0.1 Globale Beleuchtungsverfahren – Das Radiosity-Verfahren

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0.1 Globale Beleuchtungsverfahren – Das
Radiosity-Verfahren
0.1.1 Einführung und Grundlagen
• realitätsnahe Darstellungen in der Computergrafik erfordern nicht nur die möglichst exakte
Wiedergabe der Geometrie von Objekten bzw. Szenen, sondern auch eine möglichst
realitätsnahe Wiedergabe der Beleuchtung der Objekte
• man unterscheidet im Wesentlichen:
1. lokale Beleuchtungsmodelle:
– die Modelle beschreiben die in einem Punkt der Objektoberfläche wahrnehmbare
Leuchtdichte
– lokale Beleuchtungsmodelle berechnen aufgrund der Oberflächeneigenschaften
(Reflektionseigenschaften, u. a.) und der Eigenschaften des einfallenden
Lichts (Farbe, Richtung, usw.) die aktuelle Farbe eines Pixels
– der Austausch von Licht zwischen Objektoberflächen bleibt unberücksichtigt
– ein Ziel der lokalem Beleuchtungsmodelle ist, den Berechnugsaufwand möglichst
klein zu halten ⇒ einige physikalische Gesetzmäßigkeiten werden nicht
berücksichtigt
– einige natürliche Effekte können nicht oder nur unzureichend realisiert werden
(Schatten, Brechung, Spiegelung)
– viele gängige Computergrafiksysteme verwenden lokale Beleuchtungsmodelle
(insbesondere die OpenGL)
2. globale Beleuchtungsmodelle:
– das Ziel der globalen Beleuchtungsmodelle ist eine möglichst realitätsnahe
Ausleuchtung der Szene ⇒ möglichst exakte Einhaltung der physikalischen
Grundlagen ist zwingend erforderlich
– zwei relativ gegensätzliche Verfahren haben sich als besonders geeignet erwiesen,
Raytracing und das Radiosity-Verfahren
– beim Raytracing verfolgt man die Lichtstrahlen vom Auge des Betrachters
bis zur Lichtquelle bzw. bis der Strahl die Szene verlässt oder eine gewisse
Intensität unterschreitet
– das Raytracing ist besonders für Szenen geeignet, die viele transparente Objekte
oder Objekte mir spiegelnder Oberfläche enthalten
– für diffus reflektierende Oberflächen ist das Raytracing weniger geeignet
– ein weiterer Nachteil des Raytracings ist, dass die Szene für einen bestimmten
Standpunkt des Betrachters berechnet wird, d. h. aandert der Betrachter seine
Position in der Szene muss die Szene neu berechnet werden

0.2 Grundlagen des Verfahrens 2
– das Radiosity-Verfahren hingegen ist nur für diffuse Reflektion geeignet und
kann spiegelnde und transparente Oberflächen nur schwer oder gar nicht darstellen
– diese Einschränkung ist aber in der Praxis keine große Einschränkung, das
in unserer natürlichen Umgebung üüberwiegend diffus reflektierende Oberflächen
vorkommen, besonders für die Beleuchtungssimulation von Innenräumen
(indirekte Beleuchtung) ist das Radiosity-Verfahren besonders geeignet
– ein wesentlicher Vorteil ist die betrachterunabhängige Berechnung der Szene,
d. h. beim Durchwandern der Szene muss diese nicht neu berechnet werden
– der Nachteil des Radiosity-Verfahrens ist der wesentlich höhere Rechenaufwand
und der hohe Speicherbedarf
• Radiosity-Verfahren wurde 1983 von Cindy M. Goral und Donald P. Greenberg vorgestellt
• das Modell beruht auf der Energieerhaltung, d. h. es besteht ein Gleichgewicht zwischen
ausgestrahltem und absorbierten Licht
• dieses Gleichgewicht führt zu einer zeitunabhängigen Ausleuchtung der Szene, die,
bedingt durch die Beschränkung auf ideal diffuse Reflektion (einfallendes Licht wird
gleichmäßig in alle Richtungen reflektiert) vom Standpunkt des Betrachters unabhängig
ist
0.2 Grundlagen des Verfahrens
• die Oberflächen der Szene werden in insgesamt n Flächenstücke mit Flächeninhalt A i , i =
1,...,n zerlegt
• für jedes Flächenstück gilt:
1. die Lichtemission ist konstant, jeder Punkt des Flächenstückes sendet gleichviel
Licht aus
2. die Lichtreflektion ist konstant
3. der Radiosity-Wert B i (in W · m −2 ) ist konstant
• für jedes Flächenelement sind folgende Werte vorgegeben:
1. die Lichtemission (E i ) pro Einheitsfläche (in W · m −2 ) (Designentscheidung)
2. der diffuse Reflektionskoeffizient ρ i (in [/]) (Designentscheidung)
• die beiden vorgenannten Größen variieren für verschiedene Wellenlängen (Farben) des
Lichts, deshalb wird das sichtbare Spektrum des Lichts diskretisiert und Gleichungssystem
(0.2) wird für jeden Wellenlängenbereich berechnet

