Krummlinige Koordinaten

Krummlinige Koordinaten
Einige Koordinatensysteme im R 3 haben wir bereits kennengelernt :
x 1 , x 2 , x 3
. . . kartesische Koordinaten
r, φ, x 3 . . . Zylinderkoordinaten
r, φ, ϑ . . . Kugelkoordinaten
Sind andere Koordinaten u 1 , u 2 , u 3 gegeben, sodass wir die kartesischen
Koordinaten x 1 , x 2 , x 3 als Funktionen von u 1 , u 2 , u 3 schreiben können,
i.e.
x 1 = x 1 (u 1 , u 2 , u 3 ) , x 2 = x 2 (u 1 , u 2 , u 3 ) , x 3 = x 3 (u 1 , u 2 , u 3 ) ,
dann können wir umgekehrt (lokal) die u i durch die x i ausdrücken, wenn
die Jacobi-Determinante verschieden von Null ist, d.h.
∂x 1 ∂x 2 ∂x 3
∂u
∣ 1 ∂u 1 ∂u 1
∣
∂x 1 ∂x 2 ∂x 3
∂u 2
∂x 1
∂u 2
∂x 2
∂u 2
∂x 3
∂u 3 ∂u 3
∣ ∣∣∣∣∣∣
= ∂(x 1,x 2 ,x 3 )
∂(u 1 ,u 2 ,u 3 ) ≠ 0
∂u 3
Fixieren wir einen Punkt (u 0 1, u 0 2, u 0 3) , dann erhalten wir drei Kurven
durch diesen Punkt, indem wir zwei Koordinaten festhalen und die dritte
als Kurvenparameter nehmen. Dies sind die Koordinatenlinien durch
diesen Punkt.
⃗r(u 1 ) = (u 1 , u 0 2, u 0 3) , ⃗r(u 2 ) = (u 0 1, u 2 , u 0 3) , ⃗r(u 3 ) = (u 0 1, u 0 2, u 3 )
Wenn sich die Koordinatenlinien in jedem Punkt jeweils paarweise im
rechten Winkel schneiden, spricht man von rechtwinkeligen oder auch
von orthogonalen Koordinaten.
Die Tangenteneinheitsvektoren in einem Punkt ⃗r 0 = (u 0 1, u 0 2, u 0 3) ergeben
sich durch
∣ ∣ ∣
∣∣⃗r=⃗r0
⃗T i = ⃗e ui | ⃗r=⃗r0
= 1 ∂⃗r ∣∣⃗r=⃗r0 h ui ∂u i
mit h ui = ∣ ∂⃗r ∣∣
∂u i
1

Die Vektoren e u1 , e u2 , e u3 hängen von u 1 , u 2 , u 3 ab und haben daher im
allgemeinen eine vom Ort abhängige Richtung. Dies ist bei kartesischen
Koordinaten nicht der Fall.
Für orthogonale Koordinaten gilt ⃗e ui · ⃗e uj = δ ij , i, j = 1, 2, 3. Die Vektoren
⃗e u1 , ⃗e u2 , ⃗e u3 bilden eine (orthogonale) Basis des R 3 , und da diese
Vektoren auch Einheitsvektoren sind, spricht man von einer Orthonormalbasis.
Des weiteren spricht man von einem Rechtssystem (oder einer rechtshändigen
Basis), wenn gilt : ⃗e u1 × ⃗e u2 = ⃗e u3 , ⃗e u2 × ⃗e u3 = ⃗e u1 , ⃗e u3 × ⃗e u1 = ⃗e u2
Beispiel. (Zylinderkoordinaten)
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
x 1 (ρ, φ) ρ cos φ
⃗r = ⎝ x 2 (ρ, φ) ⎠ = ⎝ ρ sin φ ⎠
x 3
x 3
mit
0 ≤ ρ < ∞ , 0 ≤ φ < 2π , −∞ < x 3 < +∞
Die Umkehrung ist durch ρ = √ ) (x
x 2 1 + x2 2 , φ = arctan 2
x 1
gegeben.
