Bachelorarbeit Sigmoidale Transformationen und Quadratur über ...

38 Kapitel 4. Das Verfahren der sigmoidalen Transformationen
Beweis. Wegen sin(arccos(x)) = 1 − cos 2 (arccos(x)) = √ 1 − x 2 ist
Aus (4.30) und (4.35) folgt
sin w(θ) w ′ (θ) =
sin w(θ) =
=
=
1 −
sin2q θ
cos 2 θ
cos 2 θ + sin 2q θ
cos2 θ + sin2q θ
sinq θ
√ . (4.35)
cos2 2q θ + sin θ
sinq θ
√ ·
cos2 2q θ + sin θ sinq−1 θ sin2 θ + q cos2 θ
cos2 θ + sin2q θ
= sin2q−1 θ sin2 θ + q cos2 θ
3 . (4.36)
cos2 2q 2
θ + sin θ
Einsetzen von (4.35) und (4.36) in (4.26) liefert (3.2), das Bestimmen der
Householder-Matrix H und die anschließende Anwendung der Quadraturformeln
verläuft bei beiden Verfahren gleich.
Folgerung 4.13. Nach Satz 4.11 gelten die Abschätzungen der Sätze 4.7 und
4.9 mit p = q insbesondere für die Transformation aus Satz 4.11, die nach
Satz 4.12 zum Verfahren von Atkinson führt.
Wir haben bisher eine Fehlerabschätzung für die Approximation eines Integrals
über dem Intervall [0, π] mit dem Verfahren der sigmoidalen Transformationen
gewonnen und gezeigt, daß diese Abschätzung auf die spezielle sigmoidale
Transformation aus Satz 4.11 angewendet werden kann. Diese Abschätzung
wollen wir nutzen, um eine Aussage über den Fehler bei der Approximation
eines Integrals über die Kugeloberfläche S 2 mit Hilfe des Verfahrens der
sigmoidalen Transformationen zu machen.
Im Folgenden werden wir aus Gründen der Übersichtlichkeit für die Darstellung
der Funktion f in Kugelkoordinaten
⎛ ⎞
cos φ sin θ
f ⎝sin
φ sin θ⎠
=: F (φ, θ), 0 ≤ φ < 2π, 0 ≤ θ ≤ π (4.37)
cos θ
schreiben. Wir werden in den folgenden Beweisen mehrfach ausnutzen, daß
für eine sigmoidale Transformation
π
π
f(x) dx = f(w(t)) w ′ (t) dt
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