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• Wir betrachten ein einzelnes Flächenstück i. Das Licht (genauer die Strahlungsleistung
Φ i = B i A i (in [W])), welches von diesem Flächenstück ausgeht setzt sich wie folgt
zusammen:
1. Eigenemission, E i · A i (in [W]) („Lichtquelle oder nicht“),
2. dem reflektierten Anteil, des von anderen Flächenstücken einfallenden Lichts:
a) ρ i (ist vorgegeben) bestimmt, wieviel Licht einer Wellenlänge reflektiert wird
b) die Strahlungsenergie die von Flächenelement j ausgeht ist B j A j , davon trifft
der Anteil F ji direkt auf das Flächenelement i auf, F ji heißt Formfaktor
Insgesamt beträgt die Strahlungsleistung des Flächenstückes i also:
Φ i = B i A i = E i · A i + ρ i ·
n
∑ FjiB jA j
j=1
• mit der Symmetrie-Bedingung (bzw. reziproken Relation, wird später noch begründet)
A j F ji = A i F i j und Division durch A i erhält man die Radiosity-Gleichung:
B i = E i + ρ i ·
n
∑ Fi jB j
j=1
(0.1)
• stellt man Gleichung (0.1) für alle Flächenelemente auf, erhält man ein lineares Gleichungssystem
mit n Gleichungen:
⎛
⎞
1 − ρ1F11 −ρ1F12 ··· −ρ1F1n ⎜
⎟
⎜ −ρ
⎜ 2F21 1 − ρ2F22 . ⎟
⎝
. ⎟
.
.. −ρn−1F ⎠
n−1n
·
⎛
⎜
⎝
−ρnF n1 ··· −ρnF n−1n 1 − ρnFnn
• Herleitung Gleichungssystem: Stelle Gleichung (0.1) für i auf
B i = E i + ρ i F i1 B 1 + ρ i F i2 B 2 + ... + ρ i F ii B i + ... + ρ i F in Bn
E i = B i − ρ i F i1 B 1 − ρ i F i2 B 2 − ... − ρ i F ii B i − ... − ρ i F in Bn
E i = −ρ i F i1 B 1 − ρ i F i2 B 2 − ... + B i − ρ i F ii B i − ... − ρ i F in Bn
Ei = −ρiFi1B1 − ρiFi2B2 − ... + (1 − ρiFii )Bi − ... − ρiFinBn Ei = ⎛ ⎞
B1 ⎜
B ⎟
2 ⎟
⎜ ⎟
⎜ . ⎟
−ρiFi1 −ρiFi2 ... (1 − ρiFii ) ... −ρiFin · ⎜ ⎟
⎜ B
⎜ i ⎟
⎝ . ⎠
B 1
B 2
.
Bn
Bn
⎞
⎛
⎟
⎠ =
⎜
⎝
E 1
E 2
.
En
⎞
⎟
⎠ (0.2)
| − (ρ i F ik B k ) 1 ≤ k ≤ n

