Bachelorarbeit Sigmoidale Transformationen und Quadratur über ...

34 Kapitel 4. Das Verfahren der sigmoidalen Transformationen
Dann erhalten wir mit der sigmoidalen Transformation w wie in (3.3) die
Quadraturformel
IS2(f) =
⎛
⎞
π 2π cos φ sin w(θ)
f ⎝sin
φ sin w(θ) ⎠ sin w(θ) w
0 0 cos w(θ)
′ (θ) dφ dθ (4.26)
≈ h 2
⎛
⎞
n−1
2n cos φj sin w(θk)
f ⎝sin
φj sin w(θk) ⎠ sin w(θk) w
k=1 j=1 cos w(θk)
′ (θk). (4.27)
=: ˆ Qh(f)
Sei nun f singulär im Punkt P ∈ S2 . Analog zum Verfahren von Atkinson bestimmen
wir eine Householder-Matrix H = I −2 uuT
uT u , die einen Pol von S2 auf
die Singularität P abbildet, da das Verfahren der sigmoidalen Transformationen
für die Approximation von Integralen von Funktionen mit (integrierbaren)
Singularitäten an den beiden Endpunkten des Intervalls [0, π] konstruiert worden
ist. Da die Funktionaldeterminante einer linearen orthogonalen Abbildung
1 ist, erhalten wir analog zu (3.6) mit der Definition
⎛ ⎞ ⎛
⎞
λk,j cos φj sin w(θk)
⎝µk,j⎠
:= ⎝sin
φj sin w(θk) ⎠
cos w(θk)
νk,j
die Quadraturformel
IS2(f) =
⎛ ⎛
⎞⎞
π 2π cos φ sin w(θ)
f ⎝H ⎝sin
φ sin w(θ) ⎠⎠
sin w(θ) w
0 0
cos w(θ)
′ (θ) dφ dθ
≈ h 2
⎛⎛
⎞ ⎡
n−1
2n λk,j
f ⎝⎝µk,j⎠
− u ⎣ 2uT
uT ⎛ ⎞⎤⎞
λk,j
⎝µk,j⎠⎦⎠
sin w(θk) w
u
′ (θk).
k=1 j=1
νk,j
νk,j
(4.28)
Wir wollen nun einen Zusammenhang zwischen dem Verfahren von Atkinson
und dem Verfahren der sigmoidalen Transformationen aufzeigen. Dazu benötigen
wir zunächst das folgende
Lemma 4.10. Sei q ≥ 1, i ∈ N ∪ {0}. Dann gilt für die i-te Ableitung von
sinq−1 θ
i
q−1 (i)
sin θ = q − k cos i θ sin q−i−1 θ + ri,q (θ) sin q−i+1 θ (4.29)
k=1
mit einer unendlich oft differenzierbaren Funktion ri,q (θ).