Beispiel einer 3. Schulaufgabe - FOS-Friedberg

3. Schulaufgabe aus der Mathematik
Arbeitszeit:
Analysis
1.0 Eine ganzrationale Funktion dritten Grades f besitzt im Wendepunkt W( 3 | 1 ) die Tangente
mit der Gleichung y = x – 2 und auf der y-Achse liegt ein relativer Extremwert.
1.1 Berechnen Sie den Funktionsterm f(x). ( 8 BE )
1 3 2
( mögliches Ergebnis: f ( x)
( x 9x
27)
)
27
1.2 Berechnen Sie die relativen Extremwerte von f und zeichnen Sie die Graphen von f und
von y = x 2 in ein kartesisches Koordinatensystem für 3 x 7. ( 8 BE )
Verwenden Sie dazu auch die Angaben aus 1.0.
2.0 Der skizzierte Abfallbehälter ist ein oben offener Quader
mit quadratischer Grundfläche. Mit der Variablen x wird
die Seitenlänge der Grundfläche bezeichnet. h
Der Flächeninhalt der Grundfläche und sämtlicher Seitenflächen
soll insgesamt A = 100 betragen.
x
2
100 x
2.1 Zeigen Sie, dass für die Höhe h des Behälters in Abhängigkeit von x gilt: h
4x
( 2 BE )
1 3
2.2 Zeigen Sie, dass für das Volumen V in Abhängigkeit von x gilt: V(
x)
x 25x
.
4
Geben Sie für V(x) eine sinnvolle Definitionsmenge an und bestimmen Sie die Abmessungen
des Behälters, für den das Volumen den absolut maximal möglichen Wert annimmt.
Berechnen Sie auch diesen maximalen Volumenwert . ( 8 BE )
Stochastik
1.0 Fällt ein Reissnagel auf eine harte Oberfläche, so bleibt er in einer der beiden skizzierten
Positionen liegen.
„Rücken“ : _______ „Spitze“: _________
Es besteht die Nullhypothese, dass die Wahrscheinlichkeit für die Position „Rücken“
p = 0,45 beträgt. Die Gegenhypothese lautet, dass diese Wahrscheinlichkeit größer ist.
Es wird ein Signifikanztest mit 100 Versuchen durchgeführt.
1.1 Entwickeln Sie eine Entscheidungsregel für das Signifikanzniveau = 0,02 und treffen Sie
eine Entscheidung, falls der Test 52 mal die Position „Rücken“ ergibt. ( 5 BE )
1.2 Beschreiben Sie in Worten, worin beim vorliegenden Test der Fehler 2. Art besteht und
erläutern Sie, wie sich die Wahl des Signifikanzniveaus auf die Wahrscheinlichkeit für
das Eintreten dieses Fehlers qualitativ auswirkt. ( 3 BE )
Fortsetzung auf der Rückseite

2.0 Nach der Einnahme eines Medikaments liegt die Genesungsdauer für eine bestimmte
Krankheit zwischen mindestens 3 und höchstens 6 Tagen. Die Zufallsgröße X sei festgelegt
als die auf ganze Tage gerundete Genesungsdauer eines zufällig ausgewählten Patienten.
Für die Wahrscheinlichkeitsverteilung von X gilt:
x 3 4 5 6
P(x) 0,1 0,3 0,1 ?
2.1 Bestimmen Sie P(6) und zeichnen Sie ein Histogramm. ( 2 BE )
2.2 Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass die Werte der Zufallsgröße höchstens um die
Standardabweichung vom Erwartungswert abweichen. ( 4 BE )
2.3 Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass bei 8 Patienten unabhängig voneinander bei
allen die Heilung in weniger als fünf Tagen erfolgt. ( 3 BE )
_________
40 BE