Die Koordinatenlinien sind
⎛ ⎞
ρ cos φ 0
• ⃗r 1 (ρ) = ⎝ ρ sin φ 0
⎠ . . . eine von der x 3 -Achse in der Höhe x 0
x 0 3
3
Winkel φ 0 ausgehende Halbgerade
⎛ ⎞
ρ 0 cos φ
• ⃗r 2 (φ) = ⎝ ρ 0 sin φ ⎠ . . . ein Kreis mit Radius ρ 0 in der Höhe x 0
x 0 3
3
⎛
• ⃗r 3 (x 3 ) = ⎝
ρ 0 , φ 0
ρ 0 cos φ 0
ρ 0 sin φ 0
x 0 3
⎞
im
⎠ . . . eine Gerade von x 3 = −∞ bis +∞ bei
Die normierten Basisvektoren in einem Punkt (ρ, φ, x 3 ) sind
2

⎛
⃗e ρ = 1 ∂⃗r
h ρ ∂ρ = ⎝
⎛
⃗e φ = 1 ∂⃗r
h φ ∂φ = ⎝
⃗e x3 = 1
h x3
∂⃗r
∂x 3
=
cos φ
sin φ
0
⎞
− sin φ
cos φ
0
⎛
⎝
0
0
1
⎞
⎠ (h ρ = 1)
⎞
⎠ (h φ = ρ)
⎠ (h x3 = 1)
Die Zylinderkoordinaten sind damit offenbar orthogonale Koordinaten, und
die Vektoren ⃗e ρ , ⃗e φ , ⃗e x3 bilden ein Rechtssystem.
Beispiel. (Kugelkoordinaten)
⎛ ⎞ ⎛
⎞
x 1 (r, ϑ, φ) r sin ϑ cos φ
⃗r = ⎝ x 2 (r, ϑ, φ) ⎠ = ⎝ r sin ϑ sin φ ⎠
x 3 (r, ϑ, φ) r cos ϑ
0 ≤ r < ∞ , 0 ≤ ϑ ≤ π , 0 ≤ φ < 2π
mit
Die Umkehrung ist durch
r = √ x 2 1 + x2 2 + x2 3 , ϑ = arctan √
x
2
1 +x 2 2
x 2 3
Die Koordinatenlinien sind
, φ = arctan
( )
x 2
x 1
gegeben.
• ⃗r 1 (r) = ⃗r(r, ϑ 0 , φ 0 ) . . . eine Halbgerade vom Ursprung in Richtung
ϑ 0 , φ 0 .
• ⃗r 2 (r) = ⃗r(r 0 , ϑ, φ 0 ) . . . ein Längenkreis mit Radius r 0
durch die x 3 -Achse im Winkel φ 0 zur x 1 x 3 -Ebene.
in der Ebene
• ⃗r 3 (r) = ⃗r(r 0 , ϑ 0 , φ) . . . ein Breitenkreis mit Radius r 0 sin ϑ 0
zur x 1 x 2 -Ebene.
parallel
Die normierten Basisvektoren in einem Punkt (r, ϑ, φ) sind
3

⎛
⃗e r = 1 ∂⃗r
h r ∂r = ⎝
⎛
⃗e ϑ = 1 ∂⃗r
h ϑ ∂ϑ = ⎝
⎛
⃗e φ = 1 ∂⃗r
h φ ∂φ = ⎝
sin ϑ cos φ
sin ϑ sin φ
cos ϑ
cos ϑ cos φ
cos ϑ sin φ
− sin ϑ
− sin φ
cos φ
0
⎞
⎞
⎠ (h r = 1)
⎞
⎠ (h ϑ = r)
⎠ (h φ = r sin ϑ)
Die Kugelkoordinaten sind damit ebenfalls orthogonale Koordinaten, und
die Vektoren ⃗e r , ⃗e ϑ , ⃗e φ bilden ein Rechtssystem.
