Musterlösung zur Klausur

Proseminar Einführung in die Algebra, SS 13
Lösungen zur Klausur, 27.6.2013
1A. Auf der Menge Q >0 = {r ∈ Q | r > 0} betrachten wir als Verknüpfung die übliche Division.
Untersuchen Sie, ob diese Verknüpfung kommutativ bzw. assoziativ ist, und ob es für diese Verknüpfung
rechts-neutrale bzw. links-neutrale Elemente gibt!
Es ist
Also ist diese Verknüpfung nicht assoziativ. Wegen
(1 : 1) : 2 = 1 ≠ 2 = 1 : (1 : 2) .
2
1 : 2 = 1 2 ≠ 2 = 2 : 1
ist sie auch nicht kommutativ.
Für alle r ∈ Q r>0 gilt r : 1 = r. Also ist 1 ein rechts-neutrales Element dieser Verknüpfung. Angenommen
diese Verknüpfung besitzt ein links-neutrales Element e. Dann muss (siehe Vorlesung erstes
Lemma) e = 1 sein. Aber wegen 1 : 2 = 1 2 ≠ 2 ist 1 kein links-neutrales Element. Daher besitzt diese
Verknüpfung kein links-neutrales Element.
1B. Auf der Menge Z aller ganzer Zahlen betrachten wir als Verknüpfung die übliche Subtraktion.
Untersuchen Sie, ob diese Verknüpfung kommutativ bzw. assoziativ ist, und ob es für diese Verknüpfung
rechts-neutrale bzw. links-neutrale Elemente gibt!
Es ist
Also ist diese Verknüpfung nicht assoziativ. Wegen
0 − (0 − 1) = 1 ≠ −1 = (0 − 0) − 1 .
0 − 1 = −1 ≠ 1 = 1 − 0
ist sie auch nicht kommutativ.
Für alle z ∈ Z gilt z −0 = z. Also ist 0 ein rechts-neutrales Element dieser Verknüpfung. Angenommen
diese Verknüpfung besitzt ein links-neutrales Element e. Dann muss (siehe Vorlesung erstes Lemma) e = 0
sein. Aber wegen 0 − 1 = −1 ≠ 1 ist 0 kein links-neutrales Element. Daher besitzt diese Verknüpfung
kein links-neutrales Element.
2A. Es sei (R, +, ·) ein Ring mit 1 und u ∈ U(R) eine Einheit von R. Auf R wird eine neue Verknüpfung
⋄ wie folgt definiert:
für alle a, b ∈ R : a ⋄ b = b·u·a .
Zeigen Sie, dass (R, +, ⋄) ein Ring mit Einselement ist!
Wir müssen zeigen:
1. (R, +) ist eine abelsche Gruppe.
2. ⋄ ist assoziativ.
3. + und ⋄ erfüllen die Distributivgesetze.
4. ⋄ bestitzt ein Einselement.
Punkt 1 folgt aus der Tatsache, dass (R, +, ·) ein Ring ist. Seien nun a, b, c ∈ R. Dann gelten
a ⋄ (b ⋄ c) = (b ⋄ c)·u·a = (c·u·b)·u·a = c·u·(b·u·a) = c·u·(a ⋄ b) = (a ⋄ b) ⋄ c ,
(a + b) ⋄ c = c·u·(a + b) = c·u·a + c·u·b = a ⋄ c + b ⋄ c ,
c ⋄ (a + b) = (a + b)·u·c = a·u·c + b·u·c = c ⋄ a + c ⋄ b .
Also sind die Punkte 2 und 3 erfüllt.

