Bachelorarbeit Sigmoidale Transformationen und Quadratur über ...

Kapitel 6
Numerische Beispiele
Nachdem wir in den vorherigen Kapiteln das Verfahren von Atkinson und
das Verfahren der sigmoidalen Transformationen ausführlich besprochen und
auch die Gauß-Trapez-Produktregel eingeführt haben, vergleichen wir diese
Verfahren nun an zwei ausgewählten numerischen Beispielen miteinander. Dabei
nutzen wir das Verfahren von Atkinson als Sonderfall des Verfahrens der
sigmoidalen Transformationen mit der in Satz 4.11 vorgestellten Substitution
w und den Parametern q = 2, 3, 4.
Weitere sigmoidale Transformationen, die wir verwenden werden, sind
wp : [0, π] −→ [0, π], wp(t) =
π tp tp , (6.1)
+ (π − t) p
ähnlich den von Kress [8] vorgestellten Substitutionen wp : [0, 2π] −→ [0, 1].
Als Parameter werden wir auch hier p = 2, 3, 4 wählen.
Alle Berechnungen wurden auf Rechnern des Instituts für Numerische und
Angewandte Mathematik mit Intel Pentium IV Prozessoren und dem Betriebssystem
SuSE Linux 8.2 durchgeführt. Zum Einsatz kam das Programm
Matlab in der Version 6.1.0.450 (R12.1), die Gleitkommagenauigkeit betrug
dabei ungefähr 2 · 10 −16 . Die Implementierungen des Verfahrens der sigmoidalen
Transformationen und der Gauß-Trapez-Produktregel, die wir verwendet
haben, sind in Anhang A angegeben.
Satz 6.1. Die Funktionen wp aus (6.1) sind sigmoidale Transformationen.
Für ihre Ableitungen gilt
sowie
w (k)
p (0) = w (k)
p (π) = 0, k = 0, . . . , p − 1,
w (p)
p (0) = 0 und w (p)
p (π) = 0.