Sobald wir eine Basis in einem Vektorraum haben, können wir die Vektoren
des Vektorraums als Linearkombination der Basisvektoren darstellen.
Im Falle einer orthonormalen Basis (hier im R 3 ) gilt offenbar
⃗F = F u1 ⃗e u1 + F u2 ⃗e u2 + F u3 ⃗e u3 ⇒ F ui = ⃗ F · ⃗e ui = 1
h ui
⃗ F · ∂⃗r
∂u i
Beispiel. Der Ortsvektor ⃗r ist in der kartesischen Basis durch ⃗r =
x 1 ⃗e 1 + x 2 ⃗e 2 + x 3 ⃗e 3 dargestellt, hat also die Komponenten x 1 , x 2 , x 3 .
In der Basis der Zylinderkoordinaten ist ⃗r = r ρ ⃗e ρ + r φ ⃗e φ + r x3 ⃗e x3
r ρ = ⃗r · ⃗e ρ = (ρ cos φ, ρ sin φ, x 3 ) · (cos φ, sin φ, 0) = ρ
r φ = ⃗r · ⃗e φ = (ρ cos φ, ρ sin φ, x 3 ) · (− sin φ, cos φ, 0) = 0
mit
r x3 = ⃗r · ⃗e x3 = (ρ cos φ, ρ sin φ, x 3 ) · (0, 0, 1) = x 3
Beispiel. In Kugelkoordinaten ist ⃗r = (r sin ϑ cos φ, r sin ϑ sin φ, r cos ϑ)
und damit offenbar (siehe vorher) ⃗r = r⃗e r .
(Die Koeffizienten von ⃗e ϑ und ⃗e φ sind Null).
Beispiel. Wir bestimmen die Komponenten des Vektors ⃗ F = (x3 , 0, 0)
4

im Basissystem der Kugelkoordinaten.
F r = F ⃗ · ⃗e r = (r cos ϑ, 0, 0) · (sin ϑ cos φ, sin ϑ sin φ, cos ϑ) =
= r sin ϑ cos ϑ cos φ
F ϑ = F ⃗ · ⃗e ϑ = (r cos ϑ, 0, 0) · (cos ϑ cos φ, cos ϑ sin φ, − sin ϑ) =
= r cos 2 ϑ cos φ
F φ = F ⃗ · ⃗e φ = −r cos ϑ sin φ
Beim Differenzieren von Vektoren (in allgemeinen krummlinigen Koordinaten)
ist nun zu beachten, dass nicht nur die Komponenten, sondern auch
die Basisvektoren differenziert werden müssen.
⃗F = 3 ∑
i=1
F ui ⃗e ui ⇒ ∂ ⃗ F
∂u j
= 3 ∑
i=1
( )
∂Fui
∂⃗e
∂u j
⃗e ui + F
ui
ui
∂u j
Ähnliches gilt für die Differenziation nach anderen Parametern.
Beispiel. Man bestimme aus dem Ortsvektor ⃗r(t) durch Ableitung nach
der Zeit den Geschwindigkeitsvektor ⃗v(t) .
Im Falle kartesischer Koordinaten sind die Basisvektoren konstante Vektoren
und deren Ableitung verschwindet. Man braucht also nur die Komponenten
nach t ableiten.
Betrachten wir nun Zylinderkoordinaten. Hier gilt
⃗v(t) = ˙⃗r(t) = d dt (ρ⃗e ρ + x 3 ⃗e x3 ) = ˙ρ⃗e ρ + ρ ˙⃗e ρ + ẋ 3 ⃗e x3 + x 3 ˙⃗ex3
Die Ableitung eines Einheitsvektors steht senkrecht auf diesen und ist
damit eine Linearkombination der beiden anderen Vektoren. In unserem
Fall gilt
˙⃗e ρ = ˙φ⃗e φ , ˙⃗ex3 = ⃗0 und folglich ⃗v(t) = ˙ρ⃗e ρ + ρ ˙φ⃗e φ + ẋ 3 ⃗e x3
Beispiel. Beschreiben wir die Bewegung eines Punktes durch einen
zeitabhängigen Ortsvektor ⃗r(t) in Kugelkoordinaten, so gilt
5

⃗r(t) = r(t)⃗e r ⇒ ⃗v(t) = ˙⃗r(t) = r(t) d⃗e r
dt + dr(t)
dt ⃗e r .
