Bachelorarbeit Sigmoidale Transformationen und Quadratur über ...

30 Kapitel 4. Das Verfahren der sigmoidalen Transformationen
π. Um eine Aussage über das Verhalten der Funktion g an diesen beiden
Stellen zu erhalten, müssen wir zunächst noch das Verhalten der Funktion f
untersuchen.
Sei im Folgenden immer k ∈ {0, 1, . . . , 2s}.
Aus der Definition 4.5 der Norm · s,α erhalten wir
und daraus
f 2s,α ≥ [x(π − x)] k+1−α f (k) (x) , x ∈ (0, π),
f (k) (x) ≤ f2s,α [x(π − x)] α−k−1 , x ∈ (0, π).
Damit gilt nach der Symmetrieeigenschaft w(t) = π − w(π − t) aus (4.2)
f (k) (w(t)) ≤ f2s,α (w(t)[π − w(t)]) α−k−1
Aus (4.18) folgt
= f 2s,α (w(t){π − [π − w(π − t)]}) α−k−1
= f 2s,α [w(t) · w(π − t)] α−k−1 , t ∈ (0, π). (4.21)
w(t) · w(π − t) = O ([t(π − t)] p ) ,
und durch Einsetzen in (4.21) erhalten wir
f (k) (w(t)) = f2s,α (O ([t(π − t)] p )) α−k−1
mit einer Konstanten Ck ≥ 0.
≤ Ck f 2s,α [t(π − t)] (α−k−1)p
Damit sind wir in der Lage, die Ableitungen der Funktion g abzuschätzen;
durch Einsetzen in (4.12) erhalten wir
(r)
g (t) =
r
u
k=0
r k(t)f (k)
(w(t))
≤
r
u r k(t)f (k) (w(t))
≤
k=0
r
mit einer Konstanten Cr ≥ 0.
Ck f 2s,α [t(π − t)] αp−r−1
≤
k=0
Cr f2s,α [t(π − t)] αp−r−1 , t ∈ (0, π), (4.22)