Bachelorarbeit Sigmoidale Transformationen und Quadratur über ...

42 Kapitel 4. Das Verfahren der sigmoidalen Transformationen
Durch eine Nullergänzung erhalten wir
|En(f)| =
π 2π
F (φ, w(θ)) sin w(θ) w
′ (θ) dφ dθ
=
Wir definieren
0 0
π
−
0
0
π
sin w(θ) w ′ (θ) π
n
2n
j=1
2n
F (φj, w(θ)) dθ
+ sin w(θ) w
0
′ (θ) π
F (φj, w(θ)) dθ
n
j=1
π
2 n−1
2n
−
F (φj, w(θk)) sin w(θk) w
n
k=1 j=1
′
(θk)
2π π
F (φ, θ) sin θ dθ dφ −
π
2n
π
F (φj, θ) sin θ dθ
n
+ π
n
0
2n
π
j=1
0
j=1
F (φj, w(θ)) sin w(θ) w ′ (θ) dθ
− π n−1
F (φj, w(θk)) sin w(θk) w
n
′
(θk) .
k=1
G(φ) :=
π
0
F (φ, θ) sin θ dθ
und erhalten damit
|En(f)| ≤
2π
G(φ) dφ −
0
π
2n
G(φj)
n
j=1
+ π
2n π
F (φj, w(θ)) sin w(θ) w
n
j=1 0
′ (θ) dθ
− π n−1
F (φj, w(θk)) sin w(θk) w
n
′
(θk)
.
k=1
F ist in der Darstellung (4.37) 2π-periodisch in φ, und damit ist auch G
2π-periodisch in φ. Nach Lemma 4.15 ist G (2s-1)-mal stetig differenzierbar
auf [0, 2π] und G (2s) ∈ L[0, 2π], somit können wir den ersten Betrag nach
Bemerkung 2.5 mit Hilfe von Satz 2.4 abschätzen (mit dem Intervall [0, 2π]
anstatt [0, π], der Beweis erfolgt analog). Den zweiten Betrag können wir mit
Hilfe von Lemma 4.14 abschätzen und erhalten
0