Bachelorarbeit Sigmoidale Transformationen und Quadratur über ...

14 Kapitel 3. Das Verfahren von Atkinson
mit einem Parameter q ≥ 1 ein.
Wegen
und
Dθ L(φ, θ) =
ist
Dφ L(φ, θ) =
1
cos 2 θ + sin 2q θ 3
2
sin q θ
√ cos 2 θ + sin 2q θ
⎛
⎜
⎝
= sinq−1 θ sin 2 θ + q cos 2 θ
cos 2 θ + sin 2q θ 3
2
⎛ ⎞
− sin φ
⎝ cos φ ⎠
0
cos φ q sin q−1 θ cos θ (cos 2 θ + sin 2q θ)
− sin q θ (− sin θ cos θ + q sin 2q−1 θ cos θ
sin φ q sin q−1 θ cos θ (cos 2 θ + sin 2q θ)
− sin q θ (− sin θ cos θ + q sin 2q−1 θ cos θ
− sin θ (cos 2 θ + sin 2q θ)
+ cos θ (− sin θ cos θ + q sin 2q−1 θ cos θ)
⎛
cos φ cos θ
⎝sin
φ cos θ
− sin q ⎞
⎠
θ
Dφ L(φ, θ) × Dθ L(φ, θ) = sin2q−1 θ sin 2 θ + q cos 2 θ
cos 2 θ + sin 2q θ 2
und damit
⎛
− cos φ sin
⎝
q θ
− sin φ sinq ⎞
θ⎠
− cos θ
JL( ˜ Q) := |Dφ L(φ, θ) × Dθ L(φ, θ)| = sin2q−1 θ(q cos2 θ + sin2 θ)
(cos2 θ + sin2q θ) 3 .
2
Wir definieren
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
ξ cos φ sin θ
⎝η⎠
:= L ⎝sin
φ sin θ⎠
=
ζ
cos θ
1
√ cos 2 θ + sin 2q θ
⎛
cos φ sin
⎝
q θ
sin φ sinq ⎞
θ⎠
cos θ
und erhalten mit Hilfe der Transformation L (siehe Wienert [13, Seite 30])
IS2(f) =
⎛ ⎞
π 2π ξ
f ⎝η⎠
0 0 ζ
sin2q−1 θ(q cos2 θ + sin2 θ)
(cos2 θ + sin2q θ) 3 dφ dθ.
2
(3.2)
Dieses Integral approximieren wir nun mit Hilfe der zusammengesetzten Trapezregel
bezüglich zweier Variablen. Für n ∈ N wählen wir die Schrittweite
h = π
n
⎞
⎟
⎠