Bachelorarbeit Sigmoidale Transformationen und Quadratur über ...

Georg-August-Universität
Göttingen
Zentrum für Informatik
Bachelorarbeit
im Studiengang ”Angewandte Informatik”
Sigmoidale Transformationen
und Quadratur über Sphären
Michael Schachtebeck
am Institut für
Numerische und Angewandte Mathematik
Bachelor- und Masterarbeiten
des Zentrums für Informatik
an der Georg-August-Universität Göttingen
10. September 2004
ISSN 1612-6793
Nummer ZFI-BM-2004-14

Georg-August-Universität Göttingen
Zentrum für Informatik
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Germany
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Ich erkläre hiermit, daß ich die vorliegende Arbeit selbständig verfaßt und keine
anderen als die angegebenen Quellen und Hilfsmittel verwendet habe.
Göttingen, den 10. September 2004

Bachelorarbeit
Sigmoidale Transformationen
und Quadratur über Sphären
Michael Schachtebeck
10. September 2004
Betreut durch Prof. Dr. Rainer Kreß
Institut für Numerische und Angewandte Mathematik
Georg-August-Universität Göttingen

Inhaltsverzeichnis
1 Einleitung 5
2 Grundlagen 9
3 Das Verfahren von Atkinson 13
4 Das Verfahren der sigmoidalen Transformationen 23
4.1 Einleitung und Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
4.2 Anwendung auf ein Integral über [0, π] . . . . . . . . . . . . . 24
4.3 Anwendung auf ein Integral über S 2 . . . . . . . . . . . . . . . 33
5 Die Gauß-Trapez-Produktregel 47
6 Numerische Beispiele 51
7 Ergebnis 61
A Implementierung 63
Literaturverzeichnis 69

Kapitel 1
Einleitung
Über diese Arbeit
Die vorliegende Arbeit beschäftigt sich mit verschiedenen Verfahren zur numerischen
Berechnung von Integralen der Form
ρ(Q) dS(Q),
Γ
wobei Γ die hinreichend glatte Oberfläche eines einfach zusammenhängenden
Gebietes Ω ⊂ R 3 ist und die Funktion ρ entweder glatt ist oder eine Singularität
in einem Punkt P ∈ Γ besitzt.
Wir setzen in dieser Arbeit voraus, daß es eine hinreichend glatte Bijektion
M : S2 −→ Γ gibt, wobei S2 die Oberfläche der Einheitskugel im R3 bezeichnet.
Damit können wir uns auf die Behandlung von Integralen der Form
f(Q) dS(Q) (1.1)
S 2
beschränken, da wegen der vorausgesetzten Existenz der Bijektion M nach
Forster [6, Seite 16 f.] die Beziehung
ρ(Q) dS(Q) = ρ(M( ˆ Q)) JM( ˆ Q) dS( ˆ Q) (1.2)
Γ
S 2
gilt, wobei JM( ˆ Q) die Funktionaldeterminante der Funktion M : S 2 −→ Γ im
Punkt ˆ Q bezeichnet. Mit f(Q) := ρ(M(Q)) JM(Q) können also alle Aussagen,
die wir für ein Integral der Form (1.1) herleiten, ohne weiteres auf ein Integral
der Form (1.2) übertragen werden, da durch die Transformation M die Art der
Singularität nicht verändert wird. Besitzt ρ im Punkt P ∈ Γ eine Singularität,
so ist f singulär im Punkt ˆ P ∈ S 2 mit M( ˆ P ) = P , also ˆ P = M −1 (P ) (denn
da M als Bijektion vorausgesetzt ist, gilt JM(Q) = 0, die Singularität bleibt
also erhalten).

6 Kapitel 1. Einleitung
Wenn wir im Laufe dieser Arbeit von Singularitäten sprechen, so sind stets
integrierbare Singularitäten gemeint. Unter einer nichtsingulären Funktion
werden wir eine Funktion verstehen, die keine Singularitäten besitzt.
Aufbau der Arbeit
Die Arbeit ist wie folgt gegliedert:
Zunächst werden wir in Kapitel 2 einige Grundlagen über Quadraturformeln
zur numerischen Berechnung von Integralen zusammenstellen.
In Kapitel 3 stellen wir das von Atkinson [1] vorgeschlagene Verfahren vor,
das nach Anwendung einer speziellen Transformation L : S 2 −→ S 2 das transformierte
Integral mit Hilfe der zusammengesetzten Trapezregel bezüglich
zweier Variablen approximiert. Die Transformation L ist dabei so gewählt,
daß sie den Integranden an den beiden Polen der Einheitskugel glättet. Durch
eine orthogonale Householder-Transformation wird ein Pol der Einheitskugel
auf die Singularität der zu integrierenden Funktion abgebildet.
Kapitel 4 beschreibt das Verfahren der sigmoidalen Transformationen, dessen
Ziel es ist, im Integranden eine geeignete Substitution durchzuführen, so daß
der entstehende Integrand bis zu einem gewissen Grad periodisch ist. Wir
beziehen uns dabei auf die Darstellung von Kress [8]. Außerdem zeigen wir in
Kapitel 4, daß es sich beim Verfahren von Atkinson um einen Spezialfall des
Verfahrens der sigmoidalen Transformationen handelt.
In Kapitel 5 werden wir kurz die klassische Gauß-Trapez-Produktregel vorstellen,
die wir in Kapitel 6 numerisch mit dem Verfahren von Atkinson
und dem Verfahren der sigmoidalen Transformationen vergleichen werden. Da
wir die Gauß-Trapez-Produktregel lediglich zu Vergleichszwecken heranziehen,
werden wir sie nicht ausführlich diskutieren, sondern verweisen für eine
vertiefende Darstellung auf Colton und Kress [2].
Anschließend werden wir in Kapitel 6 das Verfahren von Atkinson, das Verfahren
der sigmoidalen Transformationen und die Gauß-Trapez-Produktregel
an ausgewählten numerischen Beispielen miteinander vergleichen.
In Kapitel 7 schließlich werden wir die Ergebnisse dieser Arbeit, insbesondere
der Kapitel 4 und 6, diskutieren.
Die Implementierung der Funktionen, die wir zur Auswertung in Kapitel 6
verwenden, geben wir in Anhang A an.

Danksagung
An dieser Stelle möchte ich allen Personen danken, die mich im Verlauf meines
bisherigen Studiums und besonders während der Entstehung dieser Arbeit
begleitet und unterstützt haben – nicht nur in fachlicher, sondern auch und
vor allem in menschlicher Hinsicht.
Ich bedanke mich bei Herrn Prof. Dr. Rainer Kreß für die interessante Aufgabenstellung
und die hervorragende Betreuung. Seine Ideen und Vorschläge
waren mir eine große Hilfe bei der Anfertigung dieser Arbeit.
Mein besonderer Dank gebührt Annika Eickhoff, Harald Heese und Stefan
Langer, die viel Zeit und Geduld für fachliche Diskussionen aufgebracht haben,
nicht nur während der Entstehung dieser Arbeit.
Ich danke meiner Familie, insbesondere meinen Eltern, und meinen Freunden
für ihre wertvolle Unterstützung während meines gesamten Studiums.
7

8 Kapitel 1. Einleitung

Kapitel 2
Grundlagen
Die näherungsweise Berechnung von Integralen geschieht in allen Verfahren,
die wir in dieser Arbeit vorstellen, mit Hilfe von Quadraturformeln; dabei wird
ein Integral
b
f(x) dx
durch eine gewichtete Summe
Qn(f) :=
a
n
αkf(xk), n ∈ N,
k=0
mit paarweise verschiedenen Stützstellen x0, . . . , xn ∈ [a, b] und Gewichten
α0, . . . , αn ∈ R approximiert. Die Differenz
b
En(f) := f(x) dx − Qn(f)
heißt Restglied der Quadraturformel Qn.
a
Die beiden einfachsten Quadraturformeln, die wir in dieser Arbeit anwenden
werden, sind mit der Schrittweite h := b−a die zusammengesetzte (oder sum-
n
mierte) Rechteckregel
n
Rh(f) := h f(a + kh)
und die zusammengesetzte (oder summierte) Trapezregel
1 n−1
Th(f) := h f(a) + f(a + kh) +
2 1
2 f(b)
.
k=1
k=1
Für eine (b − a)-periodische Funktion ist f(a) = f(b), so daß in diesem Fall
die zusammengesetzte Rechteckregel und die zusammengesetzte Trapezregel
übereinstimmen.

10 Kapitel 2. Grundlagen
Definition 2.1. Die Bernoulli-Polynome Bn sind rekursiv durch B0(x) := 1
und
B ′ n := Bn−1, n ∈ N,
mit der Normierung
definiert.
1
0
Bn(x) dx = 0, n ∈ N,
Mit ˜ Bn, n ≥ 2, bezeichnen wir die periodische Fortsetzung des n-ten Bernoulli-
Polynoms Bn mit Periode 1 und der Eigenschaft
Die rationalen Zahlen
heißen Bernoulli-Zahlen.
˜Bn(x) = Bn(x), x ∈ [0, 1]. (2.1)
bn := n! Bn(0), n ∈ N ∪ {0}, (2.2)
Lemma 2.2. Die periodischen Fortsetzungen der Bernoulli-Polynome besitzen
für m ∈ N die Fourierentwicklung
˜B2m(x) = 2 (−1) m−1
˜B2m+1(x) = 2 (−1) m
Beweis. Siehe Kress [8, Seite 208 f.].
∞
k=1
∞
k=1
cos 2πkx
(2πk) 2m
sin 2πkx
.
(2πk) 2m+1
Satz 2.3. Sei m ∈ N und f : [a, b] −→ R m-mal stetig differenzierbar. Sei
n ∈ N und h = b−a.
Dann gilt für die numerische Integration mit Hilfe der
n
zusammengesetzten Trapezregel Th die Euler-Maclaurin-Entwicklung
b
f(x) dx − Th(f) = (−h) m
b
x − a
˜Bm f
h
(m) (x) dx
a
−
⌊ m
2 ⌋
k=1
a
b2kh 2k
(2k)!
f (2k−1) (b) − f (2k−1) (a) , (2.3)
wobei
m
m
die größte ganze Zahl kleiner oder gleich 2
2 bezeichnet.
Beweis. Siehe Kress [8, Seite 209 f.].

Satz 2.4. Sei m ∈ N und f : [0, π] −→ R (2m)-mal stetig differenzierbar mit
f (2k−1) (0) = f (2k−1) (π), k = 1, . . . , m − 1. Sei n ∈ N und h = π.
Dann gilt bei
n
der numerischen Integration mit Hilfe der zusammengesetzten Trapezregel Th
für das Restglied
die Abschätzung
mit
Dn(f) :=
π
0
f(x) dx − Th(f)
|Dn(f)| ≤ C
n2m π
(2m)
f (x) dx
0
C :=
∞
k=1
4
.
(2k) 2m
Beweis. Aus der Voraussetzung an die Ableitungen von f an den Stellen 0
und π folgt nach Einsetzen in (2.3)
|Dn(f)| =
(2.1),(2.2)
=
π
2m π
n
0
˜B2m
− b2m
π
2m π
n
0
(2m)!
˜B2m
x
h
f (2m) (x) dx
f (2m−1) (π) − f (2m−1) (0)
x
h
f (2m) (x) dx
− ˜ B2m(0) f (2m−1) (π) − f (2m−1) (0) .
Durch Anwendung des Hauptsatzes der Differential- und Integralrechnung ergibt
sich daraus
|Dn(f)| =
≤
Aus Lemma 2.2 erhalten wir
π
2m π
x
˜B2m
−
n 0 h
˜
B2m(0) f (2m)
(x) dx
π
2m π
B2m
˜
x
+
n
h
˜
f
B2m(0)
(2m) (x) dx.
0
˜
B2m(x) ≤
∞
k=1
2
,
(2πk) 2m
11

12 Kapitel 2. Grundlagen
und damit gilt
|Dn(f)| ≤
π
2m π
2
n 0
= 1
n 2m
∞
k=1
4
(2k) 2m
∞ 2
(2πk) 2m
(2m)
f (x) dx
k=1
π
0
f (2m) (x) dx.
Bemerkung 2.5. In Satz 2.3 genügt auch die abgeschwächte Voraussetzung
f ∈ C m−1 [a, b] und f (m) ∈ L[a, b], siehe Kress [8]. Analog genügt es für
Satz 2.4, wenn wir f ∈ C 2m−1 [0, π] und f (2m) ∈ L[0, π] anstatt f ∈ C 2m [0, π]
voraussetzen.

