Landau-Lifshitz - Theoretische Physik - Universität Konstanz

Landau-Lifshitz- und
Landau-Lifshitz-Gilbert-Gleichung mit
Langevin-Dynamik sowie Spin Transfer Torque
Seminar: Numerische Verfahren zur Spindynamik auf der Nanoskala
Phillip Wohlhüter
Vortrag vom 06.07.2010
Universität Konstanz
Betreuerin: Denise Hinzke
1

Inhaltsverzeichnis 2
Inhaltsverzeichnis
1 Einleitung 3
2 Die Landau-Lifshitz-Gleichung 3
2.1 Der Präzessionsterm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2.2 Der Dämpfungsterm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.3 Die zusammengesetzte Gleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
3 Die Gilbert- und Landau-Lifshitz-Gilbert-Gleichung 6
3.1 Die Gilbert-Gleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
3.2 Die Landau-Lifshitz-Gilbert-Gleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
4 Langevin-Dynamik 7
5 Spin Transfer Torque 8
5.1 Adiabatischer Spin Transfer Torque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
5.2 Nichtadiabatischer Spin Transfer Torque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
6 Numerische Lösung von stochastischen Differentialgleichungen 11
6.1 Das explizite Euler-Verfahren: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
6.2 Das Heun-Verfahren: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
7 Anwendung 13
7.1 Strominduzierte Domänenwandbewegung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
7.2 Simulationsbedingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
7.3 Simulationsergebnisse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
8 Zusammenfassung 15
Literaturverzeichnis 16
2

2 Die Landau-Lifshitz-Gleichung 3
1 Einleitung
Bewegungsgleichungen sind nicht nur in der Physik von fundamentaler Bedeutung, da
sich mit ihrer Hilfe die Dynamik von Systemen beschreiben lässt. Die erste Gleichung,
die die Bewegung magnetischer Momente beschreibt, wurde 1935 von Lew Dawidowitsch
Landau und Jewgeni Michailowitsch Lifschitz für ferromagnetische Materialien formuliert
[1]. Da diese Gleichung für große Dämpfungen jedoch unphysikalische Ergebnisse liefert,
wurde sie 1955 von Thomas L. Gilbert erweitert [2].
Im Zuge der Verbreitung von Computern ist die Nachfrage nach magnetischen Datenspeichern
enorm gestiegen. Um die wachsenden Anforderungen in Bezug auf Speicherkapazität
und Zugriffszeit befriedigen zu können, ist ein Verständnis der zu Grunde liegenden physikalischen
Vorgänge unumgänglich. Ein Beispiel dafür ist der Einfluss der Temperatur,
welche dazu führen kann, dass die einzelnen Bits einer Festplatte ummagnetisiert werden.
Um dies berücksichtigen zu können, ist es notwendig, temperaturbedingte Effekte in
die Bewegungsgleichungen einzubeziehen. Diesem Anspruch trägt die Langevin-Dynamik
Rechnung.
Ein Nachteil moderner Festplatten ist, dass sie mechanische Teile, wie den Schreib-/Lesekopf
besitzen, denn diese können nicht so schnell wie zum Beispiel elektrische Komponenten
geschaltet werden. Stuart Parkin stellte daher das sogenannte Racetrack-Memory [3]
vor, bei dem die Bits mit Hilfe von Spinströmen hin und her verschoben werden. Die Auswirkung
von Spinströmen auf magnetische Domänen wird durch den adiabatischen und
den nichtadiabatischen spin tranfer torque Term beschrieben. Unter einem Spinstrom versteht
man dabei den gerichteten Transport von Spins ohne Netto-Ladungsfluss.
In dieser Arbeit werden die oben genannten Bewegungsgleichungen, nämlich die Landau-
Lifshitz-Gleichung, die durch Gilbert zur Landau-Lifshitz-Gilbert-Gleichung erweitert wurde,
die Langevin-Dynamik, sowie die um die spin transfer torque Terme erweiterte Landau-
Lifshitz-Gilbert-Gleichung vorgestellt. Des Weiteren wird kurz erläutert, wie solche Differentialgleichungen
numerisch gelöst werden können. Abschließend werden noch Ergebnisse
einer Simulation zur strominduzierten Domänenwanddynamik präsentiert.
2 Die Landau-Lifshitz-Gleichung
Die zur Beschreibung der Dynamik magnetischer Systeme etablierten Bewegungsgleichungen
sind die Landau-Lifshitz-Gleichung, die Gilbert-Gleichung sowie die Landau-Lifshitz-
Gilbert-Gleichung. In diesem Abschnitt soll die 1935 erstmals von Landau und Lifshitz
und nach ihnen benannte Gleichung hergeleitet werden.
Die Landau-Lifshitz-Gleichung besteht aus zwei Summanden: dem Präzessions- und dem
Dämpfungsterm. Bei dem Dämpfungsterm handelt es sich um einen phänomenologischen
Term, den Landau und Lifshitz aus Plausibilitätsgründen eingeführt hatten. Der Präzessionsterm
lässt sich hingegen sowohl klassisch als auch quantenmechanisch exakt herleiten.
2.1 Der Präzessionsterm
Die quantenmechanische Herleitung des Präzessionsterms der Landau-Lifshitz-Gleichung
soll in diesem Abschnitt kurz skizziert werden. Ausgangspunkt dazu ist die Heisenbergsche
Bewegungsgleichung
∂ ˆSi(t)
i
∂t
=
ˆSi(t), ˆ
H
3

2 Die Landau-Lifshitz-Gleichung 4
mit dem zeitabhängigen Spinoperator ˆ Si(t) und dem Hamiltonoperator ˆ H. Unter Verwendung
der Vertauschungsregel
ˆ
sowie zyklische Vertauschung
S x i , ˆ S y
i
= iδi,j ˆ S z i
sowie einer Entwicklung des Kommutators
folgt für das isotrope Heisenbergmodell
∂ ˆSi
i = i
∂t
ˆSi(t), ˆ
H nach und der Annahme ˆ H = − ∂ ˆ H, ˆSi
ˆSi(t), ˆ
H = i ˆ Si × ∂ ˆ H
∂ ˆ + O(
Si
2 )
ˆSi × ∂ ˆ H
∂ ˆ
+ O(
Si
2 ).
Der Übergang zur klassischen Bewegungsgleichung geschieht, indem → 0, wodurch die
Terme höherer Ordnung
wegfallen. Des Weiteren wird das Ehrenfest Theorems verwendet,
nach dem ˆSi = si und ˆ H = H sind. Dieses besagt also, dass die quantenmechanischen
Erwartungswerte gleich klassischer Vektoren sind und der Hamiltonoperator in die klassische
Hamiltonfunktion übergeht. Daraus folgt
∂ 〈si〉
∂t = si × ∂H
.
∂si
Es ist bekannt, dass das magnetische Moment µ mit dem Spin si über die Relation
µ = −γs
verknüpft ist. γ = gµB/ ist dabei das gyromagnetische Verhältnis mit dem Landé-Faktor
g und dem Bohrschen Magneton µB. Der Spin kann nun noch auf Eins normiert werden:
mit µs = |µi|. Daraus folgt
si = − µi
γ
Si = µi
µs
= −µs
γ Si.
Verwendet man noch die Substitution für das effektive Feld Hi,eff = − ∂H
∂ , erhält man die
Si
ungedämpfte Landau-Lifshitz-Gleichung
∂ Si
∂t
= − γ
µs
Si × Hi,eff. (1)
Der Präzessionsterm (1) beschreibt die Präzession des Spinmoments um das effektive Feld
wie in Abbildung 1 dargestellt.
4

2 Die Landau-Lifshitz-Gleichung 5
Abb. 1: Präzession eines Spinmoments S um das effektive Feld H [4]
2.2 Der Dämpfungsterm
Wie bereits erwähnt, kann der Dämpfungsterm nicht hergeleitet werden. Er wurde von
Landau und Lifshitz phänomenologisch eingeführt, um Dissipationseffekte, also Reibung,
zu berücksichtigen. Er hat die Form
Fα = − λ
µs
Si × Si ×
Hi,eff
mit dem phänomenologischen Dämpfungsparameter λ. Dieser Term steht senkrecht zum
Präzessionsterm und führt zur Ausrichtung des Spins in Richtung des effektiven Feldes
(s. Abb. 2).
Abb. 2: Dämpfungsbewegung: Ausrichtung des Spinmoments S in Richtung des effektiven Feldes H [4]
2.3 Die zusammengesetzte Gleichung
Die aus der ungedämpften Landau-Lifshitz-Gleichung (1) und dem Dämpfungsterm (Gleichung
(2)) zusammengesetzte Gleichung
∂ Si
∂t
= − γ
µs
Si × Hi,eff − λ
µs
Si × Si ×
Hi,eff
wird Landau-Lifshitz-Gleichung genannt. Sie führt zu einer spiralförmigen Ausrichtung
des Spinmoments in Richtung des effektiven Feldes (vgl. Abb. 3).
