Bachelorarbeit Sigmoidale Transformationen und Quadratur über ...

46 Kapitel 4. Das Verfahren der sigmoidalen Transformationen
Da F als (2s)-mal stetig differenzierbar auf [0, 2π]×[0, π] vorausgesetzt wurde,
ist F (φ, θ) cos θ auch (2s)-mal stetig differenzierbar auf [0, 2π] × [0, π]. Nach
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dem Satz über Parameterintegrale ist damit für jedes θ ∈ [0, π] die Funktion
H ebenfalls (2s)-mal stetig differenzierbar auf [0, 2π]. F ist in der Darstellung
(4.37) 2π-periodisch in φ, diese Eigenschaft überträgt sich nach Definition auf
die Funktion H. Daher können wir den ersten Betrag mit Hilfe von Satz 2.4
abschätzen. Den zweiten Betrag schätzen wir mit Hilfe von Lemma 4.18 ab
und erhalten dadurch die Behauptung.
Bemerkung 4.20. Wird die Quadraturformel ˆ Qh aus (4.27) auf ein Integral
der Form (4.41) mit P = (0, 0, 1) T angewendet, so stimmt sie mit der
Quadraturformel ˜ Qh aus (4.42) überein. Insbesondere gilt die Fehlerabschätzung
aus Satz 4.19 damit auch für die Quadraturformel ˆ Qh und daher mit der
Transformation aus Satz 4.11 auch für das Verfahren von Atkinson.
Beweis. Wir definieren
g(Q) := f(Q)
|P − Q|
und erhalten in Polarkoordinaten die Darstellung
G(φ, θ) =
Wegen P = (0, 0, 1) T ist
Wir setzen ein und erhalten
F (φ, θ)
(P1 − cos φ sin θ) 2 + (P2 − sin φ sin θ) 2 .
+ (P3 − cos θ) 2
ˆQh(g) = h 2
n−1
G(φ, θ) =
2n
k=1 j=1
n−1 2n
= h 2
k=1 j=1
Mit (4.43) ergibt sich schließlich
ˆQh(g) = h 2
n−1
k=1 j=1
= ˜ Qh(f).
F (φ, θ)
√ 2 − 2 cos θ .
G(φj, w(θk)) sin w(θk) w ′ (θk)
F (φj, w(θk))
2 − 2 cos w(θk) sin w(θk) w ′ (θk).
2n
F (φj, w(θk)) cos w(θk)
2 w′ (θk)