Kapitel 3
Das Verfahren von Atkinson
In diesem Kapitel geben wir einen Überblick über das Verfahren, das Atkinson
[1] zur Integration über die Oberfläche Γ eines einfach zusammenhängenden
Gebietes Ω ⊂ R 3 vorstellt für den Fall, daß der Integrand eine Singularität
auf der Oberfläche Γ besitzt.
Sei im Folgenden S 2 die Oberfläche der Einheitskugel im R 3 . Wie in Kapitel
1 bereits erwähnt, beschränken wir uns zunächst darauf, ein Integral über
S 2 zu betrachten. Die Übertragung unserer Überlegungen auf ein Integral
über Γ ist nach (1.2) jederzeit möglich, wenn eine hinreichend glatte Bijektion
M : S 2 −→ Γ existiert.
Um die Idee des Verfahrens von Atkinson zu verdeutlichen, betrachten wir
zunächst ein Integral der Form
IS2(f) := f(Q) dS(Q)
S 2
für den Fall, daß die Funktion f hinreichend oft stetig differenzierbar und
nichtsingulär auf S 2 ist.
Wir nutzen im Folgenden aus, daß in Kugelkoordinaten jeder Punkt Q ∈ S2 die eindeutige Darstellung
⎛ ⎞
cos φ sin θ
Q = Q(φ, θ) = ⎝sin
φ sin θ⎠
cos θ
mit 0 ≤ φ < 2π und 0 ≤ θ ≤ π besitzt.
Nun führen wir die bijektive Transformation
L : S 2 −→ S 2 , Q(φ, θ) ↦−→ ˜ ⎛
cos φ sin
1
Q = √ ⎝
cos2 2q θ + sin θ
q θ
sin φ sinq ⎞
θ⎠
cos θ
(3.1)

14 Kapitel 3. Das Verfahren von Atkinson
mit einem Parameter q ≥ 1 ein.
Wegen
und
Dθ L(φ, θ) =
ist
Dφ L(φ, θ) =
1
cos 2 θ + sin 2q θ 3
2
sin q θ
√ cos 2 θ + sin 2q θ
⎛
⎜
⎝
= sinq−1 θ sin 2 θ + q cos 2 θ
cos 2 θ + sin 2q θ 3
2
⎛ ⎞
− sin φ
⎝ cos φ ⎠
0
cos φ q sin q−1 θ cos θ (cos 2 θ + sin 2q θ)
− sin q θ (− sin θ cos θ + q sin 2q−1 θ cos θ
sin φ q sin q−1 θ cos θ (cos 2 θ + sin 2q θ)
− sin q θ (− sin θ cos θ + q sin 2q−1 θ cos θ
− sin θ (cos 2 θ + sin 2q θ)
+ cos θ (− sin θ cos θ + q sin 2q−1 θ cos θ)
⎛
cos φ cos θ
⎝sin
φ cos θ
− sin q ⎞
⎠
θ
Dφ L(φ, θ) × Dθ L(φ, θ) = sin2q−1 θ sin 2 θ + q cos 2 θ
cos 2 θ + sin 2q θ 2
und damit
⎛
− cos φ sin
⎝
q θ
− sin φ sinq ⎞
θ⎠
− cos θ
JL( ˜ Q) := |Dφ L(φ, θ) × Dθ L(φ, θ)| = sin2q−1 θ(q cos2 θ + sin2 θ)
(cos2 θ + sin2q θ) 3 .
2
Wir definieren
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
ξ cos φ sin θ
⎝η⎠
:= L ⎝sin
φ sin θ⎠
=
ζ
cos θ
1
√ cos 2 θ + sin 2q θ
⎛
cos φ sin
⎝
q θ
sin φ sinq ⎞
θ⎠
cos θ
und erhalten mit Hilfe der Transformation L (siehe Wienert [13, Seite 30])
IS2(f) =
⎛ ⎞
π 2π ξ
f ⎝η⎠
0 0 ζ
sin2q−1 θ(q cos2 θ + sin2 θ)
(cos2 θ + sin2q θ) 3 dφ dθ.
2
(3.2)
Dieses Integral approximieren wir nun mit Hilfe der zusammengesetzten Trapezregel
bezüglich zweier Variablen. Für n ∈ N wählen wir die Schrittweite
h = π
n
⎞
⎟
⎠

und die Stützstellen
Mit den Definitionen
und
⎛
⎝
ξk,j
ηk,j
ζk,j
⎞
⎛
⎠ := L ⎝
φj := jh, j = 0, . . . , 2n,
n
k=0
cos φj sin θk
sin φj sin θk
cos θk
θk := kh, k = 0, . . . , n.
′′
ak := a0
2 +
⎞
⎠ =
n−1
k=1
ak + an
2
1
sin 2q θk + cos 2 θk
⎛
⎝
cos φj sinq θk
sin φj sinq θk
cos θk
ergibt sich dann durch Anwendung der zusammengesetzten Trapezregel bezüglich
zweier Variablen auf das Integral (3.2) die Quadraturformel
π sin
IS2(f) =
0
2q−1 θ(q cos2 θ + sin2 θ)
(cos2 θ + sin2q θ) 3
⎡ ⎛ ⎞ ⎤
2π ξ
⎣ f ⎝η⎠
dφ⎦
dθ
2 0 ζ
n ′′ sin
≈ h
k=0
2q−1
θk q cos2 θk + sin2
θk
cos2 θk + sin2q ⎡ ⎛ ⎞⎤
2n
ξk,j
′′
⎣h 3
f ⎝ηk,j⎠⎦
2 θk
j=0 ζk,j
= h 2
⎛ ⎞
n−1 2n
ξk,j
f ⎝ηk,j⎠
k=1 j=1
sin2q−1
θk q cos2 θk + sin2
θk
cos2 θk + sin2q 3
2 θk
ζk,j
=: I S 2 ,n(f), (3.3)
denn für θ = 0 und θ = π verschwindet der Integrand und damit das erste
und das letzte Glied der äußeren Summe. Da der Integrand 2π-periodisch in
φ ist, sind das erste und das letzte Glied der zweiten Summe gleich und lassen
sich zu einem einzigen mit eins gewichteten Summanden zusammenfassen.
Damit haben wir die Betrachtung des einfachen Falles mit nichtsingulärem
Integranden abgeschlossen.
Nun betrachten wir den Fall, daß die Funktion f in einem Punkt P ∈ S2 eine Singularität besitzt. Die beiden Pole sowie alle Punkte auf dem Äquator
von S2 sind Fixpunkte der Abbildung L, wie man durch Einsetzen der Winkel
θ = 0, θ = π und θ = π in die Definition (3.1) von L sofort ausrechnen
2
kann. Alle anderen Punkte auf der Oberfläche von S2 werden für q > 1 durch
⎞
⎠
15

16 Kapitel 3. Das Verfahren von Atkinson
die Transformation L in Richtung des nächstgelegenen Poles von S 2 verschoben.
Um das zu verdeutlichen, betrachten wir die dritte Koordinate unter der
Abbildung L:
cos θ L
−→ ζ =
cos θ
√ cos 2 θ + sin 2q θ .
Für θ ∈ 0, π
gilt sin θ ∈ (0, 1) und cos θ ∈ (0, 1), damit ist
2
und wir erhalten
Analog berechnen wir
1 = cos 2 θ + sin 2 θ > cos 2 θ + sin 2q θ > 0,
cos θ
√ > cos θ, θ ∈
cos2 2q θ + sin θ
cos θ
√ cos 2 θ + sin 2q θ < cos θ, θ ∈
Wenn wir also nun das Integral
f(L(Q)) JL(Q) dS(Q)
S 2
0, π
2
.
π
, π .
2
mit einer Quadraturformel mit konstanter Schrittweite h approximieren, hat
die Transformation L aus (3.1) den Effekt, daß die Stützstellen nicht mehr
äquidistant verteilt sind, sondern sich an den Polen von S 2 häufen – das ist für
die Genauigkeit einer Quadraturformel vorteilhaft, wenn sich die Singularität
des Integranden an einem Pol von S 2 befindet und der Integrand an allen
anderen Stellen “gutartig” ist.
In den Abbildungen 3.1 und 3.2 wird dieser Effekt veranschaulicht: In Abbildung
3.1 sind für eine äquidistante Unterteilung φj ∈ [0, 2π), θk ∈ (0, π)
die Punkte (cos φj sin θk, sin φj sin θk, cos θk) T aufgetragen sowie die zugehörigen
Isolinien für θ = const eingezeichnet. In Abbildung 3.2 sind stattdessen
(für die gleiche äquidistante Unterteilung) die Funktionswerte von L mit dem
Parameter q = 3 aufgetragen. Man sieht deutlich, wie die vorher äquidistant
verteilten Stützstellen sich nun an den beiden Polen der Einheitskugel konzentrieren.
Da die Transformation L den Integranden an den beiden Polen von S 2 glättet,
soll das Koordinatensystem vor der Anwendung der Funktion f so transformiert
werden, daß ein Pol von S 2 auf die Singularität P von f abgebildet wird.
Dazu bestimmen wir eine Householder-Matrix H mit
⎛ ⎞
⎛ ⎞
0
0
H ⎝0⎠
= P oder H ⎝ 0 ⎠ = P.
1
−1

Mit u := P + sign(P3)e3 ist
H := I − 2uuT
u T u
diejenige Householder-Matrix, für die HP = −sign(P3)e3 gilt, wobei e3 den
Einheitsvektor e3 = (0, 0, 1) T und P3 die dritte Komponente des Punktes
P = (P1, P2, P3) T bezeichnet. Da H als lineare orthogonale Transformation
die Funktionaldeterminante 1 besitzt, ergibt sich durch die Anwendung von
H nach der Anwendung von L die Gleichung
IS2(f) = f(HL( ˜ Q)) JL( ˜ Q) dS( ˜ Q). (3.4)
S 2
Um das Matrix-Vektor-Produkt HL( ˜ Q) effizienter berechnen zu können, formen
wir wie folgt um:
HL( ˜
Q) = I − 2uuT
uT
L(
u
˜ Q) = L( ˜ T 2u
Q) − u
uT u L( ˜
Q) . (3.5)
Setzen wir nun (3.5) in (3.4) ein, so ergibt sich mit Hilfe der Quadraturformel
(3.3) die Gleichung
IS2(f) =
S2 f(Q) dS(Q)
=
S2
f L( ˜ T 2u
Q) − u
uT u L( ˜
Q) JL( ˜ Q) dS( ˜ ≈
Q)
h 2
n−1 2n sin 2q−1
2
θk q cos θk + sin 2
⎛⎛
θk
3 f ⎝⎝
2
ξk,j
⎞ ⎡
ηk,j⎠
− u ⎣ 2uT
uT ⎛
⎝
u
ξk,j
⎞⎤⎞
ηk,j⎠⎦⎠
k=1 j=1
cos 2 θk + sin 2q θk
=: Ah,q(f). (3.6)
Die Approximation von I S 2(f) durch Ah,q(f) bezeichnen wir als das Verfahren
von Atkinson.
ζk,j
Wenn wir nun anstatt des Integrals IS2(f) das Integral
ρ(Q) dS(Q)
Γ
betrachten, wobei ρ in einem Punkt ˆ P ∈ Γ eine Singularität besitzt, und
voraussetzen, daß eine hinreichend glatte Bijektion M : S 2 −→ Γ existiert, so
ist in die Gleichung (3.6) – wie bereits in Kapitel 1 erwähnt – die Funktion
f(Q) := ρ(M(Q)) JM(Q) und bei der Berechnung der Householder-Matrix H
der Punkt P = M −1 ( ˆ P ) einzusetzen.
ζk,j
17

18 Kapitel 3. Das Verfahren von Atkinson
0.8
0.6
0.4
0.2
0
−0.2
−0.4
−0.6
−0.8
0.8
0.6
0.4
0.2
0
−0.2
−0.4
−0.6
−0.8
−0.8
−0.6
−0.4
Abbildung 3.1: Punkte (cos φj sin θk, sin φj sin θk, cos θk) T für eine äquidistante
Unterteilung φj ∈ [0, 2π) und θk ∈ (0, π), Isolinien für θ = const.
−0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8

0.8
0.6
0.4
0.2
0
−0.2
−0.4
−0.6
−0.8
0.8
0.6
0.4
0.2
0
−0.2
−0.4
−0.6
−0.8
−0.8
−0.6
−0.4
Abbildung 3.2: Transformation L, ausgewertet für eine äquidistante Unterteilung
φj ∈ [0, 2π), θk ∈ (0, π), Isolinien für θ = const, Parameter q = 3.
−0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
19

20 Kapitel 3. Das Verfahren von Atkinson
Wird das Verfahren von Atkinson auf ein Integral der Form
Γ
f(Q)
|P − Q|
dS(Q), P ∈ Γ,
mit einer glatten Funktion f angewendet, so gilt die folgende Fehlerabschätzung:
Satz 3.1. Sei Γ die hinreichend glatte Oberfläche eines einfach zusammenhängenden
Gebietes Ω ⊂ R 3 und M : S 2 −→ Γ eine hinreichend glatte Bijektion
zwischen Γ und der Oberfläche S 2 der Einheitskugel im R 3 . Es existiere
eine offene ε-Umgebung S 2 ε ⊂ R 3 von S 2 und eine offene ε-Umgebung
Γε = M(S 2 ε ) ⊂ R 3 von Γ, so daß M : S 2 ε −→ Γε als dreidimensionale Abbildung
eine hinreichend glatte Bijektion mit nichtverschwindender Funktionaldeterminante
ist.
Sei P ∈ Γ, q ∈ N,
s :=
q falls q gerade
q + 1 falls q ungerade,
f ∈ C s−1 (Γ) und f (s) ∈ L(Γ), und sei Ah,q definiert wie in (3.6). Dann gilt
für den Approximationsfehler bei Anwendung des Verfahrens von Atkinson auf
das Integral
mit
die Abschätzung
I(f) :=
=
Beweis. Siehe Atkinson [1].
Γ
S 2
g(Q) :=
f(Q)
|P − Q| dS(Q)
f(M(Q)) JM(Q)
dS(Q)
|P − M(Q)|
f(M(Q)) JM(Q)
|P − M(Q)|
I(f) − Ah,q(g) = O (h s ) .
Wird das Verfahren von Atkinson auf ein Integral mit nichtsingulärem Integranden
angewendet, so läßt sich eine schärfere Fehlerabschätzung beweisen:

Satz 3.2. Sei Γ die hinreichend glatte Oberfläche eines einfach zusammenhängenden
Gebietes Ω ⊂ R 3 und M : S 2 −→ Γ eine hinreichend glatte Bijektion
zwischen Γ und der Oberfläche S 2 der Einheitskugel im R 3 .
Sei q ≥ 1 mit 2q ∈ N und
s :=
2q falls 2q gerade
2q + 1 falls 2q ungerade.
Sei f s-mal differenzierbar mit f (s) ∈ L(S2 ), und sei IS2 ,n definiert wie in
(3.3). Dann gilt für den Approximationsfehler bei Anwendung des Verfahrens
von Atkinson auf das Integral
I(f) = f(M(Q)) JM(Q) dS(Q)
mit
die Abschätzung
Beweis. Siehe Atkinson [1].
S 2
g(Q) := f(M(Q)) JM(Q)
I(f) − I S 2 ,n(g) = O(h s ).
21

22 Kapitel 3. Das Verfahren von Atkinson

Kapitel 4
Das Verfahren der sigmoidalen
Transformationen
4.1 Einleitung und Definition
In diesem Kapitel führen wir zunächst in das Verfahren der sigmoidalen Transformationen
ein, das z. B. Elliott [5] und Kress [8] für die Approximation uneigentlicher
Integrale über dem Intervall [0, 1] vorschlagen. Wir werden dieses
Verfahren zur numerischen Integration uneigentlicher Integrale über dem Intervall
[0, π] einsetzen und daraus eine weitere Methode erhalten, ein Integral
über die Oberfläche S 2 der Einheitskugel im R 3 mit singulärem Integranden
näherungsweise zu bestimmen. Wir werden für dieses Verfahren eine Fehlerabschätzung
beweisen und zeigen, daß das Verfahren von Atkinson ein Spezialfall
dieses Verfahrens ist. Damit können wir eine alternative Fehlerabschätzung für
das Verfahren von Atkinson herleiten.
In Anlehnung an Elliott [5] geben wir die folgende
Definition 4.1. Eine reellwertige Funktion w ∈ C ∞ [0, π], die auf [0, π] streng
monoton steigend ist, die an der Stelle 0 den Funktionswert
besitzt, die die Symmetrieeigenschaft
erfüllt und für deren Ableitung
w(0) = 0 (4.1)
w(t) = π − w(π − t), t ∈ [0, π], (4.2)
gilt, bezeichnen wir als sigmoidale Transformation.
w ′ (0) = w ′ (π) = 0 (4.3)

