Bachelorarbeit Sigmoidale Transformationen und Quadratur über ...

28 Kapitel 4. Das Verfahren der sigmoidalen Transformationen
erfüllen. Wir merken an, daß für r = 0, . . . , 2s−1 aufgrund der Voraussetzung
p ≥ αp > 2s
gilt.
z r k = p − 1 + kp − r
> (2s) − 1 + kp − (2s − 1)
= kp
≥ 0
Wir zeigen die Behauptung zuerst für die beiden Fälle k = 0 und k = r für
r ∈ {0, 1, . . . , 2s}, und anschließend für die restlichen Fälle durch vollständige
Induktion nach r, wobei wir in jedem Schritt der Induktion die Behauptung
nur noch für k = 1, . . . , r − 1 zeigen müssen.
Zunächst benötigen wir dafür eine Aussage über das Verhalten der Funktion
w und ihrer Ableitungen. Mit Hilfe der Lagrange’schen Darstellung des Restglieds
der Taylor’schen Formel erhalten wir durch Entwicklung von w (j) an
der Stelle 0 für j = 0, . . . , p
Wir definieren
w (j) (t) =
p−j−1
k=0
w (j+k) (0)
k!
t k + w(p) (ξ)
(p − j)! tp−j
(4.7)
= w (p) (ξ)
(p − j)! tp−j mit ξ ∈ [0, t].
Rj(t) := w(j) (t)
t p−j = w(p) (ξ)
(p − j)! .
Nach den Voraussetzungen an w ist Rj beschränkt in (0, π), und durch Grenzübergang
erhalten wir
lim Rj(t) = lim
t→0 ξ→0
w (p) (ξ)
(p − j)! = w(p) (0)
(p − j)! ,
also gilt wegen w (j) (t) = Rj(t) t p−j und der Beschränktheit von Rj auf [0, π)
w (j) (t) = O t p−j , t → 0.
Analog erhält man durch eine Taylorentwicklung von w (j) an der Stelle π
Somit gilt
w (j) (t) = O (π − t) p−j , t → π.
w (j) (t) = O [t(π − t)] p−j , t → 0, t → π. (4.18)