5
(2)
(3)

3 Die Gilbert- und Landau-Lifshitz-Gilbert-Gleichung 6
Abb. 3: Superposition aus Präzessions- und Dämpfungsbewegung (S: Spinmoment; H: effektives Feld)
[5]
3 Die Gilbert- und Landau-Lifshitz-Gilbert-Gleichung
3.1 Die Gilbert-Gleichung
20 Jahre nach der ersten Formulierung der Landau-Lifshitz-Gleichung stellte Thomas
L. Gilbert jedoch fest [2], dass der Dämpfungsterm für große Dämpfungen (λ → ∞)
zu falschen Ergebnissen führt. Betrachtet man eine homogen magnetisierte Kugel, so
nimmt die Ummagnetisierungszeit für zunehmende Dämpfung (größer werdendes λ) nach
Gleichung (3) ab. Da die magnetischen Momente sich auf Grund der größeren Dämpfung
jedoch langsamer bewegen müssten und die Ummagnetisierungszeit zunehmen sollte, ist
diese Beschreibung unphysikalisch.
Gilbert erweiterte daher den Dämpfungsterm um eine Rayleigh-Dissipationsfunktion [2],
welche die Ankopplung an ein Wärmebad berücksichtigt. Die von ihm erhaltene Gleichung
∂ Si
∂t
= − γ
µs
Si × Hi,eff + α
Si × ∂ Si
∂t
wird Gilbert-Gleichung genannt und liefert bei Rechnungen auch für große Dämpfungen
physikalisch sinnvolle Ergebnisse. Wie zu erkennen ist, führte Gilbert eine neue Dämpfungskonstante
α ein. Wie bei λ handelt es sich allerdings um eine phänomenologische
Konstante, die die Stärke einer konstanten Energiedissipation beschreibt. Die Effekte, die
zur Energiedissipation führen, sind jedoch noch nicht bekannt.
3.2 Die Landau-Lifshitz-Gilbert-Gleichung
Vergleicht man die Landau-Lifshitz-Gleichung (3) mit der Gilbert-Gleichung (4), so fällt
auf, dass bei der Gilbert-Gleichung die zeitliche Ableitung sowohl auf der rechten als auch
auf der linken Seite in die Gleichung eingeht. Da dies das Lösen der Differentialgleichung
erschwert, ist es wünschenswert die Gilbert-Gleichung auf eine Form zu bringen, die der
Landau-Lifshitz-Gleichung ähnelt. Dies ist auch möglich, wie im Folgenden gezeigt werden
soll:
Ausgangspunkt ist die Gilbert-Gleichung auf die Siד auf beiden Seiten von links ange-
”
wandt wird:
Si × ∂ Si
∂t
= − γ
µs
Si × Si ×
Hi,eff + α Si ×
6
Si × ∂ Si
∂t
.
(4)

4 Langevin-Dynamik 7
Durch Ausnutzen der Leibnitz-Regel a × ( b × c) = b(a ·c) − c(a · b) erhält man
Si × ∂ Si γ
= − Si × Si ×
∂t
Hi,eff + α
Si
Si · ∂
Si
− α
∂t
∂ Si
. (5)
∂t
µs
Da der Spin normiert ist ( S 2 i = 1), gilt
Si · ∂ Si
∂t = ∂ S2 i
∂t
Dadurch vereinfacht sich Gleichung (5) zu
Si × ∂ Si
∂t
= − γ
µs
= 0.
Si × Si ×
Hi,eff
− α ∂ Si
∂t .
Durch Einsetzen in die Gilbert-Gleichung (4) erhält man die sogenannte Landau-Lifshitz-
Gilbert-Gleichung
∂ Si
∂t
γ
= −
(1 + α2 Si ×
)µs
αγ
Hi,eff −
(1 + α2
Si × Si ×
)µs
Hi,eff , (6)
welche die Korrektur des Dämpfungsterms durch Gilbert enthält, jedoch die gleiche Einfachheit
wie die Landau-Lifshitz-Gleichung besitzt. Zu beachten ist, dass bei der Landau-
Lifshitz-Gilbert-Gleichung die Dämpfungskonstante α sowohl im Präzessions- als auch
im Dämpfungsterm vorkommt. Für den Fall kleiner Dämpfung α ≪ 1 geht die Landau-
Lifshitz-Gilbert-Gleichung in die Landau-Lifshitz-Gleichung über, da in diesem Fall das
α 2 im Nenner vernachlässigt und αγ = λ identifiziert werden kann.
4 Langevin-Dynamik
Bei den bisherigen Betrachtungen ist der Einfluss der Temperatur immer vernachlässigt
worden. Die Temperatur hat jedoch Auswirkungen auf die magnetischen Momente. Mit
zunehmender Temperatur gewinnt das System thermische Energie, welche dazu führt, dass
die Wahrscheinlichkeit, dass sich ein magnetisches Moment ummagnetisiert, ansteigt. Betrachtet
man ein kleines magnetisches monodomänes Partikel, führt dies dazu, dass die
Magnetisierung dieses Partikels sogar unterhalb der Curie-Temperatur nicht konstant ist.
