Bachelorarbeit Sigmoidale Transformationen und Quadratur über ...

20 Kapitel 3. Das Verfahren von Atkinson
Wird das Verfahren von Atkinson auf ein Integral der Form
Γ
f(Q)
|P − Q|
dS(Q), P ∈ Γ,
mit einer glatten Funktion f angewendet, so gilt die folgende Fehlerabschätzung:
Satz 3.1. Sei Γ die hinreichend glatte Oberfläche eines einfach zusammenhängenden
Gebietes Ω ⊂ R 3 und M : S 2 −→ Γ eine hinreichend glatte Bijektion
zwischen Γ und der Oberfläche S 2 der Einheitskugel im R 3 . Es existiere
eine offene ε-Umgebung S 2 ε ⊂ R 3 von S 2 und eine offene ε-Umgebung
Γε = M(S 2 ε ) ⊂ R 3 von Γ, so daß M : S 2 ε −→ Γε als dreidimensionale Abbildung
eine hinreichend glatte Bijektion mit nichtverschwindender Funktionaldeterminante
ist.
Sei P ∈ Γ, q ∈ N,
s :=
q falls q gerade
q + 1 falls q ungerade,
f ∈ C s−1 (Γ) und f (s) ∈ L(Γ), und sei Ah,q definiert wie in (3.6). Dann gilt
für den Approximationsfehler bei Anwendung des Verfahrens von Atkinson auf
das Integral
mit
die Abschätzung
I(f) :=
=
Beweis. Siehe Atkinson [1].
Γ
S 2
g(Q) :=
f(Q)
|P − Q| dS(Q)
f(M(Q)) JM(Q)
dS(Q)
|P − M(Q)|
f(M(Q)) JM(Q)
|P − M(Q)|
I(f) − Ah,q(g) = O (h s ) .
Wird das Verfahren von Atkinson auf ein Integral mit nichtsingulärem Integranden
angewendet, so läßt sich eine schärfere Fehlerabschätzung beweisen: