Landau-Lifshitz - Theoretische Physik - Universität Konstanz

2 Die Landau-Lifshitz-Gleichung 4
mit dem zeitabhängigen Spinoperator ˆ Si(t) und dem Hamiltonoperator ˆ H. Unter Verwendung
der Vertauschungsregel
ˆ
sowie zyklische Vertauschung
S x i , ˆ S y
i
= iδi,j ˆ S z i
sowie einer Entwicklung des Kommutators
folgt für das isotrope Heisenbergmodell
∂ ˆSi
i = i
∂t
ˆSi(t), ˆ
H nach und der Annahme ˆ H = − ∂ ˆ H, ˆSi
ˆSi(t), ˆ
H = i ˆ Si × ∂ ˆ H
∂ ˆ + O(
Si
2 )
ˆSi × ∂ ˆ H
∂ ˆ
+ O(
Si
2 ).
Der Übergang zur klassischen Bewegungsgleichung geschieht, indem → 0, wodurch die
Terme höherer Ordnung
wegfallen. Des Weiteren wird das Ehrenfest Theorems verwendet,
nach dem ˆSi = si und ˆ H = H sind. Dieses besagt also, dass die quantenmechanischen
Erwartungswerte gleich klassischer Vektoren sind und der Hamiltonoperator in die klassische
Hamiltonfunktion übergeht. Daraus folgt
∂ 〈si〉
∂t = si × ∂H
.
∂si
Es ist bekannt, dass das magnetische Moment µ mit dem Spin si über die Relation
µ = −γs
verknüpft ist. γ = gµB/ ist dabei das gyromagnetische Verhältnis mit dem Landé-Faktor
g und dem Bohrschen Magneton µB. Der Spin kann nun noch auf Eins normiert werden:
mit µs = |µi|. Daraus folgt
si = − µi
γ
Si = µi
µs
= −µs
γ Si.
Verwendet man noch die Substitution für das effektive Feld Hi,eff = − ∂H
∂ , erhält man die
Si
ungedämpfte Landau-Lifshitz-Gleichung
∂ Si
∂t
= − γ
µs
Si × Hi,eff. (1)
Der Präzessionsterm (1) beschreibt die Präzession des Spinmoments um das effektive Feld
wie in Abbildung 1 dargestellt.
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