Bachelorarbeit Sigmoidale Transformationen und Quadratur über ...

6 Kapitel 1. Einleitung
Wenn wir im Laufe dieser Arbeit von Singularitäten sprechen, so sind stets
integrierbare Singularitäten gemeint. Unter einer nichtsingulären Funktion
werden wir eine Funktion verstehen, die keine Singularitäten besitzt.
Aufbau der Arbeit
Die Arbeit ist wie folgt gegliedert:
Zunächst werden wir in Kapitel 2 einige Grundlagen über Quadraturformeln
zur numerischen Berechnung von Integralen zusammenstellen.
In Kapitel 3 stellen wir das von Atkinson [1] vorgeschlagene Verfahren vor,
das nach Anwendung einer speziellen Transformation L : S 2 −→ S 2 das transformierte
Integral mit Hilfe der zusammengesetzten Trapezregel bezüglich
zweier Variablen approximiert. Die Transformation L ist dabei so gewählt,
daß sie den Integranden an den beiden Polen der Einheitskugel glättet. Durch
eine orthogonale Householder-Transformation wird ein Pol der Einheitskugel
auf die Singularität der zu integrierenden Funktion abgebildet.
Kapitel 4 beschreibt das Verfahren der sigmoidalen Transformationen, dessen
Ziel es ist, im Integranden eine geeignete Substitution durchzuführen, so daß
der entstehende Integrand bis zu einem gewissen Grad periodisch ist. Wir
beziehen uns dabei auf die Darstellung von Kress [8]. Außerdem zeigen wir in
Kapitel 4, daß es sich beim Verfahren von Atkinson um einen Spezialfall des
Verfahrens der sigmoidalen Transformationen handelt.
In Kapitel 5 werden wir kurz die klassische Gauß-Trapez-Produktregel vorstellen,
die wir in Kapitel 6 numerisch mit dem Verfahren von Atkinson
und dem Verfahren der sigmoidalen Transformationen vergleichen werden. Da
wir die Gauß-Trapez-Produktregel lediglich zu Vergleichszwecken heranziehen,
werden wir sie nicht ausführlich diskutieren, sondern verweisen für eine
vertiefende Darstellung auf Colton und Kress [2].
Anschließend werden wir in Kapitel 6 das Verfahren von Atkinson, das Verfahren
der sigmoidalen Transformationen und die Gauß-Trapez-Produktregel
an ausgewählten numerischen Beispielen miteinander vergleichen.
In Kapitel 7 schließlich werden wir die Ergebnisse dieser Arbeit, insbesondere
der Kapitel 4 und 6, diskutieren.
Die Implementierung der Funktionen, die wir zur Auswertung in Kapitel 6
verwenden, geben wir in Anhang A an.