Übungsblatt 1

Prof. Dr. Rainald Borck Übungen zur AVWL II WS 07/08 1
Aufgabenblatt 1:
Wachstum
Aufgabe 1 (Neoklassische Produktionsfunktion)
Eine Produktionsfunktion Y = F (K, N) heißt neoklassisch, wenn die folgenden
drei Eigenschaften erfüllt sind: Erstens, die Grenzerträge sind für alle
K, N > 0 positiv und abnehmend.
∂F/∂K > 0 ∂F/∂N > 0
∂ 2 F/∂K 2 < 0 ∂ 2 F/∂N 2 < 0
Zweitens, F hat konstante Skalenerträge:
F (λK, λN) = λF (K, N)
Drittens, die sog. Inada-Bedingungen sind erfüllt:
lim
K→0 (FK) = ∞ lim (FN) = ∞ (1)
N→0
lim
K→∞ (FK) = 0 lim
N→∞ (FN) = 0 (2)
(a) Zeigen Sie, dass es sich bei der sog. Cobb-Douglas Produktionsfunktion
Y = AK α N 1−α mit 0 < α < 1 und 0 < A um eine neoklassische
Produktionsfunktion handelt.
(b) Stellen Sie die Cobb-Douglas Produktionsfunktion in Intensitätsform
dar. Welche Eigenschaft ist hierfür wichtig?
Aufgabe 2 (Solow-Modell)
Gegeben sei die gesamtwirtschaftliche Produktionsfunktion
Y = F (K, N) = K α (AN) 1−α mit 0 < α < 1.
K bezeichne die eingesetzte Menge an Kapital, N die eingesetzte Menge
an Arbeit und A > 0 einen Produktivitätsparameter, der mit konstanter
Rate a wachse. In der geschlossenen Volkswirtschaft gelte die Identität von
Ersparnis und Investitionen I = S bei konstanter Sparquote s und konstanter
Abschreibungsrate δ; die Bevölkerung wachse zunächst mit der konstanten
Rate n.

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(a) Stellen Sie die Gleichung für die Entwicklung des Kapitalstocks auf.
Schreiben Sie diese Gleichung sowie die Produktionsfunktion in Intensitätsform
und finden Sie die Bedingung für ein Steady State. Berechnen
Sie den Kapitalstock sowie das Einkommen pro-Effizienzeinheit im
langfristigen Gleichgewicht.
(b) Erläutern Sie den Anpassungsprozess ins langfristige Gleichgewicht anhand
einer genau beschrifteten Graphik, wenn der gegenwärtige Kapitalstock
pro-Effizienzeinheit k0 kleiner ist als der gleichgewichtige k ∗ .
(c) Die Volkswirtschaft befinde sich zunächst im Steady State. Nun verlangsame
sich das Bevölkerungswachstum von n auf n ′ . Erklären Sie mit
Hilfe einer Graphik den Anpassungsprozess ins neue Gleichgewicht.
(d) Ermitteln Sie formal den Kapitalstock pro-Effizienzeinheit k ∗∗ , der den
Konsum jedes Individuums in der Volkswirtschaft maximiert. Veranschaulichen
Sie diesen sog. Golden-Rule Kapitalstock pro-Effizienzeinheit
k ∗∗ graphisch für eine Situation, in der dieser über dem aktuellen Steady-
State-Kapitalstock pro-Effizienzeinheit k ∗ liegt.
(e) Um in der Situation von Aufgabenteil (d) den langfristigen Konsum
pro-Effizienzeinheit zu erhöhen, müsste die Regierung wachstumspolitische
Anreize schaffen, welche die Sparquote steigern. Diskutieren Sie
ein solches Vorgehen anhand einer Graphik und illustrieren Sie insbesondere
auch die zeitliche Anpassung von Kapitalstock, Output und
Konsum. Warum sind entsprechende Maßnahmen unpopulär?
Aufgabe 3 (Endogenes Wachstum)
Gegeben sei eine gesamtwirtschaftliche Produktionsfunktion
Y = F (K, N) = AK α N (1−α)
wobei α = 1 gilt. Der Parameter Y bezeichnet hierbei den gesamtwirtschaftlichen
Output, K das eingesetzte Kapital und N die eingesetzte Menge
an Arbeit. Der Buchstabe A > 0 stellt einen konstanten Produktivitätsparameter
dar. In dieser geschlossenen Volkswirtschaft gilt I = S. Darüber hinaus
wird sie durch eine konstante Sparquote s, eine konstante Abschreibungsrate
δ und eine konstante Wachstumsrate der Bevölkerung n charakterisiert.
(a) Stellen Sie obige Produktionsfunktion und die IS-Bedingung in Pro-
Kopf-Schreibweise dar, letztere ausschließlich in Abhängigkeit der Kapitalintensität.

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(b) Leiten Sie die Wachstumsrate der Kapitalintensität und des Pro-Kopf-
Outputs her.
(c) Veranschaulichen Sie die in Aufgabenteil (b) berechneten Ergebnisse in
einer geeigneten Graphik und vergleichen Sie diese mit den Wachstumsraten
im SOLOW-Modell, wenn diese nicht wie in Aufgabe 2 in Effizienzeinheiten,
sondern ebenfalls in Pro-Kopf-Größen ausgedrückt werden.
Beschreiben Sie in Stichpunkten die Unterschiede zwischen dem
SOLOW-Modell und dem hier behandelten AK-Modell.
(d) Wie beurteilen Sie die ’Konvergenzhypothese’ im Rahmen des AK-
Modells?