σ µ ν µ

5. Statistische Testverfahren
∇ Fehlermöglichkeiten bei statistischen
Vergleichen
∇ Prüfung von Varianzen: F-Test
∇ Prüfung von Mittelwertdifferenzen
♦parametrische Testverfahren:
• z-Test, t-Test, Welch-Test
• Ausreißertest
♦nichtparametrische Testverfahren:
• Mann & Whitney, Kolmogorov-Smirnov, Kruskal
& Wallis, Wilcoxon, Dixon & Mood, Friedmann
∇ Prüfung von Verteilungen:
♦Chiquadrat-Test, Kolmogorov-Smirnov-Test
♦graphische Verfahren
z-Test Test für den Vergleich eines Mittelwertes mit dem
Mittelwert µµ der Grundgesamtheit
∇ Voraussetzung:
♦ näherungsweise Normalverteilung
♦ sehr großer Stichprobenumfang
♦ Varianz σ 2 bekannt:
x − µ
z = *
σ
Vergleich des berechneten z-Wertes mit dem
Tafelwert für die Standard-Normalverteilung
und vorgegebenes α
Ist der berechnete z-Wert ≥ Tafelwert, wird die
H 0 (Gleichheit der Mittelwerte) mit Irrtumswahrscheinlichkeit
α abgelehnt.
Ist der berechnete z-Wert < Tafelwert, wird die
H 0 angenommen. Eine Irrtumswahrscheinlichkeit
kann nicht angegeben werden.
t-Test Test für den Vergleich eines Mittelwertes mit dem
Mittelwert µµ der Grundgesamtheit
∇Voraussetzung:
♦näherungsweise Normalverteilung
♦Varianz σ2 bekannt oder unbekannt (Schätzung aus s2 ):
x − µ
t = * n;
ν = n −1
s
Vergleich des berechneten t-Wertes mit dem Tafelwert
für ν (ny) Freiheitsgrade und vorgegebenes α
Ist der berechnete t-Wert ≥ Tafelwert, wird die H0 (Gleichheit der Mittelwerte) mit Irrtumswahrscheinlichkeit
α abgelehnt.
Ist der berechnete t-Wert < Tafelwert, wird die H0 angenommen. Eine Irrtumswahrscheinlichkeit kann
nicht angegeben werden!
n
Fehlermöglichkeiten bei statistischen Vergleichen
Entscheidung des
Tests
H0 abgelehnt
(HA angenommen)
H0 angenommen
(HA abgelehnt)
H0 wahr
(kein Unterschied)
Fehler 1. Art,
Irrtumswahrscheinlichkeit
α
richtige
Entscheidung
Flächen unter der Normalkurve
1 - 2 ΦΦ(z) (z)
Wirklichkeit
0.1
Irrtumswahrscheinlichkeit α nach der positiven
0
und negativen Seite α = 1 - 2 Φ(z) -3
H0 falsch
(Unterschied
vorhanden)
richtige
Entscheidung
Fehler 2. Art,
Irrtumswahrscheinlichkeit
β
1 – β = Güte
-1 1 3 5 7
z 0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09
0,0 1,0000
0,1
...
.92034
1,0 .37310
...
α = 0,05
1,9 .05743 .05118 .049996
2,0 .04550
...
α = 0,01
2,5
...
.01017 .00988
3,0 .00270
t-Test Test zum Vergleich 2er arithmetischer Mittelwerte
einfacher t-Test
∇ Voraussetzung:
♦näherungsweise Normalverteilung
♦unabhängige Stichproben
♦gleiche Varianzen,
gleicher Stichprobenumfang:
(σ 1 2 =σ2 2 ; n1=n 2)
0.4
0.3
0.2
N(2,1)
gleiche Varianzen
Homoskedastizität
x1
− x2
tˆ =
2 2
s1
+ s2
n1
ν = 2 * n1
− 2
Vergleich des berechneten t-Wertes mit dem Tafelwert für
ν Freiheitsgrade und vorgegebenes α
Ist der berechnete t-Wert ≥ Tafelwert, wird die H 0
(Gleichheit der Mittelwerte) mit Irrtumswahrscheinlichkeit
α abgelehnt.
Ist der berechnete t-Wert < Tafelwert, wird die H 0
angenommen. Eine Irrtumswahrscheinlichkeit kann
nicht angegeben werden!