Für alle a ∈ R gilt
Also ist u −1 ein Einselment von ⋄.
a ⋄ u −1 = a·u·u −1 = a·1 = a = 1·a = u −1·u·a = u −1 ⋄ a .
2B. Es sei (R, +, ·) ein Ring mit 1 und u ∈ U(R) eine Einheit von R. Auf R wird eine neue Verknüpfung
∗ wie folgt definiert:
für alle a, b ∈ R : a ∗ b = a·u −1·b .
Zeigen Sie, dass (R, +, ⋄) ein Ring mit Einselement ist!
Wir müssen zeigen:
1. (R, +) ist eine abelsche Gruppe.
2. ∗ ist assoziativ.
3. + und ∗ erfüllen die Distributivgesetze.
4. ∗ bestitzt ein Einselement.
Punkt 1 folgt aus der Tatsache, dass (R, +, ·) ein Ring ist. Seien nun a, b, c ∈ R. Dann gelten
a ∗ (b ∗ c) = a·u −1·(b ∗ c) = a·u −1·(b·u −1·c) = (a·u −1·b)·u −1·c = (a ∗ b)·u −1·c = (a ∗ b) ∗ c ,
(a + b) ∗ c = (a + b)·u −1·c = a·u −1·c + b·u −1·c = a ∗ c + b ∗ c ,
c ∗ (a + b) = c·u −1·(a + b) = c·u −1·a + c·u −1·b = c ∗ a + c ∗ b .
Also sind die Punkte 2 und 3 erfüllt.
Für alle a ∈ R gilt
Also ist u ein Einselement von ∗.
a ∗ u = a·u −1 ∗ u = a·1 = a = 1·a = u·u −1·a = u ∗ a .
3A. Beweisen Sie: in einem Monoid ist ein Element, das rechtskürzbar und linksinvertierbar ist, auch
invertierbar.
Sei (H, ·) ein Monoid mit neutralem Element 1 und a ∈ H rechtskürzbar und linksinvertierbar. Sei
a ′ ∈ H ein Linksinverses von a. Dann gilt a ′ a = 1. Wir multiplizieren diese Gleichung von links mit a
und erhalten
(aa ′ )a = a(a ′ a) = a · 1 = a = 1 · a .
Da a rechtskürzbar ist, können wir a in dieser Gleichung auf beiden Seiten wegkürzen und erhalten
aa ′ = 1. Also ist a ′ auch ein Rechtsinverses von a. Damit ist a invertierbar.
3B. Beweisen Sie: in einem Monoid ist ein Element , das linkskürzbar und rechtsinvertierbar ist auch
invertierbar.
Sei (H, ·) ein Monoid mit neutralem Element 1 und a ∈ H linkskürzbar und rechtsinvertierbar. Sei
a ′ ∈ H ein Rechtsinverses von a. Dann gilt aa ′ = 1. Wir multiplizieren diese Gleichung von rechts mit a
und erhalten
a(a ′ a) = (aa ′ )a = 1 · a = a = a · 1 .
Da a linkskürzbar ist, können wir a in dieser Gleichung auf beiden Seiten wegkürzen und erhalten a ′ a = 1.
Also ist a ′ auch ein Linksinverses von a. Damit ist a invertierbar.
Die Aufgaben 4 und 5 in beiden Gruppen haben sich nur in der Notation unterschieden. Daher folgt
jeweils nur eine Lösung.
4. Es seien (H, ·) eine Gruppe, a ∈ H und ϕ a : H → H die Konjugation mit dem Element a, d.h. für alle
x ∈ H ist ϕ a (x) = axa −1 .
Die Abbildung ψ : H → H wird definiert durch ψ(x) = ϕ a (x)ϕ a (x) für alle x ∈ H. Beweisen Sie: ψ
ist genau dann ein Gruppenhomomorphismus, wenn H kommutativ ist.

Sei x ∈ H. Dann gilt
ψ(x) = ϕ a (x)ϕ a (x) = (axa −1 )(axa−1) = axxa −1 = ax 2 a −1 .
Wir nehmen nun einmal an, dass H kommutativ ist und zeigen, dass ψ ein Gruppenhmomorphismus
ist. Für x ∈ H gilt aber
ψ(x) = ax 2 a −1 H kommutativ
= aa −1 x 2 = x 2 .
Da H kommutativ ist, gilt (xy) 2 = x 2 y 2 für alle x, y ∈ H. Also ist ψ ein Gruppenhomomorphismus.
Sei nun umgekehrt ψ ein Gruppenhomomorphismus und x, y ∈ H. Wir zeigen xy = yx. Ausgehend
von ψ(xy) = ψ(x)ψ(y) erhalten wir
a(xy) 2 a −1 = (ax 2 a −1 )(ay 2 a −1 ) = ax 2 y 2 a −1
Multiplikation mit a−1 von links und mit a von rechts
⇒
(xy) 2 = x 2 y 2 ⇒ xyxy = xxyy Multiplikation mit x−1 von links und mit y −1 von rechts
⇒
yx = xy .
5. Es seien R und S kommutative Ringe mit 1 und h: R → S ein Ringhomomorphismus mit h(1) = 1.
Zeigen Sie: Ist Q ⊳ S ein Primideal von S, so ist h −1 (Q) ein Primideal von R.
Zunächst zur Erinnerung
Wir müssen drei Dinge zeigen:
h −1 (Q) = {a ∈ R | h(a) ∈ Q} .
1. h −1 (Q) ist ein Ideal von R.
2. h −1 (Q) ≠ R.
3. Für alle a, b ∈ R gilt ab ∈ h −1 (Q) ⇒ a ∈ h −1 (Q) oder b ∈ h −1 (Q).
Die erste Aussage wissen wir aus der Vorlesung. Da Q ein Primideal von S ist, gilt Q ≠ S. Also ist
1 /∈ Q (ein Ideal ist genau dann der ganze Ringe, wenn das Einselement im Ideal enthalten ist). Wegen
h(1) = 1 /∈ Q, folgt damit 1 /∈ h −1 (Q). Insbesondere ist h −1 (Q) ≠ R.
Seien nun a, b ∈ R mit ab ∈ h −1 (Q). Dann ist h(a)h(b) = h(ab) ∈ Q. Da Q ein Primideal von S ist,
gilt h(a) ∈ Q oder h(b) ∈ Q. Es folgt a ∈ h −1 (Q) oder b ∈ h −1 (Q).