Dieses Verhalten bezeichnet man als Superparamagnetismus. Vor allem im Bereich magnetischer
Speichermedien, wie Festplatten, stellt dies ein großes Problem dar. Denn dadurch
wird die minimale Größe, die ein Teilchen bzw. ein Bit (vgl. Abb. 4) haben kann, limitiert.
Ein Ummagnetisieren eines Bits würde einen Datenverlust zur Folge haben. Daher ist es
von großem Interesse, die Temperatur in den Bewegungsgleichungen zu berücksichtigen.
William Fuller Brown, Jr. lieferte im Jahr 1963 einen Vorschlag, wie die Temperatur in die
Landau-Lifshitz-Gilbert-Gleichung integriert werden kann [6]. Seine Überlegungen waren
dabei an die Langevin-Gleichung angelehnt, welche eine phänomenologische Beschreibung
der Brownschen 2 Molekularbewegung darstellt. In Anlehnung an die Langevin-Gleichung
erweiterte er das effektive Feld Hi,eff um einen zeitabhängigen Rauschterm ζ(t):
∂ Si
∂t
γ
= −
(1 + α2
Si × Hi,eff +
)µs
αγ
ζi −
(1 + α2
Si × Si × Hi,eff +
)µs
ζi . (7)
1 http://upload.wikimedia.org/wikipedia/de/a/a2/Perpendicular Recording.svg
2 Der schottische Botaniker Robert Brown, der 1827 die Molekularbewegung beobachtet hat, ist dabei
nicht mit William Fuller Brown, Jr. zu verwechseln, der 1963 Überlegungen zur Ummagnetisierung
eindomäniger Partikel anstellte.
7

5 Spin Transfer Torque 8
Abb. 4: Schreibkopf einer Festplatte mit Perpendicular Magnetic Recording. Zu sehen sind die einzelnen
Bits, sowie das für den Schreibvorgang erzeugte Magnetfeld. Das Magnetfeld ist hierbei an dem
Bit, das ummagentisiert werden soll, am größten. Es entsteht allerdings auch ein Streufeld, das ein
(ungewolltes) Ummagnetisieren weitere Bits begünstigt. Um das Verhalten eines Bits beschreiben
zu können, muss man also Temperatur- und Streufeld-Effekte berücksichtigen. 1
Die thermischen Anregungen haben dabei die Eigenschaft von weißem Rauschen:
ζi(t) = 0,
ζ ν i (t)ζ κ j (t ′ ) = 2 αµs
γ kBT δi,j δν,κ δ(t − t ′ ),
wobei 〈. . .〉 den Mittelwert darstellt. ν, κ sind kartesische Koordinaten und i, j geben die
Gitterplätze an. kB ist die Boltzmann-Konstante und T die Temperatur.
Das heißt, die thermischen Fluktuationen sind Gauß verteilt, isotrop (also unabhängig
von der Ausrichtung der Koordinatenachsen x, y und z), stationär und nur für Zeiten
korreliert, die kürzer sind, als es dauert, die Magnetisierung signifikant zu ändern. Gleichung
(7) wird als Landau-Lifshitz-Gilbert-Gleichung mit Langevin-Dynamik bezeichnet.
Es handelt sich dabei ebenfalls um eine stochastische Differentialgleichung, die mit Hilfe
numerischer Verfahren (vgl. Kapitel 6) gelöst werden kann.
5 Spin Transfer Torque
Bei den aktuell verwendeten magnetischen Festplatten ist nicht nur die Speicherdichte
auf Grund des superparamagnetischen Limits (s. Kapitel 4) beschränkt, auch die Zugriffszeiten
sind wegen der Verwendung mechanischer Bauteile wie dem Schreib-/Lesekopf
begrenzt. Die Schaltung mechanischer Bauteile ist grundsätzlich langsamer als die elektrischer
Teile. Stuart Parkin [3] stellte daher ein Konzept auf, das auf strominduzierter
Domänenwandbewegung beruht: das sogenannte Racetrack-Memory (s. Abb. 5). Beim
Racetrack-Memory handelt es sich um Nanodrähte, in denen die Domänen bzw. Bits
durch einen Strompuls hin und hergeschoben werden können. Die Vorteile gegenüber
einer herkömmlichen Festplatte bzw. SSDs (solid state device) sind eine größere Speicherdichte,
eine erhöhte Lese-/Schreibrate, sowie ein sehr geringer Stromverbrauch. Wie
bereits erwähnt, beruht das Racetrack-Memory auf strominduzierter Domänenwanddynamik,
welche 1984 von Luc Berger [7] vorgestellt wurde. Demnach führt die Wechselwirkung
zwischen einem Spinstrom und der lokalen Magnetisierung einer Domänenwand auf
Grund von Drehimpulserhaltung zu einer Änderung der Magnetisierungsrichtung. Dies
wird heute spin transfer torque genannt. Eine erste Formulierung eines Drehmoments
auf die Magnetisierung, welches durch einen spinpolarisierten Strom hervorgerufen wird,
3 http://www.rhombos.de/imgs/c/NEWS/Festplatte48484.jpg
8

5 Spin Transfer Torque 9
Abb. 5: Links: Bild einer Festplatte mit mechanischem Schreib-/Lesekopf. Mitte: Racetrack-Memory vor
Strompuls. Rechts: Racetrack-Memory nach Strompuls. Es ist zu sehen, dass der Strompuls die
Domänen und somit die einzelnen Bits nach links verschoben hat. 3
stellte Slonczewski 1996 [8] für ein ferromagnetisches Schichtsystem auf.
