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58 Kapitel 6. Numerische Beispiele Verfahren von Atkinson Substitutionen wp Gauß-Trapez n q=2 q=3 q=4 p=2 p=3 p=4 2 5.59 E+00 5.59 E+00 5.59 E+00 1.39 E+00 8.37 E+00 1.53 E+01 2.19 E+00 4 3.12 E-01 4.22 E-01 1.23 E-01 1.67 E-01 7.69 E-01 2.68 E+00 1.22 E+00 8 1.58 E-01 1.18 E-02 8.35 E-02 5.10 E-02 4.30 E-03 7.06 E-02 6.44 E-01 16 4.02 E-02 1.05 E-05 4.44 E-04 1.28 E-02 2.99 E-05 2.94 E-05 3.32 E-01 32 1.01 E-02 3.35 E-08 1.95 E-05 3.21 E-03 1.88 E-06 6.23 E-07 1.68 E-01 64 2.52 E-03 5.23 E-10 1.22 E-06 8.03 E-04 1.18 E-07 3.91 E-08 8.48 E-02 128 6.31 E-04 8.17 E-12 7.60 E-08 2.01 E-04 7.35 E-09 2.45 E-09 4.26 E-02 256 1.58 E-04 1.23 E-13 4.75 E-09 5.02 E-05 4.60 E-10 1.53 E-10 2.13 E-02 512 3.94 E-05 0.00 E+00 2.97 E-10 1.25 E-05 2.87 E-11 9.58 E-12 1.07 E-02 1024 9.86 E-06 5.33 E-15 1.86 E-11 3.14 E-06 1.78 E-12 6.32 E-13 5.34 E-03 2048 2.46 E-06 1.07 E-14 1.18 E-12 7.84 E-07 1.10 E-13 4.44 E-14 2.67 E-03 4096 6.16 E-07 5.33 E-15 9.24 E-14 1.96 E-07 3.38 E-14 1.78 E-15 1.34 E-03 Tabelle 6.3: Absoluter Fehler bei der Anwendung der verschiedenen Quadraturverfahren auf das Integral aus Beispiel 6.3 in Abhängigkeit von der Anzahl n der verwendeten Stützstellen.
Verfahren von Atkinson Substitutionen wp Gauß-Trapez n q=2 q=3 q=4 p=2 p=3 p=4 4 4.16 3.73 5.50 3.06 3.44 2.52 0.85 8 0.99 5.16 0.56 1.72 7.48 5.25 0.92 16 1.97 10.13 7.55 1.99 7.17 11.23 0.96 32 2.00 8.30 4.51 2.00 3.99 5.56 0.98 64 2.00 6.00 4.00 2.00 4.00 3.99 0.99 128 2.00 6.00 4.00 2.00 4.00 4.00 0.99 256 2.00 6.06 4.00 2.00 4.00 4.00 1.00 512 2.00 — 4.00 2.00 4.00 4.00 1.00 1024 2.00 — 4.00 2.00 4.01 3.92 1.00 2048 2.00 — 3.98 2.00 4.01 3.83 1.00 4096 2.00 – 3.67 2.00 1.71 4.64 1.00 Tabelle 6.4: Ungefähre Konvergenzordnung bei Anwendung der verschiedenen Quadraturverfahren auf das Integral aus Beispiel 6.3 bei Verdopplung der Stützstellenzahl von n 2 auf n Stützstellen. Beim Verfahren von Atkinson mit q = 3 war bei 256 Stützstellen bereits die interne Genauigkeit von Matlab erreicht und daher keine Konvergenzanalyse für mehr als 256 Stützstellen möglich. In Tabelle 6.6 geben wir schließlich die Zeit in Sekunden an, die die einzelnen Verfahren benötigen, um das Integral aus Beispiel 6.3 bis auf einen vorgegebenen Fehler 10 −k , k = 1, . . . , 6, genau zu berechnen. Wir haben dazu für jedes Verfahren die benötigte Zeit mit dem Befehl cputime gemessen und den Mittelwert aus jeweils 250 Einzelmessungen gebildet. Außer dem X-Server, KDE und Matlab liefen während der Messung nur die üblichen Linux-Prozesse und keine anderen Programme, die die Messung hätten verfälschen können. Die Ergebnisse entsprechen denen aus Tabelle 6.5. Verfahren von Atkinson Substitutionen wp Gauß-Trapez Tol q=2 q=3 q=4 p=2 p=3 p=4 10 −1 11 6 7 6 6 8 55 10 −2 33 6 11 19 8 11 547 10 −3 102 11 12 58 9 13 — 10 −4 322 13 12 182 11 15 — 10 −5 1017 13 38 574 22 17 — 10 −6 3215 18 68 1814 38 17 — Tabelle 6.5: Anzahl der benötigten Stützstellen bei den verschiedenen Quadraturverfahren, um das Integral aus Beispiel 6.3 bis auf eine vorgegebene Toleranz Tol genau zu berechnen. Mit der Gauß-Trapez-Produktregel waren schon für eine Toleranz von 10 −3 weit über 4000 Stützstellen nötig, so daß wir hier nur die Werte für eine Toleranz von 10 −1 bzw. 10 −2 angeben können. 59
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Georg-August-Universität Göttinge
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Ich erkläre hiermit, daß ich die
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Inhaltsverzeichnis 1 Einleitung 5 2
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6 Kapitel 1. Einleitung Wenn wir im
Seite 12 und 13: 8 Kapitel 1. Einleitung
Seite 14 und 15: 10 Kapitel 2. Grundlagen Definition
Seite 16 und 17: 12 Kapitel 2. Grundlagen und damit
Seite 18 und 19: 14 Kapitel 3. Das Verfahren von Atk
Seite 28 und 29: 24 Kapitel 4. Das Verfahren der sig
Seite 52 und 53: 48 Kapitel 5. Die Gauß-Trapez-Prod
Seite 54 und 55: 50 Kapitel 5. Die Gauß-Trapez-Prod
Seite 56 und 57: 52 Kapitel 6. Numerische Beispiele
Seite 66 und 67: 62 Kapitel 7. Ergebnis Unsere numer
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