Übung 3 zur Kern- und Teilchenphysik

Übung 3 zur Kern- und Teilchenphysik
Sommer Semester 2013 Abgabe: 06. Mai 2013
Besprechung: 16. Mai 2013
1. Die Bethe-Weizsäcker Formel
Die Masse eines Kerns mit Z Protonen und N Neutronen kann nach Bethe und Weiszäcker
mittels der folgenden phänomenologischen Formel abgeschätzt werden
M(A, Z) = NMn + ZMp + Zme − aV A + aSA 2/3 + ac
wobei A = N + Z.
Z 2
+ aa
A1/3
A 2
Z − 2
A
+ aP
(1)
A1/2 Die Werte der Koeffizienten aV , aS, ac, aA und aP hängen dabei auch vom Massenbereich
der Kerne ab, die in der Anpassung verwendet wurden. In der Vorlesung wurde folgende
Parametrisierung vorgestellt:
aV = 15.85 MeV (15.67 MeV)
aS = 18.34 MeV (17.23 MeV)
ac = 0.71 MeV (0.714 MeV)
aa = 92.86 MeV (93.15 MeV)
⎧
⎪⎨ 11.46 MeV (11.2 MeV) (gg)-Kerne
0
⎪⎩
−11.46 MeV (−11.2 MeV)
(ug)-Kerne
(uu)-Kerne
aP =
(in Klammern die Parametrisierung nach Povh)
(a) Herleitung des Coulomb-Terms:
Der Beitrag des Coulomb-Terms zur Bindungsenergie kann aus elektrostatischen
Überlegungen abgeschätzt werden. Leiten Sie diesen Term mit Hilfe der Elektrostatik
her. Gehen Sie davon aus, dass der Kern zu jedem gegebenen Zeitpunkt aus einer
homogen geladenen Kugel besteht. Stellen Sie eine Gleichung auf, um die Arbeit zu
berechnen, die nötig ist, eine beliebig kleine Ladungsmenge aus dem Unendlichen
auf die Kugeloberfläche zu bringen. Integrieren Sie schließlich über die ganze Kugel.
(b) Ag-Isotope:
Diskutieren Sie den Unterschied zwischen Bindungsenergie und “excess mass” ∆ =
m − A · u, wobei u die atomare Masseneinheit ist. Zeichnen Sie die Bindungsenergie
pro Nukleon (B/A) für alle Silber-Nuklide. Benutzen Sie hierbei sowohl exakte
Werte, d.h. NuDat (http://www.nndc.bnl.gov/nudat2) als auch die Ergebnisse der
Bethe-Weizsäcker-Formel. Hierbei kann der Funktionsverlauf mit kontinuierlichem
I

Z verwendet werden.
Wie groß ist die Abweichung bei maximaler Bindungsenergie?
Die Liste der excess masses der Silberisotope kann auch als Datei von der Übungs-
Webseite heruntergeladen werden.
(c) Maximum der Bindungsenergie:
In einem Z-A-Diagramm sollen diejenigen Nuklide dargestellt werden, die ein Maximum
der Bindungsenergie in Isobaren aufweisen. Bestimmen Sie hierfür analytisch
aus der Bethe-Weizsäcker-Formel die Ladungszahl Z desjenigen Nuklids mit der
höchste Bindungsenergie B(A). Nehmen Sie dabei A und Z als kontinuierlich an.
Stellen Sie das Ergebnis in einem Z-A-Diagramm dar.
(d) Uran-Spaltung:
Bestimmen Sie mit Hilfe der Bethe-Weizsäcker-Formel die Energie, die bei der Spal-
tung eines 238
92 U-Kerns in zwei identische Bruchstücke (symmetrische Spaltung) frei
wird.
2. Das Fermi Gas Modell
Im Fermigas-Modell werden die Protonen und Neutronen, die den Kern bilden, als zwei
unabhängige Nukleonsysteme angesehen. Da sie Spin-1/2-Teilchen sind, gehorchen sie der
Fermi-Dirac-Statistik. Es wird angenommen, das sich die Nukleonen unter Berücksichtigung
des Pauli-Prinzips im gesamten Kernvolumen frei bewegen können. Nehmen wir
an, dass dieses Potential die Form eines Topfes hat, es im gesamten Kernvolumen also
konstant und an den Rändern scharf begrenzt ist (siehe Abbildung).
(a) Zustandsdichte und Fermi-Energie Die Zustandsdichte in einem Fermigas mit Volumen
V und Teilchenimpuls p ist gegeben durch:
N(p) = V
(2π) 3
d 3 p. (2)
II

Zeigen Sie, dass die Anzahl der Zustände
textdN im Impulsinterval [p, p + dp] gegeben ist durch:
dN(p) = V
2π 2 3 p2 dp, (3)
und im nicht-relativistischen Fall durch
dN(E) = V
2π23 √
2m3 √ EdE, (4)
ausgedrückt werden kann. Welche zusätzlichen Faktoren müssen im Falle von Nukleonen
berücksichtig werden?
(b) Kernpotential Berechnen Sie die Fermi-Energie, EF , und den Fermi-Impuls, pF , für
Nukleonen, indem Sie die Beziehung R = R0 · A 1/3 mit R0 = 1.5 fm verwenden.
Benutzen Sie diese Werte, um eine Abschätzung der Potentialtiefe V0 zu machen.
(c) EF von 208
82 Pb Berechnen Sie für den Kern 208
82 Pb die Fermi-Energie EF , sowohl für
Protonen als auch für Neutronen. Vergleichen Sie die Differenz von E p
F und En F mit
dem Wert, den man aufgrund des Tröpfchenmodells hierfür erwarten würde.
Tobias Flick
26. April 2013
Raum: D.08.22 Tel: 439-2821 e-mail: flick@physik.uni-wuppertal.de
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