Es existieren zwei Drehmomentterme: der adiabatische und der nichtadiabatische spin
torque. Diese sollen in den folgenden Abschnitten vorgestellt werden.
5.1 Adiabatischer Spin Transfer Torque
Zur Herleitung des adiabatischen spin torque Terms soll der einfache Fall eines spinpolarisierten
Stroms in x-Richtung (vgl. Abb. 6) betrachtet werden [9]. Des Weiteren wird
angenommen, dass sich die Magnetisierung M entlang der betrachteten Richtung nur langsam
ändert. Dies hat zur Folge, dass die Domänenwandbreite im Verhältnis zu anderen
charakteristischen Längenskalen wie Fermi-Wellenlänge sehr groß ist. Diese adiabatische
Näherung führt zu der Annahme, dass die Spins der Ladungsträger immer in Richtung
der lokalen Magnetisierung zeigen. Da sich die Magnetisierungsrichtung innerhalb einer
Domänenwand ändert, führt dies auf Grund der Austauschwechselwirkung zu einer Änderung
der Spinstromdichte jx in x-Richtung. Durch die Drehimpulserhaltung resultiert ein
Drehmoment auf die Magnetisierung, welches adiabatischer spin torque genannt wird:
Abb. 6: Eindimensionale Spinkette in x-Richtung mit Kopf-an-Kopf Domänenwand [5]
∂ M
∂t
∂
= −jx
S
∂x
= −µBje
e P ∂ S
∂x .
je ist dabei die elektrische Stromdichte, P die Spinpolarisation, µB das Bohrsche Magneton
und e die Elementarladung.
Der adiabatische spin torque ergibt sich somit aus der räumlichen Änderung der Spinstromdichte.
Für den allgemeinen Fall einer beliebigen Stromflussrichtung betrachtet man
den effektiven Spinstrom
u = µBP
je,
eMs
9

5 Spin Transfer Torque 10
wobei Ms die Sättigungsmagnetisierung ist. u hat die Einheit einer Geschwindigkeit. Für
das Drehmoment auf eine Domänenwand auf Grund des adiabatischen spin torque folgt:
∂ S
∂t
= − u ·
∇ S.
Wie in Abbildung 7 zu erkennen ist, führt der adiabatische spin transfer torque zu einer
Bewegung der Domänenwand in Richtung des angelegten Stromes.
Abb. 7: Adiabatischer spin transfer torque. Abgebildet ist eine eindimensional lineare Spinkette entlang x
zu verschiedenen Zeiten t. Durch einen Spinstrom ux > 0 wird die Kopf-an-Kopf Domänenwand
in positive x-Richtung verschoben. [5]
5.2 Nichtadiabatischer Spin Transfer Torque
Wie sich jedoch herausstellte, reicht der adiabatische spin torque Term allein nicht zur
Beschreibung strominduzierter Domänenwandbewegung aus. Denn die von Thiaville et
al. [10] vorausgesagten Werte für die kritische Stromdichte und Domänenwandgeschwindigkeit
stimmen nicht mit denen im Experiment von Yamaguchi et al. [11] gemessenen
überein. Wegen dieser Diskrepanzen wurde ein weiterer Drehmomentterm, der sogenannte
nichtadiabatische spin transfer torque, eingeführt.
Dieser hat die Form:
∂ S
∂t = β
S × u ·
∇ S
und steht senkrecht auf dem adiabatischen Term. Die Größe wird durch den Nichtadiabatizitätsfaktor
β festgelegt.
