Bachelorarbeit Sigmoidale Transformationen und Quadratur über ...

52 Kapitel 6. Numerische Beispiele
Beweis. Nach (6.1) ist wp als Produkt von unendlich oft stetig differenzierbaren
Funktionen selbst wieder unendlich oft stetig differenzierbar in [0, π],
denn beim weiteren Differenzieren mit Hilfe der Quotientenregel tauchen nur
Potenzen des Nenners von (6.1) im Nenner auf – diese Potenzen sind in [0, π]
stets von 0 verschiedenen. Es ist wp(0) = 0 und
π − wp(π − t) = π −
π (π − t)p
t p + (π − t) p
= π tp + π (π − t) p − π (π − t) p
tp + (π − t) p
π t
=
p
tp + (π − t) p
= wp(t).
Somit erfüllen die Transformationen wp die Symmetrieeigenschaft (4.2). Die
Ableitungen w ′ p berechnen wir zu
w ′ p(t) = π p tp−1 [t p + (π − t) p ] − t p [p t p−1 − p (π − t) p−1 ]
[t p + (π − t) p ] 2
= p π tp−1 (π − t) p + t p (π − t) p−1
[t p + (π − t) p ] 2
= p π 2 tp−1 (π − t) p−1
[tp + (π − t) p 2 . (6.2)
]
Aus (6.2) erkennen wir, daß w ′ p(0) = w ′ p(π) = 0 gilt. w ′ p ist in (0, π) positiv
und daher streng monoton steigend in [0, π]. Somit sind die Funktionen wp in
der Tat sigmoidale Transformationen.
Wir zeigen nun den zweiten Teil der Behauptung. Wir wenden auf (6.2) zwei
Mal die Leibniz’sche Formel an und erhalten
w (1+k) (t) = p π 2
k
k
1
i [t i=0
p + (π − t) p ] 2
(k−i)
i
i tp−1 j
(j) p−1
(π − t)
(i−j)
.
Induktiv berechnen wir
t p−1 (j) =
j=0
j
p − l t p−1−j
l=1
(π − t) p−1 (i−j) = (−1) i−j
p − l (π − t) p−1−i+j
i−j
l=1