0.2 Grundlagen des Verfahrens 4
• Um dieses Gleichungssystem lösen zu können, müssen noch die Formafaktoren berechnet
werden.
• Im folgenden Abschnitt wird der Raumwinkel benötigt.
Definition 0.1 (Raumwinkel)
Der Raumwinkel Ω (in Steradiant m 2 · m −2 = sr ) ist der Quotient aus dem Flächeninhalt
eines Teilstücks der Kugeloberfläche und dem Quadrat des Radius der Kugel.
Beispiel 0.1
Die Oberfläche einer Kugel mit Radius r ist 4πr 2 , entsprechend ist der volle Raumwinkel
4πr 2
r 2 = 4π.
• Wir betrachten ein Flächenstück j, das Licht an ein Flächenstück i sendet.
• Die Strahlungsleistung, oder Strahlstärke (in Watt [W]) des Flächenstückes j in den
Raumwinkel Ω ist wie folgt definiert:
Φ j (Ω) = I(φ j ) · Ω (0.3)
– φ j ist der Winkel zwischen der Flächennormale von A j und der Stahlrichtung
– I(φ j ) ist die Lichtstärke oder Strahlstärke von A j in Strahlrichtung
– das Radiosity-Verfahren berücksichtigt nur Oberflächen mit konstanter, richtungsunabhängiger
Leuchtdichte L (in W · m −2 · sr −1 ), für diese Flächen gilt das
LAMBERTSCHE Kosinus-Gesetz:
A j
φ j
A i
Aj cos φ j
– Die Strahlstärke die A j in Richtung φ j sendet ergibt sich aus:
I(φ j ) = L · A j · cos φ j . (0.4)

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• Die Strahlungsleistung des Flächenelementes j in den Raumwinkel Ω hat damit die
folgende Form (mit (0.3) und (0.4)):
Φ j (Ω) = I(φ j ) · Ω = L · A j · cos φ j · Ω. (0.5)
• Uns interessiert aber die Strahlleistung, die von Flächenelement j auf Flächenelement i
fällt. Dazu betrachten wir den Raumwinkel Ω ji :
1. lege eine Einheitshalbkugel über A j deren Mittelpunkt mit dem Mittelpunkt von
A j übereinstimmt
2. der Abstand der Mittelpunkte von A j und A i sei r
3. φ i ist der Winkel zwischen der Normalen von A i und der Verbindungsgeraden der
Mittelpunkte von A j und A i (Projektionsrichtung)
4. nach dem LAMBERTSCHEN Kosinus-Gesetz ist die „wirksame“ Fläche von Ai in
Projektionsrichtung: Ai · cos
φi Damit ergibt sich Ω ji wie folgt:
Ω ji = Ai · cos
φi r2 (0.6)
• Mit (0.3), (0.4) und (0.6) habe wir alle Bestandteile des Grundgesetzes der Strahlungsübertragung
von A j nach A i :
Φ j (Ω ji ) = L j ·
cos
φi · cos φ j
r2 · Ai · A j (0.7)
• Bisher sind wir immer vom Mittelpunkt von A j ausgegangen und haben φ i und φ j als
Winkel zwischen der jeweiligen Normale und der Verbindungsgerade der Mittelpunkte
von A i und A j angenommen. Im allgemeinen Fall muss man aber alle Punkte, mit
entsprechend unterschiedlichen Winkeln zwischen Normale und Projektionsrichtung,
berücksichtigen (nicht nur die Mittelpunkte). Daher Übergang zu differentiellen Flächenelementen
dA i und dA j (mit „unendlich kleinem Flächeninhalt“).
• Mit den differentiellen Flächenelementen ergibt sich die Gesamtstrahlung von A j in den
Halbraum über A j durch Integration von Gleichung (0.5):
da:
Φ j (Ω) = L j · dA j ·
Ω
cos φ j dΩ = L j · dA j · πdΩ, (0.8)
dΩ = sin(φ)dθdφ (Def.)

