Bachelorarbeit Sigmoidale Transformationen und Quadratur über ...

32 Kapitel 4. Das Verfahren der sigmoidalen Transformationen
Satz 4.9. Sei p ∈ N und w eine sigmoidale Transformation, deren Ableitungen
(4.7) und (4.8) erfüllen. Sei s ∈ N und f ∈ C 2s [0, π] mit
Dann gilt für den Fehler
En(f) =
π
0
2s ≤ p + 1.
f(x) dx − π n−1
n
k=1
der Quadraturformel (4.6) die Abschätzung
w ′
|En(f)| ≤ C
n 2s f ∞,2s
πk
f w
n
mit einer Konstanten C ≥ 0, die von w und s abhängt.
πk
n
Beweis. Nach den Voraussetzungen an f und w ist die Funktion g aus (4.9)
(2s)-mal stetig differenzierbar auf [0, π]. Somit können wir zum Beweis Satz 2.4
anwenden, wenn wir zeigen, daß g (2k−1) (0) = g (2k−1) (π), k = 1, . . . , s − 1, gilt.
Der Beweis davon erfolgt zum größten Teil analog zum Beweis von Satz 4.7.
An Stelle von (4.22) verwenden wir für r ≤ p − 1 die Abschätzung
mit einer Konstanten Cr ≥ 0.
g (r) (t) =
r
u
k=0
r k(t)f (k)
(w(t))
≤
r
f∞,2s |u r k(t)| (4.24)
k=0
(4.20)
≤ f ∞,2s Cr [t(π − t)] zr 0
= Cr f ∞,2s [t(π − t)] p−1−r
Wegen der Voraussetzung 2s ≤ p + 1 gilt für r = 0, . . . , 2s − 3
p − 1 − r ≥ (2s − 1) − 1 − (2s − 3)
= 1,
und wir erhalten durch Grenzübergang in (4.25)
g (r) (0) = g (r) (π) = 0, r = 0, . . . , s − 3.
(4.25)