Bachelorarbeit Sigmoidale Transformationen und Quadratur über ...

26 Kapitel 4. Das Verfahren der sigmoidalen Transformationen
Satz 4.7. Sei p ∈ N und w eine sigmoidale Transformation, deren Ableitungen
(4.7) und (4.8) erfüllen. Sei s ∈ N und f ∈ S 2s,α (0, π) mit 0 < α ≤ 1, so daß
ist. Dann gilt für den Fehler
En(f) =
π
0
2s < αp
f(x) dx − π n−1
n
k=1
der Quadraturformel (4.6) die Abschätzung
w ′
|En(f)| ≤ C
n 2s f 2s,α
πk
f w
n
mit einer Konstanten C ≥ 0, die von w, s und α abhängt.
πk
n
Beweis. Sei g definiert als g(t) = w ′ (t)f(w(t)) wie in (4.9). Nach (4.5) ist
En(f) = Dn(g). Wir wollen die Abschätzung aus Satz 2.4 verwenden. Nach
Bemerkung 2.5 genügt es, wenn wir g ∈ C 2s−1 [0, π], g (2s) ∈ L[0, π] und
g (2k−1) (0) = g (2k−1) (π), k = 1, . . . , s − 1, zeigen.
Nach den Voraussetzungen an f und w ist g ∈ C 2s (0, π), es muß also noch
gezeigt werden, daß sich die Funktion g und ihre Ableitungen bis zur Ordnung
2s−1 an den Stellen 0 und π stetig fortsetzen lassen, daß die Ableitungen von
g die Bedingung g (2k−1) (0) = g (2k−1) (π), k = 1, . . . , s − 1, erfüllen, und daß
das Integral π
0
g (2s) (t) dt
existiert (zumindest als uneigentliches Integral).
Sei im Folgenden immer r ∈ {0, 1, . . . , 2s}.
Wir schreiben die r-te Ableitung von g mit Hilfe der Leibniz’schen Regel als
g (r) (t) =
r
k=0
r
[f(w(t))]
k
(k) w (r−k+1) (t).
Unter Berücksichtigung der Ketten- und der Produktregel können wir g (r)
auch schreiben als
g (r) r
(t) = u r k(t)f (k) (w(t)). (4.12)
k=0