0.2 Grundlagen des Verfahrens 6
wobei φ j der Winkel zwischen der Normale von A j und der Projektionsrichtung ist und
θ der Winkel zwischen der positiven x-Achse und der Projektionsrichtung, damit ergibt
sich:
Ω
cos φ j dΩ =
2π
π
2
θ=0 φ j =0
= π
cos φ j sin φ j dφ jdθ • Der Anteil der Gesamtstrahlung der von dA j auf dAi fällt ergibt sich aus dem Quotient
von Gleichung (0.7) und (0.8):
FdA jdA =
i Φ j (Ω ji )
Φ j (Ω) = L j · cos(φi)·cos(φ j)
r2 · dAi · dA cos
j
=
L j · dA j · πdΩ
φi · cos φ j · dAi r2 (0.9)
· π
• integriert man (0.9) über Ai erhält man die Gesamtstrahlung, die von Flächenelement
dA j auf Flächenelement Ai fällt:
cos
φi · cos φ j
r2 · dAi (0.10)
· π
A i
• Durch Mittelwertbildung über A j erhält man den Anteil der Gesamtstrahlung der vom
gesamten Flächenelement A j auf A i fällt, dieser Anteil ist gerade der gesuchte Formfak-
tor F ji :
F ji = 1
A j
A j Ai cos
φi · cos φ j
r2 dAidA j
· π
(0.11)
Bemerkung 0.1
1. Die Berechnung der Formfaktoren ist der rechenaufwendigste Schritt des Radiosity-
Verfahrens, ca. 90% der Rechenzeit wird für die Formfaktoren verbraucht ⇒ Methoden
zur Beschleunigung des Radiosity-Verfahrens werden sich auf diesen Schritt
konzentrieren.
2. Ziel ist es, die Anzahl der zu berechnenden Formfaktoren zu verringern und/oder
die Berechnung der Formfaktoren durch “geeignete„ Maßnahmen zu vereinfachen
3. Um die teilweise oder vollständige Verdeckung von dAi und dA j zu berücksichtigen
fügt man in Gleichung (0.11) eine wie folgt definierte binäre Funktion ein:
0, falls dAi von dA j aus nicht sichtbar ist
H(dAi ,dA j ) =
(0.12)
1, sonst
Wir werden diese Funktion aber der Einfachheit halber vernachlässigen.

7
4. stellt man Gleichung (0.11) für beide Flächenelemente A i und A j auf, so kann man
die Richtigkeit der anfangs verwendeten Symmetrie-Bedingung sofort erkennen:
Fji · A j =
A j Ai
Fi j · Ai =
Ai A j
F ji · A j = F i j · A i
cos
φi · cos φ j
r2 dA jdAi · π
cos φ j · cos
φi r2 dAidA j
· π
(0.13)
5. Die Formfaktoren sind ausschließlich von der Geometrie der Szene abhängig, insbesondere
sind die Formfaktoren unabhängig von der Wellenlänge des Lichts, und
müssen deshalb nur einmal berechnet werden (das Gleichungssystem (0.2) muss
für jede Wellenlänge berechnet werden).
• Es sind jetzt alle Größen bekannt, die zur Lösung des Gleichungssystems (0.2) benötigt
werden. Zur Lösung bieten sich iterative Verfahren an (Gaus-Seidel-Verfahren) die
bereits nach wenigen Iterationen eine Konvergenz der Radiosity-Werte liefern.
0.2.1 Berechnung der Formfaktoren
• eine analytische Lösung des Doppelintegrals (0.11) ist nur für einige Spezialfälle möglich,
auch eine numerische Lösung ist sehr aufwändig
1. Vereinfachung des Integrals:
• ist der Abstand zwischen den Flächen A i und A j groß im Vergleich zur Ausdehnung
der Fläche A j , so verändern sich die Winkel φ i und φ j und der Abstand r nur
unwesentlich während der Integration über A j

