Beispiel einer 3. Schulaufgabe - FOS-Friedberg

BE
3. Schulaufgabe aus der Mathematik
Arbeitszeit: 90 Minuten
Aufgabengruppe Analysis
x
1.0 Gegeben ist die reelle Funktion f : x 8x
e mit D f IR. Der Graph von f in einem kartesischen
Koordinatensystem wird mit F bezeichnet.
5 1.1 Untersuchen Sie das Verhalten der Funktionswerte f(x) für x
und für x
,
geben Sie die Gleichung der Asymptote des Graphen F an und bestimmen Sie die Nullstelle
der Funktion f .
8 1.2 Berechnen Sie die Koordinaten und die Art des Extrempunktes, sowie die Koordinaten des
Wendepunkts des Graphen F.
4
1.3 Zeichnen Sie den Graphen F in ein kartesisches Koordinatensystem im Bereich 0 x
6 .
Verwenden Sie für die Zeichnung alle bisherigen Ergebnisse und die Funktionswerte f(0,5)
und f(4).
Maßstab auf beiden Achsen 1 LE = 2 cm .
1.4.0 T( u / f(u) ) mit u > 0 ist ein Punkt des Graphen F von f. tu ist die Tangente an den Graphen
F im Punkt T.
5 1.4.1 Berechnen Sie den Funktionsterm tu(x) der Tangente tu, bringen Sie ihn auf die Form:
y = ax + b und zeichnen Sie die Tangente für u = 4 in das Koordinatensystem von 1.3.
2 u
( Teilergebnis: b 8u
e )
3 1.4.2 tu schneidet die y – Achse im Punkt H. T0( u / 0 ) ist die senkrechte Projektion des Punktes
T( u / f(u) ) auf die x-Achse. O ist der Koordinatenursprung. Die von u abhängige Maßzahl
der Fläche des Trapezes 0T0TH wird mit A(u) bezeichnet. Berechnen Sie den Term A(u).
2.0 Für wissenschaftliche Versuche wird eine bestimmte Insektenart benötigt. Diese vermehrt
sich so, dass die Zahl Z(t) der Insekten in Abhängigkeit von der Zeit t mathematisch idea-
k t
lisiert und ohne Verwendung von Einheiten durch den Funktionsterm
0 e Z ) t ( Z dargestellt
wird. Die Zucht beginnt mit 100 Insekten.
3 2.1 Geben Sie Z0 an und bestimmen Sie die Konstante k , wenn zur Zeit t1 = 5 die Zahl der
Insekten 250 beträgt.
( Teilergebnis: k 0,1833 )
5
2.2 Zu einem bestimmten Zeitpunkt t2 werden 90 % der Insekten entnommen.
Ermitteln Sie die Maßzahl der Zeit t , die es dauert, bis der Insektenbestand vom Zeitpunkt
t2 wieder erreicht ist, wenn keine weitere Entnahme erfolgt.
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33 Aufgabengruppe Lineare Algebra und Analytische Geometrie siehe Blatt 2

Aufgabengruppe Lineare Algebra und Analytische Geometrie
BE
1.0 In einem kartesischen Koordinatensystem sind gegeben die Punkte
5 k
P( 5 | 4 | 0 ) und Q( 3 | 0 | 2 ) sowie die Geraden g k : x
4
3
0 4
mit , k IR .
3 1.1 P und Q sind Punkt und Spiegelpunkt einer Ebene E. Bestimmen Sie eine Gleichung der
Ebene E in Normalenform.
Mögliches Ergebnis: x1 2x 2 x3 7 0
2 1.2 Berechnen Sie den Abstand des Punkts P von der Ebene E.
3 1.3 Ermitteln Sie, für welchen Wert von k die Gerade g k keinen gemeinsamen Punkt mit der
Ebene E besitzt.
6 1.4 Ermitteln Sie, für welchen Wert von k der Punkt S(1|1| 4 ) gemeinsamer Punkt der
Geraden g k mit der Ebene E ist. Berechnen Sie für diesen Fall den Schnittwinkel zwischen
der Geraden und der Ebene.
3 1.5 Zeigen Sie, dass alle Geraden gk in einer Ebene liegen und geben Sie eine Gleichung dieser
Ebene an.
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