Bachelorarbeit Sigmoidale Transformationen und Quadratur über ...

62 Kapitel 7. Ergebnis
Unsere numerischen Resultate aus Kapitel 6 bestätigen die theoretischen Überlegungen
der Kapitel 3 und 4. Die Ergebnisse aus Beispiel 6.3 zeigen eindrucksvoll,
wie sehr das Verfahren der sigmoidalen Transformationen und das Verfahren
von Atkinson bei singulärem Integranden der Gauß-Trapez-Produktregel
überlegen sind und wie stark diese Verfahren durch geschickte Wahl des Parameters
p bzw. q noch optimiert werden können (siehe vor allem Tabelle 6.5).
Betrachten wir ein Integral der Form
ρ(Q) dS(Q)
S 2
mit einer Funktion ρ, die eine Singularität auf S 2 besitzt, die nicht die Form
(7.1) hat, so macht Atkinson [1] keine Aussage über den Fehler, der bei der
Approximation dieses Integrals mit dem von ihm vorgeschlagenen Verfahren
auftritt. Wir haben jedoch in Satz 4.16 eine Abschätzung für den Fehler in
einem allgemeineren Fall als (7.1) herleiten können. Diese Abschätzung gilt
nach Satz 4.12 insbesondere für das Verfahren von Atkinson.
Außerdem gelten unsere Abschätzungen aus den Sätzen 4.16 und 4.19 für
beliebige sigmoidale Transformationen, deren Ableitungen (4.7) und (4.8) erfüllen,
und nicht nur für die spezielle Transformation, die zum Verfahren von
Atkinson führt.
Wir haben also die Fehlerabschätzungen von Atkinson [1] mit der Theorie
des Verfahrens der sigmoidalen Transformationen bestätigen und (mit einer
allerdings nicht mehr ganz so scharfen Fehlerabschätzung) verallgemeinern
können.