0.2 Grundlagen des Verfahrens 8
• damit kann das Integral wie folgt geschrieben werden:
Fji = 1
cos
A j
A j Ai
φi · cos φ j
r2 dA jdAi · π
= 1
cos
A j
Ai
φi · cos φ j
r2
1dA jdAi · π
A j
= 1
cos
A j
Ai
φi · cos φ j
r2 · A jdAi · π
cos
FdA j ,A =
i
φi · cos φ j
r2 dAi · π
A i
(0.14)
Die Gleichung (0.14) beschreibt den Formfaktor zwischen dem differentiellen Flächenelement
dA j und dem endlichen Flächenelement A i .
• Dies Vereinfachung wird sehr häufig verwendet, und die Voraussetzungen lassen
sich durch Unterteilung der Fläche A j immer erfüllen. Mehr dazu im nächsten
Abschnitt.
2. Vereinfachung der geometrischen Grundlagen:
a) Halbkugel-Verfahren
b) Halbwürfel-Verfahren
0.2.1.1 Halbkugel-Verfahren
• Durch die Vereinfachung in Gleichung (0.14) wird A j auf seinen Mittelpunkt reduziert
(die Winkel und der Abstand r wurden als konstant angenommen).
• Wieder Vorstellung der Einheitshalbkugel über A j mit Mittelpunkt im Mittelpunkt von
A j . A j strahlt Energie (Licht) in den gesamten Halbraum. (Folie)
• Die Strahlung die A i von A j erhält ist proportional zur Fläche die durch Projektion von A i
auf die Oberfläche der Einheitshalbkugel um A j mit Projektionszentrum im Mittelpunkt
von A j entsteht.
• Ist A ji die Fläche der Projektion, dann gilt für den Formfaktor:
FA jA =
i A ji
. (0.15)
π
Die Herleitung dieser Beziehung findet man unter anderem in [ESK2]. Die Herleitung
ist für uns im Moment uninteressant.

9
• Die aufwändige Berechnung von A ji umgeht man, indem man die Oberfläche der Einheitshalbkugel
in diskrete Bereiche gleicher Raumwinkel unterteilt.
• Um den Formfaktor zu bestimmen zähle die durch die Projektion überdeckten Bereiche
(einfache Berechnung des Schnittpunktes einer Geraden mit einer Kugel).
• Die Idee dieses Verfahrens ist sehr gut, aber es lässt sich nur schwer umsetzen ⇒ keine
praktische Relevanz.
• Ersetze die Halbkugel durch einen Halbwürfel
0.2.1.2 Halbwürfel-Verfahren
(Folie)
• lege einen Halbwürfel (Hemi-Cube) mit Kantenlänge 2 über A j (Mittelpunkt des Würfels
gleich Mittelpunkt von A i )
• teile die Oberflächen des Würfels in quadratische Teilbereiche, sog. Pixel ein (meist
50 × 50 oder 100 × 100) ⇒ „Diskretisierung“
• der Formfaktor F ji wird nun aus der Projektion von A i auf den diskretisierten Halbwürfel
bestimmt
• verwende Hilfsgröße Delta-Formfaktor, ΔFq die angibt, welchen Beitrag das Pixel q
zum Formfaktor F ji beiträgt
Bemerkung 0.2 (zum Delta-Formfaktor)
1. Überdecken die Projektionen mehrerer Flächenstücke der Szene das gleiche Pixel,
so liefert das Pixel nur zu dem Formfaktor des nächstgelegenen Flächenstückes
einen Beitrag. (Alle anderen Flächenstücke sind verdeckt, wenn man von A j durch
dieses Pixel blickt)
2. In Abhängigkeit von ihrer Lage auf dem Halbwürfel überdecken die Pixel verschiedene
Raumwinkel ⇒ die Delta-Formfaktoren müssen für jedes Pixel berechnet
und gespeichert werden (nur einmal, da die Deltaformfaktoren für alle Halbwürfel
gleich sind).
• Ist R die Anzahl der durch die Projektion von A i überdeckten Pixel dann gilt für den
Formfaktor:
F ji =
R
∑ ΔFq
q=1
falls kein A k existiert, das ebenfalls eines der Pixel überdeckt und näher an A j liegt.
(0.16)

