Bachelorarbeit Sigmoidale Transformationen und Quadratur über ...

Kapitel 7
Ergebnis
Wir betrachten zunächst das Verfahren von Atkinson für ein Integral der Form
f(Q)
|P − Q| dS(Q), P ∈ S2 , (7.1)
mit einer auf S 2 hinreichend glatten Funktion f.
S 2
Nach Satz 4.12 entspricht das Verfahren der sigmoidalen Transformationen
mit der Transformation
w(θ) = arccos
cos θ
√ cos 2 θ + sin 2q θ
dem Verfahren von Atkinson. Nach Satz 4.11 erfüllen die Ableitungen von w
die Bedingungen
w (j) (0) = w (j) (π) = 0, j = 1, . . . , q − 1,
w (q) (0) = 0 und w (q) (π) = 0.
Sei q ∈ N fest gewählt und damit die Transformation L aus (3.1) sowie die
Transformation w festgelegt. Mit
q falls q gerade
2s =
q + 1 falls q ungerade
erhalten wir aus Satz 4.19 für eine (2s)-mal stetig differenzierbare Funktion
für das Verfahren von Atkinson die Fehlerabschätzung
1
En(f) = O
n2s
.
Dieses Ergebnis stimmt mit dem Ergebnis von Atkinson aus Satz 3.1 überein.