II. Basis und Dimension ...

Deshalb definiert man
Definition :
Sind a1 , a2 , .... , an Vektoren eines Vektorraums, dann heißt der Vektor
eine Linearkombination dieser Vektoren.
Gilt speziell d = o , dann heißt
λ 1⋅ a 1 + λ 2⋅ a 2 + ........... + λ n⋅ a n = o
eine Nullsumme von a1 , a2 , .... , an .
d = λ 1⋅ a 1 + λ 2⋅a 2 + ........... + λ n⋅ a n
Ist dabei λ1 = λ2 = ........ = λn = 0, dann spricht man von einer trivialen Nullsumme,
andernfalls heißt die Nullsumme nichttrivial .
Bemerkungen :
a) Die Menge aller Linearkombinationen der Vektoren a1 , ... , an bildet einen Untervektor-
raum des Vektorraumes V, den von a1 , .. , an aufgespannten Raum.
b) Eine nichttriviale Nullsumme im geometrischen Vektorraum bedeutet, dass sich aus den
Vektoren λi ai , (1 ≤ i ≤ n) , eine geschlossene Vektorkette bilden lässt.
c) Lässt sich aus den Vektoren a1 , .. , an eine nichttriviale Nullsumme bilden, dann lässt
sich mindestens einer dieser Vektoren als Linearkomination der anderen darstellen.
Definition :
⎧
⎫
Eine Menge ⎨ b1 , b2 , ......, bn ⎬ von Vektoren eines Vektorraumes V heißt eine Basis
⎩
⎭
dieses Vektorraumes, wenn sich jeder Vektor aus V auf
v genau eine Weise als Linear-
kombination dieser Basisvektoren schreiben lässt.