Bachelorarbeit Sigmoidale Transformationen und Quadratur über ...

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48 Kapitel 5. Die Gauß-Trapez-Produktregel Satz 5.1. Ist f eine analytische Funktion, so konvergiert die Gauß-Trapez- Produktregel exponentiell, das heißt es existieren Konstanten C ≥ 0 und α > 0, so daß gilt: f(Q) dS(Q) − Gn(f) ≤ C e−nα . Beweis. Siehe Wienert [13, Seite 30 ff.]. S 2 Zur numerischen Berechnung der Nullstellen der Legendre-Polynome und der Gewichte der Gauß-Legendre-Quadraturformel verweisen wir auf Werner [12, Seite 241] und Stoer [9, Seite 141 f.]. Danach sind die Nullstellen des n-ten Legendre-Polynoms gerade die Eigenwerte der symmetrischen Tridiagonalmatrix ⎛ ⎞ 0 τ1 ⎜ . ⎜τ1 0 .. ⎟ J = ⎜ ⎝ . .. . ⎟ (5.2) .. τn−1 ⎠ 0 mit τk := τn−1 k √ 4k 2 − 1 , k = 1, . . . , n − 1, und für die Gewichte der Gauß-Legendre-Quadraturformel gilt αk = 2 , k = 1, . . . , n, (5.3) wobei u (k) := der Normierung u (k) 1 , . . . , u (k) T n u (k) 1 der Eigenvektor zum Eigenwert tk von J mit u (k) T u (k) = 2 (5.4) ist. Sind v (1) , . . . , v (k) die Eigenvektoren von J und setzen wir so ist u (k) = u (k) T u (k) = 2 √ (k) 2 v , v (k) 2 v (k) T v (k) v (k) 2 2 = 2; die Vektoren u (k) erfüllen also (5.4). Damit berechnen sich die Gewichte αk der Quadraturformel Gn nach (5.3) durch 2 2 v αk = = (k) 2 1 u (k) 1 aus den Eigenvektoren v (k) von J. v (k) 2 2
Bemerkung 5.2. Die Idee, die Nullstellen tk des n-ten Legendre-Polynoms Pn und die Gewichte αk der Gauß-Legendre-Quadraturformel über die Eigenwerte und Eigenvektoren der Matrix J zu bestimmen, hat einen großen Nachteil: Je größer die Anzahl n der Stützstellen gewählt wird, desto größer werden sowohl der Aufwand zum Berechnen der Eigenwerte und -vektoren, als auch der dabei auftretende Fehler. Dieses Verfahren ist daher nur für nicht allzu große n geeignet – da aber die benötigte Anzahl der Stützstellen wegen der exponentiellen Konvergenz der Gauß-Legendre-Quadraturformel für analytische Funktionen in der Regel recht klein ist, fällt dieser Nachteil nicht so sehr ins Gewicht. Wir merken an dieser Stelle an, daß es noch weitere Möglichkeiten gibt, die Nullstellen der Legendre-Polynome numerisch zu bestimmen, zum Beispiel das Newtonverfahren – wir verweisen dazu auf Davis und Rabinowitz [3]. 49
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Seite 10 und 11: 6 Kapitel 1. Einleitung Wenn wir im
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Seite 14 und 15: 10 Kapitel 2. Grundlagen Definition
Seite 16 und 17: 12 Kapitel 2. Grundlagen und damit
Seite 18 und 19: 14 Kapitel 3. Das Verfahren von Atk
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