Bachelorarbeit Sigmoidale Transformationen und Quadratur über ...

10 Kapitel 2. Grundlagen
Definition 2.1. Die Bernoulli-Polynome Bn sind rekursiv durch B0(x) := 1
und
B ′ n := Bn−1, n ∈ N,
mit der Normierung
definiert.
1
0
Bn(x) dx = 0, n ∈ N,
Mit ˜ Bn, n ≥ 2, bezeichnen wir die periodische Fortsetzung des n-ten Bernoulli-
Polynoms Bn mit Periode 1 und der Eigenschaft
Die rationalen Zahlen
heißen Bernoulli-Zahlen.
˜Bn(x) = Bn(x), x ∈ [0, 1]. (2.1)
bn := n! Bn(0), n ∈ N ∪ {0}, (2.2)
Lemma 2.2. Die periodischen Fortsetzungen der Bernoulli-Polynome besitzen
für m ∈ N die Fourierentwicklung
˜B2m(x) = 2 (−1) m−1
˜B2m+1(x) = 2 (−1) m
Beweis. Siehe Kress [8, Seite 208 f.].
∞
k=1
∞
k=1
cos 2πkx
(2πk) 2m
sin 2πkx
.
(2πk) 2m+1
Satz 2.3. Sei m ∈ N und f : [a, b] −→ R m-mal stetig differenzierbar. Sei
n ∈ N und h = b−a.
Dann gilt für die numerische Integration mit Hilfe der
n
zusammengesetzten Trapezregel Th die Euler-Maclaurin-Entwicklung
b
f(x) dx − Th(f) = (−h) m
b
x − a
˜Bm f
h
(m) (x) dx
a
−
⌊ m
2 ⌋
k=1
a
b2kh 2k
(2k)!
f (2k−1) (b) − f (2k−1) (a) , (2.3)
wobei
m
m
die größte ganze Zahl kleiner oder gleich 2
2 bezeichnet.
Beweis. Siehe Kress [8, Seite 209 f.].