Da
d⃗e r
dt ⊥⃗e r
gilt, muß d⃗e r
dt
durch ⃗e ϑ und ⃗e φ darstellbar sein.
Tatsächlich gilt
d⃗e r
dt
= ˙ϑ⃗e ϑ + sin ϑ ˙φ⃗e φ und damit ist
⃗v(t) = dr(t)
dt ⃗e r + r(t) ˙ϑ⃗e ϑ + r(t) sin ϑ ˙φ⃗e φ
⃗v(t) = ṙ⃗e r + r ˙ϑ⃗e ϑ + r sin ϑ ˙φ⃗e φ .
bzw.
Bemerkung. Die Komponenten eines Vektors sind immer bezogen auf
ein zuvor definiertes Basissystem.
Der Vektor ⃗a habe in der kartesischen Basis ⃗e 1 , ⃗e 2 , ⃗e 3
⃗a = 5x 1 ⃗e 1 + 5x 2 ⃗e 2 + 5x 3 ⃗e 3 .
Dann sind 5x 1 , 5x 2 , 5x 3
Basis.
die Darstellung
die Komponenten von ⃗a bzgl. der kartesischen
Diese Komponenten (bzgl. der kartesischen Basis !) können auch durch
Kugelkoordinaten ausgedrückt werden.
5x 1 = 5r sin ϑ cos φ , 5x 2 = 5r sin ϑ sin φ , 5x 3 = 5r cos ϑ
Wählen wir nun die Basis der Kugelkoordinaten ⃗e r , ⃗e ϑ , ⃗e φ , dann gilt
⃗a = 5r⃗e r .
Die Komponenten von ⃗a bzgl. der Basis der Kugelkoordinaten sind also
5r, 0, 0 .
Diese Komponenten können wiederum durch kartesische Koordinaten ausgedrückt
werden, nämlich durch 5 √ x 2 1 + x2 2 + x2 3 , 0, 0 .
Als nächstes untersuchen wir die Form von ∇Φ , ∇ · ⃗A , ∇ × A ⃗ , also
Gradient, Divergenz und Rotation für orthonormale Basissysteme.
• Gradient. ∇Φ(u 1 , u 2 , u 3 )
6

∑
∇Φ = 3 (∇Φ) ui ⃗e ui , wobei (∇Φ) ui zu bestimmen sind.
∂Φ
∂u i
i=1
= 3 ∑
j=1
∂Φ
∂x j
∂x j
∂u i
Also
1
h ui
∂Φ
∂u i
= ∇Φ(u 1 , u 2 , u 3 ) ·
= ∇Φ(x 1 (u 1 , u 2 , u 3 ), x 2 (u 1 , u 2 , u 3 ), x 3 (u 1 , u 2 , u 3 )) · ∂⃗r
∂u i
(
1
h ui
∂⃗r
∂u i
)
= ∇Φ(u 1 , u 2 , u 3 ) · ⃗e ui = (∇Φ) ui .
Der Nabla-Operator hat also im neuen Basissystem die Form
∇ = 3 ∑
i=1
1
h ui
∂
∂u i
⃗e ui .
Im besonderen gilt damit etwa ∇u i = 1
h ui
⃗e ui .
Bemerkung. Bilden ⃗e u1 , ⃗e u2 , ⃗e u3 ein Rechtssystem, dann ist
∇u 2 × ∇u 3 = 1
h u2
⃗e u2 × 1
h u3
⃗e u3 = 1
h u2 h u3
⃗e u2 × ⃗e u3 = 1
h u2 h u3
⃗e u1 .
