Bachelorarbeit Sigmoidale Transformationen und Quadratur über ...

24 Kapitel 4. Das Verfahren der sigmoidalen Transformationen
Bemerkung 4.2. In der Literatur wird auch der Begriff periodisierende
Transformation verwendet.
Bemerkung 4.3. Elliott [5] betrachtet Funktionen w ∈ C 1 [0, 1] ∩ C ∞ (0, 1)
mit w(0) = 0 und der Symmetrieeigenschaft w(t) = 1 − w(1 − t), t ∈ [0, 1],
und fordert, daß die Ableitung w ′ streng monoton wachsend auf [0, 1]
ist und
2
daß w ′ (0) = 0 gilt – unsere Voraussetzung (4.3) ist dann eine Folgerung aus
dieser Forderung.
Folgerung 4.4. Aus den Eigenschaften (4.1) und (4.2) erhalten wir
w(π) = π. (4.4)
Da w stetig und streng monoton steigend auf [0, π] ist und (4.1) sowie (4.4)
erfüllt, bildet w das Intervall [0, π] bijektiv auf sich selbst ab.
4.2 Anwendung auf ein Integral über [0, π]
Wir wollen zunächst die Idee des Verfahrens der sigmoidalen Transformationen
für die Approximation eines uneigentlichen Integrals über dem Intervall [0, π]
vorstellen. Sei f hinreichend glatt in (0, π) und integrierbar über [0, π], f
darf also an den beiden Grenzen (integrierbare) Singularitäten besitzen. Wir
betrachten das Integral π
f(x) dx.
0
Sei w eine sigmoidale Transformation. Dann erhalten wir durch Substitution
π π
f(x) dx = w ′ (t) f(w(t)) dt. (4.5)
0
0
Dieses Integral approximieren wir mit der zusammengesetzten Rechteckregel
π
π
f(x) dx = w ′ (t) f(w(t)) dt
0
0
≈ π
n
w
n
k=1
′
πk πk
f w
n n
= π n−1
w
n
′
πk πk
f w
n n
k=1
(denn nach Voraussetzung (4.7) ist w ′ ( πn)
= 0).
n
(4.6)