Bestimmung der Delta-Formfaktoren
0.2 Grundlagen des Verfahrens 10
• verwende rechtshändiges Koordinatensystem dessen Ursprung im Mittelpunkt des Würfels
(und damit im Mittelpunkt von A j ) liegt
• betrachte ein Pixel q auf der Deckfläche des Halbwürfels (Folie):
– r sei der Abstand des Mittelpunkts von q zum Ursprung (Koordinaten des Mittelpunkts:
(xq,yq,1))
r 2 = 1 + x 2 q + y 2 q
• es gilt: φ j = φq, da die Normalen von A j und q parallel sind, damit ist:
cos 1
φi = cos φq =
r =
1
1 + x 2 q + y 2 q
(0.17)
(0.18)
• ist Δq (man kann Δq als differentielles Flächenelement interpretieren) der Flächeninhalt
von Pixel q, erhält man mit Gleichung (0.9) und (0.18):
=r −1
=r −1
cos
ΔFq =
φi · cos
φq ·Δq
r2 · π
= Δq
r4 · π
Δq
=
π · 1 + x2 q + y2 2 q
• für Pixel p auf der rechten bzw. linken Seitenfläche erhält man:
Δp
ΔFp =
π · 1 + y2 p + z2 p
• für Pixel r auf der vorderen bzw. hinteren Seitenfläche erhält man:
2
Δr
ΔFr =
π · (1 + x2 r + z2 r) 2
(0.19)
(0.20)
(0.21)
(0.22)
(0.23)
• Mit diesen Formeln kann man für jedes Pixel den Delta-Formfaktor berechnen und in
einer Tabelle speichern.
• Bei der Berechnung der Formfaktoren mit Gleichung (0.16) kann man auf diese Tabelle
zugreifen.

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0.3 Möglichkeiten zur Optimierung des
Radiosity-Verfahrens
0.3.1 Methode der schrittweisen Verfeinerung
• das bisher vorgestellte Radiosity-Verfahren hat zwei Nachteile:
1. eine Darstellung der Szene ist erst nach vollständig abgeschlossener Berechnung
möglich, d. h. ein interaktives Design ist schwer möglich, da der Designer nach
jeder Änderung warten muss, bis die Szene komplett neu berechnet ist
2. bei insgesamt n Flächenelementen muss jedes Flächenstück O(n) Formfaktoren
speichern ⇒ der Speicherbedarf des Verfahrens wächst quadratisch mit der Anzahl
der Flächenstücke
• Abhilfe: Methode der schrittweisen Verfeinerung
• wie bereits erwähnt wird das Gleichungssystem (0.2) mittels Gaus-Seidel-Verfahren gelöst
• Gaus-Seidel gehört zu den iterativen Verfahren zur Lösung von Gleichungssystemen
und berechnet in jedem Iterationsschritt eine verbesserte Näherungslösung aus einer
bereits vorhandenen Näherung
• betrachtet man die Auswertung einer Zeile i von (0.2) so entspricht dies der Berechnung
einer Näherungslösung für B i auf der Grundlage der Näherungslösungen B j , i = j, j =
1,...,n
B i = E i + ρ i ·
n
∑ Fi jB j
j=1
(0.24)
• Das Aufsummieren der Terme ρ i F i j B i ist mit einem Aufsammeln der Strahlungsanteile
aller anderen Flächenelemente bei Flächenelement i vergleichbar.
• umgekehrt kann man den Anteil des Flächenelementes i bestimmen, den es zur Strahlung
aller anderen Flächenelemente j, i = j beiträgt, er beträgt:
ρ j F ji B i
• mit der reziproken Relation A j F ji = A i F i j erhält man:
ρ j B i F i j
Ai A j
(0.25)
(0.26)
• in diesem Term werden die Formfaktoren F i j verwendet, die man erhält, wenn man
z. B. das Halbwürfelverfahren für das Flächenelement i ausführt