Thiaville et al. [10] führten diesen Term ursprünglich phänomenologisch ein und identifizierten
β =
Jexτsp
mit der Austauschkonstanten Jex und der Spin-Flip-Zeit τsp. Zhang und Li [12] kamen
auf Grund anderer Überlegungen jedoch auch auf den gleichen Ausdruck, so dass dieser
als korrekt angenommen wird. Allerdings ist bis heute immer noch nicht geklärt, welche
Größenordnung und welche physikalischen Effekte β bestimmen. Des Weiteren ist der
Zusammenhang zwischen der Dämpfungskonstanten α und β ebenfalls noch nicht beantwortet.
Abbildung 8 zeigt die Auswirkung des nichtadiabatischen spin transfer torques auf eine
Domänenwand. Diese wird durch das Drehmoment aus der Ebene ausgelenkt und präzediert
um die x-Achse.
Um strominduzierte Effekte in den Bewegungsgleichungen zu berücksichtigen, kann die
Gilbert-Gleichung (4) um die spin transfer torque Terme erweitert werden. Man erhält
dann die erweiterte Gilbert-Gleichung [13]:
∂ S
∂t
= − γ
µs
Si × Hi,eff + α Si × ∂ Si
∂t −
u ·
∇ Si + β
Si × u ·
∇ Si .
10

6 Numerische Lösung von stochastischen Differentialgleichungen 11
Abb. 8: Nichtadiabatischer spin transfer torque. Abgebildet ist eine eindimensional lineare Spinkette entlang
x zu verschiedenen Zeiten t. Durch einen Spinstrom ux > 0 und für α > β präzediert die
Kopf-an-Kopf Domänenwand um die x-Achse in negative z-Richtung. [5]
Da auch hier die zeitliche Ableitung auf beiden Seiten der Gleichung steht, wird diese meist
in eine Form analog zur Landau-Lifshitz-Gilbert-Gleichung gebracht. Diese Gleichung wird
erweiterte Landau-Lifshitz-Gilbert-Gleichung genannt:
∂ S
∂t
= −
−
γ
(1 + α2 Si ×
)µs
γ · α
Hi,eff −
(1 + α2
Si × Si ×
)µs
Hi,eff
1 + βα
1 + α2
u ·
α − β
∇ Si −
(1 + α2
Si × u ·
)µs
∇ Si .
Mit den letzten beiden Termen sind alle Richtungen senkrecht zur Magnetisierung abgedeckt,
so dass alle spin torque Effekte durch diese Terme beschrieben werden.
6 Numerische Lösung von stochastischen
Differentialgleichungen
Alle vorgestellten Bewegungsgleichungen sind Differentialgleichungen, die sich auf Grund
ihrer Komplexität jedoch nicht mehr analytisch lösen lassen. Daher muss auf numerische
Lösungsverfahren zurückgegriffen werden. Das Prinzip solch numerischer Näherungen soll
anhand des expliziten Euler- und des Heun-Verfahrens erläutert werden.
Zu Beginn betrachten wir das Anfangswertproblem
mit
˙
φ(t) = f (t, φ(t))
φ(t0) = φ0.
F (t) bezeichne die eindeutige Lösung und φn die angenäherten Werte von F (tn) mit
tn = t0 + nh (n = 0, 1, 2, . . .). h = tn+1 − tn ist die Schrittweite.
6.1 Das explizite Euler-Verfahren:
Das einfachste Verfahren, eine Differentialgleichung numerisch zu lösen, ist das 1768 von
Leonhard Euler vorgestellte, nach ihm benannte explizite Euler-Verfahren. Die iterierten
Werte werden, wie folgt, berechnet:
φn+1 = φn + hf(tn, φn).
Wie man in Abbildung 9 erkennen kann, wird beim expliziten Euler-Verfahren das Integral
über ein Rechteck genähert.
4 http://www.wissenschaft-online.de/spektrum/projekt2/gaes4.htm
11
(8)

6 Numerische Lösung von stochastischen Differentialgleichungen 12
6.2 Das Heun-Verfahren:
Abb. 9: Explizites Euler-Verfahren 4 mit y ′ = ˙ φ
Ein im Vergleich zum expliziten Euler-Verfahren verbessertes Näherungsverfahren ist das
Heun-Verfahren. Hierbei wird das Integral über ein Trapez genähert (s. Abb. 10). Es wird
Abb. 10: Heun-Verfahren 5
somit auch die Mitte zwischen den beiden Eckpunkten des Rechtecks berücksichtigt, was
eine genauere Angleichung an die Funktion zur Folge hat. Die iterierten Werte lassen sich
wie folgt berechnen:
φn+1 = φn + h
f
2
tn, φn + f tn + h, φn + hf[tn, φn]
. (9)
Wie bei jedem numerischen Näherungsverfahren wird die Näherung umso genauer, je kleiner
die Schrittweite h ist. Eine kleinere Schrittweite hat jedoch mehr Rechenschritte und
somit eine längere Rechenzeit zur Folge, um dieselbe ” Strecke“ auf der t-Achse zurückzulegen.
