "Lernumwelt", — je
nachdem, wie sehr man die bewusste, didaktische
Gestaltung in den Vordergrund rücken
möchte. Unter Lernumgebung im weiten
Sinne möchte ich daher den gesamten, für
den spezifischen schulischen Lernprozess
bewusst arrangierten Weltausschnitt verstehen.
Dieser umfasst das inhaltliche, kommunikative
und mediale Arrangement, also
nach etwas angestaubter, traditioneller Terminologie:
die Lernaufgaben, die Sozialformen
und die Lernmittel (Werkzeuge und Medien).
Eine Lernumgebungen kann virtuelle Komponenten
enthalten. Damit meint man ge-
9

Timo Leuders
wöhnlich solche, die sich auf elektronische
Medien stützen. Die Virtualität manifestiert
sich darin, dass die Objekte dieser (Teil)Welt
die besonderen Eigenheiten des digitalen
Mediums tragen, wie etwa die Projektion eines
digitalen Quaders auf einen Computerbildschirm
oder die eines vielfach verlinkten
Hypertextes. Mit einer solchen Lernumgebung
im engeren Sinne ist also meist der
auf elektronische Medien gestützte Teil
der gesamten Lernumgebung gemeint. Insgesamt
ergibt sich also das in Abb. 2 dargestellte
Bild vom Lernumgebungsbegriff. Dabei
möchte ich ausdrücklich davor warnen,
bei einem Lernen mit virtuellen Umgebungen
von "virtuellem Lernen" zu sprechen. Lernen
ist nämlich nie virtuell, sondern findet, ob mit
oder ohne Computer, immer nur real statt.
Mit dem Attribut "virtuell" wird eher auf ein
spezifisches Defizit verwiesen, nämlich auf
das physische Fehlen realer Ansprechpartner
(Mitlerner oder Tutoren) oder haptisch
manipulierbarer Objekte.
In Mode kam der Begriff der Lernumgebung
vor allem seit den frühen neunziger Jahren
im Bereich mediengestützten Lernens. Dort
entsponn sich eine Auseinandersetzung zwischen
verschiedenen Schulen (vgl. Schulmeister
2002, 166ff, Kerres 2001, 55ff). Im
Gegensatz zu bis dahin dominierenden so
genannten instruktionistischen Ansätzen
entwickelte sich in der Mediendidaktik eine
Strömung, die die Rolle der Lerneraktivität
betonte. Zuvor hatte man die lerntheoretisch
extrem simplifizierende Philosophie der programmierten
Unterweisung überwunden und
sich zu differenzierteren kognitivistischen
Ansätzen weiterentwickelt, die sich in so genannten
intelligenten tutoriellen Systemen
(ITS) manifestierten. Grundprinzip solcher
Lehrsysteme war aber immer noch die Auffassung,
ein computergestütztes System
könne durch Diagnose des Lernenden ein
hinreichend mächtiges Lernermodell entwickeln
und auf dieser Grundlage effiziente Instruktionsprozesse
organisieren.
Im Rahmen einer hier entstehenden Neuorientierung
in der Entwicklung und Erforschung
mediengestützten Lernens gewann
der Begriff der Lernumgebung eine wesentliche
Bedeutungsdimension: In dem Maße, in
dem die Aktivitäten des Lernenden in den
Vordergrund gestellt werden, wird ein computergestütztes
Lernsystem zu einer Lernumgebung,
in der sich der Lernende nach
seinen Bedürfnissen bewegt und in der er
seinen Lernprozess selbst kontrolliert und
nicht durch das System kontrolliert wird.
10
Eine erkenntnis- wie lerntheoretische Verankerung
findet diese Auffassung vom Lernen,
die sich nicht allein auf das mediengestützte
Lernen bezieht, im (pädagogischen) Konstruktivismus,
dessen breite Diskussion im
allgemeinen pädagogischen Feld ungefähr
zur selben Zeit einsetzte (Gerstenmeier &
Mandl 1995). Seit dieser Zeit berufen sich
viele theoretische Modelle und praktische
Umsetzungen auf eine konstruktivistische
Position, und auch die hierbei entworfenen
Lernumgebungen werden als konstruktivistisch
bezeichnet, — mit durchaus unterschiedlicher
Berechtigung, wie das folgende
Beispiel zeigt:
Zwar ist die Software "Kreuzritter"
nicht netzwerkfähig, jedoch spricht
nichts gegen die Lösung der Rätsel in
Gruppenarbeit vor dem Monitor, das
dem Anspruch nach Lernen in einem
sozialen Kontext gerecht wird. (Aus einer
Rezension der Simulationssoftware
"Kreuzritter" www.lpm.uni-sb.de/
neuemedien/analyze/kreuzz.html)
Was also macht eine konstruktivistische
Lernumgebung aus? Gibt es hierfür eindeutige
Kriterien? Zu keiner Zeit hat es so etwas
wie eine geschlossene, konstruktivistische
Position oder Theorie gegeben, — weder in
der Mediendidaktik noch in der Pädagogik.
Vielmehr gibt es Hauptströmungen konstruktivistischen
"Gedankengutes" (ich wähle hier
bewusst nicht den Terminus "Theorie"), die
unterschiedlichen Quellen entspringen und
sich gegenseitig beeinflussen. Auch der vorliegende
Text schöpft aus dieser Orientierungsvielfalt
und bezieht sich je nach Argumentationszusammenhang
auf:
• eine radikal-konstruktivistische Anthropologie,
die sich an vielen Stellen durch aktuelle
neurobiologische Erkenntnisse unterstützt
sieht. Diese Sichtweise liegt vor
allem Abschnitt (1) ("konstruktivistisches
Menschenbild") zugrunde.
• eine "gemäßigt" oder "pragmatisch" genannte
konstruktivistische Position, bei
der konstruktivistische Aspekte hinsichtlich
der Analyse und Synthese von Lernarrangements
berücksichtigt werden.
Hierzu gehören vor allem Ansätze, die Instruktions-
und Konstruktionsaspekte zu
Formen des so genannten instructional
design verbinden und dabei Kriterien für
Lernumgebungen herausarbeiten, wie sie
auch in Abschnitt (3) ("konstruktivistische
Lernumgebungen") aufgenommen werden
sollen. Solche Kriterien sind Gegenstand
empirisch-psychologischer Untersuchungen
(Gerstenmeier & Mandl 1995).

Mathematik Lernen und Lehren mit dem Internet — zwischen "instruktivistisch" und "konstruktivistisch"
(1) konstruktivistisches Menschenbild
selbstreferentiell, selbststabilisierend, selbstverantwortlich, nicht-trivial
� (2) konstruktivistisches Lernen
aktiv-konstruierend, situiert, individuell, sozial, ganzheitlich
� (3) konstruktivistische Lernumgebung
Situiertheit, multiple & soziale Kontexte, Selbststeuerung, Metakognition
� (4) konstruktivistische internetgestützte Lernumgebung
offen, authentisch, interaktiv, adaptiv, kommunikativ
• konstruktivistische Aspekte einer mathematischen
Epistemologie. Differenzierte
Einblicke in die (insbesondere auch soziale)
Generierung mathematischer Erkenntnisse
geben Anregungen für Gestaltung
auch schulischer Lernprozesse.
Aus diesem argumentativen Kontext lassen
sich stimmige Kriterien dafür gewinnen, welche
Charakteristika eine Lernumgebung zu
einer konstruktivistischen machen. Dabei
impliziert eine "konstruktivistische Bauart" jedoch
keineswegs deren Zweckmäßigkeit
oder Effizienz. Empirische Resultate haben
hier typischerweise den Charakter, dass die
Wirksamkeit eines Merkmals (etwa die Hypertextstruktur
oder die multimediale Gestalt
einer Lernumgebung) stark abhängt vom Einsatzgebiet
(stark strukturiert oder offen) oder
von den Bedingungen des Lernenden (Novize
oder Experte).
Wenn also im Folgenden Kriterien für konstruktivistische
Lernumgebungen systematisch
dargestellt werden, so soll dies eher der
Begriffsklärung denn der normativen Standardsetzung
dienen. Insbesondere soll mit
Blick auf das konkrete Fach Mathematik immer
wieder angedeutet werden, in wie fern
typisch konstruktivistische Argumentationslinien
hier mit wohl bekannten didaktischen
Forderungen und bewährten didaktischen
Prinzipien zusammenfallen. Der Konstruktivismus
kann hier keineswegs die Deutungshegemonie
beanspruchen.
Die konstruktivistische Perspektive geht, wie
bereits angedeutet, über einfache Aussagen
zur Qualität des Lernens hinaus: sie ist verbunden
mit einem umfassenden Menschenbild.
Auf dieser Ebene gilt es anzusetzen:
Abbildung 3 stellt die unterschiedlichen Ebenen
dar, auf der Kriterien für eine konstruktivistische
Gestaltung von Lernprozessen mit
Abb. 3: Ebenen der konstruktivistischen Kriterien
Medien ansetzen können. Die Pfeile zwischen
diesen Ebenen repräsentieren keine
Deduktionskette, die unteren Ebenen folgen
nicht sachlogisch aus den umfassenden.
Vielmehr wird in jedem dieser Schritte argumentativ
etwas hinzugefügt, die Divergenz
und Komplexität wird erhöht. Auch ist jede
Ebene durchaus auch aus anderen Zusammenhängen
begründbar. Das konstruktivistische
Bild vom Lernen (Ebene 2) ist mit einem
konstruktivistischen Menschenbild (Ebene
1) konsistent, lässt sich aber ebenfalls
aus schon lange bekannten reformpädagogischen
Postulaten oder aus hochaktuellen
neurobiologischen Tatsachen begründen
(z.B. Spitzer 2000, oder bezogen auf Mathematik:
Leuders 2003). Die in der dargestellten
Abfolge ausgedrückte Logik ist vielmehr
die eines Korrektivs. Jede Ebene muss
sich daran messen lassen, in wie fern sie
konsequent die Aussagen des umfassenderen
und allgemeineren Modells der vorausgehenden
Ebene berücksichtigt.
Die bewusste Berücksichtigung einer solchen
Begründungsstruktur beugt somit einer gewissen
Willkürlichkeit der Argumentation, wie
man sie oft im Bereich des Computereinsatzes
antrifft, vor. Sie kann helfen, konkrete
Lernumgebungen zu bewerten, zu klassifizieren
und dabei insbesondere die vielfach anzutreffenden
vollmundigen, aber faktisch uneingelösten,
Selbstcharakterisierungen bzw.
Rezensionen von Medienangeboten (s. obiges
Beispiel) aufzudecken.
(1) Konstruktivistisches Menschenbild
Angesichts der vielfältigen Quellen und ihrem
hohen Bekanntheitsgrad (Maturana & Varela
1987, Watzlawick 1982, von Glasersfeld
11

Timo Leuders
1992) will ich nur kurz einige grundlegende
Aspekte anreißen: Der Mensch lässt sich
auffassen als ein autopoietisches, d.h. strukturell
in sich geschlossenes System (Maturana
& Varela). Er konstruiert seine individuelle
Wirklichkeit in einem aktiven Prozess in einer
strukturellen Kopplung mit seiner Umwelt,
insbesondere auch seiner sozialen Umwelt
(Watzlawick). Dabei werden nicht Informationen
einer äußeren Welt aufgenommen sondern
durch Wahrnehmungen, die Perturbationen
des Systems darstellen, Anpassungsprozesse
ausgelöst (Piaget). Auch Wahrnehmung
ist Konstruktion und nicht etwa
Repräsentation objektiv vorliegender Realität.
Wahrnehmung ist durch die interne
Struktur des Individuums bestimmt und insofern
unbelehrbar. Die Wahrheit von Wirklichkeitskonstruktionen
liegt allein in ihrer Viabilität,
d.h. ihrem (physischen und kognitiven)
überlebenssichernden Nutzen. Der Mensch
muss hierbei als eine komplexe, nicht-triviale
Maschine gesehen und auch so behandelt
werden (Förster). Dieses konstruktivistische
Menschenbild führt konsequent zum Postulat
der Toleranz gegenüber anderen Wirklichkeiten
sowie zur Übernahme der Verantwortung
des Subjektes für die eigene Wirklichkeit
(von Glasersfeld).
Die Mathematik als Wissenschaft tut sich
schwer mit der Epistemologie, die mit einer
konstruktivistischen Sichtweise verbunden
ist. Die in der Praxis augenscheinliche Objektivität
mathematischer Wahrheiten ist für das
Mathematik treibende Subjekt mit dem Bild
mathematischer Erkenntnis als sozialem
Konstrukt (Lakatos) nur schwer zu vereinbaren.
Die Schulmathematik sollte sich in dieser
Wahrnehmung hier um einiges leichter
tun, insbesondere mit Blick auf die alltäglichen
Erfahrungen mit der individuellen Wissenskonstruktion
im Klassenzimmer ("Auf
was die Kinder so alles kommen ...").
(2) Konstruktivistische Auffassung(en)
vom Lernen
Einige zentrale Konsequenzen für eine
Sichtweise vom Lernen, die mit einem solchen
konstruktivistischen Menschenbild konform
gehen, sollen im Folgenden angeführt
werden. Dabei kommen an dieser Stelle vornehmlich
Aspekte eines "gemäßigten, pädagogischen
Konstruktivismus" zur Sprache.
• Lernen ist ein aktiver Prozess der Sinnkonstruktion,
d.h. Wissen kann nicht vermittelt
werden, es muss unter aktiver Anstrengung
vom Individuum geschaffen
und erprobt werden.
12
• Lernen ist situiert, d.h. der Kontext des
Wissenserwerbs wird mitgelernt, insbesondere
bedeutet dies:
o Lernen ist ein Prozess der sozialen
Aushandlung.
o Lernen findet in komplexen, ganzheitlichen
Kontexten statt.
• Lernen erfolgt individuell und auf eigenen
Wegen, d.h. wesentlich selbstgesteuert
und nur kaum von außen kontrollierbar.
• Lernen hängt wesentlich vom Vorwissen
und den Vorerfahrungen des Individuums
ab.
Auf eine detaillierte kritische Reflexion und
argumentative Begründung dieser didaktischen
Kategorien aus den konstruktivistischen
Grundvorstellungen muss an dieser
Stelle verzichtet werden. Für eine Übersicht
aus pädagogischer Perspektive vgl. Gerstenmeier
& Mandl (1995), Meixner (1997),
Lindemann (1999), Reich (1998), Werning
(1998), und aus epistemologischer und mathematikdidaktischer
Perspektive Wildt
(1998), Leuders (2003, 2001). Es sei noch
einmal angemerkt, dass es sich hier um keine
"exklusive Theorie" handelt. Viele wohlbekannte
(mathematik-) didaktische Konzepte,
wie etwa die des entdeckenden Lernens,
des ganzheitliches Lernens, des problemlösenden
Lernens, der offenen Aufgaben usw.
können hier verankert werden.
(3) Gestaltungsaspekte für konstruktivistischeLernumgebungen
Im Rahmen der konstruktivistischen Sichtweise
vom Lernen (ob sie nun aus einem radikal-konstruktivistischen
Denkansatz oder
einer reformpädagogischen Haltung entspringt)
ergeben sich einige Forderungen an
die Gestaltung von Lernsituationen. Die folgende
Übersicht möchte einen (nicht abschließenden)
Katalog solcher Forderungen
synoptisch darstellen sowie explizieren und
dabei besonders die Perspektive des Mathematikunterrichts
herausarbeiten, insbesondere
durch Aufzeigen der begrifflichen
Bezüge zwischen typischen konstruktivistischen
Postulaten und geläufigen mathematikdidaktischen
Kategorien.
(a) Situiertes Lernen in authentischen
Kontexten
Die Kritik der empirischen Psychologie, traditioneller
Schulunterricht vermittle überwiegend
kontextfreies Wissen, das als so ge-

Mathematik Lernen und Lehren mit dem Internet — zwischen "instruktivistisch" und "konstruktivistisch"
nanntes "träges Wissen" in Anwendungssituationen
nicht aktiviert werden kann (Mandl,
Gruber & Renkl 1994, Mandl, Prenzel &
Reinmann-Rothmeier 1995, 27), ist der Mathematikdidaktik
als Kritik an der "Kalkülorientierung"
nicht neu (Borneleit, Danckwerts,
Henn & Weigand 2001, BLK 1997).
Sie hat wieder besonderes Gewicht erlangt,
nachdem die internationalen Leistungsvergleichsstudien
TIMSS und PISA deutlich gemacht
haben, dass es deutschen Schülerinnen
und Schülern gerade an Anwendungskompetenz
gebricht, während sie in der Kalkülbeherrschung
eher Stärken haben. Viele
der internationalen PISA-Items heben weniger
auf die deklarative Überprüfung curricularer
Wissensbausteine ab als auf die Nutzungsfähigkeit
auch einfachster mathematischer
Modellierungskompetenzen (Leuders
u.a. 2003). Diese Feststellung hat zu einer
noch lange nicht abgeschlossenen Diskussion
über "funktionale mathematische Bildung"
geführt. Sicher scheint zumindest,
dass die Bedeutung von Kontexten bei der
flexiblen Anwendung mathematischen Wissens
zukünftig eine größere (curriculare) Bedeutung
zugemessen wird.
Dieser Lücke zwischen Wissen und Handeln
will das Konzept des situierten Lernens begegnen,
welches die Einheit des Gelernten,
des Lernprozesses und des Lernkontextes
betont. Demnach gibt es kein abstraktes,
kontextfreies Wissen. Die Kontexte werden
stets mitgelernt und als bedeutsame Teile
des Wissensbestandes miterinnert. Diese
Feststellung ist aus mathematischer Sicht zunächst
einmal eine deutliche Absage an die
"Neue Mathematik", die der irrigen Meinung
war, die hochpräzisen begrifflichen Konzepte
einer formalisierten Mathematik seien günstige
Ausgangspunkte für das Begriffslernen.
Die Bedeutsamkeit des Kontextes gilt eben
nicht nur für mathematische Novizen sondern
ebenso für Experten, die mathematische
Einsichten ja durchaus auf induktiven Wegen
und auf der Basis einer großen Zahl von ihnen
bekannten Beispielen gewinnen (Heintz
2000, 150ff). Umso mehr ist der situierte Zugang
für Schülerinnen und Schüler maßgeblich
für erfolgreiches Lernen. Da sie nur begrenzt
auf fachliche Vorerfahrungen zurückgreifen
können, ist es wichtig, sinnstiftende
Situationen aus ihrer unmittelbaren Erfahrung
und ihrem mittelbaren Weltwissen zu
finden. Diese Rolle können so genannte "Anker"
übernehmen, das sind durchaus gemäßigt
komplexe Handlungssituationen, die auf
mathematische Probleme führen. Dieses
Modell der anchored instruction führt die
Vanderbilt-Gruppe mit ihrem videobasierten
Projekt "The adventures of Jasper Woodbury"
vor (CTGV 1994), bei dem problemlösendes
Lernen sich aus realistischen Spielsituationen
entwickelt. Solche narrativen Anker
haben Identifikations-, Motivations- und
Sinnstiftungsfunktionen.
Derlei Kontexte und Anker müssen nicht notwendig
hochkomplexe mathematische Probleme
sein. Es kann sich hier auch um Entscheidungs-
oder Gestaltungsprobleme handeln,
die mit mathematischen Fragestellungen
verbunden sind. Es wäre auch ein Missverständnis,
in der Authentizitätsforderung
einen Appell zu einer rein anwendungsorientierten
Schulmathematik zu lesen. Vielmehr
kann hier das in den Niederlanden favorisierte
und auf Freudenthal zurückgehende Konzept
einer "realistic math education" als Modell
dienen (vgl. z.B. Westermann 2001, s.a.
www.fi.uu.nl/en).
[Mathematics as a human activity] is
an activity of solving problems, of looking
for problems, but it is also an activity
of organizing a subject matter. This
can be a matter from reality which has
to be organized according to mathematical
patterns if problems from reality
have to be solved. It can also be a
mathematical matter, new or old results,
of your own or others, which
have to be organized according to new
ideas, to be better understood, in a
broader context, or by an axiomatic
approach (Freudenthal 1971, zit. nach
Gravemejer & Terwel 2000)
"Realistisch" meint hier also nicht Anwendungsorientierung,
sondern eine Orientierung
an verständlichen, einsichtigen ("realisierbaren")
und sinnstiftenden Problemen. Diese
können also im Sinne der Kategorien mathematischer
Allgemeinbildung, wie sie Winter
(1995) beschreibt, auch der Grunderfahrung
(G2) von Mathematik als strukturellem
Denksystem eigener Art zuzurechnen sein.
Wesentlich für die Authentizität der Probleme
ist, dass sie erfahrungsbezogen sind, d.h.
dass Schülerinnen und Schüler sie über einen
gewissen Zeitraum zu ihren eigenen
Problemen machen können und dabei ausreichend
Gelegenheiten haben, ausreichend
Erfahrungen mit einer inner- oder außermathematischen
Situation zu sammeln. Solchermaßen
kann der Situiertheitsbegriff im
Bereich des Mathematiklernens verstanden
werden.
(b) Multiple Kontexte und Zugangswege
Es sei kritisch angemerkt, dass eines der oft
angeführten Kernpostulate des situierten
13

Timo Leuders
Abb. 4: Eine situierte Lernumgebung im Internet (www.planemath.com). Schüler lösen mathematische Probleme, die
mit Situationen und Personen verbunden sind. Sie planen z.B. optimale Flugrouten und lernen den Berufsalltag eines
Piloten kennen. (Das Programm wurde besonders auch für körperbehinderte Schüler aufgelegt)
Lernens, nämlich die Erhöhung des Transferpotentials
durch das Lernen in authentischen
Kontexten, zwar evident erscheinen
mag, jedoch nicht allgemein empirisch abzusichern
ist. Eine zumindest theoretisch evidenter
Lösungsansatz zu dieser Transferproblematik
liegt im Kriterium der multiplen
Kontexte und wird gewöhnlich wie folgt begründet:
Kenntnisse oder Fertigkeiten, deren
Erwerb an einen einzigen Kontext gebunden
ist, können womöglich außerhalb dieses
Kontextes nicht aktiviert werden. Hier erhält
das Angebot unterschiedlicher Kontexte
mehrfache lerntheoretische Relevanz:
• Voraussetzung für Transferierbarkeit ist
eine Dekontextualisierung, d.h. das Abstrahieren
von Wissen und Fähigkeiten aus
dem Erwerbskontext. Dies geschieht am
besten durch den Vergleich verschiedener
Kontexte, wie es der Ansatz der cognitive
flexibility theory vorschlägt (Spiro 1992)
vorschlägt.
• Tritt zum Angebot multipler Kontexte auch
noch Metakognition hinzu, so können
Lernende mit dem Wissen auch Kenntnisse
über die Anwendungsbedingungen
dieses Wissens erwerben.
• Verschiedene Kontexte stellen auch verschiedene
Zugangswege dar. Da dem
Lehrenden — wie es oft vorgeschlagen
wird — nur bedingt zuzumuten ist, verschiedene
Lernstile und Lerntypen in seiner
Lerngruppe zu erheben und den Unterricht
darauf abzustimmen oder gar zu
individualisieren, weist das Angebot mul-
14
tipler Kontexte einen Weg, den individuell
unterschiedlichen Lernerstrukturen (Vorwissen,
Präferenzen, affektive Identifikation
mit den Situationen etc.) eine Vielfalt
von viablen Einstiegen anzubieten.
In der Didaktik der Mathematik sind solche
Ansätze besonders relevant im Bereich der
Bildung mathematischer Begriffe. Der wesentliche
unterrichtliche Aspekt mathematischer
Begriffe ist nämlich weder der terminologische
noch der formal-definitorische, sondern
vielmehr der Aspekt der Abgrenzung
("de-fini-tion") von Eigenschaften innerhalb
einer hinreichend großen Erfahrungsbasis.
Einen Begriff haben Lernende erst dann gebildet,
wenn sie Beispiele und Gegenbeispiele,
also multiple Kontexte der Begriffsanwendung,
begründet diskutieren können.
Auch die Verwendung verschiedener Darstellungsformen
(grafisch, verbal, enaktiv) und
das Ansprechen verschiedener Modalitäten
(visuell, auditiv) und der Wechsel zwischen
ihnen kann als Generierung multipler Kontexte
aufgefasst werden. Dabei ist vor naiven
Theorien der Addition von Sinneskanälen
oder der Höherwertigkeit realer gegenüber
symbolischer Repräsentationen zu warnen
(Weidenmann 1994). Das technische Medium
(Video, Audio, Text) ist für die erfolgreiche
Gestaltung von Lernumgebungen weniger
relevant als die inhaltliche Strukturierung
(z.B. Aspekte des Funktionsbegriffs). und die
"instruktionale Strategie" (z.B. entdeckendes
Lernen) (ebd.)

Mathematik Lernen und Lehren mit dem Internet — zwischen "instruktivistisch" und "konstruktivistisch"
Abb. 5: Ausschnitt aus dem Brückenkurs "Matheführerschein" (Prototyp). Studierende können Informationen ("Tipps")
aus einer Bibliothek abrufen. Alle Konzepte (hier: Proportionalität) sind in verschiedenen, frei wählbaren Darstellungsformen
verfügbar (hier: sprachlich, numerisch, grafisch, symbolisch)
(c) Sozialer Kontext
Der soziale Lernkontext muss nach den vorangehenden
Ausführung zum situativen Lernen
als ein wesentlicher Bestandteil der
Lernsituation aufgefasst werden — hier
macht auch das Fach Mathematik keine Ausnahme.
Es wäre ein Irrtum, zu glauben, im
Mathematikunterricht würde die Viabilität von
Konstrukten (z.B. "Minus mal Minus ist
Plus?") durch Instrumente wie Beweis (z.B.
durch Ausrechnen) oder formale Plausibilität
(z.B. Permanenzprinzip) festgestellt. So
wichtig die Kenntnis der epistemologischen
Sonderrolle der Mathematik innerhalb der
Wissenschaften als Zielperspektive mathematischer
Bildung ist, für die Lernenden entwickelt
sich dieses Bild allenfalls allmählich
und über viele Jahre hinweg. Viel wichtiger
für Konstruktion von Wissen ist zunächst die
Aushandlung von Strategien und Begriffen
durch die Kommunikation in der Lerngruppe.
"Ich mache es so, wie machst du es, so machen
wir es ab", so charakterisieren Gallin &
Ruf (1998) den kommunikativen Dreischritt,
in dem solche Aushandlungsprozesse im
Mathematikunterricht stattfinden, in denen
die Sicht der Lernenden konsequent wahrgenommen
wird. An erster Stelle steht hierbei
die "subjektive Positionsbestimmung in
der individuellen Sprache des Verstehens"
(ebd.). Tragfähige Konzepte und Begriffe in
der konventionellen "Sprache des Verstandenen"
entstehen erst durch den Austausch.
In diesem epistemologischen Modell werden
die aktuellen Erkenntnisse der Soziologie zur
sozialen Konstruktion mathematischer Erkenntnisse
(vgl. z.B. Heintz 2000) in einem
didaktischen Unterrichtskonzept konsequent
berücksichtigt und umgesetzt.
Lernen im sozialen Kontext kann sich also
nicht innerhalb eines Unterrichts vollziehen,
der allein dem Vermittlungsparadigma folgt.
Zu einer konstruktivistischen Lernumgebung
gehören somit immer Arrangements kooperativen
Lernens. Aus der großen Vielfalt
möglicher Ansätze und Methodenbausteine,
die es hier bereits gibt (Lernen durch Lehren,
Projektunterricht, Gruppenpuzzle), schöpft
15

Timo Leuders
der heutige Mathematikunterricht noch zu
wenig.
Zum sozialen Kontext gehört nicht allein die
symmetrische Kommunikation zwischen den
Lernenden, sondern auch die asymmetrische
Kommunikation mit einem Experten. Diese
Rolle können Lehrer, aber auch externe
Fachleute einnehmen. Ein solcher Experte ist
mehr als nur "Lernmoderator" oder "Lerncoach",
wie dies in extrem-konstruktivistischen
didaktischen Ansätzen gefordert wird.
Er ist auch Träger von Expertenwissen, das
er nach Bedarf zur Verfügung stellen kann.
Neben eher deklarativ mitteilbarem Fachwissen
gibt es auch komplexes strategisches
Expertenwissen, das sich allerdings nicht
einfach mitteilen lässt. In der Mathematik
geht es hier vor allem um prozessbezogene
Fähigkeiten des Problemlösens, des Modellierens
oder des mathematischen Argumentierens.
Solche Fähigkeiten können nur situiert
und in der Interaktion mit dem Experten
von den Lernenden aufgebaut ("konstruiert")
werden. Das Konzept der cognitive apprenticeship
greift hier das Modell des Erlernens
beruflicher Fertigkeiten in Interaktion zwischen
Lehrling und Meister auf. Der Schüler
lernt hier durch Nachahmung in einfachen Situationen
und wird vom Experten an immer
anspruchsvollere Situationen herangeführt,
die er immer selbstständiger löst, während
sich der Experte immer mehr zurückzieht
(fading). Das Attribut cognitive deutet allerdings
an, dass das Explizitmachen, die Versprachlichung
und die Reflexion der kognitiven
Handlungen wesentlicher Bestandteil
des Verfahrens sind.
Dies führt auf den Aspekt der Metakognition,
der ebenfalls verdient, als besonderes Kriterium
genannt und näher ausgeführt zu werden.
Dies geschieht hier allenfalls aus Platzgründen
nicht. Durch die Reflexion ist der
Lernende besser in der Lage, Wissen über
die unmittelbare Situation hinaus zu strukturieren
und sich allgemeine Problemlösungsstrategien
anzueignen bzw. diese zu verfeinern.
Lernumgebungen sollten daher die Artikulation
und Reflexion der Problemlösungsprozesse
unterstützen. Im Mathematikunterricht
ist Reflexion nicht mit dem fragendentwickelnden
Unterrichtsgespräch abgeschlossen,
ja sie beginnt nicht einmal wirklich
damit. Echte Reflexion findet erst statt, wenn
Schüler hierzu Spielräume erhalten, etwa
über individuelle reflektierende Aufzeichnungen
in Forschungsheften oder Portfolios.
Die Übertragung der sozialen Aspekte des
Lernens auf den Bereich des mediengestützten
Lernens erweist sich als besonders prob-
16
lematisch. In wie weit kann und darf die Interaktion
mit einem personalen Gegenüber
elektronisch kompensiert oder ersetzt werden?
Hiermit befasst sich der spätere Abschnitt
zur Ebene (4).
(d) Selbsttätigkeit und Selbststeuerung
Lernen, verstanden als aktiver, individueller
Konstruktionsprozess, setzt ein hohes Maß
an Selbsttätigkeit voraus. Diese Selbsttätigkeit
umfasst Fähigkeiten der Selbstregulation
(Selbststeuerung, Selbstkontrolle, Selbstbewertung,
Selbstbestimmung), aber auch der
Selbstmotivation. Die Dimension der Selbstständigkeit
findet ihre Begründung allerdings
nicht exklusive in konstruktivistischen Lerntheorien,
sondern ist ebenso aus bildungstheoretischen
Zusammenhängen ("Mündigkeit")
und qualifikationstheoretischen Überlegungen
("Schlüsselqualifikation für lebenslanges
Lernen") abzuleiten (Huber 2000).
Selbstständigkeit als Ziel und zugleich als
Determinante schulischer Bildung und Erziehung
hat in den letzten Jahren eine hohe Valenz
erhalten. Dies lässt sich ebenso an aktuellen
Richtlinientexten wie an einer Vielzahl
von Modellprojekten, die das Kürzel für
"Selbstlernen" im Namen tragen, festmachen
(z.B. SelMA www.selma-mathe.de, SelGO; s.
LfS 2003, www.selgo.de).
Der oft verwendete Begriff des "Selbstlernens"
ist allerdings wieder ebenso modisch
wie missverständlich, denn im Grunde ist jedes
Lernen Selbstlernen. Jeder Mensch
muss "selbst lernen", niemand kann "gelernt
werden". Gemeint ist meist: Lernen mit einem
hohen Grad an Selbstregulation
und/oder Selbstbestimmung. Differenzierter
ausgedrückt kann sich Selbstständiges Lernen
beziehen auf Setzung von Zielen und
Auswahl von Themen, auf die Arbeitsmethode,
auf die Arbeitsorganisation und auf die
Bewertung der Ergebnisse. Gänzlich zu trennen
ist Selbstständiges Lernen vom Begriff
des individualisierten Lernens (vgl. Huber
2000).
Damit eine solche Selbstregulation möglich
ist, muss eine Lernumgebung hinreichend
viele Freiheitsgrade besitzen. Gerade bei
mathematischen Aufgaben ist das Kriterium
Offenheit, sei es bezüglich der Ergebnisse
oder bezüglich der Vorgehensweise, ein wesentliches.
Lange schon hat man erkannt,
dass geschlossene Aufgaben mit einer eindeutigen
Lösungen oder nur einem einzigen
(akzeptierten) Lösungsweg Prozesse der
Selbststeuerung und Reflexion von vornherein
unterdrücken. Die Darbietung von offenen
Problem allein reicht aber nicht aus,

Mathematik Lernen und Lehren mit dem Internet — zwischen "instruktivistisch" und "konstruktivistisch"
denn weitere Merkmale der Lernumgebung
können trotz struktureller Offenheit der Problemstellung
eine wirkliche Selbstregulation
verhindern.
Zudem gilt es, direktive Komponenten zurückzunehmen.
In der Lernumgebung Klassenraum
können dies offene und verdeckte
Lehrerbewertungen sein, aber auch zu ausführliche
Erklärungen ("When teaching kills
learning"). In einer computergestützten Lernumgebung
ist das Maß der Selbstregulation
empfindlich von den Kontrollmechanismen
des Programms abhängig. Dazu mehr im folgenden
Abschnitt.
Zu einer Selbstständigkeit fördernden Lernumgebung
gehören auch Instrumente, die
den Lernenden zur Eigenaktivität anregen
und ihn dabei unterstützen, diese aufrecht zu
erhalten. Gerade bei offenen Lernsituationen
ist festzustellen, dass Lernende nicht in der
Lage sind, das Lernangebot in seiner ganzen
Breite zu nutzen.
(4) Konstruktivistische internetgestützte
Lernumgebungen
Während der vorige Abschnitt eher generelle
Elemente einer konstruktivistischen Lernumgebung
anführt, soll im Folgenden der Frage
nach der Umsetzung im Rahmen einer internetgestützten
(oder allgemeiner: computergestützten)
Lernumgebung nachgegangen
werden. Auf welche (auch durchaus verschiedene)
Weisen können die Kriterien des
vorigen Abschnitts verwirklicht werden?
Das Internet als computerbasierte, interaktive
und hypermediale Welt weist vielerlei Affinitäten
zu den Merkmalen konstruktivistischer
Lernumgebungen, die im vorigen Abschnitt
herausgestellt wurden, auf. Solche Merkmale
sind u.a. Offenheit, Authentizität, Interaktivität,
Kommunikativität und Adaptivität. Auf
diese Affinität gründen sich die Hoffnungen,
dass das Internet eine qualifizierte Plattform
für das computerunterstützte Lernen darstellt.
Jedes dieser Merkmale ist allerdings
nicht per se förderlich im pädagogischen
Nutzungskontext, vielmehr gilt es die Merkmale
des Internets sorgfältig auf ihre didaktischen
Implikationen hin zu reflektieren.
(a) Offenheit
Das Kriterium der Selbststeuerung in einer
Lernumgebung setzt eine gewisse Offenheit
des Systems, mit dem der Nutzer umgeht,
voraus. Ein Blatt Papier ist so offen wie der,
der darauf schreibt, ein Lehrer ist offen in
Abhängigkeit von seinem pädagogischen
Selbstverständnis und natürlich von der jeweiligen
Situation; ein mathematisches Problem
ist offen je nach Aufgabenstellung und
unterrichtsmethodischer Einbettung. Eine
computerbasierte Lernumgebung ist nur
dann offen, wenn sie so konzipiert und programmiert
wurde. Bei technischen Systemen
steigt jedoch die Komplexität und damit auch
der Erstellungsaufwand exponentiell mit dem
Grad der geforderten Offenheit. Man mag
vermuten, dass die technische Begrenztheit
auch ein Grund für die reduktionistische Eingleisigkeit
des programmierten Lernens war.
Aber auch heute noch, viele Jahrzehnte später,
scheitern elektronische Systeme (entgegen
früherer optimistischer Prognosen) daran,
offene Rückmeldungen des Benutzers zu
"verstehen". Die Lücke zwischen Syntax und
Semantik klafft weiterhin und es ist ein nichttriviales
Problem, die potentielle Offenheit,
die der Kommunikation zwischen einem pädagogisch
erfahrenen Lehrenden und einem
Lernenden innewohnt, elektronisch zu simulieren
(dies wäre sozusagen der pädagogische
Turing-Test). In der Frage der Machbarkeit
und Wünschbarkeit elektronischer
Simulation menschlicher Kommunikation
(etwa der eines Lehrers) gibt es zwischen
Apologeten der Künstlichen Intelligenz und
ihren Kritikern scharfe Auseinandersetzungen.
Es gibt ernst zu nehmende Stimmen,
die das Forschungsziel, solche Verstehensprozesse
im Computer zu implementieren,
als moralisch nicht vertretbar apostrophieren
(Weizenbaum 1977).
Unter den verschiedenen Strategien, computerunterstütztes
Lernen offener zu gestalten,
lassen sich u.a. die folgenden ausmachen
(und vielfältige Mischformen, s. z.B. Schulmeister
2002, 263f).
(i) Lernwege können flexibler werden durch
maschinell-algorithmische Lösungen, wie
die so genannten intelligenten tutoriellen
Systeme (ITS), die gleichsam ein
Maximum an Adaptivität und Interaktivität
(s.u.) aus dem Computer herauskitzeln.
Dieser Weg folgt dem Grundprinzip, Lernprozesse
technologisch zu optimieren und
zu kontrollieren. Die Möglichkeiten, über
eine Analyse des Lernerverhaltens dynamische
Lernermodelle zu bilden, und auf
dieser Grundlagen Lernangebote zu steuern,
haben sich jedoch als sehr beschränkt
herausgestellt (Kerres 2001, 72).
Dieser Ansatz ist insbesondere mit konstruktivistischen
Vorstellungen vom Lernprozess
nicht vereinbar und wird an dieser
Stelle nicht weiter verfolgt.
17

Timo Leuders
(ii) Durch das Einbinden von menschlichen
Partnern durch reale oder virtuelle
Kommunikation und Zusammenarbeit
wird der Computer einer inhaltlichen
Rückmeldung enthoben und ein Mensch
übernimmt diese Aufgabe. Mehr hierzu
weiter unten unter (d).
An dieser Stelle sollen die folgenden Lösungsansätze
näher betrachtet werden:
(iii) Öffnung von Lernwegen durch offene
Aufträge
(iv) Öffnung von Lernwegen durch Hypertextformate
(v) Öffnung der Wissensbasis durch Zugriff
auf das Internet
(vi) insbesondere in der Mathematik: Nutzung
offener Werkzeuge (z.B. CAS)
zu (iii):
Offene Arbeitsaufträge können vom Computer
zwar übermittelt, aber die Arbeitsergebnisse
der Lernenden nur äußerst beschränkt
evaluiert werden. Nur wenige Systeme
(z.B. Problemlösemodule, die Konstruktionsverfolgung
bei Cinderella oder die bislang
nicht verwirklichten so genannten
PeCAS (Kutzler 2001)) begleiten den Nutzer
inhaltlich oder heuristisch auf dem Problemlöseweg.
Ein ganz anderer Weg, mit offenen, nicht kalkulierbaren
Ergebnissen umzugehen, ist wiederum
die Integration kommunikativer Komponenten,
wie unter (ii) angedeutet und weiter
unten unter (d) beschrieben.
zu (iv):
Eine weitere, oft anzutreffende Lösung für
das Offenheitsproblem besteht in der Konstruktion
von Hypertext-Umgebungen, die
man bei Einbindung von anderen Medien als
Texten (Bilder, Video, etc.) auch als Hypermedia-Umgebungen
bezeichnet. Das Hypertextprinzip
ist wesentlich älter als seine Verwendung
im Computerbereich (Burbules &
Callister 1996), hat aber mit dem World-
Wide-Web eine enorme Aufmerksamkeit erlangt.
Auch in pädagogischen Kontexten treffen
Hypertextsysteme auf zunehmendes Interesse
(Tergan 1997, Blumstengel 1998).
Die netzartige Wissensrepräsentation des
Hypertextformates übt eine große Faszination
auf diejenigen aus, die sich mit menschlicher
Kognition beschäftigen; — man spricht
hier auch von der so genanten "kognitiven
Plausibilität" von Hypertext. Während der
Computer als linear-algorithmisch arbeiten-
18
der Apparat das kybernetische Bild des Menschen
als informationsverarbeitende Maschine
und damit das instruktionistische Paradigma
repräsentiert, ist die Netzmetapher
dem konstruktivistischen Bild menschlicher
Kognition wesentlich näher. Hierzu haben
auch die wachsende Popularität erlangenden
Erkenntnisse der Neurobiologie beigetragen:
Das kognitive System des Menschen ist
schon physiologisch als Netz organisiert.
Wissen ist verteilt in Aktivitätsmustern und
nicht etwa als Repräsentation einer externen
Realität gespeichert. Auch die psychologischen
Erklärungen für Wissensrepräsentation
bedienen sich zunehmend der Metapher
der Vernetzung. Vannevar Bushs prophetischer
Brückenschlag (1945) vom menschlichen
Gehirn zum memex, dem interaktiven
und vernetzten Wissensspeicher, scheint im
Internet als "anarchischem, kognitivem Superorganismus"
Wirklichkeit geworden zu
sein (Barabasi 2002).
Welche Strukturen können hypertextartige
Lernumgebungen haben? Neben den inhaltstragenden
Modulen (Knoten) enthält ein Hypertext
eine Zahl von Verbindungen (Links,
Kanten), die Informationen über den semantischen
oder argumentativen Zusammenhang
der Knoten tragen. Dabei können äußerst unterschiedliche,
einfache und komplexere
Strukturen repräsentiert werden (Abb. 6), die
man alle mit den mathematischen Begrifflichkeiten
gerichteter Grafen (Digrafen) beschreiben
kann:
Abb. 6: Verschiedene Strukturen eines Hypertextes
• Ketten (bei klassischen linearen Texten)
• Bäume (z.B. bei klassischen linearen Texten
mit Fußnoten)
• kreisfreie Grafen (z.B. bei Lernprogrammen
ohne Wiederholung)
• Grafen mit Kreisen (z.B. für hermeneutische
Textzugänge)
• Grafen mit Clusterstrukturen (z.B. bei
mehreren, unabhängigen Lernbereichen)

Mathematik Lernen und Lehren mit dem Internet — zwischen "instruktivistisch" und "konstruktivistisch"
• Konnektoren (hochverbundene Knoten,
z.B. bei Navigation- und Übersichtsseiten)
• Grafen mit gewichteten Links (z.B. Navigationsempfehlungen,
ggf. adaptiv)
• u.v.a.m.
Die hier angedeuteten Strukturen sind bei
weitem nicht erschöpfend. Eine semantische
Analyse von Links legt eine kaum zu überblickende
Zahl von Typen frei (unidirektionale
Links: "ist Teil von", "ist ein Grund für", "ist
eine Erläuterung zu ....", bidirektionale Links:
"ist verwandt mit...", vgl. Schulmeister 1996,
254).
Im Gegensatz zu linear zu rezipierenden
Texten weisen hypertextuelle Strukturen einen
hohen Grad struktureller Komplexität
auf. Damit eignen sie sich sowohl zur Darstellung
komplexer Zusammenhänge (situative,
multiple Kontexte) als auch für Lernumgebungen
mit hinreichend vielen Freiheitsgraden
für eine hohe Selbstregulation des
Lernenden. Die Anlage der Linkstruktur einer
Lernumgebung bestimmt wesentlich die Variation
und die Beschränkungen möglicher
Lernwege. Der entscheidende Offenheitsaspekt
und damit die Möglichkeit zur Selbststeuerung
des Lernenden ist die Tatsache,
dass dieser jederzeit selbst entscheidet, wohin
er verzweigen möchte. Der Lernweg eines
Nutzers in einer hypermedialen konstruktivistischen
Lernumgebung gleicht eher dem
Abb. 7: Struktur der Lernumgebung "Mathe-Führerschein"
Bahnen eines Pfades durch unbekanntes
Gelände, als dem geradlinigen Marsch über
eine gepflasterte Straße.
Ein Beispiel für eine solche Hypertext-
Lernumgebung, die dem Lerner in hohem
Maße die Kontrolle über seinen Lernweg zubilligt
(und zugleich zumutet) ist der bereits
erwähnte "Mathe-Führerschein". Hier handelt
es sich um einen geplanten Brückenkurs für
Studierende der Ingenieurwissenschaften an
Fachhochschulen (Matheführerschein 2003),
der auch von Schülerinnen und Schülern der
gymnasialen Oberstufe genutzt werden kann.
Die Lernenden steigen hier über vergleichsweise
komplexe, dem ingenieurwissenschaftlichen
Arbeitsfeld nahestehende Probleme
(Bereich "Anwendungen") ein und können
dann je nach Bedarf und Interesse verzweigen
zu: auf wenige Kompetenzen und Bereiche
fokussierende Probleme (Bereich "Problemlösen"),
oder auf elementare "Fertigkeiten".
Nur zu letzteren gibt es Lösungsrückmeldungen
vom System. Die anderen Ebenen
liefern Lösungshinweise oder Beispiellösungen.
Zudem besteht auf jeder Ebene die
Möglichkeit, geeignete mentale und mediale
Werkzeuge zu nutzen: Einträge in eine Bibliothek,
strategische Hilfen zum Problemlösen,
mathematische Werkzeuge und in einem
späteren Stadium eine individualisierte
Arbeitsmappe. Die Gesamtstruktur wird in
Abb. 7 illustriert.
19

Timo Leuders
Abb. 8: Darstellungsformen: "sprachlich/situativ", "grafisch",
"numerisch" und "symbolisch"
Die Konstruktion dieser Umgebung folgt den
folgenden Prinzipien:
• Offene Navigation: Jeder Lernende kann
jederzeit überhall hin gehen. Es gibt keine
Lenkung durch das System. Die Vorschläge
an den Lerner sind jedoch strukturiert,
z.B. durch Icons, die die Darstellungsform
des Bibliotheksangebots oder
des Problems charakterisieren. Die Dimensionen
"sprachlich/situativ", "gra-
•
fisch", "numerisch" und "symbolisch" ziehen
sich durch das ganze System.
Universelle Werkzeuge: Wenige, allgemein
nutzbare mathematische Werkzeuge;
keine Spezialtools zur Lösung einzelner
Probleme
• Einstieg von oben: Komplexe Probleme
führen in mathematische Fragen ein.
Training in Grundfertigkeiten ist instrumentell.
• Verzweigende Vielfalt statt Kursprinzip:
Der Lerner entscheidet über seine
Lernwege und Lernziele. Die Lernervoraussetzungen
sind unterschiedlich.
• Selbsteinschätzung vor Diagnose: Eine
"Fern"diagnose in Form eines Selbstdiagnosetestes
bietet das System nur auf
Anfrage an. Das Lernermodell erwächst
primär aus der Selbsteinschätzung, nicht
aus der Beurteilung des Systems.
• Reflexionsanregende Instrumente: Die
individuelle Wahl von Darstellungsformen,
die Arbeitsmappe, der Strategienpool sowie
das Selbstseinschätzungsmodul regen
den Lernenden an, seine Kompetenzen
bewusst zu reflektieren.
Das Problem, das man sich durch die Offenheit
der möglichen Lernwege einhandelt, ist
die mit der Navigation verbundene, so genannte
kognitive Überlastung. Das notorische
Phänomen bei der Rezeption von Hypertexten,
das gleichsam exponentiell mit ihrer
Konnektivität anwächst, lautet "lost in hyperspace".
Die Desorientierung des Lernenden
über seine Herkunft, seine aktuelle Position
und seine möglichen Wege sowie die
fehlende Übersicht über seinen Lernweg im
Gesamtkontext können zu Frustration und
Lernabbruch führen. Dies kann durch den
Einsatz von unterschiedlichen Navigationshilfen
vermieden werden (vgl. Blumstengel
1998). Man beachte die metaphorische Fantasie
bei der Bezeichnung solcher Hilfen:
20
• Netzwerke und Landkarten (z.B. als advanced
organizer). Mit ihnen kann der
Lerner im Prinzip eine globale Lernplanung
in einer komplexen Struktur durchführen.
Dies stellt jedoch hohe Anforderungen.
Solche cognitive maps können
als semantisches Netz sogar zum Konstruktionsprinzip
einer modularen Wissensbasis
werden (Seeger 2003).
• Tourvorschläge (guided tours, trails) sind
vorgefertigte lineare Durchgänge durch
einen Hypertext. Sie können als didaktischer
roter Faden dienen und Lerner bei
der Navigation unterstützen.
• Fischaugensichten (fisheye views) zeigen
die lokale Position und die nähere Umgebung
an.
• Leseprotokolle (history, backtracking) geben
Informationen über den zurückliegenden
Weg. Solche Informationen lassen
sich auch in die Knoten integrieren.
• Bearbeitungskennzeichen (breadcrumbs)
deuten an, ob und wie oft man eine Seite
besucht hat, ggf. auch in welche Richtung
man sie beim letzten Mal verlassen hat
(Ariadnefäden).
• Navigationsempfehlungen unterstützen
den Lernenden bei der Linkauswahl (next
best).
• Lesezeichen (bookmarks) ermöglichen
dem Lerner, ausgewählte Stellen zu sammeln.
Diese Funktionen lassen sich vielfältig kombinieren
und erweitern. Auch können sie
durch virtuelle, grafische Repräsentationssysteme
dargestellt werden (virtuelle 3D-
Welten, Avatare).
Viele Lernumgebungen lassen sich hinsichtlich
des hier explizierten Offenheitskriteriums
klassifizieren:
• Welche Topologie der Lernwege erlaubt
die Lernumgebung?
• Welche Navigationswerkzeuge unterstützten
den Lernenden?
• Welche Möglichkeiten der eigenen Mitgestaltung
hat der Lernende?
Beispiele und Erfahrungen mit komplexeren
hypermedialen Lernumgebungen für den
schulischen Mathematikunterricht sind allerdings
rar. Hinzuweisen ist auf ein Modellprojekt
des Landes NRW, das in Kooperation
mit Schulbuchverlagen im Rahmen des Projektes
SelGO ("Selbstlernen in der gymnasialen
Oberstufe") eine Lernplattform erstellt
und erprobt (www.selgo.de). Im Bereich der

Mathematik Lernen und Lehren mit dem Internet — zwischen "instruktivistisch" und "konstruktivistisch"
universitären Lehre gibt es hier bereits mehr
Erfahrungen (s. z.B. Schulmeister 2003).
Die immer noch stark dominierende Linearität
hypermedialer Lernumgebungen ("Umblättermaschinen")
ist wohl auf verschiedene
Gründe zurückzuführen:
• Auf die mangelnde Erfahrungen zum Umgang
des Lernenden mit komplexen Hypertexten
und das folglich fehlende Zutrauen.
• Auf die Furcht vor dem "lost-inhyperspace"-Phänomen.
Diese Furcht ist
nicht unbegründet, vor allem im Fall noch
unerfahrener Nutzer.
• Auf die fehlende Erfahrung vieler Autoren
mit dem Schreiben von Hypertext. Hypertexte
bedürfen besonderer Aufmerksamkeit
im Bereich der Modularisierung. Die
Möglichkeit der unterschiedlichen Lernwege
macht eine so genannte Dekontextualisierung
und Instrumente zur Schaffung
von semantischer Kohärenz nötig.
Diese Probleme treten vor allem dann auf,
wenn Hypertexte nicht von vornherein als
solche geschrieben werden, sondern erst
im Nachhinein aus linearen Texten entstehen
(vgl. Blumstengel 1998).
Ich möchte hier die Argumentation von
Schulmeister (2002, 271) aufgreifen, nämlich
dass
"Hypertext dem Lernenden eine komplexe
Lernumgebung präsentiert, die es ihm ermöglicht,
sich natürlich zu verhalten [...]:
• Erstens repräsentiert das Lernmaterial in
einem komplexen Hypertext-System eine
Umgebung, die der Student auch sonst
vorfindet, in der Bibliothek, an seinem
Schreibtisch usw. [und ebenso in der für
Schüler immer selbstverständlicher gewordenen
Umgebung WWW! — TL] [...]
• Zweitens kann sich der Student in dieser
komplexen Umgebung auch so verhalten,
wie er es sonst gewohnt ist, das heißt z.B.
seine gewohnten, eingeschliffenen Lernstrategien
einsetzen, entweder auswendig
lernen oder Hypothesen bilden, [...] das
Material sequentiell-linear studieren oder
nach Zusammenhängen forschen, extrinsisch
motiviert "pauken" oder intrinsisch
motiviert sich mit wesentlichen Fragenund
Problemstellungen identifizieren. Hypertext
ist offen und zugänglich für alle
möglichen individuellen Lernstile und
Lernangewohnheiten. [Hervorhebung
TL]"
Eine zukünftig immer größere Bedeutung für
die Gestaltung konstruktivistischer Lernum-
gebungen werden flexiblere kognitive
Werkzeuge haben, die über das reine Navigieren
hinausgehen. Lernende können in einer
hypermedialen Umgebung etwa eigene,
permanente Verbindungen zwischen Elementen
der Umgebung oder zu externen
Quellen einfügen, Elemente der Lernumgebung
annotieren, oder Eigenproduktionen in
elektronischen Arbeitsbücher, Portofolios,
oder Lernjournale/Reisetagebücher (z.B. à la
Gallin & Ruf 1994) sammeln. Dies sind vor
allem Instrumente, mit denen der Benutzer
das Medium an seine Bedürfnisse anpasst,
und bei denen Lernen nicht umgekehrt verstanden
wird als eine sukzessive Anpassung
des Benutzers an die Struktur des Mediums.
Solche Instrumente dienen zwar einer lernerfreundlichen
Gestaltung von Lernumgebungen,
binden aber ihrerseits kognitive Energien.
Sie müssen daher in der Hand des Lernenden
auch als Navigationswerkzeug verstanden
werden, da sie zur Reflexion des eigenen
Lernens, also zur Metakognition anregen.
zu (v): Das Internet als offene Hypertextumgebung
In den vorstehenden Bemerkungen zum Lernen
in hypermedialen Umgebungen wurde
nicht spezifiziert, ob diese technisch in standalone
Lösungen realisiert sind (z.B. CD-
ROM) oder online aus dem World-Wide-Web
betrieben werden. Letztlich kann das WWW
als die umfassendste Hypermedia-Umgebung
für das Lernen (nicht nur das schulische!)
angesehen werden. Exakte Angaben
zur tatsächlichen Größe des Web sind nicht
möglich, die Suchmaschine Google brüstet
sich damit, über 3 Milliarden Webpages zu
indizieren, und es gibt gute Gründe anzunehmen,
dass dies nur ein Bruchteil der existierenden
Seiten ist (Barabasi 2002). Das
WWW ist ein dezentral organisiertes Netz,
dessen Wachstum und Vernetzungsstruktur
von keiner zentralen Instanz kontrolliert wird.
Dennoch zeigen Arbeiten der letzten Jahre,
dass ein solchermaßen sukzessive wachsendes
Netz bestimmten Gesetzmäßigkeiten
folgt. Es entsteht ein so genanntes skalenfreies
Netz (scale free network), bei dem die
Anzahl der Knoten mit einem bestimmten
Knotengrad potenzartig mit dem Knotengrad
sinkt. Das bedeutet unter anderem, dass es
wenige stark vernetzte, hingegen viele kaum
vernetzte Seiten gibt. Durch den vornehmlich
unidirektionalen Charakter der Links entstehen
"Kontinente" und "Inseln", die voneinander
nur schwer oder gar nicht zu erreichen
sind (ebd.).
21

Timo Leuders
Das WWW unterscheidet sich also mindestens
in den folgenden drei Hinsichten radikal
von den bisher beschriebenen Lernumgebungen:
• Es gibt keine zentrale Instanz, die die
Qualität der Inhalte, Darstellungsformate
oder Navigationsstruktur sichert.
• Es gibt keinen zentralen, gleichsam bibliothekarisch
betreuten Katalog der Inhalte.
(Suchmaschinen verzeichnen heutzutage
nur Bruchteile des gesamten Netzes und
unterliegen in ihrer Effizienz prinzipiellen
Beschränkungen)
• Das WWW ist authentisch und nicht didaktifiziert.
(s.u. (b) "Authentizität")
Diese Aspekte sind prinzipiell ambivalent zu
bewerten. Maximale Globalität und Offenheit
werden mit Unübersichtlichkeit bezahlt, die
breite Zugänglichkeit von Information mit
dem Problem ihrer Filterung und Bewertung.
Diese Aspekte definieren neue pädagogische
Herausforderungen, von denen eine der
grundlegendsten sicherlich die Frage sein
wird: Wie versetzt man Schülerinnen und
Schüler (und sich selbst als Lehrenden) in
die Lage, das Unmaß an zugänglicher Information
zu selektieren und in individuell verfügbares,
vernetztes und flexibel anwendbares
Wissen umzuwandeln? Dies sind Aufgaben
nicht allein für den Mathematikunterricht,
sondern für eine integrative Medienpädagogik,
die Medienerziehung, Mediendidaktik
und Medienkunde vereint (Hischer 2003).
Die maximale Offenheit des WWW gibt Anlass
zu einer echten explorativen Schülertätigkeit,
bei der auch der Lehrende die gefundenen
Produkte nicht vorhersehen kann.
Schülerprodukte (z.B. Facharbeiten) können
so individueller und breitgefächerter ausfallen,
wie wohl sie es nicht müssen. Den Lehrenden
trifft die Aufgabe, Originalität des Ergebnisses
und den individuellen Lernzuwachs
zu überprüfen.
Die mit der radikalen Offenheit verbundene
kognitive Überlast für den Lernenden kann
didaktisch abgemildert werden. Ein Ansatz
sind die so genannten WebQuests
(www.webquest.org), bei denen Schülern
vom Lehrenden ausgewählte Explorationswege
(kommentierte Linklisten) angeboten
werden. Ein weiteres Praxisbeispiel für einen
vorsichtigen Einstieg für Schülerinnen und
Schüler zu Beginn der Sekundarstufe I bietet
das Medienverbundprojekt "mathe plus", das
das herkömmliche Schulbuch mit WWW-Umgebungen
kombiniert (www.matheplus.de).
Solche Modelle der gestuften Offenheit, unter
Verbindung elektronischer und klassischer
22
Medien sowie elektronischer und direkter
Kommunikation, sind in vielfältigen Konstruktionsansätzen
denkbar. Das Internet kann als
gleichsam offenste aller virtuellen Lernumgebungen
eine wichtige Rolle übernehmen. Es
ist das Bindeglied zwischen schulisch aufbereiteter
Lernumgebung und der "echten virtuellen
Welt".
Abb. 9: Das Internet als (Teil-) Lernumgebung
zu (vi): offene (universelle) Werkzeuge
Der Mathematikunterricht hat — und damit ist
er anderen Fächern z.T. weit voraus — bereits
seit vielen Jahren umfangreiche Erfahrungen
mit fachspezifischen Softwaresystemen,
die sich durch einen hohen Grad von
Offenheit auszeichnen, indem sie Schülerinnen
und Schüler in die Lage versetzen,
selbstständig mathematische Probleme zu
explorieren und eigene Konstruktionen (nicht
nur im geometrischen Sinn) zu erstellen.
Hierzu sind vor allem zu nennen: Computeralgebrasysteme,
Dynamische Geometriesysteme,
Tabellenkalkulationen und Modellierungssysteme
für dynamische Prozesse. Der
Offenheits- und potentielle Divergenzgrad
solcher Systeme ist beträchtlich, zugleich
aber auch die Anforderungen an die Nutzer.
Es gibt vielfältige Ansätze, diese Systeme zu
Lernumgebungen weiterzuentwickeln. Hier
lassen sich vor allem zwei unterschiedliche
Entwicklungsperspektiven ausmachen:
(1) Offene mathematische Werkzeuge können
in Lernumgebungen integriert werden
und je nach Anforderung des Problemkontextes
als Werkzeuge verwendet werden:
• Einbinden als spezifisches, adaptiertes
Werkzeug in Hypertextumgebungen (Beispiel
Lernumgebungen mit GeoNEXT —
www.geonext.de)
• Nutzen als universelles mathematisches
Werkzeug. (z.B. lokal installierte CAS,
Handheld-Funktionenplotter)
Nicht zuletzt durch das Verschwinden der
Online/Offline-Grenze werden wir hier vielfältige
Innovationen zu erwarten haben. Die
spezifische Diskussion dieser Technologien

Mathematik Lernen und Lehren mit dem Internet — zwischen "instruktivistisch" und "konstruktivistisch"
erfordert eine ausführlichere Behandlung als
an dieser Stelle möglich ist.
(2) Offene mathematische Werkzeuge können
aber auch selbst die Plattform für computerunterstützte
Lernumgebungen abgeben:
• Konstruktion problemspezifischer interaktiver
Arbeitsblätter (Beispiel Cinderella)
• problemspezifische Adaptierung von Nutzerschnittstellen
(z.B. CAS-packages)
• Konstruktion einer didaktifizierten Wissensbasis
(z.B. das Hilfesystem eines
CAS)
In solchen Verwendungszusammenhängen
gelten die allgemeinen Kriterien an computerunterstützte
Lernumgebungen, wie sie auf
diesen Seiten für elektronische Lernumgebungen
formuliert werden.
Als eine weniger bekannte, offene Werkzeugumgebung
möchte ich das ray-tracing
Programm POVRAY herausheben (www.pov
ray.org). Dieses gibt dem Nutzer über eine
Textschnittstelle die Möglichkeit, räumliche
Objekte und ihre Eigenschaften koordinatengeometrisch
zu spezifizieren und erzeugt
dann realistisch wirkende Bilder der spezifizierten
Szenerie (Majeswski 1997, Filler
2003). Dieses System hat einen hohen Grad
an Offenheit, da es dem Nutzer zunächst nur
wenige Grundfertigkeiten abverlangt, dafür
aber ein breites Spektrum an kreativen Gestaltungsmöglichkeiten
eröffnet. Die Mathematik
(Koordinatengeometrie, analytische Geometrie)
wird hier gleichsam automatisch im
Zuge von selbstgewählten Darstellungsaufgaben
erkundet (Leuders 2004).
Abb. 10: Lernumgebung POVRAY
(b) Authentizität
Die im Rahmen von konstruktivistischen Argumentationen
oft eingeforderte situative Authentizität
wird meist begründet mit zu erwartetenden
Motivationseffekten, vor allem aber
mit einem erhofften höheren Transferpotential.
Reinmann-Rothmeier et al. (1994, 46) diskutieren
diesen Aspekt vor allem mit Bezug
auf berufliche Weiterbildung und sehen dabei
durchaus die Gefahr der Überforderung der
Lernenden, wenn der Authentizitätsgrad nicht
ihren Wissens- und Erfahrungsstand berücksichtigt.
Sie schlagen daher vor, unter einem
situierten Kontext einen eher eingebetteten
als authentischen Kontext zu verstehen. Im
schulischen Kontext des Mathematikunterrichts
scheint dieses Problem doppelt ausgeprägt,
da hier die Erfahrungen von Schülerinnen
und Schülern sowohl mit realen Anwendungskontexten
als auch mit komplexen
inner- wie außermathematischen Situationen
erfahrungsgemäß sehr gering zu veranschlagen
ist. Dennoch braucht gerade der
schulische Mathematikunterricht, der an einer
überstarken didaktischen Filterung mathematischer
Probleme krankt, solche authentischen
Kontexte. Dass solche Kontexte
auch im Rahmen eines nicht-akademischen
Mathematikkurses (Wiskunde A in den Niederlanden,
Grundkurs in Deutschland) produktiv
werden können, beweisen vielfältige
Probleme aus der niederländischen Wiskunde
A (siehe z.B. www.alympiade.de).
Das Internet bietet eine Fülle von nichtdidaktifizierten
"Real World Problems", die
nicht auf den schulischen Mathematikunterricht
zurechtgeschneidert sind, aber attraktive,
offene Lernumgebungen abgeben können.
Zwei Beispiele mögen dies illustrieren:
23

Timo Leuders
Die Weltbevölkerungsuhr lädt ein zur Exploration
der dort angegebenen Zahlen: "Welche
Prognosen ergeben sich? Wie funktioniert
die Uhr? Wie wächst die Bevölkerung
24
Abb. 11: Die Weltbevölkerungsuhr — www.dsw-online.de/cgi-bin/count.pl
[Am Schluss der Seite findet sich folgende Erläuterung:]
The formula for calculating the top 250 films gives a true Bayesian estimate:
weighted rank (WR) = (v ÷ (v+m)) × R + (m ÷ (v+m)) × C
where:
R = average for the movie (mean) = (Rating)
v = number of votes for the movie = (votes)
m = minimum votes required to be listed in the top 250 (currently 1250)
C = the mean vote across the whole report (currently 6.9)
note: for this top 250, only votes from regular voters are considered.
Abb. 12: Bestenliste auf Internet Movie Database — http://www.imdb.com/top_250_films
tatsächlich? Wie sieht das nach Ländern differenzierte
Bild aus?"
Die Internet Movie Database hat ein Bewertungsverfahren
für Filme (rating) und gibt so-

Mathematik Lernen und Lehren mit dem Internet — zwischen "instruktivistisch" und "konstruktivistisch"
gar eine Formel an, nach der die Leserbewertungen
eingeordnet werden. Wie "funktioniert"
diese Formel? Wie verändern sich die
Ergebnisse in Abhängigkeit von der Anzahl
der abgegebenen ratings? Was ist ein Bayes'scher
Schätzer?
Des Weiteren muss man auch Datenbestände
für den Mathematikunterricht, wie
statistische Datenbanken (etwa die des Statistischen
Bundesamtes www.destatis.de)
oder Formelsammlungen und Fachlexika
(www.mathe-online.at/mathint/lexikon) im Internet
als Bausteine für Lernumgebungen
ansehen.
Schließlich soll noch angedeutet werden,
dass gerade die Multimediamöglichkeiten
des Internets zur Situiertheit von Lernumgebungen
beitragen können. Informationen
können vor allem in visuell vielfachen Darstellungsformen
dargeboten werden. Dabei
ist aber darauf zu achten, ob Multimedia hier
eine Ergänzungs- oder Ersatzfunktion einnimmt.
Eine Auseinandersetzung in persona
mit der wirklichen Welt kann durch kein digitales
Klassen- oder Spielzimmer ersetzt werden.
Beispiele für virtuelle Klassenzimmer,
wie man sie insbesondere in den USA findet,
stimmen hinsichtlich der Substitution primärer
Welterfahrung durch digitale Surrogate
bedenklich (vgl. Abb. 13).
Einen Beitrag zur Authentizität von Lernen
können auch die gewachsenen Möglichkeiten
des World Wide Publishing leisten. Einzelne
Schüler oder ganze Kurse können die
Ergebnisse ihres Lernprozesses ohne hohen
(finanziellen) Produktionsaufwand veröffentlichen
und zur Diskussion stellen. Neben dem
Motivationsaspekt stellt sich hier allerdings
die Frage, welche Qualität Schülerprodukte
haben sollten, um auf diese Weise veröffentlicht
zu werden. Ein Mathematikkurs vom
Copernikus-Gymnasium Phillipsburg hat beispielsweise
die Wiederholungs- und Vertiefungsphase
vor den Abiturprüfungen genutzt,
um in einem Projekt Kernthemen online aufzubereiten
(http://sites.inka.de/picasso/einga
ng6.htm). Schülerinnen und Schüler haben
hier sicherlich etwas über Webseiten-Erstellung
gelernt. Anstelle einer reflektierten Publikation
eigener (und sei es auch noch so
einfacher) mathematischer Arbeiten wurden
hier jedoch nur die Reproduktion und Aufbereitung
von Standardthemen aus dem verwendeten
Schulbuch betrieben.
(c)-(e) Interaktivität
So oft der Begriff der Interaktivität als Qualitätsmerkmal
für digitale Produkte angeführt
wird, so wenig besteht Einigkeit über eine
klare Definition (s. Haack 2002, Blumstengel
Abb. 13: Virtuelle "Ersatz"umgebungen — www.jayzeebear.com
25

Timo Leuders
1998). In Multimediaumgebungen meint Interaktivität
häufig den freien Zugriff auf alle
Inhalte, im Rahmen von ITS eine starke Anpassung
des Systems an einen Nutzer. Aus
Nutzersicht kann Interaktivität für manche
Autoren lediglich in einem hohen Aktivierungsgrad,
z.B. häufige Tests, bestehen, für
andere ist ein proaktiver und generierender
Interaktionsstil (im Gegensatz zu einem reaktiven)
entscheidend.
Im Folgenden will ich daher verschiedene
Aspekte von Interaktivität und ihre Bedeutung
bewusst getrennt voneinander darstellen.
Die schon im vorangegangenen Abschnitt
beschriebene offene Hypertextstruktur
kann als ein Aspekt von Interaktivität aufgefasst
werden, nämlich Interaktivität als vom
Lerner kontrollierte Lernwegsteuerung. Als
weitere Aspekte (die das Thema durchaus
nicht erschöpfen) sollen ins Auge gefasst
werden: Interaktivität als Feedback durch das
System, als Unterstützung freier Kommunikation
und als Adaptivität eines Systems.
(c) Interaktivität als Reaktivität des
Systems (unmittelbares Feedback)
• Lernwegsteuerung: Während Lernsysteme
praktisch immer das Tempo der Bearbeitung
dem Lernenden überlassen, geben
z. B. tutorielle Systeme einen Lernweg
vor, der Benutzer kann darauf lediglich
"blättern". Im Gegensatz dazu liegt
die Entscheidung über den Lernweg bei
Hypermedia grundsätzlich beim Lernenden:
"Unlike most information systems,
hypermedia users must be mentally active
while interacting with the information. ...
Hypermedia permits a higher level of dynamic
user control." (Jonassen/Grabinger
90, 7). Dieser freie Zugriff auf Inhalte ohne
definierte Folge ist wichtig (und beispielsweise
ein großer
Vorteil gegenüber Video),
konstituiert aber
für sich allein noch
keinen besonders hohen
Grad an Interaktivität.
• Darstellungstiefe: In einigen
Hypermedia-
Lernsystemen kann die
Darstellungstiefe der
Informationen variiert
werden. So können
beispielsweise durch
Mausklick auf Teile einer
Grafik weitere Informationen, Vergrößerungen
o.Ä. gezeigt werden.
26
• Dialoggestaltung: Viele Hypermedia-Systeme
sehen lediglich eine einseitige Informationspräsentation
vor. Der Interaktivitätsgrad
wird erhöht, wenn beispielsweise
Testfragen integriert werden. Diese
können wiederum qualitativ sehr unterschiedlich
realisiert werden. Wünschenswert
ist dabei, auch über Multiple-Choice-
Fragen hinausgehende Testtypen zu verwenden.
Ein höherer Grad an Interaktivität
wird auch durch die Integration von
Simulationselementen erreicht, wenn mathematisch
oder grafisch repräsentierte
Modelle mit verschiedenen Parametern
getestet werden können und die Konsequenzen
anschaulich dargestellt werden.
Eine weitere Möglichkeit ist die Integration
adaptiver tutorieller Komponenten, z. B. in
Form kontextsensitiver Hilfen oder Guides.
(c) Interaktivität in Form von Reaktivität
des Systems (Feedback)
Durch seine hohe Verarbeitungsgeschwindigkeit
besitzt der Computer die Stärke der
instantanen Rückmeldung über das Ergebnis
einer Berechnung. Zu den bedeutsamen Folgen
für den Mathematikunterricht gehört hier
z.B. eine mögliche Stärkung des funktionalen
Denkens, da der Zusammenhang von
Ursache und Wirkung von den Schülerinnen
und Schülern nicht nur in Gedanken vollzogen,
sondern auch "augenscheinlich" erlebt
werden kann. Viele der in großer Vielzahl
entstehenden so genannten Applets bieten
ein interaktives Erkunden eines funktionalen
Zusammenhangs an, wie z.B. das in Abb. 14
dargestellte, der Lernumgebung Mathe-
Online (www.mathe-online.at) entnommene
Applet.
Zudem besitzt der Mathematikunterricht mit
Abb. 14: Funktions-Applet aus
www.mathe-online.at/galerie/fun1/fun1.html#FunktAbh (den Punkt auf der x-
Schiene zieht man, der Punkt auf der y-Schiene bewegt sich mit)
dem Computer erstmals ein universelles Experimentierwerkzeug.
In diesem Sinne kann
der Rechner als epistemisches und heuristi-

Mathematik Lernen und Lehren mit dem Internet — zwischen "instruktivistisch" und "konstruktivistisch"
sches Werkzeug genutzt werden, also als eine
Erweiterung der menschlichen Fähigkeit,
Wissen zu erzeugen und Probleme zu lösen.
Hierbei spielt auch die Stärke des Computers
eine Rolle, dass er die Integration und den
schnellen Wechsel von unterschiedlichen
mathematischen Darstellungsformen (numerisch,
grafisch, symbolisch) ermöglicht.
All diese Vorzüge sind auch über das Internet
nutzbar, wobei die Rückmelderaten begrenzt
werden sowohl durch Servergeschwindigkeiten
als auch durch Übertragungsraten.
Diverse server- und clientseitige
technischen Lösungen lassen diese Restriktion
aber immer mehr in den Hintergrund treten.
Derartiges "instant Feedback" spielt auch eine
Rolle bei jeglicher Rückmeldung zu Lernerfolgen
im Rahmen von Tests. Hier spielt es
kaum noch eine Rolle, ob ein solches System
nur durch eine eigenständige Software
oder über WWW-Plattformen realisiert werden
kann. Die Begrenzung liegt hier eher in
dem prinzipiellen Widerspruch zwischen
technisch realisierbaren Rückmeldungen (im
einfachsten Fall: multiple choice) und dem
Anspruch hohe kognitive Lernerleistungen
herauszufordern. Die semantischen Begrenzungen
eines Computersystems wurden
oben bereits angesprochen. Es gibt allerdings
vielfältige Wege, jenseits von multiple
choice und fill-in, durchaus flexiblere Abfragetechniken
zu realisieren, etwa durch Zuordnungspuzzles
(Abb. 15). Hier werden die
Lernenden zu Explorationen und Reflexionen
angeregt ("Welche Bilder gehören zu negativen
Werten? Warum?").
Genutzt wird instant feedback auch in einer
Vielzahl von Demonstrationsmodellen und
Simulationen, die interaktiv bedient werden
können. Eine interaktiv veränderbare, dynamische
Darstellung des Sonnensystems im
Internet (z.B. der Halleysche Komet bei der
NASA unter neo.jpl.nasa.gov/orbits kann beispielsweise
zur Beschäftigung mit der Frage
"Was sind Winkel zwischen Ebenen?" anregen.
Das eigenhändige Manipulieren und
Erstellen mathematischer Objekte ist allerdings
weiterhin für mathematische Primärerfahrungen
unabdingbar. Nur mit virtuellen
Bauklötzen können sich Raumvorstellungen
nicht ausbilden.
(d) Interaktivität in Form von Kommunikativität
Die Erkenntnis der Beschränkungen, die eine
Interaktion allein mit einer Maschine unterliegt
(HCI = human computer interaction),
führt für viele Autoren von Lernumgebungen
zu dem konsequenten Schritt, diese durch
die konsequente Einbeziehung zwischenmenschlicher
Interaktion aufzuheben. Immer
dann, wenn sich diese Kommunikation zwischen
sich persönlich gegenübertretenden
Handlungspartnern vollziehen kann, sollte
man diese Chance nutzen. Dennoch kann es
sinnvoll sein, auch über elektronisch vermittelte
Wege der Kommunikation zwischen
Lernendem und Lehrendem, aber auch innerhalb
von Lernendengruppen nachzudenken.
Die Vielfalt der Angebote für elektronische
Kommunikation und Zusammenarbeit
ist inzwischen schier unübersehbar; — meist
sind diese Systeme allerdings nicht aus pädagogischen
Bedürfnissen entsprungen, sondern
erst in der Folge auf ihre pädagogische
Eignung befragt worden. Zu den wichtigsten
Typen gehören hier:
• Formen der asynchronen Kommunikation
(E-Mail, Foren, FAQ-Bretter)
Abb. 15: Ein Zuordnungspuzzle aus www.mathe-online.at/tests/vect2/skalarprodukt.html
27

Timo Leuders
• Formen der synchronen Kommunikation
(Chats, Virtuelle Klassenzimmer, Videound
Audiokonferenzen)
• Plattformen für den Dokumentenaustausch
(shared workspaces)
• Techniken des application sharing (Für
die Mathematik bedeutsam: Wie können
zwei entfernte Lernpartner dieselbe CAS-
Oberfläche sehen und bearbeiten?)
Unter den Stichworten CSCW (computer
supported cooperative work) und CSCL
(computer supported cooperative learning)
gibt es vielfältige konkrete Projekte, besonders
im Bereich der Weiterbildung und der
universitären Lehre (Wessner 2002). Solche
Systeme können zur direktiven Steuerung
(Beispiel: Der Lehrer stellt einen Lernplan in
die Arbeitsumgebung), zur symmetrischen
Kooperation (Beispiel: arbeitsteilige Projektarbeit),
aber auch zur konkurrierenden Arbeit
(Beispiel: Wettbewerbe) genutzt werden.
Die Chance, die in der CSCL-Technologie
gesehen wird, bezieht sich vor allem auf eine
Erhöhung der Intensität und der Qualität von
Interaktivität in computerunterstützten Lernumgebungen.
Aus konstruktivistischer Sicht
spielt hier aber auch der Aspekt von Wissen
als sozialer Konstruktion eine Rolle: Wir
kommunizieren nicht über Wirklichkeit, sondern
erschaffen Wirklichkeit in der Kommunikation
(Watzlawick)
Die Realisierung solcher kommunikativer
Elemente findet oftmals über so genannte
Lernplattformen statt. Dieser Begriff ist nicht
immer klar abgegrenzt. Meist versteht man
hierunter eine Kombination verschiedener Informations-
und Kommunikationselemente
(Schulmeister 2001, 165): Einstiegsportal,
Kursmanagement, Darstellung von Kursunterlagen,
Online-Kurse (Seminare), Autorenwerkzeuge
für Lehrende, Werkzeuge zum
kooperativen Arbeiten.
Im Bereich des schulischen Einsatzes ist jeweils
sehr gewissenhaft nach dem Mehrwert
solcher Systeme zu prüfen: Schülerinnen
und Schüler in allgemeinbildenden Schulen
haben in der Regel viele Möglichkeiten, direkt
miteinander zu kommunizieren und zu
kooperieren. (Hierfür wird heutzutage — als
sei es bereits die Ausnahmesituation — der
schöne Begriff "face to face" verwendet).
Elektronische Kommunikation kann zu einer
Bereicherung führen, wie z.B. in Distanzphasen
in der beruflichen Weiterbildung (vgl. das
NRW-Projekt www.abitur-online.nrw.de für
den zweiten Bildungsweg), oder eben zur
Verarmung durch Surrogatkommunikation:
Muss z.B. die Verteilung von Lernmaterial,
28
die Rücksendung und Kommentierung von
Dokumenten auch bei schulischen Hausaufgaben
über eine Lernplattform laufen (vgl.
das Schwesterprojekt www.selgo.de für die
gymnasiale Oberstufe)?
Oft wird auch der Aspekt der "verteilten Kognition"
beschworen. In kooperativen Arbeitsumgebungen
können Mitglieder arbeitsteilig
ihre spezifische "Experten"sichten beitragen.
So entsteht eine gemeinsame Wissensbasis
in der Summe von Einzelbeiträgen.
Verteiltes Wissen kann zu geteiltem
Wissen werden. Systeme für ein solches
Wissensmanagement können z.T. berückend
einfach sein, wie das WIKI-Projekt zeigt
(www.wikipedia. de). Schulen sammeln bereits
erste Erfahrungen, insbesondere im Bereich
der Informatik. Letztlich sind die zahlreichen
(kommerziellen) Hausaufgaben- und
Facharbeitenbörsen auch solche Systeme
verteilten Wissens. Ihre Existenz stellt eine
Herausforderung für das Bild schulisch erworbenen
Wissens dar.
Schließlich soll auch die (vermeintliche?)
globale Öffnung durch elektronische Kommunikation
zur Sprache kommen. Der Sinn
und Erfolg von E-Mail Austausch-Projekten
ist im sprachlichen Bereich erwartungsgemäß
höher als in der Mathematik. Auch der
Austausch mit externen Experten per E-Mail
wird für den Mathematikunterricht wohl in
nächster Zeit eher von sekundärer Bedeutung
sein und auf Leuchtturmprojekte beschränkt
bleiben.
Mit Schulmeister (2002, 206) kann man abschließend
feststellen: "Ob und wie kooperativ
gelernt wird hängt entscheidend davon ab,
wie das technische System in den höheren
Lernzusammenhang eingebettet ist".
(e) Interaktivität in Form von Adaptivität
Alle Lernenden sind verschieden. Diese
ebenso lapidare wie unbestreitbare Aussage
muss Konsequenzen für die Gestaltung einer
Lernumgebung haben. Vom menschlichen
Lehrenden fordern wir eine flexible Anpassung
an die Bedürfnisse der einzelnen Lernenden,
angemessene Reaktionen auf deren
individuellen Beiträge und das Angebot differenzierter
Lerngelegenheiten und Lerntempi.
Doch auch ein Lehrer ist schnell überfordert,
wenn er dies bei dreißig Schülerinnen und
Schülern zugleich leisten soll. Konstruktivistische
Ansätze entheben den Lehrenden von
der früher vehement propagierten, wenngleich
unlösbaren Aufgabe der individuellen
Differenzierung ("Jedem Schüler sein eigenes
Arbeitsblatt"). Eine angemessene Differenzierung
können letztlich allein die Lernen-

Mathematik Lernen und Lehren mit dem Internet — zwischen "instruktivistisch" und "konstruktivistisch"
den selbst leisten, indem sie ihre Lernumwelt
nach ihren individuellen Bedürfnissen (mit-)
gestalten.
Die Hoffnung, die elektronische Lernumgebungen
nähren, besteht nun darin, dass dieses
Ideal der totalen Differenzierung durch
die Anpassungsfähigkeit maschineller Systeme
anscheinend wieder in erreichbare Nähe
rückt. Aber können so genannte adaptive
elektronische Systeme dies wirklich leisten?
Als Adaptivität von Systemen wird deren Fähigkeit
verstanden, sich automatisch an den
Lernenden anzupassen. (Im Gegensatz dazu
bedeutet Adaptierbarkeit, die Möglichkeit, an
ihnen verschiedene Parameter voreinzustellen,
wie etwa die Sprache oder den Schwierigkeitsgrad,
oder die Vorauswahl von funktionalen
Schaltflächen bei einem DGS).
Die Adaptivität von Lernumgebungen variiert
nicht nur graduell, hier gibt es vielmehr erhebliche
prinzipielle Unterschiede. Erhoben
werden können vom System eine ganze Reihe
unterschiedlicher Lernerdaten, sowohl vor
als auch während des Lernprozesses. Sie
können implizit aus dem Lernweg oder explizit
aus Vor- und Zwischentests sowie aus
Selbsteinschätzungen stammen. Eine typische
Form ist die Konstruktion eines so genannten
Lernermodells, in dem Eigenschaften
des Lernenden erhoben werden, wie etwa
sein lernrelevantes Vorwissen oder seine
themenbezogene Selbsteinschätzung.
able Lernermodelle (Kenntnisse, Fähigkeiten,
Präferenzen) erstellen kann. Hier tritt jedoch
eine typische, paradox anmutende und nicht
überwindbare "Unschärferelation" zu Tage:
Je detaillierter die Informationen, die das
System über den Lerner gewinnen will, desto
fragmentierter werden die Lernschritte, die
angeboten werden und desto größer die Interferenz
in Form von Abfragen, Tests und
Selbsteinschätzungen.
Erkennt man die Begrenzungen der Nutzermodellierung
nicht nur an, sondern spricht
man dem System a priori eine solche starke
Kontrolle des Lernerverhaltens und der angebotenen
Lernwege ab, so verfolgt man ein
gegensätzliches Paradigma. Dann ist es
nicht das System, das ein Modell des Lernenden
erstellt und sich daran orientiert,
sondern der Lernende selbst, der qua Wahl
seines Lernwegs ein zunächst implizites
"Selbstmodell" entwirft. Dieses Modell ist anfangs
unbewusst, kann aber im Laufe des
Lernprozesses immer mehr vom Lernenden
reflektiert werden. Einen solchen Weg verfolgt
der oben geschilderte "Matheführerschein":
Der Lernende muss immer wieder
entscheiden, welche Darstellungsformen
("sprachlich/situativ", "grafisch", "numerisch"
und "symbolisch", vgl. Abb. 8) er bevorzugt
und wird durch das System darin unterstützt,
sich diese Wahl bewusst zu machen. Man
kann diese System-Nutzer-Interaktion als "reflektierte
Offenheit" bezeichnen.
Man muss vielleicht
ausgleichend feststellen,
dass eine Lernumgebung
eine sinnvolle
Integration von
beiden Paradigmen,
dem der systemischen
Adaptivität und dem
der reflektierten Offenheit,
bieten sollte. Solche
Variablen, die
Abb. 16: Selbsteinschätzung und Einschätzung durch das System in
http://demo.activemath.org
technisch erhoben
werden können und
die Lernwege und Dar-
Die Forderung nach Lerneradaptivität und die
Konstruktion von Lernermodellen zielen darauf
ab, ein System in den Stand zu versetzen,
den Lernweg auf die (vermuteten bzw.
modellierten) Bedürfnisse des Lernenden
abzustimmen, also letztlich dem System die
Möglichkeit einer differenzierten Kontrolle
über den angebotenen Lernweg zu geben.
Mit einer solchen Zielsetzung ist der hohe
Anspruch verbunden, dass ein System hinreichend
komplexe, statistisch valide und vistellungsformensinnvoll
modifizieren, ohne den Lerner zu gängeln,
sollten auch genutzt werden (etwa die
Darstellungsform der Navigationsinstrumente).
Die Variabilität des Lernprozesses darf
sich hingegen nicht in einer vom System getroffenen
Vorauswahl erschöpfen und auf einer
impliziten Systemebene dem Lernenden
verborgen bleiben. Die Vielzahl der Lernwege
muss dem mündigen Lerner stets offen
liegen. Eine solche Ausgleichsforderung liegt
beispielsweise bei dem Modell der Adaptiven
29

Timo Leuders
Hypermedia-Systeme vor, wie sie Seeberg
(2002, 10ff) vorstellt. Hier können z.B. alle
Links offen stehen, aber mit Hilfe einer Ampelmetapher
dem Lerner deutlich gemacht
werden, in wie weit er aufgrund seines Lernmodells
und Lernweges die Voraussetzungen
für die Bearbeitung des dahinter liegenden
Moduls erfüllt.
Ein weiteres Kriterium für eine offenere, lernerzentrierte
Auffassung von Interaktivität einer
Lernumgebung liefert Schulmeister
(2002). Diese kann dem Lernenden erlauben,
aktiv in ihre Struktur einzugreifen und
sie nach seinen Wünschen umzugestalten.
Für diese Art von reziproker Adaptivität sind
gerade Hypermedia-Systeme gut geeignet:
Der Lernende kann den Elementen eigene
Annotationen hinzufügen, kann ggf. auch Ergänzungen
und Änderungen von Inhalten
oder strukturellen Verknüpfungen vornehmen.
Einige zusammenfassende
Bemerkungen
Die folgenden Bemerkungen zu einigen
Kernfragen des Lernens in medialen, konstruktivistischen
Lernumgebungen sind zwar
als Konsequenz der vorangehenden Ausführung
zu verstehen, sind aber weniger systematisch
und eher subjektiv geprägt.
Welche Rolle spielt das konstruktivistische
Paradigma für das Lernen?
Es ist deutlich geworden, dass viele der hier
zusammengetragenen Anforderungen an
Lernumgebungen nicht unbedingt eines konstruktivistischen
Hintergrundes bedürfen. Die
konstruktivistische Position, die vor allem Situiertheit
und Selbstregulation betont, erweist
sich als wichtiges Korrektiv: Dass und warum
gerade computergestützte Lernarrangements
immer noch besondere Gefahr laufen, einen
einseitig vermittlungsorientierten Ansatz zu
verfolgen, ist aus den vorangehenden Argumenten
und Beispielen deutlich geworden.
Welche Hoffnungen sind mit computergestützten
Lernumgebungen verbunden?
Die Gründe, die für eine stärkere Förderung
eines computer- und internetgestützten Lernens
angeführt werden, klingen meist plausibel,
müssen sich aber auf ihren Gehalt kritisch
hinterfragen lassen. Um nur einige wesentliche
Beispiele zu nennen:
30
• Innovation der Lehrformen: Allein die Diagnose
mangelnder Qualität herkömmlichen
Unterrichts ist nicht hinreichend dafür,
Hoffnungen in Computersysteme zu
setzen. Vielen erkennbaren Vorteilen
(emotionale Neutralität, individuelle Lerntempi)
können ebenso gewichtige Nachteile
entgegengesetzt werden (mangelnde
Kommunikation, keine Verstehensprozesse
seitens des Systems). Ausgesprochene
Kritiker formulieren ihre Thesen hierzu
sogar noch krasser: "Alles, was man pädagogisch
erreichen/vermeiden will, erreicht/vermeidet
man besser ohne den
Computer. Alle Dummheiten, die die
Schule macht, macht sie mit ihm verstärkt.
Das, was man nur an und mit dem
Computer lernen kann, ist herzlich wenig
und kann kurz vor der Entlassung in die
Arbeitswelt realistischer und wirksamer
absolviert werden" (von Hentig 1993).
• Öffnung von Schule. In wie weit ist die
Öffnung der Grenzen über die Lerngruppe
hinaus wesentliche Qualitätssteigerung?
In wie weit kann das Informationsangebot
und die Möglichkeit der weltweiten Kommunikation
wirksam in den Unterricht integriert
werden?
• Aktualität. Wie aktuell müssen Informationen
für den Mathematikunterricht wirklich
sein? Hier ist die Bedeutung des Aktualitätskriteriums
für den Politikunterricht sicherlich
unmittelbarer (obwohl es auch
hier Alternativmedien gibt!).
• Kommunikation. Eine Kommunikationssteigerung
ist wohl allein dort zu verzeichnen,
wo Lernende ansonsten notwendig
physisch getrennt agieren müssten
(Flächenbesiedlung, Spezialkurse,
Zweiter Bildungsweg).
• Medienkompetenz für lebenslanges Lernen,
als Teil von Allgemeinbildung, als
notwendige Bedingung für den ökonomischen
Status der Gesellschaft ("Standortfrage").
Hier treffen wir wirtschafts- und
bildungspolitische Argumente, die meist
eher ideologisch als sachlich verwendet
werden. Ob jeder Arbeitnehmer künftig
heimischer Selbstlerner sein muss, um
mit betrieblichen Entwicklungen mitzuhalten,
wie viel Medienkompetenz in der
Schule erworben werden muss ("Internetführerschein"),
ist mehr von normativen
Zielvorstellungen als von nüchternen Analysen
bestimmt. Zum Auftrag der Pädagogik
gehört allerdings auch, junge Menschen
darin zu unterstützen, dass sie "der
technischen Zivilisation gewachsen bleiben"
— so Hartmut von Hentig (2002).

Mathematik Lernen und Lehren mit dem Internet — zwischen "instruktivistisch" und "konstruktivistisch"
Prozesse wie Mediatisierung, Ökonomisierung,
Kollektivierung und die damit
einhergehende Vereinzelung und Entfremdung
sind Kategorien, die bei allen
technischen und didaktischen Entwicklungen
mitreflektiert werden müssen.
Welche Rollenveränderungen in Schule
zeichnen sich ab?
Nicht das Klassenzimmer als Raum der
Lernbegegnung ist obsolet, wie viele Apologeten
medialer Lernumgebungen postulieren
(vgl. z.B. "The Death Of The Classroom",
Fielding 1999), sondern die Rollenverteilung
zwischen Lehrenden und Lernenden ist reformbedürftig.
Eine stärkere Selbststeuerung
und Verantwortung des lernenden Individuums
erreicht man allerdings nicht allein
durch die Subtraktion eines Lehrenden aus
dem Lernprozess, sondern nur durch eine
Veränderung der Handlungsmuster und des
Selbstverständnisses des Lehrenden.
Dabei kann nicht das Ausblenden jeglicher
Instruktion das Ziel sein, sondern ein sinnvolles
Einbetten von Instruktionsphasen, die die
Lernenden nach ihren Bedürfnissen abrufen
können. (Die Autorengruppe der BLK-Expertise
(1996, 23f) weist ausdrücklich auf funktionale
Äquivalenz von Unterrichtsmethoden
hin und warnt vor "pädagogischem Dogmatismus".)
Der Lehrer ist — immer noch mehr als jedes
computerbasierte Lernsystem — ein didaktisch
geschulter Instruktor, der die Lerngruppe
aus vielfältigen Lern-, Leistungs- und
Kommunikationszusammenhängen kennt,
der Lernprozesse begleitet und beobachtet
hat und der interaktiv auf die Anforderungen
der Lernenden reagieren kann. Das Klassenzimmer
ist zwar nicht per se, aber immerhin
doch potentiell eine ideale "Lernumgebung".
Schauen wir einmal rückblickend auf die verschiedenen
Anforderungen an eine Lernumgebung
so stellen wir fest: Die genannten
Qualitätskriterien beziehen sich nicht allein
auf elektronische Medien, sondern lassen
sich ebenso auf die soziale Lernumgebung
einer physischen Lerngruppe anwenden.
Im Einzelnen muss man sich also immer
nach dem Mehrwert einer elektronischen
Lernumgebung fragen. Hier überschneiden
sich ökonomische und pädagogische Kriterien
auf eine in diesem Metier typische Art
und Weise:
• Eine qualitative (und hinreichend offene)
Lernumgebung ist in vielen Lerngruppen
nutzbar. Das Rad muss nicht von jeder
Lehrkraft neu erfunden werden. Zudem
kann aus der Erfahrung der Nutzung in
vielen Lerngruppen eine sukzessive Weiterentwicklung
erwachsen. Dies ist beispielsweise
der Modus, in dem japanische
Lehrerinnen und Lehrer idealiter ihre
(nicht-digitalen Lernumgebung, sprich:
Unterrichtsarrangements) kontinuierlich
optimieren (Stigler & Hiebert 1999).
• Die Offenheit, die die Hyper-Umgebung
"Internet" bieten kann, ist in klassischen
abgeschlossenen Medien (Arbeitsblättern
und Schulbüchern) nicht abbildbar und
auch die Kenntnisse und die Kommunikationsfähigkeit
des Lehrenden sind schnell
erschöpft.
• Elektronische Lernumgebungen können
das selbstständige (und je nach Anlage)
auch das kooperative Lernen unterstützen,
ja geradezu herausfordern. Insbesondere
die zeitweise Loslösung des Lernenden
aus dem in Deutschland immer
noch dominierenden "Gesamtunterricht"
im Kursverband — mit all seinen bekannten
Defiziten — kann eine innovierende
Wirkung haben. Auch der Lehrer, der solche
Lernumgebungen verwendet, ist so
gezwungen, sich intensiver mit den qualitativ
anderen Arbeitsformen und Arbeitsergebnissen
auseinander zu setzen.
Gefahr droht dann, wenn die ökonomischen
Kriterien die Überhand gewinnen — oder unterschwellig
die Entwicklungen lenken. Dies
geschieht immer dann, wenn darüber nachgedacht
wird, ob Lernsysteme Unterrichtsabläufe
nicht mehr ergänzen, sondern ersetzen
sollen. Viele digitale Lernumgebungen lassen
sich interpretieren als das Bemühen, interpersonale
Prozesse elektronisch immer perfekter
abzubilden (z.B. die non-verbalen Interjektionen
in virtuellen Klassenzimmern).
Für den Ausbau von Konstellationen des Distanzlernens
(z.B. in der Erwachsenenbildung)
sind solche Entwicklungen ein Zugewinn,
für den ersetzenden Einsatz im Rahmen
von Schulunterricht ganz ausdrücklich
ein Verlust (Schulmeister 2002, 223, 226f).
Anforderungen an eine (internetgestützte)
Lernumgebung — eine Kurzfassung
Aus den vorangegangenen Ausführungen
wurde deutlich, dass man auch internetgestützte
Lernumgebungen immer nur eingebettet
in das Gesamtarrangement beurteilen
kann. Es gilt also, eine ausgewogene Berücksichtigung
der Mittel in den folgenden
Bereichen zu reflektieren:
Zu den vielen Kriterien, die man an solche
Lernumgebungen stellen kann (z.B. Blum-
31

Timo Leuders
stengel 1998, Schulmeister 2002, Kerres
2001) gehören u.a.:
• Welche Möglichkeiten der Exploration bietet
die Lernumgebung? In welcher Form
sind individuelle Lernwege möglich und
welche Navigationswerkzeuge unterstützen
den Lernenden dabei?
• Welche Möglichkeiten der Konstruktion
(ggf. der Mitgestaltung an der Lernumgebung)
hat der Lernende? Welche kognitiven
Werkzeuge unterstützen den Lernenden
dabei?
• In welcher Form sind instruktionale Elemente
eingebettet?
• Wie problemorientiert und wie authentisch
ist die inhaltliche Gestaltung?
• Welche Möglichkeiten der Kommunikation
und Kooperation werden angeboten?
• In welchem Verhältnis stehen die medienvermittelten
zu den nicht medienvermittelten
Elementen (z.B. bei der Kooperation
und Kommunikation)?
• Welches Feedback erhält der Lernende
über seinen Lernerfolg?
Dabei kann nicht jede Lernumgebung alle
Bedarfe zugleich befriedigen. Insbesondere
die Frage nach Novize- bzw. Expertenstatus
des Lernenden und nach dem Grad seiner
Selbstständigkeit spielen hier eine Rolle.
Dennoch sollte man sich vor der Annahme
hüten, es gebe je nach Lernervoraussetzungen
jeweils eine ideale, auf seine Bedürfnisse
zurechtgeschnittene Lernumgebung. Eher
sollte die Umgebung dem Lernenden die
Wahl seiner Arbeitsformen in weiten Teilen
überlassen, etwa wie viel Information er sich
aus dem offenen Medium (z.B. dem Internet)
holt, wie sehr er Instruktionsphasen in Anspruch
nimmt und wie stark er die Kommuni-
32
Abb. 17: Reale und virtuelle Aspekte einer Lernumgebung
kation mit dem realen
oder virtuellen Gegenüber
in Anspruch nimmt.
Lernstile sind eher situationsspezifisch
als überdauernd,
Systeme, die
Entwicklungsmöglichkeiten
bieten, sind besser
als solche, die sich individuelleBedürfnisoptimierung
zum Ziel setzen.
Die Qualität der
Lernumgebung bemisst
sich somit danach wie
flexibel der Lerner damit
umgehen kann und wie
sehr ihn Lehrende darin
unterstützen, und auch
neue Angebote und wachsende Anforderungen
geben.
Eine derart orientierte Programmatik liegt —
zumindest den Intentionen nach — z.B. dem
bereits genannten NRW-Projekt SelGO zu
Grunde:
"Von besonderer Bedeutung für die
Entwicklung und Förderung des
selbstständigen Lernens in der Schule
ist eine Neuorientierung des Unterrichts
in Richtung offener und reichhaltiger
Lernumgebungen. Konkret bedeutet
dies u.a., dass die Lernenden
möglichst oft mit authentischen Themen
und realistischen, wenig vorstrukturierten
Aufgaben konfrontiert werden,
dass Probleme im Unterricht aus
möglichst unterschiedlichen Perspektiven
betrachtet werden und dass kooperative
Arbeitsformen zugelassen
werden. [...] Die digitalen Medien stehen
in diesem Projekt [...] im Dienste
der Förderung des selbstständigen
Lernens." (LfS 2003)
Neue Technologien eigenen sich grundsätzlich
als Werkzeuge für konstruktivistisches
Lernen. Wie jedes Werkzeug haben sie ambivalenten
Charakter. Mindest ebensoviel
Engagement muss in ihre sinnvolle Konstruktion
gesteckt werden wie in die Sorge um ihren
aufgeklärten Einsatz.
Literatur
Barabási, Albert-László (2002): Linked: The New
Science of Networks. Cambridge, MA: Perseus
Blumstengel, Astrid (1998): Entwicklung hypermedialer
Lernsysteme. Berlin: Wissenschaftlicher
Verlag Berlin. Online:

Mathematik Lernen und Lehren mit dem Internet — zwischen "instruktivistisch" und "konstruktivistisch"
dsor.uni-paderborn.de/de/forschung/
publikationen/blumstengel-diss/Gestaltungs
aspekte-hypermedialer-Lernumgebungen.html
BLK (Bund-Länder-Kommissions-Projektgruppe
"Innovation im Bildungswesen") (1997): Steigerung
der Effizienz des mathematisch-naturwissenschafltichen
Unterrichts. Heft 60 der
Reihe BLK-Dokumente:
www.blk-bonn.de/download.htm
BMBF (2002): IT-Ausstattung der allgemein bildenden
und berufsbildenden Schulen in
Deutschland. Online: www.bmbf.de/pub/
it-ausstattung_der_schulen_2004.pdf
Borneleit, Peter, Rainer Danckwerts, Hans-Wolfgang
Henn & Hans-Georg Weigand (2001):
Expertise Kerncurriculum Mathematik. In:
Heinz Elmar Tenorth (Hrsg.) (2001): Kerncurriculum
Oberstufe. Weinheim: Beltz, 26–53
Burbules, Nicholas Constantine & Thomas A. Callister
(1996): Knowledge at the Crossroads:
Some Alternative Futures of Hypertext Learning
Environments. Educational Theory. Online:
www.whitman.edu/Departments/Education/
Education.html (1.8.2003)
CTGV (Cognition and Technology Group at Vanderbilt)
(1994): Multimedia environments for
enhancing student learning in mathematics. In:
Vosniadou et al. (1994), 89–96
Döring, Nicola (1997): Lernen mit dem Internet. In:
Klimsa & Issing (1997), 305–336. S.a.
www.nicoladoering.net
Fielding, Randall (1999): The Death Of The Classroom.
www.designshare.com/Research/
Schank/Schank1.html (10/2003)
Filler, Andreas (2002): 3D-Computergrafik und
Analytische Geometrie — Vorschläge für den
Mathematikunterricht in der Sekundarstufe II.
In: Beiträge zum Mathematikunterricht 2002.
Hildesheim: Franzbecker, 163–166
Gallin, Peter & Urs Ruf (1994): Ein Unterricht mit
Kernideen und Reisetagebuch. In: mathematik
lehren 64, 51–57
Gallin, Peter & Urs Ruf (1998): Dialogisches Lernen
im Mathematikunterricht. Seelze-Velber:
Kallmeyer
Gerstenmeier, Jochen & Heinz Mandl (1995): Wissenserwerb
unter konstruktivistischer Perspektive.
In: Zeitschrift für Pädagogik 41, 867–888
Glasersfeld, Ernst von (1992): Konstruktion der
Wirklichkeit und des Begriffs der Objektivität.
in: Einführung in den Konstruktivismus. Beiträge
von Heinz von Foerster, Ernst von Glasersfeld,
Peter M. Hejl, Siegfried J. Schmidt und
Paul Watzlawick. München & Zürich: Piper
Gravemejer, K. & J. Terwel (2000): Hans Freudenthal:
A Mathematician On Didactics And Curriculum
Theory. In: Journal of Curriculum Studies
32, 777–796
Haack, Johannes (2002): Interaktivität als Kennzeichen
von Multimedia und Hypermedia. In:
Issing & Klimsa (2002), 127–136
Heintz, Bettina (2000): Die Innenwelt der Mathematik.
Wien & New York: Springer
Hentig, Hartmut von (1993): Die Schule neu denken.
München & Wien: Hanser
Hentig, Hartmut von (2002): Der technischen Zivilisation
gewachsen bleiben. Weinheim: Beltz
Issing, Ludwig J. & Paul Klimsa (Hrsg.) (2002): Information
und Lernen mit Multimedia und Internet.
Weinheim: Beltz, 3. Auflage
Klimsa, Paul (2002): Multimedia aus didaktischer
und psychologische Sicht. In: Issing & Klimsa
(2002), 7–24
Klimsa, Paul & Ludwig J. Issing (Hrsg.) (1997): Information
und Lernen mit Multimedia. Weinheim:
Beltz
Kommission der Europäischen Gemeinschaften
(2001): eEurope 2002 benchmarking: Europas
Jugend ins Digitalzeitalter. Online:
europa.eu.int/information_society/eeurope/
index_de.htm (1.8.2003)
Kubicek, Herbert (1998): Möglichkeiten und Gefahren
der "Informationsgesellschaft". Universität
Tübingen: WSI. Online:
infosoc2.informatik.uni-bremen.de/lehre/ig/
WS99-00/studienbrief/index.html (10/2003)
Kutzler, Bernhard & Vlasta Kokol-Voljc (2001):
The Next generation: Pedagogical CAS. In:
Wilfried Herget, Rolf Sommer, Hans-Georg
Weigand & Thomas Weth (Hrsg.): Medien
verbreiten Mathematik. Hildesheim: Franzbecker,
173–165
Leuders, Timo (2001): Qualität im Mathematikunterricht
der Sekundarstufe I und II. Berlin: Cornelsen
Scriptor
Leuders, Timo (2003): Mathematik als Leistung
des Gehirns — Mathematikunterricht aus der
Perspektive des Lernenden. In: Timo Leuders
(2003): Mathematik Didaktik. Berlin: Cornelsen
Scriptor, 33–47
Leuders, Timo, Burkhard Jungkamp, Stephan
Hußmann & Gerd Möller (2003): PISA 2000 —
eine neue Mathematik? Online:
www.learn-line.de/angebote/pisa
Leuders, Timo (2004): Kreatives geometrisches
Konstruieren von Szenen und Animationen mit
Ray-Tracing Software (POVRAY). In: Timo
Leuders (Hrsg.) (2004): Materialien für einen
projektorientierten Mathematik- und Informatikunterricht.
Hildesheim: Franzbecker, 17–26
LfS (Landesinstitut für Schule, Soest) (Hrsg.)
(2003): Abitur-online.nrw — Selbstständiges
Lernen mit digitalen Medien in der gymnasialen
Oberstufe. Bönen: Kettler
Lindemann, Holger & Nicole Vossler (1999): Die
Behinderung liegt im Auge des Betrachters.
Konstruktivistisches Denken für die pädagogische
Praxis. Neuwied: Luchterhand
Majewski, M. (1997): Ray tracing in the classroom.
In: International Journal of Mathematical Education
in Science and Technology 28, 211–223
Mandl, Heinz, Hans Gruber & Alexander Renkl
(1994): Knowledge Application in Complex
Systems. In: Vosniadou et al. (1994), 40–47
Mandl, Heinz, Manfred Prenzel & Gabi Reinmann-
Rothmeier (1995): Computerunterstützte Lern-
33

Timo Leuders
umgebungen: Planung, Gestaltung und Bewertung.
Erlangen: Publicis
Matheführerschein (2003): Ein Brückenkurs für
Studierende der Fachhochschule. Erstellt in
Zusammenarbeit von Universität Duisburg
(Barzel), PH Karlsruhe (Hußmann), Landesinstitut
für Schule Soest (Leuders), DFKI
Saarbrücken (Melis), FH Dortmund (Michel).
FH Dortmund. Online:
www.mathe-fuehrerschein.de
Maturana, Humberto R. & Francisco J. Varela
(1987): Der Baum der Erkenntnis. Die biologischen
Wurzeln menschlichen Erkennens. Berlin
& München: Goldmann
Meixner, Johanna (1997): Konstruktivismus und
die Vermittlung produktiven Wissens. Neuwied:
Luchterhand
NUA (2003): Internet Surveys. Online:
www.nua.ie/surveys/how_many_online/
Reich, Kersten (1998): Thesen zur konstruktivistischen
Didaktik. In: Pädagogik 98, Heft 7-8,
43–46
Schulmeister, Rolf (Hrsg.) (2001): Virtuelle Universität
— virtuelles Lernen. München: Oldenbourg
Schulmeister, Rolf (2002): Grundlagen hypermedialer
Lernsysteme. München: Oldenbourg
Schulmeister, Rolf (2003): Lernplattformen für das
virtuelle Lernen. München: Oldenbourg
Schumann, Heinz (2003): Internet und Mathematikunterricht.
Stuttgart: Klett
Seeberg, Corinna (2002): Life Long Learning. Modulare
Wissensbasen für elektronische Lernumgebungen.
Berlin: Springer
34
Spitzer, Manfred (2000): Der Geist im Netz. Heidelberg:
Spektrum
Stigler, James W. & James Hieber (1999): The
Teaching Gap. New York: Free Press
Stoll, Clifford (2001): LogOut — Warum Computer
nichts im Klassenzimmer zu suchen haben.
Frankfurt: Fischer
Tergan, Olaf-Sigmar (1997): Hypertext und Hypermedia:
Konzeptionen, Lernmöglichkeiten,
Lernprobleme. In: Klimsa & Issing (1997),
122–137
Vosniadou, Stella, Eric de Corte & Heinz Mandl
(Hrsg.) (1994): Technology-Based Learning
Environments. Berlin & Heidelberg: Springer
Watzlawick, Paul (1982): Die Unsicherheit der
Wirklichkeit. München: Piper
Weizenbaum, Joseph (1977): Die Macht der
Computer und die Ohnmacht der Vernunft.
Frankfurt: Suhrkamp
Werning, Rolf (1998): Konstruktivismus — eine
Anregung für die Pädagogik. In: Pädagogik 98,
Heft 7-8, 39–41
Wessner, Martin (2001): Software für e-learning:
Kooperative Werkzeuge und Umgebungen. In:
Schulmeister (2001), 195–219
Westermann, Bernd (2001): Wiskunde A. In: mathematik
lehren 107, 56–60
Wildt, Michael (1998): Ein konstruktivistischer
Blick auf den Mathematikunterricht. In: Pädagogik
98, Heft 7-8, 48–51
Winter, Heinrich (1995): Mathematikunterricht und
Allgemeinbildung. In: Mitteilungen der Gesellschaft
für Didaktik der Mathematik, 61, 37–46

� Mädchen, Jungen, Mathematik und Computer *
Cornelia Niederdrenk-Felgner, Nürtingen
Seit Jahren wird eine differenzierte Diskussion zum Thema "Mädchen und Mathematik"
geführt und eine ebenso weit — wenn nicht gar weiter — ausdifferenzierte Diskussion
zum Thema "Mädchen und Computer". In diesem Beitrag werden diese beiden Diskussionen
mit ihren Parallelitäten und Abweichungen skizziert. Durch die Analyse der Hintergründe
sollen darüber hinaus Perspektiven dafür aufgezeigt werden, wie ein Mathematikunterricht
unter Einbeziehung des Computers gestaltet werden kann, der Mädchen und
Jungen in gleicher Weise anspricht und ihnen beiden gerecht wird.
Vorbemerkung
"Was, Sie sind Mathematikerin? Das sieht
man Ihnen gar nicht an!"
Dieser Ausspruch, den, wie ich, jede Frau,
die sich als Mathematikerin outet, so oder
ähnlich schon gehört hat, verdeutlicht das
zentrale Problem, mit dem wir es auch heute
noch zu tun haben: Mathematik wird nach
wie vor der männlichen Lebenswelt zugeordnet.
Frauen wird die Fähigkeit für mathematisches
Denken abgesprochen. Liegt eine solche
Fähigkeit offensichtlich vor, werden
Zweifel an der Weiblichkeit geäußert, — wie
im eingangs zitierten Ausruf, der ja im übrigen
als Kompliment gemeint ist.
Ich möchte dieses Problem bezogen auf das
schulische Umfeld mit seinen Ursachen, Erklärungsansätzen
und Konsequenzen ausleuchten,
wobei ich speziell und zusätzlich
auf den Aspekt Computer im Mathematikunterricht
eingehe und damit versuche, eine
Brücke zwischen den beiden GDM-Arbeitskreisen
"Mathematikunterricht und Informatik"
und "Frauen und Mathematik" zu schlagen.
Problemfelder
Wenden wir uns zunächst der Mathematik
zu: Wo gibt es überhaupt ein Problem?
Hier haben wir es mit einem quantitativen
Problem zu tun: Frauen sind nach wie vor innerhalb
der Mathematik unterrepräsentiert, in
allen Bereichen und bei steigender Qualifikation
in wachsendem Maße. In früheren Zeiten
war das nicht weiter verwunderlich, hatten
doch Mädchen und Frauen kaum Zugang zu
mathematischer Bildung. Heute jedoch ha-
* Dieser Text ist eine stark gekürzte Überarbeitung von (Niederdrenk-Felgner 1998) und (2001).
ben Frauen die gleichen Zugangsmöglichkeiten
zur Mathematik wie Männer, jedenfalls
formal. Und mehr noch: Mathematik ist
Pflichtfach in der Primarstufe und in der Sekundarstufe
I, somit haben wir hier eine garantierte,
gleiche Beteiligung von Mädchen
und Jungen. Differenzierungen können sich
erst zeigen, wenn Wahlmöglichkeiten bestehen,
also frühestens im Kurssystem der
Oberstufe. Tatsächlich sehen wir dort bereits
geschlechtsspezifisches Wahlverhalten:
Nach wie vor haben wir eine geringere Beteiligung
der Mädchen an den Leistungskursen
in Mathematik.
Gravierender ist jedoch, dass sich diese Tendenz
der Mädchen, trotz formal gleicher
Chancen die Bildungsangebote in Mathematik
weniger zu nutzen, als Jungen dies tun,
im Berufswahlverhalten fortsetzt. Sowohl bei
der Wahl der Ausbildungsberufe, als auch
bei der Wahl der Studienfächer lassen sich
immer noch sehr deutliche, geschlechtstypische
Unterschiede feststellen, die unter anderem
auch mit der Vermeidungsstrategie
der Mädchen gegenüber Mathematik, den
harten Naturwissenschaften und Technik zusammenhängen
(vgl. Abb. 1 und 2).
Neben diesem quantitativen Problem haben
die neueren Leistungs-Studien auch ein qualitatives
Problem aufgezeigt: Die Ergebnisse
der IGLU-Studie zeigen schon zum Ende der
vierten Jahrgangsstufe Kompetenzunterschiede
zu Gunsten der Jungen in Mathematik,
zu Gunsten der Mädchen im Lesen (Bos
u.a. 2003, 281ff). Die Ergebnisse von TIMSS
haben sowohl für die 8. Jahrgangsstufe, als
auch für die Abschlussklassen gezeigt, dass
die Jungen in Mathematik im Durchschnitt
deutlich besser abschneiden als die Mädchen
(Baumert u.a. 1998).
Wenden wir uns jetzt speziell dem Computer
zu. Auf welche Probleme stoßen wir hier?
35

Cornelia Niederdrenk-Felgner
Bei der Nutzung von Computern scheint es
zunächst kein quantitatives Problem zu geben:
Computer sind in allen Lebensbereichen
inzwischen präsent, werden von Frauen und
Männern in gleicher Weise genutzt, sowohl
im beruflichen, als auch zunehmend im privaten
Bereich. Schaut man jedoch den engeren
Bereich der Informatik an, so müssen wir hier
eine ähnliche Unterrepräsentanz von Frauen
feststellen, wie wir sie in der Mathematik vorfinden.
Der Frauenanteil bei den Informatik-
Studierenden ist nach einem Stand von immerhin
20% in den 70er Jahren auf ca. 10%
abgefallen. Es ist nicht ganz einfach, an entsprechende
Zahlen für das Wahl-Fach Informatik
an den Schulen zu kommen. Aus einer
Erhebung im Großraum Stuttgart in den Jahren
1990 bis 1992 ergab sich, dass 55% der
Jungen aber nur 18% der Mädchen in der
Klassenstufe 12 das Fach Informatik wählten.
Ähnliche Tendenzen sind aus anderen
Bundesländern bekannt.
Von diesem quantitativen Unterschied möchte
ich zu einen qualitativen Unterschied im
Verhalten von Mädchen und Jungen gegenüber
dem Computer übergehen.
Mädchen haben heute zwar gleiche Zugangsmöglichkeiten
zum Computer und nutzen
ihn weitgehend mit der gleichen Selbstverständlichkeit,
wie Jungen dies tun. Sie
scheinen jedoch weniger bereit zu sein, sich
mit dem Computer an sich zu beschäftigen
und nutzen ihn mehr als Werkzeug.
36
Agrar-, Forst-, Ernährungswis.
Sprach-, Kulturwis., Sport
StudienanfängerInnen 2001/02
insgesamt
Ingenieurwis.
Mathem., Naturwis.
Recht-, Wirtschafts-
&Sozialwis.
Medizin
Kunst, Kunstwis.
0 25 50 75 100
Zusammensetzung einzelner Fachrichtungen
Frauen
Männer
Abb. 1: Verteilung der Studienanfängerinnen und -anfänger an deutschen Hochschulen 2001/2002. Daten
entnommen aus: GEW Gender-Report 2003
Die folgenden Ergebnisse der zahlreichen
Untersuchungen vor allem aus den 1990er
Jahren — damals zum Thema "Mädchen und
Computer" — haben auch heute noch Gültigkeit.
� Engagement und Interesse von Mädchen
und Jungen sind im Fall des Computers
sehr unterschiedlich ausgeprägt.
� Jungen verbringen einen wesentlich größeren
Teil ihrer Freizeit am Computer (bis
zu 40 Stunden/Woche, also eine volle Arbeitswoche!).
� Im Vorwissen gibt es teilweise sehr große
Unterschiede.
� Die Aufteilung in (vermeintliche) Experten
und Unwissende verläuft nahezu nach
den Geschlechtern: männliche Hacker,
weibliche Laien.
Die Problemfelder lassen sich folgendermaßen
zusammenfassen:
Sowohl gegenüber Mathematik, als auch in
der Auseinandersetzung mit dem Computer
können wir eine distanziertere Haltung der
Frauen und Mädchen beobachten, die sich in
einer entsprechenden Unterrepräsentanz
niederschlägt.
Qualitativ sehen wir Leistungsunterschiede in
Mathematik und Unterschiede im Ausmaß
des Interesses am Computer.
Ich muss auf die Bedeutung mathematischer
und informatischer Bildung als Schlüsselqua-

them., Naturwis.
15%
Ingenieurwis.
7%
Ingenieurwis.
27%
Mathem.,
Naturwis.
24%
andere
7%
Frauen
andere
12%
Männer
Recht-, Wirtschafts-
&Sozialwis.
35%
Sprach-,
Kulturwis.,
Sport
12%
Recht-,
Wirtschafts-
&Sozialwis.
30%
Sprach-, Kulturwis.,
Sport
31%
Abb. 2a, b: Aufteilung der Studienanfängerinnen
und -anfänger an deutschen Hochschulen 2001/
2002 auf ausgewählte Fächergruppen. Daten entnommen
aus: GEW Gender-Report 2003
lifikation für fast alle Berufszweige hier nicht
weiter eingehen. Auch nicht auf die Bedeutung
insbesondere der Mathematiknote als
Selektionsmittel in der schulischen Karriere.
Vor diesem Hintergrund wird jedoch die Frage
brisant, warum Mädchen und junge Frauen
einerseits scheinbar aus freien Stücken
ihre Chancen verpassen, indem sie sich
schon frühzeitig in der Schule gegen eine
weitergehende Auseinandersetzung mit dem
Fach Mathematik bzw. Informatik entscheiden.
Andererseits gibt zu denken, dass die
geschlechtstypischen Unterschiede in anderen
Ländern wesentlich geringer sind bzw. zu
Gunsten der Mädchen ausfallen.
So stellt sich also die Frage: Könnte es sein,
dass der Unterricht die Mädchen weniger erreicht?
Bevor diese Frage beantwortet werden
kann, muss man sich mit dem Bild auseinandersetzen,
das in der Öffentlichkeit von
Mathematik und im etwas weiteren Sinne von
Technik herrscht.
Mädchen, Jungen, Mathematik und Computer
Bilder in der Öffentlichkeit
Einen ersten Eindruck vom herrschenden
Mathematik-Bild erhalte ich z. B., wenn ich irgendjemandem
erzählen, dass ich Mathematikerin
bin. Alle Mathematikerinnen und Mathematiker
kennen die mit großer Sicherheit
abwehrende Reaktion, die dann noch meist
mit Kommentaren zur Schulnote angereichert
wird.
Mathematik wird in ihrer Abstraktheit wahrgenommen
als realitätsfern, wenig kommunikativ
und manchmal auch mysteriös. Zwar
finden wir einen kleinen Kreis von Menschen,
die für Mathematik begeistert sind und mit
leuchtenden Augen darüber reden. Wir finden
auf der anderen Seite jedoch eine viel
größere Gruppe, die der Mathematik skeptisch
bis ablehnend gegenübersteht. Kaum
ein anderes Wissensgebiet ruft solch gegensätzliche
Reaktionen hervor.
Welche Vorstellungen und Erfahrungen liegen
diesen merkwürdigen Reaktionen zugrunde?
Die Übertragbarkeit und Relevanz
für das tägliche Leben sind im Falle der Mathematik
— sieht man einmal von reinen Rechentechniken
ab — nur schwer nachzuvollziehen
und reduzieren sich selbst für diejenigen,
die Mathematik im späteren Berufsleben
benötigen, oftmals auf die Anwendung bestimmter,
rezeptartiger Verfahren. Im Gegensatz
zu dieser stark instrumentalisierten und
damit in gewissem Sinne leichten Anwendung
gilt das Fach selber als schwer und anspruchsvoll.
Mathematik gilt als Prototyp einer
abstrakten, objektiven und unpersönlichen
Wissenschaft, deren Gedankenpfaden
nur noch wenige Experten folgen können und
deren Inhalte und Methoden den Laien kaum
vermittelt werden (können).
Die Haltung der meisten Menschen gegenüber
Mathematik lässt sich beschreiben als
eine Mischung aus Respekt und Hochachtung
gegenüber dem Nutzen der Mathematik,
der jedoch nicht genauer gefasst werden
kann, und einer ablehnenden bis ängstlichen
Einstellung, die vielfach auf persönliche
Misserfolgserlebnisse im Verlauf der Schulzeit
zurückgeführt werden kann.
Personen, die Mathematik betreiben, wird mit
einer entsprechenden Mischung aus Voreinstellungen
begegnet. Sie müssen nach Ansicht
der Öffentlichkeit zunächst einmal von
besonderer Intelligenz sein. Aus Erfahrungen
mit solchen Menschen oder vielleicht auch
als Kompensation für das Zugeständnis großer
Intelligenz wird Mathematikern aber auch
eine gewisse Eigenartigkeit und Schrulligkeit
37

Cornelia Niederdrenk-Felgner
zugeschrieben. Sie gelten als ernst, ein wenig
weltfremd, nicht sehr gesellig, tragen
zwei verschiedene Schuhe und treten "in der
Öffentlichkeit meist mit einem verlorenen
Schirm in jeder Hand auf" (Pólya 1980, 94).
Natürlich entsprechen nicht alle Mathematiker
diesem Klischee. Es gibt aber genügend
Wissenschaftler, die dieses Image — bewusst
oder unbewusst — pflegen und damit
durchaus kokettieren.
Anekdoten über skurrile Mathematikprofessoren
gibt es zuhauf und werden gerade von
Mathematikern mit einiger Lust weitergetragen.
Die zumeist männlichen Handlungsträger
solcher Geschichten werden vielleicht
belächelt; sie werden aber trotzdem geachtet
und — als Fachleute — respektiert.
Dieser klischeebehaftete Mathematiker ist
männlich: Mit dem gängigen Frauenbild ist
der Typ des zerstreuten Professors nicht
vereinbar. Einer Frau mit ähnlich schrulligen
Merkmalen würde nicht mehr mit einem
wohlwollenden Lächeln begegnet; — sie würde
gnadenlos lächerlich gemacht. Personenmerkmale,
die mit Mathematik verbunden
werden, sind auch für Männer nicht unbedingt
positiv. Eine Frau mit solchen Merkmalen
ist nicht nur eine Witzfigur, sie wird in ihrer
Rolle als Frau unmöglich gemacht.
Positive Leitbilder für Frauen, die Mathematik
betreiben, gibt es wenige. Häufiger treffen wir
auf einen negativ belegten Zusammenhang
zwischen Frauen und Mathematik.
Wie sieht es mit dem Bild von Technik in unserer
Gesellschaft aus?
Technik ist im Prinzip ein eher positiv besetzter
Bereich, der jedoch ganz stark der männlichen
Lebenswelt zugeordnet wird. Umgekehrt
weisen die tradierten Rollenbilder eine
starke Kopplung von Technik und Männlichkeit
sowie eine weitgehende Unvereinbarkeit
von Weiblichkeit und Technik auf. Wir
treffen hier auf die gleichen Vorurteile, wie
bei der Mathematik:
Nicht-Umgehen-Können und Desinteresse
werden als Defizit, Kompetenz und Interesse
für Technik dagegen werden als Abweichung
vom erwarteten Rollenverhalten angesehen.
In beiden Fällen wird das Verhältnis der Frau
zur Technik als Abweichung von einer —
durch Männer festgesetzten — Norm bewertet.
Mit der männlichen Lebenswelt und den zugehörigen
Rollenvorstellungen wird Technik
dagegen eng verbunden. Männern wird weitgehende
Kompetenz zugeschrieben, technische
Berufe passen zum Rollenbild. Männer
38
werden aber nicht auf eine Ausrichtung auf
Technik festgelegt. Auch Männer ohne Technikinteresse
werden akzeptiert, der Mann mit
den beiden linken Händen z.B. Ihnen wird
das ganze Spektrum zugestanden — von der
Faszination bis zur Ablehnung — und ihr
Verhalten wird respektiert.
Anders als Mathematik ist Technik — wie ja
auch der Computer — in unserem täglichen
Leben allgegenwärtig. Der wesentliche Unterschied
zwischen dem Verhältnis von Frauen
bzw. Männern zur Technik lässt sich folgendermaßen
fassen:
Männer werden als Entwickler von Technik
gesehen.
Frauen werden als Bedienerinnen von Technik
gesehen.
Technik beginnt erst, wenn man den Schraubenzieher
in die Hand nimmt. Das Umgehen
mit Technik — was Frauen ja durchaus tun
und zwar gut und kompetent — wird nicht als
Technikkompetenz anerkannt. Und deshalb
dürfen technischen Geräte aus dem Lebensbereich
der Frauen auch nicht nach Technik
aussehen, im Gegensatz zu entsprechenden
Geräten für Männer.
Zusammenfassung der Bilder von Mathematik
und Technik in der Öffentlichkeit:
Mathematik
� gilt als wichtig,
� hat aber scheinbar wenig mit dem Alltag
zu tun,
� gilt als schwierig und mysteriös,
� ist für viele Menschen negativ besetzt,
� wird der männlichen Lebenswelt zugeordnet.
Technik
� gilt als wichtig und ist überall präsent,
� ist für viele Menschen eher positiv besetzt,
� wird von Männern entwickelt und von
Frauen bedient.
Computer sind nicht mit Technik gleichzusetzen,
sie werden aber natürlich auch als technisches
Gerät und zur Technik gehörig wahrgenommen.
Und der technische Aspekt des
Computers wird dann auch der männlichen
Lebenswelt zugeordnet.
Soviel zu den vorherrschenden Bildern. Sie
dienen als Folie, vor der die folgenden Erklärungsansätze
zu sehen sind.