0.3 Möglichkeiten zur Optimierung des Radiosity-Verfahrens 12
• mit diesen Formfaktoren berechnet man den Anteil den i zur Strahlung den übrigen
Flächenelemente j beiträgt und verteilt die Anteile an diese Flächenelemente
– speichert man die Formfaktoren F i j , kann die Berechnung im nächsten Iterationsschritt
entfallen (erhöhter Speicherplatzbedarf)
– verwirft man die Formfaktoren des Flächenelementes i, kann man den Speicherbedarf
linear zur Anzahl der Flächenelemente halten
• die anderen Flächenelemente werden bereits einen gewissen Anteil der Strahlung von
i aus den vorherigen Iterationen beinhalten, deshalb wird bei Flächenelement j in der
Iteration (k + 1) nur die Differenz ΔBi = B (k+1) − B
i
(k) berücksichtigt
i
• das beschriebene Verfahren wird für jedes Flächenelement ausgeführt, dies stellt einen
Iterationsschritt des Verfahrens dar
• nach jedem Iterationsschritt ist eine Darstellung der Szene möglich
– verwendet man als Startwert für ein Element dessen Eigenemissionswert, so werden
anfangs nur die Lichtquellen zu sehen sein
– mit fortschreitender Iteration wird sich das Licht weiter in der Szene ausbreiten,
was einer Aufhellung der Szene entspricht
• bearbeitet man in jeden Iterationsschritt zuerst die Flächenstücke, die das meiste Licht
aussenden, wird man eine relativ schnelle Konvergenz erhalten
0.3.2 Das hierarchische Radiosity-Verfahren
• Die Strahlungsübertragung nach Gleichung (0.7) zwischen zwei Flächenelementen A i
und A j ist unter anderem vom Abstand der beiden Flächenelemente abhängig. Je weiter
die beiden Flächen voneinander entfernt sind desto geringer ist die übertragene Strahlung.
• Diese Tatsache nutzt man aus, indem man die Berechnungen von Φ j (Ω ji ) für dicht
beieinander liegenden Flächenelemente genauer ausführt, als für weit voneinander entfernte
Flächenelemente, da diese nur einen geringen Anteil zur Gesamtstrahlung eines
Flächenelementes beitragen.
• Als Eingabemenge erhält der Algorithmus k Dreiecke oder Vierecke die die Oberflächen
der Objekte der Szene bilden.
• Diese Zerlegung stellt aber nicht die endgültige (feinste) Zerlegung der Oberflächen dar.
• die Eingabepolygone werden durch den Algorithmus bei Bedarf schrittweise rekursiv
unterteilt und die Teilstücke werden in einem Baum (Quadtree bei viermaliger Unterteilung)
gespeichert

13
• die Wurzel eines solchen Baumes ist eines der Eingabepolygone, und die Blätter dieses
Baumes repräsentieren die feinste Zerlegung des Polygons
• durch die Verwendung eines Baumes existieren für ein Eingabepolygon mehrere verschieden
feine Unterteilungen
• beim Aufbau des Baumes wird für jeden Knoten eine Interaktionsliste angelegt, in der
Verweise auf alle Polygone (Eingabepolygone oder eine der Unterteilungen) gehalten
werden, mit denen dieses Polygon Energie (Licht) austauscht
• dicht benachbarte Flächenstücke werden auf Blattebene Licht austauschen, da die Formfaktoren
sehr groß waren, und die Unterteilung solange fortgesetzt wurde, bis die Flächen
zu klein waren
• weit entfernte Flächenelemente werden evtl. in der Höhe der Wurzel Energie austauschen,
da der Formfaktor durch den großen Abstand von Anfang an sehr klein war
• zwischen diesen beiden Extremen werden eine Reihe von Flächenstücken Energie auf
der Höhe irgend eines inneren Knotens austauschen
• wie weit (fein) ein Eingabepolygon unterteilt wird und welche Knoten anderer Quadtrees
in die Interaktionsliste eines Knotens eingetragen werden ist von den Formfaktoren abhängig
• man führt Schranken F ε und A ε ein, die angeben, wann ein Polygon zu unterteilen ist
• Algorithmus zum Aufbau der Quadtrees und zur Erstellung der Links:
void refine(patch P, patch Q){
berechne F PQ und F QP