24 Kapitel 4. Das Verfahren der sigmoidalen Transformationen
Bemerkung 4.2. In der Literatur wird auch der Begriff periodisierende
Transformation verwendet.
Bemerkung 4.3. Elliott [5] betrachtet Funktionen w ∈ C 1 [0, 1] ∩ C ∞ (0, 1)
mit w(0) = 0 und der Symmetrieeigenschaft w(t) = 1 − w(1 − t), t ∈ [0, 1],
und fordert, daß die Ableitung w ′ streng monoton wachsend auf [0, 1]
ist und
2
daß w ′ (0) = 0 gilt – unsere Voraussetzung (4.3) ist dann eine Folgerung aus
dieser Forderung.
Folgerung 4.4. Aus den Eigenschaften (4.1) und (4.2) erhalten wir
w(π) = π. (4.4)
Da w stetig und streng monoton steigend auf [0, π] ist und (4.1) sowie (4.4)
erfüllt, bildet w das Intervall [0, π] bijektiv auf sich selbst ab.
4.2 Anwendung auf ein Integral über [0, π]
Wir wollen zunächst die Idee des Verfahrens der sigmoidalen Transformationen
für die Approximation eines uneigentlichen Integrals über dem Intervall [0, π]
vorstellen. Sei f hinreichend glatt in (0, π) und integrierbar über [0, π], f
darf also an den beiden Grenzen (integrierbare) Singularitäten besitzen. Wir
betrachten das Integral π
f(x) dx.
0
Sei w eine sigmoidale Transformation. Dann erhalten wir durch Substitution
π π
f(x) dx = w ′ (t) f(w(t)) dt. (4.5)
0
0
Dieses Integral approximieren wir mit der zusammengesetzten Rechteckregel
π
π
f(x) dx = w ′ (t) f(w(t)) dt
0
0
≈ π
n
w
n
k=1
′
πk πk
f w
n n
= π n−1
w
n
′
πk πk
f w
n n
k=1
(denn nach Voraussetzung (4.7) ist w ′ ( πn)
= 0).
n
(4.6)

4.2. Anwendung auf ein Integral über [0, π] 25
Besitzt w für ein hinreichend großes p ∈ N an den beiden Grenzen des Integrals
die Ableitungen
sowie
so verschwinden die Funktion
w (j) (0) = w (j) (π) = 0, j = 1, . . . , p − 1, (4.7)
w (p) (0) = 0 und w (p) (π) = 0, (4.8)
g(t) := w ′ (t) f(w(t)) (4.9)
und ihre Ableitungen bis zu einer bestimmten Ordnung (die von den Eigenschaften
der Funktion f und von p abhängt) an den beiden Intervallgrenzen
0 und π. Somit können wir g als hinreichend glatte π-periodische Funktion
ansehen und Satz 2.4 zur Gewinnung einer Fehlerabschätzung verwenden. Zunächst
benötigen wir jedoch die folgende Definition und den folgenden Satz:
Definition 4.5. Für s ∈ N und 0 < α ≤ 1 sei S s,α (0, π) die Menge aller
s-mal stetig differenzierbaren Funktionen f : (0, π) −→ R, für die gilt:
sup [x(π − x)]
0

26 Kapitel 4. Das Verfahren der sigmoidalen Transformationen
Satz 4.7. Sei p ∈ N und w eine sigmoidale Transformation, deren Ableitungen
(4.7) und (4.8) erfüllen. Sei s ∈ N und f ∈ S 2s,α (0, π) mit 0 < α ≤ 1, so daß
ist. Dann gilt für den Fehler
En(f) =
π
0
2s < αp
f(x) dx − π n−1
n
k=1
der Quadraturformel (4.6) die Abschätzung
w ′
|En(f)| ≤ C
n 2s f 2s,α
πk
f w
n
mit einer Konstanten C ≥ 0, die von w, s und α abhängt.
πk
n
Beweis. Sei g definiert als g(t) = w ′ (t)f(w(t)) wie in (4.9). Nach (4.5) ist
En(f) = Dn(g). Wir wollen die Abschätzung aus Satz 2.4 verwenden. Nach
Bemerkung 2.5 genügt es, wenn wir g ∈ C 2s−1 [0, π], g (2s) ∈ L[0, π] und
g (2k−1) (0) = g (2k−1) (π), k = 1, . . . , s − 1, zeigen.
Nach den Voraussetzungen an f und w ist g ∈ C 2s (0, π), es muß also noch
gezeigt werden, daß sich die Funktion g und ihre Ableitungen bis zur Ordnung
2s−1 an den Stellen 0 und π stetig fortsetzen lassen, daß die Ableitungen von
g die Bedingung g (2k−1) (0) = g (2k−1) (π), k = 1, . . . , s − 1, erfüllen, und daß
das Integral π
0
g (2s) (t) dt
existiert (zumindest als uneigentliches Integral).
Sei im Folgenden immer r ∈ {0, 1, . . . , 2s}.
Wir schreiben die r-te Ableitung von g mit Hilfe der Leibniz’schen Regel als
g (r) (t) =
r
k=0
r
[f(w(t))]
k
(k) w (r−k+1) (t).
Unter Berücksichtigung der Ketten- und der Produktregel können wir g (r)
auch schreiben als
g (r) r
(t) = u r k(t)f (k) (w(t)). (4.12)
k=0

4.2. Anwendung auf ein Integral über [0, π] 27
Um Aussagen über die Eigenschaften von g (r) machen zu können, müssen wir
die Koeffizienten ur k untersuchen. Ableiten von (4.12) liefert
g (r+1) r
(t) = u
k=0
r k(t)w ′ (t)f (k+1) (w(t)) + durk (t)
f
dt
(k)
(w(t))
du
=
r r
r
0(t)
duk (t)
f(w(t)) +
dt dt + urk−1(t)w ′
(t) f (k)
(w(t))
k=1
+ u r r(t)w ′ (t)f (r+1) (w(t)),
und durch einen Koeffizientenvergleich mit
g (r+1) (t) =
r+1
k=0
u r+1
k (t)f (k) (w(t))
= u r+1
0 (t)f(w(t)) +
+ u r+1
r+1(t)f (r+1) (w(t))
erhalten wir für u r+1
k (t) die Rekursionsformeln
r
k=1
k = 0 : u r+1
0 (t) = dur 0(t)
dt
u r+1
k (t)f (k) (w(t))
(4.13)
k = 1, . . . , r : u r+1
k (t) = dur k (t)
dt + ur k−1(t)w ′ (t) (4.14)
k = r + 1 : u r+1
r+1(t) = u r r(t)w ′ (t). (4.15)
Für einige dieser Koeffizienten können wir eine explizite Darstellung angeben,
die wir später noch benötigen: Aus (4.12) folgt mit r = 0 die Gleichung
g(t) = u 0 0(t)f(w(t)), und mit der Definition g(t) = w ′ (t) f(w(t)) aus (4.9)
erhalten wir daraus u 0 0(t) = w ′ (t). Zusammen mit der Rekursion (4.13) ergibt
sich daraus durch r-maliges Differenzieren
u r 0(t) = w (r+1) (t). (4.16)
Da u 0 0(t) = w ′ (t) ist, ergibt sich zusammen mit der Rekursionsformel (4.15)
Wir zeigen jetzt, daß mit
für k = 0, . . . , r die Koeffizienten u r k
u r r(t) = [w ′ (t)] r+1 . (4.17)
z r k := p − 1 + kp − r
(t) die Gleichung
u r k(t) = O [t(π − t)] zr k , t → 0, t → π,

28 Kapitel 4. Das Verfahren der sigmoidalen Transformationen
erfüllen. Wir merken an, daß für r = 0, . . . , 2s−1 aufgrund der Voraussetzung
p ≥ αp > 2s
gilt.
z r k = p − 1 + kp − r
> (2s) − 1 + kp − (2s − 1)
= kp
≥ 0
Wir zeigen die Behauptung zuerst für die beiden Fälle k = 0 und k = r für
r ∈ {0, 1, . . . , 2s}, und anschließend für die restlichen Fälle durch vollständige
Induktion nach r, wobei wir in jedem Schritt der Induktion die Behauptung
nur noch für k = 1, . . . , r − 1 zeigen müssen.
Zunächst benötigen wir dafür eine Aussage über das Verhalten der Funktion
w und ihrer Ableitungen. Mit Hilfe der Lagrange’schen Darstellung des Restglieds
der Taylor’schen Formel erhalten wir durch Entwicklung von w (j) an
der Stelle 0 für j = 0, . . . , p
Wir definieren
w (j) (t) =
p−j−1
k=0
w (j+k) (0)
k!
t k + w(p) (ξ)
(p − j)! tp−j
(4.7)
= w (p) (ξ)
(p − j)! tp−j mit ξ ∈ [0, t].
Rj(t) := w(j) (t)
t p−j = w(p) (ξ)
(p − j)! .
Nach den Voraussetzungen an w ist Rj beschränkt in (0, π), und durch Grenzübergang
erhalten wir
lim Rj(t) = lim
t→0 ξ→0
w (p) (ξ)
(p − j)! = w(p) (0)
(p − j)! ,
also gilt wegen w (j) (t) = Rj(t) t p−j und der Beschränktheit von Rj auf [0, π)
w (j) (t) = O t p−j , t → 0.
Analog erhält man durch eine Taylorentwicklung von w (j) an der Stelle π
Somit gilt
w (j) (t) = O (π − t) p−j , t → π.
w (j) (t) = O [t(π − t)] p−j , t → 0, t → π. (4.18)

4.2. Anwendung auf ein Integral über [0, π] 29
Mit Hilfe dieser Gleichung können wir jetzt die Behauptung beweisen.
k=0: Nach (4.16) ist
u r 0(t) = w (r+1) (t),
und aus (4.18) folgt mit zr 0 = p − 1 − r wie behauptet
u r 0(t) = O [t(π − t)] zr 0 , t → 0, t → π.
k=r: Nach (4.17) ist
Aus (4.18) erhalten wir
also
u r r(t) = [w ′ (t)] r+1 .
w ′ (t) = O [t(π − t)] p−1 , t → 0, t → π, (4.19)
[w ′ (t)] r+1 = O [t(π − t)] (p−1)·(r+1) , t → 0, t → π.
Mit zr r = p − 1 + rp − r ist dann
u r r(t) = O [t(π − t)] zr r , t → 0, t → π.
Nun zeigen wir die Behauptung für die restlichen Fälle durch vollständige
Induktion nach r. Der Induktionsanfang r = 0 ist durch den Fall k = 0 bereits
gezeigt.
Sei die Behauptung für ein r ∈ {0, . . . , 2s − 1} und k = 1, . . . , r − 1 bereits
bewiesen (unter Berücksichtigung der anfangs betrachteten Sonderfälle ist sie
somit für k = 0, . . . , r bewiesen). Wir müssen zeigen, daß die Behauptung
dann auch für r + 1 und k = 1, . . . , r gilt.
Nach (4.14) ist
Mit z r+1
k
daraus
u r+1
k (t) = dur k (t)
dt + ur k−1(t)w ′ (t).
= p + kp − r − 2, Gleichung (4.19) und der Induktionsannahme folgt
[t(π − t)] zr+1
k , t → 0, t → π.
u r+1
k (t) = O
Damit haben wir die Behauptung
u r k(t) = O [t(π − t)] zr k , t → 0, t → π, (4.20)
für alle r ∈ {0, 1, . . . , 2s} und k = 0, . . . , r gezeigt und kennen somit das
asymptotische Verhalten der Koeffizienten ur k an den beiden Grenzen 0 und

30 Kapitel 4. Das Verfahren der sigmoidalen Transformationen
π. Um eine Aussage über das Verhalten der Funktion g an diesen beiden
Stellen zu erhalten, müssen wir zunächst noch das Verhalten der Funktion f
untersuchen.
Sei im Folgenden immer k ∈ {0, 1, . . . , 2s}.
Aus der Definition 4.5 der Norm · s,α erhalten wir
und daraus
f 2s,α ≥ [x(π − x)] k+1−α f (k) (x) , x ∈ (0, π),
f (k) (x) ≤ f2s,α [x(π − x)] α−k−1 , x ∈ (0, π).
Damit gilt nach der Symmetrieeigenschaft w(t) = π − w(π − t) aus (4.2)
f (k) (w(t)) ≤ f2s,α (w(t)[π − w(t)]) α−k−1
Aus (4.18) folgt
= f 2s,α (w(t){π − [π − w(π − t)]}) α−k−1
= f 2s,α [w(t) · w(π − t)] α−k−1 , t ∈ (0, π). (4.21)
w(t) · w(π − t) = O ([t(π − t)] p ) ,
und durch Einsetzen in (4.21) erhalten wir
f (k) (w(t)) = f2s,α (O ([t(π − t)] p )) α−k−1
mit einer Konstanten Ck ≥ 0.
≤ Ck f 2s,α [t(π − t)] (α−k−1)p
Damit sind wir in der Lage, die Ableitungen der Funktion g abzuschätzen;
durch Einsetzen in (4.12) erhalten wir
(r)
g (t) =
r
u
k=0
r k(t)f (k)
(w(t))
≤
r
u r k(t)f (k) (w(t))
≤
k=0
r
mit einer Konstanten Cr ≥ 0.
Ck f 2s,α [t(π − t)] αp−r−1
≤
k=0
Cr f2s,α [t(π − t)] αp−r−1 , t ∈ (0, π), (4.22)