Erklärungsansätze
Unterschiede in der Einstellung gegenüber
Mathematik spiegeln sich einerseits in der
oben erwähnten Unterrepräsentanz von
Frauen innerhalb der Mathematik wider und
andererseits in der gängigen Zuordnung von
Mathematik zur männlichen Lebenswelt. Diese
beiden Aspekte sind nicht unabhängig
voneinander, sondern verstärken sich in einem
Teufelskreis gegenseitig: Die Unterrepräsentanz
der Frauen trägt mit dazu bei,
dass Mathematik als "männlich" angesehen
wird, diese Zuordnung hält wiederum Frauen
davon ab, sich intensiver damit auseinander
zu setzen.
Eine Reihe von Untersuchungen ist der Frage
nachgegangen, wie dieser Teufelskreis zu
durchbrechen ist. Das Forschungsinteresse
umfasste den gesamte Bereich Naturwissenschaft,
Mathematik und Technik. Als Beispiel
für eine sehr frühe Arbeit zu diesem Thema
sei die Untersuchung von Ilse Brehmer, Hildegard
Küllchen & Lisa Sommer (1989) genannt.
Sie untersuchten die Gründe für das
geschlechtstypische Verhalten bei der Fächerwahl
für die Leistungskurse in der Oberstufe
und fragten nach den Bedingungen, unter
denen "typische" bzw. "untypische" Wahlen
getroffen werden. In ihren Interviews stießen
sie auf die folgenden geschlechtstypischen
Unterschiede, die Rückschlüsse insbesondere
auf unterschiedliche Einstellungen
gegenüber dem Fach Mathematik zulassen:
Mädchen, die sich für einen Leistungskurs
Mathematik entschieden, und insbesondere
solche, die sich besonders für Mathematik
und Naturwissenschaften interessierten, gaben
deutlich seltener Studien- oder Berufswünsche
als Hauptmotiv an als Jungen. Jungen
wiesen dagegen ganz selbstverständlich
auf die Nützlichkeit der gewählten Fächer für
bestimmte Berufe hin. Nach Ansicht der Forscherinnen
deutet diese Tendenz auf einen
eklatanten Mangel an Vorbildern und antizipierten
Berufsmöglichkeiten für Frauen in
den mathematisch-naturwissenschaftlichen
Bereichen hin. Dieser Eindruck wird in der
schulischen Umgebung verstärkt: Ein Blick
auf die Lehrerschaft zeigt, dass der Frauenanteil
für das Fach Mathematik — immer
noch — gering ist. Nach Angaben des Statistischen
Landesamtes Baden-Württemberg
(Stand September 1991) betrug der Anteil
der männlichen Lehrkräfte für Mathematik an
Gymnasien insgesamt 80% (74% Vollzeit,
6% Teilzeit); der Anteil der Frauen betrug
entsprechend 20% (7% Vollzeit, 13% Teil-
Mädchen, Jungen, Mathematik und Computer
zeit). Diese Zahlen sind in ihrer krassen Ausprägung
sicherlich nicht repräsentativ für die
gesamte Bundesrepublik, tendenziell sind sie
jedoch verallgemeinerbar.
Für die Gruppen mit untypischem Wahlverhalten
war weiterhin bemerkenswert, dass
den Lehrkräften offensichtlich eine wichtige
Rolle zukam. Diese Möglichkeit, durch Beratung
und Ermunterung Einfluss zu nehmen,
sollte demnach nicht unterschätzt werden.
Für mathematisch-naturwissenschaftlich orientierte
Mädchen spielte außerhalb der
Schule die Unterstützung vor allem des Vaters
eine wesentliche Rolle bei einer untypischen
Leistungskurswahl.
Insgesamt stellte sich schulischer Erfolg als
zentrales Motiv für die Leistungskurswahl
heraus. Dieser wurde allerdings von Jungen
und Mädchen in Bezug auf das eigene Leistungsvermögen
unterschiedlich interpretiert.
Lernerfolge führten bei Jungen eher zur Ausbildung
eines stabilen und positiven Selbstkonzepts
als bei Mädchen. Mädchen verfügten
trotz der eigenen hohen Leistungsanforderungen
über kein ungebrochenes Selbstbewusstsein
und Selbstvertrauen, beurteilten
sich selbst kritischer und neigten eher dazu,
die eigenen Fähigkeiten zu unterschätzen.
Jungen dagegen stellten sich häufig eher zu
positiv dar. Diese Befunde decken sich mit
den Ergebnissen von Langzeitstudien zum
Erwerb von Selbstvertrauen in der schulischen
Sozialisation (vgl. Horstkemper 1987).
Zur Erklärung dieser Unterschiede werden
Ergebnisse der Attributionsforschung herangezogen.
Hier hat sich gezeigt, dass Mädchen
bezüglich ihrer Leistungen in Mathematik
und Naturwissenschaften signifikant häufiger
als Jungen Erfolge auf Glück zurückführen
und Misserfolge durch mangelnde Begabung
erklären.
Diese ungünstige Ursachenzuschreibung —
Erfolg wird durch eine äußere und instabile
Ursache, Misserfolg durch eine persönliche
und unveränderbare, stabile Ursache erklärt
— führt zu Vermeidungsstrategien, dadurch
zu weiteren Misserfolgen, und erweist sich
damit über längere Sicht als selbsterfüllende
Prophezeiung (vgl. dazu Beerman, Heller &
Menacher 1992).
Wir können festhalten, dass Mädchen im allgemeinen
ein geringeres Selbstvertrauen in
ihre mathematischen Fähigkeiten und Leistungen
zeigen. Dies wirkt sich wiederum negativ
auf die Motivation aus, sich eingehender
damit auseinanderzusetzen. Diese Haltung
der Mädchen fügt sich schließlich stimmig
in das vorherrschende Bild ein: Ihnen
39

Cornelia Niederdrenk-Felgner
wird von vornherein weniger zugetraut, ihr
"Versagen" wird nicht nur toleriert, sondern
als "natürlich" gegeben hingenommen.
Für die Jugendlichen kommt der Auseinandersetzung
mit den Rollenbildern in der Zeit
der Pubertät besondere Bedeutung zu. Die
Attribute von Weiblichkeit und Männlichkeit
werden von ihnen verinnerlicht und sie wollen
den Vorstellungen in der Regel möglichst
gut entsprechen.
Für Mädchen heißt das in erster Linie: attraktiv
für das andere Geschlecht sein; für Jungen
Stärke und Überlegenheit zeigen.
Bettina Hannover (1992) hat analysiert, in
welcher Weise sich die Auseinandersetzung
mit den Rollenbildern auf die Interessenentwicklung
bei Jugendlichen in der Pubertät
auswirkt. Dazu untersuchte sie vergleichend
in koedukativen Klassen und in reinen Mädchenklassen
die Bedingungen, unter denen
Mädchen sich für als "unweiblich" geltende
Fächer entschieden. Als zentralen Begriff
verwendet sie dabei das spontane Selbstkonzept
einer Person. Damit wird beschrieben,
welche Aspekte der eigenen Person in
einer gegebenen Situation abweichend, neu
oder auf andere Weise besonders hervorgehoben
sind. Ihre Ergebnisse sprechen dafür,
dass Mädchen, die im Unterricht das spontane
Selbstkonzepts der eigenen Geschlechtszugehörigkeit
aktivieren, eher weniger Interesse
für typische "Jungenfächer" entwickeln.
Da dieses Selbstkonzept durch die Anwesenheit
männlicher Klassenkameraden stärker
aktiviert wird als in reinen Mädchenklassen,
schlägt sie beispielsweise in den mathematisch-naturwissenschaftlichen
Fächern die
Trennung in geschlechtshomogene Gruppen
als eine Möglichkeit vor, diesen auf die Mädchen
sich negativ auswirkenden Einflussfaktor
auszuschalten.
Nicht zuletzt als Reaktion auf diese Forschungsergebnisse
ist in den letzten Jahren
vielfach mit der zeitweisen Aufhebung der
Koedukation experimentiert worden.
Speziell für das Fach Mathematik liegt eine
empirische Untersuchung zur Auswirkung eines
zeitweise monoedukativ durchgeführten
Unterrichts vor (Nyssen, Ueter & Strunz
1996). Im Rahmen des BLK-Modellversuchs
"Zur Förderung von Selbstfindungs- und Berufsfindungsprozessen
von Mädchen in der
Sekundarstufe I" wurde an einer der beteiligten
Gesamtschulen über die Klassenstufen 7
bis 9 Mathematik monoedukativ unterrichtet.
Die Auswertung der Unterrichtsbeobachtungen
sowie der Vergleich der monoedukativen
und koedukativen Unterrichtssituationen be-
40
stätigten die oben genannten Forschungsergebnisse.
Die Mädchen in der monoedukativ
unterrichteten 9. Jahrgangsstufe entwickelten
großes inhaltliches Interesse am Fach und
arbeiteten sehr konstruktiv und mit Freude
mit. Hinzu kommt, dass sie sich eine sehr ruhige
und konzentrierte Arbeitsatmosphäre
schafften, die sich deutlich von der eher konkurrenz-betonten
Atmosphäre in der Jungengruppe
unterschied. Noch wichtiger erscheinen
mir die Ergebnisse aus der Beobachtung
der wieder zusammengeführten 10. Jahrgangsstufe.
Nach einer anfänglichen Zurückhaltung
der Mädchen war im weiteren Verlauf
feststellbar, dass die Mädchen ihr Selbstbewusstsein
in die eigenen Kompetenzen behielten
und sich mit ihrem Sozialverhalten im
Unterricht nicht nur gegenüber den Jungen
durchsetzten, sondern sogar die gesamte
Unterrichtssituation positiv beeinflussten.
Ähnliche positive Effekte werden beim Einsatz
des Computers — z.B. im Rahmen des
ITG-Unterrichts — mit zeitweise getrennten
Gruppen berichtet. Allerdings muss davor gewarnt
werden, in der rein organisatorischen
Maßnahme des getrennten Unterrichts die
Lösung eines pädagogischen Problems zu
sehen.
Ich habe unterschiedliche Einflussfaktoren
aufgezeigt, die sich auf die Mädchen und ihre
Einstellung zur Mathematik eher negativ auswirken.
Eine genaue Wirkungsanalyse, die
auch Rückschlüsse auf die Leistungsunterschiede
zulässt, liegt mit der Promotion von
Carmen Keller vor, die ich abschließend zu
diesem Teil in Kürze skizzieren möchte.
Carmen Keller befragte in der Deutschschweiz
parallel zu TIMSS ca. 6600 Schülerinnen
und Schüler der Klassenstufen 6 bis 8
über ihr Interesse an Mathematik, das
Selbstvertrauen in die eigene Leistungsfähigkeit,
ihre Beteiligung am Unterricht sowie die
Geschlechter-Stereotypisierung von Schulfächern
(Keller 1997 & 1998). Dieser letzte
Fragenkomplex wurde auch den Lehrkräften
vorgelegt. Die Ergebnisse der ersten Auswertung
dieser Fragebogen bestätigen im
Wesentlichen allgemein zu beobachtenden
Tendenzen: Mädchen zeigen ein signifikant
geringeres Interesse an Mathematik als Jungen,
und ihr Selbstvertrauen in Mathematik
ist deutlich geringer als das der Jungen.
Mädchen wie Jungen betrachten — mit zunehmender
Klassenstufe zunehmend — Mathematik
als männliche Domäne. Die Lehrpersonen
ordnen Mathematik sogar in noch
stärkerem Ausmaß der männlichen Lebenswelt
zu.

Carmen Keller hebt hervor, dass diese Stereotypisierung
der Mathematik für Mädchen
und Jungen nicht das Gleiche bedeutet. Jungen
ordnen Mathematik dem eigenen, Mädchen
dagegen dem anderen Geschlecht zu.
Die Identifikation mit Mathematik ist für Mädchen
— vor allem mit einsetzender Pubertät
— damit viel schwieriger als für Jungen. Aus
lernpsychologischer Perspektive können daraus
wiederum negative Auswirkungen auf die
Lern- und Leistungsvoraussetzungen resultieren.
Diese These überprüft Keller, indem
sie die Wirkungszusammenhänge der einzeln
erhobenen Merkmale einer Mehrebenen-Analyse
unterzieht.
In dem hier betrachteten Zusammenhang
sind zwei Ergebnisse besonders hervorzuheben:
"Die Analysen haben gezeigt, dass das
Selbstvertrauen in die eigene Mathematikleistungsfähigkeit
die Geschlechterdifferenzen
in den Mathematikleistungen vollständig
erklärt. Die Mädchen erreichen
schlechtere Leistungen, weil sie in der
Mathematik ein schlechteres Selbstvertrauen
haben (...) Außerdem hat die Stereotypisierung
von Mathematik als männliche
Domäne der Mädchen und Knaben
einen signifikanten Effekt auf ihre Leistungen:
Mädchen, die Mathematik weniger
als männliche Domäne betrachten und
Knaben, die Mathematik mehr als männliche
Domäne betrachten, haben bessere
Leistungen.
(...)
In der vorliegenden Arbeit wurde nicht nur
untersucht, wie die Unterschiede in der
Mathematikleistung erklärt werden können,
sondern auch, weshalb die Mädchen
ein schlechteres Selbstvertrauen, ein geringeres
Interesse und eine geringere Zuschreibung
der Mathematik zum eigenen
Geschlecht haben als die Knaben. Die
Stereotypisierung von Mathematik als
männliche Domäne erwies sich als wichtigster
Grund für das schlechtere Selbstvertrauen
und das geringere Interesse der
Mädchen. (...) Darüber hinaus ist das
Selbstvertrauen der Mädchen auch deshalb
schlechter, weil sie weniger Erwartungen
von den Lehrpersonen wahrnehmen
und weil die Lehrpersonen Mathematik
als männliche Domäne stereotypisieren
und deshalb ebenfalls eher den Knaben
zuschreiben.
(...)
Dass die Mädchen Mathematik dem eigenen
Geschlecht viel weniger zuschreiben
als die Knaben, ist unter anderem auch
durch die Lehrpersonen bedingt: Mäd-
Mädchen, Jungen, Mathematik und Computer
chen nehmen von der Lehrperson weniger
Erwartungen wahr, und sie übernehmen
die Stereotypisierung der Lehrperson,
Mathematik sei eine männliche Domäne."
(Keller 1998, 146ff)
Mit dieser Arbeit wird einerseits eine fundierte
Analyse der verschiedenen Einflussfaktoren
und ihrer Wechselwirkung vorgelegt. Andererseits
zeigen die Ergebnisse aber auch
auf, wo eines der Kernprobleme liegt: im stereotypen
Bild von Mathematik als der männlichen
Lebenswelt zugehöriger Bereich.
Aus den Untersuchungen zum Einsatz des
Computers im Unterricht kann man an dieser
Stelle ergänzen, dass diese Tendenz durch
den Computer noch zusätzlich verstärkt werden
kann, wenn dieser in erster Linie als
technisches Gerät und mit den entsprechenden
Stereotypen behaftet wahrgenommen
wird (vgl. hierzu insbesondere Sinhart-Pallin
1990, Schründer-Lenzen 1995).
Blick in den Mathematik-
unterricht
Sowohl die Methoden und Interaktionen, als
auch die Inhalte des Unterrichts aller Fächer
sind im Rahmen der Koedukationsdebatte
kritisiert worden.
Für den Mathematikunterricht möchte ich nur
einige Kritikpunkte nennen:
Kennzeichnend für den Mathematikunterricht
in den Sekundarstufen ist das Unterrichtsgespräch:
Geleitet durch Fragen der Lehrperson
werden die Inhalte gemeinsam in der
Klasse erarbeitet. Diese Unterrichtsform führt
teilweise zu einer hoch entwickelten Kommunikationskultur
und zu niveauvollen Gesprächen
zwischen Lehrperson und Schülerinnen
und Schülern. Andererseits birgt sie jedoch
auch die Gefahr, dass aus dem Gespräch eine
Art "Frage-und-Antwort-Spiel" wird, das
nach bestimmten, allen Beteiligten bekannten
Regeln verläuft und stark auf die Lehrperson
zentriert ist. Die gestellten Fragen sind
keine echten Fragen, da die fragende Person
die Antworten bereits weiß, ganz bestimmte
Antworten erwartet und in ihren Rückmeldungen
die Antworten häufig jeweils als
falsch oder richtig bewertet. Die Schülerinnen
und Schüler spielen dieses Spiel mit und
wissen auch, dass es sich um eine Art Spiel
und nicht um ein echtes Gespräch handelt.
Natürlich ist ein solcher Unterrichtsstil auch
in anderen Fächern verbreitet. Für die Mathematik
erscheint er jedoch vermutlich des-
41

Cornelia Niederdrenk-Felgner
halb besonders geeignet, als hier im Rahmen
des Gespräch ähnlich wie in einem mathematischen
Beweis schrittweise Folgerungsketten
aufgebaut werden. Persönliche Einschätzungen
und narrative Elemente haben
bei einem solchen Vorgehen wenig Raum.
Die starr erscheinenden Unterrichtsformen in
Mathematik untermauern und festigen noch
das Bild von einer starren Wissenschaft, in
der eigentlich schon Alles bekannt ist, für die
stures Befolgen gewisser Strategien zum Erfolg
führt, in der die Lehrperson immer alles
(besser) weiß und immer unerreichbar überlegen
sein wird.
Geschlechtsspezifische Unterschiede in der
Reaktion auf den üblichen kleinschrittigen
Unterrichtsstil hat Helga Jungwirth (1990) in
einer Fallstudie untersucht. Ihre Beobachtungen
deuten darauf hin, dass Jungen sich auf
diese Art Unterricht bereitwilliger einlassen
und die dafür angemessenen Handlungsweisen
besser beherrschen als Mädchen. Damit
entsprechen die Jungen auch besser den Erwartungen
der Lehrpersonen, die ja ebenfalls
auf diesen Unterrichtsstil eingestellt sind.
Die beobachtbaren Unterschiede in den Verhaltensweisen
von Mädchen und Jungen insbesondere
beim Einsatz des Computers erklärt
Jungwirth schließlich mit den unterschiedlichen
"sozialen Welten", in denen
Mädchen und Jungen sich jeweils bewegen
— und wohl fühlen:
"Die zentrale Idee der Erklärung ist, dass
Mädchen und Buben über jeweils spezifische
Gewohnheiten, Gesprächssituationen
zu gestalten, verfügen. Das heißt, sie
sind gewohnt, bestimmte sprachliche
Handlungen zu setzen und — damit in Zusammenhang
— Gesprächsthemen in einer
bestimmten Art und Weise zu behandeln.
Mit diesen Gewohnheiten gehen sie
auch an das Geschehen im Computerunterricht
heran. (...) Zusammenfassend
lässt sich sagen: Es wird von einer sozialen
Welt der Mädchen und einer sozialen
Welt der Buben ausgegangen, in denen
die beiden Geschlechter unterschiedliche
Handlungsweisen, unterschiedliche Vorstellungen
von einer "normalen" Behandlung
eines Themas und damit auch von
einem "normalen" Interaktionsverlauf im
Unterricht erwerben.
(...)
Die soziale Welt der Mädchen lässt sich
mit den Begriffen "Nähe" und "Intimität"
charakterisieren. In dieser Welt lernen die
Mädchen vor allem, enge, auf Gleichheit
basierende Beziehungen aufzubauen
bzw. aufrecht zu erhalten. Dazu ist es er-
42
forderlich, sich intensiv mit den Gedanken
anderer auseinanderzusetzen, zu kooperieren
und gemeinsam die gemeinte Bedeutung
von Äußerungen zu erschließen.
Ebenso ist es aber für die Mädchen nötig,
sich selbst genau zu überlegen, was sie
ihrem Gegenüber sagen und was nicht.
Erforderlich ist also auch die Entwicklung
der Fähigkeit, Probleme allein für sich
selbst zu durchdenken.
(...)
In der sozialen Welt der Buben geht es
vornehmlich um Selbstdarstellung. (...)
Buben lernen also, sich selbst gut darzustellen
und dabei neuen Anforderungen
schnell zu begegnen. Ebenso lernen sie,
spontan Einwürfe zu machen und Randbemerkungen
anzubringen, mit denen sie
die Aufmerksamkeit anderer auf sich ziehen
können. (...) Dies bedeutet, dass sich
Eindenken in ein Problem, es von allen
Seiten zu betrachten, um es möglichst
vollständig zu verstehen, nicht zu dem gehört,
was in der Bubenkultur in besonderem
Maß gelernt wird." (Jungwirth 1994,
45f)
Bestätigung findet der Ansatz von Jungwirth
durch eine neuere Untersuchung, die Sylvia
Jahnke-Klein (2001) im Rahmen ihrer Promotion
durchgeführt hat. Sie hat genauer
analysiert, unter welchen Bedingungen sich
jeweils Mädchen und Jungen im Mathematikunterricht
wohl fühlen, was sie für einen
guten Mathematikunterricht halten. Bei den
Mädchen konnte sie ein deutlich größeres Sicherheitsbedürfnis
feststellen. Sie wollten
langsam vorgehen, viele Übungen zum gleichen
Thema machen, auch wenn sie die
Techniken bereits beherrschten. Den Jungen
fiel dagegen ein längeres Verbleiben am selben
Thema schwerer. Sie strebten stärker
nach Abwechslung, unabhängig davon, ob
das Thema bereits verstanden und beherrscht
war oder nicht. Diese Tendenzen
sind natürlich nicht unproblematisch, und es
kann nicht darum gehen, den — auch wieder
stereotypen — Wünschen einfach nachzukommen.
Wichtig erscheint hier vielmehr,
diese Wünsche in ihrer Unterschiedlichkeit
überhaupt erst einmal wahrzunehmen, um
dann damit reflektiert umgehen zu können.
Unabhängig davon, dass sich nach den vorliegenden
Untersuchungen insbesondere
Mädchen von einem solchen Unterrichtsstil
weniger angesprochen fühlen als Jungen,
spiegelt sich in diesem kleinschrittigen und
engen Kommunikationsmuster auch eine reduzierte
Sichtweise auf die "objektiven" Inhalte
wider, die für das Lernen von Mathematik
und das Entwickeln eines Verständnisses

für dieses Fach keineswegs förderlich ist. Für
Diskussionen mit Meinungsbildung und Aushandeln
von Gesprächsergebnissen scheint
auf den ersten Blick im Mathematikunterricht
wenig Bedarf zu bestehen. Die Argumentation
läuft meistens auf ein Richtig-oder-
Falsch hinaus; persönliche Einschätzungen
werden eher selten einbezogen.
Kommen wir zu den Unterrichtsinhalten. Die
oben beschriebene Schieflage des Bildes
von Mathematik hat natürlich viel damit zu
tun, wie mathematische Inhalte in der Schule
vermittelt werden. Ich möchte einige Kritikpunkte
herausgreifen, die alle seit Jahren —
und nicht erst seit TIMSS — in der Fachdidaktik
immer wieder genannt und diskutiert
werden:
• Die Inhalte stehen oftmals unverbunden
nebeneinander.
• Vieles wird auf Vorrat gelernt: Als Begründung
für einen Inhalt wird ein späterer
Nutzen angegeben.
• Relevanz und Sinnhaftigkeit der Mathematik
werden nur selten deutlich.
• Anwendungen werden häufig aus dem
technischen und naturwissenschaftlichen
Bereich gewählt.
• Es wird eine formale Sprache benutzt, die
sich deutlich von der Umgangssprache
unterscheidet. Die Ausdrucksfähigkeit der
Schülerinnen und Schüler bleibt im mathematischen
Zusammenhang auf der
Strecke.
Vor dem Hintergrund dieser Kritik wird deutlich,
dass die "Probleme" der Mädchen mit
Mathematik nur ein Indikator dafür sind, dass
die Unterrichtskultur insgesamt dringend geändert
werden muss. Der vielfach zu beobachtende
Rückzug der Mädchen aus der
Mathematik kann in einem ganz anderen
Licht gesehen werden: Handeln sie nicht
ganz vernünftig, wenn sie sich in einer nicht
nur für sie selber sondern auch für die Jungen
mangelhaften Lehr-Lern-Umgebung wenig
engagieren?
Unter dem Gesichtspunkt, eine Unterrichtskultur
in Mathematik zu schaffen, die Mädchen
und Jungen in gleicher Weise gerecht
wird, sind in den letzten Jahren eine Fülle
von konkreten Vorschlägen erarbeitet worden,
wie die Inhalte im Hinblick auf diese Kritikpunkte
verändert und verbessert werden
können. Ich kann dazu hier nur auf die entsprechende
Literatur verweisen (ausführliche
Literatur dazu z. B. Grevholm & Hanna 1995,
Hanna 1996, Kaiser & Rogers 1995, Leder
1995, ZDM 26 (1994), Heft 1 & 2).
Mädchen, Jungen, Mathematik und Computer
Hier soll es nun zum Abschluss um die Frage
gehen, welche Chancen speziell der Computereinsatz
im Mathematikunterricht im Hinblick
auf die aufgeführte Kritik birgt.
Nach meinen vorherigen Ausführungen ist
klar, dass die Gefahr besteht, dass sich zwei
negative Tendenzen verstärken können: Die
möglicherweise bestehende distanzierte Haltung
der Mädchen gegenüber dem Computer
kann sich auf das Fach Mathematik übertragen.
Umgekehrt kann sich eine ablehnende
oder distanzierte Haltung gegenüber Mathematik
auf den Computer übertragen, wenn er
schwerpunktmäßig in diesem Fach eingesetzt
wird. Diese Gefahr ist umso größer, je
mehr die rein technische Seite des Computers
betont wird.
Demgegenüber steht eine ganze Reihe von
Möglichkeiten, die Kritik am Mathematikunterricht
ernsthaft aufzugreifen und Veränderungen
einzuleiten, die einen Unterricht ermöglichen,
der sowohl den Jungen als auch
den Mädchen gerechter wird:
• Verstärkter Einsatz alternativer Unterrichtsformen,
Gruppenarbeit in — geschlechtshomogenen
— Kleingruppen,
Differenzierungen nach Kenntnisstand;
• Förderung kooperativer Lernformen,
Aufteilung von Arbeitsaufträgen z.B. in
Form eines Gruppenpuzzles, bei dem jede
Person einen Beitrag leisten muss;
• Möglichkeiten für entdeckendes Lernen,
experimentelles Vorgehen durch Einsatz
geeigneter Software (CAS; DGS), dadurch
Veränderung des Bildes von Mathematik
als "fertiger" Wissenschaft, Fragestellungen
selber erfinden, selber Mathematik
machen;
• Kommunikation in und über Mathematik,
Dokumentationen über die Arbeiten am
Computer anfertigen lassen,
Präsentationen über mathematische Themen,
dadurch Förderung der Sprachkompetenz
im Mathematikunterricht;
• Sicht über das Fach hinaus,
fächerübergreifende Projekte,
Bezüge zu anderen Bereichen und zu historischen
Hintergründen; Einbeziehung
des WWW als Quelle von Informationen,
Einbeziehung künstlerischer, kreativer
und ästhetischer Gesichtspunkte.
43

Cornelia Niederdrenk-Felgner
Konkrete Unterrichtsbeispiele zu einigen dieser
Aspekte sind in (Niederdrenk-Felgner
1998) zu finden.
Es geht nicht darum, leuchtende Beispiele
vorzustellen. Vielmehr möchte ich die Kriterien
aus der Geschlechterperspektive bewusst
machen, die an einen guten Mathematik-Unterricht
mit dem Computer angelegt
werden sollten. In diesem Sinne wünsche ich
uns allen, dass es gelingen möge, Mathematik
mit und ohne Computer zu einem positiv
besetzten Fach werden zu lassen, und den
Unterricht so zu gestalten, dass Mädchen
wie Jungen mit Interesse und Begeisterung
daran teilnehmen.
Literatur
Baumert, Jürgen, Wilfried Bos & Rainer Watermann
(1998): TIMSS/III Schülerleistungen in
Mathematik und den Naturwissenschaften am
Ende der Sekundarstufe II im internationalen
Vergleich. Zusammenfassende und deskriptive
Ergebnisse. Berlin: Max-Planck-Institut für Bildungsforschung
Beerman, Lilly, Kurt A. Heller & Pauline Menacher
(1992): Mathe: nichts für Mädchen? Begabung
und Geschlecht am Beispiel von Mathematik,
Naturwissenschaft und Technik. Bern: Huber
Bos, Wilfried, Eva-Maria Lankes, Manfred Prenzel,
Knut Schwippert, Gerd Walther & Renate Valtin
(Hrsg) (2003): Erste Ergebnisse aus IGLU.
Münster u.a.: Waxmann
Brehmer, Ilse, Hildegard Küllchen & Lisa Sommer
(1989): Mädchen, Macht (und) Mathe. Dokumente
und Berichte 10 der Parlamentarischen
Staatssekretärin für die Gleichstellung von
Frau und Mann, Düsseldorf.
GEW Gender Report 2003: www.lakofnrw.fh-koeln
.de/download/gew-gender-report2003.pdf
Grevholm, Barbro & Gila Hanna (Hrsg.) (1995):
Gender and Mathematics Education. An ICMI
Study in Stiftsgården Åkersberg, Höör, Sweden
1993. Lund: Lund University Press
Hanna, Gila (Hrsg.) (1996): Towards Gender Equity
in Mathematics Education. An ICMI Study.
Dordrecht: Kluwer
Hannover, Bettina (1992): Spontanes Selbstkonzept
und Pubertät. Zur Interessenentwicklung
von Mädchen koedukativer und geschlechtshomogener
Schulklassen. In: Bildung und Erziehung
45, 31–46
Horstkemper, Marianne (1987): Schule, Geschlecht
und Selbstvertrauen. Eine Längsschnittstudie
über Mädchensozialisation in der
Schule. Weinheim & München: Juventa
Jahnke-Klein, Sylvia (2001): Sinnstiftender Mathematikunterricht
für Mädchen und Jungen.
44
Baltmannsweiler: Schneider-Verlag Hohengehren
Jungwirth, Helga (1990): Mädchen und Buben im
Mathematikunterricht. Eine Studie über geschlechtsspezifische
Modifikationen der Interaktionsstrukturen.
Österreichisches Bundesministerium
für Unterricht, Kunst und Sport
(Hrsg.), Reihe Frauenforschung Band 1. Wien.
Jungwirth, Helga (1994): Mädchen und Buben im
Computerunterricht — Beobachtungen und
Erklärungen. In: Zentralblatt für Didaktik der
Mathematik 26, Heft 2, 41–48
Kaiser, Gabriele & Pat Rogers (Hrsg.) (1995): Equity
in Mathematics Education. Influences of
Feminism and Culture. London &Bristol: The
Falmer Press
Keller, Carmen (1997): Geschlechterdifferenzen:
Trägt die Schule dazu bei? In U. Moser, E.
Ramseier, C. Keller & M. Huber (Hrsg.) (1997):
Schule auf dem Prüfstand. Eine Evaluation der
Sekundarstufe I auf der Grundlage der Third
International Mathematics and Science Study.
Zürich: Rüegger, 137–179
Keller, Carmen (1998): Geschlechterdifferenzen in
der Mathematik: Prüfung von Erklärungsansätzen:
Eine mehrebenenanalytische
Untersuchung im Rahmen der Third International
Mathematics and Science Study.
Universität Zürich: Dissertation
Leder, Gilah (Hrsg.) (1995): Mathematics and
Gender. In: Educational Studies in Mathematics
28,
Niederdrenk-Felgner, Cornelia (1993): Computer
im koedukativen Unterricht. Mädchen und
Computer. Studienbrief Mädchen und Computer.
Tübingen: DIFF
Niederdrenk-Felgner, Cornelia (1998): Entdeckendes
Lernen und Problemlösen im Mathematikunterricht.
Studienbrief Mädchen und
Computer. Tübingen: DIFF
Niederdrenk-Felgner, Cornelia (2001): Die Geschlechterdebatte
in der Mathematikdidaktik.
In: Heidrun Hoppe u.a. (Hrsg.) (2001): Geschlechterperspektiven
in der Fachdidaktik.
Weinheim & Basel: Beltz, 123–144
Nyssen, Elke, Pia Ueter & Edda Strunz (1996):
Monoedukation und Koedukation im Mathematikunterricht
des neunten und zehnten Schuljahres.
In: Elke Nyssen (Hrsg.) (1996): Mädchenförderung
in der Schule. Ergebnisse und
Erfahrungen aus einem Modellversuch. Weinheim
& München: Juventa, 93–105
Pólya, George (1980): Schule des Denkens. Bern:
Francke, 3. Auflage
Schründer-Lenzen, Agi (1995): Weibliches Selbstkonzept
und Computerkultur. Weinheim: Deutscher
Studien Verlag
Sinhart-Pallin, Dieter (1990): Die technik-zentrierte
Persönlichkeit. Sozialisationseffekte mit Computern.
Weinheim: Deutscher Studien Verlag

� MaDiN — Mathematikdidaktik im Netz
Thomas Weth, Nürnberg
Das internet-basierte Lehr-Lern-System MaDiN mit seinen Grundsätzen, Ideen und Möglichkeiten
wird vorgestellt, und erste Erfahrungen beim Einsatz in einer Geometrie-Vorlesung
werden beschrieben.
1 Grundsätzliches zu MaDiN
Seit Beginn des Jahres 2000 wurde für die
Dauer von 3 Jahren vom Bundesministerium
für Bildung und Forschung das Projekt Ma-
DiN (Mathematikdidaktik im Netz) finanziell
gefördert. Ziel des Projekts war es, die "gesamte"
Didaktik der Mathematik, die in der
Lehrerausbildung der Primarstufe sowie den
Sekundarstufen I und II gelehrt wird, unter
sinnvoller Nutzung multimedialer Komponenten
im Internet anzubieten. Realisiert wurde
das Projekt von den Lehrstühlen für Didaktik
der Mathematik an den Universitäten Braunschweig,
Erlangen/Nürnberg, Münster und
Würzburg. Die Themen, die im Projekt für die
Nutzung im Internet aufbereitet wurden, umfassen
• Grundschuldidaktik
• Zahlsysteme
• Geometrie
• Algebra
• Analysis
• Stochastik und
• Computereinsatz im Mathematikunterricht.
Neben der eigentlichen Materialentwicklung
war die wissenschaftliche Evaluation weiterer
konstitutioneller Bestandteil des Gesamtprojekts.
Über eine Evaluation wird im zweiten
Teil dieses Artikels berichtet; eine weitere
findet sich im Artikel von G. Wittmann in diesem
Tagungsband.
Die Zielgruppen des Projekts sind Studierende,
Dozenten und praktizierende Lehrer.
Studierenden dient das Material zum einen
zur Nachbereitung des Vorlesungsstoffs. Zudem
sind die Inhalte so ausgearbeitet, dass
sie sich (zumindest ansatzweise) zur selbständigen
Erarbeitung von Lerninhalten eignen.
Darüber hinaus versteht sich MaDiN als
Nachschlagewerk und als Aufgabensammlung
zu zentralen didaktischen Themen.
Dozenten bietet MaDiN eine Medien- und
Quellensammlung zur Didaktik der Mathematik
und zum Mathematikunterricht. Während
universitärer Veranstaltungen lassen sich
professionell erstellte Grafiken, Animationen,
Lehrfilme usw. zur Veranschaulichung und
Unterstützung nutzen und einsetzen.
Vergleichbaren Nutzen bietet MaDiN praktizierenden
Lehrern in seiner Funktion als Medien-,
Aufgaben- und Ideensammlung.
Um diesen Benutzergruppen ein möglichst
vollständiges Angebot zur Didaktik der Mathematik
anbieten zu können, war ein wesentlicher
konzeptioneller Aspekt bei der
Entwicklung, dass Standardthemen (s.o.)
und nicht nur "ausgewählte Aspekte" aufbereitet
werden sollten. Anders formuliert: die
Projektpartner wollten sich bewusst der Herausforderung
stellen, keine "Perlen"-Didaktik
im Netz anzubieten, sondern möglichst benutzerorientiert
genau diejenigen Themen zu
bearbeiten, welche in der Standardausbildung
von Bedeutung sind. Und gerade die
Fokussierung auf "Standardinhalte" stellt das
Anspruchsvolle und viele konzeptionelle
Überlegungen erfordernde Element von Ma-
DiN dar. Denn das Abwägen des sinnvollen
Einsatzes und das Einbeziehen multimedialer
Elemente in Lehrtexte fällt für "trockene,
spröde" Themen wie etwa "schriftliche Addition"
wesentlich schwerer als die Konzeptionierung
"bunter, ergiebiger" Themen wie "der
goldene Schnitt" oder "die Satzgruppe des
Pythagoras".
Um insbesondere der Zielgruppe der Studierenden
gerecht zu werden, wurde bei der
Aufbereitung der Inhalte darauf geachtet,
dass neben der eigentlichen Didaktik auch
die fachwissenschaftlichen Grundlagen Bestandteil
der Materialien sind. Denn die einhellige
Erfahrung aller Projektpartner war,
dass die Studierenden die Didaktikvorlesung
im Allgemeinen mit defizitärem fachwissenschaftlichem
Wissensstand betreten, und die
Überzeugung die, dass Didaktikvorlesungen
nur auf der Basis eines soliden fachwissenschaftlichen
Fundaments sinnvoll und ertragreich
sein können.
45

Thomas Weth
2 Ein Streifzug durch MaDiN
Um einen Eindruck über Art der Aufbereitung
der Inhalte und den Umgang mit MaDiN beim
46
Abb. 1
Abb. 2
Lernen von Mathematikdidaktik zu gewinnen,
sollen im Folgenden einige Charakteristika
des Projekts vorgestellt werden.

Abb. 3
2.1 Die "Verpackung"
MaDiN präsentiert die mathematikdidaktischen
Inhalte über einen
Schreibtisch als Navigationsbzw.
Auswahlinstrument (vgl.
Abb. 1), der den größten Teil des
Bildschirms einnimmt und das
"Hauptfenster" bildet. Das Lehrmaterial
ist zu jedem einzelnen
Thema (z.B. Kongruenzabbildungen)
in die "Schreibtisch-
Schubladen" Theorie, Beispiele,
Übungen, Literatur, Links und
Medien eingeordnet (s.u.). Wählt
man eine dieser Schubladen (per
Mausklick) an, werden die Inhalte
im Hauptfenster eingeblendet
(vgl. Abb. 2). Eine Navigationsleiste mit denselben
Elementen wird zusätzlich über dem
Schreibtisch angezeigt, da es sich (aus mediendidaktischer
Sicht) als günstig erweist,
dem Benutzer Steuerelemente redundant
anzubieten (so lassen sich im realen Einsatz
von MaDiN auch wirklich Benutzer beobachten,
welche ausschließlich über den Schreibtisch
und andere, welche ausschließlich über
die Navigationsleiste im System navigieren).
In Bildschirmabschnitten (Frames) links und
oberhalb des Hauptfensters sind Orientierungshilfen
eingeblendet, die den Benutzer
über seinen Standort im System informieren
(vgl. Abb. 1, 2 und 3). Die Standortinformation
ist kontextabhängig und stellt lediglich die
"nähere" Umgebung und nicht die Struktur aller
Inhalte grafisch dar.
Neben weiteren Navigations- und Steuerhilfen
(z.B. Einblenden der Gesamtstruktur aller
Inhalte, "History"-Funktion, ...) zählt eine Lupe
— als Metapher für eine Volltextsuche —
zu den Bedien-Elementen von MaDiN.
Die "Map" von MaDiN (in Abb. 4 etwa für das
Thema Geometrie — fachwissenschaftlich)
stellt die Inhalte in der "Windows-Explorer"-
MaDiN — Mathematikdidaktik im Netz
üblichen Art dar und dient gleichzeitig als
weiteres Navigations- und Orientierungsinstrument.
2.2 Die Inhalte
Ein Blick auf die Geometrie-Map (Abb. 4)
zeigt, dass die Inhalte ausschließlich "klassisch"
sind. In diesem Sinne ist von MaDiN
also weder eine "neue" Mathematik noch eine
"neue" Didaktik zu erwarten. Das Neue an
MaDiN steckt nicht in den Inhalten, sondern
in deren multimedialen Aufbereitung.
Abb. 4
Um mathematikdidaktische Inhalte über den
Computer bzw. über das Internet darzustellen
und zu vermitteln, bedarf es — allein
schon wegen der Verfügbarkeit unterschiedlicher
Medien — anderer Gestaltungsprinzipien
als etwa bei einer Darbietung in Buchform.
Aus dem Studium der mediendidaktischen
Literatur, aus der eigenen pädagogischen
Erfahrung und dem erworbenen Wissen
aus vorherigen "Computerprojekten"
wurde versucht, bei der Gestaltung u.a. folgende
Prinzipien einzuhalten:
1. Die MaDiN-Texte sollen kurz sein; denn
Lesen/Lernen scheint — unabhängig vom
Alter und der Vertrautheit mit dem Computer
— am Bildschirm schwieriger und
unangenehmer empfunden zu werden, als
mit Hilfe eines Buchs.
2. Die MaDiN-Texte sollen die Inhalte auf
verschiedenen Niveaus darstellen; in kurzen
Texten werden Begriffe etwa in Form
"propädeutischer" Erklärungen bis hin zu
formal korrekten Definitionen angeboten
(vgl. Abb. 2).
3. Die MaDiN-Texte sollen authentisch sein;
die Orientierung an den genannten Zielgruppen
erfordert, dass die Texte mit pra-
47

Thomas Weth
xisorientiertem Material unterstützt werden.
Dem wurde u.a. dadurch Rechnung
getragen, dass zu den eigentlichen Lehrtexten
Lehrplanausschnitte, Schulbuchseiten,
Filme zu Unterrichtsversuchen
usw. einbezogen wurden.
4. Die MaDiN-Texte sollen auf überflüssige
Animationen verzichten; auf alle gestalterischen
Elemente (wie z.B. blinkender
Text, "amüsante" animated-gifs, ...), die
den Benutzer von den Lerninhalten ablenken
bzw. die mit den Lerninhalten
höchstens indirekt zu tun haben, wurde
verzichtet.
5. Die MaDiN-Texte sollen zur Selbsttätigkeit
anregen; in den Seiten finden sich zahlreiche
Möglichkeiten, selbst am Bildschirm
aktiv zu werden; dies reicht etwa
von interaktiven Multiple-choice-Tests
über bewegliche geometrische Konstruktionen
bis hin zu "Pop-up-Ikonogrammen"
(einer parallel zu MaDiN entwickelten
strukturierten und animierten Bild- und
Filmfolge (Hartmann 2003), mit Hilfe derer
komplexere Beweise selbständig erlernt
werden können).
2.3 Beispiele
Am Beispiel "geometrische Abbildungen" soll
im Folgenden ein kurzer Einblick in die hierarchische
Struktur der Inhaltsseiten von Ma-
DiN gegeben werden.
Dabei wird im gesamten System der Weg
"Geometrische Abbildungen" – "Kongruenzabbildungen"
– "Achsenspiegelungen" durchlaufen,
um dem Leser ein Gespür für die
Ausprägung der Inhalte auf den einzelnen
Hierarchiestufen zu vermitteln.
2.3.1 Der Schreibtisch "geometrische
Abbildungen"
Die Theorie-Schublade des Schreibtischs
"geometrische Abbildungen" behandelt auf
allgemeinem Niveau den Begriff einer geo-
48
Abb. 5
metrischen Abbildung und erklärt
Begriffe wie Fixelemente, surjektiv,
injektiv usw. Anzumerken ist,
dass hier (wie im gesamten System)
die Texte durch zahlreiche
Beispiele und Gegenbeispiele
unterstützt werden.
Die Beispiel-Schublade des
Schreibtischs "Geometrische Abbildungen"
beinhaltet im Wesentlichen
Experimentiermaterial in
Form von interaktiven Cinderella-Konstruktionen,
mit Hilfe derer die o.g.
Begriffe be-"greif"-bar gemacht werden. Wieder
wurde Wert darauf gelegt, neben klassischen
Abbildungen (Kongruenzabbildungen)
auch Alternativbeispiele wie etwa das folgende
zur Verfügung zu stellen, in welchem
die Gerade CD auf die schwarze Kurve abgebildet
wird.
Abb. 6: Beispiel für eine geometrische Abbildung
Abb. 7: Beispiel für eine surjektive, nicht injektive
Abbildung
Abb. 8: Beispiel für eine geometrische Abbildung
In der Übungs-Schublade finden sich im Allgemeinen
Übungen aus Schulbüchern,
"klassische" Aufgaben, Schulbuchaufgaben,
Aufgaben zur didaktischen Reflexion oder
wie hier u.a. Multiple-Choice-Tests.
2.3.2 Der Schreibtisch "Kongruenzabbildungen"
Eine Hierarchiestufe unter dem Schreibtisch
"geometrische Abbildungen" finden sich die

Abb. 9: Ausschnitt aus einem Multiple-Choice-Test
Abb. 10: Ausschnitt aus der Theorie-Schublade des Schreibtischs
"Kongruenzabbildungen"
Schreibtische "Kongruenzabbildungen",
"Ähnlichkeitsabbildungen" und "Projektionen".
Auf dieser Hierarchiestufe (vgl. Abb. 5)
enthält die Theorie-Schublade aller Schreibtische
eine Darstellung des gestuften Wissenserwerbs
über die Schuljahre hinweg. Parallel
werden die Theoriestufen des Begriffserwerbsmodells
von Vollrath (1984), inhaltliche
Konkretisierungen und (als Pop-ups)
Lehrplanauszüge und Schulbuchausschnitte
angeboten.
Die Beispiel-Schublade beinhaltet konkrete
Beispiele für Zugänge zum Kongruenzbegriff
(Basteln, Schneiden, Zeichnen, ...) und die
Übungs-Schublade bietet eine Sammlung
von (bayerischen) Staatsexamensaufgaben.
2.3.3 Der Schreibtisch "Achsenspiegelungen"
Eine Hierarchiestufe unter dem Schreibtisch
"Kongruenzabbildungen" finden sich u.a. die
Schreibtische "Achsenspiegelungen", "Verschiebungen",
..., "Gruppe der Kongruenzabbildungen",
"Kongruenzsätze am Dreieck"
oder "Symmetrie".
Im Theorieteil zu "Achsenspiegelungen" werden
den Prinzipien von MaDiN entsprechend
u.a. verschiedene, alternative Definitionsmöglichkeiten
zum Begriff "Achsenspiegelung"
gegeben.
Weitere Elemente der Theorieseite sind eine
Darstellung der Eigenschaften von Achsenspiegelungen,
Konstruktionsvorschriften (pa-
MaDiN — Mathematikdidaktik im Netz
rallel dazu werden zum Experimentieren
interaktive
Cinderella-Applets angeboten)
und der Theorie der Hintereinanderausführung
von
Achsenspiegelungen. Mit
Hilfe eines Pop-up-Ikonogramms
wird der Satz (grafisch,
animiert und mit hörbarem
Text) über die Hintereinanderausführung
dreier
Achsenspiegelungen dem
Benutzer nahegebracht und
bewiesen.
3 Ergebnisse einer
Evaluation
Die zentralen Fragen beim
nicht unbeträchtlichen finanziellen
Aufwand, der bei der
Realisierung von MaDiN anfiel,
sind ganz lapidar: Wird
MaDiN von den Studierenden
beim Lernen von Mathematikdidaktik als
hilfreich akzeptiert? Führt das Einbeziehen
von MaDiN in die Ausbildung zu einem höheren
Lernerfolg?
Die zweite Frage ist langfristiger Natur und
kann demgemäß in der Entwicklungsphase
nicht beantwortet werden. Ihr wird im Zuge
einer Dissertation am Lehrstuhl für Didaktik
der Mathematik der Universität Erlangen/
Nürnberg in den kommenden Jahren nachgegangen
werden.
Auf die Frage, ob MaDiN von Studierenden
als hilfreich akzeptiert wird, gibt der Artikel
von Wittmann in diesem Tagungsband eine
(positive) Antwort. Anders als dort mit dem
direkten Interview als Evaluationsinstrument
wurde im SS 2003 an der Universität Erlangen/Nürnberg
versucht, über Fragebögen
(also eher "klassisch") eine Antwort zu finden.
Bei der zur Verfügung stehenden Testpopulation
von etwa 14 Hauptschullehramtstudierenden
verstehen sich die folgenden
"Ergebnisse" in keiner Weise als empirisch
abgesichert, sondern stellen nur ein erstes
Stimmungsbild dar, das durch eine größer
angelegte empirische Untersuchung zu verifizieren
ist.
Die folgende Befragung wurde mit den Teilnehmern
der Vorlesung "Geometrie in der
Hauptschule" (3 Stunden Vorlesung + 2
Stunden Übung) am Semesterende durchgeführt.
Die Studierenden saßen zu etwa einem
Drittel der Vorlesungsstunden in einem Multimediaraum
an einem eigenen Computer
49

Thomas Weth
und konnten MaDiN entsprechend der Vorgaben
des Dozenten während der Vorlesungen
nutzen. Außerhalb der Vorlesungen hatten
alle Studierenden von zu Hause aus Zugang
zu MaDiN über das Internet. In der ersten
Vorlesung wurde eine etwa halbstündige
Einführung in die Bedienung und Struktur
von MaDiN gegeben.
Bei der Evaluation am Ende des Semesters
erhielten die Studierenden einen Fragebogen,
bei dem zu jedem Statement (vgl. unten)
jeweils eine von drei möglichen Antworten
(+, 0 oder –) anzukreuzen war. Die folgende
Darstellung zeigt eine kleine Auswahl
von Antworten.
3.1 Akzeptanz der Nutzung
außerhalb der Vorlesung
Einer der Fragenkomplexe bezog sich auf die
Akzeptanz von MaDiN ausserhalb der Vorlesung:
50
Abb. 11: Alternative Definitionsmöglichkeiten
Abb. 12: Pop-up-Ikonogramm
Ich habe MaDiN zur Nachbereitung
des Vorlesungsstoffes
genutzt. (11; 2; 0)
Die überwiegend positiven
Antworten bilden einen ersten
Hinweis, dass die Inhalte von
den Studierenden genutzt und
akzeptiert werden. Diese
Tendenz zeigt sich auch im
Antwortverhalten auf das
nächste Statement:
MaDiN war für mich eine Hilfe,
den Lernstoff besser zu verstehen.
(12; 1; 1)
3.2 Akzeptanz der
Nutzung innerhalb
der Vorlesung
Die Vorlesungsstunden, in
denen die Studierenden zeitweise
mit MaDiN am Computer
arbeiteten, erschienen mir
als Dozenten in irgendeiner
Art und Weise als "langsamer",
"zäher", in gewissem
Sinne "ineffektiver" und weniger
gut steuer- und planbar
oder mit einem Wort: chaotischer
als die (bei mir) herkömmlichen
Tafel- und Kreide-Veranstaltungen.
Die folgenden
Fragen sollten einen
Einblick geben, ob diese Empfindung
und Stimmung von
den Studierenden auch als
eher negative Begleiterscheinung von MaDiN
erachtet wurde.
Die Vorlesungsstunden, in denen MaDiN
eingesetzt wurde, waren für mich verständlicher
als herkömmliche Vorlesungsstunden.
(5; 5; 4)
Das ausgeglichene Antwortverhalten läßt
sich evtl. in dem Sinne interpretieren, dass
die Studierenden die Intention der Fragestellung
nicht verstanden und mit einem achselzuckenden
"ich weiß gar nicht, was er jetzt
von mir will" reagieren. Ähnlich wären eventuell
auch die Antworten auf die nächste Frage
zu interpretieren:
Eine herkömmliche Veranstaltung ist mir lieber
als eine Vorlesung mit MaDiN. (3; 6; 4)
Mein Eindruck, dass die Vorlesungsstunden
mit Einbeziehung von MaDiN "zäh" und
schleppend erschienen, wurde von den Studierenden
anscheinend nicht geteilt, wie die
Antworten auf die folgende Frage zeigen:

Die Stunden, in denen MaDiN eingesetzt
wurde, litten aus meiner Sicht unter zu viel
'Leerlauf', die deutlich mit einem "stimmt eher
nicht" beantwortet wurde. (0; 4; 10)
Ein weiteres Indiz, dass MaDiN von den Studierenden
angenommen wird, liefern die positiven
Antworten auf die Frage
MaDiN läßt sich als Skriptersatz verwenden.
(10; 0; 3)
Die positive Resonanz spiegelt sich auch in
den Freitext-Antworten wieder, die im Fragebogen
vorgesehen waren. Auf die Frage:
"Welche Vor- und Nachteile sehen Sie beim
Einbezug von MaDiN in den Lehr-Lern-
Prozess?" wurden Antworten gegeben wie
z.B.: "leicht zu verstehen", "sehr kompakt,
viel Inhalt", "Animationen verdeutlichen und
machen vieles klarer" oder "Interaktionen
veranschaulichen komplexe Inhalte".
3.3 Akzeptanz der multimedialen
Elemente
Die Entwickler von MaDiN waren bemüht,
Texte knapp zu formulieren, mit Animationen
sparsam umzugehen und sich an die in 2.2
genannten Prinzipien zu halten. Eine deshalb
interessierende Frage war, ob die multimedialen
Elemente seitens der Studierenden als
"passend" anerkannt würden. Die Fragen
nach der Verständlichkeit von Lehrtexten,
Schulbuchseiten, Grafiken, Interaktionen und
Beweisfilmen (Pop-up-Ikonogrammen) wurden
durchweg gleichermaßen positiv beantwortet.
Stellvertretend sei deshalb hier nur
die Antwort auf folgende Frage dargestellt:
Die Texte in MaDiN sind verständlich und
lehrreich. (11; 2; 1)
3.4 Weitere Fragestellungen
Weitere Aspekte, die für die Entwickler von
MaDiN von Interesse sind, wurden durch
Fragen nach der Einfachheit der Navigation,
der Orientierung innerhalb des Systems oder
der Vollständigkeit des Systems geklärt. Interessant
war, dass die Nutzer eher dahingehend
tendieren, weitere Applikationen wie
z.B. einen Chat, ein Forum, Email-Funktionen,
einen persönlichen virtuellen "Notizzettel"
usw. generell nicht vermissen bzw. sogar
eher ablehnen. In Gesprächen wurde seitens
der Studierenden die Meinung geäußert,
MaDiN — Mathematikdidaktik im Netz
dass MaDiN so, wie es ist, übersichtlich sei
und alle weiteren zusätzlichen Elemente die
Navigation und Orientierung im System "nur
behindern" würden.
4 Subjektives Resümee
Zu Beginn des Projekts war ich mit der eher
kritischen Idee angetreten, nach bestem
Wissen und mit vollem Einsatz multimediales
Material zum Erwerb mathematikdidaktischen
Wissens zu erstellen, um anschließend
empirisch nachweisen zu können, dass
alle vollmundigen Visionen über das "Internet
als Schule (oder Universität) der Zukunft" lediglich
marktschreierische Prophezeiungen
sind, welche einer empirischen Überprüfung
nicht standhalten. Diese kritische Haltung
über die "revolutionären Auswirkungen des
Internet auf die (schulische oder universitäre)
Ausbildung" habe ich auch nach dem Projekt
nicht geändert. Allerdings habe ich gelernt,
dass die Lehre — entsprechend gut entwickelte
Gesamtkonzeptionen vorausgesetzt —
durch die multimedialen Elemente, welche
durch das Internet verfügbar gemacht werden,
durchaus unterstützt und verbessert
werden kann. Ich sehe es deshalb als sinnvoll
an, sich weiterhin mit der Entwicklung
von Lehrmaterial im Internet und entsprechenden
Evaluationen zu beschäftigen; wesentliche
Änderungen im Lehr-Lern-Verhalten
erwarte ich allerdings auch weiterhin
nicht.
Darüber hinaus habe ich gelernt (bzw. erneut
erfahren), dass die Entwicklung professionell
ausgearbeiteter Internetauftritte "teuer" ist:
Der finanzielle Aufwand für die Realisierung
der in diesem Artikel vorgestellten Geometrie
beträgt etwa 250 000 €. Ob die Entwicklung
"preiswert" ist, müssen zukünftige Evaluationen
zeigen.
Literatur
Hartmann, Mutfried (2003): Eine neue Repräsentationsform
schulmathematischer Inhalte für
das WWW: Pop-up-Ikonogramme. In: Der Mathematikunterricht
49, Heft 4, 59–70
Vollrath, Hans-Joachim (1984): Methodik des Begriffslehrens
im Mathematikunterricht. Stuttgart:
Klett
51

� Mathematiklernen und Organisieren
1 Einleitung
Die unüberschaubare Fülle von Informationen,
die im Internet zur Verfügung stehen,
führt bei sehr vielen Nutzern entweder gar
nicht oder nur unter sehr großem Zeitaufwand
zu Generierung von Wissen. Vor allem
Schülerinnen und Schüler können weder systematisch
suchen, noch können sie die gefundenen
Dokumente nach ihrer Relevanz,
Verlässlichkeit oder Gültigkeit einordnen.
Um die vielen Möglichkeiten, die die Verwendung
des Internets — oder der computergestützten
Medien — bietet, überhaupt
nutzen zu können, ist organisationales Denken
dringend notwendig.
2 Organisationales Denken
Unter "organisationalem Denken" verstehen
wir die Summe der Überlegungen und Maßnahmen,
die notwendig sind, um Aufgabenlösungen
— alleine und/oder in Zusammenarbeit
mit anderen — in einer effizienten, systematischen
und koordinierten Weise zu ermöglichen.
Im Kontext von Lernen beziehen
sich diese Aufgaben vor allem auf die Generierung
von Wissen aus Informationen und
Kompetenzen sowie die Verbindung von
Faktenwissen mit Handlungswissen.
52
Christine Bescherer & Herbert Löthe, Ludwigsburg
Die Internet-Nutzung beim Lehren und Lernen führt bei Schülern und Studierenden — ja
selbst bei Wissenschaftlern — sehr leicht zu inkohärenten und teilweise falschen Vorstellungen.
Dies liegt mit daran, dass durch die chaotische Vielfalt des Internets und durch
die Nutzung der neuen Medien mit ihren gewaltigen Potenzen eine Recherche sehr leicht
zu einer Anhäufung von spektakulären Details führt und die fachlichen Inhalte und Prozesse
in ihrer Struktur nicht mehr erkennbar sind.
Um sinnvoll aus der Informationsfülle des Internets und der neuen Medien Wissen und
Kompetenzen aufbauen zu können, ist "organisationales Denken" notwendig. Wir denken
dabei nicht nur an das Organisieren des mathematischen Arbeitens, Lehrens und Lernens,
sondern wir meinen vor allem die Fähigkeit der Lehrenden und Lernenden, gut organisierte
Inhalte und Kompetenzen von vornherein anzustreben und als wertvoll anzusehen.
Nur solche organisierte Strukturen von Wissen und Können werden für Lehren
und Lernen fruchtbar.
Es ist interessant, dass organisationales Denken mit dem Gebiet der Datenverarbeitung
Ende der sechziger Jahre des letzten Jahrhunderts thematisiert worden ist, und immer
mit der Informatik verbunden war. Für die Mathematik ist es eine querliegende aber auch
verbindende Kompetenz, die die process standards (im Sinne der NCTM) ergänzen. Diese
Thesen werden anhand einer Reihe von Beispielen erläutert.
Diese Definition basiert auf einer allgemeinen
Definition von "Organisation", wie sie z.B. in
der Internet-Enzyklopädie "Wikipedia" (vgl.
URL http://de.wikipedia.org/wiki/Hauptseite,
Zugriffsdatum 25.10.2003) zu finden ist: "Organisation
ist eine dauerhafte Anordnung von
Elementen, deren Tun durch Regeln so festgelegt
ist, dass eine Aufgabenlösung in einer
zusammenarbeitenden, koordinierten Weise
stattfinden kann." Kennzeichnend für Organisation
ist also das Zusammenwirken verschiedener
Elemente, die Befolgung von Regeln
und die Unterstützung einer Aufgabenlösung
— in einer kooperativen Art und Weise.
Dies lässt sich direkt auf Lehr-/Lernprozesse
übertragen.
So gibt es gewisse Regeln oder erprobte
Vorgehensweisen, die das Lernen hilfreich
unterstützen, wie Gliedern, in eigenen Worten
Wiedergeben usw. Dass beim Lernen
verschiedene Aspekte wie Motivation, Vorwissen,
Transfermöglichkeiten, … eine große
Rolle spielen und diese Teile alle zusammen
erst ein erfolgreiches Lernen ermöglichen, ist
bekannt.
Organisationales Denken beinhaltet die geistige
Bemühung um eine effiziente Arbeit auf
verschiedenen Ebenen:
• häufig als trivial angesehene Hilfsmittel
(gespitzte Buntstifte, genug Platz auf der
Arbeitsfläche zum Zeichnen, ...)

• Hilfstechniken des geistigen Arbeitens
(Nachschlagewerke geordnet und greifbar,
Notizen machen, Skizzen erstellen,
...)
• Nutzung neuer Medien (Bookmarks verwertbar
aufbereitet, Browser mit entsprechenden
Sicherheitseinstellungen, E-Mail-
Filter, regelmäßige Sicherungen, Verständnis
für Ordnerstrukturen, Versionen,
Dateitypen, ...)
• systematische Arbeitstechniken (Gliedern
z.B. durch farblich Kennzeichnen, Beschriften,...)
• Strategien des Wissenserwerbs (Ordnen,
Strukturieren, Ergänzen, Gliedern, ...)
Diese Bemühungen beziehen sich bewusst
nicht nur auf die Nutzung von computergestützten
Medien, sondern auch auf herkömmliche
Arbeitsweisen. Eine gute (Eigen-) Organisation
hört nicht beim Abschalten des
Rechners auf.
Dabei ist zu beachten, dass gute Organisation
allein nicht automatisch gute Arbeit oder
erfolgreiches Lernen bedeutet, sondern sie
stellt lediglich eine notwendige Bedingung
dar. Ohne Organisation entsteht Chaos, und
dies ist fast immer kontraproduktiv für das
Lernen. Noch wichtiger ist hingegen, dass
der Umgang mit den computergestützten Medien
kein sich selbst organisierender Prozess
ist. Im Gegenteil: der Computer erzwingt in
starkem Maße eine gut strukturierte Arbeitshaltung.
Dies ist jedem klar, der schon einmal
eine bestimmte Datei auf alten Sicherungsdisketten
gesucht hat. (Für die Festplatte
gibt es immerhin noch die Suchfunktion
z.B. des Windows Explorers, aber die Disketten
müssen einzeln durchgesehen werden.)
Dabei stellt die (fast) unbegrenzte Speicherkapazität
das
Hauptproblem dar.
Ein reales Regal mit
Büchern, Ordnern
und Unterlagen ist
irgendwann einmal
so voll, dass entschieden
werden
muss, auf welche
Inhalte verzichtet
werden kann. Wird
die Festplatte zu
klein, so wird eher
ein neuer Speicher
gekauft, anstatt
einmal richtig "aufzuräumen".
Als Test stellen Sie
sich einfach Ihre
Mathematiklernen und Organisieren
Bookmark- bzw. Favoriten-Datei in Ihrem
Browser vor. Sind die Einträge in sinnvolle
Kategorien organisiert und durchsichtig kommentiert?
Oder besteht Ihre Bookmark-Datei
aus einer wilden Sammlung mehr oder weniger
aussagekräftigen Seitentiteln von Internetseiten.
Wenn das letztere zutrifft, dann
finden Sie meist schneller die entsprechenden
Seiten wieder, wenn Sie mit einer Suchmaschine
im Internet suchen.
3 Mathematikstandards
und Querstandards
Werden Bildungsstandards im Bereich Mathematik
nach Inhalts- und Prozessstandards
organisiert wie z.B. in den "Principles and
Standards for School Mathematics, 2000"
des NCTM, so bietet sich die Darstellung in
einer 2x2-Matrix an. Die Inhaltsstandards bestehen
aus "Zahlen und ihre Verknüpfungen",
"Muster, Funktionen und Strukturen",
"Geometrie", "Größen und Messen", "Datenanalyse
und Wahrscheinlichkeit" und die Prozessstandards
aus "Lösen von Aufgaben und
Problemen", "Begründen und Beweisen",
"mathematisch Denken und Kommunizieren",
"Bezüge inner- und außerhalb der Mathematik"
und "Repräsentieren und Modellieren".
Denn weder kann mathematisches Prozessdenken
ohne mathematische Inhalte vermittelt
werden, noch macht das Lernen mathematischer
Inhalte ohne Beachtung der dabei
angemessenen Prozesse Sinn.
Nach unserer Vorstellung fehlen bei dieser
Darstellung noch fünf "Querstandards", die,
wie in der Abbildung 1 zu sehen ist, quer sowohl
zu den Inhalts- wie auch den Prozess-
Abb. 1
53

Christine Bescherer & Herbert Löthe
standards liegen. Diese Querstandards sind
selbstverständlich nicht auf das Fach Mathematik
beschränkt, sondern spielen auch in
anderen Fächern eine Rolle.
Die einzelnen Querstandards beschreiben
die Überlegungen, die Lehrende zum Unterrichtsprozess
anstellen sollten: Wie kann Unterricht
bei vorgegebenen Inhalten und angezielten
(mathematischen) Prozessen ablaufen,
gefördert und unterstützt werden?
Um den Querstandard "organisationales
Denken", der in diesem Beitrag ausführlich
geschildert wird, entsprechend in den größeren
Kontext einzuordnen, werden die weiteren
Querstandards kurz erklärt:
• Der Lehrer konzipiert und motiviert die
Entwicklung mathematischer Produkte
durch Schüler (für diese selbst und für andere)
sowohl alleine, mit Anleitung durch
den Lehrer und innerhalb einer Gruppe.
Beispiele hierfür wären eine Zusammenfassung
zur Bruchrechnung (als Gedächtnisstütze,
Spickzettel), die Erstellung eines
"persönlichen Schülerdudens" zur Erhaltung
des Überblicks, ein Plakat zu Pythagoras
für eine Elternpräsentation.
• Die Lehrerinnen und Lehrer ermuntern
und fördern kontinuierlich den Erwerb und
die ständige Anwendung von Vorstellungen
durch die Schüler (mentale Modelle,
quasigeometrische Darstellungen usw.),
indem beispielsweise die Zahlvorstellung,
der Aufbau eines Tabellensystems oder
Selbstdemonstrationen mit Realmodellen
bzw. Software (Geobrett, Java-Applets)
thematisiert und immer wieder überprüft
wird.
• Die Lehrenden geben den Lernenden
Raum zum selbstständiges Lernen, ermöglichen
das Entdecken durch Exploration
in einer mathematikhaltigen Umgebung,
regen an und unterstützen das gezielte
Sammeln und Verarbeiten von Informationen
über Mathematik (Bsp.: lesendes
Erarbeiten, WebQuests, Exploration
in einer mathematikhaltigen Umgebung
unter Verwendung geometrischer
Modelle, Taschenrechner, Logo).
• Die Lehrerinnen und Lehrer arbeiten die
Schüler ein in eine begrifflich und nicht
technisch orientierte Nutzung mathematischer
Werkzeuge (wie Zeichenwerkzeuge,
Taschenrechner, CAS, DGS oder Programmiersprachen,
Laptop als ständig
präsentes Medium usw.).
Das organisationale Denken steht in starker
Wechselwirkung mit allen diesen Querstan-
54
dards und spielt deshalb eine besondere Rolle.
4 Organisationales Denken
und Mathematikstandards
Anhand der Prozessstandards des NCTM
werden nun Aspekte der Verzahnung mit
diesem Querstandard exemplarisch aufgezeigt.
Dies bedeutet nicht, dass die Verzahnung
mit den Inhaltsstandards weniger wichtig
oder gar trivial wäre, sondern nur, dass
wir leider nicht alle unsere Überlegungen auf
diesem engen Raum schildern können.
Die NCTM-Standards illustrieren die Inhaltsstandards
anhand von Beispielaufgaben und
die Prozessstandards durch beispielhafte
Unterrichtssituationen. Für die Darstellung
der Querstandards wählten wir die Thematisierung
der Grundfragen, die sich die Lehrenden
stellen sollten, um einen entsprechenden
Unterricht zu konzipieren, versehen
mit illustrierenden Beispielen.
Grundlegend ist hierbei, dass die Lehrerinnen
und Lehrer selbst über organisationales
Denken aus eigenen Lernerlebnissen verfügen
und ihnen die Wichtigkeit bewusst ist.
4.1 Organisationales Denken und
Problemlösen:
Dazu gehören sämtliche Überlegungen zur
Förderung der Problemlösenkompetenzen
der Schülerinnen und Schüler. Welche Freiräume
sind beim Problemlösen notwendig,
ohne dass das Lernen zu sehr in die "falsche"
Richtung abdriftet? Welches Zeitbudget
muss dafür eingeplant werden? Eine Abwägung
von Vor- und Nachteilen von Gruppen-
bzw. Einzelarbeit usw. Wie wird Vorwissen
aktiviert? Und vor allem: wann wird es
aktiviert? Zu Beginn der Unterrichtseinheit
oder erst, wenn die Lernenden selbst den
Bedarf erkannt haben? Gibt es eine Aufgaben-,
eine Problemesammlung zu vorgegebenen
Gebieten? Gibt es eine Sammlung
von Hilfen, die systematisch angelegt, angewendet
und bewertet sind? (z.B. im Internet
URL www.mathe-online.at/mathint.html, Zugriffsdatum:
25.10.2003) Gibt es eine Protokollierung
für die spätere Reflexion? Dies ist
besonders wichtig bei der Verwendung von
Computeralgebra- oder Dynamische-Geometrie-Systemen.
Daran schließt sich sofort die
Frage an: Wie wird neues Wissen und Können
festgehalten oder sogar dokumentiert

(als Notizen, als ausgearbeitetes Essay
usw.)? Welche Organisationsform des Unterrichts
ist zur Anregung von Problemlöseprozessen
die richtige?
4.2 Organisationales Denken und
Begründen & Beweisen:
Wie ist organisiert, auf welchen Grundannahmen
(Axiomen) bewiesen und begründet
wird? Gibt es eine Struktur aufeinander aufbauender
Beweise bzw. Begründungen für
ein Teilgebiet? Gerade bei der Satzgruppe
des Pythagoras sollte sich die Lehrperson
klar darüber sein, dass zwar jeder Satz sich
aus den anderen herleiten lässt, dabei aber
verschiedene Vorstellungen in den Köpfen
der Schülerinnen und Schüler erzeugt werden.
Wie werden Vermutungen dokumentiert,
ausgewertet, in eine Reihenfolge gebracht?
Wie werden Argumentationen und Beweise
für spätere Bewertung und Bewertung durch
andere festgehalten? So ist z.B. in USA der
"Zweispaltenbeweis" (two column proof) in
der Mittelstufengeometrie sehr verbreitet. Ein
Beispiel dafür findet sich auf den "Dr. Math"-
Seiten (s. Abb. 2 oder URL http://mathforum.
org/dr.math/faq/proof_fetter.html, Zugriffsdatum
25.10.2003) Diese Art, geometrische Beweise
in zwei Spalten zu organisieren, wobei
in der einen Spalte die Aussage steht und in
Abb. 2
Mathematiklernen und Organisieren
der anderen der Grund, warum diese Aussage
wahr ist, ist eigentlich eine sehr schöne
Art, Beweise zu strukturieren. Mathematikdidaktiker
in den USA bemängeln allerdings
den inflationären Gebrauch, der von dieser
Darstellungsart gemacht wird. Und dass die
Form des Zweispaltenbeweises für Behauptungen
missbraucht wird, die eigentlich keines
Beweises bedürfen. (vgl. z.B. Burrill
1998)
Gibt es eine Sammlung von Begründungen,
Beweismethoden? Wie findet man sich da
zurecht? Auch könnte entsprechend einer eigenen
Formelsammlung eine eigene "Beweissammlung"
von den Schülerinnen und
Schülern oder auch von der gesamten Klasse
angelegt werden. Auf höherer Ebene
könnte man an Axiome und eine Folge von
Sätzen denken, um Ordnung zu erzeugen.
4.3 Organisationales Denken und
Kommunikation:
Welche Sprachmittel sind geeignet? Wie
stellt man mathematische Gedanken, Inhalte
und Verfahren systematisch sachgerecht und
strukturiert dar? Da können Mindmaps sehr
hilfreich für die Strukturierung und Darstellung
von Zusammenhängen sein. (vgl. z.B.
URL www.math-edu.de/Mind_Mapping/mind
_mapping.html,
Zugriffsdatum
25.10.2003)
Wie kann man
durch Gestalten
mathematischer
Inhalte und Gedanken
mehr
Klarheit und
Systematik erreichen?
Wie kann
man durch aktives
Lesen und
Hören Mathematisches
besser
darstellen (Notizen,Selbstvisualisierung,erhellende
Beispiele
usw.)? Aktives
Lesen und Hören
bedeutet
Verbinden des
Gelesenen und
Gehörten mit
Bekanntem
(Gliedern, Strukturieren,
Visuali-
55

Christine Bescherer & Herbert Löthe
sieren von Zusammenhängen). Ein typischer
"verbindungsloser" mathematischer Sachverhalt
ist die Vorstellung des Satzes von Pythagoras
als "a 2 +b 2 =c 2 ". Frühestens wenn mit
dem Stichwort "Pythagoras" sofort ein Bild
des rechtwinkligen Dreiecks mit den Quadraten
über den Seiten verbunden wird, ist der
mathematische Sachverhalt verstanden worden.
Diese "mentale Lücke" muss von den
Lehrenden überprüft, thematisiert, und es
muss gegebenenfalls eine "Füllung" angeregt
werden.
Wie kann man Präzision erzeugen und ständig
verbessern? Selbstverständlich geht dies
nur, wenn man sich als Lehrender selbst um
Präzision bemüht und sie von den Schülerinnen
und Schüler auch ständig fordert.
4.4 Organisationales Denken und
Verbindung inner- und außerhalb
der Mathematik:
Wie ist eine Lernumgebung organisiert? Dazu
gehört in erster Linie die "Hypertext-
Problematik". Es wurde vermutet, dass Hypertext
mit der Möglichkeit der Vernetzung
verschiedener Teile und Medien Lernen unterstützt,
da Lernen ja auch eine Vernetzung
von Informationen, Kompetenzen und Wissen
darstellt. Nach neueren Untersuchungen
(z.B. Unz 2000) ergibt sich allerdings die
Vermutung, dass Lernende spezielle Kompetenzen
benötigen, um Hypertext effektiv nutzen
zu können. Welche Navigationshilfen
sind notwendig und hilfreich (guided tours
unter bestimmten Aspekten, Sitemaps nach
Sachlogik, Querverweise usw.)?
Wie sind elementare Beziehungen dargestellt,
wie kann man sie verknüpfen? Wie
wird eine kohärente Struktur aufgebaut, dargestellt,
beschrieben, kommuniziert? Welche
Form hat ein neues Ganzes? Welche Sammlung
von geeigneten Lernumgebungen gibt
es?
4.5 Organisationales Denken und
Darstellen & Repräsentieren /
Modellieren:
Welche Organisationsformen sind für verschiedenartige
Repräsentationsformen und
modellierte Strukturen adäquat? Welche
Beschreibungs- und Dokumentationsmittel
sind geeignet? Welches Repertoire mit welchen
Hilfen ist wie bereitzustellen? Wie organisiert
man ein Repertoire an Anwendungen
(Lernumgebungen)? Eine von vielen ver-
56
schiedenen Möglichkeiten wäre hier ein
WebQuest, eine Projektstruktur, die die Verwendung
von Information (auch aus Internetquellen)
anhand von fachlichen Themen inszeniert.
Diese fragen-basierte Aktivität ist
auf das Niveau der Lernenden abgestimmt,
die durch die fest vorgegebene Struktur unterstützt
werden. (vgl. URL http://webquest.
ph-bw.de, Zugriffsdatum 25.10.2003)
Darstellen & Repräsentieren/Modellieren
hängt eng mit den anderen Prozessstandards
zusammen, deshalb treffen viele der
oben geschilderten Beispiele auch hierfür zu.
5 Fazit
Beim Mathematiklernen ist offensichtlich ein
hoch entwickeltes organisationales Denken
sehr hilfreich. Deshalb sollte organisationales
Denken einen wichtigen Teil der Lernziele
darstellen. Ohne dieses Denken ist eine sinnvolle
Nutzung computergestützter Medien zur
Wissensgenerierung (fast) nicht möglich.
Bei der Nutzung des Computers wird aber
besonders deutlich, dass organisationales
Denken eine entscheidende Rolle beim Lernvorgang
spielen muss. Der Computer wirkt
— wie häufig — auch hier als Medium, das
bestimmte Aspekte erst ins Bewusstsein
rückt.
Selbstverständlich ist damit nicht gesagt,
dass in anderen Fächern nicht auch organisationales
Denken eine Rolle spielt bzw. dort
nicht gefördert werden kann. Hier sollte eine
fachübergreifende Arbeitsteilung einsetzen.
Literatur
Burrill (1998): Interview with Gail Burrill in: Notices
of the AMS 45, Nr. 1
http://www.ams.org/notices/199801/
comm-burrill.pdf, Zugriffsdatum 25.10.2003
NCTM (2000): National Council of Teachers of
Mathematics: Principles and Standards for
School Mathematics, 2000. Reston, Va: NCTM
http://standards.nctm.org/,
Zugriffsdatum 25.10.2003
Unz, Dagmar (2000): Lernen mit Hypertext: Informationssuche
und Navigation. Münster usw.:
Waxmann
zitiert nach http://www.trinks.org/hypertext/
hypertext_printtext.html,
Zugriffsdatum 25.10.2003

� Ein virtuelles Seminar —
Konzeption, Durchführung und Auswertung
Christine Bescherer, Ludwigsburg
Matthias Ludwig, Weingarten
Barbara Schmidt-Thieme, Karlsruhe
Hans-Georg Weigand, Würzburg
Virtualität von Veranstaltungen, der Einbezug neuer Medien in die Lehre wird auch an
Hochschulen verlangt, Medienentwicklungspläne sichern die hard- und softwaremäßige
(Grund-) Ausstattung, die Lehrenden werden zu deren Nutzung aufgefordert. Wie kann
jetzt eine sinnvolle Umsetzung im Rahmen der Hochschullehre aussehen? Welche "neuen"
Gestaltungsmöglichkeiten ergeben sich durch die Nutzung des Internets für ein Seminar?
Welcher Mehrwert — inhaltlich, didaktisch, organisatorisch, kommunikativ — entsteht
aus diesen Formen für Studierende und Dozenten? Wo liegen aber auch die Problemstellen?
Im Sommersemester fand ein virtuelles Seminar "Geometrie in der Umwelt" als Zusammenarbeit
der Pädagogischen Hochschulen Karlsruhe (Barbara Schmidt-Thieme), Ludwigsburg
(Christine Bescherer) und Weingarten (Matthias Ludwig) sowie der Universität
Würzburg (Hans-Georg Weigand) statt. Die Veranstaltungsform basierte auf einer "virtuellen"
Art des Gruppenpuzzles (Jigsaw), die Zusammenarbeit und Kommunikation verlief
in der Hauptsache über eine netzbasierte Groupware. Aufgabe der Studierenden war die
Erarbeitung von Inhalten zum Thema "Geometrie in der Umwelt" sowie die Gestaltung
und Präsentation von Websites. Neben fachlichen, didaktischen und unterrichtlichen Inhalten
stand die Entwicklung von Medienkompetenz durch die Studierenden als Veranstaltungsziel
im forscherlichen Fokus der Veranstalter. Beobachtung der Aktivitäten der
Studierenden sowie Fragebögen lassen erste Aussagen über Erfolg und Nutzen dieser
Seminarform treffen.
1 Das Internet als Chance
für den Mathematikunterricht
Hinsichtlich der Integration des Internets in
den (Mathematik-) Unterricht stehen wir im
Jahr 2003 sicherlich noch am Anfang der
Entwicklung, und gegenwärtig spielt dieses
Medium im (Mathematik-) Unterricht — außer
an wenigen Versuchsschulen — kaum eine
nennenswerte Rolle. Es haben sich aber in
den letzten Jahren zumindest einige verschiedene
Funktionen des Internets für den
(Mathematik-) Unterricht herauskristallisiert.
So wird das Internet als ein Nachschlage-
und Recherchemedium für mathematische
Begriffe (z.B. bei der Konzeption von Web-
Quests: webquest.ph-bw.de/), als eine Quelle
für Unterrichtsmaterialien (etwa: www.zum.
de/), als ein Demonstrationsmedium im Klassenzimmer
(etwa www.matheprisma.uni-wu
ppertal.de) oder als ein Kommunikationsmedium
genutzt.
Wie immer hängt es von der genauen Art des
Einsatzes des Internets im Unterricht ab, ob
Schüler aktiver und verantwortlicher in das
Unterrichtsgeschehen einbezogen werden,
neue und sinnvolle methodische Aspekte
oder fachübergreifende Ansätze im Unterricht
unterstützt werden und sich die Aktualität
zu einer größeren Wirklichkeitsnähe nutzen
lässt. Auf jeden Fall bedarf es für eine
erfolgreiche Nutzung des Internets im Unterricht
zusätzlicher Kompetenzen bei den Lehrenden.
Eine notwendige Voraussetzung für die Nutzung
des Internets im (Mathematik-) Unterricht
ist, dass der Lehrer mit den technischen
Möglichkeiten dieses neuen Mediums vertraut
ist. Nur wer die Vorzüge und Nachteile
eines neuen Mediums erkannt und möglichst
auch selbst authentisch kennen gelernt hat,
der wird auch in der Lage sein, dieses Medium
im Unterricht konstruktiv zu nutzen.
Schließlich wird Lernen in der Schule —
auch wenn letztlich die Wissenskonstruktion
durch den Einzelnen das Entscheidende ist
— durch den Lehrer initiiert. Wie so oft be-
57

Christine Bescherer, Matthias Ludwig, Barbara Schmidt-Thieme & Hans-Georg Weigand
ginnt eine Änderung oder Neuerung im schulischen
Bereich also eigentlich bei der Lehrerausbildung.
2 Das Internet in der
Lehrerausbildung
Es gibt heute ein wachsendes Angebot an Internetmaterialien,
die neben Universitätsveranstaltungen
sinnvoll genutzt werden können
(vgl. Ludwig & Wittmann 2002, Weth 2005).
Darüber hinaus bleibt es aber eine offene
Frage, ob dabei die Chance für selbstbestimmtes,
ortsunabhängiges und kooperatives
Lernen in der Universitäts- und insbesondere
in der Lehrerausbildung genutzt
werden wird. Diese Frage stand im Mittelpunkt
des virtuellen Seminars "Geometrie in
der Umwelt", das im Sommersemester 2003
als Zusammenarbeit der Pädagogischen
Hochschulen Karlsruhe (Barbara Schmidt-
Thieme), Ludwigsburg (Christine Bescherer)
und Weingarten (Matthias Ludwig) sowie der
Universität Würzburg (Hans-Georg Weigand)
stattfand. Grundlage und Ausgangspunkt waren
dabei die Ziele der Lehrerbildung, wie sie
etwa in der Denkschrift von DMV und GDM
zur Lehrerbildung (2001), Krauthausen
(1998) oder in den "Perspektiven der Lehrerbildung
in Deutschland" (Terhart 1999) angeführt
werden. Wir strebten also durch unser
virtuelles Seminar keine neuen Ziele, sondern
ein besseres (oder auch "nur" anderes)
Erreichen der Ziele an, die wir auch in traditionellen
Veranstaltungen anstreben würden.
Ferner sahen wir uns der folgenden Forderung
verpflichtet: "Die Einbeziehung neuer
Medien in die Lehrerausbildung ist eine wichtige
Aufgabe, die in den mathematischen
Fachbereichen geleistet werden muss" (DMV
& GDM 2001).
3 Erwartungen,
Schwierigkeiten, Ziele
Außer Christine Bescherer, die seit vier Jahre
im Rahmen des durch die Landesregierung
Baden-Württembergs finanzierten Projekts
"Virtualisierung im Bildungsbereich" als
Teil der "Virtuellen Hochschule Baden-Württemberg"
teilvirtualisierte Hochschulveranstaltungen
konzipiert und umsetzt, hatte keiner
der beteiligten Dozenten bisher Erfahrungen
mit einem rein virtuellen Seminar. Es
gibt wohl zahlreiche Überlegungen zum kooperativen
Arbeiten (vgl. etwa Renkl 1997
58
oder Friedrich u.a. 2002), aber im Hinblick
auf das online-Arbeiten und insbesondere im
Hinblick auf das Lernen von Mathematik liegen
bisher kaum Erfahrungen vor (vgl. etwa
Reinmann-Rothmeier & Mandl 2001 oder Döring
2002). Wendet man ein klassisches kybernetisches
Verarbeitungsmodell an, das
kommunikatives Handeln in "Input – Prozesse
– Ergebnisse" untergliedert (vgl. Friedrich
& Hron 2002), dann gehen wir von Studierenden
bzw. Gruppen von Studierenden und
einer Lernumgebung aus, haben verschiedene
Interaktionsprozesse der beteiligten Personen
untereinander und der Personen mit
dem Computer und erhalten als Ergebnisse
evtl. Veränderungen bei den Personen und
ein Produkt (Internetseiten).
Gegenüber traditionellen Seminaren erwarteten
wir
• ein stärkeres (zeitliches) Engagement der
Studierenden aufgrund der Möglichkeit,
zeitungebunden arbeiten zu können, aber
auch wegen der zusätzlichen technischen
Fähigkeiten, die für die Nutzung des Internets
notwendig sind;
• eine größere Bedeutung des Verbalisierens
bzw. Verschriftlichens fachdidaktischer
und fachlicher Inhalte;
• eine höhere Qualität bei Aufbereitung und
Darstellung der Inhalte aufgrund der Präsentation
im Netz (und damit der weltweiten
Veröffentlichung), insbesondere durch
das Nutzen neuer Möglichkeiten wie die
Verwendung von Applets und Links;
• eine verstärkte Kommunikation zwischen
den Studierenden und auch zwischen Dozenten
und Studierenden.
Wir rechneten aber auch mit Problemen der
Studierenden
• beim Umgang mit der der neuen Technik;
• hinsichtlich der inhaltlichen und organisatorischen
Abstimmung zwischen Studierenden
verschiedener Hochschulen;
• durch das "Ausklinken" einzelner Studierender
aus ihrer Arbeitsgruppe;
• aufgrund der verlangten höheren Selbststeuerung;
• aufgrund der eingeschränkten Möglichkeit,
vor allem mathematische Formeln
und Skizzen, Graphen und Diagramme
elektronisch darzustellen zu können.
Bei unserer Veranstaltung waren wir an folgenden
zunächst sehr allgemein gehaltenen
Fragen interessiert:

• Wie ist ein virtuelles Seminar zu gestalten,
das Studierende verschiedener
Hochschulen zusammenbringt?
• Werden unsere Erwartungen und Hoffnungen
im Hinblick auf das selbstbestimmte
und kooperative Arbeiten erfüllt?
• Ist gegenüber einem traditionellen Seminar
ein Mehrwert im Hinblick auf die Ziele
(ein Ziel) der Lehrerausbildung festzustellen?
• Welche technischen, inhaltlichen, kommunikativen
Schwierigkeiten treten während
des Seminars auf?
• Welche Qualität hat das zu erzeugende
Produkt (Internetseiten)?
Bevor aber spezielle Forschungsfragen gestellt
und untersucht werden können, müssen
zuerst Erfahrungen mit der Realität virtueller
Veranstaltungen gemacht werden, sonst besteht
die Gefahr, in den technischen Problemen
stecken zu bleiben.
4 Konzeptionelle Gestaltung
4.1 Personen
Teilnehmer an dem Seminar waren Studierende
für die Lehrämter an Gymnasien, Real-
und Hauptschulen. Somit war das Vorwissen
sowohl in fachlicher als auch didaktischer
Hinsicht sehr unterschiedlich. Die Studierenden
für das Lehramt an Gymnasium waren
mehrheitlich im 3. Semester und hatten bisher
noch keine Didaktikveranstaltung gehört. 1
4.2 Thema
Das Thema des Seminars "Geometrie in der
Umwelt" spricht Lernende an, ist wichtig für
alle Schularten und in jede Studienordnung
integrierbar. Die Dozenten wählten sechs
Themenbereiche im Hinblick auf gute Bearbeitungsmöglichkeiten
aus: Flächeninhalte,
Dreiecke, Spiegel, Spiralen, Strahlensatz und
Trigonometrie. Für alle Studierenden war
dieses Seminar eine Pflichtveranstaltung, in
der ein Leistungsnachweis erworben werden
konnte.
1 Das ist sicherlich nicht wünschenswert; aufgrund einer Änderung
der Studienordnung musste diesen Studierenden kurzfristig eine
neue Veranstaltung angeboten werden; und dabei handelte es
sich um das hier beschriebene Virtuelle Seminar.
Ein virtuelles Seminar — Konzeption, Durchführung und Auswertung
4.3 Interaktionsformen
Um den durch die Virtualität gegebenen Vorteil
verteilter Standorte mit verschiedenen
personalen Ausgangssituationen (fachliches,
didaktisches Vorwissen sowie Studienschwerpunkt)
bestmöglich zu nutzen (und die
Studierenden zur Kooperation mit den anderen
Hochschulen zu zwingen), wurde jedem
Standort ein Bearbeitungsschwerpunkt zugeordnet.
• Würzburg übernahm die fachliche
Aufarbeitung der Inhalte,
• in Ludwigsburg widmete man sich der didaktischen
Aufbereitung der Themenbereiche,
und
• in Karlsruhe geschah die Umsetzung für
den Unterricht, also die methodische Aufbereitung.
• Weingarten setzte die Themen durch Vermessungsaufgaben
im Gelände um, es
handelte sich also um eine praktische
Aufbereitung.
Entsprechend der sechs Themenbereiche
wurden an jeder Hochschule sechs Gruppen
von je 2 – 4 Personen gebildet, die Standortgruppen.
Eine Themengruppe bestand dann
aus den vier Standortgruppen der vier Hochschulen,
somit aus 10 – 16 Personen. Insgesamt
nahmen 83 Personen an dem Seminar
teil.
Die Arbeit an den Standorten war sehr unterschiedlich
organisiert. In Weingarten traf sich
die Gesamtgruppe überwiegend "real", in
Ludwigsburg nur "virtuell" und in Karlsruhe
und Würzburg in Mischformen. Die Zusammenarbeit
innerhalb der Themengruppe verlief
rein virtuell. Eine weitere Aufteilung der
Zuständigkeiten innerhalb einer Standortgruppe
blieb den Studierenden selbst überlassen.
So bot es sich an, dass sich etwa ein
Student um die technische Aufbereitung, ein
anderer um das Literaturstudium in der Bibliothek
und ein dritter um die Internetrecherche
kümmerte.
Somit entstand eine virtuelle Form eines
"Gruppenpuzzles" (Stebler u.a. 1994, Bett
u.a. 2002), bei dem zunächst von den Standortgruppen
je ein Teil eines Themenbereiches
bearbeitet wurde. In der Mischung von
realen Terminen vor Ort, virtueller Zusammenarbeit
hochschulintern und -extern entstand
somit eine "hybride Form" des Lernarrangements.
59

Christine Bescherer, Matthias Ludwig, Barbara Schmidt-Thieme & Hans-Georg Weigand
4.4 Kommunikationsplattform
Wir stellten folgende Anforderungen an die
Kommunikationsplattform:
• Es sollte eine organisatorische sowie inhaltsbezogene
Kommunikation der Gruppenmitglieder
untereinander, aber auch
zwischen Studierenden, Tutoren und Lehrenden
stattfinden;
• der Austausch von Sachinformationen
sollte in verschiedenen elektronischen
Formaten (Texte, Dateien, URLs usw.) erfolgen;
• es sollten Annotationsmöglichkeiten (auf
Beiträge gezielt reagieren können) und
eine gezielte Betreuung von einzelnen
oder Gruppen unterstützt werden.
Als Kommunikationsplattform wurde BSCW
(Basic Support for Cooperative Work —
www.bscw.de) gewählt.
4.5 Anforderungen an die
Studierenden
Jede Gruppe hatte die Aufgabe, bis zum
Semesterende eine Website zu ihrem Thema
zu erstellen, welche Studierenden oder (angehenden)
Lehrern Information in übersichtlicher
und ansprechender Weise anbietet.
Vorgaben für die Gestaltung der Websites
gab es keine. Diese Freiheit stellte sich als
ein sehr zeitraubender Faktor heraus, da die
Studierenden in den ersten Entwürfen anstatt
sich mit den Inhalten zu beschäftigen, sehr
viel Zeit in die farbliche Gestaltung und das
Design der Website investierten.
In technischer Hinsicht wurden von den Teilnehmern
keine Vorkenntnisse erwartet. An
jeder Hochschule fanden Einführungsveranstaltungen
im Umfang von etwa einer Stundeneinheit
zur Nutzung von BSCW statt.
Wieterhin wurde den Studierenden — ebenfalls
im Rahmen einer Stundeneinheit — eine
Einführung in die Erstellung von HTML-Seiten
gegeben. Es wurden drei unterschiedlich
komplexe Vorlagen für Websites angeboten,
die jedoch von den Studierenden nicht genutzt
wurden.
Die Studierenden mussten also ihre Aufmerksamkeit
und Arbeitszeit im Wesentlichen
auf drei Bereiche verteilen: Inhalt,
Kommunikation oder soziale Interaktion und
Technik.
Daraus ergaben sich folgende Anforderungen
an die Studierenden:
60
• Selbstständige Einarbeitung in die fachlichen
und didaktischen Grundlagen des
Themas;
• Kennen lernen elektronischer Kommunikationsmöglichkeiten;
• Aufarbeitung eines mathematischen Themenbereichs
in Form einer Internetpräsentation;
• selbstständige Organisation des gesamten
Arbeitsablaufes zur Erstellung des Internet-gestützten
Produkts;
• Präsentation des Produkts in der realen
Abschlussveranstaltung.
5 Ablauf
5.1 Rahmenplan
Ein virtuelles Seminar auf Projektbasis gewährt
viele Freiheiten, es ist deshalb umso
wichtiger, organisatorische Eckdaten für die
Ergebnissicherung festzusetzen. Tabelle 1
zeigt einen Ausschnitt aus dem Rahmenplan,
der bei Veranstaltungsbeginn veröffentlicht
wurde (vgl. www.vib-bw.de/tp2/achiv/
sose2003/seminar3/zeitplan.pdf).
Die Eckdaten orientieren sich an Wendepunkten
der Projektarbeit. Während die Gesamtgruppen
virtuell arbeiteten, waren hochschulinterne
Gruppentreffen natürlich möglich,
erwiesen sich auch als fruchtbar. Ebenso
fand die Betreuung durch den jeweils Lehrenden
virtuell wie real statt, in Ludwigsburg
und Würzburg standen den Teilnehmern zudem
Tutoren für alle technischen Fragen zur
Verfügung. Die rein virtuelle Organisation in
Ludwigsburg lässt sich auch am Plan erkennen,
da ohne reale Treffen die Aufgabenstellung
viel klarer formuliert werden muss.
5.2 BSCW
Über die Einführungsveranstaltung zu BSCW
und zu HTML hinaus standen den Studierenden
Online-Hilfen und Lernaufgaben zur Verfügung,
die sich in einem eigenen Ordner befanden.
Von der Eingangsseite (Screenshot
s. Abb. 1) aus gelangte man direkt in den Arbeitsordner
seiner Gruppe, bekam fachliche
Informationen und technische Hilfestellung
im virtuellen Handapparat "Materialien &
Links", organisatorische Hilfen in "Organisatorisches"
oder konnte sich in der "Cafeteria"
austauschen. Bei einigen Ordnern beschränkte
sich der Zugang der Studierenden
auf "Leserechte", in den Ordnern ihrer eige-

Woche /
Datum Aktion
28.4. bis
4.5.
nen Arbeitsgruppe durften sie natürlich Dokumente
jeder Art einstellen, diese kommentieren,
sich an einem Diskussionsforum beteiligen
oder neue Ordnerstrukturen erstellen.
Wie schon erwähnt, verwendeten die Studierenden
viel Zeit für die Diskussion über die
farbliche und bildnerische Gestaltung ihrer
Website, inhaltlichen Fragen wurden deshalb
erst im weiteren Verlauf der Veranstaltung
Ein virtuelles Seminar — Konzeption, Durchführung und Auswertung
Würzburg Ludwigsburg Karlsruhe Weingarten
Erstellen einesAblaufplans
für die
Arbeit innerhalb
der
hochschulübergreifendenArbeitsgruppen
Einführung ins
Seminar LB:
Bearbeiten den
Aufgabe im
BSCW-Ordner:
"Aller Anfang
ist schwer"
Einführung
ins Seminar
KA
Einführung
ins Seminar
WG
Besonderheiten
Semesterbeginn
Ba-Wü
… … …
16.6. bis
22.6.
zweiter Entwurf wird noch von allen Gruppen kommentiert
23.6. bis
29.6.
4.7.
Überarbeitung des zweiten Entwurfs. Erstellen der Website,
vernetzt mit den anderen Gruppen.
…
Präsentation
Tab. 1
Abb. 1
analysiert. So lautet ein typischer Diskussionsbeitrag
vom 22.5.:
"Ja, die Idee mit der gemeinsamen Diskussion
find ich gut! Vorschläge zur URL:
— Die Randleiste finde ich sehr gut gelungen,
aber die zentrale Hintergrundfarbe
(weiss) könnte aber auch ruhig blau
oder gelb sein. — Von den Buttons an der
Randleiste könnte man dann ja auf die
Themenbestandteile der einzelnen Hoch-
…
61

Christine Bescherer, Matthias Ludwig, Barbara Schmidt-Thieme & Hans-Georg Weigand
62
schulen kommen. — Man müsste sich
auch auf gemeinsame Formatvorlagen
(einheitlicher Hintergrund, gemeinsame
Schriftart, Schriftgröße, Kopf- und Fußzeile,
...) einigen. So weit so gut. Ich hoffe,
wir bringen die Geschichte auf einen gemeinsamen
Nenner!"
5.3 Webseiten
Die Vorgaben für die Gestaltung der Webseiten
waren sehr gering, doch hatten wir die
technischen Schwierigkeiten zu wenig bedacht.
So wurden von den einzelnen Gruppen
zunächst hochschulintern die Internet-
Seiten konzipiert und erstellt. Das Problem
war dann, die unterschiedlichen Internetseiten
zu einer Gesamtstruktur zusammenzufügen.
Einige Beispiele der Webseiten finden sich
unter der Adresse www.ph-weingarten.de/
homepage/faecher/mathematik/virgeo/ (Beispiel
eines Screenshots s. Abb. 2). Wir konnten
leider nicht alle Websites veröffentlichen,
da sich manche Gruppen nicht an die Copyright-Regelungen
gehalten und z.B. Seiten
aus Schulbüchern eingescannt haben.
5.4 Präsentation
Am Ende des Seminars wurde ein "Face-toface-Treffen"
durchgeführt, bei dem die hochschulübergreifenden
Themen-Gruppen ihre
Webseiten präsentierten. Die Gesamt-Rede-
zeit jeder Themengruppe umfasste 50 Minuten
(plus 10 Minuten Diskussion), wobei die
Präsentation innerhalb der Gruppe abgestimmt
werden sollte. Die Vorbereitung dieser
— benoteten — Präsentation fand ebenfalls
virtuell statt. Ergiebiger wären sicherlich
zweitägige Gesamttreffen sowohl zu Beginn
wie auch zum Abschluss der Veranstaltung
gewesen, dies war aber sowohl aus organisatorischen
wie auch aus finanziellen Gründen
nicht möglich.
6 Ergebnisse und Eindrücke
6.1 Webseiten
Die am Semesterende von den Studierenden
zusammengestellten Internetseiten lassen
die Gliederung des jeweils bearbeiteten
Themenbereichs in einen fachlichen, didaktischen,
methodischen und anwendungsorientierten
Untermodul gut erkennen. Sie zeigen
weiterhin, dass sich die einzelnen Gruppen
intensiv mit dem jeweiligen Thema auseinandergesetzt
und ein vorzeigbares Produkt
erstellt hatten. Die Qualität der Seiten stufen
wir (die Dozenten) als "gut" und teilweise
"sehr gut" ein.
6.2 Diskussionsforen
Abb. 2: Screenshot einer im Seminar entstandenen Webseite
Ein virtuelles Seminar bringt es mit sich, dass
die gesamte Interaktion über Sprache in

elektronischer Form erfolgt. Interessant ist
das Kommunikationsverhalten in Bezug auf
Thema und Häufigkeit in Abhängigkeit von
dem Seminarablauf, welches anhand der
Diskussionsbeiträge der Studierenden analysiert
wurde. Diagramm 1 zeigt die gesamten
Beiträge aller Teilnehmer im zeitlichen Verlauf.
Bei insgesamt 414 Diskussionsbeiträgen
ergibt sich eine Beitragsdichte von
knapp 6 Beiträgen pro Teilnehmer im gesamten
Seminar.
70
60
50
40
30
20
10
0
gesamte Diskussionsbeiträge
28.04.2003 - 04.0...
05.05.2003 - 11.0...
12.05.2003 - 18.0...
19.05.2003 - 25.0...
26.05.2003 - 01.0...
02.06.2003 - 08.0...
09.06.2003 - 15.0...
16.06.2003 - 22.0...
23.06.2003 -29.0...
30.06.2003 -06.0...
Auffallend war, dass der Anteil organisatorischer
Diskussionsbeiträge sehr hoch war;
d.h. die Arbeitsverteilung, das Erstellen der
Seiten, Terminabsprachen und Fragen, die
mit der Präsentation am Ende des Seminars
zusammenhingen, sowie technische Probleme
und Fragen im Bereich der Seitenerstellung
wurden mehr diskutiert als mathematische
und didaktische wie methodische Fra-
40
30
20
10
0
Diagramm 1
Diskussionsverhalten
Ludwigsburg
Diagramm 2a
Diagramm 2b
Ein virtuelles Seminar — Konzeption, Durchführung und Auswertung
gen. Das lässt sich eventuell darauf zurückführen,
dass die einzelnen Standortgruppen
doch zum grossen Teil eigenständig arbeiteten,
ohne Bezug zu den anderen Modulen ihrer
Themengruppe. Absprachen zwischen
den Standortgruppen wurden allerdings auch
über (private) Emails getroffen.
Die Diskussionsfreudigkeit stieg in fast allen
Hochschulen stetig bis zum Ende des Seminars
an. Nur in Ludwigsburg wurde durch eine
verpflichtende Maßnahme erreicht, dass
die Studierenden in der Mitte
des Seminars ihren Diskussionsanteil
stark erhöhten
(Diagramm 2a und 2b). Insgesamt
war der Diskussionsanteil
der Ludwigsburger
gesamt
Studierenden wesentlich höher
als an den anderen
Hochschulen. Dies lässt sich
wohl darauf zurückführen,
dass in Ludwigsburg sowohl
seitens der Dozentin als
auch seitens der Studierenden
bereits Erfahrungen mit
virtuellen Seminaren vorliegen,
diese Kommunikationsform
den Studierenden also
vertrauter war.
So erfreulich einerseits ein reges Diskussionsverhalten
im Forum ist, so ergibt sich andererseits
dadurch eine — auch von den Dozenten
— kaum zu bewältigende Informationsfülle.
Es war kaum möglich, alle Beiträge
im Diskussionsforum zu lesen, geschweige
denn auch noch darauf zu antworten.
6.3 BSCW und HTML
(Technologie)
Die Bedienung des BSCW-Systems brachte
mehr Probleme mit sich, als wir gedacht hatten.
Diese lagen nur z.T. in der hohen Eingewöhnungszeit
der Studierenden, auch die —
je nach Netzauslastung — lange Übertragungszeit
bei jeder Aktion erschwerte den
Austausch, zudem gab es Schwierigkeiten
mit verschiedenen Dateiformaten
(insbesondere
mit Word-Dokumenten).
Darüber hinaus hatten wir
die Vertrautheit der Studierenden
mit dem Internet
überschätzt. Unklar
war vielen, was das
"Netz" eigentlich ist, was
eine Website ist (eine
HTML-Datei auf einem
Rechner), ganz abgese-
63

Christine Bescherer, Matthias Ludwig, Barbara Schmidt-Thieme & Hans-Georg Weigand
hen davon, wie man eine solche Seite selbst
erstellt.
7 Fazit und Ausblick
• Die Auswertung der Abschlussdiskussion
zeigt, dass die Veranstaltung von den
Studierenden positiv beurteilt wurde. Dies
lag zum einen an den hochschulübergreifenden
Kontakten und zum anderen daran,
dass die Studierenden Zeit hatten,
sich intensiv mit einem Thema auseinander
zu setzen. Allerdings wurde auch herausgestellt,
dass eine Veranstaltung in
dieser Form einen erheblichen Mehraufwand
im Vergleich zu traditionellen Seminaren
erforderte. Dies gilt in gleicher Weise
auch für die Lehrenden, da die immer
wieder erforderlichen Einzelberatungen
sehr viel Zeit benötigte.
• Die Email-Anfragen seitens der Studierenden
an die Dozenten hielten sich —
anders als erwartet — doch in sehr begrenztem
Rahmen. Hier zeigt sich das alte
Phänomen, dass es eines fortgeschrittenen
Wissens bedarf, um Fragen zu stellen.
Bei Unsicherheiten in der Fragestellung
scheint man seitens der Studierenden
ein persönliches Gespräch einer
Email-Anfrage vorzuziehen.
• Das Vermitteln von Grundlagenkenntnissen
im Umgang mit dem Kommunikationssystem
und einem Programm zur Erstellung
von Internetseiten sollte zu Beginn
in einem konzentrierten Kurs angeboten
werden. Wir gehen zwar davon aus,
dass in Zukunft mehr und mehr Studierende
mit derartigen Programmen vertraut
sein werden und deren Bedienung auch
immer einfacher werden wird. Gegenwärtig
ist die Unkenntnis im Umgang mit den
Programmen aber noch ein leistungslimitierender
Faktor im Hinblick auf die Ziele
einer virtuellen Veranstaltung.
• Die Freiheit, die sich aus dem Projektcharakter
ergab, wurde allgemein positiv gesehen,
dennoch stand dazu im Widerspruch,
dass sich die Studierenden mehr
Strukturvorgaben wünschten (z.B. mehrere
bestimmte Zwischentermine, genaue
Angaben zur Erstellung, zum Umfang,
usw.). Ein Zitat aus der Abschlussdiskussion,
die in der Präsenzveranstaltung angefangen
und dann über BSCW weitergeführt
wurde, beschreibt stellvertretend die
Meinung der Studierenden:
"Im Gesamten gesehen und im Hinblick
auf die derzeit an den Schulen geforderte
64
Projektdidaktik hat mir dieses Virtuelle Seminar
viele Aspekte (Planung, Kommunikation,
Gruppenarbeit, Teamgeist, -fähigkeit,
Problembewältigung, Präsentieren,
...), die für ein Projekt erforderlich sind,
mit vielen ihrer Vor- und Nachteile sowie
Problemen gezeigt. Eine wichtige Grunderfahrung,
um später selbst Projekte mit
Schülern durchführen zu können."
• Entscheidend ist die Vorgabe strukturierender
und ordnender Maßnahmen zu
Beginn des Seminars. Insbesondere bedarf
es klar formulierter Aufgabenstellungen,
die den Studierenden den Einstieg in
die inhaltliche Diskussion erleichtern.
• Was wir zu wenig bedacht haben: Neben
der Gruppenbewertung sollten auch die
Leistungen der Einzelnen deutlicher herausgestellt
werden. "Förderung der individuellen
Verantwortlichkeit bei gleichzeitiger
Gruppenbelohnung lautet die Gestaltungsformel."
(Fischer u. Waibel 2002).
• Bei einem Seminar über vier Universitäten
hinweg ist es kaum leistbar, dass sich ein
Dozent mit jeder Themenstellung intensiv
auseinandersetzt. Insbesondere ist es
kaum möglich, alle Beiträge im Diskussionsforum
zu würdigen. Es ist deshalb
notwendig, dass sich jeder der beteiligten
Dozenten auf einen Teilbereich konzentriert.
Dies könnte etwa dadurch erfolgen,
dass jeder Dozent die Themengruppe betreut,
die seinen Interessen am nächsten
steht.
• Vor allem im Hinblick auf die Darstellung
von Internetseiten ist BSCW nicht das
geeingete Werkzeug für ein virtuelles
Seminar. Auch wird es gerade im Bereich
der Mathematik sehr wichtig sein, mit einem
Programm kommunizieren zu können,
das die einfache Darstellung mathematischer
Symbole und Skizzen erlaubt.
Diese Veranstaltung, in der die Studierenden
in Teamarbeit einen mathematischen Kontext
erarbeiteten und ihn elektronisch recherchierten,
aufbereiteten und präsentierten, sollte
zunächst die Akzeptanz einer virtuellen Veranstaltung
im Bereich der Mathematikdidaktik
seitens der Studierenden und seitens der
Dozenten aufzeigen. Mit ihr wurden vor allem
Möglichkeiten, aber auch Schwierigkeiten
und Grenzen ausgelotet. Ob langfristige Veränderungen
im Arbeitsverhalten oder in der
Einstellung zu Mathematik bzw. zu Mathematikdidaktik
erzielt wurden, lässt sich im Moment
noch nicht sagen.