0.3 Möglichkeiten zur Optimierung des Radiosity-Verfahrens 14
if FPQ < Fε && FQP < Fε {
link(P,Q)
}
else{
if FPQ > FQP &&(AP > Aε) {
unterteile P in P0 , P1 , P2 , P3 , falls P ein Blatt ist
for (i = 0;i < 4;i + +) {
refine(Pi ,Q)
}
}
else{
if AQ > Aε {
unterteile Q in Q0 , Q1 , Q2 , Q3 , falls Q ein Blatt ist
for (i = 0;i < 4;i + +) {
refine(P,Qi )
}
}
else{
link(P,Q)
}
}
}
}
• am Anfang des Verfahrens wird der refine-Algorithmus für alle Paare von Eingabepolynomen
aufgerufen
• die Formfaktoren werden nicht exakt nach Gleichung (0.11) berechnet sondern man
berechnet für mehrere Punkte ai auf P den Wert:
FaiQ =
cos
φa · cos φ i Q · πR2 πr2 + πR2 (0.27)
wobei πR 2 der Flächeninhalt eines Kreises ist der Q überdeckt (diese Abschätzung leitet
sich aus der Integration von Gleichung (0.10) ab unter der Annahme, das Q ein exakter
Kreis ist)
• den näherungsweisen Formfaktor F PQ erhält man durch Mittelwertbildung über die F ai Q :
FPQ ≈ 1 n cos
n ∑
i=0
φa · cos φ i Q · πR2 πr2 + πR2 (0.28)
• ist die Rekursive Unterteilung der Eingabepolygone abgeschlossen werden die Radiosity-
Werte aller Blätter aller Quadtrees berechnet

15
• zur Berechnung des Radiosity-Wertes eines Blattes P werden nicht wie im vorhergehenden
Abschnitt angegeben (Gleichung (0.1)) die Strahlungswerte aller sichtbaren Flächenelemente
berücksichtigt sondern nur die Radiosity-Werte der Flächenstücke die in
der Interaktionsliste von P sind
Bemerkung 0.3
– die Interaktionsliste enthält alle sichtbaren Flächenstücke allerdings nicht immer
in der feinsten Unterteilung
– d. h. es werden auch Radiosity-Werte für innere Knoten des Quadtrees berechnet
• die neuen Radiosity-Werte der Knoten werden wie folgt berechnet:
1. in einem Top-Down-Durchlauf des Quadtrees werden Zwischenwerte der Radiosity-
Werte eines Knotens P wie folgt berechnet:
B neu
⎧
ρP · ∑ FPQ · B, falls P Wurzel ist
⎪⎨
Q∈I(P)
P = ρP · ∑ FPQ · B + B
Q∈I(P)
⎪⎩
(l) , falls P innerer Knoten ist
vater(P)
ρP · ∑ FPQ · B + B (l)
vater(P) + E (0.29)
P , falls P Blatt ist
Q∈I(P)
dabei ist B (l) der Radiosity-Wert des Flächenelementes Q aus der vorhergehenden
Q
Iteration (als Initialisierung kann wieder der Wert EQ dienen),
2. die inneren Knoten müssen die Werte der Eltern-Knoten aufsammeln (durch die
Addition), da es sein kann, dass die Eltern-Knoten Strahlung mit anderen Flächenelementen
austauschen
3. die Blätter erhalten gleich den neuen Radiosity-Wert B (l+1)
P
4. die inneren Knoten erhalten den nächsten Iterationswert durch Mittelung über die
Werte der Kinder, in einem Bottom-up Lauf über den Quadtree berechnet man die
Radiosity-Werte der inneren Knoten wie folgt:
⎧
B (l+1)
P
⎨
=
⎩
Bneu P
1
4 ∑
Q∈kind(P)
, falls P ein Blatt ist
B (l+1) , falls P innerer Knoten ist (0.30)
Q

Literaturverzeichnis
[ESK1] J. Encarnação, W. Straßer, R. Klein. Graphische Datenverarbeitung I. R. Oldenbourg
Verlag 1996.
[ESK2] J. Encarnação, W. Straßer, R. Klein. Graphische Datenverarbeitung II. R. Oldenbourg
Verlag 1997.
[RauRue] T. Rauber, G. Rünger. Parallele und verteilte Programmierung . Springer 2000.
[BBP] R. Barth, E. Beier, B. Pahnke. Grafikprogrammierung mit OpenGL. Addison-
Wesley 1996.
[RAU] T. Rauber. Algorithmen der Computergraphik. B. G. Teubner 1993.
[SSC] M. Slater, A. Steed, Y. Chrysantou. Computer Graphics and Virtual Environments.
Addison-Wesley 2002