Das heißt, man muss bei der Wahl der Schrittweite immer zwischen Genauigkeit
und Rechenaufwand abwägen.
Die Entscheidung, welches numerische Verfahren man zur Lösung einer stochastischen
Differentialgleichung nimmt, ist nicht so einfach, wie es auf den ersten Blick scheint.
Auf Grund unterschiedlicher Integraldefinitionen existieren nämlich zwei unterschiedliche
theoretische Ansätze, der nach Itô und der nach Stratonovich [14], welche auch zu verschiedenen
Ergebnissen führen. So konvergiert die numerische Integration mit Hilfe des Euler-
Verfahrens gegen die Itô-Lösung der stochastischen Differentialgleichung, wogegen das
5 http://www.wissenschaft-online.de/spektrum/projekt2/gaes4.htm
12

7 Anwendung 13
Heun-Verfahren auf die Stratonovich-Lösung führt. Da die Lösung der Landau-Lifshitz-
Gilbert-Gleichung gegen die Stratonovich-Lösung konvergiert, wird bei der in Kapitel 7
vorgestellten Simulation das Heun-Verfahren benutzt.
7 Anwendung
7.1 Strominduzierte Domänenwandbewegung
In diesem Kapitel sollen von Schieback et al. durchgeführte numerische Simulationen der
erweiterten Landau-Lifshitz-Gilbert-Gleichung (8) zur strominduzierten Domänenwanddynamik
[13] vorgestellt werden.
Grundlage ist das klassiche Heisenberg-Model
H = − J
Si
Sj −
(10)
− w
2
i,j
i
i=j
dx
i
S 2 x,i + dy
3( Si · ei,j)(ei,j · Sj) − Si · Sj
r 3 i,j
i
S 2 y,i
− µs B ·
Si.
Die magnetischen Momente sind dabei auf einem kubischen Gitter mit ferromagnetischer
Nächste-Nachbar-Wechselwirkung angeordnet. Si = µi/µs mit µs = |µi| bezeichnet das
normierte Spinmoment, J ist die ferromagnetische Austauschkonstante (J > 0), dx und
dy sind die Anisotropiekonstanten. Für dx > dy > 0 ist die x-Achse die magnetisch ” leichte“
Achse und die y-Achse die magnetisch ” mittlere“ Achse. w = µ0µ 2 s/(4πa 2 ) gibt die
Stärke der Dipol-Dipol-Wechselwirkung an, ri,j den Abstand zwischen zwei magnetischen
Momenten i und j, wobei i und j in Einheiten der Gitterkonstanten a angegeben ist. ei,j
sind die Einheitsvektoren in ri,j-Richtung und B steht für das äußere Magnetfeld.
Der erste Term der Hamiltonfunktion H beschreibt die isotrope Austauschwechselwirkung
zwischen benachbarten magnetischen Momenten. Die ferromagnetische Austauschwechselwirkung
führt dazu, dass sich die Spins parallel ausrichten. Der zweite und dritte Term
stehen für die Anisotropie. Da dx > dy > 0, richten sich die magnetischen Momente bevorzugt
in der xy-Ebene aus. Der vierte Term der Hamiltonfunktion H beschreibt die
langreichweitige Dipol-Dipol-Wechselwirkung. Diese drei Wechselwirkungen bestimmen
die magnetische Ordnung des Systems. Der letzte Term in Gleichung (10) berücksichtigt
den Einfluss eines externen Magnetfeldes (Zeeman-Term).
7.2 Simulationsbedingungen
In der Simulation wurde der einfachste Fall einer eindimensionalen Kette entlang der
x-Achse betrachtet. Da die Temperatur auf T = 0 K gesetzt wurde, können temperaturbedingte
Effekte vernachlässigt werden. Die ferromagnetische Austauschwechselwirkung
und die Anisotropien betrugen dx/J = 0, 01 sowie dy/J = 0, 005 und die Gilbert-Dämpfung
hatte einen Wert von α = 0. Da w = 0 und B = 0, gibt es keine Dipol-Dipol-
Wechselwirkung und keine Wechselwirkung mit einem äußeren Magnetfeld. Das heißt,
der vierte und fünfte Term in Gleichung (10) fallen weg.
Als Anfangsmagnetisierung wurde eine planare Domänenwand in der xy-Ebene gewählt.
Der Strom wurde in x-Richtung angelegt. Des Weiteren wurde angenommen, dass β über
das gesamte System konstant ist.