Literatur
Bett, K. u.a. (2002): Das Gruppenpuzzle als kooperative
Lernmethode in virtuellen Seminaren
— ein Erfahrungsbericht. In: Gudrun Bachmann,
Odette Haefeli & Michael Kindt (Hrsg.)
(2002): Campus 2002. Münster u.a.: Waxmann,
357-365
DMV & GDM (2001): Denkschrift zur Lehrerbildung.
www.mathematik.de/gdm unter Stellungnahmen,
Zugriffsdatum 17.11.2003
Döring, Nicola (2002): Online-Lernen. In: Issing &
Klimsa (2002), 247–264
Fischer, F. & M. C. Waibel (2002): Wenn virtuelle
Lerngruppen nicht so funktionieren, wie sie eigentlich
sollten. In: Rinn & Wedekind (2002),
35–50
Friedrich, H. F., W. Hesse, B. Garsoffky & A. Hron
(2002): Netzbasiertes cooperatives Lernen. In:
Issing & Klimsa (2002), 283–298
Friedrich, H. F. & A. Hron (2002): Gestaltung und
Evaluation virtueller Seminare. In: Rinn & Wedekind
(2002), 11–34
Issing, Ludwig J. & Paul Klimsa (Hrsg.) (2002): Information
und Lernen mit Multimedia und Internet.
Weinheim: Beltz PVU, 3. Auflage
Ein virtuelles Seminar — Konzeption, Durchführung und Auswertung
Krauthausen, Günter (1998): Lernen — Lehren —
Lehren lernen. Stuttgart: Klett
Ludwig, Matthias & Gerald Wittmann (2002): Eine
internetgestützte Wissensbasis zur Didaktik
der Geometrie — Entwicklungsprinzipien und
Pilotstudie. In: mathematica didactica 24, 81–
92
Reinmann-Rothmeier, Gabi & Heinz Mandl (2001):
Virtuelle Seminare in Hochschule und Weiterbildung.
Göttingen: Huber
Renkl, Alexander (1997): Lernen durch Lehren:
Zentrale Wirkmechanismen beim kooperativen
Lernen. Wiesbaden: DUV
Rinn U. & J. Wedekind (Hrsg.) (2002): Referenzmodelle
netzbasierten Lehrens und Lernens.
Virtuelle Komponenten der Präsenzlehre.
Münster u.a.: Waxmann
Stebler, R., K. Reusser & C. Pauli (1994): Interaktive
Lehr-Lern-Umgebungen: Didaktische Arrangements
im Dienst des gründlichen Verstehens.
In: Reusser, K. und M. Reusser-Weyenth
(1994): Verstehen. Psychologischer Prozess
und didaktische Analyse. Göttingen: Huber,
227–259
Terhart, Ewald (1999) Perspektiven der Lehrerbildung
in Deutschland. Weinheim: Beltz
Weth, Thomas (2005): MaDiN — Mathematikdidaktik
im Netz. In diesem Band
65

� Der Kosinussatz — wiederentdeckt als Flächensatz
1 Einleitung
Heutzutage wird in den Schulbüchern der
Kosinussatz üblicherweise bewiesen, indem
ein gegebenes spitzwinkliges Dreieck in zwei
rechtwinklige Teildreiecke zerlegt wird (bzw.
im stumpfwinkligen Fall entsprechend ergänzt
wird) und dann der Satz des Pythagoras
angewandt wird.
Dieser Beweis verfolgt einen algebraisch orientierten,
statischen Ansatz. Die schließlich
errechnete Formel dominiert. Sie bleibt dabei
bezugslos, es gibt kein adäquates Bild zur
Formel. Der Satz des Pythagoras wird im
Beweis zwar angewandt, bleibt aber unter
der Oberfläche.
66
Hans-Jürgen Elschenbroich, Korschenbroich
Der Beitrag beschreibt, welche Erfahrungen und Entdeckungen die Autoren elektronischer
Geometrie-Arbeitsblätter (Elschenbroich & Seebach 2003) bei der Entwicklung von
Aufgaben zum Kosinussatz machten, wie eine alte Idee mühsam wieder freigelegt wurde,
wie sich dies bei der Lektüre alter Schulbücher entwickelte und wie sich schließlich mit
DGS derartige alte Ideen mit neuen Werkzeugen dynamisch umsetzen lassen.
Abb. 1: Duden Basiswissen Schule Mathematik
Abb. 2: Lambacher–Schweizer Klasse 10 (2000)
Eine Verwandtschaft zum Pythagoras-Satz,
die ja aus der Formel offensichtlich nahe
liegt, ist in der Beweisfigur nicht mehr zu erkennen.
Der Zusammenhang der Sätze ist
völlig verdunkelt, er wird nicht einmal mehr
im rechtwinkligen Sonderfall deutlich. Aus γ =
90° folgt nur noch algebraisch der Wegfall
eines Terms, weil ein Faktor darin 0 ist. Figürlich
ist vom klassischen Pythagoras-
Ansatz nichts zu finden, das betrachtete
Dreieck mutiert nur zu einem rechtwinkligen
Dreieck, in dem der Beweisansatz überhaupt
nicht mehr sichtbar wird.
Abb. 3a: Beweisfigur für γ > 90°

Abb. 3b: Beweisfigur für γ = 90°
Unsere eigenen (Elschenbroich und Seebach)
Erinnerungen an den Kosinussatz als
Verallgemeinerung des Pythagoras fanden
keine Entsprechung im heutigen Schulbuch.
Es gab keinen textlichen Hinweis, geschweige
denn eine entsprechende Figur, das Symbolische
triumphierte über das Visuelle.
2 Flächen(un)gleichheiten
Abb. 4a: Fall γ = 90°: a 2 + b 2 = c 2
Abb. 4b: Fall γ > 90°: a 2 + b 2 < c 2
Der Kosinussatz — wiederentdeckt als Flächensatz
Abb. 4c: Fall γ < 90°: a 2 + b 2 > c 2
Ein qualitativer Zusammenhang zum Kosinussatz
ist durch eine Dynamisierung und
Verallgemeinerung des Pythagoras-Satzes
schnell und einfach herzustellen. Bei fester
Seite c und beweglichem Eckpunkt C erhält
man die Konfigurationen in Abb. 4a, b, c.
Hierbei bleibt jedoch noch im Dunkeln, um
wieviel a 2 + b 2 größer oder kleiner als c 2 ist
und woran das liegt.
3 Der Kosinussatz im
Spiegel der Schulbücher
Unsere zunächst enttäuschte Erinnerung an
den Kosinussatz als Verallgemeinerung des
Pythagoras führte uns dazu, in älteren Schulbüchern
nachzuschlagen. Im Lambacher-
Schweizer der 70er Jahre wurden wir als erstes
dahingehend fündig, dass wenigstens im
Text ein Bezug zum Satz des Pythagoras
hergestellt wurde.
Abb. 5: Lambacher-Schweizer 1975
Im Lambacher-Schweizer der 60er Jahre
fand sich dann folgende Formulierung des
Satzes, die durch einen erhöhten Textanteil
auffällt:
Abb. 6: Lambacher-Schweizer 1960
67

Hans-Jürgen Elschenbroich
Es folgen dazu zweierlei Beweise, einmal der
erwähnte Zerteilungsansatz und dann ein
zweiter Beweis, in dem explizit eine pythagoras-ähnliche
Figur auftaucht, in der der Charakter
des Flächensatzes sichtbar wird.
68
Abb. 7: Lambacher-Schweizer 1960
Auch ist hier im Text wieder der Hinweis auf
die Verallgemeinerung des Pythagoras-Satzes
zu finden.
Fast die gleiche Figur ist dann auch im Lambacher-Schweizer
von Ende 40er / Anfang
50er Jahre zu finden. Es gibt jedoch einen
kleinen, aber bedeutenden Unterschied: Der
Hinweis b·cosγ am Rande des Quadrats
über a ist nicht mehr vorhanden und die Formel
c 2 = a 2 + b 2 - 2ab cosγ ist nicht mehr zu
finden.
Abb. 8: Lambacher-Schweizer ca. 1950
Bemerkenswert: Der Satz ist hier rein als
Flächensatz mit Quadraten und Teilrechtecken
formuliert! Dies erklärt sich daraus,
dass dieser Sachverhalt nicht im Kapitel Trigonometrie
thematisiert wurde (die damals
noch in der Oberstufe behandelt wurde),
sondern im Kapitel "Flächensätze im rechtwinkligen
Dreieck" unter "Vermischte Aufgaben"
auftauchte. Anstelle des Kosinus wird
hier mit der Projektion einer Strecke auf eine
andere argumentiert.
4 Der Ursprung
Insgesamt fällt auf, dass die Formulierung
von 1950 rein verbal ist und die Deutung des
Sachverhalts als Kosinus-Satz offensichtlich
neuzeitlicher zu sein scheint. Der Flächen-
Aspekt samt Projektionsgedanken dürfte
klassischer sein. Die weitere Rückverfolgung
der Lambacher-Schweizer-Reihe stößt an eine
natürliche Grenze. Ein Blick in den Klassiker,
die Elemente des Euklid, brachte folgendes
zu Tage:
§ 13 (L. 12).
An jedem spitzwinkligen Dreieck ist das
Quadrat über der einem spitzen Winkel gegenüberliegenden
Seite kleiner als die Quadrate
über den diesen spitzen Winkel umfassenden
Seiten zusammen um zweimal das
Rechteck aus einer der Seiten um diesen
spitzen Winkel, nämlich der, auf die das Lot
fällt, und der durch das Lot innen abgeschnittenen
Strecke an dieser spitzen Ecke.
Damit hat die Rückverfolgung des Kosinussatzes
nun ihr Ende gefunden.
5 Die Dynamisierung mit
DGS
Bei der Umsetzung in eine dynamische Konstruktion
haben wir uns auf den Fall des
spitzwinkligen Dreiecks beschränkt. Dabei
kann man den Scherungsansatz des Beweises
von Euklid zum Satz des Pythagoras
aufgreifen 1 .
Es ist ein spitzwinkliges Dreieck ABC gegeben
samt Quadraten über den Seiten. (Wenn
C so gezogen wird, dass das Dreieck stumpfwinklig
würde, verschwindet es.)
a) Woran erinnert dich diese Figur?
b) Begründe: Die blau gefärbten Teilrechtecke
in a² und c² sind gleich groß.
Ziehe dazu an Zug1 und Zug2. Dann
kannst du die blau schraffierten Flächen
in eine solche Gestalt und Lage bringen,
dass du ihre Kongruenz begründen
kannst.
1 Euklid hatte das selbst nicht so gemacht, sondern auf das Ergebnis
des Pythagoras-Satzes zurück gegriffen und nicht auf den Beweisansatz.
Die Scherungsargumentation macht aber den Flächenaspekt
besonders deutlich.

Abb. 9a: Scherungsbeweis
Abb. 9b: Scherungsbeweis
Abb. 9c: Scherungsbeweis
Üblicherweise wird dieser Satz jedoch heutzutage
im Unterricht als eine Anwendung des
Kosinus behandelt. Dem wurde in einem
elektronischen Arbeitsblatt Rechenschaft getragen,
das den Sachverhalt sowohl in heutiger
Form formuliert, als ihn auch in Adaption
der klassischen Flächensichtweise visuali-
Der Kosinussatz — wiederentdeckt als Flächensatz
siert. Die Schüler finden so einerseits die
gängige Formulierung des Schulbuchs wieder
und lernen andererseits den Flächenaspekt
und die Verbindung zum Satz des Pythagoras
kennen.
Es ist ein spitzwinkliges Dreieck ABC gegeben
samt Quadraten über den Seiten. (Wenn
C so gezogen wird, dass das Dreieck stumpfwinklig
würde, verschwindet es.)
a) Woran erinnert dich diese Figur?
b) Begründe: Die blau gefärbten Teilrechtecke
in a² und c² sind gleich groß, die rot
gefärbten in b² und c² ebenfalls.
Tipp: Suche nach Teildreiecken von ABC,
in denen du geeignete Seiten berechnen
kannst.
c) Zeige für die die schraffierten hellroten
bzw. hellblauen Teilrechtecke, dass ihr
Flächeninhalt a·c·cos(β) beträgt.
Tipp: Suche nach Teildreiecken von ABC,
in denen du geeignete Seiten berechnen
kannst.
d) Folgere daraus den Kosinussatz:
c² = a² + b² – 2a·b·cos(γ).
e) Findest du bekannte Sonderfälle?
Abb. 10: Screenshot Elektronisches Arbeitsblatt
Die Dynamik der Dateien kommt in der Printversion
naturgemäß nur unzureichend zur
Geltung, ebenso die farblichen Hilfen. Die
Dateien sind Teil der CD "Dynamisch Geometrie
entdecken Klasse 10" und können in
einer Demo-Version auch aus dem Internet
(www.dynamische-geometrie.de) geladen
werden.
69

Hans-Jürgen Elschenbroich
Literatur
DUDEN (2001): Basiswissen Schule Mathematik.
Berlin & Mannheim: Duden-Verlag
Elschenbroich, Hans-Jürgen & Günter Seebach
(2003): Dynamisch Geometrie entdecken. Elektronische
Arbeitsblätter Klasse 10. Rosenheim:
CoTec
Euklid (1997): Die Elemente. Ostwalds Klassiker
der exakten Wissenschaften. Frankfurt: Harri
Deutsch
70
Lambacher-Schweizer Geometrie 2 (1948). Stuttgart:
Klett
Lambacher-Schweizer Ebene Trigonometrie
(1960). Stuttgart: Klett Verlag, 12. Auflage
Lambacher-Schweizer Geometrie 2 (1975). Stuttgart:
Klett
Lambacher-Schweizer Klasse 10 (2000). Stuttgart:
Klett

� Konstruktiv arbeiten mit dem Internet in Schule und
Lehrerausbildung — Methoden der Content-Erstellung
mit Beispielen aus der Praxis
Astrid Ernst & Engelbert Niehaus, Münster
Lehr- und Lernsysteme können es Lernenden ermöglichen, selber Inhalte in das System
einzubringen und so zu Autoren und Autorinnen zu werden. In diesem Beitrag werden
Möglichkeiten und Wege einer solchen konstruktiven Nutzung von Lehr- Lernsystemen in
der Lehrerausbildung vorgestellt.
0 Einleitung
Der typische Umgang mit Lehr- und Lehrsystemen
ist dadurch gekennzeichnet, dass
Lehrende Inhalte in das System einstellen
und Lernende die Inhalte für die Vor- und
Nachbereitung von Klausuren, Seminaren
usw. "entnehmen". Zu diesem Zweck arbeiten
dann didaktische und fachliche Experten
am Aufbau einer Wissensbasis zusammen.
In diesem Sinne werden im vom bmb+f geförderten
MADIN-Projekt (homepage:
http://www.madin.net) größere Wissensbereiche
der Lehramtsausbildung Mathematik
für das Internet aufbereitet (vgl. auch die Beiträge
von T. Weth und G. Wittmann zu
MADIN in diesem Band).
Betrachtet man die Anforderungen, die z.B.
an Lehrer/innen in der Unterrichtspraxis gestellt
werden, so ist die Anpassung gegebener
Unterrichtsinhalte an die Lernvoraussetzungen
der Lerngruppe eine zentrale Aufgabenstellung,
die unabhängig vom unterrichteten
Fach von jedem/r Lehrer/in geleistet werden
muss. In diesem wie in vielen anderen
Anwendungsbereichen genügt es heute nicht
mehr, wenn Lernende Inhalte ausschließlich
rezeptiv nutzen. Internetbasierte Lehr- und
Lernsysteme können Lernende bei einer
konstruktiven Nutzung von Inhalten auf unterschiedliche
Weise unterstützen, z.B. indem
die Inhalte als Informationsquelle für die
Bearbeitung projektartiger Aufgabenstellungen
in Gruppenarbeitssituationen gewinnbringend
nutzbar sind. Internetbasierte Lehrund
Lernsystemen können es Lernenden aber
auch ermöglichen, Inhalte in einem persönlichen
Bereich neu zu organisieren, neue
Inhalte in das System einzubringen und so
selbst zu Autorinnen und Autoren zu werden.
Die im Rahmen des MADIN-Projektes von
der Arbeitsgruppe um M. Stein, Münster,
entwickelte Software SIMLA (System for internet
based multimedia enriched learning
acitivites) unterstützt Studierende bei einer
konstruktiven Nutzung des Lehr- und Lernsystems
in diesem Sinne.
Wenn es lediglich darum geht, einen Unterrichtsentwurf
oder ein Video in ein System
einzubinden, kann dies in der Regel "ad hoc"
geschehen. Problematisch wird dieses Vorgehen
aber, wenn viele Personen an einer
Wissensbasis arbeiten bzw. größere Wissensbereiche
aufbereitet werden. Es entsteht
dann u.U. eine unstrukturierte Ansammlung
von einzelnen Informationseinheiten, die für
eine/n spätere/n Nutzer/in unüberschaubar
werden können. Deshalb wurde zum einen
ein internetbasiertes Lehr- und Lernsystem
entwickelt, das die Präsentation, Reorganisation
und Produktion von mathematischen und
didaktischen Inhalten unterstützt, und zum
anderen eine darauf abgestimmte Methode
erarbeitet, die Studierende bei der eigenständigen
Aufbereitung von Inhalten für das
Lehr-Lernsystem unterstützt. Diese Methode
wurde innerhalb von drei Generationen von
Examenstudentinnen und -studenten erprobt,
die im Rahmen ihrer Examensarbeit ein mathematikdidaktisches
Thema für das Lehr-
Lernsystem aufbereiteten.
Im Folgenden wird zunächst das entwickelte
Lehr- und Lernsystem kurz vorgestellt. Anschließend
werden Methoden behandelt, die
Autoren/innen bei der Erstellung von Lernsoftware
unterstützen können. Dazu werden
zwei Modelle aus dem ISD (Instructional Systems
Design) vorgestellt und ihre Eignung für
den Einsatz im Lehramtsstudium und insbesondere
im Rahmen von Examensarbeiten
diskutiert. Die in Münster erarbeitete Lösung
wird dann überblicksartig dargestellt. Abschließend
werden Möglichkeiten behandelt,
wie eine Autorentätigkeit im Lehramtsstudium
schrittweise von Vorlesungen über Seminare
bis hin zu Examensarbeiten aufgebaut
werden kann. Wege einer konstruktiven Nut-
71

Astrid Ernst & Engelbert Niehaus
zung des Systems in der Referendarzeit und
später als Lehrer/in werden vorgestellt.
1 Vorstellung des entwickelten
Lehr-Lernsystems
Das entwickelte webbasierte Lehr- und Lernsystem
besteht aus zwei Komponenten:
• der Navigationsumgebung, mit dem Inhalte
angeschaut werden können.
• dem Autorentool, mit dem neue Inhalte in
das System "geladen" werden können
und mit dem die Struktur der vorhandenen
Inhalte in einem persönlichen Bereich
modifiziert und erweitert werden kann.
Abb. 1: Schreibtisch als Navigationselement, ermöglicht
Zugriff auf theoretische Informationen,
Anwendungsbeispiele, Anregungen zu Aktivitäten
usw.
Abb. 2: Menü ermöglicht Navigation in der hierarchisch
vernetzten Inhaltsstruktur
Zentrales Element der Navigationsumgebung
ist der Schreibtisch, über den die Nutzer/innen
auf die Inhalte zugreifen. Dieser
wird kontextabhängig unterschiedlich gefüllt:
Beim Thema "Bruchrechnung" enthält er theoretische
Informationen, Anwendungsbeispiele,
Anregungen zu Aktivitäten, Links ins
Internet usw.. Navigiert der/die Nutzer/in mittels
des Menüs (Abb. 2) zu einem anderen
72
Thema, so werden die Inhalte im Schreibtisch
ausgetauscht (weitere Erläuterungen
siehe Absatz "4 Grundkonzeption für den Inhaltsbereich
des Lehr-Lernsystems").
2 Modelle des Instructional
Systems Design (ISD)
ID- (Instructional Design) bzw. ISD- (Instructional
System Design) Modelle stellen eine
Hilfe dar, die für die Entwicklung eines Lernsystems
relevanten Arbeitsschritte und Aspekte
effizient zu planen und durchzuführen.
Typischerweise findet sich bei den ISD-
Modellen eine Einteilung in folgende größere
Arbeitsabschnitte: Analyse, Planung, Entwicklung/Produktion,
Implementierung, Evaluation/Revision
(vgl. Issing 2002, 151; Wager
et al. 1997; Fardouly 2002). Viele ISD-
Modelle zielen auf die Erstellung eher linear
organisierter Lernangebote ab und wurden
insbesondere bei der Erstellung von Programmen
in der Tradition von drill and practice
angewendet. In Abbildung 3 ist ein ISD-
Grundmodell zu sehen, in dem Issing (2002)
typische Elemente von ISD-Modellen zusammenfasst.
Modelle für die Entwicklung von konstruktivistisch
orientierten Angeboten, wie z.B. von
Hypermediasystemen, befinden sich in der
Entwicklung. Ein solches Modell ist das von
Blumstengel entwickelte (Abb. 4). Beide Modelle
werden im Folgenden kurz vorgestellt.
2.1 ISD-Grundmodell (vgl. Issing
2002)
Die Arbeitsphasen des Entwicklungsprozesses
werden beim ISD typischerweise zeitlich
weitgehend nacheinander durchgeführt. Der
Entwicklungsprozess beginnt mit der Phase
der "Analyse/Planung".
2.1.1 Analyse/Planung:
In der Analyse/Planung werden die didaktische
und pädagogische Grob- und Feinplanung
durchgeführt. Dazu wird zunächst
eine didaktische Zielsetzung sowie ein didaktischer
Entwurf für das Lernangebot erarbeitet.
Typisches Element dieser Phase ist eine
präzise "Definition der Lernziele". Diese bildet
die Voraussetzung für die Ableitung geeigneter
Methoden der Inhaltsvermittlung und
der Beurteilung des Lernerfolges. Bei der
Entwicklung des didaktischen Entwurfes sollte
auf Basis einer Zielgruppenanalyse eine

Abb. 3: Modell des Systematischen Instruktionsdesign
(aus Issing 2002, 158)
Abstimmung auf die Zielgruppe erfolgen
("Identifizierung der Lernereigenschaften").
Dabei sind insbesondere deren Vorwissen
und Motivationslage wichtig.
Die Planungen werden anschließend weiter
verfeinert ("Auswahl und Vorbereitung der
Lerninhalte" "Planung der Lehr- Lernmethode
und der Medien"). Feinlernziele werden bestimmt,
Inhalte und Vermittlungsstrategien
festgelegt, die Inhalte in eine Abfolge gebracht
und geeignete Medien ausgewählt.
2.1.2 Entwicklung und Produktion:
Die praktische Umsetzung der Planungen ist
Gegenstand der Entwicklungs- und Produktionsphase.
Als Hilfsmittel werden u.a. Flowcharts
verwendet, die insbesondere die Planung
linearer Ablaufstrukturen unterstützen.
Außerdem wird der Arbeitskräfteeinsatz und
die Teamzusammensetzung geplant, sowie
der Zeit- und Mittelaufwand für die Medienproduktion
kalkuliert. Es werden geeignete
Werkzeuge und technische Hilfsmittel ausgewählt.
2.1.3 Evaluation, Revision, Implementation:
Die Erprobung der Einheiten sowie des Lehr-
Lernprogramms in der Anwendung sollte als
formative Evaluation den Entwicklungs- und
Produktionsprozess begleiten. Eine summative
Evaluation ist mit einem wesentlich höherem
Aufwand verbunden und mit verschiedenen
Problemen der Umsetzung verbunden.
Die Aussagen können aufgrund der langen
Dauer des Evaluationsprozesses in der
Konstruktiv arbeiten mit dem Internet — Methoden der Content-Erstellung
Regel nicht mehr für die Verbesserung des
Produktes verwendet werden. Vielmehr sind
die Ergebnisse für eine abschließende Beurteilung
der Entwicklung von Interesse.
2.2 Entwicklungsmodell für hypermediale
Lernsysteme von
Blumstengel (1998)
Blumstengel (1998; s. Abb. 4) entwickelte ein
an konstruktivistischen Konzepten orientiertes
Entwicklungsmodell für hypermediale
Lernsysteme, in dem sie Elemente des ISD
aufgreift. So unterteilt auch Blumstengel
(1998, 155–184) den Projektverlauf in größere
Phasen, und zwar in Bedarfsanalyse, Entwicklung
von Alternativen, Produktion/Planung
sowie Anwendung und Evaluation.
Abb. 4: Entwicklungsmodell für hypermediale
Lernsysteme (Blumstengel 1998, Abb. 3.1, 156)
In ihr Modell integriert Blumstengel das Konzept
des "rapid prototyping", das aus der
Software-Entwicklung stammt und durch die
frühzeitige Produktion eines "Prototypen",
seiner Erprobung in der Praxis und iterativen
Verbesserungsmaßnahmen an dem Prototypen
gekennzeichnet ist. Dies führt auch zu
einer Überlappung von Arbeitsphasen, so
dass eine eindeutige Abgrenzung der einzelnen
Arbeitsphasen mit einer streng linearen
Abfolge nicht mehr gegeben ist. In Abb. 4 ist
das Modell in einer Grafik skizziert.
Von dem oben dargestellten ISD Grundmodell
unterscheidet sich das Modell von
Blumstengel insbesondere in den folgenden
Hinsichten:
• Es wird keine genaue und detaillierte
Lernzieldefinition vorgenommen. Statt
dessen werden die Ziele "weicher" definiert,
indem z.B. relevante Wissensdomä-
73

Astrid Ernst & Engelbert Niehaus
nen bestimmt werden und ein Kernbereich
festgelegt wird.
• Die Phase der didaktischen Feinplanung
und die Produktionsphase werden zu einer
einzigen Phase zusammengefasst,
nämlich zu der Produktions-/Planungsphase.
In dieser Phase wird rapid prototyping
eingesetzt. Es erfolgt daher eine verzahnte
Entwicklung der (didaktischen)
Feinplanung sowie der (softwaretechnischen)
Realisierung. Die Planungs-/Produktionsphase
wird von formativer Evaluation
begleitet.
• Die Planungen, deren Umsetzung und
Erprobung folgen rasch aufeinander und
werden in mehreren Entwicklungszyklen
nachgebessert. Der Entwicklungsprozess
ist daher nicht mehr streng linear, sondern
von Phasenüberschneidungen gekennzeichnet.
• Die Empfehlungen zur didaktischen Gestaltung
des Lernangebotes sind auf lerner/innengesteuerte
Systeme zugeschnitten.
Als Planungshilfen werden beispielsweise
concept maps und storyboards
empfohlen, die auch die Planung nichtlinearer
Strukturen unterstützen. Eine Linearisierung
bzw. Sequenzialisierung von
Lernschritten des geplanten Lernangebotes
findet nicht statt.
3 Anwendbarkeit der vorgestellten
Modelle im Rahmen
von Examensarbeiten
Inwiefern sind die vorgestellten Modelle nun
geeignet, Studierende des Lehramtes bei der
Aufbereitung eines Inhaltes im Rahmen einer
Examensarbeit zu unterstützen?
Zentraler Bestandteil des ISD-Grundmodells
sind genaue Lernzieldefinitionen und eine Linearisierung
von Arbeitsschritten innerhalb
des zu entwickelnden Lernangebotes. Beides
ist mit den Zielsetzungen im vorliegenden
Projekt nicht vereinbar: Studierenden soll es
gerade ermöglicht werden, das Lernsystem
unter verschiedenen Zielvorstellungen eigengesteuert
zu durchwandern.
In diesen Hinsichten erscheint das von
Blumstengel entwickelte Modell angemessener.
Allerdings beinhaltet dieses Modell auch
zahlreiche Arbeitsschritte, die für die Studierenden
nicht relevant sind bzw. die eine
Überforderung darstellen würden. Dazu gehört
beispielsweise die Planung der Teamzusammensetzung
und der Produktionskosten
74
sowie die Erarbeitung einer grundlegenden
didaktischen Konzeption.
Da das Blumstengel-Modell auf viele verschiedene
Anwendungssituationen übertragbar
sein soll, sind die Hinweise und Hilfen,
die zur Vorgehensweise bei der Aufbereitung
von Inhalten gegeben werden, eher allgemein
gehalten. Für Studierende, die mit der
Erstellung von Inhalten für Lernsysteme in
der Regel keine Erfahrung haben, wären hier
detailliertere und konkretere Hilfen wünschenswert.
Im Projekt wurden daher folgende Entscheidungen
getroffen:
• Es wird eine grundlegende didaktische
Konzeption für den Inhaltsbereich des
Lehr-Lernsystems bis hin zur Definition
geeigneter "Formate" entwickelt.
• Es wird eine Methode entwickelt, die die
Studierenden bei der Erzeugung von Inhalten
gemäß dieser Formate unterstützt.
Diese Methode beschränkt sich auf die relevanten
Aspekte der Inhaltsaufbereitung
und beschreibt detailliert die notwendigen
Arbeitsschritte. Zu der entwickelten Methode
wird eine Art Anleitung oder Dokumentation
entwickelt, in der die Abläufe
und notwendigen Überlegungen beschrieben
werden.
4 Grundkonzeption für den
Inhaltsbereich des Lehr-
Lernsystems
Die entwickelte Konzeption zeichnet sich
durch folgende Merkmale aus:
• Modulare Inhaltsaufbereitung: Die Inhalte
sollen als Module konzipiert werden, die
dann in einer "Wissensbasis" zusammengesteckt
werden können.
• Sachlogische hierarchisch vernetzte
Grundstruktur: Die hierarchische Grundstruktur
soll die Orientierung der Nutzer
und Nutzerinnen im Informationsbestand
unterstützen. Die Vernetzungen sollen ein
eigengesteuertes Vorgehen erleichtern
und Querbezüge aufzeigen.
• Informationsbündel statt Informationsknoten:
Zu jedem Thema gibt es verschiedene
Informationsangebote wie Theorie,
Anwendungsbeispiele, Anregung zur aktiven
Auseinandersetzung mit den Inhalten,
Hinweise auf weiterführende Literatur,
Links ins Internet usw. Dadurch soll eine
Verzahnung theoretischer Informationen

insbesondere mit Anwendungssituationen
und Anregungen zur aktiven Auseinandersetzung
mit den dargestellten Inhalten erreicht
werden
• Selbsterklärende Informationseinheiten:
Soll ein eigengesteuertes Vorgehen möglich
sein, so sind aus sich heraus verständliche
Informationseinheiten eine wesentliche
Voraussetzung.
Diese Struktur wird innerhalb des Lehr- Lernsystems
auf dem Bildschirm visualisiert: Ein
Schreibtisch visualisiert die Informationsbündel
(s. Abb. 1). Hier können Theorie, Anwendungsbeispiele,
Anregungen zu Aktivitäten,
Links ins Internet, Literaturhinweise, usw.
"einsortiert" werden. Die hierarchisch vernetzte
Struktur der Module spiegelt sich in
dem Menü wieder (s. Abb. 2). Die Navigation
im Informationsbaum füllt den Schreibtisch
dann kontextabhängig mit Inhalten.
Konstruktiv arbeiten mit dem Internet — Methoden der Content-Erstellung
Abb. 5: entwickelte Grundstruktur am Beispiel des Themas "Konzepte zur Bruchrechnung" (Th=Theorie,
Bsp=Beispiel, Akt=Anregung zu Aktivitäten, Lin=Links ins Internet, Lit=Hinweis auf Quellen)
5 Die entwickelte Methode
Die entwickelte Methode ist als eine Schrittfür-Schritt-Anleitung
konzipiert. Sie kann also
in aufeinander folgenden Arbeitsschritten
"abgearbeitet" werden. In Abbildung 6 ist eine
Übersicht über den Ablauf der Methode
zu sehen. Als sinnvoll hat sich die Integration
des rapid prototyping hinsichtlich der technischen
Umsetzung erwiesen: der frühe Beginn
der technischen Umsetzung hilft Studierenden,
die Stärken aber auch Schwächen
der geplanten Module zu erkennen. Deshalb
sollte mit der technische Umsetzung, ähnlich
wie im Blumstengel-Modell, schon in der
Phase der Planung begonnen werden.
Die entwickelte Methode integriert das concept
mapping als Planungshilfsmittel für die
Strukturierung des Angebotes und greift Elemente
des storyboarding auf. Die entwickelte
Methode beginnt mit der Phase der Strukturierung.
Abb. 6: Überblick über den Ablauf der entwickelten
Methode. Die technische Umsetzung sollte
früh begonnen werden.
75

Astrid Ernst & Engelbert Niehaus
5.1 Strukturierung
In dieser Phase entwickeln die
Studierenden zunächst eine
concept map, mit der sie die Inhalte
abgrenzen und vorstrukturieren
(Schritt 1). Auf Basis der
concept map entwickeln sie
dann eine hierarchisch-vernetzte
Struktur für die geplante Aufbereitung
(Schritt 2). Dazu müssen
Sie verschiedene Entscheidungen
treffen: Bei welchen Beziehungen
zwischen zwei Begriffen
handelt es sich um Unterordnungen,
bei welchen um Bezüge?
Welche Begriffe sind zentral,
welche nicht? Wie kann ich
gleichwertige Unterthemen finden
und eine stimmige Struktur
aufbauen? Die Zuteilung der
Begriffe zu den Kategorien erfolgt
in enger Anlehnung an die
OOA (objektorientierte Analyse,
vgl. dazu auch Ernst 2005, Niehaus
2001), eine Analysetechnik,
die aus der Softwareentwicklung
stammt.
76
Schritt 1
Schritt 2
Objektorientierte Themenbeschreibung "Konzepte zur Bruchrechnung"
Kurzbeschreibung
Wir zeigen in diesem Modul, wie Bruchzahlen unter fünf verschiedenen Konzeptionen definiert werden
und wie dann mit ihnen gerechnet wird. Außerdem werden typische Schülerfehler analysiert und besprochen.
In allen fünf Konzeptionen lassen sich Sätze und Regeln formulieren und exakt beweisen.
Beschreibung/Unterthemen
— Im Rahmen eines formalen Konzepts wird gezeigt, wie Bruchzahlen ausschließlich auf der Kenntnis
der natürlichen Zahlen aufbauend behandelt werden können. In diesem Abschnitt wird ein vollständiger
Kurs bis zum Beweis der Irrationalität von Wurzel 2 vorgestellt.
— Das Äquivalenzklassenkonzept lehnt sich stark an die formale Theorie an. Die Überlegungen und
Begründungen werden allerdings exemplarisch durchgeführt.
— Das Größenkonzept geht vom intuitiven Vorverständnis der Bruchzahlen als Maßzahlen aus.
— Das Operatorkonzept sieht Bruchzahlen als "Zusammenbau" von Multiplikations- und Divisionsmaschinen.
— Das Gleichungskonzept führt Bruchzahlen als Lösung von Gleichungen ein, also z.B. "3/4" ist die
Lösung der Gleichung "4x=3".
Zweck
Die "sortenreine" Darstellung der fünf Konzepte stellt eine didaktische Fiktion dar. In der Schulwirklichkeit
wird man keines dieser Konzepte in reiner Form antreffen; es wäre auch in keiner Weise sinnvoll,
den Unterricht längs einer einzelnen Konzeption "sortenrein" zu gestalten. Die getrennte Benennung
und Behandlung der Konzepte dient dem Zweck, die im Unterricht oder in Schulbüchern vorfindbaren
Beispiele klassifizieren und beschreiben zu können. Ein Verständnis dessen, was ein Bruch
"ist", kann aber nur als Wissensnetz zwischen den vielen verschiedenen Konzepten und ihren Ausdeutungen
im Alltag aufgebaut werden.
Bezug
Im Modul Rechnen mit Brüchen wird gezeigt, wie die verschiedenen Themenkreise der Bruchrechnung
mithilfe der verschiedenen Konzepte in der Schule behandelt werden können.
Schritt 3

Ist eine stimmige Struktur gefunden, beginnt
die Erstellung der Theorie-Seiten. Dazu wird
zu jedem Thema der erarbeiteten Struktur
eine Theorie-Seite erstellt. Ein Ziel bei der
Erstellung der Seiten ist es, aus sich heraus
verständliche Informationseinheiten zu erzeugen.
Um dieses zu unterstützen, wurde
aus der oo (objektorientierten) Analyse eine
Seitenstruktur abgeleitet, die die Vollständigkeit
der Seiten unterstützen soll. Jede Seite
weist folgende Elemente auf (siehe Schritt 3):
• eine Kurzbeschreibung, in der das Thema
der Seite "definiert" wird,
• einen Beschreibungs-/Unterthemen-Teil,
in der das Thema der Seite ausführlicher
erläutert wird und Unterthemen ggf. aufgelistet
werden,
• einen Zweck-Teil, in dem erläutert wird,
wozu man die dargestellten Inhalte "verwenden"
kann, und
• einen Bezüge-Teil, in dem interessante
Bezüge zu anderen Themengebieten aufgelistet
werden.
Bei der Erstellung jeder Theorie-Seite muss
auch die endgültige Verlinkungsstruktur festgelegt
werden. Nach Fertigstellung aller
Theorie-Seiten kann dann eine Übersichtskarte
über die endgültige Modulstruktur angefertigt
werden (s. Schritt 4).
Konstruktiv arbeiten mit dem Internet — Methoden der Content-Erstellung
Schritt 4: In diesem Schritt besitzt jeder Knoten eine objektorientierte Themenbeschreibung.
Durch die Erstellung der oo Themenbeschreibungen
verändert sich u. U. auch die Baumstruktur.
5.2 Informationsformen
In dieser Phase konzipieren die Studierenden
Anwendungsbeispiele, Anregungen zu
Aktivitä-ten, Links ins Internet, weiterführende
Literaturhinweise usw. Dazu finden sie in
der zur Methode gehörigen Dokumentation
Hilfestellungen und Beispiele. Die Konzep-
tion der Informationsformen
ist eng verbunden
mit der nächsten
Arbeitsphase, in der
passende Medien ausgewählt
werden.
5.3 Medieneinsatz
In dieser Phase wählen
die Studierenden zu
den konzipierten Informationsformengeeignete
Medien aus.
Dabei sollen Erkenntnisse
aus der Mediendidaktik
berücksichtigt
werden, wie z.B. die
besondere Eignung von Videos oder Animationen
für die Veranschaulichung von Prozessen.
Insbesondere soll ein "zweck-loser"
Medieneinsatz vermieden werden.
5.4 Textliche Umsetzung
Nun werden die Textteile der geplanten Dokumente
hinsichtlich ihrer Internet-Tauglichkeit
überarbeitet. Dazu gehört z.B. die
Formulierung von kurzen, gut verständlichen
Sätzen, die Fett-Markierung von Schlüsselwörtern,
die Verwendung von Hints und Popup-Fenstern,
aber auch Aspekte des Web-
Designs wie die Auswahl von Schrifttypen
und die Verwendung von Lay-out-Vorlagen.
5.5 Technische Umsetzung
Wie schon zuvor erläutert, sollte die technische
Umsetzung den gesamten Entwicklungsprozess
begleiten. In der zugehörigen
Dokumentation werden in diesem Teil die relevanten
Aspekte der technischen Realisierung
behandelt.
6 Anwendungsszenarien
für den rezeptiven und
konstruktiven Umgang
mit einer internetbasierten
Wissensbasis
Wie kann eine konstruktive Nutzung eines
Lehr-Lernsystems durch Lernende im Rahmen
der Lehramtsausbildung aufgebaut werden?
77

Astrid Ernst & Engelbert Niehaus
Innerhalb der universitären Ausbildung erfolgt
zunächst die Einführung in den rezeptiven
Umgang mit einem Informationssystem
mit dem Ziel, sich mit der Wissensbasis vertraut
zu machen und diese ausbildungsbegleitend
als Informationsressource zu nutzen.
Beispielsweise können die im MADIN-Projekt
erstellten Inhalte direkt aus dem Informationssystem
entnommen und in Vorlesungen
eingesetzt werden.
In Seminaren wird diese Aufgabenstellung
durch Inhaltsproduktionen der Studenten/innen
erweitert. Dies beinhaltet das Zusammenstellen
professionell erstellter Inhalte in
einem persönlichen Arbeitsbereich und die
Ergänzung von zusätzlichen selbst erstellten
Inhalten. Die Ausbildung zielt in dieser Phase
bereits darauf ab, die Trennung von Autoren/innen
und Lesern/innen aufzuheben.
Persönliche Bedürfnisse und Erfahrungen in
Unterrichtspraktika bestimmen dabei ebenfalls
die Wissensorganisation und die Adaption
von Inhalten. Professionell erstellte Inhalte
können in einem persönlichen Arbeitsbereich
durch eigene Dokumente ergänzt bzw.
ersetzt werden, ohne die Originaldokumente
zu verändern. Im Zusammenhang mit der Erstellung
von Projekten eröffnet internetbasierte
Wissensrepräsentation zudem die
Möglichkeit, kooperativ in der Lehrerbildung
zu arbeiten und internetbasierte Projektentwicklung
im Team zu erlernen. Im
Folgenden werden die Anwendungsszenarien
in den unterschiedlichen
Ausbildungsphasen kurz skizziert. Alle
bisherigen Erprobungen dieses
Konzeptes fanden in Münster auf der
Basis der SIMLA-Software statt.
78
dem Informationssystem. Studierende des
Lehramts sollen in die Lage versetzt werden,
Informationen zur Vorlesung zu recherchieren.
Szenario 2:
Nutzer: Studierendengruppe
Nutzungsform: rezeptiv & konstruktiv — in
Seminaren
Nutzungsziel: Vorbereitung von Seminarvorträgen
In einem Seminar bereiten die Studierenden
in Gruppen einen Seminarvortrag vor. Dazu
ist wie beim vorlesungsbegleitenden Einsatz
auch die Fähigkeit zur Informationsrecherche
notwendig. Professionell erstellte Inhalte
werden entsprechend dem Vortragsthema in
einem Arbeitsbereich zusammengestellt. Hinzu
kommt, dass die Studierenden einen ersten
Kontakt zur Inhaltserzeugung erhalten.
Der Schwerpunkt liegt dabei auf der Organisation
des Wissensnetzes mit Hilfe von mind
mapping und in Anfängen auch mit Hilfe der
objektorientierten Themenanalyse und anschließender
Umsetzung in vernetzte html-
Dokumente. Eine von einer Studierendengruppe
im Rahmen eines Seminars entwickelte
Strukturierung ist in Abbildung 7 zu
sehen.
Szenario 1:
Nutzer: Studierende
Nutzungsform: rezeptiv — in Vorlesungen
und zur Nachbereitung
Nutzungsziel: ausbildungsbegleiten-
Abb. 7: Von Studierenden im Rahmen eines Seminars erde
Informationsrecherche
stellte Strukturierung als Planung für eine Internet-Aufberei-
In der Vorlesung werden Materialien tung des Themas
wie Animationen, Videos und HTML-
Seiten für die Darstellung von Inhalten und
für Aufgabenstellungen für die Studierenden Szenario 3:
verwendet. Der/die Studierende wird mit der Nutzer: Studierende
Arbeitsumgebung vertraut gemacht Nach der
Nutzungsform: konstruktiv — in Examens-
Vorlesung können die Studierenden mit dem
arbeiten
aus der Vorlesung bekannten Navigationssystem
auf die Information der Vorlesung on- Nutzungsziel: Erstellung und Einbettung der
line zugreifen und zusätzliche Quellen zur Examensarbeit in ein Informationssystem
Nachbereitung nutzen. Durch diese rezeptive Lehramtsstudierende fertigen im Rahmen der
Arbeit bekommt der/die Studierende eine Prüfungsleistungen zum ersten Staatsexa-
Vorstellung von der Wissensrepräsentation in men eine Hausarbeit zu einem bestimmten

Thema an. Im Gegensatz zu Seminararbeiten,
die bereits konstruktive Elemente enthielten,
können bei der Erstellung von Examensarbeiten
alle Aufbereitungsschritte von
der objektorientierten Strukturierung und Seitenerstellung
über die Konzeption der Informationsformen
bis hin zur Medienauswahl
berücksichtigt werden. Eine Ausarbeitung eines
Inhaltes für ein internetbasiertes System
erfordert die Einbettung eines erarbeiteten
Inhaltes in eine bestehende Wissensstruktur.
Bezogen auf eine internetbasierte Wissensrepräsentation
enthält eine Examensarbeit
daher drei wesentliche Bestandteile:
• Den in die Wissensbasis einzubettenden
Inhalt, der in der Examensarbeit ausgearbeitet
wurde.
• Die Analyse des Informationskontextes
der Wissensbasis, in den der Inhalt eingebettet
wird.
• Die Dokumentation der Einbettung und
der notwendigen Anpassungen des Informationskontextes,
in den der Inhalt eingebettet
wurde.
Szenario 4:
Nutzer: Referendare
Nutzungsform: rezeptiv & konstruktiv
Nutzungsziel: Vorbereitung von Unterrichtsentwürfen
mit kooperativer Planung
Die Planung von Unterricht erfordert die Einarbeitung
in didaktisches Wissen über die
jeweiligen Unterrichtsinhalte. Dafür können
die notwendigen Inhalte in den persönlichen
Arbeitsbereich eingebettet werden. An Schulen
müssen Referendare nach einer Einarbeitungsphase
bedarfsdeckenden Unterricht
erteilen. In dieser Phase ist der Betreuungsaufwand
durch Mentoren minimal. Eine kooperative
Planung und eine Weiterentwicklung
von Unterrichtsideen in einer Gruppe
kann durch die Verteilung der Referendare
auf unterschiedliche Schulen durch eine internetbasierte
kooperative Planung unterstützt
werden.
Szenario 5:
Nutzer: Schülergruppen
Nutzungsform: rezeptiv & konstruktiv
Nutzungsziel: kooperative Projektplanung
und Projektdokumentation
Werden Unterrichtsprojekte durchgeführt, so
können Schülergruppen für ihr Teilprojekt bereitgestellte
Informationen in ihren Gruppenarbeitsbereich
einbetten, wenn sie dieses für
Konstruktiv arbeiten mit dem Internet — Methoden der Content-Erstellung
wesentlich erachten. Neben der rezeptiven
Arbeit in den Teilprojekten können sich Schüler/innen
bei online dokumentierten Inhalten
jederzeit über den Stand der anderen Teilprojekte
informieren und ihre Arbeit bei Veränderungen
ggf. schnell anpassen. Die konstruktive
Arbeit der Schülergruppen beinhaltet
die Dokumentation des eigenen Teilprojektes,
wie das Sammeln, Auswerten und Interpretieren
von Daten.
7 Fazit
Die vorangegangenen Abschnitte zeigen einige
Möglichkeiten und Wege eines konstruktiven
Umgangs mit einer online verfügbaren
Wissensbasis im Rahmen einer internetbasierten
Lehrerausbildung auf. Die Anpassung
von Lerninhalten an eine Lerngruppe
ist eine grundlegende Fähigkeit, die Lehrer/innen
in ihrer alltäglichen Arbeit benötigen.
Die Entwicklung und der Ausbau dieser
Fähigkeit sollte durch die Ermöglichung einer
personalisierten Wissensorganisation und
-aufbereitung im Bereich der internetgestützten
Lehrerausbildung die gesamte Lehrerausbildung
durchziehen. Sie kann bei der
Wissensorganisation von Studierenden und
Dozenten/innen für Vorlesungen und Seminaren
beginnen und über die kooperative Unterrichtsplanung
von Referendaren bis hin
zur Planung und Dokumentation von Projekten
in Schulen führen, bei denen Schülergruppen
eigene Teilprojekte dokumentieren
und mit anderen Schülergruppen ihre Ergebnisse
abstimmen. Die Recherche in einem internetbasierten
Informationssystem, die individuelle
Organisation der für die Lernenden
wesentlichen Inhalte und das Ergänzen persönlicher
Inhalte hat die folgende Zielsetzung:
• Die Lernenden sollen ihr eigenes Wissen
im Verlaufe ihrer Ausbildung durchgängig
organisieren und erweitern lernen.
• Die Lernenden sollen lernen, Inhalte so zu
strukturieren und aufzubereiten, dass sie
wiederum für andere gut lernbar sind.
• Die Lernenden sollen sicher im Umgang
mit Internet und digitalen Medien werden.
• Die Lehrenden bereiten Lerninhalte für
Lerngruppen auf und stellen damit für die
Lernenden einen Rahmen für die Unterstützung
von individuellen Lernprozessen
bereit (Dozent für Studierende oder Referendar/Lehrer
für Schüler oder Fachleiter
für Referendare).
79

Astrid Ernst & Engelbert Niehaus
Für die Organisation des eigenen Wissens ist
es notwendig, Methoden für die Strukturierung
von Inhalten bereitzustellen. Inhalte hypermedial
so aufzubereiten, dass sie für andere
gut erlernbar sind, stellt außerdem besondere
Anforderungen an die Autoren und
Autorinnen. Das entwickelte Modell für die
Aufbereitung von Inhalten (s. Ernst 2005)
stellt diese Methoden zur Verfügung. Es unterstützt
die Studierenden dabei, Inhalte modularisiert
und vernetzt aufzubereiten, in Verbindung
zu Anwendungssituationen zu stellen
und die späteren Nutzer/innen zur aktiven
Auseinandersetzung mit den Inhalten anzuregen.
Unterstützt werden die Autoren/innen
dabei durch das darauf abgestimmte Lehr-
Lernsystem, das die angestrebte Strukturierung
durch den Schreibtisch visualisiert und
somit ein Gerüst für die Integration eigener
Inhalte in die Wissensbasis liefert.
Bei der Integration einer internetbasierten
Wissensorganisation in die Lehramtsausbildung
wird der angehende Lehrer/ die angehende
Lehrerin vom rezeptiven Einsatz in
Vorlesungen zu einer konstruktiven Arbeit mit
einer Wissensbasis in Seminaren, Examensarbeiten
und Referendariat geführt. Die dabei
gesammelten mediendidaktischen Erfahrungen
dienen beim Wechsel von der lernenden
in die lehrende Rolle dazu, selbst Wissen im
schulischen Zusammenhang für Schüler und
Schülerinnen internetbasiert bereit zu stellen
und z.B. in einer Projektarbeit eigenverantwortliches
Wissensmanagment bei den
Schülergruppen zu initiieren.
Insgesamt ist festzustellen, dass die Dynamik
und kooperative Weiterentwicklung "unfertiger
Inhalte" eine sinnvolle und wichtige
Ergänzung zu der Nutzung "fertiger Inhalte"
im Rahmen einer internetbasierte Lehrerbildung
darstellt.
Literatur
Buzan Centres homepage:
http://www.mind-map.com
Blumstengel, Astrid (1998): Entwicklung hypermedialer
Lernsysteme. Berlin: Wissenschaftlicher
Verlag Berlin
Ditson, Leslie A., Lynne Anderson-Inman & Mary
T. Ditson (1998): Computer-based concept
mapping: promoting meaningful learning in
80
science for students with disabilities. Information
Technology and Disability, V 5 N1-2 Article
2.
http://www.rit.edu/%7Eeasi/itd/itdv05.htm
Duffy, T. M. & J. Lowyck u.a. (Hrsg.) (1993): Designing
Environments for constructive learning.
Berlin, Heidelberg u.a.: Springer
Ernst, Astrid (2005): Konstruktivistisch orientierte
Aufbereitung mathematikdidaktischer Inhalte
für Hypermedia — Entwicklung einer modellhaften
Vorgehensweise. Hildesheim & Berlin:
Franzbecker
Fardouly, N. (2002): The ADDIE Instructional Design
Model. Sydney: University of New South
Wales, Faculty of the built environment.
http://www.fbe.unsw.edu.au/learning/instructio
naldesign/materials.htm; Zugriff: 19. 11. 2002
Honebein, P. C., T. M. Duffy & B. J. Fishman
(1993): Constructivism and the design of learning
environments: context and authentic activities
for learning. In: Duffy & Lowyck u.a.
(1993), 87–108
Issing, Ludwig J. (2002): Instruktions-Design für
Multimedia. In: Ludwig J. Issing & Paul Klimsa
(2002): Information und Lernen mit Multimedia
und Internet. Weinheim: Beltz PVU, 3. Auflage,
151–177
Jacobson, M. J. & R. J. Spiro (1995): Hypertext
learning environments, cognitive flexibility and
the transfer of complex knowledge: An empirical
investigation. In: Journal of Educational
Computing Research 12, 301–333
Kerres, Michael (1998): Multimediale und telemediale
Lernumgebungen: Konzeption und Entwicklung.
München & Wien: Oldenbourg
McAleese, R. (1998): Coming to know: The Role
of the Concept Map — Mirror, Assistant, Master?
In: Euroconference — New Technologies
for Higher Education. Aveiro, Portugal.
http://www.clab.edc.uoc.gr/hy302/papers%5C
coming%20to%20know%201998.pdf
Mousley, Judy & Peter Sullivan (1996): Learning
about Teaching. Adelaide: Australian Association
of Mathematics Teachers (AAMT)
Niehaus, Engelbert (2001): Objektorientierte Analyse
für die modularisierte Aufbereitung von
webbasierten mathematikdidaktischen Inhalten.
In: mathematica didactica 24, 89–106
Simons, P. R.-J. (1993): Constructive learning:
The role of the learner. In: Duffy & Lowyck u.a.
(1993), 291–314
Wager, Walter W., Jim Applefield, Rodney Earl &
Jack Dempsey (1997): Learners Guide to Accompany
Principles of Instructional Design.
New York: Holt, Rinehart & Winston, 3. Auflage

� Didaktische Aspekte der Einbeziehung von
Elementen der 3D-Computergrafik in das
Stoffgebiet Analytische Geometrie
Andreas Filler, Berlin
Die engen Beziehungen zwischen der 3D-Computergrafik und der Analytischen Geometrie
können für eine anschaulichere und attraktivere Gestaltung des Stoffgebietes Analytische
Geometrie in der SII genutzt werden. In diesem Beitrag werden Erfahrungen bei
der Nutzung einer skriptgesteuerten 3D-Grafiksoftware für den Einstieg und die Visualisierung
von traditionellen Inhalten dieses Stoffgebietes beschrieben. Weitere Möglichkeiten
der Einbeziehung der Computergrafik sind u.a. die Beschreibung von Farben durch
Vektoren und die Funktionsweise der Bildberechnung in 3D-Grafikprogrammen. Letztere
beruht wesentlich auf dem Reflexionsgesetz, dessen analytische Formulierung für den
Raum das Skalarprodukt sowie Normaleneinheitsvektoren benötigt.
1 Warum 3D-Computergrafik
im Stoffgebiet Analytische
Geometrie?
Über die Bedeutung der Analytischen Geometrie
für die Allgemeinbildung bestehen
kaum Zweifel. Die Autoren der Expertise
(Borneleit u.a. 2001) sehen den allgemeinbildende
Wert der Analytischen Geometrie in
"ihren mächtigen Methoden und interessanten
Objekten zur Erschließung des uns umgebenden
Raumes" (S. 81). In den Einheitlichen
Prüfungsanforderungen im Fach Mathematik
von 2002 wird hervorgehoben, dass
dem Gebiet Lineare Algebra / Analytische
Geometrie "unverändert zentrale Bedeutung
zu(kommt)" (EPA 2002, 3).
In den Curricula und in der weitläufig verbreiteten
Unterrichtspraxis des Stoffgebietes
"Analytische Geometrie" bestehen jedoch
einige gravierende Defizite (vgl. Borneleit
u.a. 2001, Schupp 2000, u.a.):
• Durch die weitgehende Beschränkung auf
lineare geometrische Objekte (Geraden
und Ebenen) kennzeichnet eine Armut an
Formen den Unterricht.
• Die Untersuchung interessanter geometrischer
Objekte wird zugunsten der Demonstration
von Methoden vernachlässigt.
Die Leistungsfähigkeit von Abstraktionen
(Vektorbegriff), Beschreibungen (implizite
Gleichungen, Parameterdarstellungen)
und Verfahren (Zurückführung von
Schnittmengen auf Lösungsmengen von
Gleichungssystemen) wird dadurch nicht
genügend nachvollziehbar.
• Es besteht ein Mangel an "echten", für die
Schüler nachvollziehbaren Anwendungen
sowie an stoffgebiets- und fächerübergreifenden
Bezügen.
• Fundamentale Ideen des Mathematikunterrichts,
die in der Analytischen Geometrie
besonders beheimatet sein müssten,
wie Koordinatisieren und räumliches
Strukturieren, kommen ungenügend zur
Geltung; der Bedeutung der Analytischen
Geometrie für die Modellierung räumlicher
Strukturen kann nur in Ansätzen entsprochen
werden.
• Der Unterricht ist durch eine starke Dominanz
kalkülhaften Arbeitens gekennzeichnet.
Die Darstellung und Untersuchung
geometrischer Gebilde tritt häufig in den
Hintergrund zugunsten des formalen Lösens
von linearen Gleichungssystemen.
Besonders gravierend wirken sich diese Probleme
in Grundkursen aus, in denen anspruchsvollere
algebraisch-strukturelle Überlegungen
kaum durchgeführt werden. Der
Unterricht reduziert sich dadurch oft weitgehend
auf das Lösen von Standardaufgaben.
Die Einbeziehung der 3D-Computergrafik in
den Unterricht der Analytischen Geometrie
bietet die Möglichkeit, dieses Stoffgebiet zu
"geometrisieren", den Modellierungsaspekt
zu stärken und den Unterricht attraktiver zu
gestalten. Mit der Einbeziehung von Elementen
der 3D-Computergrafik werden vor allem
folgende Ziele verfolgt:
• Ergänzung der algebraischen Untersuchung
geometrischer Objekte und Relationen
durch Visualisierungen.
81

Andreas Filler
• Sichtbarmachen der Anwendungsrelevanz
der Analytischen Geometrie auf einem
Gebiet, das für viele Schüler sehr attraktiv
ist.
• Die Schüler erkennen bei der praktischen
Arbeit an computergrafischen Darstellungen
die Notwendigkeit, geometrische Objekte
durch Koordinaten zu beschreiben,
Gleichungen aufzustellen und Koordinaten
parameterabhängig anzugeben.
• Einbeziehung heuristischer und experimenteller
Arbeitsweisen in den Unterricht.
• Größere Formenvielfalt durch Betrachtung
nicht mehr im Unterricht vorkommender
nichtlinearer geometrischer Objekte durch
den mittels CG-Software möglichen visuellen
und experimentellen Zugang.
• Ermöglichen stoffgebiets- und fächerübergreifender
Bezüge (Analysis, Physik, Informatik,
Kunst).
• Motivierung durch den ästhetischen Reiz
3D-computergrafischer Darstellungen.
Im Gegensatz zu anderen Einsatzgebieten
des Computers im Mathematikunterricht
kann die 3D-Computergrafik nicht nur als
Hilfsmittel für den Unterricht dienen, sondern
auch als Unterrichtsgegenstand den Schülern
die Bedeutung und Nützlichkeit der Analytischen
Geometrie an einem praxisrelevanten
und interessanten Gegenstand verdeutlichen.
Die Schüler können dabei mathematische
Modelle (z.B. der Lichtausbreitung in
der Realität) erarbeiten und deren Nutzen in
für sie interessanten computergrafischen
Anwendungen erleben.
Bereits die Veranschaulichung von geometrischen
Objekten und Lagebeziehungen mithilfe
einer Grafiksoftware kann die überwiegend
rechnerisch betriebene Analytische Geometrie
sinnvoll visuell ergänzen. Die 3D-Computergrafik
bietet jedoch mehr Möglichkeiten für
eine interessantere Gestaltung des Stoffgebietes.
Diese können allerdings nur zum Tragen
kommen, wenn — gegenüber der aktuell
praktizierten, meist von algebraischen Überlegungen
ausgehenden Herangehensweise
an das Stoffgebiet — Ausgangs- und
Schwerpunkte bei der Behandlung der Analytischen
Geometrie modifiziert werden. Insbesondere
ist dazu eine Prioritätensetzung zugunsten
geometrischer Inhalte und Herangehensweisen
gegenüber algebraischen
Aspekten notwendig. In diese Richtung gehende
Forderungen sind auch unabhängig
von computergrafischen Inhalten u.a. von
Schupp (2000) gestellt worden.
82
In diesem Beitrag gehe ich auf vier Gebiete
der Einbeziehung von Elementen der 3D-
Computergrafik in den Unterricht der Analytischen
Geometrie ein:
1. Einstieg in das Stoffgebiet über die Beschreibung
von Körpern im Raum durch
Koordinaten und die darauf basierende
Modellierung von Objekten in einer 3D-
Grafiksoftware,
2. Nutzung einer Grafiksoftware zur Visualisierung
herkömmlicher Inhalte des Stoffgebietes,
3. Computergrafik und Vektorbegriff, Beschreibung
von Farben durch Vektoren,
4. Skalarprodukt und Normalenvektoren als
zentrale mathematische Grundlagen der
3D-Computergrafik. 1
2 Rahmenbedingungen
Neben Vorschlägen zur Einbeziehung von
Elementen der 3D-Computergrafik in den Unterricht
werde ich in diesem Beitrag auf erste
Erfahrungen eingehen, die ich damit in einem
Unterrichtsversuch gesammelt habe, der im
Herbst 2003 in einem Grundkurs ma-13 in
Berlin-Friedrichshain stattfand. Bei der
Durchführung des Unterrichtsversuches
mussten natürlich die Vorgaben des Rahmenplanes
berücksichtigt werden. Im Rahmenplan
des Landes Berlin [4] tritt die Analytische
Geometrie an drei Stellen auf.
Am Ende von Klasse 11 sind 30 Stunden für
das Stoffgebiet Analytische Geometrie vorgesehen;
dabei werden Punkte und Vektoren
im kartesischen Koordinatensystem und Abstände
von Punkten behandelt. Die Schüler
sollen mit Vektoren rechnen und Geraden im
R 2 durch Gleichungen beschreiben. Am Ende
der Klassenstufe 12 im Grundkurs ma-2 sind
15 Unterrichtsstunden für lineare Gleichungssysteme,
dabei vor allem für die Behandlung
des Gauß-Algorithmus, bestimmt. In vielen
Fällen wird jedoch weder am Ende von Klasse
11 noch am Ende von Klasse 12 die vorgesehene
Zeit für die Analytische Geometrie
bzw. die Behandlung linearer Gleichungssysteme
aufgewendet, da diese Stoffgebiete jeweils
am Ende des Schuljahres liegen und
oft aufgrund von Verzögerungen verkürzt
werden. Auch in dem Kurs ma-3, in dem der
hier beschriebene Schulversuch stattfand,
1 Damit sind nicht alle sinnvollen Bezüge zwischen der 3D-Computergrafik
und dem Unterricht in Analytischer Geometrie erfasst.
Ausführungen zu weiteren Aspekten, wie z.B. der visuellen Untersuchung
von Kegelschnitten sowie von Flächen des Raumes, sind
z.B. in Filler 2001 und 2002 enthalten.

ergaben Überprüfungen am Anfang des Kurses
sehr lückenhafte Kenntnisse; — der Vektorbegriff
z.B. wurde von den Schülern vor allem
mit seiner aus der Physik bekannten Bedeutung
für die Beschreibung von Kräften
assoziiert.
Schwerpunktmäßig wird die Analytische Geometrie
nach dem Berliner Rahmenplan am
Anfang des 13. Schuljahres (im Grundkurs
ma-3) behandelt; dabei sind folgende Themen
vorgesehen:
• Skalarprodukt von Vektoren, Rechenregeln,
• Längen- und Winkelgrößen, Orthogonalität,
• Geraden- und Ebenengleichungen in Parameter-
und Koordinatenform,
• Hessesche Normalenform der Ebenengleichung,
• Lagebeziehungen, Schnittpunkte und -geraden,
• Abstandsberechnungen (Punkt – Gerade,
Punkt – Ebene),
• Schnittwinkelberechnungen,
• Gleichung der Kugel in allgemeiner Lage.
2
Der Berliner Rahmenplan zeigt die typische
Ausrichtung bei der Behandlung der Analytischen
Geometrie in Grundkursen: Mit Ausnahme
der Kugel (für deren Behandlung zudem
oft keine Zeit bleibt) werden als geometrische
Objekte lediglich Geraden und Ebenen
betrachtet. Der Unterricht wird durch die Berechnung
von Schnittpunkten und -geraden,
Skalarprodukten sowie Längen und Winkelgrößen
dominiert; — es bildet sich ein auch
als "Aufgabeninseln" (Tietze u.a. 2000, 100)
bezeichneter enger Kanon an Standardaufgaben
heraus.
Wie bereits dargelegt, erfordert jedoch eine
geometrisch orientierte Behandlung der Analytischen
Geometrie und die Einbeziehung
von Elementen der Computergrafik die Betrachtung
einer größeren Vielfalt von Objekten
an Stelle der sehr ausführlichen Anwendung
algebraischer Verfahren auf nur sehr
wenige Objekte. Sollen die oben genannten
Ziele in regulären Kursen unter Berücksichtigung
der heute gültigen Rahmenpläne realisiert
werden, so ist es notwendig, einen
Kompromiss zwischen stärker koordinatenbezogenen
geometrischen Überlegungen
und der geforderten algebraisch orientierten
2 Diese Aufzählung spiegelt natürlich nicht die Reihenfolge der Behandlung
im Unterricht wider; vielmehr ist eine verzahnte Behandlung
der genannten Stoffinhalte vorgesehen.
Didaktische Aspekte der Einbeziehung von Elementen der 3D-Computergrafik
Untersuchung von Geraden und Ebenen zu
finden. Um die Anknüpfung an die Geometrie
der Sekundarstufe I herzustellen, bietet es
sich an, geometrische Grundkörper zu betrachten
und durch Koordinaten zu beschreiben.
Damit kann gleichzeitig der Einstieg in
die Arbeit mit einer koordinatenorientierten
3D-Grafiksoftware gefunden werden.
3 Koordinatengeometrie als
Grundlage der Modellierung
von Objekten
Die Nutzung einer dreidimensionalen Grafiksoftware
eröffnet gute Visualisierungsmöglichkeiten
für eine koordinatenbezogene
Raumgeometrie. Gleichzeitig "zwingt" — falls
eine skriptgesteuerte Software verwendet
wird — der Wunsch, 3D-Computergrafiken
zu erstellen, zur Beschreibung von Objekten
durch Koordinaten. Ein gut geeignetes Programm
ist die Freeware POV-Ray [3]. POV-
Ray ermöglicht sehr hochwertige, fotorealistische
Ergebnisse und steht in dieser Hinsicht
kommerziellen Programmen, die für die
Produktion computergenerierter Spielfilme
benutzt werden, nicht nach. Jedoch müssen
Objekte bei POV-Ray mithilfe einer Skriptsprache
durch Koordinaten modelliert werden;
— die Erstellung und Positionierung
mithilfe der Maus ist nicht möglich. Insofern
erfordert die Erzeugung von Computergrafiken
mit POV-Ray tatsächlich die Beschäftigung
mit der Analytischen Geometrie; — diese
Tatsache erweist sich beim Einstieg in
das Stoffgebiet in Klasse 13 als nützlich.
Da allerdings dreidimensionale Szenen nicht
nur aus geometrischen Objekten bestehen,
sondern auch die Beschreibung einer Kamera
und von Lichtquellen erfordern (siehe z.B.
Filler 2001 und 2002) ist der Einstieg in POV-
Ray recht komplex und würde den zur Verfügung
stehenden zeitlichen Rahmen sprengen.
Aus diesem Grunde habe ich Vorlagen
entwickelt, bei denen Kameras und Lichtquellen
bereits vorbereitet sind und außerdem
sehr leicht ein die Orientierung erleichterndes
Koordinatenkreuz in Szenen eingefügt
werden kann. 3
Unter Verwendung der Vorlagen können die
Schüler recht schnell einfache geometrische
Körper modellieren, im Raum positionieren
und entsprechende Grafiken erzeugen. Nach
einer kurzen Diskussion, durch welche Punkte
und Größen Kugeln, Kegelstümpfe und
3 Die Vorlagen, eine kurze Anleitung für ihre Nutzung und einige
Beispiele stehen auf der Internetseite [1] zur Verfügung.
83

Andreas Filler
Zylinder im Raum beschrieben werden, war
die Verwendung der folgenden Befehle in
POV-Ray für die Schüler unproblematisch:
sphere{,r} (Koordinaten des Mittelpunktes
und Radius),
cylinder{,,r}
(Koordinaten der Mittelpunkte von Grundund
Deckfläche, Radius),
cone{,r1,,r2}
(Koordinaten der Mittelpunkte sowie Radien
von Grund- und Deckfläche).
Zusätzlich zu diesen Anweisungen, welche
die Art und Lage geometrischer Körper im
Raum beschreiben, müssen noch Oberflächenerscheinungen
(Texturen) der Körper
festgelegt werden. Da sich die Schüler zu
Anfang auf die Beschreibung geometrischer
Objekte durch Koordinaten konzentrieren sollen,
enthält die zur Verfügung gestellte Vorlage
einfach anzuwendende Texturen, die
nur die Eingabe von (in der Kurzanleitung
dokumentierten) Begriffen wie blau_matt,
silber oder holz erfordern.
Bereits in der ersten Doppelstunde zur Analytischen
Geometrie in Klasse 13 erhielten
die Schüler die Aufgabe, unter Nutzung der
Vorlagen und der Kurzanleitung einen
Schneemann zu modellieren. Abbildung 1
zeigt ein typisches Ergebnis einer Schülerin
am Ende dieser Doppelstunde (nach ca. 35minütiger
Arbeit mit POV-Ray).
84
Abb. 1
Für die Erzeugung dieses Bildes gab die
Schülerin folgenden Quelltext ein:
sphere{, 2
texture{blau_matt}}
sphere{, 1.5
texture{blau_matt}}
sphere{, 2.7
texture{blau_matt}}
cylinder{,,
2.5 texture{schwarz}}
cylinder{,,
1.2 texture{schwarz}}
Das Hauptproblem bei der Erstellung des
Schneemannes verlagerte sich für die Schüler
sehr schnell von der Bedienung der Software
hin zur Wahl geeigneter Koordinaten.
Dabei gelangten sie von zunächst recht ziellosem
Experimentieren zu gezielten Veränderungen
einzelner Koordinaten und überlegten,
welche Anordnung der Objekte bezüglich
der Koordinatenachsen ihre Positionierung
vereinfacht. Durch geschicktes Variieren
der Koordinaten mithilfe von Skizzen auf
Papier gelang einigen Schülern sogar bereits
eine annähernd realistische Anordnung von
Knöpfen und Augen des Schneemannes. In
der folgenden Unterrichtsstunde erfolgte eine
Diskussion der dazu angestellten Überlegungen.
Es wurde herausgearbeitet, dass es
sinnvoll ist, Objekte — wenn möglich — entlang
der Koordinatenachsen oder zumindest
auf Koordinatenebenen zu positionieren, da
ihre Koordinaten dann durch Skizzen oder
einfache Berechnungen ermittelt werden
können. Die Schüler erkannten, dass die Anordnung
der Hauptbestandteile (Rumpf,
Kopf) lediglich eindimensionale Überlegungen
erfordert, für die Positionierung der
Knöpfe zweidimensionale und die der Augen
sogar dreidimensionale Betrachtungen notwendig
sind (s. Abb. 2).
Abb. 2
Die Erkenntnis, dass für eine völlig exakte
Positionierung der Knöpfe und Augen somit
Gleichungen des Kreises bzw. der Kugel benötigt
werden, lag damit auf der Hand. In der
folgenden Unterrichtsstunde wurden Gleichungen
des Kreises und der Kugel mithilfe
des Satzes des Pythagoras hergeleitet. Die
Schüler lösten dann einige Beispielaufgaben
zur Berechnung der fehlenden Koordinate
eines Punktes, von dem zwei Koordinaten
gegeben sind und der auf einer Kugel mit
vorgegebenen Mittelpunktskoordinaten und
festgelegtem Radius liegen soll.

Im Anschluss beschäftigten sich die Schüler
eine Doppelstunde lang mit der "Perfektionierung"
ihrer Schneemänner und erreichten
dabei teilweise beachtliche Ergebnisse (s.
Abb. 3 — der betreffende Schüler fertigte
durch Änderung der Kameraposition zwei
Ansichten seines Modells an — und Abb. 4).
Abb. 3
Abb. 4
Allerdings nutzten nicht alle Schüler die Kugelgleichung
für die Positionierung der Augen,
vielen gelang eine korrekte Anordnung
am Kopf auch durch geschicktes schrittweises
Ändern von Koordinaten. Die von mir beabsichtigte
Motivierung der Kugelgleichung
durch ihre Notwendigkeit für die exakte Positionierung
gelang somit nicht vollständig
überzeugend; — einen Einblick in die Nützlichkeit
von Beschreibungen geometrischer
Objekte durch Gleichungen für exakte Anordnungen
im Raum und somit die Modellierung
komplexerer Formen haben die Schüler
jedoch erhalten. In jedem Falle haben sie
durch die Arbeit an der sinnvollen Anordnung
einiger Körper — auch durch schrittweises
"Herantasten" — eine gewisse "Orientierungsfähigkeit"
im räumlichen Koordinatensystem
erlangt, die auch für andere Teile des
Didaktische Aspekte der Einbeziehung von Elementen der 3D-Computergrafik
Stoffgebietes Analytische Geometrie von
Nutzen ist. Zugleich bietet ein derartiger Einstieg
in das Stoffgebiet Anknüpfungspunkte
an die Elementargeometrie der Sekundarstufe
I, die ansonsten bei der heute gängigen
Behandlung der Analytischen Geometrie
kaum hergestellt werden.
Es muss hinzugefügt werden, dass einige
Schüler ihre z.T. recht ausgereiften Ergebnisse
nicht in den insgesamt ca. 120 Minuten
Unterrichtszeit erreicht haben, die dafür am
Computer zur Verfügung standen, sondern
auch (freiwillig) zu Hause oder in Freistunden
an ihren Schneemännern arbeiteten; dies gilt
u.a. für die Schülerin, die Abbildung 4 anfertigte.
Neben Kugeln, Zylindern und Kegeln
verwendete sie auch Quader, aus denen der
Besen besteht. Die passende Anordnung der
insgesamt 25 geometrischen Objekte, welche
die Schülerin für ihr Modell verwendete,
erfordert zu Beginn der Beschäftigung mit
Koordinatengeometrie deutlich mehr Zeit als
2 Stunden. 4
Bei einigen Schülern verlagerte sich das
Hauptinteresse schnell von der perfekten
Modellierung hin zu der Frage, wie sie ein Video
ihres Modells erzeugen können. Dazu
müssen in POV-Ray beliebige Werte in Abhängigkeit
von einem Parameter "clock" angegeben
werden, der sich in einem festgelegten
Intervall verändert. Da die Kameraposition
in der erwähnten Vorlage, die ich den
Schülern zur Verfügung gestellt habe, durch
einen Winkel beschrieben wird, gelang es ihnen
durch Animation dieses Winkels schnell,
einen Rundflug der Kamera um den Schneemann
darzustellen. Einige Schüler arbeiteten
auch mit Transformationen (Verschiebungen,
Drehungen und Streckungen) von Objekten,
die sie zeitabhängig ausdrückten. Aus Zeitgründen
konnte ich hierauf im Unterricht
nicht mehr eingehen, sondern nur noch einzelne
Schüler beraten, die sich in ihrer Freizeit
weiter damit beschäftigten. Die Erstellung
von Videos (z.B. durch Veränderung der
Kamerakoordinaten) würde sich jedoch gut
eignen, um die Darstellung von Kurven im
Raum durch Parameterdarstellungen zu motivieren.
Um eine gewünschte Kameraführung
zu simulieren, müssen sich die Kamerakoordinaten
auf einer Kurve des Raumes
bewegen, also abhängig von einem Parameter
(der Zeit) beschrieben werden. 5
4 Die POV-Ray-Datei dieser Schülerin mit der Beschreibung des
Schneemannes ist auf der Internetseite [1] unter der Rubrik
"Raytracing-Praxis" zugänglich.
5 Für eine Kurzanleitung zur Erstellung von Videos mithilfe von
POV-Ray s. [1].
85

Andreas Filler
4 Nutzung einer Grafiksoftware
zur Visualisierung
herkömmlicher Inhalte
des Stoffgebietes
Nach dem skizzierten, insgesamt 6 Unterrichtsstunden
umfassenden Einstieg in das
Stoffgebiet Analytische Geometrie über Anwendungen
der räumlichen Koordinatengeometrie
wurde mit der Behandlung der durch
den Rahmenplan vorgegebenen Inhalte des
Stoffgebiets (Geraden, Ebenen und ihre Lagebeziehungen)
begonnen. Die Erfahrungen
mit der Bedienung von POV-Ray, welche die
Schüler sich vorher aneigneten, nutzten sie
dabei, um ergänzend zur rechnerischen Behandlung
von Aufgaben der Analytischen
Geometrie Visualisierungen anzufertigen und
damit ihre Ergebnisse zu überprüfen oder zu
Vermutungen hinsichtlich bestimmter Zusammenhänge
zu gelangen.
Da POV-Ray als fotorealistisches Grafikprogramm
und nicht als Visualisierungswerkzeug
für Zusammenhänge der Analytischen
Geometrie vorgesehen ist, müssen Punkte
als kleine Kugeln, Pfeile (die Vektoren repräsentieren
sollen) als Vereinigungen von Zylindern
mit Kegeln, Strecken als Zylinder mit
geringem Radius, Geraden als Zylinder, die
über die Grenzen des Bildes hinausreichen,
und Ebenen z.B. als dünne Quader dargestellt
werden. Allerdings wäre es im Rahmen
der zur Verfügung stehenden Zeit für die
Schüler nicht möglich, jeweils selbst mit diesen
"Ersatzobjekten" zu arbeiten. Aus diesem
Grunde habe ich eine Sammlung von
Makros und eine Vorlagendatei erstellt, die
es den Schülern ermöglichen, unmittelbar
Punkte (wahlweise einschließlich der Projektion
auf die x-y-Ebene und der Lote auf die
Koordinatenachsen), Vektoren (als Pfeile),
Strecken, Geraden sowie Ebenen (anhand
einer Parameterdarstellung oder durch die
Koeffizienten einer Koordinatengleichung)
darzustellen. Im Einzelnen stehen folgende
Befehle zur Verfügung:
punkt(,textur)
Punkt (als kleine Kugel dargestellt),
pluspunkt(,textur)
Punkt mit Lot auf die x-y-Ebene und Verbindungsstrecken
zu den Koordinatenachsen,
ortsvektor(,textur)
Ortsvektor des Punktes P,
verbindungsvektor(,,textur)
Verbindungsvektor der Punkte P und Q,
86
vektoranpunkt (,, textur)
Pfeildarstellung des Vektors x r , angetragen an den
Punkt P,
strecke(,,textur)
Strecke mit den Endpunkten P und Q,
gerade (,,textur)
Gerade durch die Punkte P und Q,
ebenepar (,,,textur)
Ebene durch P mit Richtungsvektoren a r und b r ,
ebene (A,B,C,D,textur)
Ebene mit der Gleichung Ax+By+Cz+D=0.
An Stelle von bzw. sind jeweils die
Koordinaten des Punktes bzw. Vektors einzugeben.
Für textur müssen die Schüler
jeweils — wie oben beschrieben — ein
Schlüsselwort für die Oberflächenerscheinung
des betreffenden Objekts angeben. Insbesondere
für Ebenen können sie dazu auch
transparente Texturen verwenden. 6
Nach einer Zusammenfassung den Schülern
bereits bekannter Aspekte des Vektorbegriffs
bearbeiteten sie eine Folge von Aufgaben
zur Darstellung von Vektoren als Pfeile, zu
Orts- und Verbindungsvektoren sowie zur
Vektoraddition, welche letztlich zur Parameterdarstellung
der Geraden führt. 7
Abb. 5
• Stellen Sie 4 Punkte als pluspunkt dar,
blenden Sie das Koordinatenkreuz ein.
6 Das Makropaket für POV-Ray und die Vorlage stehen — zusammen
mit einer kurzen Anleitung für die Nutzung und einer Dokumentation
der Befehle — auf meiner Internetseite [1] zur Verfügung.
Für den Fall, dass ein Grafikprogramm nur für die Veranschaulichung
traditioneller Inhalte des Stoffgebietes genutzt, die
Computergrafik also nicht thematisiert wird, können auch einfachere
Programme, die speziell für das Stoffgebiet Analytische Geometrie
entwickelt wurden, zum Einsatz kommen (z.B. DreiDGeo, s.
Andraschko 2001). Die Verwendung von POV-Ray (im Zusammenhang
mit geeigneten Makros und Vorlagen) bietet sich im Kontext
mit den anderen hier unterbreiteten Vorschlägen zum Einstieg
in das Stoffgebiet sowie zu weitergehenden Überlegungen zur
Computergrafik an.
7 Im Folgenden werden nur einige repräsentative Aufgaben und
mögliche Lösungen dargestellt. Eine umfangreichere Sammlung
von Aufgaben kann unter [1] heruntergeladen werden. Die Abbildungen
5 – 9 wurden von Schülern bei der Lösung der Aufgaben
erstellt.

• Wählen Sie einen Vektor. Setzen Sie mittels
vektoranpunkt an jeden der von
Ihnen dargestellten Punkte einen Pfeil,
der diesen Vektor beschreibt (Abb. 5).
⎛ 1⎞
• Stellen Sie die Vektoren a =
⎜
−1
⎟
,
⎜ 3⎟
⎝ ⎠
r
⎛ −2⎞
b =
⎜
3
⎟
⎜ ⎟
⎝ 1 ⎠
r
als Pfeile so dar, dass der zu a r gehörende
Pfeil im Koordinatenursprung und der
zu b r gehörende Pfeil in der Pfeilspitze
von a r r r
beginnt. Berechnen Sie a + b und
r r
stellen Sie a + b als Pfeil dar, der im Koordinatenursprung
beginnt.
Abb. 6
• Gegeben sind der Punkt P(2;-1;2) und der
⎛ ⎞
Vektor =
⎜ ⎟
⎜
−
⎟
⎝
1
⎠
1
2
a r
.
- Stellen Sie P als pluspunkt und a r
als Pfeil, beginnend an P, dar.
r
- Stellen Sie die Punkte P + 0 , 5⋅
a ,
P a
r
r r
+ , P + 1 , 5⋅
a , P + 2 ⋅ a sowie
r
P − 0 , 5⋅
a , P a
r
r
− , P −1 , 5⋅
a und
r
P − 2 ⋅ a dar.
- Betrachten Sie die Darstellung aus
verschiedenen Richtungen.
Anhand derartiger Aufgaben konnten sich die
Schüler eine anschauliche Vorstellung von
Vektoren im Raum verschaffen, gleichzeitig
stellten sie nach Lösung der letzten Aufgabe
(s. Abb. 7) sofort fest, dass alle genannten
Punkte auf einer Geraden liegen. Nach der
Betrachtung verfeinerter Darstellungen (Abb.
8) und schließlich eines Videos, das die Entstehung
einer Geraden durch kaum noch erkennbare
Punkte zeigt (s. [1]) war ihnen auch
klar, dass man alle Punkte dieser Geraden
erhält, wenn man den gegebenen Vektor
statt mit -2, -1,5, ..., 2 mit beliebigen reellen
Zahlen multipliziert. Somit sind die Schüler
auf visuellem Wege zur Parameterdarstellung
der Geraden gelangt. Die Parameterdarstellung
der Ebene wurde dann etwas später
auf ähnliche Weise erarbeitet. Gerade bei
der Herausarbeitung der Parameterdarstel-
Didaktische Aspekte der Einbeziehung von Elementen der 3D-Computergrafik
lungen erwiesen sich die computergrafischen
Visualisierungsmöglichkeiten als sehr sinnvoll,
da die Schüler diese Gleichungen so mit
anschaulichen Vorstellungen verbinden.
Abb. 7
Abb. 8
Im weiteren Verlauf des Unterrichts fertigten
die Schüler computergrafische Darstellungen
vor allem an, um die Lage von Objekten im
Raum sowie Lagebeziehungen zu veranschaulichen.
Die im Rahmenplan vorgesehenen
Aufgaben zu Lage- und Schnittberechnungen
wurden somit visuell ergänzt.
• Stellen Sie die Ebene mit der Parameterdarstellung
( , )
0, 5
21 1
2
1 ⎛1⎞
⎛− ⎞ ⎛ − ⎞
: x = ⎜1⎟
+ r ⋅⎜
⎟ + s ⋅⎜
− ⎟ r s ∈ R
⎜1⎟
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
r
ε dar.
(Nutzen Sie für die Darstellung der Ebene
eine transparente Textur.) Stellen Sie außerdem
den Aufpunkt und die beiden
Richtungsvektoren der Ebene dar.
Fügen Sie der Darstellung die Gerade, die
durch die Punkte A(1;-1;1) und B(-5;1;-2)
verläuft, hinzu. Schätzen Sie — so gut wie
möglich — die Koordinaten des Schnittpunktes
der Geraden und der Ebene.
Auf analoge Weise wurden auch Aufgaben
zur gegenseitigen Lage zweier Ebenen sowie
später zu Normalenvektoren von Ebenen bearbeitet.
8
Im Unterricht wurden Visualisierungen aus
Zeitgründen nur exemplarisch für einige Aufgaben
angefertigt. Viele Schüler nutzten jedoch
die Möglichkeit, Aufgaben der Analyti-
8 Neben diesen Aufgaben und exemplarischen Lösungen befindet
sich auf [1] auch eine etwas komplexere Visualisierung, die das
Verhalten dreier durch Koordinatengleichungen beschriebener
Ebenen bei der Durchführung des Gauss-Algorithmus veranschaulicht.
87

Andreas Filler
schen Geometrie mithilfe von POV-Ray grafisch
darzustellen, auch für ihre Hausaufgaben,
— obwohl dies nicht verlangt war. Als
Grund gaben sie an, dass sie sich so unter
den Aufgaben mehr vorstellen und vor allem
ihre rechnerischen Ergebnisse kontrollieren
können.
88
Abb. 9
5 Computergrafik und
Vektorbegriff
Das dominierende Modell für Vektoren, welches
im Mathematikunterricht Verwendung
findet, ist das der Pfeilklassen. Äquivalenzklassen
werden dabei allerdings i.Allg. nicht
thematisiert; statt dessen wird herausgearbeitet,
dass Vektoren durch verschiedene
gleich lange und gleich gerichtete Pfeile dargestellt
werden können. Diese Vektorauffassung
steht auch in Beziehung zum Physikunterricht
der Sekundarstufe I, in dem Kräfte als
vektorielle Größen bezeichnet, durch Pfeile
beschrieben und grafisch addiert werden.
Auch der Zusammenhang zwischen Verschiebungen
und Vektoren wird anhand der
Pfeilauffassung gut deutlich. Untersuchungen
von G. Wittmann ergaben, dass Schüler zum
großen Teil sinnvolle geometrische Vorstellungen
von Vektoren erlangen, vielfach aber
inhaltliche und begriffliche Probleme mit der
Abstraktion, die der Vektorbegriff beinhaltet,
bestehen (Wittmann 2003, 100–123).
Ein weiterer Aspekt des Vektorbegriffs ergibt
sich aus dem Rechnen mit Vektoren. Dazu
werden diese durch n-Tupel (meist Paare
oder Tripel) reeller Zahlen charakterisiert.
Aus mathematischer Sicht stellen die n-Tupel
ebenso ein Modell für den Vektorbegriff dar
wie die Pfeilklassen. In der Auffassung von
Schülern besteht diese Gleichwertigkeit
meist nicht: Häufig verbinden sie in ihrer Vorstellung
Vektoren mit Pfeilen, die durch Zahlentripel
beschrieben werden, — wie auch
Punkte durch Koordinatentripel beschrieben
werden können (s. Tietze u.a. 2000, Wittmann
2003, u.a.).
In der Informatik (und auch im Informatikunterricht)
versteht man unter Vektoren generell
Zahlen-n-Tupel, die in den meisten Fällen
keine geometrische Bedeutung besitzen. An
diese Vektorauffassung angelehnt, heißt es
z.B. in der Hilfe von POV-Ray:
"A vector is a set of related float values."
Vektoren in diesem Sinne, also Zahlen-n-Tupel,
treten in der Computergrafik in sehr unterschiedlichen
Zusammenhängen auf. Sie
beschreiben in POV-Ray u.a.:
• Punkte des Raumes:
• Geometrische Transformationen:
- Translationen:
translate
- Drehungen: rotate
φx, φy und φz sind dabei die Drehwinkel
um die x-, y- bzw. z-Achse.
- Streckungen: scale
sx, sy und sz geben die Skalierungsfaktoren
in x-, y- bzw. z-Richtung an.
• Farben: color rgb
r steht für den Rot-, g für den Grün- und b
für den Blau-Anteil einer Farbe. 9
Von den genannten Bedeutungen des Vektorbegriffs
ist die Beschreibung von Farben
sicherlich am weitesten von den Beispielen
entfernt, die im Mathematikunterricht betrachtet
werden. Die Farbvektoren sind aber
insofern besonders interessant, als sie in vielen
Bereichen moderner Medien (wie z.B. in
der Bildbearbeitung und der Beschreibung
von Internetseiten) ein große Bedeutung haben
und zugleich ein Beispiel sinnvoller geometrischer
Interpretation eines an sich ungeometrischen
Sachverhaltes darstellen. Aus
diesem Grunde soll im Folgenden etwas näher
auf die Beschreibung von Farben eingegangen
werden.
Nach der Tristimulustheorie besitzt das
menschliche Auge drei Arten von Sensoren
(Synapsen) mit unterschiedlichen wellenlängenabhängigen
Empfindlichkeiten. Die Empfindlichkeitsmaxima
dieser Synapsen liegen
im roten, grünen bzw. im blau-violetten Bereich
des Farbspektrums (s. z.B. Nyman
1999 und Watt 2002). Menschliche Farbwahrnehmung
entsteht durch Auswertung
der Intensitäten der Reize, die auf jede der
Arten von Synapsen ausgeübt werden. Somit
kann jede mögliche Farbempfindung durch
9 Erweiterte Farbbeschreibungen durch Quadrupel oder Quintupel in
POV-Ray beinhalten zusätzlich die Beschreibung von Transparenzeigenschaften,
wobei zwei unterschiedliche Modelle von
Transparenz zum Einsatz kommen (s. Hilfe von POV-Ray bzw.
[3]).

drei Grundfarben hervorgerufen werden, deren
Wellenlängen in der Nähe der Empfindlichkeitsmaxima
liegen. Diese Tatsache liegt
dem Aufbau elektronischer Bildwiedergabegeräte
(wie Fernsehgeräte und Monitore) zu
Grunde, die in jedem ihrer Bildpunkte (Pixel)
über drei Subpixel in den Farben Rot, Grün
und Blau verfügen. Alle Farben werden somit
durch geeignete Zusammensetzungen von
Rot-, Grün- und Blauanteilen erzeugt. Eine
Farbe lässt sich somit durch einen Vektor
⎛ ⎞
⎜
g
⎟
⎜ ⎟
⎝ b ⎠
r beschreiben. Dabei ist es allerdings mathematisch
nicht ganz korrekt, von Vektoren
zu sprechen, da die Farben keinen Vektorraum
bilden: Die Komponenten von rgb-Vektoren
können nicht negativ sein und sind
nach oben beschränkt. In POV-Ray sind die
r-, g- und b-Komponenten reelle Zahlen aus
dem Intervall [0;1], Bildbearbeitungsprogramme
verwenden oft natürliche Zahlen zwischen
0 und 255, in HTML müssen diese
Werte in Hexadezimalschreibweise angegeben
werden. Die Beschränkung auf 256 Werte
kommt daher, dass sich für die Steuerelektronik
von Monitoren eine Farbbeschreibung
mit 8 bit je Grundfarbe durchgesetzt hat
und somit 2 8 = 256 Stufen dargestellt werden
können. Auch bei den gängigen Bilddateien
ist eine Auflösung von 24 bit je Bildpunkt, also
8 bit für jede Grundfarbe üblich. Die folgenden
Ausführungen beziehen sich jedoch
auf das u.a. von POV-Ray verwendete normierte
System der Farbbeschreibung mit
Komponenten aus dem Intervall [0;1].
Abb. 10 10
Die Menge aller rgb-Farbvektoren ist eine
Teilmenge des R 3 . Betrachtet man nun diese
Vektoren als Ortsvektoren von Punkten des
Anschauungsraumes, so entspricht jeder
Farbe genau ein Punkt des Würfels mit den
Eckpunkten (0;0;0), (1;0;0), (0;1;0), (0;0;1),
(1;0;0), (1;1;0), (1;0;1) und (1;1;1). Dieser
10 Eine farbige Darstellung des RGB-Würfels, bei dem die Farben
erkennbar werden, die den Punkten auf den Seitenflächen zugeordnet
sind, und ein zugehöriges Video, in welchem sich der
Würfel dreht, befinden sich auf der Internetseite [1].
Didaktische Aspekte der Einbeziehung von Elementen der 3D-Computergrafik
Würfel wird als Farbwürfel oder genauer
RGB-Würfel bezeichnet (s. Abb. 10).
Dem Koordinatenursprung entspricht die Farbe,
die entsteht, wenn die Intensität aller drei
Grundfarben Null ist: Schwarz. Bei maximaler
Intensität aller drei Grundfarben wird
Weiß erzeugt. Sehr gut lassen sich auf dem
Farbwürfel Komplementärfarben erkennen;
dabei handelt es sich um Farben, denen gegenüberliegende
Eckpunkte zugeordnet sind.
Die elementaren Vektoroperationen (Vektoraddition
und Multiplikation mit Skalaren) sind
für Farben sinnvoll anwendbar, so lange die
Ergebnisse für alle Komponenten im Intervall
[0;1] liegen. Es gilt z.B.:
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛1⎞
Rot + Grün = ⎜ ⎟ + ⎜1⎟
= ⎜1⎟
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝0⎠
⎝0⎠
0 1
0
= Gelb,
0
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛1⎞
Rot + Grün + Blau = ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ = ⎜1⎟
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝1⎠
⎝1⎠
00 1
0
0 1
0
;
0
als Summe der drei Grundfarben ergibt sich
also auch rein rechnerisch Weiß. Da Weiß
die hellste mögliche Farbe ist, ergeben aber
Ergebnisse bei der Farbaddition, die größere
Komponenten als 1 besitzen, keinen Sinn.
Eine sinnvolle allgemeine Definition für die
Summe zweier Farbvektoren ist daher
⎛ r1
⎞ ⎛ r2
⎞ ⎛ max( r1
+ r2
, 1)
⎞
⎜ ⎟
+
⎜ ⎟
=
⎜
⎟
⎜
g1
⎟ ⎜
g 2 ⎟ ⎜
max( g1
+ g2
, 1)
⎟
.
⎝ b1
⎠ ⎝ b3
⎠ ⎝ max( b1
+ b2,
1)
⎠
Die Addition von Farben kann mit Bildbearbeitungsprogrammen
wie Adobe Photoshop
oder Corel Photopaint gut nachvollzogen
werden. Dazu werden z.B. drei Kreise in den
Grundfarben auf jeweils eine Ebene über einer
schwarzen Hintergrundebene gelegt. Für
die Ebenen der Kreise wird jeweils der Ebenenverrechnungsmodus
"Addieren" (Photopaint)
bzw. "Aufhellen" (Photoshop) eingestellt.
Es wird sofort sichtbar, zu welchen
Farben sich die einzelnen Paare von Grundfarben
addieren; Punkte, die im Durchschnitt
aller drei Kreise liegen, werden weiß dargestellt
(siehe Abb. 11).
Das RGB-Modell — auch als additives Farbmodell
bezeichnet — beschreibt sehr gut die
Funktion elektronischer Bildwiedergabegeräte.
Im Ausgangszustand (ohne Signal) bleibt
der Bildschirm dunkel; folgerichtig entspricht
der Koordinatenursprung der Farbe Schwarz,
und Farben werden durch die Addition von
Helligkeitswerten der drei Grundfarben gebildet.
Demgegenüber verhält sich Papier umgekehrt;
— ist es unbedruckt, so wirkt es
weiß. So wie bei Bildschirmen die Farbkomponenten
Helligkeit addieren, wird durch den
Auftrag von Farbpigmenten (Reflexions-)
89

Andreas Filler
flexions-) Helligkeit des Papiers subtrahiert.
Daher kann die Farbwiedergabe im Druck
durch das subtraktive CMY-Modell mit den
Grundfarben Cyan, Magenta und Gelb (Yellow)
beschrieben werden. Wie der RGB-
Farbwürfel (Abb. 10) zeigt, sind dies die
Komplementärfarben der Farben Rot, Grün
und Blau. Es gilt:
90
Abb. 11
Weiß – Rot = Cyan, Weiß – Grün = Magenta,
Weiß – Blau = Gelb.
Im CMY-Würfel (Abb. 12) entspricht der Koordinatenursprung
dem Weißpunkt; denn für
diesen Punkt erfolgt kein Farbauftrag. Die
Koordinatenachsen entsprechen den Intensitäten
c, m und y der Farbauftragungen für die
Grundfarben Cyan, Magenta und Gelb. Zwischen
den rgb- und den cmy-Vektoren einer
Farbe besteht daher der Zusammenhang
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ −
⎜
g
⎟
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ b ⎠
r
m
y
c 1
1 .
1
Abb. 12 11
Das RGB- und das CMY(K)-Modell orientieren
sich an den Eigenschaften der Farbein-
und -ausgabegeräte sowie an der Physiologie
der Farbwahrnehmung. Demgegenüber
wurden Farbmodelle geschaffen, welche besonders
gut für Bildkomposition und Design
genutzt werden können. Dazu gehört das
HSB-Modell, wobei H für Hue (Farbton), S für
Saturation (Farbsättigung) und B für Brightness
(Helligkeit) stehen. Um zu diesem Mo-
11 In der Praxis können Druckmaschinen durch den Aufdruck der
drei Druckfarben Cyan, Magenta und Gelb kein überzeugendes
Schwarz erzeugen. Aus diesem Grunde wird zusätzlich schwarze
Druckfarbe verwendet, es kommt das CMYK-Modell zum Einsatz,
wobei K für Schwarz steht (s. Nyman 1999).
dell zu gelangen, wird der RGB-Farbwürfel
(Abb. 10) parallel zur Schwarz-Weiß-Diagonalen
auf die zu dieser Diagonalen orthogonale
Ebene im Punkt W projiziert. Dabei entsteht
ein regelmäßiges Sechseck mit den
Eckpunkten Rot, Gelb, Grün, Cyan, Blau und
Magenta (Abb. 13). Jeder Farbton (außer
Schwarz, Weiß und reinen Grautönen) wird
nun durch einen Winkel im Intervall [0;360°)
dargestellt. Diese Darstellung liegt auch dem
häufig anzutreffenden Farbkreis zu Grunde.
Cyan
(180°)
Cyan
(180°)
Grün (120°) Gelb (60°)
Weiß
Schwarz
Rot
(0°)
Blau (240°) Magenta (300°)
Abb. 13
B
Grün (120°) Gelb (60°)
B=1
Weiß
Rot
(0°)
Blau (240°) Magenta (300°)
Schwarz
(B=0)
Abb. 14
Das Farbsechseck bildet die Basis einer Pyramide
(siehe Abb. 14), deren Spitze der Helligkeitswert
0 (schwarz) entspricht. Die Achse
dieser Pyramide bildet die Helligkeits- (B-)
Achse; der Abstand einer Farbe von dieser
Achse bestimmt deren Sättigung S. Durch
den bereits erwähnten Winkel im Farbkreis
wird schließlich der Farbton H beschrieben.
Das HSB-Modell unterstützt die Auswahl harmonisch
wirkender Farben:
• Die Kombination von Farben mit annähernd
gleicher Sättigung wird als angenehm
empfunden. Demgegenüber zählt
die Verwendung von Farben mit sehr unterschiedlichen
Sättigungswerten für inhaltlich
vergleichbare Grafikelemente zu
den häufigsten Fehlern bei der Gestaltung
von Informationsgrafiken und Internetseiten.
H
S

• In vielen Fällen ist auch die Auswahl ähnlicher
Helligkeitswerte sinnvoll.
• Für korrespondierende Grafikelemente ist
die Auswahl komplementärer Farben (H-
Differenz 180°) bzw. von Farben mit H-
°
Differenzen von m ⋅
n
360 (für n Grafikelemente,
m = 1,...,n) sinnvoll.
Die Beschreibung von Farben durch Vektoren
kann dazu beitragen, dass die Schüler
die Bedeutung des Vektorbegriffes etwas
umfassender sehen und ein Beispiel für die
sinnvolle und offensichtlich nützliche geometrische
Interpretation eines nichtgeometrischen
Sachverhaltes kennen lernen. Die n-
Tupel bilden dabei ein "Bindeglied" zwischen
sehr verschiedenen Bedeutungen, die Vektoren
haben können. 12
6 Grundlagen der Computergrafik:
Skalarprodukt
und Normalenvektoren
Computergrafische Anwendungen können für
die Motivierung zentraler Inhalte der Analytischen
Geometrie genutzt werden. Besonders
bietet sich dies bei der Behandlung des Skalarproduktes
und des Winkels zwischen Vektoren
sowie von Normalen(einheits-)vektoren
an. Dabei sollte aber die Frage, wie die Software
Bilder berechnet, nicht nur theoretisch
diskutiert werden. Die Schüler können den
praktischen Nutzen des Verständnisses dieser
Zusammenhänge anhand von Möglichkeiten
erfahren, die sie dadurch für die Gestaltung
von Oberflächen und die bewusste
Wahl dafür geeigneter Parameter — letztlich
also für die Erstellung eigener Bilder — gewinnen.
Ausgangspunkte der Betrachtungen
zum Skalarprodukt und zu Normalenvektoren
bilden die folgenden Fragen:
• Wie werden geometrisch komplizierte "reale"
Objekte wie z.B. Menschen und Tiere
in der Computergrafik beschrieben und
dargestellt?
12 Den Vektorbegriff unmittelbar am Anfang des Stoffgebietes Analytische
Geometrie zu thematisieren, erscheint m.E. nicht empfehlenswert.
Anhand der Beschreibung von Punkten und einfachen
geometrischen Objekten durch Koordinaten finden die
Schüler einen anschaulicheren und einfacheren Einstieg in die
Analytische Geometrie (s. z.B. Filler & Wittmann 2003), als wenn
gleich am Anfang der vergleichsweise abstrakte Vektorbegriff
"auf Vorrat" eingeführt wird. Eine spätere Zusammenfassung der
verschiedenen Auffassungen und Anwendungen von Vektoren
(Zahlentripel, Klassen bzw. Mengen von Pfeilen, Kräfte, Verschiebungen,
Farben) bietet sich an, um den Schülern einen
Einblick in Leistungsfähigkeit und Universalität des Vektorbegriffs
zu vermitteln.
Didaktische Aspekte der Einbeziehung von Elementen der 3D-Computergrafik
• Wie wird das Aussehen von Oberflächen
— über die Farbgebung hinaus — modelliert?
Wodurch unterscheiden sich spiegelnde
von matten, glänzende von rauen
Oberflächen?
Indem die Schüler den POV-Ray-Quelltext
eines komplexeren dreidimensionalen Modells
analysieren, stellen sie fest, dass Objekte
durch die Vereinigung einer großen
Zahl von Dreiecken dargestellt werden. Der
in Abb. 15 dargestellte Fisch besteht z.B. aus
ca. 6000 Zeilen der Form
triangle { ,
,
} .
Abb. 15
Bei der Berechnung des Bildes in POV-Ray
sind die dreieckigen Facetten deutlich erkennbar.
Bereits an dieser Stelle können die
Schüler eine Datei analysieren, bei der dieses
Problem gelöst wurde — der in Abb. 16
dargestellte Fisch besteht aus ebenso vielen,
jedoch "geglätteten" Dreiecken:
Abb. 16
smooth_triangle {
,
,
,
,
,
}
Bei dieser Darstellung wird zu jedem Eckpunkt
ein aus den anliegenden Dreiecksfacetten
gemittelter Normaleneinheitsvektor
angegeben. Aus den zu den Eckpunkten gehörenden
Normalenvektoren werden beim
Rendern die Helligkeits- bzw. Farbwerte der
einzelnen Oberflächenpunkte interpoliert.
91

Andreas Filler
Dieses Verfahren (Gouraud- bzw. Phong-
Shading, vgl. z.B. Watt 2002 oder Xiang &
Plastock 2003) können die Schüler an dieser
Stelle noch nicht nachvollziehen; — dazu
sind Kenntnisse über das Skalarprodukt und
über Normaleneinheitsvektoren erforderlich.
Zu dieser Erkenntnis führen die im Folgenden
geschilderten — an den Physikunterricht
der Sekundarstufe I anknüpfenden — Überlegungen
zur prinzipiellen Funktionsweise
der 3D-Computergrafik. 13
Die Bildberechnung in hochwertiger 3D-Computergrafiksoftware
wie POV-Ray erfolgt
nach dem Raytracing-Verfahren, bei dem
Verläufe von Lichtstrahlen ausgehend vom
Auge des Beobachters (bzw. der Kamera)
über Spiegelungen an Körpern der Szene
und evtl. Durchdringungen transparenter
Körper hin zu den Lichtquellen zurück verfolgt
werden. Eine kurze Beschreibung des
Verfahrens habe ich in (Filler 2001) sowie auf
der Internetseite [1] gegeben, ausführlichere
Darstellungen finden sich u.a. in (Watt 2002)
und (Xiang & Plastock 2003). Nach einer
kurzen Erläuterung der — recht nahe liegenden
— Funktionsweise des Raytracing liegt
für die Schüler auf der Hand, dass die Berechnung
von Reflexionen entscheidend für
die Generierung computergrafischer Darstellungen
ist. Davon ausgehend wird das Reflexionsgesetz
aus dem Physikunterricht der
Mittelstufe wiederholt. Dieses besagt, dass
Einfallswinkel und Reflexionswinkel maßgleich
sind, wobei der Einfallswinkel α vom
einfallenden Strahl und dem Einfallslot, der
Reflexionswinkel β vom reflektierten Strahl
und dem Einfallslot gebildet wird. Als Einfallslot
wird die auf der spiegelnden Oberfläche
im Auftreffpunkt des einfallenden Strahles errichtete
Senkrechte verstanden (siehe Abb.
17). Teilweise wird hinzugefügt, dass die
beiden Lichtstrahlen und das Einfallslot in einer
Ebene liegen; im Allgemeinen werden jedoch
ebene Versuchsaufbauten als selbstverständlich
vorausgesetzt.
Um das Reflexionsgesetz für allgemeine Anordnungen
im Raum zu formulieren und Verläufe
reflektierter Lichtstrahlen berechnen zu
können, ist es notwendig, Einfallslote für beliebige
Ebenen im Raum anzugeben und
Winkel zwischen diesen Einfallsloten und
13 Es sei hier noch angemerkt, dass die Betrachtung der in der
Computergrafik üblichen Darstellung realer Objekte durch Dreiecksfacetten
— also ebene Oberflächen — als Motivierung für
die ansonsten geometrisch recht bedeutungsarme, im Unterricht
jedoch sehr ausführliche Behandlung der Ebenen dienen kann.
Ein offensichtlich für Computerspiele begeisterter Schüler merkte
bei der Diskussion dieser Thematik im Unterricht an, dass er nun
den Aufdruck "Dreiecksdurchsatz: 4,2 Mill./Sekunde" auf dem
Karton seiner Grafikkarte verstehe.
92
Lichtstrahlen in Abhängigkeit von den Richtungsvektoren
auszudrücken. Ausgehend
von diesen Überlegungen wird das Skalarprodukt
zweier Vektoren eingeführt sowie der
Zusammenhang zwischen dem Winkel zwischen
zwei Vektoren und ihrem Skalarprodukt
behandelt. Durch Darstellung von Beispielen,
die in Aufgaben vorkommen, mithilfe
von POV-Ray können die Schüler zumindest
qualitativ den Zusammenhang zwischen dem
Winkel zweier Vektoren, dem Produkt ihrer
Beträge und dem Skalarprodukt erkennen.
Geeignete Anregungen stehen auf der Internetseite
[1] zur Verfügung.
Abb. 17
Bei der Einführung der Normalenvektoren
stellen die Schüler durch die Darstellung
mehrerer Ebenen, die durch Koordinatengleichungen
der Form Ax + By + Cz = D gegeben
sind, und der jeweils zugehörigen
⎛ ⎞
Vektoren ⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎝C
⎠
BA in POV-Ray fest, dass diese
Vektoren jeweils senkrecht zu den zugehörigen
Ebenen sind. Die betrachteten Koeffizientenvektoren
werden dann als Normalenvektoren
bezeichnet. Anschließend untersuchen
die Schüler die Zusammenhänge zwischen
den Normalen- und den Richtungsvektoren
der Ebenen.
Nach diesen Betrachtungen kann mithilfe des
Skalarproduktes und des Normaleneinheitsvektors
das Reflexionsgesetz nun folgendermaßen
formuliert werden: Ist n r der Normaleneinheitsvektor
der spiegelnden Oberfläche
und sind l r und b r die normierten
Richtungsvektoren des einfallenden bzw. reflektierten
Lichtstrahls, so gilt:
1. n r , l r und b r sind komplanar,
2.
r r
n,
l =
r r
n,
b .
Abb. 18

Einzelne Berechnungen des Verlaufes reflektierter
Lichtstrahlen können anhand dieser
Formulierung des Reflexionsgesetzes zwar
durchgeführt werden, entsprechen aber
kaum Anwendungsbedürfnissen in der Computergrafik.
Interessanter ist es, anhand von
Beobachtungen der Realität zu diskutieren,
ob die durch das Reflexionsgesetz beschriebene
direkte Reflexion die einzige Art ist, in
der Körper beleuchtet werden, und welchen
Einfluss hierauf die Glätte oder Rauheit der
Körperoberfläche hat. Neben der direkten
(spiegelnden) Reflexion sind auch eine völlig
richtungsunabhängige (ambiente) Beleuchtung,
die durch Unebenheit von Körperoberflächen
verursachte diffuse Beleuchtung sowie
die durch nicht ganz exakte Reflexion
von Lichtquellen ausgehender Strahlen entstehenden
"Leuchtflecken" (Highlights) von
Bedeutung. Diese Beleuchtungskomponenten
können durch die Normalenvektoren sowie
die Verbindungsvektoren zu den Lichtquellen
und zur Kamera realitätsnah beschrieben
werden. So ist es den Schülern
möglich, geeignete mathematische Modelle
der Beleuchtungskomponenten zu entwickeln.
In engem Zusammenhang damit können
sie die Wirkung der entsprechenden Parameter
ambient, diffuse, reflexion
und phong in POV-Ray erproben. 14
Die am Beispiel des Fisches erwähnte Glättung
von Kanten durch Normaleninterpolation
können die Schüler nach der Behandlung der
Normalenvektoren von Ebenen anhand eines
Körpers mit wenigen Facetten selbst nachvollziehen.
Dazu bietet sich z.B. das Oktaeder
mit den Eckpunkten (1;0;0), (0;1;0),
(-1;0;0), (0;-1;0), (0;0;-1) und (0;0;1) an. Zunächst
stellen die Schüler dieses Oktaeder
als Vereinigung von Dreiecken dar, wodurch
sich in POV-Ray das erwartete Bild ergibt.
Anschließend bestimmen sie die Normalenvektoren
der Ebenen, in denen die Seitenflächen
des Oktaeders liegen. Um die Kanten
des Oktaeders zu glätten, werden für jeden
Punkt die Mittelwerte der Normalenvektoren
der anliegenden Facetten komponentenweise
berechnet und normiert; — für das gewählte
Oktaeder stellt sich heraus, dass die
Koordinaten dieser "Mittelwertvektoren" mit
denen der zugehörigen Eckpunkte identisch
sind. Durch Darstellung der Vereinigung von
8 geglätteten Dreiecken der Form
smooth_triangle {,,
,,
, }
14 Eine Beschreibung der Beleuchtungskomponenten und Beispiele
für die Wirkung der genannten Parameter sind u.a. auf der Internetseite
[1] unter "Ray-Tracing-Theorie" zu finden.
Didaktische Aspekte der Einbeziehung von Elementen der 3D-Computergrafik
in POV-Ray (siehe Abb. 19) ergibt sich auch
für das Oktaeder eine Kantenglättung wie für
den in Abb. 16 dargestellten Fisch.
Abb. 19
Es fällt auf, dass die durch die Software vorgenommene
Kantenglättung in diesem extremen
Fall merkwürdige Effekte in der Darstellung
verursacht. Dass der dargestellte
Körper geometrisch immer noch ein Oktaeder
ist, sehen die Schüler, wenn sie ihn
durch Änderung der Kameraposition aus verschiedenen
Richtungen betrachten. 15
Die Glättung der Kanten des Oktaeders, welche
die Schüler durch eigene Berechnungen
vornahmen, löste bei ihnen Erstaunen aus.
Durch den Bezug auf das Beispiel des Fisches,
das sie zuvor kennen gelernt hatten,
war ihnen bewusst, dass sie eine der wichtigsten
Berechnungen, die für Computerspiele
und Spielfilme millionenfach vorgenommen
werden muss, selbst ausgeführt haben.
7 Schlussbemerkungen
Die bisherigen Erfahrungen mit der Einbeziehung
von Elementen der 3D-Computergrafik
in das Stoffgebiet Analytische Geometrie
schätze ich als ermutigend ein. Die Schüler
zeigten sich sehr interessiert an dieser
Thematik; die Anfertigung eigener Computergrafiken
empfanden sie als ausgesprochen
reizvoll. Die Verwendung einer skriptgesteuerten
Software wie POV-Ray führt
zwangsläufig dazu, dass reines "Spielen" zu
keinen Ergebnissen führt und die Schüler
sich mit der Mathematik, die "hinter der Computergrafik
steht", auseinander setzen müssen,
um zu Ergebnissen gelangen.
Neben den besonders reizvollen Beispielen
Schneemannbau und Glättung des Oktaeders
empfanden die Schüler auch die Vi-
15 Ein Video, das dies deutlich zeigt, steht — neben den entsprechenden
POV-Ray-Dateien — auf der Internetseite [1] zur Verfügung.
93

