Bachelorarbeit Sigmoidale Transformationen und Quadratur über ...

16 Kapitel 3. Das Verfahren von Atkinson
die Transformation L in Richtung des nächstgelegenen Poles von S 2 verschoben.
Um das zu verdeutlichen, betrachten wir die dritte Koordinate unter der
Abbildung L:
cos θ L
−→ ζ =
cos θ
√ cos 2 θ + sin 2q θ .
Für θ ∈ 0, π
gilt sin θ ∈ (0, 1) und cos θ ∈ (0, 1), damit ist
2
und wir erhalten
Analog berechnen wir
1 = cos 2 θ + sin 2 θ > cos 2 θ + sin 2q θ > 0,
cos θ
√ > cos θ, θ ∈
cos2 2q θ + sin θ
cos θ
√ cos 2 θ + sin 2q θ < cos θ, θ ∈
Wenn wir also nun das Integral
f(L(Q)) JL(Q) dS(Q)
S 2
0, π
2
.
π
, π .
2
mit einer Quadraturformel mit konstanter Schrittweite h approximieren, hat
die Transformation L aus (3.1) den Effekt, daß die Stützstellen nicht mehr
äquidistant verteilt sind, sondern sich an den Polen von S 2 häufen – das ist für
die Genauigkeit einer Quadraturformel vorteilhaft, wenn sich die Singularität
des Integranden an einem Pol von S 2 befindet und der Integrand an allen
anderen Stellen “gutartig” ist.
In den Abbildungen 3.1 und 3.2 wird dieser Effekt veranschaulicht: In Abbildung
3.1 sind für eine äquidistante Unterteilung φj ∈ [0, 2π), θk ∈ (0, π)
die Punkte (cos φj sin θk, sin φj sin θk, cos θk) T aufgetragen sowie die zugehörigen
Isolinien für θ = const eingezeichnet. In Abbildung 3.2 sind stattdessen
(für die gleiche äquidistante Unterteilung) die Funktionswerte von L mit dem
Parameter q = 3 aufgetragen. Man sieht deutlich, wie die vorher äquidistant
verteilten Stützstellen sich nun an den beiden Polen der Einheitskugel konzentrieren.
Da die Transformation L den Integranden an den beiden Polen von S 2 glättet,
soll das Koordinatensystem vor der Anwendung der Funktion f so transformiert
werden, daß ein Pol von S 2 auf die Singularität P von f abgebildet wird.
Dazu bestimmen wir eine Householder-Matrix H mit
⎛ ⎞
⎛ ⎞
0
0
H ⎝0⎠
= P oder H ⎝ 0 ⎠ = P.
1
−1