Bachelorarbeit Sigmoidale Transformationen und Quadratur über ...

4.3. Anwendung auf ein Integral über S 2 45
Beweis. Es sei ohne Beschränkung der Allgemeinheit P = (0, 0, 1) T (wäre das
nicht so, könnten wir – wie in Kapitel 3 bereits besprochen – eine Householder-
Matrix H bestimmen, so daß HP = (0, 0, 1) T gilt). Dann ist
I(f) =
=
π 2π
0 0
π 2π
0
0
F (φ, θ) sin θ
cos 2 φ sin 2 θ + sin 2 φ sin 2 θ + (1 − cos θ) 2
F (φ, θ) sin θ
√ 2 − 2 cos θ dφ dθ.
Mit der Formel von Moivre für Winkelvielfache
und der Halbwinkelformel
sin x
2 =
erhalten wir für x ∈ [0, π]
und damit
I(f) =
=
sin 2x = 2 sin x cos x
1
(1 − cos x), x ∈ [0, π],
2
sin x = 2 sin x
2
π 2π
0 0
π 2π
0
0
cos x
2
= √ 2 − 2 cos x cos x
2
F (φ, θ) cos θ
2
dφ dθ
F (φ, w(θ)) cos w(θ)
2 w′ (θ) dφ dθ.
dφ dθ
(4.43)
Analog zum Beweis von Satz 4.16 erhalten wir für die Approximation dieses
Integrals mit der Quadraturformel ˜ Qh aus (4.42) mit
die Abschätzung
|En(f)| ≤
H(φ) :=
π
0
F (φ, θ) cos θ
2
k=1
dθ, φ ∈ [0, 2π],
2π
H(φ) dφ −
0
π
2n
H(φj)
n
j=1
+ π
2n π
F (φj, w(θ)) cos
n
j=1 0
w(θ)
2 w′ (θ) dθ
− π n−1
F (φj, w(θk)) cos
n
w(θk)
2 w′
(θk)
.