Bachelorarbeit Sigmoidale Transformationen und Quadratur über ...
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<strong>und</strong> erhalten damit<br />
w (1+k) (t) = p π 2<br />
k<br />
k<br />
<br />
1<br />
i [tp + (π − t) p ] 2<br />
(k−i)<br />
i<br />
<br />
(−1)<br />
j=0<br />
i−j<br />
<br />
i<br />
j<br />
<br />
j i−j<br />
<br />
p − l p − l<br />
l=1<br />
l=1<br />
<br />
i=0<br />
t p−1−j (π − t) p−1−i+j<br />
Für k = 0, . . . , p − 2 ist i ≤ p − 2 <strong>und</strong> 0 ≤ j ≤ p − 2, also<br />
somit gilt<br />
p − 1 − j ≥ p − 1 − (p − 2) = 1<br />
p − 1 − i + j ≥ p − 1 − (p − 2) + 0 = 1,<br />
w (k)<br />
p (0) = w (k)<br />
p (π) = 0, k = 0, . . . , p − 1.<br />
Für k = p − 1 verschwinden für t = 0 (bzw. t = π) alle Summanden bis auf<br />
den Summanden mit i = j = k = p − 1 (bzw. j = 0, i = k = p − 1), <strong>und</strong> wir<br />
erhalten damit<br />
w (p) (0) = p π 2<br />
<br />
p−1 <br />
p − l π p−1<br />
sowie<br />
l=1<br />
= p! π p+1 = 0<br />
w (p) (π) = p π 2 (−1) p−1<br />
<br />
<br />
p − l π p−1<br />
p−1<br />
l=1<br />
= (−1) p−1 p! π p+1 = 0.<br />
Damit ist der Satz bewiesen. <br />
Beispiel 6.2. Zunächst berechnen wir mit allen Verfahren das Integral<br />
<br />
I1 := e x2 +y2 +z2 dS(Q)<br />
=<br />
= e<br />
S2 π 2π<br />
e<br />
0 0<br />
cos2 φ sin2 θ+sin2 φ sin2 θ+cos2 θ<br />
sin θ dφ dθ<br />
π 2π<br />
0<br />
= 4πe.<br />
0<br />
sin θ dφ dθ<br />
.<br />
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