Folglich ist ⃗e u1 = h u2 h u3 ∇u 2 × ∇u 3 . Analog gilt
⃗e u2 = h u3 h u1 ∇u 3 × ∇u 1 und ⃗e u3 = h u1 h u2 ∇u 1 × ∇u 2 .
Damit zeigen wir jetzt, dass mit einer Skalarfunktion ψ gilt
1 ∂
(a) ∇ · (ψ⃗e u1 ) =
h u1 h u2 h u3 ∂u 1
(ψh u2 h u3 )
(b) ∇ × (ψ⃗e u1 ) = 1
h u3 h u1
∂
∂u 3
(ψh u1 )⃗e u2 − 1
h u1 h u2
∂
∂u 2
(ψh u1 )⃗e u3
(c) Analoges gilt bzgl. der Vektoren ψ⃗e u2 und ψ⃗e u3 .
Beweis.
zu a) ∇ · (ψ⃗e u1 ) = ∇ · (ψh u2 h u3 ∇u 2 × ∇u 3 ) =
= ∇(ψh u2 h u3 ) · (∇u 2 × ∇u 3 ) + ψh u2 h u3 ∇ · (∇u 2 × ∇u 3 ) =
= ∇(ψh u2 h u3 ) · ( 1
h u2
⃗e u2 × 1
h u3
⃗e u3 ) + 0 = ∇(ψh u2 h u3 ) ·
1
h u2 h u3
⃗e u1 =
= ( 1
h u1
∂
∂u 1
(ψh u2 h u3 )⃗e u1 + 1
h u2
∂
∂u 2
(ψh u2 h u3 )⃗e u2 + 1
h u3
∂
1
∂u 3
(ψh u2 h u3 )⃗e u3 )·
h u2 h u3
⃗e u1 =
7

=
1
h u1 h u2 h u3
∂
∂u 1
(ψh u2 h u3 )
zu b) ∇ × (ψ⃗e u1 ) = ∇ × (ψh u1 ∇u 1 ) = ∇(ψh u1 ) × ∇u 1 + ψh u1 ∇ × ∇u 1 =
= ∇(ψh u1 ) × 1
h u1
⃗e u1 + ⃗0 =
= ( 1
h u1
= 1
h u3 h u1
∂
∂u 1
(ψh u1 )⃗e u1 + 1
h u2
∂
∂u 3
(ψh u1 )⃗e u2 − 1
h u1 h u2
∂
∂u 2
(ψh u1 )⃗e u2 + 1
h u3
∂
∂u 2
(ψh u1 )⃗e u3
∂
∂u 3
(ψh u1 )⃗e u3 ) × 1
h u1
⃗e u1 =
• Divergenz. ∇ · ⃗A(u 1 , u 2 , u 3 )
⃗A = A u1 ⃗e u1 + A u2 ⃗e u2 + A u3 ⃗e u3 . Damit ist ∇ · ⃗A =
= ∇ · (A u1 ⃗e u1 + A u2 ⃗e u2 + A u3 ⃗e u3 ) = ∇ · (A u1 ⃗e u1 ) + ∇ · (A u2 ⃗e u2 ) + ∇ · (A u3 ⃗e u3 )
Mit dem vorhergehenden Ergebnis folgt sofort
∇ · ⃗A(u 1 , u 2 , u 3 ) =
]
∂u 1
(h u2 h u3 A u1 ) + ∂
∂u 2
(h u1 h u3 A u2 ) + ∂
∂u 3
(h u1 h u2 A u3 )
[
1 ∂
=
h u1 h u2 h u3
• Rotation. ∇ × ⃗ A(u 1 , u 2 , u 3 )
⃗A = A u1 ⃗e u1 + A u2 ⃗e u2 + A u3 ⃗e u3 . Damit ist ∇ × ⃗ A =
= ∇ × (A u1 ⃗e u1 + A u2 ⃗e u2 + A u3 ⃗e u3 ) =
= ∇ × (A u1 ⃗e u1 ) + ∇ × (A u2 ⃗e u2 ) + ∇ × (A u3 ⃗e u3 )