4.2. Anwendung auf ein Integral über [0, π] 31
Da nach Voraussetzung αp > 2s ist, gilt für r = 0, . . . , 2s − 1
αp − r − 1 > (2s) − (2s − 1) − 1 = 0,
und damit ist (4.22) wohldefiniert. Somit läßt sich g (r) wegen
lim
t→0, t→π
g (r) (t) ≤ lim
t→0, t→π Cr f 2s,α [t(π − t)] αp−r−1 = 0
stetig auf [0, π] fortsetzen mit den Werten
g (r) (0) = g (r) (π) = 0, r = 0, . . . , 2s − 1. (4.23)
Wir haben also g ∈ C 2s−1 [0, π] gezeigt, außerdem ist nach (4.23) die Voraussetzung
g (2k−1) (0) = g (2k−1) (π), k = 1, . . . , s − 1, von Satz 2.4 erfüllt. Es bleibt
noch g (2s) ∈ L[0, π] zu zeigen. Nach (4.22) ist
π
0
g (2s) (t) dt ≤
π
und wegen der Voraussetzung αp > 2s ist
0
C2 f 2s,α [t(π − t)] αp−2s−1 ,
αp − 2s − 1 > −1.
Somit existiert das Integral auf der rechten Seite als uneigentliches Integral,
und damit natürlich auch das Integral auf der linken Seite. Somit haben wir
nun auch g (2s) ∈ L[0, π] gezeigt. Aus Satz 2.4 erhalten wir die Abschätzung
|En(f)| ≤ C1
n 2s
≤ C1
n 2s
π
0 π
0
≤ ˜ C
n 2s f 2s,α
≤ C
n 2s f 2s,α .
g (2s) (t) dt
C2 f 2s,α [t(π − t)] αp−2s−1 dt
π
0
[t(π − t)] αp−2s−1 dt
Für eine auf [0, π] hinreichend glatte Funktion f läßt sich diese Abschätzung
noch etwas verbessern, so daß s nicht mehr durch 2s < αp mit 0 < α ≤ 1
beschränkt ist. Wir benötigen dafür die folgende
Definition 4.8. Sei s ∈ N. Für f ∈ Cs [0, π] definieren wir
f∞,s := max
(j)
f .
∞
j=0,...,s

32 Kapitel 4. Das Verfahren der sigmoidalen Transformationen
Satz 4.9. Sei p ∈ N und w eine sigmoidale Transformation, deren Ableitungen
(4.7) und (4.8) erfüllen. Sei s ∈ N und f ∈ C 2s [0, π] mit
Dann gilt für den Fehler
En(f) =
π
0
2s ≤ p + 1.
f(x) dx − π n−1
n
k=1
der Quadraturformel (4.6) die Abschätzung
w ′
|En(f)| ≤ C
n 2s f ∞,2s
πk
f w
n
mit einer Konstanten C ≥ 0, die von w und s abhängt.
πk
n
Beweis. Nach den Voraussetzungen an f und w ist die Funktion g aus (4.9)
(2s)-mal stetig differenzierbar auf [0, π]. Somit können wir zum Beweis Satz 2.4
anwenden, wenn wir zeigen, daß g (2k−1) (0) = g (2k−1) (π), k = 1, . . . , s − 1, gilt.
Der Beweis davon erfolgt zum größten Teil analog zum Beweis von Satz 4.7.
An Stelle von (4.22) verwenden wir für r ≤ p − 1 die Abschätzung
mit einer Konstanten Cr ≥ 0.
g (r) (t) =
r
u
k=0
r k(t)f (k)
(w(t))
≤
r
f∞,2s |u r k(t)| (4.24)
k=0
(4.20)
≤ f ∞,2s Cr [t(π − t)] zr 0
= Cr f ∞,2s [t(π − t)] p−1−r
Wegen der Voraussetzung 2s ≤ p + 1 gilt für r = 0, . . . , 2s − 3
p − 1 − r ≥ (2s − 1) − 1 − (2s − 3)
= 1,
und wir erhalten durch Grenzübergang in (4.25)
g (r) (0) = g (r) (π) = 0, r = 0, . . . , s − 3.
(4.25)

4.3. Anwendung auf ein Integral über S 2 33
Damit können wir Satz 2.4 anwenden und erhalten zusammen mit (4.24)
|En(f)| ≤ C1
n 2s
π
0
= C1
n 2s f ∞,2s
g (2s) (t) dt
π 2s
0
k=0
u 2s
k (t) dt.
Da f als (2s)-mal stetig differenzierbar auf [0, π] vorausgesetzt und auch g
(2s)-mal stetig differenzierbar auf [0, π] ist, sind die Koeffizienten u 2s
k nach
(4.12) beschränkt auf [0, π], und wir erhalten
|En(f)| ≤ C1
n2s f π
∞,2s
0
≤ C
n 2s f ∞,2s .
2s
Ck dt
4.3 Anwendung auf ein Integral über S 2
Wir wollen nun das Verfahren der sigmoidalen Transformationen zur numerischen
Behandlung eines Integrals der Form
IS2(f) = f(Q) dS(Q)
verwenden. In Kugelkoordinaten erhalten wir die Darstellung
⎛ ⎞
π 2π cos φ sin θ
IS2(f) = f ⎝sin
φ sin θ⎠
sin θ dφ dθ.
0 0 cos θ
S 2
Sei zunächst f nichtsingulär auf S 2 . Auf das Integral I S 2(f) wenden wir für
die Integration über θ das Verfahren der sigmoidalen Transformationen mit
einer sigmoidalen Transformation w an, während wir das “gutartige” Integral
über φ direkt mit der zusammengesetzten Rechteckregel approximieren. Für
n ∈ N wählen wir die Schrittweite
h = π
n
und die Stützstellen
φj = jh, j = 1, . . . , 2n,
k=0
θk = kh, k = 1, . . . , n − 1.

34 Kapitel 4. Das Verfahren der sigmoidalen Transformationen
Dann erhalten wir mit der sigmoidalen Transformation w wie in (3.3) die
Quadraturformel
IS2(f) =
⎛
⎞
π 2π cos φ sin w(θ)
f ⎝sin
φ sin w(θ) ⎠ sin w(θ) w
0 0 cos w(θ)
′ (θ) dφ dθ (4.26)
≈ h 2
⎛
⎞
n−1
2n cos φj sin w(θk)
f ⎝sin
φj sin w(θk) ⎠ sin w(θk) w
k=1 j=1 cos w(θk)
′ (θk). (4.27)
=: ˆ Qh(f)
Sei nun f singulär im Punkt P ∈ S2 . Analog zum Verfahren von Atkinson bestimmen
wir eine Householder-Matrix H = I −2 uuT
uT u , die einen Pol von S2 auf
die Singularität P abbildet, da das Verfahren der sigmoidalen Transformationen
für die Approximation von Integralen von Funktionen mit (integrierbaren)
Singularitäten an den beiden Endpunkten des Intervalls [0, π] konstruiert worden
ist. Da die Funktionaldeterminante einer linearen orthogonalen Abbildung
1 ist, erhalten wir analog zu (3.6) mit der Definition
⎛ ⎞ ⎛
⎞
λk,j cos φj sin w(θk)
⎝µk,j⎠
:= ⎝sin
φj sin w(θk) ⎠
cos w(θk)
νk,j
die Quadraturformel
IS2(f) =
⎛ ⎛
⎞⎞
π 2π cos φ sin w(θ)
f ⎝H ⎝sin
φ sin w(θ) ⎠⎠
sin w(θ) w
0 0
cos w(θ)
′ (θ) dφ dθ
≈ h 2
⎛⎛
⎞ ⎡
n−1
2n λk,j
f ⎝⎝µk,j⎠
− u ⎣ 2uT
uT ⎛ ⎞⎤⎞
λk,j
⎝µk,j⎠⎦⎠
sin w(θk) w
u
′ (θk).
k=1 j=1
νk,j
νk,j
(4.28)
Wir wollen nun einen Zusammenhang zwischen dem Verfahren von Atkinson
und dem Verfahren der sigmoidalen Transformationen aufzeigen. Dazu benötigen
wir zunächst das folgende
Lemma 4.10. Sei q ≥ 1, i ∈ N ∪ {0}. Dann gilt für die i-te Ableitung von
sinq−1 θ
i
q−1 (i)
sin θ = q − k cos i θ sin q−i−1 θ + ri,q (θ) sin q−i+1 θ (4.29)
k=1
mit einer unendlich oft differenzierbaren Funktion ri,q (θ).

4.3. Anwendung auf ein Integral über S 2 35
Beweis. Durch vollständige Induktion nach i. Für i = 0, 1 stimmt die Behauptung
offensichtlich, wenn wir r0,q (θ) = r1,q (θ) = 0 wählen.
Angenommen, die Behauptung wurde bereits für ein i ∈ N gezeigt. Durch
Ableiten von (4.29) erhalten wir
i
q−1 (i+1)
sin θ = −i q − k cos i−1 θ sin q−i θ
Mit
ri+1,q (θ) :=
=
k=1
i
+ (q − i − 1) q − k
k=1
cos i+1 θ sin q−i−2 θ
+ ∂ri,q (θ)
sin
∂θ
q−i+1 θ
+ (q − i + 1) ri,q (θ) cos θ sin q−i θ
i+1
q − k cos i+1 θ sin q−i−2 θ
k=1
i
+ − i q − k cos
k=1
i−1 θ + ∂ri,q (θ)
∂θ
+ (q − i + 1) ri,q (θ) cos θ
i
− i q − k cos
k=1
i−1 θ + ∂ri,q (θ)
∂θ
+ (q − i + 1) ri,q (θ) cos θ
sin q−i θ.
sin θ
sin θ
folgt die Behauptung, da ri+1,q (θ) eine Summe von Produkten von unendlich
oft differenzierbaren Funktionen ist.
Satz 4.11. Die Funktion
w : [0, π] −→ [0, π], w(θ) = arccos
cos θ
√ cos 2 θ + sin 2q θ
ist eine sigmoidale Transformation. Für ihre Ableitungen gilt
sowie
w (k) (0) = w (k) (π) = 0, k = 1, . . . , q − 1,
w (q) (0) = 0 und w (q) (π) = 0.

36 Kapitel 4. Das Verfahren der sigmoidalen Transformationen
Beweis. Es gilt w(0) = 0, und aus sin (π −t) = sin t, cos (π −t) = − cos t und
arccos (−t) = π − arccos t, t ∈ [−1, 1], folgt, daß w die Symmetrieeigenschaft
(4.2) erfüllt.
Die Ableitung von w berechnet sich zu
w ′ (θ) =
sin θ √ cos2 θ + sin2q θ + cos θ cos θ(q sin2q−1 − sin θ)
√
cos2 θ+sin2q θ
1 −
cos2 θ
cos2 θ+sin2q
cos2 2q θ + sin θ θ
= sin θ(cos2 θ + sin2q θ) + cos2 θ(q sin2q−1 − sin θ)
cos 1 −
2 θ
cos2 θ+sin2q 3
cos2 2q 2
θ + sin θ θ
=
=
sin2q+1 θ + q sin2q−1 θ cos2 θ
sin2q θ
cos2 θ+sin2q θ
cos 2 θ + sin 2q θ 3
2
sin 2q−1 θ sin 2 θ + q cos 2 θ
sinq √ θ
cos2 θ+sin2q θ
cos 2 θ + sin 2q θ 3
2
= sin q−1 θ sin2 θ + q cos2 θ
cos2 θ + sin2q . (4.30)
θ
Aus (4.30) erkennen wir, daß w ′ (0) = w ′ (π) = 0 gilt und w ′ zudem positiv
in (0, π) ist. Also ist w streng monoton steigend in [0, π]. Aus (4.30) folgt
weiterhin, daß w ′ als Produkt von Summen von unendlich oft stetig differenzierbaren
Funktionen ebenfalls unendlich oft stetig differenzierbar in [0, π] ist,
da beim weiteren Differenzieren durch das Anwenden der Quotientenregel nur
Potenzen des Nenners von (4.30) im Nenner auftreten, die auf [0, π] stets von 0
verschieden sind. Somit erfüllt w alle Voraussetzungen der Definition 4.1 und
ist damit eine sigmoidale Transformation.
Nun zeigen wir den zweiten Teil der Behauptung. Wir differenzieren (4.30)
mit Hilfe der Leibniz’schen Regel und erhalten
w (1+k) (θ) =
k
i=0
k sin q−1 (i)
θ
i
Für i = 0, . . . , q − 2 ist q − i + 1 > q − i − 1 ≥ 1, also
2 2 sin θ + q cos θ
sin2q θ + cos2 (k−i)
. (4.31)
θ
sin q−i−1 (0) = sin q−i−1 (π) = sin q−i+1 (0) = sin q−i+1 (π) = 0,
und damit nach Lemma 4.10
sin q−1 θ (i) θ=0,π
= 0, i = 0, . . . , q − 2. (4.32)

4.3. Anwendung auf ein Integral über S 2 37
Nach (4.31) gilt daher
w (1+k) (0) = w (1+k) (π) = 0, k = 0, . . . , q − 2.
Für i = q − 1 ist sin q−i+1 (0) = sin q−i+1 (π) = 0, sin q−i−1 (0) = sin q−i−1 (π) = 1
und cos i (0) = 1, cos i (π) = (−1) i und damit wiederum nach Lemma 4.10
sowie
sin q−1 θ (q−1) θ=0
sin q−1 θ (q−1) θ=π
=
q−1
q − k
k=1
= (q − 1)! (4.33)
= 0
= (−1) q−1
q−1
q − k
k=1
= (−1) q−1 (q − 1)! (4.34)
= 0.
Aus den Gleichungen (4.31), (4.32), (4.33) und (4.34) erhalten wir
w (q) (0) =
q − 1
(q − 1)!
q − 1
und
w (q) (π) =
= (q − 1)!
= 0
q − 1
(−1)
q − 1
q−1 (q − 1)!
= (−1) q−1 (q − 1)!
= 0.
Damit ist die Behauptung bewiesen.
Satz 4.12. Das Verfahren der sigmoidalen Transformationen mit der Transformation
aus Satz 4.11 führt für die Berechnung des Integrals
f(Q) dS(Q)
S 2
zur gleichen Quadraturformel wie das Verfahren von Atkinson, sofern in beiden
Verfahren die Schrittweite h und die Stützstellen φj und θk gleich gewählt
werden.

