Bachelorarbeit Sigmoidale Transformationen und Quadratur über ...

56 Kapitel 6. Numerische Beispiele
Verfahren von Atkinson Substitutionen wp
n q=2 q=3 q=4 p=2 p=3 p=4
4 2.66 2.24 0.13 4.96 2.58 1.89
8 5.86 3.43 3.90 8.86 6.57 4.30
16 4.57 11.55 8.73 4.01 15.80 10.61
32 3.99 7.04 17.12 3.98 8.62 23.80
64 4.00 6.00 8.59 3.99 5.97 8.89
128 4.00 6.00 10.41 4.00 5.85 —
256 4.00 6.05 — 4.00 5.14 —
512 4.00 — — 3.99 — —
1024 3.98 — — 3.83 — —
2048 5.88 — — 1.56 — —
Tabelle 6.2: Ungefähre Konvergenzordnung bei Anwendung der verschiedenen
Quadraturverfahren auf das Integral aus Beispiel 6.2 bei Verdopplung der Stützstellenzahl
von n
2 auf n Stützstellen. Da der Integrand glatt ist, konvergieren die
Verfahren alle recht schnell, so daß in vielen Fällen bei 256 oder sogar noch weniger
Stützstellen die interne Genauigkeit von Matlab erreicht und daher keine Konvergenzanalyse
für die Fälle mit mehr Stützstellen möglich ist.
(6.3) mit n1 = 4 und n2 = 128 an und erhalten mit α ≈ 9.74 einen besseren
Wert als 8, den wir erwartet haben. Das Verfahren der sigmoidalen Transformationen
mit den Transformationen wp aus (6.1) besitzt wie erwartet ein
besseres Konvergenzverhalten, als die Fehlerabschätzung aus Satz 4.19 für den
singulären Fall angibt. Für p = 2 ist die Konvergenzordnung ungefähr 4. Für
p = 3 erhalten wir mit n1 = 4 und n2 = 256 eine ungefähre Konvergenzordnung
von α ≈ 7.99, für p = 4 berechnen wir α ≈ 11.90 aus n1 = 4 und
n2 = 64.
Beispiel 6.3. Als nächstes Beispiel betrachten wir das Integral
1
I2 :=
|P − Q| dS(Q).
S 2
Der Integrand besitzt im Punkt P ∈ S 2 eine (integrierbare) Singularität. Für
den Fall P = (0, 0, 1) T ∈ S 2 berechnen wir mit Hilfe von (4.43)
I2 =
= 2π
π 2π
= 4π.
0 0 π
0
sin θ
√ 2 − 2 cos θ dφ dθ
cos θ
2 dθ