Andreas Filler
sualisierung von Standardaufgaben der Analytischen
Geometrie als sinnvolle Ergänzung
zu deren rechnerischer Bearbeitung.
Die Beschreibung von Farben sowie der bewusste
Einsatz der Beleuchtungskomponenten
führen — miteinander kombiniert — zu
weit gehenden Möglichkeiten der Gestaltung
von Körperoberflächen. Die zu Grunde liegenden
mathematischen Modelle sind recht
elementar und schaffen nicht nur ein Verständnis
der Funktionsweise der Computergrafik
sondern auch einen anderen Blick auf
Erscheinungen der täglichen Umgebung.
Klassische Inhalte der Analytischen Geometrie
können dadurch von den Schülern mit einer
anderen Bedeutung wahrgenommen
werden, als dies anhand der im Unterricht
normalerweise behandelten Beispiele der
Fall ist.
Als problematisch erwies es sich, in der vorgegebenen
Zeit die vom Rahmenplan festgelegten
Inhalte zu bearbeiten und Fragen der
Computergrafik zu thematisieren. Die Spielräume,
die der Berliner Rahmenplan lässt,
sind sehr gering; auf die Behandlung der Farben
musste ich deshalb z.B. verzichten.
In Cottbus führte F. Rieper (ebenfalls in einem
Grundkurs ma-13) ein dreiwöchiges Unterrichtsprojekt
zur 3D-Computergrafik durch
und lies den Schülern große Freiräume bei
der Wahl der Schwerpunkte. Die Ergebnisse
dieses Projektes sind hinsichtlich der erstellten
Grafiken, noch mehr aber aufgrund der
von den Schülern verwendeten mathematischen
Beschreibungen beeindruckend (s.
[2]). Diese Ergebnisse unterstreichen die
Forderung, durch veränderte Rahmenpläne
Freiräume für weitergehende Überlegungen
und Unterrichtsprojekte zu schaffen.
Da die Einbeziehung von Elementen der 3D-
Computergrafik Zeit benötigt, sollten Abstriche
an den traditionellen, stärker algebraisch
orientierten Inhalten des Stoffgebietes möglich
sein. Das Setzen von Schwerpunkten,
die Beschränkung auf Kernthemen, die vertieft
und durch Anwendungen motiviert und
gefestigt werden, sowie die Reduzierung der
mit Routineaufgaben verbrachten Zeit sind
Ansätze für Straffungen. Das durch visuelle
Vorstellungen unterstütze Verständnis kann
die Reduzierung der für Routineaufgaben
aufgewendeten Zeit zumindest teilweise
kompensieren. Auch wenn an einigen Stellen
Abstriche gemacht werden müssen, kann eine
stärker geometrische und anwendungs-
94
orientierte Behandlung der Analytischen Geometrie
eine Bereicherung für den Mathematikunterricht
in der Sekundarstufe II sein.
Literatur und Internet
Andraschko, H. (2001): DreiDGeo — ein Computerwerkzeug
für die analytische Geometrie im
E 3 . In: Der Mathematikunterricht 47, Heft 5,
54–68
Borneleit, Peter, Rainer Danckwerts, Hans-Wolfgang
Henn & Hans-Georg Weigand (2001):
Expertise zum Mathematikunterricht in der
gymnasialen Oberstufe. In: Journal für Mathematik-Didaktik
22, 73–90
EPA (Einheitliche Prüfungsanforderungen) (2002).
Beschluss der 298. Kultusministerkonferenz
am 23./24.05.2002 in Eisenach
Filler, Andreas (2001): Dreidimensionale Computergrafik
und Analytische Geometrie. In: mathematica
didactica 24, Heft 2, 21–56
Filler, Andreas (2002): 3D-Computergrafik und
Analytische Geometrie — Vorschläge für den
Mathematikunterricht in der Sekundarstufe II.
In: Beiträge zum Mathematikunterricht 2002,
Hildesheim & Berlin: Franzbecker, 163–166
Filler, Andreas & Gerald Wittmann (2004): Raumgeometrie
vom ersten Tag an! Einstiege in die
Analytische Geometrie. In: Der Mathematikunterricht
50, Heft 1/2, 91–103
Nyman, M. (1999): 4 Farben 1 Bild. Berlin, Heidelberg
& New York: Springer
Schupp, Hans (2000): Geometrie in der Sekundarstufe
II. In: Journal für Mathematik-Didaktik
21, 50–60
Tietze, Uwe-Peter, Manfred Klika & Hans Wolpers
(2000): Mathematikunterricht in der Sekundarstufe
II, Band 2: Didaktik der Analytischen Geometrie
und Linearen Algebra.Braunschweig &
Wiesbaden: Vieweg
Watt, A. (2002): 3D-Computergrafik. München:
Pearson Education
Wittmann, Gerald (2003): Schülerkonzepte zur
Analytischen Geometrie. Hildesheim & Berlin:
Franzbecker
Xiang, Z. & R. A. Plastock (2003): Computergrafik.
Bonn: mitp-Verlag
[1] Internetseite des Autors mit Materialien zum
Thema dieses Beitrags: http://www-didaktik.
mathematik.hu-berlin.de/org/filler/3D
[2] Mathe-Projekt "Raytracing" in einem Grundkurs
ma-13, Fürst-Pückler-Gymnasium Cottbus:
http://fpg-cottbus.de/faecher/mathematik/
povrayprojekt.html
[3] POV-Ray-Homepage: http://www.povray.org/
[4] Rahmenpläne des Landes Berlin:
http://www.senbjs.berlin.de/schule/
rahmenplaene/thema_rahmenplaene.asp

� Konstruktion und Kontinuität in der Dynamischen
Geometrie
Thomas Gawlick, Landau
Das Erscheinen der Dynamischen Geometrie-Software (DGS) "Cinderella" war der Auslöser
für eine aspektreiche und teils kontroverse Diskussion über die Frage: Was ist das
korrekte Verhalten von DGS im Zugmodus? "Dazu muss festgelegt werden, was man als
korrekt ansieht, und eine naheliegende Forderung ist[,] hier Kontinuität zu erreichen. Dabei
entspricht der Begriff der Kontinuität dem der Stetigkeit (eine sinnvolle Topologie vorausgesetzt).
... Da Kontinuität offensichtlich nicht trivial zu erreichen ist, stellt sich die
Frage, ob sie denn überhaupt erreichbar ist. Die Frage kann positiv beantwortet werden,
und mit Cinderella ist inzwischen ein[e] kontinuierliche DGS erhältlich." (Kortenkamp
2000). In Teil I. werden wir zeigen, dass diese Antwort in zweierlei Hinsicht mehr Probleme
aufwirft, als sie löst. Scheut man jedoch zurück vor der Tragweite solcher Grundsatzüberlegungen,
aber auch vor den bekannten Nebenwirkungen des stetigen Zug-
Paradigmas, stellt sich natürlich um so dringender die Frage: Kann man auch auf andere
Weise korrektes Verhalten von DGS im Zugmodus herbeiführen? Ja, das kann man — in
Teil II. zeigen wir, dass die Restrukturierung des dynamischen Konstruktionsbegriffs
zu einem Lösungsweg führt, der auch didaktisch fruchtbar gemacht werden kann.
I. Das Problem der Kontinuität
Postuliert man, dass DGS sich stetig verhalten
soll, stellen sich zwei neue Fragen:
(1) Welches Zug-Verhalten ist als stetig zu
bezeichnen?
(2) Wie stellt man es her?
Die Antwort auf (1) ist nur scheinbar offenkundig;
— in Kap. I.1 werden wir sehen, dass
man hierüber schon in einfachsten Beispielen
ganz unterschiedlicher Ansicht sein kann.
Und es zeigt sich in Kap. I.2, dass die konträren
Auffassungen sich tatsächlich jeweils auf
verschiedene mögliche Präzisierungen des
Begriffs Kontinuität stützen können. Schließlich
lehrt auch der geschichtliche Rückblick in
Kap. I.3, dass sich aus der historischen Entwicklung
das Kontinuitätsprinzips keineswegs
so einfach und eindeutig einer dieser
Interpretationen den Vorzug geben lässt.
Nun könnte man meinen, dass sich doch
wenigstens aus der Antwort auf (2) eine
Maßregel für stetiges Verhalten ableiten
lässt. Dem ist jedoch nicht so; — in Kap. I.4
beschreiben wir, wie in "Cinderella" Stetigkeit
erzeugt werden soll, indem Ausnahmesituationen
durch Umwege ins Komplexe vermieden
werden. Ebenso gut kann man jedoch
als Geometer auch einen reellen Umweg beschreiten;
— und das führt zu einem abweichenden
Verhalten, welches gemäß der Analyse
in Kap. I.2 sogar höhere Stetigkeitseigenschaften
hat. Insofern muss also offen
bleiben, ob überhaupt eine einzige Zug-
Strategie als die stetige benannt werden
kann.
I.1 Springende Punkte: unstetig
— oder auch nicht
F
A
Abb. 1
Bei spielerischen Erkundungen im Vorfeld
der klassischen Zweikreis-Konstruktion der
Mittelsenkrechten kann man folgende Erfahrung
machen: Gegeben seien zwei Kreise
mit gleichem Radius r und Mittelpunkten A,
E, die frei beweglich gedacht sind — und mit
DGS auch so erfahren werden können. Für
0

Thomas Gawlick
nen der Mittelpunkte ein wenig, so wird F
sich ebenfalls mitbewegen, — und zwar stetig.
Das wird sicher als so natürlich empfunden,
dass man es gar nicht bewusst wahrnimmt.
Über kurz oder lang bemerkt man jedoch
folgende Phänomene:
(V1) Werden E und A zur Übereinstimmung
gebracht, verschwindet F. 1
(V2) Entfernt man E weit genug von A, verschwindet
F ebenfalls.
Abbildung 2 zeigt für (V1) verschiedene Stadien
einer solchen Bewegung: E1, E2 und E3
sind vorherige Positionen von E, sowie F1,
F2 und F3 die dazugehörigen "früheren"
Schnittpunkte.
In beiden Fällen ist offenbar die Bedingung
0

A
F
Abb. 4
1. scheinen (V1) und (V2) doch nur oberflächlich
ähnliche Situationen und Verhaltensweisen
darzustellen, dem Sinne nach
aber ganz verschieden zu sein,
2. wird man (V1) und (V2) zunächst ganz unterschiedlich
werten: während das abweichende
Verhalten von "Euklid" in (V1)
Ausdruck eines mathematischen Mangels
(Unstetigkeit) zu sein scheint, ist man
wohl geneigt, die mangelnde Erwartungskonformität
von "Cinderella" in (V2) eher
als eine harmlose Kuriosiät zu betrachten.
Beide Ansichten erweisen sich jedoch bei
näherer Betrachtung als falsch:
1. (V1) und (V2) hängen dadurch zusammen,
dass "Cinderella" Situationen vom Typ
(V1) behandelt, indem es sie — und nicht
nur sie! — in Situationen des Typs (V2)
verwandelt.
2. Es wird sich sowohl bei (V1) als auch bei
(V2) zeigen, dass die Bewertung, was tatsächlich
abweichend sein soll und wie
schwer es wiegt, aus guten Gründen anders
ausfallen kann.
Der Zusammenhang zwischen beiden Sondersituationen
wird anhand einer weiteren offenbar:
(V3) Erhöht man den Abstand zwischen E
und A auf 2r, fallen Fo und Fu zusammen.
Verringert man anschließenden den Abstand
wieder, gibt es aus der Anschauung der Situation
heraus offenbar keinerlei sinnvolle
Vorerwartung an das Verhalten von F: Fo und
Fu sind a priori gleichberechtigte Kandidaten
für die Fortsetzung von F! Wenn man denn
überhaupt eine generelle Regel formulieren
will, nach der DGS eigenständig in solchen
Situationen die Entscheidung trifft, bedarf es
dafür einer grundsätzlich anders gearteten
Richtschnur, um unserer geometrischen Anschauung
hierfür die Richtung zu weisen.
E
Konstruktion und Kontinuität in der Dynamischen Geometrie
Bedingt vergleichbar ist die Geschichte des
Parallelenaxioms: bemühte man sich schon
seit Euklid um einen Beweis und erwog dabei
durchaus auch seine Verneinung, erwuchs
doch erst aus dem Studium alternativer Modelle
der Geometrie eine Leitlinie, die es ermöglichte,
mit den vormals als bloße Absurditäten
erscheinenden Aussagen der Nichteuklidischen
Geometrie erstmals eine wirkliche
Anschauung zu verbinden (etwa für sich
schneidende Parallelen) und auf dieser
Grundlage tragfähige Alternativen zum Parallelenaxiom
zu formulieren. Zugleich wurde
auch klar, dass es für die Mathematik nicht
darum gehen kann, ein für alle Mal ein solches
Axiom als absolute Wahrheit zu setzen,
sondern dass situativ Maßregeln zu entwickeln
sind, welche Axiome für bestimmte
Zwecke geeignet ist, die jeweilige Situation
zu modellieren. (Bis zu welchem Maßstab
darf ein Kartograph die Erdkrümmung ignorieren
und die Vermessungspunkte einer
Landschaft in einem euklidischen Modell
(Landkarte!) repräsentieren?)
Auch in der Dynamischen Geometrie erwächst
das propagierte Stetigkeitsprinzip aus
einer Modellierung: Kortenkamp & Richter-
Gebert (2001) postulieren, dass ihre funktionentheoretische
Auffassung des Ponceletschen
Kontinuitätsprinzips sowohl eine solche
konzeptionelle Ausdeutung des Zugmodus
liefert als auch zugleich eine Hintergrundtheorie
und gegenüber rein geometrischen
Zugängen anderer DGS stets zu höherer
mathematischer Konsistenz führe, was
auch didaktisch vorteilhaft sei. Wie jedoch
die Beispiele in (Gawlick 2002) zeigen, bewirkt
ihr Ansatz auch diverse Aberrationen
der "Cinderella"-Geometrie von der (Schul-)
Geometrie, die geeignet sind, den Lernprozess
zu beeinträchtigen (vgl. Kap. I.3).
Aber auch schon das obige Beispiel gibt Anlass,
die Zugstrategie von "Cinderella" zu
überdenken: Da Situationen vom Typ (V3)
sich rein geometrisch nicht auflösen lassen,
müssen sie vermieden werden. In "Cinderella"
wird dazu jede Zugbewegung so abgeändert,
dass Situationen des Typs (V2) entstehen,
die sich in der funktionentheoretischen
Modellierung behandeln lassen. Insofern
hängt alles an der Stimmigkeit dieses "Prinzips
der ständigen Verformung": Denn
man wird solch eine nichttriviale Modifikation
des Bewegungsvorganges doch nur dann als
Richtschnur für sein Ergebnis akzeptieren,
wenn sie in einfach nachvollziehbaren Spezialfällen
Ergebnisse liefert, die mit der eigenen
Anschauung übereinstimmen.
97

Thomas Gawlick
Im Beispiel führt jedoch die von "Cinderella"
vorgenommene Ersetzung des "gestörten"
Zugweges zu anderen Ergebnissen, als es
die Anschauung nahe legt. Schauen wir uns
das etwas näher an:
Im einfachsten Fall zieht man E also längs
einer Geraden auf A (Abb. 5a). Im Grenzfall
E=A ist F offenbar zunächst nicht definiert,
danach aber stetig fortsetzbar.
98
Abb. 5a
Abb. 5b
Wenn man E über A hinaus bewegt, gibt es
offenbar genau zwei Möglichkeiten:
• F wird weiter durch den "oberen" Schnittpunkt
Fo fortgesetzt: stetiges Verhalten,
— so scheint es wenigstens ...
• F wird nun durch den "unteren" Schnittpunkt
Fu fortgesetzt: Dieses „sprunghafte“
Verhalten ist scheinbar unstetig.
Abb. 6
"Euklid" realisiert (wie die meisten DGS) das
scheinbare Umspringen von F in den anderen
Schnittpunkt (Abb. 5b).
Man beachte jedoch: Definitionsgemäß ist
die Zugfigur von F dennoch auch im zweiten
Fall der Graph einer stetigen Funktion, die
abschnittsweise durch E a F bzw. E a Fu gegeben
ist. Denn für E=A ist diese Funktion ja
nicht definiert. Ihr Definitionsbereich ist also
unzusammenhängend; — und auf den beiden
Komponenten ist sie offenbar stetig! Man
sollte daher nicht von "sprunghaft" sprechen,
sondern eher von "lückenhaft".
Trotzdem erscheint die erste Lösung zunächst
als die bessere: Wird doch in diesem
Fall die Zugfigur durch den "oberen" Schnittpunkt
Fo zum Graphen der stetigen Funktion
E a Fo auf dem ganzen Zugweg fortgesetzt.
Doch diese von "Cinderella" realisierte Möglichkeit
führt selbst zu einer Unstetigkeit:
Betrachten wir dazu (in Abb. 6) die geradlinige
Bewegung von E durch A als Grenzfall einer
geradlinigen Bewegung durch D, wobei D
immer näher an A liegt. Durchläuft E für festes
D eine solche Gerade c, bewegt sich dabei
stets das jeweilige F=F D auf dem festen
Kreis um A immer weiter nach unten, je näher
D an A liegt, um dann wieder nach oben
zurückzukehren. Der scheinbare "Sprung" in
der Bewegung von E durch A in Abb. 5b ist
also der stetige Grenzfall dieser Bewegung.
Abbildung 6 zeigt vier Stadien der Annäherung.
Bewegt man D auf A zu, gilt offenbar
F D ØFu für jedes Zwischenstadium der Bewegung
von E "links" von A. Mit anderen Worten:
Die Folge der Funktionen E a F D zu festem
D konvergiert für DØA nicht gegen die
überall stetige Funktion E a Fo, sondern ge-

gen die "lückenhafte" Funktion, die stückweise
durch E a Fo bzw. E a Fu definiert ist.
I.2 Was bedeutet Kontinuität in
der Dynamischen Geometrie?
Die Unklarheit, was für die Zweikreisfigur als
"richtige" Auffassung von Stetigkeit gelten
soll, motiviert sicher den Versuch, dies nicht
durch "lokale Anschauung" sondern aus
"globalen Prinzipien" abzuleiten. Zur Begründung
des Zug-Verhaltens der Zug-Strategie
von "Cinderella" wird von seinen Autoren das
Ponceletsche Kontinuitätsprinzip (KP) angeführt:
"Ist eine Figur aus einer anderen durch
stetige Veränderung hervorgegangen und
'ebenso allgemein als diese', so kann eine
an der ersten Figur bewiesene Eigenschaft
ohne weiteres auf die andere übertragen
werden." (Poncelet 1822, z.n. Kötter
1901, 121)
In dieser Form definiert das Prinzip jedoch
nicht die Stetigkeit der Veränderung, sondern
folgert aus ihr eine andere Eigenschaft: die
Theoreminvarianz (TI):
Bewiesene Sätze bleiben bei stetiger Veränderung
richtig.
KP liefert damit eine notwendige Bedingung
für das Vorliegen stetiger Veränderung: nur
wenn Theoreme "zug-invariant" sind, kann
man das Verziehen einer Konstruktion stetig
nennen. Was stetige Veränderung als solche
bedeuten soll, wird dagegen wohl eher in
Leibniz' Version des Kontinuitätsgesetzes
(KL) deutlich:
"Wenn sich (bei den gegebenen Größen)
zwei Fälle stetig einander nähern, so daß
schließlich der eine in den anderen übergeht,
muss notwendig bei den abgeleiteten
bzw. abhängigen (gesuchten) Größen
dasselbe geschehen." (Leibniz 1687 &
1996, 192f)
Dies lässt sich mit Hilfe eines geeigneten
Abstandsbegriffs (etwa des verallgemeinerten
Euklidischen Abstands auf einem höherdimensionalen
Raum) schon als eine "moderne"
Stetigkeitseigenschaft formulieren.
Gehen nämlich in einer Konstruktion aus den
unabhängigen Elementen u=(u1, ..., un) die
abhängigen Elemente a=(a1, ..., ak) hervor,
so bedeutet (KL) nichts anders als stetige
Abhängigkeit (sA) im gewohnten Sinne:
d(u, u’) → 0 ⇒ d(a, a’) → 0
Lässt sich die betrachtete Konstruktion als
funktionaler Zusammenhang a=f(u) auffassen,
ist diese Bedingung offenbar gleichbe-
Konstruktion und Kontinuität in der Dynamischen Geometrie
deutend mit der üblichen Stetigkeit von f; —
allerdings ist genau diese funktionale Beschreibung
der konstruktiven Abhängigkeit
oftmals nicht möglich, weil die verwendeten
Operationen mehrdeutig sind: Ein Winkel hat
zwei Halbierende, zwei Kreise schneiden
sich i.a. in zwei Punkten etc. Üblicher Weise
wählt man stets nur eine Instanz a der abhängigen
Elemente einer Konstruktion zu
den unabhängigen Elementen u aus; — allerdings
ist diese Auswahl in der Regel nicht
stabil gegenüber stetiger Veränderung: Wird
u längs eines geschlossenen Weges wieder
auf den Ausgangspunkt bewegt, wird a nicht
notwendig in sich überführt, sondern i.a. in
eine andere Instanz a* derselben Konstruktion!
Das paradigmatische
Beispiel hierfür ist das
folgende: Sei w die innere
Halbierende von
—AMB und S der
Schnittpunkt von w mit
dem Kreis k um M durch
Abb. 7
A. Für u=B→A "von unten"
gilt nicht a=S→A (vgl. Abb. 7). Denn
—AMB→360°, also —AMS→180°. In dieser
Betrachtungsweise kann (KL) durch kein
DGS erfüllt werden!
Dennoch nimmt "Cinderella" für sich in Anspruch,
stetiges Verhalten zu realisieren; —
und in der Regel nimmt der Benutzer dabei
auch keine Sprünge wahr. Das aber bedeutet
hier nur das Vorliegen einer stetigen Hochhebung
(sH) von u auf a:
Bewegt man u längs eines stetigen Weges
t→u(t), t∈[0,1], so gibt es auch einen
stetigen Weg t→a(t), der die Bewegung
des abhängigen Elements a beschreibt.
Wir schreiben dafür u�a.
Insbesondere wird dabei nicht behauptet,
dass aus u(1)=u(0) auch a(1)=a(0) folgt! Eine
DGS mit (sH) braucht also nicht deterministisch
zu sein. Erschwerend kommt Folgendes
hinzu: Die Eigenschaft (sH) ist nicht nur
wesentlich schwächer als (KL); — sie verändert
auch auf subtile Art die Auffassung von
Punkten; — es gibt jetzt nicht mehr den unabhängigen
Punkt u der Ebene, anhand dessen
sich Aussagen über die abhängigen Elemente
a der Konstruktion machen lassen,
wie man es aus der statischen Geometrie ja
gewohnt ist; — vielmehr kommt es nun entscheidend
auf die "Vergangenheit" von u an.
An dieser Stelle divergieren also die intendierte
Visualisierung durch die DGS und die
ihr zugrunde liegende begriffliche Modellierung
auf wesentliche Weise! Sichtbar ma-
99

Thomas Gawlick
chen lässt sich dies am leichtesten, indem
man "Cinderella" in Abb. 7 —AMB anzeigen
lässt; — beim Bewegen im bzw. gegen den
Uhrzeigersinn erhält man dann beliebig kleine
bzw. große Werte für —AMB. Dies zeigt,
dass B "in Wirklichkeit" gar nicht in der Euklidischen
Ebene E bewegt wird. Wo aber
dann?
Um die Information über die Auswahl von a
gleichsam in u zu konzentrieren und so beide
Seiten wieder etwas anzunähern, bietet es
sich an, u mit "Zustandsinformation" darüber
anzureichern, welche der möglichen Instanzen
für a aktuell gewählt wurde. Das entspricht
dem Übergang von Punkten u in der
Euklidischen Ebene E zu Paaren (u,a)∈E×E .
Diese Paare bilden eine Überlagerung von
E: "über" jedem u (außer dem Verzweigungspunkt
M) liegen zwei Paare (u,a). Vermöge
der Projektion (u,a)→u wird diese
Überlagerung von "Cinderella" in der Bildschirmebene
dargestellt. Dabei gehen bestimmte
Information notwendig verloren, —
ähnlich wie bei der ebenen Projektion eines
Kantenmodells: Wenn Kanten im Bild zusammenfallen,
kann man allein aus der Abbildung
nicht mehr erschließen, welche gemeint
ist. Erst beim Bewegen wird das deutlich,
— ähnlich bei "Cinderella": hier jedoch
sieht man stets nur einen der beiden möglichen
Punkte, — und muss sich überlegen,
welcher. Durch Ziehen lässt sich das evtl.
entscheiden; — allerdings ändert sich dabei
dann auch die Auswahl des Punktes ... Auch
Kortenkamp und Richter-Gebert konzedieren,
"dass das auf einem Computerbildschirm
gezeigte reelle [sic!] Verhalten eines
DGS nur ein unvollständiges Bild des gesamten
mathematischen Inhalts einer Konstruktion
angibt ... Vielmehr hat der Weg, den
man von einer Startsituation aus nimmt, entscheidenden
Einfluss. Das stimmt sogar
dann noch, wenn die komplette Bewegungssituation
auf einen Parameter t reduziert
worden ist. Selbst dann entscheidet immer
noch die relative Windungszahl in C des Weges
von t um die Verzweigungspunkte über
die erreichte Endinstanz." (a.a.O., 138f) All
diese Sachverhalte wird man aber wohl
kaum einem Lehrer (zu schweigen von Schülern!)
deutlich machen können; — dennoch
beeinflussen sie auf nachdrückliche Weise
die Gesetze der "Cinderella"-Geometrie,
wie wir sehen werden.
Noch weitreichender ist jedoch die in
Kap. I.1 offenbar gewordene Unstetigkeit der
"Cinderella"-Fortsetzung bei Verformung des
Zugweges! Man mag diese bloß für eine Erschwernis
der Aufgabenstellung halten, und
100
daher für unpassend, solange nicht einmal
die Ausgangsfrage geklärt ist. Tatsächlich
wird aber die Analyse der Zugstrategie von
"Cinderella" in Kap. I.4 nachweisen, dass
genau diese Eigenschaft essentiell für ihre
tatsächliche Umsetzung ist. Wir kommen insofern
nicht umhin, noch eine weitere Bedingung
für stetiges Verhalten zu formulieren,
die sich als notwendig für "Cinderella" erweisen
wird!
Stetige Verformung von Wegen führt auf den
topologischen Begriff der Homotopie, worauf
hier aber nicht eingegangen werden braucht:
Interpretieren wir nämlich wie in (Gawlick
2001) die stetige Verformung einer Figur
selbst wieder als neue Figur — die Zugfigur!
—, können wir auch deren stetige Deformation
(sD) verlangen:
Verformt man den Zugweg einer Figur
stetig, soll sich die Zugfigur ebenfalls stetig
verhalten.
Sinnvoller Weise wird (sH) vorausgesetzt.
Dann lässt sich (sD) mittels (KL) beschreiben:
Der Zugweg eines Punktes u ist nichts anderes
als die Zugfigur U von u, wenn man u als
Figur auffasst. Entsprechend sei A die Zugfigur
eines abhängigen Punktes a. Dann bedeutet
(sD) nichts anderes als stetige Abhängigkeit
der Zugfigur (sZ):
d(U, U’) → 0 ⇒ d(A, A’) → 0
Man genieße die Kürze und Eleganz dieser
Formel und ihre starke Ähnlichkeit mit (sA)!
Mit Wegen lässt (sD) sich so formulieren:
u' � a'
↓ ↓
u � a
Also ist (sD) nichts anderes als (KL) für Wege!
Die Autoren von "Cinderella" versuchen jedoch,
noch einen Schritt weiter zu gehen und
(sD) zur Behebung von Ausnahmesituationen
zu benutzen. Das ist mehr als Kontinuität
— sozusagen das Prinzip der stetigen Erweiterung
(sE):
Zugfiguren längs Wegen durch Ausnahmesituationen
sollen stetig fortgesetzt
werden, indem der durchlaufene Weg stetig
abgeändert wird.
Damit dies von Erfolg gekrönt ist, muss die
Zugfigur sich bei einer solchen Verformung
natürlich ebenfalls stetig verhalten, also (sZ)
und damit auch (sD) gelten. Unsere Beispiele

zeigen jedoch folgenden, in Kap. I.4 zu beweisenden,
Ausschließungssatz: (sD) und (sE) sind
unvereinbare Prinzipien der Dynamischen
Geometrie.
Fassen wir nun zusammen, was all diese
Prinzipien für die Dynamische Geometrie
hergeben:
• (KP) liefert keine Präzisierung des Stetigkeitsbegriffs,
— aber eine notwendige
Bedingung für eine solche: (TI).
• (KL) lässt sich dagegen in die Stetigkeitsbedingung
(sA) übersetzen; — deren Voraussetzungen
sind jedoch i.A. zu stark.
• (sH) lässt sich dagegen für die Dynamische
Geometrie als Stetigkeitsbedingung
verwenden, — liefert aber zwischen den
beiden Fortsetzungen von E a F aus
Kap. I.1 nicht unbedingt die gewünschte
Abgrenzung:
o Auch die "lückenhafte" Fortsetzung
durch E a Fu erfüllt (sH).
o Die überall stetige Fortsetzung E a Fo
erfüllt (sH) zwar in einem Punkt mehr;
— dass man dadurch auch in diesem
Beispiel die Euklidische Ebene verlässt,
wird von (sH) aber natürlich nicht
erfasst.
• (sD) ist als (sZ) bündig präzisierbar und
daher gut als Prüfstein tauglich,
• (sE) ist wohl die stärkste Forderung, genügt
aber nicht als alleiniges Kriterium der
Unterscheidung:
o (sD) wird von "Cinderella" im Beispiel
aus Kap. I.1 verletzt, — obwohl notwendige
Bedingung der internen Zugstrategie!
o Dagegen erfüllen andere DGS (sD) im
Beispiel aus Kap. I.1; — sie verzichten
aber auf (sE) Erweiterung der Gültigkeit
von (sH) auf E=A.
Die Autoren von "Cinderella" entscheiden
sich dafür, (sD) zu opfern, um (sH) durchgängig
zu realisieren. Ob dies tatsächlich
(KP) entspricht, muss jedoch fraglich bleiben,
da doch in einigen Beispielen (TI) verletzt zu
werden scheint (vgl Kap. I.3). Die anderen
DGS erkaufen dagegen die Gültigkeit von
(sD) mit der scheinbaren "Sprunghaftigkeit"
von Zugfiguren, deren Definitionsbereich
eben nicht um E=A erweiterbar ist, ohne Widersprüche
zu produzieren.
Welchem dieser widersprüchlichen Prinzipien
soll aber der Anwender nun den Vorzug geben?
Eine genauere Analyse ihrer begriffli-
Konstruktion und Kontinuität in der Dynamischen Geometrie
chen Relationen erfordert sicherlich mehr
Mathematik, als man billigerweise von Lehrern
als fertig abrufbar verlangen wird, —
umso mehr, als dies letztlich nicht zu definitiven
Antworten führen kann, da sich der Widerspruch
zwischen Erfüllbarkeit von (sD)
und (sE) auch nicht auf höherer Ebene auflösen
wird. Diesen Weg weiter zu begehen,
wäre ggf. wohl eher ein adäquater Gegenstand
für Topologie-Vorlesungen, — die sich
zukünftig ja vielleicht auch mehr solch konkreten
Dingen zuwenden werden ...
I.3 Das historische Ringen um
das Kontinuitätsprinzip
Das vorige Kapitel lieferte statt der gewünschten
"globalen Ableitung" einer Präzisierung
des Kontinuitätsprinzips deren mehrere,
die in durchaus nicht einfach zu durchschauender
Beziehung zueinander stehen.
Dies kann zu einem Gefühl der Verwirrung
führen, von dem man sich vielleicht durch
den Rückgriff auf historische Autoritäten befreien
möchte, die diese Entscheidung eventuell
bereits mit größerem Weitblick getroffen
haben könnten. Wie auch immer, bei ihrer
Lesart des Kontinuitätsprinzips berufen sich
die Autoren von "Cinderella" jedenfalls auf
Felix Kleins Interpretation: "Erst die Bezugnahme
auf die Analysis, die Poncelet grundsätzlich
ablehnt, konnte das neue Gedankengebäude
auf eine sichere Grundlage stellen.
Der imaginäre Punkt ist dann ebenso wie
der reelle nur ein gemeinsamer Lösungswert
einer Anzahl gleichzeitig erfüllter Gleichungen,
die je eines der zum Schnitt gebrachten
Grundgebilde darstellen. ... Ein jeder geometrischer
Satz ist analytisch auszudrücken
(wenn wir Geometrie so umgrenzen, wie es
damals üblich war) durch die Nullsetzung einer
algebraischen oder auch nur analytischen
Funktion f(a,b,c,...) der darin in Beziehung
gesetzten Stücke a, b, c, ... der Figur.
Das Prinzip der Kontinuität spricht dann
nichts anderes aus, als dass eine analytische
Funktion, die längs eines noch so kleinen
Stückes ihres Bereiches verschwindet, überhaupt
Null ist." (Klein 1928, 82)
Schon zu Kleins Zeiten war allerdings deutlich,
dass diese Sicht von Geometrie zahlreiche
elementargeometrische Sachverhalte
und Beweise nicht erfasst, — nämlich insbesondere
die, welche auf Lageverhältnissen
beruhen:
• Z.B. der Umfangwinkelsatz lässt sich nicht
mehr wie gewohnt darstellen, weil die
Voraussetzung, dass ein Punkt auf einem
101

Thomas Gawlick
Kreisbogen liegt, nicht als Gleichung formuliert
werden kann.
• Ebenso wenig lässt sich der bekannte
(fehlerhafte) Beweis, dass alle Dreiecke
gleichschenklig sind, in dieser Sprache
untersuchen, da sie keinen Ausdruck dafür
hat, ob ein Punkt inner- oder außerhalb
eines Dreiecks liegt.
In der Arbeit (Gawlick 2002) wurden weitere
Aberrationen der "Cinderella"-Geometrie gezeigt.
Ein lehrreiches Beispiel wird auch in
Teil II. genauer analysiert.
Darüber hinaus weiß man heute, dass es
aber auch Sätze gibt, die im Komplexen
falsch werden, ohne dass sie auf solchen
Lagebezeichnungen beruhen, z.B. der folgende
Satz (MacLane):
Seien A0, ..., A7 Punkte mit Ai+3∈AiAi+1 für
i=0,…,7 (alle Indizes mod 8). Dann sind
A0, ..., A7 kollinear.
Dies merkt man allerdings in der Regel nicht,
da eine solche Konfiguration sich mit "Cinderella"
wohl nur im Reellen erstellen lässt (sollte
dem Leser dennoch ein Trick zur Realisierung
einer nichtkollinearen komplexen Mac-
Lane-Konfiguration in "Cinderella" einfallen,
möge er dies dem Vf. mitteilen!). Wer sich
auf die (ohnehin nur probabilistisch) von
"Cinderella" verifizierte Zugfestigkeit dieser
Aussage verlässt, erliegt also einem kategorialen
Irrtum!
Auf diesem Hintergrund stellt sich die Frage,
ob die von Klein propagierte Auffassung der
Elementargeometrie als komplex-analytische
Geometrie nicht doch zu kurz greift. Und ein
historischer Rückblick zeigt, dass diese Kalkülisierung
des Prinzips auch keineswegs so
zwangsläufig ist, wie Klein es nahe legt: Eine
Theorie imaginärer (Schnitt-) Punkte, die für
die Dynamische Geometrie natürlich benötigt
wird, lässt sich ja nämlich auch rein synthetisch
betreiben, wie von Staudt (1856) gezeigt
hat. Aber auf diese Weise vermeidet
man natürlich ebenso wenig das in Kap. I.1
geschilderte Dilemma. Hier offenbart sich,
dass die didaktisch scheinbar so nutzbringende
Konkretisierung vorgestellter Veränderungen
durch reale Bilder in gewissem Sinne
den Teufel mit dem Beelzebub austreibt, weil
die Fülle der mit ihr erzeugten Bilder so recht
auf keinen theoretischen Begriff mehr zu
bringen ist. Nahe gelegt wird diese Sicht der
Dinge u.a. von den prophetischen Worten eines
historischen Protagonisten des Ponceletschen
Kontinuitätsprinzips:
"Die alte Geometrie strotzt von Figuren.
Das Raisonnement darin ist einfach. ...
Man hat aber die Unbequemlichkeit dieser
102
Verfahrungsart erfahren durch die
Schwierigkeit der Construction gewisser
Figuren und durch die Complication, welche
das Verständnis mühsam und beschwerlich
macht. ... Man muss sich hiernach
fragen, ob es nicht auch in der reinen
und speculativen Geometrie eine Art
des Raisonnements gäbe, wobei nicht
beständig Figuren nöthig wären, deren
wirkliche Unbequemlichkeit, selbst wenn
die Konstruktion leicht ist, doch immer
darin besteht, den Geist zu ermüden und
die Gedanken zu hemmen." (Chasles
1839)
Selbst wenn eine DGS für sich in Anspruch
nehmen könnte, das Ponceletsche Kontinuitätsprinzip
getreuer als andere zu realisieren
— gemäß einer definitiven Lesart, die freilich
immer noch zu ermitteln bliebe! —, wäre damit
noch keineswegs der Intention dieses
Prinzips entsprochen, das offenbar doch ersonnen
wurde, um sich von der Vielfältigkeit
konkreter Figuren nicht den Blick verstellen
zu lassen.
Es ist in diesem Zusammenhang sehr bemerkenswert,
dass sowohl Leibniz als auch
Poncelet sich zwar ausführlichst über die philosophische
Begründung des Kontinuitätsprinzips
äußern, die Anwendung auf konkrete
Situationen aber stets nur knapp und vage
beschreiben. Insbesondere verlieren beide
nach Kenntnis des Vf. kein einziges Wort
darauf, die Schwierigkeit in Kap. I.1 (oder
ähnlich simplen Situationen) auch nur anzudeuten,
geschweige denn aufzulösen. Dennoch
wäre sie sicherlich diesen Geistesgrößen
(aber auch ihren Nachfolgern) nicht entgangen;
— wenn sie sich denn einer solch
konkreten Betrachtung figürlicher Veränderung
überhaupt unterzogen hätten. Hierfür
fehlte ihnen aber doch wohl weniger das
rechte Werkzeug als vielmehr das Bedürfnis!
Bei Leibniz gibt es i.W. überhaupt nur ein
geometrisches Beispiel: die bewegte Variation
eines Kegelschnitts. Er kommt dabei zur
Herleitung von Tangenteneigenschaften
auch auf das Verhalten von Schnittpunkten
zu sprechen: "Nun kann die den Kreis
schneidende Gerade so bewegt werden,
dass sie mehr und mehr aus diesem heraustritt
und sich die Schnittpunkte mehr und
mehr einander nähern, bis sie schließlich
koinzidieren, in welchem Fall die Gerade den
Kreis verlässt und zur Tangente wird" (Leibniz
1687 & 1996, 192f). Dieses Verhalten
wird auf Kegelschnitte übertragen: "Wenn
deshalb die Gerade den Kreis berührt, wird
auch die Projektion der Geraden den zugehörigen
Kegelschnitt tangieren. Auf diese

Weise lässt sich eines der Haupttheoreme
über Kegelschnitte beweisen, ohne Umschweife
und Aufwand von Figuren, auch
nicht für jeden Kegelschnitt besonders, sondern
ganz allgemein, durch bloße geistige
Anschauung." Leibniz spricht also immer nur
von "zwei Punkten", ohne sie zu unterscheiden;
— und da er sie "durch bloße geistige
Anschauung" nur zusammen-, aber nicht
wieder auseinanderlaufen lässt, braucht er
auch nicht genauer betrachten, wie sie sich
dabei ggf. unterscheiden lassen, — und ob
überhaupt! Ganz genauso spricht Poncelet
angesichts der Verwandlung einer Geraden
in eine Kreistangente immer nur von einem
"System von Punkten"; — und auch bei ihm
wird die umgekehrte Bewegung nicht angesprochen.
Schon im Vorfeld der Veröffentlichung von
Poncelets Kontinuitätsprinzips kam es jedoch
auch zu Zweifeln an seiner Gültigkeit: Cauchy
sprach 1820 in seinem "Rapport à l'académie
des sciences... sur un mémoire ... par
M. Poncelet" nur von einer "induction forte"!
Aus der so begonnenen Auseinandersetzung
um die Rechtfertigung des Kontinuitätsprinzips
(und durch persönlichen Querelen aufgrund
von Prioritätsstreitigkeiten!) erwuchs
ein recht fruchtbar wirkender Gegensatz von
synthetischer und analytischer Geometrie,
der schließlich in von Staudts rein synthetischer
Auffassung gipfelte, wie man dem lesenswerten
Aufsatz von Fano (1903–1915)
entnimmt. Dagegen scheiterte der Versuch
von Schubert (1879), das algebraische Kontinuitätsprinzip,
die o.a. Problematik durch
Reduktion allein auf den quantitativen Aspekt
als "Prinzip von der Erhaltung der Anzahl" zu
retten:
Kohn (1902) führt eine Anzahl von Gegenbeispielen
auf und schließt mit dem vernichtenden
Urteil: "Das Schubertsche Prinzip von
der Erhaltung der Anzahl als Prinzip mathematischer
Beweisführung ist krank, unheilbar
krank sogar in gewissem Sinne; allein als
heuristisches Prinzip von allzeit frischer Kraft
wird es fortleben in der Wissenschaft." Und
schließlich führte sogar Hilbert (1900) in seiner
berühmten Liste ungelöster Probleme als
Nr. 15 die "Strenge Begründung von Schuberts
Abzählungskalkül" auf, was er wie folgt
begründete: "Wenn auch die heutige Algebra
die Durchführbarkeit der Eliminationsprocesse
im Princip gewährleistet, so ist zum Beweise
der Sätze der abzählenden Geometrie
erheblich mehr erforderlich, nämlich die
Durchführung der Elimination bei besonders
geformten Gleichungen in der Weise, daß
der Grad der Endgleichungen und die Vielfachheit
ihrer Lösungen sich voraussehen
Konstruktion und Kontinuität in der Dynamischen Geometrie
läßt." Die Lösung dieses Problems durch van
der Waerden u.a. im Rahmen der grundlegenden
Neugestaltung der Algebraischen
Geometrie in der ersten Hälfte des vorigen
Jahrhunderts erfordert ganz andersartige
Begriffe und Methoden; — sie lässt dementsprechend
von der ursprünglichen Fragestellung
kaum noch etwas erahnen ... Von dem
Versuch, die anschauliche Fragestellung aus
Kap. I.1 in diese so ganz andersartige Sprache
zu übersetzen, soll hier abgesehen werden;
— selbst wenn es darauf dort auch eine
Antwort geben mag, ist doch deren Rückübersetzbarkeit
fraglich, sicherlich aber wenig
erhellend.
I.4 Cinderellas Behandlung von
Ausnahmesituationen
Um die funktionentheoretische Interpretation
von (KP) zu realisieren, verwenden die Autoren
von "Cinderella" noch eine weitere wesentliche
Idee:
Ausnahmesituationen werden durch Abänderung
des Weges vermieden.
Konkret bedeutet das:
Die Bewegung des unabhängigen Elements
u wird in einer Serie u0, u1, ..., un von Stützstellen
repräsentiert, die sich z.B. aus der
Position des Mauszeigers zu verschiedenen
Zeitpunkten ergeben. Diese Stützstellen sind
nun durch stetige Wege zu verbinden. Dabei
machen die Autoren von "Cinderella" jedoch
zwei wesentliche Einschränkungen:
- Punkte dürfen nur linear verbunden werden.
- Umwege dürfen nur auf komplex-lineare
Wegen in einer Koordinate vorgenommen
werden.
Vgl. dazu Abb. 8 aus Richter-Gebert (o.J.).
Die Homogenität dieser Darstellung lässt
leicht übersehen, dass gerade die zweite
Einschränkung sehr wesentlich ist: Denn sie
erfolgt keineswegs nur, um Ausnahmesituationen
möglichst zu vermeiden sondern überhaupt
bei jeder Bewegung: "'Cinderella' erzeugt
für je zwei aufeinander folgende Stützstellen
einen quasi-linearen Weg, bei dem
der Kontrollparameter durchs Komplexe
führt" (Kortenkamp & Richter-Gebert 2001).
Mit anderen Worten: "Cinderella" führt nie die
visualisierte reelle Bewegung aus, — selbst
dann nicht, wenn diese bereits linear ist: hat
etwa im Musterfall der Anwender die Bewegung
von E durch A so modelliert, dass E auf
einer Geraden durch A bewegt wird, so wird
beim Ziehen nicht diese Bewegung ausge-
103

Thomas Gawlick
führt, sondern durch eine Sequenz komplexer
Kreisbögen zwischen den Interpolationspunkten
des Mauszeigers ersetzt.
All dies könnte als nachrangiges Implementationsdetail
hier unerwähnt bleiben, — wenn
es denn eines wäre! Dazu müsste aber gesichert
sein, dass diese Ersetzung jeder
durchgeführten Bewegung durch einen komplexen
Umweg tatsächlich nichts Wesentliches
verändert oder höchstens verbessert.
Das sollte bedeuten:
• War die Ersetzung "unnötig" (keine Ausnahmesituation
auf dem Weg des Benutzers),
kommt Dasselbe heraus, wie wenn
nicht ersetzt wird.
• War die Ersetzung "nötig" (Ausnahmesituation
auf dem Weg), ist dieser Vergleich
nicht möglich, daher sollte gelten:
A) Für die Ersetzung gibt es im Wesentlichen
nur eine Möglichkeit.
B) Bei der vorgenommenen Ersetzung
sollte Dasselbe herauskommen wie
bei anderen Umwegen, — d.h.: durch
stetige Verformung des Ersetzungsweges
sollen die Zugfiguren ineinander
überführbar sein, also (sD) erfüllen:
Genau das ist aber Beides nicht der Fall:
A) Wie wir sehen werden, gibt es eine
geometrisch naheliegende Variante
der Ersetzungsstrategie; — reelle statt
komplexe Umwege! — die zu einem
abweichenden Ergebnis führt,
B) im Fall der Zweikreisfigur zeigt sich,
dass der von Cinderella gewählte komplexe
Umweg (sD) verletzt.
Wir weisen zunächst B) nach: Der obstruierte
Weg ut wird in einer ε-Umgebung der Ausnahmestelle
t=1/2 durch ein komplexes
Kreisbogenstück u't(ε) ersetzt. Für ε→0 gilt
dann u't(ε)→u (Abb. 9). Wenn sich die Wege
u't(ε) der unabhängigen Punkte hochheben
104
Abb. 8
x
Im_x
A E
lassen zu stetigen Wegen a't(ε) der abhängigen
Punkte und diese Wege für ε→0 ebenfalls
gegen einen Weg a' konvergieren, lässt
sich dieser Folgengrenzwert in sinnvoller
Wiese als Ersatz für die Hochhebung des
obstruierten Weges ut verwenden. Und definitionsgemäß
gilt dann a'(ε)→a', so dass wenigsten
für diese Folge (sD) erfüllt ist:
u'(ε) � a'(ε)
↓ ε→0 ↓
u � a'
Wie sieht es aber mit anderen Wegen aus?
Dazu folgt die Bestimmung von a' im Beispiel.
Für ε=1/2 zeigt Abb. 10 die Abänderung
von ut durch u't(ε). Der Einfachheit halber
rechnen wir im Folgenden aber nur mit
ε=1. — Bei der Bewegung des Punktes E
von u0=E0=(1,0) nach u1=E1=(-1,0) wird dann
y
F
Abb. 9
ε→ 0
im_x
u'(ε)
A u
Abb. 10
E
1
x

die "quasi-lineare" Verbindung ut=Et=
(1-2t, 0), t=0,...,1, ersetzt durch den "quasilinearen"
Weg u't mit u'0=u0, u'1=u1, aber
u't∉R für t≠0, 1. Der Einfachheit halber betrachten
wir hier u't=(x't,y't)=(cos(πt)+i·sin(πt),
0), t=0,...,1. (Dieser Weg erfüllt übrigens im
Gegensatz zu dem a.a.O., 138, betrachteten
Weg die Definition von "quasi-linear" mit
komplexem Kontrollparameter!)
Der abhängige Punkt a=F ist eine der beiden
Lösungen des Gleichungssystems
x²+y²=1
(x-1)²+y²=1
Längs des abgeänderten Weges u't wird a
stetig durch den Punkt at=F't fortgesetzt, wobei
die Koordinaten (x,y) von at jeweils
x²+y²=1
(x-x't)²+(y-y't)²=1
erfüllen. Erst durch die Stetigkeitsforderung
ist at eindeutig bestimmt. Man rechnet nach,
dass für a0=(1/2, 1/2· 2 )=F tatsächlich a1=
(-1/2, 1/2· 2 )=Fo entsteht. Für ε→0 folgt daher:
a' ist die bereits in Kap. I.1 betrachtete
Hochhebung von u zu der stetigen Fortsetzung
von F durch Fo.. Unsere Berechnung
stimmt also mit dem von "Cinderella" gezeigten
Ergebnis überein. Wir wissen aber bereits,
dass diese Fortsetzung nicht als
Grenzwert der linearen Abänderung des Zugweges
entsteht, die ja auch möglich sein soll.
Daher ist (sD) verletzt, also B) gezeigt.
y
u 0 (ε)
ε→ 0
A u
E
Nun zu A): Vom geometrischen Standpunkt
aus ist es einfacher und anschaulicher, die
Ausnahmesituation ut=Et=A für t=1/2 nicht
durch einen komplexen, sondern durch einen
reellen Umweg zu umgehen. Statt eines
Halbkreises in C nehme man einen in R 2 :
u o t=(cos(πt), sin(πt)), t=0,...,1.
Die Bewegung von E längs dieses Weges
kann man mit jedem DGS selbst nachvollziehen
und sich davon überzeugen, dass a o t
dabei E o 0=E0 nach E o 1=FU überführt.
Es bietet sich also an, E1 (die nicht definierte
Fortsetzung längs ut) als E o 1 zu definieren
und entsprechend auch at:=Et:=(1/2–t,
sign(1/2–t)· 1–(1/2-t) 2 Abb. 11
) für t≠1/2. Dieser Weg
ist stetig auf seinem Definitionsbereich, wenn
auch nicht stetig fortsetzbar nach t=1/2.
x
1
Konstruktion und Kontinuität in der Dynamischen Geometrie
Insbesondere entsteht bei dieser reellen Ersetzung
eine andere Fortsetzung als zuvor,
diesmal nämlich die "lückenhafte" Fortsetzung
von F durch Fu. Damit ist A) gezeigt.
Aber mehr noch:
C) Die reelle Ersetzung erfüllt (sD).
Denn sie hat die folgende angenehme Eigenschaft:
Ist u n
t irgendein Weg der unabhängigen
Elemente mit u n
t→ut für n→∞, so
gilt auch a n
t→at. Es gilt also:
u n
t � a n
t
↓ n→∞ ↓
ut � at
Der Weg at ist also zwar selbst nicht stetig
erweiterbar, erfüllt aber die nächsthöhere
Kontinuitätseigenschaft (sD). Insgesamt folgt
aus A), B) und C) der angekündigte
Ausschließungssatz: (sD) und (sE) sind
unvereinbare Prinzipien der Dynamischen
Geometrie.
Denn natürlich lässt sich die reelle Abänderung
des Weges stetig in die komplexe deformieren
(Abb. 12). Aber diese Deformation
lässt sich nicht auf die Wege der abhängigen
Punkte hochheben: Denn im Beispiel erfüllt
ja die reelle Ersetzung (sD), aber nicht (sE).
Bei der komplexen Ersetzung ist es umgekehrt:
sie erfüllt (sE), aber nicht (sD). Daher
können diese beiden Zugfiguren nicht stetig
ineinander überführbar sein, wie man mit einem
CAS nachrechnen kann (Abb. 13):
I.5 Diskussion
Abb. 12
U 0 � A 0
↓ ↓
U' � A'
u 0 (ε)
A E
Nach Auffassung des Vf. kann sich die in
Kap. I.4 verwendete reelle Ersetzungsstrategie
mit gleichem Recht auf Poncelets Kontinuitätsprinzip
stützen wie die komplexe.
Nach der Diskussion auf der Tagung in Dillingen
hat jedoch Herr Kortenkamp einge-
sD
105

Thomas Gawlick
106
Abb. 13
u0 a
(ε)
sD
0 (ε)
x
A E
u'(ε)
a'(ε)
wandt, diese Anwendung von (KP) sei unzulässig:
Die Bewegung von E durch A dürfe
nur durch einen linearen Weg beschrieben
und dieser daher nur durch einen rein-imaginären,
nicht etwa durch einen reellen Weg
ersetzt werden. Dazu ist folgendes zu sagen:
• Die von uns in Kap. I.1 gewählte freie
Beweglichkeit der Punkte E und A dürfte
doch wohl eher dem entsprechen, was
vor dem geistigen Auge eines unvoreingenommenen
Betrachters abläuft, als eine
wie immer begründete Einschränkung
durch Linearisierung und Koordinatisierung.
• Formal könnte man das so begründen:
Die Fragestellung "Wie verhält sich F bei
Bewegung von E durch A?" gehört zunächst
einmal zur synthetischen Dynamischen
Geometrie als möglicher Erweiterung
der statischen Euklidischen Geometrie:
Hier ist zu fragen, welche zusätzlichen
Axiome die anschaulichen Vorstellungen
vom Verhalten bewegter Punkte
adäquat beschreiben; — und solche Vorstellungen
treten ja explizit schon im Originalbeweis
von Euklids Proposition I,2
auf! Damit dürfte aber auch klar sein,
dass von Anfang — zumindest von Euklid!
— an eine Beschränkung auf lineare Bewegungsmöglichkeiten
nicht gedacht war.
Es müsste also erst noch dargelegt werden,
aus welcher späteren Entwicklungslinie
eine solche Beschränkung herrühren
und wie sie gerechtfertigt werden sollte.
• Im Sinne der kinematischen Geometrie
würde man die Bewegung der Punkte in
obiger Fragestellung adäquat mittels stetiger
Wege beschreiben; — so dürfte es
wohl auch Leibniz verstanden haben. Der
Schritt von stetigen zu linearen Wegen ist
aber natürlich groß und auch nicht dadurch
zu rechtfertigen, dass er etwa zu
stärkeren Aussagen führt (s.u.).
• Erst nach einer Koordinatisierung und
Komplexifizierung des Anschauungsraums
leuchtet die von Herrn Kortenkamp
nahegelegte Einschränkung ein: dann
wird die Bewegung von E durch A nämlich
durch einen reell-differenzierbaren Weg in
einem komplex-eindimensionalen Gebilde
beschrieben. Und erst auf solche Wege
lässt sich dann die klassische Funktionentheorie
in der von Klein beschriebenen
Weise anwenden.
Deutlich wurde aber bereits in Kap. I.4, dass
diese Vorgehensweise auf wesentlichen Einschränkungen
basiert, die nicht aus der Fragestellung
zu rechtfertigen sind; — das konzedieren
im Grunde auch "Cinderellas" Autoren:
"Es mag zunächst befremdlich erscheinen,
dass in der Definition von Kontinuität lediglich
das Verhalten auf quasi-linearen und
nicht auf quasi-stetigen Wegen als Eingangsvariation
berücksichtigt wird. Würde die Definition
aber auf allgemeinen quasi-stetigen
Wegen aufbauen, so könnten wir nicht erwarten,
dass es überhaupt nicht-triviale kontinuierliche
formale DGS gibt" (Kortenkamp &
Richter-Gebert 2001, 133). Wir teilen jedoch
nicht den impliziten Umkehrschluss, dass
sich dies durch Einschränkung auf quasilineare
Wege abwenden lässt! Denn man
überlegt sich leicht, dass das nicht zu einer
Verbesserung der Antwort führen kann: Bekanntlich
lässt sich jede stetige reelle Funktion
auf einem abgeschlossenen Intervall
gleichmäßig durch Polynome approximieren
(Satz von Stone-Weierstraß). Und jedes Polynom
kann auf einem Intervall durch hinreichend
viele Stützstellen gleichmäßig gut
durch stückweise quasi-lineare Funktionen
interpoliert werden. Wendet man beides zusammen
auf die Komponenten eines quasistetigen
Weges an, sieht man, dass man ihn
gleichmäßig durch quasi-lineare Wege approximieren
kann. Jedes Stetigkeitsresultat
für quasi-lineare Wege lässt sich daher auf
quasi-stetige Wege übertragen.
Umgekehrt lässt sich auf diesem Hintergrund
vermuten, dass sich die begrüßenswerte Absicht,
"man kann aber auch a priori bestimmte
Qualitätsmerkmale axiomatisch fordern
und auf mathematischer Basis zeigen, dass
eine bestimmte Modellierung diesen Qualitätsansprüchen
genügt, — oder zeigen, dass
es eine solche Modellierung nicht geben
kann" (Kortenkamp & Richter-Gebert 2001,
124), für den selbst gestellten Anspruch,
Zugfiguren maximal stetig zu erweitern und
zugleich stetig zu verformen, nur in der letztgenannten
negativen Hinsicht erfüllen lässt:
Entgegen dem ersten Augenschein ist nicht
nur "Cinderella" offenbar nicht in der Lage,
zugleich (sD) und (sE) zu realisieren, — sondern
wohl überhaupt kein DGS.

I.6 Fazit
Die Autoren von "Cinderella" beantworten die
einleitenden Fragen nach dem korrekten
Verhalten von DGS im Zugmodus auf folgende
neuartige Weise:
(1) Stetigkeit ist im Sinne einer funktionentheoretischen
Interpretation des
Ponceletschen Kontinuitätsprinzips zu
verstehen.
(2) Stetigkeit ist durch geeignete Veränderung
des "Zug-Weges" zu erreichen.
Wir haben gesehen: Die Antwort auf (1) kann
auch durchaus anders ausfallen; — und dafür
gibt es aus mathematischen und historischen
Gründen auch ganz gute Argumente.
Und diese alternative Antwort lässt sich auch
geometrisch realisieren, wenn man sich die
Antwort auf (2) zueigen macht, aber nicht
einseitig auf eine Interpretation verengen
lässt.
II. Geometrie — mit dem
dynamischen Lineal
Der Zug-Modus von "Cinderella" zeigt interessante
Phänomene; — wie sie zustande
kommen, ist aber für (viele) Schüler und (einige)
Lehrer nicht leicht zu verstehen und
lässt sich auch nicht so ohne weiteres aus
einfachen Antworten auf klare Fragen ableiten.
Daher bietet es sich an, weniger nach
der DGS mit dem "richtigen" Zugmodus zu
suchen, sondern vielmehr nach der passenden
Art, das gesuchte Zug-Verhalten einer
Figur konstruktiv zu erzeugen.
II.1 Die Notwendigkeit, den dynamischen
Konstruktionsbegriff
zu restrukturieren
Man betrachte dazu folgendes Beispiel:
Durch Ziehen an den Ecken des Dreiecks
kann man entdecken, dass sich die Winkelhalbierenden
stets im Inkreismittelpunkt I
schneiden. Die "Cinderella"-Version dieser
Konstruktion erlaubt eine überraschende Variante:
zieht man B durch A, bewegt sich I allerdings
manchmal aus dem Dreieck heraus
(Abb. 14).
Offenbar läuft ein solches Verhalten dem Ziel
der interaktiven Satzfindung völlig zuwider
und wirft im geometrischen Einführungsunterricht
der Sekundarstufe I erhebliche didaktische
Probleme auf. Nun könnte man meinen,
dass es sich dabei um nichts anderes
Konstruktion und Kontinuität in der Dynamischen Geometrie
Abb. 14
als einen offenbaren Software-Fehler handelt;
— warum also nicht einfach "Cinderella"
debuggen? Es lässt sich aber zeigen (Gawlick
2001), dass das nicht möglich ist: dieses
Verhalten ist eine mathematisch notwendige
Konsequenz der Stetigkeit! Angesichts
der Dichotomie von Stetigkeit und Determinismus
könnte dieser schwer kontrollierbare
Seiteneffekt stetigen Verhaltens für unterrichtliche
Zwecke die Wahl eines deterministischen
Systems als vorteilhaft erscheinen
lassen, — aber wie wir gleich sehen werden,
liegt die Sache noch etwas komplizierter:
Was ist der Ort I des Inkreismittelpunkts I eines
gleichschenkligen Dreiecks ABC, wenn
C den Kreis durch B um A durchläuft? Eine
Konstruktion von I mittels "Euklid" liefert eine
Ortskurve mit einer Singularität, bei der es
sich scheinbar um eine Spitze handelt.
Abb. 15
Warneke (2001) hat jedoch erläutert, wie
man mittels elementarer Trigonometrie eine
Parameterdarstellung für I erhält, aus der
man dann durch algebraische Umformungen
à la Pythagoras eine Gleichung für I gewinnen
kann. Der Gleichung zufolge ist die Kurve
vom Typ der Strophoide; — der singuläre
Punkt muss also ein Doppelpunkt sein!
Durch Plotten der Kurve bemerkt man, dass
der geometrische Ort nur ein Teil des alge-
107

Thomas Gawlick
braischen Orts ist: man erhält nur den Teil
der Kurve, der sich im Innern des Kreises befindet.
Dies widerspricht der gewohnten Auffassung
der Cartesischen Korrespondenz,
wonach jeder geometrisch erzeugte Ort sich
in Koordinaten als Nullstellenmenge einer
geeigneten, zumeist algebraischen Gleichung
beschreiben lässt.
Man ist zunächst versucht zu folgern, dass
das kontinuierliche Verhalten von "Cinderella"
hier ein didaktischer Vorteil ist, da es den
gesamten Ort zu erzeugen erlaubt (Abb. 16).
Aber der Preis, den man dafür zahlen muss,
lautet: Akzeptiere, dass der Inkreismittelpunkt
I sich bei jedem zweiten Durchlauf aus
dem Dreieck ABC herausbewegt!
Im Grunde wird durch das stetige Verhalten
von "Cinderella" hier auch eine Kontinuität
der Konstruktion vorgetäuscht, die so nicht
gegeben ist: offenbar hört I ja "unterwegs"
auf, der Inkreismittelpunkt des Dreiecks zu
sein; — aber was repräsentiert I denn dann?
Beim Ziehen wird ja die Innen- stetig in die
Außenwinkelhalbierende überführt, I wird also
zum Ankreismittelpunkt!
An der Stelle wird deutlich, dass derartige
Phänomene allein durch die Wahl der Zug-
Strategie nicht zufriedenstellend geklärt werden
können, sondern dass ein neuer Begriff
von Konstruktion erforderlich ist: Eine dynamische
Konstruktion hat offenbar einen Gültigkeitsbereich,
der sowohl von der Lage der
Ausgangspunkte als auch von ihrer "Geschichte"
abhängt. Dafür gibt es in der statischen
Geometrie keine Parallele.
Auf der Basis des gewohnten Konstruktionsbegriffs
lässt sich die obige Schwierigkeit jedoch
ebenfalls beheben; — wenn man die
gewohnte Konstruktion der Strophoide durch
eine Linealkonstruktion ersetzt, wird auch
von deterministischen DGS die ganze Ortslinie
erzeugt!
108
Abb. 16
II.2 Dynamische Linealkonstruktionen
Gewöhnlich beschreibt man die Mächtigkeit
eines Zeichengeräts durch die Menge der mit
ihm konstruierbaren Punkte. Dann gilt bekanntlich
(Bieberbach 1952) der
Satz: Die Koordinaten der mit dem Lineal
konstruierbaren Punkte sind genau die, die
sich durch rationale Ausdrücke in den Koordinaten
der gegebenen Punkte beschreiben
lassen.
Ein neues Element tritt jedoch
dann hinzu, wenn man
die Beweglichkeit der gegebenen
Punkte zu erfassen
sucht.
Variiert ein Punkt P auf einer
Geraden, sind seine Koordinaten
lineare Funktionen eines
Parameters t, die wir mit diesem
halbfreien Punkt identifizieren
können. Ein Punkt Q,
der aus P und weiteren festen
Punkten allein mit Hilfe des Lineals
konstruiert ist, hat Koordinaten,
die rationale Funktionen
von t sind. Die Ortslinie von Q bei Variation
von P nennen wir dynamisches Linealkonstrukt.
Den bekannten Satz über die
Konstruierbarkeit mit dem Lineal können wir
daher so dynamisieren.
Satz über dynamische Linealkonstrukte:
Die dynamischen Linealkonstrukte
sind genau die Ortslinien, für die es eine
rationale Parameterdarstellung gibt.
Überraschend ist nun, wie groß die Klasse
der Ortlinien mit diesen beiden äquivalenten
Eigenschaften ist; — zunächst einmal erweist
sich der Kreis als dynamisches Linealkonstrukt:
Dies haben wir in (Gawlick 2004a) auf
dreierlei Art sowohl algebraisch als auch geometrisch
gezeigt. Am einfachsten zugänglich
ist wohl folgende Anwendung der Umkehrung
des Satzes von Thales: Sind P und
Q diametrale Punkte des Kreises k und
durchläuft R eine von PQ verschiedene Gerade
g, so durchläuft der Schnittpunkt S von
PR und des Lots aus Q auf PR den Kreis, —
der umgekehrt so mit dem Lineal allein rekonstruiert
werden kann (vgl. Abb. 17)!
Aber auch die algebraische Zugangsweise
vermittelt wertvolle Einsichten: Für den Beweis
der obigen Sätze überlegt man sich ja,
dass sich mit Hilfe des Lineals alle vier
Grundrechenarten geometrisch realisieren
lassen. Zur konkreten Durchführung der in
(Gawlick 2004a) erläuterten Konstruktionen

P
R
Abb. 17
ist schon im Fall des dynamischen Linealkreises
die Verfügbarkeit von Makros praktisch
unerlässlich. Auf diese Weise kommt es
im Geometrieunterricht dann einmal zu der
oft als Ziel angestrebten Restrukturierung einer
Konstruktion durch Zusammenfassung
ganzer Sequenzen von Konstruktionsschritten
zu einem neuen Ganzen. Aber auch inhaltlich
weist dieser Zugang weit über den
Kreis hinaus: zu den rational parametrisierbaren,
also mit dem Lineal konstruierbaren
Kurven gehören nämlich insbesondere die
Ortslinien des Höhenschnittpunkts und der
Mittelpunkte von Um- und in einigen Fällen
auch Inkreis (Gawlick (2004b). Dieser algebraische
Sachverhalt wirft geometrische Fragen
auf: Lassen sich denn auch Mittelsenkrechten,
Höhen und Winkelhalbierende allein
mit dem Lineal konstruieren? Das würde
überraschen, da sie ja auf metrischen Eigenschaften
wie "senkrecht" oder "halbierend"
basieren. Diese sind allein mit Linealkonstruktionen
nicht zu realisieren; — aber es ist
möglich, sie in der Menge der Startpunkte zu
kapseln:
Abb. 18
Denn man kann aus ihnen die Koordinatenachsen
und den Ursprung U konstruieren
und hat auf diesen je zwei Punkte mit Mittelpunkt.
Zu einer solchen Geraden AB kann
man aber die Parallele durch einen gegebenen
Punkt F ziehen, wenn man noch über einen
weiteren Punkt R auf AF verfügt, von
dessen Existenz man sich jeweils vorher
überzeugen muss: Ist E der Mittelpunkt von
S
Q
g
Konstruktion und Kontinuität in der Dynamischen Geometrie
A und B, D = ER∩BF und G = AD∩BR, dann
gilt AB⎟⎜FG (vgl. Abb. 18).
Auf das Parallelenziehen kann man die meisten
elementargeometrischen Konstruktionen
zurückführen (vgl. Gawlick 2004b):
II.3 Die Elementargeometrie als
Linealgeometrie
Mit einem Parallelenlineal sind fast alle
Grundaufgaben lösbar:
Senkrechte zu einer Geraden g durch U: g
schneide die x-Achse in Q. Die Parallele zu
x1y1 durch P schneide die x-Achse in P', die
durch Q schneide die y-Achse in PQ'. P'Q' ist
das Spiegelbild von g = PQ an der ersten
Winkelhalbierenden. Sei P" der Schnittpunkt
der Parallelen durch P' und Q' zu den Koordinatenachsen.
Dann steht UP" senkrecht
auf g (vgl. Abb. 19).
g
Q'
P
y1
U
P''
x1 P'
Q
Abb. 19
Senkrechte zu g durch einen beliebigen
Punkt R: Diese erhält man als Parallele zu
der eben konstruierten Senkrechten durch
den Punkt R.
Mittelpunkt M = MP(A,B) der Punkte A und
B: Sei C ein Punkt außerhalb von AB und D
ein Punkt auf der Parallelen zu AB durch C.
Sei E = AC∩BD und F = AD∩BC. Aufgrund
der harmonischen Eigenschaften des vollständigen
Vierseits ist dann M = AB∩EF (vgl.
Abb. 20 und Bieberbach 1952).
Mittelsenkrechte MS(A,B) der Punkte A und
B: Dies ist natürlich die Senkrechte auf AB in
M.
Seitenhalbierende und Höhen des Dreiecks
ergeben sich entsprechend. Folglich sind
auch Umkreismittelpunkt, Schwerpunkt
und Höhenschnittpunkt des Dreiecks schon
allein mit dem Lineal konstruierbar! Dabei
haben wir gesehen, dass man nicht nur, wie
üblich, das Parallelenziehen auf das Lotfällen
zurückführen kann, sondern auch umgekehrt.
Der Einfachheit halber bietet es sich aber an,
109

Thomas Gawlick
ein Lineal zu benutzen, mit dem man, wie
gewohnt, Senkrechte konstruieren kann.
110
A M
B
C
F
E
D
Abb. 20
Welche Konsequenzen zieht nun die Durchführbarkeit
der meisten elementargeometrischen
Konstruktionen mit dem Lineal allein
nach sich? Dass man auf den Zirkel weitgehend
verzichten kann, ist ja nichts Neues; —
schon Steiner zeigte, dass sich die üblichen
Konstruktionen allein mit dem Lineal und einem
festen Kreis durchführen lassen. Hier
liegen die Dinge etwas anders: DGS kann ja
in Makros eine Vielzahl von Konstruktionsschritten
zu einem einzigen zusammenfassen;
— dadurch ist es möglich, die effektive
Durchführbarkeit von Linealkonstruktionen
wesentlich zu erhöhen. Die Benutzung einer
DGS entspricht also der Verwendung eines
Rechtwinkellineals, das nicht nur Geraden
zeichnen kann, sondern auch Lote fällen: Mit
dem Rechtwinkellineal lassen sich außer
dem Winkelhalbieren alle elementargeometrischen
Konstruktionen fast ebenso effizient
ausführen wie mit dem Zirkel. In diesem Sinn
gilt also:
Die Elementargeometrie ist eine (Rechtwinkel-)
Linealgeometrie!
Man beachte dabei: Die Mächtigkeit des
Rechtwinkellineals ist nicht größer als die
des gewöhnlichen, sofern die Startpunkte die
metrischen Daten enthalten; — aber es erhöht
die praktische Durchführbarkeit von Linealkonstruktionen.
Was bedeutet diese Einsicht für die Nutzung
von DGS? Auf der positiven Seite gilt: Viele
Konstruktionen lassen sich durchführen, ohne
auf mehrdeutige Operationen wie den
Schnitt mit Kreisen oder das Halbieren von
Winkeln zurückgreifen zu müssen. Das beschränkt
die Auswirkungen des stetigen Verhalten
einer DGS. Das Rechtwinkellineal liefert
stets eindeutige Ergebnisse; — daher
lässt sich damit die Stetigkeitsproblematik
umschiffen. Sie tritt nur auf, wenn sich die
Verwendung von Winkelhalbierenden nicht
vermeiden lässt; — aber in manchen Fällen
ist dennoch sogar die Ortslinie des Inkreismittelpunkts
mit dem Lineal konstruierbar:
II.4 Linealisierung der Strophoide
Aufgrund der Charakterisierung der Linealkurven
als rationale Kurven muss es eine Linealkonstruktion
der Strophoiden geben (die
Rationalität liest man aus ihrer Gleichung ab,
vgl. Gawlick 2004c). Insbesondere ist diese
dann mit deterministischen DGS durchführbar.
Offenbar erhält man dabei aber als geometrischen
Ort nur den im Innern von k liegenden
Teil der Kurve, wenn man verlangt,
dass I der Schnittpunkt von Innenwinkelhalbierenden
ist — und bleibt: dann muss nämlich
die Winkelhalbierende in B beim Passieren
von C durch B um 90° springen. (Verhält
sie sich demgegenüber stetig, so verlassen
bei dieser Bewegung die Winkelhalbierende
wB und der Inkreismittelpunkt das Dreieck!)
Es ist daher nötig, wB und I anders zu interpretieren.
Nur so erhält man die ganze
Strophoide als Ortslinie einer deterministischen
DGS, etwa durch folgende Konstruktion:
Man lässt β = ∠ABC/2 die Bewegung
der Figur steuern, indem man die Winkelhalbierende
um B dreht, — etwa durch Bewegung
des Zugpunktes Z auf einem Kreis um
B (Abb. 21). wA ist lineal-konstruierbar als
MS(B,C). I ergibt sich als Schnitt von wA und
wB. Mit einer Linealkonstruktion des Trägerkreises
von Z ist die Linealkonstruktion der
Strophoide komplett!
wB
II.5 Ausblick
C
γ
α
A
I
Abb. 21
Z
β
Geben wir nun abschließend dem Studium
der lineal-konstruierbaren Kurven seine theoretische
Abrundung: Eine Kurve ist, wie gesagt,
genau dann mit dem Lineal konstruierbar,
wenn sie rational ist, also eine rationale
Parameterdarstellung besitzt. Das ist zunächst
einmal eine gute Eigenschaft: Für rationale
Kurven lassen sich effektiv Gleichungen
ermitteln und Schnittpunkte exakt berechnen.
Damit sind sie für jegliche Art professioneller
geometrischer Datenverarbeitung
das geeignete Terrain. Im Computer Aided
Design (CAD) ist sogar der Begriff "Parametrisierung"
mittlerweile synomyn zu "rati-
A'
B

onale Parametrisierung", da diese offenbar
die einzig praktisch verwendbaren darstellen.
Auch im Hinblick auf eine Integration symbolisch-algebraischer
Methoden in die Arbeitsweise
von DGS sind die Linealkurven also
der adäquate Gegenstand.
Es gibt aber auch problematische Auswirkungen:
Damit Rationalität vorliegt, muss
aufgrund der erwähnten Plücker-Formel eine
Kurve umso singulärer sein, je höher ihr
Grad ist. Damit handelt man sich systematisch
Phänomene des Typs ein, dass eine
Kurve eigentlich Singularitäten hat, die aber
nicht sichtbar sind, da komplex oder unendlich
fern; — und dennoch beeinflussen sie
die sichtbare Geometrie. Bestes Beispiel dafür
sind wohl die Höhenschnittpunktskurven
(vgl. Gawlick 2000, 2001c!)
Hier ist also etwas Theorie nötig und hilfreich,
um mit dynamischen Figuren sachgerecht
umgehen zu können. Und wer in der
am Beispiel der Strophoide gezeigten Art die
Konstruktion nicht nur einer Kurve, sondern
einer ganzen Kurvenklasse restrukturiert, betreibt
ja globales Ordnen im Sinne Freudenthals;
— und das ist die höchste Stufe des
geometrischen Denkens, die allerdings auf
der Schule oft nicht (mehr) erreicht wird ...
Derartige Überlegungen werfen aber neues
Licht auf den Hintergrund der Schulgeometrie
und sind daher hilfreich für die Lehrerausund
-weiterbildung, aber auch im Kontext der
Begabtenförderung: Denn aus der Reflexion
der Phänomene erwachsen Einsichten, die
weit über die Schulgeometrie hinaus zu aktuellen
Themen der mathematischen Forschung
weisen können. Dies gibt Begabten
die Möglichkeit, ihr Potential zu erproben und
einen möglichen zukünftigen Tätigkeitsbereich
zu erkunden.
Literatur
Bieberbach, Ludwig (1952): Theorie der geometrischen
Konstruktionen. Basel: Birkhäuser
Chasles, Michel (1839 & 1968): Geschichte der
Geometrie. Wiesbaden: Sändig, Nachdruck
Elschenbroich, Hans-Jürgen, Thomas Gawlick &
Wolfgang Henn (Hrsg.) (2001): Zeichnung –
Figur – Zugfigur. Hildesheim: Franzbecker
Fano, G. (1903–1915): Gegensatz von synthetischer
und analytischer Geometrie. In: Encyclopädie
der mathematischen Wissenschaften,
Band III, 1. Leipzig: Teubner
Gawlick, Thomas (2000): Die Ortslinie des Höhenschnittpunktes.
Einführende didaktische und
mathematische Bemerkungen. Vechtaer fachdidaktische
Forschungen und Berichte, Heft 3.
Vechta: Institut für Didaktik, 43–54
Konstruktion und Kontinuität in der Dynamischen Geometrie
Gawlick, Thomas (2001a): Über einige Prinzipien
der Dynamischen Geometrie. In: Beiträge zum
Mathematikunterricht 2001. Hildesheim: Franzbecker,
213–216
Gawlick, Thomas (2001b): Zur Mathematischen
Modellierung des Dynamischen Zeichenblatts.
In: Elschenbroich u.a. (2001), 55–67
Gawlick, Thomas (2001c): Exploration reell algebraischer
Kurven mit DGS. In: Elschenbroich,
Gawlick & Henn (2001), 69–76
Gawlick, Thomas (2002): Dynamic Notions for
Dynamic Geometry. In: Manfred Borovcnik &
Hermann Kautschitsch (Hrsg.) (2002): Proceedings
of ICTMT 5. Plenary Lectures and
Strands. Wien: öbv & hpt, 297–300
Gawlick, Thomas (2004a): Dynamische Konstruierbarkeit
des Kreises allein mit dem Lineal.
In Praxis der Mathematik 3, 126–129
Gawlick, Thomas (2004b): Dynamische Linealkonstruktionen
von Ortslinien der besonderen
Punkte des Dreiecks. In: Der Mathematikunterricht
50, Heft 4, 31–37
Gawlick, Thomas (2004c): Dynamische Linealkonstruktionen
höherer Kurven. In: Der Mathematikunterricht
50, Heft 4, 38–50
Hilbert, David (1900): Mathematische Probleme.
Göttinger Nachrichten mathematisch-physikalische
Klasse 3, 253–297
Hölzl, Reinhard (1999): Qualitative Unterrichtsstudien
zur Verwendung dynamischer Geometrie-
Software. Augsburg: Wissner
Klein, Felix (1928): Vorlesungen über die Entwicklung
der Mathematik im 19. Jahrhundert. Berlin:
Springer
Kohn, Gustav (1902): Über das Prinzip von der
Erhaltung der Anzahl. In: Archiv für Mathematik
und Physik 4, 312–316
Kötter, Ernst (1901): Die Entwickelung der synthetischen
Geometrie. DMV Jahresbericht 5.
Leipzig: Teubner
Kortenkamp, Ulrich & Jürgen Richter-Gebert
(2001): Grundlagen dynamischer Geometrie.
In: Elschenbroich u.a. (2001), 123–144
Leibniz, Gottfried (1687 & 1996): Ein allgemeines
Prinzip, das nicht nur in der Mathematik, sondern
auch in der Physik von Nutzen ist. In: T.
Leinkauf (1996): Leibniz. München: Diederichs
Richter-Gebert, Jürgen (o.J.): Das komplexe Verhalten
geometrischer Objekte. http://
www-m10.ma.tum.de/~richter/Papers/HTML/
ComplexityIssues_dt/S_50_Continuitaet.html
Schubert, H. (1879): Kalkül der abzählenden Geometrie.
Leipzig: Teubner
von Staudt, G. C. C. (1856): Beiträge zur Geometrie
der Lage. Nürnberg: Bauer & Raspe
Warneke, Klaus (2001): Mit dynamischer Geometrie-Software
zu algebraischen Kurven. In: Der
mathematische und naturwissenschaftliche
Unterricht 54, 81–83
Zeuthen, H. G. (1903–1915): Abzählende Methoden.
In: Encyclopädie der mathematischen
Wissenschaften, Band III,2,1. Leipzig: Teubner
111

� Ein Java-Applet zur Eingabe und Überprüfung
mathematischer Terme
1 Einleitung
Schlägt man ein beliebiges Algebra-Buch
auf, stößt man nahezu zwangsläufig auf sogenannte
"Aufgaben-Plantagen". Das Durcharbeiten
im herkömmlichen Stil (ein Schüler
rechnet vor, die anderen schreiben von der
Tafel ab — oder noch schlimmer: der Lehrer
rechnet vor, um "Zeit zu sparen") führt bei
unserer medien-verwöhnten Schülerschaft
schnell zu Langeweile. Der Spruch "Wenn alles
schläft und einer spricht, das Ganze
nennt man Unterricht", ist schon alt. Manche
Kollegen lockern den Unterricht mit Gruppenarbeit
auf, oder sie verpacken die Algebra-Aufgaben
in Spielchen und verkaufen
das Ganze als "Freiarbeit". Zu Recht wird eine
neue Schwerpunktsetzung in der
Aufgabenkultur gefordert.
Wie dem auch sei, auf Übungsphasen als
Anwendung der Theorie wird man bei keinem
Unterrichtsstil verzichten können. Es genügt
nicht, den Schülern die Vorzeichen-Rechenregeln
bei der Multiplikation nur mitzuteilen
(oder herzuleiten) — man muss sie einüben
— mit mehr als zwei Faktoren, mit Variablen,
mit Abgrenzung von den Rechenregeln für
die Addition, mit Wiederholung des Bruchrechnens
usw. Bei solchen Übungsphasen
ist es wünschenswert, den Großteil der
Schüler aus der Passivität des bloßen Abschreibens
von der Tafel herauszuholen.
Möglichst viele Schüler sollten den Aufgaben-Fundus
gleichzeitig unabhängig voneinander
bearbeiten können und unmittelbar eine
Rückmeldung in der Form "richtig/falsch"
erhalten. Diesem Ziel kommen die Freiarbeits-Aufgaben
der ALP Dillingen (Lippert et
al. 1999) sehr nahe. Sie bieten Aufgaben auf
der Vorderseite und Lösungen zur Selbstkontrolle
auf der Rückseite. Eine Umsetzung
112
Rudolf Großmann, Stein
Das hier vorgestellte Java-Applet erlaubt einerseits die Darstellung (Ausgabe) von Termen
mit Brüchen, Wurzeln und Funktionen auf HTML-Seiten, andererseits die Eingabe
eines Terms und die Überprüfung auf Übereinstimmung mit einem vorgegebenen Lösungsterm.
Dabei werden auch äquivalente Terme als Lösung akzeptiert. Als Anwendung
können Übungsaufgaben auf Datenträger oder im Internet bereitgestellt werden, bei
denen der Schüler sofort eigenständig die Richtigkeit seines Ergebnisses überprüfen
kann. Zur Erstellung solcher Übungsaufgaben sind nur grundliegende HTML-Kenntnisse
notwendig. Das Applet wird laufend fortentwickelt und kann zu Testzwecken über die
Homepage des Autors [1] bezogen werden.
dieses Konzeptes auf HTML-Basis ist mit
den unten beschriebenen Java-Applets möglich.
An unserer Schule müssten die Schüler noch
in den (inzwischen gut ausgebuchten) Informatikraum
umziehen, und es stünde nur ca.
ein Rechner für zwei Schüler zur Verfügung.
Wenn sich die Entwicklung der letzten Jahre
auf dem Computer-Markt wie bisher fortsetzt,
kann man vorausahnen, dass in einigen Jahren
die Schüler mit dem (eigenen) Notebook
im Unterricht ebenso umgehen wie heute mit
dem Taschenrechner, noch dazu über Funk
miteinander und mit dem Internet vernetzt.
Man mag dieser Entwicklung durchaus kritisch
gegenüberstehen, wie Clifford Stoll in
seinem lesenswerten Buch "LogOut" (Stoll
2001); — aufhalten wird man sie nicht. Wir
müssen uns für das Zeitalter des Computer
Aided Learning (CAL) rüsten.
2 Das Trio der Formel-
Applets
2.1 Das Formelausgabe-Applet
Es gibt viele Möglichkeiten, mathematische
Formeln auf Seiten im WWW darzustellen.
Zum Beispiel existiert mit MathML [2] ein
HTML-Abkömmling speziell für die Darstellung
mathematischer Inhalte im Internet. Leider
verstehen nur einige spezielle Browser,
z.B. Amaya [3] MathML. Hier wären die
Browser-Hersteller — allen voran Microsoft
— aufgefordert, endlich MathML-Unterstützung
in ihre Browser zu integrieren.
Mit "Hot Equation" [4] der Ruhr-Universität
Bochum gibt es ein sehr leistungsfähiges

Applet, das TEX-Input in Formeln umsetzen
kann.
Schließlich kann man Formeln innerhalb eines
Dokuments von MS Word mit dem Formel-Generator
erstellen und das Dokument
als HTML-Datei speichern. Die Formeln werden
dann in Bitmap-Grafiken umgewandelt
und an den entsprechenden Stellen im Text
eingebunden. Word erzeugt allerdings einen
HTML-Code, der nur schwer von Hand nachzubearbeiten
ist. Daher empfehle ich die letzte
Methode nicht.
Bei so vielen schon existierenden Möglichkeiten
bräuchte man das Formelausgabe-
Applet gar nicht. Es bietet jedoch den Vorzug
eines einheitlichen Designs für die Eingabe
und Ausgabe. Durch Anpassung der Hintergrundfarbe
an den Hintergrund der umgebenden
HTML-Seite wird die rechteckige
Applet-Begrenzung gleichsam unsichtbar.
2.2 Das Formeleingabe-Applet
Das Eingabe-Applet erlaubt neben der Verwendung
der vier Grundrechenarten die Eingabe
von Klammern, Brüchen, Quadratwurzeln
und der Funktionen sin, cos, tan, ln, lg
und Betrag. So lange die Eingabe nicht abgeschlossen
ist, ist der Hintergrund des
Applets hellblau. Die Eingabe wird mit der
Enter-Taste oder dem Drücken des optionalen
OK-Knopfes abgeschlossen. Gleichungen
können (noch) nicht eingegeben werden.
Das Applet reagiert vorläufig mit Grünfärbung
des Hintergrundes auf richtige Eingaben und
Abb. 1: Das Formelausgabe- und Eingabe-Applet
Ein Java-Applet zur Eingabe und Überprüfung mathematischer Terme
mit Orangefärbung auf falsche Eingaben. Alle
Farben können mit in der HTML-Seite eingebettetem
JavaScript-Code dem persönlichen
Geschmack angepasst werden. Die
Reaktionsfähigkeit soll in zukünftigen Versionen
stark erweitert werden, so dass eine differenzierte
Reaktion auf verschiedene Arten
von Falscheingaben möglich ist, beispielsweise
der Sprung zu anderen HTML-Seiten
je nach Fehler-Art.
Abbildung 1 zeigt ein Beispiel einer Übungsseite
mit Ein- und Ausgabe-Applet.
Das Eingabe-Applet kennt folgende Sondetasten:
Taste Funktion
Strg-W Wurzel
Strg-B Bruchstrich
Cursor hoch Exponent
5½ wird wie folgt eingegeben: "5, Strg-B, 1,
Cursor runter, 2". Das Eingabe-Applet erlaubt
auch eine Ansteuerung mit beschrifteten
Knöpfen als Eingabehilfe, so dass man sich
die Sondertasten nicht merken muss.
2.3 Das Editor-Applet
Das Editor-Applet benötigt nur, wer selbst
Übungsseiten mit Ein- und Ausgabe-Applets
erstellen will, also z.B. der Lehrer als Autor
von Übungsaufgaben, nicht der Schüler als
Leser von Übungsaufgaben.
Das Eingabe-Applet erscheint im HTML-
Quellcode z.B. wie in Abb. 2.
Der Term, den das Ausgabe-Applet darstellen
soll, bzw. der
Term, den das Eingabe-Applet
als Lösung
akzeptieren soll, wird
dem Applet in Form
eines Textes als Parameter
übergeben (in
Abb. 2 kursiv). Dieser
Parameter stellt, hexadezimal
codiert,
den Term dar. Das
Editor-Applet erzeugt
als Output genau diesen
Code-Text, der
dann im HTML-Code
der Übungsaufgabe
eingebettet wird. Das
klingt komplizierter,
als es ist.
113

Rudolf Großmann
114
Abb. 2: HTML-Code des Eingabe-Applets
Das Editor-Applet muss diesen Code-Text
auf Festplatte speichern oder über die Zwischenablage
exportieren können. Damit es
das darf, wurde das Applet von mir digital
signiert. Wird es geladen, muss der Benutzer,
d.h. der Autor von Übungsseiten, ihm
erst die Erlaubnis dazu erteilen (s. Abb. 3).
Das ist eigentlich nichts Besonderes im Vergleich
dazu, dass z.B. jedes Installationsprogramm
unter Windows in der Regel beliebige
Dateien anlegen und ausführen darf.
Wer Vertrauen in Shareware unbekannten
Ursprungs hat, kann auch dem Editor-Applet
erlauben, seinen Formel-Code-Text in die
Zwischenablage zu exportieren.
3 Wieso gerade Java?
3.1 Vorteile von Java
3.1.1 Betriebssystem-Unabhängigkeit
Java ist eine betriebssystem-unabhängige
Programmiersprache, d.h. das gleiche Java-
Abb. 3: Das Editor-Applet bekommt Schreibrechte
Applet läuft unter Windows ebenso wie unter
Linux oder auf einem Macintosh, vorausgesetzt,
es steht, wie momentan üblich, ein
Browser zur Verfügung, der Java unterstützt.
3.1.2 Einbindung in HTML
Durch die Einbindung des Applets in HTML
stehen die vielfältigen Möglichkeiten der Seitengestaltung
zur Verfügung, die HTML bietet.
Die "Auslieferung" der Seiten kann über
das Internet erfolgen.
3.1.3 Erweiterbarkeit mit JavaScript
Die Funktionalität (z.B. differenzierte Reaktion
auf Falsch-Eingaben) kann durch die Bereitstellung
geeigneter Schnittstellen mittels
der Sprache JavaScript durch den Benutzer
(Autor von Übungsseiten) erweitert werden,
ohne dass dieser in Java programmieren
muss. Verwechseln Sie JavaScript [5] nicht
mit Java.
3.2 Nachteile von Java
3.2.1 Zeit- und Speicherprobleme
Java hat den Ruf, langsam und speicherhungrig
zu sein. Tatsächlich zeigt das Eingabe-Applet
auf Rechnern älterer Bauart merkliche
Reaktionszeiten auf Eingaben. Es läuft
gut auf Rechnern ab ca. 500 MHz Taktfrequenz.
Wenn die Entwicklung immer schnellerer
Prozessoren und der Preisverfall bei
Arbeitsspeichern so weitergeht wie bisher,

dürfte diese Thematik kein Problem darstellen.
3.2.2 Die falsche Java-Version?
Bei der Verwendung von Java taucht manchmal
folgendes Problem auf: Das Applet ist
mit Version Y programmiert und kompiliert
worden, der Browser des Benutzers, d.h. des
Schülers, verwendet aber die ältere Java-
Version X und findet ein paar Java-"Classes"
nicht. An der Stelle des Applets bleibt der
Bildschirm leer. Um diese Situation zu vermeiden,
habe ich bei dem Aus- und Eingabe-
Applet das "alte" Java 1.1.8 verwendet. Nur
das Editor-Applet setzt eine neuere Java-
Version (ab 1.3) voraus.
3.2.3 Microsoft boykottiert Java
Mit Windows XP wird als Standard-Browser
ein Internet Explorer ausgeliefert, der kein
Java unterstützt — passend zur Firmenpolitik
Microsofts — ärgerlich für die Benutzer. Wer
als Autor von Übungsaufgaben das Editor-
Applet verwenden will, muss seinen Browser
mit einer Java-Version 1.3 oder neuer ausstatten.
Man kann sich hierzu die neueste
Java-Version von SUN herunterladen [6]. Für
unsere Zwecke genügt die "Java Runtime
Engine" (JRE). Sie ist für Windows ca.
8 Megabyte groß. Nur wer selbst in Java programmieren
will, braucht das "Java Development
Kit" (JDK). Man kann alternativ auch
auf den Begleit-CDs der aktuellen Computer-
Fachzeitschriften nach den Browsern "Opera"
oder "Mozilla" (Netscape-Nachfolger) suchen.
Die Installationsprogramme dieser
Browser installieren in der Regel Java mit
und versorgen auch den Microsoft Internet
Explorer mit dem Java-Plugin von SUN.
3.2.4 Speichern verboten?
Das Sicherheits-Konzept von Java verhindert
zunächst, dass Applets lesend oder schreibend
auf die lokale Festplatte oder die Zwischenablage
zugreifen. So wird verhindert,
dass Java-Applets dazu missbraucht werden,
bösartigen Code (Viren, Würmer, ...) beim
Surfen im Internet einzuschleusen. Wie in 2.3
beschrieben, muss der Benutzer des Editor-
Applets erst zustimmen, dass das von mir digital
signierte Applet diese Rechte erhält. Damit
die Rechte-Verwaltung klappt, ist, wie
oben erwähnt, eine neuere Java-Version (ab
1.3) nötig. Meine digitale Signatur könnte ich
wiederum von einer Firma wie z.B. VeriSign
signieren lassen, die dann dafür garantiert,
dass die Signatur wirklich von mir stammt.
Ein Java-Applet zur Eingabe und Überprüfung mathematischer Terme
Das kostet allerdings nicht unerhebliche Gebühren,
die nicht einmalig, sondern jährlich
erhoben werden. Sie haben sicherlich Verständnis,
dass ich eine Signatur verwende,
die nicht von einer „Certification Authority“ signiert
wurde.
3.3 Pro und contra Java
Resümee: Die Nachteile von Java lassen
sich mit vertretbarem Aufwand alle überwinden.
Die Vorteile überwiegen. Daher fiel meine
Entscheidung zugunsten von Java als zu
verwendender Programmiersprache für meine
Zwecke.
4 Zielgruppen für die
Formel-Applets
4.1 Der engagierte Mathelehrer
Jeder interessierte Kollege kann sich bereits
jetzt (September 2003) von meiner Homepage
[1] eine Vorab-Version der drei Formel-
Applets mit Beispielen herunterladen. Das
Editor-Applet (nicht das Eingabe-Applet) hat
einen eingeschränkten Funktionsumfang: Es
erlaubt nicht die Eingabe von Quadratwurzeln
und Funktionen. Man kann damit
Übungsseiten erstellen, die einen Großteil
der gymnasialen Applets Algebra bis zur
8. Jahrgangsstufe abdecken.
4.2 Der Schulbuch-Verlag
So manches Übungsprogramm aus dem
Edutainment-Sektor entspricht dem Schema
"viel Verpackung, wenig Inhalt". Die Lernsoftware
ist oft multimedial mit Animationen und
Sprachausgabe aufgepeppt. Die eigentlichen
Übungen sind dann bessere Multiple-Choice-
Tests, decken nur Arithmetik ab oder akzeptieren
nur sture Lösungen in Texteingabe-
Fenstern, sagen z.B. bei "a+b" "richtig", aber
bei "b+a" "falsch".
Bisher kenne ich nur zwei Titel mathematischer
Lernsoftware, die einigermaßen flexibel
auf die Eingaben der Schüler reagieren.
Erstens: "Ali, der Mathemaster" (Heureka-
Klett, 1998). "Ali" ist zwar schon alt; ihn gab
es schon für den legendären Commodore
C 64. Das Programm erlaubt aber sogar die
Eingabe eigener Aufgaben, die es dann auf
Wunsch vorrechnet!
115

Rudolf Großmann
Zweitens: Das "Telekolleg Algebra" aus dem
Lernpaket "Mathe und Physik" des Franzis-
Verlags teilt Ergebnisse nicht nur in "richtig"
oder "falsch" ein, sondern kommentiert eine
Eingabe auch mal mit "Das ist zwar richtig.
Du kannst aber weiter vereinfachen". Eine
Weiterentwicklung des Eingabe-Applets
könnte in Verbindung mit JavaScript eine
ähnliche Funktionalität bieten.
Genau auf ein Schulbuch abgestimmte Begleitsoftware
gibt es bereits im Fremdsprachenbereich
(z.B. "Green Line" von Klett). Mit
den Formel-Applets lassen sich Übungsseiten
erstellen, die dementsprechend auf ein
Algebra-Buch abgestimmt sind.
Ähnlich wie bei einem Vokabel-Trainer könnte
der Lernerfolg in einer Datenbank mitnotiert
und grafisch aufbereitet dargestellt werden.
Aufgabentypen mit vielen Fehlern werden
häufiger, gut beherrschte Aufgaben seltener
abgefragt.
4.3 Die Fachdidaktik Mathematik
An der Universität Bayreuth wurde ein Java-
Applet namens "GeoNeXt" entwickelt [7], mit
dem man dynamische Geometrie betreiben
kann, ähnlich wie mit "Euklid", "Cinderella",
"Cabri Geometre" usw.
Was "GeoNeXt" für die Geometrie leistet,
könnte das Formel-Applet bei entsprechender
Weiterentwicklung für die Algebra leisten.
Denkbar wäre ein im Team entwickeltes mathematisches
Lehrwerk, das auf CD oder
über das Internet bereitgestellt wird.
4.4 Last but not least — die
Schüler
Die Schüler benutzen nur Ein- und Ausgabe-
Applets, basierend auf Java 1.1.8, so dass
die Übungsseiten auch auf älteren Browsern
dargestellt werden können.
5 Die Zukunft der Formel-
Applets
5.1 Die endlose Geschichte
Wann ist ein Programm fertig? Eigentlich nie.
Wie lange gibt es "Word"? Und immer noch
erscheint beinahe jährlich eine neue Version.
Und immer noch stolpert es manchmal bei
den Fußnoten.
116
Auch Hobby-Programmier-Projekte sind in
der Gefahr, nie fertig zu werden. Zu oft haben
Außenstehende Wünsche nach neuen
"Features", die man dann aus Ehrgeiz versucht
zu verwirklichen. Dabei vergisst man
allzu oft, dass der Zeitaufwand für das Programmieren
zu ca. 90 Prozent aus Fehlersuche
besteht.
5.2 Was noch verwirklicht wird
Im Formeleingabe-Applet lassen sich mit der
Backspace-Taste einzelne Variablen und Ziffern
von Zahlen löschen, jedoch z.B. keine
Rechenzeichen. Hat man sich so vertippt,
dass die Struktur des Terms nicht stimmt,
sollte man die ganze Formel mit der Entfernen-Taste
löschen und neu mit der Eingabe
beginnen. Das Eingabe-Applet ist in der gegenwärtigen
Version noch zu wenig fehlertolerant
gegen Fehleingaben, als dass es bereits
für den Einsatz im harten Unterrichtsalltag
taugen würde. (Stand: September 2003)
Für die 10. Jahrgangsstufe fehlen noch Logarithmen
zur allgemeinen Basis b und höhere
Wurzeln.
Der Definitionsbereich von Termen darf bisher
nicht eingeschränkt sein.
5.3 Was das Formel-Applet nie
werden wird
Das Formel-Applet wird nicht zu einem Computer-Algebra-System
(CAS) wie "Mathematica",
"Derive", "MuPAD" usw. ausgebaut
werden. Es gibt schon genug CAS. Die Verwendung
eines CAS in der Unter- und Mittelstufe
ist auch didaktisch wenig sinnvoll, da
die Einstiegshürden durch die spezielle Umgebung,
Syntax usw. viel zu hoch sind. Außerdem
wird zwar der Output in herkömmlicher
Schreibweise (Bruchstriche, Wurzeln
usw.) dargestellt, aber nicht der Input. Der
geschieht meist in einer Textzeile und ist daher
fremdartig im Vergleich zur Tafel-
Schreibweise.
5.4 Was noch verwirklicht werden
könnte
In loser Reihenfolge: Periodenstrich, Griechische
Buchstaben, Konstante Pi, Grad, physikalische
Einheiten, Gleichungen und Ungleichungen,
Integralzeichen, Summenzeichen,
Taste "EE" für Zehnerpotenzen, Indizes.