38 Kapitel 4. Das Verfahren der sigmoidalen Transformationen
Beweis. Wegen sin(arccos(x)) = 1 − cos 2 (arccos(x)) = √ 1 − x 2 ist
Aus (4.30) und (4.35) folgt
sin w(θ) w ′ (θ) =
sin w(θ) =
=
=
1 −
sin2q θ
cos 2 θ
cos 2 θ + sin 2q θ
cos2 θ + sin2q θ
sinq θ
√ . (4.35)
cos2 2q θ + sin θ
sinq θ
√ ·
cos2 2q θ + sin θ sinq−1 θ sin2 θ + q cos2 θ
cos2 θ + sin2q θ
= sin2q−1 θ sin2 θ + q cos2 θ
3 . (4.36)
cos2 2q 2
θ + sin θ
Einsetzen von (4.35) und (4.36) in (4.26) liefert (3.2), das Bestimmen der
Householder-Matrix H und die anschließende Anwendung der Quadraturformeln
verläuft bei beiden Verfahren gleich.
Folgerung 4.13. Nach Satz 4.11 gelten die Abschätzungen der Sätze 4.7 und
4.9 mit p = q insbesondere für die Transformation aus Satz 4.11, die nach
Satz 4.12 zum Verfahren von Atkinson führt.
Wir haben bisher eine Fehlerabschätzung für die Approximation eines Integrals
über dem Intervall [0, π] mit dem Verfahren der sigmoidalen Transformationen
gewonnen und gezeigt, daß diese Abschätzung auf die spezielle sigmoidale
Transformation aus Satz 4.11 angewendet werden kann. Diese Abschätzung
wollen wir nutzen, um eine Aussage über den Fehler bei der Approximation
eines Integrals über die Kugeloberfläche S 2 mit Hilfe des Verfahrens der
sigmoidalen Transformationen zu machen.
Im Folgenden werden wir aus Gründen der Übersichtlichkeit für die Darstellung
der Funktion f in Kugelkoordinaten
⎛ ⎞
cos φ sin θ
f ⎝sin
φ sin θ⎠
=: F (φ, θ), 0 ≤ φ < 2π, 0 ≤ θ ≤ π (4.37)
cos θ
schreiben. Wir werden in den folgenden Beweisen mehrfach ausnutzen, daß
für eine sigmoidale Transformation
π
π
f(x) dx = f(w(t)) w ′ (t) dt
0
0

4.3. Anwendung auf ein Integral über S 2 39
gilt, ohne diese Tatsache jedes Mal erneut zu erwähnen.
Lemma 4.14. Sei p ∈ N und w eine sigmoidale Transformation, deren Ableitungen
(4.7) und (4.8) erfüllen. Sei s ∈ N, f : S 2 −→ R und F definiert wie
in (4.37) (2s)-mal stetig differenzierbar auf [0, 2π] × (0, π). Weiterhin gelte
sup
0

40 Kapitel 4. Das Verfahren der sigmoidalen Transformationen
Lemma 4.15. Sei s ∈ N, f : S 2 −→ R und F definiert wie in (4.37) (2s)-mal
stetig differenzierbar auf [0, 2π] × (0, π). Sei 0 < α ≤ 1 und
∂
j
[F (φ, ·) sin ·]
∂φj 0,α
≤ C(s, α), j = 0, . . . , 2s, (4.39)
für alle φ ∈ [0, 2π] und θ ∈ (0, π), wobei C(s, α) unabhängig von φ und θ sei.
Dann ist die Funktion
π
G(φ) := F (φ, θ) sin θ dθ, φ ∈ [0, 2π],
(2s-1)-mal stetig differenzierbar und G (2s) ∈ L[0, 2π].
0
Beweis. Sei j ∈ {0, . . . , 2s}. Nach der Voraussetzung an die Differenzierbarkeit
von F ist F für jedes feste θ ∈ (0, π) (2s)-mal partiell nach φ differenzierbar,
und mit (4.39) folgt
∂
j
[F (φ, θ) sin θ]
∂φj ≤ C(s, α) [θ(π − θ)]α−1 =: g(θ)
für alle φ ∈ [0, 2π] und alle θ ∈ (0, π). Wegen α > 0 ist g ∈ L[0, π]. Nach
Heuser [7, Satz 128.2] gilt dann, daß G auf [0, 2π] (2s)-mal differenzierbar ist.
Damit ist G insbesondere (2s-1)-mal stetig differenzierbar auf [0, 2π], und es
gilt G (2s) ∈ L[0, 2π].
Nun können wir eine Aussage über den Fehler machen, der auftritt, wenn das
Integral
S 2
f(Q) dS(Q)
mit Hilfe des Verfahrens der sigmoidalen Transformationen approximiert wird:
Satz 4.16. Sei p ∈ N und w eine sigmoidale Transformation, deren Ableitungen
(4.7) und (4.8) erfüllen. Sei s ∈ N, f : S 2 −→ R und F definiert wie in
(4.37) (2s)-mal stetig differenzierbar auf [0, 2π] × (0, π). Weiterhin gelte
sup
0

4.3. Anwendung auf ein Integral über S 2 41
ist. Außerdem sei
∂
j
[F (φ, ·) sin ·]
∂φj 0,α
≤ C(s, α), j = 0, . . . , 2s
für alle φ ∈ [0, 2π] und θ ∈ (0, π), wobei C(s, α) unabhängig von φ und θ sei.
Dann gilt mit der Schrittweite
h = π
n
und den Stützstellen
für die Approximation des Integrals
IS2(f) =
S 2
durch die Quadraturformel
ˆQh(f) = h 2
n−1
aus (4.27) für den Fehler
die Abschätzung
|En(f)| ≤ C
n 2s
2π
mit einer Konstanten C ≥ 0.
Beweis. Es ist
|En(f)| =
0
φj = jh, j = 1, . . . , 2n,
θk = kh, k = 1, . . . , n − 1,
π
f(Q) dS(Q) =
0
2n
k=1 j=1
0
2π
0
F (φ, θ) sin θ dφ dθ
F (φj, w(θk)) sin w(θk) w ′ (θk)
En(f) = I S 2(f) − ˆ Qh(f)
π
∂
2s
[F (φ, θ) sin θ]
∂φ2s dθ dφ + max
j=1,...,2n F (φj,
·)2s,α
π
0
−
2π
0
π
n
F (φ, w(θ)) sin w(θ) w ′ (θ) dφ dθ
2n
F (φj, w(θk)) sin w(θk) w ′
(θk)
.
2 n−1
k=1 j=1

42 Kapitel 4. Das Verfahren der sigmoidalen Transformationen
Durch eine Nullergänzung erhalten wir
|En(f)| =
π 2π
F (φ, w(θ)) sin w(θ) w
′ (θ) dφ dθ
=
Wir definieren
0 0
π
−
0
0
π
sin w(θ) w ′ (θ) π
n
2n
j=1
2n
F (φj, w(θ)) dθ
+ sin w(θ) w
0
′ (θ) π
F (φj, w(θ)) dθ
n
j=1
π
2 n−1
2n
−
F (φj, w(θk)) sin w(θk) w
n
k=1 j=1
′
(θk)
2π π
F (φ, θ) sin θ dθ dφ −
π
2n
π
F (φj, θ) sin θ dθ
n
+ π
n
0
2n
π
j=1
0
j=1
F (φj, w(θ)) sin w(θ) w ′ (θ) dθ
− π n−1
F (φj, w(θk)) sin w(θk) w
n
′
(θk) .
k=1
G(φ) :=
π
0
F (φ, θ) sin θ dθ
und erhalten damit
|En(f)| ≤
2π
G(φ) dφ −
0
π
2n
G(φj)
n
j=1
+ π
2n π
F (φj, w(θ)) sin w(θ) w
n
j=1 0
′ (θ) dθ
− π n−1
F (φj, w(θk)) sin w(θk) w
n
′
(θk)
.
k=1
F ist in der Darstellung (4.37) 2π-periodisch in φ, und damit ist auch G
2π-periodisch in φ. Nach Lemma 4.15 ist G (2s-1)-mal stetig differenzierbar
auf [0, 2π] und G (2s) ∈ L[0, 2π], somit können wir den ersten Betrag nach
Bemerkung 2.5 mit Hilfe von Satz 2.4 abschätzen (mit dem Intervall [0, 2π]
anstatt [0, π], der Beweis erfolgt analog). Den zweiten Betrag können wir mit
Hilfe von Lemma 4.14 abschätzen und erhalten
0

4.3. Anwendung auf ein Integral über S 2 43
|En(f)| ≤ C1
n2s 2π
(2s)
G (φ)
π
dφ +
0
n
≤ C
n 2s
2π π
0
0
2n
C2
n
j=1
2s F (φj, ·)2s,α
∂
2s
[F (φ, θ) sin θ]
∂φ2s dθ dφ + max
j=1,...,2n F (φj,
·)2s,α mit einer Konstanten C ≥ 0.
Bemerkung 4.17. Es ist
1
En(f) = O
n2s
,
unabhängig von der verwendeten sigmoidalen Transformation (unter der Voraussetzung,
daß ihre Ableitungen die Voraussetzungen von Satz 4.16 erfüllen).
Somit gilt die Abschätzung aus Satz 4.16 insbesondere für die sigmoidale
Transformation aus Satz 4.11 und damit nach Satz 4.12 auch für das Verfahren
von Atkinson.
Wir wollen nun anstatt des allgemeinen Falls ein Integral der Form
f(Q)
|P − Q| dS(Q), P ∈ S2 , (4.40)
S 2
mit einer glatten Funktion f betrachten. Dies ist der Fall, für den die Fehlerabschätzung
aus Satz 3.1 für das Verfahren von Atkinson gilt. Wir benötigen
dazu das folgende
Lemma 4.18. Sei p ∈ N und w eine sigmoidale Transformation, deren Ableitungen
(4.7) und (4.8) erfüllen. Sei s ∈ N, f : S 2 −→ R und F definiert
wie in (4.37) (2s)-mal stetig differenzierbar auf [0, 2π] × [0, π] mit
2s ≤ p + 1.
Dann gilt für jedes φ ∈ [0, 2π] mit θk = πk , k = 1, . . . , n − 1, die Abschätzung
n
π
F (φ, w(θ)) cos
w(θ)
2 w′ (θ) dθ − π
n−1
F (φ, w(θk)) cos
n
w(θk)
2 w′
(θk)
0
≤ C
n 2s
F (φ, ·) cos ·
2 ∞,2s
k=1
mit einer Konstanten C ≥ 0, die nur von w und s abhängt.

44 Kapitel 4. Das Verfahren der sigmoidalen Transformationen
Beweis. Analog zum Beweis von Lemma 4.14 unter Verwendung von Satz 4.9
anstatt Satz 4.7. Eine zu (4.38) analoge Voraussetzung ist in diesem Fall nicht
nötig, da F als (2s)-mal stetig differenzierbar auf [0, 2π] × [0, π] vorausgesetzt
ist und somit die ersten 2s partiellen Ableitungen von F auf [0, 2π] × [0, π]
beschränkt sind.
Nun können wir einen Satz ähnlich Satz 4.16 beweisen. Wegen der speziellen
Form des Integranden in (4.40) können wir jedoch 2s ≤ p + 1 anstatt 2s < αp
mit 0 < α ≤ 1 zulassen.
Satz 4.19. Sei p ∈ N und w eine sigmoidale Transformation, deren Ableitungen
(4.7) und (4.8) erfüllen. Sei s ∈ N, f : S 2 −→ R und F definiert wie in
(4.37) (2s)-mal stetig differenzierbar auf [0, 2π] × [0, π] mit
Dann gilt mit der Schrittweite
und den Stützstellen
2s ≤ p + 1.
h = π
n
φj = jh, j = 1, . . . , 2n,
θk = kh, k = 1, . . . , n − 1,
für die Approximation des Integrals
I(f) =
f(Q)
|P − Q| dS(Q), P ∈ S2 , (4.41)
durch die Quadraturformel
für den Fehler
˜Qh(f) :=
n−1
S 2
2n
k=1 j=1
die Abschätzung
|En(f)| ≤ C
n2s 2π
mit einer Konstanten C ≥ 0.
F (φj, w(θk)) cos w(θk)
2 w′ (θk) (4.42)
En(f) = I S 2(f) − ˜ Qh(f)
0
π
0
∂
2s
∂φ2s + max
j=1,...,2n F (φj, ·) ∞,2s
F (φ, θ) cos θ
dθ dφ
2

4.3. Anwendung auf ein Integral über S 2 45
Beweis. Es sei ohne Beschränkung der Allgemeinheit P = (0, 0, 1) T (wäre das
nicht so, könnten wir – wie in Kapitel 3 bereits besprochen – eine Householder-
Matrix H bestimmen, so daß HP = (0, 0, 1) T gilt). Dann ist
I(f) =
=
π 2π
0 0
π 2π
0
0
F (φ, θ) sin θ
cos 2 φ sin 2 θ + sin 2 φ sin 2 θ + (1 − cos θ) 2
F (φ, θ) sin θ
√ 2 − 2 cos θ dφ dθ.
Mit der Formel von Moivre für Winkelvielfache
und der Halbwinkelformel
sin x
2 =
erhalten wir für x ∈ [0, π]
und damit
I(f) =
=
sin 2x = 2 sin x cos x
1
(1 − cos x), x ∈ [0, π],
2
sin x = 2 sin x
2
π 2π
0 0
π 2π
0
0
cos x
2
= √ 2 − 2 cos x cos x
2
F (φ, θ) cos θ
2
dφ dθ
F (φ, w(θ)) cos w(θ)
2 w′ (θ) dφ dθ.
dφ dθ
(4.43)
Analog zum Beweis von Satz 4.16 erhalten wir für die Approximation dieses
Integrals mit der Quadraturformel ˜ Qh aus (4.42) mit
die Abschätzung
|En(f)| ≤
H(φ) :=
π
0
F (φ, θ) cos θ
2
k=1
dθ, φ ∈ [0, 2π],
2π
H(φ) dφ −
0
π
2n
H(φj)
n
j=1
+ π
2n π
F (φj, w(θ)) cos
n
j=1 0
w(θ)
2 w′ (θ) dθ
− π n−1
F (φj, w(θk)) cos
n
w(θk)
2 w′
(θk)
.

