II. Basis und Dimension ...

2.3 Anwendung
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Beispiel :
Das Dreieck OAB sei festgelegt durch die Vektoren
OA = a und OB = b ,
der Punkt A1 durch OA1 = und der Punkt durch
3
4 a B1 OB1 = .
1
2 b
In welchem Verhältnis teilen sich die Strecken [AB1 ] und [BA1 ] ?
1. Geschlossene Vektorkette, die den Schnittpunkt S der beiden Strecken enthält :
BA + AS + SB = o
2. Ansatz :
AS = λAB 1 SB = µA 1 B
3. Durch a und b ausgedrückt
BA = a − b
AB1 − 1
2 b + a = o ⇒ AB 1
1 = b − a
2
A1B − b + 3
4 a = o ⇒ A 3
1B = b −
4 a
4. Einsetzen und Ordnen
a − b + λ⋅( 1
2
( − λ − 3
4
b − a ) + µ⋅( b − 3
4
a ) = o
1
µ + 1)⋅ a + ( λ + µ − 1)⋅ b = o
2
5. Lineare Unabhängigkeit
(1) − λ − 3
µ + 1 = 0
4
(2) 1
λ + µ − 1 = 0
2
6. Teilverhältnis
AS
SB 1
=
2
5 AB 1
3
5 AB 1
ergibt
= 2
3 A 1 S
SB =
λ = 2
5
1
5 A 1 B
4
5 A 1
und µ = 4
5
1
=
B 4
__________________________________________________________________________
A
a
A 1
S
O
B 1
b
B