Sicher haben Sie noch ein paar Anregungen
für mich.
E-Mail: rudolf.grossmann@odn.de
Literatur
Lippert, Gerhard & Wolfram Thom (Hrsg.) (1999):
Freies Arbeiten am Gymnasium, Band 2, Aka-
Internet
[1] Testversion des Formel-Applets:
www.users.odn.de/~odn22355/formelapplet
www.fuemo.de/formelapplet
[2] MathML Dokumentation (engl.):
www.w3.org/Math/
Informationen zu MathML (deutsch)
www.formelbaska.com/deutsch/foba_mathml.html
Ein Java-Applet zur Eingabe und Überprüfung mathematischer Terme
demiebericht Nr. 330. Dillingen: Akademie für
Lehrerfortbildung und Personalführung
Neidhardt, Wolfgang & Thomas Oetterer (2000):
Geonet … und die Geometrie lebt! Bamberg:
Buchner
Ostermann, Peter et al. (1998): Ali, der Mathemaster.
Stuttgart: Heureka-Klett
Stoll, Clifford (2001): LogOut. Frankfurt: Fischer
Versch. Autoren (2001): Lernpaket Mathe & Physik.
Poing: Franzis
[3] Amaya Homepage (Browser mit MathML-Unterstützung):
www.w3.org/Amaya/
[4] Hot Equation Java-Applet
www.esr.ruhr-uni-bochum.de/VCLab/software/HotEqn/HotEqn.html
[5] Vergleich von JavaScript mit Java
www.bluedom.de/bluedom/wissen_javascript.php
[6] Java-Plugin von SUN:
java.sun.com
[7] GeoneXt Java-Applet und -Applikation:
www.geonext.de
117

� Echtzeit-Online-Fortbildungen für Lehrkräfte zum
Thema: Mathematik mit grafischen Taschenrechnern
und CAS
Es hat einerseits noch nie ein so dringender
Bedarf an Fort- und Weiterbildung bestanden
wie gegenwärtig, um Mathematiklehrerinnen
und -lehrer in neue Technologien wie grafische
Taschenrechner, Taschencomputer mit
einem CAS, Dynamische-Geometrie-Software
und CAS für PCs einzuführen. Es liegt
daher nahe, klassische Fort- und Weiterbildungsmaßnahmen
zur Einführung in die beschriebenen
Systeme durch internetbasierte
Veranstaltungen zu ergänzen. Ich habe dazu
ausgenutzt, dass das IQSH in Kiel (Schleswig-Holstein)
seit einigen Jahren die Möglichkeit
bietet, kostenlos Echtzeit-Online-Fortbildung
für Lehrkräfte durchzuführen.
Auf der von der Fa. Interwise angemieteten
Plattform habe ich bisher ca. 40 Fortbildungen
über den Einsatz von Taschencomputern
mit CAS bzw. CAS auf PCs im Mathematikunterricht
abgehalten. Die Einheiten habe
ich als Online-Workshops zu organisieren
versucht, in denen Teilnehmer ähnlich wie in
einer Präsenzveranstaltung meine Vorschläge
auch sofort auf den eigenen PCs oder
Handheld-Geräten erproben konnten. In diesen
Veranstaltungen besteht eine Audio-Verbindung
zwischen den Teilnehmern, und außerdem
können Bildschirminhalte z.B. des
Tutors allen sichtbar gemacht werden. Ziel ist
es, Lehrkräften vorzuführen, wie neue Technologien
(CAS, DGS, Handheld-Geräte mit
CAS) im Mathematikunterricht genutzt werden
können.
Um den Bedarf innerhalb der Lehrerschaft zu
erfahren, wurde eine Online-Umfrage bei den
Lehrkräften durchgeführt, die sich bereits
mindestens einmal zu Präsenzfortbildungen
gemeldet hatten und deren Email-Adressen
deshalb bekannt waren. Der Fragebogen
kann im Internet unter
118
Karl-Heinz Keunecke, Kiel
Das IQSH in Kiel stellt seit 2000 eine Plattform zur Verfügung, auf der es möglich ist, im
Internet innerhalb einer geschlossenen Gruppe gleichzeitig Sprache und Daten auszutauschen.
Die Teilnehmer benötigen dafür lediglich ein 56k-Modem und ein Mikrofon.
Diese Plattform wird seit ca. 2 Jahren genutzt, um Mathematiklehrkräfte in die Benutzung
von CAS und Taschencomputer mit CAS im Unterricht einzuführen. Die Veranstaltungen
finden in den Abendstunden statt und dauern etwa zwei Stunden.
http://zkl.uni-muenster.de/t3/Umfrage/
umfrag1.htm
abgerufen werden. Die Umfrage ist bisher sicherlich
nicht repräsentativ wegen des kleinen
Stichprobenumfanges (ca. 200 Antworten),
und weil bereits 90% der Befragten
neue Technologien in ihrem Unterricht gelegentlich
oder regelmäßig einsetzen. Trotzdem
besteht auch bei dieser Gruppe noch
ein großer Bedarf an Fortbildungen bei allen
nachgefragten Technologien. Das CAS Derive
ist am häufigsten angegeben worden, darauf
folgen CAS-Taschencomputer, und am
wenigsten Hilfe wurde für grafische Taschenrechner
angefordert.
Nur wenige (13%) wollen nach einer Einführung
in die Technologie auch noch eine umfassende
Einführung in das Unterrichten mit
der neuen Technologie. Die Antworten kann
man so interpretieren, dass drei Viertel der
Lehrkräfte nur eine Starthilfe benötigen und
dann nach Bedarf Angebote nutzen wollen.
Diese sollten sich auf Literatur zu den neuen
Technologien und auf überzeugende Unterrichtsbeispiele
beziehen. Die meisten Lehrkräfte
sind bereit, an Fortbildungen außerhalb
der regulären Schulzeit teilzunehmen
und auch für die Kosten für den Internet-Zugang
aufzukommen. Die zeitliche Belastung
durch die zusätzlichen Online-Fortbildungen
ist für sie offensichtlich kritischer. Eine wöchentliche
Teilnahme glauben nur 16% sich
leisten zu können, während 55% eine 14tägige
oder monatliche Frequenz wünschen.
19% stimmen einer Blockbildung zu. Fast
65% der Lehrkräfte halten die Abendstunden
von 18 bis 22 Uhr für Online-Fortbildungen
für am besten geeignet. 11% der befragten
Kolleginnen und Kollegen sind erfreulicherweise
ihrerseits bereit, ihre bisherigen Erfahrungen
mit den neuen Technologien auch in

Online-Fortbildungen an andere Lehrkräfte
weiterzugeben.
Als Ergebnis dieser Umfrage werden ab
2004 vier bis sechs Kolleginnen und Kollegen
regelmäßig Online-Fortbildungen für Mathematiklehrkräfte
in den Abendstunden anbieten.
Damit soll die Möglichkeit geboten
werden, Angebote und Arbeitsunterlagen für
ihren aktuellen Unterricht auszuwählen, die
von erfahrenen Kolleginnen und Kollegen
präsentiert werden. Der Veranstaltungskalender
von "Fortbildung Online" kann bei
http://www.lernnetz-sh.de/l3n/bildung1.html
eingesehen werden.
Echtzeit-Online-Fortbildungen zu grafischen Taschenrechnern und CAS
Da die Teilnahme an den Online-Veranstaltungen
freiwillig ist, loggen sich die Lehrkräfte
nur ein, wenn sie sich davon einen Nutzen
versprechen. Das Steigen der Teilnehmerzahlen
deutet daraufhin, dass hier ein Weg
gefunden wurde, um Lehrkräfte bei der
Einführung neuer Technologien in der Schule
zu unterstützen.
Adresse des Autors:
Dr. Karl-Heinz Keunecke
Gorch Fock Str. 2
24159 Kiel
kh.keunecke@t-online.de
119

� Experimentieren und Publizieren
1 Einleitung
Dynamische Geometrie-Software ist inzwischen
als dritte Säule des Mathematikunterrichts
mit neuen Medien etabliert; sie wird unterstützt
von CAS und Tabellenkalkulation.
Die Grenzen zwischen den drei Säulen verschwinden
zusehends, da die Ergebnisse,
die mit einem Paket gewonnen wurden, auch
mit den anderen weiterverwendet werden
sollen.
In diesem Artikel möchte ich auf Anwendungsszenarios
von DGS und verwandter
Software eingehen und sie einander gegenüberstellen.
Dabei werden Lücken im derzeitigen
Softwareangebot identifiziert, die wir
über technische Erweiterungen einer DGS zu
schließen vermögen. Die technische Umsetzung
dieser Erweiterung bietet zudem neue
Möglichkeiten für die empirische Forschung
zum Einsatz von DGS im Mathematikunterricht.
2 Experimentieren
DGS stellt eigene Welten zum Experimentieren
und Forschen zur Verfügung. Die vielfältigen
Möglichkeiten sind inzwischen bekannt
und dokumentiert. Für den Unterrichtseinsatz
existieren Sammlungen fertiger elektronische
Arbeitsblätter; DGS hat einen festen Platz in
vielen Lehr- und Rahmenplänen.
Zu einem Zeitpunkt, wo die anfängliche Euphorie
einer gewissen Routine gewichen ist,
lohnt es sich, einen Blick zurück in die Anfänge
des DGS-Einsatzes zu wagen, um
fehlende Mosaiksteine aus der Vision zu identifizieren.
120
Ulrich Kortenkamp, Berlin
In diesem Artikel werden zwei Erweiterungen Dynamischer Geometrie-Software (DGS)
vorgestellt, die bisher vorhandene Lücken schließen und neue didaktische Impulse geben
können. Zum einen wird die Unterstützung von Algorithmen in DGS und die Erweiterung
durch selbst geschriebene Module beschrieben, wie sie bereits prototypisch in Cinderella
implementiert ist. Zum anderen wird CINErella vorgestellt, eine Kombination aus
Interaktion und Film, die sich zum Beispiel für die Dokumentation von Forschungsarbeit
mit der DGS eignet.
2.1 Entwicklungsperspektive '91
Schon 1991 zeigt Schumann eine Entwicklungsperspektive
für planimetrische Werkzeuge
auf, die inzwischen durch eine Vielzahl
von Systemen zum größten Teil umgesetzt
wurde. Insbesondere zählt er die in den
folgenden Abschnitten aufgeführten planimetrischen
Module auf:
2.1.1 Konstruktionssystem (PKS)
Dieses Modul ist das, was heutzutage den
Kern einer DGS darstellt. Die meisten Systeme
sind menü-gesteuert, es existieren aber
auch kommandobasierte oder alternativ kommandobasierte
System wie Geolog oder
Z.u.L., um nur zwei frühe Vertreter zu nennen.
Entscheidendes Merkmal dieser Systeme ist
die Manipulation im Zugmodus, die das Experimentieren
im Sinne von "Was-wärewenn?"
erlaubt. In (K. 1999) wird dargestellt,
welche mathematischen Schwierigkeiten bei
einer konsistenten Implementierung des Zugmodus
auftreten (und eine mathematisch
fundierte Lösung für diese Probleme angeboten).
Diese sind speziell für die Umsetzung
einer DGS in eine experimentierfähige Umgebung
zu beachten, da die stoffdidaktische
Grundlage der Fachwissenschaft nicht außer
Acht gelassen werden kann.
Leider führt die konsequente Umsetzung der
Mathematik auch zu neuen didaktischen
Schwierigkeiten (u.a. dokumentiert von Gawlick),
die bislang nicht ausreichend wissenschaftlich
untersucht wurden. Somit bleibt
auch im Bereich der reinen Konstruktionssysteme
immer noch die offene Frage, wie diese
zu gestalten sind, um sie im Unterricht gewinnbringend
einzusetzen. Die meisten Untersuchungen
differenzieren zunächst zwischen
Computereinsatz und herkömmlichen
Methoden, und vergleichen nicht mehrere

Programme. Angesichts der schon immensen
organisatorischen und methodischen
Schwierigkeiten für solche Untersuchungen
ist das eine nicht zu unterschätzende Leistung.
Es soll aber nicht unerwähnt bleiben,
dass die Gestaltung und Ausstattung von
DGS nicht allein dem Markt überlassen werden
kann, da sonst subjektive oder gar rein
finanzielle Gründe über die eingesetzte Software
entscheiden, und nicht didaktische oder
fachwissenschaftliche Argumente. Aus diesem
Grund ist es dringend geboten, eine
größere Vergleichsstudie durchzuführen.
2.1.2 Berechnungssystem (PBS)
Längen, Winkel und Flächen sollen gemessen
werden können, und die gemessenen
Werte sollen numerisch für weitere Berechnungen
zur Verfügung stehen. Die Berechnungen
sind dynamisch; der Zugmodus verändert
die gemessenen Werte und die daraus
resultierenden Ergebnisse.
Die meisten kommerziellen Programme
(Cabri, Sketchpad, Euklid Dynageo) unterstützen
diese Berechnungen in der einen
oder anderen Form. Zum Experimentieren ist
ein solches Modul gerade dadurch geeignet,
dass ein Bezug zwischen realen Daten und
der Modellierung im Computer hergestellt
werden kann. Die virtuellen Experimente
werden im Umfeld der Schülerinnen und
Schüler verankert.
2.1.3 Algebrasystem (PAS)
Hier fordert Schumann die bereits oben angesprochene
Konvergenz: Computeralgebra-
Systeme sollen so an DGS angebunden werden,
dass Generalisierungen möglich sind
und konstruierte Figuren symbolisch behandelt
werden können.
Die Umsetzung dieser Forderung erfordert
erhebliche konzeptionelle Arbeit. Die bisher
verfügbaren Systeme, die Ansätze in dieser
Richtung zeigen (Geonext und das u.a. in
diesem Band von Hohenwarter vorgestellte
GeoGebra) geben zwar vor, Computeralgebra-Systeme
zu enthalten, doch diese beschränken
sich auf die Definition und einfache
symbolische Manipulation von Formeln.
Damit erfüllen sie eher die Anforderungen an
ein planimetrisches Berechnungssystem,
nicht aber an ein planimetrisches Algebrasystem.
Dies soll nicht den didaktischen Wert
dieser Module schmälern! Als PBS sind sie
eine große Bereicherung für den Unterricht.
Wie schwer die wirkliche Umsetzung eines
PAS ist, kann man an dem jüngst vorgestell-
Experimentieren und Publizieren
ten System Feli-X von Oldenburg (2002) sehen;
die immensen Möglichkeiten einer echten
CAS-Umgebung gehen teilweise zu Lasten
der einfachen, unmittelbaren Manipulation.
Ein Einsatz in der Schule scheint derzeit
noch in weiter Ferne zu liegen; zu sehr ähnelt
die Benutzung des Systems einer Gratwanderung.
Dies liegt keineswegs in der
Verantwortung von Oldenburg: Die Freiheit
des CAS ist eben auch die Freiheit, mit wenigen
Symbolen die Komplexität der Berechnung
zu sprengen. Schränkt man diese Freiheit
ein, so werden die Schülerinnen und
Schüler wieder "an der kurzen Leine geführt";
— dann wiederum braucht man kein CAS
mehr. Gerade die Arbeit von Oldenburg ist
aber ein notwendiger Schritt hin zu einer
konsequenten Umsetzung, und die mit Feli-X
gewonnenen Erfahrungen müssen in eine
weitere Konzeption einfließen.
2.1.4 Hypothesen-Prüfsystem (PHS)
Schumann bezieht sich hier auf "Mechanical
Geometry Theorem Proving", also die automatische
Generierung von Beweisen für Sätze
der Geometrie mit Hilfe eines Computers
(oder eines sonstigen technischen Hilfsmittels).
Es existiert eine große Gemeinde von
Wissenschaftlern, die sich mit diesem Gebiet
der Mathematik beschäftigen, zum größten
Teil wird die Arbeit dort aber nicht in der Mathematikdidaktik
wahrgenommen. Dieses ist
in den fernab der Schulmathematik liegenden
Methoden für die dortigen Beweise, die meist
aus der Algebra stammen, begründet. Die
automatisch generierten Beweise haben für
sich genommen wenig didaktischen Wert; da
meist von Schülerinnen und Schülern weder
die Methode noch die konkrete Beweisführung
auch nur ansatzweise verstanden werden
kann, sind sie dem "Autoritätsbeweis"
("Das ist so.") nicht überlegen.
Solche "Beweise" kann man auch durch das
Verifizieren im Zugmodus ersetzen, sofern
nicht programminterne Details falsche Tatsachen
vorspiegeln (siehe dazu Hölzl, 1994,
der auf die Problematik halbfreier Punkte auf
Strecken, die das Teilungsverhältnis gleich
halten, hinweist).
Es gibt aber auch durchaus viel versprechende
Ansätze, ein PHS-Modul in eine DGS
zu integrieren. Gao (2004) stellte mit dem —
leider nur schwer erhältlichen — Geometry
Expert (inzwischen MMP/Geometer) ein System
vor, welches mehrere verschiedene Beweisstrategien
enthält. Die automatisch gefundenen
Beweise können in textueller Form
angezeigt werden. So sehr allerdings die
Beweiskompetenz (es werden für alle rele-
121

Ulrich Kortenkamp
vanten Sätze Beweise gefunden) beeindruckt,
so wenig ist klar, wie diese im Unterricht
Gewinn bringend eingesetzt werden
können.
Die DGS Cinderella integriert ein Beweismodul,
welches zur Gestaltung von interaktiven
Arbeitsblättern mit Kontrollfunktion genutzt
werden kann. Die eigentlichen Beweise sind
nicht zugreifbar, stattdessen wird ausgenutzt,
dass das Programm den individuellen Fortschritt
innerhalb einer Aufgabe analysieren
kann. Auf dieser Grundlage entstand die
Schulversion der DGS (Richter-Gebert & K.
1999). Weitere Informationen finden sich in
(K. & Richter-Gebert 2004) und (K. 1999).
2.1.5 Programmiersystem (PPS)
Das letzte von Schumann gewünschte Modul
ist bisher von den Herstellern1 von DGS
ignoriert worden. Die gewünschte "komfortable
grafische Benutzersprache" zur "direkten
Manipulation" existiert in dieser Form
bisher in keinem mir bekannten Programm.
Es ist daher nicht möglich, algorithmische
Fragestellungen in DGS zufrieden stellend zu
behandeln, selbst wenn diese sich ausdrücklich
mit geometrischen Sachverhalten beschäftigen.
Sollte ein vollständiges CAS (beispielsweise
Mathematica oder Maple) an eine DGS angebunden
werden können, so würde dieses
natürlich eine mächtige Programmierumgebung
bieten; in Feli-X kann dies zum Beispiel
zur automatisierten Herstellung von Konstruktionen
verwendet werden. Komfortabel
und grafisch ist dies aber nicht, und man wird
Schülerinnen und Schülern wohl kaum zumuten,
in einem solchen System algorithmische
Fragestellungen zu untersuchen.
2.2 Algorithmen im Unterricht
Besteht überhaupt Bedarf für das Programmier-Modul?
Was könnte man mit dem —
bislang hypothetischen — Einsatz bezwecken?
Dies soll in den nächsten Abschnitten
geklärt werden, die sich mit Algorithmen im
Mathematikunterricht beschäftigen. Ausdrücklich
sind damit nicht Standardalgorithmen
wie das schriftliche Multiplizieren oder
Dividieren gemeint, sondern weiterführende
strukturierte Vorschriften, die komplexe Pro-
1 Als Hersteller bezeichnen wir hier alle diejenigen, die mit der Entwicklung
von DGS befasst sind. Schumann (1991) spricht hier
"Teams aus Geometriedidaktikern, Informatikern, professionellen
Programmierern und Geometrielehrern" an; in der Realität sind
diese Teams eher vermöge Personalunion aus ein bis zwei Personen
zusammengesetzt.
122
bleme durch die Zerlegung in einfachere Einzelprobleme
lösen.
2.2.1 Logo
Die Idee, algorithmisches Denken im Unterricht
zu schulen, ist nicht neu, und mit der
Programmiersprache Logo ist auch schon
seit mehr als zwei Jahrzehnten eine gute Lösung
verfügbar, mit der die Grundkonzepte
von Algorithmen vermittelt werden können.
Hier handelt es sich tatsächlich um eine komfortable
grafische Benutzersprache für die
Manipulation von Grafik; lediglich das Konzept
von geometrischen Objekten ist nur bedingt
vorhanden. Es handelt sich aber ganz
klar nicht um ein Modul, welches mit den anderen
genannten Modulen kompatibel ist;
diese Kompatibilität (im Sinne des einfachen
Austausch von Daten und Konzepten) ist jedoch
eine wichtige Forderung, die Schumann
mit einem Diagramm des K5, dem vollständigen
Graphen auf 5 Knoten, illustriert:
Abb. 1: Erwünschte Kompatibilität unter Planimetrischen
Modulen nach Schumann (1991)
Gemäß den bisherigen Ausführungen existieren
zwar alle Knoten dieses Graphen, — die
Kanten, d.h. die Querverbindungen zwischen
den einzelnen Modulen, jedoch nicht.
2.2.2 Diskrete Mathematik
Gerade die diskrete Mathematik, und dort
insbesondere die Graphentheorie, bietet sich
für algorithmische Fragestellungen an. Viele
interessante Probleme lassen sich mit Hilfe
von Graphen modellieren, und mit einfachen
Algorithmen wie Tiefen- oder Breitensuche
lösen. Optimierungsfragen können oft mit
Kürzeste-Wege-Algorithmen oder minimalen
aufspannenden Bäumen gelöst werden.
Es ist keine neue Idee, Graphen und Algorithmen
in den Schulunterricht zu bringen
(siehe z.B. Bodendiek 1973); neu ist, dass
diesen Themen in den Lehr- und Rahmenplänen
der Länder mehr Platz zugestanden
wird. Die Kompetenzen, die in diesem Gebiet
erworben werden können, sind Bestandteil
der Bildungsstandards der KMK. So nennen

eispielsweise die Bildungsstandards für den
Hauptschulabschluss das Reflektieren und
kritische Beurteilen von "Darstellungen von
Zuordnungen, Zeichnungen, strukturierte[n]
Darstellungen [und] Ablaufplänen" im Anforderungsbereich
III (Verallgemeinern und Reflektieren).
2.3 Algorithmen in DGS
Es gibt zurzeit keine Möglichkeit, Graphenalgorithmen
innerhalb einer DGS zu untersuchen,
obwohl die Darstellung von Graphen
durchaus nahe legt, das es sich um ein geometrisches
Problem handelt. Spezielle Visualisierungen
von einzelnen Graphenalgorithmen
oder auch ganze Programmpakete (z.B.
CATBox/GATO von Schliep & Hochstättler
2001) wirken auf den ersten Blick wie DGS!
Die Ähnlichkeit beschränkt sich aber auf die
interaktive Eingabe der Graphen. Es wäre
wünschenswert, wenn die durch ein weiteres
Programmpaket in den Unterricht gebrachte
Komplexität umgangen werden könnte, d.h.,
wenn ein PPS implementiert wäre, mit dem
algorithmische Aspekte in Geometriesoftware
aufgenommen werden können.
Aus dieser Motivation heraus wurde eine
Programmierschnittstelle für die Java-basierte
DGS Cinderella entwickelt, mit der es erstmals
möglich wird, selbst entwickelte (aber
natürlich auch vorgefertigte) Algorithmen direkt
auf geometrischen Konstruktionen ablaufen
zu lassen.
Abb. 2: Ein in Cinderella modellierter Graph
Die Algorithmen können schrittweise abgearbeitet
werden, so dass für verschiedene Eingabedaten
nachvollzogen werden kann, wie
der Algorithmus arbeitet. Zusätzlich können
Experimentieren und Publizieren
die Algorithmen aber auch interaktiv verwendet
werden: Während die Eingabe im Zugmodus
manipuliert wird, wird für jede Position
neu der gesamte Algorithmus durchlaufen,
und die Anzeige aktualisiert.
Diese algorithmische Schnittstelle ist derzeit
nur experimentell; es fehlen Erfahrungen
zum Unterrichtseinsatz. In Anbetracht des
"Arbeitsprogramms" in (Schumann 1991)
wird hier aber damit begonnen, eine Lücke
zu schließen. Die sich daraus ergebenden
didaktischen Konsequenzen sind noch nicht
abzusehen. In Abschnitt 4 gehen wir auf diesen
Punkt noch einmal ein.
Abb. 3: Ein Phasenfoto aus der Bestimmung eines minimalen
spannenden Baumes mit dem Algorithmus von
Boruvka. Es ist bereits ein Wald (fette Kanten) bestimmt
worden, der nun durch weitere Kanten zu einem einzigen
Baum verschmilzt.
Abb. 4: Dresden wird verschoben, der minimale aufspannende
Baum verändert sich in Echtzeit.
123

Ulrich Kortenkamp
3 Publizieren
Ergebnissicherung und Reflektion sind unverzichtbare
Bestandteile des Forschens und
Entdeckens. Ein Unterricht, in dem Schülerinnen
und Schüler experimentieren, zieht einen
Teil seines Erfolges daraus, dass es einen
gewissen Zwang zur Niederschrift des
Gesehenen, Gesagten, und Gedachten gibt.
DGS sind prädestiniert für die Aufbereitung
und Publikation von geometrischen Daten.
Wir stellen nun vier Publikationsformen vor.
3.1 Herkömmlicher Druck
Jede gute DGS ist in der Lage, die dargestellte
Grafik in hoher Auflösung für den Ausdruck
aufzubereiten. Gerade weil im Zugmodus
einfach Korrekturen angebracht werden
können, sind mit dem Computer erzeugte Figuren
oft besser — in vielerlei Hinsicht — als
die von Hand gezeichneten Pendants. Es ist
immer noch wichtig, dass die händische Arbeit
gerade in den unteren Jahrgangsstufen
nicht vom Computer verdrängt wird; für feinmotorisch
unbegabte Schülerinnen und
Schüler ergibt sich mit dem Computer aber
eine große Chance, Erfolgserlebnisse zu haben,
auf die sie sonst verzichten müssten.
Die Ästhetik der Mathematik und insbesondere
der Geometrie leidet nicht durch den
Computer, sondern ihr wird zu einer neuen
Dimension verholfen, die es zu nutzen gilt.
3.2 Interaktiv im WWW
Geht es um dynamische Zusammenhänge,
so ist die Darstellung auf Papier oft nicht angemessen.
Dies wird selbst in diesem Artikel
klar: Abbildung 3 ergibt nur durch einen zusätzlichen
Erklärungstext Sinn; schöner und
deutlicher wäre es, könnte man die dort beschriebene
Manipulation selbst durchführen.
Moderne DGS ermöglichen es, interaktive
Konstruktionen als Webseiten abzuspeichern,
wobei die Dynamik erhalten bleibt.
Dabei wird entweder auf das plattform-unabhängige
Java (Cinderella, Geonext, Geo-
Gebra, Cabri Java, Java Sketchpad, Z.u.L.)
oder hersteller-abhängige Lösungen wie ActiveX
(Euklid Dynageo) zurückgegriffen. Die
Funktionalität der Java-Versionen variiert
stark, doch alle bieten wenigstens den Zugmodus.
Bei manchen Produkten kann man
auch die Konstruktion Schritt für Schritt einblenden
lassen, oder mit Aktions-Schaltflächen
Teile der Konstruktion zeigen oder verstecken.
124
3.3 Bildschirm-Videos
Es gibt verschiedene Softwareprodukte, mit
denen "Filme" vom Bildschirminhalt aufgezeichnet
werden können. Damit kann man
manche Abläufe besser, als unter 3.2 beschrieben,
erfassen und wiedergeben. An
Stelle von langatmigen Erklärungen ("Ziehe
zuerst an A in Richtung B. Dann verschiebe
M auf S und schaue, was passiert. …") können
fertige Sequenzen abgespielt werden.
Im Internet-Projekt MADIN wurden solche
Filme eingebunden, ebenso wie die im vorherigen
Abschnitt beschriebenen interaktiven
Darstellungen.
3.4 CINErella
Die Darstellung über eine interaktive WWW-
Seite stellt eine Erweiterung der Interaktionsmöglichkeiten
dar. Die Darstellung als
Film erweitert — im Vergleich zum statischen
Ausdruck — die Konstruktion um die Zeit-
Dimension.
Abb. 5: Einordnung von CINErella
In Abb. 5 sind diese Beziehungen schematisch
dargestellt. Zusätzlich ist in der Grafik
die neue Cinderella-Erweiterung CINErella
eingeordnet, die die Vorteile der Interaktion
und des automatischen Abspielens miteinander
verbinden soll.
Mit CINErella kann die gesamte Interaktion
mit der DGS "mitgeschnitten" werden. Dabei
werden allerdings keine Bildschirmfotos aufgezeichnet,
sondern die abstrakt (im Koordinatensystem
der DGS) dargestellten Bewegungen
und Aktionen der Maus. Diese können
dann wieder abgespielt werden, so dass
der Bewegungsablauf reproduziert wird. Als
erster Vorteil gegenüber dem Mitschnitt gegenüber
der in 3.3 dargestellten Methode
lässt sich festhalten, dass die Speicherung
wesentlich kompakter ist als wenn für jedes

Einzelbild ein aus Pixeln zusammengesetztes
Bild gespeichert wird. In nur wenigen Kilobyte
kann eine lange Sequenz gespeichert
und — wichtiger! — übertragen werden. Dadurch
ist das CINErella-Verfahren gerade für
Internet-basierte Lehr-/Lernumgebungen hervorragend
geeignet.
Die Speicherung als Folge von Manipulationen
einer Konstruktion ist aber auch aus weiteren
Gründen sinnvoll. Mit Bilddaten wäre
es nicht möglich, in einen Film "einzugreifen"
und die aktuell vorhandene Konstruktion eigenhändig
mit der Maus zu manipulieren. Mit
CINErella kann man diese Funktionalität
leicht zur Verfügung stellen. Damit sind interaktive
Tutorials machbar, die die Lernenden
mit einbeziehen und ihnen Hilfestellungen
geben sowie Vorgaben machen. So kann
beispielsweise die Konstruktion der Mittelsenkrechten
z.T. vorgeführt werden (zwei
Kreise werden eingefügt); und diese Konstruktion
soll dann durch das Einzeichnen
der Mittelsenkrechten vervollständigt werden.
Da sich diese Beispiele nicht in einem gedruckten
Artikel wiedergeben lassen, stehen
sie unter http://cinderella.de/cinerella bereit.
Zusätzlich zu den Konstruktionsdaten kann
auch eine Tonspur angelegt werden, die
dann synchron abgespielt wird. Wird keine
Tonspur mitgeschrieben, so werden Leerlaufzeiten
automatisch gekürzt, außerdem können
die Dateien auch mit höherer Geschwindigkeit
abgespielt werden (fast forward).
Ein Nachteil muss allerdings auch verzeichnet
werden: Mit CINErella gespeicherte Sequenzen
können nicht einfach rückwärts gespielt
werden; diese Navigation muss aufwändig
neu gerechnet werden, denn aus einer
Folge von Maus-Aktionen kann zwar der
Zustand einer Konstruktion nach dem Ausführen
dieser Aktionen berechnet werden,
aber es ist nicht ohne weiteres möglich, aus
einer Aktion den Zustand vor deren Durchführen
zu berechnen. Wenn zum Beispiel eine
gespeicherte Aktion "bewege Maus mit
gedrückter Taste von (x0,y0) nach (x1,y1)" lautet,
und bei (x1,y1) befindet sich nach dieser
Aktion ein Punkt, so kann nicht entschieden
werden, ob dieser durch diese Aktion von
(x0,y0) nach (x1,y1) verschoben wurde oder
ob er sich bereits vorher bei (x1,y1) befand.
Es ist ebenfalls nicht möglich, nach dem Eingriff
des Benutzers einen begonnenen CINErella-Film
weiter abzuspielen, da es dabei zu
verwirrenden Inkonsistenzen kommen könnte.
Es ist nicht klar, ob an dieser Stelle das
Beweissystem von Cinderella helfen könnte,
um in eindeutigen Fällen doch nach einer
Unterbrechung fortsetzen zu können.
Experimentieren und Publizieren
3.5 Elektronische Lerntagebücher
Alle in den vorigen Abschnitten vorgestellten
Dokumentationsmöglichkeiten eignen sich für
die Erstellung von Lerntagebüchern. Wenn
es möglich ist, elektronische Lerntagebücher
— also zum Beispiel WWW-Seiten — herstellen
zu lassen, dann kann die CINErella-
Erweiterung neue Impulse liefern. Die Schülerinnen
und Schüler können "vormachen",
was sie meinen, und den Film in ihre Dokumentation
übernehmen.
Es muss aber beachtet werden, dass diese
einfache Art der Dokumentation nur dort angewandt
wird, wo es darum geht, sonst nicht
anders zu beschreibende Sachverhalte darzustellen.
Diese Erleichterung darf nicht dazu
missbraucht werden, das Denken zu vermeiden
und die Formulierung in Sätzen zu ersetzen.
Schülerinnen und Schülern, deren
Tagebuch aus Textbrocken wie "und dann
habe ich so gemacht, und dann das, und
dann noch dieses" besteht, fehlt die Schulung
ihrer Kommunikations- und damit Strukturierungsfähigkeiten.
4 Zusammenfassung und
Aussichten
In diesem Artikel wurden zwei Lücken identifiziert,
die seit über einem Jahrzehnt von keiner
DGS gefüllt werden konnten. Die Entwicklung
eines planimetrischen Programmiersystem
wurde bereits 1991 gefordert,
erste Schritte in diese Richtung haben wir
hier beschrieben.
Die beschriebenen Erweiterungen waren
zum Zeitpunkt der Dillinger Tagung 2003 nur
in der Entwicklerversion von Cinderella implementiert.
Für 2005 ist die Veröffentlichung
von Cinderella.2 angekündigt, in der diese
Schnittstellen weiter ausgebaut und vereinheitlicht
wurden. Im Projekt Visage (G6) des
DFG-Forschungszentrum Matheon wurden
zudem Unterrichtsmaterialien für den computergestützten
Unterricht zur Diskreten Mathematik
entwickelt, die derzeit evaluiert werden.
Diese basieren auf den Erfahrungen mit
dem hier beschriebenen Prototypen.
Unter anderem kann Cinderella.2 nun in der
Skriptsprache Python erweitert werden; damit
ergeben sich weitere Anwendungsmöglichkeiten
auch im Informatik-Unterricht.
Auf der GDM-Tagung 2005 haben Schumann
und Knapp vorgestellt, wie Instruktionsvideos
für die Einführung in DGS verwendet
werden können. Hier bietet es sich
an, die Neuerungen von CINErella zu ver-
125

Ulrich Kortenkamp
wenden, um von der narrativen Präsentation
zur interaktiven Rezeption zu gelangen.
Die Umkehrung der Abspielrichtung von CI-
NErella-Videos ist eine wünschenswerte Ergänzung.
Hier sollte erforscht werden, ob
dies effizient möglich ist, und welche zusätzlichen
Daten hierfür gespeichert werden
müssten. So genannte keyframes, also die
Abspeicherung der Gesamtsituation in festgelegten
(kurzen) Zeitintervallen, wären eine
Möglichkeit, das Problem zu lösen.
Zuguterletzt soll auf die neuen Möglichkeiten
in der empirischen Unterrichtsforschung eingegangen
werden. Die mit CINErella mitgeschnittenen
Sequenzen liegen nämlich in einer
statistisch auswertbaren Form vor. Das
kompakte Datenformat lässt es zu, die Arbeit
aller Schülerinnen und Schüler einer Klasse
über mehrere Schulstunden hinweg auf dem
Rechner zu speichern. Diese Dateien werden
mit einem Zeitcode versehen, so dass die Interaktionen
mit zusätzlichen Videoaufnahmen
synchronisiert werden können. Diese
elektronischen Transkripte sind nicht nur
leichter handhab- und herstellbar, sondern
sie sind auch statistischen Methoden zugänglich,
so dass auffällige oder besonders
interessante Verhaltensmuster schnell aufgefunden
werden können. Zudem können Konstruktionen,
die im Unterricht durchgeführt
wurden, sofort "benutzt" werden, z.B., um sie
auf Korrektheit zu prüfen (diese ist aus einem
Video allein nicht immer leicht zu erkennen).
Basierend auf diesen Neuvorstellungen sollen
jetzt konkrete Unterrichtserfahrungen gesammelt
werden.
Literatur
Bodendiek, Rainer (1973): Ecken, Wege, Bäume,
Zahlen: Graphentheorie in der Schule. Freiburg:
Herder
Elschenbroich, Hans-Jürgen, Thomas Gawlick &
Hans-Wolfgang Henn (2001): Mathematische
und didaktische Aspekte Dynamischer Geometrie-Software.
Hildesheim & Berlin: Franzbecker
Gao, Xiao-Shao (2004): MMP/Geometer — A
Software Package for Automated Geometry
Reasoning. In: F. Winkler (Hrsg.) (2004): Automated
Deduction in Geometry 2002. Berlin
u.a.: Springer, 44–66
Hohenwarter, Markus (2005): Bidirektionale Verbindung
von dynamischer Geometrie und Algebra
in GeoGebra. In diesem Band
Hölzl, Reinhard (1994): Im Zugmodus der Cabri-
Geometrie. Weinheim: DSV
Kortenkamp, Ulrich (1999): Foundations of Dynamic
Geometry. ETH Zürich: Dissertation
126
Kortenkamp, Ulrich (2001): Decision complexity in
dynamic geometry. In: Dongming Wang
(Hrsg.) (2001): Proceedings of ADG 2000,
Lecture Notes in Artificial Intelligence 2061.
Heidelberg u.a.: Springer, 167–172
Kortenkamp, Ulrich (2004): Experimental Mathematics
and Proofs — What is Secure Mathematical
Knowledge? In: Zentralblatt für Didaktik
der Mathematik 36, 61–66
Kortenkamp, Ulrich & Jürgen Richter-Gebert
(1998): In: Association for the Advancement of
Computing in Education (Hrsg.) (1998): Geometry
and Education in the Internet Age. Proceedings
of ED-MEDIA 98. Charlottesville, VA:
AACE, 790–799
Kortenkamp, Ulrich & Jürgen Richter-Gebert
(2004): Using Automatic Theorem Proving for
Enhancing the User Interface of Geometry
Software. In: Paul Libbrecht (Hrsg.) (2004):
Proceedings of MathUI 2004, Bialowiecza, Polen:
MKM. http://www.activemath.org/~paul/
MathUI/proceedings/ATP_UI_Cinderella.html
Kultusministerkonferenz (2004): Bildungsstandards
im Fach Mathematik für den Hauptschulabschluss
(Jahrgangsstufe 9). Beschluss
vom 15.10.2004. Bonn. Online unter
http://www.kmk.org/schul/Bildungsstandards/
Hauptschule_Mathematik_BS_307KMK.pdf
Oldenburg, Reinhard (2002): Feli-X: Ein Prototyp
zur Integration von CAS und DGS. In: Peter
Bender et al. (Hrsg.) (2002): Lehr- und Lernprogramme
für den Mathematikunterricht. Hildesheim:
Franzbecker, 123–132
Oldenburg, Reinhard (2004): Feli-X — ein Computeralgebra-gestütztes
dynamisches Geometrieprogramm.
In: Computeralgebra-Rundbrief 34
Oldenburg, Reinhard (2005): GeoGebra: Dynamische
Geometrie mit etwas Algebra. In: Computeralgebra-Rundbrief
36
Richter-Gebert, Jürgen & Ulrich Kortenkamp
(2000): Die interaktive Geometrie-Software
Cinderella, Schulversion. Stuttgart: Klett Software-Verlag
Schliep, Alexander & Winfried Hochstättler (2001):
Developing Gato and CATBox with Python.
Teaching graph algorithms through visualization
and experimentation. In: Jon Borwein, Maria
Haydee Morales, Konrad Polthier & Jose
Francisco Rodrigues (Hrsg.) (2001): Proceedings
of MTCM 2000. Heidelberg u.a.: Springer,
291–310
Schumann, Heinz (1991): Schulgeometrisches
Konstruieren mit dem Computer. Stuttgart:
Metzler & Stuttgart: Teubner (besonders 219f.)
Schumann, Heinz & Olaf Knapp (2005): Instruktionsvideos
für das Arbeiten mit Computerwerkzeugen.
Erscheint in: Beiträge zum Mathematikunterricht
2005. Hildesheim: Franzbecker
Stein, Martin, Uwe-Peter Tietze, Hans-Georg Wiegand
& Thomas Weth (2004): MADIN — eine
internetgestützte Lehr-Lernumgebung für das
Lehramtsstudium Mathematik
http://www.madin.net

� Dynamische Visualisierung einer Aufgabe
(in Variationen)
Ingmar Lehmann, Berlin
Wir legen um den Äquator (in Gedanken) ein Seil, das 1 m länger ist als der Äquator.
Welchen Abstand hat das Seil von der Erdoberfläche, wenn das Seil konzentrisch gespannt
wird? — So etwa lautet die "übliche" Fassung dieser Aufgabe.
Mit dieser Aufgabe gelingt es noch immer, Interesse und Aktivität der Schüler zu wecken.
Diese Aufgabe werden wir im Folgenden variieren und dabei auf zum Teil unerwartete
Resultate stoßen. Obwohl die Ergebnisse nachvollziehbar sind, bleibt ein Unbehagen:
"Ich verstehe es, aber glaube es nicht." Mit Hilfe dynamischer Geometriesoftware werden
die Resultate erlebbar!
Überraschende oder unerwartete Ergebnisse
stimulieren den Fortgang mathematischen
Experimentierens ebenso wie auftretende
Widersprüche. Diese Widersprüche können
dabei auch nur scheinbare sein.
Abb. 1
Die oben gestellte Aufgabe ist alt, "uralt"; —
dennoch hält sie noch immer einige Überraschungen
parat. Dabei nehmen wir der Einfachheit
halber an, die Erde sei eine (vollkommene)
Kugel und der Äquator sei exakt
40 000 km lang. Die Aufgabe werden wir im
Folgenden variieren und dabei auf zum Teil
völlig unerwartete Resultate stoßen.
1 Das "konzentrische" Seil
1.1 "Urfassung" der Aufgabe
Aufgabe 1:
Um den Äquator wird konzentrisch ein Seil
gespannt, das 1 m länger ist als der Äquator.
Welchen Abstand a hat das Seil von der
Erdoberfläche? (vgl. Abb. 1, 2)
u+1
u
Abb. 2
Zunächst wird man die Schüler schätzen lassen!
Auch Fragen wie "Könnte man ein Blatt
Papier, das etwa ein Zehntel Millimeter dick
ist, zwischen Seil und Erdoberfläche hindurchschieben?"oder
"Könnte eine Fliege, eine
Maus darunter hindurchkriechen?" sollten
die Schüler veranlassen, die Aufgabe mit Interesse
in Angriff zu nehmen.
Lösung:
Die Schüler müssen lediglich den Zusammenhang
zwischen Radius und Umfang eines
Kreises kennen (u = 2πr) sowie einfachste
Termumformungen beherrschen.
lSeil = uÄquator+1 = 2πr+1
Da das Seil selbst auch einen Kreis beschreibt,
nämlich mit dem Radius r+a, gilt
ferner
lSeil = 2π(r+a),
r
r
a
127

Ingmar Lehmann
sodass sich die Gleichung 2πr+1 = 2π(r+a)
ergibt. Mit 2πr+1 = 2π(r+a) = 2πr+2πa folgt
1
unmittelbar 1 = 2πa, also a = .
2π
Da alle Längen in Meter angegeben worden
sind, erhalten wir
a = 0,1591549430 ... m ≈ 16 cm.
Das ist für die Schüler paradox. Das Ergebnis
ist vom Radius r (der Erde) unabhängig;
— und gerade dieser Sachverhalt widerspricht
der Erwartung.
Man kann dieses für die Schüler paradoxe
Resultat auch folgendermaßen formulieren:
Für die Differenz der Umfänge zweier konzentrischer
Kreise mit den Radien r1 und r2
sowie dem Abstand a gilt
u1–u2 = 2πr1–2πr2 = 2π(r2+a)–2πr2 = 2πa,
d.h., diese Differenz der Umfänge ist konstant,
wenn die beiden konzentrischen Kreise
nur denselben Abstand voneinander haben.
Das Ergebnis veranlasst Schüler sogar, die
ganze Rechnung zu wiederholen, — um den
vermeintlichen Fehler zu entdecken!
Das ist ein guter Grund, mit dieser Aufgabe
in die Thematik "Umfang von Kreisen" zu
starten. Walsch (2000) schreibt dazu:
"Die Aufgabe ist zwar nicht auf vordergründige
Art 'realitätsnah'. Sie trägt aber dazu bei,
geometrisches Vorstellungsvermögen zu fördern,
zu kritischer Distanz gegenüber intuitiven
Urteilen zu erziehen, Einsichten in theoretische
Zusammenhänge zu gewinnen (hier
insbesondere die Unabhängigkeit des Abstandes
vom Radius der Kugel zu erkennen),
das Arbeiten mit dem 'mathematischen
Handwerkszeug' zu üben."
Mit dieser Aufgabe gelingt es in jedem Fall,
Interesse und Aktivität der Schüler zu wecken.
1.2 Vier "natürliche" Variationen
von Aufgabe 1
Aufgabe 2: Der Abstand des Seils zum
Äquator ist gegeben
Um den Äquator wird konzentrisch ein Seil
gespannt, das einen Abstand von 1 m von
der Erdoberfläche hat. Wie lang ist das Seil?
Lösung:
Für die Differenz der Umfänge gilt
lSeil–uÄquator = 2π(r+a) – 2πr = 2πa = 2π.
128
Das Seil wäre dann nur etwas mehr als 6 m
länger als der Äquator. Es hätte also die Länge
lSeil = 2π(r+a) ≈ 40 000 006,28 [m].
Ein Flugzeug umrundet bei konstanter Flughöhe
von 10 000 m einmal die Erde (den
Äquator). Wie lang ist die Flugstrecke?
Aufgabe 3: Ein Mensch unterquert am
Äquator das Seil
Um den Äquator wird konzentrisch ein Seil
gespannt. Um wie viel Meter/Kilometer müsste
man dieses Seil verlängern, damit jeder
Mensch aufrecht das (konzentrisch um den
Äquator gespannte) Seil unterqueren könnte?
Lösung:
Das ist Aufgabe 2 in anderem Gewand:
Seil Äquator
lSeil–uÄquator = 2πa bzw. a =
2π
u l −
.
Das Seil müsste höchstens 16 m länger als
der Äquator sein (a ≈ 2,55 m).
Aufgabe 4: Ein Apfel statt der Erde
Um einen Apfel (oder eine Münze) wird konzentrisch
ein Faden gespannt, der um 1 m
länger ist als der Apfelumfang (Münzumfang)
selbst. Welchen Abstand a hat der Faden
vom Apfelrand (vom Münzrand)?
Lösung: (vgl. Abb. 3)
Das Ergebnis, dass der Abstand a vom Radius
(der Erde, eines Apfels oder eines
Tischtennisballs) unabhängig ist, wird auf
diese Weise besonders anschaulich bestätigt.
Der Abstand a hängt lediglich von der
gewählten Verlängerung (1 m) des Umfangs
1
ab: a = ≈ 16 [cm].
2π
Abb. 3

Verkleinern wir den (Ausgangs-) Kreis weiter,
schrumpft der Äquator schließlich zu einem
Punkt zusammen; d.h., in diesem Extremfall
haben Äquator und Radius die Länge Null.
Das Ergebnis bleibt dennoch dasselbe. Jetzt
wird die "Verlängerung" (um 1 m) selbst zum
(Kreis-) Umfang und dessen Radius der gesuchte
Abstand a.
Aufgabe 5: Zwei Münzen bilden eine "8":
1 € und 1 c
Eine 1-Euro-Münze und eine 1-Cent-Münze
werden nebeneinander auf einen Tisch gelegt.
Um beide Münzen wird ein Faden in
Form zweier Kreise — wie eine Acht ("8") —
gespannt, wobei der Faden um 1 m [zum
Ausprobieren evtl. besser 10 cm] länger ist
als beide Münzumfänge zusammen.
(Durchmesser: 1€: d€ = 25,75 mm; 1c: dc =
16,25 mm)
Welchen Abstand hat der Faden vom jeweiligen
Münzrand? (vgl. Abb. 4)
MC Cent
r E
M E
Euro
r C
Abb. 4
b
k 2 Faden
a
k 1 Faden
Lösung:
Viele Schüler argumentieren richtig, dass
jetzt zwei Kreise "mitspielen", also die Verlängerung
um 1 m nicht durch 2π sondern
durch 2 . 2π zu teilen sei, also für den Abstand
1 . 1 1
gelten muss: a = = [m] (≈ 8 cm).
2 2π
4π
Das ist allerdings nur dann richtig, wenn zusätzlich
gefordert wird, dass der Faden zu
beiden Münzen denselben Abstand haben
soll.
Dynamische Visualisierung einer Aufgabe (in Variationen)
Mit 2πr€+2πrc+1 = 2πr€+2πrc+2πa+2πb folgt
1
unmittelbar a+b = .
2π
Es gibt also unendlich viele Lösungen. Für
1
a = b erhalten wir a ( = b ) = [m] ≈ 8 [cm].
4π
1.3 Vier "künstliche", aber wirkungsvolle
Variationen von
Aufgabe 1
Statt des Äquators (bzw. eines Kreises) wird
ein Quadrat gewählt. Dieser Vorschlag geht
auf Winter (1991) zurück:
"Eine produktive anschauliche Aufklärung
besteht darin, die Kreissituation auf eine analoge
Quadratsituation zu übertragen (Analogie
des Heurismus!) ..."
Aufgabe 6: Ein Seil um ein Quadrat
Um ein Quadrat wird ein Fadenquadrat gespannt,
das um 1 m länger ist als der gegebene
Quadratumfang. Der Faden wird dabei
so gespannt, dass die jeweiligen Quadratseiten
zueinander parallel sind (vgl. Abb. 5).
s
s
Abb. 5
Welchen Abstand a hat der Faden vom
Quadratrand? Genauer: Welchen Abstand a
haben die jeweiligen zueinander parallelen
Quadratseiten?
Lösung:
Die Abbildung zeigt deutlich, wie sich die
Überhänge des Fadenquadrates, also die
Zugabe von 1 m, auf 8 gleich lange Stücke
an den 4 Ecken verteilen.
Mit 4s+1 = 4s+8a folgt unmittelbar 1 = 8a; also
muss der Abstand a = 12,5 cm betragen.
s
a
a
a
s
a
129

Ingmar Lehmann
Auch dieser Abstand a zwischen beiden
Quadraten ist somit unabhängig von der Seitenlänge
des Ausgangsquadrates. Das gilt
damit auch für ein Quadrat mit der Seitenlänge
von 10 000 km.
Die Verlängerung um 1 m erzeugt daher
auch in diesem — dem Äquator nachempfundenen
— Beispiel einen Abstand von
12,5 cm. Hier erscheint das Ergebnis "glaubhafter"
als die 16 cm (für das Seil um den
Äquator), da man ja "sieht", wo die Verlängerung
um 1 m bleibt!
Anstelle eines Quadrates kann man auch ein
gleichseitiges Dreieck, allgemein ein regelmäßiges
Vieleck, betrachten und nach dem
Abstand des Fadens vom Vielecksrand fragen.
Aufgabe 7: Ein Seil um ein regelmäßiges
n-Eck
Um ein regelmäßiges n-Eck wird ein Fadenn-Eck
gespannt, das um 1 m länger ist als
der Umfang des gegebenen n-Ecks.
Der Faden wird dabei so gespannt, dass die
jeweiligen n-Eckseiten zueinander parallel
sind (vgl. Abb. 6, 7, 8).
Welchen Abstand a hat der Faden vom Rand
des Ausgangs-n-Ecks? Genauer: Welchen
Abstand a haben die jeweiligen zueinander
parallelen n-Eck-Seiten?
Lösung: (im Überblick)
Auch für die drei regelmäßigen Vielecke in
Abb. 6, 7, 8 ist also der Abstand a zwischen
den jeweiligen zueinander parallelen Vieleckseiten
unabhängig von der Seitenlänge
des Ausgangsvielecks.
Für ein beliebiges regelmäßiges n-Eck gilt
mit n·s+1 = n·s+2·n·b dann 1 = 2·n·b; mit
π
cot
π b 1
tan = folgt damit a = = n .
n a
π 2n
2n
tan
n
Je größer die Eckenzahl n ist, umso größer
wird der Abstand a. Wächst a beliebig?
Natürlich kann dieser Abstand a niemals
größer werden als der im Falle des Kreises!
Der Abstand a liegt im Falle des regelmäßigen
Sechsecks (14,4 cm) schon relativ nahe
an dem Grenzwert, den wir in Aufgabe 1
gewonnen haben (≈16 cm):
a = lim
n→∞
130
1 1
= ≈16 [cm].
π
2n
tan
2π
n
s
s + 2b
Abb. 6: a ≈ 9,6 cm
s
s + 2b
a
Abb. 7: a ≈ 13,8 cm
s
s + 2b
a
Abb. 8: a ≈ 14,4 cm
Aufgabe 8: Ein Seil um ein Kreisbogendreieck
Um ein Reuleauxsches Dreieck (mit Kreisbögen
vom Radius r) wird ein Faden gespannt,
der um 1 m länger ist als der Umfang des
Reuleauxschen Dreiecks selbst. Der Faden
wird dabei so gespannt, dass er wieder ein
Reuleauxsches Dreieck bildet. Beide Reuleauxschen
Dreiecke sollen "konzentrisch"
liegen, d.h., die Schwerpunkte der beiden
Trägerdreiecke fallen zusammen und die
a
b
b
a
a
a
b
b
b
b

Eckpunkte des zweiten Trägerdreiecks liegen
auf den Winkelhalbierenden des ersten Trägerdreiecks.
(vgl. Abb. 9)
u + 1
b
u
r
r
r '
Abb. 9
Welchen Abstand a haben die Mittelpunkte
der jeweiligen (zueinander ähnlichen) Kreisbögen
der beiden Reuleauxschen Dreiecke?
Welchen Abstand b haben die auf einer Winkelhalbierenden
liegenden Eckpunkte der
beiden Reuleauxschen Dreiecke?
Lösung:
Überraschender Weise ist zunächst der Umfang
eines Reuleauxschen Dreiecks der Dicke
r gerade gleich dem Umfang des Kreises
mit dem Durchmesser dieser Dicke des Reuleauxschen
Dreiecks. Das ist der Satz von
Emile Barbier (1839–1889): u = πr.
Mit πr+1 = π(r+a+b) = πr+π(a+b) folgt unmit-
1
telbar 1 = π(a +b), also a+b = ≈ 32 [cm].
π
Man kann dann zeigen, dass sich so
3 − 3
3
a = ≈13,5 [cm]; b = ≈ 18,4 [cm] er-
3π
3π
geben. Diese beiden Abstände sind von der
"Dicke" r des gegebenen Reuleauxschen
Dreiecks unabhängig.
Aufgabe 9: Ein Seil um ein Kreisbogenviereck
Um ein Quadrat der Seitenlänge s werden
vom Mittelpunkt jeder Seite Kreisbögen
durch die gegenüber liegenden Eckpunkte
geschlagen. Um dieses Kreisbogenviereck
wird ein Faden gespannt, der um 1 m länger
ist als der Umfang des Kreisbogenvierecks
selbst.
Der Faden wird dabei so gespannt, dass er
wieder ein Kreisbogenviereck bildet. Beide
Kreisbogenvierecke sollen so liegen, dass
die Mittelpunkte der beiden Trägerquadrate
zusammenfallen und die Eckpunkte des
zweiten Trägerquadrates auf den Winkelhal-
a
Dynamische Visualisierung einer Aufgabe (in Variationen)
bierenden des ersten Trägerquadrates liegen.
(vgl. Abb. 10)
u + 1 u
a
b
M
s
s '
Abb. 10
Welchen Abstand a haben die Mittelpunkte
der jeweiligen (zueinander ähnlichen) Kreisbögen
der beiden Kreisbogenquadrate? Welchen
Abstand b haben die auf einer Winkelhalbierenden
liegenden Eckpunkte der beiden
Kreisbogenquadrate?
Lösung:
Mit etwas Geduld erhält man auch hier, dass
die beiden Abstände a und b von der Seitenlänge
s des gegebenen Quadrates unabhängig
sind: a ≈ 14,9 cm; b ≈ 17,1 cm. Ihre
Summe a+b ist damit ebenfalls etwa 32 cm.
1.4 Eine sportliche und fünf
physikalische Variationen
von Aufgabe 1
Statt des Seils, das im Abstand von 1 m von
der Erdoberfläche um den Äquator gespannt
wird, findet man in der Literatur auch die Version,
ein Eisenbahngleis um den Äquator zu
verlegen. Dass es sich hierbei erst recht um
ein Gedankenexperiment handelt, sei noch
einmal hervorgehoben.
Aufgabe 10: Per D-Zug um den Äquator —
ein "fragwürdiges" Eisenbahngleis
Ein Eisenbahngleis, das rund um den Äquator
führt und komplett in der Äquatorebene
liegen möge, verlaufe mit der inneren Schiene
direkt auf dem Äquator, die äußere
Schiene liege in der Luft.
Um wie viel Meter wäre die äußere Schiene
länger als die innere Schiene? (vgl. Abb. 11)
(a = Gleisbreite = Spurweite = 1,46 m)
r
r '
131

Ingmar Lehmann
132
Abb. 11
Lösung:
Die Lösung folgt dem Muster in Aufgabe 2.
Statt der Länge von etwa 6,30 m, die sich
dort als Differenz bei 1 m Abstand ergab, erhalten
wir in diesem Fall läußereSch–linnereSch =
2πa ≈ 9,17 [m].
Dagegen erhalten wir ein ganz anderes Resultat,
wenn das ganze Gleis auf der Erde
verlegt wird, d.h. die eine Schiene auf dem
Äquator, die andere auf einem (parallelen)
Breitenkreis zum Äquator liegt (Aufgabe 15).
Aufgabe 10 lässt sich auch so formulieren,
dass überhaupt kein Seil mehr (oder Gleis) in
Erscheinung tritt:
Aufgabe 11: Einmal zu Fuß um den Äquator
Ein Mensch, der (a =) 1,80 m groß ist, laufe
(in Gedanken) einmal längs des Äquators um
die Erde. Dabei ist der Weg des Kopfes länger
als der der Füße.
Um wie viel ist der "Kopfweg" länger?
Lösung:
lKopfweg–lFußweg = 2πa ≈ 11,31 [m].
Alternativ bietet sich auch an, den größten
und kleinsten Schüler auszuwählen, und zu
fragen, wessen Differenz zwischen Kopf- und
Fußweg größer (kleiner) ist.
Der Extremfall, dass die Füße an einer Achse
(z. B. einer Reckstange) "drehbar befestigt"
sind und der gestreckte Körper eine vollständige
Drehung um diese Achse vollführt,
liefert diesen Wert für die Wegdifferenz zwischen
Kopf und Füßen unmittelbar; der
"Äquator", d.h. der Weg der Füße, schrumpft
auf Null.
Der Felgumschwung wäre besser geeignet,
allerdings würden dann die Hände die Rolle
der Füße übernehmen, während diese die
Rolle des Kopfes spielen würden. (vgl. Abb.
12)
Abb. 12
Aufgabe 12: Ein "kaltes" Drahtseil um den
Äquator
Diesmal legen wir einen Draht, ein Stahlseil,
straff um den Äquator.
Wie tief schneidet sich der Draht (konzentrisch)
in die Erde hinein, wenn der Draht um
1°C (oder 1°K) abgekühlt wird und wir annehmen,
dass der Draht dabei nicht reißt und
auch nicht mechanisch beeinflusst wird?
Lösung:
Die Längenänderung ∆l hängt von der ursprünglichen
Länge l, der Temperaturdifferenz
∆t und dem linearen Ausdehnungskoef-
1
fizienten α ab (αStahl = 0,000013 [ ]):
° K
∆l = α·l·∆t.
Damit erhalten wir bei Abkühlung um ∆t (°C)
die neue Länge l–∆l = l–α·l·∆t = l(1–α·∆t).
In unserem Fall ergibt sich dann
∆l = lÄquator–lDraht = α·lÄquator·∆t ≈ 520 m.
Für die Differenz aus ursprünglicher und abgekühlter
Drahtlänge erhalten wir ferner
∆l = 2πr–2π(r–a) = 2πa.
Der Draht schneidet sich mit einer Tiefe von
knapp 83 m in die Erdoberfläche hinein.
Aufgabe 13: Ein "heißes" Drahtseil um
den Äquator
Wir legen wieder einen Draht (Stahlseil)
straff um den Äquator. Um wie viel Grad
müsste dieser Draht erwärmt werden, damit
er genau 1 m länger als der Äquator wird?
Oder anders gefragt:
Um wie viel Grad müsste ein solcher konzentrisch
gespannter Draht erwärmt werden,
damit er überall denselben Abstand vom
Äquator hätte wie das Seil aus der "Urfassung"
der Aufgabe (a ≈ 16 cm)?

Lösung:
Mit lÄquator+1 = lÄquator+lÄquator·α·∆t erhalten wir
∆t ≈ 0,002°C.
Es genügt also eine winzige Temperaturerhöhung
von etwa 0,002°C, um diesen Abstand
von etwa 16 cm herzustellen.
Aufgabe 14: Per D-Zug um den Äquator —
ein "gewagtes" Eisenbahngleis
Ein Eisenbahngleis wird entlang des Äquators
verlegt. Eine Schiene folgt exakt dem
Äquator ("Äquatorschiene"), die dazu parallele
Schiene soll ganz auf der Erde verlegt
werden, also auf einem (parallelen) Breitenkreis
zum Äquator ("Parallelschiene"). Die
Äquatorschiene sei genau 1 m länger als die
Parallelschiene. (vgl. Abb. 13)
Wie groß ist der Gleisabstand a?
Oder anders gefragt: Auf welchem Breitenkreis
verläuft die Parallelschiene?
Lösung:
h
M'
M
Abb. 13
r
r '
B
a
α a/2
α/2
r C
r
a = ≈ 1423,5 [m]. Die Spurweite wäre al-
π
so "gigantisch", nämlich fast 1½ km.
Aufgabe 15: Per D-Zug um den Äquator –
ein normales Eisenbahngleis
Ein Eisenbahngleis wird entlang des Äquators
verlegt. Eine Schiene folgt exakt dem
Äquator ("Äquatorschiene"), die dazu parallele
Schiene soll ganz auf der Erde verlegt
werden, also auf einem (parallelen) Breitenkreis
zum Äquator ("Parallelschiene").
Um wie viel Meter wäre die Äquatorschiene
eines solchen Gleises, das rund um den
Äquator führt, länger als die zugehörige Parallelschiene,
wenn angenommen wird, dass
die Parallelschiene ganz auf der Erde verlegt
b
A
Dynamische Visualisierung einer Aufgabe (in Variationen)
wird, also auf einem Parallelkreis zum Äquator?
(a = Gleisbreite = Spurweite = 1,46 m)
Lösung:
Die Spurweite a können wir wegen des sehr
kleinen Winkels α mit dem Bogen b identifizieren.
Ein erwartetes — oder wohl eher unerwartetes
Resultat: die Schienen unterscheiden
sich in ihrer Länge nicht! Der Taschenrechner
zeigt ∆l = 0 an; die Grenze der Genauigkeit
ist hier erreicht. Selbst per Computer-
Algebra-System wird erst bei 25- bzw. 30stelliger
Anzeige ein von Null verschiedener
Wert ermittelt. Der TI-92 liefert ∆l = 1,2 µm.
2 Das hochgezogene Seil
2.1 Die "aufgehängte" Erdkugel
Aufgabe 16:
Das Seil wird – wie in Aufgabe 1 – um 1 m
verlängert. Aber jetzt soll es nicht konzentrisch
liegen, sondern so gezogen werden,
dass es an einer Stelle maximalen Abstand
von der Erdoberfläche besitzt. (vgl. Abb. 14)
Wie weit lässt sich das Seil hochziehen?
Q
T
R
M
x
α
Abb. 14
Das Ergebnis ist scheinbar (wieder) paradox!
Hatten die Schüler in Aufgabe 1 zunächst
wohl eher erwartet, das Seil lasse bei 1 m
Verlängerung und konzentrischer Spannung
kaum Spielraum für eine Maus zum Hindurchkriechen,
so liefert dieselbe Verlängerung
um 1 m, jetzt aber tangentialer "Aufhängung"
der Erde im Seil, ein wieder ganz unerwartetes
Resultat: fast 122 m (Meter!).
b
y
r
S
133

Ingmar Lehmann
Lösung:
2π ⋅ r ⋅α
Die Gleichung b = = r·tanα–0,5 lässt
360°
sich nicht geschlossen lösen. Man kann sie
aber numerisch lösen. Mit einem Computer-
Algebra-System ist das kein Problem
(DERIVE: α = 0,3538811189°). Der TI-92 liefert
α = 0,353881176881° als Lösung.
Auch sinnvolles Probieren (mittels TR) führt
uns zur Lösung dieser Gleichung (mit r =
6 366 198 m als Erdradius). Für α = 0,354°
2π ⋅ r ⋅α
stimmen die Terme und r·tanα– 0,5
360°
dann bereits in 8 Ziffern überein.
Das Seil liegt somit knappe (y =) 40 km nach
jeder Seite in der Luft, ehe es sich an den
Äquator anschmiegt. Für die gesuchte Höhe
x = r·( α
2
1
1+ tan –1) = r·( –1) finden wir
cosα
so die bereits angebene Weite (121,5 m).
Jetzt ist das Ergebnis also vom Radius r (und
vom Winkel α) abhängig!
Dieses Resultat ist vielleicht auch deshalb
erstaunlich, weil man intuitiv annimmt, dass
bei einem solchen Erdumfang (von 40 000
km) ein zusätzlicher Meter quasi "verschwinden"
müsste. Aber das ist der Irrtum! Je größer
nämlich die Kugel ist, desto weiter kann
das Seil weggezogen werden.
Gawlick (2001) hebt hervor, dass sich die
Aufgabe als exemplarisches Beispiel zum reflektierten
Umgang mit einem Computer-
Algebra-System eignet. Kirsch (2002) betont,
dass der Fehler des zur Seilverlängerung
1 m gefundenen Abstandes von 121,50 m
1
weniger als von 0,041% beträgt, und das
64
ist jedenfalls weniger als 1 mm!
2.2 Sieben Variationen des
hochgezogenen Seils
Wie in Aufgabe 4 wird statt der Erde ein Apfel,
ein Tischtennisball oder sogar nur eine
Scheibe, etwa eine Euro-Cent-Münze, gewählt.
Aufgabe 17: Die "aufgehängte" Cent-Münze
Ein Faden wird um eine Euro-Cent-Münze
gelegt (Durchmesser 16,25 mm), um 1 m
verlängert und so gezogen, dass er an einer
Stelle maximalen Abstand vom Münzrand
besitzt.
Wie weit lässt sich der Faden hochziehen?
134
Lösung:
Das Ergebnis ist diesmal nicht unerwartet:
Mit α ≈ 89,092° ergibt sich x ≈ 504,6 mm.
Das ist fast das Ergebnis des Extremfalles, in
dem der Radius des Kreises auf Null
schrumpft (x = 0,5 m).
Anschauung und Erfahrung helfen im Falle
der Aufgabe 16 (der "aufgehängten" Erdkugel)
i.Allg. gar nicht weiter; sie stehen einer
Lösung eher im Wege. Im täglichen Leben
abstrahieren wir von der Erdkrümmung; wir
sehen die Umgebung als eben an.
Schwier (1997) hat gezeigt, wie man sich
dennoch dieser unerwarteten Lösung (x ≈
122 m) nähern kann, indem zuvor eine entsprechende
Betrachtung in der Ebene angestellt
wird: (vgl. Abb. 15)
l
+ 0,5
2
C
x
l
+ 0,5
2
A
l
M
l
B
2
2
Abb. 15
Das Seil der Länge l liege straff gespannt
zwischen den Punkten A und B. Wird das
Seil jetzt um 1 m verlängert und in der Mitte
maximal nach oben gezogen, lässt sich dieser
Abstand x leicht berechnen. Ein fast 20
km langes Seil lässt sich bereits fast 100 m
in der Mitte anheben! (Dabei wird natürlich
vernachlässigt, dass sich das Seil bei zu
großer Länge kaum noch geradlinig spannen
ließe.)
Aufgabe 18: Das "aufgehängte" Quadrat
s = u
4
Q
A
y y
x
s u
=
2 8
T
R
s = u
4
Abb. 16
S
B

Um ein Quadrat (Umfang u = 40 000 km)
wird ein Seil gespannt, das um 1 m länger ist
als der Quadratumfang selbst. Das Seil wird
dabei so gespannt, dass es über der Mitte
einer Quadratseite maximal weggezogen
wird. (vgl. Abb. 16)
Welchen Abstand x hat das Seil in diesem
Punkt vom Quadratrand?
Lösung:
Mit lSeil = uQuadrat+1 = 4s+1 = 3s+2y folgt
s + 1 2 s + 1
y = und x = (Pythagoras).
2
2
Mit s = 10 000 km (u = 40 000 km) erhebt
sich damit das Seil in die "schwindelerregende"
Höhe von x ≈ 2 236 m.
Aufgabe 19: Das "aufgehängte", aber gekippte
Quadrat
Um ein Quadrat (Umfang u = 40 000 km)
wird ein Seil gespannt, das um 1 m länger ist
als der Quadratumfang selbst. Das Seil wird
dabei so gespannt, dass es entlang einer Diagonalenrichtung
(des Quadrates) maximal
weggezogen wird.
Wie weit lässt sich das Seil hochziehen?
M.a.W.: Welchen Abstand x hat das Seil in
diesem Punkt vom nächstgelegenen Eckpunkt
des Quadrates? (vgl. Abb. 17)
A
α
y
E
β
M
β
s s
B
x
D
Abb. 17
Lösung:
Im Unterschied zu Aufgabe 18 "hängt" in diesem
Fall das Quadrat in einer stabilen Lage:
y
α
C
Dynamische Visualisierung einer Aufgabe (in Variationen)
2 1
x = – s+ 2 4 1
2 2
2
s + s + ≈ 71 cm. Wieder
eine Überraschung! Nachdem wir jetzt, d.h.
nach den vorangehenden Varianten, eher
wieder mit einer langen Strecke "gerechnet"
hätten, ist sie in Wirklichkeit sehr kurz.
Aufgabe 20: Das "aufgehängte" Gleichdick
— Spitze nach unten
Um ein Reuleauxsches Dreieck (mit Kreisbögen
vom Radius r) wird ein Seil gespannt,
das um 1 m länger ist als der Umfang des
Reuleauxschen Dreiecks selbst. Das Seil
wird dabei so nach oben gezogen, dass das
Reuleauxsche Dreieck mit einer Ecke nach
unten im Seil "aufgehängt" wird. (vgl. Abb.
18, 19)
b
y
D
x
N c
A B
b
C
Abb. 18
y
D
x y
TA c
Nc TB c
A B
C
Abb. 19
y
r
b
b
135

Ingmar Lehmann
Wie weit lässt sich das Seil hochziehen?
Lösung:
Wenn das Reuleauxsche Dreieck einen Umfang
von 40 000 km hat, ist x ≈ 153 m (Fall 2
in Abb. 19). Fall 1 in Abb. 18 kann dann nicht
eintreten.
Aufgabe 21: Das "aufgehängte" Gleichdick
— Spitze nach oben
Diesmal wird das Seil so nach oben gezogen,
dass das Reuleauxsche Dreieck mit einem
Kreisbogen nach unten im Seil "aufgehängt"
wird. (vgl. Abb. 20)
Wie weit lässt sich das Seil hochziehen?
136
z
T b
D
y C y
A B
b
x
Abb. 20
Lösung:
Wenn das Reuleauxsche Dreieck einen Umfang
von 40 000 km hat, ist x ≈ 89 cm.
Aufgabe 22: Das "aufgehängte" Kreisbogenquadrat
Um ein Kreisbogenquadrat (Quadrat der Seitenlänge
s) wird ein Seil gespannt, das um
1 m länger ist als der Umfang des Kreisbogenvierecks
selbst. Das Seil wird dabei über
dem Mittelpunkt eines Kreisbogens nach
oben gezogen, sodass das Kreisbogenquadrat
im Seil "aufgehängt" wird. (vgl. Abb. 21,
22)
Wie weit lässt sich das Seil hochziehen?
Lösung:
Wenn das Kreisbogenquadrat einen Umfang
von 40 000 km hat, ist x ≈ 145 m (Fall 2 in
Abb. 22). Fall 1 in Abb. 21 kann dann nicht
eintreten.
b'
T a
z
x
D C
E
A B
F
Abb. 21
D
TD E
x
F
TC C
A M B
s
Abb. 22
Aufgabe 23: Das "aufgehängte", aber gekippte
Kreisbogenquadrat
Diesmal wird das Seil so nach oben gezogen,
dass das Kreisbogenquadrat mit einer
Ecke nach unten im Seil "aufgehängt" wird.
(vgl. Abb. 23, 24)
Wie weit lässt sich das Seil hochziehen?
Lösung:
Der Fall 1 (EA, EC sind keine Tangenten) bereitet
keine Probleme (Abb. 23). Wenn das
Kreisbogenquadrat jedoch einen Umfang von
40 000 km haben soll, kommt nur Fall 2
(Abb. 24) in Frage. Dieses Problem ist offen!

A
A
d
T A
c
c
y
F
y
s
D
E
B
x
Abb. 23
s
s s
r
D
E
B
x
Abb. 24
3 Dynamische Geometriesoftware
und die
Äquator-Seil-Aufgabe
Wir setzen im Folgenden den Zugmodus ein,
über den jede dynamische Geometriesoftware
(DGS) verfügt. Der Zugmodus gestattet
r
y
y
G
c
c
T B
d
C
C
Dynamische Visualisierung einer Aufgabe (in Variationen)
es, an einem (unabhängigen) Punkt in einer
Konstruktion beliebig ziehen zu können, ohne
dadurch die geometrischen Beziehungen
zwischen den konstruierten Objekten zu verändern.
So bleibt also die Mittelsenkrechte einer
Strecke AB stets ihre Mittelsenkrechte, auch
wenn diese Strecke durch Ziehen an einem
der beiden Endpunkte vergrößert, verkleinert
bzw. verlagert wird. Die Schüler können unmittelbar
beobachten, verfolgen, was mit der
konstruierten Figur passiert, wenn sie an diesem
oder jenem Punkt ziehen. Was ändert
sich, was bleibt erhalten?
Es ist gerade der Zugmodus, der die Schüler
reizt, etwas selbst auszuprobieren.
Wie lässt sich nun diese Dynamik solcher
Geometriesoftware für unsere Zwecke nutzen?
3.1 Ein Seil um einen Kreis
Wie lässt sich die Situation, die Abb. 2 wiedergibt,
dynamisch visualisieren?
Vorab aber eine Anmerkung:
Die Größenverhältnisse 40 000 km auf der
einen Seite und 1 m auf der anderen Seite
lassen sich natürlich am Bildschirm nicht
nachvollziehen.
Für eine aussagekräftige Zeichnung verlängern
wir deshalb den Umfang u besser um
eine Länge v, die im Größenbereich von r
liegt.
Jetzt können wir zeigen, wie die Konstanz
des Abstandes zwischen den beiden Kreisen
erlebbar wird. (vgl. Abb. 25 — "in Aktion")
Durch Ziehen am ("oberen") Punkt A vergrößern
oder verkleinern wir den Radius r.
Die Änderungen werden unmittelbar angezeigt
(per Messbefehl). Der Abstand a bleibt
konstant.
Dass es sich hierbei aber nicht um eine fest
eingegebene Länge handelt, wird deutlich,
wenn nun auch die Verlängerung v verändert
wird (Ziehen am Punkt Q).
Der entscheidende Punkt ist die Konstruktion
des (Seil-) Kreises mit dem Umfang u+v. Mit
Hilfe des in die DGS integrierten Rechners
u + v
ermitteln wir den zugehörigen Radius
2π
(= r+a) und nutzen den Befehl "Kreis aus Mittelpunkt
und Radius".
Die Schüler können hier die Konstruktion beliebig
verändern; das "paradoxe" Resultat
wird immer wieder aufs Neue bestätigt.
137

Ingmar Lehmann
138
r
M A
P v
Q
Ausgangskreis: Radius:
Fadenkreis: Umfang:
u + v
u
Umfang:
Verlängerung:
Radius:
Abstand:
r = 5,00 cm
u = 31,42 cm
v = 9,00 cm
u+v = 40,42 cm
u+v
= 6,43 cm
2⋅π
a = 1,43 cm
M
Abb. 25
a
C
D
r
r + a
Für den Fall r = 0 versagt das Programm, da
der äußere Kreis in Abhängigkeit vom inneren
Kreis konstruiert worden ist.
s
v
Ausgangsquadrat: Seite:
Fadenquadrat: Umfang:
s
Umfang:
Verlängerung:
Seite:
Abstand:
s
s = 10,00 cm
u = 40,00 cm
v = 5,00 cm
a = 1,25 cm
a s
a
Abb. 26
A
u+v = 45,01 cm
( u+v)
= 11,25 cm
4
B
a
s
a
3.2 Ein Seil um ein Quadrat
Analog zeigen wir die Konstanz des Abstandes
zwischen den beiden Quadraten. (vgl.
Abb. 5, 26)
u + v
Hier muss zunächst die Seite (= s+2a)
4
des Fadenquadrates konstruiert werden.
Wenn wir dann die gegebene Seitenlänge s
des Ausgangsquadrates verändern, bleibt
der Abstand a zwischen beiden Quadraten
unverändert; anschließend variieren wir die
Verlängerung v (des Umfangs u).
3.3 Das hochgezogene Seil
Um diese Aufgabe "dynamisieren" zu können
(vgl. Abb. 14), stützen wir uns auf die Näherungsberechnung
des Winkels α.
Mit α ≈ 3
3
können wir (allerdings nur für
2r
kleine α – hier ist der "Haken") dann die Hö-
1
he x [= r · ( – 1)] berechnen. Damit
cosα
sind wir in der Lage, die Punkte T und S
(Thales) zu konstruieren. (vgl. Abb. 27)
Eine andere Möglichkeit der Konstruktion
bietet sich über die Sehne RS. Das Dilemma,
für den am Bildschirm benötigten Winkel α
(zwischen 20° und 70°) keine einfache Näherungslösung
zu besitzen, lässt sich aber
auch damit nicht beheben.
Immerhin lassen sich aber bestimmte Zusammenhänge
zwischen den gegebenen
Größen r und v sowie den abhängigen Größen
α, b, y und schließlich x demonstrieren.
Insbesondere lässt sich auch die "Grenzlage"
mit α ≈ 90° simulieren:
Ausgangskreis: Radius r = 5,90 cm
Umfang u = 37,07 cm
Verlängerung v = 15,24 cm
Faden: Länge: u+v = 52,31 cm
Winkel: α = 89,99°
Abstand: x = 32 459,15 cm ≈ 325 m (!)
Vielleicht "glauben" wir jetzt auch an die fast
122 m im Falle des Äquatorseils?!

Faden: Länge: u+v = 41,42 cm
v
Winkel: α ≈ ( 43,62°
u = 39,57 cm
v = 1,85 cm
2,40 cm
3v
2r )
1
3 =
(für kleine α ; hier schon verletzt!)
Tang.Absch.: y = b + v
M A
P Q
Ausgangskreis: Radius: r = 6,30 cm
Umfang:
2
Verlängerung:
1
Abstand: x = r ⋅ ( - 1) =
cos α
Nachtrag
Das in Aufgabe 23 (das "aufgehängte", aber
gekippte Kreisbogenquadrat) gestellte Problem
(Fall 2) konnte inzwischen von Herrn
Dr. Thomas Gawlick mit Methoden der analytischen
Geometrie gelöst werden: Der Punkt
G in Abb. 24 wird in den Koordinatenursprung
gelegt. (s. Abb. 28)
Dabei wird insbesondere deutlich, wie die
heuristische Lösungsfunktion eines DGS dazu
verwendet werden kann, einen plausiblen
algebraischen Schluss streng abzusichern.
A
Q
T A
-5
F
s
B
T
R
M
x
α
r
s/2
b
y
r
Abb. 28
r
10
8
6
4
2
-2
D
G
S
Abb. 27
x
r
E
b
s
A
y
TB d
C
Dynamische Visualisierung einer Aufgabe (in Variationen)
Literatur
Gawlick, Thomas (2001): Die aufgehängte
Erdkugel als Aufhänger. In: Praxis
der Mathematik 43, 241–243
Kirsch, Arnold (2002): Die aufgehängte
Erdkugel — mehr Durchblick mit Näherungsrechnung?
In: Praxis der Mathematik
44, 82–83
Schwier, Manfred (1997): Paradoxien
und ihre didaktische Funktion. In: Mathematik
in der Schule 35, Heft 1, 30–
40
Walsch, Werner (2000): Die aufgehängte
Erdkugel und andere praxisferne Anwendungsaufgaben.
In: Mathematische
Unterrichtspraxis 21, Heft 1,
31–35
Winter, Heinrich (1991): Entdeckendes
Lernen. Wiesbaden & Braunschweig:
Vieweg
139

� Von Primzahlen zur Verschlüsselung mit RSA —
Eine Unterrichtseinheit im WWW für eine 11. Klasse
1 Vorbemerkung
Die meisten beruflichen Gymnasien in Baden-Württemberg
verwenden seit einigen
Jahren Computeralgebrasysteme im Unterricht
und im Abitur, an meiner Schule wird
nach dem TI-89, 92 und 92+ nun der TI-
140
Carsten Münchenbach, Emmendingen
In den letzten Jahren wurden zahlreiche Lehr- und Lernportale im Internet erstellt, in denen
Wissen und Informationen aufbereitet werden. Ich habe im Rahmen meiner zweiten
Staatsexamensarbeit 1999 versucht, eine komplette Unterrichtseinheit zum Thema Kryptographie
für die interaktive Verwendung im WWW umzusetzen. Das Ergebnis ist seit
damals online und wird von Lehrern, Schülern, Studenten und mathematisch interessierten
Menschen genutzt.
Voyage 200 eingesetzt. Unterricht in Computertechnik
spielt ebenfalls eine größere Rolle
als am allgemeinbildenden Gymnasium in
BW. Meine Schule ist deshalb recht gut mit
Computerräumen ausgestattet. Das hier vorgestellte
Projekt ist erst durch diese Umstände
möglich geworden.
Abb. 1: Der Zeitplan der Unterrichtseinheit mit Themenübersicht

2 Die Staatsexamensarbeit
Die über 2000 Jahre alte Kunst der Kryptographie
(Geheimschrift) und Kryptoanalyse
(Analyse von Geheimschriften) faszinierte die
Menschen schon immer, die Bedeutung der
Geheimhaltung ist aber heute so groß wie
nie in der Menschheitsgeschichte zuvor. Waren
früher nur Feldherren und Kaiser auf sichere
Kommunikation angewiesen, wird "Otto
Normalverbraucher" heute von PIN, TAN,
Passwörtern beim E-Mailen oder allgemein
am Computer, abhörsicheren verschlüsselten
Handy-Telefonaten, Pay-TV-Karten, usw. auf
Schritt und Tritt von Verschlüsselungsverfahren
verfolgt, oft ohne dass er es merkt.
Das Ziel meiner Staatsexamensarbeit war,
den Schülern mit einem public-key-Verfahren,
dem RSA-Verfahren, eine Anwendung
der reinen Mathematik zu vermitteln. Das
RSA-Verfahren ist ein Verschlüsselungsverfahren,
das bei sorgsamer Wahl der Schlüsselgröße
auch heute mit genügend leis-
Von Primzahlen zur Verschlüsselung mit RSA — Eine Unterrichtseinheit im WWW
tungsstarken Rechnern nicht geknackt werden
kann. Das Verfahren beruht auf wenigen
Sätzen der Zahlentheorie (Satz von Euler,
Kleiner Satz von Fermat), die relativ einfach
zu verstehen sind, der Tatsache, dass die
Faktorisierung von Zahlen mit zunehmender
Größe immer schwieriger wird, und auf dem
Rechnen mit Restklassen.
Eingebettet wurde das Ganze in Historisches
zur Zahlentheorie, Betrachtungen zu Primzahlen,
Kongruenzrechnung und Faktorisierung
(s.a. Abb. 1). So entstand eine Unterrichtseinheit
über sechs Doppelstunden.
Die gesamte Unterrichtseinheit wurde als
Lernprogramm in Form einer Webseite zusammengefasst,
die den Schülern im Unterricht
zum Arbeiten, Wiederholen, Stöbern
und Suchen von Hintergrundinformationen
zur Verfügung stand.
Die Arbeitsaufträge zum selbständigen Arbeiten
mit dem CAS wurden den Schülern in
Form von MuPAD-Worksheets übergeben, in
einer überarbeiteten Version habe ich diese
Abb. 2: Das Sieb des Eratosthenes, interaktiv mit Hilfe von JavaScript
141

Carsten Münchenbach
auch als .9xp-Dateien für den TI-Voyage
oder 92+ gespeichert.
3 Das Lernprogramm
Es handelt sich bei dem Lernprogramm nicht
um ein eigenständig lauffähiges Programm,
sondern um ein Lernprogramm auf HTML-
JavaScript-Basis, also eine Webseite. Es ist
also lediglich ein Webbrowser nötig, um mit
dem Lernprogramm zu arbeiten, wodurch der
Einsatz auch auf älteren Computern und unter
fast jedem Betriebsystem möglich ist. Das
Design wurde für damals übliche Hard- und
Softwarekonfigurationen optimiert. Für die
optimale Darstellung wird eine Bildschirmauflösung
von 800*600 (besser 1074*768) Pixeln
benötigt, was die meisten Computer, die
heute in Schulen oder bei den Schülern zu
Hause zu finden sind, darzustellen in der Lage
sind. Zur korrekten Wiedergabe ist lediglich
ein Browser von Netscape/Mozilla oder
Microsoft ab Version 4 nötig. Das Lernprogramm,
das die komplette Unterrichtseinheit
umfasst, ist über das Internet verfügbar. Zusätzlich
wurde das Lernprogramm Schülern
ohne eigenen Internetzugang zu Beginn der
Unterrichtseinheit auf Diskette zur Verfügung
gestellt.
Der Anzeigebereich des Webbrowsers wurde
in vier verschiedene, frei definierbare Segmente
aufgeteilt, sogenannte "frames” oder
Rahmen (s. Abb. 2). Rahmen bieten die
Möglichkeit, einen (linearen) Text aufzubrechen
und in nicht-linearer Weise aufzubereiten.
Hierdurch ist eine bessere Gliederung
und größere Übersichtlichkeit möglich. Der
größte Rahmen (Rahmen 1, etwas heller, in
der Mitte) ist der zentrale Anzeigebereich des
Lernprogramms. Hier werden alle Inhalte
dargestellt. Die Rahmen 2 (links) und 3
(oben) sind statisch und verändern sich nicht.
Im Rahmen 2 befindet sich die Hauptnavigation
des Lernprogramms mit Verweisen zu
dem "Zeitplan", einer Einführung in "MuPAD",
der "Literaturliste", der "Linkliste", den "Lösungen"
zu den Aufgaben, einer "Bildergalerie"
und einer "Kommentarseite". Die Inhalte
zu den Menüpunkten werden dann im Rahmen
1 dargestellt. Im Rahmen 3 befindet sich
eine Nebennavigationsleiste. Die Reiter
("D(oppel)stunde 1", ..., "DStunde 6") in diesem
Rahmen verweisen auf die entsprechenden
Abschnitte des Lernprogramms. Aus
Gründen der Übersichtlichkeit wird im Rahmen
1 nur soviel Text dargestellt, wie bei
normaler Bildschirmauflösung gerade wiedergegeben
werden kann. Der Benutzer kann
142
mit einer weiteren Navigationsleiste, die sich
unter dem Text im Rahmen 1 befindet, zur
nächsten oder vorherigen Seite springen.
Der Text und das Layout im gesamten Lernprogramm
wurde einheitlich gestaltet. Als
Schrift wurde Arial, eine serifenlose Standardschriftart,
gewählt. Das Seitenlayout und
die Farbgestaltung im Lernprogramm bleiben
durchgängig gleich. Hyperlinks im Text sind
an dunkelblauem fettgesetzten Text von normalem
Text zu unterscheiden.
4 Lernen im und mit dem
WWW
Über das Lernen mit Medien (Mittlern) wurde
in den letzten Jahren auf den AK-Tagungen
wie auch 2003 vielfach referiert, die Vor- und
Nachteile diskutiert und erörtert. Diese Beiträge
sollen an dieser Stelle nicht aufgegriffen,
sondern mit den Erfahrungen und Meinungen
im Bezug auf dieses Projekt ergänzt
werden.
Was kann das Lernen im WWW bzw. mit
diesem Lernprogramm leisten, was von herkömmlichen
Medien nicht oder nur schwer
erreicht werden kann?
Im Folgenden habe ich zunächst einige Thesen
mit Kommentaren und zugehörigen Zitaten
von Schülern zusammengefasst und
dann einige Kritikpunkte zum Lernen im
WWW aufgeführt.
Thesen zum Lernen im WWW:
Lernen im WWW ...
... macht mehr Spaß
• Arbeiten am Rechner macht den meisten
Schülern Spaß.
• Das Medium "Internet/Computer" fasziniert.
• "Meistens macht Lernen keinen Spaß.
Lernen bedeutet Arbeit und Disziplin." (Stoll,
2002)
... macht den Unterricht spannender und
anschaulicher
• "Anschauung wird durch Interaktivität gesteigert."
• "Ohne Computer zu trocken."
• Alles andere als der übliche Unterricht ist
für Schüler spannender.

... hilft, mehr Informationen zu vermitteln
• "Ohne den Einsatz am Computer wäre
diese Fülle an Informationen nicht vermittelbar
gewesen."
• Wirklich mehr?
... hilft, Informationen übersichtlicher zu
gestalten
• Durch das Aufbrechen von Text in Hypertext
kann Text besser strukturiert werden,
aber auch der gegenteilige Effekt ist möglich.
... erleichtert das Wiederholen
... ermöglicht weltweite Verfügbarkeit bzw.
Verfügbarkeit von zuhause
• "Ich würde gerne das, was wir in der
Schule gelernt haben, zuhause wiederholen."
• Selbstbestimmtes Lernen und Wiederholen
von zuhause ist möglich.
... erleichtert das Behalten von Lerninhalten
• Intrinsische Motivation zu lernen nimmt
zu.
• Oberflächliches Stöbern (browsen) nimmt
ebenfalls zu.
... ermöglicht eigenes Lerntempo
• Ganz sicher.
... ermöglicht Vernetzen von Informationen
mit Hilfe von Hypertext
• Vernetzung erleichtert Darstellung komplexer
Zusammenhänge.
• Vernetzung führt u.U. aber auch zu Desorientierung
im Dokument (Lost-in-Hyperspace-Syndrom).
... ermöglicht effektive Recherche in globalen
Datenbeständen
• Externe Quellen im WWW können miteinbezogen
werden und ermöglichen interessierten
Schülern den Zugang zu zusätzlichem
Hintergrundwissen.
• Aber: Im WWW gibt es viele zweifelhafte
oder falsche Informationen und Halbwahrheiten.
... ermöglich interaktive Anwendungen
und Multimedia
• Java-Applets, JavaScript-Programme ermöglichen
Interaktivität statt nur passives
Lernen (s. Abb. 2).
Von Primzahlen zur Verschlüsselung mit RSA — Eine Unterrichtseinheit im WWW
Kritik am Lernen mit Computern in
der Schule:
Lernen im WWW ...
... erfordert Computer
• Für die Durchführung ist Hard- und Software
wie Computer, Beamer, CAS in ausreichender
Menge nötig.
... erfordert geeignete Räume
• Ein Raum ist notwendig, der sowohl als
Computerraum, als auch als Klassenzimmer
zum Schreiben und Lesen genutzt werden
kann.
... erfordert eine geeignete Lernumgebung
• Infrastrukturelle Voraussetzungen im
Netzwerk, — d.h. ein zu restriktives geführtes
Netzwerk behindert die Vorbereitung und
Durchführung, z.B durch strenge Rechtevergabe.
... erfordert Disziplin
• Disziplinprobleme: Surfen im Unterricht.
• Unsere Gesellschaft ist oft hektisch und
oberflächlich, die Informationsdichte, der
man ausgesetzt ist, ist sehr hoch. Die Programme
zu Darstellung von Webseiten, die
Browser haben ihren Namen von "to
browse", was so viel heißt wie blättern oder
schmökern. Tatsächlich beobachtet man,
dass Webseiten, oder ganz allgemein Textseiten
am Computer, oft nur überflogen und
nicht konzentriert durchgearbeitet werden.
Dies gilt natürlich auch für Lernprogramme
und senkt die Effektivität des Lernprogramms
drastisch.
... ermüdet
• Die meisten Menschen empfinden es sehr
schwierig und ermüdend, am Bildschirm konzentriert
einen längeren Text zu lesen. Ein
Schüler hat sich aus diesem Grund eines der
MuPAD-Notebooks ausgedruckt.
... erfordert Lernprogramme
• Lernprogramme kosten Geld in der Anschaffung.
• Das Herstellen von eigenen Lernprogrammen
ist sehr zeitintensiv (siehe nächster
Absatz).
143

Carsten Münchenbach
5 Kosten-Nutzen-Verhältnis
"Da haben Sie sich aber 'sau-viel' Arbeit gemacht!"
war der Kommentar eines Schülers.
In der Tat war das Programmieren und Zusammensuchen
von Materialien sehr viel Arbeit.
Ballin et al. bewerten den Aufwand so:
"Die Entwicklung multimedialer Lernsysteme
stellt komplexe Anforderungen an die inhaltliche,
methodische, didaktische, organisatorische,
künstlerische, innovative und kreative
Gestaltungsfähigkeit und setzt Managementfähigkeiten
im selben Maß wie neue Lerntechnologien
und entsprechende Lernarrangements
voraus. Der einzelne ist dabei in der
Regel überfordert ... Die Zusammenarbeit
zwischen Autor, Drehbuchschreiber, Multimedia-Entwickler,
Medienpädagoge und Projektmanager
zur Koordination der Arbeiten
eines Projekts sind unverzichtbar. Entwicklungskosten
von 1000 DM/min [Kommentar:
wohl eher 1000 DM/(Mann*Tag)] und mehr
sind keine Seltenheit ... und lohnen sich nur,
wenn die entwickelte Lernsoftware von möglichst
vielen Adressaten nachgefragt wird."
(Ballin et al. 1996) Der Entwicklungsaufwand
für Lernsoftware wird zwischen 1:20 über
1:70 bis zu 1:200 geschätzt, für "normale"
Stunden nur bei 1:4 bis 1:10. Für Unternehmen
lohnt sich der Aufwand dennoch ab circa
100 Teilnehmern (Riehm & Wingert 1996).
Ich habe während der Entwicklung des Lernprogramms
etwa 150 Stunden programmiert,
die Materialsuche und sonstige Vorbereitung
dauerte ca. 50 Stunden. Für sechs mal 90
Minuten Unterricht ergab sich also ein Faktor
von 1:22. Hinzu kommen noch die Kosten
bzw. der Zeitaufwand für die dauerhafte
Pflege der Webseiten.
Dieser Aufwand ist für eine reguläre Unterrichtsvorbereitung
unüblich. Ich denke dennoch,
dass er sich gelohnt hat. Allein die positive
Resonanz von den Schülern und die
Reaktionen, die ich im Internet auf das Lernprogramm
bekommen habe, zeigen, dass
der Weg, Lernprogramme einzusetzen, richtig
ist. Bei entsprechender Modifikation des
Lernprogramms und Überarbeitung des Projekts
unter Berücksichtigung der erkannten
Schwachpunkte lässt sich das Projekt ohne
144
übermäßig große Vorbereitung leicht erneut
durchführen.
6 Fazit
Clifford Stoll meint sinngemäß, dass Lernen
keine Spaß machen kann, weil Lernen Arbeit
und Disziplin bedeutet (Stoll 2002). Was haben
die Schüler dann bei mir gelernt? Kann
man mit so einem Lernprogramm etwas lernen?
Ein Ziel war, dass Mathematik den Schülern
Spaß machen soll. Die Rückmeldung zeigt,
dass dieses Ziel größtenteils erreicht wurde.
Lernen bedeutet aber immer auch Arbeit, das
ist unbestritten. Mit Interesse und Spaß am
Thema steigt jedoch auch die Freude am
Lernen und Arbeiten. Davon kann jeder Lehrer
berichten, der mit den Schülern einen
Blick über den Tellerrand der Schulmathematik
wirft oder aktivere Lern- und Arbeitsformen
für seinen Unterricht wählt. Lernprogramme
können nicht gebraucht und dürfen
nicht dazu missbraucht werden, einen Lehrer
zu ersetzen und als einziges Medium Unterricht
zu gestalten. Sie sind ein weiteres Medium,
das Lehrern helfen kann, einen guten
und für die Schüler interessanten sowie lehrreichen
Unterricht zu gestalten. Und dabei
können die Schüler sicherlich etwas lernen,
so wie auch mit anderen Medien, vielleicht
auch ein wenig besser.
Literatur
Stoll, Clifford (2002): LogOut — Warum Computer
nichts im Klassenzimmer zu suchen haben.
Frankfurt: Fischer
Ballin, D., M. Brater & D. Blume (Hrsg.) (1996):
Handlungsorientiert Lernen mit Multimedia.
Nürnberg: BW Bildung und Wissen
Riehm, U. & B. Wingert (1996): Multimedia: Mythen,
Chancen und Herausforderungen. Mannheim:
Bollmann
Das Lernprogramm ist im WWW unter
http://www.hydrargyrum.de/kryptographie erreichbar.

� Vom 19. ins 21. Jahrhundert — Ändert das Internet
die Chancen für den Zugang zur Mathematik?
Vorbemerkung
Aus technischen Gründen musste die Schriftfassung
des Beitrags im Mai 2005 neu erstellt
werden.
Hinführung
In der "guten alten Zeit" gab es weder Computer
noch Massenmedien, nicht einmal Bücher.
Wissen wurde von Weisen im mündlichen
Vortrag weitergegeben und von Schülern
aufgenommen. Seither hat sich die Welt
verändert. Information kann in vielfältiger
Weise gespeichert und interaktiv wieder abgerufen
werden. Auf die Organisation von
Lernen hat sich diese Veränderung bisher
nur in verschwindend geringem Umfang ausgewirkt.
Im Vordergrund steht immer noch
die klassische Schule, in der in altershomogenen,
kleinen Gruppen vieltausendfache
Parallelarbeit ohne nennenswerte gruppenübergreifende
Kontrolle als "Unterricht" inszeniert
wird.
Im Abstract wurde die Auseinandersetzung
mit drei Fragen angekündigt:
1 Muss Mathematik gelehrt werden? (Gibt
es da eine Frage??)
2 Kann das Internet das Lernen von Mathematik
fördern?
3 Wie kann festgestellt werden, ob Mathematik
gelernt worden ist?
1
Fritz Nestle, Ulm
In den vergangenen zwei Jahrhunderten haben sich die landwirtschaftliche und die industrielle
Produktion grundsätzlich geändert. Grundlage dafür sind lokal verfügbare
Energiequellen sowie neue Organisationsformen und Besitzverhältnisse.
Im Bildungswesen steht die angemessene Nutzung der Informationsverarbeitung noch
aus. Durch Schaffung eines Angebots von ubiquitär zugänglichen, überprüfbaren Bildungsstandards,
deren Anwendung schulischen Leistungsnachweisen gleichgestellt wird,
kann der Lernende von bisherigen Zwängen befreit werden. Zugleich ändert sich die Lehrerolle
in ähnlicher Weise, wie dies mit der Handarbeit im produzierenden Gewerbe geschehen
ist.
Die unten folgenden Axiome zum derzeitigen
Lernen von Mathematik werden bis heute
überwiegend nicht in Frage gestellt — wie
von Seiten der Mathematiker die Axiome der
euklidischen Geometrie, bis der Außenseiter
Lobatschewski den Mut hatte, ein(en) Traktat
über eine nichteuklidische Geometrie zu
schreiben. Sein Vorgehen: Er ersetzte ein
Axiom durch ein Gegenteil. Der princeps mathematicorum
Gauß war wohl in der gleichen
Zeit zu ähnlichen Erkenntnissen gekommen,
fürchtete sich jedoch vor dem Spott der
Fachkollegen ("Ich fürchtete das Geschrei
der Böoter"). Erst nachdem Lobatschewskis
Arbeiten Interesse gefunden hatten, hätte er
gern die Priorität für sich in Anspruch genommen.
Beispiele für Axiome des Mathematiklernens:
- Mathematik lernt man in der Schule.
- Zum Lernen braucht man einen Mathematiklehrer.
- Der Mathelehrer wird an der Hochschule
für seinen Beruf ausgebildet.
- Jedes Kind kann Mathematik lernen.
- Der Mathematikunterricht beginnt in der
Grundschule.
- Das Internet ist für den normalen Mathelehrer
bedeutungslos.
- Das Internet spielt für den normalen
Schüler beim Mathelernen keine Rolle.
- Außerhalb der Schule erworbene Qualifikationen
sind bedeutungslos.
- Aus den früheren Lehrplänen sind — fast
nur durch Umbenennung — Bildungspläne,
Lernzielkataloge und jetzt Bildungsstandards
geworden.
Im vorliegenden Beitrag sollen nur die ersten
beiden und die letzten beiden Aussagen hinterfragt
werden.
Zuerst ein Beispiel zum "neuen" Lernen:
145

Fritz Nestle
Es gibt nicht wenige Kids, die den Umgang
mit dem Computer besser beherrschen als
ihre Lehrer. Wo haben diese Kids den Umgang
mit dem Computer gelernt? Doch nicht
in der Schule, sondern zuhause oder bei
Freunden. Weil der Computer personenunabhängig
Rückmeldungen gibt, ist selbstorganisiertes
Lernen möglich. Rückmeldungen
aus der sozialen Gruppe erhöhen die Effektivität
des Lernens.
Ein Beispiel dafür, dass über "neues" Lernen
schon früher nachgedacht wurde, finden wir
in der Literatur des 19. Jahrhunderts: Theodor
Storm lässt schon 1888 im Schimmelreiter
seinen Hauke Haien Geometrie aus einem
Euklid lernen:
146
Abb. 1
(Hatten Sie schon einmal einen in der Hand?)
Abb. 2
Euklid ist als Lehrmaterial nicht besonders
gut aufbereitet. Bei Hauke Haien kam noch
eine Erschwernis hinzu: Hauke Haien ist
Deutscher, sein Euklid liegt in Holländisch
vor. Außer dem holländischen Euklid hatte er
Zugriff auf eine holländische Grammatik. Bei
Storm hatte Haien erfolgreich Mathematik
gelernt mit zwei nur mäßig geeigneten Lehrmedien.
Was heute für selbstorganisiertes
Lernen angeboten wird und angeboten werden
könnte, ist Größenordnungen besser geeignet
und erleichtert den Einstieg.
Storm zeigt, dass man auch ohne Schule
Mathematik lernen kann. Das Beispiel Computer
beweist, dass Lernen außerhalb der
Schule — ohne Lehrer — mit Hilfe von Medien
auch heute möglich ist. Wie für nichteuklidische
Geometrien liegt damit für außerschulisches
Lernen ohne Lehrer der Existenzbeweis
vor. Die Geometrie zeigt zugleich,
dass es Jahrzehnte dauert, bis ein
neuer Gedanke Allgemeingut wird.
Hier nochmals die Entwicklung der Lernmöglichkeiten:
In der Vorzeit gibt es nur die
mündliche Überlieferung durch Weise, singulär
und gebunden an Ort und Person. Die Erfindung
des Buchdrucks hebt die Bindung an
die Person oder teure Handschriften auf; der
Weg zur preiswerten Vervielfältigung von Information
ist frei. Nicht zuletzt dadurch kann
Adam Riese eine neue Rechenmethode —
ohne Abakus auf Papier — rasch verbreiten.
Abb. 3

Die Abhängigkeit von den alten Rechenmeistern
hat aufgehört. Jedermann (jedefrau)
kann mit der neuen Methode selbst rechnen.
Bald freilich erhält die Schule das Monopol,
Zertifikate über die individuellen Rechenfähigkeiten
auszustellen. Nicht viel mehr dauert
es, bis der Missbrauch dieses Monopols zum
Regelfall wird und die Lehrerschaft ihre Misserfolge
beim Lehren durch gute Noten zuzudecken
beginnt, das heißt, Lehrerfolge werden
nicht an externen Kriterien gemessen.
Vielmehr kann jeder einzelne Lehrer (oder
Hochschullehrer trotz ETCS) seine eigenen
Maßstäbe verwenden. Der Manipulation sind
Tür und Tor geöffnet.
Zusammenfassend kann Frage 1 jetzt beantwortet
werden: Mathematik muß nicht gelehrt,
sie muss vielmehr gelernt, erfunden
und entdeckt werden. Manchmal kann ein
Lehrer dabei helfen, manchmal ist der Erfolg
ohne Lehrer größer und vor allem interindividuell
vergleichbar. Die "soft skills" werden bei
selbstorganisiertem Lernen besser entwickelt.
Ergänzung 1
Je besser und vielfältiger die Rückmeldungen
durch das Lernmaterial, desto "angenehmer"
das Lernen.
Ergänzung 2
Nur solange Berechtigungen an Schulnoten
geknüpft sind und solange Schulnoten nur
von Lehrern vergeben werden dürfen, sind
Lehrer unverzichtbar, aber ohne externe
Kontrolle unterliegen sie (durch Schulverwaltung,
Kollegen, Eltern, Politik!) einem korrumpierenden
Druck, Noten zu schönen.
Ich habe dazu einen Traum:
Die Ziele des Lernens sind so formuliert,
dass das Lernsubjekt selbst seinen Abstand
von den Zielen feststellen kann. Aus
"Wer lehrt, prüft!"
wird
"Wer lehrt, darf nicht prüfen!"
Man kann diesen Traum auch den Traum
von Chancengleichheit und Chancengerechtigkeit
nennen. Das Internet macht diesen
Traum technisch möglich.
2
Der Traum ist die Antwort auf Frage 2:
Kann das Internet das Lernen von Mathematik
fördern? — Ja, wenn man will!
Vom 19. ins 21. Jahrhundert — Ändert das Internet die Chancen?
3
Wie kann festgestellt werden, ob Mathematik
gelernt worden ist?
Zunächst: Wer stellt das fest?
- Der Lehrer — in der derzeitigen Schule.
Das ist der status quo.
- Dritte — TIMSS, PISA, zentrale Vergleichsarbeiten;
das Beurteilungsmonopol
der Institutionen wird dabei nicht in Frage
gestellt.
- Das lernende Subjekt selbst; — der
Traum vom selbstorganisierten Lernen;
technische Schwierigkeiten wären dazu
nicht mehr zu überwinden.
Zur Thematik wird auf einschlägige Abschnitte
der Sites [1] – [4] verwiesen:
Die Stellungnahme der Bundesvereinigung
der Deutschen Arbeitgeberverbände (online
seit 8.9.03; kein Ort innerhalb des Sites zitierbar)
akzeptiert im Wesentlichen die aufgeführten
Ausarbeitungen, das heißt, die offiziellen
Äußerungen des BMBF [2], das das
Sagen haben möchte, und der KMK [3], die
das Sagen hat. Die Ausarbeitung des BMBF
ignoriert die heutigen Möglichkeiten der Informationsverarbeitung
vollständig; es beschäftigt
sich deskriptiv mit der Schule und soziologischen
Fragen der Vergangenheit vornehmlich
der letzten 50 Jahre. In den ersten
KMK-"Standards" verweisen zwar die Englischdidaktiker
auf ausländische Internetveröffentlichungen,
stellen jedoch herkömmliche
Modelle der Lernorganisation nicht in Frage.
Was die KMK als "Standards" bezeichnet,
hat indessen mit einem Standard wenig zu
tun. Worin besteht zum Beispiel die Standardisierung
bei der Formulierung "Die Schülerinnen
und Schüler entwickeln sinntragende
Vorstellungen von natürlichen, ganzen, gebrochenen
und rationalen Zahlen und nutzen
diese entsprechend der Verwendungsnotwendigkeit."
Verbindlichkeit ist keine zu erkennen;
die Interpretationsspielraum ist riesig.
Die Interpretation wird Tausenden von Mathematiklehrern
aufgebürdet, weil sich die
Behörde um die Formulierung konkreter Anforderungen
drückt. Gegebenenfalls kann sie
den Schwarzen Peter immer an die Lehrer
weitergeben. Man muss sich auch einmal
klar machen, welche Verschwendung von
Ressourcen damit verbunden ist, dass jeder
einzelne Lehrer gezwungen wird, aus einem
solchen Wortgeklingel ein tragbares Unterrichtskonzept
zu entwickeln. Jede Lehrkraft
muss selbst entscheiden, was sie für Anfor-
147

Fritz Nestle
derungen stellen will und wie sie konkrete
Lernergebnisse der Schüler bewerten will.
In der industriellen Produktion von Wirtschaftsgütern
ist man von diesem Verfahren
schon vor mehr als hundert Jahren abgekommen
mit dem Ergebnis, dass heute jeder
Bürger unseres Landes nach eigenen Wünschen
aus einem Riesenangebot hochwertiger
Waren auswählen kann; die Konkurrenz
sorgt dabei mit für Qualität. Maßarbeit, zum
Beispiel bei Schuhen, wird nur noch von
Krüppeln, Wirtschaftsbossen und arrivierten
Politikern in Auftrag gegeben.
Im Bildungswesen werden dagegen klassenindividuelle
Produkte zusammengeschustert,
deren Qualität, wie TIMSS und PISA gezeigt
haben, viele Wünsche offen läßt. Den Kindern
lässt man keine Wahl! Wenn es keine
anderen Möglichkeiten geben würde, müsste
man das hinnehmen. Wenn die Ursache indessen
im Fehlen von Visionen bei Kultusverwaltung
und Lehrerbildung, im Ignorieren
konkreter, praktikabler Vorschläge und mangelnder
IT-Kompetenz der Verantwortlichen
zu suchen ist, ist das eine Katastrophe für
unser Land.
Im Site www.bildungsstandards.de sind solche
konkreten und praktikablen Vorschläge
in den Kernaussagen
(www.bildungsoptionen.de/manifest.htm)
lang vor den Veröffentlichungen der KMK publiziert
und der KMK als Stellungnahme unmittelbar
übersandt worden. Der Eingang
wurde nicht bestätigt, der Inhalt von den anonymen
Experten der KMK — und der Fachdidaktik?
— ignoriert. Liegt es daran, dass
der Autor des Sites von der Sache nicht genug
versteht und seine Vorschläge nicht
praktikabel sind, oder liegen die Gründe bei
den anonymen Experten, die ökonomisch mit
ihrer Zeit umgehen und sich deshalb auf einen
neuen Aufguss von "Bewährtem" beschränken?
Das kann nur entscheiden, wer
neben den Papieren der KMK auch die Forderungen
und Vorschläge des Sites
www.bildungsstandards.de kennt. Hier ist eine
Zusammenfassung der Letzteren:
- Ein Bildungsstandard wird definiert als
Klasse von Aufgaben, die den Standard
repräsentieren, das heißt, durch konkrete,
eindeutig überprüfbare Anforderungen.
Unter
www.bildungsstandards.de/praxis.htm finden
Sie Beispiele.
- Bildungsstandards sind öffentlich, das
heißt, der Aufgabenpool ist der freien Diskussion,
nicht der einseitigen Vorgabe
durch die Schulverwaltung unterworfen.
148
Das Internet ist eine fast ideale Plattform
für diese Diskussion.
- Lernergebnisse, die an Internetangeboten
nachgewiesen werden, erhalten bei zertifizierter
Bearbeitung den Rang von Schulzeugnissen.
Im Gegensatz zu den Schulzeugnissen
kann bei "Zeugnissen" aus
dem Internet nachvollzogen werden, welche
Anforderungen nachgewiesen worden
sind.
Wenn die letzte dieser drei Forderungen erfüllt
wird, beginnt die größte "Schul"reform
dieses Jahrtausends. Der Erwerb von Bildung
verändert sich dadurch so, wie sich die
Herstellung von industriellen und landwirtschaftlichen
Produkten (Stahl, Nägel, Schuhe,
..., Grundnahrungsmittel) in den vergangenen
zwei Jahrhunderten geändert hat. Lernen
wird zu einem teilweise rationalen Prozess.
An die Stelle der Anpassung an die
Lehrkraft tritt die Auseinandersetzung mit der
Sache. Der Lehrer wird von der gehassten
Autorität zum Lernberater und -helfer.
Welche Veränderung sich dadurch für den
Beruf des Lehrers ergibt, mag das Beispiel
der Milcherzeugung verdeutlichen: Noch in
meiner Kindheit gab es in den größeren
Milchbetrieben die "Schweizer". Jeder
Schweizer musste täglich zwei Mal die gleichen
20 bis 30 Kühe melken; so wurden im
Jahr 1000 bis 2000 Liter Milch pro Kuh gewonnen.
Nach einer Zwischenlösung mit
Melkmaschinen, deren Sauger von Hand angelegt
werden mussten, gehen heute in modernen
Betrieben die Kühe zum Melkstand,
wenn sie gerade das Bedürfnis haben, identifizieren
sich mit einem Transponder und geben
ihre Milch ab — bis zu 8000 Liter im
Jahr. Die Milchproduktion wird damit der einzelnen
Kuh mit einem objektiven Maß zugeordnet.
Ich möchte die Parallele nicht im Einzelnen
ausführen. Interessant sind sowohl
die positiven als auch die negativen Seiten
des Vergleichs.
Landwirtschaft und Industrie haben sich im
21. Jahrhundert etabliert; die Grundstruktur
des Bildungswesens hat den Stand des 19.
Jahrhunderts noch nicht überwunden.
Das Internet könnte der automatische Melkstand
der Bildung werden. Während die
Milch einseitig von der Kuh in den Milchtank
strömt, kann die Information auf interaktiven
Internetseiten in beiden Richtungen fließen.
Die Eingaben der Lernenden können vom
System nach transparenten, für alle Schüler
gleichen Kriterien bewertet und unverzüglich
zurückgemeldet werden. (Auch die Kühe erhalten
an modernen Melkständen motivie-

ende Rückmeldungen.) Im Gegensatz zur
Schule kann im Internet eine weitaus größere
Themenvielfalt angeboten werden. Die Auswahl
der Themen durch die Lernenden kann
durch einschlägige Beratung gesteuert werden.
Dadurch wird das System wesentlich
flexibler als der konventionelle Klassenunterricht.
Ist die Umgestaltung des Bildungswesens ein
utopischer Traum — oder die dringlichste
Aufgabe der Gegenwart auch für die Lehrerbildung?
Neuerdings wird von einzelnen Didaktikern
(Elschenbroich, Profke, ...) die Frage erörtert,
ob es überhaupt genügend Menschen gibt,
die mit Erfolg als Lehrer ausgebildet werden
können. Man muss die Augen schon vollkommen
vor der Wirklichkeit verschließen,
wenn man diese Frage übergehen will. Wir
sind uns sicher darin einig, dass nur die Besten
den Lehrberuf ergreifen sollen. Leider
finden wir diese Einigkeit auch für den Arzt-,
Ingenieur-, Politikerberuf und für Positionen
in der Wirtschaft, so dass hier mit Konkurrenz
zu rechnen ist. Das stellt uns vor die
Aufgabe, wie wir die Zweitbesten auch für
den Lehrberuf qualifizieren können – oder
vor die Frage, auf welche Teilqualifikationen
des Allroundspezialisten Lehrer man getrost
verzichten kann, wenn man die heutige Informationstechnik
auch für das Lernen einsetzt.
Vorab sollten wir vielleicht nicht mehr
von Lehrern sondern von Lernbetreuern reden,
denn die meisten anderen, derzeitig von
Lehrern erwarteten Tätigkeiten lassen sich
leicht unter Steigerung der durchschnittlichen
Qualität wegrationalisieren. Dabei soll nicht
verschwiegen werden, dass damit eine Ver-
Sites
Vom 19. ins 21. Jahrhundert — Ändert das Internet die Chancen?
änderung des Berufsbilds verbunden ist, wie
sie vergleichbar der Übergang vom Schuhmacher
zum Arbeiter in der Schuhfabrik
zeigt.
Ist die Umstellung des Lernens wirklich so
einfach? Spiele im Internet haben eine große
Klientel. Schon einige Zufallsproben zeigen,
wie hart um vordere Plätze auf der jeweiligen
Scoreliste gekämpft wird. Warum machen wir
nicht einen Teil dieser Motivation für das Lernen
fruchtbar? Auf einer Verbraucherausstellung
vor einigen Jahren konnten die Besucher,
gesponsert von der Commerzbank, an
einem Wettbewerb "2 Minuten Wirtschaftswissen"
teilnehmen. Der erste Preis: Ein Tagesausflug
in die Zentrale der Commerzbank
in Frankfurt. Die drei Computer waren umlagert
von Wartenden. Die Zahl der Teilnehmer
am Mathe-Känguru nimmt jedes Jahr zu, —
und die Teilnehmer bezahlen dafür, dass sie
20 Matheaufgaben lösen dürfen.
Wenn wir warten, bis KMK und IQB am grünen
Tisch überprüfbare Bildungsstandards
per ordre de Mufti entwickeln, verschenken
wir wertvolle Zeit und die Freiheit, selbst auf
die Entwicklung Einfluss zu nehmen. Ein
Dutzend Leute, die gemeinsam an diesem
Thema arbeiten, können den Stein ins Rollen
bringen. Vorbild für eine unserer Zeit angemessenen
Art und Weise, konkrete Bildungsstandards
zu entwickeln, ist die open-source-
Bewegung. Sie kanalisiert die Intelligenz von
Tausenden und lässt überzeugende Lösungen
entstehen. LINUX und OpenOfficeorg
sind Beispiele. Warum sollte es bei Bildungsstandards
nicht gelingen?
Wer hilft mit, dass aus dem Traum Wirklichkeit
wird? Kontakt: nestle1@t-online.de
[1] http://www.bildungsstandards.de (online seit 21.10.2002; Kernbeitrag
http://www.bildungsstandards.de/manifest.htm)
[2] http://www.dipf.de/aktuelles/expertise_bildungsstandards.pdf (online seit 18.2.2003; eine Ausarbeitung
im Auftrag des BMBF)
[3] http://www.kmk.org/aktuell/Bildungsstandards/Mathematik04072003.pdf (online seit 3.12.2003; inzwischen
durch Bildungs-"Standards" für weitere Altersstufen ergänzt; der Ort der Seiten hat sich mehrfach
geändert; Link deshalb vermutlich falsch)
[4] http://www.bildungsstandards-bw.de (online seit 19.5.2003; Beispiel für regional-föderalistische Umsetzung)
149

� Das CAS-basierte DGS Feli-X zur Vernetzung von
Algebra und Geometrie
1 Einleitung
Mathematik ist eine Schlüsseldisziplin der
modernen technisierten Welt, ihr Wirken
bleibt aber meist im Verborgenen. In der
Form von dynamischen Geometrieprogrammen
(DGS) folgen selbst Lernprogramme
diesem Trend. Ihr ursprünglicher Ansatz entsprang
dem Geist der synthetischen Geometrie.
Für die Realisierung im Computer
musste diese freilich algebraisch gefasst
werden. Diese Mathematisierung bleibt aber
weitgehend verborgen (auch wenn ihre Folgen,
z.B. bei der Auswahl von Lösungen,
immer mal wieder an der Oberfläche kratzen).
Innerhalb der Mathematik wiederum ist
die Algebra die Disziplin, die dem Computer
mathematische Inhalte erschließt, ihre Bedeutung
wächst daher ständig, obwohl ihre
Sichtbarkeit geringer wird. Folgerichtig reduzieren
beispielsweise die neuen niedersächsischen
Rahmenrichtlinien den Anteil der Algebra
am Curriculum. Es ist meine Überzeugung,
dass die Erneuerung der Schulalgebra
eine der wichtigsten didaktischen Herausforderungen
darstellt. Ein wesentlicher Bestandteil
sollte das Aufzeigen der vielfältigen Vernetzung
der Algebra mit anderen Gebieten
sein.
In der Geschichte der Mathematik sind Geometrie
und Algebra eine erfolgreiche Wechselbeziehung
eingegangen. Diese ist heute
zwar schlecht beleumundet (so wird etwa
von einem "nur rechnerischen Beweis" einer
geometrischen Aussage im Gegensatz zu einem
"richtigen Beweis" gesprochen; — m.E.
sind beide Aspekte wichtig, die Reduktion auf
einen der beiden Aspekte bringt die Schüler
um Vernetzungsmöglichkeiten), aber aus der
Sicht der Anwendungsorientierung ist sie
fundamental. Leider bewirkt die Verwendung
aktueller Lernsoftware für den Mathematikunterricht
eine deutliche Divergenz beider Bereiche.
Die Behandlung von Parabeln mit
DGS und mit CAS ist so unterschiedlich,
150
Reinhard Oldenburg, Göttingen
Viele Probleme lassen sich sowohl mit Computeralgebrasystemen als auch mit dynamischen
Geometrieprogrammen behandeln. Die enge Wechselwirkung von Geometrie und
Algebra wird aber am deutlichsten, wenn das verwendete Werkzeug algebraische und
geometrische Zugänge integriert, wie dies bei Feli-X der Fall ist.
dass es Schülern schwer fällt, das Gemeinsame
in den Blick zu kriegen.
In dieser Situation soll der Prototyp Feli-X eines
CAS-basierten DGS aufzeigen, dass es
technische Optionen gibt, die den Brückenschlag
schaffen und so ein integrierendes
Arbeiten ermöglichen.
2 Der Ansatz von Feli-X
Die Grundidee von Feli-X wurde bereits im
Tagungsband 2002 dargestellt (Oldenburg
2002), so dass hier nur eine Kurzcharakterisierung
vorgenommen werden soll.
Die Arbeit mit Feli-X geschieht in zwei Fenstern,
zum einen einem Mathematica-Notebook
für algebraische Rechnungen (kurz Algebrafenster)
und einem Geometriefenster,
das ähnliche Möglichkeiten bietet wie andere
DGS auch. Beide Fenster werden bidirektional
synchron gehalten. Die Änderung von
Koordinaten im Zugmodus oder die Erstellung
neuer Objekte im Geometriefenster wirkt
sich unmittelbar im Algebrafenster aus. Dort
stehen u.a. folgende Variablen zur Verfügung:
Objects: Die aktuell vorhandenen geometrischen
Objekte
Vars: Die Variablen der Objekte
Co: Die aktuellen Koordinaten der Objekte
DGAncestors: Der gerichtete Graph der Konstruktion
Equations: Die Gleichungen, die zwischen
den Variablen gelten.
An diesen Variablen darf der Benutzer rumfummeln.
Wenn er den Graphen in DGAncestors
ändert, werden einige der wählbaren
Zug-Strategien ihr Verhalten ändern. Wenn
die Koordinaten geändert werden, bewegt
sich das Bild im Geometriefenster. Wenn eine
weitere Gleichung hinzu gefügt wird, ist

die Bewegungsfreiheit der Konstruktion
eingeschränkt. Gerade dieses
Feature ist auch für jüngere Schüler
interessant, da es erlaubt, die Bedeutung
einer Gleichung mit der Maus erfahren
zu können. Im Gegensatz zum
(auch sehr wichtigen) impliziten Plotten
ermöglicht das einen operativen
Zugang zur Exploration von Gleichungen.
3 Ein Beispiel
Ein etwas ausführlicheres Beispiel
(siehe Abb. 1 für das zugehörige Geometriefenster
und Abb. 2 für das Algebrafenster)
soll die Arbeit mit Feli-X
erläutern. Man frage sich nach dem
Radius des Krümmungskreises, der
sich an eine Parabel (jede andere
Kurve könnte genau so behandelt
werden) anschmiegt. Es ist schnell
klar, dass der Kreismittelpunkt auf der
Normalen durch den Berührpunkt
liegt, — aber wo da? Die Analogie zur
Sekantensteigung kann einen auf die
Idee bringen, gleich zwei Normalen
auf die Kurve zu setzen. Und in der
Tat, wenn man den einen Punkt längs
der Kurve durch den anderen bewegt,
gewinnt man den Eindruck, dass der
Schnittpunkt der beiden Normalen ein
vernünftiges Grenzwertverhalten
zeigt. Also konstruiert man den
Schnittpunkt der Normalen. Aus den
Equations kann man den Abstand
dieses Schnittpunktes zu einem der
Punkte auf der Kurve mit Mathematicas
Solve-Befehl ausrechnen lassen.
Der Grenzprozess muss noch durchgeführt
werden: Man lässt mit Limit
die Koordinaten der beiden Kurvengleiter
gegeneinander laufen und erhält
einen Term für den Krümmungsradius.
4 Lösungsmengen
Neben das Konzept der Ortslinie, das es in
herkömmlichen DGS gibt, tritt in Feli-X zusätzlich
das Konzept der Lösungsmenge. Eine
Konstruktion in der Form der erzeugten
oder vom Nutzer explizit eingegebenen Gleichungen,
kann die Bewegungsfreiheit eines
Punktes einengen. Immer wenn man feststellt,
dass sich ein Punkt nur noch auf einer
Das CAS-basierte DGS Feli-X zur Vernetzung von Algebra und Geometrie
Abb. 1
Abb. 2
Kurve verschieben lässt, ist das passiert —
und dann kann man sich den möglichen Orbit
komplett als "Lösungsmenge" anzeigen lassen
(siehe Bild).
Die herkömmlichen Ortslinien sind ein funktionales
Konzept: Man fragt sich nach der
Wertemenge eines abhängigen Punktes unter
der durch die Konstruktion gegebenen
Abbildung, wenn ein Ausgangspunkt auf einer
bestimmten Menge (z.B. Gerade oder
Kreis) variiert. Bei Feli-X braucht es einen
151

Reinhard Oldenburg
solchen "Steuerpunkt" nicht unbedingt zu geben:
Es ist nur ein Punkt involviert, der irgendwie
eingeschränkt ist. Die Lösungsmenge
ist ein relationales Konzept, die zeigt die
Menge der Koordinatenpaare, die der Relation
genügen.
Operativ wird der Unterschied besonders
deutlich: Bei Ortslinien zieht man am Argumentpunkt
(der bis auf eine Bindung frei ist);
bei der Lösungsmenge zieht man
(gedanklich) an dem einen Punkt.
152
Abb. 3
Abb. 4
Es ist keineswegs meine Absicht, eine
Überlegenheit des Konzepts der
Lösungsmengen gegenüber dem der
herkömmlichen Ortslinien zu behaupten;
— ganz im Gegenteil. Im
Sinne einer genetischen Begriffsbildung
ist es sinnvoll, mit den Ortslinien
anzufangen. Für einen voll entwickelten
Begriff des geometrischen
Ortes sind aber auch die relationalen
Aspekte wichtig.
Ein leistungsfähiges CAS im Hintergrund
ermöglicht, eine Gleichung der
Kurve in symbolischer Form (inklusive
Abhängigkeit von eventuellen Parametern)
ausgegeben zu bekommen.
In Abbildung 3 wurde eine
Strecke der Länge 5 konstruiert, deren
Endpunkte auf den Koordinatenachsen
liegen. Der Lotfußpunkt vom
Koordinatenursprung aus lässt sich
dann nur noch eingeschränkt mit der
Maus bewegen (in herkömmlichen
DGS ließe er sich allerdings gar nicht
direkt bewegen). Es wurde dann die
Lösungsmenge für diesen Punkt gezeichnet,
und in Abbildung 4 sieht
man auch die von Feli-X bestimmte
Gleichung.
5 Schlussbetrachtung
Feli-X ist ein innovativer Zugang zum
explorativen Arbeiten mit Mathematik.
Die Stärke des Systems, seine
Flexibilität und Offenheit, kann, so
wird immer wieder gefürchtet, auch
seine Schwäche sein: Bleibt das
System vernünftig bedienbar, wenn
ein unerfahrener Nutzer damit arbeitet?
Dies wird sich zeigen, wenn die
Weiterentwicklung soweit gediehen
ist, dass erstmals Schüler mit dem
System arbeiten können. Neben einer
Reifung der Software müssen
dazu auch tragfähige didaktische
Konzepte erarbeitet werden.
Literatur
Oldenburg, Reinhard (2002): Feli-X: Ein Prototyp
zur Integration von CAS und DGS. In: Peter
Bender et al. (Hrsg.) (2002): Lehr- und Lernprogramme
für den Mathematikunterricht. Hildesheim:
Franzbecker, 123–132

� Mathematik lernen im Internet —
eine philosophische Betrachtung vom Standpunkt
moderner Erkenntnistheorie
Reinhard Oldenburg, Göttingen
Das Internet als Lernumgebung kann mit philosophischen Theorien analysiert werden,
die zwar ursprünglich zur Beschreibung von Erkenntnisleistungen in herkömmlichen Umgebungen
entwickelt wurden, aber in ihren fundamentalen Aussagen universell sind. Besonders
die evolutionäre Erkenntnistheorien und die naturalisierte Erkenntnistheorie nach
W.v.O. Quine sind geeignet Kriterien zu entwickeln, mit denen Internet-Lernumgebungen
kritisch bewertet werden können.
1 Einleitung
Im Sinne intellektueller Redlichkeit sollte ein
Autor die Motive seiner Arbeit offen legen. Im
vorliegenden Falle liegt das Motiv in der Beobachtung
des mittlerweile intensiven Einsatzes
des Internet quer durch das Fächerspektrum
des Schulunterrichts. Nach meiner
subjektiven Einschätzung bleibt der dauerhafte
Lernertrag dabei aber oft hinter den
Hoffnungen zurück. Dies deckt sich mit meiner
Selbstbeobachtung bei Lernprozessen.
Ich nutze das Internet intensiv für Literaturrecherchen,
als Nachschlagequelle und zum
Download von Dokumenten, Programmen
etc. Trotz mehrerer Versuche ist es mir aber
bisher noch nicht gelungen, mir substantielle
mathematische Inhalte aus dem Internet online
neu anzueignen. Da ich aber auch ein intensiver
Computernutzer bin und vieles mit
neuen Medien (vor allem CAS) gelernt habe,
unternimmt dieser Aufsatz den gewagten
Versuch, von philosophischen Betrachtungen
zu einer Erklärung dieses Sachverhaltes zu
kommen. Gleichzeitig sollen Kriterien bestimmt
werden, durch die sich die Möglichkeit
sinnvollen Lernens abstecken lässt.
Die hier vorgestellten Theorien führen vor allem
zu Vorbehalten gegen das Internet als
Unterrichtsmedium im Schulunterricht. Nicht
oder wenig von der Kritik betroffen sind:
• Internet als Plattform der Veröffentlichung
von Schülerprodukten,
• Internet als — kritisch zu sehende — Faktenquelle,
• Internet als Quelle von Anregungen (z.B.
Applets),
• Universitärer Einsatz.
2 Evolution
Evolutionäres Denken ist m.E. für Didaktiker
essentiell, da es klar macht, dass alles Wissen
hypothetischer Natur ist. Dies führt zu
einer pragmatischen Sicht, die sowohl einer
praxis-orientierten Wissenschaft als auch der
praktischen Lehre ein tolerantes Gesicht verleiht.
Es gibt in der Literatur verschiedene Auffassungen
über die Mechanismen der Evolution,
insbesondere im Hinblick auf die kognitive
Entwicklung. Diese lassen sich schlagwortartig
verkürzen zu:
A) Die evolutionäre Anpassung ermöglicht
dem kognitiven Apparat, die Außenwelt im
Individuum wider zu spiegeln.
B) Die Wahrnehmung liefert Information, aus
der eine individuelle Repräsentation der
realen Außenwelt konstruiert wird, die einen
Überlebensvorteil liefert.
C) Das Individuum gewinnt keine Information
über seine Umwelt, es überlebt nicht der
Angepasstere, sondern der Überlebende.
Im Vortrag habe ich die Zuhörer gebeten, die
Position zu benennen, die ihrer Vorstellung
von Evolution entspricht. Die Zahlen waren
A: 6, B: 9, C: 2, bei einigen Enthaltungen. Die
kodierten Positionen sind die von Konrad Lorenz
(A), der modernen evolutionären Erkenntnistheorie
(B) und des radikalen Konstruktivismus
(von Glasersfeld) (C). Es erstaunt,
dass die Gemeinde der Mathematikdidaktiker
ihre eigene Mainstream-Ansicht so
wenig schätzt.
153