13
i

7 Anwendung 14
7.3 Simulationsergebnisse
Die Ergebnisse der Simulation sind in Abbildung 11 dargestellt. Zu sehen ist die Domänenwandgeschwindigkeit
〈v〉 in Abhängigkeit von der angelegten Stromdichte ux. Für kleine
Stromdichten ux und für β = 0 läuft die Domänenwand den Draht entlang, bis sie ein
Maximum erreicht und dann stoppt. Gleichzeitig werden die magnetischen Momente der
Domänenwand bis zu einem maximalen Winkel aus der Ebene herausgedreht. Dieser Effekt
kann erklärt werden, wenn man die erweiterte Landau-Lifshitz-Gilbert-Gleichung (8)
betrachtet.
Die spin torque Terme werden von einem ” inneren“ Drehmoment auf Grund des Anisotropie-
Beitrages zum effektiven Feld kompensiert. Die Verschiebung in der x-Richtung ist durch
den dritten Term der Landau-Lifshitz-Gilbert-Gleichung gegeben und wird durch den
Präzessionsterm ausgeglichen, welcher in die entgegengesetzte Richtung zeigt. Die vierte
Term, der die magnetischen Momente aus der Ebene herausdreht, wird durch Relaxationsterm
kompensiert.
Abb. 11: Simulationsergebnisse der Domänenwandgeschwindigkeit 〈v〉 in Abhängigkeit der angelegten
Stromdichte ux für verschiedene Werte von β und α = 0.02. Die gestrichelten Linien stellen Fits
an analytische Vorhersagen [10] dar. Die nicht gefüllten Symbole zeigen an, dass die Domänenwand
um die x-Achse rotiert. [13]
Wie in Abbildung 11 zu sehen ist, wird für kleine Stromdichten in der Langzeitbetrachtung
keine kontinuierliche Domänenwandbewegung beobachtet. Für größere Stromdichten
kann die spin torque Terme nicht mehr von den ” inneren“ Drehmomenten auf Grund von
Anisotropie-Effekten kompensiert werden. Zusätzlich zur Domänenwandbewegung erfolgt
eine Präzession der magnetischen Momente um die x-Achse.
Für den Fall β = 0 erhält man einen kritischen Wert für die Stromdichte uc. Für β = α
verschwindet der letzte Term der Landau-Lifshitz-Gilbert-Gleichung. Die magnetischen
Momente werden somit nicht aus der Ebene herausgedreht und es wirkt kein Drehmoment
auf Grund des Präzessions- und Relaxationsterms auf sie. Nur der dritte Term
der Landau-Lifshitz-Gilbert-Gleichung ist wirksam. Dieser führt zu einer Verschiebung
der Domänenwand entlang des Drahtes, es findet allerdings keine Transformation bzw.
Präzession der Domänenwand um die x-Achse statt.
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8 Zusammenfassung 15
Für Stromdichten ux < uWalker ist eine kontinuierliche Domänenwandbewegung zu sehen.
Für größere Stromdichten ux > uWalker rotieren die magnetischen Momente der Domänenwand
kontinuierlich um die x-Achse. Dies resultiert in einer niedrigeren Domänenwandgeschwindigkeit.
Für sehr viel größere Stromdichten nimmt die Geschwindigkeit wieder
zu.
8 Zusammenfassung
In diesem Bericht wurden die zur Beschreibung der Dynamik magnetischer Systeme wichtigen
Bewegungsgleichungen vorgestellt. Es handelt sich dabei um die Landau-Lifshitz-
Gleichung (3), welche von Gilbert verändert wurde (4), um unphysikalische Ergebnisse für
hohe Dämpfungen zu korrigieren. Eine weitere Ergänzung führte zur Langevin-Dynamik
(7), die Temperatureinflüsse berücksichtigt. Des Weiteren wurden die durch einen spinpolarisierten
Strom hervorgerufenen spin transfer torque Terme (8) vorgestellt. Mit Hilfe
strominduzierter Domänenwanddynamik lassen sich in Zukunft Lese- und Schreibvorgänge
in Festplatten wesentlich beschleunigen (Racetrack-Memory).
Außerdem wurde gezeigt, wie solche Differentialgleichungen numerisch gelöst werden können.
Dazu kann entweder das explizite Euler- oder das Heun-Verfahren verwendet werden.
Welches numerische Verfahren benutzt wird, hängt dabei von der verwendeten Differential-Gleichung
ab (Itô-Stratonovich-Dilemma). Zum Schluss wurden noch die Ergebnisse
einer Simulation über strominduzierte Domänenwanddynamik präsentiert.
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Literaturverzeichnis 16
Literaturverzeichnis
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