X
z

Wahrscheinlichkeitsdichte
0.4
0.3
0.2
0.1
0
99
Student's t-Verteilung 4
1
Freiheitsgrade
-7 -4 -1 2 5 8
t
t-Test Test nach Welch
∇ Voraussetzung:
♦ näherungsweise Normalverteilung
∇ t-Test nach Welch
♦ unabhängige Stichproben
♦ ungleiche Varianzen,
♦ gleicher Stichprobenumfang:
♦ (σ 2
1 ≠σ2 2 ; n1 = n2 )
ungleiche Varianzen
Heteroskedastizität
tˆ =
t = ± 2,78
P = 95 %
α = 0,05
zweiseitig
4 FG
x − x
1
1
2
2
s1
+ s
n
2
2
1 ( n − )( s + s )
ν =
2 2 2
1 1 2
2 2 2 2
( s1
) + ( s2)
Vergleich des berechneten t-Wertes mit dem Tafelwert
für ν Freiheitsgrade und vorgegebenes α
Ist der berechnete t-Wert ≥ Tafelwert, wird die H 0 (Gleichheit
der Mittelwerte) mit Irrtumswahrscheinlichkeit α abgelehnt.
Ist der berechnete t-Wert < Tafelwert, wird die H 0
angenommen. Eine Irrtumswahrscheinlichkeit kann nicht
angegeben werden!
Beispiel: Wirkung des antidiuretischen Hormons bei Stabheuschrecken: Malpighi-Gefäße
von Stabheuschrecken Wirkung des herauspräpariert, antidiuretischen absorbierte Hormons Menge bei Flüssigkeit Stabheuschrecken
einer Insekten-
Ringerlösung in µl gemessen bei Kontrollgruppe bzw. nach Hormonbehandlung der Gefäße:
Kontrolle µl Kontr. 2 Hormonbehandlung µl
12,0 144,00 57,9 3352,41
23,3 542,89 52,0 2704,00
11,7 136,89 46,2 2134,44
22,7 515,29 45,2 2043,04
29,1 846,81 54,2 2937,64
Summe 98,8 2185,88 255,5 13171,53
Mittelwert 19,76 51,10
Varianz 58,40 28,87
n1 = n2 5 F α 5%; 4; 4: 5
F F-Wert = 58,4/28,87 = 2,023
6,39
alphaberechnet 0,511829
(z.B.: Varianz Kontrolle = (2185,88 - 98,8 * 98,8 / 5) / 4 = 58,40)
t berech. = (19,76 - 51,1) / wurzel((58,398+28,87)/5) = -7,50
FG = 2*n 1 -2 = 8
Die Varianzen unterscheiden
sich nicht signifikant
Tafelwert: t α=0,05;8 = 2,31
x1
− x2
tˆ =
2
s1
+ s
n
1
ν = 2n 1 -2
Aussage: H0 wird abgelehnt, die Behandlung erhöht signifikant die
Absorption der Ringerlösung mit einer Irrtumswahrscheinlichkeit

t-Test Test - Paartest
∇ Voraussetzung:
♦ näherungsweise Normalverteilung
∇ Paartest
♦ abhängige Stichproben
♦ (gleiche Varianzen,
gleicher Stichprobenumfang n)
∇ Durchführung
tˆ =
∑
∑
♦ Berechnung der Differenzen
♦ Test der durchschnittlichen Differenz:
Vergleich mit 0
n
d
∑
2 ( d)
d −
n
n(
n −1)
2
d
=
s / n
Vergleich des berechneten t-Wertes mit dem Tafelwert für ν
Freiheitsgrade und vorgegebenes α
Ist der berechnete t-Wert ≥ Tafelwert, wird die H 0 ( die Differenz
ist nicht von 0 verschieden) mit Irrtumswahrscheinlichkeit α
abgelehnt.
Ist der berechnete t-Wert < Tafelwert, wird die H 0 angenommen.
Eine Irrtumswahrscheinlichkeit kann nicht angegeben werden!
Konfidenzintervall einer Differenz
d
ν = n - 1
∇ 99%-Vertrauensbereich für die wahre mittlere
Differenz µ d
t ∗ s / n
99% CI DIFF
5
4
3
2
1
0
-1
N =
Konfidenzintervall der Differenz im Paartest bei Mäusen
25
d ± 1−α;
n−1
d
Ausreißertest bei Normalverteilung
3,
63
2 , 04 ± 2,
80*
25
∇ Ausreißertest bei Normalverteilung der Grundgesamtheit, n ≤ 25:
Stichprobenwerte der Größe nach ordnen, Berechnung von
M = |(verdächtiger Wert – Nachbarwert) / (Maximum – Minimum)| bei 3 ≤ n ≤ 7
(Minimum, Maximum: inklusive ausreißerverdächtigem Wert!)
Vergleich mit Tabelle, dort weitere Formeln für 8 ≤ n ≤ 25 (Sachs,
Angew.Statistik)
z.B.