Reinhard Oldenburg
3 Evolutionäre Erkenntnistheorie
Immanuel Kant ist ein Klassiker der Erkenntnistheorie.
Ein wesentlicher Beitrag ist die
klar ausgedrückte Erkenntnis, dass nicht alles
Wissen in einem simpel-empiristischen
Bild einfach aus der Welt aufgenommen werden
kann, da jede Wahrnehmung Voraussetzungen
hat (die Apriori der Erkenntnis), z.B.
die Anschauungsformen Raum und Zeit, die
eben nicht aus der Beobachtung entnommen
sein können.
Konard Lorenz hat vorgeschlagen, dass die
Kantschen Apriori als Aposteriori der Evolution
aufgefasst werden können. Dieses Programm
einer evolutionären Erkenntnistheorie
wurde von Riedl, Vollmer, Wuketits u.a. in
unterschiedlichen Variationen ausgearbeitet.
Aus dem Spektrum dieser, teilweise auch untereinander
nicht kompatibler Ausprägungen,
wähle ich im folgenden eklektisch nach persönlicher
Vorliebe aus. Die Aussagen werden
der Kürze wegen auch nicht belegt (siehe
(Oldenburg 2003) für ein ambitionierteres
Herangehen). Kernthesen der so verstandenen
evolutionären Erkenntnistheorie sind:
Hypothetischer Realismus: Obwohl Wahrnehmungen
keinen Zugang zur Welt an sich
ermöglichen, kann man aufgrund des Anpassungsprozesses
hypothetisch davon ausgehen,
dass es eine Realität hinter den Erscheinungen
gibt. Die Welt besitzt Strukturen,
die unserer Sinnesorgane affizieren
(wenn diese sie auch nicht treu abbilden).
Intelligenz ist eine Anpassungsleistung an
die Umwelt. Sie ermöglicht eine aktivere Rolle
des Individuums.
Der Vorgang der Wahrnehmung ist konstruktiv
interpretierend.
Lernen ist ein individueller Vorgang, ermöglicht
durch evolutionär ausgebildete Strukturen
des Gehirns.
In der Ausarbeitung dieses Programms wurde
eine Reihe von Prinzipien formuliert, die
dem Erkenntnisprozess eigen sind. Zwei davon
(aus Riedls Werk) sollen jetzt mit Blick
auf das Internet angewendet werden:
Hypothese vom Vergleichbaren: Dies bezeichnet
die Tendenz des Erkenntnisapparates,
ähnlichen Wahrnehmungen auch ähnliche
Ursachen und ähnlichen Handlungen
auch ähnliche Folgen zu unterstellen. Diese
Strategie kommt im Internet offensichtlich an
ihre Grenzen, da das Medium einem extrem
schnellen Wandel der Inhalte unterliegt. Auch
gibt es kaum eine Korrelation von Form und
154
Inhalt, so dass die Wahrnehmung von Ähnlichkeiten
kaum ein Hinweis auf z.B. ähnlich
verlässliche Inhalte sind.
Konstanzleistungen: Dies bezeichnet die
Tendenz des Erkenntnisapparates, Invarianten
teilweise sogar bei variierenden Reizlagen
zu konstruieren. Verwandt damit ist die
Erwartung, sich wiederholende Strukturen zu
finden. Hier stellt die extreme Inhomogenität
des Internets ein Problem dar.
4 Quines naturalisierte Erkenntnistheorie
Willard van Orman Quine gilt allgemein als
der einflussreichste amerikanische Philosoph
des 20. Jahrhunderts. Sein umfangreiches
Werk soll hier auf einige Aspekte reduziert
werden, die in Hinblick auf das Lernen im Internet
relevant sind.
Web of belief: Quine hält alles Wissen für
hypothetisch, auch die Mathematik. Die kognitiven
Inhalte sind in einem Netz verknüpft,
das an den Rändern von Erfahrungen bestimmt
wird, ansonsten aber durch innere
Gesetzmäßigkeiten bestimmt ist.
Semantischer Holismus: Diese Position wird
gelegentlich zu "alles hängt mit allem zusammen"
verkürzt. Um eine bessere Vorstellung
zu bekommen, versetze man sich z.B. in
die Lage eines Physikers. Nach naiver Auffassung
kann er mit seinen Experimenten
Theorien verifizieren oder falsifizieren. Popper
hat dagegen schon eingewendet, dass
eine Verifikation unmöglich ist. Quine geht
weiter und bezweifelt auch die eindeutige
Falsifikation. Falls nämlich Beobachtungen
zu einem Widerspruch führen, ist zwar klar,
dass etwas falsch sein muss, aber es ist
nicht klar, wo im Theoriegefüge Änderungen
vorgenommen werden müssen. Zwar hat
man es meist mit einer fraglichen Theorie gegenüber
einem akzeptierten Theoriefundus
zu tun, aber diese Einteilung ist nur pragmatisch.
Wie lernen wir Sprache? Im Grunde
unterscheidet sich die Position des Kleinkindes
bei seinen Sprechversuchen nicht von
der des Physikers. Eine Konsequenz ist die
"Unbestimmtheit der Übersetzung": Es ist unmöglich,
überindividuelle Bedeutungsgleichheit
exakt zu bestimmen, dies geht nur in einem
Approximationsprozess. Eine weitere
Konsequenz der Unbestimmtheit: Einzelne
Wörter bzw. Sätze sind in der Regel zu klein
als bedeutungstragende Einheiten.
Ontologische Relativität: Ontologische Aussagen
sind nach Quine sehr wichtig, da sie

die Bedeutung vieler sprachlicher Konstrukte
bestimmen, sie sind aber nur relativ zu einem
Bezugsrahmen sinnvoll. Eine absolute Ontologie
ist uns nicht zugänglich. Er weist z.B.
darauf hin, dass Atome nicht weniger als
Homers Götter menschliche Setzungen sind.
Innerhalb eines Bezugsrahmens allerdings
kann mit Wörtern referenziert werden.
In einigen Aspekten ist Quines Werk wenig
attraktiv, z.B. in seiner Neigung zu einer behavioristischen
Sicht des Spracherwerbs. Interpretiert
vor dem Hintergrund seines Gesamtwerks
erscheint diese aber in einem
gänzlich anderen Licht als der schlichte Ansatz
von Skinner.
5 Folgerungen =
Forderungen
Nun soll die eben ausgebreitete Theorie auf
das Lernen im Internet angewendet werden.
Die Bedeutung von Theorien (im weitesten
Sinne) wird durch ihre Vernetzung im web-ofbelief
gegeben. Um Bedeutung zu fixieren,
braucht man darin viele Fäden. Die Verlinkung
im Internet ist etwas anderes als die
hier angesprochene Vernetzung. Um Bedeutungen
fest zu ziehen, braucht man, was
man eine Big-Footprint-Vernetzung nennen
könnte, es müssen möglichst viele Fäden ein
Selektionsfeld herstellen, in dem sich die Selektion
im Reich der individuellen Hypothesen
effektiv abspielen kann. Hypothesen
können nicht eindeutig falsifiziert werden. Sie
können deshalb Auferstehung feiern, und
dann ist es wichtig, im eigenen Lernweg zurückgehen
zu können. Das ist dann besonders
gut möglich, wenn die ursprüngliche Selektionsumgebung
z.B. in Form bedruckten
Papiers noch vorliegt. Die Flüchtigkeit des Internets
und die schnelle Veränderung seiner
Inhalte ist deshalb ein kritischer Punkt, der es
signifikant von anderen, z.B. CD-ROM-gestützten
Lernumgebungen unterscheidet.
Beim Projekt MaDiN wurde die Beobachtung
gemacht (s. Wittmann 2003), dass Studenten,
die mit einer virtuellen Lernplattform arbeiten,
dazu neigen, die Seiten komplett auszudrucken.
Dies ist nach unserer bisherigen
Diskussion eine äußerst vernünftige Strategie.
Die Studenten stellen Dauerhaftigkeit
her, sie können auf dem Material ihren Lernweg
dokumentieren und so aus den fremden
Produkten eigene machen, sie sich einverleiben.
Nehmen wir noch einmal die Problematik der
Bezugsrahmen auf: Deren Leistung, als onto-
Mathematik lernen im Internet — eine philosophische Betrachtung
logischer Rahmen bedeutungsstiftend wirken
zu können, hängt an ihrer Vernetzung, an der
Verwirkung der involvierten Hypothesen. Um
einen Begriffsabgleich z.B. zwischen einem
Nutzer und einem Computerprogramm herzustellen,
muss es ausreichend Interaktionsmöglichkeit
geben, das ist das Prinzip der
Bereitstellung von Operationsmöglichkeiten.
Diese Operationen selbst sollten möglichst
klar sein, so dass sie nicht zu einem aufwändigen
Forschungsgegenstand werden müssen.
Dies ist das Prinzip der Transparenz. Es
begrenzt zum einen den Einsatz von Black-
Boxes, und zum anderen erlaubt es, konkrete
Forderungen an das Softwaredesign von
Lernprogrammen zu stellen. Als relativ
unspektukaläres Beispiel sei die Zugstrategie
von dynamischen Geometrieprogrammen
diskutiert. Es wurde erhebliche Energie investiert
in den Versuch, eine gute Entscheidungsstrategie
für mehrdeutige Situationen
zu finden. Es gibt auch viele mathematische
Gründe, diese Diskussion zu führen. Aus didaktischer
Sicht dagegen bedeuten Entscheidungssituationen,
dass unterschiedliche
Erwartungen im Bewusstsein des Nutzers
konkurrieren können, und die Synchronisation
wird erschwert, wenn das System nach internen
Gesetzmäßigkeiten seine Wahl trifft,
ohne diesen Vorgang transparent zu machen.
Es wäre viel besser, wenn das Programm
den Nutzer informieren würde, dass
es eine Entscheidung für ihn getroffen hat,
und ihm die Option anbieten würde, sich
auch die anderen Möglichkeiten anzusehen.
In dem prototypischen DGS Feli-X gibt es in
einigen Zugmodi einen (noch recht rudimentären)
"next"-Button, mit dem man zur nächsten
möglichen Konfiguration wechseln kann.
Das Prinzip der Transparenz fordert ferner,
die Fäden des web-of-belief aufzeigen. Der
Holismus ist nämlich nicht total: Die Vernetzung
hat ihre eigenen Strukturen, und es ist
eine Aufgabe der Wissenschaft, diese so
weit wie möglich zu klären (auch wenn es
dabei prinzipielle Hürden gibt). Die Mathematik
besitzt ein Standardverfahren zur Netz-
Forschung: Die systematische Beschränkung.
Sie zeigt sich in den Bemühungen,
Sätze mit möglichst wenig Voraussetzungen
— oder bereits bewiesene Sätze mit gänzlich
anderen Mitteln erneut zu beweisen. Dieser
Wesenszug wird m.E. in den üblichen Katalogen
fundamentaler Ideen der Mathematik
nicht ausreichend deutlich, ich nenne ihn
deshalb eine vergessene fundamentale Idee
(Peter Bender hat mich allerdings dankenswerter
Weise darauf hingewiesen, dass es
eine Nähe zur fundamentalen Idee der Reduktion
gibt).
155

Reinhard Oldenburg
Mittlerweile, so könnte es scheinen, haben
wir uns im Hinblick auf das Software-Design
in eine ausweglose Konkurrenzsituation hineinargumentiert.
Auf der einen Seite steht die
Forderung nach einer Big-Footprint-Vernetzung,
auf der anderen Seite die nach der
systematischen Beschränkung. Die bisherigen
Ausführungen enthalten aber auch bereits
die Lösung des Dilemmas: Ersteres ist
unverzichtbar zur Etablierung ontologischer
Referenzrahmen (also zur Verankerung neuer
bedeutungstragender Teile), das Zweite ist
sinnvoll, nachdem dieser etabliert wurde. Ein
gutes Beispiel dafür, wie dese Kriterien erfüllt
sein können, bietet Cinderella mit seinen
Möglichkeiten, die Schüler Probleme mit einer
Auswahl von Werkzeugen bearbeiten zu
lassen. Dieser reduktionistische Weg ist sinnvoll,
weil es sich um Werkzeuge handelt, die
vorher semantisch transparent gemacht werden
konnten.
156
Abb. 1
Umgekehrt gibt es natürlich auch viele Beispiele
von Lernumgebungen, die mit einem
zu kleinen Fußabdruck den Lerner im Stich
lassen. Vor allem die Formular-Interaktivität
von simplen Java-Applets oder webMathematica-Seiten
engt den Benutzer zu sehr ein.
Auf der MaDiN-Seite (MadiN 2003) in Abb. 1
kann der Benutzer zwei Funktionen in zwei
Variablen eingeben, deren Funktionsgraphen
dann in ein gemeinsames Koordinatensystem
gezeichnet werden. Es ist unbestritten,
dass Nutzer damit etwas Sinnvolles machen
können (weniger klar ist, warum sie dazu das
teure webMathematica online statt eines
Freeware-Computeralgebrasystems offline
nutzen sollen). Der vorgegebene, vorgedachte
Rahmen ist mit Bedacht gewählt, und
trotzdem ist er zu eng: Kann man die Schnittkurve
hervorheben? Ist meine Überlegung,
wie ich sie ausrechnen kann, richtig? Kann
man beide Graphen durch eine Ebene tren-

nen? Wie ist die Darstellung (Projektion) zu
verstehen; — vielleicht sollte ich eine senkrechte
Hilfsebene mitzeichnen lassen? Bei all
diesen Fragen lässt das Formular den Nutzer
im Stich, es taugt nicht als evolutionäres Feld
der Hypothesenselektion.
Die Verwendung von Formularen wie in der
beschriebenen Seite wird zum einen durch
die technischen Möglichkeiten nahegelegt, ist
zum anderen aber auch Ausdruck einer erstaunlichen
didaktischen Grundhaltung.
Während der Mainstream der Mathematikdidaktik
für Schüler ein stärker selbstgesteuertes
Lernen in offenen Lernumgebungen fordert,
wird in der universitären Lehrerausbildung
die Notwendigkeit einer durch das
Formular geleisteten Engführung betont. Eine
evolutionäre Sichtweise führt dagegen zur
Forderung, universelle Werkzeuge zu erlernen
und zu nutzen (mit denen eigene Hypothesen
effektiv untersucht und selektiert werden
können) und die Hypothesenbildung
durch (elektronische) Arbeitsblätter und
durch ausgearbeitete Beispiele anzuregen;
— die notwendige Lenkung erfolgt dann also
nicht durch das Werkzeug, sondern durch
zusätzliche Lernmaterialien. Die Wichtigkeit
solcher ausgearbeiteter Beispiele erkennt
man, indem man die evolutionäre Sichtweise
als Leitlinie für den eigenen Erkenntnisgewinn
anwendet: Im Informatikbereich gibt es
viele Schüler, die sich komplexe Inhalte autodidaktisch
aneignen (man denke z.B. an die
von vielen Schüler beherrschte Programmierung
von OpenGL, die u.a. das Verständnis
homogener Koordinaten voraussetzt). Solche
Schüler suchen sich ihre Lernumgebungen
selbst, und der didaktisch interessierte Lehrer
kann aus der Beobachtung dieses Prozesses
lernen. Suchen Schüler etwa nach
möglichst klaren Erklärungstexten, sind die
Anhänger der Erklärungsideologie? Suchen
Sie nach Seiten mit möglichst offenen Anregungen?
Weder noch. Die mit Abstand beliebteste
Lernform ist das Lernen am Beispiel,
das Nachmachen und langsam Verändern
hin zu den eigenen Vorstellungen.
Ich habe oben eine MaDiN-Seite kritisiert.
Diese Wahl ist durchaus mit Bedacht getroffen:
MaDiN ist insgesamt von ausgezeichneter
Qualität. Wenn aber ein mit so viel Überlegung
gemachtes Angebot suboptimal ist,
dann zeigt das m.E. ein Grundproblem des
"Lernort Internet" auf. Ebenfalls am Beispiel
MaDiN lässt sich zeigen, dass die unübersichtliche
Struktur eines Hypertextes dazu
führen kann, dass trotz etablierter Qualitätskontrolle
fachlicher Unsinn ins Netz gelangen
kann. Vermutlich sind die von mir gefundenen
Dinge längst korrigiert. Es bleibt der
Mathematik lernen im Internet — eine philosophische Betrachtung
Nachteil, dass der Lerner keine Dokumentation
der Änderung hat. Wenn er nach ein
paar Monaten zurückkommt und das Gefühl
hat, das Gegenteil dessen zu lesen, was vor
ein paar Monaten da stand, bleibt er damit alleine.
Bei einem Buch könnte er, wenn ihn
die Frage denn ernsthaft bedrückt, die Geschichte
der verschiedenen Auflagen studieren.
In seiner Schnelllebigkeit ist das Internet geschichtslos
und, was bisher noch gar nicht
angesprochen wurde, es ist extrem unpersönlich.
Dies führt zu Konflikten mit der Erwartung
vom Vergleichbaren. Wenn man ein
Buch oder einen Aufsatz liest, erwartet man
eine gewisse Gleichartigkeit der Argumentationen
und versucht diese herzustellen (Konstanzerwartung).
Dies ist auch vernünftig,
denn wenn all diese Gedanken von einem
Menschen stammen, sollten sie sich halbwegs
passend ordnen lassen. Diese Sichtweise
wird problematisch, wenn man analoge
Vergleichbarkeit an anderer Stelle erwartet
(wenn etwa von "der Meinung des Spiegel"
gesprochen wird). Diese Erwartung wird
aber selbst von seriösen Internetangeboten
tiefgreifend enttäuscht. Mit der generellen
Seriosität eines Angebots steigt die Zahl der
involvierten Autoren. Der Leser hat also nicht
mehr die Spur einer Chance, Bedeutungsnuancen
zwischen verschiedenen Autoren zu
detektieren.
Physikalisch interessierte Leser können sich
durch eine einfache Metapher die bisher ausgearbeitete
Kritik verdichten in der Form,
dass die Korrelationslänge des Internets zu
klein ist.
6 Konstruktivismus?
Der Leser mag sich fragen, warum bisher
nicht die konstruktivistische Erkenntnistheorie
thematisiert wurde. Die vollständige Antwort
wird in einer Analyse des Konstruktivismus
enthalten sein, die gegenwärtig in Vorbereitung
ist (Oldenburg 2003). Hier nur einige
Bemerkungen dazu: Die Didaktik profitiert
enorm vom Konstruktivismus, z.B. beim Verständnis
von Fehlvorstellungen. Zentral für
die Leistungen des Konstruktivismus ist dabei
das Verständnis des Wissenserwerbs als
individuelle Konstruktion. Diese Position ist
aber Gemeingut unter vielen moderneren
Ansätzen, z.B. den hier vorgestellten. Die
weitergehenden Positionen des Konstruktivismus
sind für die Didaktik unzureichend
oder irrelevant. Für die hier geführte Diskussion
leidet der Konstruktivismus an einer we-
157

Reinhard Oldenburg
niger detaillierten Vorstellung zur Wechselwirkung
Medium und Individuum. Außerdem
führt der Konstruktivismus zu einer systematischen
Unterschätzung der Bedeutung der
Eigenaktivität des Lerners (die ausführliche
Begründung dieser möglicherweise als erstaunlich
empfunden Aussage erfolgt in der
oben zitierten Arbeit).
7 Das Internet als Anregung
Hier sollen exemplarisch einige Nutzungsmöglichkeiten
des Internets im Mathematikunterricht
aufgezeigt werden, die in keiner
Weise von der zuvor geäußerten Kritik getroffen
sind. Als Bestandteile der Lebenswelt
der Schüler und Schülerinnen eignet sich das
Internet als Quelle von Anregungen und als
Thema des Mathematikunterrichts, gerade
auch in Hinblick auf fächerübergreifende Projekte.
Terme kommunizieren
In den Anfangszeiten des Internet wurden
Formeln oft als gif-Bilder in Seiten eingebunden.
Man kann mit den Schülern Vor- und
Nachteile eines solchen Vorgehens diskutieren
und sich die Repräsentation von Termen
in verschiedenen Systemen anschauen:
• "Standard"-Formeleingabe im PC: a*x^2/3
• Lisp (Maxima). (* a (^ x (/ 2 3) ) )
• TeX: $a*x^{3/2}$
• Mathematica:
Times[a,Power[x,Rational[2,3]]]
Man kann hier Anforderungen diskutieren,
neue Repräsentationsformen erfinden und
z.B. mit den ausufernd langen Kodierungen
in MathML vergleichen.
Spam-Filter
Die gegenwärtige Entwicklung zur Stärkung
der Bayes-Statistik in der Schule (z.B. neue
niedersächsische Rahmenrichtlinien) erfordert
sinnvolle Projekte, die dies unterstützen.
158
Was ist Spam? Die Antwort darauf erfordert
eine Individualisierung. Menschen unterscheiden
sich nun einmal in der Art der Mail,
die sie lesen wollen. Lernfähige Spamfilter
kann man z.B. folgendermaßen bauen: Der
Nutzer klassifiziert in einer Trainingsphase
eingehende Mail als Spam oder Ham (das ist
die erwünschte Mail). Auf diese Art findet
man die bedingten Wahrscheinlichkeiten einer
Klasse von Wörtern in Spam und in Ham.
Auf der Grundlage dieses Wissens kann die
Bayes-Formel angewendet werden:
P(Spam|"Viagra") =
P("
Viagra"
Spam)
P("
Viagra"
Spam)
+
P("
Viagra"
Ham)
Verallgemeinert auf viele Bewertungswörter
kann man so eine gute Erkennungsrate erreichen.
Eine reale Anwendung findet man
z.B. im Mozilla-Junk-Mail-Filter.
8 Zum Schluss
Dieser Aufsatz spannt einen weiten Bogen,
der Leser entscheide, ob es gar ein zu weiter
Bogen ist. Unbestreitbar dürfte sein, dass
sich die Strukturen des Gehirns und damit
die Prinzipien seiner kognitiven Leistungen in
einer Umgebung evolutionär herausgebildet
haben, die von den heutigen gesellschaftlichen
Realitäten und erst recht von der virtuellen
Realität des Internets weit entfernt ist.
Literatur
MaDiN — Mathematikdidaktik im Netz (2003),
www.madin.net, gelesen 24.9.2003. Die Seiten
sind mittlerweile deutlich geändert.
Oldenburg, Reinhard (2003): Realistischer Konstruktivismus.
Göttingen: Preprint
Quine, Willard van Orman (1975): Ontologische
Relativität und andere Schriften. Stuttgart:
Reclam
Riedl, Rupert (1988): Biologie der Erkenntnis.
München: dtv
Wittmann, Gerald (2003): Wie lernen Studierende
in internetgestützten Lehrveranstaltungen? In
diesem Band
Weitere Literatur zu den philosophischen Themen
findet sich in Oldenburg (2003)

� Integration des Internets im Mathematikunterricht
unter Berücksichtigung von Aspekten der Handlungsorientierung
am Beispiel der Behandlung von Korrelation
und Regression in der Jahrgangsstufe 11
Andreas Pallack, Soest
Dieser Beitrag beschäftigt sich mit einer Lernumgebung zur schulischen Beschreibenden
Statistik unter Berücksichtigung der neuen Medien. Grundlage ist eine Unterrichtsreihe in
der Jahrgangsstufe 11. Der Kurs wurde unter Nutzung des Mediums Internet und eines
CAS-Werkzeugs unterrichtet. Der Unterricht wurde methodisch so angelegt, dass selbstregulierende
Prozesse zur Konstruktion tragfähiger Begriffe durch eine den Schülern
vorgegebene Organisationsstruktur angeregt und z.T. auch durchlaufen wurden.
1 Einleitung
"Bei gesellschaftlichen, politischen und
wirtschaftlichen Fragen wird heute zunehmend
mit statistischen Daten argumentiert.
Zeitungen, Zeitschriften
und Fernsehen verwenden Tabellen,
graphische Darstellungen, Mittelwerte
und Anteilsangaben, um Informationen
zu übermitteln. Auch im Mathematikunterricht
und in anderen Unterrichtsfächern
treten immer wieder statistische
Daten in Form von Tabellen und
Graphiken auf, die der Schüler richtig
lesen und interpretieren soll. Dazu sind
Sachkenntnisse erforderlich." (Kütting
1994, 9)
Die zunehmende Informationsflut und das
Wachstum des verfügbaren Wissens zwingt
uns Methoden zu entwickeln, die es erlauben,
schnell Überblick über große Datenmengen
zu gewinnen. Schülern einige dieser
Methoden an die Hand zu geben, ist ein
zentrales Ziel der schulischen Beschreibenden
Statistik. Im Schuljahr 1999/2000 wurde
diese im Lehrplan der gymnasialen Oberstufe
Nordrhein–Westfalens fest verankert. Offensichtlich
gibt es im Bereich dieses Themenkomplexes
viele Möglichkeiten, handlungsorientierte
Ansätze umzusetzen.
"Die Beschreibende Statistik eignet sich in
besonderer Weise für die Durchführung kleinerer
Projekte aus dem Umfeld Schule. Im
Experiment können Antworten auf wirklichkeitsnahe
Fragen gegeben werden." (NRW
MSWWF 1999, 15)
Schüler können für sie relevante oder interessante
Problemstellungen nicht nur bearbeiten,
sondern sogar von Grund auf erarbeiten.
Sie können aktiv Daten erheben und sie
quantitativ und qualitativ auswerten. Die mathematisch
notwendigen Begriffe können sich
dabei aus dem Wunsch ergeben, den Daten
spezielle Informationen zu entnehmen.
Ziel dieses Beitrags ist es, eine Lernumgebung1
zu Begriffen der Beschreibenden Statistik,
speziell Korrelation und Regression,
vorzustellen und über deren Umsetzung kurz
zu berichten (ausführlicher in Pallack 2003).
Die Entscheidungen, welche schließlich zur
konkreten Planung und Durchführung der
Unterrichtsreihe führten, sollen im Folgenden
systematisch dargelegt werden. Ausgehend
von schulischen Rahmenbedingungen, werden
in einem ersten Schritt das Konzept der
Handlungsorientierung vorgestellt und Vorschläge
zur Realisierung handlungsorientierten
Mathematikunterrichts angeführt.
Im zweiten Schritt wird die Problematik der
Beziehung von Schule und Computer in aller
Kürze umrissen. In der betreffenden Unterrichtsreihe
erfüllten Rechner zwei zentrale
Aufgaben:
• Sie dienten im Unterricht als Werkzeug
(CAS-System) für die Schüler.
• Sie dienten der Präsentation der Ergebnisse
und Meinungen von Schülern.
Da die erste Funktion mittlerweile in vielen
Lehrplänen berücksichtigt und der Einsatz
von Rechnern bzw. grafischen Taschenrechnern
mit CAS in vielen Ländern erlaubt oder
gar vorgeschrieben wird (Weigand & Weth
2002, XI), verzichte ich auf die Darstellung
1 Zur Begriffsklärung: Eine Lernumgebung umfasst das Gesamtarrangement,
das zur Unterstützung von Lernprozessen planvoll gestaltet
werden kann; zu den Komponenten einer Lernumgebung
zählen neben adäquaten Räumlichkeiten die Lehrenden, Lehr- und
Lernmaterialien und natürlich auch Medien in unterschiedlichen
Funktionen (entnommen aus Möller, 1999, 142)
159

Andreas Pallack
der Möglichkeiten von CAS. Einen Überblick
hierzu bieten sie in ihrem Buch zu Computern
im Mathematikunterricht (ebd., Kap. IV).
Die Nutzung des Internets als Publikationsorgan
ist im schulischen Rahmen weitaus
weniger etabliert als der Einsatz von CAS.
Da sie jedoch eine wesentliche Komponente
des vorgestellten Konzeptes ist, habe ich ihr
das 5. Kapitel des vorliegenden Beitrags gewidmet.
Einen Überblick zu Konzepten der Einführung
von Korrelation und Regression im Unterricht
erspare ich dem Leser ebenso wie
Details zur Lerngruppe und Stundenverläufe.
Ich beschränke mich auf einen kleinen Überblick
und einige wenige exemplarische Szenen
des unterrichtlichen Geschehens.
2 Handlungsorientierung
als Konzept für den (all-)
täglichen Mathematikunterricht?
Der Unterricht der Oberstufe ist an Rahmenbedingungen
gebunden. Hierzu gehören u.a.
der 45-Minuten-Takt, die Notwendigkeit der
Notengebung, die beschränkte Möglichkeit,
Schüler außerschulisch mit Arbeiten zu beauftragen,
z.T. große Kurs- und Klassenfrequenzen
oder auch die Lehrpläne, welche
Rahmen für jedes Schulfach festlegen. Veränderungen,
wie sie mittlerweile gefordert
werden, sind jedoch eine Sache von Menschen
und nicht von Papier, wie auch Weigand
(1997, 325) in einer Arbeit zum computergestützten
Lernen herausstellt. Wenig
aussichtsreich scheint es, nicht zuletzt aus
diesem Grund, Konzepte unter Missachtung
oder Beschönigung der genannten Rahmenbedingungen
zu entwickeln. Vielmehr muss
es Ziel sein, auf der Basis des Ist-Zustands
schüleraktive Unterrichtseinheiten zu planen
und so sukzessive Veränderungen "von innen"
herbeizuführen.
Schüleraktivität wird häufig mit Handeln, also
dem sinnvollen Tun des Lernenden, assoziiert.
Im nächsten Kapitel stelle ich deswegen
Beiträge der allgemeinen Didaktik zur Handlungsorientierung
vor und verdichte die Informationen
zur begrifflichen Klärung. Diese
Ausführungen eher allgemeiner Natur werden
dann auf den Mathematikunterricht angewendet
und konkretisiert. Auf der so geschaffenen
Basis werden schließlich einige
Kriterien zur Planung eines handlungsorientierten
Statistikunterrichts entwickelt.
160
2.1 Handlungsorientierung und
Mathematikunterricht
Kann Handlungsorientierung überhaupt ein
akzeptables Konzept für den Mathematikunterricht
sein? Die Vorstellung von dem, was
Handeln ist, steht doch in einem eher ambivalenten
Verhältnis zum primär kognitiv ausgerichteten
Lernen von Mathematik. Obwohl
die folgenden Zahlen bereits recht abgegriffen
sind und die zugrunde gelegte Studie
wohl noch niemand der zahlreichen Zitierenden
gelesen hat (auch Klimsa, 2002, 9, konnte
die Quelle trotz umfangreicher Nachforschungen
nicht ausfindig machen), wage ich
es trotzdem und führe (Gudjons 1997, 55)
an. Die von ihm zitierte empirische Untersuchung
ergab:
Wir behalten
20% von dem, was wir hören,
30% von dem, was wir sehen,
80% von dem, was wir selber formulieren
können,
90% von dem, was wir selber tun.
Ziel müsste es demnach sein, Schüler zum
stetigen sinnvollem Tun zu bewegen. Dies ist
ein Ziel handlungsorientierten Unterrichts.
Handlungen sind direkt gekoppelt mit dem
Aufbau günstiger kognitiver Strukturen. Nähere
Ausführungen hierzu finden sich u.a. bei
(Gudjons 1997). Gegenüber der derzeitigen
Schulrealität, in welcher Schüler häufig dem
Lehrer folgen und jeder Schritt durch eine
starke Abhängigkeit von ihm geprägt ist, soll
handlungsorientierter Unterricht die gesellschaftlich
notwendige Selbstverantwortung
der Schüler fördern und fordern (Gudjons
1998, 108). Der Unterricht wandelt sich vom
linearen zum iterativen Prozess. Umwege
und auch Irrtümer können in ihm als Lernchancen
begriffen werden.
(Handlungsorientierter) Unterricht muss den
Schüler zum Handeln provozieren. Selbsttätigkeit
und die damit verbundene Handlung
führt Schüler zur erwünschten Selbstständigkeit.
Aufgabe des Lehrers ist es, für seine
Ziele geeignete Provokationen zu entwickeln
(im Sinne von Gudjons 1997, 8, kann auch
von Dissonanzen gesprochen werden) und
diese in geeignete Lernumgebungen einzubinden.
Die unterrichtliche Umsetzung von
Lernumgebungen ist unter anderem durch
Sozialformen des Unterrichts geprägt. Passend
erscheint Gruppen- oder Partnerarbeit
(Jank & Meyer 1994, 356, Hole 1998, 11).
Auch Sozialformen eines möglichen Projektunterrichts
sind denkbar (s. hierzu vor allem
Frey 1998).

Handlungsorientierung erhebt nicht den Anspruch,
eine neue Didaktik zu repräsentieren.
Handlungsorientierter Unterricht soll Schülern
den handelnden und aktiven Umgang
mit der gesellschaftlichen Wirklichkeit erlauben
(Gudjons 1998, 103, Beckmann 1999,
79). Verschiedene Autoren setzen dabei unterschiedliche
Akzente bei ihrer Um- und Beschreibung
von Handlungsorientierung (z.B.
Beckmann 1999, 79f). Nicht zuletzt dies
zeigt, dass es sich bei Handlungsorientierung
nicht um ein vollständig ausformuliertes (starres)
didaktisches Konzept handelt (Gudjons
1998, Gudjons 1997, Jank & Meyer 1994,
Meyer 1987). Auch ist das Konzept nicht vollends
revolutionär. Es gibt durchaus Berührpunkte
mit dem exemplarischen, genetischen
Lernen (v.a. Wagenschein 1968) und dem
entdeckenden Lernen (Bruner 1974).
Eine weit verbreitete Merkmalsliste zur Charakterisierung
handlungsorientierten Unterrichts
stammt von Jank & Meyer (1994). Sie
führen sieben Merkmale handlungsorientierten
Unterrichts an, die im Folgenden umrissen
werden.
Hervorgehoben wird, dass Handlungsorientierter
Unterricht ganzheitlich und schüleraktiv
ist. Hierzu gehört sowohl, dass Schüler
Gelegenheit haben, mit allen Sinnen zu lernen,
als auch, dass nicht die Fachsystematik
den Unterricht dominiert (Horstmann, Meyer-
Lerch et al. 1987, 8). Das schließt, was gerade
für den Mathematikunterricht von immenser
Bedeutung ist, nicht aus, dass der Unterricht
systematische Abschnitte enthält. Im
Wesentlichen sollte sich jedoch aus nur wenigen
vom Lehrer entwickelten Vorgaben ein
selbstständiger und von Selbsttätigkeit geprägter
Lernprozess entfalten. Die Notwendigkeit
der Aktivität der Schüler beschreibt
auch Freudenthal (1970, 107ff). Akzentuiert
wird hier der Wandel vom Tun des Lehrers
auf das des Schülers.
Ein weiteres Merkmal ist, dass im Mittelpunkt
des handlungsorientierten Unterrichts die
Entwicklung von Handlungsprodukten steht,
mit denen weitergearbeitet, gespielt und gelernt
werden kann. Handlungsprodukte können
dabei veröffentlichungsfähige materielle
und geistige Ergebnisse der Unterrichtsarbeit
sein. Zu Beginn des handlungsorientierten
Unterrichts steht ein relevantes, unter Berücksichtigung
der Schülerinteressen ausgewähltes
Problem eher kognitiver Natur. Zum
Ende entsteht ein Handlungsprodukt, mit
dem sich Schüler identifizieren können. Gerade
solche Handlungsprodukte sind zur Zeit
im Mathematikunterricht eher selten vorzufinden.
Dabei gibt es auch in diesem Fach
Integration des Internets im Mathematikunterricht
Teilgebiete, die hierzu prädestiniert wären.
Als Beispiel sei die Stochastik angeführt. Da
es nicht Ziel eines adäquaten handlungsorientierten
Unterrichts sein kann, primär Handlungsprodukte
zu schaffen, deren Erstellung
nicht mit den Zielen des jeweiligen Faches in
Einklang zu bringen ist, muss das Spektrum
möglicher Produkte hinreichend eingeschränkt
werden. Handlungsprodukte müssen
in den Rahmen des Unterrichts und der
häuslichen Nacharbeit, also in den derzeitigen
organisatorischen Rahmen, einbettbar
sein, um als Alternative zu üblichen Vorgehensweisen
akzeptiert werden zu können
(Breuer, Hermann-Wyrwa et al. 2000, 30).
Für den Mathematikunterricht bieten sich
Wandzeitungen, Schülerbücher, Flugschriften,
ein Experiment oder auch das Veröffentlichen
im Internet an. Eine spezielle Form
von letzterem ist das in einem der nächsten
Abschnitte vorgestellte WWP, das gerade
unter Berücksichtigung des gegebenen schulischen
Rahmens entwickelt wurde.
Handlungsorientierter Unterricht bemüht sich,
die subjektiven Schülerinteressen zum Ausgang
der Unterrichtsarbeit zu machen. Er
bietet den Schülern aber auch Möglichkeiten,
die eigenen Interessen weiter zu entwickeln.
Die umspannenden Kontexte werden durch
den Lehrer unter Berücksichtigung der Schülerinteressen
gewählt. Handlungsorientierter
Unterricht schmiegt sich an dies an und berücksichtigt
die Umwelt der Schüler. Damit ist
nicht gemeint, dass die Lehrkraft keine oder
nur wenige Möglichkeiten bezüglich der Themenauswahl
hat. Dies würde auch der angestrebten
Adaptivität widersprechen und mögliche
Konflikte zu Richtlinien aufwerfen. Ziel
sollte es vielmehr sein, aus den Rahmenbedingungen
heraus Lernsituationen zu planen,
die nicht die Schüler bloß berücksichtigen,
sondern sie zum Ausgangspunkt der
Überlegungen macht. Hierzu muss der Lehrer
seine Schüler kennen und deren Umfeld
und soziale Lage stetig analysieren (Meyer
1987, 413). Soziale Verknüpfungen und die
persönlichen Beziehung von Schülern und
Lehrer stellen nicht vernachlässigbare
Aspekte der Planung und Durchführung von
Unterricht dar. Subjektive Schülerinteressen
sind dabei situationsspezifische, persönliche
Bedürfnisse, Vorstellungen und Phantasien
zum Unterricht (ebd.). Diese sind Schülern
oft nur unbewusst bekannt, wirken jedoch
trotzdem handlungsleitend.
Des Weiteren sollten Schüler von Anfang an
bei der Planung, Durchführung und Auswertung
des Unterrichts beteiligt werden. Jeder
Schritt ist Anregungen, Kritiken oder auch
Handlungen von Schülern ausgesetzt. Unbe-
161

Andreas Pallack
gründete Schritte müssen plakativ als solche
präsentiert und entweder begründet oder verworfen
werden. Der Lehrer sucht in der eigenen
persönlichen Vorplanung Elemente, welche
Handlungsmöglichkeiten eröffnen. Der
Planungsprozess selbst erfolgt und vollzieht
sich handlungsorientiert im Unterricht (Gudjons
1997, 106).
Durch die Produktbezogenheit sollte Handlungsorientierter
Unterricht zu einer Öffnung
von Schule führen. Zum einen wird Unterricht
und die Beziehung von Lernenden und Lehrenden
offener, zum anderen sollten Schüler
Gelegenheit erhalten, ihre Erfahrungen oder
Vermutungen nach außen zu tragen und hier
zu überprüfen. Umgekehrt sollte auch das
schulische Umfeld (z.B. Eltern oder Freunde)
Gelegenheit erhalten, auf die Handlungsprodukte
zuzugreifen, und ggf. an ihnen Kritik zu
äußern. Auch hierzu möchte ich auf das später
vorgestellte WWP verweisen.
Produktbezogenheit eröffnet auch die Chance,
Kopf- und Handarbeit in ein ausgewogenes
Verhältnis zu bringen. Kopfarbeit sind
dabei immaterielle, Handarbeit materielle
Handlungen. Diese stehen in einer dynamischen
Wechselwirkung zueinander. Das Verhältnis
von Kopf- und Handarbeit sollte vor
Durchführung einer Unterrichtseinheit weder
festgelegt noch vorgeplant werden, da es
stark schülerabhängig sein kann. Die Energie
der Lehrer sollte primär in die Vorbereitung
des Unterrichts eingehen. Unter Vorbereitung
darf dabei nicht die exakte und haarkleine
Planung verstanden werden. Vielmehr sollte
der Lehrer vorab formulieren, in welcher Zeit
welche kognitiven, affektiven und auch psychomotorischen
Ziele und Fertigkeiten erreicht
werden sollen. Hierauf können dann
geeignete Provokationen aufbauen.
Propagiert wird hier eine Form der Handlungsorientierung,
die nahezu unmittelbar
umsetzbar ist, also ein hinreichend adaptives
Konzept. Die gegebenen Rahmenbedingungen
werden ebenso berücksichtigt und akzeptiert
wie das Umfeld und die am Unterrichtsprozess
beteiligten Personen. Dies
spiegelt sich auch in den folgenden Vorschlägen
für einen handlungsorientierten Mathematikunterricht
wieder, die zu den vorhergehenden
Ausführungen kohärent sind.
2.2 Vorschläge für einen handlungsorientiertenMathematikunterricht
Mathematik nimmt, wie es oft der Fall ist, eine
Sonderrolle ein. So gibt es nur wenige Au-
162
toren, welche sich mit Handlungsorientierung
auseinandersetzen und konkrete Beispiele
zu deren Umsetzung im Mathematikunterricht
angeben. Auch Gudjons (1998, 120) betont,
dass es naiv wäre anzunehmen, dass
sich alle Fächer bruchlos handlungsorientiert
lehren und lernen ließen. Als Beispiel führt er
die Prozentrechnung an.
Die folgenden Vorschläge dienen als Anregung
und wurden unter Beachtung der im vorigen
Abschnitt formulierten Merkmale handlungsorientierten
Unterrichts entwickelt. Sie
leiten auf konkrete Entscheidungen zur Planung
des Unterrichts. Ich nehme dabei bewusst
davon Abstand, mich vorab auf eine
Jahrgangsstufe festzulegen. Ziel ist es vielmehr,
Kriterien herauszuarbeiten, die bei der
Planung von konkretem Statistikunterricht
hilfreich sind und dann als Grundlage für die
noch folgende Darlegung der konkreten Entscheidungen
dienen können.
Realitätsbezug: Aufgaben und Probleme
sollten im Statistikunterricht zum einen gesellschaftliche
Relevanz, zum anderen hinreichenden
Realitätsbezug bieten. Hierzu gehört,
dass sich Schüler mit realen Daten auseinandersetzen.
Der Umgang mit diesen ist
meist unbequem und für Lehrer und Schüler
mit Aufwand verbunden. Eine Möglichkeit,
derartige Aufgaben und Probleme in den Unterricht
zu integrieren, ist der früh einsetzende
und stetig verfolgte Rechnereinsatz. Vor
allem wünschenswert ist das Erlernen der
Bedienung möglicher Werkzeuge. Das kann
Derive, Maple, aber auch Excel oder ein anderes
Programm sein. Schüler erlangen hiermit
Fähig- und Fertigkeiten, welche sie erst in
die Lage versetzen, in einem zeitlich angemessenen
Rahmen Probleme mit Lebensbezug
selbsttätig zu lösen. Betont sei an dieser
Stelle, dass nicht gemeint ist, dass Statistikunterricht
stets reale Probleme mit konkreten
Messwerten zu Grunde liegen müssen. Vielmehr
sollte im Falle des Rückgriffs auf reale
Messungen keine Beschönigungen oder
nicht unbedingt notwendige Elementarisierungen
durch die Lehrkraft vorgenommen
werden. Es könnte sonst der Eindruck entstehen,
dass statistische Daten für den Mathematikunterricht
erfunden wurden und
nichts mit realen Problemen gemein haben.
Fazit: Unbequeme Zahlen und Rechnungen
nicht umgehen, sondern provozieren. Unterrichtsergänzende
Werkzeuge berücksichtigen
und ggf. direkt zu Beginn in den Unterricht
integrieren.
Schülerorientierung: Mathematikbücher geben
häufig enge Lernwege vor. Im Rahmen
eines schülerorientierten Unterrichts kann

somit ein Lehrbuch nicht einzige Grundlage
des Unterrichts sein. Es kann sehr wohl als
Nachschlagewerk und Aufgabensammlung
dienen. Des Weiteren bieten Schulbücher
nur sporadisch Gelegenheit und Anregung,
Handlungsprodukte zu erstellen. Das Hauptnachschlagewerk
und die Grundlage für Wiederholungen
sollten für Schüler primär die eigenen
im Unterricht und im Rahmen der
Hausaufgaben angefertigten Unterlagen sein
(Barzel 2001, 6). Zu Beginn dieses Abschnitts
habe ich angeführt, wie hoch die Behaltquoten
bei verschiedenen Methoden der
Wissensaufnahme ist. Können Schüler den
mathematischen Inhalt in eigenen Worten
wiedergeben, erreichen sie eine höhere Behaltquote
als lediglich beim Lesen desselben
(zumindest wenn man die gezeigten Zahlen
ernst nimmt). Aus dieser Perspektive ist es
sinnvoll, das eigene Formulieren und Verschriftlichen
zu fördern. Schüler sollen häufig
Ergebnisse eigenständig formulieren und mit
anderen Schülern abgleichen. Der Unterricht
schmiegt sich so an die Schüler, deren Defizite,
Fertigkeiten etc. an.
Fazit: Nicht an Schulbücher klammern.
Schüler so oft wie möglich Zusammenhänge
selbstständig schriftlich und mündlich formulieren
lassen. Bei Wiederholungen primär auf
die schülereigenen Aufzeichnungen zurückgreifen.
Erfahrungsbezug: Wenn Schüler etwas beobachten,
sehen, hören, lesen oder auch erfahren,
setzen sie dies in Verbindung zu früheren
Erlebnissen. Sie verarbeiten so das
neu Aufgenommene, das dann wieder
Grundlage für neue sinnliche Erfahrungen
und deren Verarbeitung wird (Jank & Meyer
1994, 313). Im Prozess der Verarbeitung
werden Erfahrungen zu Haltungen verdichtet.
Diese steuern das reale körperliche Handeln
von Lernenden. Unterricht kann das nutzen.
Durch Provokation werden Schüler motiviert,
ihre eigenen Erfahrungen zu veröffentlichen.
Auch hier ist es wieder Aufgabe des Lehrers,
geeignete Provokationen zu finden. Im Mathematikunterricht
könnte auf recht einfache
Erfahrungen wie z.B. die schnelle Kurvenfahrt
oder auch den bekannten Papierstapel
auf dem heimischen Schreibtisch zurückgegriffen
werden. Bei solchen Erlebnissen haben
Schüler keine Erfahrungen aus zweiter
Hand übernommen. Sie haben sie mit mehreren
Sinnen gleichzeitig erlebt. Unterricht,
der Erfahrungsbezug fördert, schafft eine gute
Grundlage zur Generierung von Handlungsprodukten.
Schüler bringen verstärkt eigene
Empfindungen ein, veröffentlichen diese
im Handlungsprozess und erhalten so verstärkt
Gelegenheit etwas zu schaffen, mit
Integration des Internets im Mathematikunterricht
dem sie sich identifizieren können. Kurz: Unterricht
wird intensiver erlebt, und nur so
können sich die Schüler als ganze Person
einbringen, was letztendlich auch ein Indikator
für handlungsorientierten Unterricht ist
(Bönsch 2000, 46).
Fazit: Erfahrungen der Schüler bei der Modellierung
von Provokationen berücksichtigen.
Schüler dabei fördern, ihre eigenen
(subjektiven) Erfahrungen in den Unterricht
einzubringen. Diese Vorschläge stellen
Richtlinien der Unterrichtsplanung dar.
3 Zur Entwicklung der Beziehung
von Schule und
Rechner, Chancen des
Rechnereinsatzes
Der Computer mit seinen Möglichkeiten
drängt unaufhaltsam in die Schule, das Berufs-
und Familienleben, also in fast alle gesellschaftlichen
Bereiche. Dabei finden sich
zwischen diesen immer mehr Überschneidungen,
welche deren einst disjunkte Natur
schwinden lässt. Der Computer hat viele Lebensbereiche
im Sturm durchdrungen und
kann nur von wenigen Wirtschafts- und Wissenschaftszweigen
unserer westlichen Gesellschaft
ignoriert werden. Die Lebensrealität
unserer Schüler ist an diese Entwicklung
gekoppelt. Sie leben in einer Welt, in der die
von den neuen Medien ausgehende Informationsflut
nicht mehr überschaubar ist. Viele
integrieren neue Vokabeln wie Virtual-Reality,
Cyberspace oder MP-3 fest in ihren Wortschatz.
Die rasante technische Entwicklung
schuf auch neue Anforderungen. Viele Schüler
werden von den Existenzstrategien ihrer
Eltern Abstand nehmen müssen und gezwungen
sein, vielschichtige Flexibilität zu
erlangen, welche die Anpassung an das stetig
wandelnde Umfeld erst ermöglicht (Hole
1998, 7). Das Gelernte veraltet so schnell
wie nie zuvor. Starre Strukturen, ohne hinreichende
Dynamik scheinen nicht mehr geeignet,
um im Berufsleben bestehen zu können.
Vielmehr sind es flexible Fähigkeiten wie
schnelles Umlernen oder schnelles Einarbeiten
in Neuerungen, die mögliche Garanten
für den Erfolg im Beruf repräsentieren (Heymann
1996, 56f, Papert 1994, 21). Immer
wichtiger werden dabei Qualifikationen wie
selbstständiges Arbeiten, Organisationsfähigkeit,
Kreativität beim Umgang mit Problemen,
Team- und Kooperationsfähigkeit, aber auch
das Ergreifen von Initiativen und das Übernehmen
von Verantwortung (Gudjons 1998,
163

Andreas Pallack
108). Nicht zuletzt wird künftig erwartet, dass
Schulabsolventen Informationsnetze und
vernetzte Computer kompetent nutzen und
Daten effektiv selektieren können (Schulmeister
1997, 8).
Das Aussparen eines möglichen Rechnereinsatzes
ignoriert Teile des Lebensumfelds
von Kindern und Jugendlichen. Schüler werden
darin bestätigt, dass die schulische Ausbildung
nichts oder nur wenig mit ihrer jetzigen
und zukünftigen Lebenswelt gemein hat
(Maier 1998, 165, aber auch Frey 1998, 71).
Die neuen Technologien scheinen somit den
schulischen Bereich von der Lebenswelt der
Schüler zu trennen. Papert (1994, 59–78) hat
diese Entwicklung beobachtet und beschrieben.
Er spricht von einer Immunreaktion des
Systems Schule. Nachdem die ersten Rechner
Einzug in die Schule hielten, wurde versucht,
alte Methoden und Inhalte mit Hilfe
des Rechners umzusetzen. Er sollte in das
traditionelle Bild eingebaut werden. Da dies
langfristig nicht sinnvoll erschien, versuchte
das System Schule, ihn abzusondern. Es
wurde sogar ein eigenes Fach für ihn geschaffen.
Nach und nach erfolgt nun eine
sinnvolle Integration, die immer noch von
heftigen Abwehrreaktionen begleitet wird.
Aus dieser Sicht kann die Beziehung von
Schule und Rechner zur Zeit noch als pathologisch
bezeichnet werden.
Wie kann jedoch Schule und vor allem der
Mathematikunterricht von diesem Wandel
und der damit verbundenen Innovation profitieren?
Kayser schrieb in Bezug auf den Einsatz
von Derive im Rahmen des schulischen
Mathematikunterrichts:
"Arbeitsaufträge an die Lernenden — in Partner-
oder Gruppenarbeit auszuführen — können
nun offener formuliert werden, unsere
Schülerinnen und Schüler lernen, im Team
zu arbeiten und Verantwortung für eine gemeinsame
Aufgabe zu übernehmen, fachübergreifende
Themen werden zugänglich,
Mathematikunterricht wird effizienter, spannender,
und zwar für Lernende und Lehrende."
(Kayser 1995, 8)
Aufgrund der breiten Praxiserfahrung des
angeführten Autors unterstelle ich, dass die
angerissenen positiven Assoziationen (offener,
Team, Verantwortung, gemeinsame Aufgabe,
fächerübergreifend, effizienter, spannender)
nicht Spekulation, sondern authentische
Erfahrungen sind. Der Rechner erweitert
das Spektrum der unterrichtlichen Möglichkeiten
immens. Trotzdem ist es immer
noch von der Lehrkraft und deren Konzeption
abhängig, ob der Rechner-Einsatz fruchtbar
ist.
164
"Wer im Unterricht keinen Computer einsetzt
ist noch lange kein pädagogischer Neandertaler!";
"Wer einen Computer in sein Klassenzimmer
stellt, ist deshalb noch lange kein
moderner Pestalozzi." (Huber 1998, 37)
Dieses Zitat unterstreicht, dass die durch den
Rechner ermöglichte Innovation, nicht von
den Geräten selbst ausgeht. Vielmehr müssen
Schüler die Notwendigkeit entdecken,
dass der Einsatz nicht nur gerechtfertigt,
sondern notwendig, sinnvoll oder zumindest
immens arbeitserleichternd ist (Hole 1998,
43). Des Weiteren muss die Lehrkraft geeignete
Provokationen entwickeln, welche den
Unterricht fundieren und dessen Inhalte motivieren.
Die Integration des Rechners in traditionelle
Unterrichtsstrukturen, also meist
Frontalunterricht (Meyer 1987, 61), scheint
nicht oder nur bedingt sinnvoll. Hier kann der
Rechner zwar geschickt substituieren, jedoch
keine, bzw. nur beschränkt Neuerungen induzieren.
In günstigen Fällen werden affektive
Lernziele des Unterrichts stimuliert.
4 Integration von Aspekten
der Handlungsorientierung
im Statistikunterricht
"Die Fähigkeit, vorgelegte Statistiken
zu verstehen, zu interpretieren, sich
von ihnen nicht manipulieren zu lassen
und auch Statistiken selber zu erzeugen,
hat im Hinblick auf die Lebensvorbereitung,
auf die Weltorientierung
und auf den kritischen Vernunftgebrauch
einen hohen allgemeinbildenden
Wert." (Hole 1998, 138)
Handlungsorientierter Unterricht erfordert eine
Provokation. Nachdem mir die Interessenfelder
der Schüler einigermaßen bekannt und
auch ihre Pausengewohnheiten kein Geheimnis
mehr waren, schien es lohnenswert,
die gesundheitsschädigende Wirkung von
Tabak auf die Tagesordnung zu bringen. In
einer frühen Phase des Unterrichts wurden
die Schüler mit folgenden fiktiven Daten konfrontiert:
In zwei Städten wurden jeweils sechs Todesfälle
mit der Ursache Lungenkrebs dahingehend
analysiert, ob und wie viele Zigaretten
die Personen im Zeitraum der letzten zehn
Jahre pro Tag konsumierten, mit folgenden
Ergebnissen:

Stadt 1:
Zigaretten pro Tag 40 5 20 0 20 10
Lungenkrebs im Alter von 40 71 63 60 68 69
Stadt 2:
Zigaretten pro Tag 20 3 22 4 40 15
Lungenkrebs im Alter von 50 71 68 75 36 62
Es wurde zur Diskussion gestellt, ob man
aufgrund der gegebenen Daten von einem
Zusammenhang zwischen Zigarettenkonsum
der Lungenkrebssterblichkeit sprechen kann.
Was ein Zusammenhang ist und wie man ihn
quantifizieren kann, war zu diesem Zeitpunkt
offen und Gegenstand der Diskussion. Die
Schüler entwickelten Ideen, wie man mit den
Daten verfahren könnte. Es zeigte sich dabei,
dass primär univariate Strategien wie
Auszählen im Vordergrund standen. Schnell
wurde klar, dass die bisher bekannten Methoden
keine befriedigende Antworten lieferten.
Es entwickelte sich ein guter Nährboden
zur Vorstellung des Korrelationskoeffizienten
und der Methode der linearen Regression zur
Beschreibung linearer Zusammenhänge von
intervallskalierten Daten.
Die Schüler bekamen die Aufgabe, selbst eine
Untersuchung durchzuführen und auszuwerten.
Festgelegt wurden lediglich die Rahmenbedingungen:
"Mindestens 40 Probanden";
"mindestens 6 Testitems, wobei mindestens
zwei nominalskaliert zu wählen
sind"; "es müssen begründet Zusammenhänge
zwischen den Items vermutet werden".
Inhaltlich waren die Schüler in ihrer
Wahl völlig frei.
Da sich der übliche Korrelationskoeffizient
zum Vergleich nominalskalierter Daten nicht
eignet, waren die Schüler gezwungen, die
vorgestellte Methode hinreichend zu reflektieren
und ihren Einsatz abzuwägen.
Ein weiteres zentrales Ziel der geplanten
Einheit war, dass die Schüler sich mit einer
von ihnen gewählten Aufgabenstellung identifizieren
können und so den direkten Bezug
des Mathematikunterrichts zu sich und ihrer
Umwelt herstellen konnten. In Kap. 2 wurden
bereits Kriterien für einen Handlungsorientierten
Unterricht erarbeitet. Für die Behandlung
von Korrelation und Regression kann
man die Kriterien wie folgt konkretisieren:
Realitätsbezug: Um Realitätsbezug zu gewährleisten,
sollen die Schüler authentische
Daten messen und auswerten. Das Problem
wurde selbst gewählt und Fragestellungen
hierzu selbst entwickelt. Bei der Unterrichtsreihe
wurde ein Rechner (TI92) direkt zu Beginn
der Einheit in den Unterricht integriert,
Integration des Internets im Mathematikunterricht
um die Auswertung selbst gemessener Daten
zu ermöglichen.
Schülerorientierung: Die Schüler wurden
durch einen Terminplan angehalten, ihre
Ideen und Vorschläge in regelmäßigen Abständen
zu formulieren und darzulegen.
Ebenfalls eingebunden waren Kurzvortragsphasen,
in welchen die Schüler ihre Ideen
anderen Schülern vorstellten. Ein Schulbuch
(Cöster, Griesel et al. 1999) lag den Schülern
als Nachschlagewerk vor und wurde nicht
explizit eingebunden. Weitere Literatur wurde
für die Zeit des Projekts zur Verfügung gestellt.
Erfahrungsbezug: Die im Unterricht vorgestellten
Provokationen boten den Schülern
lediglich Impulse für eigene Ideen. Sie waren
nicht so angelegt, dass den Schülern ein
konkretes Problem nahegelegt wurde. Diese
wurden vielmehr dazu motiviert, ihre eigene
Erfahrungswelt in Kleingruppen einzubringen
und auf dieser Grundlage Hypothesen zu
entwickeln und zu formulieren.
5 WWP — World Wide
Publishing
"Durch die Präsentation im Internet
wird der enge Klassenrahmen aufgehoben
und eine starke Motivation geschaffen,
da die ganze Welt zuschaut."
(Gierhardt 2000)
Handlungsorientierung und auch die Projektmethode
sehen meist die Publikation der Ergebnisse
vor. Neben den traditionellen Medien
stehen nunmehr auch elektronische, wie
z.B. das Internet, zur Verfügung. In der zu
Grunde gelegten Arbeit wurde das Internet
zur Publikation von Schülerergebnissen genutzt.
Das WWP soll kein neues Schlagwort
für das ''Ins-Netz-Stellen'' sein, sondern
nachhaltig Eigenschaften des elektronischen
Publizierens im Rahmen einer Lernumgebung
unterstreichen.
Den Beteiligten wird unmittelbar bewusst
(gemacht), dass die Informationen und Ausarbeitungen,
welche im Netz bereit gestellt
werden, weltweit verfügbar sind. Ebenfalls
wird betont, dass die Ergebnisse publiziert,
d.h. der Öffentlichkeit zugänglich sind. Schule
öffnet sich nach außen. Eltern, Bekannte,
Freunde oder andere Interessierte haben die
Möglichkeit, rund um die Uhr auf unterrichtsbezogene
Seiten zuzugreifen. Im Gegensatz
zum einseitigen "Ins-Netz-Stellen'' soll der
Begriff des WWP auch implizieren, dass Re-
165

Andreas Pallack
sonanz auf die Publikation nicht nur erlaubt,
sondern sogar gefordert wird.
Beim WWP stellen Schüler eigenverantwortlich
und selbstständig angefertigte Handlungsprodukte
im WWW aus. Die Handlungsprodukte
sind unmittelbar mit Namen verknüpft.
Es ist somit für Außenstehende oder
Interessierte unmittelbar einsehbar, wer welches
Produkt mitgestaltet hat. Per E-Mail
oder in etwaiger anderer Schriftform kann
Lob oder Kritik an den Produkten geäußert
werden.
5.1 Inhalt und Struktur einer
WWP
In der Präsentation stellen Schüler ihre Ausarbeitungen
vor. Diese sollen folgende Aspekte
berücksichtigen:
Die Ausgangssituation: Schüler sollen das
Problem nochmals in eigenen Worten formulieren.
Die Texte sollen so gestaltet werden,
dass Unbeteiligte schnell einen Überblick
über Ziel und Inhalt der Untersuchungen erhalten
können.
Die Lösungsansätze: Den Aufzeichnungen
der Schüler werden meist Lösungs- bzw. Bearbeitungsansätze
zu entnehmen sein. Diese
müssen dem Problem angepasst sein und
die Anwendung adäquater Methoden implizieren.
Der Lösungsprozess: Wie wurde der Lösungsansatz
umgesetzt, welche Hilfsmittel
wurden benötigt, welche Experten befragt?
Sowohl vorzeitig abgebrochene als auch gelungene
Ansätze sollten hier Platz finden, um
den Prozess hinreichend genau darstellen zu
können.
Die Ergebnisse: Schließlich sollten die gewonnenen
Ergebnisse umfassend auf den
Webseiten präsentiert werden. Sie sind das
zentrale Element des WWP. Hier sollten die
Schüler auch eine Abschätzung der Tragfähigkeit
und der Reichweite ihrer Resultate
vornehmen. Ergebnisse können dabei auch
neue Erkenntnisse sein.
Diese Elemente prägen die inhaltliche Dimension
von WWP. Ihre strukturelle Dimension
wird durch die Navigationsmöglichkeit
im Internet charakterisiert. Internetseiten sind
meist durch Hyperlinks miteinander verbunden
(Papert 1998, 14). So verknüpfte Texte
heißen Hypertexte. Werden auch graphische
und multimediale Elemente eingebunden,
spricht man von Hypermedia (Mikelskis
1999, 64, Schulmeister 1997, 247). WWP
soll diese Möglichkeit nutzen. Schüler kön-
166
nen so auf Beziehungen zwischen einzelnen
Elementen des WWP verweisen. Zwischen
Problem, Lösungsansatz, Lösungsprozess
und Ergebnis kann sich eine dynamische individuelle
Struktur entwickeln, welche durch
die Arbeit der Schüler geprägt wird. Diese
haben so die Möglichkeit, den Weg vom
Problem zu dessen Lösung relativ weit nachzuvollziehen.
Um den Prozess authentisch
darstellen zu können, müssten die einzelnen
Elemente des WWP begleitend erstellt werden.
5.2 Schüler beim WWP, Phasen
der Erarbeitung
Die Schüler sind vor und nach der Veröffentlichung
der Seiten verantwortlich für ihr Produkt.
Der Lernprozess ist aus diesem Grund
mit der Veröffentlichung nicht abgeschlossen.
Die Beteiligten haben stetig Zugriff auf
alle Handlungsprodukte der eigenen oder
auch fremder Gruppen und können diese
durch unmittelbare Kontaktaufnahme mit
dem jeweiligen Verfasser hinterfragen, kritisieren
oder auch loben. Im Konzept des
WWP ist es vorgesehen, dass mindestens
die teilnehmenden Schüler nach der Publikation
zu jedem Handlungsprodukt in Form eines
Kurzgutachtens Stellung nehmen. Der
Kurs soll so intern mögliche Schwachstellen
in den Webseiten aufspüren und diese
selbstregulierend beseitigen.
Die Schüler sind bereits während des Unterrichtsprozesses
gehalten, jeden ihrer Schritte
zu dokumentieren. Auch während der Dokumentation
werden die Ergebnisse erneut diskutiert
und evtl. auch revidiert. Um ihre Präsentation
vorab im kleinen Rahmen zu testen,
kann einzelnen Gruppen Gelegenheit
gegeben werden, ihre Seiten anderen Gruppen
in Form eines Referats oder durch die
Präsentation ihrer Seiten im Intranet der
Schule vorzustellen. Anschließend besteht
wiederum die Möglichkeit, die Präsentation
zu verbessern oder ggf. zu erneuern.
Schließlich folgen die Veröffentlichung im
Netz und die Kurzgutachten der anderen
Gruppen. Nach der Korrektur aufgrund der
Kurzgutachten wird eine vorläufig endgültigen
Version veröffentlicht.
Abbildung 1 fasst die verschiedenen Phasen
der Gruppenarbeit zusammen und stellt eine
mögliche Verknüpfung derselben dar. Natürlich
kann auch jederzeit aus einer der späteren
Phasen in eine frühere gewechselt werden.
Die Darstellung aller möglichen Kombinationen
unterbleibt jedoch aus Gründen der
Übersichtlichkeit. Kanten, die vom WWP-

WWP
Problem, Provokation
Ideen, Lösungsansätze
Testen der Ideen,
Lösungsprozess
Ergebnis, Fertigstellung
Webseiten
Referate, Intranet
WWW-Publikation Stufe 1
Kurzgutachten
WWW-Publikation Stufe 2
Abb. 1
Abb. 2
Integration des Internets im Mathematikunterricht
ten wegzeigen, bedeuten, dass hier Informationen
aus dem WWP entnommen werden.
Weisen die Kanten auf den WWP-Knoten, so
wird es mit Informationen gefüllt, bzw. bearbeitet.
Das Diagramm repräsentiert die dynamische
Struktur der hier modellierten Lernumgebung.
Abbildung 2 zeigt die Einbettung
des WWP in das Gesamtkonzept.
Sowohl schulische als auch außerschulische
Aktivitäten führen zu den Produkten des Unterrichts.
Bindende Glieder zwischen den beiden
Bereichen waren der TI92, die Aufzeichnungen
der Schüler, aber auch das Schulbuch
oder das den Schülern zur Verfügung
gestellte Beispiel. Andere Elemente der Lernumgebung
sind hingegen streng schulischen
oder außerschulischen Bereichen zugeordnet.
Die Dynamik wird durch das WWP-Konzept
bestimmt und durch den festgesetzten
Terminplan geleitet. Klar wird an dieser Stelle
nochmals die Rolle des Lehrers. Auf viele
Bereiche der Lernumgebung hat er keinen
oder nur wenig Einfluss. Vielmehr steht er
beratend im Unterricht oder als Experte per
Mail zur Verfügung. Die Initiative hierzu muss
jedoch von den Schülern ausgehen. Auch visualisiert
wurde, dass die Schüler ausgehend
von einem Problem kognitiver Natur zu einem
Handlungsprodukt geleitet werden. Das
Schema genügt, nicht zuletzt aus diesem
Grund, dem Planungsraster Handlungsorientierten
Unterrichts (Meyer 1987, 405ff).
167

Andreas Pallack
6 Erfahrungen mit dem
Konzept
Insgesamt wurden vier Untersuchungen von
den Schülern durchgeführt und ausgewertet.
Ich beschränke mich an dieser Stelle auf die
Schilderung einer einzigen Arbeit. Zur Zeit
(28.10.2003) können die Präsentationen und
die Schülergutachten unter der URL
http://www.uni-essen.de/mathematik-online/
stat_schu.html eingesehen werden. Ich werde
mich bemühen, die Seiten zu erhalten.
Sollten die Seiten nicht mehr abrufbar sein,
stelle ich Ihnen selbige gerne nach kurzer
Mail an andreas@pallack.de zur Verfügung.
6.1 Beispiel für eine Schülerpräsentation:
Qualm&Co
Die Webseite zeigt drei Versionen der Präsentation
zu Fragen des Tabakkonsums.
Speziell wurde den Fragen nachgegangen,
ob das Rauchen einer Person im Zusammenhang
steht zu körperlichen Daten (z.B.
Schuhgröße), dem Essverhalten, dem familiären
Umfeld oder auch der Freizeitgestaltung
(Aktivitäten im Sportverein). In einer frühen
Version sind sowohl fachliche als auch methodische
Mängel zu finden. Die Qualität der
Arbeit verbesserte sich jedoch mit jeder Aktualisierung.
Die Gruppe nutzte auch fremde
Informationsquellen zur Stützung ihrer Hypothesen.
Die Daten werden dem Leser zur
Verfügung gestellt und so entsprechende
Transparenz geschaffen. Die letzte Version
der Arbeit wurde in HTML geschrieben. Das
zeigt, dass sich einzelne Gruppenmitglieder
Fähigkeiten aneigneten, die im Unterricht
nicht systematisch behandelt wurden. Die
Gruppe ging konstruktiv mit Skalierungsproblemen
um und reagierte flexibel bei der
Auswertung der Daten. Auf die Darstellung
von Regressionsgeraden wurde begründet
verzichtet. Dem Leser werden keine fertigen
Ergebnisse vorgelegt, sondern schrittweise
deren Entwicklung dargeboten. Auch der
Rückgriff auf Kreuztabellen ist gelungen. Methodisch
fehlten den Schülern natürlich die
Möglichkeiten, diese systematisch auszuwerten
(z.B. Test von Mc. Nemar). Die Darstellung
des Hauptergebnisses (wenn Eltern
Raucher sind, so auch die Kinder) wird stringent
verfolgt und kann durchaus als gelungen
bezeichnet werden.
168
6.2 Erfahrungen mit dem Publikationsorgan
Internet
Das Internet als Publikationsfläche wurde
akzeptiert. Auf der Seite konnten während
der Unterrichtsreihe überdurchschnittlich viele
Hits verzeichnet werden. Der Preis, der für
die Attraktivität der Seite gezahlt werden
musste, war jedoch relativ hoch. Weder der
sichere Umgang aller Schüler mit Textverarbeitungssystemen,
noch die unterstellte Fertigkeit,
mit Leichtigkeit HTML-Dateien zu erstellen,
war gegeben. Teilweise arbeiteten
die Schüler aus diesem Grund handschriftlich
oder benutzten den Rechner als eine Art
Schreibmaschine. Ständig mussten Texte
eingescannt, eingelesen und im Netz bereitstellt
werden. Dies bedeutete, vor allem bei
den Gutachten, einen immensen Zeitaufwand.
Im konkreten Fall der betrachteten Unterrichtsreihe
war ein systematisches Training
der Fertigkeiten aus verschiedenen organisatorischen
Gründen nicht möglich.
Trotzdem lernten einige Schüler bis zum Ende
der Reihe den Umgang mit entsprechenden
Werkzeugen. Die Struktur von WWP halte
ich jedoch generell für geeignet, selbstregulierende
Prozesse anzuregen. Rückblickend
würde ich jedoch zusätzlich die Möglichkeit
geben, Wandzeitungen o.ä. zu erstellen,
um auch diejenigen Schüler intensiver
anzusprechen, die noch keine derart enge
Beziehung zu den neuen Medien haben.
6.3 Schlussbemerkungen
Die Durchführung der Unterrichtsreihe war
geprägt von vielen organisatorischen Problemen
(wie zum Beispiel der Tatsache, dass
die Schüler in der Schule nicht am PC arbeiten
konnten). Mittlerweile haben sich die
Rahmenbedingungen erheblich verbessert
(man darf nicht vergessen, dass die Unterrichtsreihe
im Jahr 2000 durchgeführt wurde!).
Dass ein mobiles Werkzeug wie der
TI92 für die Dauer der Reihe zur Verfügung
stand, war in vielerlei Hinsicht positiv: Die
Schüler spielten mit den Daten und probierten
auch ungewöhnliche Ideen aus. Zusätzlich
nutzten viele im Heimbereich das Tabellenkalkulationsprogramm
EXCEL. Die eigentliche
Verknüpfung von der Arbeit im Heimund
im Schulbereich leistete jedoch die Präsenz
des Taschencomputers.
Welche Wechselwirkungen Schule und WWP
oder das Internet im Allgemeinen langfristig
auszeichnen wird, ist sicher noch nicht absehbar.
Die Einsatzgebiete sind vielfältig (s.
Weigand & Weth 2002, 245–255, und natür-

lich die Beiträge in diesem Tagungsband)
und auf den ersten Blick meist äußerst attraktiv
und vielversprechend. Trotzdem kann
nicht verhindert werden, dass sich viele Konzepte
in der Praxis langfristig nicht bewähren
oder recht schnell dem Zeitgeist zum Opfer
fallen. Inwiefern das auch für unterrichtsbezogene
Online-Publikationen von Schülern
gilt, bleibt abzuwarten.
Literatur
Barzel, Bärbel (2001): Anders unterrichten — aber
wie? In: mathematik lehren 104, 4–6
Beckmann, Astrid (1999): Formen der Handlungsorientierung
als Ansatz für eine unterrichtliche
Umsetzung, Beispiel: Einführung ganzrationaler
Funktionen. In: mathematica didacta 22,
78–96
Bönsch, M. (2000): Unterrichtsmethoden konstruieren
Lernwege. In: Norbert Seibert (2000):
Unterrichtsmethoden kontrovers ... Bad Heilbrunn:
Klinkhardt, 23–69
Breuer, B., B. Hermann-Wyrwa et al. (2000): Leistungsbeurteilung
in offenen Unterrichtsphasen,
Essen: Neue Deutsche Verlagsgesellschaft
Bruner, Jerome (1974): Entwurf einer Unterrichtstheorie.
Berlin: Berlin Verlag
Cöster, G., Heinz Griesel et al. (1999): Elemente
der Mathematik 11. Hannover: Schroedel
Freudenthal, Hans (1970): Mathematik als pädagogische
Aufgabe. Band 1. Stuttgart: Klett
Frey, K. (1998): Die Projektmethode. Weinheim:
Beltz
Gierhardt, H. (2000): Lernen mit Multimedia.
www.gierhardt.de und Methodenhandbuch
DFU. Bonn: Varus
Gudjons, H. (1997): Handlungsorientiert lehren
und lernen. Bad Heilbrunn: Klinkhardt
Gudjons, H. (1998): Didaktik zum Anfassen. Bad
Heilbrunn: Klinkhardt
Heymann, Hans-Werner (1996): Allgemeinbildung
und Mathematik. Weinheim: Beltz
Hole, Volker (1998): Erfolgreicher Mathematikunterricht
mit dem Computer. Donauwörth: Auer
Horstmann, K., J. Meyer-Lerch et al. (1987):
Handlungsorientierung im Mathematikunterricht.
In: mathematik lehren 25, 6–9
Huber, P. (1998): Handreichung zum Einsatz des
Computers in der Grundschule. München:
Staatsinstitut für Schulpädagogik und Bildungsforschung
Integration des Internets im Mathematikunterricht
Jank, W. & H. Meyer (1994): Didaktische Modelle.
Berlin: Cornelsen Scriptor
Kayser, H.-J. (1995): Neue Medien im Mathematikunterricht
— Derive mehr als nur ein Assistent.
Soest: Landesinstitut für Schule und Weiterbildung
Klimsa, Paul (2002): Multimedianutzung aus psychologischer
und didaktischer Sicht. Information
und Lernen mit Multimedia und Internet.
In: Ludwig J. Issing & Paul Klimsa (Hrsg.)
(2002): Information und Lernen mit Multimedia
und Internet. Weinheim: Beltz PVU, 3. Auflage,
5–17
Kütting, Herbert (1994): Beschreibende Statistik
im Schulunterricht. Mannheim u.a.: BI Wissenschaftsverlag
Maier, W. (1998): Grundkurs Medienpädagogik,
Mediendidaktik. Weinheim: Beltz
Meyer, H. (1987): Unterrichtsmethoden II. Berlin:
Cornelsen Scriptor
Mikelskis, H. (1999): Physik lernen mit interaktiver
Hypermedia: Eine empirische Pilotstudie. Zeitschrift
für Didaktik der Naturwissenschaften 1,
63–74
Möller, R. (1999). Lernumgebungen und selbstgesteuertes
Lernen. Multimedia, Chancen für die
Schule. In: Dorothee Meister & U. Sander
(1999): Multimedia, Chancen für die Schule.
Kriftel: Luchterhand, 140–154
NRW MSWWF (1999): Sekundarstufe II Gymnasium/Gesamtschule
Richtlinien und Lehrpläne
Mathematik. Frechen: Ritterbach
Pallack, Andreas (2003): Erprobung einer rechnergestützten
Lernumgebung unter Berücksichtigung
von Aspekten der Handlungsorientierung
am Beispiel der Behandlung von Korrelation
und Regression in der Jahrgangsstufe
11. Münster: Zentrale Koordination Lehrerausbildung
Papert, Seymour. (1994): Revolution des Lernens.
Hannover: Heise
Papert, Seymour. (1998): Die vernetzte Familie.
Stuttgart: Kreuz
Schulmeister, Rolf (1997): Grundlagen hypermedialer
Lernsysteme. München: Oldenbourg
Wagenschein, Martin (1968): Verstehen lehren.
Weinheim: Beltz
Weigand, Hans-Georg (1997): Was können wir
aus der Vergangenheit für den zukünftigen
computerunterstützten Unterricht lernen? In:
Mathematik in der Schule 35, 322–334
Weigand, Hans-Georg & Thomas Weth (2002):
Computer im Mathematikunterricht. Heidelberg
u.a.: Spektrum
169

� "Da schauen Sie mal ins Internet!" — Impressionen
des Lehrens und Lernens
1 Eigene Suche
1.1 Orientierung
Bei vielen Inhalten, mit denen ich mich beschäftigen
will, schaue ich oft erst einmal
nach. So vor zwei Jahren, als ich einen Mathematikwettbewerb
für Kollegiaten an der
Universität durchführen wollte. An vielen
Hochschulen gab es interessante Angebote,
die mir erst einmal die Möglichkeiten aufzeigten.
Dann in einer zweiten Phase habe ich
Beteiligte angeschrieben. Oder bei der "Aufgabe
der Woche" war das auch eine Anleihe
aus einem Angebot eines anderen Lehrstuhls.
1.2 Quellenforschung
Neben der nützlichem CD-ROM aus Karlsruhe
(MathDI) werden Quellen oft über das Internet
erkundet. Als es um eine Aufstockung
der fachdidaktischen Bibliothek ging, habe
ich zunächst in Literaturlisten anderer Institute
nachgesehen, welche Bücher da in der
Regel empfohlen werden, und dann auch bei
typischen didaktischen Veranstaltungen
nachgeschaut, welche Bücher da vorgeschlagen
werden. Natürlich kenne ich selbst
viele Bücher, aber ...
1.3 Vergleichen
Bei der Vorbereitung einer Vorlesung, eines
Proseminars oder eines Vortrags gehe ich
gern ins Internet und suche nach vergleichbaren
Inhalten. Selbst hat man schon eine
Vorstellung, wie das aufgebaut werden soll,
aber ein Vergleich hier und da kann ja nicht
schaden. Im Herbst werde ich eine Vorlesung
halten über "Grundbegriffe der Schul-
170
Karel Tschacher, Erlangen-Nürnberg
Die Arbeit eines Dozenten für die Fachdidaktik Mathematik lebt auch von der Vielfalt der
Ergebnisse, die am einfachsten im Internet gefunden werden können. Mit diesem Vortrag
sollen die verschiedenen Perspektiven eines sehr persönlichen Eindrucks über den Nutzen
des Internets beschrieben werden. Dabei werden eigene Erfahrungen und das individuelle
Interesse an Themen und Inhalten im Vordergrund stehen. Darüber hinaus soll
beleuchtet werden, wie man mit vertretbarem Aufwand die Kommunikation zwischen Dozent
und Studenten sowie Studenten untereinander verbessern kann.
mathematik". Das wird an vielen Hochschulen
so oder unter anderem Titel gelesen.
Dann sehe ich mir den Umfang und die verschiedenen
Inhalte an, die Gliederung und
die Schwerpunkte. Und dabei kommen oft
gute und neue Ideen dazu.
1.4 Material suchen
Gelegentlich sucht man nach einem aussagefähigen
Bild, einer Aufgabe oder einer
Anekdote zu einem Inhalt. Bei einem Vortrag
vor Preisträgern des Fümo-Wettbewerbs in
Fürth über das Zahlensystem — ich hatte
mich für das Siebenersystem entschieden —
suchte ich die sieben Weltwunder mit passenden
Abbildungen. Und im Internet konnte
ich eine Fülle von Material finden und dann
das Passende auswählen.
2 Arbeit mit Studierenden
2.1 Dokumentation der Veranstaltungen
Eine Lehrveranstaltung lebt auch davon,
dass zusätzliches Material und weitere Quellen
angegeben werden. Diese Möglichkeit
bietet sich, wenn man für jede Veranstaltung
eine Seite erstellt und diese fortlaufend weiterentwickelt.
Etwa ein Schema mit Terminen
und Links auf die Informationen für die jeweilige
Veranstaltung. Das hat auch den Vorteil,
dass man als Student diese Seiten nachlesen
kann, wenn man einmal verhindert ist.
Darüber hinaus macht eine kurze Darstellung
des Ablaufs für Interessierte Sinn. Denn
dann weiß man in etwa, was in der Veranstaltung
geboten wird. Und schließlich kann
diese Gliederung für die Klausurvorbereitung

hilfreich sein. Die vorgeschlagenen Quellen
können leicht erreicht werden, wenn es verlinkte
Internetadressen sind. Und bei vorausschauender
Gestaltung es auch denkbar,
dass man sich auf eine Vorlesung vorbereitet,
indem man die Materialien zuvor anschaut.
2.2 Präsentation der Ergebnisse
der Studierenden
In Vorlesungen, Proseminaren und Seminaren
ergeben sich oft Ergebnisse, die man
gern allen zur Verfügung stellen möchte. Bislang
waren das bedruckte Seiten Papier. Nun
kann man diese Ergebnisse auf der Seite der
Veranstaltung ablegen, und jeder Interessierte
holt sich das, was er benötigt. Zum einen
ist der Studierende damit gezwungen, selbsttätig
dort hin zu gehen und die entsprechenden
Daten zu suchen, andererseits verlangt
man von den Erstellern dieser Ergebnisse
brauchbare und gute Produkte. Zunehmend
werden auch kleine Programme, PowerPoint-
Präsentationen, Java-Applets, Fotoschnappschüsse
oder DGS-Animationen vorgestellt,
die dann zu Hause noch einmal in Ruhe bearbeitet
werden können.
2.3 Aufgabe der Woche
In der Didaktik der Mathematik kommen eigentlich
mathematische Aufgaben, Knobelaufgaben
oder Tüftelaufgaben zu kurz, eben
weil man für derartige Aufgaben mehr Zeit
benötigt. Allerdings ist der Wert dieser Aufgaben
hoch: Welche Strategie hat man versucht,
welche heuristischen Ansätze führten
nicht zum Ziel, usw.? Gerade diese Form des
Mathematikerlebens sollen ja unsere Schülerinnen
und Schüler verstärkt erfahren. also
sollten die Studierenden das auch in ihren
Veranstaltungen erproben können. Eine
Möglichkeit, solche Aufgaben einzustreuen,
sind die "Aufgaben der Woche". Und diese
werden auf der Internetseite der Veranstaltung
veröffentlicht; man kann dann in der folgenden
Woche eine gelungene Lösung eines
Kommilitonen als einen Lösungsvorschlag
veröffentlichen.
2.4 Kommunikation mit den Studierenden
Gelegentlich passiert es, dass man am Ende
einer Veranstaltung noch eine gute Idee hat.
Oder man erinnert sich an einen guten Zeit-
"Da schauen Sie mal ins Internet!" — Impressionen des Lehrens und Lernens
schriftenartikel zum Thema. Dann wird das
als Nachtrag in die Seite eingearbeitet, die
guten Ideen sind nicht verloren; sondern
konnten den Studierenden zugänglich gemacht
werden. Und Interessierte finden
selbst zusätzliche Informationen, die dem
Dozenten mitgeteilt und übersandt werden,
so dass dieses Material allen Teilnehmern
zugänglich gemacht werden kann.
2.5 Zulassungsarbeiten
Bei der Betreuung von Zulassungsarbeiten
(den schriftlichen Hausarbeiten für das
Staatsexamen) ist die Einbindung des Internets
eine große Hilfe. Einer meiner Kandidaten
hat eine geschützte Homepage eingerichtet,
auf der ich bei Bedarf den aktuellen
Stand seiner Arbeit einsehen kann. Natürlich
wird es immer einen Bedarf an persönlichen
Gesprächen geben, aber eine Reihe von inhaltlichen
und technischen Fragen kann so
abgearbeitet werden.
3 Zusammenarbeit von
Schule und Universität
3.1 Informationsbörse
Viele Lehrstühle und Lehreinheiten für Didaktik
der Mathematik unterhalten vielfältige
Kontakte zu Schulen und Lehrern. Bislang
erlebe ich, dass es immer noch nötig ist,
Briefe mit Einladungen und Informationen an
die Fachbetreuer der Schulen zu senden.
Und dann weiß man immer noch nicht, ob die
Informationen an die Betroffenen gegangen
sind. Daher hat man in Mittelfranken ein
Netzwerk gestartet, dass für Lehrkräfte alle
Informationen über Mathematik im weitesten
Sinne bietet. Dabei werden sowohl Lehrerfortbildungen
als auch Schülerangebote einbezogen.
Langfristig ist sicher auch an
Newsletters in regelmäßigen Abständen gedacht,
aber die Arbeit steht erst am Anfang.
3.2 Email
Schnellen und angenehmen Kontakt zu
Schulen und Lehrern kann man bei gegenseitigem
Interesse mit der Email entwickeln.
Sehr viele sind inzwischen mit dem Internetanschluss
ausgestattet und werden diese
Kontaktaufnahme schätzen, weil sie nicht so
nervig und teuer ist wie das Telefon und man
171

Karel Tschacher
damit zugleich Nachrichten dauerhaft speichern
und weiterbearbeiten kann.
3.3 Datenaustausch
Oft erhalte ich eine Anfrage einer Lehrerin
oder eines Lehrers zu einer Aufgabenart
oder zu einer didaktischen Überlegung. Dann
kann man nun leicht eine Antwort mit den
notwendigen Unterlagen schnell und bequem
weitergeben, und der Kollege kann das sogleich
in seine Unterrichtsvorbereitung einbauen.
Oder nach einem Besuch von Schülern
im Institut werden Rückfragen nach Material
gestellt. Oder die digitalen Fotos der
Veranstaltung werden an die Schulen gesandt,
damit sie im Jahresbericht erscheinen
können.
4 Lehren und Lernen
Viele Inhalte werden interaktiv aufbereitet.
Lernen wird da zur Freude. Gern erprobt
man eine Aufgabe, mit Vergnügen verfolgt
man einen Gedankengang, der mit medialem
Aufwand illustriert wird. Viele Begriffsbildungen
werden so besser zugänglich. Viele Aufgaben
werden sogleich korrigiert ausgegeben
und bieten eine direkte Rückkopplung
des Lernerfolgs. Die komplexen Navigationsmöglichkeiten
machen es Anfängern
und Fortgeschrittenen in gleicher Weise
möglich, sinnvoll zu lernen.
4.1 Interaktive Seiten
Als letzten Punkt möchte ich auf eine weitere
zentrale Rolle des Internets kommen, nämlich
der Möglichkeit, mathematische und didaktische
Fragen auf den Seiten von Schülern,
Studenten, Lehrern und Instituten zu
genießen. Ich sage "genießen", weil es so
schöne und so reizende Inhalte gibt, die so
richtig Freude bereiten. Sicher findet man
auch viele Fehler und so manches Überflüssige,
dennoch für mich überwiegt der Reiz.
172
4.2 Referate und Hausarbeiten
In Proseminaren, Seminaren und bei der Zulassungsarbeit
werden Themen bearbeitet,
die sicher schon oft zuvor von anderen behandelt
wurden. Das Internet kann eine Fülle
von Referaten und Ausarbeitungen bieten,
die zur Orientierung und zur Quellensammlung
dienen. Es ist überraschend, wie viele
Arbeiten schon vorliegen. Auch viele Studienseminare
legen seit einiger Zeit Arbeiten
offen. So kann man viele Lehrproben in allen
Details ansehen und als Beispiele für gelungene
Unterrichtsplanung verwenden. Die Literaturangaben
bei Arbeiten verlagern sich
zusehends auf Links im Internet, die Bücher
treten oft zurück. Dabei ist selbstredend die
Gefahr des Plagiats verführerischer als zuvor.
Denn eine Passage zu markieren, zu
kopieren und dann in seine Arbeit einzufügen,
ist blitzschnell geschehen. Aber ich
denke, man sollte nicht zu misstrauisch mit
dem neuen Medium Internet umgehen.
4.3 Arbeitsblätter
Als letzte sinnvolle Verwendung des Internets
stelle ich kurz die Arbeitsblätter vor. Eine
kritische Bemerkung sei vorangestellt:
"copio, ergo sum" "Ich kopiere, also bin ich"
Viele Lehrerinnen und Lehrer werden zu
wahren Kopierweltmeistern, in dem sie die
Schülerin mit Arbeitsblätter überhäufen. 20
Arbeitsblätter pro Woche sind keine Seltenheit.
Die gut gemeinte Idee, die Schüler sollten
nicht alles von der Tafel abschreiben,
führt dann aber oft zu solchen Arbeitsblättern,
auf denen nur noch Kreuze oder Lückentexte
ergänzt werden müssen.
Sinnvoll eingesetzte Arbeitsblätter haben ihren
Platz im Unterricht, und die Beschaffung
guter Arbeitsblätter im Internet ist kein Problem.
Denn die Vorgaben des Kollegen können
auf die eigenen Bedürfnisse angepasst
werden. Aber die Arbeitserleichterung ist
enorm, wenn man schon eine Grundidee eines
Kollegen nutzen kann.

� Computereinsatz im Mathematikunterricht unter
Geschlechterperspektive — oder
Mädchen, Jungen, Mathematik und Computer
Rose Vogel, Ludwigsburg
Die Diskussion um den Mehrwert neuer Medien für die Gestaltung von Lehr- und Lernprozessen
wird derzeit vielerorts geführt. Dies nahm der Arbeitskreis "Frauen und Mathematik"
in der GDM zum Anlass, die Herbsttagung 2003 dem Thema "Computereinsatz
im Mathematikunterricht unter Geschlechterperspektive" zu widmen. Vor allem die unterschiedlichen
Einsatzmöglichkeiten computerbasierter Medien und deren Potenziale für
die Gestaltung von Lehr- und Lernprozessen im Mathematikunterricht standen im Zentrum
der gemeinsamen Arbeit. Die Arbeitsergebnisse bieten Ansatzpunkte, das traditionelle
Bild von Mathematik in der Schule aufzubrechen und damit das Mathematiklernen
von Mädchen und Jungen gleichermaßen anzuregen und weiterzuentwickeln.
(zugleich Bericht von der Herbsttagung 2003
des Arbeitskreises "Frauen und Mathematik"
in der GDM)
1 Einführung
Thema und Ziel der Herbsttagung 2003 des
Arbeitskreises "Frauen und Mathematik" war
es, den Einsatz der neuen Medien und deren
Potenziale für die Gestaltung von Lehr- und
Lernprozessen aus der Geschlechterperspektive
genauer auszuleuchten. Diese thematische
Ausrichtung war dann auch der Anlass
dafür, die Herbsttagungen der beiden
Arbeitskreise "Mathematikunterricht und Informatik"
sowie "Frauen und Mathematik"
zeit- und ortsgleich stattfinden zu lassen.
Damit bestand die Möglichkeit, sich vor Ort
auszutauschen und in einen gemeinsamen
Dialog zu treten. Ein bewusst inszenierter
Schnittbereich stellte der Hauptvortrag von
Cornelia Niederdrenk-Felgner (2005) dar.
Ausgangspunkt für die gemeinsame Arbeit
war die Präsentation von ausgewählten Beispielen,
die unterschiedliche Möglichkeiten
aufzeigen, wie computerbasierte Medien für
den Mathematikunterricht genutzt werden
können. Vor dem Hintergrund der geschilderten
Lehr-Lern-Arrangements ging es dann
darum, die Potenziale des Computereinsatzes
für den Mathematikunterricht auszuloten.
Dieser gemeinsame Auseinandersetzungsprozess
mündete in die Frage, wie der
Mehrwert der neuen Medien genutzt werden
kann, das Bild von Mathematik zu verändern
und damit das Mathematiklernen von Mädchen
und Jungen gleichermaßen zu unterstützen
und zu fördern.
2 Mögliche Einsatzbereiche
computerbasierter
Medien im
Mathematikunterricht
Die von Barbara Abel und Rose Vogel ausgewählten
Beispiele zeigen Produkte oder
Szenarien aus Lehr-Lern-Arrangements, in
denen sowohl mathematiknahe, als auch mathematikferne
Programme genutzt werden,
um das Lehren und Lernen von Mathematik
zu unterstützen, anzuregen und zu begleiten.
Auf die Präsentation konkreter einzelner Beispiele
wird an dieser Stelle verzichtet. Es
wird stattdessen der Versuch unternommen,
die Lehr-Lern-Aktivitäten zu charakterisieren,
die in den Konkretisierungen im Vordergrund
stehen (vgl. Tab. 1). Die Internet-Adressen
[1] und [2] geben ebenfalls nur einen Eindruck
von der Vielfalt und ließen sich durch
entsprechende Angaben aus anderen Bundesländern
weiter ausbauen.
Die in Tab. 1 eingenommene Perspektive
rückt nicht die mathematischen Inhalte in den
Vordergrund, sondern die Art und Weise, wie
mathematische Fragestellungen bearbeitet
werden. Analysieren, Experimentieren, Veranschaulichen,
Strukturieren und Präsentieren
sind typische Tätigkeiten in der Mathematik,
die lange Zeit von den Schülerinnen
und Schülern im Mathematikunterricht nicht
erlebbar waren. Sie wurden von der Lehrperson
vorweggenommen, und Mathematik
wurde dadurch als "poliertes Fertigprodukt"
(vgl. Müller, Steinbring & Wittmann 2004, 12)
präsentiert. Im Vordergrund stand das Automatisieren
mathematischer Verfahrenswei-
173

Rose Vogel
Lehr-Lern-Aktivitäten Software
Präsentieren von mathematischen Inhalten auf der
Grundlage eines ausgewählten Textes (Schülerarbeiten),
Präsentieren von Bearbeitungswegen ausgewählter Aufgaben
sen und nicht die aktive, individuelle Auseinandersetzung
mit Mathematik.
Das Einbeziehen der Aktivitäten Kooperieren
und Kommunizieren erweitert zusätzlich den
Blick auf den Umgang mit Mathematik. Ein
weit verbreitetes Bild beschreibt Mathematik
als eine Wissenschaft, in der die Mathematikerin,
doch meist der Mathematiker im stillen
Kämmerchen einsam über Formeln brütet
und zu neuen Erkenntnissen gelangt. Dies
hat zur Konsequenz, dass Mathematik als
eine Wissenschaftsdisziplin wahrgenommen
wird, in der Tätigkeiten wie Kooperieren und
Kommunizieren nicht im Vordergrund stehen.
Dies steht im Gegensatz zu Beschreibungen
von mathematischen Erkenntnisprozessen.
Diese sind einerseits geprägt durch den Dialog
mit anderen und andererseits durch den
Zeitgeist, der u.a. dadurch bestimmt wird,
dass sich Menschen und ihre Ideen in der
Öffentlichkeit darstellen, sich mit ihrer Meinung
exponieren, Anhänger und Widersacher
finden und damit ein Auseinandersetzungsprozess
mit oder ohne Wirkung entsteht.
Diese Vorgänge prägen und verändern
in beschreibbaren Wellenbewegungen das
Zeiterleben und bilden den Nährboden für
Theorieentwicklungen.
In der gemeinsamen Arbeit wurde außerdem
deutlich, dass die Auseinandersetzung mit
174
Präsentationsprogramme, z.B.
Power Point
Strukturieren von mathematischen Inhaltstexten Mind-Map-Programme
Gemeinsames Erstellen eines mathematischen Glossars
zur Nutzung im Unterricht
Experimentelles Arbeiten: eigenständig durch die Lernenden
oder in einer Demonstration durch die Lehrperson
WebQuest — Arbeiten an einem Projekt unter Ausnutzung
von Internetquellen
Kooperatives Arbeiten mit Unterstützung einer internetbasierten
Groupware
Veranschaulichen mathematischer Konstrukte, entwickeln
von Vorstellungen
Daten analysieren und modellieren — Zusammenhänge
zwischen der Mathematik und der uns umgebenden Welt
herstellen und die Mathematik für die Welterschließung
aktiv nutzen
Kommunizieren über eine mathematische Fragestellung
im "Mathe-Chat"
HTML
Textverarbeitungsprogramme
z.B. DGS, CAS, Tabellenkalkulationssysteme,
Java-Applets
WWW
z.B. BSCW oder andere Lernplattformen
Algebra Graph, CAS, Java-
Applets
Tabellenkalkulationssysteme
Statistik-Programme
Chat-Programme
Automatisieren mathematischen Wissens Mathe-Lernprogramme
Tab. 1: Übersicht über Lehr-Lern-Aktivitäten, die durch die Nutzung computerbasierten Medien in besonderer Weise
unterstützt werden.
computerbasierten Medien im Mathematikunterricht
immer wieder neu die Chance bietet,
über die Gestaltung von Lehr- und Lernprozessen
im Mathematikunterricht nachzudenken
(vgl. Bescherer & Vogel 2002). Die in
Tab. 1 zusammengefassten Lehr-Lern-Aktivitäten
finden sich in den (in den Bildungsstandards
beschriebenen; KMK 2003, 11f)
allgemeinen mathematischen Kompetenzen
wieder und bilden einen integrativen Bestandteil
der dort geforderten mathematischen
Grundbildung.
3 Potenziale des Computereinsatzes
im Mathematikunterricht
Auf der Grundlage der in Tab. 1 vorgenommenen
Analyse der Beispiele und vor dem
Hintergrund des Vortrags von Cornelia Niederdrenk-Felgner
wurden Potenziale computerbasierter
Medien für den Bereich des Mathematiklernens
zusammengestellt und diskutiert.
Folgende Potenziale erschienen uns
unter Geschlechterperspektive von besonderer
Bedeutung:

Anlass für neue Lehr-Lernformen
Viele der in den Beispielen verwendeten
Computerprogramme geben die Möglichkeit,
Ergebnisse, die am Ende der Beschäftigung
mit mathematischen Fragestellung stehen,
aber auch den Bearbeitungsprozess selbst
zu dokumentieren (z.B. die Ortslinienfunktion
in den Dynamischen Geometriesystemen).
Diese Dokumentationen können dann als Anlass
genutzt werden, über mathematische
Erkenntnisse ins Gespräch zu kommen. Natürlich
steckt dieses Potenzial auch in den
Bleistiftnotizen, die während des Bearbeitungsprozesses
entstehen. Mögliche Zwischenschritte
und auch gefundene Endergebnisse
unterliegen hier in einem viel höheren
Maße der Flüchtigkeit. Sie werden überschrieben,
ausradiert und bleiben als bald
nicht mehr auffindbare Zettel zurück. Natürlich
wird die Art der möglichen Dokumentationsformen
von Seiten der Programmentwicklung
vorgedacht und bestimmt. Insgesamt
machen die Beispiele deutlich, dass über die
Integration von Dokumenten in den Mathematikunterricht,
die während der individuellen
oder kooperativen Auseinandersetzung mit
mathematischen Fragestellungen entstehen,
nachgedacht werden sollte.
In besonderer Weise werden durch die Nutzung
computerbasierter Medien kooperative
Unterrichtsformen unterstützt. Neben der organisatorischen
Unterstützung des kooperativen
Arbeitens, z.B. indem Arbeits- und Zeitpläne
wie auch Zwischenprodukte mit Hilfe
geeigneter Programme verwaltet werden, liefern
computerbasierte Medien die Möglichkeit,
zeit- und ortsunabhängig gemeinsam an
einem Projekt zu arbeiten.
Außerdem erlauben Mathematikprogramme
wie z.B. DGS und speziell erstellte Java-
Applets, auf vielfältige Weise experimentelle
Lehr-Lern-Kontexte zu inszenieren, die den
Schülerinnen und Schülern Raum geben,
Ideen zu mathematischen Fragestellungen
zu entwickeln, umzusetzen und zu überprüfen.
Betonung des Sprachaspekts von Mathematik
bei Präsentation und Dokumentation
Die Integration mathematikferner Programme,
z.B. von Präsentationsprogrammen, in
den Mathematikunterricht gestatten es, neben
den bereits erwähnten Dokumentationsformen,
methodische Elemente in das Lernen
von Mathematik einzubauen, die die
Sprache für die Mathematik wichtig werden
lassen. Es entstehen Lernanlässe, die das
Computereinsatz im Mathematikunterricht unter Geschlechterperspektive
Reden über Mathematik in der Sprache der
Mathematik ermöglichen.
Prozess des Modellierens
Der Prozess des Modellierens kann durch
den Einsatz geeigneter Computerprogramme
in dem Sinne weiter entwickelt werden, dass
einerseits realistische Daten und damit die
Bearbeitung realistischer Fragestellungen in
den Mathematikunterricht Eingang finden
können. Andererseits erlaubt der Einsatz
neuer Technologien, mathematische Probleme,
die Schülerinnen und Schüler aufgrund
ihrer mathematischen Fähigkeiten in
der Sekundarstufe I noch nicht lösen könnten,
auf sehr anschauliche Weise im Sinne
eines dynamischen Visualisierens zu bearbeiten
(vgl. Weigand & Weth 2002, 133ff).
Aufbau von Reflexionskompetenz
Dokumentationen sind in besonderer Weise
geeignet, den Aufbau metakognitiver Kompetenzen
anzuregen und zu unterstützen; —
metakognitive Kompetenzen im Sinne eines
Wissens über die eigenen Fähigkeiten und
über die Qualität von Aufgaben sowie im
Sinne eines Wissens über Prozesse der Kontrolle
kognitiver Vorgänge wie Planung, Überwachung
und Regulation (vgl. Brown 1984).
Das flüchtige Bearbeiten und Durchdenken
von mathematischen Fragestellungen wird
durch die unterschiedlichen Dokumentationsformen
konkret und kann im Rückblick genutzt
und im Sinne eines "Metawissens" kategorisiert
werden.
Neue Möglichkeiten inhaltlicher Zugänge
Die bisher herausgearbeiteten Potenziale beschäftigen
sich in erster Linie mit der Art und
Weise, wie das Lehren und Lernen von Mathematik
gestaltet werden kann. So bleibt abschließend
zu fragen, ob die Veränderungen
der Lehr-Lern-Arrangements ein Nachdenken
über inhaltliche Zugänge nicht sogar erzwingen.
Hat die zunehmende Fokussierung
auf die aktive Auseinandersetzung der Lernenden
mit mathematischen Fragestellungen
nicht u.a. zur Folge, dass die Orientierung
der Schulmathematik an der Fachsystematik
verlassen und verstärkt Inhalte ins Zentrum
des Unterrichts gerückt werden, die das Interesse
der Lernenden aufgreifen?
Natürlich ist die Frage nach den Potenzialen
computerbasierter Medien sowohl eng an die
Freiheitsgrade bzw. an die Gestaltungsspielräume
gekoppelt, die eine Software zulässt,
175

Rose Vogel
als auch an die Medien- und Methodenkompetenzen
der Lehrperson.
Damit einher geht auch die Frage: Wem
nutzt welches Angebot im WWW bzw. im Bereich
der Computersoftware?
4 Chancen für das Mathematiklernen
von Mädchen
und Jungen durch den
Einsatz des Computers
Welche Folgerungen lassen sich aus der Zusammenstellung
der Potenziale des Computereinsatzes
im Mathematikunterricht für das
Mathematiklernen von Mädchen und Jungen
ziehen? Deutlich wird, dass der Einsatz computerbasierter
Medien wieder ein Schritt weiter
führt in dem Bestreben, die Lebenswelt
der Schülerinnen und Schüler in den Mathematikunterricht
stärker aufzunehmen. So eröffnet
die Erweiterung möglicher Veranschaulichungen
die Chance, dass immer weniger
die mathematischen Rechenfertigkeiten
die Auswahl der Kontexte bestimmen, sondern
das Interesse und die Bedürfnisse der
Schülerinnen und Schüler. Die beschriebenen
Ansätze, Sprache und damit Kommunikation
mehr und mehr in den Mathematikunterricht
hereinzuholen, lassen das traditionelle
Bild von Mathematik, das sehr technisch
und unnahbar auf viele Schülerinnen und
Schüler wirkte, allmählich bröckeln. Es werden
Identifikationsmöglichkeiten geschaffen,
die bisher im Fach Mathematik nicht möglich
waren.
176
Literatur
Bescherer, Christine & Rose Vogel (2002): Innovation
durch computerbasierte Medien. In: Wilfried
Herget, Rolf Sommer, Hans-Georg Weigand
& Thomas Weth (Hrsg.) (2002): Medien
verbreiten Mathematik. Bericht über die 19. Arbeitstagung
des Arbeitskreises "Mathematikunterricht
und Informatik" 2001 in Dillingen.
Hildesheim: Franzbecker, 9–17
Brown, Ann L. (1984): Metakognition, Handlungskontrolle,
Selbststeuerung und andere, noch
geheimnisvollere Mechanismen. In: Franz E.
Weinert & Rainer H. Kluwe (Hrsg.) (1984): Metakognition,
Motivation und Lernen. Stuttgart:
Kohlhammer, 60–109
Kultusministerkonferenz (KMK) (2003): Bildungsstandards
im Fach Mathematik für den Mittleren
Schulabschluss.
http://www.kmk.org/schul/Bildungsstandards/
Mathematik_MSA_BS_04-12-2003.pdf
Müller, Gerhard N., Heinz Steinbring & Erich C.
Wittmann (Hrsg.) (2004): Arithmetik als Prozess.
Seelze: Kallmeyer
Niederdrenk-Felgner, Cornelia (2005): Jungen,
Mädchen, Mathematik und Computer. In diesem
Band
Weigand, Hans-Georg & Thomas Weth (2002):
Computer im Mathematikunterricht. Heidelberg:
Spektrum
Internet-Adressen
[1] http://lehrerfortbildung-bw.de/faecher/
mathematik
[2] http://webquest.ph-bw.de/

� Gestaltungsprinzipien und Erfahrungen zum virtuellen
Selbstlernkurs: Mathematik und Computer
Wolfgang Weigel, Würzburg
Im Rahmen des Bereichs Lehrerbildung der Virtuellen Hochschule Bayern (VHB) wird an
den Universitäten Erlangen-Nürnberg und Würzburg der virtuelle Selbstlernkurs Mathematik
und Computer entwickelt. Im Text wird aufgezeigt, welcher Weg zur internetgerechten
inhaltlichen Umsetzung gewählt wurde, und es werden Ergebnisse einer ersten
Akzeptanzstudie präsentiert.
1 Einleitung
Das Internet nimmt mittlerweile eine zentrale
Rolle in unserem täglichen Leben ein. Eine
stetig wachsende Anzahl von Personen aus
allen Bildungsschichten hat Zugang zum
WWW und nutzt es auf vielfältige Weise
(Ridder 2002). Mit dem Medium Internet verbunden
sind neue Möglichkeiten der Wissensaufbereitung
(z.B. durch Videos) und der
Lernmethodik (Bruns & Gajewski 2002). Aus
diesen Gründen fördert das Bundesministerium
für Bildung und Forschung (BMBF) eine
Vielzahl von Projekten im Bereich der Lehrerbildung
mit Schwerpunkt Mathematik, die
das Internet als Medium zur Wissensvermittlung
nutzen (hierzu [1]). Auch die Länder
nehmen an dieser Entwicklung teil und eröffnen
virtuelle Hochschulen (z.B. [2] oder [3]).
In diesem Kontext wird von der Universität
Nürnberg-Erlangen und der Universität Würzburg
gemeinsam der Kurs mit dem Titel Mathematik
und Computer für den Bereich Lehreraus-
und -weiterbildung im Rahmen der
Virtuellen Hochschule Bayern (VHB) entwickelt.
Inhaltlich werden Themen der Geometrie
(Erlangen-Nürnberg) und der Algebra
(Würzburg) bearbeitet. Hierbei handelt es
sich um einen rein virtuellen, internet-gestützten
Kurs. Ziele des Lehrgangs sind u.a.,
Studenten an neue Technologien (wie Computer
Algebra Systeme (CAS) oder Dynamische
Geometrie Software (DGS)) heranzuführen
und angehende Lehrer zu einem kritisch
reflektierten Einsatz dieser Medien im
Mathematikunterricht anzuregen. Dabei ist es
ein wesentliches Anliegen, keine reinen "Gebrauchsanweisungen"
zum Umgang der vorgestellten
Software zu geben, sondern vielmehr
deren themengebundenen Einsatz und
Grenzen aufzuzeigen.
Im vorliegenden Aufsatz wird eine Möglichkeit
beschrieben, Inhalte aus dem Themenbereich
Funktionen so aufzubereiten und
darzustellen, dass das Potential des Internets
genutzt wird und es wird über erste Erfahrungen
(ermittelt im Rahmen einer Akzeptanzstudie)
zum Kurs berichtet.
2 Medieneinsatz
Sobald man sich mit dem WWW und dem Internet
als Lehr-/Lernmedium beschäftigt, bieten
sich dem Autor und dem Nutzer eine
Vielzahl von alternativen Arten der Inhaltsdarbietung
an. Hierbei treten sofort die zentralen
Begriffe Multimedia (MM) und Interaktivität
in den Mittelpunkt des Interesses.
Setzt man in WWW-Inhalten mehrere Mittler
(also Medien) parallel nebeneinander ein, so
spricht man von MM. Kann der Nutzer aktiv
Manipulationen an Multimediaelementen vornehmen,
entsteht also ein Handeln zwischen
Akteur und MM-Komponente, so spricht man
von Interaktion. Hierbei ist besonders darauf
zu achten, dass keine Interaktion mit Navigationselementen
gemeint ist, sondern Interaktion
am Lernobjekt (Schulmeister 2002).
Als Beispiel für ein interaktives Handeln am
Lernobjekt wird in Abb. 1 eine Benutzeroberfläche
gezeigt, mit deren Hilfe Graphen von
Scharfunktionen in dreidimensionaler Darstellung
erzeugt werden.
Der Lernende kann sowohl den Funktionsterm
und den dazugehörigen Darstellungsbereich
als auch die resultierende 3D-Darstellung
(durch Drehen oder Zoomen) bestimmen
und verändern. Das Arbeiten mit diesem
Hilfsmittel ermöglicht es, Eigenschaften der
dargestellten Funktion und deren räumliche
Gestalt zu untersuchen.
177

Wolfgang Weigel
2.1 Kategorisierungen von Multimediaelementen
Wie von Weidenmann (2002) festgestellt, ist
der Begriff "Multimedia" weit verbreitet, allerdings
zu undifferenziert und daher für die
wissenschaftliche Diskussion wenig geeignet.
Ähnliches gilt für den Fachausdruck der
Interaktivität. Multimedia und Interaktivität
müssen genauer beschrieben und differenziert
betrachtet werden (Haack 2002), damit
man wissenschaftlich damit arbeiten kann.
Um über den Erfolg des zielorientierten Einsatzes
von Multimedia und Interaktivität diskutieren
zu können, ist eine genauere Eingrenzung
der Begriffe notwendig. Im Folgenden
werden zwei mögliche Kategorisierungen
vorgestellt.
2.1.1 Passive und interaktive Multimediaelemente
178
Abb. 2: Interaktiv bedienbarer Abakus
Eine einfache Art der Unterteilung von MM-
Elementen ist die Unterscheidung in passive
und interaktive Bestandteile (Weigel 2003a).
Abb. 1: Manipulation am Lernobjekt
Zu den passiven Elementen zählen beispielsweise
Text, Bild und Video. Interaktive
Komponenten sind Java-Applets oder Web-
Mathematica-Anwendungen. Beispiel für ein
interaktives Java-Applet ist ein online benutzbarer
Abakus, der in eine Lernsequenz eingebunden
werden kann (vgl. Abb. 2).
Die Lernenden können mit dem virtuellen Rechengerät
die gleichen Rechnungen, Gedankengänge
und Lernprozesse konstruieren
wie mit einem realen Abakus. Das Applet ist
aber im Gegensatz zu einem realen Abakus
stets für den Lerner verfügbar.
Die beiden unterschiedlichen Beispiele lassen
bereits erkennen, dass verschieden starke
Ausprägungen von Interaktivität auftreten
können, was eine weitere Differenzierung
von MM-Elementen sinnvoll macht.
Mit WebMathematica (vgl. hierzu [4]) hat
man die Chance, typische CAS-Anwendungen
(wie Berechnungen, Ableitungen oder
Visualisierungen durchzuführen) dem Lerner
zur sofortigen Verwendung innerhalb einer
Online-Lehr-/Lernumgebung bereit zu stellen.
Abbildung 1 zeigt, wie mithilfe von WebMathematica
eine sofortige Darstellung und
Veränderung von Funktionen zweier Veränderlicher
aussehen kann. Weitere Beispiele
und Hintergrundinformation zu diesem Thema
findet man in Weigel (2003b).
2.1.2 Taxonomie nach Schulmeister
Rolf Schulmeister (2002) hat folgende sechsstufige
Kategorisierung von MM-Elementen
vorgeschlagen:
1. Objekte betrachten und rezipieren.
2. Multiple Darstellungen betrachten und rezipieren.
3. Die Repräsentationsform variieren.
4. Den Inhalt der Komponente modifizieren.

