Bestimmung der Bahnelemente von extrasolaren Planeten aufgrund ...

Anhang B
Verwendete Algorithmen
B.1 Lösung der Keplergleichung
Die Keplergleichung ist eine transzendente Gleichung, deren Lösung durch numerische iterative
Verfahren gewonnen werden kann. Die Lösung der Keplergleichung ist aus numerischer Sicht
in den meisten Fällen sehr einfach. Es wird eine, an das Problem angepasste Kombination aus
dem Newton-Verfahren und Bisektion verwendet. Zunächst wird das quadratisch konvergente
Newtonverfahren verwendet, welches in den meisten Fällen nach wenigen Iterationsschritten eine
ausreichend genaue Lösung liefert. Wurde nach einer bestimmten vorgegebenen Iterationsanzahl
(in diesem Fall 20) keine Lösung gefunden, so wird das Bisektionsverfahren verwendet, welches
zwar eine langsamere Konvergenzrate besitzt, jedoch mit Sicherheit eine gültige Lösung liefert,
sofern diese im Anfangsintervall eingeschlossen ist, was in diesem Fall einfach zu gewährleiten ist.
Als Startwert für das Newton-Verfahren wird E (0) = M gewählt. Der Fall hoher Exzentrizitäten
(e > 0.8) und M < π
3 erfordert eine genauere Wahl des Startwertes E (0) :
E (0) =
M
|1−e|
wenn
M 1/3 wenn
asinh
M
e wenn
2 M
|1−e|
2 M
|1−e|
2 M
|1−e|
≤ 6 · |1 − e|
> 6 · |1 − e| und M < π
> 6 · |1 − e| und M ≥ π
(B.1)
Die in B.1 angegebenen Startwerte wurden gemäss den in einer frei verfügbaren Implementierung
einer Routine zur Lösung der Keplergleichung (http://www.projectpluto.com/)
verwendeten Startwerten gewählt.
B.1.1 Newton-Verfahren
Das im folgenden verwendete Verfahren ist das Newton-Verfahren, welches quadratisch konvergent
ist. Die folgende Formulierung basiert auf [Überhuber], wobei dem Problem angepasste
Bezeichnungen gewählt werden. Für die Gleichung
f(E) = E − e sin E − M (B.2)
soll eine Lösung gefunden werden. Die nichtlineare Funktion f(E) wird durch eine lineare Modellfunktion,
lk(E) = ak + bkE ≈ f(E) (B.3)
ersetzt. Die Nullstellen dieser Funktion können dann als Näherung für die Nullstellen der tatsächlichen
Funktion verwendet werden. Die Funktion lk erhält man durch Linearisierung (Abbruch
der Taylor-Entwicklung um die Stelle E (k) nach dem linearen Term):
In diesem Fall ist f ′ (E) = 1 − e cos E, d.h.
lk(E) = f(E (k) ) + (E − E (k) )f ′ (E k ) ≈ f(E) (B.4)
ak = f(E (k) ) − E (k) f ′ (E (k) ), bk = f ′ (E (k) ) (B.5)
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