157, 326, 177, 176 157 176 177 326 M = |(326-177)/(326-157)| =0,882
Tafelwert für α 5%, n=4: 0,765 (einseitiger Test), d.h. Wert 326 ist als Ausreißer
ausgewiesen
∇ bei Normalverteilung der Grundgesamtheit und n > 25:
Berechnung von T 1 = | (x 1 – µ) / σ |
(x 1 : ausreißerverdächtiger Wert, µ, σ durch arithm. MW bzw. s ersetzen, Vergleich
mit Tabellenwert) (Sachs, Angew.Statistik)
∇ Verwendung zur
♦ routinemäßigen Datenkontrolle
♦ rechtzeitigen Warnung bei Datengewinnung
♦ Erfassung von evtl. bedeutungsvollen Beobachtungen (Entdeckung Penizillin!)
∇ Ausreißer sind um so unwahrscheinlicher, je kleiner die Stichproben sind.
Beispiel: Paartest bei Mäusen: (E.Weber)
25 Würfe von je 1 männl. und 1 weibl. Tier untersucht (E.Weber, Grundriß der
Statistik) - Gewicht nach 125 Tagen bestimmt, für jeden Wurf die Gewichtsdifferenz
berechnet:
Gew. männl Gew. weibl. Differenz D-Quadrat
26,0 16,5 9,5 90,25
20,0 17,0 3 9
18,0 16,0 2 4
28,5 21,0 7,5 56,25
23,5 23,0 0,5 0,25
20,0 19,5 0,5 0,25
22,5 18,0 4,5 20,25
24,0 18,5 5,5 30,25
24,0 20,0 4 16
25,0 28,0 -3 9
22,0 27,5 -5,5 30,25
24,0 20,5 3,5 12,25
22,5 23,0 -0,5 0,25
22,5 20,5 2 4
23,5 19,5 4 16
23,5 22,5 1 1
25,0 20,0 5 25
24,5 20,5 4 16
23,5 18,0 5,5 30,25
20,5 24,5 -4 16
20,0 22,0 -2 4
20,5 20,0 0,5 0,25
25,0 20,0 5 25
23,5 23,0 0,5 0,25
22,0 24,0 -2 4
Summen 51 420
Anzahl 25
Varianz 5,21 9,26 13,165
Standardabw 3,628
Mittelwerte 22,96 20,92 2,04
t-Test (Excel) alpha 0,0108 0,0097
Ausreißer
d = 2,04 s2 d = 13,165 sd = 3,63
alpha = 0,01 vorgegeben
t = 2,04/(3,63 / Wurzel(25)) = 2,811
FG = 24
Tafelwert t24;0,01 = 2,80
H0 wird abgelehnt:
Aussage: Die Gewichtsdifferenz
zwischen männl. und weibl. Mäusen
eines Wurfes beträgt nach 125 Tagen
2,04 g.
Diese Differenz ist signifikant von 0
verschieden mit Irrtumswahrscheinlichkeit
α < 1 %
∇ Ausreißer: Modell-Abweichungen aus Sicht des Beobachters
Ursachen können sein : Ziffernvertauschungen (53 statt 35), Spaltenverschiebungen
in Tabellen, Meßgeräte-Fehler, verschobene Kommata,
Probenverwechslung, geschädigte Probanden, Rechenfehler ...
Bei "zwingend sachlogischen Gründen" müssen diese Werte vor der
weiteren Auswertung gestrichen werden.
∇ allgemeine Regel: bei mindestens 10 Meßwerten (besser n≥25) gilt ein Wert
dann als Ausreißer, wenn er außerhalb liegt x ± 4s
∇ Der Bereich µ ± 4σ
(große Stichprobenumfänge!) umfasst bei
Normalverteilung 99,99%
symmetrisch-eingipfliger Verteilung 97 %
beliebigen Verteilungen 94 %
der Meßwerte.
Zum Test werden Mittelwert und Standardabweichung ohne den
ausreißerverdächtigen Wert berechnet.
∇ Sind Ausreißer "identifiziert" und von der Stichprobe ausgeschlossen, muß
mindestens ihre Zahl bei der Auswertung angegeben werden!
Ausschnitt aus F-Tabelle: F Tabelle: αα = 5%
ν1 = Zähler-Freiheitsgrade
ν2 1 2 3 4 ... 8 ... 200 ... ∞
1 161 200 216 225 237 254 254
2 18,51 19,00 19,16 19,25 19,37 19,49 19,50
3 10,13 9,55 9,28 9,12 8,84 8,54 8,53
4 7,71 6,94 6,59 6,39 6,04 5,65
...
8 5,32 4,46 3,44
...
20 4,35 2,45 1,87
...
200 3,89 1,98 1,26
...
∞ 3,84 1,00
Entsprechende Tabellen für α 1%; α 0,1 % ...