Gestaltungsprinzipien und Erfahrungen zum virtuellen Selbstlernkurs: Mathematik und Computer
5. Das Objekt bzw. den Inhalt der Re-präsentation
konstruieren.
6. Den Gegenstand bzw. den Inhalt der Repräsentation
konstruieren und durch manipulierende
Handlungen intelligente
Rückmeldung vom System erhalten.
Stufe 1 beinhaltet das Lesen von Texten
oder das Betrachten von Bildern. Der Lerner
kann nicht selbst Inhalte gestalten. Es handelt
sich hierbei um keine echte Interaktivität.
Zur zweiten Stufe zählt man animierte Bildfolgen
(sogenannte Animated-Gif) oder auch
bei Bedarf verfügbare Zusatzinformationen in
auditiver oder visueller Form zu beliebigen
Elementen. Beispielsweise ein typisches Musikstück,
das bei Klick auf das Bild eines
Komponisten von selbst startet. In Stufe 3
kann der Student selbst bestimmen, welche
Veränderung der Repräsentationsform vorgenommen
wird. Abbildung 3 zeigt als Beispiel
hierfür die interaktive Drehung eines in
der x-z-Ebene halbierten Paraboloids.
Abb. 3: Variation der Repräsentationsform
Bestimmt und modifiziert der Nutzer neben
der Darstellung auch die zu betrachtende
Komponente, dann handelt es sich um Interaktivität
auf Stufe 4. Ein Beispiel hierfür ist in
Abb. 1 dargestellt. Neben der aktiven Manipulation
des 3D-Objektes kann der betrachtete
Funktionsterm selbst eingegeben und
verändert werden. Konstruiert man als Lerner
selbstständig (z.B. ein Lot zu einer vorgegebenen
Geraden in einem bestimmten Punkt),
dann handelt es sich um ein Beispiel für Stufe
5. Stufe 6 baut auf den vorherigen Stufen
auf und wird um kontextabhängige Rückmeldungen
für den Anwender erweitert, in denen
er Informationen und Tipps passend zur momentan
bearbeiteten Aufgabe oder Tätigkeit
erhält.
Lerninhalte in virtuellen Seminaren kann man
mit verschiedenartigen Visualisierungen anschaulicher
Gestalten. Mit interaktiven Elementen
ermöglicht man dem Lerner, seinen
persönlichen Lernweg zu gestalten. Die vorgestellte
Kategorisierung von MM-Elementen
kann helfen, wissenschaftlich zu überprüfen
und zu reflektieren, ob die eingesetzten Komponenten
in einer Online-Umgebung den mit
ihnen in Verbindung gebrachten Nutzen erfüllen
und ob dieser Nutzen damit auch erreicht
wird.
Der Kurs Mathematik und Computer beschäftigt
sich inhaltlich mit Einsatzmöglichkeiten
von CAS. Ein Ansatz, wie man CAS und interaktive
Elemente unterschiedlicher Art sinnvoll
und zielorientiert in einer Internet-Umgebung
verwenden kann, wird im folgenden Abschnitt
anhand des Teilmoduls Funktionen
vorgestellt.
2.2 Verwendete Multimediaelemente
Grundlage eines jeden virtuellen Online-Kurses
sind Internetseiten, die in Hypertextmarkierungssprache
(HTML) realisiert sind und
somit von beliebigen Browsern (z.B. Netscape
oder Opera) dargestellt werden können.
In Verbindung mit HTML kommen im
Algebra-Bereich noch 8 weitere MM-Komponenten
zum Einsatz (s. Abb. 4), die im Folgenden
näher beschrieben werden.
Abb. 4: Eingesetzte MM-Elemente im Kurs Mathematik
und Computer
Um den Studierenden bereits zu Beginn einer
Lerneinheit einen Überblick über anstehende
Inhalte zu ermöglichen und dem Effekt
"lost in hyperspace" (beschrieben z.B. in
Haack 2002) entgegenzuwirken, werden
Übersichten angeboten. Sie sind als mehrstufige
Flash-Applikation umgesetzt. Zunächst
erhält der Student Information über
Themenschwerpunkt (z.B. Funktionen) und
darin enthaltene Unterabschnitte (z.B.
Grundlagen oder Graph-Tabelle-Gleichung-
Darstellungen (GTG)). Zusätzlich zum schriftlich
gestalteten Überblick wird jeweils ein für
den Abschnitt typisches und im eigentlichen
Kapitel wiederkehrendes Bild angeboten (vgl.
in Abb. 5 Unterpunkt Grundlagen). Werden
von den Lernenden weitere Informationen
gewünscht, erscheinen zu jedem Teilaspekt
bei "Mouse-Over" stichpunktartige Inhaltsangaben
(in Abb. 5 Unterpunkt Erkunden). In
einer dritten Stufe (bei "Mouse-Klick") werden
zwei charakteristische, inhaltsbeschreibende
Bilder angeboten (vgl. Abb. 5 Unterpunkt
GTG). Alle drei Informationsstufen sind
für jeden Unterpunkt verfügbar.
179

Wolfgang Weigel
180
Abb. 5: Mehrstufige Übersicht realisiert in Flash
Die zunächst knapp bemessene Schautafel
und die weitergehende, dreistufige Informationsvermittlung,
kombiniert mit zusätzlich eingebauten
Filmsequenzen, kann als eine alternative
Form der Überblicksgewinnung angesehen
werden.
Ziel des Kurses Mathematik und Computer
ist es, Lernenden Kenntnisse über neue
Technologien wie CAS zu vermitteln und sie
zu einem didaktisch sinnvollen Einsatz dieser
Hilfsmittel im Mathematikunterricht anzuregen.
Hierzu ist es zunächst notwendig, dass
Studierende mit diesen Technologien umgehen
lernen. Für den Gebrauch in der Schule
bietet sich aufgrund der einfachen und menügesteuerten
Führung z.B. das CAS Derive
an. Da Derive preiswert zu erwerben ist,
werden Teile der Inhalte und Aufgaben so
gestellt, dass man zuhause offline eigene Erfahrungen
damit sammeln kann.
Abb. 6: Beispiel für eine Website
Alle CAS-Erfahrungen können natürlich auch
online erworben werden. Zu diesem Zweck
sind viele Inhalte so gestaltet, dass z.B. Experimentieren
oder Visualisieren mit dem
Computer auch innerhalb des virtuellen Kurses
stattfinden kann. Mithilfe von Web-
Mathematica-Seiten (WebM) gelingt es, typische
CAS-Aufgaben im WWW zugänglich
und bearbeitbar zu gestalten.
Thematische Schwerpunkte, theoretisches
Hintergrundwissen und Aufgaben werden
durch erklärenden Text präsentiert. Wenn
möglich werden diese Elemente zusätzlich
durch ein Bild erläutert (vgl. Abb. 6). Die Inhalte
liegen nun doppelt codiert vor, wodurch
positive Veränderungen in der Lernleistung
nachgewiesen werden können (vgl. Mayer
2001).
Komplexe und dynamische Vorgehensweisen,
wie die Bedienung eines CAS, machen
die schriftliche Erläuterung schwierig und
umfangreich. Für diese Zwecke ist eine authentische
Erklärung via Video sinnvoll. Dies
geht auch aus bereits genauer untersuchten
Online-Kursen hervor. Studierende äußerten
explizit den Wunsch nach Videos (Mandl
2001). Wichtig ist, dass die Lerner die Möglichkeit
haben, innerhalb des Videos zu
springen, es zu stoppen und auch wiederholt
anzusehen (Chambel 2001, Schnotz 2001).
Wie in Abb. 6 gezeigt, werden aus jedem Video
bis zu drei markante Szenen herausge-

Gestaltungsprinzipien und Erfahrungen zum virtuellen Selbstlernkurs: Mathematik und Computer
nommen und als Bild parallel zum erklärenden
Text angeboten. Diese Bilderfolgen dienen
dazu, dem Lerner schnell einen Überblick
zu verschaffen, was im Video beschrieben
wurde bzw. wird. Er erhält so bereits vor
dem Start des eigentlichen Films die Chance
zu entscheiden, ob die Inhalte für ihn wichtig
sind. Hat er das Video bereits gesehen, kann
er sich beim Lesen des dazugehörigen Textes
anhand der Bilderfolgen erinnern. Alle
Bilder der Bilderfolge werden zur besseren
Erkennbarkeit von Details auch als Großbild
angeboten. Die Kombination aus Video und
Bilderfolgen ist als ein Teilaspekt der aktuellen
Forschung im Bereich "Neue Medien" unter
dem Schlagwort Hypervideo zu finden
(Chambel 2001).
Neben der Abwechslung im Lernszenario
durch einen breiten Einsatz von Medien auf
verschiedenen Stufen sind weitere Schritte
zur Unterbindung psychischer Ermüdung gefragt.
Aus diesem Grund wird innerhalb des
Lernkurses aufgefordert, Texte in einem Didaktik-Lehrbuch
zu lesen, darüber zu reflektieren
bzw. im Forum dazu Stellung zu nehmen.
Der Lernende führt hier eine Tätigkeit
abseits des Rechners durch. Den gleichen
Effekt bewirken auch vereinzelt eingestreute
"Paper & Pencil"-Aufgaben.
3 WWW-Gestaltungsprinzipien
Die einzelnen MM-Elemente erzielen nur
dann den gewünschten Lernerfolg, wenn der
Gestaltung der zugehörigen HTML-Seiten
angemessene Prinzipien zugrunde gelegt
werden. Es wurde beispielsweise auf allen
Seiten des Kurses ein weitgehend einheitliches
optisches Layout und eine konsequente
inhaltliche Darstellung durchgeführt. Dabei
wird auf Ergebnisse der aktuellen Forschung
zurückgegriffen, die z.B. von Blömeke (2003)
umfassend beschrieben wurden.
3.1 Optische Ebene
Der Lernprozess in Online-Umgebungen wird
bei den Studierenden als aktive und konstruktive
Handlung vermutet. Daher ist es
notwendig, dass der Lerner "Prozesse der
Auswahl, der Organisation und der Verarbeitung
von Information" (Schnotz 2001, 293)
durchführt. Um ihn dabei zu unterstützen,
wurden die Webseiten nach zwei wesentlichen
Merkmalen gestaltet (vgl. Abb. 6):
• 3-Spalten-Layout (Weigand et al. 2002),
• Verwendung von Buttons.
Mithilfe funktionsgebundenener Buttons erkennt
der Benutzer, ob im nebenstehenden
Text eine Inhaltsübersicht gegeben wird, der
Lehrstoff theoretisch dargestellt wird oder eine
Aufgabe vorliegt. Die Buttons sind am linken
Rand angeordnet. In der mittleren Spalte
findet man passend zum jeweiligen Inhalt erklärende
und beschreibende Texte. In der
rechten Spalte sind ergänzend zum Text Bilder
aufgeführt. Ebenso findet man hier Buttons,
die auf Videos, WebMathematica-Aktivitäten
oder Lösungstipps zu schwierigen
Aufgaben hinweisen. Zusätzlich zu Text und
Video gibt es in dieser Spalte auch Bilderfolgen
(wie oben beschrieben).
Mayer (2001) hat in einer empirischen Studie
festgestellt, dass durch Doppelcodierung
bessere Lernergebnisse zu erwarten sind. Er
bezeichnet dieses Ergebnis als Multimediaprinzip.
Dementsprechend werden soweit
möglich zu den Texten auch illustrierende
Bilder präsentiert. Alle Bilder sind in räumlicher
Nähe zum zugehörigen Text angeordnet.
Es gibt Hinweise, dass die Anwendung
dieses so genannten Kontiguitätsprinzips den
Lernprozess erleichtert (Mayer 2001).
Neben diesen optischen Prinzipien der Gestaltung
wurden auch die Inhalte nach bestimmten
Regeln angeordnet.
3.2 Inhaltliche Ebene
Die Inhalte des Kurses werden grundsätzlich
in drei Schritten an die Studierenden herangetragen(Experimentieren-Vormachen-Anwenden
— EVA):
1. Experimentieren: Zu Beginn jedes Unterabschnittes
(z.B. Funktionen erkunden; s.
Abb. 5) wird versucht, mit Experimentieraufgaben
(s. hierzu [5]) an den mathematischen
Sachverhalt und die themenbezogene
Arbeitsweise mit einem CAS heranzuführen.
Dabei ist "Explorierendes Arbeiten
mit dem Computer" eine zentrale und
wichtige Tätigkeit auch im Mathematikunterricht
(vom Hofe 2001) und sollte daher
von den Studierenden am eigenen Leib
erlebt werden.
2. Vormachen: Nach der Phase des Entdeckens
wird mithilfe von Text und Videos
erklärt bzw. vorgemacht, wie man in Derive
eine Problemlösung erreichen würde.
3. Anwenden: Abschließend müssen die
Lernenden die Lerninhalte anhand von
Aufgaben selbst einüben.
181

Wolfgang Weigel
Neben dem Erwerb technischer Kompetenzen
wird ein weiterer Schwerpunkt auf die
kritische Reflektion des Mediums gesetzt.
Wann, wie und in welchem Umfang nutzt
man diese Medien? Oder auch: Welche Probleme
können beim Einsatz auftreten?
4 Akzeptanzstudie
Es stellt sich die Frage, wie das gestalterische
und multimediale Konzept des Kurses
von den Studierenden angenommen wird.
Zur Akzeptanz und zum Lernerfolg von Online-Kursen
im Bereich der Mathematik gibt es
bislang wenige Erkenntnisse. Der folgende
Abschnitt liefert erste Einblicke in die Ergebnisse
einer Akzeptanzstudie zum Kurs Mathematik
und Computer. Es wird im Detail auf
Ziele und den inhaltlichen Untersuchungsgegenstand
eingegangen. Auch auf die dabei
eingesetzten Methoden wird ein besonderes
Augenmerk gelegt. Abschließend werden die
gewonnenen Erfahrungen diskutiert.
4.1 Ziele
Im Rahmen der Akzeptanzstudie ging es
darum, Erkenntnisse zur Qualität, zu Gestaltung
und Nutzbarkeit der Inhalte bzw. der
Lehr-/Lernumgebung zu sammeln. Deshalb
wurden die didaktische Angemessenheit des
Kurses, die Nutzbarkeit der Plattform bzw.
der Webseiten sowie der Lernerfolg der Teilnehmer
des WWW-Kurses genauer untersucht
(nach Schaumburg & Rittmann 2001).
4.1.1 Didaktische Angemessenheit
Es galt herauszufinden, ob der Kurs an das
Vorwissen der Teilnehmer anknüpfte, ob es
Lücken gab oder ob die Studierenden unterfordert
waren. Eine weitere wichtige Frage
dieses Bereichs lautete: Waren die Lernziele
für die Beteiligten deutlich erkennbar?
4.1.2 Usability
Mit der Nutzbarkeit oder Usability (vgl. hierzu
[6]) verbindet man Fragen nach der Erlernbarkeit
im Umgang mit der Plattform oder
auch danach, wie die Nutzer mit der Anordnung
der Inhalte zurechtgekommen sind.
4.1.3 Lernerfolg
Die sicherlich schwierigste Frage, die es zu
beantworten galt, zielte auf den erhofften
Wissenszuwachs der Studierenden ab. Da
182
die Inhalte multimedial aufbereitet waren und
die Lerner aktiv mit Lernobjekten umgehen
konnten, stellte sich zunächst die bekannte
Frage: "Was ist unter Lernerfolg zu verstehen?"
(vgl. Baumgartner 1999)
Diese Frage wurde für die Akzeptanzstudie
in zwei Teile unterteilt:
• Fragen zur CAS-Nutzung,
• Fragen zum Ziel des Kurses.
Im Zentrum des Interesses standen dabei:
• Welche Medienangebote wurden von den
Teilnehmern als nützlich eingestuft und
warum?
• Wurden neue Möglichkeiten zum Computereinsatz
im Mathematikunterricht wahrgenommen?
• Ist dieser Selbstlernkurs als Vorbereitung
auf den Lehrberuf geeignet?
4.2 Mathematische Inhalte
Die Ziele der Akzeptanzstudie wurden am
achtteiligen Abschnitt Funktionen aus dem
Bereich der Algebra überprüft. Zu Beginn
wurden die Probanden anhand einer mehrstufigen
Übersicht über die anstehenden Inhalte
informiert. Im ersten Teilabschnitt wurden
Grundlagen zur Funktionsdarstellung
mithilfe eines CAS vorgestellt. Experimentelles
Arbeiten mit Rechnerunterstützung, Gleichung-Tabelle-Graph-Darstellungen
und Visualisierungen
von Kurven waren weitere
Themen. Der Umgang mit zusammengesetzten
Funktionen und der Übergang zu Funktionen
zweier Veränderlicher (z.B. anhand
von Funktionsscharen) wurde ebenfalls thematisiert.
Die Inhalte orientieren sich an den
didaktischen Ideen von Vollrath (1999) sowie
Weigand & Weth (2002). Abgerundet wurde
das Themenpaket mit Aufgaben zu allen vorher
behandelten Bereichen.
4.3 Methoden
Durch den Einsatz von MM-Elementen erhofft
man sich, dass die Lerner konstruktiv ihr
Wissen erweitern und der Lernprozess gefördert
wird. Will man eine Untersuchung dahingehend
führen, stellt sich die Frage nach
passenden Werkzeugen zur Evaluation.
Baumgartner (1999) schlägt vor, dass aufgrund
der Interaktivität andere Arten der Evaluation
gewählt werden müssen. Dementsprechend
wurden zur Überprüfung der oben
vorgestellten Ziele drei Instrumente eingesetzt
und kombiniert:

Gestaltungsprinzipien und Erfahrungen zum virtuellen Selbstlernkurs: Mathematik und Computer
1. Online-Fragebögen,
2. Videoaufzeichnungen,
3. Interviews.
Zu 1: Vor Beginn der Testphase wurden von
allen Beteiligten in einer zweiteiligen Befragung
allgemeine Daten (Geschlecht, Semesterzahl,
…), Medienkompetenz und Grundwissen
über Funktionen in Erfahrung gebracht.
Am Ende des Tests wurde noch einmal
dieses Grundwissen und im Kurs vermitteltes
Fachwissen abgefragt. Zusätzlich wurden
Daten zur Lernform (Selbstlernen),
Übersichtlichkeit, Verständlichkeit, zu persönlichen
Erfahrungen und zur Nützlichkeit
der MM-Komponenten erhoben.
Anhand dieser Daten war ein Vergleich "Vorher-Nachher"
möglich. Eventuell aufgetretene
Probleme im Umgang mit Computern oder
den CAS-Anwendungen konnten in Bezug
zur vorher analysierten Medienkompetenz
der Gruppe gestellt werden. Weiterhin
war ein Einblick in Bereiche der Usability und
des persönlichen Lernerfolgs möglich.
Zu 2: Das Gesichtsfeld ausgewählter Personen
wurde zusammen mit deren Tätigkeit am
Rechner als Video aufgezeichnet (s. Abb. 7).
lichkeit, MM-Elemente, Computereinsatz und
Selbsteinschätzung des Lernerfolgs eingegangen.
In einem zweiten Teil wurden die
Personen mit vorher ausgewählten (aus der
Sicht des Interviewers interessanten) Szenen
aus dem Video konfrontiert und dazu befragt.
Mithilfe der Interviews war es möglich, Ergebnisse
der Fragebögen zu hinterfragen
und dadurch ein genaueres Bild der Sachlage
zu erhalten (z.B. "Warum haben Sie das
Medium Film als hilfreich empfunden?"). Aus
den Videoprotokollen war ersichtlich, wie die
Studierenden mit dem System umgehen und
an welchen Stellen bzw. Inhalten Probleme
aufgetreten sind. Im Interview konnte direkt
Bezug darauf genommen werden, und dadurch
eröffnete sich die Chance, mehr und
genaue Informationen zu erhalten, warum
und wieso diese Probleme auftraten.
4.4 Ergebnisse
Alle 32 Probanden arbeiteten in mehreren
Gruppen in einem Computer-Pool für mindestens
zweimal 90 Minuten im Online-Kurs.
Dabei handelte es sich um 17 Studierende
mit durchschnittlich sechs Semestern Universitätserfahrung
und um 15 Schüler der
Abb. 7: Rechts erkennt man die Mimik des Probanden und links seine momentane Aktivität im Online-Kurs
Hierdurch konnte die Arbeitsweise am Rech- Oberstufe mit Leistungskurs Mathematik.
ner mit WebMathematica, Derive und der Den beteiligten Personen konnte ein durch-
Lernplattform genauer untersucht werden. Es schnittlich gutes Wissen im Umgang mit dem
gelang so, anhand der vielfältigen Mimik (Le- Computer zugeschrieben werden. Dies zeigt
onard 1968) der Probanden tendenzielle sich daran, dass 31 von 32 Befragten einen
Aussagen über die Wirkung der bearbeiteten Privatrechner besitzen und deutlich über
Aufgaben, Texte und MM-Elemente zu ma- 80% den Computer für Office-Anwendungen
chen.
bzw. Email nutzen. Dabei war von besonde-
Zu 3: Alle gefilmten Probanden wurden auch
zu einem problembezogenen und konfrontierenden
Interview eingeladen. Hierbei wurde
auf Lernplattform, Lernmethode, Verständrem
Interesse, dass fast 80% bereits Erfahrungen
mit CAS hatten. Mit Video aufgezeichnet
und interviewt wurden drei Studierende
und ein Schüler.
183

Wolfgang Weigel
Ausgehend von den Zielen der Akzeptanzstudie,
werden nun erste Erfahrungen und
Tendenzen berichtet.
4.4.1 Didaktische Angemessenheit
Angehende Mathematikstudenten wird man
vor allem unter der Gruppe der mathematikinteressierten
Abiturienten finden. Diese Personengruppe
wird sich im Studium mit den
zu untersuchenden Materialien beschäftigen.
Für Studierende und Schüler bietet der Kurs
inhaltlich, auf der "technischen" Werkzeugebene,
als auch auf Darstellungs- und Objektebene,
neue Aspekte.
Die Schüler bemängelten das sehr breite
Schwierigkeitsspektrum des Kurses. Einige
Inhalte (wie Funktionen zweier Veränderlicher
oder Kurven) waren Ihnen nahezu unbekannt.
Im Gegensatz dazu wurden Theorie
und Aufgaben von den Studierenden als angemessen
empfunden, woraus man folgern
kann, dass die inhaltlichen Anforderungen
des Kurses für das Zielklientel (Studenten)
geeignet sind.
Die Studierenden vermuteten als Ziel des
Kurses, vor allem den Umgang mit CAS (z.B.
Derive) zu erlernen. Dieses zunächst enttäuschende
Ergebnis relativierte sich bei genauerer
Nachfrage. Großteile der ersten Sitzung
wurden damit verbraucht, den Umgang
mit dem Lernsystem kennen zu lernen. Anfängliche
Schwierigkeiten mit der korrekten
Syntax in Derive bzw. WebMathematica lenkten
die Aufmerksamkeit von didaktischen
Fragestellungen ab. Als weiteres Problem
wurde die "geringe" Zeit genannt. Die Befragten
würden als reale Online-Studierende zuhause
vermutlich mehr Zeit (als in einer Laborsituation)
investieren.
Um die Transparenz der Lernziele des Kurses
zu überprüfen, hat sich der zeitliche Rahmen
der Studie als zu eng erwiesen.
4.4.2 Usability
Wie bereits im vorherigen Punkt angedeutet,
wurde die Nutzbarkeit der Lernplattform zu
Beginn als gewöhnungsbedürftig eingestuft.
Diese Schwierigkeit bestand allerdings in der
zweiten Sitzung kaum mehr.
Die gestalterische Aufbereitung der Inhalte
entsprach den Vorstellungen der Probanden.
Ein Teilnehmer bemerkte: "Die Inhalte sind
sehr gut geordnet und ergeben auch einzeln
Sinn."
Zusammenfassend kann man feststellen,
dass die Teilnehmer des WWW-Kurses eine
184
Einarbeitungszeit benötigten, dann aber effizient
mit dem System arbeiten konnten.
4.4.3 Lernerfolg
Die Studierenden wurden konkret gefragt, ob
sie durch den Kurs neue Möglichkeiten zum
Computereinsatz im Mathematikunterricht
kennengelernt hätten. Diese Aussage wurde
als durchschnittlich zutreffend (mit geringer
positiver Tendenz) empfunden (5-teilige Likert-Skala
gemäß Bortz & Döring (1995): Mittelwert
3, Ergebnis: 3.44 ± 1.46). Weiterhin
wurde gefragt, ob das Selbstlernmodul als
eine gute Vorbereitung auf den Lehrberuf
angesehen werden kann. Die Probanden
stuften diese Aussage ebenfalls als durchschnittlich
zutreffend ein mit geringer negativer
Tendenz: Mittelwert 3, Ergebnis:
2.69 ± 1.04).
Aus Videoprotokollen konnte in Erfahrung
gebracht werden, dass wenig Reflektionsund
Diskussionsaufgaben bearbeitet wurden.
Als Grund hierfür wurde im Interview erneut
die geringe Zeit und der Schwerpunkt auf
Problemen im Umgang mit dem CAS geäußert.
Daher stand der Erwerb einer (notwendigen)
Werkzeugkompetenz im Mittelpunkt
der Probanden. Einigen waren aus früher
besuchten Seminaren Möglichkeiten zum
Computereinsatz im Mathematikunterricht
bereits bekannt.
Über drei Viertel der beteiligten Personen
waren dennoch der Überzeugung, etwas gelernt
zu haben. Aufgrund der vorher beschriebenen
Dominanz von CAS-Anwendungen
(aus der Sicht der Teilnehmer) und den
anfänglich damit verbunden Problemen,
könnte man vermuten, dass der Kurs als
CAS-Training verstanden wurde. Diese Aussage
trifft erneut nur durchschnittlich zu (mit
geringer Tendenz zur Ablehnung:
2.88 ± 0.99).
Die beteiligten Studenten waren der Meinung,
dass die im Kurs eingesetzten MM-
Elemente ihnen das Lernen erleichtert haben
(4.38 ± 0.99). Besonders nützlich wurden
hierbei die Videos eingestuft (4.82 ± 0.38).
Der Einsatz von Derive wurde tendenziell
nützlicher (4.19 ± 0.73) als der von Web-
Mathematica empfunden (3.44 ± 1.27).
4.5 Fazit der Befragung
Die Ergebnisse lassen auf ein stimmiges
MM-Konzept schließen. Vor allem Videos
wurden positiv bewertet, da man hier nach
Aussage der Probanden bei Problemen

Gestaltungsprinzipien und Erfahrungen zum virtuellen Selbstlernkurs: Mathematik und Computer
schneller und einfacher nachschauen konnte
als im Text. Es hat sich auch gezeigt, dass
Videos wirklich mehrmals aufgerufen wurden.
WebMathematica-Seiten sind einfach zu
bedienen und befassen sich mit einem konkreten
Problem. Derive erwartet vom Nutzer
mehr Kompetenz, dafür hat er aber die volle
Freiheit in der Anwendung. Man erkennt
deutlich zwei unterschiedliche Philosophien,
die sich auch ansatzweise in der Befragung
der Probanden zeigten. Einige bevorzugten
Bedienungskomfort und nahmen wissentlich
Einschränkungen kreativer Möglichkeiten in
Kauf. Andere bevorzugten das offene System,
um alle mathematischen Ideen sofort
verfolgen zu können. Es hat sich auch angedeutet,
dass von leistungsstärkeren Teilnehmern
das offene Derive bevorzugt wird. Leistungsschwächere
neigen eher zum einfachen
und geleiteten System. Allerdings basieren
diese Vermutungen auf persönlichen Erfahrungen
mit den Probanden.
5 Zusammenfassung und
Diskussion
Dieser Aufsatz hat eine Möglichkeit zur Umsetzung
eines Online-Kurses im Bereich der
Algebra beschrieben. Schwerpunkte waren
dabei Regeln zur sinnvollen Inhaltsaufbereitung
und Ansätze zum reflektierbaren Einsatz
von MM-Elementen.
Die Untersuchungsergebnisse der Akzeptanzstudie
zeigen in den Punkten Angemessenheit
und Verwendbarkeit der Lernplattform
bzw. Lerninhalte ein positives Feedback.
Die Studierenden stuften die mathematischen
Inhalte als angemessen ein. Es hat
sich deutlich gezeigt, dass der Umgang mit
der Lernplattform zunächst erlernt werden
muss, bevor ein inhaltliches Arbeiten möglich
ist.
Auch das MM-Konzept scheint nach subjektiven
Einschätzungen der Teilnehmer geeignet
zu sein, um den Lernerfolg zu fördern.
Besonders Videos wurden zur Lösung von
aufgetretenen Problemen herangezogen. Alle
bereitgestellten MM-Ressourcen (z.B.
WebMathematica, Derive, Text) wurden als
nützlich empfunden. Allerdings fehlen noch
genauere Erkenntnisse, was diese MM-Elemente
für die Teilnehmer so hilfreich macht.
Ob sich bestimmte Medien auch wirklich stimulierend
auf leistungsstarke bzw. leistungsschwächere
Lernende auswirken, kann aufgrund
der geringen Teilnehmerzahl nur vermutet
werden, obwohl sich erste Tendenzen
abzeichnen. Weitere Forschungen sind unumgänglich
um diese offene Frage genauer
zu untersuchen.
Inwieweit alle gewonnenen Ergebnisse in einer
realen Lernsituation (alleine und zuhause)
reproduzierbar sind, gilt es ebenfalls zu
überprüfen. In diesem Fall ist damit zu rechnen,
dass der bemängelte knappe zeitliche
Rahmen des Tests und die daraus resultierenden
Folgen in den Hintergrund treten.
Literatur
Baumgartner, P. (1999): Evaluation mediengestützten
Lernens. In: Michael Kindt (Hrsg.)
(1999): Projektevaluation in der Lehre. Multimedia
an Hochschulen zeigt Profil(e). Münster:
Waxmann, 63–99
Bortz, J. & Nicola Döring (1995): Forschungsmethoden
und Evaluation für Sozialwissenschaftler.
Berlin: Springer, 2. Auflage, Kapitel 4
Blömeke, Sigrid (2003): Lehren und Lernen mit
Neuen Medien — Forschungsstand und Perspektiven.
In: Unterrichtswissenschaft 31, 57–
82
Bruns, B. & P. Gajewski (2002): Multimediales
Lernen im Netz. Berlin: Springer
Chambel, T. & N. Guimareaes (2000): Communicating
and Learning Mathematics with Hypervideo.
In: J. Borwein et al. (Hrsg.) (2000): Multimedia
Tools for communicating mathematics.
Berlin: Springer, Kapitel 6
Haack, Johannes (2002): Interaktivität als Kennzeichen
von Multimedia und Hypermedia. In:
Issing & Klimsa (2002), 151–166
Hofe, Rudolf vom (2001): Funktionen erkundenmit
dem Computer. In: mathematik lehren 105,
54–58
Issing, Ludwig J. & Paul Klimsa (Hrsg.) (2002): Information
und Lernen mit Multimedia und Internet.
Weinheim: Beltz, 3. Auflage
Leonard, K. (1968): Der menschliche Ausdruck.
Leipzig: Barth
Mandl, Heinz & A. Weinberger (2001): Wandel
des Lernens durch Neue Medien — das virtuelle
Seminar "Empirische Erhebungs- und
Auswertungsverfahren". In: F. Hesse & H.
Friedrich (Hrsg.) (2001): Partizipation und Interaktion
im virtuellen Seminar. Münster:
Waxmann, 243–268
Mayer, R. (2001): Multimedia Learning. Cambridge:
Cambridge University Press
Ridder, C.-M. (2002): Onlinenutzung in Deutschland.
In: Media Perspektiven 3, 121–131
Schaumburg, H. & S. Rittmann (2001): Evaluation
des Web-basierten Lernens — Ein Überblick
über Werkzeuge und Methoden. In: Unterrichtswissenschaft
29, 342–356
Schnotz, W. (2001): Wissenserwerb mit Multimedia.
In: Unterrichtswissenschaft 29, 293–318
185

Wolfgang Weigel
Schulmeister, Rolf (2002): Taxonomie der Interaktivität
von Multimedia — Ein Beitrag zu aktuellen
Metadaten-Diskussion. In: it+ti 4, 193–199
Vollrath, Hans-Joachim (1999): Algebra in der Sekundarstufe.
Mannheim: BI Wissenschaftsverlag
Weidenmann, B. (2002): Multicodierung und Multimodalität
im Lernprozess. In: Issing & Klimsa
(2002), 45–64
Weigand, Hans-Georg (2000): Internet-gestützte
Kommunikation in der Lehramtsausbildung. In:
Journal für Mathematik-Didaktik 22, 99–123
Weigand, Hans-Georg & Thomas Weth (2002):
Computer im Mathematikunterricht. Heidelberg
u.a.: Spektrum
Internetseiten
186
Weigand, Hans-Georg et al. (2002): New Ways of
Communication via the Internet — New Ways
of Learning. In: Josef Böhm (Hrsg.) (2002):
Visit-Me-2002. Proceedings of the Vienna International
Symposium on Integrating Technology
in Mathematics Education. Vienna,
Austria, CD, bk teachware Series "Support in
Learning" no. SR-31
Weigel, Wolfgang (2003a): Employment of Media
in an Internet Supported Learning Platform
with Madin Serving as an Example. In: P.
Isaas (Hrsg.) (2003): Proceedings of the IADIS
International Conference WWW/Internet 2003,
IADIS Press, 1195–1198
Weigel, Wolfgang (2003b): WebMathematica Online
— Ein Beispiel aus der Sekundarstufe II.
In: Der Mathematikunterricht 49, Heft 4, 44–51
[1] http://www.medien-bildung.net/projekte/projekte_uebersicht_db.php/alle/projekte/0/4/
[2] http://www.virtuelle-hochschule.de
[3] http://www.vhb.org
[4] http://www.wolfram.com/products/webmathematica/examples/
[5] http://www.sembs.rv.bw.schule.de/forum/_disc/00000029.htm
[6] http://www.usability.at/

� Der ClassPad 300 von Casio *
Jens Weitendorf, Norderstedt
Im Folgenden werden an Hand von einigen Beispielen einige Möglichkeiten beschrieben,
die man beim Unterrichtseinsatz dieses Rechners hat. Hierzu hat es in Dillingen sowohl
einen Vortrag als auch eine Arbeitsgruppe gegeben. In diesem Artikel werden sowohl der
Vortrag als auch die Ergebnisse der Arbeitsgruppe wiedergegeben.
Beispiele aus dem Unterricht
Im Rahmen dieses Artikels ist es nicht möglich,
die Fähigkeiten des Rechners auch nur
ansatzweise darzustellen. Um trotzdem einen
Eindruck zu bekommen, werden im Folgenden
drei Beispiele für den Einsatz exemplarisch
beschrieben.
Das Einkommenssteuergesetz
Das aktuelle Gesetz findet man im Internet
unter der folgenden Adresse: http://bundesre
cht.juris.de/bundesrecht/estg/index.html
(Stand September 2003). Ich denke, dass es
für unterrichtliche Zwecke günstiger ist, vom
direkten Text auszugehen, als Tabellen zu
benutzen, die leichter zu finden sind. Zum
Zwecke der besseren Lesbarkeit wurde das
"x" aus dem Originaltext durch "*" ersetzt.
Beide Zeichen sind als Multiplikation zu interpretieren.
Das Gesetz für das Jahr 2002 lautet folgendermaßen:
Der Einkommensteuertarif:
"(1) 1 Die tarifliche Einkommensteuer bemisst
sich nach dem zu versteuernden Einkommen.
2 Sie beträgt vorbehaltlich der §§ 32b,
34, 34b und 34c jeweils in Euro für zu versteuernde
Einkommen
1. bis 7.235 Euro (Grundfreibetrag):
0;
2. von 7.236 Euro bis 9.251 Euro:
(768,85 * y + 1.990) * y;
3. von 9.252 Euro bis 55.007 Euro:
(278,65 * z + 2.300) * z + 432;
4. von 55.008 Euro an:
0,485 * x - 9.872.
3
"y" ist ein Zehntausendstel des 7.200 Euro
übersteigenden Teils des nach Absatz 2 ermittelten
zu versteuernden Einkommens. 4 "z"
ist ein Zehntausendstel des 9.216 Euro über-
steigenden Teils des nach Absatz 2 ermittelten
zu versteuernden Einkommens. 5 "x" ist
das nach Absatz 2 ermittelte zu versteuernde
Einkommen.
(2) Das zu versteuernde Einkommen ist auf
den nächsten durch 36 ohne Rest teilbaren
vollen Euro-Betrag abzurunden, wenn es
nicht bereits durch 36 ohne Rest teilbar ist,
und um 18 Euro zu erhöhen.
(3) 1 Die zur Berechnung der tariflichen Einkommensteuer
erforderlichen Rechenschritte
sind in der Reihenfolge auszuführen, die sich
nach dem Horner-Schema ergibt. 2 Dabei sind
die sich aus den Multiplikationen ergebenden
Zwischenergebnisse für jeden weiteren Rechenschritt
mit drei Dezimalstellen anzusetzen;
die nachfolgenden Dezimalstellen sind
fortzulassen. 3 Der sich ergebende Steuerbetrag
ist auf den nächsten vollen Euro-Betrag
abzurunden.
(4) (weggefallen)
(5) Bei Ehegatten, die nach den §§ 26, 26b
zusammen zur Einkommensteuer veranlagt
werden, beträgt die tarifliche Einkommensteuer
vorbehaltlich der §§ 32b, 34, 34b und
34c das Zweifache des Steuerbetrags, der
sich für die Hälfte ihres gemeinsam zu versteuernden
Einkommens nach den Absätzen
1 bis 3 ergibt (Splitting-Verfahren)."
Für den Unterricht wird es zunächst eine lohnende
Aufgabe sein, eine Tabelle zu erstellen.
Dieses lässt sich am einfachsten mit einer
Tabellenkalkulation bewerkstelligen. Hier
bestehen zunächst keine Unterschiede zwischen
Excel und dem Spreadsheet von Casio,
wenn man einmal von der Größe des
Bildschirmes absieht, was natürlich für alle
Anwendungen in Bezug auf Taschenrechner
gilt. In der bisherigen Version des Spreadsheets
lässt sich der "WENN"-Befehl von Excel
nicht übertragen. Da die Teilfunktionen
für die Steuer recht kompliziert sind, ergibt
sich die Frage, ob es überhaupt sinnvoll ist,
* Teilnehmende der AG "Der ClassPad 300 von Casio" unter der Leitung von Jens Weitendorf: Norbert Christmann, Olaf Fergen, Reinhold Thode,
Karel Tschacher
187

Jens Weitendorf
einen Ausdruck der folgenden Art einzugeben:
=WENN(A2

F(x) := x 2
F( a + h)
− f(
a)
M(a, h) :=
h
VECTOR([a, M(a, 0.000001)], a, 0, 4, 0.1)
Zunächst muss eine Funktion definiert werden.
Danach wird ein "h" bestimmt, so dass
sich Sekanten- und Tangentensteigung nur
noch geringfügig unterscheiden. Die letzte
Zeile erzeugt eine Punktfolge von "Ableitungswerten",
die sich grafisch darstellen und
interpretieren lässt.
Abb. 4: Der Graph der Funktion f(x) = x 2 und der "Ableitung"
Entsprechendes lässt sich auch mit dem
ClassPad machen. In DERIVE werden die
Ableitungswerte durch den Differenzenquotienten
erzeugt. Bei der Bearbeitung mit dem
Casio-Rechner geschieht dies grafisch so,
wie die folgende Schilderung des Ablaufes
zeigt.
Neben dem oben schon erwähnten Spreadsheet
hat der Rechner noch die folgenden
Anwendungsbereiche.
Abb. 5: Lehrgebiete des Rechners (Verborgen sind die
Bereiche: Programm, Kommunikation, System und
Spreadsheet)
Was den Rechner gegenüber anderen auszeichnet
ist der eActivity-Bereich, der hier benutzt
wird, um Ableitungen grafisch zu bestimmen
und zu visualisieren. In diesem Bereich
ist es möglich, die Gebiete des Class-
Pad miteinander zu verknüpfen. Auch dies
Der ClassPad 300 von Casio
wird am Beispiel deutlich. Man geht in den
eActivity-Bereich hinein und öffnet ein Geometrie-Fenster.
Hier lassen sich auch Graphen
von Funktionen mit Koordinatensystemen
zeichnen. Ist der Graph zum Beispiel für
f(x) = x 3 erzeugt, lässt sich an einem beliebigen
Punkt die Tangente einzeichnen. Mit Hilfe
einer Animation kann man den Punkt, an
dem die Tangente konstruiert wurde, auf
dem Graphen wandern lassen. Neben diesem
grafischen Wandern werden gleichzeitig
numerisch Werte für die Tangentensteigungen
erzeugt. Diese lassen sich dann wiederum
so darstellen, wie die folgende Abbildung
zeigt.
Abb. 6: Der Graph der Funktion f(x) = x 3 und der Graph
der "Ableitung"
Es fällt auf, dass der Graph der "Ableitungsfunktion"
an der Stelle x=0 nicht dem von x 2
entspricht. Dies zeigt, dass die "Ableitung"
numerisch erzeugt worden ist. Durch Interpolation
ergibt sich die "Gerade" um 0. Der
Graph lässt sich "verbessern", wenn man bei
der Animation mehr Schritte durchführt. Auf
der anderen Seite erfährt man ganz im Sinne
von Hischer (2002) auf diese Weise etwas
über die Arbeitsweise des Gerätes. Genau
wie bei DERIVE muss auch jetzt noch von
den Schülerinnen und Schülern eine Funktionsgleichung
für den Graphen gefunden
werden. Der ClassPad bietet noch die Möglichkeit,
die Ableitungswerte in den Bereich
Statistik zu übertragen. Mit Hilfe einer quadratischen
Regression lässt sich dann die
Gleichung ermitteln. Für den Lernerfolg der
Schülerinnen und Schüler ist es aber günstiger,
wenn sie die Gleichungen von Funktionen,
deren Graph gegeben ist, ohne Regression
ermitteln.
189

Jens Weitendorf
Ich habe im Unterricht sowohl das Verfahren
mit DERIVE als auch mit dem Casio-Rechner
durchgeführt. Nach meiner Erfahrung war jedes
Mal bei den Schülerinnen und Schülern
die eigentliche Definition der Ableitung als
Grenzwert von Differenzenquotienten nach
einiger Zeit nicht mehr präsent. Das gleiche
Phänomen ist aber auch zu beobachten,
wenn die Ableitungsregeln auf herkömmliche
Art hergeleitet werden. Dass dies so ist, hat
wahrscheinlich tiefere Gründe, die damit zu
tun haben, dass unser Unterricht immer noch
zu sehr ergebnisorientiert ist und die Idee
des Herleitungsprozesses in den Hintergrund
tritt. Wenn es gelingt, die Bedeutung von
Prozessen bei den Schülerinnen und Schülern
zu verankern, werden unter Umständen
die beiden oben beschriebenen rechnergestützten
Verfahren zu anderen Ergebnissen
führen. Zumindest wird die Eigenständigkeit
gefördert, da bei der formalen Herleitung der
Ableitung, die im Allgemeinen im Frontalunterricht
geschieht, Schülerinnen und Schüler,
wenn überhaupt, nur passiv beteiligt sind.
Dass sowohl DERIVE, als auch der Class-
Pad in der Lage sind, Ableitungen direkt zu
bestimmen, macht es natürlich noch schwieriger,
den oben beschriebenen Prozess zur
Hinführung zur Ableitungsfunktion bei den
Schülerinnen und Schülern zu verankern.
Verlegung eines Telefonkabels
Bei dem folgenden Beispiel, das von Herrn
Tschacher zur Verfügung gestellt wurde,
handelt es sich um ein Optimierungsproblem.
Die Darstellung im Rahmen dieses Artikels
ist schwierig, da sich die Interaktionen nur
beschreibend darstellen lassen. Das Beispiel
soll verdeutlichen, wie sich Schüleraktivitäten
beim Lösen von Problemen unterstützen lassen.
Die Aufgabe wird im eActivity-Bereich
gestellt und bearbeitet. Zunächst wird das
Problem im Textbereich beschrieben:
"Telefonkabel
Die Differentialrechnung ermöglicht es, Antworten
auf Fragen zu geben, die anders nur
mit viel Mühe zu finden sind.
Ein Problem der Wirtschaft ist es, eine besonders
billige Lösung zu suchen, um maximalen
Gewinn zu erzielen."
Dann erscheint ein Fenster, das mit Voraussetzungen
betitelt ist.
Durch Anklicken der Zeile im eActivity-
Bereich halbiert sich das große Fenster, und
es öffnet sich das untere Fenster mit dem
entsprechenden Inhalt. Auf die gleiche Art ist
es möglich, den Schülerinnen und Schülern
190
Hilfe anzubieten. Sie können dann für sich
selbst entscheiden, ob sie diese Hilfe wollen
oder nicht.
Abb. 7: eActivity-Fenster mit "verborgenem" Inhalt
Als nächstes wird das Problem gemäß folgender
Abbildung beschrieben.
Abb. 8: Allgemeine Beschreibung des Problems
Die zur Lösung notwendigen Hintergrundinformationen
findet man, wenn man das Fenster
öffnet. Angegeben ist Folgendes:
Stationen: E und C, Uferlinie AB, Übergang
Land/Wasser D, E liegt im Wasser
Kosten: im Wasser 255000 Euro/km; an
Land 120000 Euro/km
Entfernungen: C zum Ufer 10 km, E zum
Ufer 8 km, AB 16 km
Der folgende Bildschirm zeigt die Fragestellungen

Abb. 9: Fragestellungen
In den Lösungshinweisen werden Tipps gegeben
wie, dass der Schnittpunkt von CE mit
dem Ufer ermittelt werden muss und dass
Strahlensätze und der Satz des Pythagoras
bei der Lösung helfen könnten. Mit Hilfe einer
Animation lassen sich verschiedene "Lösungen"
darstellen.
Abb. 10: Darstellung des Problems
Der Punkt D wandert bei der Animation auf
der Strecke AB, und die entsprechenden
Strecken werden sichtbar. Es ist aber leider
nicht möglich, wie man es von der dynamischen
Geometrie her kennt, die benötigten
Strecken zu messen, wodurch eine experimentelle
grafische Lösung möglich wäre.
Auch zur Aufgabe 2 gibt es noch weitere Lösungshinweise,
die sich darauf beziehen,
dass man zunächst die Kosten für einen Weg
über D allgemein findet und dann das Minimum
der Funktion sucht. In einem weiteren
Der ClassPad 300 von Casio
Aufgabenteil wird die Problemstellung durch
die Einführung eines Sperrgebietes in der
Mitte der Strecke AB variiert.
Ergebnisse der Arbeitsgemeinschaft
Auf einiges, was uns verbesserungswürdig
erscheint, wurde schon oben im Rahmen der
Beschreibung der Beispiele hingewiesen. Als
besondere Vorteile erscheinen uns die folgenden:
1) Wie es vor allem exemplarisch im dritten
Beispiel beschrieben worden ist, bietet
der Rechner durch den eActivity-Bereich
die Möglichkeit des eigenverantwortlichen
Arbeitens. Zu diskutieren wäre aber auch
hier die Frage der Anleitungen. Durch
sehr viele solcher Anleitungen wird sicher
keine große Eigenständigkeit erreicht. Ein
Vorteil ist, dass diese, wie oben beschrieben,
verdeckt gegeben werden können.
Die Eigenständigkeit der Schülerinnen
und Schüler besteht dann auch darin zu
entscheiden, ob man eine Hilfestellung
haben möchte oder nicht. Eine Überprüfung,
ob Schülerinnen und Schüler die Hilfestellung
nutzen, ist direkt nicht möglich.
2) Die obigen Beispiele haben gezeigt, dass
sich mit dem ClassPad 300 funktionale
Arbeitsblätter herstellen lassen.
3) Der ClassPad kann relativ einfach mit einem
Computer verbunden werden. Dadurch
kann eine Bibliothek von Arbeitsblättern
ins Netz gestellt werden (die Internetadressen
sind unten angegeben).
Solche Programme und Blätter können
dank entsprechender Software auch direkt
auf dem Computer verarbeitet und für
die eigene Lerngruppe modifiziert werden.
Inwieweit dieser Rechner den Unterricht im
Vergleich zu anderen Rechnern oder Computern
mit ähnlicher Software anders beeinflusst,
muss noch genauer untersucht und
diskutiert werden.
Literatur
Hischer, Horst (2002): Mathematik und Neue Medien.
Hildesheim & Berlin: Franzbecker
www.classpad.de -> Emulator
classpad.net (ohne www!) -> eActivity / Beispiele
191

� Wie lernen Studierende in internetgestützten Lehrveranstaltungen?
1 MaDiN — Eine internetgestützte
Lernumgebung
Das Verbundprojekt "Entwicklung einer dezentralen
internetbasierten Lehr-Lern-Umgebung
für das Lehramtsstudium Mathematik"
wird an den Universitäten Würzburg, Münster
und Erlangen-Nürnberg sowie der TU Braunschweig
durchgeführt (vgl. Weth 2003). Es
wird vom Bundesministerium für Bildung und
Forschung (BMBF) im Rahmen des Programms
"Neue Medien in der Bildung" gefördert
(Laufzeit Januar 2001 bis Dezember
2003).
Das zentrale Ziel des Projekts ist die Anreicherung
von Präsenzlehre durch virtuelle
Komponenten; — es handelt sich um eine
hybride Form des Lernens mit dem Internet
(Döring 2002, 254ff). Die hierfür zu erstellende
internetbasierte Lehr-Lern-Umgebung umfasst
mittlerweile
• eine interaktive, im WWW verfügbare
Wissensbasis für das Lehramtsstudium
Mathematik,
• ein Diskussionsforum,
• weitere Komponenten zur Verwaltung und
Autorentools.
Die interaktive Wissensbasis mit der Bezeichnung
"Mathematik-Didaktik im Netz"
(kurz: MaDiN) ist im Internet frei zugänglich
(www.madin.net). Sie soll bei Projektende
wichtige Standardthemen der Mathematik
und ihrer Didaktik für das Lehramtsstudium
abdecken. Es handelt sich dabei um ein typisches
Hypertext-System, das mit jedem üblichen
Browser gelesen werden kann (Schulmeister
2002, 19ff, Tergan 2002)
Die Wissensbasis MaDiN ist in verschiedene
Module gegliedert, die sich
192
Gerald Wittmann, Würzburg
An der Universität Würzburg und der PH Weingarten wurde im WS 02/03 jeweils eine
Lehrveranstaltung zur Didaktik der Geometrie mit der internetgestützten Wissensbasis
MaDiN durchgeführt. So konnten die Studierenden neben üblichen Präsenzphasen auch
eigenständig Lerninhalte online bearbeiten und Beiträge für ein Diskussionsforum schreiben.
Die Lehrveranstaltungen wurden formativ evaluiert: Den Kern der Evaluation bildeten
offene Interviews, in denen die Studierenden ihre Erfahrungen aus der jeweiligen
Lehrveranstaltung schilderten. Daraus ergeben sich wichtige Folgerungen für die Gestaltung
vorlesungsbegleitender Lernangebote.
• einerseits mit jahrgangsstufen- und inhaltsübergreifenden
Leitlinien oder Aspekten
des Geometrieunterrichts befassen
(z.B. Beweisen und Argumentieren, Konstruieren),
• andererseits jahrgangsstufen- und inhaltsspezifisch
einzelne Teilgebiete des Geometrieunterrichts
behandeln (z.B. ebene
Geometrie in Klasse 5/6, Ähnlichkeitsgeometrie
in Klasse 9).
Die einzelnen Module können wiederum aus
mehreren Teilmodulen bestehen. Jedes Modul
bzw. Teilmodul ist einheitlich strukturiert
und enthält folgende Elemente: Eine kurze
Übersicht, Theorie (zur Didaktik der Geometrie),
Beispiele (mit Unterrichtsbezügen),
Übungen und Aktivitäten für die Studierenden
sowie Materialien zum Download, Literaturhinweise
und Links. Einen besonderen
Schwerpunkt bilden die Übungen und weitere
Aktivitäten, die ein breites Spektrum umfassen:
Es gibt Arbeitsaufträge,
• die interaktiv direkt am Computer bearbeitet
werden können (z.B. elektronische Arbeitsblätter
auf der Basis von Cinderella);
• die nicht unmittelbar am Computer stattfindende
Aktivitäten fordern (z.B. Anfertigen
und Ausprobieren von Lernmitteln,
Analysieren von Schülertexten);
• die Impulse für Diskussionsbeiträge von
Studierenden entweder im Rahmen traditioneller
Seminare oder in Diskussionsforen
liefern.
Bei der Ausgestaltung von MaDiN steht eine
motivierende und problemadäquate Darstellung
im Vordergrund; — ein Themenbereich
muss und kann dort nicht erschöpfend abgehandelt
werden; Fachzeitschriften und Lehrbücher
sollen auch langfristig keineswegs er-

setzt, sondern vielmehr ergänzt werden (Ludwig
& Wittmann 2001).
Ein unabdingbarer Bestandteil des Projekts
ist die Erprobung der neuen Lehr-Lern-Umgebung
im Regelbetrieb, der entsprechend
dokumentiert und evaluiert werden soll.
2 Lehrveranstaltungen zur
Didaktik der Geometrie
Im WS 02/03 wurden die Wissensbasis Ma-
DiN und das zugehörige Diskussionsforum in
zwei Lehrveranstaltungen zur Didaktik der
Geometrie für Studierende des Lehramts an
Haupt- und Realschulen eingesetzt:
• an der Universität Würzburg in einer 2stündigen
Vorlesung (Prof. Dr. H.-G. Weigand)
mit zusätzlicher 2-stündiger Übung
(StR J. Roth),
• an der PH Weingarten in einer 2-stündigen
Vorlesung (Prof. Dr. M. Ludwig) ohne
eigenständige Übung.
Die Rahmenbedingungen beider Lehrveranstaltungen
waren ansonsten ähnlich:
• Die Teilnehmerzahl betrug knapp 30.
• Die Voraussetzungen der Studierenden
waren sehr inhomogen (unterschiedliche
Semesterzahlen; das Studium für das
Lehramt an Realschulen umfasst eigene
fachwissenschaftliche Lehrveranstaltungen,
das Studium für das Lehramt an
Hauptschulen im Allgemeinen nicht).
• Die Studierenden konnten durch die Abgabe
von Übungsaufgaben und die Teilnahme
an einer Klausur gegen Semesterende
einen Leistungsnachweis ("Schein")
erwerben.
Die Lehrveranstaltung ist Bestandteil des
"Pflichtprogramms", das an der Universität
Würzburg zudem durch bayernweit zentral
gestellte Staatsexamensprüfungen auch inhaltlich
festgelegt ist.
Die üblichen Präsenzphasen blieben im Wesentlichen
erhalten und verliefen weitgehend
konventionell, auch unter Verwendung von
"Kreide und Tafel"; MaDiN wurde in der Vorlesung
eingesetzt, um z.B. Bilder, Filme und
Animationen zu projizieren. Zusätzliche virtuelle
Phasen beinhalteten in erster Linie die
individuelle Vor- und Nachbereitung von
Lehrveranstaltungen sowie das selbstständige
Erarbeiten einzelner Lerninhalte bei Abwesenheit
des Dozenten. Die Übungsaufgaben,
die Voraussetzung für einen Scheinerwerb
waren, umfassten
Wie lernen Studierende in internetgestützten Lehrveranstaltungen?
• sowohl herkömmliche, in Papierform abzugebende
Aufgaben,
• als auch das regelmäßige Schreiben eines
Beitrags im Diskussionsforum zu Fragen
der Geometriedidaktik (z.B. Reflexion
eigener Erfahrungen, Stellungnahme zu
bestimmten Zielen des Geometrieunterrichts).
Diese Lernangebote spiegeln die Ziele der
Lehrveranstaltungen zur Didaktik der Geometrie
wider: Die fachbezogenen Ziele lassen
sich im Wesentlichen in zwei Kategorien
einteilen:
• Die Studierenden sollen Kenntnisse über
Ziele, Inhalte und Methoden des Geometrieunterrichts
sowie Lernprozesse im Geometrieunterricht
erwerben.
• Die Studierenden sollen darüber hinaus
Ziele, Inhalte und Methoden des Geometrieunterrichts
sowie Lernprozesse im Geometrieunterricht
reflektieren und letztlich
ein adäquates Bild von Geometrie und
Geometrieunterricht erwerben.
Speziell hinter der zweiten Kategorie steht
der Gedanke, dass das Lehramtsstudium
nicht nur "statisches" Wissen anhäufen, sondern
die Basis für ein lebenslanges Lernen
der zukünftigen Lehrer(innen) legen soll
(DMV & GDM 2001, Krauthausen 1998). Hinzu
kommen allgemeine Ziele eines Lehramtsstudiums
(z.B. Medienkompetenz, Diskussionsfähigkeit).
3 Evaluation: Methoden
und Durchführung
Die im Folgenden beschriebenen Evaluationsmaßnahmen
fanden bereits kurz nach
der Hälfte der Laufzeit des Projekts statt, also
zu einem sehr frühen Zeitpunkt; ferner
wurde eine Version der Lehr-Lern-Umgebung
eingesetzt, deren Entwicklung noch nicht
vollständig abgeschlossen ist. Die Evaluation
wurde als Selbstevaluation von denselben
Projektmitarbeitern durchgeführt, die auch an
der Entwicklung beteiligt waren. Es handelt
sich um eine formative Evaluation, die mit
dem Ziel der Qualitätssicherung und der Entwicklung
entsprechender Lehrveranstaltungskonzepte
parallel zur Weiterentwicklung
von MaDiN stattfindet (für eine weiter gehende
Einordnung s. Wittmann 2003).
Die Evaluation der Lehrveranstaltung, in der
mit MaDiN gearbeitet wird, muss bei den Zielen
der Veranstaltung ansetzen. Die Problematik
liegt nun gerade darin, dass diese nur
193

Gerald Wittmann
teilweise einfach abzuprüfende "Wissensziele"
sind. Insbesondere diejenigen Ziele, die in
besonderer Weise mit dem Einsatz der multimedialen
Wissensbasis und des Diskussionsforums
verknüpft sind, beziehen sich auf
überwiegend langfristige Prozesse; — hier
kann im Rahmen der Evaluation lediglich erfasst
werden, ob diese Prozesse angestoßen
werden. Für die Evaluation waren deshalb
folgende Leitfragen maßgeblich:
• Welche Lernangebote von MaDiN nehmen
die Studierenden an, und wie nutzen
sie diese?
• Wie beschreiben Studierende ihr Lernund
Arbeitsverhalten im Rahmen einer internetgestützten
Lehrveranstaltung?
• Welche Veränderungen sehen sie im Unterschied
zu einer traditionellen Lehrveranstaltung?
Wesentliches Evaluationsinstrument waren
zwei Staffeln offener Einzelinterviews,
• zunächst mit sechs Studierenden der Universität
Würzburg im Dezember 2002 und
• später mit neun Studierenden der PH
Weingarten im Februar 2003.
Aufgrund des zeitlichen Abstands beider
Staffeln konnten die Ergebnisse der ersten
sechs Interviews in die Planung der neun folgenden
Interviews einfließen. Alle Interviews
wurden als Fremdinterviews — der Interviewer
war den Studierenden bis dato nicht bekannt
— durchgeführt und waren als Leitfadeninterviews
konzipiert (Bortz & Döring
2002, 308ff, Lamnek 1995, 35ff): Die anzusprechenden
Themen waren durch den Leitfaden
vorgegeben, die Reihenfolge und die
exakte Formulierung der Fragen verblieb jedoch
beim Interviewer. Da für die Beantwortung
keine Antwortkategorien vorgegeben
wurden, konnten die Studierenden auch Aspekte
ansprechen, die der Interviewer nicht
antizipiert hatte. Bei Bedarf hatte der Interviewer
die Möglichkeit, gezielt nachzufragen,
um einzelne Aspekte zu vertiefen oder eine
dialogische Validierung herbeizuführen, d.h.
mehrdeutige Äußerungen bereits im Interview
zu klären. Der Interviewer hielt zusätzliche
Eindrücke schriftlich fest. Die Interviews
wurden per Mikrofon und Soundkarte eines
Notebooks digital aufgezeichnet, sie dauerten
zwischen 11 und 27 Minuten. Ihre Transkription
erfolgte in zwei Durchgängen gemäß
den üblichen Regeln. Das Transkript
besitzt die Struktur eines Dialogs, versehen
mit Zeitangaben und zusätzlichen Anmerkungen
(beispielweise über nonverbale Kommunikation).
194
Die Auswertung der Interviews geschah auf
dem Wege einer qualitativen Inhaltsanalyse
(Bortz & Döring 2002, 329ff; Lamnek 1995,
172ff; Mayring 2002, 82ff). Mit diesem Arbeitsgang
wurden zwei Ziele verfolgt:
• Strukturierung: Die Äußerungen der Studierenden
wurden nach Kategorien sortiert:
Technik und Nutzung, Usability und
Navigation, Inhalte von MaDiN, Vorlesung,
Übung, Diskussionsforum, Klausur.
• Paraphrasierung: Die Äußerungen der
Studierenden wurden "bereinigt", sprachlich
"geglättet", verkürzt und verdichtet sowie
zusammenfassend paraphrasiert; es
verblieben nur noch wenige Zitate, sofern
diese prägnanter waren als mögliche Paraphrasierungen.
Als Resultat der qualitativen Inhaltsanalyse
erhielt man für alle Studierenden die strukturierten
und paraphrasierten Selbstauskünfte
im Interview. Diese Texte sind deutlich kürzer
als die Transkripte, ihr Umfang reduzierte
sich auf 10 bis 20 %. Sie sind nach wie vor in
der "Ich-Form" gehalten, um deutlich zu machen,
dass es sich dabei um Selbstauskünfte
der Studierenden handelt. Sie sind rein personenbezogen
und enthalten noch keine darüber
hinaus gehenden Wertungen oder Hypothesen.
Die Ergebnisse der qualitativen
Analysen wurden abschließend nochmals mit
dem Transkript verglichen und eventuell korrigiert.
Dieser "Basistext" lässt sich in zweifacher
Hinsicht auswerten:
• Personenzentrierte Analyse: Die Erstellung
einer kleinen Fallstudie für jeden der
Studierenden liefert ein "Profil" seiner individuellen
Lern- und Arbeitsweisen.
• Personenvergleichende Analyse: Ein Inbeziehungsetzen
gleicher Kategorien über
verschiedene Studierende hinweg zeigt
das Spektrum auftretender Lern- und Arbeitsweisen
sowie mögliche Zusammenhänge
und Wirkungsmechanismen zwischen
verschiedenen Ausprägungen derselben
Kategorien auf.
Weitere qualitative Daten lieferten die Beiträge
der Studierenden im Diskussionsforum
sowie ihre Klausuren: Sie wurden im Hinblick
auf die Argumentationsstruktur (eindimensional
versus komplex) und den Reflexionsgrad
der Beiträge (naiv versus reflektiert) ausgewertet.
Diese Informationen können die Ergebnisse
der Interviews ergänzen und validieren.

4 Evaluation: Ergebnisse
Da sich die Studierenden freiwillig für die Interviews
zur Verfügung gestellt hatten, gaben
sie bereitwillig Auskunft. Einige bereiteten
sich sogar auf das Interview vor — sie hatten
einen Zettel mit Notizen dabei —, um über
"Bugs" in MaDiN zu berichten. Nicht zuletzt
hierin bestätigte sich das Konzept des
Fremdinterviewers: Die Studierenden fassten
die Interviews so auf, dass sie mit externen
Evaluatoren zusammenarbeiten sollten, um
MaDiN zu verbessern.
Gemäß den Forschungsfragen beinhalten die
Transkripte drei verschiedene Ebenen:
• eine sachbezogene Beschreibung des
Lern- und Arbeitsverhaltens der Studierenden
im Rahmen der betreffenden
Lehrveranstaltung,
• eine Schilderung von Gefühlen der Studierenden
während und im Umfeld der
Lehrveranstaltung,
• die rückblickende Reflexion dieser Erfahrungen.
Es handelt sich hierbei stets um Selbstauskünfte
der Studierenden, also um deren Einschätzungen,
nicht um objektive Angaben.
Im Folgenden werden diese Selbstauskünfte
nach den Kategorien der qualitativen Inhaltanalyse
gegliedert vorgestellt und anschließend
jeweils diskutiert.
4.1 Technik und Nutzung
Alle befragten Studierenden geben an, mit
MaDin gearbeitet zu haben. Ob sie MaDiN zu
Hause oder in den Computerräumen der
Hochschule nutzten, hängt von mehreren
Faktoren ab:
• den Lebensumständen (Kinder, Entfernung
der Wohnung zur Hochschule, …),
• den bei der Internetnutzung anfallenden
Kosten,
• der technischen Ausstattung des eigenen
Arbeitsplatzes.
Mit einer Ausnahme verfügen alle Studierenden
über einen eigenen Computer. Differenzen
ergeben sich allerdings bei den Peripheriegeräten
(manchmal fehlt ein Drucker oder
ein Internetzugang). Weit verbreitet ist ein Internetzugang
per Modem, aber auch ISDN,
DSL und eine Datenleitung im Studentenwohnheim
sind zu finden. Die Ladezeiten
werden generell als sehr lang empfunden,
bei der Nutzung eines Modems fast immer,
vereinzelt auch bei einem DSL-Anschluss.
Wie lernen Studierende in internetgestützten Lehrveranstaltungen?
Beklagt wird außerdem, dass Videos oder
Animationen und Videos auf dem privaten
Computer nicht laufen oder dieser dabei "abstürzt".
In den Computerräumen scheint es
diesbezüglich weniger Probleme zu geben.
Die Computer-Ausstattung der Studierenden
entspricht den Erwartungen: Auch wenn die
Anzahl von fünfzehn befragten Studierenden
für statistische Auswertungen zu gering ist,
werden hier die Ergebnisse anderweitiger
Erhebungen bestätigt (Klatt u.a. 2001, 99ff,
Middendorf 2002, 12ff).
Die geschilderten technischen Probleme sind
auf verschiedene Ursachen zurückzuführen:
Einerseits ist die Ausstattung der privaten
Computer höchst unterschiedlich und streut
über mehrere Generationen von Betriebssystemen
und Browsern; — dieses Handicap ist
wohl kaum zu überwinden. Andererseits gibt
es zahlreiche Indikatoren für unzureichende
Kenntnisse und Arbeitstechniken der Studierenden:
• Viele der Studierenden können ihr System
nicht genauer spezifizieren, weder in Bezug
auf die Hard- noch auf die Software.
Falsche Einstellungen könnten deshalb
eine Ursache mancher Probleme sein (für
die elektronischen Arbeitsblätter beispielsweise
muss im Browser Java aktiviert
werden).
• Studierende, die beklagen, dass sie sich
jedes Mal mühsam über die Seiten der
Hochschule bis zur MaDiN-Startseite
"durchklicken" mussten, verfügen offenbar
nicht über wichtige Fertigkeiten im Umgang
mit dem Internet wie das Setzen von
Bookmarks oder das offline-verfügbar-
Machen von Seiten.
Für manche Studierenden scheint aufgrund
der genannten Ursachen der Aufwand, sich
sowohl die Arbeitsaufträge, als auch zugehörige
Informationen per Internet zu beschaffen,
sehr hoch zu sein. Für diese Gruppe
kehrt sich das Versprechen einer "unbegrenzten
Verfügbarkeit" von Inhalten im Internet
ins Gegenteil um.
4.2 Navigation und Usability
Die Navigation in MaDiN bereitete den Studierenden
— abgesehen von einer anfänglichen
Eingewöhnungsphase und einigen
rasch behobenen "Bugs" in MaDiN — keine
ernsthaften Probleme. Der gefürchtete Effekt
"lost in hyperspace" (Tergan 2002) wurde
nicht berichtet. Von der reinen Navigation zu
unterscheiden ist allerdings die inhaltliche
Orientierung, die manchen Studierenden —
195

Gerald Wittmann
z.B. bei der Klausurvorbereitung — wohl weniger
leicht fiel (vgl. 4.7).
Nur wenige Studierende lasen längere Texte
am Bildschirm; die meisten Studierenden
druckten weite Teile von MaDiN aus. An der
PH Weingarten druckten Mitglieder der Fachschaft
sogar sämtliche Seiten zur Didaktik
der Geometrie von MaDiN aus und verkauften
sie als kopiertes und gebundenes Skript
an die Studierenden. HTML-Dokumente eignen
sich jedoch prinzipiell nicht für einen
qualitativ anspruchsvollen Ausdruck; — im
Wesentlichen bestehen drei Problemfelder:
• Der Formelsatz in HTML ist unbefriedigend
und nur mit technischen Aufsätzen
wie MathML zu verbessern.
• Die bildschirm-gerechte Auflösung von
Abbildungen (72 dpi) ist für den Ausdruck
zu grob, während höher aufgelöste Abbildungen
(zu) lange Ladezeiten erfordern.
• Es gibt kein fest definiertes Seitenlayout,
da der endgültige Umbruch von HTML-
Dokumenten erst im Browser stattfindet
und damit in hohem Maße vom System
des Benutzers abhängt. Beim Ausdruck
werden daher nicht selten Seiten "rechts
abgeschnitten".
4.3 Inhalte
Die Inhalte in MaDiN werden insgesamt sehr
positiv beurteilt und finden eine breite Resonanz.
Dies betrifft zunächst die Texte (Verständlichkeit
und Informationsgehalt), darüber
hinaus aber auch alle anderen multimedialen
Elemente (Bilder, Videos, Animationen,
…, Materialien zum Download). Sie
übernehmen im Einzelfall verschiedene
Funktionen im Lernprozess: Sie
• spielen die Rolle eines "Aufhängers" —
also einer Merkhilfe — für Fachwissen,
• können die Motivation zum Weiterarbeiten
fördern und das Interesse an der Mathematik(didaktik)
wecken; — hier bleibt jedoch
abzuwarten, ob dies auch über den
Neuigkeitseffekt hinaus gilt ("Hawthorne-
Effekt"; Schulmeister 2002, 397ff),
• liefern Veranschaulichungen und können
wichtige Hilfestellungen sein,
• schaffen häufig einen Praxisbezug.
Besonders das letzte Argument verdient eine
genauere Betrachtung: Bilder und Videos
von Lehr- und Lernmitteln, Anleitungen und
Kopiervorlagen für den Unterricht (etwa zu
Lernspielen), Texte und Zeichnungen von
Schülerinnen und Schülern entstammen un-
196
mittelbar der Schulpraxis. In den Interviews
erzählen Studierende mehrfach, wo und wie
sie diese Elemente ausprobiert haben (mit
den eigenen Kindern, im Schulpraktikum, …).
Es scheint, als ob über derartige Elemente
für zahlreiche Studierende ein Einstieg in die
Mathematikdidaktik geschaffen werden kann.
Noch deutlicher wird dies angesichts zweier
weiterer Detailnennungen:
• Wiederholt positiv erwähnt wird ein Artikel
über "Einstiege im Geometrieunterricht"
(Vollrath 1980), zu dem die Studierenden
im Diskussionsforum Stellung nehmen
mussten. Dieser Text greift ein zentrales
Problem der Unterrichtsplanung auf, ist
leicht zu lesen und setzt keinerlei Fachwissen
voraus.
• Umgekehrt werden die MaDiN-Seiten zur
Thematik "Argumentieren und Beweisen"
mehrfach als sehr "fachwissenschaftlich"
eingestuft: Diese Studierenden verstehen
nicht, warum sie zunächst selbst Beweise
führen sollen, wo ihr Interesse doch dem
Beweisen im Mathematikunterricht gilt.
Insbesondere das letzte Beispiel weist darauf
hin, dass ein Teil der Zielgruppe der evaluierten
Lehrveranstaltungen — Studierende des
Lehramts an Haupt- und Realschulen — offenbar
eine sehr enge Vorstellung von "Praxisbezug"
hat.
4.4 Vorlesung
Die Vorlesung wird sowohl an der Uni Würzburg
als auch an der PH Weingarten als "gut"
eingeschätzt. Der Einsatz von MaDiN scheint
allerdings kein prägendes Element der Vorlesung
gewesen zu sein, viel stärker werden
offenbar die Inhalte, das Engagement und
die Person der beiden Dozenten gewichtet.
Eine Reihe von Studierenden beider Hochschulen
besitzt auch einschlägige Vorerfahrungen:
• mit dem Erstellen von Internetseiten im
Rahmen von Lehrveranstaltungen,
• mit dem Schreiben von Beiträgen für ein
Diskussionsforum,
• mit dem "Holen" von Übungsaufgaben per
Internet,
• mit dem Einsatz von BSCW.
Insgesamt ist der Einsatz neuer Medien in
Lehrveranstaltungen für die Studierenden
mittlerweile Alltag; er ist jedenfalls kein Thema
(mehr), das polarisiert.

Auffallend ist, dass fast alle Studierenden in
der Vorlesung wie gewohnt mitschreiben. Als
Gründe hierfür nennen sie zwei Argumente:
• Was man selbst mitgeschrieben hat,
bleibt besser im Gedächtnis.
• Wenn man selbst mitschreibt, "hat man
etwas in der Hand".
Als Gegenargument wird angeführt, dass ein
Mitschreiben angesichts von MaDiN überflüssig
ist, so dass man sich besser auf die Inhalte
der Vorlesung konzentrieren kann. Die
Begründungen der Studierenden — egal wie
sie lauten — wirken allerdings meist oberflächlich
und basieren wohl eher auf Gefühlen
als auf einer Reflexion des eigenen Arbeitsverhaltens.
Ein Problem besteht jedoch wirklich: Die
Studierenden erkannten in beiden Vorlesungen
nicht immer einen Zusammenhang zwischen
dem Medium, mit dem ein Lerninhalt
präsentiert wird, und der Bedeutung, die diesem
Inhalt für das eigene Lernen zukommt.
4.5 Übungen
Während regelmäßig abzugebende Übungen
den Studierenden der Uni Würzburg vertraut
sind, scheint dies für Studierende der PH
Weingarten weit gehend neu zu sein: Mehrere
Studierenden dort geben an, dass sie aufgrund
der Übungen mehr für die Lehrveranstaltung
getan und kontinuierlicher mitgearbeitet
und -gelernt hätten als sonst. Sie stufen
die evaluierte Lehrveranstaltung als aufwändiger,
aber auch deutlich effektiver als
andere ein. Die wöchentlichen Arbeitsaufträge
und die "soziale Kontrolle" des Diskussionsforums
scheinen sich diesbezüglich positiv
auszuwirken.
Wenn die Studierenden die Übungsaufgaben
lösen, so stützen sie sich — je nach Verfügbarkeit
und Arbeitsauftrag in unterschiedlicher
Reihenfolge und Gewichtung — im Wesentlichen
auf drei Quellen:
• die eigene Mitschrift aus der Vorlesung,
• die entsprechenden Seiten in MaDiN und
• die Suche im WWW per Suchmaschine
(meist wird Google genannt).
Hinzu kommen noch vereinzelt Schulbücher
oder andere Materialien. Kein einziger der
Studierenden nutzte die Literaturangaben in
MaDiN und besuchte aus Anlass der Lehrveranstaltung
die Hochschulbibliothek.
Bei der Informationsbeschaffung im WWW
offenbaren die Interviews zwei Problemfelder:
Wie lernen Studierende in internetgestützten Lehrveranstaltungen?
• Das übliche Verfahren ist das Eintippen
von Schlagworten in eine Suchmaschine.
Die Studierenden verfügen auch hier nicht
über adäquate Arbeitstechniken (vgl. 4.1):
Sie nutzen weder eine gezielte Verknüpfung
von Suchbegriffen, noch andere Recherchemöglichkeiten
wie spezielle Internetportale.
• Das Problem der Qualitätskontrolle haben
einige der Studierenden bislang noch
nicht reflektiert, andere glauben, es durch
ein Vergleichen mehrerer gefundener Dokumente
bewältigen zu können.
4.6 Diskussionsforum
In den evaluierten Lehrveranstaltungen wurde
noch mit einem Prototypen des Diskussionsforums
gearbeitet: Es besaß nur eine lineare
Struktur, alle Beiträge erschienen in
chronologisch Reihenfolge, was dazu führte,
dass es eine einzige, lange Seite war. Dadurch
war es auch nicht möglich, gezielt auf
einzelne Beiträge zu antworten. Das Diskussionsforum
hatte also eher die Funktion einer
Pinnwand, an die jeder ein Statement heften
kann.
Kaum ein anderes Element der Lehrveranstaltung
spaltet die Gemüter so sehr wie das
Diskussionsforum:
• Ein Teil der Studierenden wertet das
Schreiben von Beiträgen positiv: Die Antwort
auf eine im ersten Augenblick einfach
erscheinende Frage schriftlich ausformulieren
zu müssen, wird als eine
wertvolle Erfahrung beschrieben.
• Für andere Studierende scheint das Verfassen
von Beiträgen nur eine Pflichtübung
zu sein. Dies äußert sich in verschiedenen
typischen Verhaltensweisen:
Der eigene Beitrag wird auf der Grundlage
der schon im Diskussionsforum stehenden
Beiträge verfasst, er wird diesen
im Umfang, in der Zahl der Argumente
und im Inhalt angeglichen. Das "Abschreiben"
von Beiträgen führt letztlich dazu,
dass sich zahlreiche Beiträge ähneln oder
gar gleichen. Es wird ferner darauf geachtet,
dass der Beitrag die — vermutete —
Meinung des Dozenten wiedergibt und
nicht die eigene.
Die Analyse der Beiträge zeigt dementsprechend
ein breites Spektrum von Beiträgen,
das von kurzen, naiv wirkenden und emotional
geprägten Äußerungen bis hin zu umfangreicheren
Beiträgen mit einer ausdifferenzierten
und abwägenden Argumentationsstruktur
reicht.
197

Gerald Wittmann
Ähnlich vielfältig wie die Meinungen zum
Schreiben von Beiträgen sind auch diejenigen
zum Lesen von Beiträgen anderer Studierender:
• Ein Teil der Studierenden stuft es als interessant
und bereichernd ein.
• Andere Studierende geben an, dass sie
fremde Beiträge kaum gelesen haben.
Von nahezu allen Studierenden wird jedoch
negativ angemerkt, dass wiederholt Beiträge
inhaltsgleich sind: Der Zwang, einen Beitrag
verfassen zu müssen, wirkt sich — in Verbindung
mit der oben geschilderten Arbeitsweise
mancher Studierender — wohl dahingehend
aus. Nicht zuletzt deshalb ist der
"Schreibzwang" auch unter den Studierenden
umstritten.
Gleichzeitig kommt hier auch ein wesentlicher
Aspekt des Studierverhaltens mancher
Studierender zum Ausdruck: Die Impulse für
die Beiträge im Diskussionsforum sind — in
mehrfacher Hinsicht — offene Arbeitsaufträge;
die Studierenden entscheiden selbst, wie
sie diese inhaltlich und in Bezug auf den Umfang
bearbeiten. Manche Studierende kommen
hiermit offenbar nicht zurecht, sie erwarteten
diesbezüglich eindeutige Vorgaben.
Ähnlich verhält es sich mit dem Wunsch von
Studierenden nach einer klaren Rückmeldung
zu ihren Beiträgen: Er ist einerseits verständlich
und sinnvoll, stößt aber auch an
Grenzen; — nicht jede Meinungsäußerung
lässt sich als "richtig" oder "falsch" einordnen.
Ob tatsächlich ein Bedarf nach einer Öffnung
des Diskussionsforums besteht, so dass darin
Fragen zur Vorlesung bzw. Übung gestellt
und beantwortet werden können, wie von
manchen Studierenden gefordert, bleibt unklar:
Denn alle Studierenden geben an, dass
sie sich regelmäßig im Umfeld der Lehrveranstaltungen
treffen und kaum Kontakte per
Internet hergestellt oder gepflegt wurden; —
dies war nur vereinzelt der Fall (so bei einer
Studentin, die Kinder hat).
4.7 Klausur
Den Studierenden beider Hochschulen stand
in der abschließenden Klausur nicht nur Ma-
DiN, sondern darüber hinaus das gesamte
Internet zur Verfügung. Aufgrund der Interviewtermine
bezieht sich das Folgende ausschließlich
auf die Studierenden der PH
Weingarten. Es steht die Frage im Mittelpunkt,
was durch die Verfügbarkeit von Ma-
DiN anders als gewohnt war.
198
Die Vorbereitung der Klausur änderte sich für
die meisten Studierenden dahin, dass sie
weniger in einem Auswendiglernen bestand,
sondern vielmehr in einem "Sichten" von Inhalten
in MaDiN und im WWW, um sicherzustellen,
wo bestimmte Inhalte zu finden ist.
In diesem Kontext wurden mehrfach Vergleiche
zwischen einer internetgestützten Wissensbasis
wie MaDiN und einem herkömmlichen,
gedruckten Skript gezogen: Letzteres
• gibt — anders als MaDiN — bereits eine
sinnvolle Reihenfolge und Gliederung für
das Lernen vor,
• garantiert, dass bei einem vollständigen
Durcharbeiten auch alle klausurrelevanten
Inhalte erfasst werden,
• erlaubt es den Studierenden, eigene Anmerkungen
und Ergänzungen handschriftlich
anzubringen,
• ist auch ohne Computer stets verfügbar,
insbesondere in "Freistunden" an der
Hochschule.
Mehrere Studierende der PH Weingarten gaben
an, dass ihre Klausurvorbereitung zumindest
teilweise auch in Gruppen ablief und
sie dabei die zahlreichen Arbeitsaufträge in
MaDiN nutzten: Sie arbeiteten die Lösungen
dazu aus und diskutierten diese; — ein Indikator
dafür, dass Studierende bei entsprechender
Motivation die reichhaltigen Angebote
in MaDiN auch wahrnehmen und selbstständig
damit arbeiten.
Fast alle Studierende berichten, dass die
Möglichkeit, während der Klausur MaDiN und
darüber hinaus das gesamte Internet zu nutzen,
auch Gefahren in sich birgt: Sie suchten
zu lange in diesen Quellen und verließen
sich zu wenig auf ihr eigenes Wissen. Hieraus
resultierte dann ein Zeitproblem gegen
Ende der Klausur. Auffallend ist wiederum,
dass auch hier Studierende — analog zur
Schilderung ihres Verhaltens beim Bearbeiten
der Übungsaufgaben (vgl. 4.5) — angeben,
eher im WWW zu suchen als in MaDiN.
5 Rück- und Ausblick
Die Evaluation liefert nicht nur Rückmeldungen
über das Lern- und Arbeitsverhalten von
Studierenden im Rahmen internetgestützter
Lehrveranstaltungen, sie erlaubt darüber hinaus
wertvolle Erkenntnisse über die Einstellung
von Studierenden des Lehramts an
Haupt- und Realschulen zu ihrem Studium
und die damit verbundenen Erwartungen an
das Studium. Während ein Teil der Studie-

enden — speziell der PH Weingarten —
motiviert ist, besitzt ein anderer Teil eine vergleichsweise
geringe fachspezifische Motivation,
verbunden mit einer sehr engen Vorstellung
von Mathematikdidaktik, die beinahe alles
als praxisfern ablehnt, was nicht eine
unmittelbare Anleitung zum Unterrichten darstellt.
Insgesamt offenbart die Evaluation eine
deutliche Differenz zwischen den in der
Literatur geforderten Zielen der Mathematiklehrerausbildung
(vgl. 2) und den Erwartungen,
die ein Teil der Studierenden an das
Lehramtsstudium richtet.
5.1 Chancen
Vor diesem Hintergrund bestätigt die Evaluation,
dass zahlreiche Studierende die vielfältigen
Möglichkeiten von MaDiN wirklich nutzen.
Es ist wichtig, dass insbesondere auch
den motivierten Studierenden, die aktiv werden
wollen, entsprechende Angebote — beispielsweise
Aufträge zum selbstständigen
Weiterarbeiten — zur Verfügung stehen.
Umgekehrt kann MaDiN auch weniger motivierten
Studierenden den Einstieg in die Didaktik
der Geometrie erleichtern. Weite Bereiche
der didaktischen Literatur, auch der
Lehrbücher, werden von vielen Studierenden
des Lehramts an Haupt- und Realschulen als
zu schwer und zu abstrakt empfunden oder
entsprechen nicht ihren Vorstellungen von
Didaktik. Hier liegt eine große Bedeutung von
Hypertext-Systemen mit ihren multimedialen
Möglichkeiten: Angebote, die schon auf den
ersten Blick einen Bezug zur Schulpraxis erkennen
lassen (z.B. Kopiervorlagen für Arbeitsblätter,
Abbildungen von Lernmitteln und
Anleitungen zu deren Herstellung und Einsatz,
Schülerzeichnungen und -texte) werden
von Studierenden mit einer engen Vorstellung
von Mathematikdidaktik hingegen eher
akzeptiert und können sie an die Mathematikdidaktik
und entsprechende tiefer gehende
Überlegungen heranführen. Die Verfügbarkeit
einzelner Artikel per Download, die auch
ohne Vorkenntnisse gut verständlich sind
und deren Erschließung durch Arbeitsaufträge
mit gestuften Fragen angeleitet wird, können
ein zusätzlicher Schritt in diese Richtung
sein.
Generell können internetbasierte Lehr-Lern-
Umgebungen wie MaDiN übliche Präsenzlehrveranstaltungen
ergänzen und anreichern
und damit effektiver gestalten. Insbesondere
für Veranstaltungen zur Didaktik der
Mathematik, die häufig nur 2-stündig sind, ist
dies von großer Bedeutung. MaDiN bietet
hier nicht nur die Möglichkeit, einzelne Lern-
Wie lernen Studierende in internetgestützten Lehrveranstaltungen?
inhalte in das Selbststudium "auszulagern",
was Freiräume in den Lehrveranstaltungen
schafft, sondern eröffnet zusätzliche neue
Übungsformen. Die Aussagen der Studierenden
bestätigen, dass Übungen ein wichtiges
Element für einen sinnvoll verlaufenden Lernprozess
sind und wesentlich zum Lernerfolg
in einer Lehrveranstaltung beitragen. Eine
solche Übungsform ist das Schreiben von
Beiträgen für das Diskussionsforum: Das
schriftliche Ausformulieren qualifizierter (nicht
spontan-emotionaler) Äußerungen über Mathematikunterricht
ist eine wertvolle und viel
zu selten praktizierte Tätigkeit.
Der Vorteil der Virtualität liegt für die Studierenden
darin, dass sie die Übungen dann erledigen
können, wenn sie Zeit haben — das
Studium kann dichter gestaltet werden, ohne
den Stundenplan der Studierenden weiter
aufzublähen. Dies gilt
• sowohl für die Ergänzung von Präsenzveranstaltungen
durch zusätzliche virtuelle
Phasen (wie im vorliegenden Projekt),
• als auch für die Ergänzung des Standardprogramms
im Lehramtsstudium durch
zusätzliche freiwillige Veranstaltungen
(Bruder 2003).
5.2 Zukünftige Aufgaben
Wie von einer formativen Evaluation zu erwarten
ist, ergibt sich eine Reihe zukünftiger
Aufgaben für die Weiterentwicklung der internetgestützten
Lehr-Lern-Umgebung. Diese
sind zunächst technischer Art:
• Das Problem, dass die private Computerausstattung
der Studierenden höchst unterschiedlich
ist und insbesondere über
mehrere Generationen von Betriebssystemen
und Browsern streut, ist wohl nicht
in den Griff zu bekommen. Abhilfe könnten
zumindest teilweise klare technische
Standards sowohl für die Entwickler als
auch für die Studierenden schaffen.
• Die Qualität des Ausdrucks könnte durch
datenbankbasierte Systeme entsprechend
den XML-Standards verbessert werden;
diese schränken aber möglicherweise
auch den Freiraum der Entwickler bei der
Gestaltung einzelner Seiten ein.
• MaDiN könnte auch offline verfügbar sein:
Die Studierenden erhalten ein sehr knappes
Skript mit zugehöriger CD-ROM oder
DVD-ROM. Diese enthält die Bilder, Videos
und Animationen sowie weiter führende
Links sowohl zu einzelnen Elementen
von MaDiN (wie Graphen mit WebMathe-
199

Gerald Wittmann
matica), als auch ins WWW. Dem Vorteil
der offline-Verfügbarkeit stehen die bekannten
Argumente für ein ausschließlich
auf einem Server liegendes System gegenüber
(etwa die permanente Aktualisierbarkeit).
Auch in Bezug auf die Entwicklung entsprechender
Lehrveranstaltungskonzepte liefert
die Evaluation wichtige Anstöße:
• Zu klären bleibt noch das genaue Zusammenspiel
der verschiedenen Medien
innerhalb der Lehrveranstaltungen; — zu
beantworten sind Fragen wie: Welche Inhalte
schreibt der Dozent an die Tafel?
Finden sich diese auch in MaDiN? Langfristig
könnte das Vorhandensein einer
Wissensbasis wie MaDiN Wege eröffnen,
um die Lehrveranstaltungen zumindest
teilweise von der Wissensvermittlung zu
entlasten und Freiräume für experimentelle,
kommunikative und reflektierende Aktivitäten
zu schaffen.
• Die Arbeitsaufträge in MaDiN sind weiter
auszudifferenzieren, abhängig davon, wie
sie bearbeitet werden sollen: kurze Fragen
zur Selbstkontrolle, exakte Anweisungen
für schriftlich abzugebende Übungen,
offene Impulse für Beiträge für das Diskussionsforum,
Anregungen für über die
eigentliche Lehrveranstaltung hinaus führende
Projekte.
• Das Problem einer Vielzahl inhaltsgleicher
Beiträge im Diskussionsforum ist zu lösen,
damit die neue Baumstruktur des
Diskussionsforums auch wirklich mit Leben
gefüllt wird. Möglich wäre beispielsweise
eine Moderation des Diskussionsforums
durch den Dozenten, die den Studierenden
Rückmeldungen zu ihren Antworten
gibt und damit Impulse zum Weiterdenken
— ähnlich wie dies bei der
"Korrektur" eines Lerntagebuchs durch
die Lehrkraft geschieht. Derartige Vorgehensweisen
sind allerdings sehr personalintensiv
(Weigand 2001).
• Es müssen Lösungen gesucht werden,
um die nicht adäquaten Arbeitstechniken
der Studierenden im Umgang mit dem Internet
zu verbessern. Da alle Studierende
zumindest über grundlegende Arbeitstechniken
verfügen, könnte eine derartige
Weiterqualifizierung auch sukzessive erfolgen.
200
Literatur
Bortz, Jürgen & Nicola Döring (2002): Forschungsmethoden
und Evaluation für Human-
und Sozialwissenschaftler. Berlin, Heidelberg
& New York: Springer, 3. Auflage
Bruder, Regina (2003): Internetgestützte Lernumgebungen
für die Lehramtsausbildung. In: Beiträge
zum Mathematikunterricht 2003, 157–
160
DMV & GDM (2001): Vorschläge zur Ausbildung
von Mathematiklehrerinnen und -lehrern für
das Lehramt an Gymnasien in Deutschland.
DMV/GDM-Denkschrift zur Lehrerausbildung.
In: Mitteilungen der GDM 72, 34–42
Döring, Nicola (2002): Online-Lernen. In: Issing &
Klimsa (2002), 247–264
Issing, Ludwig J. & Paul Klimsa (Hrsg.) (2002): Information
und Lernen mit Multimedia und Internet.
Weinheim: Beltz PVU, 3. Auflage
Klatt, Rüdiger u.a. (Hrsg.) (2001): Elektronische
Information in der Hochschulausbildung. Innovative
Mediennutzung im Lernalltag der Hochschulen.
Opladen: Leske + Budrich
Krauthausen, Günter (1998): Lernen – Lehren –
Lehren lernen. Stuttgart: Klett
Lamnek, Siegfried (1995): Qualitative Sozialforschung.
Band 2. Methoden und Techniken.
Weinheim: Beltz PVU, 3. Auflage
Ludwig, Matthias & Gerald Wittmann (2001): Eine
internetgestützte Wissensbasis zur Didaktik
der Geometrie. Entwicklung und Pilotstudie. In:
mathematica didactica 24, Heft 1, 82–92
Mayring, Philipp (2002): Qualitative Inhaltsanalyse.
Grundlagen und Techniken. Weinheim &
Basel: Beltz, 8. Auflage
Middendorf, Elke (2002): Computernutzung und
Neue Medien im Studium. Ergebnisse der 16.
Sozialerhebung des Deutschen Studentenwerkes.
Bonn: Bundesministerium für Bildung
und Forschung
Schulmeister, Rolf (2002): Grundlagen hypermedialer
Lernsysteme. Theorie – Didaktik – Design.
München: Oldenbourg,3. Auflage
Tergan, Sigmar-Olaf (2002): Hypertext und Hypermedia:
Konzeption, Lernmöglichkeiten,
Lernprobleme und Perspektiven. In: Issing &
Klimsa (2002), 99–112
Vollrath, Hans-Joachim (1980): Einstiege im Geometrieunterricht.
In: mathematica didactica 3,
Heft 1, 59–67
Weth, Thomas (2003): MaDiN – Mathematikdidaktik
im Netz. In diesem Band
Weigand, Hans-Georg (2001): Internet-gestützte
Kommunikation in der Lehramtsausbildung. In:
Journal für Mathematik-Didaktik 22, 99–122
Wittmann, Gerald (2003): Grundfragen der Evaluation
multimedialen Lernens. In: Peter Bender
u.a. (Hrsg.) (2003): Lehr- und Lernprogramme
für den Mathematikunterricht. Bericht über die
20. Arbeitstagung des AK "Mathematikunterricht
und Informatik" 2002. Hildesheim: Franzbecker,
155–161

� Über die didaktische Gestaltung multimedialer
Lehrmaterialien
Bert Xylander, Halle a.d. Saale
Der Artikel beschreibt mit der Blickrichtung auf die Gruppentheorie ein Konzept, bestehend
aus didaktischen Prinzipien und Ideen, nach dem multimediale Lehrmaterialien bereits
gestaltet wurden. Von großer Bedeutung ist dabei eine durchdachte didaktische
Gestaltung der Lehrmaterialien. Multimediale Lehrmaterialien lassen sich oftmals nur
eingeschränkt mit herkömmlichen vergleichen. Begründet liegt dies darin, dass sie inhaltlich,
medial und didaktisch hauptsächlich auf das Lernen mit dem Medium Computer
ausgerichtet und dafür konzipiert werden.
1 Einleitung
Lernen mit neuen Medien — da schwingt die
Erwartung mit, dass das Lernen mit Hilfe der
modernen Technik eigentlich ein ganz besonderes
Lernen ist. Nach einigen Jahren
des euphorischen Probierens und Entwickelns
von Lehrmaterialien für die neuen
Medien Computer und Internet lässt sich mit
einigem Recht auch behaupten, dass das
Lernen mit dem Medium Computer durchaus
besonders und hochwertig sein kann. Es ist
aber zugleich unbestritten, dass das Medium
Computer in vielen Lernsituationen wenig
hilfreich und gelegentlich sogar sehr hinderlich
wirkt und viele Lerninhalte besser auf
"herkömmliche Weise" mit Hilfe "herkömmlicher
Medien" gelernt werden sollten. Damit
stellen sich zwei Fragen: In welchem Lehrund
Lernkontext entfaltet das Medium Computer
seine spezifischen Möglichkeiten, sowohl
Lehre als auch Lernen zu unterstützen,
zu bereichern und zu neuer Qualität und Intensität
zu führen? Wie können die Lehrinhalte
als Lehrmaterial gestaltet werden, damit
sich das Lehrmedium Computer als besonders
geeignet erweist?
Gerade dieser zweiten Fragestellung wird
sich der Artikel zuwenden. Exemplarisch und
zugleich phänotypisch mit dem inhaltlichen
Schwerpunkt Gruppentheorie wird hier die
Diskussion über die didaktische Gestaltung
multimedialer Lehrmaterialien geführt. Dies
beginnt mit der Analyse bereits existierender
Computer- und Internet-Lehrmaterialien zur
Gruppentheorie; anschließend wird die besondere
Wirkungsweise des Lehrmediums
Computer untersucht. Die Diskussion
schließt mit der Beschreibung eines didaktischen
Konzepts und eines Konzepts zur
Lernkontrolle für ein multimediales gruppentheoretisches
Lehrmaterial. Dieses Lehrma-
terial wurde vom Autor im Rahmen des
BMBF-Leitprojektes "Vernetztes Studium –
Chemie" (www.vs-c.de) in einem Zeitraum
von 3 Jahren entwickelt und bereits mit Studierenden
getestet (vgl. auch Zimmer et al.
2002 und 2003).
2 Gruppentheorie mit dem
Internet: Eine Bestandsaufnahme
Internet-Lehrmaterialien lassen sich nach
dem Umfang ihrer inhaltlichen, medialen und
didaktischen Neukonzeption beurteilen. Folgt
man diesem Klassifizierungsansatz, so werden
aus der Analyse der derzeit (September
2003) im Internet verfügbaren Lehrmaterialien
zu gruppentheoretischen Inhalten drei
wesentliche Realisierungsstufen deutlich.
Der ersten Realisierungsstufe lassen sich all
jene Lehrmaterialien zuordnen, die sich lediglich
durch die technische Verbreitung von
herkömmlichen Lehrmaterialien unterscheiden:
Der Computerbildschirm ersetzt das
Papier, es findet keine inhaltliche, mediale
und didaktische Neukonzeption statt. Solche
Lehrmaterialien sind z.B. die gebräuchlichen
Vorlesungsskripte und Übungsserien in PDF-
Form. Die Lehrmaterialien dieser Realisierungsstufe
verlieren durch ein Ausdrucken
nicht an Information und Funktionalität.
Es handelt sich also um eigentlich herkömmliche
Lehrmaterialien, die durch das Internet
eine kostengünstige Verbreitung erfahren. Im
Vergleich zu den Materialien der beiden anderen
Stufen ist ihre Erstellung mit einem geringeren
technischen Aufwand und somit
auch mit einem geringeren Aufwand für die
Lehrenden verbunden. Im Allgemeinen werden
die Lernenden diese Lehrmaterialien
201

Bert Xylander
ausdrucken und in der herkömmlichen Form
im Lernprozess einsetzen.
Der zweiten Realisierungsstufe werden die
Lehrmaterialien in Hypertext-Form zugeordnet.
Diese Lehrmaterialien entstehen zumeist
dadurch, dass herkömmliche Lehrmaterialien
in weniger umfängliche und geringere Ladezeit
beanspruchende HTML-Formate umgesetzt
und mit einer Hypertext-Funktionalität
versehen werden. Die Lehrmaterialien erfahren
dabei, im Vergleich zu herkömmlichen
Lehrmaterialien, eine inhaltliche und auch didaktische
Neukonzeption; die mediale Funktionalitätserweiterung
beschränkt sich zumeist
auf die Vernetzung der Inhalte durch
Hypertext. Das Ausdrucken dieser Lehrmaterialien
führt zu dem Verlust der Verlinkungsfunktionalität,
nicht jedoch zu einem Informationsverlust.
Dass sich der mit der Entwicklung solcher
Hypertext-Materialien verbundene hohe Aufwand
sehr wohl lohnen kann, lässt sich am
einfachsten mit einem Beispiel belegen. Genannt
sei stellvertretend die Freiberger Web-
Vorlesung über Klassische Algebra (Hebisch
2002). Hier werden algebraische Inhalte zusammenfassend
geordnet und mit Hilfe von
Hyperlinks miteinander vernetzt. Es entsteht
ein Gefüge übersichtlicher Wissenseinheiten,
die sich im Vergleich zu herkömmlichen
Lehrmaterialien als besonders geeignet zeigen
für ein wiederholendes und systematisierendes,
aber auch ergänzendes und vertiefendes
Lernen.
Erfahrungen zeigen, dass der Wert der Lehrmaterialien
dieser zweiten Realisierungsstufe
hauptsächlich in der neuartigen und zumeist
systematisierenden Darstellung von Lehrinhalten
liegt. Diese Erfahrungen spiegeln sich
zum einen in der facettenreichen Diskussion
über die Eignung des Computerbildschirms
zum Textlernen (Schulmeister 2002, 279ff),
aber auch in den vom Autor durchgeführten
Studien über Internetlehrmaterialien (Zimmer
et al. 2002).
In der dritten Realisierungsstufe lassen sich
all jene Lehrmaterialien ansiedeln, die auf
das Lernen mit dem Computer ausgerichtet
sind und die in ihrer medialen Funktionalität
über Hypertexte hinausgehen. Die Lehrmaterialien
werden in ihrer inhaltlichen Struktur für
das Lernen am Computer neu konzipiert, die
didaktische und mediale Neuorganisation der
Lehrmaterialien basiert auf dem vollen Funktionalitätsumfang
des Lehrmediums. So werden
zumeist Medienformen entwickelt, die
die medialen Möglichkeiten des Computers
nutzen (z.B. Simulationen und Animationen)
und die sich durch eine bidirektionale Interak-
202
tion zwischen den Lernenden und den Lehrmaterialien
auszeichnen (z.B. Trainingsaufgaben
mit kontextabhängigem Feedback).
Die inhaltliche, mediale und didaktische Orientierung
der Materialien auf das Lehrmedium
Computer führt dazu, dass mit dem Ausdrucken
der Lehrmaterialien zumeist Informationsverluste,
insbesondere aber Funktionalitätseinschränkungen
verbunden sind.
Ein Beispiel für ein gruppentheoretisches
Lehrmaterial der dritten Realisierungsstufe ist
das Lehrmaterial "Symmetrie molekularer
Strukturen", das vom Autor entwickelt und
auf das in der Einleitung bereits hingewiesen
wurde.
Die Lehrmaterialien der dritten Realisierungsstufe
ermöglichen den Lernenden mit
ihren gegenüber herkömmlichen Lehrmedien
neuartigen Darstellungsformen eine andere
Sichtweise auf die Inhalte, wodurch der
Lernprozess sehr bereichert werden kann.
Des Weiteren kann auf der Grundlage der
bidirektionalen Interaktion zwischen den Lernenden
und dem Lehrmaterial eine gegenüber
herkömmlichen Lehrmedien stärkere
Einbindung und Aktivierung der Lernenden
erfolgen. Kritisch ist mit Blick auf die bereits
erwähnte Diskussion über die Eignung des
Computers als Lehrmedium festzuhalten,
dass im Unterschied zu den beiden anderen
Realisierungsstufen der Lernende mit seinem
Lernprozess zwangsläufig an das Medium
Computer gebunden ist. Als ein weiterer Hinderungsgrund
für die Schaffung derartiger
Lehrmaterialien kann der im Vergleich zu
Hypertexten noch einmal höhere Entwicklungsaufwand
angesehen werden.
Mit dem Blick auf die didaktische Gestaltung
von multimedialen Lehrmaterialien, also gerade
von Lehrmaterialien der dritten Realisierungsstufe,
stellt sich gleich zu Beginn die
Frage: Worin liegt eigentlich die Besonderheit
des Lehrmediums Computer im Vergleich
zu herkömmlichen Lehrmedien begründet?
Der folgende Abschnitt wird sich mit dieser
Frage auseinandersetzen.
3 Die besondere Wirkungsweise
des Computers im
Lernprozess
Das Medium Computer zeichnet sich gegenüber
herkömmlichen Medien (z.B. Büchern
und Realmodellen) hauptsächlich durch eine
Erweiterung der technischen Funktionalität

aus. Der Computer wirkt als ein Moderator
herkömmlicher Darstellungsformen — Schulmeister
(2002, 22) spricht vom "mediieren
durch den Computer" — und kann somit das
Lernen auf eine Art und Weise bereichern,
die den herkömmlichen Medien fremd ist.
Andererseits lassen sich mit dem Computer
nicht alle wesentliche Bestandteile des Lehrund
Lernprozesses abdecken; — so ist das
haptische Begreifen von mathematischen
Zusammenhängen durch die Arbeit mit realen
Modellen zumindest derzeit mit dem Medium
Computer nicht realisierbar.
Begründet nun aber der Computer eine qualitativ
neue Darstellungsform? Natürlich nicht!
Das Medium Computer ist hauptsächlich
durch eine vernetzende Organisation herkömmlicher
Darstellungsformen gekennzeichnet,
wobei die Vernetzung nicht nur auf
die Präsentation beschränkt bleibt, sondern
auch die Lernenden (in Bezug auf die Lernmedien)
integriert. Diese vernetzende Organisation
herkömmlicher Medien unter Einbeziehung
des menschlichen Individuums führt
zu der erweiterten Wirkungsweise des Lehrmediums
Computer (eine Wirkungsweise, die
häufig als Multicodalität, Multimodalität und
Interaktivität beschrieben wird). Die nachfolgende
Abbildung 1 charakterisiert diese erweiterte
Wirkungsweise.
Der Lernprozess mit herkömmlichen Medien
besitzt überwiegend monodirektionalen Charakter:
Die Lernenden integrieren die vorgegebene
mediale Darstellung in ihren Lernprozess,
können jedoch nur wenig auf das
Medium selbst zurückwirken (ein Modell
Herkömmliche Medien
Darstellungsangebot
(vom Lehrenden vorgegeben)
Subjektiver
Aneignungsprozess
Lernprozess
Eingeschränkte Rückwirkung
Über die didaktische Gestaltung multimedialer Lehrmaterialien
kann von verschiedenen Seiten betrachtet,
ein Bild kann ausgemalt, ein Text kann laut
und leise, einmal oder mehrmals gelesen
werden). Ähnliches tritt auch bei der Kombination
mehrerer Darstellungsformen mit herkömmlichen
Medien — Schulmeister (2002,
21) spricht diesbezüglich von der "Sequenzialität
der verschiedenen Medien" — zu Tage:
Die Lernenden können zwar verschiedene
Darstellungsangebote in ihren Lernprozess
integrieren (entweder ein Bild im Buch betrachten
oder den beschreibenden Text verinnerlichen
oder beides nacheinander), dennoch
überwiegt die monodirektionale Wirkung
der herkömmlichen Medienkombination
auf den Lernprozess (Abb. 1, links).
Der Computer ermöglicht dagegen einen (idealerweise)
wirklich bidirektionalen Charakter:
Die Lernenden integrieren das Darstellungsangebot
in ihren Lernprozess; zugleich
aber können die Lernenden auf die Darstellung
einwirken und sie ihren individuellen
Vorstellungen entsprechend anpassen. Zudem
ermöglicht die technische Funktionalität
des Computers, mehrere verschiedene Darstellungsangebote
den Lernenden zur Auswahl
zu stellen. Demzufolge erstreckt sich
die Rückwirkungsmöglichkeit ebenfalls auf
die Auswahl eines für die Lernenden individuell
geeigneten Darstellungsangebots. Zusätzlich
ermöglichen die neuen Medien eine
individuelle Neuorganisation des der Darstellung
zugrunde liegenden Mediennetzes in
Abhängigkeit von der jeweiligen Lernsituation
(Abb. 1, rechts).
Computer
Darstellungsangebote
Darstellungsangebot
(individuell ausgewählt)
Subjektiver
Aneignungsprozess
Lernprozess
Individuelle Auswahl
eines Angebots
Individuelle Anpassung
des Angebotes
Individuelle Neuorganisation
des Mediennetzes
Abb. 1: Die Wirkungsweise der herkömmlichen Lehrmaterialien und des Computers im Vergleich. Mit herkömmlichen
Medien findet hauptsächlich ein monodirektionaler Lernprozess statt (Abb. links), wohingegen mit dem Lehrmedium
Computer der Lernprozess interaktiv (bidirektional) gestaltet werden kann (Abb. rechts).
203

Bert Xylander
Bedeutsam für einen Erfolg dieser erweiterten
Wirkungsweise des Lehrmediums Computer
im Lernprozess ist in jedem Fall die aktive
Teilnahme der Lernenden und das Nutzen
der erweiterten Angebote: Wird durch die
Lernenden nicht aktiv-kreativ von der Wirkungsweise
des Computers Gebrauch gemacht,
reduziert sich der Darstellungseffekt
des Computers auf das Niveau der herkömmlichen
Medien.
Natürlich ist es notwendig, überhaupt erst
einmal solche, die erweiterte Wirkungsweise
des Computers realisierende Lehrmaterialien
zu entwickeln und anschließend den Lernenden
anzubieten. Derartige Lehrmaterialien
zeichnen sich durch multimediale Darstellungsformen
aus, vor allem aber auch dadurch,
dass ihre inhaltliche Struktur und ihre
didaktische Organisation dem Medium Computer
angepasst werden.
Im folgenden Abschnitt wird nun — fortsetzend
mit der inhaltlichen Fokussierung auf
die Gruppentheorie — diskutiert, wie eine
solche didaktische Konzeption multimedialer
Lehrmaterialien gestaltet werden kann. Aus
der Betrachtung des Beispiellehrmaterials
"Symmetrie molekularer Strukturen" werden
didaktische Leitlinien und Ideen speziell für
das Lehrmedium Computer entwickelt und
formuliert. Die Leitlinien und Ideen basieren
dabei auf grundlegenden Konzepten, die für
die neue Situation des Lernens mit multimedialen
Lehrmaterialien präzisiert und weiter
entwickelt werden. Es wird sich insbesondere
zeigen, dass die didaktischen Gestaltungsprinzipien
das verbindende Grundgerüst darstellen,
mit dem die inhaltliche und mediale
Struktur eines multimedialen Lehrmaterials
zu einem funktionierenden Ganzen erfolgreich
zusammengeführt werden kann.
4 Multimediale Gruppentheorie:
Ein didaktisches
Konzept
Die didaktische Konzeption eines multimedialen
Lehrmaterials in Ausrichtung auf das
Lehrmedium Computer muss eine andere
sein als die didaktische Konzeption in Ausrichtung
auf herkömmliche Lehrmedien: Allein
schon der Anspruch, die Wirkungsweise
des Computers in die inhaltliche und mediale
Gestaltung zu integrieren, erfordert ein Überdenken
und Anpassen herkömmlicher Darstellungsstrategien,
womit nahezu zwangsläufig
ein Aufbrechen herkömmlicher Lehrkonzepte
verbunden sein wird.
204
Im Folgenden werden die didaktischen Prinzipien
erörtert, die sich für die Gestaltung des
multimedialen gruppentheoretischen Lehrmaterials
"Symmetrie molekularer Strukturen"
als grundlegend und wirkungsvoll herausgestellt
haben. Die Diskussion wird dabei zeigen,
dass auch inhaltliche und mediale Betrachtungen
mit herangezogen werden müssen.
Es sei dazu auf die ausführliche Beschreibung
der Inhaltsstruktur des Lehrmaterials
sowie auf die Beschreibung der im
Lehrmaterial verwendeten medialen Darstellungsformen
in (Zimmer et al. 2003) verwiesen.
Ein didaktisches Konzept realisiert verschiedene
Formen didaktischer Ideen und Prinzipien,
die nach dem Allgemeinheitsgrad ihrer
Wirkung und nach dem Grad ihres inhaltlichen
und ihres medialen Bezuges charakterisiert
werden können. Es zeigt sich jedoch
auch, dass die didaktischen Prinzipien einander
durchdringen und aufeinander einwirken.
4.1 Inhaltsstrukturierung und systematisierende
Darstellung
Eine das gesamte Lehrmaterial umfassende
Leitidee offenbart sich in einer strukturierten
Organisation der Lehrinhalte. Im Lehrmaterial
"Symmetrie molekularer Strukturen" spiegelt
sich dies z.B. in einer kapitelübergreifenden,
gleichartigen Inhaltsstruktur. Alle Kapitel sind
jeweils inhaltlich gegliedert in Voraussetzungen
und Grundbegriffe, in einen Hauptteil
(der eigentliche Inhaltsgegenstand), in eine
Zusammenfassung und in eine Aufgabenund
Antwortsammlung. Diese strukturierte Inhaltsorganisation
wird unterstützt durch die
physisch-technische Gliederungshierarchie
der Lehrinhalte in Kapitel, Abschnitte und
Lehreinheiten.
Das Konzept der Inhaltsstrukturierung beschreibt
die inhaltliche Grobstruktur und ihre
konkrete physisch-technische Realisierung.
Wird die Betrachtung noch weiter herunter
gebrochen auf die inhaltliche Strukturbetrachtung
der Lehreinheiten, so wird eine
systematisierende Inhaltsdarstellung deutlich.
In der Entwicklung des Lehrmaterials
stellt sich nämlich für verschiedene Lehrinhalte
eine systematisierende Darstellungsweise
als überaus geeignet heraus, diese Inhalte
zu vermitteln. Die Systematisierung erfolgt
dabei sowohl übergreifend über mehrere
Lehreinheiten als auch innerhalb einzelner
Lehreinheiten. Die Lernenden können somit
die Inhalte vergleichend studieren, Gemeinsamkeiten
und Unterschiede erkennen und

auf diese Weise aktiv ihr eigenes, systematisierendes
Wissensnetz konstruieren. Diese
didaktisch motivierte Form der selbst vollzogenen
Inhaltsstrukturierung wird als das
Prinzip der systematisierenden Darstellung
bezeichnet.
4.2 Didaktische Differenzierung
und inhaltliche Ergänzungen
Eine andere didaktisch begründete Form der
Inhaltsstrukturierung beschreibt das vertraute
Prinzip der didaktischen Differenzierung.
Dieses Prinzip findet im Lehrmaterial seinen
Niederschlag dadurch, dass Inhalte als vertiefende
Inhalte zusätzlich zu den im Regelfall
nicht-vertiefenden Inhalten organisiert
werden, um somit den Studierenden verschiedene
Schwierigkeitsgrade und Anforderungsniveaus
zu bieten.
Die didaktische Differenzierung erfolgt dabei
auf zwei unterschiedlichen Wegen. Zum einen
werden vertiefende Lehreinheiten in das
Lehrmaterial integriert, die prinzipiell ein höheres
inhaltliches Niveau realisieren. Diese
Vertiefungen stellen eigenständige inhaltliche
Komplexe dar, in denen umfangreiche Inhaltsbezüge
behandelt werden.
Eine zweite Form der didaktischen Differenzierung
drückt sich mit dem Konzept der inhaltlichen
Ergänzungen aus. Das Konzept
realisiert innerhalb der Lehreinheiten (sowohl
innerhalb der nicht-vertiefenden, als auch innerhalb
der vertiefenden Lehreinheiten) zusätzliche
Wissensangebote in Form von
Fußnoten, Vertiefungen oder Aufgaben. Die
Studierenden können diese kontextabhängigen
Angebote nutzen, sind dazu jedoch nicht
verpflichtet. Die zusätzlichen Angebote ergänzen
das Lehrmaterial in der Form von
Popup-Fenstern.
4.3 Inhaltliche Konsistenz und
inhaltliche Vorwegnahme
Mit dem Prinzip der inhaltlichen Konsistenz
wird ein spezielles, ebenfalls inhaltsorientiertes
didaktisches Prinzip vorgestellt. Die Wirkung
dieses Prinzips geht mit der Realisierung
von inhaltlichen Leitlinien im Lehrmaterial
einher. Solche Leitlinien bestehen darin,
dass z. B. verschiedene Inhalte immer wieder
am gleichen Beispiel exemplarisch erklärt
und veranschaulicht werden oder dass die
Lehrinhalte pyramidal aufeinander aufbauen.
Ausdruck des Prinzips der inhaltlichen Konsistenz
ist neben den inhaltlichen Leitlinien
Über die didaktische Gestaltung multimedialer Lehrmaterialien
aber auch der Aspekt der inhaltlichen Vorwegnahme.
Diese erfasst Begriffsinhalte und
inhaltliche Zusammenhänge anschaulich und
intuitiv; erst zu einem viel späteren Zeitpunkt
— nach entsprechend ausgebildeter theoretischer
Grundlegung — werden die Begriffe
und Zusammenhänge in einer mathematischen
Terminologie exakt erfasst.
4.4 Abgeschlossene Lehreinheiten
Ein weiteres didaktisches Prinzip, das hauptsächlich
inhaltsorientiert wirksam wird, findet
sich in dem Prinzip der abgeschlossenen
Lehreinheiten. Nach diesem Prinzip werden
inhaltliche Zusammenhänge derart organisiert,
dass sie innerhalb einer Lehreinheit zusammenhängend
darstellbar sind. Erforderlich
ist also die Konzentration auf das Wesentliche,
auf kurze und überschaubare elementare
Lehreinheiten. In herkömmlichen
Lehrmedien können sich zusammenhängende
Inhalte über mehrere physische Einheiten
verteilen. Im Gegensatz dazu kapselt das
Prinzip der abgeschlossenen Lehreinheiten
zusammenhängende Lehrinhalte innerhalb
einer physischen Einheit (der Lehreinheit).
Die bisher beschriebenen didaktischen Prinzipien
sind durch ihre inhaltliche Orientierung
geprägt. Mit dem Konzept der darstellungsorientierten
Veranschaulichung durch multimediale
Elemente wird nun ein allgemeines
mediales Konzept betrachtet.
4.5 Veranschaulichung und
Anschaulichkeit
Das Konzept der darstellungsorientierten
Veranschaulichung wird im Lehrmaterial
"Symmetrie molekularer Strukturen" wesentlich
durch virtuell-dreidimensionale Modelle
und durch dynamische Medien-Korrelationen
geprägt (zu den Bezeichnungen vgl. Zimmer
2003). Mit ihrer hervorragenden Eignung,
abstrakt-mathematische Begriffe und Zusammenhänge
dynamisch veranschaulichen
zu können (s. Abb. 2), besitzen diese beiden
Darstellungsformen multimedialer Elemente
einen besonderen Stellenwert für das Gesamtkonzept
des Lehrmaterials.
Auf der Grundlage des Konzepts der darstellungsorientierten
Veranschaulichung lassen
sich spezielle didaktische Prinzipien formulieren,
die sowohl inhaltsorientiert als auch medial
orientiert wirken: Das Prinzip der Anschaulichkeit
ergänzt das Prinzip der abgeschlossenen
Lehreinheiten insofern, als zusätzlich
zur zusammenhängenden Inhalts-
205

Bert Xylander
darstellung eine anschauliche Inhaltsorganisation
eingefordert wird. Realisiert wird dieses
Prinzip hauptsächlich durch die Kombination
inhaltlicher Textdarstellung mit darstellungsorientierten
Veranschaulichungen (z.B.
in Form virtuell-dreidimensionaler Modelle
oder dynamischer Medien-Korrelationen).
4.6 Aktivitätsförderung
Ebenfalls als inhaltsorientiertes, aber auch
medial orientiertes Prinzip wirkt das Prinzip
der Aktivitätsförderung. Dieses Prinzip beschreibt
die Gestaltung der Lehreinheiten als
eine ausgewogene Mischung textueller Inhaltsdarstellung
mit interaktiven multimedialen
Elementen, die sich wechselseitig sinnunterstützend
durchdringen. Didaktischer Hintergrund
ist die Mischung instruktiver Texte
mit aktivitätsfördernden Elementen, um verschiedene
Lerntypen anzusprechen. Als
zweiter Aspekt des Prinzips der Aktivitätsförderung
soll das Handeln der Studierenden
betont werden. Nur durch ein selbst bestimmtes,
aktives Erarbeiten sind die Studierenden
in der Lage, sich die — vielfach abstrakten
— Inhalte eigenständig anzueignen.
Bedeutung kommt hierbei auch dem motivationalen
Aspekt der Auseinandersetzung mit
den Lehrinhalten bei: Aktivitätsfördernde
(multimediale) Komponenten sind in der Lage,
eine — für einen Lernerfolg notwendige
— intrinsische Motivationslage extrinsisch
aufzuwerten.
4.7 Aktive Lernkontrolle
Ein wesentlicher Bestandteil jedes multimedialen
Lehrmaterials sind die Formen der
Lernkontrolle. Die Gestaltung der Lernkontrolle
wird durch fünf verschiedene didaktische
Aspekte geprägt: durch die inhaltliche
206
Drehung um 90°
Drehachse
Drehung um 45°
Transparenz
Drehung um 90°
Drehachse
Drehung um 45°
Transparenz
Abb. 2: Drehoperationen an einem virtuell-dreidimensionalen Würfelmodell: Mit Hilfe des miniaturisierten Vergleichmodells
in Ausgangslage (in der linken oberen Ecke) ist leicht nachzuvollziehen, dass eine Drehung um einen Winkel von 90° um
die dargestellte Drehachse eine Symmetrieoperation — bzw. Deckabbildung — ist (linke Seite; nach der Drehung); die
Drehung um einen Winkel von 45° dagegen nicht (rechte Seite; nach der Drehung).
und durch die mediale Organisation der
Lernkontrolle, durch den Aspekt der Aktivitätsförderung,
durch die individuell determinierten
Aspekte der Eigenverantwortlichkeit
und der Lernbereitschaft der Studierenden.
Das damit charakterisierte Spannungsfeld
begründet das didaktische Prinzip der aktiven
Lernkontrolle.
Im Lehrmaterial "Symmetrie molekularer
Strukturen" werden fünf Aufgabentypen zur
Lernkontrolle eingesetzt: Wissensaufgaben,
Lernaufgaben, Anwendungsaufgaben, Formalaufgaben
und Handlungsaufgaben:
Wissensaufgaben: Nennen Sie 3 Unterschiede
zwischen Drehspiegelachsen Sn mit
geradem n und ungeradem n.
Lernaufgaben: Warum ist die S2-Symmetrie
äquivalent zur Inversionssymmetrie?
Anwendungsaufgaben: Kann es eine Symmetrieachse
geben, bei der die Symmetrieoperation
mit dem kleinsten Drehwinkel eine
Drehung um 35° ist?
Formalaufgaben: Beurteilen Sie die folgenden
Aussagen nach ihrer Richtigkeit:
• Die Menge {1, -1} bildet eine Gruppe.
• Die Menge {1, -1} bildet mit der Addition
eine Gruppe.
• Die Menge {1, -1} bildet mit der Multiplikation
eine Gruppe.
Handlungsaufgaben: Ermitteln Sie aus den
Drehsymmetrieoperationen der drei senkrecht
aufeinander stehenden C2-Achsen des
Tetraeders die zugehörige Gruppentafel (s.a.
Abb. 3).
Tab. 1: Beispiele für die fünf Formen der Lernkontrolle
im Lehrmaterial "Symmetrie molekularer Strukturen"
Unterscheidungskriterien sind neben dem
Grad der Aktivitätsförderung die didaktische
Intention, die inhaltliche Organisation und die
mediale Präsentation der Lernkontrolle.