Mit dem vorhergehenden Ergebnis ist dann
∇ × ⃗ A(u 1 , u 2 , u 3 ) =
= 1
h u3 h u1
+ 1
h u1 h u2
+ 1
h u2 h u3
∂
∂u 3
(A u1 h u1 )⃗e u2 − 1
h u1 h u2
∂
∂u 1
(A u2 h u2 )⃗e u3 − 1
h u2 h u3
∂
∂u 2
(A u3 h u3 )⃗e u1 − 1
h u3 h u1
∂
∂u 2
(A u1 h u1 )⃗e u3 +
∂
∂u 3
(A u2 h u2 )⃗e u1 +
∂
∂u 1
(A u3 h u3 )⃗e u2 =
8

[
= 1 ∂
h u2 h u3
[
+ 1
h u3 h u1
[
+ 1
h u1 h u2
]
∂u 2
(A u3 h u3 ) − ∂
∂u 3
(A u2 h u2 ) ⃗e u1 +
]
∂
∂u 3
(A u1 h u1 ) − ∂
∂u 1
(A u3 h u3 ) ⃗e u2 +
]
∂
∂u 1
(A u2 h u2 ) − ∂
∂u 2
(A u1 h u1 ) ⃗e u3
Dies kann wiederum in folgender Form geschrieben werden.
∣ ∣ ∣∣∣∣∣ h
∇ × A(u ⃗ u1 ⃗e u1 h u2 ⃗e u2 h u3 ⃗e u3 ∣∣∣∣∣
1
∂ ∂ ∂
1 , u 2 , u 3 ) =
h u1 h u2 h u3 ∂u 1 ∂u 2 ∂u 3
h u1 A u1 h u2 A u2 h u3 A u3
Bemerkung. Daraus folgt etwa, dass auch in krummlinigen (orthonormalen)
Koordinatensystemen der Rotor eines Gradienten verschwindet.
Sei
⃗ A = ∇Φ(u1 , u 2 , u 3 ) wobei Φ zweimal stetig differenzierbar ist.
∣ h u1 ⃗e u1 h u2 ⃗e u2 h u3 ⃗e u3 ∣∣∣∣∣
rot grad Φ(u 1 , u 2 , u 3 ) = ∇ × (∇Φ) =
∂ ∂ ∂
∂u 1 ∂u 2 ∂u 3
= 0
∣
∂Φ
∂u 3
∂Φ
∂u 1
∂Φ
∂u 2
Bemerkung. Damit kann auch der Laplace-Operator in orthonormalen
Koordinatensystemen angegeben werden.
△Φ(u 1 , u 2 , u 3 ) =div grad Φ(u 1 , u 2 , u 3 ) = ∇ · ∇Φ(u 1 , u 2 , u 3 ) =
) ( ) (
∂Φ
h u1 ∂u 1
+ ∂ hu3 h u1 ∂Φ
∂u 2 h u2 ∂u 2
+ ∂ hu1 h u2
∂u 3 h u3
{ (
1 ∂ hu2 h
=
u3
h u1 h u2 h u3 ∂u 1
)}
∂Φ
∂u 3
Beispiel. Zylinderkoordinaten ρ, φ, x 3
[
]
∂
∇Φ(ρ, φ, x 3 ) = ⃗e ρ ∂ρ + 1 ρ ⃗e φ ∂
∂φ + ⃗e ∂
x 3 ∂x 3
Φ(ρ, φ, x 3 )
[
∆Φ(ρ, φ, x 3 ) =
1 ∂
ρ
∂ρ ρ ∂ ∂ρ + 1 ρ 2 ∂ 2
∂φ 2 + ∂2
∂x 2 3
]
Φ(ρ, φ, x 3 ) =
9

[
=
∂ 2
∂ρ
+ 1 ∂
2 ρ ∂ρ + 1 ∂ 2
ρ 2 ∂φ
+ ∂2
2
∂x 2 3
]
Φ(ρ, φ, x 3 )
Der Laplace-Operator im R 2
weggelassen wird.