46 Kapitel 4. Das Verfahren der sigmoidalen Transformationen
Da F als (2s)-mal stetig differenzierbar auf [0, 2π]×[0, π] vorausgesetzt wurde,
ist F (φ, θ) cos θ auch (2s)-mal stetig differenzierbar auf [0, 2π] × [0, π]. Nach
2
dem Satz über Parameterintegrale ist damit für jedes θ ∈ [0, π] die Funktion
H ebenfalls (2s)-mal stetig differenzierbar auf [0, 2π]. F ist in der Darstellung
(4.37) 2π-periodisch in φ, diese Eigenschaft überträgt sich nach Definition auf
die Funktion H. Daher können wir den ersten Betrag mit Hilfe von Satz 2.4
abschätzen. Den zweiten Betrag schätzen wir mit Hilfe von Lemma 4.18 ab
und erhalten dadurch die Behauptung.
Bemerkung 4.20. Wird die Quadraturformel ˆ Qh aus (4.27) auf ein Integral
der Form (4.41) mit P = (0, 0, 1) T angewendet, so stimmt sie mit der
Quadraturformel ˜ Qh aus (4.42) überein. Insbesondere gilt die Fehlerabschätzung
aus Satz 4.19 damit auch für die Quadraturformel ˆ Qh und daher mit der
Transformation aus Satz 4.11 auch für das Verfahren von Atkinson.
Beweis. Wir definieren
g(Q) := f(Q)
|P − Q|
und erhalten in Polarkoordinaten die Darstellung
G(φ, θ) =
Wegen P = (0, 0, 1) T ist
Wir setzen ein und erhalten
F (φ, θ)
(P1 − cos φ sin θ) 2 + (P2 − sin φ sin θ) 2 .
+ (P3 − cos θ) 2
ˆQh(g) = h 2
n−1
G(φ, θ) =
2n
k=1 j=1
n−1 2n
= h 2
k=1 j=1
Mit (4.43) ergibt sich schließlich
ˆQh(g) = h 2
n−1
k=1 j=1
= ˜ Qh(f).
F (φ, θ)
√ 2 − 2 cos θ .
G(φj, w(θk)) sin w(θk) w ′ (θk)
F (φj, w(θk))
2 − 2 cos w(θk) sin w(θk) w ′ (θk).
2n
F (φj, w(θk)) cos w(θk)
2 w′ (θk)

Kapitel 5
Die Gauß-Trapez-Produktregel
In diesem Kapitel stellen wir kurz die klassische Gauß-Trapez-Produktregel
vor. Es handelt sich dabei um ein Verfahren zur numerischen Integration über
die Oberfläche S 2 der Einheitskugel im R 3 . Dieses Verfahren besitzt bei der
Integration analytischer Funktionen ein sehr gutes Konvergenzverhalten, ist
allerdings nicht für die Integration von Funktionen mit (integrierbaren) Singularitäten
konstruiert.
Sei n ∈ N. Seien −1 < t1
Legendre-Polynoms
< t2 < · · · < tn < 1 die Nullstellen des n-ten
Pn(x) = 1
2n n!
dn (x2 − 1) n
dxn und
αk = 2(1 − t2k )
, k = 1, . . . , n,
[n Pn−1(tk)]
2
die Gewichte der Gauß-Legendre-Quadraturformel. Mit
wählen wir die Stützstellen
⎛
xjk = ⎝
φj = πj
, j = 0, . . . , 2n − 1,
n
θk = arccos(tk), k = 1, . . . , n,
cos φj sin θk
sin φj sin θk
cos θk
⎞
⎠ , j = 0, . . . , 2n − 1, k = 1, . . . , n.
Für die numerische Integration über die Oberfläche S 2 der Einheitskugel im
R 3 wird damit für n ∈ N die Gauß-Trapez-Produktregel durch
definiert.
Gn(f) := π
2n−1
n
j=0
n
αkf(xjk) (5.1)
k=1

48 Kapitel 5. Die Gauß-Trapez-Produktregel
Satz 5.1. Ist f eine analytische Funktion, so konvergiert die Gauß-Trapez-
Produktregel exponentiell, das heißt es existieren Konstanten C ≥ 0 und α > 0,
so daß gilt:
f(Q) dS(Q) − Gn(f)
≤ C e−nα .
Beweis. Siehe Wienert [13, Seite 30 ff.].
S 2
Zur numerischen Berechnung der Nullstellen der Legendre-Polynome und der
Gewichte der Gauß-Legendre-Quadraturformel verweisen wir auf Werner [12,
Seite 241] und Stoer [9, Seite 141 f.]. Danach sind die Nullstellen des n-ten
Legendre-Polynoms gerade die Eigenwerte der symmetrischen Tridiagonalmatrix
⎛
⎞
0 τ1
⎜ .
⎜τ1
0 .. ⎟
J = ⎜
⎝ . .. . ⎟
(5.2)
.. τn−1
⎠
0
mit
τk :=
τn−1
k
√ 4k 2 − 1 , k = 1, . . . , n − 1,
und für die Gewichte der Gauß-Legendre-Quadraturformel gilt
αk =
2 , k = 1, . . . , n, (5.3)
wobei u (k) :=
der Normierung
u (k)
1 , . . . , u (k)
T n
u (k)
1
der Eigenvektor zum Eigenwert tk von J mit
u (k) T u (k) = 2 (5.4)
ist. Sind v (1) , . . . , v (k) die Eigenvektoren von J und setzen wir
so ist
u (k) =
u (k) T u (k) = 2
√
(k) 2 v
,
v (k) 2
v (k) T v (k)
v (k) 2
2
= 2;
die Vektoren u (k) erfüllen also (5.4). Damit berechnen sich die Gewichte αk
der Quadraturformel Gn nach (5.3) durch
2 2 v
αk = =
(k)
2 1
u (k)
1
aus den Eigenvektoren v (k) von J.
v (k) 2
2

Bemerkung 5.2. Die Idee, die Nullstellen tk des n-ten Legendre-Polynoms
Pn und die Gewichte αk der Gauß-Legendre-Quadraturformel über die Eigenwerte
und Eigenvektoren der Matrix J zu bestimmen, hat einen großen Nachteil:
Je größer die Anzahl n der Stützstellen gewählt wird, desto größer werden
sowohl der Aufwand zum Berechnen der Eigenwerte und -vektoren, als auch
der dabei auftretende Fehler. Dieses Verfahren ist daher nur für nicht allzu
große n geeignet – da aber die benötigte Anzahl der Stützstellen wegen der exponentiellen
Konvergenz der Gauß-Legendre-Quadraturformel für analytische
Funktionen in der Regel recht klein ist, fällt dieser Nachteil nicht so sehr ins
Gewicht.
Wir merken an dieser Stelle an, daß es noch weitere Möglichkeiten gibt, die
Nullstellen der Legendre-Polynome numerisch zu bestimmen, zum Beispiel das
Newtonverfahren – wir verweisen dazu auf Davis und Rabinowitz [3].
49

50 Kapitel 5. Die Gauß-Trapez-Produktregel

Kapitel 6
Numerische Beispiele
Nachdem wir in den vorherigen Kapiteln das Verfahren von Atkinson und
das Verfahren der sigmoidalen Transformationen ausführlich besprochen und
auch die Gauß-Trapez-Produktregel eingeführt haben, vergleichen wir diese
Verfahren nun an zwei ausgewählten numerischen Beispielen miteinander. Dabei
nutzen wir das Verfahren von Atkinson als Sonderfall des Verfahrens der
sigmoidalen Transformationen mit der in Satz 4.11 vorgestellten Substitution
w und den Parametern q = 2, 3, 4.
Weitere sigmoidale Transformationen, die wir verwenden werden, sind
wp : [0, π] −→ [0, π], wp(t) =
π tp tp , (6.1)
+ (π − t) p
ähnlich den von Kress [8] vorgestellten Substitutionen wp : [0, 2π] −→ [0, 1].
Als Parameter werden wir auch hier p = 2, 3, 4 wählen.
Alle Berechnungen wurden auf Rechnern des Instituts für Numerische und
Angewandte Mathematik mit Intel Pentium IV Prozessoren und dem Betriebssystem
SuSE Linux 8.2 durchgeführt. Zum Einsatz kam das Programm
Matlab in der Version 6.1.0.450 (R12.1), die Gleitkommagenauigkeit betrug
dabei ungefähr 2 · 10 −16 . Die Implementierungen des Verfahrens der sigmoidalen
Transformationen und der Gauß-Trapez-Produktregel, die wir verwendet
haben, sind in Anhang A angegeben.
Satz 6.1. Die Funktionen wp aus (6.1) sind sigmoidale Transformationen.
Für ihre Ableitungen gilt
sowie
w (k)
p (0) = w (k)
p (π) = 0, k = 0, . . . , p − 1,
w (p)
p (0) = 0 und w (p)
p (π) = 0.

52 Kapitel 6. Numerische Beispiele
Beweis. Nach (6.1) ist wp als Produkt von unendlich oft stetig differenzierbaren
Funktionen selbst wieder unendlich oft stetig differenzierbar in [0, π],
denn beim weiteren Differenzieren mit Hilfe der Quotientenregel tauchen nur
Potenzen des Nenners von (6.1) im Nenner auf – diese Potenzen sind in [0, π]
stets von 0 verschiedenen. Es ist wp(0) = 0 und
π − wp(π − t) = π −
π (π − t)p
t p + (π − t) p
= π tp + π (π − t) p − π (π − t) p
tp + (π − t) p
π t
=
p
tp + (π − t) p
= wp(t).
Somit erfüllen die Transformationen wp die Symmetrieeigenschaft (4.2). Die
Ableitungen w ′ p berechnen wir zu
w ′ p(t) = π p tp−1 [t p + (π − t) p ] − t p [p t p−1 − p (π − t) p−1 ]
[t p + (π − t) p ] 2
= p π tp−1 (π − t) p + t p (π − t) p−1
[t p + (π − t) p ] 2
= p π 2 tp−1 (π − t) p−1
[tp + (π − t) p 2 . (6.2)
]
Aus (6.2) erkennen wir, daß w ′ p(0) = w ′ p(π) = 0 gilt. w ′ p ist in (0, π) positiv
und daher streng monoton steigend in [0, π]. Somit sind die Funktionen wp in
der Tat sigmoidale Transformationen.
Wir zeigen nun den zweiten Teil der Behauptung. Wir wenden auf (6.2) zwei
Mal die Leibniz’sche Formel an und erhalten
w (1+k) (t) = p π 2
k
k
1
i [t i=0
p + (π − t) p ] 2
(k−i)
i
i tp−1 j
(j) p−1
(π − t)
(i−j)
.
Induktiv berechnen wir
t p−1 (j) =
j=0
j
p − l t p−1−j
l=1
(π − t) p−1 (i−j) = (−1) i−j
p − l (π − t) p−1−i+j
i−j
l=1

und erhalten damit
w (1+k) (t) = p π 2
k
k
1
i [tp + (π − t) p ] 2
(k−i)
i
(−1)
j=0
i−j
i
j
j i−j
p − l p − l
l=1
l=1
i=0
t p−1−j (π − t) p−1−i+j
Für k = 0, . . . , p − 2 ist i ≤ p − 2 und 0 ≤ j ≤ p − 2, also
somit gilt
p − 1 − j ≥ p − 1 − (p − 2) = 1
p − 1 − i + j ≥ p − 1 − (p − 2) + 0 = 1,
w (k)
p (0) = w (k)
p (π) = 0, k = 0, . . . , p − 1.
Für k = p − 1 verschwinden für t = 0 (bzw. t = π) alle Summanden bis auf
den Summanden mit i = j = k = p − 1 (bzw. j = 0, i = k = p − 1), und wir
erhalten damit
w (p) (0) = p π 2
p−1
p − l π p−1
sowie
l=1
= p! π p+1 = 0
w (p) (π) = p π 2 (−1) p−1
p − l π p−1
p−1
l=1
= (−1) p−1 p! π p+1 = 0.
Damit ist der Satz bewiesen.
Beispiel 6.2. Zunächst berechnen wir mit allen Verfahren das Integral
I1 := e x2 +y2 +z2 dS(Q)
=
= e
S2 π 2π
e
0 0
cos2 φ sin2 θ+sin2 φ sin2 θ+cos2 θ
sin θ dφ dθ
π 2π
0
= 4πe.
0
sin θ dφ dθ
.
53

54 Kapitel 6. Numerische Beispiele
Für das Verfahren von Atkinson erwarten wir nach Satz 3.2 eine Konvergenzrate
von 2q für gerades q bzw. von 2q + 1 für ungerades q. Für das Verfahren
der sigmoidalen Transformationen haben wir für den Fall eines nichtsingulären
Integranden keine verbesserte Fehlerabschätzung hergeleitet. Es gilt auf
jeden Fall die Fehlerabschätzung aus Satz 4.19, wir erwarten auf Grund der
Regularität des Integranden aber ein besseres Konvergenzverhalten.
In Tabelle 6.1 ist der absolute Fehler bei Approximation des Integrals I1 mit
den verschiedenen in dieser Arbeit vorgestellten Quadraturverfahren in Abhängigkeit
von der Anzahl n der Stützstellen aufgeführt. Die Gauß-Trapez-
Produktregel berechnet das Integral bereits mit 2 Stützstellen bis auf die interne
Genauigkeit von Matlab korrekt, auch das Verfahren von Atkinson und
das Verfahren der sigmoidalen Transformationen mit den Parametern q = 4
und p = 3, 4 erreichen recht schnell diese Grenze. Bei allen Verfahren außer
dem Verfahren von Atkinson und dem Verfahren der sigmoidalen Transformationen
mit q = p = 2 stagniert ab einer bestimmten Anzahl von Stützstellen
der absolute Fehler oder wächst sogar wieder an. Wir führen das darauf zurück,
daß die interne Rechengenauigkeit von Matlab erreicht wurde und der
absolute Fehler auf Grund von Rundungsfehlern wieder ansteigt.
In Tabelle 6.2 haben wir die aus den Daten aus Tabelle 6.1 näherungsweise ermittelte
Konvergenzordnung der verwendeten Quadraturverfahren aufgeführt.
Ausgehend von der Fehlerabschätzung
erhalten wir aus |En1(f)| ≈ C
n α 1
und daraus
|En(f)| ≤ C
n α
und |En2(f)| ≈ C
nα 2
α n2
En1(f)
En2(f)
≈
α ≈
ln
n1
En 1 (f)
En2 (f)
ln n2
n1
die Näherung
. (6.3)
Das Verfahren von Atkinson mit dem Parameter q = 2 besitzt wie erwartet
eine Konvergenzordnung von ungefähr 4. Wegen der großen Schwankungen
können wir für q = 3, 4 zunächst keine Aussage über die Konvergenzordnung
machen. Ignorieren wir jedoch die Näherungen für 2 Stützstellen, die sehr ungenau
sind, und gehen bis zu der Näherung, die noch innerhalb der internen
Genauigkeit von Matlab liegt, so erhalten wir aussagekräftigere Ergebnisse.
Nutzen wir (6.3) mit n1 = 4 und n2 = 256, so erhalten wir für q = 3 mit
α ≈ 6.68 in etwa die erwartete Konvergenzordnung 7. Für q = 4 wenden wir