Die Einteilung der Aufgabenformen reicht
dabei über die oft verwendete, nahezu klassische
Eingruppierung in Reproduktionsaufgaben,
Anwendungsaufgaben und Transferaufgaben
hinaus. Diese Erweiterung ist sowohl
inhaltlich (Aufgaben zur Gruppentheorie)
als auch medial (besonders handlungsfördernde
Aufgaben) begründet.
Über die mediale Organisation der Aufgaben
im Lehrmaterial als eine Form der inhaltlichen
Ergänzung wurde bereits in (Zimmer et
al. 2003) berichtet. Die Analyse der medialen
Gestaltung der Lernkontrolle selbst führt zu
einer Unterscheidung der Aufgabenformen
nach dem Grad der Aktivitätsförderung. Anzutreffen
sind Aufgabentypen in einer eher
konventionellen Ausprägung bis hin zur Aufgabentypen,
die sich durch eine hohe Handlungsorientierung
auszeichnen.
Unter Wissensaufgaben werden solche Aufgaben
verstanden, deren Beantwortung
durch das alleinige Studium zusammenhängender
Lerneinheiten erfolgen kann.
Bevorzugte mediale Gestaltungsmittel sind
dabei Textelemente und einfache virtuelldreidimensionale
Modelle.
Bei Lernaufgaben erfahren die Studierenden
im Sinne der inhaltlichen Ergänzung neue inhaltliche
Zusammenhänge, die in Beantwortung
der Aufgabe selbstständig aus bereits
vorhandenem Wissen konstruiert werden
können und sollen. Diese Aufgabenform ist
zum überwiegenden Teil durch Textdarstellungen
bestimmt.
Anwendungsaufgaben treten sehr häufig im
Über die didaktische Gestaltung multimedialer Lehrmaterialien
Abb. 3: Die Entwicklung der Gruppentafel der Kleinschen Vierergruppe als eine Handlungsaufgabe:
In dem virtuell-dreidimensionalen Handlungsmodell können in der Eingangszeile
und in der Eingangsspalte der Gruppentafel die Symmetrieoperationen der
zweizähligen Achsen des rechten Tetraedermodells ausgewählt und als (animierte) Drehung
an der entsprechenden Achse dargestellt werden. Im Anschluss daran muss die
aus den beiden gewählten Symmetrieoperationen resultierende Operation — durch die
farbig markierten Eckpunkte unterstützt — bestimmt werden. Diese wird im linken Tetraedermodell
(animiert) dargestellt. Bei richtiger Bestimmung wird das Symbol in der Verknüpfungstafel
eingetragen, oder es erfolgt ein erneuter Lösungsversuch.
Lehrmaterial auf. Als Anwendungsaufgaben
werden alle die Aufgaben verstanden, die
durch das Anwenden oder auch Kombinieren
der bereits erworbenen Kenntnisse beantwortet
werden können. Im Unterschied zu
den Lernaufgaben handelt es sich zumeist
um die konkrete (beispielhafte) Anwendung
allgemeinen Wissens. Die mediale Gestaltung
kann sehr vielseitig sein, überwiegend
treten Textdarstellungen in Kombination mit
einfachen multimedialen Elementen auf.
Formalaufgaben sind Aufgaben zu formalmathematischen
Inhalten. Hier geht es um
grundlegende Formalien der Bezeichnungen
und der Nomenklatur und um grundlegende
Prinzipien gruppentheoretischer Methoden
und Verfahren. Die mediale Darstellung ist
überwiegend symbol- und textorientiert.
Handlungsaufgaben als fünfte Form der
Lernkontrolle sind grundsätzlich handlungsorientiert
ausgerichtet. Sie sind hauptsächlich
anhand virtuell-dreidimensionaler Handlungsmodelle
zu erarbeiten. Dabei ist der aktivitätsfördernde
Aspekt im Vergleich zu den
anderen Aufgabentypen in besonderem Maße
entwickelt (vgl. Abb. 3).
4.8 Das didaktische Grundgerüst
multimedialer Lehrmaterialien
In Zusammenfassung der vorangehenden
Abschnitte entsteht die Gesamtheit der didaktischen
Leitlinien und Prinzipien als ein
didaktisches Grundgerüst für das Lehrkonzept
eines multimedialen Lehrmaterials (s.
Abb. 4). Formuliert
wurden inhaltlich
und medial orientierte
Konzepte, Leitideen
und didaktische
Prinzipien. Einige
der didaktischen
Prinzipien
sind in ihrer Umsetzung
von den herkömmlichen
Medien
her bereits bekannt,
so das Prinzip der
didaktischen Differenzierung
oder das
Prinzip der inhaltli-
chen Konsistenz. Einige
Prinzipien richten
ihre Wirkungsweise
aber auch
speziell auf das
Lehrmedium Computer
aus. Zu nennen
sind hier das
207

Bert Xylander
Prinzip der abgeschlossenen Lehreinheiten,
die mediale Funktionalität des Konzepts der
inhaltlichen Ergänzungen, das Konzept der
darstellungsorientierten Veranschaulichung
mit multimedialen Elementen, das
Prinzip der Aktivitätsförderung und das Prinzip
der aktiven Lernkontrolle.
5 Zum Abschluss
Bei aller Begeisterung für das Lernen mit
neuen Medien kann dem Computer keine
herausragende Stellung im Hinblick auf den
Einsatz als Lehrmedium zugeschrieben werden:
Der Computer sollte vielmehr als eine
wichtige Ergänzung in dem breiten Spektrum
der bereits existierenden Lehrmedien angesehen
und eingesetzt werden.
Dennoch erscheint es — gerade mit Sicht auf
die Darstellungs- und Vermittlungsmöglichkeiten
des Lehrmediums Computer — lohnenswert,
die Entwicklung von speziellenmultimedialen
Lehrmaterialien voranzutreiben
208
Inhaltsstrukturierung
Systematisierende Darstellung
Didaktische Differenzierung
Inhaltliche Ergänzungen
Inhaltliche Konsistenz
Inhaltliche Vorwegnahme
Anschaulichkeit
Darstellungsorientierte Veranschaulichung
Aktivitätsförderung
Abgeschlossene Lehreinheiten
Aktive Lernkontrolle
Abb. 4: Ein didaktisches Grundgerüst für das Lehrkonzept eines multimedialen
Lehrmaterials.
Literatur
und zu vertiefen. Mit den
medialen Darstellungsformen
des Computers eröffnen sich
vielversprechende Ansätze
zur Darstellung mathematischer
Inhalte, die sich in dieser
Form nicht mit herkömmlichen
Lehrmaterialien realisieren
lassen. Zudem können
— basierend auf der
Wirkungsweise des Computers
— die Lernenden die
multimedialen Lehrmaterialien
sehr intensiv in ihren
selbstständigen Lernprozess
integrieren: Sie können auf
verschiedene Weise auf das
Medium einwirken und damit
das Lehrmaterial ihren Bedürfnissen
und Vorstellungen
individuell anpassen.
Hebisch, Udo (2002): Freiberger Web-Vorlesung
über Klassische Algebra. www.mathe.tufreiberg.de/~hebisch/cafe/algebra/
Schulmeister, Rolf (2002): Grundlagen hypermedialer
Lernsysteme: Theorie – Didaktik – Design.
München, Wien: Oldenbourg, 2002
Zimmer, Bert; Clemens Bruhn & Dirk Steinborn
(2002): Lernen mit dem Internet im Selbststudium:
Symmetrie molekularer Strukturen — eine
Lerneinheit und Erfahrungen. In: Wilfried
Herget et al. (Hrsg.) (2002): Medien verbreiten
Mathematik. Hildesheim: Franzbecker, 62–71
Zimmer, Bert (2003): Veranschaulichung in der
Gruppentheorie. In: Beiträge zum Mathematikunterricht
2003. Hildesheim: Franzbecker,
673–676
Zimmer, Bert; Karin Richter & Wilfried Herget
(2003): Gruppentheorie — anschaulich mit
dem Computer. In: Peter Bender et al. (Hrsg.)
(2003): Lehr- und Lernprogramme für den Mathematikunterricht.
Hildesheim: Franzbecker,
162–173

� Die Apfelsinenkiste im Hyde-Park —
Lernplattformen für den ersten Auftritt
Siegfried Zseby, Berlin
Hunderte von Lernplattformen wurden bereits von Evaluationen erfasst. "Stabilität der
Kiste" ist nicht nur im Hyde-Park ein wichtiges Entscheidungskriterium. Sie beeinflusst
bei Webservern die Entscheidung zwischen Windows und Linux wie bei Autos zwischen
A-Klasse und Ferrari.
Doch Vorsicht: Michael Schumacher braucht mehr PS als Lehrer Lämpel, und ob die
Lernenden als Zuschauer oder als Akteure geworben werden sollen, macht einen Unterschied,
nicht zuletzt wegen der Kosten.
In diesem Beitrag geht es um das Zusammenspiel von Lernplattform, Content und E-
Moderating. Dabei wird E-Moderating als "E-Motivating" eine Schlüsselfunktion erhalten
und die Anforderungen an die "Lernplattform für den ersten Auftritt" etwas relativieren.
1 Einleitung
Seit Dezember vorigen Jahres gibt es an der
Fachhochschule für Wirtschaft (FHW) Berlin
die InitiativGruppe E-Learning, kurz IGEL
genannt. Anfangs war es eine Gruppe von
fünf Aktivisten, die mit dem bisherigen bloßen
Zuschauen beim E-Learning nicht zufrieden
waren: Wäre es nicht möglich, eine
Lernplattform für den ersten Auftritt zu finden,
die unserer Initiative einen angemessenen
Rahmen geben könnte?
Die Anzahl der angebotenen Lernplattformen
ist inzwischen so groß, dass man nicht einmal
die Literatur darüber — Neuentwicklungen,
Erfahrungsberichte, vergleichende Evaluationen
— zu überblicken vermag. Unser
Beauftragter für Multimedia, Professor für
Marketing, und ich hatten einige Veranstaltungen
besucht, in denen namhafte Lernplattformen
wie WebCT und Blackboard vorgestellt
wurden. Ich hatte eine zweitägige
Schulung mit Clix Campus besucht. Kurzum:
wir waren hinreichend verwirrt.
2 Lernplattformen
Als Lernplattform oder Learning Management
System (LMS) werden nach Schulmeister
(2003) — im Unterschied zu bloßen Kollektionen
von Lehrskripten oder Hypertext-
Sammlungen auf Web-Servern — Software-
Systeme bezeichnet, die über folgende Funktionen
verfügen:
- Benutzerverwaltung (Anmeldung mit Verschlüsselung)
- Kursverwaltung (Kurse, Verwaltung der
Inhalte, Dateiverwaltung)
- Rollen- und Rechtevergabe mit differenzierten
Rechten
- Kommunikationsmethoden (Chat, Foren)
und Werkzeuge für das Lernen (Whiteboard,
Notizbuch, Annotationen, Kalender
etc.)
- Darstellung der Kursinhalte, Lernobjekte
und Medien in einem netzwerkfähigen
Browser
Häufig verwendet man hierfür auch den Begriff
"Virtual Learning Environment" (VLE).
Für den ersten Auftritt eignen sich insbesondere
Lernplattformen, bei denen sich das Investitionsrisiko
in Grenzen hält. Hierbei sind
einerseits die direkten Kosten der Plattform
zu bedenken, andererseits aber auch Kosten
für Einarbeitung, Schulung, Erstellung von
Inhalten und die Abhängigkeit einer Institution
von einem Produkt.
Zum Ausprobieren kann man durchaus daran
denken, den freien Service eines großen Anbieters
zu nutzen, z. B. "MSN Groups" oder
"Yahoo! Groups". Als "Groupware" lässt sich
auch "BSCW" (Basic Support for Cooperative
Work) verwenden.
Bei der Auswahl kam mir zugute, was ich
selbst vor fünf Jahren von einem sehr engagierten
Studenten gelernt hatte: Er hatte
mich motiviert, mit dem Betriebssystem Linux
zu arbeiten. Damals noch etwas für Leute,
die etwas "daneben" waren (jedenfalls neben
dem "mainstream"), hat es heute bereits die
Server im Bundestag erobert und ist wegen
seiner Stabilität als Basis für Webserver erste
Wahl. "Open Source" bedeutet, dass die
209

Siegfried Zseby
Programmierquellen offengelegt, von zahlreichen
Experten weiterentwickelt und kostenlos
zur Verfügung gestellt werden.
Da ich also bereits seit 1998 Erfahrungen mit
dem LAMP-System (Linux, Apache-Webserver,
MySQL-Datenbank, PHP-Skriptsprache)
hatte, war ich insbesondere an einer Open-
Source-Lernplattform interessiert.
Die Lernplattform "ILIAS Open Source" mit
eben diesen Charakteristika hat in mehreren
Vergleichsstudien recht gut abgeschnitten.
Deshalb schien sie mir eine realistische Alternative
zu international etablierten kommerziellen
Plattformen wie WebCT und Blackboard
zu sein.
ILIAS wurde an der Universität zu Köln entwickelt
und steht für "Integriertes Lern-, Informations-
und ArbeitskooperationsSystem".
Für die Installation auf einem Testserver benötigte
ein erfahrener IT-Mitarbeiter, der sich
auch mit der LAMP-Architektur gut auskennt,
etwa eine Woche — neben seiner laufenden
Arbeit. Bereits zu diesem Zeitpunkt begegneten
wir dieser Plattform mit einiger Sympathie,
da der offen liegende Quellcode einen
recht übersichtlichen Eindruck machte und
auch der Support durch bereitwillige Unterstützung
der Entwickler und zahlreicher User
in Diskussionsforen gewährleistet schien.
Im Januar organisierte ich eine einwöchige
Inhouse-Schulung durch zwei erfahrene E-
Trainer, die aus dem Umfeld der Kölner Entwickler
kamen. Die Schulung richtete sich an
Hochschullehrer und Kollegen aus dem Bereich
"Information und Kommunikation" mit
dem Ziel, Lehrveranstaltungen durch interaktive
Online-Angebote attraktiver und zeitgemäßer
aufzubereiten. Dieses Angebot wurde
sehr gut aufgenommen. Insgesamt nahmen
21 Kolleginnen und Kollegen an der Schulung
teil.
Zu Beginn des Sommersemesters (April
2003) haben wir neben dem Testserver einen
wesentlich leistungsfähigeren Server in
Betrieb genommen und darauf eine neuere
ILIAS-Version installiert, die insbesondere
auch die Möglichkeit des HTML-Imports bietet.
Das System lief von Beginn an sehr stabil.
Wir haben bisher keinerlei Probleme auf
der Linux-Ebene zu beklagen.
Abgesehen von der Schulung machte ich
mich etwa zwei Monate lang mit den verschiedenen
Rollen (Lerner, Autor, Administrator)
innerhalb von ILIAS vertraut und sah
mich danach in der Lage, mit Unterstützung
durch einen studentischen Mitarbeiter E-
Learning als Ergänzung zu meinen Präsenz-
210
veranstaltungen in einem bis dahin noch unklarem
Umfang anzubieten.
Wie man weiß, hat ILIAS auch etwas mit
"Odyssee" zu tun. Mein Igel "Odysseus", der
Listenreiche, war immer mit im Boot. Einige
Schwierigkeiten haben wir inzwischen kennen
gelernt, und Widrigkeiten wird es sicher
auch weiterhin geben. Bereits bei der Einführung
der Schulung hatte ich darauf hingewiesen,
dass es beim E-Learning um ein Jonglieren
mit drei Bällen geht: Neben den Lerninhalten
sind die didaktische Aufbereitung
und die durch Medien unterstützte Präsentation
immer im Auge zu behalten. ILIAS dient
als Medium und als Container. Wie man den
Content hineinbringt, haben wir in der Schulung
ein wenig geübt. Die Frage, welchen
Content man anbietet und wie man ihn nutzt,
wird uns sehr intensiv zu beschäftigen haben,
wenn wir die Lernplattform ernsthaft nutzen
wollen.
3 Lerninhalte (Content)
Da mit der Installation einer Lernplattform sofort
der "horror vacui" (Schrecken der Leere)
offensichtlich wird, ist es naheliegend,
schnellstens Inhalte zu produzieren oder einzukaufen.
Für Lehrende besteht eine gewisse Versuchung
darin, selbst produzierte Schriften als
"Skripte" an die Studierenden zu verteilen,
auch wenn sie ursprünglich nicht unmittelbar
als Unterlagen für eine Lehrveranstaltung
vorgesehen waren. Hat man einen eigenen
Webserver oder zumindest Webspace zur
Verfügung, so besteht die nächste Stufe darin,
seine Skripten "ins Netz zu stellen". Mit
einer Lernplattform wird man schließlich diese
Produkte auf die Plattform bringen und sie
als "Content" bezeichnen.
In allen drei Phasen sind es die technischen
Möglichkeiten, die sich gegenüber den didaktischen
Gesichtspunkten behaupten: der Kopierer,
der Webserver, die Lernplattform. Das
Ergebnis sind zunächst abgeheftete Skripten,
heruntergeladene Dateien und eine Sammlung
von Lesezeichen (Bookmarks).
Quantität und Qualität stehen nicht selten in
einem unausgewogenen Verhältnis. "Bleiwüsten"
textlastiger Inhalte, unzumutbare
Formatierungen, gut gemeinte Illustrationen
erzielen bei den Lernenden nicht den erhofften
Erfolg. Frustration auf beiden Seiten setzt
eine Abwärtsspirale in Gang, die sich möglicherweise
auf einem unteren Niveau stabilisiert.

Welcher Art sollten die Inhalte einer Lernplattform
sein?
Als wesentliches Kriterium gilt die Interaktivität,
also die Forderung, dass das Material
beim Lernenden eine Aktivität auslöst. Als
Mindestforderung für einen Text wird man
voraussetzen, dass er gelesen wird. Schulmeister
(2002) beschreibt eine Taxonomie
der Interaktivität, bei der deutlich wird, dass
das Anklicken von Links noch nicht der Gipfel
ist.
Ich verwende gern die Unterscheidung zwischen
Anschauungsmaterial und Rohmaterial.
Wenn die Studierenden die Leistungen
des Professors bewundern und von den erstellten
Materialien begeistert sind, so heißt
dies noch längst nicht, dass sie daraus etwas
lernen. Provozierende Aufgabenstellungen,
unvollkommene Entwürfe können durchaus
für den Lernprozess wertvoller sein als vollendete
Formulierungen und multimediale
Kabinettstücke.
Beispiel 1:
Ziel ist es, alle 25 Lichter einzuschalten.
Klickt man auf ein Quadrat, wird das Licht
des Feldes und aller horizontal und vertikal
daneben liegenden Felder umgeschaltet
(aus-ein bzw. ein-aus).
Abb. 1: Alle Lichter einschalten
Beispiel 2:
Gesucht ist die schnellste Verbindung von A
nach B, wobei die Geschwindigkeit über den
A
C
D = ?
Abb. 2: Schnellste Verbindung
Die Apfelsinenkiste im Hydepark — Lernplattformen für den ersten Auftritt
B
Acker (AD) geringer ist als die auf der Straße
(DB). Im Zahlenbeispiel sind die Strecken AC
= 100 m und CB = 200 m und die Geschwindigkeiten
6 km/h bzw. 12 km/h gewählt.
Auch von Studierenden selbst erzeugte und
präsentierte Materialien mit "intelligenten"
Fehlern, über die Produzenten und Konsumenten
diskutieren, sollten als Inhalte einer
Lernplattform nicht tabu sein.
Lerninhalte und Anzahl der Nutzer sind bisher
noch recht gut überschaubar. Wie in Präsenzveranstaltungen
hat dies den Vorteil,
dass eine intensive Betreuung möglich ist
und Erfahrungen unter Laborbedingungen
gemacht werden können. Die ersten Monate
haben meine Erwartungen an die Studierenden
übertroffen: Die Akzeptanz war überaus
positiv, die Diskussion von Fachproblemen
der Finanzmathematik und der Analysis im
Forum war sehr lebhaft, dagegen wurde das
Forum für technische Probleme ignoriert. Unter
den Hochschullehrern ist die Resonanz
inzwischen immerhin so groß, dass wir ILIAS
als "die Lernplattform der FHW" bezeichnen
können.
Welchen Mehrwert können nun die Lehrenden
und Lernenden erwarten?
Lehrende können mit einer Lernplattform
- ihre Materialien an einem zentralen Ort
zur Verfügung stellen,
- Medien verschiedenster Art einsetzen,
- per Mail und Diskussionsforum kommunizieren,
- Einzel- und Gruppenarbeiten auf der
Lernplattform erstellen lassen,
- den Lernprozess mit geringem Aufwand
protokollieren,
- eine neue Form der Betreuung kennen
lernen (E-Moderating).
Ein noch größerer Impuls ist von Seiten der
Studierenden zu erwarten. Sie können
- unabhängig von Zeit und Raum (Internet-
Anschluss vorausgesetzt) Materialien zur
Verfügung haben,
- Medien verschiedenster Art nutzen,
- untereinander und mit dem Lehrer per
Mail und im Diskussionsforum kommunizieren,
- über die Plattform eine Gemeinschaft bilden,
- die Ergebnisse ihres Lernprozesses auf
der Lernplattform präsentieren.
211

Siegfried Zseby
4 Betreuung (E-Moderation)
Inhalt (Content) ist eine notwendige Voraussetzung
für die Arbeit mit einer Lernplattform.
Dass die wichtigste Komponente noch fehlt,
ahnt man, wenn man erfährt, dass das MIT,
also eine der renommiertesten Forschungsund
Lehrstätten der Welt, sich bereits vor einigen
Jahren entschlossen hat, seine Inhalte
frei zur Verfügung zu stellen. Das Besondere
an der dortigen Ausbildung ist offenbar nicht
das Material selbst, sondern die Art, wie Lehrende
und Lernende damit einen Lernprozess
gestalten.
Ich habe selbst an zwei umfangreichen Online-Seminaren
teilgenommen, die jeweils
länger als drei Monate dauerten und intensive
regelmäßige Mitarbeit erforderten.
Das erste Beispiel wendete sich an Sprachdozenten
Berliner Volkshochschulen, die zu
Betreuern von Online-Unterricht ausgebildet
wurden. Die zehn DozentInnen hatten reichhaltige
Erfahrung im Sprachunterricht verschiedener
Fremdsprachen: Englisch, Französisch,
Spanisch und Italienisch. Ich nahm
mit meinen bescheidenen Fremdsprachenkenntnissen
als Gast teil. In der frei zugänglichen
Lernplattform MSN Groups arbeiteten
wir in der Gruppe "Polyglott" zunächst in der
Rolle der Teilnehmer, später konnten wir
auch jeweils eigene Gruppen gründen, in der
jeder die Rolle des Managers mit entsprechend
umfangreicheren Kompetenzen übernehmen
konnte. Die technische und didaktische
Betreuung der Teilnehmer erfolgte arbeitsteilig
durch zwei Personen, und es gab
etwa alle zwei Wochen ein halbtägiges persönliches
Treffen.
Das zweite Beispiel war ein von der Universität
Saarbrücken organisiertes internationales
Online-Seminar namens "IKARUS", bei
dem kein persönlicher Kontakt (face to face)
vorgesehen war. Dabei wurden ebenfalls die
Möglichkeiten des E-Learning behandelt. Die
Arbeit wurde in wechselnden Gruppen durchgeführt,
individueller Beitrag war eine Abschlussarbeit
mit einem selbst gewählten
Thema aus dem Bereich E-Learning, außerdem
mussten jede Woche nicht ganz einfache
Quiz-Aufgaben bearbeitet werden, die
Recherchen im Internet erforderten und als
Multiple-Choice-Aufgabe formuliert waren.
Die Gruppenaufgaben wurden in Foren diskutiert,
und die Ergebnisse wurden den Tutoren
zugeschickt. Termine waren klar vorgegeben.
In beiden Fällen hatte ich das Glück, von hervorragenden
Betreuern angeleitet zu werden.
212
Dies hat mich ermutigt — und hoffentlich befähigt
— mit unserer Lernplattform ILIAS und
den selbst erstellten Lerneinheiten die ersten
Lehrveranstaltungen, die selbstverständlich
im Präsenzstudium durchgeführt werden,
durch E-Learning zu ergänzen. Neben den
erwähnten praktischen Erfahrungen als Teilnehmer
an Online-Seminaren möchte ich als
theoretische Grundlage der neuen Betreuungsform
exemplarisch das Buch von Gilly
Salmon (2000) über "E-Moderating" nennen.
In diesem Buch nennt Gilly Salmon fünf Stufen,
die ein E-Moderator durchlaufen sollte:
1. Zugang und Motivation
2. Online-Sozialisation
3. Informationsaustausch
4. Wissenserwerb
5. Entwicklung
Die fünf Stufen sind die Grundlage ihrer Moderatoren-Schulung.
Jede Stufe enthält einerseits
die für die Teilnehmer beschriebenen
Lernziele, andererseits die erwarteten
Aktivitäten des Moderators.
Stufe 1 erfordert in technischer Hinsicht von
den Teilnehmern die Vorbereitung des eigenen
PC-Systems für den Zugang, auf der
anderen Seite eine Begrüßung und Ermutigung
durch den Moderator.
Stufe 2 sollte etwa auf der technischen Seite
das Senden und Empfangen von Mitteilungen,
auf der persönlichen Seite das Überbrücken
kultureller und sozialer Unterschiede
beinhalten.
Stufe 3 könnte sich mit der Suche nach und
der Bereitstellung von Lernmaterial beschäftigen,
Stufe 4 mit dem Zusammenfassen und Aufbereiten
der bearbeiteten Informationen und
Stufe 5 mit der Emanzipation von der Betreuung
zur selbständigen Arbeit.
Meine eigenen Erfahrungen begannen mit
der Betreuung einer Lehrveranstaltung zur
Mathematik (Analysis), in der die ersten vier
Wochen für Finanzmathematik reserviert
sind. Da ich hierfür bereits umfangreiches
Material online hatte, schien mir dies ein vertretbarer
Einstieg zu sein. Dadurch konnte
ich mich stärker auf die Betreuung innerhalb
der Lernplattform konzentrieren. Etwa 50
Studierende waren registriert, ca. 35 normalerweise
in der vierstündigen Lehrveranstaltung
anwesend.
Als äußerst zweckmäßig erwies sich die Aufteilung
in 6 Gruppen, die ich einfach auf
Grund der Matrikelnummern vornahm. In je-

der Gruppe wurden ein Gruppenmanager
und einen Stellvertreter bestimmt. Die erste
Aufgabe bestand darin, drei Typen von
Übungsaufgaben (einmalige, regelmäßige
und gemischte Zahlungen) zu bearbeiten und
in jeder Gruppe selbst eine Aufgabe von jedem
Typ mit Musterlösung zu produzieren.
Meine Idee dabei war "Lernen durch eigenes
Lehren" oder wenigstens durch Präsentieren,
Formulieren eigener Aufgaben. Die Studierenden
mussten also selbst Lernelemente
formulieren und dabei an die Adressaten
denken. Diese Idee ist nicht neu: "It is well
known in the teaching profession that the
best way to learn something is to teach it.
Just as the Web turns everyone into a publisher,
so online courses give everyone the
opportunity to be the teacher." (Robin Mason
1998)
Die Zeitvorgaben waren sehr kurz für den
ersten, einfachen Aufgabentyp (4 Tage), da
ich unbedingt sofort eine erste Aktivität auf
der Lernplattform sehen wollte, und etwas toleranter
(11 Tage) für die weiteren Aufgabentypen.
Die Studierenden mussten die
Entwürfe in ihrem Forum diskutieren, und die
Gruppenmanager mussten mir die Ergebnisse
als Mail innerhalb der Lernplattform zusenden.
Nach zögerlichem Beginn wurde das
Forum sehr diszipliniert genutzt, und meine
Erwartungen erfüllten sich weitgehend.
Einige Aufgabenvorschläge habe ich in meine
Lerneinheit als "Beiträge von Studierenden"
integriert, nicht immer die besten,
sondern — wie bereits im vorigen Kapitel angedeutet
— auch solche mit "intelligenten"
Fehlern, die dann in der Präsenzveranstaltung
diskutiert wurden.
Ich habe auch nach den vier Wochen "Finanzmathematik"
im weiteren Verlauf der
Mathematik-Veranstaltung die Lernplattform
genutzt. Da wir inzwischen eine neuere Version
von ILIAS installiert hatten, die HTML-
Import gestattet, konnte ich die weiteren Inhalte
etwas komfortabler produzieren. Hierzu
gehört auch die oben erwähnte Optimierungsaufgabe
der schnellsten Verbindung.
Sie wurde auf unterschiedlichem Niveau diskutiert.
Das Fehlen eines Koordinatensystems
hat für ein breiteres Spektrum von Lösungsansätzen
gesorgt.
In einer weiteren Lehrveranstaltung "Informationssysteme"
habe ich den Studierenden
(im Hauptstudium) sogar Autorenrechte eingeräumt,
so dass sie ihre Präsentationen
selbst auch als Teile der Lerneinheit auf der
Lernplattform publizieren können. Dabei ist
zu bedenken, ob man Studierenden die Rolle
Die Apfelsinenkiste im Hydepark — Lernplattformen für den ersten Auftritt
des Autors mit einem System zumuten soll,
das sie voraussichtlich danach kaum noch
einmal benutzen werden.
Meine wichtigste Erkenntnis bei der Betreuung
besteht darin, dass E-Moderating in erster
Linie E-Motivating bedeutet. Das kann
auch in der Vermeidung von Demotivation
bestehen, wofür ich ein kleines Beispiel anführen
möchte:
Ein Forumsbeitrag bezieht sich auf die Untersuchung
der Funktion
y = ln(3+x) – 5x + 10
Student A schrieb:
Mit dem Sekantenverfahren komme ich auf
die Nullstelle (2,33407|0).
Student B fragt dazu:
"Hi, kannst Du vielleicht den Rechenweg
nochmal ausführlich hinschreiben.
Wie hast du denn die Klammer mit ln(3+x)
aufgelöst?"
Nachdem keine Reaktion im Forum erfolgte,
habe ich selbst geantwortet:
"Die Klammer ln(3+x) kann man nicht auflösen,
ebenso wie wurzel(3+x).
Aber man kann sie für jedes x ( > -3) berechnen
bzw. vom Taschenrechner ablesen."
In der Präsenzveranstaltung hätte Student B
gesehen, wie ich mir die Haare gerauft und
die Augen verdreht hätte. An meinem PC sitzend,
konnte ich diese Frage ganz nüchtern
beantworten und wurde prompt dadurch belohnt,
dass am nächsten Tag von Student B
ein korrekter Beitrag zur folgenden Aufgabe
im Forum stand. Ich kann mich an Situationen
erinnern, in denen etwas "einfältige" Fragen
hart kommentiert wurden und daraufhin
zum passiven Widerstand geführt haben.
5 Fazit
E-Learning, die Arbeit mit einer Lernplattform,
erfordert die Aufmerksamkeit auf drei
Komponenten:
1. die Lernplattform
2. die Inhalte
3. die Betreuung
Erst das Zusammenspiel entscheidet über
den Erfolg des Gesamtkonzeptes. Bei jeder
einzelnen Komponente können Unzulänglichkeiten
den Lernerfolg behindern:
Die Auswahl der Lernplattform gilt inzwischen
als größeres Projekt. Hunderte von
213

Siegfried Zseby
Lernplattformen wurden bereits von Evaluationen
erfasst. Klagen hört man einerseits
über die Kostenentwicklung und über die
Überdimensionierung einiger kommerzieller
Plattformen, andererseits über Unzulänglichkeiten
bei weniger aufwändigen Investitionen.
Die Begeisterung der Beteiligten für einen
zweiten Versuch ist verständlicherweise
gering. Unsere Entscheidung für ILIAS Open
Source hat sich bisher in den wenigen Monaten
der Nutzung bestens bewährt. Wir hoffen,
dass die Kölner Entwickler weiterhin gefördert
werden und dass wir noch viele Kollegen
und Studierende vom Nutzen der Plattform
überzeugen können.
Als Inhalt wünscht man sich mehr als nur illustrierte
Textdateien zum Herunterladen. Interaktivität
wird gewöhnlich als wünschenswert
angesehen. Jedoch sollte man sich dabei
nicht von effektvollen Demos blenden
lassen. Auch unvollkommene Arbeitsmaterialien,
herausfordernde Aufgabenstellungen
und von den Lernenden selbst erarbeitete
Inhalte können den Lernprozess fördern. Autorenwerkzeuge
oder der Weg über HTML
erfordern beim Lehrenden eine Investition,
die viele angesichts konservativer Alternativen
(Word) scheuen.
Die Betreuung der Lernenden bei der Arbeit
mit einer Lernplattform ist wohl diejenige
Komponente, die bisher am stärksten unterschätzt
wurde. Ist schon die Content-Erstellung
sehr personal-intensiv, so gilt dies in erheblich
stärkerem Maß für die Betreuung.
Kann man bei der Erstellung von Inhalten
noch hoffen, sie mehrmals zu verwenden, so
ist die Betreuung ein Prozess, der Live-Charakter
hat, egal ob es sich dabei um synchrone
(Chat) oder asynchrone Medien (Mail,
Foren) handelt. Die Synergie von Präsenzveranstaltungen
und Online-Phasen wird sich
nur einstellen, wenn die personellen Voraussetzungen
ernst genommen werden.
Alle drei Komponenten müssen sich dem
Primat der Didaktik unterordnen. Der Erfolg
des Lernprozesses ist das Gesamtziel. Ob
214
eine Lernplattform, ein inhaltlicher Beitrag
oder die Betreuung angemessen ist, muss
sich an diesem Gesamtziel orientieren. Wir
haben uns an unserer Hochschule bewusst
für eine Open-Source-Lösung entschieden,
kaufen bisher keinerlei Content ein, haben
aber als erstes an die Schulung der Lehrenden
gedacht. Jetzt hoffen wir auf Impulse
auch von den Lernenden, ebenso wie vor
fast zehn Jahren unsere Internet-Nutzung
mindestens ebenso von der Begeisterung
unserer Studierenden wie von den Hochschullehrer-Kollegen
gefördert wurde.
Die Technik wird die Gestaltung des Lernprozesses
nicht automatisieren. Didaktische
Konzepte müssen die Richtung angeben.
Literatur
ILIAS an der FHW Berlin:
http://www.fhw-berlin.de/ilias/ (26.08.2003, mit
Link zum öffentlichen Bereich)
Mason, Robin (1998): Models of Online Courses.
Asynchronous Learning Networks (ALN) Magazine
2, Heft 2.
Online (26.08. 2003): http://www.aln.org/
publications/magazine/v2n2/mason.asp
Salmon, Gilly (2000): E-Moderating, The Key to
Teaching and Learning Online. London: Taylor
& Francis; Kogan Page
Schulmeister, Rolf (2003): Lernplattformen für das
virtuelle Lernen. Evaluation und Didaktik. München,
Wien: Oldenbourg
Wer nur mal schnuppern möchte, kann dies an
der FHW oder unter folgenden Adressen:
ILIAS, Uni Köln:
http://www.ilias.uni-koeln.de/
dortige Demo:
http://www.ilias.uni-koeln.de/ios/demo.html
ILIAS, Uni der Bundeswehr Hamburg:
http://ilias.unibw-hamburg.de/
öffentlicher Bereich:
http://ilias.unibw-hamburg.de/
ilias/le_uebersicht.php

� Internet-Übungsaufgaben erstellen mit dem
Formel-Applet *
Rudolf Großmann, Stein
Den Mitgliedern der Arbeitsgruppe wurde an einem Beispiel demonstriert, wie einfach es
ist, mit dem Editor-Applet Algebra-Übungsaufgaben für das Internet oder eine lokal installierte
Lernumgebung zu erstellen, falls vorher angemessene technische Voraussetzungen
geschaffen wurden. Die AG-Mitglieder konnten danach mühelos eigene Aufgabenbeispiele
entwickeln. Zum Abschluss entwickelte sich eine Diskussion über die Stärken
und Schwächen des Formel-Applets, in deren Verlauf die AG-Mitglieder auch eigene
Wünsche zur Fortentwicklung des Formel-Applets äußern konnten.
1 Technische Voraussetzungen
Der bereitgestellte Computerraum bot als
Software-Grundausstattung im Wesentlichen
die Standard-Office-Software von Microsoft.
Wenn man von Hand Änderungen im HTML-
Quellcode vornehmen muss, ist Frontpage
als HTML-Editor nicht zu empfehlen. Der Autor
stellte "Ulli Meybohm's HTML-Editor Phase
5" (Freeware, [1]) als leicht zu bedienendes
Werkzeug zur Verfügung. In diesem Editor
ist ein freies Active-X-Control von Microsoft
integriert, das es erlaubt, auf Knopfdruck
Abb. 1a, b: Vorder- und Rückseite der Arbeitskarte
von HTML-Quelltext auf Browser-Ansicht und
zurück zu wechseln.
Meybohms Editor bietet die Möglichkeit, eine
externe HTML-Dokumentation einzubinden.
Dafür wurde die Dokumentation "Selfhtml"
von Stefan Münz [2] gewählt. Sie liegt inzwischen
auch in Buchform vor.
Als Demonstrationsobjekt dienten die Aufgaben
in Abb. 1a zur Algebra der 7. Jgst. Sie
stammen aus dem Freiarbeits-Material auf
der Begleit-CD zum Akademiebericht 330 der
ALP Dillingen (Lippert et al. 1999).
Die Arbeitskarten des Freiarbeits-Materials
zeigen auf der Rückseite die Lösung an
(Abb. 1b), teilweise auch
mit Zwischenschritten (s.
Aufgabe A405d)). Der
Schüler kann so seine Aufgabenbearbeitung,
die er
mit Zwischenschritten in ein
Übungsheft notiert hat, sofort
überprüfen. Die gleiche
Funktionalität bietet das
Eingabe-Applet im gegenwärtigenEntwicklungszustand.
Beim Testen der Arbeitsumgebung
am Vortag
mussten wir leider feststellen,
dass das Editor-
Formelapplet nicht funktionierte.
Nach einer langwierigen
Fehlersuche (Dank
an den Systembetreuer
und an Frau Claudia Hagan)
wurde als "Schuldiger"
die Java-VM von Microsoft
identifiziert, die im Internet-
Explorer integriert ist. Java
* Teilnehmende der Arbeitsgruppe "Internet-Übungsaufgaben erstellen mit dem Formel-Applet" unter der Leitung von Rudolf Großmann: Christine
Bescherer, Eike A. Detering, Andreas Filler, Andreas Meier
215

Rudolf Großmann
war zwar vorhanden, aber in einer für das
Editor-Applet zu alten Version. Damit bewahrheitete
sich der Punkt "Schwächen von
Java" aus dem Vortrag des Autors am Vortag:
Versions-Wirrwarr und fehlende Java-
Unterstützung von Seiten Microsofts aus firmenpolitischen
Gründen.
Der Fehler verschwand sofort, als das aktuelle
Java-Plugin von SUN [3] über das Internet
nachinstalliert wurde.
2 Zeitlicher Ablauf der AG
2.1 Installation des Java-Plugins
der Firma SUN
Das Java-Plugin von SUN
wurde am Vortag mit Absicht
nicht an allen Clients installiert,
damit als erstes den Mitgliedern
der Arbeitsgruppe das
Procedere dieses Vorgangs
demonstriert werden konnte,
der ja eventuell auch in einer
anderen Arbeitsumgebung notwendig
ist. Bei einer schnellen
Internet-Anbindung, wie im
Computerraum der ALP Dillingen,
war die Installation des
Java-Plugins innerhalb von
wenigen Minuten erledigt.
2.2 Überblick über
jetzige und
zukünftige Einsatzfähigkeiten
des Formel-Applets
Da zufällig alle Mitglieder der Arbeitsgruppe
keine Gelegenheit gehabt hatten, den Vortrag
des Autors zum Formelapplet an Vortag
zu hören, gab der Autor einen kurzen Abriss
des jetzigen Entwicklungsstands und der geplanten
Fortentwicklungen. Dabei erhielten
die Mitglieder der AG die Gelegenheit, die
präsentierten Beispiele selbst am eigenen
Rechner nachzuvollziehen.
2.3 Realisierung eines vorgegebenen
Aufgabenbeispiels
Schließlich demonstrierte der Autor, wie man
die Formel, die man in das Editor-Applet eingibt,
über die Zwischenablage als hexadezimal
codierte Zeichenfolge (String) an die
richtige Stelle in eine vorbereitete Vorlage
(vorlage.html) einfügt.
216
Die im HTML-Editor von Meybohm eingebaute
Java-VM erwies sich allerdings auch als
zu alt für das Editor-Formelapplet. Man muss
zur Benutzung ein zweites Fenster mit dem
Internet-Explorer öffnen, in dem vorher, wie
oben dargelegt, ein Java-Plugin der Version
1.4.0 oder jünger installiert wurde. Man kann
natürlich auch einen anderen Browser mit
Java-Unterstützung, z.B. Mozilla oder Opera,
verwenden.
2.4 Realisierung eines selbst gewählten
Aufgabenbeispiels
Nachdem alle AG-Mitglieder keine nennenswerten
Schwierigkeiten hatten, das vorgege-
Abb. 2: Aufgabe A405e), realisiert mit dem Formel-Applet
bene Beispiel nachzuvollziehen, begannen
sie bald, mit selbst erfundenen Aufgaben die
Möglichkeiten des Formel-Applets auszuprobieren.
Besondere Aufmerksamkeit widmeten
sie dem Test, ob das Eingabe-Applet
auch die vorher gegebenen Versprechungen
erfüllt und, wie beabsichtigt, äquivalente Lösungsterme
als "richtig" akzeptiert (s.a.
Abb. 2, rechte Seite der Gleichung). Bald
darauf entwickelte sich eine Diskussion über
mögliche Einsatzgebiete, Verbesserungsvorschläge
etc. Die wesentlichen Gesichtspunkte
der Diskussion sind im folgenden Abschnitt
zusammengefasst.
3 Stärken und Schwächen
des Formel-Applets
3.1 Die Stärken
• Das Formeleingabe-Applet ermöglicht eine
Darstellungsweise der Terme wie an

der Tafel. Einstiegshürden, wie z.B. bei
manchen Computer-Algebra-Systemen,
die eine Eingabe nur in einer Textzeile erlauben,
noch dazu mit einer speziellen
Syntax, fallen weg.
• Wie oben erwähnt, werden auch zum Lösungsterm
äquivalente Terme als "richtig"
erkannt.
• Die Applets sind, da auf der Java-Technologie
basierend, betriebssystemunabhängig
einsetzbar.
• Die Einbindung in HTML ermöglicht die
Schaffung einer nicht-linearen Arbeitsumgebung
in Form eines Hypertextes mit
Baum- oder Netz-Struktur.
• Die Funktionalität aller drei Formel-Applets
ist mit JavaScript erweiterbar. Z.B.
sind die Hilfsknöpfe in Abb. 3 mit Java
Script realisiert. Sie ermöglichen die Eingabe
von Brüchen, Wurzeln und Exponenten
ohne die Benutzung von (intuitiv
nicht erschließbaren) Sonder-Tasten.
Abb. 3: Hilfsknöpfe mit JavaScript
3.2 Die Schwächen
• Fehler bei der Eingabe sind bisher nur
bedingt korrigierbar. Manchmal ist es am
einfachsten, mit der Entf-Taste den ganzen
Term zu löschen und von Neuem mit
der Eingabe zu beginnen. Hier wird das
Eingabe-Applet in naher Zukunft verbessert
werden.
• Eine differenzierte Reaktion auf die Eingabe
wäre wünschenswert. Nur "richtig"
oder "falsch" ist zu wenig. Geplant sind
Internet
AG "Internet-Übungsaufgaben erstellen mit dem Formel-Applet"
Reaktionen wie z.B. "richtig, aber noch zu
vereinfachen".
4 Weitere Wünsche
An weiteren Wünschen wurden in der Arbeitsgruppe,
nach dem Sektionsvortrag oder
in Einzelgesprächen genannt:
• Generierung "zufälliger" Aufgaben eines
bestimmten Typs.
• Protokollierung der Schüler-Aktivitäten,
nicht zur Überwachung oder Zensur, sondern,
um typische Fehler erkennen und
besprechen zu können.
• Möglichkeit, nicht nur Terme, sondern
auch Gleichungen und Ungleichungen
eingeben zu können.
• Ausgabe des eingegebenen Terms in
Baumform.
Am einfachsten wird der letzte Wunsch zu erfüllen
sein, da der Term im Speicher bereits
durch eine Baumstruktur repräsentiert wird.
Der Autor wird im Internet [4] über die weitere
Entwicklung des Formel-Applets informieren.
Bereits jetzt steht ein Archiv mit allen
Beispielen des Sektionsvortrags und den drei
Applets zur Verfügung. Ausgabe- und Eingabe-Applet
sind mit "jedem" Java (getestet mit
der alten Version 1.1.8) lauffähig, das Editor-
Applet benötigt ein "neues" Java (ab Version
1.4.0). Das Editor-Applet besitzt allerdings
eingeschränkte Funktionalität, da eine kommerzielle
Nutzung in einem späteren Entwicklungsstadium
nicht ausgeschlossen ist.
rudolf.grossmann@odn.de
Literatur
Lippert, Gerhard & Wolfram Thom (Hrsg.) (1999):
Freies Arbeiten am Gymnasium, Band 2, Akademiebericht
Nr. 330. Dillingen: Akademie für
Lehrerfortbildung und Personalführung
[1] Meybohm's HTML-Editor Phase 5 2 (FreeWare)
www.meybohm.de
[2] Anleitung zur eigenen Gestaltung von HTML-Seiten: "SELFHTML" von Stefan Münz
selfhtml.teamone.de
[3] Java-Plugin von SUN:
java.sun.com
[4] Testversion des Formel-Applets, alle Beispiele des Sektionsvortrags, Info über Fortentwicklung:
www.fuemo.de/formelapplet
217

� Mathematik in Notebook-Klassen der
7. und 8. Jahrgangsstufe
Notebook-Klassen am
Gymnasium Veitshöchheim
(Bayern)
Organisatorisches; Administrations-
und Wartungskonzept
Im Schuljahr 2001/2002 begann am Gymnasium
Veitshöchheim eine 7. Jahrgangsstufe
als Notebook-Klasse. Die Entscheidung, ob
ein Schüler in diese Klasse geht, wird zum
Halbjahr von Klasse 6 von den Eltern (in Absprache
mit ihren Kindern) getroffen. Da sich
der Einstieg in Klasse 7 bewährte, behalten
wir diesen Modus in den folgenden Jahren
bei. Wenn sich mehr als 30 Schüler für die
Notebook-Klasse melden, wird eine Warteliste
gebildet und gegebenenfalls gelost (dies
war für die dritte Notebook-Klasse, die im
Herbst 2003 begann, erstmals nötig). In der
Entscheidungsfindung finden jedoch viele offizielle
und inoffizielle Einzelgespräche mit
Eltern und Schülern statt; so kann man beispielsweise
sehr chaotischen oder schwachen
Schülern abraten, die Notebook-Klasse
zu wählen, da der Mehrwert zwar ohne Zweifel
da ist, jedoch im ersten Halbjahr der 7.
218
Claudia Hagan, Veitshöchheim
Zuerst stellte ich zusammen mit der Schülerin Theresa Herbert und dem Schüler Peter
Keß (beide im Schuljahr 2003/04 in Klasse 8c) an Hand einer Powerpoint-Präsentation
das Notebook-Projekt am Gymnasium Veitshöchheim vor. Es werden die Erfahrungen
geschildert, die in der Organisation, Administration sowie im Fachunterricht Mathematik
in den letzten Schuljahren in drei Notebook-Klassen gewonnen wurden. Auch wenn die
technischen und organisatorischen Herausforderungen an das Projekt im Workshop
2002 in Soest von manchen Didaktikern als unwichtige "Nebenschauplätze" belächelt
wurden, so zeigten aber bereits die diversen persönlichen Mailwechsel, Telefonate und
Treffen mit Lehrern, Schulleitern, pädagogischen Systembetreuern und auch Sachaufwandsträgern,
dass genau diese oft viel stärker begrenzend wirken, als die methodischdidaktischen
Herausforderungen, an die man sich auch schrittweise und auf mehrere
Schultern verteilt heran machen kann.
Es sollte deshalb ein Workshop für die Leute "an der Front" werden. Als besondere Bereicherung
sahen wir es an, dass wir auch die Schülersicht bieten konnten. Spaß, Begeisterung
und Herausforderung sowie realistische Absteckung der Rahmenbedingungen
als "Message" herüber zu bringen, war uns wichtig.
In der Arbeitsgruppe sollte der Diskussion offener Fragen sowie die Lösung Probleme
fachlicher, methodischer und didaktischer Art genug Raum geboten werden.
Um unnötige Wiederholungen zu vermeiden, wird auf den Bericht (Soest 2002) einleitend
verwiesen. Wo sinnvoll (z.B. beim Administrationskonzept), werden auch Erfahrungen
dem Leser mitgegeben, die sich erst nach dem Workshop ergaben.
Jahrgangsstufe erst einmal eine Mehrbelastung
eintritt. Manchmal zögern Mütter von
Mädchen, ob Arbeiten mit dem Computer
nicht eher etwas für Jungs sei; hier gilt es
diese zu ermuntern, den Mädchen eine
Chance zu geben. Unsere Erfahrungen in
den ersten drei Notebook-Generationen zeigen,
dass die Jungen oft ihre Kenntnisse
überschätzen, zwar mehr Erfahrungen mit
dem Computer als Spielzeug haben, aber im
Allgemeinen im Laufe der 7. Jahrgangsstufe
von den Mädchen überholt werden.
In den ersten beiden Notebook-Jahren bestand
noch viel Diskussionsbedarf bezüglich
Finanzierung, Maximalkosten für das Gerät,
Einsparen von 50€ durch eine externe statt
einer integrierten Netzkarte (was noch immer
immens hohe Wartungsstunden nach sich
zieht, die extern nicht bezahlbar sind und
somit schulintern geschultert werden müssen);
Kosten für Ersteinrichtung sowie Wartungs-
und Administrationskonzept waren ein
Tabu-Thema. Es war die Phase, die — trotz
des KMS vom März 2000 zur Aufwertung der
schulischen pädagogischen Systembetreuung
zur Abgrenzung der Aufgaben von der
technischen externen Administration — an
fast allen Schulen Bayerns noch immer vor-

handen ist, nämlich: der pädagogische Systembetreuer
administriert das Netz bei zwei
bis vier Entlastungsstunden nebenher in der
Freizeit, in den Ferien … Hieraus resultiert
die oft angetroffene Skepsis von Schulen,
sich auf das Konzept der Notebook-Klassen
einzulassen. In dieser Phase gab es oft verzagte
Anfragen auf der bayerischen Systembetreuerliste
an mich (scherzhaft, "die ungekrönte
Notebook-Klon-Königin" genannt) die
ich dann so beantwortete, dass ich meine
Telefonnummer durchgab; alles andere war
zu heikel, das technische Außenherum galt
als Tabu. Solche Aspekte zu thematisieren,
hätte das Projekt nicht nur für uns, sondern
auch für andere sterben lassen.
In nahezu allen Vorträgen, Fortbildungen, Interviews
rund um Notebook-Klassen im Zeitraum
Herbst 2001 bis Herbst 2003 wurde ich
gefragt: "Würden Sie sich nochmals auf das
Notebook-Projekt einlassen, wenn Sie schon
wüssten, was auf Sie zukommt?" Meine Antwort
war immer: "Fragen Sie mich als Mathematiklehrerin
oder als schulische Systembetreuerin?"
Je nach Publikum war die Intention
der Frage eine andere; da im Workshop
beide Fragen interessierten, gehe ich hier auf
beide ein.
Als Mathematiklehrerin bin ich fasziniert von
den Möglichkeiten, die mir das Unterrichten
am Notebook bietet. Ich kann es mir nicht
mehr vorstellen, ganz ohne Notebook in den
Klassen 7 bis 9 zu unterrichten. Hier kann ich
ergänzend anbringen — das späte Einreichen
dieses Berichtes hat also auch positive
Aspekte — dass ich im Schuljahr 2004/05
erstmals seit drei Jahren in Mathematik auch
in einer einer Nicht-Notebook-Klasse (Stufe
11) eingesetzt wurde. In Klasse 11 wiederholt
man in Bayern zwei Monate lang den
Stoff aus der gesamten Mittelstufe (angereichert
um einige weitere Aspekte). Es waren
keine zwei Unterrichtsstunden vorbei, als ich
schon merkte: mir fehlt etwas. Schnell 'mal
eine alte Datei herholen, geschwind eine Visualisierung
durchführen — dies alles war
nicht möglich. Ein in drei Jahren als essentiell
wahrgenommenes Werkzeug fehlte. Von
einem mir sehr lieb gewonnenen Kollegen
und langjährigen Freund wurde ich belächelt:
"Hast du in drei Jahren verlernt, ohne Notebook
Mathe zu unterrichten?". Es lässt sich
schwer in Worte fassen. Verlernt ist sicher
das falsche Wort, es ist wie beim Abfassen
dieses Berichts gerade im Urlaub auf dem
Campingplatz, wo der Fortschritt durch das
Laden des Notebooks im Waschmaschinenzimmer
bestimmt wird, wenn diese Steckdose
gerade frei ist, oder das Salz für das Abkochen
der Nudeln fehlt; — vertraute Werk-
AG "Mathematik in Notebook-Klassen der 7. und 8. Jahrgangsstufe"
zeuge sind plötzlich weg, und man muss einen
Mehraufwand betreiben, um simpelste
Aufgaben zu erledigen, oder man muss einfache
Dinge vorneweg planen, die sonst nebenher
und spontan erfolgen können. Hier
lässt sich ergänzend sagen, dass wir — gesponsert
durch Casio — mit dem Classpad
300 eine gewisse Spontaneität in Klasse 11
zurück gewinnen konnten.
Nun zur zweiten Antwort, als Systembetreuung:
Ich habe erwartet, dass es unter den
Rahmenbedingungen schwierig wird, Notebook-Klassen
zu implementieren, und habe
mich in der Anfangsphase massiv gegen das
Projekt gewehrt; nun sind wir erfolgreich genug,
dass wir halbwegs adäquate Rahmenbedingungen
sowohl beim Sachaufwandsträger
als auch bei den Eltern als Auflage
machen können. Ich empfehle allen schulischen
Systembetreuern, deren Schulen sich
auf ein derartiges Projekt einlassen, selbstbewusster
aufzutreten sowohl bei den Eltern,
als auch bei der Schulleitung, so dass von
Anfang an gemeinsam an optimierten Rahmenbedingungen
gearbeitet wird.
In Kurzfassung unsere Notebook-Beschaffung
sowie das Administrations- und Wartungskonzept
(ergänzt um einige Punkte, die
bis zum Verfassen des Artikels 2005 hinzukamen):
Der Sachaufwandsträger finanziert bei nun
zwei Computerräumen, vielen verstreuten
Rechnern im Haus und vier (in der Planung
ist gerade die fünfte) Notebook-Klassen 25
Stunden im Monat externe Netzadministration.
Die Eltern bezahlen für die Ersteinrichtung
der Geräte 80€ und monatlich 10€ für
die Wartung. Bei uns ist inzwischen die positive
Situation eingetreten, dass beide Verträge
in einer Hand sind. Wichtig bei Notebook-
Klassen ist die schnelle Reaktion; wenn der
Drucker oder der Beamer im Notebook-Zimmer
nicht funktioniert, muss innerhalb von ein
paar Tagen reagiert werden; Dasselbe gilt
bei "zerschossenen" Notebooks oder Hardware-Defekten.
Bei der Auswahl der Notebooks sollten Markengeräte
aus der Business-Class gewählt
werden. Es ist eine ganz andere Situation, ob
ein Notebook vormittags 6 Stunden und
nachmittags noch einmal mindestens 2 Stunden
läuft, oder ob es ein Gerät ist, mit dem
gelegentlich, wenn man unterwegs ist, gearbeitet
wird. Wir lassen uns zwei bis drei
Testgeräte vorab kommen und prüfen auf
Stabilität, Klonbarkeit … Inzwischen können
wir den Eltern optional ein teures und ein
günstigeres Modell anbieten. Dies bedeutet
aber administrativ keinen Mehraufwand, da
219

Claudia Hagan
nur ein Master-Notebook aufzusetzen ist.
Dies wirkt sich durchwegs positiv auf das gesamte
Klima aus. Nun, wo Arbeitszeit etwas
zählt, da ja die Kosten für die Ersteinrichtung
und die Wartung auf die Eltern umgelegt
werden, entfallen viele Diskussionen.
Bei wachsender Zahl von Notebook-Klassen
fällt für die pädagogische Systembetreuung
wesentlich mehr Betreuungsaufwand an für
die Schüler (und deren Notebooks), für Elterngespräche
und für die Kollegen, die aktiv
in den Notebook-Klassen arbeiten. Die Forderungen
in einem jungen Kollegium an die
Verfügbarkeit der Rechner und des Netzes
wächst rapide an. Klassenarbeiten am Notebook
bedeuten, dass das Netz stabil laufen
muss, dass Protokollierungstools aktiv sind,
die notfalls ausgewertet werden können.
Wichtig ist es, dass die Schüler schnell einen
Ansprechpartner haben, wenn ein Hardwareoder
Software-Defekt auftritt; oft können sie
das Problem auch nicht eingrenzen. Eine
wesentliche Säule des Wartungskonzeptes
ist, dass ich feste Admin-Sprechzeiten im Admin-Zimmer
habe, jeden Tag in einer Pause
oder in einer Mittagspause. Hier werden Fehlerbeschreibungen
entgegen genommen,
entschieden, ob ein Pickup eingeleitet wird,
die E-Mail gemeinsam verfasst, Seriennummer,
Kontaktdaten überprüft und übermittelt
(hier wäre eine aktuelle Datenbank — online
verwaltet — sicher effektiver, soweit sind wir
aber bis heute noch nicht). Wenn ich einen
Software-Fehler vermute oder unsicher bin,
wird nach Eintrag der Fehlerbeschreibung in
die Datenbank entschieden, welche Priorität
der Vorfall hat (z.B. steht eine Prüfung am
Notebook an), sowie der Terminkalender für
den externen Admin geführt und entschieden,
wann das Notebook da bleibt. Auch die
Anfragen für die zweckgebundenen Administrationsrechte
(im Allgemeinen haben die
Schüler in unserem Netz nur Benutzerrechte
— auch hier so kommunziert, dass sonst der
Wartungsetat nicht ausreichen würde) um
beispielsweise daheim einen Drucker oder
Scanner zu installieren, laufen im Rahmen
dieser Sprechzeiten.
Jetzt im Jahr 2005 — rückblickend auf 5 Jahre
Systembetreuung — kann ich ergänzend
sagen, dass mein Aufgabenspektrum als pädagogische
Systembetreuung sich massiv
gewandelt hat. Bei mehr Notebook-Klassen
fällt immer mehr organisatorische und koordinierende
Arbeit an. Infolge der Unterstützung
seitens des Sachaufwandsträgers im
technischen Bereich fordert dieser bessere
Dokumentation im Hardware- und im Softwarebereich.
Hier ist viel aus der "Wald-und-
220
Wiesen-Admin-Ära" nachzureichen und in
professionelle Strukturen zu bringen. Meistens
ist es — um mit den vorhandenen Ressourcen
für den externen Admin auszukommen
— nötig, dass ich während der Admin-
Termine kleinere Arbeiten übernehme oder,
wenn ein schulischer Paralleltermin vorliegt,
ich diese Termine zumindest gut vorbereite,
z.B. durch genauere Fehlerbeschreibung, als
die Schüler oder Kollegen diese liefern …
Das Notebook wird im Alltagsunterricht, nicht
nur für spezielle Projektstunden verwendet;
— hier liegt wohl ein wesentlicher Unterschied
zum sonst üblichen Computereinsatz
in Schulen. Es darf (Pilotstatus) das Notebook
in Klassenarbeiten genutzt werden,
wodurch weitaus mehr Anforderungen an
das Schulnetz und an die Verfügbarkeit der
Geräte gestellt werden.
Mathematikunterricht am Notebook
Die Begeisterung von Theresa und Peter
beim Vortrag über den Mathematikunterricht
in ihrem zweiten Notebook-Jahr steckte auch
die Teilnehmer an. Der Mehrwert des "Projektes"
erklärte sich allein schon durch die
Lebhaftigkeit der Schüler in ihrer Präsentation.
Theresa ist eine engagierte Schülerin, die mit
Spaß in Mathe dabei ist, der aber das Fach
keineswegs leicht fällt; sie braucht viel
Übung, manchmal verzweifelte sie fast, wenn
sie nicht auf das angegebene Ergebnis bei
Aufgaben kam.
Mit Begeisterung erzählte sie, wie positiv sie
in Algebra in der 7. Jahrgangstufe die Sequenz
am Ende des Schuljahres fand. Wir
wiederholten Ausmultiplizieren von Summen,
Binome, Faktorisieren von Termen. Parallel
übten wir den Umgang mit Derive, kontrollierten
unsere Ergebnisse, lernten Methoden
kennen, wie wir bei langen Aufgaben schrittweise
mittels Derive unsere Rechenfehler lokalisieren
können. Anschließend folgten
Übungsphasen in Freiarbeit. Theresa war
davon begeistert, dass sie in ihrem Tempo
arbeiten konnte, dass sie, wenn sie ihren
Rechenfehler nicht auf dem Papier finden
konnte, mit Hilfe von Derive diesen lokalisierte
und zwar sofort, im Unterricht oder bei den
Hausaufgaben. Emotional gab ihr dies plötzlich
Sicherheit, sie stand nicht mehr da "ich
habe die ganze Aufgabe nicht gekonnt", sondern
sagte "ich habe einen einzigen Vorzeichenfehler
gehabt; als ich den schließlich gefunden
habe, konnte ich die Aufgabe ganz
prima lösen. Schrittweise konnte ich aus
meinen Fehlern lernen."

Begeistert waren sowohl Peter, als auch
Theresa, als sie über die Unterrichtseinheit
"Lösen von Gleichungen und Ungleichungen"
mittels Derive berichteten. Hier haben wir
zum einen Derive als Ergebniskontrolle im
Rahmen von EVA (eigenverantwortlichem
Arbeiten) genutzt, zum anderen haben wir
die Äquivalenzumformungen, die auf dem
Papier gemacht wurden, in Derive nachgebildet.
Wir zeigten typische Fehler von Schülern,
die beispielsweise auf dem Papier rechneten:
5x=49, nun ziehe ich 5 auf beiden Seiten
ab und erhalte x=44.
In Derive sah das dann so aus:
#1: 5x=49
#2: #1-5 (eingegeben) liefert (5x=49)-5
#3: 5x-5=44 (nach Vereinfachung)
Theresa musste beim Testlauf des Vortrags
(beim Vortrag war sie leider etwas stiller) lachen,
als sie sich an die Gesichter der Mitschüler
bei der Verkomplizierung der Gleichung
erinnerte. Sie fragte sich, wie Schüler
ohne diese direkte Rückmeldung durch das
Notebook überhaupt ordentlich begreifen
können, was Äquivalenzumformungen sind.
Aus Lehrersicht kann ich bestätigen, dass
diese Klasse auch in der Klassenarbeit, — in
der dieser Teil völlig klassisch geprüft wurde,
durch die intensive Auseinandersetzung mit
dem Thema besser abschnitt als frühere
Klassen. Es wurden zwar Rechenfehler gemacht,
aber die typischen Fehler: statt zu dividieren
zu subtrahieren, etc.; traten überhaupt
nicht auf. Hier muss ich allerdings ergänzend
erwähnen, dass in der Folgeklasse
eine ganz andere Haltung herrschte: die
Schüler nutzten die Möglichkeit des Rechners
fast ausschließlich, um sich die gesamten
Hausaufgaben zu sparen und trotzdem
bei der Hausaufgabenkontrolle das richtige
Ergebnis vorlesen zu können. In dem Zusammenhang
sollte auch gleich erwähnt
werden, dass in Lerngruppen mit geringer intrinsischen
Motivation das Notebook die Gefahr
erhöht, dass die Schüler noch weniger
arbeiten: Man muss ja die Hausaufgaben
noch nicht einmal bloß abschreiben; man
kann sie sich gleich über den Austausch-
Ordner kopieren.
Begeistert hat die Schüler auch, dass in der
Stegreifaufgabe über das Lösen von Textaufgaben
mittels Gleichungen/Ungleichungen
(vom Typ: Vergrößert man die Breite eines
Rechtecks um 3 cm und verringert die
Länge um 7 cm, so verringert sich der Flächeninhalt
um 40 cm 2 ) am Ende von Klasse
7 das Notebook fakultativ verwendet werden
durfte. Im ersten Lernjahr mit dem Notebook
AG "Mathematik in Notebook-Klassen der 7. und 8. Jahrgangsstufe"
war immer genau vorgeschrieben gewesen,
welches Programm bei welcher Aufgabe
verwendet werden durfte; jetzt bestand erstmals
die Situation, dass die Schüler frei entscheiden
konnten, ob und welches Werkzeugs
sie nutzen. Einige Schüler versuchten,
das Problem empirisch mittels Excel zu lösen,
andere kontrollierten ihren Ansatz mittels
Derive und stellten fest, dass ihre Lösung
nie und nimmer stimmen kann, weil
sich eine negative Seitenlänge ergeben hatte.
Einige berichteten hinterher, dass sie dadurch
noch schnell einen Fehler entdeckt
haben und auf Knopfdruck das Ergebnis erhielten.
Eine Lösung bestand sogar in einer
dynamischen Konstruktion in DynaGeo, bei
der auch noch mit Termobjekten gearbeitet
wurde. Da der Lösungsweg nicht vorgeschrieben
war, wurden natürlich alle Lösungen,
wenn sie richtig waren, gewertet. Es
bleibt zu bemerken, dass die leistungsstärkeren
Schüler bei dieser Aufgabe sich gar nicht
die Mühe machten, ihr Notebook zu nutzen,
denn die Aufgabe lässt sich ja auf dem Papier
zügig lösen. Später habe ich derartige
Aufgaben modifiziert in die Richtung "um wie
viel, kann sich der Flächeninhalt maximal
ändern, so dass noch eine sinnvolle Lösung
möglich ist".
In Geometrie ist im derzeitig gültigen Lehrplan
neben dem Entdecken vieler Gesetzmäßigkeit
ein wesentliches Lernziel das
Konstruieren, d.h. das handwerkliche Umgehen
mit Zirkel und Lineal. Hier geht es sowohl
um den Konstruktionsbegriff im Sinne
der alten Geometer als auch um die handwerkliche
Praxis. Hier wurde mein Unterricht
natürlich stark davon beeinflusst, was ich im
Workshop in Soest 2002 an Kritik aufnahm,
im Laufe des Abends verarbeitete und verinnerlichen
konnte (auf den damaligen Projektbericht
wird verwiesen).
Wir thematisierten im Unterricht den Konstruktionsbegriff
und erweiterten diesen auf
den dynamischen Konstruktionsbegriff. Es
gab hierzu Aufgaben vom Typ "Ist dies eine
Konstruktion im Sinne der alten Geometer?"
D.h. ist auf dem Papier alles mit Zirkel und
Lineal konstruiert? Bzw.: Handelt es sich in
DynaGeo um eine Konstruktion ohne Verwendung
von Makros? "Ist dies eine dynamische
Konstruktion?" Dies bedeutet, dass an
Hand von Dateien untersucht werden muss,
ob die Konstruktion zugfest ist (dies kann in
DynaGeo sowohl durch Lesen des Konstruktionstextes,
als auch durch Ziehen an freien
Punkten geschehen). Hierzu sind im Anhang
eine Stegreifaufgabe zum Thema Erweiterter
Konstruktionsbegriff sowie zwei Dateien, die
221

Claudia Hagan
eine richtige Schülerlösung darstellen, zu finden.
Sobald das Thema Konstruktionsbegriff —
mit dem wir uns meiner Meinung nach intensiver
als eine konventionelle Klasse auseinandersetzten
— "durch war", orientierten wir
uns dann an dem Leitspruch "es wäre den
Preis für ein Notebook nicht wert, würden wir
die mächtigen Methoden, die uns dieses
Werkzeug bietet, nicht nutzen und stattdessen
in einsamen, langweiligen Konstruktionen
versumpfen." (Zitat von Peter Keß in Abwandlung
anderer Zitate). Natürlich übten wir
hin und wieder elementare Konstruktionen
auf dem Papier.
Theresa, die inzwischen durch die Wahl des
nicht-mathematischen Zweiges in Mathematik
in einer Nicht-Notebook-Umgebung gelandet
ist, kann jetzt (Frühling 2005) rückblickend
die Frage "Was passiert mit einem
Schüler, der später in eine traditionelle Klasse
wechselt?", die wir uns im Workshop stellten,
beantworten. Sie meint, dass sie bei
Konstruktionen auf dem Papier keinerlei Probleme
hat; sie nimmt es mit jedem "Papieri"
auf, — zumal ab der 9. Klasse sowieso weniger
konstruiert wird und zum anderen immer
das Geodreieck als "Makro" benutzt
werden kann. Ferner glaubt sie, dass die Betrachtungsweise
von Mathematik auf verschiedenen
Ebenen ihr auch jetzt noch —
auch wenn ohne Notebook gearbeitet wird —
zum Vorteil gereicht. Die Techniken kennt
sie, und sie nutzt bei Übungen auch jetzt
noch DynaGeo, Derive und vertieft so ihre
Kenntnisse.
Einer unserer weiteren Leitsprüche ist "wir
sind halt dynamisch", manches können wir
besser als die "Papieris". Der gesamte Geometrieunterricht
der 7. Klasse fand bis auf die
Anfangsphase am Notebook statt. Besonders
hilfreich für uns waren die Materialen von
Jürgen Roth von der Uni Würzburg, der seine
Dissertation über bewegliches Denken
schreibt. Wir durften als Pioniere seine Materialien
erproben. Auf Lehrerebene gab es für
die Testgruppe mehrere Treffen mit einer
vertieften Erklärung seiner Materialien. Die
besten dieser Materialien sind jetzt auf der
Didaktikseite der Uni Würzburg erhältlich.
Bis heute herrscht bei uns in der Schule die
Meinung, dass das Abprüfen dynamischer
Aufgaben am Notebook wesentlich einfacher
ist als das Abprüfen derartiger Aufgaben ohne
Notebook, wo die Dynamik vor dem "geistigen
Auge" ablaufen muss. Hieraus resultiert
meine hin und wieder gemachte Aussage
"man kann nicht klassisch prüfen, wenn man
mit modernen Medien unterrichtet". Nun im
222
Jahr 2005 möchte ich diese Aussage relativieren;
— der Mehrwert durch die dynamische
Betrachtung ist trotzdem da; nur die Art
der Prüfung muss dann auf einem anderen
Level als in einer Notebook-Klasse erfolgen.
Peter berichtete im Workshop wie wir uns in
die schiefe Achsenspiegelung "verliebten",
zu der wir einiges an Materialien von Herrn
Roth zur Verfügung hatten. Über Wochen
waren wir vierstündig dabei, hier neue Erkenntnisse
zu gewinnen. Dazu löcherten wir
Herrn Roth einige Male mit Fragen. Besonders
faszinierte uns, dass die Dreiecke nach
der schiefen Achsenspiegelung am Notebook
deckungsgleich waren, sie wurden so konstruiert,
dass sie zur Deckung kamen. Auf
dem Papier hingegen würden sie nie zur Deckung
kommen. Hierauf mussten wir im Laufe
des Schuljahres mehrmals zurückkommen,
immer wieder den Begriff Kongruenzabbildung
hinterfragen, der doch im Buch
von deckungsgleichen Dreiecken ausging.
Die "normalen" Kongruenzabbildungen wie
Achsenspiegelung, Punktspiegelung, Drehung
und Verschiebung nahmen wir dann als
besonderen Spezialfall wahr. Bei der Darstellung
dieses Themas schwappte die Begeisterung
auf die Teilnehmer des Workshops
über, und alle waren an Notebook-Klassen
interessiert.
Natürlich arbeiten wir in Notebook-Klassen
auch mit den dynamischen Arbeitsblättern
von Elschenbroich oder aus dem Internet; da
dies jedoch eine Arbeitsform ist, die auch in
Nicht-Notebook-Klassen genutzt wird, sind
wir im Vortrag hierauf nicht weiter eingegangen.
Dass der Austeil- und Einsammelvorgang;
das Verteilen einzelner Musterlösungen
in Notebook-Klassen einfacher als in
konventionellen Klassen ist, liegt auf der
Hand.
Ein weiterer angesprochener Aspekt aus
fachlicher Sicht sind Klassenarbeiten am Notebook.
Netzspezifische Aspekte sind wie
oben erwähnt: Protokollierungssoftware, um
eventuellem Unterschleif nachzugehen, sowie
stabiles Netz und Ersatzgeräte (letzteres
inzwischen auch weitgehend ein Selbstläufer;
die Schüler organisieren sich hier mit der
darüber oder darunter liegenden Klasse ein
Gerät, falls mehr als die drei verfügbaren Ersatzgeräte
schon im Einsatz sind).
Ein weiterer Punkt ist die rechtliche Situation.
In Bayern sind CAS und DGS bis in die
Oberstufe am Gymnasium tabu; unsere
Schule ist eine Ausnahme, wir dürfen in der
Mittelstufe (da gibt es reine Notebook-Klassen)
am Notebook prüfen, sofern eine
Gleichbehandlung mit Nicht-Notebook-Klas-

sen sicher gestellt ist. Wir versuchen dies
durch die Aufgabenkultur sicherzustellen; wir
wissen nicht, ob es schwerer oder leichter
mit Notebook ist; — es ist einfach anders.
Auch im Bereich der rechtlichen Begrenzung
anzusiedeln ist der zeitliche Rahmen für
Klassenarbeiten, in Bayern Schulaufgaben
genannt. Laut GSO in Bayern sind für diese
maximal 60 Minuten vorgesehen. Stellt man
aber eine gemischte Arbeit (Papier, Notebook),
so entsteht doppelter Einsammelvorgang
und mitunter doppelter Austeilvorgang.
Mit einer Schulstunde und der vorangehenden
und anschließenden Pause ist es also
nicht getan, es muss eine Doppelstunde organisiert
werden. Die Erfahrung zeigt, dass
man für die Aufgaben am Notebook genug
Zeit einplanen muss, da sie meist umfassender
sind. Will man zudem noch den Reproduktionsteil
(stures Abarbeiten von Rechnungen)
adäquat auf dem Papier mit dabei
haben, so kann man keine Klassenarbeit zu
30 Minuten basteln, dann wäre statt des
"zeitlichen Ausreizens der GSO" die nicht
gleichmäßige Verteilung auf die Lernzielebenen
angreifbar. Als praktisch sinnvoll hat sich
bewährt, nicht in einer Arbeit einen Austeilund
Einsammelvorgang digital belegbar zu
haben; dies zu interpretieren ist Sache des
Lesers.
Für Lehrer muss erwähnt werden, dass das
Korrigieren am Notebook zum einen einfacher
ist (Konstruktionstext in DynaGeo; ordentliche
Zeichnung), zum anderen aber sich
auch schwieriger gestaltet. Manchmal hält
die Konzentration nicht durch, oder man verteilt
die Korrektur einer Aufgabe auf zwei Tage,
und dann steht man vor der Situation
"dieser Fehler ist mir doch schon einmal gegegnet;
habe ich damals zwei oder drei
Punkte gegeben?"; auf dem Papier blättere
ich durch und sehe es auf einen Blick. Beim
Korrigieren am Rechner kostet es Zeit, in die
einzelnen Ordner zu schauen und die jeweilige
Datei zu öffnen. Als Lehrer sage ich, Korrigieren
am Notebook ist interessanter, aber
es ist zeitaufwändiger.
Ein weiterer Aspekt ist — ich habe viel mit
DynaGeo gearbeitet —, dass hin und wieder
plötzlich eine Zeichnung, eine Konstruktion,
ein Graph abhanden kommt. Manchmal liegt
es am Benutzer (Zirkelbezüge, 15 Minuten
lang nicht abgespeichert …), manchmal liegt
es auch an irgendeiner Stelle im Programm.
Hier habe ich Jürgen Elschenbroich schon
öfters zu Rate gezogen und natürlich auch
Rückmeldungen, wenn es DynaGeo betraf,
an Roland Mechling gegeben und seinen Rat
gesucht. Fast immer konnte es durch eine
Begründung meinerseits (Logfiles), dass die
AG "Mathematik in Notebook-Klassen der 7. und 8. Jahrgangsstufe"
Aufgabe nie gespeichert wurde oder durch
kulantes Verhalten (eine Aufgabe ähnlicher
Art nachschreiben) gelöst werden. In dubio
pro reo, der Schüler bekommt eine Chance.
Abschließend bleibt zu bemerken, dass wir,
wenngleich es ein harter Weg war, für uns
persönlich durch das Projekt viel erreicht haben
(nicht nur in Mathematik sondern in allen
Fächern). Wir hoffen auf die aktive Resonanz
seitens KM und ISB in Bayern, so dass sich
die gesamte Aufgaben- und Prüfungskultur in
eine Richtung verändert, und wir im passenden
Augenblick unsere in Insellösungen erworbenen
Erfahrungen einfließen lassen
können.
Anhang:
Stegreifaufgabe aus der
Mathematik am 28. März 2003
Klasse 7c
Vorarbeiten
1. Erstelle auf dem Desktop einen Ordner Nachname,
wobei Nachname durch deinen eigenen
Nachnamen zu ersetzen ist.
2. Kopiere dir aus dem Ordner nb2_Prüfung den
Ordner ex-m7-3-org und speichere diesen in
Nachname.
3. Erstelle in Nachname einen Ordner ex-m7-3lös.
In diesen wirst du deine Lösungen speichern.
4. Speichere während der Arbeit regelmäßig. Für
verloren gegangene Dateien bist du selbst verantwortlich.
Aufgabe 1:
a) Lade dir Datei aufgabe-1a.geo aus Nachname\ex-m7-3-org
und speichere diese unter demselben
Namen in Nachname\ex-m7-3-lös.
Untersuche, ob die durchgeführte „Konstruktion“
dem Konstruktionsbegriff der alten Geometer
standhalten würde! Begründe in einer Textbox
oder auf dem Papier!
b) Lade dir Datei aufgabe-1b.geo aus Nachname\ex-m7-3-org
und speichere diese unter demselben
Namen in Nachname\ex-m7-3-lös.
Untersuche, ob die durchgeführte „Konstruktion“
dynamisch ist! Begründe in einer Textbox oder
auf dem Papier!
223

Claudia Hagan
Aufgabe 2:
Zeichne eine Strecke [AB] und konstruiere zu
dieser die Mittelsenkrechte (in DynaGeo dynamisch
konstruiert). Speichere unter aufgabe-
2.geo.
Schülerlösung zu Aufg. 1a:
Schülerlösung zu Aufg. 1b:
224
Aufgabe 3:
Zeige an Hand einer Konstruktion (dabei sind
Makros, Ortslinien etc erlaubt), dass bei einer
„Klappung“ das Bild eines Kreises im allgemeinen
keinen Kreis ergibt. Hinweis: Wähle den
Kreisradius der Originalfigur fest, z.B. 3 cm.
Speichere unter aufgabe-3.geo.

� DGS und Kommunikation *
1 Einleitung
Ausgangspunkt der Diskussionen waren die
folgenden Leitfragen:
• Wie können Schülerinnen DGS-Resultate
kommunizieren?
• Wie kann DGS mit externen Programmen
kommunizieren?
• Wie kann man Konstruktionen im Internet
publizieren und finden?
• Wie kann man anhand von DGS-Resultaten
kommunizieren?
2 Import — Export
Als Teil einer Computerumgebung, die neben
einem DGS noch weitere Werkzeuge bereit
hält und sich bis in die Weiten des Internet
erstreckt, müssen Geometrieprogramme mit
anderen Programmen kommunizieren können.
Welche Arten der Kommunikation gibt
es, welche sind wünschenswert und was
versprechen wir uns von ihnen?
Es bietet sich an, die Kommunikation nach
ihrer Richtung zu klassifizieren:
Export
Reinhard Oldenburg, Göttingen
Dynamische Geometrieprogramme sollten in vielfältiger Weise Kommunikation unterstützen:
Kommunikation zwischen Mensch und Mensch und Mensch, Mensch und Programm
und Programm und Programm. Die Arbeitsgruppe hat einige der sich daraus ergebenden
Fragen diskutiert.
Export nach Computeralgebrasystemen kann
bedeuten, dass die Koordinaten als Listen,
und die Objektrelationen in symbolischer
Form übergeben werden. Dabei können die
Gleichungen, die die Konstruktion bestimmen,
explizit mit übergeben werden, oder
man kann sie im CAS aus der symbolischen
Beschreibung der Konstruktion rekonstruieren.
In der Computeralgebra-Umgebung können
dann die Hilfsmittel der algebraischen
Geometrie für die weitere Untersuchung ver-
wendet werden. Unter Umständen bieten
sich auch Mittel der Analysis an (Kurven).
Ein Export der Konstruktion in symbolischer
Form erlaubt z.B., mit Hilfe von Geometria
die erstellte Konstruktion in Internetseiten
oder Lernumgebungen einzubinden.
Interessant wäre auch ein Export nach Tabellenkalkulationsprogrammen,
um numerische
Analysen der Koordinaten z.B. von
Ortslinien durchzuführen.
Die klassische Exportform als Konstruktionstext
wird allgemein als sehr wichtig beurteilt.
Es wurde kontrovers diskutiert, ob eine alternative
Darstellung als Abhängigkeits-Baum
sinnvoll ist.
Beim Export ins WWW ist zu unterscheiden
zwischen dem Export fertiger Konstruktionen
(die aber nach Möglichkeit beweglich bleiben
sollen) und dem Export von Beschreibungen
eines Konstruktionsvorgangs, wie ihn die
Weiterentwicklung Cinerella von Cinderella
vorausichtlich bieten wird. Der Ansatz von Cinerella
wurde als sehr interessant bewertet,
da er eine DGS-Konstruktion als Prozess
und nicht nur als Produkt erschließt.
Import
Ein DGS sollte eine Konstruktion nicht nur
nach Maus-Befehlen, sondern auch nach einer
sprachlichen Beschreibungsform ausführen
können. Bei der Beschreibungssprache
kann es sich um deutsche (Fach-)Sprache
oder eine mehr computer-orientierte Mini-
Programmiersprache handeln, wie dies bei
Geolog der Fall ist.
Der Import von Bildern ermöglicht, in diesen
zu messen. Es kann die im Bild enthaltene
Geometrie rekonstruiert werden. Beispiele
sind die Untersuchung von Kirchenfenster
oder Parabelbrücken.
* Teilnehmende der AG "DGS und Kommunikation" unter der Leitung von Reinhard Oldenburg: Astrid Beckmann, Hans-Jürgen Elschenbroich,
Thomas Gawlick, Gaby Heintz, Ingmar Lehmann, Roland Mechling, Heinz Schumann
225

Reinhard Oldenburg
Eine Form des Imports stelle es auch dar,
wenn ein DGS externe Algorithmen aufrufen
kann. Dies ermöglich eine flexible Erweiterung
durch den Benutzer. Anwendungsgebiete
gibt es z.B. in der Simulation und der Visualisierung.
Die praktische Arbeit mit DGS wird durch Import-Funktionen
für Konstruktionen anderer
DGS erleichtert. Der schnelle Wechsel von
einem DGS zum nächsten ist wünschenswert,
um die verschiedenen Zugstrategien
und Methoden der Ortslinienberechnung vergleichen
zu können.
3 Unterstützung menschlicher
Kommunikation
Einen gänzlich anderen Aspekt stellt die Unterstützung
der Mensch-Mensch-Kommunikation
durch das DGS dar. Wenn Schüler mit
einem DGS arbeiten, sollen sie miteinander
kommunizieren, sie sollen ihre Ergebnisse
und Probleme den Mitschülern und dem Lehrer
oder der Lehrerin darstellen.
In der Diskussion wurde diese Arbeitssituation
im Klassenraum intensiv diskutiert. Die
Bedeutung von Vorwissen (z.B. um die möglichen
Konfigurationen von Geraden in der
Ebene) für den Lernprozess wurde besonders
hervorgehoben. Schüler müssen lernen,
Besonderheiten zu erkennen, um die Übersetzungsarbeit
von der Beobachtung der Dynamik
zur Invarianz, also zum mathematischen
Satz, leisten zu können.
Um dies zu fördern, sollten schon die Arbeitsaufträge
Kommunikation anregen. Über
226
die genaue Form, wie dies geschehen kann,
wurde keine Einigkeit erzielt. Es wurde aber
als günstig beurteilt, Schülern als Startpunkt
elektronische Arbeitsblätter zu geben. Aus
solchen, teilweise geschlossenen Aufgabenstellungen
können nach aller Erfahrung auch
offene Situationen entstehen. Dabei spielt die
Kompetenz des Lehrers eine entscheidende
Rolle ("farbenblinde Lehrer können nicht entscheiden,
ob die Schülerinnen blaue oder
graue Blumen gefunden haben"). Für diesen
(oder diese) stellt sich aber das Problem,
möglichst schnell zu erkennen, was die
SchülerInnen gemacht haben. Dazu brauchen
diese gute Dokumentationswerkzeuge.
Die vom System generierte Konstruktionsbeschreibung
und insbesondere die Funktion
der Rückblende stellen eine wichtige Hilfe
dar.
Zur Dokumentation wurde vorgeschlagen,
den Konstruktionstext mit eigenen Bemerkungen
erläutern zu können. Hilfreich ist
auch eine Anzeige der Eltern von Objekten.
Es gibt eine Parallelität zu Tabellenkalkulationsprogrammen,
wo der Anblick des Tabellenblattes
ebenso viele Informationen im Verborgenen
lässt wie ein DGS. Bei Tabellenkalkulationen
gibt es aber in der Regel die
Option, die Verlinkung der Zellen graphisch
anzuzeigen. Ähnliches sollte es auch bei
DGS geben.
Die Aufzeichnung von Konstruktionen, wie
sie Cinerella bietet, ist nur für die Dokumentation
des Arbeitsergebnisses interessant.
Dort allerdings öffnet sie neue Möglichkeiten.
Interessant ist sie aber ohne Zweifel ebenso
wie die Protokollfunktion mit Zeitfenstern
(Cabri II+) für die didaktische Forschung.

� Didaktische Konzepte von e-Learning-Plattformen *
Christina Völkl, Würzburg
Die Arbeitsgruppe ist zu dem Ergebnis gekommen, dass es nicht eine optimale e-Learning-Plattform
für ein optimales didaktisches Konzept gibt. Vielmehr muss die e-Learning-Plattform
in der Lage sein, unterschiedliche didaktische Konzepte, abhängig von unterschiedlichen
Zielgruppen und Lernsituationen, technisch abzubilden.
1 Ausgangssituation
Zunächst stellt sich die Frage, welche didaktischen
Konzepte hinter e-Learning-Plattformen
überhaupt stehen. Infolge der unterschiedlichen
Erfahrungen der Teilnehmer in
der Arbeitsgruppe hinsichtlich der Einsatzformen
von e-Learning im Alltag wurden die unterschiedlichen
Vorstellungen deutlich. Eine
Klärung der Begriffe schien demnach äußerst
grundlegend: Was versteht man unter e-
Learning, online oder offline Lernen, Plattformen,
etc.? — Durch die Diskussion der
genannten Begriffe konnte eine gemeinsame
Basis geschaffen werden, die für denweiteren
Verlauf erforderlich war.
Anhand der Darstellung von vier Praxis-Beispielen
wurden die unterschiedlichen Ausgangssituationen
der Teilnehmer deutlich.
2 Vorstellen von Beispielen
und Zusammentragen
didaktischer Aspekte
Die große Bandbreite von e-Learning wurde
zunächst durch die Darstellung der vier unterschiedlichen
Betrachtungen von e-Learning-Plattformen
und den dahinterstehenden
didaktischen Konzepten deutlich:
2.1 MaDiN
MaDiN (Mathematikdidaktik im Netz) ist eine
Informationsumgebung der Universität Münster
und dreier weiterer Universitäten für Dozenten,
die Inhalte der Plattform zur Darstellung
während der Vorlesung nutzen wollen.
Die Navigation von MaDin besteht aus einer
so genannten Baumstruktur auf der linken
Seite der Benutzeroberfläche, welche die Inhalte
in die verschiedenen Kapitel gliedert.
Wählt man hier ein Kapitel aus, erscheint in
der Mitte der Benutzeroberfläche ein weiteres
Navigationstool, das grafisch einer
Schreibtisch-Oberfläche gleicht und die Benutzer
durch den Inhalt eines Kapitels führt
(z.B. Theorie, Übungen, Beispiele, etc.).
Beispielsweise können Skizzen, Lehrbuchseiten,
Pop-up-Ikonogramme, interaktive Cinderella-Animationen
und ähnliches in der
Vorlesung eingesetzt werden.
Die Kerninhalte finden sich bei MaDiN in der
"Theorie-Schublade": Diese werden vor allem
als Kurztexte mit Bildern; Applets,
Flashs, etc. angeboten, die auch zum Druck
für die Anwender aufbereitet werden können
(vgl. auch die Beiträge von Wittmann und
Weth in diesem Tagungsband).
MaDiN verfügt außerdem über eine "History",
zu Deutsch "Lernpfad-Verfolgung", einen
Navigations-Baum, einen "Recorder" zum
Aufzeichnen bestimmter Wege durch das
System, und weitere Features, die hier nicht
im Detail aufgezählt werden sollen.
Für einige Anwendungen die in MaDiN integriert
sind, gibt es bereits perfekte Systeme.
Zum Beispiel ist das "Nachvollziehen von
Vorgängen" im Recorder bereits in entsprechenden
Systemen als Lernvorschlag fest integriert.
(http://www.visum.ewf.uni-erlangen.de/)
2.2 Vernetztes Studium —
Chemie (VSC)
Nach der Vorstellung von MaDiN durch M.
Hartmann lieferte B. Xylander mit einem
Selbstlernmodul aus den Materialien des
BMBF-Projektes Vernetztes Studium — Chemie
(VSC) ein Beispiel für ein Web-Based-
Training (WBT, online) bzw. Computer-
Based-Training (CBT, offline). Beim VSC
handelt es sich um Vorlesungen und Seminare
begleitende, multimediale Lehrmateria-
* Teilnehmende der AG "Didaktische Konzepte von e-Learning-Plattformen" unter der Leitung von Mutfried Hartmann: Heiko Baumann, Christine
Bescherer, Wolfgang Fricke, Gerald Hoja, Karl-Heinz Keunecke, Thomas Schödel, Christina Völkl, Wolfgang Weigel, Bert Xylander, Siegfried
Zseby
227

Christina Völkl
lien für Studierende der Fachrichtung Chemie
mit Aufgaben und Lösungen.
Zentraler Gedanke bei der Erstellung der
Lehrmaterialien ist die inhaltliche, mediale
und didaktische Neustrukturierung bei der
Umsetzung der Lehrinhalte von herkömmlichen
Medien (Tafel, Lehrbücher) auf das
neue Medium Computer und Internet. Angestrebt
wird eine ausgewogene Mischung aus
instruktiven und aktiven Elementen. Die
Lehrmaterialien werden in einer e-Learning-
Plattform präsentiert, die in ihrer Funktionalität
eine gewohnte Arbeitsumgebung beim
Lernen nachvollziehen soll. Dazu gehören
Notizblock, Textmarker, Periodensystem,
Suchfunktionen etc. (http://www.vs-c.de)
2.3 Interwise
Ein Beispiel für synchrones e-Learning mit
Hilfe der Software "Interwise” führte K.-H.
Keunecke anhand des bereits aktiv eingesetzten
Workshops "Mathematik mit DERI-
VE 5" vor.
Der Workshop ist eine Echtzeit-Online-Fortbildung,
an dem sich bis zu 15 Teilnehmer
anmelden können. Dabei besteht eine Audioverbindung
zwischen den Teilnehmern,
und außerdem können Bildschirminhalte z.B.
des Tutors allen sichtbar gemacht werden.
Ziel ist es, Lehrkräften vorzuführen, wie neue
Technologie (CAS, DGS, Handheld-Geräte
mit CAS) in den Mathematikunterricht integriert
werden können. Die Teilnehmer und
Teilnehmerinnen erhalten Arbeitsunterlagen,
die sie direkt in ihrem Unterricht einsetzen
können. Die Idee zu dieser Fortbildung ist
entstanden, weil einerseits der Bedarf an
Fortbildungen so groß wie nie zuvor ist und
andererseits die Teilnahme an Präsenzveranstaltungen
während der Schulzeit immer
weniger zugelassen wird. Die bisherigen 40
Veranstaltungen in den letzten zwei Jahren
sind in den Abendstunden ab 19 Uhr durchgeführt
worden. Da die Teilnahme freiwillig
ist, loggen sich die Lehrkräfte nur ein, wenn
sie sich davon einen Nutzen versprechen.
Steigende Teilnehmerzahlen zeigen, dass
hier ein Weg gefunden wurde, um Lehrkräfte
bei der Einführung neuer Technologie in der
Schule zu unterstützen. Es zeigte sich auch,
dass die Lehrkräfte dieses Forum intensiv
nutzten, um sich mit anderen auszutauschen,
die sich in ähnlichen Unterrichtssituationen
befanden. Problematisch schien den Teilnehmern
der Arbeitsgruppe in diesem Zusammenhang,
dass unter den Teilnehmern
des Kurses weitgehend dasselbe Arbeits-
228
tempo vorausgesetzt werden muss, da sonst
Leerlauf während der Lernphasen entsteht.
Mit dem Argument, dass beim e-Learning der
User selbst wählt, wann, wo und wie er lernt,
begründeten einige Teilnehmer, dass der Begriff
e-Learning bei dieser Art von Workshop
nicht treffend ist. Auf der anderen Seite stand
der Aspekt, dass synchrones e-Learning ein
Teilaspekt von e-Learning ist. Wieder wurden
die unterschiedlichen Auffassungen deutlich.
2.4 weLearn
Die inhaltsoffene Plattform "weLearn" der
Fachhochschule Würzburg-Schweinfurt, vorgestellt
von C. Völkl, ist ein erweitertes Content-Management-System,
in das die verschiedenen
Inhalte der Professoren und Dozenten
eingepflegt werden können.
Die Errichtung dieser e-Learning-, Kommunikations-
und Informations-Plattform für die
Studiengänge Informatik, Wirtschaftsinformatik
und des Master-Studiengangs "Organizational
Development with IT" der Fachhochschule
Würzburg-Schweinfurt ist ein Projekt
des gemeinsamen Programms von Bund und
Ländern zur Förderung der Weiterentwicklung
von Hochschulen und Wissenschaft.
Zielgruppe sind die Studierenden der genannten
Studiengänge. Die vorlesungsbegleitende
Lernumgebung bietet die Möglichkeit,
bereits strukturierte Lehrmaterialien in
Standardformaten (doc, ppt, html, xsl, xml,
etc.) und interaktive Videosequenzen einzubinden.
Überprüfungsmöglichkeiten, Tests
(z.B. interaktive Fragebögen, Lernkontroll-
Steps) sind integrierbar. Weiterhin stehen
den Nutzern synchrone und asynchrone
Kommunikationsmöglichkeiten wie Foren und
Chats zur Verfügung. Innerhalb eines kollaborativen
Moduls können Arbeitsgruppen abgebildet
werden, die eigene Foren und Dateiarchive
verwalten. Mit Hilfe von Terminverwaltung
und e-Mail-Push-Diensten wird die
Unterstützung (nicht der Ersatz!) von größeren,
regelmäßigen Veranstaltungen (z.B. im
Grundstudium) gewährleistet.
(http://www.welearn.de)
3 Eingrenzung
Nach der Präsentation der Praxisbeispiele
und der jeweiligen Diskussion zu den unterschiedlichen
e-Learning-Möglichkeiten konnten
wir festhalten, dass die Arbeitsgruppe
nicht eine Plattform mit einem idealen didaktischen
Konzept diskutieren kann, sondern
zielgruppen- und lernsituationsabhängig vor-

gehen muss. Aus diesem Grund entschieden
wir uns, einen speziellen Fall zu formulieren.
Unsere konkrete Situation stellte als Zielgruppe
einen Studenten der Didaktik der Mathematik
im Hauptseminar dar.
Hauptsächlich anhand dieses Szenarios
sammelten wir mittels Brainstorming so viele
Beiträge wie möglich.
Die Begriffssammlung umfasste die unterschiedlichsten
Punkte:
- Unterstützung von Seminarbetrieb und
Gruppenbildung
- Individuell versus kooperativ
- Unterstützung aller Dateitypen
- Dateisammlung (Up-/Download)
- Neue Unterrichtskultur führt zu neuer Aufgabenkultur
(neue Aufgabentypen)
- Betriebssystem-unabhängig
- Individuelle Anpassbarkeit der Oberfläche
- Leichte Einstellung der Daten
- Moderation
- Motivationsdarstellung
- (Virtuelle) Kommunikationsforen/Chat
- Gleichzeitiger Zugriff von Allen auf Alles
- Bewertung
- FAQ
- Volle didaktische Interaktivität
- Offene Problemstellung
- Lernzielkontrollen
- User Tracking (Benutzerverfolgung) ->
Datenschutz??
- Hilfe-Stop-Touren / gestufte Hilfe / Hilfeapparat
/ Zeigefunktion
- Reduzierte Präsenz
- "History" / Lernpfad
Abb. 1
AG "Didaktische Konzepte von e-Learning-Plattformen"
- Multilingualität
- Tiefenstruktur: vorhandene Thementiefe
muss darstellbar sein
- Beteiligung der Studenten in der Aufgabenstellung
- Anpassbare Rechte- und Rollenstruktur
(Gruppenleiter etc.)
- Nutzerfreundlichkeit
Um eine bessere Basis und einen Leitfaden
für eine konstruktive Diskussion zu schaffen
entschieden wir uns für die Erstellung einer
Mindmap, die die wesentlichen Punkte und
aufkommenden Fragen unserer Schluss-Diskussion
widerspiegelt:
Was braucht man im ersten Schritt? Ist das
didaktische Konzept oder die technische
Grundlage in Form einer e-Learning-Plattform
im ersten Schritt wichtig?
Was liefert uns beim e-Learning den wirklichen
Mehrwert?
Wie soll der Content sinnigerweise aufgebaut
sein?
4 Ergebnis
Die Mindmap (Abb. 1) ist das Ergebnis unserer
Arbeitsgruppe: Daran werden die wesentlichen
Aspekte wie etwa Berücksichtigung
technischer Gegebenheiten, zugrundegelegtes
didaktisches Konzept, Motivationselemente
usw. deutlich, die bei der Konzeptionierung
von Lernplattformen von Bedeutung
sind. Zugleich zeigt die Mindmap die Vielfalt
von Parametern, die in der Planung einer
Lernplattform Einfluss nehmen und in ihre
Konstruktion eingehen.
229

Freitag, 26.09.2003
bis
13.30
230
Tagungsprogramm
Anreise — Mittagessen ist nur im Ort möglich!
14.00 Wilfried Herget & Thomas Weth Eröffnung, Einführung in das Tagungsthema
14.15 –
15.15
15.15 –
15.45
15.45 –
16.30
16.35 –
17.20
17.25 –
18.10
Hauptvortrag
Leuders, Timo
Soest
Mathematik Lernen und Lehren mit dem Internet –
zwischen instruktivistischem und konstruktivistischem Paradigma
Kaffee- bzw. Teepause
Sektionsvorträge (30 Minuten Vortrag + 15 Minuten Diskussion)
Raum ... Raum ... Raum ...
Nestle, Fritz
Vom 19. ins 21. Jahrhundert
— Ändert das Internet
Chancen für den Zugang
zur Mathematik?
Kortenkamp, Ulrich
Experimentieren und Publizieren
Ernst, Astrid &
Niehaus, Engelbert
Konstruktiv arbeiten mit
dem Internet in Schule und
Lehrerausbildung
Elschenbroich, Hans-
Jürgen
Der Kosinussatz — wiederentdeckt
als Flächensatz
Filler, Andreas (Teil 1)
Einbeziehung der 3D-Computergrafik
in das Stoffgebiet
Analytische Geometrie
Gawlick, Thomas
Über Konstruktion und Figur
in der Dynamischen
Geometrie
18.15 Abendessen
19.15 –
20.00
20.00 –
...
Sektionsvorträge (30 Minuten Vortrag + 15 Minuten Diskussion)
Wittmann, Gerald
Wie lernen Studierende in
internetgestützten Lehrveranstaltungen?
Filler, Andreas (Teil 2)
Einbeziehung der 3D-Computergrafik
in das Stoffgebiet
Analytische Geometrie
Lehmann, Ingmar
Dynamische Visualisierung
einer Aufgabe in Variationen
Fergen, Olaf &
Weitendorf, Jens
Der neue Rechner von Casio
– classpad 300
Großmann, Rudolf
Ein Java-Applet zur Eingabe
und Überprüfung mathematischer
Terme
Orientieren, Kennenlernen, Gemütlicher Ausklang im Hotel Convikt in Dillingen

Samstag, 27.09.2005
07.45 Frühstück
08.30 –
09.30
09.45 –
10.30
10.30 –
11.00
11.00 –
11.45
11.50 –
12.35
Hauptvortrag
Niederdrenk-Felgner, Cornelia
Nürtingen
Jungen, Mädchen, Mathe und Computer
Sektionsvorträge (30 Minuten Vortrag + 15 Minuten Diskussion)
Raum … Raum … Raum …
Ludwig, Matthias &
Schmidt-Thieme, Barbara
Ein virtuelles Seminar —
Konzeption, Durchführung
und Auswertung
Weigel, Wolfgang
Gestaltungsprinzipien und
Erfahrungen zum virtuellen
Selbstlernkurs: Computer
und Mathematik
Löthe, Herbert &
Bescherer, Christine
Mathematiklernen und Organisieren
— Voraussetzung
für die Nutzung der
neuen Medien und des Internets
Zseby, Siegfried
Die Apfelsinenkiste im Hyde-Park
— Lernplattform
für den ersten Auftritt
Kaffee- bzw. Teepause
Oldenburg, Reinhard
Mathematik lernen im Internet
— vom Standpunkt
moderner Erkenntnistheorie
Lambert, Anselm
Was wissen wir vom Internet?
12.40 Mittagessen
15.00
Arbeitsgruppen (mit einer geeigneten Einführung)
Thema Leitung
Münchenbach, Carsten
Von Primzahlen zur Verschlüsselung
mit RSA —
Eine Unterrichtseinheit für
eine 11. Klasse im WWW
Xylander, Bert
Über das Lehren von Gruppentheorie
mit dem Internet
— Bestandsaufnahmen
und Ausblicke
Pallack, Andreas
Integration des Internets
am Beispiel der Behandlung
von Korrelation und
Regression in Jahrgangsstufe
11
1 Der neue Rechner von Casio – classpad 300 Fergen, Olaf & Weitendorf,
Jens
2 Mathematikunterricht in Notebook-Klassen 7 und 8 Hagan, Claudia
3 Internet-Übungsaufgaben erstellen mit dem Formel-Applet Großmann, Rudolf
4 DGS und Kommunikation Oldenburg, Reinhard
5 Didaktische Konzepte von e-Learning-Plattformen Völkl, Christina
18.00 Abendessen
19.00 –
19.45
20.00 –
...
Fortsetzung der Arbeitsgruppen
Gemeinsames Abendprogramm im Hotel Convikt;
danach Ausklang im Landesinstitut
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Sonntag, 28.09.2005
07.45 Frühstück, Zimmer räumen
08.30 –
09.30
09.45 –
10.30
10.30 –
11.00
11.00 –
12.00
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Hauptvortrag
Weth, Thomas
Nürnberg
Mathematikunterricht und Neue Medien
Sektionsvorträge (30 Minuten Vortrag + 15 Minuten Diskussion)
Raum ... Raum ... Raum ...
Oldenburg, Reinhard
Das CAS-basierte DGS
Feli-X zur Vernetzung von
Algebra und Geometrie
Tschacher, Karel
"Da schauen Sie mal ins Internet"
Kaffee- bzw. Teepause
Keunecke, Karl-Heinz
Echtzeit-Online-Fortbildungen
für Lehrkräfte: Mathematik
mit GTR und CAS
Ergebnisse der Arbeitsgruppen, Tagungsbilanz, Abschlussdiskussion
12.15 Mittagessen, Kaffee bzw. Tee
13.30 Tagungsende
Teilnehmerinnen- und Teilnehmer-Liste
(z.T. auf den Stand von Mai 2005 gebracht; ob es sich um den Privat- oder den Dienstort handelt, ergibt
sich meistens aus der Mail-Adresse)
Abel, Barbara, 72072 Tübingen abel@lehrerfortbildung-bw.de
Ahrends, Gerd, 66111 Saarbrücken g.ahrends@web.de
Baumann, Heiko, 97286 Sommerhausen baumann_heiko@web.de
Beckmann, Astrid, 73525 Schwäbisch Gmünd astrid.beckmann@ph-gmuend.de
Bender, Peter, 33098 Paderborn bender@upb.de
Bescherer, Christine, 24943 Flensburg christine.bescherer@uni-flensburg.de
Christmann, Norbert, 67653 Kaiserslautern christmann@mathematik.uni-kl.de
Daubert, Kurt, 79117 Freiburg daubert@ph-freiburg.de
Detering, Eike A., 14513 Teltow eadetering@aol.com
Eckelt, Irmgard, 58332 Schwelm irmaeck@aol.com
Elschenbroich, Hans-Jürgen, 41352 Korschenbroich elschenbroich@t-online.de
Elschenbroich, Inge, 41352 Korschenbroich i.elschenbroich@t-online.de
Ernst, Astrid, 48149 Münster ernsta@math.uni-muenster.de
Fergen, Olaf, 22848 Norderstedt fergen@casio.de
Fichtner, Richard, 89407 Dillingen r.fichtner@alp.dillingen.de
Filler, Andreas, 10099 Berlin filler@mathematik.hu-berlin.de
Friebe, Kristine, 55126 Mainz kfriebe@rheinzeitung.de
Friebe, Wolfgang, 55126 Mainz friebe@ibi.tu-berlin.de
Gawlick, Thomas, 76829 Landau gawlick@uni-landau.de
Großmann, Rudolf, 90547 Stein rudolf.grossmann@odn.de
Haftendorn, Dörte, 21335 Lüneburg haftendorn@uni-lueneburg.de
Hagan, Claudia, 97209 Veitshöchheim claudia.hagan@gmx.de
Hartmann, Mutfried, 90478 Nürnberg mdhartma@ewf.uni-erlangen.de
Harzbecker, Ulrich, 21332 Lüneburg ulrich.harzbecker@br-lg.niedersachsen.de

Heintz, Gaby, 41363 Jüchen gaby.heintz@t-online.de
Helle, Eva-Maria, 91452 Wilhermsdorf evamaria.helle@gmx.de
Hennecke, Martin, 31141 Hildesheim hennecke@cs.uni-hildesheim.de
Herget, Wilfried, 06099 Halle herget@mathematik.uni-halle.de
Hofer, Matthias, A-1150 Wien matthias.hofer@a1.net
Hoja, Gerold, 90478 Nürnberg ghoja@web.de
Keunecke, Karl-Heinz, 24159 Kiel kh.keunecke@t-online.de
Kirsche, Peter, 86135 Augsburg peter.kirsche@math.uni-augsburg.de
König, Gerhard, 76139 Karlsruhe gk@fiz-karlsruhe.de
Kortenkamp, Ulrich, 10623 Berlin kortenkamp@math.tu-berlin.de
Kronfellner, Manfred, A-1040 Wien m.kronfellner@tuwien.ac.at
Kunze, Antje, 12203 Berlin antjekunze@compuserve.de
Lambert, Anselm, 66041 Saarbrücken alambert@math.uni-sb.de
Lehmann, Eberhard, 12209 Berlin mirza@snafu.de
Lehmann, Ingmar, 10099 Berlin ilehmann@mathematik.hu-berlin.de
Leuders, Timo, 79117 Freiburg timo@leuders.net
Löffler, Rainer, 97082 Würzburg admin@gymnasium-marktbreit.de
Ludwig, Matthias, 88250 Weingarten ludwig@ph-weingarten.de
Maaß, Katja, 79117 Freiburg katjamaass@aol.com
Mann, Markus, 97074 Würzburg mmann@web.de
Manthey, Hasso B., 14163 Berlin hasso.b.manthey@t-online.de
Martignon, Laura, 71634 Ludwigsburg martignon_laura@ph-ludwigsburg.de
Mechling, Roland, 77654 Offenburg roland@mechling.de
Meier, Andreas, 92637 Weiden a.meier.wen@t-online.de
Motzer, Renate, 86159 Augsburg renate.motzer@gmx.de
Müller, Michael, 97074 Würzburg muellerm@cip.physik.uni-wuerzburg.de
Münchenbach, Carsten, 79312 Emmendingen carsten@muenchenbach.de
Nestle, Fritz, 89073 Ulm nestle1@t-online.de
Neveling, Rolf, 42281 Wuppertal neveling.rg@wtal.de
Niederdrenk-Felgner, Cornelia, 72622 Nürtingen niederdrenk@fh-nuertingen.de
Oldenburg, Reinhard, 37085 Göttingen roldenburg@gmx.de
Pallack, Andreas, 59494 Soest andreas.pallack@mail.lfs.nrw.de
Pieper-Seier, Irene, 26111 Oldenburg irene.pieper.seier@uni-oldenburg.de
Richter, Karin, 06120 Halle richter@mathematik.uni-halle.de
Schmid, Fortunat, CH-8006 Zürich fschmid@hlm.unizh.ch
Schmidt, Reinhard, 02828 Görlitz r.schmidt@sz-online.de
Schmidt-Thieme, Barbara, 71634 Ludwigsburg schmidtthieme@ph-ludwigsburg.de
Schödel, Thomas, 06667 Weißenfels tschoedel@t-online.de
Schulz, Wolfgang, 10099 Berlin wschulz@mathematik.hu-berlin.de
Schumann, Heinz, 88250 Weingarten schumann@ph-weingarten.de
Steinweg, Anna Susanne, 96047 Bamberg anna.steinweg@ppp.uni-bamberg.de
Thies, Silke, 65520 Bad Camberg thies.silke@t-online.de
Thode, Reinhold, 24768 Rendsburg reinhold.thode@t-online.de
Tschacher, Karel, 91054 Erlangen tschacher@mi.uni-erlangen.de
Völkl, Christina, 97070 Würzburg mail@christinavoelkl.de
Vogel, Rose, 71634 Ludwigsburg vogel_rose@ph-ludwigsburg.de
Weigand, Hans-Georg, 97074 Würzburg weigand@mathematik.uni-wuerzburg.de
Weigel, Wolfgang, 97074 Würzburg wgweigel@cip.physik.uni-wuerzburg.de
Weissbach, Roland noten@roland-weissbach.de
Weitendorf, Jens, 22850 Norderstedt jens.weitendorf@hansenet.de
Weth, Thomas, 90478 Nürnberg tsweth@ewf.uni-erlangen.de
Winter, Kathrin, 31141 Hildesheim winter@cs.uni-hildesheim.de
Wittmann, Gerald, 73525 Schwäbisch Gmünd gerald.wittmann@ph-gmuend.de
Wolff, Klaus-Peter, 76744 Wörth klaus.p.wolff@t-online.de
Xylander, Bert, 06120 Halle bert.xylander@chemie.uni-halle.de
Zseby, Siegfried, 10825 Berlin zseby@fhw-berlin.de
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