Bachelorarbeit Sigmoidale Transformationen und Quadratur über ...

40 Kapitel 4. Das Verfahren der sigmoidalen Transformationen
Lemma 4.15. Sei s ∈ N, f : S 2 −→ R und F definiert wie in (4.37) (2s)-mal
stetig differenzierbar auf [0, 2π] × (0, π). Sei 0 < α ≤ 1 und
∂
j
[F (φ, ·) sin ·]
∂φj 0,α
≤ C(s, α), j = 0, . . . , 2s, (4.39)
für alle φ ∈ [0, 2π] und θ ∈ (0, π), wobei C(s, α) unabhängig von φ und θ sei.
Dann ist die Funktion
π
G(φ) := F (φ, θ) sin θ dθ, φ ∈ [0, 2π],
(2s-1)-mal stetig differenzierbar und G (2s) ∈ L[0, 2π].
0
Beweis. Sei j ∈ {0, . . . , 2s}. Nach der Voraussetzung an die Differenzierbarkeit
von F ist F für jedes feste θ ∈ (0, π) (2s)-mal partiell nach φ differenzierbar,
und mit (4.39) folgt
∂
j
[F (φ, θ) sin θ]
∂φj ≤ C(s, α) [θ(π − θ)]α−1 =: g(θ)
für alle φ ∈ [0, 2π] und alle θ ∈ (0, π). Wegen α > 0 ist g ∈ L[0, π]. Nach
Heuser [7, Satz 128.2] gilt dann, daß G auf [0, 2π] (2s)-mal differenzierbar ist.
Damit ist G insbesondere (2s-1)-mal stetig differenzierbar auf [0, 2π], und es
gilt G (2s) ∈ L[0, 2π].
Nun können wir eine Aussage über den Fehler machen, der auftritt, wenn das
Integral
S 2
f(Q) dS(Q)
mit Hilfe des Verfahrens der sigmoidalen Transformationen approximiert wird:
Satz 4.16. Sei p ∈ N und w eine sigmoidale Transformation, deren Ableitungen
(4.7) und (4.8) erfüllen. Sei s ∈ N, f : S 2 −→ R und F definiert wie in
(4.37) (2s)-mal stetig differenzierbar auf [0, 2π] × (0, π). Weiterhin gelte
sup
0