Bachelorarbeit Sigmoidale Transformationen und Quadratur über ...

44 Kapitel 4. Das Verfahren der sigmoidalen Transformationen
Beweis. Analog zum Beweis von Lemma 4.14 unter Verwendung von Satz 4.9
anstatt Satz 4.7. Eine zu (4.38) analoge Voraussetzung ist in diesem Fall nicht
nötig, da F als (2s)-mal stetig differenzierbar auf [0, 2π] × [0, π] vorausgesetzt
ist und somit die ersten 2s partiellen Ableitungen von F auf [0, 2π] × [0, π]
beschränkt sind.
Nun können wir einen Satz ähnlich Satz 4.16 beweisen. Wegen der speziellen
Form des Integranden in (4.40) können wir jedoch 2s ≤ p + 1 anstatt 2s < αp
mit 0 < α ≤ 1 zulassen.
Satz 4.19. Sei p ∈ N und w eine sigmoidale Transformation, deren Ableitungen
(4.7) und (4.8) erfüllen. Sei s ∈ N, f : S 2 −→ R und F definiert wie in
(4.37) (2s)-mal stetig differenzierbar auf [0, 2π] × [0, π] mit
Dann gilt mit der Schrittweite
und den Stützstellen
2s ≤ p + 1.
h = π
n
φj = jh, j = 1, . . . , 2n,
θk = kh, k = 1, . . . , n − 1,
für die Approximation des Integrals
I(f) =
f(Q)
|P − Q| dS(Q), P ∈ S2 , (4.41)
durch die Quadraturformel
für den Fehler
˜Qh(f) :=
n−1
S 2
2n
k=1 j=1
die Abschätzung
|En(f)| ≤ C
n2s 2π
mit einer Konstanten C ≥ 0.
F (φj, w(θk)) cos w(θk)
2 w′ (θk) (4.42)
En(f) = I S 2(f) − ˜ Qh(f)
0
π
0
∂
2s
∂φ2s + max
j=1,...,2n F (φj, ·) ∞,2s
F (φ, θ) cos θ
dθ dφ
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