Verfahren von Atkinson Substitutionen wp Gauß-Trapez
n q=2 q=3 q=4 p=2 p=3 p=4
2 7.33 E+00 7.33 E+00 7.33 E+00 1.95 E+01 4.63 E+01 7.32 E+01 0.00 E+00
4 1.16 E+00 1.55 E+00 6.69 E+00 6.28 E-01 7.74 E+00 1.98 E+01 7.11 E-15
8 2.00 E-02 1.43 E-01 4.50 E-01 1.35 E-03 8.13 E-02 1.00 E+00 2.13 E-14
16 8.38 E-04 4.80 E-05 1.06 E-03 8.38 E-05 1.42 E-06 6.41 E-04 7.11 E-15
32 5.28 E-05 3.64 E-07 7.43 E-09 5.33 E-06 3.63 E-09 4.38 E-11 1.42 E-14
64 3.30 E-06 5.69 E-09 1.93 E-11 3.34 E-07 5.79 E-11 9.24 E-14 9.95 E-14
128 2.07 E-07 8.90 E-11 1.42 E-14 2.09 E-08 1.00 E-12 9.24 E-14 1.14 E-13
256 1.29 E-08 1.34 E-12 4.97 E-14 1.31 E-09 2.84 E-14 4.26 E-14 2.13 E-14
512 8.07 E-10 4.19 E-13 4.41 E-13 8.22 E-11 4.48 E-13 4.48 E-13 4.97 E-13
1024 5.11 E-11 6.47 E-13 6.39 E-13 5.76 E-12 6.47 E-13 6.47 E-13 6.11 E-13
2048 8.67 E-13 2.27 E-12 2.26 E-12 1.96 E-12 2.28 E-12 2.27 E-12 2.25 E-12
4096 1.99 E-13 3.91 E-13 4.05 E-13 3.55 E-13 4.05 E-13 3.69 E-13 4.48 E-13
Tabelle 6.1: Absoluter Fehler bei der Anwendung der verschiedenen Quadraturverfahren auf
das Integral aus Beispiel 6.2 in Abhängigkeit von der Anzahl n der verwendeten Stützstellen.
55

56 Kapitel 6. Numerische Beispiele
Verfahren von Atkinson Substitutionen wp
n q=2 q=3 q=4 p=2 p=3 p=4
4 2.66 2.24 0.13 4.96 2.58 1.89
8 5.86 3.43 3.90 8.86 6.57 4.30
16 4.57 11.55 8.73 4.01 15.80 10.61
32 3.99 7.04 17.12 3.98 8.62 23.80
64 4.00 6.00 8.59 3.99 5.97 8.89
128 4.00 6.00 10.41 4.00 5.85 —
256 4.00 6.05 — 4.00 5.14 —
512 4.00 — — 3.99 — —
1024 3.98 — — 3.83 — —
2048 5.88 — — 1.56 — —
Tabelle 6.2: Ungefähre Konvergenzordnung bei Anwendung der verschiedenen
Quadraturverfahren auf das Integral aus Beispiel 6.2 bei Verdopplung der Stützstellenzahl
von n
2 auf n Stützstellen. Da der Integrand glatt ist, konvergieren die
Verfahren alle recht schnell, so daß in vielen Fällen bei 256 oder sogar noch weniger
Stützstellen die interne Genauigkeit von Matlab erreicht und daher keine Konvergenzanalyse
für die Fälle mit mehr Stützstellen möglich ist.
(6.3) mit n1 = 4 und n2 = 128 an und erhalten mit α ≈ 9.74 einen besseren
Wert als 8, den wir erwartet haben. Das Verfahren der sigmoidalen Transformationen
mit den Transformationen wp aus (6.1) besitzt wie erwartet ein
besseres Konvergenzverhalten, als die Fehlerabschätzung aus Satz 4.19 für den
singulären Fall angibt. Für p = 2 ist die Konvergenzordnung ungefähr 4. Für
p = 3 erhalten wir mit n1 = 4 und n2 = 256 eine ungefähre Konvergenzordnung
von α ≈ 7.99, für p = 4 berechnen wir α ≈ 11.90 aus n1 = 4 und
n2 = 64.
Beispiel 6.3. Als nächstes Beispiel betrachten wir das Integral
1
I2 :=
|P − Q| dS(Q).
S 2
Der Integrand besitzt im Punkt P ∈ S 2 eine (integrierbare) Singularität. Für
den Fall P = (0, 0, 1) T ∈ S 2 berechnen wir mit Hilfe von (4.43)
I2 =
= 2π
π 2π
= 4π.
0 0 π
0
sin θ
√ 2 − 2 cos θ dφ dθ
cos θ
2 dθ

Für das Verfahren von Atkinson erwarten wir nach Satz 3.1 in Übereinstimmung
mit Satz 4.19 eine Konvergenzrate von q für gerades q bzw. von q + 1
für ungerades q. Atkinson [1] hat für q = 3 sogar eine deutlich höhere Konvergenzrate
von 6 beobachtet.
Für das Verfahren der sigmoidalen Transformationen mit den Transformationen
wp aus (6.1) erwarten wir analog nach Satz 4.19 eine Konvergenzordnung
von p für gerades p bzw. von p + 1 für ungerades p.
In Tabelle 6.3 ist der absolute Fehler bei Approximation des Integrals I2 in
Abhängigkeit von der Anzahl n der Stützstellen aufgeführt. Man sieht sofort,
daß die Gauß-Trapez-Produktregel das mit Abstand schlechteste Konvergenzverhalten
besitzt. Auch in diesem Beispiel erreichen das Verfahren von Atkinson
und das Verfahren der sigmoidalen Transformationen mit den Parametern
q = 3 und p = 3, 4 recht schnell die interne Genauigkeit von Matlab.
In Tabelle 6.4 haben wir, ausgehend von den Daten aus Tabelle 6.3, die näherungsweise
ermittelte Konvergenzordnung der verwendeten Quadraturverfahren
aufgeführt.
Das Verfahren von Atkinson mit den Parametern q = 2, 4 besitzt, von Ausreißern
abgesehen, wie erwartet die Konvergenzordnung 2 bzw. 4, auch das
Verfahren der sigmoidalen Transformationen mit den Transformationen wp
aus (6.1) erfüllt für p = 2, 3, 4 mit den ungefähren Konvergenzraten 2, 4 und
4 unsere Erwartungen. Für das Verfahren von Atkinson mit q = 3 berechnen
wir mit n1 = 2 und n2 = 256 aus (6.3) α ≈ 6.48 und übertreffen damit sogar
leicht die Beobachtung von Atkinson [1].
Die Gauß-Trapez-Produktregel hingegen konvergiert nur linear und zeigt damit
das mit Abstand schlechteste Konvergenzverhalten aller Verfahren, die
wir implementiert haben.
In Tabelle 6.5 geben wir an, wie viele Stützstellen für jedes Verfahren mindestens
benötigt werden, um das Integral I2 bis auf einen vorgegebenen Fehler
10 −k , k = 1, . . . , 6, genau zu berechnen. Von der Anwendung der Gauß-Trapez-
Produktregel auf ein Integral der Form aus Beispiel 6.3 kann man nach einem
Blick auf Tabelle 6.5 nur abraten. Die mit Abstand wenigsten Stützstellen
benötigen das Verfahren der sigmoidalen Transformation mit der sigmoidalen
Transformation w4 und das Verfahren von Atkinson mit dem Parameter
q = 3, dicht gefolgt vom Verfahren der sigmoidalen Transformationen mit der
Transformation w3 und dem Verfahren von Atkinson mit q = 4. Die sigmoidale
Transformation w2 und das Verfahren von Atkinson mit q = 2 hingegen
benötigen deutlich mehr Stützstellen.
57

58 Kapitel 6. Numerische Beispiele
Verfahren von Atkinson Substitutionen wp Gauß-Trapez
n q=2 q=3 q=4 p=2 p=3 p=4
2 5.59 E+00 5.59 E+00 5.59 E+00 1.39 E+00 8.37 E+00 1.53 E+01 2.19 E+00
4 3.12 E-01 4.22 E-01 1.23 E-01 1.67 E-01 7.69 E-01 2.68 E+00 1.22 E+00
8 1.58 E-01 1.18 E-02 8.35 E-02 5.10 E-02 4.30 E-03 7.06 E-02 6.44 E-01
16 4.02 E-02 1.05 E-05 4.44 E-04 1.28 E-02 2.99 E-05 2.94 E-05 3.32 E-01
32 1.01 E-02 3.35 E-08 1.95 E-05 3.21 E-03 1.88 E-06 6.23 E-07 1.68 E-01
64 2.52 E-03 5.23 E-10 1.22 E-06 8.03 E-04 1.18 E-07 3.91 E-08 8.48 E-02
128 6.31 E-04 8.17 E-12 7.60 E-08 2.01 E-04 7.35 E-09 2.45 E-09 4.26 E-02
256 1.58 E-04 1.23 E-13 4.75 E-09 5.02 E-05 4.60 E-10 1.53 E-10 2.13 E-02
512 3.94 E-05 0.00 E+00 2.97 E-10 1.25 E-05 2.87 E-11 9.58 E-12 1.07 E-02
1024 9.86 E-06 5.33 E-15 1.86 E-11 3.14 E-06 1.78 E-12 6.32 E-13 5.34 E-03
2048 2.46 E-06 1.07 E-14 1.18 E-12 7.84 E-07 1.10 E-13 4.44 E-14 2.67 E-03
4096 6.16 E-07 5.33 E-15 9.24 E-14 1.96 E-07 3.38 E-14 1.78 E-15 1.34 E-03
Tabelle 6.3: Absoluter Fehler bei der Anwendung der verschiedenen Quadraturverfahren auf
das Integral aus Beispiel 6.3 in Abhängigkeit von der Anzahl n der verwendeten Stützstellen.

Verfahren von Atkinson Substitutionen wp Gauß-Trapez
n q=2 q=3 q=4 p=2 p=3 p=4
4 4.16 3.73 5.50 3.06 3.44 2.52 0.85
8 0.99 5.16 0.56 1.72 7.48 5.25 0.92
16 1.97 10.13 7.55 1.99 7.17 11.23 0.96
32 2.00 8.30 4.51 2.00 3.99 5.56 0.98
64 2.00 6.00 4.00 2.00 4.00 3.99 0.99
128 2.00 6.00 4.00 2.00 4.00 4.00 0.99
256 2.00 6.06 4.00 2.00 4.00 4.00 1.00
512 2.00 — 4.00 2.00 4.00 4.00 1.00
1024 2.00 — 4.00 2.00 4.01 3.92 1.00
2048 2.00 — 3.98 2.00 4.01 3.83 1.00
4096 2.00 – 3.67 2.00 1.71 4.64 1.00
Tabelle 6.4: Ungefähre Konvergenzordnung bei Anwendung der verschiedenen
Quadraturverfahren auf das Integral aus Beispiel 6.3 bei Verdopplung der Stützstellenzahl
von n
2 auf n Stützstellen. Beim Verfahren von Atkinson mit q = 3 war
bei 256 Stützstellen bereits die interne Genauigkeit von Matlab erreicht und daher
keine Konvergenzanalyse für mehr als 256 Stützstellen möglich.
In Tabelle 6.6 geben wir schließlich die Zeit in Sekunden an, die die einzelnen
Verfahren benötigen, um das Integral aus Beispiel 6.3 bis auf einen vorgegebenen
Fehler 10 −k , k = 1, . . . , 6, genau zu berechnen. Wir haben dazu für jedes
Verfahren die benötigte Zeit mit dem Befehl cputime gemessen und den Mittelwert
aus jeweils 250 Einzelmessungen gebildet. Außer dem X-Server, KDE
und Matlab liefen während der Messung nur die üblichen Linux-Prozesse und
keine anderen Programme, die die Messung hätten verfälschen können. Die
Ergebnisse entsprechen denen aus Tabelle 6.5.
Verfahren von Atkinson Substitutionen wp Gauß-Trapez
Tol q=2 q=3 q=4 p=2 p=3 p=4
10 −1 11 6 7 6 6 8 55
10 −2 33 6 11 19 8 11 547
10 −3 102 11 12 58 9 13 —
10 −4 322 13 12 182 11 15 —
10 −5 1017 13 38 574 22 17 —
10 −6 3215 18 68 1814 38 17 —
Tabelle 6.5: Anzahl der benötigten Stützstellen bei den verschiedenen Quadraturverfahren,
um das Integral aus Beispiel 6.3 bis auf eine vorgegebene Toleranz Tol
genau zu berechnen. Mit der Gauß-Trapez-Produktregel waren schon für eine Toleranz
von 10 −3 weit über 4000 Stützstellen nötig, so daß wir hier nur die Werte für
eine Toleranz von 10 −1 bzw. 10 −2 angeben können.
59

60 Kapitel 6. Numerische Beispiele
Verfahren von Atkinson Substitutionen wp Gauß-Trapez
Tol q=2 q=3 q=4 p=2 p=3 p=4 Zeit 1 Zeit 2
10 −1 1.66 E-03 1.53 E-03 1.51 E-03 1.47 E-03 1.47 E-03 1.49 E-03 4.31 E-03 2.27 E-03
10 −2 2.17 E-03 1.55 E-03 1.56 E-03 1.60 E-03 1.49 E-03 1.50 E-03 1.71 E+00 3.56 E-01
10 −3 1.11 E-02 1.65 E-03 1.56 E-03 3.25 E-03 1.55 E-03 1.52 E-03 — —
10 −4 1.01 E-01 1.67 E-03 1.57 E-03 3.32 E-02 1.59 E-03 1.55 E-03 — —
10 −5 1.10 E+00 1.69 E-03 2.32 E-03 3.18 E-01 1.78 E-03 1.61 E-03 — —
10 −6 1.56 E+01 1.80 E-03 4.19 E-03 4.31 E+00 2.32 E-03 1.65 E-03 — —
Tabelle 6.6: Benötigte Zeit in Sekunden bei den verschiedenen Quadraturverfahren, um das Integral aus
Beispiel 6.3 bis auf eine vorgegebene Toleranz Tol genau zu berechnen. Mit der Gauß-Trapez-Produktregel
waren schon für eine Toleranz von 10 −3 weit über 4000 Stützstellen nötig, so daß wir hier nur die Werte
für eine Toleranz von 10 −1 bzw. 10 −2 angeben können. Zeit 1 ist dabei die Zeit inklusive Berechnung der
Eigenwerte und -vektoren der Matrix J aus (5.2), Zeit 2 die Zeit ohne diese Berechnung.