x 3
ergibt sich daraus, indem die Ableitung nach
Beispiel. Kugelkoordinaten r, ϑ, φ
[
]
∂
∇Φ(r, ϑ, φ) = ⃗e r ∂r + 1 r ⃗e ϑ ∂
∂ϑ + 1
r sin ϑ ⃗e φ ∂
∂φ
Φ(r, ϑ, φ)
[
∆Φ(r, ϑ, φ) =
[
=
∂
∂r 2 + 2 r
1
r 2
( )
∂
∂r r
2 ∂
∂r +
1
∂
∂r + 1 ∂ 2
r 2 ∂ϑ
+ cos ϑ
2
∂
r 2 sin ϑ ∂ϑ
∂
r 2 sin ϑ ∂ϑ + 1
r 2 sin 2 ϑ
( )
sin ϑ
∂
∂ϑ +
1
∂ 2
r 2 sin 2 ϑ
∂φ 2 ]
Φ(r, ϑ, φ)
∂ 2
∂φ 2 ]
Φ(r, ϑ, φ) =
Zum Abschluß betrachten wir noch Bogen-, Flächen- und Volumenselement
in orthonormalen Koordinaten.
∂⃗r
Aus
∂u i
= h ui ⃗e ui ergibt sich für die Differenziale in Richtung der u i -
Koordinatenlinie
d⃗r ui = ∂⃗r
∂u i
du i = h ui du i ⃗e ui .
Der Größe h ui du i entspricht daher die lineare Näherung eines kleinen
Bogenabschnittes entlang einer u i -Linie.
Das totale Differenzial ds der Bogenlänge ist weiters (für orthogonale
Koordinaten) gegeben durch
ds = √ (h u1 du 1 ) 2 + (h u2 du 2 ) 2 + (h u3 du 3 ) 2
Damit kann auch entlang Kurven in krummlinigen Koordinaten integriert
werden.
Beispiel. Bestimme die Länge eines spiralförmigen Drahtes (Zylinderradius
a , Ganghöhe des Drahtes 2πb ).
10

Die Kurve ist durch ρ = a , 0 ≤ φ ≤ 4π , z = bφ gegeben.
(ds) 2 = (dρ) 2 + ρ 2 (dφ) 2 + (dz) 2 = 0 + a 2 (dφ) 2 + b 2 (dφ) 2
Also ist ds = √ a 2 + b 2 dφ und S =
∫4π
0
√
a2 + b 2 dφ = 4 √ a 2 + b 2 π
Für das Flächenelement einer Koordinatenfläche ⃗r(u 1 , u 2 , u 0 3) gilt
dA(u 1 , u 2 ) = |(h u1 ⃗e u1 ) × (h u2 ⃗e u2 )|du 1 du 2 = |h u1 h u2 |du 1 du 2 .
Analoges gilt für die anderen Koordinatenflächen. Für einen Zylindermantel
(Koordinatenfläche bei Zylinderkoordinaten) gilt also etwa
dA(φ, x 3 ) = ρ 0 dφdx 3
Das Volumselement wird in linearer Näherung als kleiner Quader
dV = |(h u1 du 1 ⃗e u1 ) · [(h u2 du 2 ⃗e u2 ) × (h u3 du 3 ⃗e u3 )]| =
= |h u1 h u2 h u3 [e u1 · (e u2 × e u3 )]|du 1 du 2 du 3 = |h u1 h u2 h u3 |du 1 du 2 du 3
Bei dem auftretenden Faktor handelt es sich um eine Determinante, die
Jacobi-Determinante, die schon erwähnt wurde. Im speziellen erhalten wir
für
• Zylinderkoordinaten: dV = ρdρdφdx 3
• Kugelkoordinaten:
dV = r 2 sin ϑdrdϑdφ
11