Bachelorarbeit Sigmoidale Transformationen und Quadratur über ...

48 Kapitel 5. Die Gauß-Trapez-Produktregel
Satz 5.1. Ist f eine analytische Funktion, so konvergiert die Gauß-Trapez-
Produktregel exponentiell, das heißt es existieren Konstanten C ≥ 0 und α > 0,
so daß gilt:
f(Q) dS(Q) − Gn(f)
≤ C e−nα .
Beweis. Siehe Wienert [13, Seite 30 ff.].
S 2
Zur numerischen Berechnung der Nullstellen der Legendre-Polynome und der
Gewichte der Gauß-Legendre-Quadraturformel verweisen wir auf Werner [12,
Seite 241] und Stoer [9, Seite 141 f.]. Danach sind die Nullstellen des n-ten
Legendre-Polynoms gerade die Eigenwerte der symmetrischen Tridiagonalmatrix
⎛
⎞
0 τ1
⎜ .
⎜τ1
0 .. ⎟
J = ⎜
⎝ . .. . ⎟
(5.2)
.. τn−1
⎠
0
mit
τk :=
τn−1
k
√ 4k 2 − 1 , k = 1, . . . , n − 1,
und für die Gewichte der Gauß-Legendre-Quadraturformel gilt
αk =
2 , k = 1, . . . , n, (5.3)
wobei u (k) :=
der Normierung
u (k)
1 , . . . , u (k)
T n
u (k)
1
der Eigenvektor zum Eigenwert tk von J mit
u (k) T u (k) = 2 (5.4)
ist. Sind v (1) , . . . , v (k) die Eigenvektoren von J und setzen wir
so ist
u (k) =
u (k) T u (k) = 2
√
(k) 2 v
,
v (k) 2
v (k) T v (k)
v (k) 2
2
= 2;
die Vektoren u (k) erfüllen also (5.4). Damit berechnen sich die Gewichte αk
der Quadraturformel Gn nach (5.3) durch
2 2 v
αk = =
(k)
2 1
u (k)
1
aus den Eigenvektoren v (k) von J.
v (k) 2
2