Kapitel 7
Ergebnis
Wir betrachten zunächst das Verfahren von Atkinson für ein Integral der Form
f(Q)
|P − Q| dS(Q), P ∈ S2 , (7.1)
mit einer auf S 2 hinreichend glatten Funktion f.
S 2
Nach Satz 4.12 entspricht das Verfahren der sigmoidalen Transformationen
mit der Transformation
w(θ) = arccos
cos θ
√ cos 2 θ + sin 2q θ
dem Verfahren von Atkinson. Nach Satz 4.11 erfüllen die Ableitungen von w
die Bedingungen
w (j) (0) = w (j) (π) = 0, j = 1, . . . , q − 1,
w (q) (0) = 0 und w (q) (π) = 0.
Sei q ∈ N fest gewählt und damit die Transformation L aus (3.1) sowie die
Transformation w festgelegt. Mit
q falls q gerade
2s =
q + 1 falls q ungerade
erhalten wir aus Satz 4.19 für eine (2s)-mal stetig differenzierbare Funktion
für das Verfahren von Atkinson die Fehlerabschätzung
1
En(f) = O
n2s
.
Dieses Ergebnis stimmt mit dem Ergebnis von Atkinson aus Satz 3.1 überein.

62 Kapitel 7. Ergebnis
Unsere numerischen Resultate aus Kapitel 6 bestätigen die theoretischen Überlegungen
der Kapitel 3 und 4. Die Ergebnisse aus Beispiel 6.3 zeigen eindrucksvoll,
wie sehr das Verfahren der sigmoidalen Transformationen und das Verfahren
von Atkinson bei singulärem Integranden der Gauß-Trapez-Produktregel
überlegen sind und wie stark diese Verfahren durch geschickte Wahl des Parameters
p bzw. q noch optimiert werden können (siehe vor allem Tabelle 6.5).
Betrachten wir ein Integral der Form
ρ(Q) dS(Q)
S 2
mit einer Funktion ρ, die eine Singularität auf S 2 besitzt, die nicht die Form
(7.1) hat, so macht Atkinson [1] keine Aussage über den Fehler, der bei der
Approximation dieses Integrals mit dem von ihm vorgeschlagenen Verfahren
auftritt. Wir haben jedoch in Satz 4.16 eine Abschätzung für den Fehler in
einem allgemeineren Fall als (7.1) herleiten können. Diese Abschätzung gilt
nach Satz 4.12 insbesondere für das Verfahren von Atkinson.
Außerdem gelten unsere Abschätzungen aus den Sätzen 4.16 und 4.19 für
beliebige sigmoidale Transformationen, deren Ableitungen (4.7) und (4.8) erfüllen,
und nicht nur für die spezielle Transformation, die zum Verfahren von
Atkinson führt.
Wir haben also die Fehlerabschätzungen von Atkinson [1] mit der Theorie
des Verfahrens der sigmoidalen Transformationen bestätigen und (mit einer
allerdings nicht mehr ganz so scharfen Fehlerabschätzung) verallgemeinern
können.

Anhang A
Implementierung
Wir stellen nun die Implementierungen des Verfahrens der sigmoidalen Transformationen
und der Gauß-Legendre-Produktregel vor, die wir für die Auswertung
der Beispiele in Kapitel 6 verwendet haben.
In Listing A.1 geben wir die Implementierung des Verfahrens der sigmoidalen
Transformationen an, das wir in Abschnitt 4.3 vorgestellt haben. Die Funktion
wurde (auf Kosten des benötigten Speicherplatzes) auf Geschwindigkeit
optimiert. Ab einigen tausend Stützstellen kann es daher passieren, daß der
Hauptspeicher für die Berechnung nicht ausreicht; in diesem Fall sollte man
auf eine direkte Implementierung der Quadraturformel (4.28) mit Hilfe zweier
ineinander geschachtelter for-Schleifen zurückgreifen. Da es sich in dem Fall
um eine direkte Umsetzung der Gleichung (4.28) handelt, verzichten wir an
dieser Stelle auf ihre Darstellung.
Listing A.2 zeigt die Implementierung der Gauß-Trapez-Produktregel, die wir
in Kapitel 5 eingeführt haben. Auch diese Funktion wurde (auf Kosten des
benötigten Speicherplatzes) in Hinblick auf die Ausführungsgeschwindigkeit
optimiert. Daher kann es bei dieser Funktion ebenfalls vorkommen, daß bei
einer großen Anzahl von Stützstellen der Hauptspeicher nicht ausreicht und
eine direkte Implementierung der Quadraturformel (5.1) mittels zweier ineinander
geschachtelter for-Schleifen besser geeignet ist.
In Listing A.3 schließlich geben wir die Implementierung der Funktion zur
Berechnung des Vektors u an, aus dem sich mit H = I−2 uuT die Householder-
uT u
Matrix H berechnet, die den Punkt x auf [0, 0, 1] T oder [0, 0, −1] T abbildet.
Diese Funktion wird von beiden Verfahren benötigt. Wir haben sie für den
Fall x ∈ S2 optimiert.
In Listing A.4 demonstrieren wir an einem einfachen Beispiel die Anwendung
der Funktionen Sigmoidal und Gauss_Trapez.

64 Anhang A. Implementierung
✬ ✩
function [ summe , cpu ] = Sigmoidal (n , f , P,W,w) ;
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% %
% Berechnet numerisch das I n t e g r a l der Funktions f über %
% d i e O berfläche der E i n h e i t s k u g e l im Rˆ3 mit H i l f e des %
% Verfahrens der sigmoidalen Transformationen . %
% %
% PARAMETER: %
% n : Anzahl der S t ü t z s t e l l e n %
% f : d i e zu i n t e g r i e r e n d e Funktion %
% P: der Punkt , in dem f s i n g u l ä r wird %
% W: d i e zu verwendende s i g m o i d a l e Transformation %
% w: A b l e i t u n g der sigmoidalen Transformation W %
% %
% RÜCKGABEWERTE: %
% summe : d i e b e r e c h n e t e Näherung %
% cpu : d i e f ü r d i e Rechnung b e n ö t i g t e CPU−Z e i t %
% %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
t = cputime ;
phi = linspace ( pi /n , 2∗ pi , 2∗n ) ;
theta = linspace ( pi /n , (n−1)∗ pi /n , n−1);
W theta = W( theta ) ;
[ COS PHI , x3 ] = meshgrid ( cos ( phi ) , cos ( W theta ) ) ;
[ SIN PHI ,SIN W THETA] = meshgrid ( sin ( phi ) , sin ( W theta ) ) ;
x1 = COS PHI . ∗ SIN W THETA;
clear COS PHI phi ;
x2 = SIN PHI . ∗ SIN W THETA;
clear SIN PHI SIN W THETA;
u = Householder (P ) ;
f a k t o r = 2/(u ’ ∗ u ) ∗ ( u (1)∗ x1 + u (2)∗ x2 + u (3)∗ x3 ) ;
x1 = x1 − u (1)∗ f a k t o r ;
x2 = x2 − u (2)∗ f a k t o r ;
x3 = x3 − u (3)∗ f a k t o r ;
summe = ( pi /n)ˆ2 ∗ ( (w( theta ) . ∗ sin ( W theta ) ) . . .
∗ sum( f ( x1 , x2 , x3 ) , 2 ) ) ;
cpu = cputime − t ;
✫ ✪
Listing A.1: Funktion Sigmoidal zur Approximation eines Integrals über S 2 mit
Hilfe des Verfahrens der sigmoidalen Transformationen.

✬ ✩
function [ summe , cpu1 , cpu2 ] = Gauss Trapez (n , f ) ;
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% %
% Berechnet numerisch das I n t e g r a l der Funktions f über %
% d i e O berfläche der E i n h e i t s k u g e l im Rˆ3 mit H i l f e der %
% Gauß−Trapez−P r o d u k t r e g e l . %
% %
% PARAMETER: %
% n : Anzahl der S t ü t z s t e l l e n %
% f : d i e zu i n t e g r i e r e n d e Funktion %
% %
% RÜCKGABEWERTE: %
% summe : d i e b e r e c h n e t e Näherung %
% cpu1 : d i e f ü r d i e Rechnung b e n ö t i g t e CPU−Z e i t %
% cpu2 : d i e f ü r d i e Rechnung b e n ö t i g t e CPU−Z e i t %
% OHNE d i e Z e i t f ü r d i e Berechnung der %
% Eigenwerte der Matrix J %
% %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
t1 = cputime ;
k = 1 : n−1;
k = k . / sqrt (4∗ k .ˆ2 −1);
[EV,EW] = eig ( diag ( k , 1 ) + diag ( k , −1));
t2 = cputime ;
phi = linspace ( 0 , (2∗n−1)∗ pi /n , 2∗n ) ;
[ C P , C T ] = meshgrid ( cos ( phi ) , diag (EW) ) ;
[ S P , S T ] = meshgrid ( sin ( phi ) , sin ( acos ( diag (EW) ) ) ) ;
clear EW phi k ;
summe = 2 ∗ pi /n ∗ ( EV( 1 , : ) . ˆ 2 ∗ diag ( 1 . / diag (EV’ ∗EV ) ) . . .
∗ sum( f (C P . ∗ S T , S P . ∗ S T , C T ) , 2 ) ) ;
cpu1 = cputime − t1 ;
cpu2 = cputime − t2 ;
✫ ✪
Listing A.2: Funktion Gauss_Trapez zur Approximation eines Integrals über S 2
mit Hilfe der Gauß-Trapez-Produktregel.
65

66 Anhang A. Implementierung
✬ ✩
function u = Householder ( x )
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% %
% Berechnet f ü r einen Punkt x , der auf der O berfläche %
% der E i n h e i t s k u g e l im Rˆ3 l i e g t , einen Vektor u , so %
% daß d i e Matrix I − 2∗u∗uˆT / uˆT∗u eine Householder− %
% Matrix i s t , d i e x auf ein V i e l f a c h e s des Vektors %
% [ 0 , 0 , 1 ] ˆT a b b i l d e t . Die Gleichung f ü r u l a u t e t %
% %
% u = x + s i g n ( x ( 3 ) ) ∗ norm( x , 2 ) ∗ [ 0 ; 0 ; 1 ] . %
% %
% Wir nutzen aus , daß auf der K u g e l o b e r f l ä c h e %
% %
% norm( x , 2 ) = 1 %
% %
% g i l t . %
% %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
i f ( x ( 3 ) < 0)
u = x − [ 0 ; 0 ; 1 ] ;
else
u = x + [ 0 ; 0 ; 1 ] ;
end
✫ ✪
Listing A.3: Funktion Householder zur Berechnung einer Householder-Matrix,
wird von den Funktionen Sigmoidal und Gauss_Trapez benötigt.

✬ ✩
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% %
% Demonstration , wie d i e Funktionen Sigmoidal %
% und Gauss Trapez angewendet werden . %
% %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
clc ; clear a l l ; close a l l ;
% D e f i n i t i o n der Anzahl der S t ü t z s t e l l e n
n = 100;
% D e f i n i t i o n der Transformation W p und i h r e r
% A b l e i t u n g w p f ü r den Parameter p=2:
W 2 = i n l i n e ( ’ ( pi ∗x . ˆ 2 ) . / ( x .ˆ2+( pi−x ) . ˆ 2 ) ’ , ’ x ’ ) ;
w 2 = i n l i n e ( ’ (2∗ pi ˆ2∗x . ∗ ( pi−x ) ) . / ( x .ˆ2+( pi−x ) . ˆ 2 ) . ˆ 2 ’ , ’ x ’ ) ;
% D e f i n i t i o n der zu i n t e g r i e r e n d e n Funktion f .
% f muss eine Abbildung von Rˆ3 nach R sein , der
% d i e d r e i Komponenten i h r e s Arguments a l s g e t r e n n t e
% Parameter übergeben werden .
f = i n l i n e ( ’ 1 . / s q r t ( x1 .ˆ2+ x2.ˆ2+(1−x3 ) . ˆ 2 ) ’ , ’ x1 ’ , ’ x2 ’ , ’ x3 ’ ) ;
% D e f i n i t i o n des Punktes , in dem f s i n g u l ä r wird . I s t
% f n i c h t s i n g u l ä r , so i s t P = [ 0 ; 0 ; 1 ] eine gute Wahl .
P = [ 0 ; 0 ; 1 ] ;
% Aufruf der Funktionen
[ ergebnis , cpu ] = Sigmoidal (n , f , P, W 2, w 2 )
[ ergebnis2 , cpu1 , cpu2 ] = Gauss Trapez (n , f )
✫ ✪
Listing A.4: Demonstration der Anwendung der Funktionen Sigmoidal und
Gauss_Trapez.
67

68 Anhang A. Implementierung

Literaturverzeichnis
[1] Kendall Atkinson. Quadrature of singular integrands over surfaces. Reports
on Computational Mathematics #156, Dept of Mathematics, University
of Iowa, 2003.
[2] David Colton, Rainer Kress. Inverse Acoustic and Electromagnetic Scattering
Theory, Second Edition. Springer-Verlag, New York, 1998.
[3] Philip J. Davis, Philip Rabinowitz. Methods of Numerical Integration,
Second Edition. Academic Press, London, 1984.
[4] David Elliott. The Euler-Maclaurin formula revisited. J. Austral. Math.
Soc. B 40, E27-E76, 1998.
[5] David Elliott. Sigmoidal transformations and the trapezoidal rule. J. Austral.
Math. Soc. B 40, E77-E137, 1998.
[6] Otto Forster. Analysis 3, 3. Auflage. Vieweg-Studium, Braunschweig,
1984.
[7] Harro Heuser. Lehrbuch der Analysis, Teil 2. Teubner, Stuttgart, 1981.
[8] Rainer Kress. Numerical Analysis. Springer-Verlag, New York, 1998.
[9] Josef Stoer. Numerische Mathematik 1. Springer-Verlag, Berlin, 1989.
[10] Andreas Vogt. Analytische und numerische Untersuchung von direkten
und inversen Randwertproblemen in Gebieten mit Ecken mittels Integralgleichungsmethoden.
Dissertation, Göttingen, 2001.
[11] Wolfgang Walter. Analysis II. Springer-Verlag, Berlin, 1990.
[12] Jochen Werner. Numerische Mathematik 1. Vieweg-Studium, Braunschweig,
1992.
[13] Lutz Wienert. Die numerische Approximation von Randintegraloperatoren
für die Helmholtzgleichung im R 3 . Dissertation, Göttingen, 1990.