Bachelorarbeit Sigmoidale Transformationen und Quadratur über ...

36 Kapitel 4. Das Verfahren der sigmoidalen Transformationen
Beweis. Es gilt w(0) = 0, und aus sin (π −t) = sin t, cos (π −t) = − cos t und
arccos (−t) = π − arccos t, t ∈ [−1, 1], folgt, daß w die Symmetrieeigenschaft
(4.2) erfüllt.
Die Ableitung von w berechnet sich zu
w ′ (θ) =
sin θ √ cos2 θ + sin2q θ + cos θ cos θ(q sin2q−1 − sin θ)
√
cos2 θ+sin2q θ
1 −
cos2 θ
cos2 θ+sin2q
cos2 2q θ + sin θ θ
= sin θ(cos2 θ + sin2q θ) + cos2 θ(q sin2q−1 − sin θ)
cos 1 −
2 θ
cos2 θ+sin2q 3
cos2 2q 2
θ + sin θ θ
=
=
sin2q+1 θ + q sin2q−1 θ cos2 θ
sin2q θ
cos2 θ+sin2q θ
cos 2 θ + sin 2q θ 3
2
sin 2q−1 θ sin 2 θ + q cos 2 θ
sinq √ θ
cos2 θ+sin2q θ
cos 2 θ + sin 2q θ 3
2
= sin q−1 θ sin2 θ + q cos2 θ
cos2 θ + sin2q . (4.30)
θ
Aus (4.30) erkennen wir, daß w ′ (0) = w ′ (π) = 0 gilt und w ′ zudem positiv
in (0, π) ist. Also ist w streng monoton steigend in [0, π]. Aus (4.30) folgt
weiterhin, daß w ′ als Produkt von Summen von unendlich oft stetig differenzierbaren
Funktionen ebenfalls unendlich oft stetig differenzierbar in [0, π] ist,
da beim weiteren Differenzieren durch das Anwenden der Quotientenregel nur
Potenzen des Nenners von (4.30) im Nenner auftreten, die auf [0, π] stets von 0
verschieden sind. Somit erfüllt w alle Voraussetzungen der Definition 4.1 und
ist damit eine sigmoidale Transformation.
Nun zeigen wir den zweiten Teil der Behauptung. Wir differenzieren (4.30)
mit Hilfe der Leibniz’schen Regel und erhalten
w (1+k) (θ) =
k
i=0
k sin q−1 (i)
θ
i
Für i = 0, . . . , q − 2 ist q − i + 1 > q − i − 1 ≥ 1, also
2 2 sin θ + q cos θ
sin2q θ + cos2 (k−i)
. (4.31)
θ
sin q−i−1 (0) = sin q−i−1 (π) = sin q−i+1 (0) = sin q−i+1 (π) = 0,
und damit nach Lemma 4.10
sin q−1 θ (i) θ=0,π
= 0, i = 0, . . . , q − 2. (4.32)