Die Ableitung einer Funktion

3) Die Funktion f : R → R mit f(x) = |x| ∀ x ∈ R ist auf ganz R
stetig und an x 0 = 0 nicht differenzierbar.
f(x)−f(0)
lim
x→0 + x−0
x−0
= lim
x→0
+ x−0
An jeder Stelle x 0 ≠ 0 ist f
f(x)−f(0)
= 1 und lim
x→0 − x−0
allerdings differenzierbar.
= lim
x→0 − −x−0
x−0 = −1 .
Satz. f : I → R differenzierbar an x 0 ⇒ f stetig in x 0 .
Beweis. Sei (x n ) eine Folge aus I mit x n ≠ x 0 und x n → x 0 .
Dann gilt f(x n ) − f(x 0 ) = f(x n)−f(x 0 )
x n −x 0
(x n − x 0 ) → f ′ (x 0 )(x n − x 0 ) → 0 . □
Bemerkung. Es gibt allerdings stetige Funktionen, die an keinem Punkt
ihres Definitionsbereiches differenzierbar sind.
Definition. Eine Funktion f : I → R heißt an x 0 linear approximierbar,
wenn es eine Zahl c ∈ R gibt und eine in U(x 0 ) ∩ I definierte
Funktion f 0 (x) , sodass in U(x 0 ) ∩ I gilt:
i) f(x) = f(x 0 ) + c(x − x 0 ) + |x − x 0 |f 0 (x)
ii)
lim f 0 (x) = 0 .
x→x0
Satz. f : I → R ist an x 0 differenzierbar ⇔ f ist an x 0 linear
approximierbar.
Beweis.
”⇒” : Setze c = f ′ (x 0 ) und f 0 (x) =
, sowie f 0 (x 0 ) = 0 .
Dann ist f 0 (x) in x 0 stetig.
[
f(x)−f(x0 )
x−x 0
]
x−x
− c 0
|x−x 0 |
wenn x ≠ x 0
”⇐” :
f(x)−f(x
lim
0 )
x→x0 x−x 0
= lim
x→x0
(c + |x−x 0|
x−x 0
f 0 (x)) = c .
□
Definition. f : I → R heißt an x 0 ∈ I Lipschitz-stetig, wenn
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